Électricité et magnétisme (203-NYB)

Chapitre 4: Le potentiel électrique

Le champ électrique donne la force agissant sur une unité de charge en un point donné.

Le potentiel électrique représente l’énergie potentielle par unité de charge

4.1 Le potentiel électrique• Le potentiel électrique est défini comme l'énergie

potentielle électrique U, que possède un objet chargé par unité de charge

• Le potentiel électrique, qui se mesure en joules par coulomb (J/C), est analogue au potentiel gravitationnel. qui se mesure en joules par kilogramme (J/kg). L'unité SI du potentiel électrique est le volt (V). 1 V=1 J/C

• Lorsque la hauteur d'une particule augmente, elle se dirige l'encontre des lignes du champ gravitationnel et son énergie potentielle gravitationnelle augmente. De même, lorsqu'une charge positive se déplace à l'encontre des lignes du champ électrique, vers un point de potentiel plus élevé, son énergie potentielle électrique augmente.

• Si on les laisse libres de se déplacer, les charges positives ont tendance à se diriger vers les potentiels électriques décroissants, tout comme les masses par rapport au potentiel gravitationnel.

• Les charges négatives ont tendance à aller vers les potentiels croissants.

g E

g Eg E

g g E E

U mgy U qEy

U UV gy V Ey

m q

U mV U qV

4.1 (Exemple)

E2 Une batterie d’automobile a une capacité de nominale de 80 A·h qui représente la charge qu’elle peut faire passer entre ses deux bornes dans un circuit extérieur. (1 A·h = 1 (C/s)·h) (a) Quelle charge totale (en coulombs) peut fournir la batterie? (b) Quelle énergie peut-elle fournir? (c) Pendant combien de temps cette batterie pourrait-elle alimenter une ampoule de 60 W?

5

5 5 6

625

19

6

) 80 80 3600 288000 2.88 10

) 2.88 10 12 2.88 10 12 3.46 10

3.46 102.16 10

1.6 10

3.46 10) 43250 12

80

Ca q A h s C C

sJ

b U q V C V C JC

JU eV

J eV

U J Uc t s h car P

P J s t

4.1 Relation entre potentiel et travail extérieur.• La variation de l’énergie potentielle est égale

au travail effectué par la force extérieure.

• Ce sont les variations de potentiel qui ont de l'importance, et non les valeurs de VA et VB. On peut donc choisir comme point de référence de potentiel nul un point commode, l'infini par exemple.

• Le potentiel électrique en un point quelconque est le travail extérieur nécessaire pour déplacer une unité de charge positive, à vitesse constante, du point de potentiel nul jusqu'au point considéré.

• La force extérieure est opposée à la force électrique et le travail extérieur est le négatif du travail fait par la force électrique Wc.

Ext

Ext

A

c

c E

E

BV U q

U W

W W

E s V V

qE s

qE

W

s

qE

F

sF s

qE

s

s

EF

Champ électrique uniforme:

4.1 Relation générale entre le potentiel et le champ électrique

B

B A

A

B

A

B

A

B

A

Ext

Ext c

B

c E

A

E

E ds V V

q E ds

qE ds

qE ds

V U q

U W

W W

W F ds

F qE

extF

Comme le champ électrique est conservatif dans une situation électrostatique, la valeur de cette intégrale de ligne dépend uniquement des points de départ et d'arrivée A et B, et non du trajet suivi.

Champ électrique non-uniforme:

4.2 Le potentiel et l'énergie potentielle dans un champ électrique uniforme

B B

B A

A A

V V V E ds E ds E s

V(x)

-Ex

x

( )

( )

0

B A

B

A

V V E s Ei xi yj Ex

E Ei

s xi yj

V x Ex

V V x

V

• Dans un champ uniforme, le potentiel décroît linéairement avec la distance le long des lignes de champ.

• Les lignes de champ sont orientées des potentiels les plus élevés vers les potentiels les moins élevés.

• Si d est la valeur absolue de la composante du déplacement parallèle ou antiparallèle au champ: V Ed

4.2 (suite) Les équipotentielles• Une équipotentielle est une surface qui

joint les points de même potentiel.

• Les équipotentielles sont analogues aux courbes de niveau sur une carte topographique.

• Dans le champ électrique uniforme les surfaces équipotentielles sont des plans.

• Les lignes de champ électrique sont perpendiculaires aux équipotentielles et sont orientées des potentiels élevés vers les potentiels plus faibles.

• Le déplacement d'une particule le long d'une équipotentielle ne demande aucun travail.

0dV E ds E ds

4.2 (suite) Les charges en mouvement• Le signe de ΔK dépend du signe de q et du signe de

ΔV. Par exemple, si q > O et si la charge se déplace vers les potentiels décroissants (ΔV < O), elle va gagner de l'énergie cinétique.

• Pour mesurer l'énergie des particules élémentaires, comme les électrons et les protons, on utilise souvent une unité appelée l'électronvolt (eV), qui n'est pas une unité SI.

constante

0

E K U

K U

K U q V

191 1.602 10eV J

Question: Un proton (masse = mp, charge +e) et un deutéron (masse = 2mp, charge = +e) sont initialement au repos et sont accélérés par la même

différence de potentiel V. Lequel des énoncés suivants concernant lespropriétés finales des deux particules est correct ?

a) Elles ont la même vitesse.

b) Elles ont la même quantité de mouvement.

c) Elles ont la même énergie cinétique.

d) Elles ont reçu la même impulsion.

4.2 (Exemple)

2 22 2 31 6 6 191 1

2 2 2 21 1 12 2 2

2 2

34

9.11 10 3 10 8 10 1.6 10

156

156)

car co

3 105.

nstante

) 22 10

f i f i f

f

i

ia V U q

U K K K mv mv m v v E K

m Volts

i N C

U

Vb E i

s

V E s Ei si

v e

i

E

v

s

+

+

+

+

+

_

_

_

_

_

ee

E20 Un électron se déplace parallèlement à la direction d’un champ électrique uniforme. Sa vitesse initiale est de 8×106 m/s et sa vitesse finale, après avoir parcouru une distance de 3 mm dans le sens des x positifs, est égale à 3×106 m/s. (a) Quelle est la différence de potentiel entre les deux point? (b) Quel est le module du champ électrique?

AVBV

E

s

iv

fv

4.3 Le potentiel et l’énergie potentielle de charges ponctuelles

• Puisqu'à chaque valeur de r correspond une seule et unique valeur de les équipotentielles de cette fonction potentiel sont des surfaces sphériques centrées sur la charge.

2

2

2

cos

cos

&

B

B A

A

A

BB

AA

B

B A

V V E ds

E ds

kQ kQ kQkQ r dr

r r r

QEds

ds dr

QE k

r

r r r

Edr k dr

k

r

QV

r

ds

dr

Ar

Br

4.3 (suite) Le potentiel d’un système

de charges ponctuelles ii

i

QV V k

r

4.3 (Exemple)

30o

50o

x

y 1 4q C

2 6q C

1 7r cm

2 5r cm

6 69 91 2

1 2

6 3

0,0 ,

4 10 6 10) (0,0) 9 10 9 10 566

0.07 0.05

) 2 10 566 10 1.13

566 0 566ext

final initial

q qa V k k kV

r r

b W U q V J

V V V V V kV kV

E31 Deux charges ponctuelles de -4 μC et +6 μC sont situés comme l’indique la figure ci-contre. (a) Quel est le potentiel à l’origine? (b) Quel est le travail extérieur nécessaire pour amener une charge de 2 μC à vitesse constante depuis l’infini jusqu’à l’origine?

4.3 (suite) L’énergie potentielle de charges ponctuelles

• L'énergie potentielle du système formé par deux charges est le travail extérieur qu'il faut fournir pour amener les charges de l'infini jusqu'à la distance r sans variation d'énergie cinétique.

• Lorsque les deux charges sont de même signe, leur énergie potentielle est positive et il faut fournir un travail positif pour réduire la distance qui les sépare et vaincre leur répulsion mutuelle. Lorsque les charges sont de signes

opposés, le travail extérieur est négatif.• Lorsque l'énergie potentielle est négative, il faut fournir un travail extérieur

pour séparer les charges.

• i <j pour ne pas compter deux fois les même paires de charges et éviter i=j

1 212

12

2 charges:

n charges: i jij

i j i j ij

q qQ qQU qV V k U k U k

r r r

q qU U k

r