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März 2016
Lecture Notes
Elektrische Antriebe
Roger Knecktys
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2
„2+2=5 für extrem große Werte von 2“(Unbekannt)
Inhaltsverzeichnis
1 Physikalische Grundlagen
.........................................................................................................
3
1.1 Grundlagen der Mechanik
.................................................................................................
3
1.2 Grundlagen der Elektrodynamik
........................................................................................
7
1.3 Wechselstromkreise mit komplexen Widerstände
.......................................................... 10
2 Die Gleichstrommaschine
.......................................................................................................
11
2.1 Der Aufbau einer
Gleichstrommaschine..........................................................................
11
2.2 Die Ableitung der Kennlinien
...........................................................................................
12
2.2.1 Die Nebenschluß GM / Die fremderregte GM
........................................................ 12
2.2.2 Die GM Reihenschlußmaschine
.............................................................................
14
3 Die Synchronmaschine
...........................................................................................................
16
3.1 Der Aufbau einer Synchronmaschine
..............................................................................
16
3.2 Die grundlegenden Gleichungen und Kennlinien
............................................................ 17
4 Die Asynchronmaschine
.........................................................................................................
20
4.1 Der Aufbau einer Asynchronmaschine
............................................................................
20
4.2 Die grundlegenden Gleichungen und Kennlinien
............................................................ 20
4.3 Die Leistungsbilanz der ASM
...........................................................................................
25
5 Übungen
..................................................................................................................................
27
Quellen- und Literaturnachweis
......................................................................................................
30
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Physikalische Grundlagen3
1 Physikalische Grundlagen
1.1 Grundlagen der Mechanik
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Physikalische Grundlagen4
Ortsvektor und Geschwindigkeit in kartesischen und ebenen
Polarkoordinaten:
÷÷ø
öççè
æ=
÷÷ø
öççè
æ=
+=
10
01
y
x
yx
e
e
eyexr
Die Geschwindigkeit ist definiert als
÷÷ø
öççè
æ=
÷÷ø
öççè
æ=
+=
10
01
y
x
yx
e
e
eyexr &&&
Einführung von ebenen Polarkoordinaten
j
j
j
jjj
j
jj
jj
jj
errerrr
ererr
e
e
errryrx
r
r
r
r
)2()(
cossin
sincos
sincos
2 &&&&&&&&&
&&&
++-=
+=
÷÷ø
öççè
æ -=
÷÷ø
öççè
æ=
===
Das ist die Geschwindigkeit und Beschleunigung im
ortsabhängigenKoordinatensystem (Polarkoordinaten)
Die Radialgeschwindigkeit ist damit: rer&
und die Tangentialgeschwindigkeit: jjer & mit j& der
Winkelgeschwindigkeit (Betrag).
Die Dynamik eines mechanischen Systems wird durch die Newtonsche
Grundgleichunggegeben mit der Definition des Impulses p.
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Physikalische Grundlagen5
rmp
pF&
&
=
=
Die kinetische Energie einer Punktmasse m ist definiert als:
2
21 rmEkin &=
Bei einer Rotation werden diese Größen durch die entsprechenden
rotatorischenGrößen ersetzt.
Der Kraft F entspricht das Drehmoment M. Dem Impuls p entspricht
der Drehimpuls L.Die Masse m wird durch das Trägheitsmoment J
abgebildet. Die Geschwindigkeit v wird
durch die Winkelgeschwindigkeit w ersetzt.
Die entsprechenden Grundgleichungen sind also:
FrMprL
LM
´=
´== &
Für einen rotierenden starren Körper gilt weiterhin
wJL =
Das Trägheitsmoment J ist abhängig von der Masseverteilung des
rotierenden Körpersin Bezug auf die Rotationsachse. Es gilt mit der
zur Rotationsachse senkrechten
Komponente ^r :
ò ^=V
dVrrJ )(2r
Für die kinetische Energie ergibt sich analog:
JLJEkin 22
1 22 == w
Weiter ergibt sich der Zusammenhang von Arbeit und Leistung für
die Drehbewegung inAnalogie zur Translation:
w
j
×=
=
MPMW
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Physikalische Grundlagen6
Eine Umformung auf die Drehzahl n in [1/s] ergibt für die
mechanische Leistung
nMP ××= p2Das ist ein wichtiger Zusammenhang für die
Dimensionierung elektrischer Antriebe, daer alle wichtigen
mechanischen Kenngrößen eines Antriebes verknüpft.
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Physikalische Grundlagen7
1.2 Grundlagen der Elektrodynamik
Die Maxwellschen Gleichungen
Mikroskopische Gleichungen
Name SI Physikalischer Inhalt
Gaußsches Gesetz
Elektrische Feldliniendivergieren voneinanderunter
Anwesenheitelektrischer Ladung, dieLadung ist Quelle
deselektrischen Feldes.
Gaußsches Gesetz fürMagnetfelder
Magnetische Feldliniendivergieren nicht, dasmagnetische Feld
istquellenfrei; es gibtkeine magnetischenMonopole.
Induktionsgesetz vonFaraday
Änderungen dermagnetischenFlussdichte führt zueinem
elektrischenWirbelfeld.
Erweitertesampèresches Gesetz
Elektrische Ströme –einschließlich desVerschiebungsstroms
–führen zu einemmagnetischenWirbelfeld.
Für die Konstanten gilt der Zusammenhang zur
Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum:
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Physikalische Grundlagen8
Die Kraft auf eine bewegte Ladung wird gegeben durch die
Lorentzkraf
)( BvEqF ´+=Der magnetische Fluss berechnet sich aus der
magnetischen Flussdichte
ò ×=F AdBmit der Einheit [Vs]
Das Induktionsgesetz in integraler Form lässt sich demnach wie
folgt schreiben:
F-=dtdU ind
Das Induktionsgesetz ist das zentrale physikalische Prinzip, das
die elektrischenGrößen mit den mechanischen eines Systems koppelt
und damit grundlegend für dieAuslegung elektrischer Maschinen ist.
Insbesondere gilt für die Bewegung eines Leitersmit der Länge l und
Geschwindigkeit v senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld B:
BvlU ind ××-=
Für einen vereinfachten (Gleichstrom)-Elektromotor lässt sich
damit berechnen:
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Physikalische Grundlagen9
Mit B = const. der magnetischen Flussdichte, A der Fläche der
Leiterschleife und N derWicklungszahl ergibt sich
Durch Ableiten erhält man die Induktionsspannung
Die induzierte effektive Spannung ist
Wenn die Leiterschlaufe mit Spannung versorgt wird, arbeitet sie
als Motor. Durch
den Strom ein Drehmoment
erzeugt. Das mittlere Drehmoment bei einem Motor, bei dem der
Kommutator immerbei dem Winkel, bei dem das Drehmoment null wird,
das Vorzeichen ändert, ist
Wenn der Widerstand des Ankers, der rotierenden Spule, ist, kann
man denmittleren Strom berechnen
Damit hängt das Drehmoment von der Drehzahl ab
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Physikalische Grundlagen10
Das Drehmoment des ruhenden Motors ist also
und die maximale Drehzahl (mit Meff =0)
1.3 Wechselstromkreise mit komplexen Widerstände
Der Zusammenhang der elektrischen Größen U,I,P lässt sich aus
denErsatzschaltbildern der Motoren ableiten. Für Wechselströme muss
dabei mitkomplexen Widerständen gerechnet werden.
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Die Gleichstrommaschine11
2 Die Gleichstrommaschine
2.1 Der Aufbau einer Gleichstrommaschine
Die verschiedenen Typen der Gleichstrommaschinen:
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Die Gleichstrommaschine12
2.2 Die Ableitung der Kennlinien
2.2.1 Die Nebenschluß GM / Die fremderregte GM
Das Ersatzschaltbild des Ankerkreises lässt sich vereinfacht wie
folgt darstellen:
Die Drehzahl – Drehmoment Kennlinie lässt sich wie folgt
ableiten:
IRUU ai ×+=
Die Kraft und damit das Drehmoment folgt aus:
IMBIlF
µ××=
Außerdem gilt:
nkU i ××= f1
Für die Leerlaufdrehzahl Ui = U ergibt sich damit:
U Ui
I
Ro
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Die Gleichstrommaschine13
f10 k
Un =
Für das Drehmoment gilt:
IUPMnP
imech
mech
×=××= p2
Mit
nkU i ××= f1
folgt:
IkM ××= fp21
seip21
2kk =
IkM ××= f2
dann folgt aus:
IRUU ai ×+=
ff
××+××=
21 k
MRnkU a
2211 ff ××
-×
=kk
MRkUn a
Das Anlaufdrehmoment folgt daraus mit n=0
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Die Gleichstrommaschine14
UR
kMa
A ××
=f2
Die Drehmoment-Drehzahlkennlinie ergibt sich daraus zu:
nRkk
RUkM
aa
×-××
=2
212 ff
Dies ergibt eine Gerade mit den Achsenabschnitten n0
Leerlaufdrehzahl und MAAnlaufdrehmoment. Die Kennlinie ist typisch
für ein hartes Drehzahlverhalten.
Die Drehmoment Drehzahl Kennlinie
2.2.2 Die GM Reihenschlußmaschine
Im Gegensatz zur GM Nebenschlussmaschine wird in diesem Fall der
Fluss F abhängig
vom Strom I.
Damit gilt:
InknkUIc
ind ××=×F×=×=F
31
Damit erhalten wir die Beziehung zwischen Drehmoment und
Laststrom:
24
23
222Ik
nInk
nIU
nPM indmech ×=
××××
=×××
=××
=ppp
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Die Gleichstrommaschine15
Über die Spannungsgleichung erhält man
2
3
3
2 ÷÷ø
öççè
æ+×
=
×+=
G
Gind
RnkUkM
RIUU
p
Es ergibt sich ein grundlegend anderes Verhalten als die GM
Nebenschlussmaschine,das man als weiches Drehzahlverhalten
bezeichnet.
MA : Anlaufmoment
MN : Nennmoment
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Die Synchronmaschine16
3 Die Synchronmaschine
3.1 Der Aufbau einer Synchronmaschine
a) b)
Aufbau einer Synchronmaschine mit p=1 und a) Vollpolläufer und
b) Schenkelpolläufer.
Das Zustandekommen des Drehfeldes ist am leichtesten zu
verstehen durch dasVerhalten einer Kompassnadel in einem Feld von
drei Spulen mit angelegtemphasenverschobenen Wechselstrom
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Die Synchronmaschine17
3.2 Die grundlegenden Gleichungen und Kennlinien
Aus dem vereinfachten Ersatzschaltbild folgt die grundlegende
Spannungsgleichung:
11
11
iXUU
I
UIiXU
p
p
-=
+×=
I1 : Ständerstrom
U: Netzspannung
Up: Polradspannung
X1: synchrone Reaktanz
Als Zeigerdiagramm erhält man folgende Darstellung:
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Die Synchronmaschine18
Als Stromortskurve in Abhängigkeit von U und Up erhält man
konzentrische Kreise:
Für die Leistung und das Drehmoment folgt unter Beachtung, dass
die Maschineverlustlos arbeiten soll:
Pzu = Pab
Wab
WPhPhPhzu
IPIUIUP
µ××=×××= 3cos3 1 j
Für das Drehmoment ergibt sich aus:
W
mech
IM
constpfnn
nPM
µ
===
××=
.
2
0
p
Für das Drehmoment in Abhängigkeit vom Lastwinkel ergibt
sich:
Re(I)
.
Up > U
Up = U
Up < U
Im(I)
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Die Synchronmaschine19
bp
p
sin23
23
0
×××-=
××××
=
KPh
WPh
IUfpM
nIUM
Grafische ergibt sich folgende Kennline M(ß)
ß
M
Motor
Generator
-p/2 p/2
MK=Kippmoment
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Die Asynchronmaschine20
4 Die Asynchronmaschine
4.1 Der Aufbau einer Asynchronmaschine
4.2 Die grundlegenden Gleichungen und Kennlinien
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Die Asynchronmaschine21
Wie in der Vorlesung abgeleitet, weicht die Drehzahl der ASM von
derSynchrondrehzahl ab. Diese Abweichung wird Schlupf s
genannt.
Es gilt
pfn
nnns
s
s
s
=
-=
Mit f der Frequenz und p der Polpaarzahl.
Außerdem gilt
n = (1-s)ns
Die induziert Rotorspannung ist eine Funktion des Schlupfes
sUU RqRq ×= max,,,
Die Statorspannungsgleichung folgt aus der Analogie zum
Transformator imstationären Zustand
SqSSSSs UIXiIRU ,+××+×= s
Für die kurzgeschlossen Rotorwicklung folgt:
0, =+×××+× RqRRRR UIXsiIR s
Im folgenden werden alle Rotorgrößen auf die Statorwindungszahl
bezogen mit demVerhältnis ü=NS/NR der Windungszahlen. Sie werden
durch einen hochgestellten Strich´ gekennzeichnet.
Es gilt nun
SqRqRq UsUüU ,,, ×=×=¢
Damit folgt
0, =×+¢×¢××+¢×¢ SqRRRR UsIXsiIR s
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Die Asynchronmaschine22
Das einphasig Ersatzschaltbild kann wie folgt dargstellt
werden
Der Statorstrom als Funktion der Statorspannung kann nun
berechnet werden durchEinsetzen der Gleichungen:
Die grafische Darstellung in der komplexen Ebene bezeichnet man
als Heyland Kreisaus dem sich das dynamische Verhalten ableiten
lässt.
Für den Rotorstrom als Funktion der Statorspannung folgt:
Für das Drehmoment folgt mit der Beziehung
-
Die Asynchronmaschine23
mit
Durch Ableiten und Nullsetzung erhält man den Kippschlupf sK
und durch Einsetzen das Kippmoment MK
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Die Asynchronmaschine24
Die Kloss’sche Formel für Mi in Abhängigkeit von s folgt
dann
Dies kann genähert angegeben werden durch
Die Kloß’sche Formel
Die Kennlinie der ASM
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Die Asynchronmaschine25
4.3 Die Leistungsbilanz der ASM
Die Wirkleistung des Stators berechnet sich zu:
Die Verlustleistung des Stators, die am ohmschen Widerstand
abfällt ist
Daraus ergibt sich die resultierende Drehfeldleistung
Analog kann die Rotorverlustleistung berechnet werden
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Die Asynchronmaschine26
Insgesamt steht denn für die mechanische Leistung zur
Verfügung:
Der Zusammenhang mit dem inneren Drehmoment ist gegeben durch
dieStandardformel
Daraus ergibt sich der einfache Zusammenhang zwischen
Drehfeldleistung undinnerem Drehmoment.
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Übungen27
5 Übungen
1.) Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer homogenen Vollkugel
mit Radius R und
Dichte r = const.
Kugelkoordinaten sind gegeben durch:
dzdrdrdVrzryrx
jJ
JjJjJ
coscos
sinsincossin
2=
===
2.) Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Zylindermantels mit
d
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Übungen28
5.) Ein Gleichstrom Nebenschlussmaschine habe folgende
Kenndaten:
Nennspannung UN = 440 V
Nennstrom IN = 120 A
Nenndrehzahl nN = 974 min-1
Leerlaufdrehzahl n0 = 1028 min-1
Berechnen Sie folgende Größen
a) Induzierte Spannung im Nennbetriebb) Nennleistung der
Maschinec) Nennmomentd) Ankerkreiswiderstand
6.) Ein Gleichstrom-Reihenschlussmotor habe folgende Daten:
Nennspannung UN = 220 V
Nennstrom IN = 40 A
Nenndrehzahl nN = 1440 min-1
Nennleistung PN = 7,4 kW
Berechnen Sie folgende Größen
a) Wirkungsgrad im Nennbetriebb) Nennmomentc) Anlaufstrom
7.) Ein Fahrzeug wird durch einen 2,5 kW
Gleichstrom-Reihenschlussmotor betrieben.Bei einer Drehzahl 974
min-1 zieht der Motor am 120V Netz 25 A Strom.
Welches Moment liefert die Maschine bei 1752 min-1 bei
Vernachlässigung allerReibungsverluste?
8.) Was determiniert das Kippmoment einer Asynchronmaschine?
9.) Der Schlupf einer Asynchronmaschine sei s=0,05 und die
Drehfeldleistung 120kW. Berechnen Sie den Wirkungsgrad der Maschine
wenn Ständerverlustevernachlässigt werden können.
10.) Es seien folgende Daten eines
Gleichstrom-Reihenschlussmotors gegeben:
UN = 500 V
IN = 90 A
PN = 40,5 kW
nN = 720 min-1
Infolge eines Spannungseinbruch bei Nennbelastung sinkt die
Drehzahl um 30,6%
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Übungen29
a) Wie hoch ist der Spannungseinbruch DU in Volt?
b) Um wie viel Prozent sinkt der Wirkungsgrad?
c) Was ist die Leerlaufdrehzahl n0 des Motors?
11.) Ein Asynchronmotor treibe im Nennbetrieb direkt eine
vollkommenrotationssymmetrische Schwungscheibe an.
Die Scheibe habe das Massenträgheitsmoment von J = 100 kg*m2 und
die gesamteRotationsenergie von Ekin = 5000 J.
Der Motor habe die Nennleistung von 20 kW.
a) Berechnen Sie die Kreisfrequenz w und die Drehzahl n des
Motors.
b) Berechnen Sie das Nennmoment.
c) Wird dieser Motor direkt am Netz betrieben f=50Hz?
(Begründung)
d) Ist es möglich den Motor zum Halten zu bringen?
(Begründung)
w
-
Quellen- und Literaturnachweis30
Quellen- und Literaturnachweis
1.) Klaus Fuest;Peter Döring
Elektrische Maschinen und Antriebe / Vieweg 2004 6. Aufl.
2.) Heinrich Steinhart
Elektrische Antriebe 1 / HTW Aalen 2011
3.) E.Nolte
Elektrische Maschinen 1 u.2 Hochschule Esslingen 2007
