Gabriela Cone 90

VIII.1.3. Legea circuitului magnetic în prezenţa magnetizaţiei temporale a. Curenţii electrici macroscopici şi intensitatea câmpului magnetic Curenţii electrici macroscopici se numesc curenţi liberi, iar cei care formează bucle de curent microscopice în atomi şi molecule, caracterizate prin moment magnetic, se numesc curenţi legaţi. Astfel, în prezenţa substanţei, vom adăuga la densitatea de curent electric de conducţie J densitatea de curent legat mJ , adică ( ) mm JJJJB 000 μ+μ=+μ=×∇ . (176) Notăm contribuţia substanţei (a curenţilor legaţi) prin mJM =×∇ , (177) unde M este magnetizaţia, egală cu momentul magnetic al buclelor de curent microscopice din unitatea de volum de substanţă. Astfel, MJB ×∇μ+μ=×∇ 00 , sau

.0

JMB=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

μ×∇

Notăm cu

MBH −μ

=0

, (178)

vector pe care îl vom numi intensitatea câmpului magnetic. Astfel, legea circuitului magnetic devine JH =×∇ . (179) Observăm că în cazul substanţei 0=∇B nu implică neapărat şi 0=∇H . Intensitatea câmpului magnetic H este legată doar de densitatea de curent macroscopic J , în timp ce inducţia magnetică B este legată si de densitatea de curent microscopic. b. Forma generală a legii circuitului magnetic Rescriem legea circuitului magnetic total evidenţiind contribuţia substanţei la cele două câmpuri electric şi magnetic

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

ε+×∇+μ=×∇tP

tEMJB 00

sau

tDJH∂∂

+=×∇ . (180)

Electricitate şi magnetism, Lecţia 12 91

Forma integrală a legii circuitului magnetic (180) se scrie

∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅∂∂

μ+⋅∂∂

με+⋅×∇μ+⋅μ=⋅SSSSC

StPS

tESMSJlB ddddd 00000 .

Dar, ∫∫∫ ⋅μ=⋅×∇μ

CS

lMSM dd 00 ,

astfel că

∫∫∫∫∫ ⋅μ+⋅μ=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

μμ

SSC

SDt

SJlMB ddddd 00

00

sau

∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅SSC

SDt

SJlH ddddd ,

pentru medii în repaus. VIII.2. Legea de material între vectorii B , H şi M Putem rescrie legea de material (178) ( )MHB +μ= 0 , astfel încât să evidenţiem contribuţia la inducţia magnetică a curenţilor electrici microscopici scoţând factor comun forţat termenul H0μ adică

( )HHMHHHB mr χ+μ=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +μ=μμ=μ= 11 000 , (181)

unde HM

m =χ este susceptivitatea magnetică. Aceasta este o mărime scalară care

arată contribuţia curenţilor electrici microscopici din substanţă la valoarea permeabilităţii magnetice relative rμ . La fel ca şi susceptivitatea μ mχ poate fi un scalar sau un tensor (în mediile anizotrope). În mediile neliniare ( )Hfm =χ , iar în cazul substanţelor paramagnetice,

0>∂

∂=χ

H

Mm , în cazul celor diamagnetice 0<χm , adică B este antiparalel cu

H . La feromagnetice şi 0>χm 1>>χm relaţia dintre modulele vectorilor M şi H are forma unei curbe de histerezis. Aplicaţiile moderne utilizează materiale neomogene, anizotrope sau neliniare.

Gabriela Cone 92

VIII.3. Condiţiile la limită pentru vectorii câmp magnetic a. Condiţia la limită pentru vectorul H Pentru a găsi condiţia la limită a vectorului intensitate câmp magnetic din legea circuitului magnetic considerăm situaţia din figura 77, în care t şi n sunt versorii direcţiilor tangentă şi respectiv normală la planul tangent la suprafaţa de separaţie. Versorul 0n este tangent la suprafaţa de separaţie a celor două medii şi perpendicular pe planul format de versorii t şi cu n . Astfel, ntn ×=0 .

Fig. 77

Scriem legea circuitului magnetic

∫∫∫∫∫ ⋅∂∂

+⋅=⋅CC SSC

SnDt

SnJlH ddd 00

şi trecem la limita . În acest caz, 0→Δh

( ) lnkSnJlHHtCS

hΔ⋅=⋅=Δ−⋅ ∫∫→Δ

000

21 dlim ,

unde k este densitatea liniară de curent electric de pe suprafaţa de separaţie fiind dat de sarcinile electrice care ajung pe această suprafaţă prin trecerea la limită. În final, ( ) 021 nkHHt ⋅=−⋅ . (182) adică componenta tangenţială a vectorului intensitate câmp magnetic este discontinuă la suprafaţa de separaţie a două medii cu o cantitate egală cu proiecţia pe normala la suprafaţa de separaţie a vectorului densitate liniară de curent. b. Condiţia la limită pentru vectorul B Pentru condiţia la limită a vectorului inducţie magnetică scriem legea lui Gauss pentru suprafaţa din figura 78, ∫∫

Σ

=⋅ 0d0 SnB .

şi trecem la limita . În acest caz din suprafaţa cilindrului obţinut prin rotaţie rămân doar bazele cu suprafaţa

0→ΔhSΔ şi legea lui Gauss devine

Electricitate şi magnetism, Lecţia 12 93

( ) 012 =Δ−⋅ SBBn , sau ( ) 012 =−⋅ BBn , (183) deoarece . 0≠ΔS Am obţinut că componenta normală la suprafaţa de separaţie a două medii a vectorului inducţie magnetică este continuă.

Fig. 78

VIII. 4. Ecuaţiile lui Maxwell pentru medii în repaus În concluzie, ecuaţiile lui Maxwell pentru medii în repaus se scriu în modul următor: a. Forma integrală (1) Legea inducţiei electromagnetice,

∫∫∫ ⋅∂∂

−=⋅CSC

StBlE dd ;

(2) Legea circuitului magnetic,

∫∫∫∫∫ ⋅∂∂

+⋅=⋅SSC

StDSJlH ddd ;

(3) Legea fluxului electric, ∫∫∫∫∫

Σ

ρ=⋅Σ V

VddSD ;

(4) Legea fluxului magnetic, 0d =⋅∫∫

Σ

SB

şi expresia forţei electromagnetice, ( )BvEqF ×+= . b. Forma diferenţială (1) Legea inducţiei electromagnetice,

tBE∂∂

−=×∇ ;

(2) Legea circuitului magnetic,

Gabriela Cone 94

tBJH∂∂

+=×∇ ;

(3) Legea fluxului electric, ρ=∇D ; (4) Legea fluxului magnetic, 0=∇B . Se adaugă aceeaşi expresie a forţei electromagnetice. IX. Ecuaţiile Maxwell-Dirac Asimetria ecuaţiilor lui Maxwell în privinţa surselor celor două câmpuri electric şi magnetic, în sensul că sursele de câmp electric sunt sarcina electrică şi variaţia în timp a inducţiei câmp magnetic, iar sursele de câmp magnetic sunt curenţii electrici şi variaţia în timp a inducţiei câmpului electric a stârnit interesul multor fizicieni. Aceştia au încercat să arate că ar trebui să existe şi sarcini magnetice care să genereze câmp magnetic, ca şi curenţi magnetici care să genereze câmp electric. În acest sens, P.A.M.Dirac a elaborat în anul 1931 o teorie a câmpului electromagnetic cu ecuaţii simetrice (P.A.M.Dirac, Proc. Roy. Soc., A133, 60, (1931)) în care a postulat existenţa sarcinilor magnetice şi a curenţilor magnetici. El a numit sarcina magnetică liberă monopol magnetic. Tot ele a reluat în anul 1948 toria şi a dezvoltat-o (P.A.M.Dirac, Phys. Rev., 74, 817, (1948)) Monopolul magnetic este analogul magnetic al sarcinii electrice, adică este o sursă de linii de câmp magnetic. Sarcina magnetică a unui monopol se notează prin g , astfel că, prin analogie cu expresia vectorului intensitate câmp electric generat de o sarcină electrică, expresia vectorului inducţie magnetică a câmpului generat de un monopol într-un punct definit de vectorul de poziţie r în raport cu monopolul este

rrgB 3

0

4πμ

= . (184)

La fel ca şi sarcina electrică monopolul magnetic are două forme de existenţă, pozitiv şi negativ. Prin convenţie, liniile de câmp magnetic ies din monopolul pozitiv şi intră în cel negativ. Dirac a introdus şi o condiţie de cuantificare pentru monopolul magnetic pornind de la cuantificarea momentului cinetic ataşat acestuia. La fel ca şi în cazul

spinului electronului care este un multiplu întreg de 2h , Dirac a scris că

20

2hn

cgqLz =ε

−= , (185)

Electricitate şi magnetism, Lecţia 12 95

unde , iar K,,, 210 ±±=n eq −= . Prin urmare, dacă 1=n obţinem sarcina magnetică elementară (monopolul magnetic) egală cu

10197

34

0

02

106210331776021108

10054122

−−−

−

⋅≅⋅⋅⋅π

⋅=

μ=

ε= ,

,,

eecg hh Am (186)

Raportul dintre sarcina elementară magnetică şi cea electrică se poate exprima cu ajutorul a constantelor fundamentale în felul următor

920 106351

84

8⋅=

πα=

πε⋅

π= ,

ce

cceg h m/s,

unde 137

14 0

2

=πε

=αc

eh

este constanta de structură fină care este o măsură a

interacţiunii electromagnetice. Dacă calculăm raportul dintre forţa de atracţie a doi monopoli de semn opus şi respectiv două sarcini electrice elementare de semn opus aflate la aceeaşi distanţă obţinem valoarea egală cu

3022

2

2

200 ≅=

με==

ecg

eg

eEgB

FF

e

m .

Observăm că forţele de interacţiune dintre monopolii magnetici sunt mai mari decât cele dintre sarcinile electrice de 30 ori. Acest rezultat poate fi cauza faptului că la un magnet nu se pot separa cu mijloace obişnuite cei doi poli. S-au căutat dovezi experimentale pentru existenţa monopolilor magnetici. Energia de interacţiune dintre doi monopoli magnetici a fost calculată ca fiind de ordinul a 1016GeV, ceea ce corespunde la o masă de mişcare a acestora de ordinul

, valoare încă nerealizabilă în laborator (în acceleratoarele construite). Din acest motiv s-a căutat izolarea unor monopoli magnetici naturali, ceea ce nu s-a realizat până în prezent. Dar, nu există dovezi că nu s-ar putea realiza acest lucru.

216 GeV10 c/

În viitor, în funcţie de reuşita izolării de monopoli magnetici va evolua şi teoria câmpului electromagnetic. Dacă se vor obţine monopolii magnetici ecuaţiile lui Maxwell devin simetrice în raport cu sarcinile şi curenţii electrici şi magnetici, iar dacă se va demonstra că nu există monopoli magnetici va trebui să se formuleze un nou principiu care să precizeze că în natură există o asimetrie în privinţa sarcinilor electrice şi a celor magnetice. Pentru a scrie ecuaţiile de câmp electromagnetic Dirac a introdus densitatea de sarcină magnetică (de monopol magnetic) mρ şi densitatea de curent magnetic mJ scriind ecuaţiile de câmp simetrice în raport cu sarcina electrică şi cea magnetică sub formă diferenţială, adică

tBJE m ∂∂

−−=×∇ ; (187)

Gabriela Cone

96

t

DJH∂∂

+=×∇ ; (188)

ρ=∇D ; (189) mB ρ=∇ . (190). Din legea lui Gauss pentru câmpul magnetic (190) integrată pe un volum

închis de suprafaţa obţinem că fluxul inducţiei magnetice prin suprafaţa este egal cu monopolul magnetic cuprins în volumul V , V Σ Σ

gSB m =ρ=⋅∫∫ ∫∫∫Σ

VV

dd . (191)

Am obţinut că liniile de câmp magnetic pleacă şi intră în sarcinile magnetice.