Fuzzy rendszerek & genetikus algoritmusok

Előadás vázlat

11-12. hét

Összeállította: Harmati István Ph.D., egyetemi adjunktus

Felhasznált irodalom: Dr. Lantos Béla: Fuzzy systems and genetic algorithms, 2001, Műegyetemi kiadó, Budapest

Csekő Lehel Huba: GA- alapú multikritériumú optimalizálás és optimális fuzzy függvényapproximáció irányítástechnikai alkalmazásokkal, 2001, Budapest, Diplomaterv

8. MULTIKRITÉRIUMÚ GENETIKUS ALGORITMUSOK Probléma: A költségfüggvény sokszor nem skalárértékű (hanem vektorértékű) → Nem hasonlítható össze az összes költségfüggvény pár (csak részben rendezhető tér) → → Meg kell ismernünk mindenekelött a részbenrendezést → Definíció. [Részben rendezési reláció]. Legyen E egy lineáris normált tér (mint pl az Euklideszi tér, Banach tér, stb). Akkor a ≥ részbenrendezési reláció egy olyan EE ×⊂≥ reláció, amely

tranzitívéstrikusantiszimmeés

reflexív

zxzyyxyxxyyx

xx

≥⇒≥≥=⇒≥≥

≥

Definíció [Kúpok].

halmazt nulla csúcspontú kúpnak nevezzük, ha bármely Kx∈ és 0>λ valós számra Kx∈λ . EK ⊂• A • Ha K nulla csúcspontú kúp → Kx +0 egy csúcspontú kúp. 0x

K nulla csúcspontú kúp ⇔ [ Kyx ∈, és 0, >βα → Kyx ∈+ βα ] • K• Ha nulla csúcspontú kúp nulla csúcspontú kúpok a következök is:

o→

Ko (belső pontok halmaza) Ko K ( lezártja)

>o < K ( K konvex burka) Fontos! 0>−⇔≥ yxyx , ezért a részben rendezéshez elegendő vizsgálata, amihez rendszerint pozitív kúpot választunk. (Azaz, ha két

0>xyx, elem, és yx − a pozitív (nulla csúcspontú) kúp egy eleme, akkor fenn áll yx,

között a yx ≥ reláció )

Definíció [Pozitív kúp]. EP ⊂ pozitív kúp, ha Pi) nulla csúcspontú konvex kúp

ii) zárt halmaz Piii) (van belső pontja)

Px −∈ 0=x∅≠oP

iv) és Px∈ → Példa. Részben rendezés nR -ben: }0:),,{( 1 ≥∀∈= i

nTn xRxxP K

Legyenek EQ ⊂ és EP ⊂ részbenrendezést definiáló pozitív kúpok. Akkor

Qx1. , ha nem létezik Qx max0 = ∈ , amelyre és fennállna 0xx ≥ 0xx ≠(Több maximum is létezhet, de nem egyértelmű, ugyanis nem minden Qx∈ hasonlítható össze. Figyelem! A maximum értékéről beszélünk, és nem s “helyéről”)

2. , ha nem létezik Qx min0 = Qx∈ , amelyre és fennállna.

xx ≥ Qxx ≥0 0xx ≠

3. , ha minden Qx sup0 = 0 x∈ esetén. (Nem mindig létezik, de ha létezik akkor egyértelmű! Egy egyértelmű szintet definiál.)

4. , ha minden Qx inf0 = 0xx ≥ Qx∈ esetén.

8.1.Multikritériumú optimalizálás formális leírása Probléma: A költségfüggvény ))(,),(()( 1 xfxfxf nK= vektorértékű, ezért az egyes komponensek szerint szimultán kellene optimalizálni. Feltevés: Minimumot keresünk. (Nem a maximum az optimum) Definíció [Pareto dominancia] Egy ),,( 1 nuuu K= vector dominálja a ),,( 1 nvvv K= vektort, ha részben kisebb, mint v . Jelölésben: vu

u

P< azaz, { } ii vuni ≤∈∀ ,,,1K és { } ii vuni <∈∃ :,,1K . Jelölés: a bemeneti változók megengedett halmaza. U Definíció [Pareto optimum]: Az Uxu ∈ megoldás Pareto optimális, ha nem létezik más Uxv ∈ , amelyre

),,()( dominálja ),,()1 nv vvxfv K== ( 1 nu uuxfu K== megoldást. Következmény. Pareto optimális ux )(min)( v

xu xfxf

v=⇔

Megjegyzések:

• A Pareto optimális megoldások száma végtelen is lehet (nem biztos, hogy össszehasonlíthatók). )(

ux• A nemdominált költségvektorok halmazát nem-dominált halmaznak, trade-off felületnek vagy

Pareto frontnak is nevezik. uxf

Megjegyzés: Kétdimenziós vektorértékű költségfüggványnél a Pareto front illusztratív:

f1

f2

f1

f2Pareto-frontPareto-optimal solution

(last generation)Individuals

Tétel. [A Pareto optimum szükséges feltétele]: Ha egy lokális Pareto optimális megoldás, akkor léteznek ux

0≥iλ súlyok, amelyekre teljesül, hogy 0)(1

=′∑=

n

iuii xfλ , azaz a skalárértékű ∑

=

n

iii xf

1)(λ (ebben már nincs

derivált) teljesíti a lokális optimum feltételét helyen. ux ux Megjegyzés. Bármely Pareto optimális megoldáshoz hozzárendelhető egy skalárértékű költségfüggvény, amely az eredeti, vektorértékű költségfüggvény komponenseinek lineáris kombinációjával állítható elő. Probléma: Nem tudjuk előre, hogy ehhez milyen súlyválasztás szükséges. A következőkben a Pareto optimális megoldásokat használjuk fel a multikritériumú genetikus algoritmusokban (MultiObjektive Genetic Algorithms - MOGA)

8.2. Döntéshozó (Decision Maker) MOGA koncepció:

1. Genetikus algoritmus lépései (Optimalizálási folyamat): • Generációk fejlődése evolúció alapján • Minden generációban megjelennek nem-dominált (preferált) megoldások (egyedek).

2. Döntéshozó (Döntési folyamat) • Végtelen sok pareto optimális megoldás lehet Nagy számításigény → →→ A Döntéshozó Pareto optimális megoldások közül alkalmas kompromisszumok kiválasztását végzi.

(Szubjektív preferenciákat használ).

A koncepcióban a Döntéshozó felügyeli a GA-t.

Az optimalizációs és döntéshozói folyamat kombinációjától függően különböző stratégiák valósíthatók meg:

8.2.1. Döntéshozó stratégiák

8.2.1.1. A preferenciák a priori illesztése

Elv: A költségkomponensekből egy skalár értékű függvényt alkotunk, és a hagyományos SGA-t

alkalmazzuk rá. Előny: A Döntéshozóval a továbbiakban nem kell foglalkozni Hátrány:

1. Ha a megoldás nem ad jó kompromisszumot, akkor a költségfüggvényt módosítani kell és újra kell futtatni az optimalizálást, amíg alkalmas megoldást nem találunk.

2. Új futtatásra van szükség akkor is, ha a Döntéshozó preferenciája megváltozik.

8.2.1.2.. A preferenciák posteriori illesztése Elv:

1. Az Optimalizáló (GA) a nem-dominált megoldások halmazát adja át a döntéshozónak minden generációban, mindenféle előre definiált preferencia nélkül.

2. A Döntéshozó a megoldások közül választ egy alkalmas kompromisszumot képviselő egyedet. Előny: A teljes Trade-off felület (pareto front) a vizsgálat tárgyát képező (↔előző eset) Hátrány: A számítási idő nő Megjegyzés: Jól használható statikus költségek esetén, de gyakori preferenciaváltások esetén nem jó. (Preferenciaváltások nem követelnek extra számításokat))

8.2.1.3. A preferenciák progresszív illesztése Elv:

• Az Optimalizálás és Döntéshozás lépései egymásba vanak ágyazva. • A Döntéshozó minden lépésben (generáció) egy részleges preferencia információt ad az

Optimalizálónak, és az Optimalizáló ez alapján szolgáltatja a legjobb egyedeket. Megjegyzés:

1. Kompromisszum az előző két megoldás között (de az Optimalizáló és Döntéshozó közötti interakció nő). 2. Emberi Döntéshozó esetén az állandó interaktivitás fárasztó.

8.2.2. A preferenciák felállítása Előzmény: A preferenciaillesztési stratégiák a korábbiakban felhasználják, hogy egyes jelölteket preferálnak. Cél: Annak vizsgálata, hogy mi alapján preferálunk egy egy jelöltet. Mindenképpen egy-egy költségfüggvényt rendelünk minden Pareto optimális jelölthöz. Az optimális jelölt közül diszkriminálunk egyet. Probléma: Nehéz formalizálni, hogy a sok Pareto optimális jelölt közül melyiket és hogyan részesítsük elönyben. Elterjedt módszerek:

8.2.2.1. Súlyozott együtthatók módszere Elv: Az egyes költségkomponenseket súlyozzuk és összeadjuk:

0,)()(1

>= ∑=

in

iiiws wxfwxF

1. (globális) optimuma Az eredeti problémának egy nem-dominált

megoldása )(xFws ⇒

2. Egy nem dominált megoldás (nem következik) (globális) optimuma ¬⇒ )(xFws 1.,2. A Pareto front konkáv tartományainak szuboptimális megoldásai (origótól távolabbi szaggatott egyenesein lévő megoldások) nem határozhatók meg:

⇒

ff

f1

2

f1

2Decreasingcost

8.2.2.2. Prioritások módszere Elv: A (vektor) költségfüggvény komponenseire fontossági sorrendet állítunk fel és a komponenseket ezen sorrend szerint optimalizáljuk. Legyen a prioritási sorrend (a legfontosabb felé haladva): (n komponens) A lexografikus költségfüggvény:

nff ,,1 K

)()( yFxF lexlex < ⇔ { } { } )()()()(,,,:,,1 yfxfyfxfnijni iijj <∧≤∈∀∈∃ KK Megvalósítás:

. A legfontosabb prioritású malizálása. Legyen a megoldás: minimalizálása a

nf mini nx 12. A következő, 1−nf függvény )()( nnn xfxf ≤ korlátozás mellett. Legyen a megoldás:

lizálása a 1−nx

3. A f komponens minima2−n nnkxfxf kkk ,1),()( −=≤ korlátozás mellett, stb. n. A végső megoldást 1x adja (ami egyúttal Pareto optimális megoldás is). Megjegyzés:

1. Szekvenciális döntést igénylő feladatokhoz jó. egyes komponensek között nem lehet mindig egyértelmű prioritási sorrendet 2. Probléma, hogy az

felállítani.

8.2.2.3. Előírt célok módszere

Elv: Mind nk egy kívánt performanciaszintet, ezt probáljuk a lehető Minimax megközelítés:

A minimalizálandó költségfüggvény:

en költségfüggvény komponenshez hozzárendelü

ség szerint minnél jobban megközelíteni.

{ }0,

)()( max

,,1>

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=∈

ii

ii

nimM w

wgxf

xFK

Ahol: az elérendő (kívánt) költségszint az menzióban. A kívánt keresési irányt határozza meg a “költségtérben”.

(Minnél nagyobb, annál könnyebben fordulhat elő a minimum ebben az irányban, vagyis az ilyen irányba eső költségfüggvényvektort preferálja)

Megjegyzések:

• A Pareto-front konkáv tartományaiból is képés megoldást adni.

ig i -dik di

iw

• Nem garantált, hogy mindig szigorúan nem diminált megoldást ad:

• hatósága elromlik az optimum helyén. (Az optimális megoldás a szagatott vonalak találkozásánál van, amelyek nemfolytonosan találkoznak, hisz itt különböző szintek vannak

önböző dimenziókban.) elen alkalmazása nehézkes megtalálásához

Célmeghatározás módszere: A differenciálhatóság problémáját küszöböli ki:

mMF differenciál

kül→ Gradiens módszerek közvet m

→ Alternatív módszer alkalmazása MF minimumának →

λλ x,min a iii gwxf ≤− λ)( korlátozás mellett.

A módszer λiw hibánál felül vagy alulbecsüli ig -t (λ negatív is lehet!)

f

f2

1f

f2

Decreasingcost

Ez a törésponttól távolabbi megoldás

Egy a Pareto front mögötti megoldás jobb egoldást adhat, mint a Pareto fronton található, de az optimumkombinációt jelölő törésponttól

s

mMF m

távoli megoldá

1

.3. Korlátozások és multikritériumú optimalizáció8

Minimalizálandó multikritériumű 1 nfK

Ebből a korlátozások: ngK

függvény: ( f ),,

),,())(,),(( 11 knk gxfxf K ++ ≤ (komponensenként értendő)

ékek A kritériumok lehetnek:

• Magasprioritású (hard) kritérium

ig korlátozások konsans ért

≡ korlátozások (nagy köl• Soft kritériumok A hagyományos értele

Alapprobléma multikritériumú optimalizálásnál: Két költségvektor nem hasonlítható össze általában. Javaslat:

• Csak zonyo• Ezt még

akkor ki

tséget rendelünk hozzájuk) mben vett kritériumok

bi s költségvektorkomponens(eke)t veszünk figyelembe. segítheti az is, hogy a korlátozásoknak is van szűrő hatása (ha megoldásra nem teljesül a korlátozás, esik).

8.4. Multikritériumú döntéshozás költségkomponensek összegzése nélkül

• lez fel semmit a Pareto frontról (alakjáról, eloszlásáról stb.) • A Döntéshozó és a GA együtt szűkíti le a keresési teret a megfelelő keresési irány felé.

• Az a priori információ alapján a Döntéshozó befolyásolja a populáció fejlődését A GA nem téte

Deci Genetica prioriresults

sion ( orithm (GA)

cost

objective values knowledge)

Maker DM) Algknowledge

(ackwired

8.5. Multikritériumú döntéshozás prioritások módszere és preferenciák módszere esetén

multikritériumú döntéshozás alapja: Összehasonlítás operátor (preferálhatósági reláció)

Eldönti, tve.

8.5.1. Jelölések:

A

hogy két vektorköltség közül melyik a jobb a prioritásokat és az előírt célokat tekin

Az összehasonlító operátor

(Döntési) változók: ),,( 1 Nxxx K=

A költségfüggvény (vektorértékű): ))(,),(()( 1 xfxfxf nK=

Két összehasonlítandó költségvektor: )( uxfu = és )( vxfv

=

n dimenziós preferenciavektor (azaz korlátozás vagy cél):

g

vu, és g vektorok komponenseit a lamelyikéhez soroljuk (értékp darab prioritási szint va ↑ → szint↑ )Az

)],,(,),,,[(],,[1 p

vvvvvvv KKKK ==

)],,(,),,,[(],,[ ,1,,11,11 nppnp uuuuuuu KKKK ==

)],,,(,),,,[(],,[ ,1,,11,11

,1,,11,11

1

1

p

p

nppnp

nppnp

ggggggg KKKK ==

sorolt költségkomponensek száma. Ebből: in , { }nni ,,1K∈ az i -dik prioritásszinthez nnp

ii =∑

=1

Prekoncepció: A legmagasabb (azaz vektor összehasonlítását. Ha itt nem eredményes, akkor eggyel alacsonyabb szintre megyünk.

p ) szinten kezdjük két költség

Jelölések a tételhez:

yog” a korlátozásokat nem sérti

u objektív vektor azon elemeinek az indexhalmaza

∩→ „szomorú” → az aktuális prioritáson a korlátozásokat (célokat) sérti

∪→ „mosol az aktuális prioritáson →

→ az , amelyek a p prioritási szinten sértik a korlátozásokat

(hasonlóan v-re)

u objektív vektor azon elemeinek az indexhalmaza

∩u

, amelyek a p prioritási szinten nem sértik a → az

∪u

korlátozásokast (hasonlóan v-re)

→∩upu az u objektív vektor azon elemeinek az értéke, amelyek a p prioritási szinten sértik a korlátozásokat

→∩upv a v objektív vektor azon elemeinek az értéke, ahol u objektív vektor elemei sértik a korlátozásokat a p

p

u

rioritási szinten

→∪upu az objektív vektor azon elemeinek az értéke, amelyek a p prioritási szinten nem sértik a korlátozásokat

→∪upv a v objektív vektor azon elemeinek az értéke, ahol u objektív vektor elemei nem sértik a korlátozásokat a p

prioritási szinten

KKK

p ugrás vissza eggyel kisebb prioritási szintre (p-1)

→−−−

1,,11,,11,,1

pg

p vup

Legyen ∅ az üres halmaz.

Definíció [PreferálhaA ],,[ uuu K= költ

tósági reláció]. ségvektor jobb (preferálhatóbb) a 1 p ],,[ 1 pvvv K= költségvektornál a ],,[ 1 pggg K=

korlá

pPppppppPppés

−>

uuuuuup

pK

• A legmagasabb ( oritástól kezdve a döntési lehetőség eléréséig rekurzívan, visszafelé haladva kell

következő, alacsonyabb szintre ugrunk • • s halmaz) is lehetséges és pl.

tozás (preferencia vektor mellett

⇔ (akkor és csak akkor)

)]}())([()({)(1 ∪∪∪∪∩∩∩∩ <∨≤¬∧=∨<⇒uuuuuuuu

vugvvuvu =

)]}())([()({)(1 1,11,,1 −−∪∪∩∩∩∩ ∨≤¬∧=∨<⇒ p

gppppppPp vugvvuvu KK p

1,,1

p ) prikiértékelni azokat a komponenseket, ahol a korlátozás nem áll fenn.

o Ha mindkét vektor teljesíti vagy azonosan sérti a korlátozásokat az adott prioritási szinten, akkor a

A legrosszabb esetben p=1 esetén fog eldőlni a reláció valamelyik irányba. Mivel ∅=

∩u (üre vu P< fennállta igényli, hogy i∃ , ii vu < , ami üres halmaz

esetén nem állhat fenn

1

1,11,,1

1,11,,1

1,,1−−

∩∪∩

−−∩∩

∩∪

∩∩

−

∩∩∩∩ ∨∅≠∧∧=∨<⇒∅≠⇒

∨∅>

→ implementálás:

)( <∨∅≠⇒∅=⇒ vuvu

)]()[()( ∪∪∩∩∩∩ <∨∅≠∧∧=∨<⇒∅≠⇒

))].(()[()(

)(1∩

≠⇒∅=⇒1,,1 −

=

pg

ppppPup

pg

p

pPp

vuvuvuvuu

vup

p

pKK

KK

K

p

p

(ugrás azonos

upP

up

up

up

upP

up vuvuvuvuu

vu

uuupK

vagy különböző prioritásra)

8.5.2. Partikuláris döntési stratégiák

• Pareto: Minden költségnek egyenlő a prioritása és ni ozások ,,[(][ )]−∞ncsenek korlát 1 −∞== K . megoldások megkeresése.

• exikografikus: Minden költségnek (objektívnek) különböző a prioritása és nincsenek korlátozások

• Optimalizálás korlátozás mellett: Azok a költségek magasabb prioritásúak, amelyekre korlátozásokat írtak

elő. Először az átozást kell kielégíteni a megfelelő költségkomponenseknek.

en módszer szerint : n (azaz 1,1,11 nng KK

ggCél „csak” a Pareto-optimális

L)](,),[(],,[ 1 −∞−∞== KK nggg

cn darab korl)],,(),,,[(],[ ,21,221 cnggggg KK −∞−∞== .

• Korlátozások kielégítése: Hasonló az előzőhöz, de egy prioritási szint van és mindegyik objektívhez tartozik

korlátozás (Nincs alacsony prioritású „csak” optimalizálandó objektív.). )],,[(][ ,21,22 nggg K== . g

• Célprogramozás: A korlátozásokat valamily csoportosítjuk. Pl

1. Korlátozások kielégítése fontossági sorrendbe szekvenciálisan): )](,),[([ gggg ],, == 2. A korlátozások szimultán kielégítésére tett kisérlet: )],,[(][ ,11,11 ngggg K==

8.5.3.A preferálhatósági reláció implementálási koncepciója Matlabban kihasználható, hogy a preferenciálhatósági relációt vektoros formában implementáljuk, amely a a ciklus orientáltságú megvalósítással összehasonlítva jelentősen csökkenti a számítási időt. (1600 egyedből álló populációnál ez 2 óráról 20 sec-re való csökkenést eredményez)

8.6.

I lusztráció: Két változó ésl két kritérium, egyforma és eltérő prioritások

A Költs (azaz kétváltozós kritérium) Az egyes egyedekhez (összesen a számuk: 8) tartozó költségeket a költségmátrix sorai adják:

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢

⎢⎢

25

5291

Az egyedek jelölése: A,B,C,D,E,F,G,H

Mindegyik költségkomponenshez tartozik egy korlátozás (azaz cél):

Cél

preferencia reláció müködését egy példán illusztráljuk.

égek (objektívek) száma: 2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

6721 gg

⎢⎡ 21 ff

Költségek ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

= 8443

⎥⎦⎢⎣ 19⎥⎢ 78⎥⎥

⎢⎢ 36

⎥⎥

Két különböző prioritási struktúrának megfelelően oldjuk meg a feladatot (keressük az optimumot):

.6.1. Az 1f -nek és az 2f -nek azonos a prioritása ( 1=p ) 8 Az előzőekből: 21 = )]6,7[()],,[(,)],[()],,[( 2121 === gvvvuuufff

énő ös e: A két egyed preferencálhatósági reláció alapján tört szehasonlításának menet

• Legyen: Gu = , Bv = , )]7,8[(=u , és )]5,2[(=v

G esetén: 2,1[( )o A megsértett indexhalmaz ]=∩u ( ∅≠

∩u ).

o Mivel megsértettben u nem jobb, mint v :∩∩ <u

pP

u

p vu ∩∩ <u

pP

u

p vu

és nem is egyenlő vele:

o Ezért G nem preferálhatóbb B -nél!

• Legyen Bu = és Av = , azaz. )]5,2[(=u és )]9,1[(=v

A deo megsértett in xhalmaz B esetén: ∅=∩u , am llait nu index jelöl: )]0[(=

∩u

A esetén: )]2[(=∩v ( ∅≠

∩v ) o A megsértett indexhalmaz

B preferálhatóbb, mint A ( AB p ) o

• Az összes eset:

o Az oszlopban lévő elemeket probáljuk preferáltatni a sorokban lévő elemekkel o Az utolsó oszlop mutatja, hogy az adott egyednél hány preferálhatóbb egyed van. o Több legjobb egyed is van (több nulla az utolsó oszlopban)! o Mindig csak a em megsértett indexhalmazán hasonlítjuk

u el össze az elemeket. Az ezen kívüli index el minket, mert ott meg nem sértett

indexhalmazon ő rosszabb eredményt ad a másik elemnél, mert a célt így is betartja) o Pl.

nem érdek u teljesíti a korlátozásokat! (Az nem baj, hogy ha a

A sorában az összes egyed megsértett indexhalmaza 0, egyedül D megsértett indexhalmaz egyezik meg A elemével. Tehát csak ezt a két elemet kell összehasonlítani a megsértett indexhalmazokon. Mivel 8<9, ezért AD p .

o A, H esetén a megsértett indexhalmaza H -nak [1], de ott H nem jobb A-nál, így H nem preferálható A-val szemben.

o C és E esetén üres a megsértett indexek halmaza, így nincs halmaz amin összehasonlíthatók. o G és A esetén (első sorban) a megsértett indexek halmaza [(1,2)], ő biztos nem jobb A-nál, mert

ekkor mindig van olyan komponens (jelen esetben [1]) ahol G nem teljesíti a korlátozást, de A igen, így G megsértett indexhalmazán A biztos hogy jobb.

Egyede A (1,9[(2)]

5) [(0)]

C (3,4[(0)]

D (4,8) [(2)]

E (5,2) [(0)]

F (6,3) [(0)]

G (8,7) [(1,2)]

H (9,1) [(1)]

k ) B (2, ) u∩

A (1,9) [(2)] X AB p AC p AD p AE p F Ap 5

B (2,5) [(0)] X 0

C (3,4) [(0)] X 0

D (4,8) [(2)] B D C D p p X E Dp F Dp 4

E (5,2) [(0)] X 0

F (6,3) [(0)] E Fp X 1

G (8,7) [(1,2)] B Gp C Gp E Gp F Gp X 4

H (9,1) [(1)] B Hp C Hp E Hp F Hp X 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 f2 és 1

obje

ctiv

e

0

4

4

5

A

B

D

G

H

f azonos prioritású

g2

0

f 2

C 1

0 F

4 E

g1objective f1

8.6.2. Az Az előzőekből:

)],(),[( 212121

2f -nek nagyobb prioritása van, mint 1f -nek

[( )]6(),7[()],(),[(,)](), ==== gvvvuufff

A két egyed preferencálhatósági reláció alapján tört összehasonlításának menete:

• Legyen

u

énő

Bu = , Cv = , azaz )]5(),2[(=u , )]4(),3[(=v o A megsértett indexhalmaz Besetén: )]0(),0[(=

∩u ( ∅=

∩u ).

o A m gsértett indexhalmaz e esetén: )]0(),0[(=∩v ( ∅=

∩v ).

o A kettes prioritási szinten kezdődik a vizsgálat (p=2). Mivel a kettes prioritási szinten egyik sem sért, ezért ugrás vissza eggyel kisebb prioritási szintre, azaz p=1-re.

o Az első prioritási szinten sem sértik meg a korlátozást, ezért az gálat

(azaz ció legvégén) dönt, felírási (és nem komponensprioritási) sorrendben!:

A őtlenség miatt

pPp vu?< vizs

∪∪ <upP

up vu a definí

32 < egyenl CB p

• Hasonlóan az összes esetre:

Egyedek A (1,9) [(0)(2)]

B (2,5) [(0)(0)]

C (3,4) [(0)(0)]

D (4,8) [(0)(2)]

E (5,2) [(0)(0]

F (6,3) [(0)(0)]

G (8,7) [(1)(2)]

H (9,1) [(1)(0)]

u∩

A (1,9) [(0)(2)] X B Ap C Ap D Ap E Ap F Ap G Ap H Ap 7

B (2,5) X [(0)(0)] 0

C (3,4) B Cp[(0)(0)] X 1

D (4,8) [(0)(2)] B Dp C Dp X F Dp G Dp H Dp E Dp 6

C EE (5,2) (0 B E p p[(0) ]) X 2

B Fp C Fp E Fp X 3 F (6,3) [(0)(0)]

G (8,7) [(1)(2)] B Gp C Gp E Gp F Gp X H Gp 5

H (9,1)[(1)(0)

] B Hp C Hp E Hp F Hp X 4

o A módosított prioritásstruktúra miatt az utolsóo

sorban lévő számok (prioritási szintek) változtak. en eg tő egy skalár szám. Itt már nincsenek azonos költségű egyedek.

(a megoldás egyértelmű o

Mind yedhez hozzárendelhe

H és A esetén, 2=p proritáson kezdünk, és megnézzük először, ővített definíciónak megfelelően) teljesül-e. Ez teljesül∅=∩u (kib 2=p szinten, mindamellett

∅≠∩v , így AH p .

AD p esetében 2=p prioritáson dől el a reláció kérdése, méghozzá az ∩∩ <⇒∅≠∩

upP

up vuu miatt. o

f2 has greater priority than f1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

2

3

5

6

7

B

C

D

E

F

G

1

4

A

H

g1Objective f

Obj

ectiv

e f 2

1

g2

8.7. A költségfüggvény szemléltetése Legyen egy N egyedet tartalmazó populáció. Az optimalizálás során a t -ik populációban az

költségvektor (objektív vektor): jobb egyedek száma (sorszám):

normalizált s zám (költség):

ux egyedhez tartozó u

),()( txrankr ut

u = az egyednél

Nr t /)( ors A költségfüggvény ábrázolható (A ‘-1’-szeresét ábrázoljuk). Példa. Kétváltozós, kétkomponensű költségfüggvény:

1212

22

21211

−−+−−=

+−−−−=

xxxxf

xxxxf

Populáció éktartomány 0.2-es raszterezéssel. Preferálhatósági relációt megvalósító algoritmust végrehajtottuk az egyedeken, a költséget normalizáltuk. Az egyes stratégiák eredményei a következők:

))1()1(exp(1),(

))1()1(exp(1),(2

22

: ]4,4[− ért

8.7.1. Pareto stratégia (korlátozás nélkül) A kis költsé ű egyedek a költségkomponensek minimumai között egyenletesen oszlanak meg, egy hosszú síkg hidat

képezve:

8.7.3. Lexikografikus stratégia (korlátozás nélkül)

kis költségű egyedek a nagyobb prioritású objektív (azaz célok) felé tolódnak el: A

8.7.3. Azonos prioritású költségkomponensek

látokat.

Azonos prioritások, különböző korlátok ([0.95 0.9])

)]9.0,95.0[( korNehéz észrevenni azokat az egyedeket, amelyek teljesítik a

x1 x2 f1 f2

-0.2 0 0.9128 0.8060

-0.2 0.2 0.9439 0.7220

0 0 0.8647 0.8647

0 0.2 0.9128 0.8060

8.7.4. Különböző prioritású költségkomponensek (

kis költségű egyedek kiemelkednek és ezek a belül tartják az t (szigorúan

2f nagyobb)

)]7.0,7.0[( -es korláton 2f komponensAkisebb 2f , mint 0.7).

Külö zonos nböző prioritások, akorlátok ([0.7 0.7])

x1 x2 f1 f2

-0.4 0.2 0.9666 0.6321

- 0.2 0.4 0.9666 0.6321

8.7. Fitness megosztás és egyedek párba választása

Megoldás skalár GA esetén: Új módszerek (Fitness megoldás, párba választás)

dandó: nél jobban szét legyen szórva, és fedjék le teljesen

ési t t használni kell).

GA egyik legfontosabb célja: A lokális minimumba való beragadás elkerülése

mutáció Megoldás multikritériumú GA esetén:

→ MegolAz egyedek a Pareto fronton mi

ere(teljes keres

8.8.1. Szelekciós hiba, genetikus drift, fülke méret (niche size)

ss érték alapján történt skalárértékű kritérium esetén.

i, akkor az alábbi ulettkereket 8-szor kell megpörgetnünk (és választani egy véletlen egyedet) 8 egyed kiválasztásához. (5/48-ad a örcikk területe)

8.8.1.1. Szelekciós hiba Előzmény: A következő generáció létrehozásához a szűlők kiválasztása a fitne

Pl. Ha a fitness érték alapján egy egyedet 5/6-os valószínűséggel szeretnénk kiválasztanrk

Szelekciós hiba: Pl nyolc pörgetést figyelembe véve az 5/6=40/48-ad-os valószinűségű mező akár 6-szor is kiválasztásra kerülhet Rulett keréknél (Baloldali ábra), ami jelentősen eltúlozza a szerepét, hisz ez annak felel meg, mint ha az egyed a teljes körkerület 2/3 részét szürkével fedné le! Szelekciós hiba minimalizálása: SUS (jobboldali ábra). A kválasztása a terület nagyságának le vagy felkerekített értéke lehet, ami egyenletes eloszlást ad. használják. → Ezt

8.8.1.2. Genetikus drift

óról generációra történő akkumlált hatásaként jeleni meg.

Genetikus drift: A szelekciós hiba miatt főleg csak a jobb egyedek kerülnek kiválasztásra (főleg kis

SUS sem segít.

egyedek az optimum szűk környezetében tömörülnek Multikritérium: A Pareto front szűk tartományát fedik le a populáció egyedei.

Megoldás: Kismértékű drift: Mutációs ráta növelése (tulzott növelés nem jó, mert sztochasztikussá teszi a keresést) Nagymértékű drift:

• Populáció bővítése véletlenszerűen generált egyedekkel • Fitness megosztás (Ez vált be leginkább)

A szelekciós hiba generáci

egyedszámnál), így szűkül a keresési tér.

Hatás:

Skalárkritérium: Az

8.8.1.3. Fitness megosztás (Fitness sharing)

Cél: Egyenletes lefedettség biztosítása.

ű egyed “harca”/versenye egy harmadik (esetleg gyengébb) egyed pozicíóit javítja.

Fitness sharing: Ha két egyed “közel” esik egymáshoz (hasonlóak), akkor csökkentsék egymás fitness Értékét, azaz kiválasztási esélyeit. (=negatív visszacsatolás a szelekciós folyamatra)

Köve ba fognak csoportosulni.

Ezeket a csoportokat fülkéknek nevezzük

A fülkék a multikritériumú t égét jellemzik Megvalósítandó feladatok:

1. Az egyedek elszaporodása egy megtalált fülke közelében 2. További fülkék felderítése

Problémák:

1. A “közelség” kvalitatív értelmezése 2. A “közelség” kvantitatív értelmezése

Ezeket nézzük most meg közelebbről.

Ötlet az életből: Két közel azonos képesség

tkezmény: A populáció egyedei a keresési tér különböző lokális minimumai

Megjegyzés:

→ op imalizálásnál az egyedek Pareto fronton való szétterítetts

A közelség kvalitatív értelmezése

Ellenérv: Az ábr atlan a minimumhoz tatozó

e, hisami finom felbontást igényel:

a) A közelség értelmezése paramétertatományban

án látható esetben indokolegyedek fitnesseinek

csökkentés z nagyon meredek a függvény,

b) közelség értelmezése a költség/objektív

Ellenérv: Az ábrán látható esetben indokolatlan a einek

oz

tartományban

minimumhoz tatozó egyedek fitnesscsökkentése, hisz különböző lokális minimumokhtartoznak:

Nincs tragédia fitness csökkentéskor: Ekkor a lyukas karikákkal jelölt egyedek veszik át a kezdeményező szerepet.

Választás a két eset közül a feladattól függ.

A közelség kvantitatív értelmezése

oglalja magában. A fülke

A fülke méretének megválasztását f

shareσ mérete megadja, hogy két egyednek milyen közel kell lennie egymáshoz, hogy csökkentsék

fülke mérete definiálható:

megválasztáshoz szükséges:

• skalárkritérium esetén: A lokális optimumok száma • vektorkritérium esetén: A Pareto front alakja

Ezek többnyire ismeretlenek A fülke méretének megállapításához becslést kell alkalmazni

(vö. 8.9. Pont

egymás fitness értékét. A

• változók terében • költségek (függvényértékek) terében

A

→ )

8.8.2.

Az el ző (8.8.1) fejezetben leírtak alapján biztosítjuk, hogy az egyedek egyenletesen terítsék be a Pareto frontot. Prob t elronthatja az egyedek roszz párba választása, keresztezése. ztott egyedeket különböző fülkékből választjuk (nagy eltérések a

kromoszómákban) lajdonságú utódok lesznek, mindkét fülkétől távol

képtelen (lethals)

Ötlet: ztás csak hasonló egyedek között tipikus. MegoldPárvalas á dek párosodnak, amelyek

Az egyedek párba választása

Kiindulás: ő

léma: Az egyenletessége

Pl: Ha a párba válas→

→ teljesen új tu → → Az utód nagy valószinűséggel élet

A természetben a párválas

ás: mateσ távolságon belül vannak zt si kényszert vezetünk be: Csak azok az egye

egymástól. Probléma: mateσ megválasztása. A shareσ megválasztásával azonos problémákat vet fel Megoldás:

→

sharemate σσ = Megjegyzés: Sikeres keresztezés nemcsak a párba választott szülőktől, hanem a kromoszóma kódolástól és a rekombinációs operátortól is függ.

8.9.

A fülkeméret becslése

Előzmény: A 8.8.1.3 pontban, a fitness megosztás problémakörében merült fel, a fülkeméret megválasztásánál.

Cél: A shareσ fülkeméret megválasztása annak érdekében, hogy az egyedek egyenletesen fejlődjenek a Pareto-

N számot hatfront közelében. Ehhez azt az ározzuk meg, ami megmondja, hogy egy dfülkét feltételezve) hány fülkére kell osztani a Pareto front által az adott dimenzióban elfoglalt intervallumot.

imenzióban (négyzetes

Legyen a Paret Pareto f

o front a változók terében: ont a költségek terében: )(

S Sf

Legye

)(),, Sfuuu K ∈n

(

11

11

1

nnuu

nn

n

mmyy KK ==

usztrá n

• A Pareto front definíciója miatt a Pareto frontnak

• A hiperkocka külső felülete a Pareto front felső ecslését adja

• A Pareto front alakjától független egységes kezelhetőség lehetősége

(m =

),,()max,,max(uu

MMyyM KK ==

),,()min,,min

• 3D ill ció a jobbolali ábrá

csak egy-egy pontja lehet a befoglaló hiperkocka külső lapjain (lyukas karikák)→

→ b

A Pahiperkocka külső felülete:

32)(Sf

221

3311

mM −

gkomp nens esetén:

n

i

n

ijj

j1 1

reto front felületének felső becslése a

=∆∆+∆∆+∆∆< 2131

))(())(( 3322

mMmMmMmM

−−+−−=

( 1 mM −+ ))(

Általánosan megfogalmazva, n költsé o

<Sf )( ∑∏=

≠=∆ )( jjj mM −=∆

(link j∆ további felhasználására)

Feladat: Ha Pareto front felületének felső becslését N fülke [fülkénként 1 egyed] adf1

σ share

f2 ( , )M M1 2

∆ i i iM mi

= −= 1 2,

ja, kérdés a fülke mérete. Eljárás 1. A Pareto front felületének felső becslését az ábrán látható befoglaló hiperkocka (nagy négyzet) felső és j bb o

élét shareσ négyzetekkel egyenletesen felosztott négyzetek területe adja. . A Pareto front felületének felső becslését így a beszürkített terület adja, amely egy 2 shareσ megoldás esetén

N egyedet (fülkét) követel:

shareshare

shareshareNσ

σσσ

2

))((21 2121 ∆∆−+∆+∆

= ami általánosan: nshare

n

i

n

iisharei

Nσ

σ∏ ∏= =

∆−+∆= 1 1

)(

3. Számunkra azonban N ismert és shareσ határozandó meg, amely az előző kifejezés átrendezésével egy polinomegyenlet megoldását jelenti:

0)(

1 11 =∆−+∆

−∏ ∏= =−

share

n

i

n

iisharei

nshareN

σ

σσ

( , )m m1 2 f1

share

f2 ( , )M M1 2

i i iM mi = 1 2,

trade-off

trade-offupper estimation

( , )m m1 2

8.10.

A fitness értékek beállítása multikritériumú optimalizáláshoz

Két részből áll: 1. Fitness értékek első megközelítése (nemlineáris rendezés és fitness átlagolás) 2. Fitness korrekció (finomítás)

8.10.

ét részből áll: 1. Nemlineáris rendezés

agolás

8.10.1.2. Fitness átlagolás

Figyelem! Vegyük észre, hogy egyes egyedek rankértékei megegyeznek a vizszintes tengelyen!

→

→

→

→

1. Fitness értékek első megközelítése K

2. Fitness átl

8.10.1.1. Nemlineáris rendezés

1 N Number of individuals

Nonlinear ranking

Costs

Costs

max

max

min (0)

min (0)0 sp

00004 15 44

0.5

1

1.5

2

Ass

igne

d fit

ness

Rank values

Averagefitness

Nonlinearranking

zése költségeik szerint. A sorban magasabb rangú helyen álló egyedek a jobbak. A abb helyeket a nullaköltségű egyedek foglalják el.

2. Nem lineáris leképezés fitness értékekre.

8.10.1.3. Algoritmus (Fitness első megközelítése)

1. A populáció rlegmagas

ende

3. Azonos költségű egyedek között fitness kiegyenlítés átlagolással.

8.10.2. A Fitness érték korrigálása a fülkeméret alapján

megközelítésekor (8.10.1 pont) egyes egyedeknek azonos (átlag) fitness értéket dunk. Ezek közül a legjobbak alkotják a Pareto frontot.

Cél: Konc

• •

• A Fitness korrekció csak az azonos osztályban található egyedek között kerül végrehajtásra

• A korrekció mértéke függ a o

Előzmény: A fitness értekek elsőa

A fitness értékek további módosítása azon egyedek között, amelyek azonos fülkékben vannak.

epció: Az egyedek csoportosítása osztályokba.

Egy osztályban azonos átlag fitnessel rendelkező egyedek vannak.

shareσ fülkemérettől (nullaköltségű egyedek alapján a 8.9 pontban ismertetett eljárással becsüljük)

o A két egyed közötti . Meghatározása or Euklideszi (vagy más) normájából, ahol

),( vuddist távolságtól normd vekt

distn

nnnorm d

vuvud →⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

−

∆

−= ,,

1

11 K ( i∆ megválasztási elvéhez lásd eljárás 3. pontját)

(számítása korábban)

• A fitness korrekció elve: Fülkeszám (niche count) alapján.

Az eljárás:

1. Elöször a fülkeszámot kell definiálni

övelhetik

mezett távolságuk háromszög függvénye:

Definíció [Fülkeszám – Niche count] o Kezdetben nulla o Minden egyednél a fülkeszámot csak az adott egyed fitness értékével megegyező egyedek no A fülkeszám növelésének alapja a „Sharing” függvény, amely a két egyed objektív (költség) térben

értel

f share

niche count

ddi

1

stσ share0

ahol shareσ értékét a nullaköltségű egyedek alapján a 8.9 pontban ismertetett eljárással becsüljük.

2. A fülkeszámok reciprokait, mint súlyokat használjuk fel a korrekcióhoz:.

ii

w

wi n,

i ,1

Mw w

nwi i ni, ,1+ +

i

=K

fww

fww

ii

i

i ni n

ii

i

,,

,,

11

M

} }w

clas

s "i"

wi n,

i ,1

M

i

w wn

wi i ni, ,1

ii=

K

1/niche counts fww

fww

ii

i

i ni n

ii

i

,,

,,

11

M

Az dekhe edek

egye z tartozó súlyok az osztályon belüli súlyátlagra normalizált értékével módosítjuk az egyinif , fitness értékeit.

3. Elvek gválasztására a koncepcióban szereplő i∆ me onseca):

uk.

o A korábbi populációk preferált egyedeit akkumláljuk az aktuális populációéval és az így kapott objektív vektor halmaz alapján számítjuk.

o Fonseca szerint a legeredményesebb, ha az előző két módszert kombináljuk és a kisebbik deltákat vesszük

az objektíveknél (költségeknél).

Megjegyzés. A fülke méret becslése és felhasználása az egyedek fitnesseinek korrigálására a multikritériumú optimalizálás egyik legfontosabb és legvitatottabb kérdésköre.

normd számításához (F

o Aktuális preferálható egyedek objektív (költség) vektoraikból számítj