ÉLECTROSTATIQUE | MAGNÉTOSTATIQUE | ÉLECTRODYNAMIQUE | ÉLECTROCINÉTIQUE | OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE | OPTIQUE ONDULATOIRE

L'electrodynamique est la partie de la physique qui traite de l'action dynamique des courants électriques (Larousse)

Jusqu'ici nous nous sommes concentrés sur l'interaction gravitationnelle et la grandeur

caractéristique de la matière, appelée "masse", qui lui est associée. Nous avons évoqué l'interaction électromagnétique, en analysant des phénomènes macroscopiques, comme le frottement, la cohésion, l'élasticité, les forces de contact, etc. Maintenant nous nous penchons sur les forces électroniques et la caractéristique de la matière, appelée "charge", qui leur est associée. L'interaction électromagnétique lie la matière, sous toutes ses formes observables. C'est elle qui fait tenir les électrons au noyau dans l'atome, qui fait tenir ensemble les atomes dans les molécules, les molécules dans les objets et même votre nez à votre visage (eh oui... nous ne tenons pas à grand chose.. ).

La "charge" produit la "force électrique" ou "force de Coulomb" et nous commençons seulement à comprendre cette force. La charge est une notion fondamentale, qui ne peut pas être décrite en termes de concepts plus simples et plus fondamentaux. Nous la connaissons par ses effets et malheureusement pas par ce qu'elle est (c'est idem pour la masse rappelons-le aussi). 

L'expérience a montré aussi que bien que la charge ait comme la masse une propriété additive, elle comporte cependant aussi des valeurs négatives (et non exclusivement positive comme l'est à priori la masse). Ainsi, dans le langage actuel et comme l'expérience le confirme, deux charges identiques se repoussent et deux charges différentes s'attirent.

Voyons maintenant la force qui est associée à la charge :

Force électrique Il a expérimentalement été établi par Coulomb qu'une particule témoin subit une force d'une

intensité proportionnelle à sa charge q, lorsqu'elle est placée au voisinage d'une ou plusieurs

charges électriques , dans un milieu de permittivité (permittivité au champ électrique bien sûr...) donnée par (sous forme vectorielle et non relativiste) :

  (1)

où  est le vecteur position d’une charge témoin.

En d'autres termes, deux corps chargés s'attirent ou se repoussent selon une force directement proportionelle à leur charge et inversément proportionelle au carré de la distance qui les sépare.

Dans le cas d'un système à deux particules séparées d'une distance r, nous avons la même relation simplifiée et nous retrouvons la forme plus commune de la force électrique ou "force de Coulomb" telle qu'elle est donnée dans la plupart des ouvrages (sous forme scalaire et non relativiste) :

  (2)

Remarques : 

R1. Fréquemment, cette dernière relation est définie sous le nom de "loi de Coulomb" dans la plupart des écoles et admise comme non démontrable. Au fait, il n'en est rien ! Cette relation peut se démontrer comme nous le verrons lors de l'étude de la physique quantique des champs (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs) en utilisant l'équation de Klein-Gordon dans le contexte d'une champ de potentiel à symétrie sphérique (démonstration effectuée par Yukawa). 

R2. Pour la forme relativiste de la loi de Coulomb, le lecteur se reportera au chapitre traitant de la relativité restreinte (voir chapitre du même nom) où il est démontré que (forme vectorielle) :

  (3)

La permittivité dans le vide est elle donnée expérimentalement par :

  (4)

et relativement au milieux considéré, nous définissons une permittivité relative qui permet plus facilement de déterminer les propriétés d'un matériau par rapport au champ électrique tel que :

  (5)

Nous définissons également le rapport :

  (6)

appelé "constante diélectrique".

Le facteur entre parenthèses ne dépend que de la distribution des charges dans l'espace et de la permittivité du milieu considéré. Puisque sa valeur varie d'un endroit à l'autre et dépend du vecteur position de la charge témoin, il forme un ensemble de vecteurs, dont la propriété est celle d'une multitude de lignes de champs électriques d'où l'utilisation du terme "champ électrique". 

Chacun des éléments de cet ensemble porte donc lenom de "champ électrique" , au point ,

dans la distribution de charges :

    (7)

Les ingénieurs utilisent souvent une autre notation qui permet de caractériser uniquement la géométrie du champ et ce indépendamment du milieu et introduisent le concept de "champ de déplacement":

nous retrouverons ce vecteur dans le chapitre d'Electrodynamique lors de notre synthèse des équations de Maxwell.

La force Coulombienne, agissant sur la charge témoin q, s'écrit alors de façon conventionnelle: 

  (8)

POTENTIEL ÉLECTRIQUE

Soient deux point A et B dans une région de l’espace où il existe un champ électrique  et soit un chemin reliant ces deux points, alors dans le cas particulier où la source d'un champ

 est une sphère ou un corps ponctuel et que nous posons une charge à son voisinage nous avons pour le travail effectué par la force pour déplacer la charge du point A au point B :

  (9)

Nous définissons ainsi la "différence de potentiel" ou simplement le "potentiel" donné par :

  (10)

et donc :

  (11)

Remarques :

R1. Le potentiel est souvent appelé "tension" par les électriciens, électrotechniciens ou autres ingénieurs. Parfois par abus de la langue anglophone le terme "voltage" est ensuite utilisé par référence à l'unité de mesure du potentiel qui est le "Volt" noté [V].

R2. La différence de potentiel peut aussi bien se faire entre deux bornes chargées de manières opposées (+,-) qu'entre deux bornes (+,neutre) ou encore (-,neutre). Ces deux derniers cas représentent typiquement la configuration utilisé par les trains, trams, l'orage et presque tous les appereils électroménager

Démontrons maintenant dans le cadre le plus général qui soit que le champ vectoriel stationnaire

dérive d'un champ de potentiel :

Soit une charge Q repérée par rapport à un référentiel par le vecteur . Alors en chaque point de

l’espace il existe un champ  tel que:

    (12)

Développons cette expression:

  (13)

Si   est un champ de potentiel stationnaire alors, il doit exister un potentiel de ce champ qui satisfasse :

  ; ;   (14)

Regardons si le potentiel existe pour un champ de Coulomb.

Nous devons alors avoir pour le champ en x:

  (15)

d’où:

  (16)

et si nous effectuons le même développement pour chaque composante, nous obtenons également le même résultat. Donc le potentiel est un champ scalaire et non vectoriel comme l'est le champ électrique !

est appelé dans le cas d'un champ de Coulomb "potentiel coulombien" et est noté U.

Comme nous pouvons le constater par l’expression de  , est une constante arbitraire, qui impose dans le cas d'absence de charges que:

  (17)

Ce qui nous donne finalement: 

  (18)

Ce qui donne pour toutes les composantes :

    (19)

que nous notons plus brièvement:

  (20)

Remarque : Les mêmes développements et résultats (et ceux qui vont suivre) sont applicables en ce qui concerne le champ de potentiel gravitationnel. Cependant il est rare qu'il soient effectués dans la littérature ou les écoles car l'être humain ne contrôle pas le champ gravitationel avec une facilité et une intensité équivalente à celle du champ électrique.

Indépendance du chemin

Démontrons maintenant que la différence de potentiel entre deux points A et B ne dépend pas du chemin parcouru tel que nous l'avons fait pou le champ de potentiel gravitationnel dans le chapitre de mécanique.

Soit un chemin reliant deux points A et B et un champ  et faisons en sorte d'exprimer le champ en x, y et z par rapport à une seule variable t (qui n'a rien avoir avec le temps...) qui rendrait compte de sa variation lors d'un déplacement quelconque entre ces deux points:

  (21)

Cette dernière expression montre bien que U est indépendant du chemin quelle que soit la manière dont nous paramétrons celui-ci. 

Le champ de Coulomb est donc un "champ conservatif". En effet, si nous considérons un chemin fermé  et soit A et B deux points confondus du chemin alors la différence de potentiel est sera nul.

ÉQUIPOTENTIELLES ET LIGNES DE CHAMP

Nous pouvons maintenant à partir de ce que nous avons établit, définir les "équipotentielles" et les "lignes de champ".

Soit un champ de Coulomb défini par rapport à un référentiel. Alors à chaque point (x,y,z) de

l’espace, nous pouvons associer un vecteur champ électrique  ainsi qu’un potentiel électrique . 

Défintion : Nous définissons les "lignes de champ" comme étant une famille de courbes pour

lesquelles le vecteur est tangent et constant en chaque point et les "équipotentielles"

comme étant des lignes pour lesquelles le potentiel est aussi constant. 

Dans ce cas, et c'est ce que nous allons démontrer, toutes les lignes de champ sont perpendiculaires à toutes les équipotentielles.

Démonstration:

Utilisons la propriété suivant de conservation du champ de coulomb pourla démonstration  :

  (22)

Comme nous sommes en présence d'un champ électrique, celui-ci dérive donc d'un potentiel comme nous le savons. Ceci implique que si le champ n'est pas nul le potentiel ne l'est également pas. Donc, dans l'intégrale curviligne:

    (23)

un des termes est nul ! Ce n'est pas le champ électrique puisqu'on est présence d'un, ce qui discrédite le potentiel U et comme la charge se déplace  n'est pas nul non plus. Écrivons alors l'intégrale curviligne d'une autre manière:

  (24)

d'où:

    (25)

nous pouvons donc conclure que les équipotentielles sont bien perpendiculaires aux lignes de  champ électrique et inversement. C'est ce qu'il fallait démontrer.

Voici les exemples de lignes de niveaux comprenant lignes de champs et lignes de potentielles obtenu à l'aide de Maple (nous montrerons lors de notre étude des équations différentielles comment obtenir les fonctions mathématiques des lignes de champs) :

A gauche : un seule charge - A droite : deux charges de signe égal

A gauche : deux charges de signes opposés - A droite : quatre charges de signe égal  (26)

Remarque : Mis à part avec les charges opposées, nous rappelons que les mêmes résultats sont appliquables pour les masses avec le champ gravitationnel.

Deux applications de ces résultats sont très importants (pour lesquels nous nous limiterons à l'études des propriétés les plus importantes) :

1. La détermination des lignes de champs et équipotentielles pour un fil rectiligne infini tel que nous pouvons en approximation en considérer dans les circuits électriques ou les lignes hautes tensions aériennes (afin de déterminer l'influences des champs des fils avec leur environnement - cette étude fait partie du domaine de l'électrodynamique de l'ingénieur que nous appelons la CEM pour "Compatibilité Électromagnétique").  Les résultats pourrant aussi être utilisés pour déterminer la "tension de pas" pour certains systèmes rectilignes qui détermine pour une distance donnée, le potentiel par mètre pour lequel un mammifère peut être tué par électrochoc proche d'un tel fil. Une extensions (sur laquelle je ne souhait pas trop m'attarder bien que le sujet soit passionnant mais très chaud) est aussi l'influence d'un tel type de potentiel sur le fonctionnement du cerveau humain dans le cas de l'usage des téléphones portables (atennes émittrices d'un potentiel) ou d'habitations proche de lignes hautes tensions....

Remarque : Nous déterminerons dans le chapitre traitant du champ magnétique de la loi de Biot et Savart qui donne le champ magnétique pour un tel fil parcouru par une intensité de courant donnée.

2. La détermination des lignes de champs et équipotentielles du dipôle électrique qui a une énorme importance en chimie comme nous le verrons lors des développements. Nous verrons également quelle est la dynamique de celui-ci lorsqu'il est plongé dans un champ électrique uniforme l'énergie d'interaction entre dipôles (comme c'est souvent le cas en chimie).

FIL RECTILIGNE INFINI

Soit un vecteur unitaire de , nous avons :

  (27)

En faisant usage du concept de densité linéique de charges tel que nous l'avons défini dans le chapitre traitant des principes de la physique dans la section de mécanique, nous avons :

  (28)

Considérons une ligne infinie de section négligeable, et portant une charge linéique continue . Le but est donc de calcul le champ électrique et le potentiel en tout point M de l'espace extérieur à

cette ligne afin de connaître les influences des charges de cette ligne sur son environnement en ne considérant que l'influence du champ électrique (si les charges étaient en mouvement il faudrait également prendre en compte l'influence du champ magnétique ce que nous ferons dans le chapitre consacré à ce champ).

Pour cela, la méthode consiste à découper la ligne en de petits éléments de ligne dl, chacun de ces éléments portant une charge dq. Le champ créé par la charge en P au point M à distance x et de projection orthogonale H sur la ligne est :

  (29)

L'astuce consiste maintenant à prendre le symétrique P' de P par rapport à H (la projection orthogonale de M sur le fil) pour lequel nous avons identiquement :

  (30)

Le champ total est donc :

  (31)

Or, nous avons :

  (32)

Donc :

  (33)

Comme nous pouvons nous en douter, cette dernière relation montre bien que le champ est orthogonal à la ligne (au fil…).

La norme de est :

  (34)

Cette relation comporte 3 variables dépendantes r,dl,x. La norme du champ total en un point est

donc la somme des normes sur l'ensemble de la longueur du fil puisque tous les vecteurs ont même direction.

Pour effectuer ce calcul, nous allons effectuer un changement de variable, et mettre r,dl,x en

fonction de l'angle entre la ligne et le vecteur . Dans le triangle rectangle HMP :

  (35)

si nous prenons l'origine des z en H. Nous avons aussi :

  (36)

et :

  (37)

d'où :

  (38)

L'intégration est facile, mais il faut faire attention aux bornes. Nous devons intégrer sur une moitié de ligne, donc entre 0 et :

  (39)

et donc :

  (40)

Le potentiel se déduit aisément en prenant la primitive de E :

  (41)

La constante est indéterminée puisque lorsque r tend vers l'infini, U tendant vers zéro conduit à une constant infinie. Cette indétermination est due essentiellement à l'approximation de la ligne infinie.

DIPÔLE ÉLECTRIQUE RIGIDE

Une disposition très intéressant de charges est celle constituant un "dipôle" électrique. Elle consiste en deux charges égales et opposées +q,-q séparées par une très petite distance. Nous allons chercher à déterminer le potentiel et le champ électrique en un point M de l'environnement du dipôle.

Pour déterminer cela, considérons une charge quelconque en un point et un point M très

éloigné de . Prenons un repère quelconque centré en O :

  (42)

Le potentiel créé au point M par la charge s'écrit :

  (43)

Dans le triangle , la distance peut être écrite selon le théorème du cosinus :

  (44)

Le potentiel devient :

  (45)

ou encore :

  (46)

A très grande distance, r devient très supérieur à , la quantité :

  (47)

tend vers zéro. Nous pouvons donc effectuer un développement de MacLaurin de au voisinage de (cf. chapitre sur les Suites Et Séries). Pour ne pas alourdir le calcul, nous nous limiterons à l'ordre deux en r :

  (48)

donc :

  (49)

En ne gardant que les termes du second ordre en r :

  (50)

Le potentiel devient :

  (51)

Nous avons gardé dans l'expression du potentiel trois termes. Le terme est le potentiel créé par une charge qui se trouverait en O. Autrement dit, à l'ordre zéro, le potentiel crée par une charge située en un point proche de O est identique au potentiel créé par une charge qui se trouverait en

O. Les termes sont des termes correctifs, à l'ordre un et à l'ordre deux respectivement.

Nous remarquons que ces deux termes varient en , donc décroissant plus vite que le premier. Ces deux termes sont donc plus efficaces à plus petite distance.

Nous voyons que les termes font intervenir la quantité . Cette quantité est ce que nous définissons comme étant le "moment dipolaire" du dipôle électrostatique:

  (52)

Remarque : Le moment dipolaire est exprimé en Coulomb par mètre mais par mesure de commodité (...) il est exprimé en Debye [D] par les ingénieurs.

Le potentiel créé à grande distance par une distribution discrète de charges s'obtient en sommant toutes les contributions individuelles :

  (53)

Ce qui peut aussi s'écrire :

  (54)

Par définition, est le terme unipolaire ou monopolaire, le terme dipolaire, quadrupolaire. Si la distribution de charge est au total nulle, comme c'est le cas d'un atome ou d'une moélcule non ionisée, seuls subsistent les contributions multipolaires.

Revenons au dipôle. Le terme monopolaire est nul, puisque la somme des charges est nulle. Si nous négligeons les termes d'ordre supérieurs à deux, il reste la contribution dipolaire. Les angles

et sont complémentaires, donc . Mais, comme , le produit

est constant. Le potentiel s'écrit alors :

  (55)

ou encore :

  (56)

où .

Rappelons que nous avons démontré :

  (57)

et comme nous l'avons vu en analyse vectorielle, le gradient en coordonnées sphérique nous amène à écrire :

  (58)

d'où :

  (59)

Pour déterminer l'équation des équipotentielles, rappelons que ces lignes (ou "surfaces" dans l'espace) s'obtiennent par la contrainte :

  (60)

d'où :

  (61)

avec .

Le champ électrique doit être par définition tangent aux lignes de champ, donc parallèle au déplacement élémentaire.

  (62)

Puisque , nous avons :

  (63)

Donc finalement il ne reste plus que :

  (64)

Qui est donc une équation différentielle qui s'intègre facilement :

  (65)

Ce qui équivaut à écrire :

  (66)

La tracé des lignes de champs et des équipotentielles donnent alors en coordonnées sphériques (ne pas oublier que la composant verticale est nulle par symétrie) :

  (67)

Bien que dans un dipôle électrique les deux charges soient égales et opposées, donnant une charge résultante nulle, le fait qu'elles soient légèrement déplacées est suffisant pour produire un champ électrique non identiquement nul. Dans les atomes, le centre de masse des électrons coïncide avec le noyau, et par conséquent le moment électrique dipolaire moyen de l'atome est nul. Mais si un champ extérieur est appliqué, le mouvement des électrons est distordu et le centre de masse des électrons est déplacé d'une distance x par rapport au noyau. L'atome est alors polarisé et devient un dipôle électrique de moment p. Ce moment étant proportionnel au champ

extérieur .

Remarque: Les molécules par ailleurs peuvent avoir un moment électrique permanent. De telles molécules sont dites "molécules polaires". Par exemple, dans la molécule HCl l'électron de l'atome d'hydrogène passe plus de temps à se déplacer autour de l'atome de chlore qu'autour de l'atome d'hydrogène. Aussi, le centre des charges négatives ne coïncide-t-il pas avec le centre des

charges positives et la molécule possède un moment dipolaire. Par contre, dans la molécule , tous les atomes sont alignés, et le moment électrique dipolaire résultant est nul par raison de symétrie.

Quand un dipôle électrique est placé dans un champ électrique, une force s'exerce sur chacune des charges du dipôle. La force résultante est :

  (68)

Considérons le cas particulier où le champ électrique est dirigé le long de l'axe des X et où le dipôle est orient parallèlement à ce champ. Si nous considérons seulement les grandeurs :

  (69)

avec a étant la distance entre les deux charges, et par conséquent :

  (70)

Ce résultat montre qu'un dipôle électrique orienté parallèlement au champ tend à se déplacer dans la direction dans laquelle le champ s'accroît (selon le gradient de celui-ci). Nous remarquons que si un le champ électrique est uniforme, la force résultant sur le dipôle est nulle.

L'énergie potentielle du dipôle est :

  (71)

Si nous utilisons la relation :

  (72)

pour décrire le champ électrique uniforme et si est l'angle entre le dipôle et le champ électrique,

le dernier facteur est juste la composante du champ parallèle à . Donc :

ou   (73)

L'énergie potentielle est minimale pour , ce qui montre que le dipôle est en équilibre quand il est orienté parallèlement au champ.

Ces applications d'un dipôle placé dans un champ électrique ont des application très importantes. Par exemple, le champ électrique d'un ion en solution polarise les molécules du solvant qui entoure les ions et elles s'orientent comme sur la figure ci-dessous :

  (74)

Dans un solvant à molécules polaires tel que l'eau, les ions d'un électrolyte en solution s'entourent d'un certain nombre de ces molécules en raison de l'interaction charge-dipôle. Ce phénomène est appelé la "solvation" de l'ion, précisément "hydratation" si le solvant est de l'eau.

Ces molécules orientées deviennent plus ou moins solidaires de l'ion, augmentant sa masse effective et diminuant sa charge effective, qui est partiellement masquée par les molécules. L'effet net est que la mobilité de l'ion dans un champ extérieur est réduite. De même, lorsqu'un gaz ou un liquide, dont les molécules sont des dipôles permanents est placé dans un champ électrique, les molécules à la suite des couples dus au champ électrique, tendent à s'aligner avec leurs dipôles parallèles. Nous disons alors que la substance a été "polarisée".

Il peut donc être intéressant de déterminer le champ électrique vectoriel produit par un dipôle plutôt que le potentiel. Le champ électrostatique crée en un point M par le doublet s'obtient en effectuant la somme vectorielle des champs créés en ce point des charges positive P et négative N, d'où :

  (75)

La distribution des charges étant invariantes par rotation autour de l'axe Oz du doublet, la

topographie est indépendante de l'angle azimutal des coordonnées sphériques. Nous pouvons la

représenter dans un plan méridien quelconque passant par l'axe NP. Le champ est donc donné par :

  (76)

Ayant :

  (77)

Vectoriellement, nous avons :

  (78)

Le produit scalaire étant la multiplication des composantes une à une, nous avons :

  (79)

d'où :

  (80)

Finalement :

  (81)

Donc par un développement limité en série de MacLaurin comme nous l'avons fait au début :

  (82)

soit en introduisant :

  (83)

Il peut être pertinent aussi de calculer l'énergie d'interaction entre deux dipôles électriques. Si

nous appelons le moment dipolaire, nous pouvons écrire :

  (84)

Si nous désignons par le moment du second dipôle et si nous utilisons la relation :

  (85)

nous trouvons que l'énergie d'interaction entre les deux dipôles est :

  (86)

Nous pouvons tirer plusieurs conclusions importantes de ce résultat. L'énergie d'interaction

est symétrique par rapport aux deux dipôles, car la permutation de et la laisse inchangée. C'est un résultat prévu. L'interaction entre deux dipôles n'est pas centrale car elle dépend des

angles que le vecteur de position ou le vecteur unitaire fait avec et .

Un atome, une molécule ou un ion, dont le moment dipolaire est nul à l'état fondamental, acquièrent un moment dipolaire sous l'action du champ électrique appliqué comme nous l'avons vu puisque les charges de signes opposées sont sollicitées dans des sens opposés. Les barycentres des charges positives et négatives ne coïncidant plus, il apparaît un "moment dipolaire induit". Dans une approximation expérimentale linéaire valable pour des champs excitateurs faibles, ce

moment dipolaire induit est proportionnel au champ appliqué , ce que nous traduisons par (il s'agit au fait d'une approximation de la relation de Langevin-Debye que nous démontrerons plus tard) :

  (87)

La quantité , dont la dimension physique est celle d'un volume, est la "polarisabilité" de l'édifice. L'interaction électrostatique dipôle-dipôle a été introduite par J.D. Van der Waal en 1873, dans le cas des molécules, afin d'interpréter les écarts réels par rapport au gaz parfaits.

Les forces de Van der Waals sont répulsives lorsque la distance entre les molécules est très faible car elles s'opposent à l'interpénétration des nuages électroniques, ce que nous exprimons en introduisant leur volume (covolume).

En revanche, elles sont attractives lorsque cette distance est suffisante. Nous attribuons cette attraction à trois types d'interaction mettant en cause des dipôles rigides ou induits :

1. Les forces entre molécules polaires (dipôles rigides), dites de W. Keesm

2. Les forces entre une molécule polaire (dipôle rigide), et une molécule polarisable (dipôle induit) dites de Debye.

3. Les forces moyennes entre les dipôles induits instantanés qui apparaissent même lorsque les molécules ne sont pas polaires, dites de F. London.

Dans ces trois cas, l'énergie électrostatique est négative (attraction) et varie comme . Pour le

montrer, calculons l'énergie d'interaction entre deux dipôles rigides, de moments dipolaires et

:

avec et   (88)

Par conséquent :

  (89)

d'où :

  (90)

Ainsi, la dépendance radiale de la force est en . Cette décroissance très rapide de la force de Van der Waals avec la distance permet d'expliquer sa très courte portée et par conséquent sont influence lorsque le milieu est suffisamment dense.

Remarque: L'interaction entre molécules polaires, de type Keesom, est rendue très importante par la présence l'atome d'hydrogène, car ce dernier, en raison de sa petite taille, interagit aussi avec les atomes des autres molécules. C'est elle qui est là l'origine de la "liaison hydrogène".

FLUX DU CHAMP ÉLECTRIQUE

Soit un champ vectoriel et S une surface appelée "surface de Gauss" dans l'espace. Si nous

divisons cette surface en un nombre N de petites surfaces dS chacune traversée par un champ  

et ayant un vecteur unitaire  perpendiculaire (cas particulier) à leur surface, nous pouvons alors former la somme:

  (91)

Lorsque N tends vers l'infini et tous les dS vers zéro, nous obtenons pour cette somme:

  (92)

La valeur de cette intégrale est appelée donne donc le flux du champ à travers la surface

S délimitée par un domaine  et où .

Dans le cas du champ électrostatique, nous écrivons :

  (93)

Cette expression définit le "flux électrique".

La question inévitable qui se pose alors est : quelle est sa signification physique ? Le flux d'un fluide est la quantité de fluide (notamment le volume) qui traverse une surface par seconde; il y alors écoulement de quelque chose. Quant au flux électrique, du point de vue classique, rien ne s'écoule, le champ électrique est déjà établi et il est statique, mais il traverse la surface. La valeur du champ électrique en tout point de l'espace est l'intensité du champ en ce point, tandis que le flux peut être considéré comme la quantité de champ qui traverse la surface S. Il y a une centaine d'années, les physiciens identifiaient le flux avec le nombre des lignes de champ traversant la surface. Mais le moins que nous puissions dire est que la vision simpliste que les lignes de champ ont une une réalité distincte et que nous pouvons les compter est trompeuse. Nous verrons en mécanique quantique des champs que celle-ci soutient qu'un courant de photons virtuels est la nature même des interactions électromagnétiques. Malgré cela, les phyisciens ne se sont pas pressés d'associer le flux des photons virtuels du 20ème siècle à l'image des ligens de champs continus du 19ème siècle. Quelle que soit sa nature, la notion de lfux est puissante et de grande utilité pratique, aussi bien en électricité qu'en magnétisme.

Comme nous le démontrons dans le cadre des équations de Maxwell (cf. chapitre d'Electrodynamique), la résolution de cette intégrale est (c'est la "loi de Gauss" ou également dit "théorème de Gauss") :

  (94)

Capacités

Comme application directe du théorème de Gauss, très utile en électronique et pour les ingénieurs, considérons une grande feuille mince et plane, portant une charge surfacique homogène et baignant dans un milieu de permittivité . Dans la région proche de son centre, le champ résultant de tous les champs des charges est normal, uniforme, constant et s'éloigne de la

feuille. Considérons une surface de Gauss en forme d'un cylindre limité par les bases

et sa surface tubulaire et symétrique par rapport la feuille. Elle enferme donc une charge . Il en résulte que :

  (95)

et comme et , nous trouvons :

  (96)

Finalement, le champ électrique d'une grande feuille chargée plane et mince est :

  (97)

Si nous mettons face à face deux plaques identiques mais avec des charges opposées, la somme algébrique donnera bien évidemment :

  (98)

A l'exception des extrémités, où l'effet de bord est important, le champ global est partout la somme vectorielle des champs uniformes produits par les deux couches minces opposées. Nous appelons un tel système un "condensateur plan et parallèle".

Le résultat est aussi remarquable car il est indépendant de la distance d entre les plans. Le calcul du potentiel électrique y est donc simplifié. Soit :

  (99)

Ainsi, la capacité du condensateur plan et parallèle vaut donc :

  (100)

LA RIGIDITÉ DIÉLECTRIQUE

La "rigidité diélectrique" d’un milieu isolant représente la valeur maximum du champ en

que le milieu peut supporter avant le déclenchement d’un arc électrique (donc d’un court-circuit). Pour un condensateur utilisé en électronique, si nous dépassons cette valeur, nous observons la destruction de l’élément. Cette valeur maximale de la tension appliquée aux bornes,

est appelée "tension de claquage" du condensateur. Nous pouvons définir la rigidité du milieu comme étant :

  (101)

Exemple:

Pour l’air, on trouve dans les tables la valeur :

Lorsque nous parlons de rigidité diélectrique nous parlons aussi du diélectrique qui est un isolant ou une substance qui ne conduit pas l'électricité et qui est polarisable par un champ électrique. Dans la plupart des cas, les propriétés du diélectrique sont dues à la polarisation de la substance. Lorsque le diélectrique (dans notre cas, l'air est le diélectrique) est placé dans un champ électrique, les électrons et les protons de ses atomes se réorientent et, dans certains cas, à l'échelle moléculaire, une polarisation est induite (comme nous l'avons vu lors de notre étude des dipôles). Cette polarisation engendre une différence de potentiel, ou tension, entre les deux bornes du diélectrique; celui-ci emmagasine alors de l'énergie qui devient disponible lorsque le champ électrique est supprimé. L'efficacité d'un diélectrique est sa capacité relative à emmagasiner de l'énergie comparée à celle du vide. Elle s'exprime par la permittivité relative, déterminée par rapport à celle du vide. La force diélectrique est la capacité d'un diélectrique à résister aux champs électriques sans perdre ses propriétés isolantes. Un diélectrique efficace libère une grande partie de l'énergie qu'il a emmagasinée lorsque le champ électrique est inversé.

ÉNERGIE POTENTIELLE ÉLECTROSTATIQUE

Considérons deux charges . La première est supposée au repos et fixe la deuxième est

amenée de l'infinie à une distance a de (le même raisonnement a été applicé pour le champ gravitationnel dans le chapitre de mécanique classique). Supposons que les deux charges soient

de même signe. Comme ont tendance à se repousser mutuellement, il faut fournir une

énergie potentielle pour approcher (infiniment lentement) de . Le travail dW la force électrostatique en un point quelconque est par définition :

  (102)

L'énergie potentielle du système est :

  (103)

car F est résistant. Donc :

  (104)

d'où simplement (l'énergie potentielle en un point) :

  (105)

L'avant dernière relation peut aussi se mettre sous la forme :

  (106)

Remarque: Il existe aussi rappelons-le une relation entre l'énergie est le gradient de la force donnée qui découle simplement de la définition du travail :

  (107)

Les aimants sont connus depuis l'Antiquité (sans pour autant qu'on savait qu'elle était l'origine

de leurs propriétés) sous le nom de "magnétite", pierre trouvée à proximité de la ville de Magnesia (Turquie). C’est de cette pierre par ailleurs que provient le nom actuel de champ magnétique. Les chinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants différentes de celles des particules chargées, il y a plus de 1000 ans, pour faire des boussoles. Elles étaient constituées d’une aiguille de magnétite posée sur de la paille flottant sur de l’eau contenue dans une récipient gradué.

Au même titre que le champ électrique, une bonne/meilleure compréhension de l'origine de ce champ ne peut se faire que par l'intermédiaire de théories modernes comme la physique quantique ondulatoire ou la physique quantique des champs. Le lecteur débutant devra donc prendre son mal en patience avant d'avoir les connaissances nécessaires pour étudier ces théories.

L’étude quantitative des interactions entre aimants et courants fut faite par les physiciens Biot et Savart seulement en à partir de 1820. Ils mesurèrent l'amplitude des oscillations d’une aiguille aimantée en fonction de sa distance à un courant rectiligne. Ils trouvèrent que la force agissant sur

un pôle est dirigée perpendiculairement à la direction reliant ce pôle au conducteur et qu’elle varie en raison inverse de la distance. C'est la premier cas que nous allons étudier :

Soit un déplacement de charges électriques produisant dans l'espace un champ vectoriel dont les effets sont mesurables et dont les propriétés diffèrent de celles du champ électrostatique. Nous en déduisons l'existence d'un nouveau champ vectoriel que nous appelons (temporairement) "champ

magnétique" et que nous noterons .

Le cas d'étude le plus simple consiste en un fil rectiligne indéfini (exemple que nous pouvons aussi assimiler à un simple déplacement de charges sans nécessairement avoir un fil comme support) parcouru par un courant I  (cf. chapitre d'Electrocinétique) montre que les lignes de champ magnétique sont des cercles ayant le fil pour axe.

    (1)

Remarque: Le sens de   se définit habituellement par l'intermédiaire de "l'observateur d'Ampère", c'est-à-dire un observateur qui serait placé le long du fil, de façon que le courant aille

de ses pieds vers sa tête et qui regarderait le point M où nous évaluons le champ ma. est dirigé de la droite vers la gauche de cet observateur. 

Il a été expérimentalement établi que la valeur de à la distance r du fil est proportionnelle au courant I qui le parcourt inversement proportionnel à r :

    (2)

Ce résultat a été obtenu expérimentalement par les physiciens Biot et Savart et consitute traditionnellement la base de l'étude théorique du champ magnétique.

Le coefficient de proportionnalité dépend comme toujours des unités choisies. Pour l'ensemble de ces conséquences, il est avantageux d'écrire l'expression précédente sous une forme qui fasse

apparaître la longueur du cercle de rayon . Nous posons donc : 

  (3)

et obtenons ainsi :

    (4)

où est une nouvelle constante que nous appelons "susceptibilité magnétique" (à nouveau au meme titre que le permittivité électrique il existe une "susceptibilité relative") 

Théorème d'Ampère

Il est intéressant de calculer la "circulation du champ magnétique" de le long d'un contour qui tourne une fois dans le sens positif autour du fil orienté dans le sens du courant (observateur d'Ampère) :

  (5)

Remarque: Le long du contour, le champ est colinéaire au contour comme nous l'avons vu précédemment d'où le fait que le produit scalaire puisse s'écrire comme simple produite de normes.

Nous obtenons ainsi par définition "loi d'Ampère" (ou "théorème d'Ampère") :

  (6)

L'expression que nous avons obtenue peut encore être simplifiée si nous introduisons un nouvel être physique appelé "intensité du champ magnétique" ou encore plus couramment  "excitation

magnétique" qui est noté  . Si nous considèrons que nous sommes dans le vide où il n'y a aucun dipôle magnétique alors nous le définissons par :

    (7)

Dès lors, nous sommes souvent amenées à parler de "induction magnétique" pour et de "champ

magnétique" pour . Mais les deux sont allégrement confondus suivant les auteurs et surtout les contextes (de même que ce sera le cas dans ce site).

Alors, finalement nous pouvons écrire la loi d'Ampère sous la forme :

  (8)

L'intérêt de la loi d'Ampère ainsi que du concept de circulation du champ magnétique paraît (peut paraître) ainsi plus évident.

Cette dernière relation à bien évidemment une grande utilité en physique théorique car elle nous permettra de déterminer d'autres résultats forts importants. Sinon, au niveau de la pratique, le physicien de laboratoire ou l'électricien/électrotechnicien sera souvent confronté à utiliser pour de petites et moyennes expériences des électro-aimants dont il pourrait souhaiter re-calibrer les valeurs nominales ou encore de solénoïdes.

ÉLECTRO-AIMANT

Déterminons donc par exemple (important et intéressant) le champ magnétique dans l'entrefer de

longueur  et de section d'un électro-aimant d'un de longueur  et de section .

La loi d'Ampère nous donne :

  (9)

Dans le cas de l'électro-aimant nous pouvons écrire que la circulation du champ est la somme de la circulation du champ de l'entrefer et de l'aimant lui-même:

  (10)

où N correspondant au nombre de boucles de courant entourant l'aimant et qui permet la production du champ magnétique.

Nous avons par définition:

  et   (11)

d'où :

  (12)

Si l'entrefer n'est pas trop grand   et que  d'où :

  (13)

ce qui revient à écrire  alors :

    (14)

d'où :

  (15)

La relation est la même pour un électro-aimant ayant deux bobines.

FORCE D'UN AIMANT OU ELECTRO-AIMANT

Si nous avons connaissance du champ magnétique B produitpar l'aimant à sa surface, nous pouvons calculer avec une bonne approximation la force nécessaire pour le décoller d'une surface en Fer.

Pour cela, nous noterons F la force nécessaire pour faire décoller l'aimant à une distance d de la surface de Fer. Nous supposerons la distance d suffisamment petite pour que l'on puisse accepter que dans tout le volume situé entre l'aimant et le Fer, le champ magnétique est constant.

Ainsi, le travail fait par la force F est (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

  (16)

Ce travail s'est transformé en énergie du champ magnétique dans le volume créé entre l'aimant et le fer. La densité volumique d'énergie due au champ magnétique étant (cf. chapitre d'Electrodynamique) :

Le volume de l'espace créé entre l'aimant et le Fer étant égal à  où S est la surface de l'aimant qui était collée au Fer. Nous avons alors l'équivalence suivante :

  (17)

Nous en déduisons la force de contact :

  (18)

BOBINE SOLONOÏDALE INFINIE

Une application aussi particulièrement importante en électronique et électrotechnique est celle du calcul d'une bobine de fil parcourue par un courant que nous considérerons comme constant dans un premier temps. Il s'agit ni plus ni moins d'une bobine d'induction ou plus techniquement appelée un inductance. Voyons de quoi il s'agit.

Un solénoïde est une bobine formée par un fil conducteur enroulé en hélice et parcouru par un

courant d'intensité I. Dans ce qui suit, nous supposons que le champ d'induction d'un solénoïde est nul entre les spires et parallèle à l'axe du solénoïde.

Considérons le schéma suivant et intéressons nous en approximation qu'à la partie interne du solénoïde en admettant que le champ extérieur est nul par la longueur infinie de celui-ci et la parfait jointure des bobines :

  (19)

Appliquons la loi d'ampère au trajet rectangulaire abcd. Ainsi :

  (20)

La première intégrale du membre de droite donne où B est la grandeur de à l'intérieur du solénoïde et h, la longueur du segment ab. Nous pouvons remarquer que le segment ab, même s'il est parallèle à l'axe du solénoïde, ne doit pas nécessairement coïncider avec lui.

La deuxième et la quatrième intégrale sont nulles car, pour ces deux segments. et sont

partout perpendiculaires : étant donné que est nul partout, les deux intégrales sont nulles. La troisième intégrale est également nulle puisque le segment calculé se trouve à l'extérieur du solénoïde où nous avons supposé que le champ magnétique de la bobine était idéale.

Ainsi, l'intégrale pour tout le trajet rectangulaire est tel que :

  (21)

mais le courant I est la somme des courants passant dans chacune des N contenues dans le chemin d'intégration. Mais en électronique nous avons l'habitude de travailler avec la valeur n (nous choisissons la lettre minuscule par analogie avec le thermodynamique ou les minuscules représentent des densités) qui est le nombre de spire par unité de longueur :

  (22)

Ainsi, nous avons :

  (23)

Bien que cette relation ait été établie pour un solénoïde idéal infini, elle donne une grandeur assez précise (sans être exacte!) du champ d'induction magnétique pour les points d'intérieur situés près du centre d'un solénoïde réel. Cette relation révèle par ailleurs que le champ magnétique est en approximation indépendant du diamètre du solénoïde et qu'il est uniforme à travers la section de celui-ci. En laboratoire, un solénoïde est un dispositif pratique pour produire un champ d'induction uniforme de la même façon que le condensateur plan est utilisé pour produire un champ électrique uniforme.

BOBINE TOROÏDALE

La bobine toroïdale est un autre exemple important de l'application de la loi d'Ampère. Effectivement, nous retrouvons particulièrement ce type de configuration dans l'électronique de petite puissance (ordinateurs par exemple) ou les inductances sont pour la plupart toroïdales ou la production d'énergie avec les fameux Tokomak qui de façon schématisée (très…) se réduisent à des bobines toroïdales.

  (24)

Pour des raisons de symétrie il est clair que les lignes d'induction magnétique forment des cercles concentriques à l'intérieur de la bobine. Appliquons la loi d'Ampère au trajet d'intégration circulaire de rayon r :

  (25)

C'est-à-dire :

  (26)

Il s'ensuit que :

  (27)

Ainsi, contrairement à B l'intérieur d'un solénoïde, B n'est pas constant à l'intérieur de la bobine toroïdale.

Relation de Maxwell-Ampère

Soit  la densité de courant en un point quelconque de l'espace dans le cas d'une distribution à trois dimensions et soit S une surface fermée qui s'appuie sur un contour quelconque. Le courant I qui traverse est bien évidemment donné par :

  (28)

D'après la loi d'Ampère, la circulation du champ magnétique le long de est égale à cette intégrale. Elle peut donc prendre ici, selon le choix du contour , une infinité de valeurs variables de façon continue. D'autre part, le théorème de Stokes (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) fournit que :

  (29)

d'où :

  (30)

et nous en ressortons finalement que :

  (31)

Nous pouvons faire une similitude osée de ce résultat avec la relation ci-dessous (démontrée dans le chapitre d'électrodynamique), par extension de la charge statique et de la charge dynamique :

  (32)

qui n'est d'autre que la première équation de Maxwell (cf. chapitre d'Electrodynamique). Dès lors, comme nous avons vu en électrostatique, nous avons :

  (33)

Par analogie, l'idée est de poser (cette hypothèse se vérifie un peu plus bas par les résultats remarquables obtenus) :

  (34)

relation que nous pouvons écrire de manière plus élégante en supposant le courant non dépendant de la position de l'observateur dans l'espace et colinéaire au vecteur perpendiculaire de la surface traversée :

  (35)

où représente le périmètre du fil dans lequel le courant I circule.

Loi de Biot-Savart

Du dernier développement, nous tirons donc :

  (36)

Rappelez-vous qu'à la dernière étape de notre développement précédent (nous l'avons précisé implicitement) que le chemin d'intégration est perpendiculaire au courant ! Mais le champ magnétique ne peut pas être nul en tout point de la ligne du courant. Dès lors, nous sommes amené à écrire ce qui est caché :

  (37)

Le relation ci-dessus nous permet donc, par extension, d'écrire sous une forme plus générale :

    (38)

qui n'est d'autre que la "loi de Biot-Savart" souvent présentée en premier dans les classes scolaire comme début d'étude du magnétisme.

Cette dernière forme peut  tout aussi bien s'écrire (forme très importante) :

  (39)

Donc :

  (40)

Nous retrouvons ici l'approximation non relativiste du champ magnétique tel que nous l'avons déterminé lors de notre étude de la mécanique relativiste, où nous avons démontré que :

  (41)

Une autre forme importante de l'expression du champ magnétique est :

  (42)

Comme J est colinéaire à , nous pouvons écrire :

  (43)

Donc : 

  (44)

Une remarque importante s'impose à notre niveau du discours : dans le cadre des études scolaires pré-universitaires, les formulations mathématiques des champs magnétique et  électrique sont considérées comme des lois indémontrables d'où l'on tire plus tard les équations de Maxwell (de plus les développements ne sont pas des plus esthétiques et rigoureux). L'aspect totalement expérimental de relations aussi importantes peut avoir une image néfaste de la physique théorique sur les étudiants. Il convient dès lors de préciser que lors des études universitaire, nous avons une approche juste un peu moins pragmatique.

Effectivement, nous postulons l'équation de Schrödinger (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) dont nous nous servons pour  démontrer la formulation non relativiste de la loi de Coulomb à l'aide de la théorie de Yukawa (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs). Ensuite, pendant l'étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous déterminons la  forme relativiste de la loi de Coulomb. Ensuite, nous admettons l'existence du champ magnétique dont l'expression est donnée expérimentalement par la force de Lorentz (voir plus bas dans ce chapitre)  et de par les propriétés des transformations de Lorentz et de la connaissance de l'expression relativiste de la loi de Coulomb nous déterminons l'expression relativiste du champ magnétique. Ensuite, par approximation non relativiste, nous tombons sur la loi de Biot-Savart. Cette manière de procéder est beaucoup mieux accueillie par les étudiants mais pas nécessairement accessible à tous les niveaux.

Revenons maintenant sur la loi de Biot-Savart. Un exemple important en astrophysique de loi de Biot-Savart dans le cadre des jets de plasmas des disques d'accrétion sont les boucles de courant circulaires uniques (il faut y rajouter aussi la force de laplace dans le cadre relativiste pour comprendre la dynamique de ces jets).

La figure ci-dessous en représente un bon exemple :

  (45)

Nous avons donc une boucle circulaire de rayon R parcourue par un courant d'intensité I.

L'objectif étant de calculer et un point P de l'axe de cette boucle.

Le vecteur correspondant à un courant élémentaire au sommet de la boucle sort perpendiculairement du plan de la page. L'angle entre ce vecteur et est donc de . Le plan

formé par et est normal à la figure. Le vecteur produit par ce courant élémentaire est normal à ce plan de par la forme de la loi de Biot-Savart. Il est donc dans ce plan de la figure et à angle droit avec le vecteur comme indiqué sur la figure.

Décomposons en deux parties : la première, est le long de l'axe de la boucle et la seconde,

est perpendiculaire à cet axe. Seule la composante contribue à l'induction magnétique

totale au point P. Il en est ainsi du fait que les composantes de tous les courants élémentaires

sont sur l'axe et qu'elles s'additionnent directement. Quant aux composantes , elles sont dirigées dans différentes directions perpendiculairement à cet axe de sorte que, par symétrie, leur contribution est nulle sur cet axe (prenez vraiment garde à ce cas particulier).

Nous obtenons :

  (46)

C'est une intégrale scalaire effectuée sur tous les courants élémentaires. Nous obtenons d'après la loi de Biot-Savart :

  (47)

De plus, nous avons selon le schéma :

  (48)

En combinant ces relations, nous obtenons :

  (49)

La figure révèle que r et ne sont pas des variables indépendantes. Nous pouvons les exprimer en fonction de la nouvelle variable x, la distance entre le centre de la boucle et le point P. Les relations entre ces variables sont :

  (50)

En substituant ces valeurs dans l'expression de , nous obtenons :

  (51)

Nous remarquons que, pour tous les courants élémentaires, I,R,x ont respectivement les mêmes valeurs. L'intégration de cette différentielle donne :

  (52)

Une point important de cette relation est en où nous obtenons donc :

  (53)

Un autre cas d'application important de la loi de Biot-Savart consiste à reprendre l'exemple précédent, mais pour une forme continue plane quelconque et considérée comme ponctuelle et dont nous aimerions connaître la valeur du champ ailleurs que sur l'axe de symétrie. Les résultats seront très utiles lorsque nous étudierons le physique quantique corpusculaire et donc les propriétés magnétiques des métaux.

DIPÔLE MAGNÉTIQUE

Le dipôle magnétique a tout comme en électrostatique, une énorme importance dans l'étude des propriétés magnétiques des matériaux pour lesquelles il permet d'élaborer de bons modèles théoriques.

Avant de lire ce qui va suivre, nous conseillerions au lecteur (c'est même plus qu'un conseil) de lire le absolument tout le développement du dipôle électrostatique rigide dans le chapitre traitant du champ électrique. Effectivement, la plupart des calculs qui vont suivre comportement les mêmes raisonnements, développements et approximations mathématiques à quelques infimes nuances près. Nous n'avons dès lors pas souhaité refaire les mêmes calculs intermédiaires déjà présents lors du calcul du dipôle électrostatique (cependant, si vraiment il y a difficulté de la part du lecteur, nous sommes prêts à compléter… mais bon…).

La dipôle magnétique a une différence non négligeable relativement au cas pratique que nous nous imposons comme cadre d'étude… il n'y pas 2 charges ! Effectivement, des charges au repos émettent en première approximation (c'est expérimental et… théorique) un champ magnétique intrinsèque beaucoup trop faible pour être considéré comme intéressant dans le cadre de l'étude des propriétés magnétique des matériaux. Il convient cependant de préciser quelque chose d'intéressant (de sympa), les charges coulombiennes élémentaires sont parfois modélisées (à tort!) par les physiciens comme en rotation sur elles-mêmes (le "spin") et sont représentées comme une superpositions de spires circulaires (tiens… une spire…) en infiniment petites ce qui fait qu'un observateur dans un référentiel au repos (au centre de la charge ) peut interpréter la charge coulombienne globale comme étant un courant en déplacement dans les différentes spires, induisant ainsi un champ magnétique intrinsèque (joli non !?).

Bref, considérons un spire plane (tiens… une spire…), de forme quelconque, de centre O, parcourure par un courant permanent et constant dont un des points de la spire est notée par P. Nous allons calculer le champ magnétique créé par cette spire en tout point M de l'espace, situé à grande distance de la spire (précisément, à des distances grandes comparées à la taille de la spire).

Remarque: Personnellement il y a certaines étapes du calcul que je trouve… comment dire… de très loin pas convaincantes… mais bon… il y a tellement d'approximations que l'on est plus à ça près… hummm..

Nous posons :

  (54)

Nous allons dont utiliser la loi de Biot-Savart dans la limite appartenant à la spire :

  (55)

Mais donc :

  (56)

Évaluons le terme pour des points M situés à grande distance de la spire :

  (57)

où nous avons fait comme le dipôle électrostatique rigide un développement limité à l'ordre 1.

Remarque: La dernière approximation est très grossière dans le sens qu'il s'agit d'un choix astucieux des termes à négliger pour arriver à un résultat esthétique visuellement et permettant de définir le moment magnétique dipolaire (voir un peu plus loin)...

En reportant cette expression dans la loi de Biot-Savart, nous obtenons :

  (58)

Évaluons séparément chaque terme intervenant dans la parenthèse :

1.

puisque le vecteur est indépendant du point sur la spire et que nous faisons une intégration curviligne sur toute la spire, en revenant au point de départ.

2.

De par les propriétés du produit vectoriel :

  (59)

Or puisque et sont perpendiculaires, nous avons qui est la surface infinitésimale dS' d'un carré et cela ne représente rien étant donné que l'abscisse est curviligne par rapport à O. Effectivement :

  (60)

Donc, nous pouvons écrire :

  (61)

où est le vecteur normal au plan de la spire (vecteur de base de l'axe Z). Ce résultat est général, valable quelque soit la surface.

D'où :

  (62)

3.

de par les propriétés du produit vectoriel.

Prenons une surface S plane quelconque. Sur cette surface, nous avons :

  (63)

puisque nous revenons au même point de départ. Nous avons donc l'égalité :

  (64)

Nous allons utiliser ces relations pour calculer l'intégrale inconnue du début. Si nous

décomposons les vecteurs et dans la base engendrant le plan de la spire, nous obtenons :

  (65)

or :

  (66)

D'où :

  (67)

De par l'égalité , nous avons :

  (68)

Rappel :

  (69)

Sous forme de composantes (seulement la troisième est non nulle), nous avons :

  (70)

d'où :

  (71)

Ce qui nous amène à écrire :

  (72)

En rassemblant ces résultats, nous obtenons pour le champ magnétique :

  (73)

Nous voyons donc apparaître une grandeur importante car décrivant complètement la spire vue depuis une grande distance, à savoir le "moment magnétique dipolaire" :

  (74)

souvent noté aussi par un M par certains auteurs.

En faisant usage de la propriété suivante du produit vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

  (75)

Nous obtenons alors l'expression du champ magnétique approximative créé par un dipôle :

  (76)

à comparer (pour le fun) avec l'expression du champ électrique pour un dipôle électrique rigide :

  (77)

Nous sommes quand même arrivé à mettre cela sous une forme assez identique et esthétique après quelques approximations…

Nous avons aussi :

  (78)

d'où :

  (79)

L'origine du champ magnétique d'un matériau quelconque doit être microscopique. En utilisant le modèle de Bohr de l'atome (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire), nous pouvons nous convaincre que les atomes (du moins certains) ont un moment magnétique dipolaire intrinsèque. Effectivement, le modèle de Bohr de l'atome d'Hydrogène consiste en un électron de charge en mouvement (circulaire) autour d'un noyau centre (un proton) avec une période

.

Si nous regardons sur des échelles de temps longues par rapport à T, tout se passe comme s'il y avait un courant :

  (80)

Nous avons donc une sorte de spire circulaire, de rayon moyen la distance moyenne au proton,

c'est à dire le rayon de Bohr . L'atome d'Hydrogène aurait donc un moment magnétique intrinsèque :

  (81)

où est le moment cinétique de l'électron et le "facteur gyromagnétique". Ce raisonnement peut se généraliser aux autres atomes. En effet, un ensemble de charges en rotation autour d'un axe vont produire un moment magnétique proportionnel au moment cinétique total. Cela se produit même si la charge totale est nulle (matériau ou atome neutre) : ce qui compte c'est l'existence (scalaire) d'un courant.

Du coup, nous pouvons expliquer qualitativement les propriétés magnétiques des matériaux en fonction de l'orientation des moments magnétique des atomes qui les composent :

- Matériaux diamagnétiques : les moments sont distribués aléatoirement, il n'y a pas de cham magnétique intrinsèque.

- Matériaux paramagnétiques : ceux pour lesquels peuvent s'orienter dans une direction privilégiée en présence d'un champ magnétique extérieur, pouvant donc être ainsi aimantés momentanément.

- Matériaux ferromagnétiques : ceux dont les moments sont déjà orientés dans une direction particulière, de façon permanente (aimants naturels).

Remarque: La Terre est connue pour avoir un champ magnétique dipolaire, où le pôle Nord magnétique correspond au pôle Sud géographique (à un angle près). Au niveau macroscopique, l'explication de l'existence du champ magnétique observé sur les étoiles est encore aujourd'hui loin d'être satisfaisante. La théorie de "l'effet dynamo" essaie de rendre compte des champs observés par la présence de courants, essentiellement azimutaux, dans le cœur des astes. Plusieurs faits connus restent partiellement non éclaircis :

- Les cycles magnétiques : le Soleil a un champ magnétique à grande échelle qui ressemble à celui de la Terre, approximativement dipolaire. Cependant, il y a une inversion de polarité tous les 11 ans (sur 11 ans). Pour la Terre, on a pu mettre en évidence qu'il y avait eu une inversion il y a environ 700'000 ans.

- Non alignement avec le moment cinétique de l'astre : s'il est de l'ordre d'une dizaine de degrés pour la Terre, il est perpendiculaire pour Neptune!

MOMENT MAGNÉTIQUE

Loi de lorentzEn électrostatique, nous avons calculé la force exercée par une ou un ensemble de charges au repos sur une charge immobile ou en mouvement. La force exercée s'écrivait alors de la manière suivante:

  (82)

Dans le cas le plus général, où les charges agissantes sont en mouvement, la force qu'elles exercent sur une charge ponctuelle q placée en un point de l'espace est la somme de deux termes : l'un qui est indépendant de la vitesse  de cette charge, l'autre qui en dépend. Voici comment s'écrit cette relation :

  (83)

qui n'est d'autre que la "loi de Lorentz" ou "force de Lorentz".

Pour démontrer cette relation, nous allons poser deux hypothèses mais avant il est important d'informer le lecteur que cette démonstration nécessite des outils mathématique non nécessairement évidents (il faut avoir lu le chapitre de Mécanique Analytique et de Physique Quantique Ondulatoire pour comprendre) :

H1. Soit une particule ponctuelle non-relativiste de masse m, de position  et de

vitesse ; nous supposons qu'elle est soumise à une force et qu'elle satisfait les équations de Newton:

  (84)

avec les relations de commutations suivantes (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire):

  (85)

Il faut bien voir que la dernière relation est une hypothèse et qu'elle n'est pas équivalente aux règles de commutation que nous avons vues en physique quantique entre positions et impulsions!

H2. Il existe des champs  et , ne dépendant pas des vitesses, tels que:

  (86)

et qui vérifient les équations de Maxwell (cf. chapitre d'Electrodynamique) :

  (87)

A un niveau classique, nous exprimons les hypothèses de commutation en utilisant la correspondance commutateurs-crochet de Poisson (cf. chapitre de Mécanique Analytique), soit:

  (88)

avec (rappel):

  (89)

Maintenant, nous définissons un potentiel vecteur  (cf. chapitre d'Electrodynamique) tel que:

  (90)

alors l'hypothèse ( ) de commutation peut s'écrire:

  (91)

donc nous pouvons dire que ne dépend que de  et t puisqu'il commute identiquement à .

De plus, nous savons que la mécanique classique admet une formulation lagrangienne (équivalent aux équations de Newton) pour laquelle les équation de la mécanique deviennent (cf. chapitre de Mécanique Analytique):

  (92)

où L désigne le lagrangien du système. Dès lors, avec:

  (93)

nous pouvons intégrer la relation : 

  (94)

et nous obtenons:

  (95)

Le signe "-" de la constante d'intégration du potentiel vecteur se jusitifie pour être en cohérence avec ce que nous avons vu en théorie de Jauge (cf. chapitre d'Electrodynamique).

La seconde équation de Lagrange  nous donne alors:

  (96)

En développant un peu:

 et   (97)

Pour l'ensemble des coordonnées, cela donne sous forme condensée et en utilisant les outils de l'analyse vectorielle:

  (98)

Donc:

  (99)

ou autrement écrit:

  (100)

Nous retrouvons donc bien l'expression de la force de Lorentz où  et sont donnés par:

  (101)

Comme nous l'avons vu en théorie de Jauges. Certes la démonstration est loin d'être évident mais elle est possible.

Arrêtons-nous un instant sur l'expression de la force de Lorentz. Nous voyons avec cette relation, qu'une charge immobile (ou non) dans un champ électrique subira une force qui lui donnera l'impulsion nécessaire à faire varier son énergie cinétique (nulle ou non nulle au départ). Cette constation n'est cependant pas valable pour le champ magnétique. Effectivement, lorsque nous placons une charge immobile dans un champ magnétique, cette dernière ne subira aucune force du champ magnétique et donc ne verra pas son énergie cinétique varier. Si la particule chargée à une vitesse initiale non nulle, il s'ensuit que le champ magnétique va changer les composantes du vecteur vitesse mais pas la norme. Ainsi, nous avons pour habitude de dire que : "le champ magnétique ne travaille pas".

Démonstration:

  (102)

Donc :

  (103)

L'énergie cinétique de la particule ne change donc effectivement pas à cause du champ magnétique.

Maintenant, si nous nous intéressons uniquement au second terme de cette relation, nous pouvons arriver à démontrer la loi de Laplace :

Nous avons:

  (104)

où  est la densité volumique de charge. Si  et sont supposés parallèles nous pouvons écrire que:

  (105)

Une densité de courant nous permet de calculer la vitesse d'entraînement des porteurs de charges dans un conducteur. Le nombre d'électrons de conduction dans un fil est égal à:

  (106)

où n est le nombre d'électrons de conduction par unité de volume et  le volume du fil.

Une quantité de charges  traverse un fil en un temps t donné par:

  (107)

L'intensité I du courant étant définie par:

  (108)

Nous obtenons que:

  (109)

De:

  (110)

Nous pouvons maintenant tirer que:

  (111)

Enfin, nous trouvons que:

  (112)

qui est la "loi de laplace" ou "force de Laplace".

Voyons quelques cas importants d'application de la loi de Lorentz :

EFFET HALL CLASSIQUE

Précédemment, nous avons étudié l'action d'une induction magnétique sur un circuit filiforme en ayant pour but de trouver l'expression des forces magnétiques appliquées à la matière même de ce circuit. Portons maintenant notre attention sur les électrons de conductivité eux-mêmes, en nous plaçant dans le cas de la figure ci-dessous.

  (113)

Légende: Un ruban métallique est parcouru par un courant continu . Le vecteur densité de

courant  est constant et parallèle aux grands côtés PQ ou RS du ruban.

Imaginons alors que le ruban soit plongé dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire aux plans PQ et RS (selon l'axe Z). Les charges mobiles de densité volumique  contenues dans un élément de volume dV sont donc soumises à la force magnétique :

  (114)

Cette force modifie les trajectoires des électrons mobiles et, au cours d'un régime transitoire, provoque leur accumulation sur le bord avant du ruban tandis qu'un excès de charges positives apparaît sur le bord arrière.

Ce phénomène produit un champ électrique supplémentaire parallèle à RP qui exerce sur les

charges mobiles du volume une force électrique:

  (115)

Les deux forces s'opposent donc l'une à l'autre et la force coulombienne tend à ramener les trajectoires électroniques dans leur position initiale. Un régime permanent s'établit peu à peu. 

Remarque: En fait, a chaque fois que nous parlons de régime permanent en physique, nous mentons un peu. Il s'agit au fait juste d'un équilibre stable et en général, le système oscille autour de sa position d'équilibre. Au bout d'un certain temps, un système comme le conducteur impliqué dans notre exemple montre des oscillations négligeables. La physique c'est aussi parfois qu'une question d'approximations...

Quand il est atteint, la densité de courant est à nouveau parallèle à PQ et les forces électriques et magnétiques ci-dessus sont vectoriellement opposées. Nous avons donc :

  (116)

avec :

  (117)

Dans certains ouvrages cette égalité est notée sous forme de ses composantes telle que :

  (118)

Or, comme nous le démontrons dans le chapitre d'électricité dès lors :

  (119)

Nous définissons alors le "coefficient de Hall" par :

  (120)

peut être aussi bien utilisé à l'équilibre pour la mesure de que par extension si nous

supposons alors donc à la mesure de la densité de porteurs dans l'échantillon.

Remarque: Nous parlons également de "résistance de Hall". Il s'agit simplement du rapport de la tension de Hall sur le courant circulant dans l'échantillon. Il ne faut cependant pas confondre la

résistance de Hall avec . Notons que la résistance de Hall varie linéairement avec le champ magnétique.

Dans un semi-conducteur à deux dimensions, l'effet Hall est également mesurable. Par contre, à suffisamment basse température, nous observons une série de plateaux pour la résistance Hall en

fonction du champ magnétique. Ces plateaux apparaissent à des valeurs précises de résistance, et ce, indépendamment de l'échantillon utilisé. Ceci fait l'étude de "l'effet Hall quantique" que nous n'étudierons pas dans ce chapitre.

Sous forme scalaire la relation de "l'effet Hall", encadrée ci-dessus, s'écrit:

  (121)

Nous pouvons aussi l'exprimer en explicitant la différence de potentiel qui correspond par définition au champ électrique.

Si l est la largeur du ruban, nous avons:

  (122)

Si e est son épaisseur, le courant  I qui le parcourt est:

  (123)

Compte tenu des positions relatives des divers vecteurs, la relation exprimant l'effet Hall équivaut donc à:

  (124)

Plus esthétiquement et sous une forme traditionnelle, la tension de l'effet Hall est donnée par:

  (125)

avec:

  (126)

RAYON DE LARMOR

Un cas très intéressant d'étude de laboratoire est le mouvement d'un charge dans un champ magnétique uniforme. Pour cette étude, considérons une particule de masse m et de charge q

placée dans un champ magnétique uniforme avec une vitesse initiale .

Nous avons selon la loi de Lorentz :

  (127)

Puisque la force magnétique est nulle dans la direction du champ , cette direction est privilégiée. Nous allons donc tirer parti de cette information et décomposer la vitesse en deux composantes,

l'une parallèle et l'autre perpendiculaire au champ, . L'équation du mouvement s'écrit alors :

  (128)

La trajectoire reste donc rectiligne uniforme dans la direction du champ ! Prenons un repère

cartésien dont l'axe est donné par la direction du champ magnétique tel que . L'équation du mouvement ne s'écrit dès lors que plus que sur deux composantes puisque :

  (129)

d'où :

  (130)

Une solution très simple à ces deux équations différentielles est dans un cadre non relativiste :

  (131)

où nous avons donc choisi une vitesse initiale suivant . En intégrant, nous obtenons :

  (132)

où les constantes d'intégration ont été choisies nulles (choix arbitraire). La trajectoire est donc un cercle de rayon :

  (133)

appelé "rayon de Larmor", décrit avec la pulsation :

dite "pulsation gyro-synchrotron". Ce cercle est parcouru dans le sens conventionnel positif pour des charges négatives.

Le problème d'une telle configuration pour construire un accélérateur, c'est que si nous augmentons l'énergie de la particule (en ajoutant un champ électrique synchronisé sur la pulsation gyro-synchrotron et colinéaire au mouvement), sa vitesse augmente mais le rayon de Larmor aussi. Or, le "cyclotron" qui est basé sur ce système a un rayon limité puisqu'il est difficile de maintenir un champ magnétique constant sur une grande surface.

Plus difficile encore, dans le cas relativiste, la pulsation s'écrit avec le facteur de Fitzgerald-Lorentz (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

Nous voyons alors qu'il faut ajuster la pulsation du champ électrique à la pulsation de rotation lorsque la vitesse augmente: l'accélérateur est maintenant un "synchrocyclotron".

Pour résoudre le problème de l'augmentation du rayon, nous utilisons alors un "synchrotron" constitué d'un tube à vide unique comportant de sections droite contenant des cavités accélératrices et des section cours équipées d'aimants créant à chaque instant le champ magnétique adapté à la vitesse des particules. Cette technique, dont il est facile de parler mais très difficile à mettre en pratique, est la plus utilisée à nos jours. Le LHC du CERN fait partie de la famille des synchrotrons

A partir de cette relation il est inversement aisé d'avoir l'énergie cinétique de la particule:

  (134)

C'est sur la base de cette relation que fonctionnent les "spectromètres de masse de Dempster". C'est en utilisant cette technique que les chercheurs ont découvert dans les années 1920 que les atomes d'un même élément chimique n'ont pas nécessairement la même masse. Les différentes variétés d'atomes d'un même élément chimique, variétés qui diffèrent par leur masse, sont les isotopes (cf. chapitre de Physique Nucléaire).

Le rayon de Larmor correspond à la distance la plus grande que peut parcourir une particule dans la direction transverse avant d'être déviée de sa trajectoire. Cela correspond donc à une sorte de distance de piégage. A moins de recevoir de l'énergie cinétique supplémentaire, une particule chargée est ainsi piégée dans un champ magnétique.

Il est intéressant de noter que l'énergie cinétique transverse d'une particule est élevée (grande masse ou grande vitesse transverse) et plus le rayon de Larmor est grand. Inversement, plus le champ magnétique est élevé et plus ce rayon est petit.

Remarque: Le confinement du plasma dans un tokamak est basé sur cette propriété qu'ont les particules chargées de décrire une trajectoire en hélice autour d'une ligne de champ magnétique. D'où l'intérêt d'utiliser un tore.

Nous allons dans ce chapitre étudier un ensemble d'équations qui peuvent résumer à elles

toutes seules l'ensemble de nos connaissances sur l'électrostatique et la magnétostatique. Ces équations, au nombre de quatre, se nomment "équations de Maxwell-Heaviside" (que nous abrégerons par abus comme de nombreux autres ouvrages "équations de Maxwell") et vont nous permettre d'aborder la branche de la physique appelée "électrodynamique" et donc des ondes électromagnétiques.

Remarque: Il est très important de bien comprendre ce qui va suivre! Certains des développements seront réutilisés dans les chapitres de relativité restreinte, de physique quantique des champs, etc. Par ailleurs, il faudrait que le lecteur lise en parallèle le chapitre de relativité restreinte pour mieux comprendre les tenants et aboutissants de certains résultats et la provenance de quelques outils mathématiques.

Rappel : Nous supposerons que tout à chacun sait en ce début de 3ème millénaire que les rayons gamma, les ondes radio, les micro-ondes, la lumière divisible (et non visible) sont simplement des ondes électromagnétique (E.M.) de fréquences différentes!

Première équation de Maxwell

Soit définit un champ de vecteurs dans l’espace. Considérons une surface S fermée dans le champ. Alors à chaque point (x,y,z) appartenant à la surface correspond un vecteur du champ.

Dans ce cas le théorème d'Ostrogradsky (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) donne :

  (1)

avec V étant le volume de la surface (dite "surface de Gauss") fermée.

Remarque: Le théorème de Ostrogradsky est vérifié à condition qu'il n’existe pas de

singularités de  dans V.

Rappel : Dans le cas du théorème de Ostrogradsky le vecteur  est conventionnellement dirigé vers l'extérieur de la surface. 

Dans le cas particulier du champ électrique, nous obtenons des résultats très intéressants. En effet

soit une charge Q repérée par rapport à un référentiel par le vecteur . 

Alors, nous avons vu dans le chapitre d'Électrostatique qu'en chaque point de l'espace il existe un

champ   tel que:

  (2)

d'où :

    (3)

Comme nous pouvons le constater, le champ   possède une singularité en  . Considérons une surface de Gauss tel que la charge Q se trouve à l’extérieur de cette surface. A

l’intérieur du volume V délimitant la surface S le champ   ne possède alors pas de singularité.

Nous pouvons donc calculer la divergence de :

  (4)

Donc si nous calculons le flux à travers cette surface nous trouvons (voir le chapitre de Calcul Vectoriel pour la description détaillée de l'opérateur Nabla):

  (5)

Le flux est nul !

Dans le cas où la charge Q se trouve à l’intérieur de la surface de Gauss  n’est plus défini

en nous avons alors:

  (6)

Avec étant le flux de  sur une petite boule B entourant la charge ponctuelle Q. 

Dans ce cas  :

  (7)

car la divergence est définie partout sur V-B. Il nous reste donc: 

  (8)

Mais dans le cas d’une sphère il est facile de calculer

Nous avons : 

  (9)

D'où la "première équation de Maxwell" ou "Loi de Gauss" pour le champ électrique (ou "théorème de Gauss") :

  (10)

Explications : Cette équation suggère que le flux du champ électrique traversant une surface close (d'où le cerlce sur l'intégrale) est égale, à un facteur dimensionnel près, à la charge totale enfermée dans cette surface.

Remarques:

R1. Il est intéressant (et trivial) de remarquer que le résultat est identique si nous prenons la formulation relativiste (cf. chapitre de Relativité Restreinte) de l'expression du champ électrique (à cause des différentielles qui sont partielles et non totales) !

R2. L'intégrale de la dernière relation est une intégrale curviligne (donc évaluée sur une courbe). Dans le domaine de l'électrodynamique les intégrales curvilignes s'appliquent très souvent sur des chemins ou surfaces fermées d'où l'indication d'un cercle superposé au symbole de l'intégrale portant alors le nom de "circulation du champ de vecteurs".

Si nous exprimons maintenant cette équation en fonction du potentiel électrique, nous obtenons :

  (11)

où donc . Nous pouvons noter la relation ci-dessus de façon plus esthétique en utilisant le Laplacien scalaire, tel que nous obtenions la relation:

  (12)

appelée "équation de Maxwell-Poisson".

Deuxième équation de Maxwell Dans le cas particulier du champ magnétique, nous obtenons des résultats très intéressants. En

effet soit un courant I repéré par rapport à un référentiel par le vecteur . Alors en chaque point

de l’espace, nous avons vu dans le chapitre de magnétostatique qu'il existe un champ tel que:

    (13)

d'où :

  (14)

Comme nous pouvons le constater, le champ  possède une singularité en . Considérons alors une surface de Gauss tel que le courant I se trouve à l’extérieur de cette surface.

A l’intérieur du volume V délimitant la surface S le champ  ne possède alors pas de singularité.

Nous pouvons donc calculer la divergence de :

  (15)

D'où :

  (16)

Si nous calculons le flux à travers cette surface nous trouvons alors :

  (17)

Le flux est nul !

Dans le cas où le courant I se trouve à l’intérieur de la surface de Gauss  n’est plus défini

en nous avons alors : 

  (18)

Avec étant le flux de  sur une petite boule entourant partiellement le conducteur rectiligne transportant le courant I. Dans ce cas:

  (19)

car la divergence est définie partout sur V-B.

Il nous reste donc:

  (20)

Mais dans le cas d’une sphère il est facile de calculer :

  (21)

Nous avons alors loi de Gauss pour le champ magnétique : 

  (22)

Dans le cas du champ magnétique,  et sont perpendiculaires donc : 

  (23)

Remarque: D'où nous pouvons aussi déduire que !

Donc, soit donnée une surface de Gauss dans un champ magnétique, alors le flux du champ magnétique à travers cette surface vaut:

  (24)

relation qui constitue la "deuxième équation de Maxwell".

Explication : La deuxième équation est basée sur le fait qu’il n’existe aucun " monopôle magnétique" dans la nature, c'est-à-dire, qu'à tout pôle positif, nous devons retrouver un pôle négatif (à partir d'un aimant, les lignes du champ ne divergent pas). La deuxième équation vient toutefois rajouter l'idée (démontrée par Dirac) que s’il était possible de retrouver un monopôle dans la nature, il serait le point de source du champ magnétique. Nous verrons cela un peu plus loin dans les détails.

Remarque: Il est intéressant (et trivial) de remarquer que le résultat est identique si l'on prend la forme relativiste (cf. chapitre de Relativité Restreinte) de l'expression du champ électrique (à cause des différentielles qui sont partielles et non totales)!

Troisième équation de MaxwellNous démontrerons dans le chapitre d'électrocinétique (car il faut des notions que nous n'avons pas encore rencontrées), que la variation du flux du champ magnétique dans le temps à travers une boucle conductrice induit une tension dans cette boucle donnée par la "loi de Faraday" :  

  (25)

et nous avons déjà démontré dans le chapitre d'électrostatique que:

  (26)

donc:

  (27)

Remarque: Nous verrons dans le chapitre d'électrocinétique qu'il n'est pas tout à fait correcte de noter le potentiel U comme ci-dessus car au fait, la loi de Faraday exprime la force électromotrice (potentiel électromoteur) e et ce potentiel est non conservatif contrairement au potentiel électrstatique de Coulomb.

Si nous développons cette relation, en utilisant le théorème de Stokes (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) nous obtenons alors:

    (28)

Ceci est la "troisième équation de Maxwell" ou "loi de Maxwell-Faraday" dite parfois encore "loi d'induction".

Explication : La troisième équation affirme qu'une variation du champ magnétique produit un champ électrique dans un boucle conductrie. Cette équation est donc basée sur la théorie de Faraday.

Remarque: Il est évident que cette formulation est aussi relativiste.

Quatrième équation de MaxwellLa 4ème équation de Maxwell est la plus importante. Elle est une généralisation de la loi d'Ampère qui a déjà été démontrée dans le chapitre de magnétostatique et pour laquelle nous avions obtenu (il est très facile de vérifier que cette relation est également valable pour l'expression relativiste du champ magnétique) :

  (29)

La troisième équation de Maxwell nous dit que la variation d'un champ magnétique donne lieu à un champ électrique nous pouvons donc supposer que la réciproque est vraie.

Un endroit typique où l'on peut observer une variation d'un champ électrique est par exemple le condensateur.

Nous savons que :

  (30)

et que le champ électrique entre deux plans parallèles, de surface S, portant des charges, uniformément est donné par (cf. chapitre d'Electrostatique):

  (31)

Ce résultat est indépendant de la distance d entre les plans. La deuxième équation de Maxwell donne:

  (32)

La capacité d'un condensateur étant définie par (cf. chapitre d'Electrostatique) :

  (33)

Nous avions obtenu dans le cas particulier d'un condensateur plan et parallèle que la capacité vaut : 

  (34)

Comme nous savons que :

   (35)

Rien ne nous empêche d'écrire que:

  (36)

Nous nommons   "courant de déplacement". En exprimant l'expression ci-dessus en utilisant la densité superficielle de courant, il vient : 

  (37)

Le courant de déplacement engendre un champ magnétique calculable au moyen de la loi d'Ampère:

  (38)

Dans tout phénomène où nous observons un déplacement de charge, nous pouvons supposer qu'il y a création d'un courant de déplacement qui se superpose au courant de conduction à cause des effets capacitifs dans la matière. Nous écrivons dès lors:

  (39)

où nous avons (rappel) : 

 et   (40)

D'autre part, le théorème de Stokes fournit que (à nouveau, il est facile de vérifier que cette relation est aussi juste pour l'expression relativiste du champ magnétique) :

  (41)

d'où :

  (42)

et nous en ressortons finalement que:

  (43)

Ceci est la "quatrième équation de Maxwell" ou "équation de Maxwell-Ampère".

Explication : La quatrième et dernière équation de Maxwell associe la création d'un champ magnétique à toute variation d'un champ électrique ou à la présence d'un courant électrique.

Remarque: Il est évident que cette formulation est aussi relativiste.

Résumé :

Nous avons donc les quatre équations de Maxwell suivantes appelées "formes locales des équations de Maxwell" (lorsque les intégrales ne sont pas indiquées) :

  (44)

Dans le cas où , les physiciens pour différencier le fait que qu'ils ne travaillent pas dans la vide mais dans la matière écrivent les équations locales de Maxwell sous la forme suivante  :

  (45)

où est (rappel) appelé "champ de déplacement" ou encore "induction électrique" et (rappel) "excitation magnétique".

Remarque: Attention! est une réaction du vide au champ . Cela s'explique par la constante de permittivité du vide mise dans l'intégrale (du moins c'est une façon de voir la chose).

Mais dans le vide et dans le cas où nous considérons un absence de charges, nous obtenons  :

  (46)

Ce résultat est important car il exprime la propagation possible d'un champ électrique et magnétique et ce même en l'absence de sources. Nous utiliserons ces équations pour déterminer les équations d'onde électromagnétiques plus loin.

Remarque: Il est possible d'exprimer les équations de Maxwell sous forme relativiste (la relativité restreinte) mais .... En réalité, comme nous l'avons déjà fait remarquer, les équations sont inchangées! En effet, les équations de Maxwell sont déjà relativistes. Ceci n'a rien d'étonnant car les vecteurs des champs électrique et magnétique, le photon (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs), se propagent à la vitesse de la lumière. A cette vitesse, la relativité est reine et une théorie correcte ne pouvait être que relativiste. On peut toutefois exprimer les équations à l'aide des notations mathématiques tensorielle (voir plus loin notre démonstration du tenseur du champ électromagnétique). Sous cette forme les équations deviennent incroyablement simples et compactes (une seule équation extrêmement courte). Formulées de cette manière, les champs électriques et magnétiques s'écrivent comme un champ unique appelé bien évidemment "champ électromagnétique". C'est un champ tensoriel comme nous le verrons plus loin.

MONOPÔLES MAGNÉTIQUES

Remarquons qu'en optant pour le système de mesure naturel où (cf. chapitre sur les Principes De La Mécanique), nous avons alors pour les équations de Maxwell dans le vide :

  (47)

puisque comme nous le démontrerons plus loin, dans le vide :

  (48)

Alors la transformation :

  (49)

amène la seconde paire d'équations précédentes en la première ! Cette symétrie des équations de Maxwell est appelée "dualité" et c'est un indice vers lequel le champ électrique et magnétique ne sont que les parties unifiées d'un tout que nous appellerons le "champ électromagnétique".

De plus, si nous introduisons le champ complexe suivant :

  (50)

La dualité (en prenant la partie réelle seulement), s'écrit alors :

  (51)

La paire d'équations de Maxwell indiquée précédemment se réduit alors à (nous utilisons la propriété de linéarité de produit vectoriel) plus qu'une seule paire d'équation dont il ne faut pas oublier de prendre la partie réelle :

  (52)

Cependant, cette symétrie ne s'étend pas aux équations de Maxwell avec sources exprimées dans le système naturel par :

  (53)

car cela se traduirait au mieux (n'oubliez pas de prendre la partie réelle pour le champ intéressé) :

  (54)

mais une fois sur deux cela ne marche pas (fait la substitution de vous verrez que vous obtenez toujours une des équations sur la paire qui est conforme l'autre pas). L'astuce consiste alors à séparer les deux densités en leur partie imaginaire et réelles respectives :

  (55)

Nous obtenons alors (toujours sans oublier de prendre les parties réelles) :

  (56)

il suffit alors de poser . Ces équations sont certes charmantes mais leur généralisation n'apporte rien de nouveau cependant car aucune charge magnétique (exprimée par

) – appelée "monopôle magnétique" - ont été observées à ce jour. Dans le cadre

expérimental, nous disons alors que sont réels tel que nous ayons bien .

ÉQUATION DE CONSERVATION DE LA CHARGE Nous avons donc démontré les quatre équations de Maxwell qui sont les fondements de l'électrodynamique classique.

Les équations de Maxwell peuvent être divisées en deux groupes:

- des "équations sans source" :

 et   (57)

- des "équations avec sources" (dans le vide) :

 et   (58)

Dérivant la première équation avec sources par rapport au temps:

  (59)

et prenant la divergence de la seconde, nous obtenons :

  (60)

en simplifiant un peu :

  (61)

or,  et donc:

  (62)

Après simplification nous obtenons :

  (63)

qui est appelée "équation de conservation de la charge" ou "équation de continuité".

Elle s'interprète comme: entre deux instant voisins , la variation dQ de la charge contenue dans une surface fermée délimitant un système ne peut être attribuée exclusivement qu'à un échange de charges avec l'extérieur.

Cette équation est très importante, car elle implique lors de l'étude de la relativité restreinte, que la charge est une quantité invariante par translation.

thÉorie de jaugesAvant de commencer à lire ce sous-chapitre, il est de première importance pour le lecteur d'aller faire un petit tour dans la section d'Algèbre du site, dans laquelle se trouve un chapitre d'analyse

vectorielle où nous faisons un rappel des différents opérateurs vectoriels indispensables en physique et leurs propriétés.

Ce qui va suivre est très important car outre le fait que nous allons faire apparaître naturellement un nouveau champ (le potentiel vecteur) qui est indispensable dans certaines équation de la physique quantique relativistes (voir chapitre du même nom) nous reprendrons cette démarche de jauges dans le chapitre de physique quantique ondulatoire où les conséquences sont beaucoup plus vastes!

Soit la relation connue:

  (64)

il existe de par les propriétés des opérateurs rotationnel et divergence (cf. chapitre de Calcul

Vectoriel) un "potentiel vecteur" tel que :

  (65)

qui satisfait donc (la divergence du rotationnel d'un champ est toujours nulle car il s'agit d'une propriété mathématique) :

  (66)

Remarque: Le potentiel vecteur est donc... un potentiel ! De même que nous pouvons définir

un potentiel U dont dérive , nous pouvons définir un potentiel pour le champ . Mais

pour des raisons techniques (provenant de l'expression des rotationnels de et de dans les

équations de Maxwell), le potentiel n'est pas aussi simple que U et ne peut pas s'exprimer comme un simple scalaire : il faut utiliser un potentiel vecteur.

Si nous portons la relation  dans l'équation de Maxwell  nous obtenons :

  (67)

Nous posons maintenant (la notation n'a aucun rapport avec la force newtonienne!):

  (68)

et nous utilisons les propriétés mathématiques des opérateurs rotationnel et gradient pour écrire une nouvelle relation (le signe "-" est là par anticipation de ce qui suivra):

  (69)

où dès lors : 

  (70)

où  est un "potentiel scalaire".

Remarques:

R1. Le champ  semble obéir aux mêmes propriétés que le champ gravitationnel (loi de Newton-Poisson) mais ce n'est qu'une curiosité (les unités et les autres propriétés mathématiques n'étant pas équivalentes)

R2. Le lecteur voit sans peine que si le potentiel vecteur est nul, nous retrouvons alors (cf. chapitre d'Electrostatique) :

  (71)

ce qui renforce les hypothèses des développements précédents (et ce n'est pas tout...)

De plus, les champs  et  restent inchangés si nous effectuons dans les relations précédentes les les remplacements suivants (les termes s'annulent trivialement) :

  (72)

où  est une fonction arbitraire de  et t.

Nous appelons une telle transformation  un "changement de jauge". La liberté sur le choix des potentiels permet de leur imposer une contrainte que nous appelons la "contrainte de Jauge".

Nous utiliserons soit la "jauge de Lorenz" en imposant:

  (73)

ou soit la "jauge de Coulomb" en imposant:

  (74)

Remarque: Nous trouvons souvent dans la littérature la dénomination "jauge de Lorentz" à la place de "jauge de Lorenz", car comme nous l'avons déjà démontré dans le chapitre de relativité restreinte, la jauge de Lorenz est invariante dans les transformations de Lorentz.

Montrons qu'il est possible d'imposer la jauge de Coulomb. Pour cela, étant donnés  et , il suffit de trouver  dans les équations:

  (75)

tel que la relation (jauge de Coulomb) soit vérifiée. Ainsi,   doit vérifier trivialement:

  (76)

La relation :

  (77)

est appelée "équation de poisson du potentiel vecteur".

De même, pour montrer qu'il est toujours possible d'imposer la condition de Lorenz, il suffit de trouver  dans les équations précitées :

  (78)

tel que (nous laissons le soin au lecteur de faire le développement car c'est de l'algèbre élémentaire, sinon quoi envoyez-nous un mail et nous rajouterons ce qui manque) la relation ci-dessous soit vérifiée :

  (79)

où l'opérateur:

  (80)

est par définition appelé le "d'Alembertien" (nous le retrouverons souvent ce terme à partire de maintenant aussi bien en électrodynamique qu'en physique quantique) qui est donc aussi invariant par transformation Lorentz comme nous le verrons lors de notre étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

Donc sans écrire cela avec le d'alembertien nous aurions :

  (81)

Effectivement :

  (82)

En reportant les équations :

 et   (83)

dans les deux autres équations de Maxwell dans le vide :

 et   (84)

nous obtenons, en faisant apparaître le laplacien  par une des propriétés des opérateurs vectoriels rotationnel, gradient et divergence (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

  (85)

Les relations suivantes:

  (86)

la dernière relation étant appelée "jauge arbitraire".

Pour la jauge de Lorenz, ces deux dernières équations se simplifient en (n'hésitez pas à nous contacter si vous ne voyez pas comment) :

  (87)

que nous appelons "équations d'onde des potentiels électromagnétiques" en analogie avec les équations d'onde des champs électrique et magnétique que nous déterminerons plus loin..

Pour la jauge de Coulomb, les mêmes équations se simplifient en:

  (88)

Sachant que nous pouvons aussi écrire les deux équations d'onde des potentiels électromagnétiquesrelations sous la forme :

  (89)

Posons maintenant (afin homogénéiser les unités) tel que nous définissions un "quadrivecteur potentiel" qui nous permet d'écrire vectoriellement les deux relations ci-dessus de manière unifiée :

  (90)

Remarque: Le fait que le d'alembertien du quadrivecteur potentiel s'exprime à partir du quadrivecteur courant qui est contravariant (cf. chapitre de Relativité Restreinte) nous amène à

poser que le quadrivecteur potentiel est lui-même contravariant!

Relation que nous noterons sous une forme condensée de la manière suivante :

  (91)

où sera appelé "quadrivecteur courant".

Remarque: Nous retrouverons ce quadrivecteur lors de notre détermination du tenseur du champ électromagnétique (à la différence que nous serons en unités naturelles mais cela ne change pas le fond...).

Le quadrivecteur potentiel tel que défini nous amène à pouvoir écrire la (quadrivergence) jauge de Lorenz en faisant usage de la notation tensorielle :

  (92)

Ce qui permet finalement d''écrire la jauge de Lorenz sous forme covariante :

  (93)

Il s'agit donc d'une équation de la forme de celle de Klein-Gordon pour une particule de masse nulle (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste). Donc nous pouvons dire dans un sens que l'invariance de jauge électromagnétique est reliée au fait que la masse du photon est nulle!

Remarque: Il est utile de noter que le fait de poser (avec ou sans les unités naturelles où ) est une notation qui sera également adoptée lors de notre étude de l'équation de Dirac (chapitre de physique quantique ondulatoire) ou encore en physique quantique de champs (mis à part qu'il y aura une partie imaginaire).

Ces notations nous amènent enfin à pouvoir écrire :

  (94)

Nous obtenons ainsi l'équation de continuité :

  (95)

équivalent (sous forme) tensoriel de (voir la démonstration juste plus haut dans le texte) :

  (96)

Pour résumer en gros… :

Un certain nombre d'effets physiques se modélisent, selon les cas, par des champs qui peuvent être scalaires, vectoriels, spinoriels ou encore tensoriels que nous appelons donc des jauges. Un certain nombre de phénomènes physiques s'avèrent respecter des conditions dites de symétrie, vis à vis de ces jauges. Cette symétrie s'exprime par ce que nous appelons donc une invariance de jauge.

Par exemple, le champ qui permet de modéliser le champ électromagnétique est comme nous

l'avons vu, un champ de quadrivecteurs formé d'un potentiel scalaire (dont le gradient est le

champ électrique ) et d'un potentiel-vecteur (dont le rotationnel est le champ magnétique ). Ce champ quadrivectoriel qui permet de modéliser le champ électromagnétique est appelé une jauge.

Il s'avère que nous obtenions donc exactement les même effets physiques sur un système de particules chargées si nous remplaçons cette jauge par une autre jaugeen lui rajoutant une contrainte de Jauge (exemple typique entre la jauge de Lorenz ou de Coulomb vues plus haut). L'invariance des lois de la physique lors du passage d'une jauge à une autre étant une invariance de jauge. Dans le cas du champ électromagnétique, cette invariance de jauge s'avère exprimer la conservation de la charge électrique (comme nous l'avons montré).

Mathématiquement, de tels changements de jauges s'avèrent être le résultat de l'action d'un groupe de symétrie de dimension infinie (transformant ces jauges les unes en les autres) que nous appelons le "groupe de jauge" de l'interaction considérée (ici l'interaction électromagnétique).

Pour le champ gravitationnel par exemple (cf. chapitre de Relativité Restreinte), l'interaction gravitationnelle se modélise par un champ de tenseurs symétriques de rang 2 et avec un signature donnée. Ce champ de métrique est distribué sur une variété 4D modélisant l'espace-temps. C'est la jauge de l'interaction gravitationnelle. D'après la relativité générale (principe d'équivalence) nous ne changeons rien à l'interaction gravitationnelle si nous changeons le système de coordonnées spatio-temporelles dans lequel nous exprimons la métrique. Le passage d'une expression de la métrique à une autre en changeant de système de coordonnées est aussi un changement de jauge. L'invariance de jauge de la relativité générale exprime alors la possibilité de passer d'une jauge à une autre sans changer pour autant les géodésiques suivies par des particules test tombant en chute libre dans le champ gravitationnel modélisé par le champ de métrique.

L'invariance de jauge de la relativité générale est ce que nous appelons l'invariance par difféomorphisme (changement de système de coordonnées bijectif présentant un certain degré de régularité) et le groupe de jauge de la relativité générale est donc le groupe des difféomorphisme

de (appelé le "groupe souple").

Il convient de préciser aussi que le potentiel vecteur n'est peut-être pas si virtuel que ça. En effet, il est possible de modifier les trajectoires de particules chargées passant à l'extérieur du

volume cylindrique où règne un champ magnétique induit par un courant électrique (circulant

dans l'enroulement d'un solénoïde où ce champ est "emprisonné"). Il est donc possible

d’influer sur la trajectoire de particules circulant dans une zone où le champ magnétique est nul

mais où son potentiel vecteur ne l'est pas.

Par ailleurs, nous utiliserons les résultats ici lors de notre étude de la théorie de Yang-Mills dans la voie de l'unification électrofaible (voir le modèle standard dans le chapitre de physique quantique des champs).

Remarque: L'expérience connue qui fait intervenir le potentiel vecteur est celle d'Aharonov-Bohm (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).

TENSEUR DU CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE

Afin de déterminer le tenseur du champ électromagnétique supposons dans un premier temps que l'action (cf. chapitre de Mécanique Analytique) d'une particule chargée dans un champ électromagnétique serait donnée par (choix à priori empirique mais… vous verrez un peu plus loin) :

  (97)

Remarque: La notation reste réservée à l'action d'un particule libre (cf. chapire de Relativité Restreinte).

Le lagrangien pour une particule chargée dans un champ électromagnétique est donc la somme

du lagrangien de la particule en interaction avec le champ électromagnétique additioné du

lagrangien de la particule libre (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

  (98)

Remarque: Il s'agit donc du lagrangien de l'interaction de la particule avec le champ additionné du lagrangien de la masse de la particule. Dès lors on voit qu'il manque encore le lagrangien du

champ électromagnégique lui-même en l'absence de charges (appelé : lagrangien du champ libre) mais nous verrons cela plus loin.

Ceci est donc (à priori) le lagrangien d'une particule chargée dans un champ électromagnétique.

Nous allons démontrer que ce lagrangien est correct :

Le moment généralisé est donc (cf. chapitre de Mécanique Analytique et de Relativité Restreinte) :

  (99)

Pour vérifier que nous avons fait le bon choix de lagrangien au départ, nous allons obtenir les équations du mouvement et s'assurer qu'elles coïncident avec la force de Lorentz. Les équations de Lagrange sont, dans ce cas :

  (100)

Or nous avons :

  (101)

et donc :

  (102)

Mais nous avions fait remarquer lors de la définition du potentiel scalaire que d'où :

  (103)

Nous devons donc nécessairement avoir par analogie avec la force de Lorentz :

  (104)

Il nous faut donc avant de poursuivre vérifier que :

  (105)

Avec :

  (106)

En composantes :

  (107)

Donc :

  (108)

et comme :

  (109)

Nous avons donc bien l'égalité :

  (110)

Ces développements confirment donc notre hypothèse initiale comme quoi l'action du champ peut s'écrire :

  (111)

et qu'elle exprime l'interaction d'une particule chargée avec un champ (car on y retrouve la force de Lorentz!).

Nous avons donc maintenant démontré que le "lagrangien de l'interaction courants-champs" :

  (112)

dont avions supposé empiriquement la forme au début est donc finalement bien correct !

L'intégrale d'action s'écrivant alors :

  (113)

Introduisons la vitesse de la particule sous la forme et l'intégrale s'écrit :

  (114)

Nous avons vu en relativité restreinte que :

  (115)

et de même :

  (116)

Les intervalles d'espace-temps sont des invariants tel que (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

  (117)

Si le référentiel O' n'est pas en mouvement ), nous avons:

  (118)

d'où :

  (119)

ce qui s'écrit aussi :

  (120)

Dès lors :

  (121)

Faisons usage du quadrivecteur potentiel (voir plus haut) :

  (122)

Et en faisant usage du quadrivecteur déplacement (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

  (123)

L'expression de l'action d'une particule chargée dans un champ électromagnétique et dans une

métrique de Minkowski (cf. chapitre de Relativité Restreinte et Relativité Générale) se réduit finalement l'expression condensée :

  (124)

avec donc :

  (125)

sans oublier que sur ce site nous utilisons la métrique (cf. chapitre de Relativité Restreinte et Relativité Générale).

Remarquons que l'intégrale d'action en l'absence de champ magnétique et électrique s'écrit :

  (126)

ce qui correspond bien à ce que nous avons obtenu en relativité restreinte pour une particule libre !

D'après le principe de moindre action, l'intégrale d'action a une variation nulle pour le mouvement effectif de la particule, soit :

  (127)

Remarque: De par l'égalité avec zéro, nous pouvons éliminer le signe moins devant l'intégrale.

Utilisant l'expression de l'abscisse curviligne (cf. chapitre Calcul tensoriel et de Relativité Générale) :

  (128)

Pour la métrique de Minkowski nous pouvons écrire (rappelons que dans la métrique euclidienne

seulement les termes de la diagonale où sont non nuls) :

  (129)

Ainsi :

  (130)

l'intégrale précédente s'écrit alors :

  (131)

Cela donne en utilisant les composantes curvilignes (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

  (132)

Intégrons par partie (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) seulement les deux premiers termes de l'intégrale :

  (133)

Intégrons par parties (cf. chapitre de Calcul Intégral Et Différentiel) la première intégrale :

  (134)

Or, comme :

et   (135)

Alors :

  (136)

Avec :

et   (137)

Alors :

  (138)

Les quantités étant arbitraires, l'expression entre crochets est nulle :

  (139)

Notons :

  (140)

Les quantités contravariantes forment les composantes de ce que nous appelons le "tenseur du champ électromagnétique" ou le "tenseur de Faraday" ou plus couramment le "tenseur de

Maxwell". Nous disons alors que est le "rotationnel du potentiel".

Les "équations du mouvement d'un particule dans un champ électromagnétique" prennent ainsi la forme :

  (141)

Remarques:

R1. La lettre F est choisie relativement au physicien Faraday.

R2. Certains physiciens appellent cette relation : "géodésique corrigée par une force de Lorentz" (ce qui n'est au fond pas faux)

R3. Le tenseur de champ électromagnétique est invariant sous les transformations :

  (142)

Effectivement :

  (143)

Dans une métrique de Minkowski (nous allons avoir besoin du tenseur de champ électromagnétique dans le chapitre de relativité restreinte, d'où le choix de cette métrique), nous avons cependant :

  (144)

Ce qui donne :

  (145)

Le terme est traditionnellement toujours notée (même s'il n'est pas plus totalement contravariant).

Il nous reste à déterminer les composantes du tenseur contravariant (tenseur qui a la propriété

d'être antisymétrique tel que ).

Commençons par le plus simple. Nous supposerons comme évident que :

  (146)

Ensuite, en se rappelant que :

  (147)

D'où (rappelons que la métrique de Minkowski est du type ) :

  (148)

Ce qui nous donne pour l'instant :

  (149)

Maintenant, étant connu que et les autres composantes du tenseur s'écrivent compte tenu de :

  (150)

et donc :

  (151)

ainsi, avec les dérivées partielles contravariantes selon la métrique de Minkowski :

  (152)

Ainsi, nous avons :

  (153)

Mais comme nous le verrons en relativité restreinte, le vrai tenseur du champ électromagnétique est être défini par :

  (154)

afin que les transformées de Lorentz soient conformes.

Ce qui fait que l'équation du mouvement est finalement :

  (155)

L'expression sous forme tensorielle du champ électromagnétique met bien en évidence l'unité du champ électromagnétique alors que généralement les champs électrique et magnétique sont considérés séparément en théorique classique.

Mais comme en physique théorique nous travaillons souvent en unités naturelles (c'est un peu la norme...), nous avons alors :

  (156)

et donc l'équation du mouvement :

  (157)

En notant maintenant les composantes de 1 à 4 au lieu de 0 à 3 (c'est plus facile pour les élèves de se repérer dans la matrice) et sans oublier que les dérivées partielles sont covariantes et en

adoptant, à nouveau, les unités naturelles tel que (in extenso ), les deux équations de Maxwell avec sources s'écrivent :

  (158)

En utilisant le tenseur du champ électromagnétique, il apparaît alors remarquablement que ces deux équations peuvent être écrites sous la forme de l'équation tensorielle condensée suivante :

  (159)

où est le "quadrivecteur courant" défini par (en unités naturelles!) :

  (160)

En utilisant la première définition du tenseur de Faraday (celle où les composantes du champ sont

divisées par c)et en prenant pour connu (nous le démontrerons plus tard) que  nous avons dans le système SI :

 avec   (161)

Comme nous allons de suite le voir, la partie temporelle de cette équation donne la divergence du champ électrique et la partie spatiale le rotationnel du champ magnétique.

Remarque: Nous avions déjà rencontré (défini) ce quadrivecteur lors de notre étude de la jauge de Coulomb plus haut ainsi que lors de notre étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de

Relativité Restreinte).

Effectivement :

  (162)

De même, les deux équations de Maxwell :

  (163)

peuvent s'écrire sous la forme condensée tensorielle :

  (164)

Effectivement :

  (165)

Finalement toutes les équations de Maxwell, en adoptant les unités naturelles, se résument à :

  (166)

Nous pouvons aussi utiliser le symbole d'antisymétrie (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) tel que nous puissions écrire :

  (167)

avec pour rappel :

Le lagrangien que nous avons déterminé plus haute n'est cependant pas complet. Effectivement, lorsque nous appliquons le principe variationnel nous avons déjà vu de nombreuses fois dans les différents chapitres de ce site (mécanique classique, mécanique ondulatoire, magnétostatique, relativité restreinte, relativité générale, etc.) que nous pouvions obtenir les équations du mouvement (trajectoires) des sujets (corps) étudiés. Les équations obtenues contenaient aussi des paramètres qui expliquaient la source de ce mouvement (propriétés de la matière, vitesse, champ, etc.) comme cela a été le cas avant!

Précédemment, nous avons appliqué le principe vibrationnel sur le lagrangien d'interaction charge-champ (magnétique + électrostatique) et avons obtenu l'équation du mouvement corrigée par la force de Laplace.

Lorsque nous avons déterminé les équations du mouvement de la particule chargée à partir du principe de moindre action, nous avons fixé le champ électromagnétique (le champ est connu) et nous avons fait varier la trajectoire. Le principe variationnel, doit alors également nous permettre d'obtenir les équations du champ à partir de la démarche inverse : nous fixons la trajectoire de la particule (trajectoire connue) et nous faisons varier le champ électromagnétique (potentiel et tenseur).

Nous devrions alors obtenir les équations de Maxwell qui, au même titre que l'on obtient ce qui fait le mouvement de la particule lors l'on fixe le champ dans le principe variationnel, nous donne l'information sur ce qui est la source du champ électrique et magnétique lorsque l'on fixe la trajectoire dans le principe variationnel.

L'envie est alors très grande de reprendre simplement l'expression de l'action obtenue plus haut :

  (168)

et de lui appliquer une variation sur le champ après un petit changement dans la manière de l'écrire :

Nous savons que les charges électriques bien qu'elles soient ponctuelles, sont considérées généralement comme un charge transportée par un courant répartie de façon continue dans

l'espace. Soit  cette densité de charge, nous avons alors  tel que :

  (169)

Considérons des charges électriques se déplaçant à la vitesse v et écrivons la quantité suivante (ne

pas oublier que nous continuons à travailler en unités naturelles tel que !) :

  (170)

avec en unités naturelles :

Ainsi nous avons :

  (171)

Si nous appliquons le principe variationnel seulement sur le champ (constant en amplitude donc

la source du champ est constante telle que ) et que nous considérons donc le mouvement des charges connues, il est immédiat que le premier terme ci-dessus est nul. Nous avons alors :

  (172)

pour que cette intégrale soit nulle il faudrait que  soit nul… ce qui est plutôt gênant si nous souhaitons déterminer les caractéristique d'une source qui alors n'existerait pas... Dès lors, nous remarquons qu'il manque quelque chose à notre lagrangien!

L'idée est alors la suivante : nous connaissons une équation tensorielle qui fait intervenir la

densité de courant qui est   et qui implicitement contient les deux seules équations de Maxwell qui donnent des informations sur la source des champs électrique et magnétique respectifs (les deux autres donnant des propriétés des champs et non pas des sources) soit (toujours en unités naturelles) :

  (173)

Il est donc suffisant d'obtenir ces deux équations (donc l'équation tensorielle y relative) suite au principe variationnel pour avoir les propriétés de la source du champ.

Ce qui signifie simplement que dans l'idéal nous devrions (et attendons à) avoir est :

  (174)

où l'intégrale s'annule exactement lorsque  !

Il est alors tenant d'écrire quelque chose de la forme (remarquez que nous avons abaissé l'indice du potentiel A et monté celui de la densité de courant j dans la seconde intégrale ce qui ne change rien mathématiquement parlant au résultat)

  (175)

Nous pouvons nous aider de la propriété suivante des quantités du lagrangien pour déterminer l'expression "???" manquante : ils sont tous invariants. En d'autres termes et pour rappel, leur pseudo-norme (scalaire) est égale par changement de référentiel de Galiléen (cf. chapitre de relativité Restreinte) telle que :

  (176)

La première relation est évidente, nous l'avons déjà démontrée de nombreuses fois. La deuxième l'est peut-être moins alors donnons une petit indication (non générale) pour vérifier quelle soit

correcte : est le produit scalaire de j et de A. Si nous faisons subir la même (quadri)rotation aux deux vecteurs, puisque les transformation de Lorentz sont des rotations (cf. chapitre de Relativité Restreinte), l'angle entre j et A reste inchangé et donc le produit scalaire.

Il nous faut donc ceci dit, trouver la quantité "???" comme étant un scalaire invariant faisant intervenir le tenseur de Faraday d'une manière ou d'une autre.

Nous pouvons alors essayer directement avec la quantité suivante (sachant d'avance, grâce à nos précurseurs que c'est la bonne hypothèse) :

  (177)

faisant intervenir le tenseur covariant  et contravariant  de Faraday car nous savons que :

1. C'est un scalaire invariant. Effectivement, écrivons  en termes de champs électriques et magnétiques pour en comprendre la signification physique (en unités naturelles) :

  (178)

Remarque: Si nous n'étions pas en unités naturelles, le résultat du calcul serait de la forme :

  (179)

La quantité  (ou  en unités naturelles) est donc un invariant du champ.

Exemple:

Dans un référentiel O, considérons une onde électromagnétique plane. Les modules du champ

électrique et du champ magnétique sont reliés par  (voir plus loin la démonstration). L'invariant du champ considéré est donc nul. Dans un autre référentiel, avec la même structure du

champ, nous aurons alors aussi .

2. Parce qu'un variationnel sur ce terme donne :

  (180)

où l'on devine qu'en creusent un peu,  contient implicitement le terme . Nous voyons aussi qu'un facteur 2 apparaît tel qu'il nous faudra introduire une constante de normalisation , ne serait-ce déjà aussi que pour l'homogénéité des unités de l'expression de l'action.

Donc finalement essayons avec quelque chose du genre :

  (181)

A présent, pour chercher les équations du champ électromagnétique, nous considérons que les mouvements des charges sont connus et nous utilisons le principe de moindre action en faisant varier seulement les composantes du potentiel-vecteur et celles du tenseur du champ électromagnétique.

Il en résulte que la variation de la première intégrale est nulle et qu'il reste :

  (182)

Substituons dans la seconde intégrale, les composantes  par leur expression implicite

, il vient :

  (183)

Or nous savons que  est égal à  puisque le tenseur de Faraday est antisymétrique :

  (184)

Rien ne nous empêche de permuter les indices  dans le premier membre à droite de l'égalité :

  (185)

Donc finalement :

  (186)

Intéressons nous à la seconde intégrale :

  (187)

En appliquant le théorème de Fubini (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) qui dit que l'on peut intégrer selon n'importe quel ordre les variables d'intégration (sous certaines conditions) on peut alors appliquer l'intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) de manière à écrire :

  (188)

où dS représente la frontière-surface de l'hyper-volume  sur lequel on intégrait initialement et qui omet la variable prise en considération par le choix de l'indice supérieur v.

Maintenant selon l'indice supérieur v concerné, les bornes du premier terme de l'égalité :

  (189)

seront sur les composantes de temps ou les composantes d'espace. Si nous nous concentrons sur les bornes temporelles d'intégration, il s'agit des moments initiaux et finaux de l'action sur laquelle nous appliquons ce variationnel.

Or aux extrémités temporelles, le variationnel du potentiel vecteur  est nul (par définition) donc l'intégrale sur la composante de temps sera nulle.

Maintenant sur les composantes spatiales, les bornes (spatiales) sont celles qui permettent d'intégrer la surface-frontière de l'hyper-volume au temps final. Si celui-ci est pris comme l'infini, le rayon de la surface-frontière sera infini et en tout point de cette surface, l'énergie transportée par le champ ainsi que l'amplitude des composantes du champ sera nulle (voir démonstration plus bas).

Donc le variationnel de l'action s'écrit finalement :

  (190)

Les variations du potentiel-vecteur étant arbitraire, l’intégrale précédente sera nulle si l'intégrande est l'est, d'où la relation

  (191)

ce qui nous amène à :

  (192)

nous retrouvons donc les deux équations de Maxwell donnant exprimant la source si et seulement si (en unités naturelle) :

  (193)

Nous avons donc alors :

  (194)

Avec finalement pour "lagrangien total de l'interaction charge-champ" en unités naturelles est :

  (195)

ou avec le système SI :

  (196)

Remarque: Nous reviendrons sur ce lagrangien avec une autre approche (très intéressante) dans le chapitre de physique quantique des champs.

Équations d'onde Électromagnetique Maxwell supposa que l'onde électromagnétique était une combinaison des phénomènes qu'explicite la troisième et quatrième équation. Si une onde électromagnétique est éloignée de sa source on peut alors négliger la densité superficielle de courant de la source comme ayant une influence nulle sur l'onde (nous disons alors que ce sont les équations de Maxwell sans source dont nous avons déjà fait mention plus haut). Alors, les troisième et quatrième équations de Maxwelle s'écrivent :

et   (197)

Les champs d'excitation magnétique et électrique étant perpendiculaires, plaçons-les de

façon commode dans un système d'axes orthogonaux  unitaires et euclidiens appartenant

à en choisissant que: 

 et   (198)

Remarque: Attention! Il faut bien se rappeler que dans ce qui suit, H est la composante en z de

et E la composante en y de .

Le calcul (simple) de  et  donne, après simplification:

et   (199)

d'où:

et   (200)

En identifiant les termes semblables, nous obtenons "l'équation de propagation" du champ électrique :

  (201)

et procédant de manière identique :

  (202)

relations qui sont toutes deux de la forme d'une équation d'onde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire)  de la forme (rappel) d'une équation de Poisson : 

  (203)

où nous avons : 

   et   (204)

La vitesse de propagation de l'onde électromagnétique dans le vide est donc:

  (205)

les unités ainsi que les valeurs numériques concordent...

La vitesse de propagation de l'onde électromagnétique dans la matière est donc:

  (206)

car l'expérience montre que nous ne pouvons dépasser la vitesse de la lumière, ce qui est un des postulats de la relativité restreinte et générale.

Donc nous pouvons finalement écrire :

  (207)

soit en utilisant le d'Alembertien en une dimension :

  (208)

A défaut d'avoir trouvé l'expression directe de E(x,t) et B(x,t), nous venons d'obtenir des équations différentielles ne contenant qu'un seul de ces champs. Nous appelons ces équations respectivement "équation d'onde pour le champ électrique" et "équation d'onde pour le champ d'induction magnétique".

Elles ont la même forme et admettent une solution du même type. Une solution évidente et particulière (nous laissons le soin au lecteur de faire cette vérification) des ces équations différentielles est la fonction trigonométrique sinus:

  (209)

en se rappelant la relation entre la pulsation , la vitesse de propagation c et le nombre d'onde k que nous avions démontré dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire.

Une solution plus générale est la somme des solutions triviales (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

  (210)

Mais nous avons vu lors de notre étude des phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) que cette solution réelle n'est qu'un cas particulier d'une solution plus générale et se trouvant dans le corps des complexes. Donc finalement, nous pouvons écrire :

  (211)

ce qui constitue l'onde plane monochromatique qui est le type d'onde le plus simple à manipuler en physique.

En trois dimensions, la solution est par extension :

  (212)

Remarque: L'onde monochromatique ne peut pas représenter une réalité physique. En effet, si nous calculons l'énergie électrique associé à tout l'espace, nous obtenons pour celle-ci une énergie infinie (car elle n'a ni début, ni fin!) ce qui n'est pas réaliste.

Or, l'équation des ondes est linéaire (solution est toujours la somme d'autres solutions). Donc ceci implique qu'une superposition d'ondes de fréquences  différentes (nombre d'onde et pulsation aussi alors!) est également solution. Ainsi, en variant le vecteur d'onde (et implicitement via sa norme, la pulsation, la fréquence et la période) nous balayons également l'ensemble des directions de propagation possibles.

Ecrit mathématiquement cela donne, pour le champ électrique :

  (213)

et rien ne nous empêche de sortir une coefficient de l'amplitude initiale du champ tel que :

  (214)

et nous retrouvons donc ici une relation très similaire une transformée de Fourier inverse (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) ce qui est remarquable! Alors l'astuce consiste maintenant à

poser  car la relation précédente n'est alors pas qu'une simple analogie avec la transformée de Fourier, c'est une transformée de Fourier!

Nous pouvons donc relier le champ réel  au champ  :

  (215)

Ces deux relations étant souvent condensées sous la forme :

  (216)

Le champ réel est donc à l'instant initial la transformée de Fourier inverse du champ . Le

terme  représente donc la composante spectrale liée au vecteur d'onde particulier  du champ réel. Cette solution générale de l'équation des ondes s'appelle un "paquet d'ondes"

 

Rappels :

R1.Identiquement à la mécanique ondulatoire (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire), les

coefficients  (pulsation) et (nombre d'onde) sont exigés pour exprimer la variation du sinus par des radians et pour lui donner une direction et une pulsation.

R2. La périodicité dans le temps de la fonction sinus impose:

  (217)

d'où la définition de la période de l'onde :

  (218)

R3. La périodicité dans l'espace donne permet de définir façon identique la longueur d'onde de la fonction comme :

  (219)

Nous constatons donc que l'onde plane se déplace selon x en parcourant une distance  en un

temps . La vitesse de l'onde électromagnétique est alors:

  (220)

En introduisant:

  (221)

dans  nous obtenons le résultat remarquable pour l'onde plane oscillatoire:

  (222)

Équation de helmoltz

Maintenant, examinons en détail une autre solution de la forme :

  (223)

où cette fois-ci, nous faisons explicitement mention des coordonnées afin d'éviter toute confusion.

Remarque: La solution particulière avec le cosinus est plus appréciée par les enseignants que celle avec le sinus car elle permet comme nous allons le voir, une écriture condensée avec les phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire).

Si nous utilisons la notion de phaseur, nous pouvons récrire cette solution sous la forme :

  (224)

Donc :

  (225)

dans l'équation d'onde :

  (226)

nous obtenons :

  (227)

qui n'est d'autre que"l'équation de Helmoltz" (pour l'électrodynamique) à un dimension. Il s'agit bêtement de l'équation d'onde écrite d'une manière traditionnelle particulière que l'on retrouve dans de nombreux autres domaines de la physique.

Énergie véhiculée

Il est évident que toute onde électromagnétique transporte donc de l'énergie. Exprimons la valeur de cette énergie. 

La direction de propagation d'une onde électromagnétique étant celle du vecteur , nous

définissons alors le vecteur de Poynting  comme:

  (228)

dont la valeur s'exprime en joules par seconde et par unité de surface:

La norme du vecteur de Poynting représente donc la puissance instantanée qui est transportée par l'onde électromagnétique à travers une surface unitaire, perpendiculaire (nous insistons sur le "perpendiculaire") à sa direction de propagation. Dès lors, nous pouvons aussi écrire le vecteur de Poynting sous la forme (attention à ne pas confondre l'énergie et le champ électrique qui sont représenté par la même lettre) :

  (229)

où est comme à l'habitude le vecteur unitaire perpendiculaire à (cette dernière relation nous sera utile pour étudier une petite propriété du rayonnement synchrotron).

Pour une onde électromagnétique plane, la norme du vecteur de Poynting vaut:

  (230)

Cette grandeur varie en fonction du temps et du lieu. En un endroit donné, sa valeur moyenne est

la valeur moyenne du pendant une période :

Rappel:

  (231)

Donc :

  (232)

La valeur moyenne du vecteur de Poynting d'une onde électromagnétique plane est une constante… qui ne dépend ni de la position et du temps.

Remarque: Nous pouvons faire un analogie osée et amusante avec l'électronique en faisant une

analyse dimensionnelle du produit ci-dessus. Nous avons :

  (233)

...pour démontrer l'énergie contenue dans une unité de volume les physiciens pragmatiques feraient une analyse dimensionnelle. Evitons cela et intéressons nous toujours au cas particulier de l'onde plane:

Basons-nous sur l'énergie électrique d'une capacité plane idéale productrice d'ondes électromagnétiques planes avec un rendement de 100%:

  (234)

et notons la densité volumique d'énergie :

  (235)

d'où nous tirons que : 

  (236)

et l'énergie totale transportée par l'onde électromagnétique dans ce cas particulier est donc:

    (237)

Donc la densité d'énergie électrique d'une onde électromagnétique est égale à sa densité d'énergie magnétique.

De par ce résultat, nous sommes amenés à définir "l'intensité I (moyenne) d'une onde électromagnétique" par la valeur moyenne de son vecteur de Poynting:

  (238)

C'est donc la puissance moyenne que transporte l'onde par unité de surface. Or, nous avons démontré plus haut l'expression moyenne du vecteur de Poynting, ce qui nous amène à écrire :

  (239)

Maintenant, utilisant la relation entre énergie et quantité de mouvement (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire):

  (240)

nous obtenons la densité de quantité de mouvement de l'onde électromagnétique:

  (241)

Or si la direction de  est perpendiculaire au front d'onde et est donc confondue avec la direction de propagation de l'onde son module est:

  (242)

Nous avons donc pour la densité de quantité de mouvement:

  (243)

Comme la quantité de mouvement doit avoir la direction de la propagation, nous pouvons écrire sous forme vectorielle:

  (244)

Si une onde électromagnétique possède de la quantité de mouvement, elle possède aussi une densité de moment cinétique. Le moment cinétique par unité de volume est alors:

  (245)

Ainsi, une onde électromagnétique transporte de la quantité de mouvement et du moment cinétique aussi bien que de l'énergie!!!

Ce résultat n'est pas surprenant. Une interaction électromagnétique entre deux charges électriques implique un échange d'énergie et de quantité de mouvement entre les charges. Cela s'effectue par l'intermédiaire du champ électromagnétique qui transporte une densité d'énergie et de quantité de mouvement échangés.

ÉMISSIONS

Pour prévoir la forme et les propriétés du rayonnement émis par des antennes ou autres sources il faudrait rigoureusement faire appel à des ordinateurs et aux modèles numériques correspondants au problème à étudier. Formellement, le résolution des équations de Maxwell dans des systèmes macroscopiques est assez difficile et prend du temps. De plus, ceci est plutôt le travail de l'ingénieur qui cherche une exploitation pratique à partir de théories fondamentales. Le physicien théoricien s'intéresse aux fondements de l'univers et aux systèmes isolés et parfaits. 

Cependant, nous souhaiterions exposer la théorie de la diffraction et pour cela, nous devons faire un crochet théorique à une approximation des propriétés du rayonnement d'une source ponctuelle sphérique dans le vide.

L'onde dans le cas d'une source ponctuelle sphérique se propage sphériquement dans l'espace (nous parle alors "d'onde sphérique")  et le vecteur de Poynting est radial.

Les vecteurs  et  sont localement contenus dans le plan tangent à la sphère de rayon r (c'est logique!).

Pour que le flux d'énergie soit constant, l'intensité de l'onde doit diminuer avec la distance. En

effet, la conservation de l'énergie impose qu'à travers une sphère de rayon  l'énergie  

rayonnée par unité de temps soit égale à celle  qui traverse la sphère de rayon :

  (246)

Ceci implique naturellement:

  (247)

Mais:

  (248)

ce qui implique:

  (249)

Nous pouvons faire de même pour la composante du champ magnétique.

Conclusion : l'intensité I d'une onde électromagnétique sphérique se propageant dans le vide

diminue en et l'amplitude des champs électrique et magnétique diminue en 1/r. Par extension (information importante pour les téléphones portables) l'énergie transportée diminue donc en

.

Il est facilement compréhensible maintenant d'appréhender pourquoi les phyisciens utilisent systématiquement la fréquence pour caractériser une onde car l'amplitude n'est pas constante dans

le vide alors que la fréquence est une sorte de signature de l'émetteur qui ne se perd pas à travers l'espace!!!

RAYONNEMENT SYNCHROTRON

Considérons une charge en mouvement uniforme rectiligne. Les champs électrique et magnétique d'une telle charge ont été étudiés dans les chapitres précédents. Nous avons également démontré plus haut que le champ magnétique est dans cette configuration, toujours perpendiculaire au champ électrique. Conséquence : le champ électrique est radial et le champ magnétique transversal.

Conséquence : si nous entourons la particule en mouvement d'une surface sphérique fermée imaginaire, nous avons alors trivialement (voir la définition du vecteur de Poynting) :

  (250)

puisque effectivement, en tout point de la surface, en est perpendiculaire, tangent, donc

tangent aussi et donc l'angle entre et est égal à un angle droit donc le produit scalaire est nul.

Conclusion : le flux total d'énergie rayonnée est nul pour une charge en mouvement rectiligne uniforme. Autrement dit, une charge en mouvement rectiligne uniforme, ne rayonne pas d'énergie électromagnétique mais transporte avec elle l'énergie du champ électromagnétique (nous voilà rassuré !). Ceci est confirmé par les observations expérimentales.

Cependant, la situation est très différente pour une charge en mouvement accéléré. Le champ électrique d'une charge accélérée n'est plus radial et ne possède plus la symétrie par rapport à la charge qu'il possède lorsque le mouvement est uniforme (nous allons le démontrer). Conséquence… une charge électrique accélérée rayonne de l'énergie électromagnétique et donc voit son énergie cinétique diminuer !

Une conclusion importante est qu'il faut, pour maintenir une charge en mouvement accéléré, fournir de l'énergie pour compenser celle perdue par rayonnement. Si la particule au lieu d'être accélérée est décélérée (c'est typiquement ce que nous cherchons à faire en radioprotection) à nouveau la particule va émettre de la même manière le même rayonnement (nous allons le démontrer). C'est ce qui ce produit, par exemple, lorsqu'une charge, telle qu'un électron ou un proton, heure une cible à grande vitesse. Une fraction substantielle de son énergie totale s'en va sous forme d'un rayonnement appelé "rayonnement de freinage" ou plus communément "bremsstrahlung" (de l'allemand Bremsung : freinage; et Strahlung : rayonnement).

Les équations que nous allons déterminer restent valable pour n'importe quel type de mouvement accéléré relativiste ou non. Par exemple, une particule chargée se déplaçant sur une orbite circulaire est soumise à une accélération centripète et émet donc du rayonnement. Par conséquent, lorsqu'un ion est accéléré dans un accélérateur cyclique, comme un cyclotron, un

bêtatron ou un synchrotron, une fraction de l'énergie qui lui est fournie est perdue sous forme de rayonnement électromagnétique, cet effet étant relativement plus important dans les accélérateurs cycliques que dans les accélérateurs linéaires.

Quand les charges atteignent des énergies très élevées, comme cela se produit dans les synchrotrons où l'accélération est grande (heureusement pour nous car cela nous permettre de faire une petite approximation fort utile…), les pertes dues au rayonnement, appelé "rayonnement synchrotron", deviennent importantes et constituent une limitation sérieuse dans la construction d'accélérateur cycliques de très haute énergie.

Une autre considération importante se rapport à la structure atomique. Selon le modèle atomique de Rutherford (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire), nous imaginons l'atome comme formé d'un noyau central chargé positivement, les électrons chargés négativement décrivant autour de lui des orbites fermées. Mais ceci implique, que les électrons se déplacent suivant un mouvement ayant une accélération et, si nous appliquons les idées développées jusqu'à maintenant, tous les atomes devraient rayonner continuellement de l'énergie (même en l'absence de source d'énergie extérieure comme le Soleil). Par suite de cette perte d'énergie, les orbites électroniques devraient se contracter, amenant à une réduction correspondante de la taille de tous les corps. Heureusement pour nous, cela ne s'observe pas (la matière ne s'effondre pas sur elle-même) mais cela nous amène donc à supposer dans le cadre du modèle de Rutherford que le mouvements des électrons dans les atomes est gouverné par certains principes supplémentaires que nous n'avons pas encore envisagés. C'est ce qui nous amènera à créer le modèle de Bohr de l'atome (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire).

Pour déterminer l'énergie émise par une charge en mouvement accéléré nous allons devoir faire usage d'outils mathématique qui ne sont plus du même niveau que ceux utilisés précédemment. Il est donc conseillé que le lecteur ait un bon bagage mathématique. Par ailleurs, exceptionnellement nous ferons usage de logiciels de calculs pour certains point du développement.

Considérons tout d'abord le schéma suivant :

  (251)

Lorsque la distribution de charges et la distribution de courant se trouvent au

point , le point M reçoit l'onde électromagnétique émise par les charges et le courant lorsqu'ils

étaient au point c'est-à-dire à l'instant t' (à cause de la vitesse limite de la propagation du champ

dans l'espace). Le retard temporel est la durée de propagation depuis le point vers le point M, soit :

  (252)

Donc :

  (253)

Soit :

  (254)

Les potentiels au point de coordonnée vectorielle au temps t ont pour expressions :

  (255)

Remarque: Nous allons faire usage de ces deux relations du potentiel dans notre étude du champ rayonné car leur forme mathématique similaire nous permettra, du moins nous l'espérons…, de simplifier les développements.

Ces deux relations nous sont déjà partiellement connues, la première qui exprime le potentiel électrique (retardé) a été démontrée dans le chapitre d'électrostatique dans le cadre non relativiste (donc nos calculs risquent de ne pas être corrects si nous tombons un résultat qui dépend de la vitesse ! … nous verrons bien).

Concernant la deuxième relation qui exprime le potentiel-vecteur retardé, nous avons vu plus

haut que était toujours juste au gradient d'une fonction additive près pour (de par les propriétés des opérateurs vectoriels différentiels) tel que :

  (256)

et que soit sous forme relativiste ou non, nous avions :

  (257)

Rappelons aussi (cf. chapitre de Magnétostatique) que :

  (258)

Il s'ensuite que si nous posons :

  (259)

que nous retrouvons la loi de Biot-Savart puisque si et seulement si ne dépend pas de r alors (trivial) :

  (260)

Nous obtenons donc bien :

  (261)

Bien que cette forme du potentiel vecteur ne donne que la loi de Biot-Savart sous forme non relativiste, comme elle satisfait toujours :

  (262)

elle est quand même valable dans le cadre relativiste car cette équation de Maxwell ne dépend pas de la vitesse. De plus, si nos résultats dans l'étude du rayonnement synchrotron nous donne à la fin une expression indépendante explicitement de la vitesse, nous aurons encore une fois confirmé cet état de fait.

POTENTIELS DE LIÉNARD-wIECHERT

Soit le cas où une particule de masse et de charge parcourt une trajectoire . Par rapport à un

point origine O, sa coordonnée vectorielle est , son vecteur vitesse sera noté

et son accélération .

Si la charge ponctuelle q se situe à l'origine O, nous avons vu dans le chapitre de calcul différentiel et intégral que la fonction de dirac nous donne :

  (263)

ainsi que si la charge ponctuelle q se situe à une abscisse , nous avions :

  (264)

Ce qui vient d'être dit pour un espace à une dimension peut aussi être appliqué à un espace à trois dimensions comme nous l'avions vu et nous écrivons alors :

  (265)

Si nous choisissons pour unités pour la fonction de dirac des , alors nous pouvons écrire :

  (266)

où est alors la charge totale au point .

Pour la distribution de la densité de courant, avons de même toujours en choisissant les mêmes unités pour la fonction de dirac :

  (267)

Dès lors au point M, les potentiels au temps t ont pour expression

  (268)

A terminer...

ELECTRODYNAMIQUE

Le développement de l'électrodynamique a permis à une grande partie de l'humanité de

modifier considérablement sa qualité de vie. Nous savons à peu près tous aujourd'hui ce que nous lui devons (et aux physiciens et mathématiciens qui y ont travaillé) : lumière, frigo, radio, télévision, ordinateurs, voitures, trams, trains, avions, robots, et d'autres choses merveilleuses et parfois moins aussi.

L'application de l'électrocinétique (les ingénieurs parlent "d'électronique" ou "d'électrotechnique") a pris une telle amplitude et une telle importance dans la vie du physicien pour vérifier expérimentalement ses résultats théoriques qu'il nous semble pertinent de présenter.

Avant de commencer à étudier l'électrocinétique nous allons définir les deux lois (le terme est mal choisi puisque la première est démontrée en électrostatique et la seconde en électrodynamique mais bon… conformons-nous à la tradition) fondamentales de l'étude de l'électrocinétique et définir la terminologie de base des circuits ou installations électriques. Même si certains éléments ne seront pas compris de suite par le lecteur, ceux-ci deviendront triviaux a fur et à mesure de l'avancement de sa lecture.

Définitions:

D1. Un circuit électrique est constitué d’un ensemble de dispositifs appelés "dipôles", reliés entre eux par un fil conducteur et formant ainsi une structure fermée.

D2. Un "nœud" d’un circuit est une interconnexion où arrivent 3 fils ou plus.

D3. Une "branche" est un tronçon de circuit situé entre deux noeuds.

D4. Enfin, une "maille" est un ensemble de branches formant une boucle fermée.

Remarque: Un dipôle s’insère dans un circuit par l’intermédiaire de deux pôles, l'un par où s’effectue l’entrée du courant, l’autre la sortie (borne moins) selon la convention des physiciens.

Le dipôle est caractérisé par sa réponse à une différence de potentiel U entre ses bornes : c'est à dire la courbe caractéristique I=f(U).

Nous verrons que dans tout conducteur, la présence d’une résistivité (voir plus loin) entraîne une chute de tension et, en toute rigueur, il en va de même pour les fils. Mais ceux-ci étant mis en série avec d’autres dipôles, nous négligeons en général la résistance des fils devant celle des dipôles présents. Donc, les fils situés entre deux dipôles d’un circuit seront supposés équipotentiels (le potentiel est le même sur les deux bornes).

LOIS DE KIRCHHOFFLes lois de Kirchhoff en électrocinétique (à ne pas confondre avec celle de la thermodynamique et de l'optique) expriment les propriétés physique de la charge et du champ électrique et sont donc au nombre de deux (une loi pour chaque).

Elles vont nous permettre sans faire appel à l'artillerie mathématique implicitement cachée derrière d'obtenir simplement des résultats fort pertinents pour les ingénieurs.

LOI DES MAILLES

La loi des mailles (implicitement il s'agit simplement de la conservation de l'énergie) exprime le fait que lorsqu'une charge parcourt un circuit fermé (chemin fermé), l’énergie qu’elle perd en traversant une partie du circuit est égale à l’énergie qu’elle gagne dans l’autre partie. Ainsi, la somme algébrique des potentiel le long d’une maille est nulle telle que :

  (1)

Pour cela, il faut choisir arbitrairement un sens de parcours de la maille et convenir que les tensions dont la flèche pointe dans le sens du parcours sont comptées comme positives et les autres comme négatives.

Remarque: Cette loi exprime tout simplement du fait que le champ électrique (Coulombien) est un champ conservatif comme nous l'avons vu dans le chapitre d'électrostatique.

LOI DES NŒUDS

La loi des noeuds (implicitement il s'agit simplement de la conservation du courant) exprime la conservation de la charge qui signifie que la somme des courants sortant d’un nœud (un nœud peut être vu comme un séparateur de lignes de champs – in extenso des volumes rattachés par une même surface) est égale à la somme des courants entrant. Autrement dit, la somme algébrique des courants est nulle en tout noeud d’un circuit.

  (2)

Pour cela, il faut choisir un signe pour les courants entrant et le signe contraire pour les courants sortant (comme nous le faisons en thermodynamique).

Remarque: Cette loi exprime tout simplement l'équation de conservation de la charge (ou de continuité de la charge) que nous avons démontré dans le chapitre d'électrodynamique.

LOI D'OHMLa détermination de la loi d'Ohm, va nous permettre d'introduire les concepts élémentaires de l'électrocinétique. Dans un premier temps, nous allons définir ici le courant, la densité de courant et la résistance. Une fois ce travail effectué, nous définirons l'inductance et déterminerons les propriétés des assemblages des résistances, capacités et inductances.

Un conducteur électrique (nous ne parlons pas de semi-conducteurs ou supra-conducteurs à ce

niveau du discours) peut être vu très basiquement comme un tuyau de section  contenant un gaz d'électrons formé de n charges élémentaires q par unité de volume. En absence de champ électrique, chaque électron possède une vitesse moyenne vectorielle nulle car il reste au voisinage

de l'atome. Sous l'action d'un champ électrique , certains électrons sont déplacés dans une direction privilégiée, jusqu'à ce qu'ils entrent en collision avec un autre atome (aspect classique) où il reprennent une vitesse moyenne nulle et ainsi de suite.

Remarque: Une telle modélisation de l'aspect microscopique du courant est appelé "modèle de Drude".

La distance  parcourue est appelée "libre parcours moyen de l'électron de conduction" et si  est l'intervalle de temps entre deux collisions successives alors nous avons trivialement:

  (3)

Nous supposons que:

  (4)

la vitesse moyenne, est créée par l'accélération du champ électrique:

  (5)

Donc:

  (6)

La vitesse moyenne est supposée identique pour tous les électrons libres. Elle permet de définir "l'intensité" I du courant électrique dans le conducteur.

Définition: Le "courant" ou "intensité"  I mesure la charge qui traverse la section droite  S d'un conducteur par unité de temps dt et est donc donné par :

  (7)

Une tranche de conducteur, de volume  contient donc la charge:

  (8)

Elle traverse la section S en un temps dt, tel que:

  (9)

Le courant s'écrit alors:

  (10)

Si I est vu comme le flux d'une "densité de courant" J à travers la surface S, nous avons alors :

  (11)

la densité de courant étant supposée constante sur chaque point de la surface.

Nous avons donc:

  (12)

Après simplification:

  (13)

qui est donc l'expression de la "densité de courant" dans le conducteur.

Comme nous connaissons l'expression de la vitesse, nous pouvons écrire:

  (14)

En nous définissons la "conductivité" par: 

  (15)

Ainsi:

  (16)

qui est la "loi locale d'Ohm". Nous la retrouverons sous forme différentielle dans le chapitre de Mécanique Statistique et nous verrons qu'elle appartient au fait à la famille des lois de diffusion!

Remarque: Puisque la conductivité est nécessairement un scalaire, l'écriture vectorielle de la loi d'Ohm implique que les lignes de champ électrostatique indiquent également le chemin pris par les charges électriques. Par ailleurs, comme la conductivité est un scalaire nécessairement positif dans le modèle classique, ceci n'implique que le courant à la même direction que le champ électrique.

Si nous multiplions l'égalité sous forme scalaire à droite et à gauche par L nous obtenons:

  (17)

Donc nous avons:

 ou   (18)

Nous définissons l'inverse de la conductivité comme la "résistance électrique" définie par:

  (19)

Remarque: Il est important pour l'ingénieur de remarquer que la résistance électrique est proportionnelle à la longueur de l'élément résistif et inversement proportionnel à sa surface de section. Par exemple dans les câbles hautes tension la résistance est donnée en Ohm par kilomètre ce qui permet ensuite de calculer la puissance perdue par kilomètre et donc aussi l'argent perdu par perte Joule.

Dès lors, nous pouvons écrire la loi d'Ohm sous sa forme la plus communément connue :

  (20)

où donc (attention!!!) le potentiel représente la différence de potentiel sur la longueur de l'élément résistif (appelé également "dipôle résistif") comme nous le voyons dans les développements et non pas le potentiel total extérieur !

Remarque: Cette relation n'est valable que pour des conducteurs idéaux dans des conditions normales de températures et de pression et pour lesquels le modèle de Drude s'applique. Donc les semi-conducteurs et supra-conducteurs en sont exclus.

Puisque U est le potentiel de l'élément résistif, nous faisons alors souvent référence dans le domaine de l'électrotechnique à la "chute de potentiel" (effectivement, au delà de l'élément résistif le potentiel n'est plus le même que le point qui précède ce même élément résistif).

Nous pouvons maintenant nous intéresser sur toute la longueur d'une ligne de champ électrique parcourue colinéairement par une courant I supposé constant sur toute la longueur (c'est une

approximation donc…), quelle est la résistance totale si n éléments résistifs sont mis les uns à cotés des autres linéairement ?

La réponse est relativement simple puisque si nous notons le potentiel à la première

extrémité de l'élément résistif et l'autre extrémité, nous avons alors (le lecteur remarquera que l'usage de la loi des mailles dans la relation suivante se fait logiquement sans même avoir nécessairement connaissance de celle-ci) :

  (21)

c'est-à-dire un résultat analogue à celui obtenu par une résistance unique dont la valeur est donnée approximativement par (si les courant est constant sur toute la ligne) la "résistance équivalente de résistances en série" :

  (22)

Considérons maintenant n résistances en parallèles toutes sous une tension U (de par la loi des mailles) et alimentées par un courant I. Le courant se sépare alors en n courants :

  (23)

Dans chacune des n branches. En vertu de la loi des nœuds, nous avons :

  (24)

c'est-à-dire que l'ensemble des résistances mises en parallèles sont analogues à une "résistance équivalente de resistances en parallèles":

  (25)

Le fait de brancher des appareils en parallèle permet donc d'avoir toujours la même tension aux bornes de ceux-ci. C'est ainsi que sont disposé par ailleurs les prises électriques dans une installation domestique!

Nous pouvons de même, appliquer le même type de raisonnement aux capacités. Rappelons que nous avons démontré dans avons défini dans le chapitre d'électrostatique, la capacité comme étant donnée par :

  (26)

Considérons, au même titre que les résistances, n condensateurs de capacités mis en série les

uns derrière les autres. Nous protons aux potentiels et les deux extrémités de la chaîne et nous apportons la charge Q sur l'ensemble du système. Le potentiel (tension) total aux bornes de la chaîne de condensateur s'écrit alors simplement :

  (27)

et correspond donc à celle d'une capacité unique C de "capacité équivalente de capacités en série" :

  (28)

Considérons maintenant n condensateurs de capacités mis en parallèle avec le même potentiel U. La charge électrique de chacun d'entre eux est alors imposée (de par la loi des mailles) par la

relation . La charge électrique totale est simplement :

  (29)

ce qui correspond à une "capacité équivalente de capacités en parallèle" :

  (30)

qui est la somme des capacités individuelles.

FORCE ÉLECTROMOTRICESoit une portion AB d'un circuit, parcourue par un courant permanent I allant de A vers B. L'existence de ce courant implique que le potentiel en A est supérieur (différent) en valeur absolue à celui en B (en valeur absolue). Cette différence de potentiel se traduit par l'existence du

champ électrostatique produisant une force de Coulomb capable d'accélérer une charge q.

Ainsi, soit la puissance nécessaire pour communiquer une vitesse v à une particule de

charge q quelconque. Sachant que dans ce conducteur il y a porteurs de charge par unité de volume, la puissance totale P mise en jeu dans le brin AB parcouru par un courant I est :

  (31)

c'est-à-dire :

  (32)

où . Cette puissance est donc la "puissance électrique" disponible entre A et B, du simple fait qu'il y circule un courant I.

Si nous considérons dans ce circuit AB une partie résistive pour laquelle nous mesurons une différence de potentielle

alors la puissance disponible à l'intérieur de celui-ci est donné par la "puissance joule":

  (33)

Ainsi, parmi cette puissance disponible, une certaine partie est dissipée sous forme de chaleur (effet Joule) dans un dipôle passif tel que la résistance.

Cependant, quelque chose cloche dans nos développements précédents si nous y regardons de plus près. Effectivement, si nous appliquons le raisonnement précédent à un circuit fermé, c'est-à-dire si nous regardons la puissance totale fournie entre A et A par la force de Coulomb, nous obtenons (bien évidemment puisque le champ électrostatique coulombien est conservatif) :

  (34)

c'est-à-dire une puissance nulle?! Eh oui! Cela signifie qu'il ne peut y avoir de courant en régime permanent et lorsque qu'il y a un courant, alors cela implique que la force de Coulomb n'est pas responsable du mouvement global des porteurs de charge dans un conducteur !

Dès lors, le courant dans un conducteur peut être compris alors avec l'analogie de la rivière circulant dans son lit (…). Pour qu'il y ait un écoulement, il faut que l'eau s'écoule d'une région plus élevée vers une région plus basse (d'un potentiel gravitationnel plus haut vers un autre plus bas). Ainsi, le mouvement de l'eau d'un point élevé vers un point plus bas est bien dû à la simple force de gravitation. Mais si nous voulons constituer un circuit fermé, alors il faut fournir de l'énergie (grâce à une pompe) pour amener l'eau à une plus grande hauteur et le cycle peut alors recommencer.

C'est exactement ce qui se passe dans un circuit électrique. Si nous voulons qu'un courant permanent circule il faut qu'une autre force que la force électrostatique permette aux charges de fermer le chemin (c'est un raisonnement purement mathématique) ! C'est à ce titre que nous devons faire intervenir une source d'énergie "artificielle" externe tel que le "générateur électrique" qui est alors l'équivalent de la pompe hydraulique pour l'eau.

Le générateur doit alors nous imposer comme propriété physique que lorsque son circuit est ouvert ( ) une "différence de potentiel" (abrégée D.D.P.) se maintienne entre ses bornes

impliquant nécessairement la présence d'une autre force compensant l'attraction coulombienne du conducteur. Ainsi, la force totale s'exerçant sur une charge q s'écrit dès lors :

  (35)

avec étant le champ électrostatique et le "champ électromoteur". À l'équilibre et en l'absence de courant, nous devons avoir :

  (36)

Cela signifie que la D.D.P. aux bornes d'un générateur ouvert vaut alors :

  (37)

Nous appelons et notons :

  (38)

(un peu maladroitement) la "force électromotrice" FEM propre du générateur.

Puisque, à l'intérieur du générateur, nous avons :

  (39)

à circuit ouvert, cela signifie qu'un générateur est un conducteur non-équipotentiel (ou à "champ non conservatif"). À l'équilibre, mais en présence d'un courant I (générateur branché dans un circuit fermé), les porteurs de charge responsables de ce courant subissent une force supplémentaire, due aux collisions se produisant à l'intérieur du conducteur. Pour un générateur idéal, ces collisions sont négligeables et nous obtenons :

  (40)

En revanche, pour un générateur non idéal, de telles collisions se produisent et se traduisent par l'existence d'une résistance interne r.

Ainsi, la vraie force électromotrice est donnée par :

  (41)

La résistance interne du générateur introduit donc une chute de tension proportionnelle au courant fourni, ce qui fait qu'il délivre un potentiel inférieur à celle donnée par sa FEM.

Les générateurs diffèrent selon la source d'énergie utilisée et la méthode de conversion de celle-ci

en énergie électrique (autrement dit, selon la nature de ). Nous pouvons ainsi produire de l'énergie électrique à partie d'une pile (énergie chimique), d'un générateur électrostatique (énergie mécanique, ex. : machine de Van der Graaf), d'une dynamo (énergie mécanique), d'une pile solaire (énergie du rayonnement) ou d'un thermocouple (chaleur, c'est-à-dire énergie cinétique désordonnée).

Reprenons le calcul fait précédemment mais appliquons-le cette fois-ci à l'ensemble du circuit.

Soit alors V le volume total occupé par le conducteur formant le circuit et la force s'exerçant sur les charges mobiles q et donc responsable de leur mouvement. La puissance totale P qui doit être fournie en régime permanent est alors :

  (42)

où :

  (43)

est la FEM totale du circuit. L'intégrale portant sur l'ensemble du circuit, la FEM totale est donc la somme des FEM présentes le long du circuit (s'il y en a). Si celles-ci sont localisées dans des dipôles, l'expression devient :

  (44)

où les sont les valeurs algébriques des différentes F.E.M. :

1. correspond à un "générateur" (production d'énergie électrique)

2. correspond à un "récepteur" (consommation d'énergie électrique)

Un moteur convertit de l'énergie électrique en énergie mécanique et correspond donc à un récepteur de FEM : nous disons également, qu'il possède une "force contre-électromotrice" ou F.CEM

LOI DE FARADAY

Maintenant que nous avons démontré la nécessité de la force électromotrice nous allons pouvoir démontrer la provenance de la "loi de Faraday" ainsi que la "loi de Lenz" dont nous avions fait usage en électrodynamique pour démontrer la troisième équation de Maxwell. La détermination de la loi de Faraday va également nous permettre de définir le concept d'inductance et d'étudier ses propriétés.

Faisons la même démarche que Faraday et posons-nous la question suivante : Comment crée-t-on un courant ?

Un courant est un déplacement de charges dans un matériau conducteur. Ces charges sont mises en mouvement grâce à une D.D.P. qui est maintenue par une FEM. Ainsi, une pile, en convertissant son énergie chimique pendant un instant dt fournit donc une puissance P modifiant l'énergie cinétique des dQ porteurs de charge et produisant ainsi un courant I.

Soit la puissance nécessaire pour communiquer une vitesse à une particule de charge q. Sachant que dans un conducteur il y a n porteurs de charge par unité de volume, la puissance totale P que doit fournir le générateur (idéal) est alors (voir plus haut) :

  (45)

Nous posons donc que la FEM idéale d'un circuit est :

  (46)

Or, la force de Coulomb est incapable de produire une F.E.M. comme nous l'avons démontré. Pour créer un courant continu dans un circuit fermé, il faut donc un champ électromoteur dont la circulation le long du circuit ne soit pas nulle. L'expérience de Faraday montre donc que c'est l'existence du champ magnétique qui permet l'apparition du courant (!!!!). Cela signifie que la force de Lorentz doit être responsable de l'apparition d'une F.E.M., c'est-à-dire :

  (47)

Donc :

  (48)

Les propriétés du produit vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) nous donnant

, nous pouvons écrire :

  (49)

Une petite remarque s'impose à ce niveau du discours. Si est bien le vecteur vitesse des charges

q il ne peut être celui qui est colinéaire à car sinon nous aurions et donc et ceci n'est pas possible car contredirait tous les développements faits jusqu'à présent ! Au fait, est la vitesse de l'ensemble du circuit qui entraîne avec lui l'ensemble des charges à la même vitesse !

Ainsi, pendant un temps dt, le circuit se déplace d'une distance , vecteur qui est

perpendiculaire à . Dès lors, est la surface (voir les propriétés du produit vectoriel dans

le chapitre de calcul vectoriel) décrite par le déplacement de l'élément sur la distance tel

que . Nous avons alors :

  (50)

Nous reconnaissons l'expression du flux (dit "flux coupé") à travers la surface élémentaire . Ce qui nous amène à écrire (il y a un petit peu d'intuition - bon sens - avec la manipulation des différentiels mais bon c'est aussi ça la physique…) :

  (51)

Nous venons de démontrer la "loi de Faraday" dans le cas d'un circuit rigide, déplacé dans un champ magnétique statique. Nous avons vu apparaître naturellement l'expression du flux coupé. En fait, la seule chose qui compte, c'est l'existence d'un mouvement d'ensemble du tout ou d'une partie du circuit (revoir la démonstration pour s'en convaincre). Ainsi, l'expression de la FEM. induite :

  (52)

reste valable pour un circuit déformé et/ou déplace dans un champ magnétique statique. Cette démonstration s'est fait à partir de la force de Lorentz et est donc à priori indépendant du référentiel choisi !

LOI DE LENZ

L'énoncé de la loi de Lenz est le suivant : L'induction produit des effets qui s'opposent aux causes qui lui ont donné naissance.

Cette loi est, comme la règle du flux maximum, déjà contenu dans les équations et n'apporte rien de plus, hormis une intuition des phénomènes physiques. En l'occurrence, la loi de Lenz n'est que l'expression du signe "-" contenu dans la loi de Faraday.

Exemple:

Si nous approchons un circuit du pôle nord d'un aimant, le flux augmente et donc la F.E.M. induite est négative. Le courant induit sera alors négatif et produira lui-même un champ magnétique induit opposé à celui de l'aimant. Deux conséquences :

1. L'augmentation du flux à travers le circuit est amoindrie

2. Il apparaît une force de Laplace (cf. chapitre de Magnétostatique) négative, s'opposant à l'approche de l'aimant.

Ce signe "-" dans la loi de Faraday (la loi de Lenz) décrit le fait que dans des conditions normales, il n'y a pas d'emballement possible (ex. : courant ne faisant qu'augmenter).

C'est la raison pour laquelle la loi de Lorenz est souvent appelée "loi de Lenz-Faraday".

INDUCTANCE

Nous avons donc :

  (53)

Or la loi de Biot-Savart nous donne (cf. chapitre de Magnétostatique) :

  (54)

Dès lors :

  (55)

que nous simplifions simplement par :

  (56)

où est le "coefficient d'auto-induction" ou "auto-inductance" (ou "self"), exprimé en "Henry" [H]. Il ne dépend que des propriétés géométriques du circuit et est nécessairement positif.

Avec les lois que nous avons énoncé jusqu'à présent, nous sommes en mesure d'étudier certains régimes variables. En effet, tous les raisonnements basés sur la notion d'un champ (électrique ou magnétique) constant au cours du temps peuvent aisément être appliqués à des systèmes physiques variables (champs dépendant du temps), pourvu que cette variabilité s'effectue sur des échelles de temps longues par rapport au temps caractéristique d'ajustement du champ. Voici tout de suite un exemple concret.

La plupart des lois de la magnétostatique supposent un courant permanent, c'est-à-dire le même dans tout le circuit. Lorsque nous fermons un interrupteur, un signal électromagnétique se propage dans tout le circuit et c'est ainsi que peut s'établir un courant permanent : cela prend un temps de l'ordre de l/c où l est la taille du circuit et c la vitesse de la lumière. Si nous avons maintenant un générateur de tension sinusoïdale de période T (c'est juste un exemple… pris au hasard…), alors nous pourrons malgré tout utiliser les relations déduites de la magnétostatique si :

  (57)

Ainsi, bien que le courant soit variable, la création d'un champ magnétique obéira à la loi de Biot-Savart tant que le critère ci-dessus reste satisfait. Ce type de régime variable est également appelé "régime quasi-statique".

Donc, puisque nous avons :

et   (58)

Nous avons alors si et seulement si le courant est variable dans le circuit :

  (59)

L étant constant pour un circuit rigide. La self ("inductance" en français) crée donc une force électromotrice inverse de celle générée par le courant à ses bornes. Cette force électromotrice a donc un sens inverse à celle du générateur électrique.

Remarque: Nous voyons bien dans la relation obtenue, qu'en régime stationnaire, si le courant est constant, alors la force électromotrice est nulle et la self se comporte alors comme une simple équipotentielle.

Il convient de donner maintenant un exemple important et simple à la fois de la loi de Lenz en l'appliquant au calcul l'inductance d'un solénoïde de rayon r (l'inductance d'un solénoïde torique à section circulaire ayant déjà été fait dans le chapitre de magnétostatique). Nous avons vu dans le chapitre de magnétostatique que le champ magnétique dans un solénoïde était donné par :

  (60)

De plus, nous avons  (où l est la longueur du solénoïde) nous avons vu plus haut que le flux du champ magnétique était donné par (si le champ est perpendiculaire à la surface traversée) :

  (61)

Donc le flux à travers N spires s'écrit :

  (62)

Dès lors, dans le cas d'un solénoïde avec N spires il vient immédiatement :

  (63)

Le taux de variation du flux magnétique se trouve par dérivation, soit :

  (64)

La force électromotrice engendrée est ainsi :

  (65)

Avec :

    (66)

OPTIQUE

L'optique est l'étude la fraction de l'énergie rayonnante sensible à la rétine, c'est-à-dire la

"lumière" ou autrement dit (cf. chapitre d'Electrodynamique) : les "ondes électromagnétiques". 

Nous avons choisi sur ce site de scinder l'étude de l'optique en trois parties : la photométrie, l'optique géométrique et l'optique ondulatoire (voir plus tard l'optique matricielle et quantique?).

1. La "photométrie" s'occupe de la partie des définitions des grandeurs relatives aux propriétés énérgétiques des ondes électromagnétiques relativement à la sensibilité visuelle.

Remarque: Cette partie "photométrie" est incluse dans le présent chapitre.

2. "L'optique ondulatoire" où les phénomènes lumineux sont interprétés en tenant compte de la nature de la lumière. Celle-ci est considérée comme une onde électromagnétique d'une longueur d'onde donnée définissant sa couleur (grandeur subjective comme nous le verrons plus loin).

Dans certaines expériences, nous devons cependant considérer la lumière comme un phénomène corpusculaire (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) nous la supposons alors constituée de particules, les "photons", dont l'énergie est proportionnelle à la fréquence lumineuse selon la loi de Planck (pas celle de la thermodynamique... l'autre).

3. "L'optique géométrique" où nous décrivons la propagation de la lumière dans les milieux transparents sans faire intervenir la nature même de la lumière. Il s'agit d'une partie de la physique présentant l'avantage de ne pas demander d'outils mathématiques compliqués, mais de beaucoup de bon sens géométrique…

Pour des raisons de cohérence, comme nous en avons déjà fait mention, nous avons choisi de mettre la photométrie dans le même chapitre d'optique géométrie (ici même donc...).

Avant de commencer à étudier l'aspect mathématique de l'optique géométrique il nous a semblé bon d'éclaircir certaines zones floues du domaine de l'optique qui sont rarement bien précisées voir même pas traitées du tout dans les ouvrages sur le sujet. Ainsi, nous allons d'abord présenter ce qu'est une source ou un absence de lumière et ensuite comment les couleurs sont vues et traitées par l'être humain.

SOURCES ET OMBRESL'expérience nous enseigne que dans un milieu homogène et transparent la lumière se propage en ligne droite et que cell-ci provient toujours de "sources lumineuses" :

Certains objets sont lumineux par eux-mêmes (Soleil, flammes). Les autres objets ne sont généralement pas visibles dans l'obscurité (absence de lumière) mais s'ils sont éclairés ils renvoient tout ou partie de la lumière dans toutes les directions (voir le chapitre d'électrodynamique et de physique quantique corpusculaire) et se comportent donc dès lors comme des sources lumineuses.

Nous définissons:

D1. Une "source ponctuelle" comme étant un seul "point lumineux"

D2. Une "source étendue" comme un ensemble de sources ponctuelles

D3. Un "rayon lumineux" comme toute droite suivant laquelle se propage la lumière

D4. Un "faisceau lumineux" comme un ensemble de rayons lumineux

D5. Le "diamètre apparent" comme étant l'angle, généralement petit, sous lequel nous voyons une des dimensions de l'objet (angle exprimé en radians).

La lumière traverse le vide sans subir d'altération; c'est ainsi que la lumière du Soleil, avant d'atteindre la limite de l'atmosphère terrestre, traverse d'immenses espaces vides sans subir de transformations.

Sur Terre, entre un objet lumineux et l'œil qui voit cet objet, la lumière traverse une certaine épaisseur d'air; l'objet demeure visible dans d'autres gaz, ou bien à travers une lame de verre, de mica, de cellophane…, ou bien encore à travers une couche d'eau, d'alcool, de glycérine…; de tels corps constituent des "milieux transparents".

La plupart des corps ne se laissent pas traverser par la lumière; placés entre l'œil et un objet lumineux, ils suppriment la vision de cet objet : nous disons alors qu'ils sont "coprs opaques".

En fait, aucune substance n'est parfaitement transparente et la propagation dans un milieu transparent s'accompagne toujours d'un affaiblissement; ce phénomène d'absorption dépend de la nature du milieu et augmente avec l'épaisseur de substance traversée. C'est ainsi que l'eau, même très pure, est opaque sous une épaisseur d'une centaine de mètres; aussi les grands fonds marins ne reçoivent-ils jamais de lumière solaire.

Il arrive que certains corps, dits "corps translucides", laissent filtrer de la lumière sans permettre à l'œil d'identifier l'objet lumineux qui l'émet; tels sont le verre dépoli, le verre strié, la porcelaine mince, le papier huilé…

Dans un espace sombre, l'œil situé hors du trajet de la lumière, aperçoit ce trajet grâce aux fines particules solides (poussières, fumée de tabac, brouillard,…) en suspension dans l'air; ces particules éclairées diffusent la lumière qu'elles reçoivent, devenant autant de points lumineux qui matérialisent le volume traversé par la lumière. L'observation familière montre que ces volumes lumineux paraissent toujours limités par des lignes droites.

Nous pouvons dès lors appliquer le théorème des rapports de Thalès à certains phénomènes lumineux. Ainsi, imaginons l'expérience suivante:

Nous réalisons des sources de dimensions assez faibles pour que nous puissions les considérer comme des sources ponctuelles (c'est-à-dire des points lumineux).

Soit S une telle source ponctuelle de lumière. Considérons le volume que la source S illumine à travers une ouverture dans un diaphragme se situant dans la trajectoire de la lumière à la distance d. Si nous notons AB le diamètre circulaire de cette ouverture du diaphragme K et que nous coupons la trajectoire lumineuse par un écran E, parallèle à K et à distance D de la source, nous observerions que la partie éclairée se limite à un cercle A'B'.

  (1)

Si nous pouvions mesurer les diamètres AB et A'B' des deux cercles, ainsi que leurs distances d et D à la source, nous trouverions qu'ils satisfont au théorème des rapports de Thalès et ainsi que :

  (2)

C'est également la preuve que le volume lumineux est effectivement limité par des droites issues de S et s'appuyant sur le bord de l'ouverture du diaphragme.

Ces faits d'observation et d'expérience élémentaires suggèrent l'hypothèse suivante :

Dans un milieu transparent homogène (rappelons qu'un milieu est homogène quand tous ses éléments de volume possèdent les mêmes propriétés), la lumière provenant d'un point lumineux se propage suivant des lignes droites issues de ce point. Ces droites sont appelées des "rayons lumieux".

Si nous revenons à la figure précédente, l'ensemble des rayons lumineux contenus dans le cône défini par la source S et le diaphragme K constitue un "faisceau lumineux".

1. La lumière se propageant ici à partir de S, nous disons que les rayons "divergent" ou encore que le faisceau est un "faisceau divergent".

2. Quand une source ponctuelle est à l'infini (comme l'est pratiquement une étoile, par exemple), les rayons qui en partent sont parallèles et les faisceaux qu'ils forment sont appelés "faisceaux parallèles", ou encore "faisceaux cylindriques".

3. A l'aide d'une lentille convergente (une loupe, par exemple), nous verrons qu'il est possible de changer les directions de rayons issus d'une source ponctuelle et de les faire concourir en un point S'; un tel ensemble de rayons constitue un "faisceau convergent".

Un faisceau lumineux très étroit prend le nom de "pinceau lumineux". Par exemple, les rayons allant d'un point lumineux à l'œil forment toujours un pinceau lumineux très délié, parce que la distance du point observé à l'œil est nécessairement grande, comparée au diamètre de la pupille.

Si nous revenons à notre expérience avec le diaphragme : si nous diminuons l'ouverture de ce dernier qui limite un pinceau de rayons lumineux, nous observons (lorsque le diamètre est réduit à moins de quelques dixièmes de millimètre) que la trace du pinceau sur un écran E, au lieu de s'amenuiser, s'agrandit au contraire, preuve que la lumière parvient maintenant en des points situés hors du cône SA'B'.

Tout se passe comme si la très petite ouverture AB devenait elle-même une source ponctuelle: nous dit que la lumière se "diffracte". Nous reviendrons plus tard sur cette propriété de la lumière car il s'agit d'un étude mathématique assez élaborée (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) et donc complexe à manipuler mais cependant fort intéressante.

Considérons maintenant une source ponctuelle de lumière. Entre la source et un écran E, interposons un corps opaque de forme quelconque, par exemple une sphère métallique; conformément à l'hypothèse de la propagation rectiligne, nous observons un "cône d'ombre" limité par les rayons qui s'appuient sur le contour du corps interposé.

La région non éclairée du corps opaque est "l'ombre propre"; celle qui correspond sur l'écran est "l'ombre portée".

Si la source de lumière est étendue, l'ombre portée et l'ombre propre n'ont plus leurs contours nettement délimités; leurs bords s'entourent d'une zone intermédiaire que l'on appelle la "pénombre".

COULEURDéfinition: Nous nommons "couleur" la perception par l'œil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes lumineuses, avec une (ou des) amplitude(s) donnée(s).

Remarque: Il importe de ne jamais confondre "couleur", notion perceptive, et "longueur d'onde", notion physique. Ainsi, l'œil humain est le plus souvent incapable de distinguer un jaune

monochromatique (une seule longueur d'onde) d'une composition correspondante de vert et de rouge. Cette illusion permet d'afficher du jaune sur nos écrans d'ordinateur, et, plus généralement n'importe quelle couleur

De par le fait que la partie sensible de la rétine de l'œil humain est composé d'éléments appelés "cônes" sensibles chacun à un petit intervalle correspondant respectivement au rouge, au vert et au bleu, nous pouvons créer n’importe quelle couleurs en additionnant ces trois couleurs de base appelées "couleurs fondamentales additives" (ou "couleurs primaires additives"). Cela s’appelle la "synthèse additive" des couleurs.

Dans ce qui suite, nous noterons le rouge (R), le vert (V), le bleu (B), le blanc (W), le noir (Æ)

Couleur Longueur d'onde [nm] Fréquence [THz]

rouge 

~ 625-740 ~ 480-405

orange 

~ 590-625 ~ 510-480

jaune 

~ 565-590 ~ 530-510

vert 

~ 520-565 ~ 580-530

cyan 

~ 500-520 ~ 600-580

bleu 

~ 446-500 ~ 690-600

violet 

~ 380-446 ~ 790-690

  (3)

Remarque: Les cônes L de la rétine sons sensibles aux ondes longues (580 [nm]), donc les rouges. Les cônes M, sensibles aux ondes moyennes (545 [nm]), donc les verts. Les cônes S, sensibles aux ondes courtes (440 [nm]), donc les bleus. Quand au choix de cette gamme précise du spectre électromagnétique par la Nature, il suffit de regarder le spectre d'absorption de l'eau pour voir que ça tombe pile dans une fenêtre où l'eau absorbe très peu. Du coup, nous pouvons voir loin même par temps humide.

En pointant trois faisceaux lumineux (R, V et B) au même endroit, nous pouvons obtenir (au fait il serait plus rigoureux de dire "percevoir" car ceci est propre seulement à certains mammifères trichrmoates) de la lumière blanche. Nous disons alors que le blanc (dans le sens humain du terme) est la somme des trois couleurs fondamentales additives (rappelons qu'au fait le blanc est rigoureusement la somme des toutes les couleurs du spectre – donc que le blanc est constitué d'un

spectre lumineux continu). Toutes les couleurs imaginables sont obtenues en variant l'intensité de chacun des trois faisceaux. Le noir est obtenu quand nous n'envoyons aucune lumière du tout.

Par exemple, si nous additionnons (dans le sens théorique du terme : avec des composants de couleurs infiniments petits et transparents...) juste du rouge et du vert, nous obtenons du jaune (J), si nous additionnons se du rouge et du bleu, nous obtenons du Magenta (M), si nous additionnons du vert et du bleu, on obtient du Cyan (C). Nous pouvons donc résumer cela par les équations suivantes :

  (4)

Ces trois couleurs (J, M, C) obtenues en additionnant deux couleurs fondamentales additives sont appelées "couleurs secondaires additives".

Schéma de la synthèse additive :

  (5)

Définition: Une couleur est dite "couleur complémentaire" d'une autre si elles donnent du blanc quand on les additionne. Par exemple, le jaune est la couleur complémentaire du bleu :

  (6)

A l'opposé de la synthèse additive, il existe la "synthèse soustractive des couleurs" : c'est celle dont nous parlons quand nous enlevons de la couleur à une couleur de base. C’est par exemple le cas de l'encre ou des filtres colorés (dans le sens où il y a un support de base dont il faut traiter la couleur).

Exemple:

Posons un filtre rouge sur le rétroprojecteur. La lumière projetée sera rouge. Nous remarquons donc que le filtre a enlevé de la couleur à la lumière blanche : W est devenu R mais comme W = RVB, cela veut dire que le filtre rouge a enlevé les couleurs VB  à la lumière blanche du rétroprojecteur. Avec le même raisonnement, nous comprenons qu'un filtre V soustrait les couleurs RB et un filtre B soustrait RV.

Si nous empilons deux filtres de couleurs fondamentales différentes : par exemple, un filtre R et un filtre V, nous n'obtiendra rien du tout, autrement dit, du Æ. En effet, le filtre R ne laisse passer que la lumière rouge et le filtre V soustrait cette couleur (ainsi que le B). Il ne reste donc plus aucune couleur, autrement dit du Æ.

Nous remarquons donc que les filtres R, V et B ne permettent pas de synthétiser différentes couleurs par soustraction puisque nous obtenons du noir dès que nous en superposons deux différents. Ce qui est très embêtant lorsque le support concerné est du papier et que l'objectif est d'imprimer quelque chose de coloré.

Il est donc plus utile d'utiliser les filtres jaunes, magenta et cyan (J, M, et C) des couleurs additives secondaires. En effet, un filtre J laisse passer du jaune, c'est-à-dire RV. Il ne soustrait donc que le B à la lumière blanche d'origine. Selon le même principe, un filtre M soustrait V et un filtre C soustrait R

Nous remarquons alors que la superposition de deux filtres de ces couleurs secondaires donne une nouvelle couleur sur un support existant. Nous pouvons ainsi synthétiser n'importe quelle couleur en variant l'intensité de chacun des trois filtres (J, M et C) que nous superposons (sur le rétroprojecteur ou le papier par exemple). Nous appelons ces trois couleurs les "couleurs fondamentales soustractives".

Schéma de la synthèse soustractive :

  (7)

Exemples:

E1. Un écran de télévision ou d’ordinateur fonctionne sur le principe de la synthèse additive des couleurs. En effet, en regardant l’écran à la loupe, on peut se rendre compte qu’il est rempli de petits groupes de trois luminophores (zone brillant quand on l’excite) R, V et B. Ces luminophores sont tellement proches que quand ils s’allument ensemble, ils donnent l’impression de se confondre et on perçoit uniquement la synthèse additive des trois (pixel). Par exemple, sur un écran de télévision entièrement rouge, seuls les luminophores rouges brillent. Par contre, si l’écran vire au jaune, cela veut dire que les luminophores verts brillent en même temps que les rouges.

E2. A l’opposé de la télévision, nous trouvons les procédés d’imprimerie qui fonctionnent en synthèse soustractive. En effet, la feuille est blanche et il faut lui enlever des couleurs pour

obtenir celle que nous désirons. La technique est la même que celle des filtres : les encres contiennent des pigments qui filtrent certaines couleurs. En utilisant des encres J, M et C, nous pouvons obtenir toutes les couleurs du spectre visible. Toutefois, les pigments ne sont pas parfaits et le noir est très difficile à obtenir (surcharge d’encre et teinte plutôt brun foncée). Nous avons donc recours au noir comme quatrième couleur. Ce système s’appelle l’impression en quadrichromie. Il est utilisé par exemple par la plupart des imprimantes couleurs et dans les rotatives de journaux.

Il est intéressant maintenant de s'intéresser aux phénomènes qui superposent les deux concepts (si l'on peut dire…). Ainsi, un système qui projette de la couleur selon le système RVB additif ou soustractif peut lui-même être éclaire par un système équivalent. Il en résulte ainsi une superposition d'effets.

Ainsi, quand nous parlons de la couleur des objets, nous nous référons normalement à l'aspect qu'ils ont quand ils sont éclairés par de la lumière blanche.

Exemple:

Une tomate rouge, absorbe une partie de la lumière blanche W (VB) et diffuse le reste (R). C'est pour cela qu’elle nous apparaît rouge quand on l'éclaire avec de la lumière blanche. Un citron, lui, apparaît jaune car il absorbe le bleu de la lumière blanche W et diffuse le reste (RV)…. Mais qu'en est-il d’une tomate éclairée par une lumière bleue? A quoi ressemble le citron si nous l'éclairons en rouge ?

Nous pouvons répondre en raisonnant comme suit : comme la tomate absorbe VB et donc intrinsèquement le bleu (B), il ne reste donc rien. Elle apparaît alors noire. Quant au citron, comme il absorbe le bleu (B) et diffuse la lumière R+V alors si nous l'éclairons seulement avec du rouge R il ne diffusera que du rouge et apparaîtra donc rouge.

PHOTOMÉTRIELa matière est capable d'émettre de transmettre et/ou absorber de l'énergie électromagnétique. Plusieurs facteurs caractérisent ce rayonnement telles que sa gamme spectrale, son intensité, sa direction ainsi que certaines propriétés intrinsèques à la matière. La photométrie se propose de rechercher les grandeurs qui lui sont spécifiques ainsi que les lois qui les régissent.

Nous reconnaissons deux types de photométrie : la "photométrie énergétique" et la "photométrie visuelle". De ce qui va suivre, nous nous en tiendrons principalement à la photométrie énergétique.

Au préalable, nous devons  spécifier les conditions dans lesquelles nous allons définir les nouvelles grandeurs. Nous admettrons donc les hypothèses suivantes :

H1. Le rayonnement se propage dans un milieu transparent pour toutes les intensités, les longueurs d'onde et leur polarisation

H2. La propagation s'effectue suivant des angles solides (cf. chapitre de Trigonométrie). Nous écartons ainsi la propagation avec des rayons parallèles

H3. La surface élémentaire dS d'étude est suffisamment petite pour que les rayonnements de ses points soient identiques mais pas trop petites pour éviter des phénomènes comme la diffraction.

FLUX ÉNERGÉTIQUE

Définition: Le "flux énergétique" d'une source de rayonnement est la puissance qu'elle rayonne. Le flux  se mesure en Watts [W] (soit des joules par seconde [J/s]) et il découle dès lors que pour une source qui rayonne une énergie (non nécessairement constante), nous avons :

  (8)

Exprimé dans certains domaines professionnels, l'unité photométrique est le "Lumen" noté

[lm] ou en unité photonique en nombre de photons par seconde :

LOI DE BEER-LAMBERT

Si l'absorption et la diffusion d'un milieu peuvent être considérées comme proportionnelles à l'épaisseur dz de matière traversée, la variation de flux pourra s'écrire:

  (9)

dans cette expression est le flux incident et   est le coefficient d'atténuation linéique qui est fonction de la fréquence du rayonnement.

Nous aurons donc une simple équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

  (10)

qui est la "loi de Beer-Lambert" (qui peut aussi s'exprimer à partir de l'intensité lumineuse que nous définirons de suite après).

Ordres de grandeur : Atmosphère ; , Verre (BK7)

, …

Remarque: La variation du coefficient d'absorption atmosphérique avec la longueur d'onde permet notamment d'expliquer la couleur bleue du ciel.

Il existe de nombreuses autres formulations de la loi de Beer-Lambert dont une assez utilisée en physique nucléaire (voir chapitre du même nom) dans le cadre de la radioprotection. Voyons de quoi il s'agit :

Considérons un flux de particules frappant perpendiculairement la surface d'un matériau

d'épaisseur dx et de densité atomique N ( ). Si nous considérons les particules frappant une surface S, ces dernières peuvent théoriquement rencontrer atomes cibles dans cette couche. Le nombre de particules interagissant sera proportionnel à l'intensité fois ce nombre, et nous avons :

  (11)

Remarques:

R1. est la constantes de proportionnalité et est nommée "section efficace microscopique". Ces

unités sont souvent exprimées en "barn" ( ).

R2. La densité atomique N est égale à où est la densité en , le

nombre d'Avogadro et la masse molaire de la cible exprimée en

.

Si nous admettons maintenant que les centres de diffusion sont les électrons et non pas les atomes

cibles, alors il faut remplacer par où avec Z étant le nombre d'électrons interagissant par atome cible. D'où :

  (12)

En identifiant avec la première formulation de la loi de Beer-Lambert, nous voyons que joue le même rôle que :

et   (13)

et dans l'hypothèse où l'électron constitue une "sphère d'action" présentant une surface frontale

, étant le rayon de cette sphère. Alors :

  (14)

et nous avons pour le rayon de la sphère d'action de l'électron :

  (15)

INTENSITÉ LUMINEUSE

Pour décrire le flux énergétique  d'une source, il faut commencer par le mesurer. Le capteur utilisé (thermocouple, bolomètre, cellule photoélectrique, œil ou autre) ne peut recevoir qu'une

partie : celle qui arrive dans l'angle solide  défini par sa section.

Définition: "L'intensité lumineuse" ou "intensité énergétique" I d'une source ponctuelle est le flux rayonné  dans l'unité d'angle solide  centré autour d'une direction  d'émission :

  (16)

Exprimée dans certains domaines professionnels, en unité photométrique en "Candela" [Cd] ou

en unité photonique en  (rappelons que les stéradians n'ont pas d'unité au même titre que les radians)

Remarques: Une source est dite "source anisotrope" si son intensité varie avec la direction d'observation

Par comparaison (car cela aide), une unité de Candela est équivalent à l'intensité d'une source dans une direction donnée, qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540.1012 [Hz] (ce qui correspond approximativement à la fréquence à laquelle l'œil est le plus sensible), et dont le flux lumineux (ou intensité) dans cette direction est 1/683 Watt par stéradian.

ÉMITTANCE ÉNERGÉTIQUE

Définition: "L'émittance énergétique", "excitance" ou encore "éclairement" M d'une source est le flux énergétique rayonné par unité de surface dS en [W/m2] dans toutes les directions de l'espace extérieur à la source et dépend des propriétés physico-chimiques de la surface émettrice :

  (17)

Exprimé dans certains domaines professionnels, en unité photométrique en "Lux" [lx] ou en unité

photonique en (ou pire encore... [lm/m2]).

Attention à ne pas confondre l'émittance énergétique avec le flux énergétique!!!

Si la source est ponctuelle et son rayonnement isotrope, sa direction n'est pas à prendre en considération. Dans le cas de ladite sphère de rayon r, l'émittance a alors pour expression :

  (18)

Dans le cas précédent de la sphère, un élément dS de la surface sphérique reçoit perpendiculairement le rayonnement. En toute généralité, une surface élémentaire peut être

inclinée par rapport à la direction du rayonnement avec un angle . Ainsi, nous devons projeter la surface sur la perpendiculaire du rayonnement en utilisant les raisonnements élémentaires de la trigonométrie:

  (19)

C'est cette projection qui explique les saisons sur la Terre : la surface balayée par l'émittance a peu près constante et isotrope du soleil (considéré comme une source ponctuelle) est maximale à l'équateur (surface perpendiculaire) et donc implique un flux supérieur par rapport à ce que reçoit une latitude supérieure ou inférieure pour laquelle la projection perpendiculaire de la surface concernée est plus petite que celle à l'équateur pour une émittance identique.

Remarques:

R1. L'émittance énergétique n'est calculée que dans le demi-espace extérieur avant (celui d'où nous regardons la source), car seule la moitié de l'énergie échangée par les points de la surface dS est émise sous forme de rayonnement. L'autre moitié est échangée avec les atomes situés dans le corps.

R2. L'émittance est habituellement aussi parfois notée F ou encore E. Il faudra prendre garde cependant à ne pas confondre l'émittance M avec la magnitude (noté de la même manière) que nous définissons en astrophysique.

LUMINANCE ÉNERGÉTIQUE

Soit une source non ponctuelle dont l'émittance énergétique M est connue en tout point. Un élément dS de la surface de ce genre de source sera par définition de l'intensité pas

nécessairement isotrope et donc plus lumineux (puissant) lorsque l'on l'observe colinéairement au

vecteur .

L'intensité énergétique I qu'il rayonne dans une direction, formant un angle , avec la normale à

la surface d'émission est toujours inférieure à celle rayonnée dans la direction du vecteur . Ainsi par simple application des règles trigonométriques nous obtenons la définition de la "luminance" (ou "radiance") :

  (20)

exprimée dans certains domaines, en unité photométrique en "Nits"  ou en unité

photonique en

Remarque: Lorsque nous nous préoccupons que de la lumière visible, la luminance d'une source est quelque fois appelée "brillance" ou "éclat" (attention ceci n'est pas le cas lorsque l'on traite de l'éclat comme il est vu en astrophysique).

Nous pouvons aussi écrire :

  (21)

qui nous donne l'intensité énergétique que rayonne une source de luminance L dans une direction donnée.

Jean-Henri Lambert (1728-1777) a observé que l'intensité énergétique de certaines sources (parmi

toutes les types de sources imaginables…) anisotropes diminue comme le cosinus de l'angle , autour de la direction perpendiculaire à la surface de la source :

  (22)

Cette variation de l'intensité est observée lorsque nous mesurons l'énergie thermique rayonnée par un orifice percé dans un four (ce qui nous ramène au corps noir), isolé thermiquement et dont la température interne est supérieure à la température externe. Dans ce contexte, l'orifice est appelé

un "émetteur Lambert" et ne balaye un espace que de  stéradian.

Remarque: Une source qui obéit à cette loi est dite "source orthotrope".

LOI DE LAMBERT

Une source obéit à la loi de Lambert si sa luminance énergétique est la même dans toutes les

directions, c’est-à-dire que son intensité est isotrope et donc indépendante de l'angle .

Nous avons alors :

  (23)

Calculons l'émittance d'un émetteur Lambert :

Nous avons donc par définition même de la propriété d'un émetteur Lambert :

  (24)

et nous avons :

  (25)

Or nous avons démontré dans le chapitre de trigonométrie, qu'un angle solide élémentaire était donné par :

  (26)

Ce qui nous amène à écrire :

  (27)

En appliquant une intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

  (28)

L'émittance valant :

  (29)

Ce résultat est important pour l'étude du rayonnement du corps noir, puisque la valeur de la luminance mesurée par un capteur permet de déduire l'émittance M, donc le flux énergétique de la source :

  (30)

Remarque: Nous parlons de la "luminance" d'une source et de "l'éclairement" d'un objet (par une source).

LOI DE KIRCHHOFF

Tout corps irradié par une source énergétique voit le flux énergétique incident se répartir selon trois termes intuitifs :

  (31)

où :

-  est le flux énergétique géométrique réfléchi ou diffusé

-  est le flux énergétique qui traverse le corps sans interactions (transparence intégrale)

-  est absorbé et transformé sous d'autres formes d'énergie

Les trois coefficients appelés respectivement "facteur de réflexion" , "facteur de transmission"

et "facteur d'absorption" , dépendent de la longueur d'onde  de la lumière incidente et de la température du corps récepteur.

Pour chaque objet, nous avons bien évidemment :

  (32)

qui est l'expression de la "loi de Kirchhoff simple" (contrairement à la version différentielle) en photométrie.

Remarque: En physique, nous retrouvons souvent des énoncés de conservation sous la dénomination "loi de Kirchoff" comme en électrocinétique par exemple.

DÉCOMPOSITION SPECTRALE

De ce qui vient d'être dit, il découle que toutes les grandeurs définies précédemment peuvent êtres rapportées à leur décomposition spectrale en longueur d'onde. Ceci résulte du principe de superposition : tout rayonnement est la superposition de rayonnements monochromatiques.

Ainsi, nous définissons :

  (33)

et de même :

  (34)

Remarque: Les unités du flux spectral (ou "décomposé"), intensité spectrale (ou "décomposée"), luminance spectrale (ou "décomposée") ou émittance spectrale (ou "décomposée") ainsi que les facteurs d'absorption spectrale (ou "décomposée"), de réflexion spectrale (ou "décomposée") et de transmission spectrale ne sont bien sûr pas équivalents à leur expression intégrée au niveau dimensionnel.

Nous aurons un grand besoin de la densité de l'émittance lors de l'étude du corps noir dans le chapitre de thermodynamique de la section de mécanique. Rappelez-vous uniquement que nous avons en unités S.I. sur le principe de décomposition (et inversement superposition) spectrale : 

  (35)

Remarque: Nous avons vu en thermodynamique que les paramètres définis ci-dessus, étant dépendants de la longueur d'onde sont également dépendants de la température qui émet ces mêmes ondes.

Loi de rÉfractionPierre de Fermat proposa que les rayons lumineux répondaient à un principe très général selon lequel le chemin emprunté par la lumière pour se rendre d’un point donné à un autre était celui pour lequel le temps de parcours était minimum (en fait un extremum qui peut être un minimum ou un maximum). Cette proposition, appelée "principe de fermat", à la base de l'optique géométrique s'appuise sur le principe de moindre action (principe que nous avons déjà introduit dans le chapitre de mécanique analytique) ce que nous démontrerons plus loin.

Considérons (voir figure ci-dessous) deux milieux et d’indices de réfraction respectifs n et m et dont la surface de contact est plane. Prenons deux points A et B situés respectivement dans le milieu d’indice n (le point A) et dans le milieu d’indice m (le point B).

Considérons le chemin de la lumière allant de A à B. Le principe de Fermat nous enseigne que le chemin emprunté par la lumière est tel que le temps mis pour le parcourir est minimum. Nous nous proposons dans un premier temps d’appliquer une méthode classique pour calculer le chemin du rayon lumineux et dans un second temps, nous montrerons que le principe de Fermat peut être énoncé comme un principe variationnel.

Choisissons un repère qui simplifie le problème: faisons passer l’axe des abscisses par le plan de contact des deux milieux et l’axe des ordonnées par le point B. Dans un tel repère, les points A et

B ont les coordonnées suivantes: .

Appelons , le point où le rayon lumineux traverse la surface de contact entre les deux

milieux. Le temps mis pas la lumière pour aller de A à B est alors:

  (36)

où :

 et     (37)

sont les vitesses de la lumière dans les milieux et . 

L'écriture des deux relations :

 et   (38)

se justifie par le fait que l'on peut se permettre de faire l'hypothèse que la vitesse de la lumière ne croît pas en traversant un corps dense mais se voit diviser par un facteur donné dépendant du milieu qu'elle traverse. Pour s'en convaincre, il suffit d'imaginer un cas absurde où la lumière traverserait sans perte de vitesse un corps de densité infinie!

En développant les valeurs de AM et MB nous obtenons la dépendance suivante de T en fonction de la position x de M :

  (39)

Selon le principe de Fermat, le chemin emprunté par la lumière est celui pour lequel T est minimum. L’extremum de T(x) est atteint lorsque sa dérivée par rapport à x est nulle.

  (40)

Notons que:

 et   (41)

où r est "l'angle de réfraction" (à ne pas confondre avec "l'angle de refléxion"!) et i "l'angle d'incidence" de la lumière. 

La condition d’un temps extremum mis par la lumière s’exprime alors:

  (42)

D’où nous tirons la relation, connue sous le nom de "loi de Snell-Descartes" (qui n'est plus une loi puisque démontrée):

  (43)

Il suffit que les angles d’incidence et de réfraction remplissent cette condition pour que le chemin parcouru par la lumière soit effectivement celui qui prend le moins de temps.

Nous notons plus fréquemment cette loi en physique de la manière suivante :

  (44)

où  est "l'indice de réfraction relatif" du milieu 2 par rapport au milieu 1 qui ont

respectivement leur propre "indice de réfraction absolu" .

Remarques:

R1. Nous verrons lors de notre étude de l'optique ondulatoire que nous pouvons retrouver (démontrer) cette même relation mais sans les hypothèses de bases de l'optique géométrique. Dès lors, cette cette dernière relation est appelée "relation de Descartes-Snellius" ou plus simpelemnt "loi de Snell".

R2. Quand nous parlons de l'indice de réfraction d'un milieu m sans faire référence à un autre milieu, le milieu implicite est le vide.

Etudions maintenant la relation entre l'indice de réfraction relatif et la vitesse la la lumière dans les différents milieux qu'elle traverse:

Un rayon lumineux relie deux point  et situés de part et d'autre de S; ce rayon n'est pas représenté dans la figure. Ne sont tracés que trajets situés de part et d'autre du rayon qui réalise l'extremum (nous nous basons sur l'étude du trajet maximum maintenant). Par hypothèse, ils sont

extrêmement proches, si bien que la distance  est très faible:

  (45)

Nous admettons qu'ils correspondent au même temps de parcours.

  (46)

Puisque les deux trajets sont très proches, nous pouvons admettre l'égalité des distances  et

 d'une part,  et  de l'autre. Ainsi, par hypothèse:

  (47)

Mais, sous la même hypothèse:

  (48)

si bien que:

  (49)

La "loi de la réfraction" s'énonce finalement en général:

  (50)

Quant à "l'angle de réflexion", ce dernier est égal à l'angle d'incidence si la surface de réflexion est parfaitement régulière et plate.

Le principe de Fermat présente donc d’évidentes similitudes avec le principe de moindre action en cela qu’il consiste en un principe du minimum. Bien qu’une description rigoureuse de la lumière nécessite l’introduction de la physique quantique il est toutefois possible de l’appréhender par le biais de la mécanique analytique et de lui appliquer, sous certaines conditions, le principe de moindre action. Nous allons montrer que nous retrouvons ainsi le principe de Fermat. 

Les calculs que nous allons présenter introduisent de nombreuses hypothèses hasardeuses mais en tout état de cause, ce procédé doit être considéré comme une approximation. A noter que le principe de Fermat procède lui aussi d’une même approximation que nous pouvons qualifier de "limite classique".

Imaginons que la lumière est composée de "grains" matériels. Il faut alors admettre que ces grains obéissent à des propriétés physiques plutôt singulières: leur masse est nulle puisque selon la description classique, les rayons lumineux ne sont pas déviés par le champ gravitationnel. Cette absence de masse les rend donc insensibles au champ gravitationnel terrestre (attention ! nous sommes dans un description "classique").

Ecrivons l’action pour l’un de ces grains de lumière :

  (51)

Or, en supposant que le seul champ de potentiel V présent est celui quiérive du champ gravitationnel et que nous ademmetons que la lumière comme y étant insensible (nous savons en relativité général que cela est faux mais nous avons préciser tout à l'heure que nous ferions des approximations), il s’ensuit que l’action de la lumière peut s’écrire:

  (52)

Or, aucune force ne s’applique sur la lumière, par conséquent l’énergie cinétique T est une constante du mouvement. Appliquons le principe variationnel de moindre action:

  (53)

D’où nous tirons:

  (54)

Cette équation signifie que le temps mis par la lumière le long de sa trajectoire est minimum (ou plus généralement, est un extremum). Nous retrouvons le principe de Fermat. Nous avons donc montré, qu’à la limite classique et sous certaines hypothèses, le principe de Fermat découle directement du principe de moindre action.

EFFET TCHERENKOV (CERENKOV)

Nous avons vu dans les paragraphes précédents l'hypothèse (relativement intuitive) que la vitesse de propagation de la lumière dans un milieu d'indice de réfraction n n'était pas égal à c mais toujours inférieur en écrivant cela :

  (55)

L'effet Tcherenkov est (basiquement) un phénomène similaire à une onde de choc (en acoustique), produisant un flash de lumière, et qui a lieu sur le trajet d'une particule chargée se déplaçant dans un milieu avec une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière du milieu (l'explication rigoureuse sort du cadre d'étude de ce site de par sa complexité de traitement!).

Effectivement, rappelons d'abord que nous avons vu dans le chapitre d'électrodynamique que toute particule chargée en mouvement émettait une radiation électromagnétique. Ensuite, nous avons vu dans les paragraphes précédents que la vitesse de la lumière dans un milieu donnée

dépendait de l'indice de réfraction de ce milieu (hypothèse qui se vérifie par la justesse expérimentale des développements théoriques qui en découlents).

Remarques:

R1. C'est cet effet qui provoque la luminosité bleue de l'eau entourant le cœur d'un réacteur nucléaire.

R2. Parfois certains se demandent pourquoi les particules chargées peuvent aller plus vite que la lumière dans un milieu autre que le vide. C'est simple au fait : même si les deux particules rencontrent à peu près les mêmes obstacles et difficultés à se propager le photon ne peut être accéléré par une impulsion alors qu'une particule chargée peut se voir être accélérée par un phénomène donné dans un milieu donné.

Nous avons donc deux données de bases. La vitesse de la particule chargée qui peut s'écrire sous la forme suivante avec les notations relativistes :

  (56)

et la vitesse de la lumière dans un milieu avec un indice de réfraction donné :

  (57)

Il est facile de voir que pour obtenir  il faut avoir :

  (58)

Soit :

  (59)

Certains auteurs préfèrent comparer la distance parcourue par la lumière par rapport à celle parcourue par la particule. Il vient ainsi :

  (60)

Et donc pour que la particule parcoure des distances égales à celles de  la lumière dans le même

temps il faut que . Au-delà, apparaît l'effet Tcherenkov.

FORMULES DE DESCARTES Nous avons discuté précédemment certains phénomènes qui se produisent lorsqu'un front d'onde passe d'un milieu à un autre dans lequel la propagation est différente. Non seulement nous avons analysé ce que devient le front d'onde, mais encore nous avons introduit le concept de "rayon" qui est particulièrement utile pour les construction géométriques. Nous nous proposons maintenant d'approfondir les phénomènes de réfraction et de réflexion d'un point de vue géométrique en utilisant le concept de rayon comme l'outil permettant de décrire les processus qui prennent place aux surfaces de discontinuité de la propagation. Nous admettrons également que les processus se limitent à des réflexions et réfractions, aucune autre modification n'affectant les surfaces d'onde.

Ce traitement géométrique est correct tant que les surfaces et les discontinuités rencontrées par l'onde au cours de sa propagation sont très grandes devant la longueur d'onde. Tant que cette condition est remplie, le traitement s'applique aussi bien aux ondes lumineuses, acoustiques (en particulier ultrasonores – très hautes fréquences), sismiques, etc.

Nous commençons par considérer la réflexion des ondes sur une surface. Nous devons d'abord établir certaines définitions. Le centre de courbure C (cf. chapitre de Géométrie Différentielle) est le centre de la surface sphérique de la figure ci-dessous et le sommet O est le pôle de la calotte sphérique.

Définition: La droite passant par O et C est appelée "axe optique".

Si nous prenons O pour origine des coordonnées, toutes les quantités mesurées à droite de O seront prises comme positives, toutes celles à gauche comme négatives.

  (61)

Supposons que le point P soit une source d'ondes sphériques. Le rayon donne par réflexion le

rayon et, comme les angles d'incidence et de réflexion sont égaux par rapport à la perpendiculaire AC de la surface (comme nous l'avons déjà fait remarquer lors de notre étude de la réfraction), nous voyons sur la figure que :

et   (62)

d'où :

  (63)

En admettant que les angles et sont très petits, c'est-à-dire que les rayons sont "para-axiaux" et que la source est très distante ou que le détecteur est très petit par rapport à la source, nous pouvons écrire avec une bonne approximation (développement de MacLaurin pour de petits angles) :

  (64)

En substituant ces valeurs approximatives de et dans , nous obtenons :

  (65)

qui est la "formule de Descartes pour la réflexion sur une surface sphérique concave". Elle implique, dans l'approximation utilisée pour l'établir, que pour tous les rayons incidents passant par P passeront par Q après réflexion sur la surface. Nous pouvons alors dire que Q est "l'image de l'objet" P.

Dans le cas particulier où le rayon incident est parallèle à l'axe optique, ce qui équivaut à placer l'objet à une très grande distance du détecteur, nous avons . La formule de Descartes devient alors :

  (66)

et l'image se forme au point F appelée "foyer", et sa distance du détecteur donnée par :

  (67)

est appelée "distance focale".

La relation obtenue précédemment est également valable pour un surface convexe. Effectivement, il suffit de tirer les traits représentant les rayons lumineux au-delà de la surface concave pour voir que l'objet d'étude est le même à une symétrie près :

  (68)

La seule différence entre la surface concave et convexe tient au fait que dans le cas de la surface convexe, l'image de l'objet réfléchi apparaît comme s'il semblait être derrière la surface (à l'équivalent du point P). Ceci nous amène à définir la terminologie suivante :

Définition: Dans le cas d'une surface concave, nous disons que l'image d'un objet est une "image réelle" alors que dans le cas d'une surface convexe, nous disons que l'image d'un objet est une "image virtuelle".

Remarque: Si l'ouverture du miroir est grande, de telle sorte qu'il reçoive des rayons fortement inclinés la formule de Descartes que nous avons précédemment déterminé n'est plus, nous le savons, une bonne approximation Il n'y a plus dans ce cas une image ponctuelle bien définie d'un "point objet", mais un nombre infini d'entre elles : en conséquence l'image d'un objet de grandes dimensions apparaît flou puisque les images se superposent. Cet effet porte le nom "d'abbération de sphéricité" et la partie de l'axe optique qui contient l'ensemble des images réfléchies s'appelle alors la "caustique par réflexion". L'aberration de sphéricité ne peut pas être éliminée, mais un dessin approprié de la surface permet de la supprimer pour certaines positions sur l'axe optique appelées "stigmatiques". Par exemple, dans notre cas d'étude précédent, il est évident (par construction géométrique) que si nous posons P en C, alors le point C devient alors le point stigmatique. Nous disons alors qu'il est le point "rigoureusement stigmatique".

Par contre pour le miroir parabolique tous les rayons convergent vers le foyer du miroir où est concentrée l’énergie lumineuse reçue par le miroir. Réciproquement, nous plaçons le filament d'une lampe au foyer d'un miroir parabolique pour obtenir des projecteurs de grande portée. Nous donnons aussi une forme parabolique aux antennes de réception des ondes hertziennes. Pour la télévision diffusée par des satellites comme on travaille en ondes centimétriques (fréquence de

quelques GHz) une distance focale de l’ordre du mètre est convenable pour l'antenne (in extenso cela s'applique aux télescopes et radiotélescopes).

  (69)

L'idée pour démontrer que le foyer de la parabole est le point stigmatique rigoureux est la suivante :

Reprenons le schéma que nous avons utilisé lors de notre étude des coniques dans le chapitre de géométrie analytique :

  (70)

Nous y avons rajouté le point qui est la projection orthogonale du point M (point d'incidence du rayon lumineux) ainsi que la tangente de la parabole au point M. Si nous arrivons à démontrer

que la tangente à est la médiatrice du segment , alors nous démontrons également que l'angle d'incidence et de réflexion sont bien égaux.

Prenons l'équation :

  (71)

d'une parabole de paramètre (cf. chapitre de Géométrie Analytique) rapporté à un repère

principal . Le foyer à donc pour coordonnées et la directrice a pour équation :

  (72)

Nous obtenons l'équation de la tangente en par la dérivée en ce même point (attention… rappelez-vous de l'orientation particulière de la parabole!) :

  (73)

Ce qui s'écrit encore :

  (74)

et en sachant que :

  (75)

nous obtenons donc l'équation de la tangent :

  (76)

Un des vecteurs directeur de la tangente est donc alors :

  (77)

D'autre part, nous avons (cela se vérifie facilement en posant ) :

et   (78)

Nous avons donc le produit scalaire :

  (79)

comme les vecteurs et ont même norme d'après la définition de la parabole, nous en déduisons déduit que le vecteur (directeur de la tangente) dirige la bissectrice de l'angle des

vecteurs et et donc par extension que la tangent à est bien la médiatrice de .

Nous pouvons toujours dans le cadre des surfaces sphériques, déterminer le grandissement :

  (80)

Ainsi, le "grandissement" d'un système optique est défini comme le rapport de la grandeur de l'image à celle de l'objet, c'est-à-dire :

  (81)

Nous voyons d'après la figure ci-dessus que :

  (82)

Nous avons donc, en tant compte de ce que :

  (83)

d'où :

  (84)

Faisons maintenant une étude équivalente à celle effectuée précédemment, ayant les mêmes propriétés de symétrie et les défauts, mais sur les "dioptres sphériques" (résultats intéressant pour ce qui est de l'étude de l'œil).

Nous allons donc considérer la réfraction au passage d'une surface sphérique séparant deux

milieux d'indices de réfaction absolus et (voir figure ci-dessous).

  (85)

Les éléments géométriques fondamentaux sont les mêmes que ceux définis pour les surfaces sphériques.

Nous considérons donc dans un premier temps un dioptre concave et observant que la "distance objet" est situé à l'opposé des autres points, nous devons opter à une convention de signe pour prendre cette observation en évidence dans les équations. Ainsi, q sera défini comme une valeur négative.

Un rayon incident tel que PA est réfracté suivant AQ et coupe donc l'axe optique en q. Nous observons sur la figure que :

et   (86)

Remarque: Nous avons opté pour pour refléter le fait que q est négatif d'après nos conventions de signe. Sinon quoi, les relations trigonométrique remarquables nous donneraient un q positif.

Nous avons d'après la loi de Snell :

  (87)

et nous admettrons comme pour les surfaces sphériques que les rayons sont peu inclinés. Dans

ces conditions les angles et sont très petits et que nous pouvons écrire à l'aide des

développement en série de MacLaurin et de sorte que la loi de Snell s'écrit :

  (88)

D'après la figure nous pouvons faire les approximations :

  (89)

de sorte qu'en substituant dans l'approximation de la loi de Snell nous trous après simplification élémentaire :

  (90)

qui constitue la "formule de Descartes pour la réfraction au passage d'une surface sphérique". Bien qu'elle ait été démontrée dans le cas d'une surface concave, elle reste valable pour les surface convexe en tenant compte alors de ce que r est négatif à son tour.

Le "foyer objet" appelé également "premier point focal" d'une surface sphérique réfringente est la position d'un point objet de l'axe optique tel que les rayons réfractés soient parallèles à l'axe optique, ce qui revient à former l'image du point à l'infini, où . La distance de l'objet à la

surface sphérique est appelée alors "distance focale objet", et nous la désignons par . En posant

et . Nous avons alors :

  (91)

La distance focale est positive et le système dit "convergent" quand le foyer objet est réel,

placé devant la surface sphérique. Quand le foyer objet est virtuel la distance focale est négative et le système est dit "divergent".

De même, si les rayons incidents sont parallèles à l'axe optique, ce qui revient à avoir un objet

très éloigné de la surface sphérique , les rayons réfractés passent par un point de l'axe optique appelé "foyer image" ou "second point focal" (avec à nouveau les même problèmes de stigmatisme). Dans ce cas la distance de la surface sphérique à l'image est appelée "distance

focale image" et nous la désignons par . En posant et nous avons alors :

  (92)

Intéressons nous maintenant à un autre type de surface réfléchissantes et réfractantes : les lentilles.

Une lentille est par définition un milieu transparent limité par deux surfaces courbes (généralement sphériques), bien que l'une des faces d'une lentille puisse être plane. Une onde incidente subit donc deux réfractions à la traversée de la lentille. Admettons pour simplifier que les milieux de part et d'autre de la lentille sont identiques et leur indice de réfraction égal à 1 (l'air ou le vide par exemple) tandis que l'indice de réfaction de la lentille est n. Nous ne considérerons également que les lentilles minces, c'est-à-dire dont l'épaisseur est très petite devant les rayons de courbure :

  (93)

L'axe optique est maintenant la droite déterminée par les deux centres . Considérons le rayon incident PA passant par P. Au passage de la première surface, le rayon incident est réfracté suivant le rayon AB. Si nous le prolongions, le rayon AB passerait par Q' qui est donc l'image de

P donnée par le premier dioptre. La distance q' de Q' à s'obtient par l'application de la seconde formule de Descartes (sans oublier que la première partie de la lentille est un dioptre convexe) :

  (94)

Mais en ayant d'où :

  (95)

En B le rayon subit une deuxième réfraction et devient le rayon BQ. Nous pouvons dire alors que Q est "l'image finale" de produit par le système des deux dioptres constituant la lentille. Mais,

en considérant la réfraction en B, l'objet (virtuel) est Q' et l'image est Q, à une distance q de la lentille. Donc, en appliquant à nouveau :

  (96)

avec à nouveau et en prenant garde au fait que selon notre point de référence q devient -q' nous avons alors :

  (97)

En combinant les deux relations précédentes pour éliminer q' nous trouvons que :

  (98)

ce que constitue la "formule de Descartes pour les lentilles minces". En écrivant cette équation, il

convient d'appliquer à la convention des singes que nous avons fixé, c'est-à-dire que les rayons sont positifs pour une surface concave et négatifs pour une surface convexe, vue du côté duquel la lumière frappe la lentille.

Le point O dans la figure précédente, est choisi de façon à coïncider avec le "centre optique" de la lentille. Le centre optique à pour propriété d'être un point tel que tout rayon passant par lui sort parallèlement à la direction du rayon incident.

Pour montrer qu'en tel point existe, considérons, dans la lentille ci-dessous (à symétrie horizontale et verticale) :

  (99)

Considérons les deux rayons parallèles générateurs des dioptres (éléments

de la lentille) choisis tels que les plans tangents correspondants et sont par construction aussi parallèles.

Pour le rayon , dont la direction est telle qu'il se réfracte suivant , le rayon émergent est

et parallèle à de par la symétrie horizontale de la lentille. Ainsi, les triangles et

étant semblables quels que soient les "rayons générateurs", nous voyons ainsi que la position de O est satisfaite par la relation :

  (100)

et existe donc indépendamment des rayons générateurs.

Comme dans le cas d'un simple dioptre, le foyer objet , ou "premier point focal d'une lentille" est la position de l'objet pour laquelle les rayons émergent parallèlement à l'axe optique ( )

après avoir traversé la lentille. La distance de la lentille à est alors appelée "distance focale

objet" nous la désignons par f. En posant alors et dans l'équation de Descartes précédente, nous obtenons la distance focale objet sous la forme :

  (101)

que nous appelons parfois "équation de l'opticien".

Pour un rayons incident parallèle à l'axe optique ( ) le rayon émergent passe un point ,

caractérisé par , et appelé "foyer image d'une lentille" ou "second point focal d'une lentille". Par conséquent, dans une lentille mince les deux foyers sont placés symétriquement de chaque côté.

Par ailleurs, si f est positif, la lentille est dite "lentille convergente", si f est négatif elle est dite "lentille divergente".

Remarque: A nouveau, les problèmes d'aberrations sont aussi existantes pour les lentilles.

ÉQUATION DE CONJUGAISON

Tout point d'un objet étendu envoie donc de la lumière dans toutes les directions. Si une partie de cette lumière tombe sur une lentille, elle en émerge soit convergente en un point, soit divergent en semblant venir d'un point image. Pour trouver l'image, il suffit de tracer trois et seulement trois rayons :

  (102)

1. Rayon passant par le centre optique (non dévié)

2. Rayon parallèle à l'axe principal et convergent sur les lentilles convexes et divergent sur les lentilles convexes.

3. Rayons passant par le foyer objet ou dirigé vers le foyer objet

Appliquons cette superposition à l'exemple de la fleur ci-dessous située à une distance entre f et 2f d'une lentille convergent. Du sommet S, traçons ses 3 rayons. Ils convergent par construction géométrique (donc résultat à accepter tel quel) au même point P (ce que nous avons démontré), qui est l'image du sommet S de la fleur mais à une distance non symétrique par rapport à O. De même, E est l'image de D.

  (103)

Le schéma ci-dessus fournit donc une relation analytique entre les distances de l'image et de l'objet et la distance focale.

Les triangles et sont semblables et tous leurs angles sont donc égaux ce qui nous amène à écrire par application du théorème de Thalès (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) :

  (104)

où .

Les triangles SOD et POE sont aussi semblables d'où à nouveau par application de Thalès :

  (105)

En combinant les deux dernier rapports, nous obtenons ainsi "l'équation de conjugaison" (qui ne s'accorde pas…) :

  (106)

L'application de cette équation est très importante. Elle permet en définissant à quelle distance

on place un objet de la lentille et en souhait avoir son image à une distance , quelle doit être la distance focale de la lentille convergente (et ce indépendamment des indices de réfraction !).

Un peu de biologie… :

Le cristallin de l'œil pouvant se déformer sous l'effet de certains muscles, constitue une lentille à focale variable permettant d'accommoder la vision des objets à distance variable. La distance du

centre optique à la rétine étant fixe, le seul moyen de voir clairement des objets situés à des distances différentes est de modifier la distance focale. Dans son état ordinaire, le cristallin a une configuration assez plate, avec un grand rayon de courbure (il a alors une grand distance focale).

L'œil à pour rôle de focaliser la lumière provenant d'un objet à l'infini (environ 25 centimètres pour un humain moyen…) sur la rétine. Mais tous les yeux ne font pas cela correctement et le "punctum remotum" (distance maximale de vision distincte sans accommodation) est parfois à une distance finie, même parfait inférieur à cinq mètres (entraînant probablement une fatigue des yeux).

Si l'objet s'approche, les muscles se contractent, le cristallin gonfle et sa distance focale diminue de façon que l'image se forme toujours sur sa rétine. Le point le plus proche qui peut être vu clairement avec le maximum d'accommodation est appelé le "punctum proximum". Cette distance évolue beaucoup avec l'âge : elle est de dix centimètres pour un enfant de dix ans, de cent centimètres pour une personne de soixante ans (c'est la presbitie).

Il est habituel de parler de "puissance dioptrique" d'une lentille qui est simplement l'inverse de

sa distance focale. La puissance d'une lentille s'exprime ainsi en "dioptries" où .

Ainsi :

  (107)

PRISMEEn optique, le prisme est un des composantes les plus importants. On le retrouve en chimie, en physique de la matière condensée, en astrophysique, en optoélectronique et encore dans beaucoup d'autres appareils courants de la vie de tous les jours (comme les lentilles).

Nous allons dans les paragraphes qui suivent déterminer les relations les plus importantes à connaître relativement aux prismes et utiles à l'ingénieur et au physicien.

Nous nous intéressons aux rayons lumineux entrant par une face et sortant par une autre ayant subit deux réfractions (nous n'étudierons par les réflexions).

Voici la représentation type d'un prisme en optique géométrique avec le rayon incident S et sortant S ' et les deux normales N, N' aux arêtes du sommet d'ouverture . Plus les divers angles d'incidence et de réfraction:

  (108)

Nous savons que la somme des angles d'un quadrilatère (toujours décomposable en deux triangles

dont la somme des angles est ) vaut . Donc dans le quadrilatère délimité par les sommets 1234. Nous avons la somme:

  (109)

Maintenant que la situation est posée passons à la partie optique…

Nous avons quatre relations fondamentales à démontrer pour le prisme.

D'abord, nous avons au point d'incidence I et I ' la loi de Descartes qui nous permet d'écrire:

  (110)

Comme l'indice de réfraction de l'air est de 1 alors nous avons simplement en I:

  (111)

Dans la même idée en I ' nous avons:

  (112)

Donc:

  (113)

Nous avons aussi la relation:

  (114)

Soit:

  (115)

L'angle de déviation D est facile à déterminer. Il suffit de prendre le quadrilatère central:

  (116)

Donc:

  (117)

Nous avons donc les 4 relations fondamentales du prisme:

  (118)

Connaissant i et i' et l'indice de réfraction m nous pouvons alors déterminer tous les paramètres.

L'idéal serait encore de pouvoir se débarrasser de la connaissance expérimentale de i'.

Nous avons donc:

  (119)

Or:

  (120)

Ainsi il vient:

  (121)

Donc:

  (122)

Puisqu'il est avéré que l'indice m d'un milieu varie avec la longueur d'onde on comprend aisément que le prisme est capable de disperser la lumière blanche.

Enfin, si i est petit en prenant au premier ordre:

  (123)

Dès lors, si i est petit, i/m l'est aussi donc:

  (124)

Donc si i et  sont petits:

  (125)

OPTIQUE ONDULATOIRE

Dans ce chapitre seront dégagés certains éléments qui ont conduit au développement de la

mécanique quantique. Effectivement, la mécanique quantique est née, en premier lieu, d'une étude attentive de la nature de la lumière. Bien que cette science nouvelle soit développée au début du 20ème siècle, les considérations qui l'ont guidée alors sont incontestablement le résultat de 25 siècles de maturation. Au fond, c'est à une longue histoire de la lumière pleine de controverses que la mécanique quantique apporte enfin au 20ème siècle une magistrale conclusion.

PRINCIPE D'HUYGENSHuygens visualisait la propagation de la lumière comme résultant d'un processus de génération d'ondelettes sphériques en chaque point atteint par un front d'onde, ondelettes dont la somme donnait le champ en propagation. En traçant la tangente aux fronts d'onde des ondelettes à un instant donné, on obtenait le front d'onde de l'onde totale à ce même instant.

Nous rappelons qu'une surface d'onde ou "front d'onde" (cf. chapitre de mécanique ondulatoire) est le lieu des points du milieu atteins par le mouvement ondulatoire au même instant. La perturbation a donc même phase en tous points d'une surface d'onde. Pour une onde plane, par exemple, la perturbation s'exprime par (nous l'avons démontre dans le chapitre traitant de la mécanique ondulatoire) :

  (1)

ou dans une formulation plus générale :

  (2)

qui donne donc l'expression de la propagation de la perturbation pour laquelle la "surface d'onde"

est le lieu des points où la phase a même valeur à un instant donnée. La surface d'onde est donnée en conséquence par l'équation :

  (3)

Huygens, a donné une méthode imagée de représentation du passage d'une surface d'one à une autre dans le cas où l'onde est supposée résulter du mouvement des particules constituant le milieu matériel. Ainsi, si nous considérons la surface d'onde S ci-dessous :

  (4)

Quand le mouvement ondulatoire atteint cette surface, chaque particule a,b,c,... de la surface devient une source secondaire d'ondes, émettant des ondes secondaires (indiquées par les petits demi-cercles) qui atteignent la couche suivante de particules du milieu. Ces particules sont mises en mouvement et forment la nouvelle surface d'onde S' et ainsi de suite… Ainsi, Huygens avait une conception ondulatoire de la lumière, mais il ne considérait pas la nature périodique de l'onde, ce qui ne lui permettait pas d'introduire la notion de couleur de la lumière; de plus, selon son principe, une onde se propageant en sens inverse à celui de l'onde incidente devrait aussi se manifester, ce qui n'est pas le cas dans un matériau homogène.

L'intuition d'Huygens est cependant proche de la réalité, comme le montrera Fresnel dans sa théorie de la diffraction. Il faudra cependant attendre Kirchhoff, qui introduira un facteur d'inclinaison (oblicité) dans la théorie, pour obtenir une explication de l'absence d'onde se propageant vers l'arrière (le temps venu nous rédigerons les développements y relatifs).

LOI DE MALUS

Comme tous les "points correspondants" .sont équidistants, par le principe d'Huygens, la "loi de Malus" (la première donc et pas celle obtenue lors de l'étude de la polarisation de la lumière comme nous le verrons plus loin) affirme que l'intervalle de temps entre les points correspondants de deux surfaces d'onde est le même pour tout couple de points correspondants.

Conséquences (se référer en même temps à la figure ci-dessous) :

  (5)

- Lorsque l'onde se propage dans un milieu homogène, les rayons lumineux doivent être rectilignes et les surfaces d'onde rester parallèles.

- Lorsque l'onde change de milieu, les distances entre deux paires de points correspondants varient d'un milieu à l'autre, si les vitesses de propagation sont différentes.

Cette loi permet de retrouver le loi de Descartes-Snellius que nous avons déjà démontré en optique géométrique, ce qui assure à priori que le principe d'Huygens reste valide dans le cadre de l'optique géométrique.

Démonstration:

Selon la figure ci-dessus, nous avons :

  (6)

en divisant chaque terme par , nous obtenons :

  (7)

Comme nous obtenons donc bien la loi de Descartes-Snellius telle que nous l'avions obtenu en optique géométrique :

  (8)

DIFFRACTION DE FRAUNHOFERDu point de vue de l'optique géométrique, un faisceau lumineux est un cylindre de section qui rassemble un grand nombre de rayons parallèles. Il est donc supposé rectiligne lorsqu'il est défini dans un milieu homogène.

L'émittance énergétique du faisceau ne varie que si une lentille (ou un autre dispositif) fait varier sa section ou si le milieu absorbe de l'énergie.

Le faisceau lumineux "éclate" quand un obstacle ne laisse passer qu'une partie de sa section.

Le principe d'Huygens montre que ce sont les bords de l'obstacle qui engendrent cette diffraction.

Le phénomène est général mais n'est bien observable que si la rapport est très grand. L étant la longueur des bords. Cette condition est nécessaire pour que l'intensité de la partie non diffractée du faisceau ne masque pas l'effet.

Définitions:

D1. Nous parlons de "diffraction de Fraunhofer" lorsque, comme supposé précédemment, les rayons lumineux incidents sont parallèles et le phénomène observé à relativement grande distance de l'écran.

D2. Nous parlons de "diffraction de Fresnel" lorsque les rayons incidents forment un faisceau divergent, en provenance d'une source ponctuelle ou si nous observons le phénomène à faible distance.

Considérons un cas générique et le plus répandu dans les laboratoires de physique qui est la diffraction par une fente rectangulaire étroite :

Pour cela, nous considérons que le faisceau incident est une onde électromagnétique plane et périodique, perpendiculaire à la fente et donnée par :

  (9)

Rappel : Sa longueur d'onde étant donnée par

CAS D'UNE FENTE RECTANGULAIRE

La largeur e de la fente est orientée selon l'axe y, sa hauteur h est supposée très grande afin de pouvoir négliger l'effet des extrémités.

Suivant le principe d'Huygens, le front de l'onde plane, délimité par la fente, constitue une

multitude de sources , de largeur dy, qui émettent, en phase, des ondelettes sphérique décrites par leur vecteur champ associée :

  (10)

Considérons maintenant un point d'observation P, à une distance R de la source (assimilée à la fente). Nous avons vu lors de l'étude des sources d'émission de type sphériques (cf. chapitre d'électrodynamique) que leur amplitude diminuait de manière inversement proportionnelle à la distance telle que :

  (11)

Or, les ondelettes, suivant à quel point de la fente elles sont assimilées, ne vont pas toutes parcourir la même distance R mais un distance propre r . Cependant, si R est suffisamment éloigné de la fente, nous nous permettrons d'approximer :

  (12)

reste encore le terme périodique où nous posons . Or, nous avons pour valeurs extrêmales :

  (13)

Ces valeurs correspondant respectivement, à l'avance et au retard des fonctions d'onde décrivant la propagation des ondelettes dans les extrémités de la fente.

Effectivement, il suffit de voir la figure ci-dessous, en considérant donc et ainsi :

  (14)

Ainsi, nous avons :

  (15)

Donc les différentes ondelettes sont déphasées et produisent ainsi des interférences.

Définition: En mécanique ondulatoire, on parle "d'interférences" lorsque deux ondes de même type se rencontrent. Ce phénomène se rencontre souvent en optique avec les ondes lumineuses, mais il apparaît également avec les ondes sonores.

L'onde diffractée dans la direction de , est alors donnée par la somme de toutes les contributions :

  (16)

Sachant que (relations trigonométrique) :

  (17)

Nous avons donc :

  (18)

Nous avions démontré dans le chapitre d'Électrodynamique que l'énergie (in extenso l'intensité) d'une onde électromagnétique était donnée (dans le vide) par la valeur scalaire moyenne du vecteur de Poynting :

  (19)

Nous avons donc :

  (20)

qui est l'émittance lumineuse émise dans la direction .

Si nous introduisons le sinus cardinal que nous avons déjà rencontré lors de notre étude des transformées de Fourier dans le chapitre sur les Suites et Séries nous avons alors:

Donc nous pouvons obtenir le même résultat en prenant le module au carré de la transformée de Fourier d'un signal monochromatique au travers d'une fenêtre rectangulaire. Ainsi, il semble possible d'étudier les phénomènes de diffraction en utilisant la transformée de Fourier et ce domaine se nomme "l'optique de Fourier".

Voici une représentation graphique du rapport :

  (21)

Remarque: Dans la pratique, sur l'écran, en face de la fente, nous observons une bande

lumineuse, dont la largeur dépend du quotient . Il s'agit au fait de la fente.

De part et d'autre de la frange centrale, il y en a d'autres, plus étroites et disposées symétriquement. Leur intensité diminue très rapidement selon le terme prépondérant au dénominateur :

  (22)

Entre les franges, se trouvent des zones d'obscurité qui sont le siège d'interférences destructives. Leur position sont données par la condition :

  (23)

sauf pour où l'on observe un maximum !

Nous observons donc des franges sombres dans les directions :

  (24)

Ainsi, la largeur angulaire de la frange centrale est le double de la valeur angulaire obtenue pour le premier minimum :

  (25)

Nous obtenons la largeur des pics suivants, comme suit :

Deux minima successifs satisfont donc les conditions :

  (26)

Ainsi :

  (27)

En posant il vient dès lors :

  (28)

Puisque l'émittance énergétique diminue très rapidement, seules les premières franges (pour lesquelles ) sont observables. Il reste :

  (29)

Les positions des maxima sont elles données par la condition :

  (30)

Posons :

  (31)

La résolution numérique de donne (en radians) :

  (32)

Les positions des maxima successifs sont alors :

  (33)

etc…

Nous aurions facilement pu obtenir une approximation convenable de ce résultat, en considérant que l'intensité est maximale lorsque :

  (34)

Ce qui nous amène à écrire :

avec   (35)

Remarque: Un résultat remarquable de l'expérience de Fraunhoffer est qu'elle remet en question la vision corpusculaire de la lumière telle que nous l'avions au 19ème siècle. 

Effectivement, beaucoup d'expériences telle que la projection de l'ombre d'un objet sur un mur semblait bien montrer que la lumière était tel un corpuscule ne traversant pas la matière et étant stopée net par tout obstacle que ce soit en son centre ou en ses bords (il faut attirer votre attention sur les "bords" en particulier). 

Or, l'expérience de Fraunhofer ainsi qu'en particulier celle de Fresnel en ce qui concerne les bords (nous la verrons plus loin car elles est mathématiquement plus délicate à aborder), montrent bien que la lumière semble pouvoir se comporter non pas comme un simple corpuscule mais bien comme une onde (à partir du principe de d'Huygens que nous avons utilisé pour nos développements) tel que nous l'ont montré les développements précédents qui expliquent parfaitement bien les résultats expérimentaux des diffractions de Fraunhofer.

Mais alors pourquoi garder le modèle corpusculaire de la lumière ? Tout simplement pour d'autres résultats expérimentaux et théoriques dont pour les plus connus tel que l'effet photo-électrique ou la diffraction Compton (cf. chapitre de Physique Nucléaire) qui s'expliquent théoriquement à merveille si ce n'est parfaitement avec un modèle corpusculaire de la lumière (et certaines autres particules de dimension, charge, spin, etc. donné).

Au fait, comme nous le verront dans le chapitre de physique quantique ondulatoire, c'est le physicien De Broglie qui va mettre définitivement un terme à cette dualité paradoxale en reliant à

l'aide des outils de la mécanique relativiste et physique quantique ondulatoire les deux aspects mathématiquement.

POUVOIR DE RÉSOLUTION

Selon le critère du physicien anglais Lord Rayleigh, le "pouvoir de résolution" d'une fente, est

l'angle entre deux rayons lumineux de longueur d'onde , issus de deux sources ponctuelles

, éloignées, dont les figures de diffractions sont séparées telles que :

  (36)

Or, nous avons vu que les minimas étaient donnés par :

  (37)

et donc pour :

  (38)

Si la lumière qui passe à travers une fente forme une image sur un écran, et que l'image est observée au microscope par exemple, il est impossible, quel que soit le grandissement du microscope, d'observer plus de détails dans l'image qu'il n'est permis par le pouvoir de résolution de la fente. Il faut tenir compte de ces considérations dans la conception des instruments d'optique.

CAS D'UNE RÉSEAU DE FENTES RECTANGULAIRES

Considérons maintenant un réseau de N fentes étroites de largeur , de hauteur et distantes de d. Un unique faisceau incident éclaire toutes les fentes.

Remarque: L'étude de ce modèle va nous permettre de comprendre en partie comment fonctionne le prisme et le fonctionnement des goniomètres utilisé en astronomie pour l'analyse du spectre ainsi que la diffraction par rayons X par un réseau d'atomes (donc l'importance est non négligeable).

Soit le schéma suivant :

  (39)

Nous voyons sur le schéma ci-dessus que pour certaines directions , la distance est telle que des interférences constructives ou destructives se réalisent.

Posons que le réseau est placé dans le plan YZ et que la direction du faisceau ce fait selon l'axe X. Plaçons nous en un point d'observation P situé dans le plan XY. Selon les propriétés des ondes

électromagnétiques (cf. chapitre d'Electrodynamique), le vecteur champ électrique de l'onde

émise par la fente est perpendiculaire à la direction d'observation et peut s'exprimer par :

  (40)

et nous avons vu que :

  (41)

d'où :

  (42)

Dans une direction quelconque, les ondes issues de deux fentes adjacentes sont déphasées de et au point P d'observation, le champ électrique résultant est donné par la somme des

contributions de chaque fente avec son décalage propre. D'où :

  (43)

Nous voyons donc que chaque onde est déphasée de :

  (44)

Nous pouvons maintenant représenter en utilisant les phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) dans l'espace des phases tel que :

  (45)

Ce qui donne graphique pour le deuxième terme contenant la variable de sommation j pour une distance R fixe :

  (46)

Nous voyons que les mis bout à bout forment un polygone régulier, inscrit dans un cercle de rayon :

  (47)

La norme du champ électrique résultant étant égal à la corde définie par l'angle :

  (48)

nous aurons :

  (49)

L'énergie lumineuse (in extenso l'intensité) émise dans la direction étant proportionnelle au carré du champ électrique (cf. chapitre d'Electrodynamique), nous avons alors pour les interférences destructives ou constructives :

  (50)

Nous substituons maintenant par l'expression trouvée lors de notre étude plus haut de la diffraction par une seule fente :

  (51)

Ainsi, nous obtenons pour l'addition des effets d'interférences et de diffraction :

  (52)

Bien que cette relation semble compliquée, tous ses paramètres n'ont pas la même importance pratique.

En effet considérons la fonction :

  (53)

Le terme A présente des maxima lorsque :

  (54)

et des valeurs nulles si :

avec   (55)

Bien que le terme B fasse diverger la relation pour , la règle de l'Hospital (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) nous donne que :

  (56)

Il en résulte que pour et donc des valeurs nulles de A et de B, la fonction présente des

énormes pics de hauteur .

Vu leur grande amplitude, les pics principaux sont ceux que l'on observe expérimentalement le plus facilement. Ainsi, la position angulaire des maxima de la fonction est donnée par :

  (57)

La valeur de n, qualifie le "numéro d'ordre du maximum d'interférence".

Appliquons ses résultats à la relation d'interférence :

  (58)

Le pic d'ordre n est centré sur la valeur équivalente qui annule le numérateur et le dénominateur de cette fraction tel que :

  (59)

d'où :

  (60)

Ainsi, un réseau dont nous connaissons la valeur d du pas peut utilisée pour mesurer la longueur d'onde d'une lumière incidente inconnue.

Cependant, si la lumière incidente est polychromatique (typiquement pour les observations astronomiques), la relation précédente nous donne pour une longueur d'onde donnée la position des franges d'interférences. Ainsi, un astronome faisant passer de la lumière polychromatique de son télescope par un réseau diffraction faire une analyse spectroscopique de la lumière.

La relation nous donne également que pour des valeurs fixes de m et d, plus est grand, plus

l'angle l'est aussi dans un intervalle compris entre . Ainsi, les raies spectrales résultant de l'incidence d'un faisceau polychromatique montrent un spectre allant du violet (faible longueur d'onde donc petit angle) au rouge (grande longueur d'onde donc grand angle).

Au moyen d'un goniomètre, nous mesurons les angles des pics principaux d'ordre m, pour le plus grand nombre possible de valeurs de m. Nous en déduisons de la pente du graphique :

  (61)

Le pied du pic est situé à en un endroit où le numérateur s'annule pour la première fois après le passage du pic.

Puisque l'argument de cette fonction augmente de entre deux pics successifs (parmi tous les

pics principaux et secondaires), il vaut à l'endroit du pic d'ordre m (pic principal donc) et doit parcourir radians supplémentaires pour atteindre le pied du pic.

Le numérateur vaut donc :

  (62)

La distance angulaire entre le sommet et le pied du pic principal est donc donné par :

  (63)

Mais dès le premier ordre, nous avons . La différence des deux sinus donne (cf. chapitre de Trigonométrie) :

  (64)

Un développement de MacLaurin (cf. chapitre des Suites Et Séries) de donne lorsqu'on

prend le premier terme du développement :

  (65)

mais nous avons aussi la relation remarquable . D'où la largeur angulaire d'un pic d'ordre m :

  (66)

Or :

  (67)

Donc :

  (68)

Il est claire que deux raies superposées seront vues comme distinctes si elles sont séparées d'une distance angulaire égale à leur largeur angulaire. L'expression :

  (69)

établit qu'à deux positions angulaire correspondent deux longueurs d'onde. Nous pouvons donc

donner la séparation de deux raies par au lieu de .

Ainsi de :

  (70)

nous tirons :

  (71)

Mais :

  (72)

Lorsque et sont petits, nous avons :

  (73)

Ce qui nous amène à écrire par substitution :

  (74)

Le pouvoir de résolution R d'un réseau représente sa capacité de séparer deux raies spectrales de longueurs d'onde et voisines tel que :

  (75)

Nous voyons que le pouvoir de résolution augmente proportionnellement à l'ordre de diffraction.

FENTES DE YOUNG

Selon le principe de la dualité onde-corpuscule, la lumière se comporte à la fois comme une onde et comme un corpuscule (particule matérielle). C'est la résolution de problèmes comme ceux du corps noir (cf . chapitre de Thermodynamique), de l'effet photoélectrique (cf. chapitre de Physique Nucléaire) ou encore celui de l'effet Compton (cf. chapitre de Physique Nucléaire) qui a révélé l'existence de cette dualité.

Mais nous allons nous maintenant étudier la manière la plus flagrante mettant en évidence l'aspect ondulatoire de la matière à l'échelle atomique à l'aide de l'expérience des fentes de Young. Nous allons aborder celle-ci de manière simplifiée comme un cas particulier du réseau de fentes rectangulaires mais ayant l'avantage de mettre expérimentalement en évidence de manière aisée le comportement duaire et probabiliste de la matière à l'échelle atomique.

Soit une source de lumière S, qui rayonne une onde monochromatique  de longueur d'onde à

travers deux fentes  et  percées dans un obstacle opaque à la lumière, comme le montre la figure ci-dessous :

  (76)

Remarque: L'intérêt du dispositif est qu'il permet de produire deux sources de lumières cohérentes. C'est-à-dire deux sources dont la différence de phase est constante tout au long de

l'expérience.

Nous disposons un écran d'observation E en un point H tel que la distance :

  (77)

où a serait typiquement de l'ordre du millimètre et D du mètre.

L'onde donnera après son passage à travers les fentes  et  , comme nous l'avons déjà vu,

naissance à deux ondes "filles" et  de même pulsation qui emprunteront

respectivement les chemins  et  et qui iront interférer au point M de l'écran E.

Si l'interférence en M est constructive, ce point sera alors situé sur une frange brillante et si l'interférence en M est destructive, il sera sur une frange obscure. Pour observer cela, écrivons d'abord l'onde résultante au point M :

  (78)

dans laquelle nous avons en termes de phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) : 

 et   (79)

où A est l'amplitude k est le vecteur d'onde et t, représente la variable temps comme nous l'avons déjà étudié en détail dans le chapitre de mécanique ondulatoire.

Maintenant, faisons un changement de variable (histoire de pas avoir à se trimbaler de longues exponentielles) :

 et   (80)

Remarque: Nous verrons plus loin qu'au fait  et

Pour le calcul de l'intensité au point M, nous allons prendre la norme complexe (module) de de

 ce qui s'écrit donc comme le produit du complexe et son conjugué :

  (81)

Remarque: Ce calcul est très important car l'analogie avec la physique quantique ondulatoire est très forte à ce niveau et similaire au calcul de l'amplitude de probabilité (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).

Donc :

  (82)

L'intensité est donc maximale si et seulement si :

  (83)

Donc que :

  (84)

avec . Ce qui donne :

  (85)

Remarque: C'est ici que trivialement nous voyons que  et

L'intensité est donc nulle si et seulement si :

  (86)

Donc que :

  (87)

avec . Ce qui donne :

  (88)

Maintenant, il nous faut calculer  en fonction de z pour savoir ce que nous observons sur l'écran E.

Considérons pour cela le schéma suivant :

  (89)

où  et .

Nous avons sur notre schéma :

  (90)

Or ,  donc nous avons :

  (91)

Comme z et a sont petits devant D et en utilisant l'approximation :

  (92)

si  est petit devant 1. Nous avons alors :

  (93)

De même :

  (94)

Donc en soustrayant ces deux relations :

  (95)

Donc finalement en utilisant la relation :

  (96)

il vient :

  (97)

Ainsi, la distance entre deux maximums consécutifs est :

  (98)

et est appelé "interfrange".

Pour les franges d'intensité nulle il vient immédiatement :

  (99)

Cette relations révèle que l'intensité I présente des minima (franges obscures) et maxima (franges brillantes) distribués selon la direction z de manière périodique. Cela ne nous étonne pas plus que cela pour l'instant car il découle du cas plus général étudié plus haut.

  (100)

Il convient cependant de préciser que les calculs précédents montrent que l'intensité des franges est partout égale. Or nous observons expérimentales (voir la figure ci-dessus) que leur intensité diminue lorsqu'on s'éloigne du centre de l'écran. Comme nous l'avons déjà vu, deux phénomènes sont à l'origine de cette observation :

Premièrement, les fentes ont une certaine largeur, ce qui implique un phénomène de diffraction. En effet, une lumière envoyée sur un petit trou n'en ressort pas de façon isotrope. Cela se traduit par le fait que la lumière est majoritairement dirigée vers l'avant. Cet effet se répercute sur la figure observée après les fentes d'Young : l'intensité des franges décroît au fur et à mesure que l'on s'éloigne du centre.

Le second phénomène à prendre en compte est le fait que les ondes émises en  et  sont des ondes sphériques, c'est-à-dire que leur amplitude décroît au fur-et-à-mesure qu'elles avancent.

Ainsi l'amplitude de  et  ne sera pas la même au point M.

Donc nos calculs restent approximatifs par rapport à l'étude que nous avions fait du réseau de fentes rectangulaires mais c'est ainsi que l'expérience des fentes de Young est présentée dans les écoles et cela suffit à mettre en évidence le résultat principal.

L'expérience originelle de Thomas Young peut donc être interprétée en utilisant les simples lois de Fresnel comme nous l'avons fait avec le réseau de fentes. Ce qui met en évidence le caractère ondulatoire de la lumière. Mais cette expérience a par la suite été raffinée, notamment faisant en sorte que la source S émette un quantum à la fois. Par exemple, on peut à l'heure actuelle émettre des photons ou des électrons ou encore des atomes un par un. Ceux-ci sont détectés un par un sur

l'écran placé après les fentes d'Young. Nous observons alors que ces impacts forment petit à petit la figure d'interférences. Selon des lois classiques concernant les trajectoires de ces corpuscules, il est impossible d'interpréter ce phénomène!!! D'où l'intérêt de l'étude théorique et expérimentale des fentes de Young.

De gauche à droite et de haut en bas, voici les motifs obtenus en accumulant 10, 300, 2'000 et 6'000 électrons avec un flux de 10 électrons/seconde. L’accumulation des électrons finit par constituer des franges d’interférence ce qui est assez déroutant!

  (101)

Nous reviendrons sur ce phénomène crucial dans le chapitre de physique quantique ondulatoire pour en dire un peu plus.

POLARISATION DE LA LUMIÈRECe n'est qu'au 19ème siècle qu'on découvrit la polarisation de la lumière (nous allons de suite expliquer de quoi il s'agit). Cependant, à l'époque de Newton, on connaissait déjà un phénomène dû à la polarisation : l'existence de cristaux dits "cristaux biréfringents" (tel le spath d'Islande) qui ont la propriété de réfracter un seul rayon en deux rayons distincts (aujourd'hui nous savons que les deux rayons réfractés par un tel cristal sont polarisés).

Pour comprendre ce qu'est la "polarisation de la lumière", revenons au cas d'une onde se propageant sur une corde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire). Une telle onde peut le faire dans un plan vertical (droite) aussi bien que dans un plan horizontal (gauche) ou dans tous les plans intermédiaires:

  (102)

Dans les deux cas, nous disons que l'onde est "polarisée linéairement", ce qui signifie que les oscillations se font uniquement et toujours dans le même plan, appelé "plan de polarisation". Une telle onde peut passer à travers une fente verticale si elle est polarisée verticalement, une onde polarisée horizontalement ne pourra pas.

Rappel : nous avons vu dans le chapitre d'électrodynamique que pour les ondes

électromagnétiques, le champ électrique oscille (du moins pour la solution standard des équations de Maxwell) et est orthogonale à la direction de propagation.

Le vecteur champ électrique d'une onde peut être décomposé en deux composantes

perpendiculaires l'une à l'autre, si l'onde se propage dans la direction z et transportant chacune la moitié de l'intensité de l'onde. Ces deux composantes changent à tout moment lorsque

varie. Le résultat à tout instant est un champ horizontal total et un champ vertical total.

  (103)

Si tourne autour de la direction de propagation avec son extrémité décrivant un cercle, nous disons alors que l'onde est "polarisée circulairement" :

  (104)

reste alors constant en module mais tourne tout en progressant, effectuant un tour complet pour chaque parcours égal à une longueur d'onde.

Remarque: La lumière n'est pas forcément polarisée ! Chaque atome émet un train d'ondes qui dure moins d'un cent millionième de seconde (ces trains d'ondes sont parfaitement expliqués par la propagation de la particule libre en physique quantique avec les transformées de Fourier), et toutes ces ondes n'ont aucune corrélation de phase ou d'orientation. Le champ résultant en une position donnée de l'espace, est la somme géométrique de tous ces trains d'ondes : il change constamment.

Ainsi, la lumière naturelle est un mélange aléatoire et très rapidement variable d'ondes linéairement polarisées dans toutes les directions. En regardant vers la source, nous observons un

champ , résultant qui oscille dans une certaine direction durant une fraction de période puis saute brusquement à une nouvelle direction aléatoire tout en restant perpendiculaire à la direction de propagation :

  (105)

Cette introduction ayant été faite, passons à quelque chose d'un peu plus formel :

Nous avions donc vu en électrodynamique qu'une onde plane progressive monochromatique (même si physiquement elle n'existe pas...) se propageant dans le vide était composée d'un champ

et d’un champ magnétique et était caractérise par sa pulsation , son amplitude en champ

électrique et en champ magnétique et sa direction de propagation donnée par un vecteur

unitaire à choix selon l’orientation du repère choisi.

Nous avons vu également que ces ondes possèdent des propriétés structurelles remarquables, en particulier :

- et sont transverses, c’est-à-dire que leur direction est en tout point et à tout instant orthogonale à la direction de propagation (théorème de Malus). Ceci, permettant de définir un

plan d’onde, plan généré par les deux directions de et .

- Les normes de ces deux vecteurs sont reliées par , où est la vitesse de la lumière dans le vide (c'est ce rapport immense entre le champ magnétique et le champ électrique d'une onde électromagnétique qui fait que les développements présentés plus loin se font de préférence par

rapport à la composante de l'onde)

- Enfin, ces deux vecteurs sont orthogonaux entre eux, et le trièdre est un trièdre orthogonal direct.

Ces trois propriétés se résument par la relation :

  (106)

où nous avons choisi le repère tel que l'onde se propage selon la direction . De plus, nous avions montré que le champ électrique est une fonction d'onde trigonométrique donnée à l'arbitraire de phase près par :

ou   (107)

Plaçons nous maintenant dans une base (x,y,z). L'expression la plus générale du champ électrique

d'une onde plane progressive monochromatique se propageant selon peut être décomposée selon deux composantes :

  (108)

La norme du champ étant dès lors donnée dès lors par :

  (109)

Si (ce qui est le cas le plus souvent) nous avons alors :

  (110)

En choisissant une autre origine des temps, nous pouvons toujours nous ramener à écrire :

  (111)

avec .

Remarque: Le choix d'écrire plutôt que nous sera utile plus tard pour l'utilisation des relations trigonométriques remarquables et nous permettre de trouver l'équation d'une ellipse (patience… c'est pas très loin).

En utilisant les phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) ces dernières relations peuvent se ramener à :

  (112)

Mais la polarisation la plus générale est décrite par un vecteur complexe normalisé à l'unité dans un espace à deux dimensions de composantes :

  (113)

avec .

Cependant, pour décrire ce champ, et donc l'ensemble de l'onde, il est commode de se placer dans

le plan et de décrire l'évolution du vecteur dans ce plan. C'est ce que nous allons faire par la suite. Ceci revient en fait à choisir une origine des coordonnées selon z. Dans ce cas, nous pouvons écrire :

  (114)

POLARISATION LINÉAIRE

Définition: Nous disons qu'une onde est "polarisée linéairement" lorsque ou .

Dans le premier cas ( , nous avons :

  (115)

Dès lors, nous avons qui ont des valeurs comprises respectivement entre

.

Remarque: Relativement à un diagramme que nous verrons plus loin il convient de prendre en compte que lorsqu'une composante est positive l'autre l'est aussi et inversement.

Nous avons dès lors à chaque instant :

  (116)

ce qui signifie que le champ garde une direction fixe. D'où le fait que nous parlions d'onde polarisée linéairement.

Si nous avons alors :

  (117)

Dès lors, nous avons qui ont des valeurs comprises aussi entre

.

Remarque: Relativement à un diagramme que nous verrons plus loin il convient de prendre en compte que lorsqu'une composante est positive l'autre est négative et inversement.

Nous avons dès lors à chaque instant :

  (118)

ce qui signifie aussi que le champ garde une direction fixe. D'où le fait que nous parlions également d'onde polarisée linéairement.

POLARISATION ELLIPTIQUE

Si est quelconque, et en nous plaçant en , nous avons :

et   (119)

d'où :

  (120)

De plus, nous pouvons écrire :

  (121)

En portant chacun des membres au carré :

  (122)

et en sommant, nous éliminons le temps et obtenons :

  (123)

Nous remarquons que si nous retrouvons :

  (124)

Ceci dit, ceci est l'équation d'une ellipse :

  (125)

En tout point similaire à la forme générale des coniques que nous avons vue en géométrique analytique (cf. chapitre de Géométrie Analytique) :

  (126)

Dans ce cas, l'extrémité de décrit donc une ellipse et nous parlons dès lors naturellement de "polarisation elliptique".

Suivant la valeur de , cette ellipse peut être parcourue dans un sens ou dans l'autre. Pour déterminer ce sens, dérivons l'expression du champ et plaçons- nous à toujours dans le même plan d'onde en :

  (127)

Ainsi :

- Si l'ellipse est parcourue dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre) comme le montre la figure plus loin. Nous disons alors que la polarisation est "elliptique gauche directe".

- Si l'ellipse est parcourue dans le sens direct aussi (inverse des aiguilles d'une montre) comme le montre la figure plus loin. Nous disons alors que la polarisation est "elliptique droite directe".

- Si l'ellipse est parcourue dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre). Nous disons alors que la polarisation est "elliptique droite indirecte".

- Si l'ellipse est parcourue dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) comme le montre la figure plus loin. Nous disons alors que la polarisation est "elliptique gauche indirecte".

POLARISATION CIRCULAIRE

Si et nous avons alors l'équation de l'ellipse qui se réduit à :

qui est l'équation d'un cercle de rayon , le sens étant toujours donné par le signe du sinus :

- Si il s'agit d'une polarisation circulaire gauche

- Si il s'agit d'une polarisation circulaire droite.

.... voir la figure plus bas pour un schéma.

POLARISATION NATURELLE

Nous pouvons considérer l'émission d'une source comme une succession d'ondes planes progressives monochromatiques dont l'expression sera donc :

  (128)

Ces trains d'ondes sont donc dans un état de polarisation particulier. Cependant, cet état varie aléatoirement d'un train d'onde à l'autre, et ceci en un temps très court par rapport au temps d'intégration des détecteurs. Ceux-ci ne verront donc pas de polarisation particulière, et le champ

n'aura pas de direction particulière.

Nous parlons dès lors de "lumière non polarisée". Si nous superposons cette lumière à une onde polarisée, nous obtenons ce que nous appelons une "polarisation partielle".

Finalement, nous pouvons résumer tout ce que nous avons vu jusqu'à maintenant par la figure suivante où nous avons :

- La polarisation linéaire

- La polarisation linéaire partielle (n'est pas représentée)

- La polarisation elliptique gauche ou droite

- La polarisation elliptique partielle (n'est pas représentée)

- La polarisation circulaire gauche ou droite

- La polarisation circulaire partielle (n'est pas représentée)

  (129)

Nous pouvons représenter cela de manière animée avec Maple et les commandes suivantes:

> restart;> with (plots):> Ex:=1;Ey:=1;phi:=Pi/4;k:=1;omega:=1;> animate3d([x,a*Ex*cos(omega*t-k*x),a*Ey*cos(omega*t-k*x-phi)],a=0..1,x=-10..10,t=0..2*Pi,frames=15,grid=[35,35],style=patchnogrid,axes=boxed);

  (130)

Il est bien entendu possible de modifier les paramètres. Par exemple,  donc une

polarisation circulaire,  donne une polarisation rectiligne comme nous l'avons montré plus haut.

LOI DE MALUS

Pour polariser de la lumière, le physicien fera usage de polariseurs. Nous n'entrerons pas ici (car ce n'est pas dans le cadre de l'optique ondulatoire) dans les détails des propriétés atomiques ou moléculaires de la matière qui sont la cause de la polarisation de la lumière transmise.

Pour nos besoins, nous allons nous restreindre à un polariseur qui polarise une lumière incidente

de manière linéaire selon l'axe x (la composant étant dès lors nulle). Il vient dès lors :

  (131)

Or, nous avons vu dans le chapitre traitant des équation de Maxwell que :

  (132)

Dès lors, il vient pour l'intensité maximale (tel que ) :

  (133)

relation qui constitue la non moins fameuse "loi de Malus".

Pour étudier de façon quantitative la polarisation, nous allons nous servir d'un ensemble polariseur/analyseur. Nous faisons d'abord passer la lumière dans un polariseur dont l'axe fait un angle avec l'axe x, puis dans un second polariseur, appelé "analyseur", dont l'axe fait un angle

avec le même axe (voir figure ci-dessous) avec :

  (134)

dont la norme est égale à l'unité !

  (135)

A la sortie de l'analyseur, le champ électrique s'obtient en projetant la lumière polarisée

linéairement obtenue à la sortie du polaroïd :

avec   (136)

sur (ce qui signifie : projection=produit scalaire, pour obtenir un vecteur on multiplie par le vecteur sur lequel on projette) :

  (137)

Nous en déduisons la loi de Malus pour l'intensité :

  (138)

dans le cas particulier de la polarisation linéaire bien sûr. Nous réutiliserons ce résultat en cryptographie quantique (cf. chapitre de Cryptographie).

COHÉRENCE ET INTERFÉRENCENous allons maintenant voir quelles sont les conditions nécessaires à ce que des ondes planes interférent entre elles. Ces développements permettent de comprendre bien des choses sur la vision du monde qui nous entoure via notre oeil (surtout pourquoi l'ensemble des ondes reçues par nos rétines ne se mélangent pas et donc les couleurs non plus!).

Considérons deux ondes planes  et    de pulsations   et  , de vecteurs d'onde   et   se

propageant toutes deux parallèlement à l'axe  .

Nous notons On note   et   les amplitudes complexes des deux ondes et nous nous s'intéressons à l'intensité moyenne observée en un point O pris comme origine des coordonnées:

  (139)

Nous posons:

  (140)

et nous supposerons:

  (141)

Au point O les amplitudes complexes s'écrivent

  (142)

où  et  représentent les phases de  et .

Calculons maintenant l'intensité instantanée au point O qui sera notée J(t). Comme l'intensité moyenne I est proportionnelle au carré de l'amplitude, nous supposerons qu'il en sera de même pour l'intensité instantanée. Ce qui nous amène à calculer la somme des parties réelles des amplitudes des deux ondes:

  (143)

Ce qui s'écrit en se rappelant que (cf. chapitre sur les Nombres):

  (144)

Soit:

  (145)

Et nous avons alors:

  (146)

Il vient la somme de quatre termes:

  (147)

Pour calculer l'intensité moyenne, nous allons choisir une approche expérimentale. L'intensité moyenne sur le temps de pose  du détecteur (électronique ou biologique) sera donc donnée par:

  (148)

I est donc la somme des moyennes des quatre termes intervenant dans J(t). En lumière visible

(cas de notre œil), les fréquences sont de l'ordre de  et les temps de pose des détecteurs

varient entre la milliseconde et la seconde.  contient alors typiquement  périodes de  et

!!

Examinons l'effet de la valeur moyenne sur chacun des termes de J(t):

1. Nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

  (149)

Nous pouvons estimer que sur un grand nombre de périodes (temps d'ouverture du détecteur), c'est cette moyenne qui sera mesurée (en l'occurrence c'est celle-ci!).

2. Nous avons de même:

  (150)

avec la même remarque que précédemment en ce qui concerne le détecteur!

3. Pour le troisième terme c'est un peu différent:

  (151)

Or, la moyenne d'un cosinus et d'un sinus sur une période est nulle. Donc si le détecteur fait une

mesure sur un temps d'exposition supérieur à , soit sur un grand nombre de périodes, nous aurons:

  (152)

4. Pour le quatrième terme c'est encore différent dans l'approximation expérimentale. Effectivement:

  (153)

Or, . Donc le détecteur n'a pas le temps de mesurer l'intensité moyenne sur une période entière en première approximation puisque:

  (154)

et que cette valeur est beaucoup plus grande dans le spectre du visible que le temps d'ouverture/échantillonnage de l'œil qui est lui de 0.1 [s].

Ainsi, nous noterons la moyenne de quatrième terme par:

  (155)

L'intensité moyenne vaut donc dans un cadre expérimental:

  (156)

ou:

  (157)

Si les pulsations  sont égales (ou pratiquement égales), c'est alors l'interférence entre deux ondes planes monochromatiques. L'intensité moyenne s'écrit alors:

  (158)

L'intensité mutuelle est non nulle et nous disons alors qu'il y a cohérence. Dans le cas contraire, si

les deux pulsations sont très différentes, la moyenne  est nulle et nous avons alors:

  (159)

Le terme d'interférences a disparu, l'intensité moyenne est la somme des intensités moyennes des deux ondes. Nous disons dans ce cas que les deux ondes sont incohérentes entre elles.

Quand nous savons que l'œil interprète l'intensité pour former les perceptions des objets nous comprenons pourquoi deux objets de deux couleurs différentes ne forment pas une perception correspondant à un mélange des deux couleurs car même si dans le spectre du visible, les pulsations sont presque égales, leur déphasage en un point donné de l'espace est rarement nul tel que:

  (160)

Il n'y donc pas interférence et nous avons en réalité:

  (161)

et ce d'autant plus que le déphasage n'est pas constant dans le temps et que la moyenne de déphasages fait que le troisième terme s'annule. On ne peut donc pas interférer de manière simple des ondes planes de sources différentes. Par contre lorsque la source est identique nous retrouvons ce que font nos écrans avec les trois couleurs primaires RVB.

Lorsque  est un multiple de , I est maximale (interférence constructive). Lorsque

 est de la forme , I est minimale. Nous avons alors une interférence destructive.

Remarque: Lors de la composition de plusieurs ondes, nous pouvons toujours considérer qu'il y a interférence. Toutefois, nous appelons "conditions d'interférences" des conditions d'observation des ces interférences, in extenso des conditions pour que le résultat de leur composition soit suffisamment stable pour être observé. Il est d'usage de parler de visibilité ce qui restreint à la seule observation par l'œil (humain).

Nous avons vu pour l'œil que la fréquence temps d'échantillonnage est de . Sachant que

la lumière visible à une fréquence de , la fréquence doit donc être stabilisée par la source pendant:

  (162)

ce qui matériellement est impossible sauf à ce que la source soit la même. Nous en déduisons que pour des interférences soient visibles à l'œil, les sources doivent être synchrones à mieux que

 ce qui en pratique amène à ne considérer que des sources absolument synchronisées sur une source unique.

Dans le modèle précédent, nous avons par ailleurs négligée qu'une onde réelle est limitée dans le temps. Un photon est représenté par un paquet d'onde limité. Soit T sa durée, il aura une longueur

 dans le vide ou dans l'air que nous appelons "longueur de cohérence temporelle".

Un rayonnement donné est donc une superposition d'une succession de trains d'ondes dont la

longueur moyenne est , les trains d'ondes successifs n'ont pas de relation de phases entre eux: ils ne peuvent pas interférer.