Elektrokinetika 4

PREDAVANJE 7 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 1

1. Metode analize linearnih elektrinih mrea

Analiza linearnih elektrinih mrea bavi se odreivanjem raspodele struja i/ili napona u gra-nama linearnih elektrinih mrea. Skup struja grana mree zove se raspodela struja, a skup napona,raspodela napona mree. Konstitutivna relacija nekog elementa mree y=f(x) povezuje definisanupobudnu veliinu x toga elementa (to je napon ili struja) sa njegovim odzivom y (struja ili napon).Kod nelinearnih elemenata zavisnost y=f(x) je nelinearna, paak i vieznana funkcija od x, dok jekod linearnih jednoznana. Konstitutivne relacije linearnih elemenata zadovoljavaju sledee uslove:Uslov homogenosti: Ako se eksitacija x elementa promeni k puta (=kx), k puta se promeni i nje-

gov odziv (=ky), gde k (-skup realnih brojeva). Dakle, uslov homogenosti nalae dakonstitutivna relacija y=f(x) linearnog elektrinog elementa zadovoljava uslov ky=kf(x)=f(kx).Uslov aditivnosti: Pretpostavimo da je odziv linearnog elementa pri eksitaciji x=x1, y1=f(x1), a pri

eksitaciji x=x2, y2=f(x2), gde je x1 x2. Uslov aditivnosti nalae da konstitutivna relacija y=f(x)linearnog elektrinog elementax1, x2, zadovoljava uslov f(x1+x2)=f(x1)+f(x2).Uslov linearnosti: Uslovi homogenosti i aditivnosti zajedno definiu uslov linearnosti elektri-

nog elementa. Elektrini element sa konstitutivnom relacijom y=f(x) je linearan ako i samo akoza n 1 i x1, x2, , xn, k1, k2, , kn on zadovoljava uslov f(k1x1+k2x2+ ++knxn)=k1f(x1)+k2f(x2)+ +knf(xn).

Rednim vezivanjem elektrinih elemenata formiraju se grane elektrine mree, a take u mre-i u kojima se stiu vie od dve grane zovu sevorovi mree. Spojevi po dva elementa unutar jednegrane zovu se take mree. Skupvorova mree je podskup skupa taaka mree. Elektrina kola imree analiziraju se u ustaljenom (ili stacionarnom), kao i u prelaznom (ili tranzijentnom) reimu,bez obzira na vrstu elektrinih generatora (eksitacija) i njihovu vremensku varijaciju. Kada su sveeksitacije prostoperiodine i iste frekvencije, analiza u ustaljenom radnom reimu po pravilu se nesprovodi u vremenskom domenu, vese primenjuju: (a) fazorski (tj. versorski) raun, koji u sutinipredstavlja jedan geometrijski metod analize kola i mrea manje tanosti i (b) kompleksni, odnosnosimboliki raun, koji je numeriki taniji i elegantniji metod analize u odnosu na fazorski.

U optem sluaju odziv linearne mree na proizvoljnu eksitaciju ima dve komponente: (1) od-ziv ustaljenog stanja i (2) odziv prelaznog reima. Ovaj drugi ima, takoe, dve komponente: jednapotie od akumulisane energije, a druga predstavljaistu reakciju mree na prikljuenje eksitacije.

U analizi mrea koriste se odreene metode reavanja i odgovarajue teoreme,ija zajednikaprimena ima za cilj olakavanje smog postupka analize, pre svega kroz redukciju reda sistema line-arnih algebarskih jednaina koji se reava po odgovarajuim naponima ili strujama. Red tog sistemadefinisan je brojem vorova mree n, brojem grana ng, brojem grana ne sa idealnim naponskim ibrojem grana ni sa idealnim strujnim generatorima. Sada emo prikazati neke metode analize mrea.

Primena Kirhofovih zakona: Odrediti struje grana mree na sl. 1a koju obrazuje n paralelnovezanih realnih naponskih generatora. Ako je n=100, koliko je potrebno napisati linearno ne-zavisnih algebarskih jednaina po Kirhofovim zakonima da bi se odredile te struje ? Problemreiti i primenom ekvivalentnih transformacija realnih naponskih u realne strujne generatore.Ovaj primer ilustruje, ne samo primenu Kirhofovih zakona, vei kako se u odreenim slua-

jevima mogu znatno poveati brzina i tanost reavanja problema koristei transformacije generato-ra. Zadatak analize jeste odreivanje raspodele napona i struja u mrei, a ovde se trai raspodelastruja u termogenoj mrei sa dva vora (n=2) i n grana (ng=n=100). Referentni smerovi napona U isvih struja (sl. 1a) usvojeni su proizvoljno. Za mreu sa nvorova po prvom Kirhofovom zakonu(IKZ) mogue je napisati tano n-1 linearno nezavisnih jednaina za bilo koji skup od n-1 proiz-voljno odabranihvorova. Jednaina napisana po IKZ za jedini preostalivor uvek je linearna kom-binaciju prethodnih n-1 jednaina i kao linearno zavisna moe se odbaciti. Algebarsko sumiranjestruja uvorovima vri se u odnosu na bilo koji od dva referentna smera (odvora i prema njemu).


+ +

+

+

+

(a)

E1 E2 E3 En1 En

Rg1 Rg2 Rg3 Rg(n -1) Rgn

I1 I2 I3 In1 In

I 0

U

(b)

I 0

E

Rg

U

+

Sl. 1

Poto je u posmatranom sluaju n=2, to jedina jednaina po IKZ napisana zavor 1 i usvoje-ni smer sumiranja struja prema voru (sl. 2a) glasi:

I I I I1 2 3 0 n.. . . (*)

+

+

+

+

(a)

E1 E2

E3En1

En

Rg1 Rg2Rg3 Rg(n -1) Rgn

I1 I2 I3 In1 In

I 0

UI II n-1

^vor 2

^vor 1

+

(b)

E

Rg

I 0

U

+

Sl. 2

Da bi se odredile struje svih n grana potrebno je napisati jong-(n-1)=ng-n+1=n-1=99 linear-no nezavisnih algebarskih jednaina po drugom Kirhofovom zakonu (IIKZ), kako bi se obrazovaopotpun nehomogeni sistem od n=100 nezavisnih linearnih algebarskih jednaina po n struja grana.Reenje takvog sistema uvek egzistira i ono mora biti jedinstveno zbog same fizike prirode proble-ma. Na sl. 2a ucrtano je n-1 proizvoljno usvojenih nezavisnih orijentisanih kontura oznaenih sa I,II, (n-1) po kojimae se vriti sabiranje elektrinih sila po IIKZ u smeru orijentacije tih kontura:

R I R I E Eg1 g21 2 1 2 ,

R I R I E Eg2 g32 3 2 3 , (**)..

R I R I E Eg(n-1) n-1 gn n n-1 n .

Struje grana mree na sl. 2a dobijaju se iz Kirhofovih zakona kao jedinstveno reenje sistemaod n=100 nezavisnih linearnih algebarskih jednaina (*) (**) sa n=100 nepoznatih struja grana.Takvi sistemi, a pogotovo velikog reda, reavaju se Gausovim postupkom eliminacije, a ne pomouKramerovog pravila, zbog nastanka i vee akumulacije numerikih greki usled zaokruivanja re-zultata kao posledice konane duine rei u digitalnim raunarima ("konana duina registara").

Sada emo odrediti struje generatora bez primene Kirhofovih zakona. Ems E i otpornost Rgrealnog naponskog generatora u praznom hodu I=0 (sl. 1b i 2b), ekvivalentnog grupi sa sl. 1a, glase:


g1 1 g2 2 g(n-1) n-1 gn ngi g g1 g2 gnn

gigj

j=1

... - 1, ( 1 ), ...G E G E G E G E

U E G i , n R R R RRG

.

Poto je prema teoremi kompenzacije, napon elektrina sila kojom se uvek moe zameniti deokola izmeu dve take i/ili mree izmeu dvavora, to na osnovu prethodnog odmah sledi sa sl. 2a:

IU E

RI

U ER

IU E

RI

U ER

IU E

R11

22

33 1

g1 g2 g3n-1

n-

g(n-1)n

n

gn

, , , . ... , , .

Metod konturnih struja (sluaj kada u mrei ne postoje grane sa idealnim strujnim genera-torima): Odrediti struje svih grana elektrine mree na sl. 3.Podaci: E1=100 [V], E2=200 [V], E3=50 [V], E4=150 [V], E5=75 [V], E6=180 [V], R1=7,5 [k],R2=1 [k], R3=1,5 [k], R4=0,2 [k], R5=0,3 [k] i R6=0,8 [k].

A

B

CD

R1 R2

E1

E2

R3E 3

R4

E 4

R5

E 5

R6E6

1J 2J

3J

I1 I2

I3

I5 I6

I4

Sl. 3

Mrea na sl. 3 sa proizvoljno usvojenim refe-rentnim smerovima struja grana ima n=4vo-ra i ng=6 grana, pa je za nju po metodi kontur-nih struja (MKS) potrebno napisati sistem odnk=ng-n+1=3 linearno nezavisne jednaine.

Na osnovu toga moraju se proizvoljno usvojititri konture, ali tako da budu nezavisne,to zna-i da se meusobno razlikuju barem za po jed-nu granu. Takve tri usvojene konture oznaenesu crtkasto na sl. 3, a odgovarajue njima pri-druene struje oznaene su sa J1, J2 i J3. Testruje zovu se konturne, prozvoljno su usvoje-nog smera, pa ne moraju biti struje grana mre-e. Meutim, struja svake grane mree odreu-je se kao algebarska suma konturnih struja ko-je se zahvataju sa tom granom: ako su smerovikonturne struje i struje grane isti, ta konturnastruja unosi se u sumu sa predznakom "+", akada su ti smerovi suprotni ta konturna strujaunosi se u sumu sa predznakom "-". U algebar-skoj sumi ne figuriu struje kontura koje se nezahvataju sa posmatranom granom. Za mreuna sl. 3 sistem jednaina treeg reda po MKSglasi (za teorijsko izvoenje sme metode, kaoi za druge detalje pogledati u udbeniku):

1 4 5 1 4 2 5 3 1 4 5( )R R R J R J R J E E E ,

4 1 2 4 6 2 6 3 2 4 6( )R J R R R J R J E E E ,

5 1 6 2 3 5 6 3 3 5 6( )R J R J R R R J E E E ,

i njegovo reenje je (J1, J2, J3)(-11/1900, 277/950, 129/1900)A. Iz poznatih konturnih struja J1,J2 i J3, lako se odreuju struje grana I1=J1= -11/1900 A-5,8mA, I2=J2=277/950 A291,5mA, I3=J3=129/1900 A67,9 mA, I4=J1-J2= -565/1900 -297,3 mA, I5=J3-J1=14/190 73,7 mAi I6=J2-J3=17/76 223,6 mA. Otpornosti R1+R4+R5, R2+R4+R6 i R3+R5+R6 zovu sesopstvene otpornosti I, II i III konture, respektivno, a ostale se zovu meusobne otpornosti kontura.Tako je npr. -R4 jedina meusobna otpornost I i II konture, a znak "-" potie od suprotnih smerovakonturnih struja J1 i J2 kroz otpornost R4. Da su smerovi J1 i J2 kroz R4 isti, meusobna otpornost I iII konture bila bi R4. Preostale meusobne otpornosti -R5 i -R6 definisane su analogno.


Metod konturnih struja (sluaj kada u mrei postoje grane sa idealnim strujnim generatori-ma): Odrediti struje grana elektrine mree na sl. 4.Podaci: E1=100 [V], E2=200 [V], E3=50 [V], E5=75 [V], E6=180 [V], Ig=1 [A] , R1=7,5 [k], R2=1[k], R3=1,5 [k], R5=0,3 [k] i R6=0,8 [k].

A

B

CD

R1 R2

E1

E 2

R3E3

R5

E5

R6E6

1J

2J

3JIg

I2I1

I3

I5 I6

Tre}a konturna struja

Sl. 4

Mrea na sl. 4 sa proizvoljno usvojenim refe-rentnim smerovima struja grana ima n=4vo-ra, ng=6 grana i ni=1 granu sa idealnim struj-nim generatorom, pa je za mreu po MKS pot-rebno formirati sistem od samo (ng-n+1)-ni=2linearno nezavisne jednaine. Na osnovu togamoraju se usvojiti tri nezavisne konture, ali ta-ko da granu sa strujnim generatorom obaveznoobuhvati samo jedna kontura u smeru njego-vog dejstva, ili u suprotnom smeru. Takve triusvojene konture oznaene su na sl. 4 crtkas-tim linijama, a njima pridruene konturne stru-je oznaene su sa J1, J2 i J3 . Za mreu na sl. 4sistem jednaina drugog reda po MKS glasi:

1 2 5 6 1 5 6 2 2 6 3 1 2 5 6( ) ( ) ( )R R R R J R R J R R J E E E E ,

5 6 1 3 5 6 2 6 3 3 5 6( ) ( )R R J R R R J R J E E E ,

J3=Ig,

i njegovo reenje je (J1, J2) (-1123/9500, 2247/9500)A. Iz poznatih konturnih struja J1 i J2, lakose odreuju struje svih grana: I1=J1= -1123/9500 A-118,2 mA, I2=J1+Ig 881,8 mA,I3=J2=2247/9500A236,5mA, I5=J2-J1354,7mAi I6=J1+Ig-J2 645,2mA.

Metod potencijala vorova (sluaj kada u mrei ne postoje vorovi izmeu kojih su vezaniidealni naponski generatori): Odrediti struje grana elektrine mree na sl. 5a.Podaci: E1=100 [V], E2=200 [V], E3=150 [V], Ig=1 [A], R1=250 [], R2=100 [], R3=150[], R4=20 [] i R5=30 [].

E1

E 2

R1

E3

IgR5

R4

R3

R2

01

2I1

I2

I3

I4

I5

(a)

01

2

(b)

G2

G1

G5

G E1 1I1

I5G4

I2

G E2 2

I4

Ig

I 3

G E3 3G3

Sl. 5

Mrea na sl. 5a sa proizvoljno usvojenim referentnim smerovima struja grana ima n=3vorai ng=6 grana. Sistem jednaina po metodi Kirhofovih zakona bio bi reda ng-1=5 (zbog postojanjagrane sa idealnim strujnim generatorom). Poto je ni=1, to je za mreu na sl. 5a potrebno formiratisistem od (ng-n+1)-ni =3 linearne jednaine po MKS. Meutim, po metodi potencijala vorova


(MP) koju emo sada ilustovati, za mreu na sl. 5a potrebno je formirati sistem od samo n-1=2linearne algebarske jednaine.vorovi mree numerisani su prozvoljno, a jedan od njih proglaenje za nulti ili referentni (0). Neka su U10 i U20 potencijali (naponi) vorova 1 i 2, respektivno, u od-nosu na nultivor i neka je G R ii i ( ) 1 1 5/ , . Mrea na sl. 5a je zbog primene MPtransformi-sana u ekvivalentnu mreu na sl. 5b, tako to su svi realni naponski generatori zamenjeni ekviva-lentnim realnim strujnim. Za mreu datu na sl. 5a, odnosno za ekvivalentnu mreu na sl. 5b, sistemjednaina po MPglasi (za teorijsko izvoenje sme metode i druge detalje pogledati u udbeniku):

Zavor 1 ( ) ( + )G G G U G G U G E G E1 2 5 10 1 5 20 1 1 2 2 ,

Zavor 2 1 5 10 1 3 4 5 20 1 1 3 3 g-( + ) ( )G G U G G G G U G E G E I ,

i njegovo reenje je (U10, U20)(864/11, 624/11)V. Poto je U12=U10-U20=240/11 [V], to su stru-je grana redom:

I U ER

G U U E I U ER

G U E1 12 11

1 10 20 1 210 2

22 10 20 487 1215 ( ) [A], ( ) [A],, ,

IU E

RG U E I

UR

G U320 3

33 20 3 4

20

44 200 622 2 836 ( ) [A], [A],, ,

125 5 10 20 1 3 4 5 g

5

( ) 0 727 [A], 0 ( jednaina za proveru)U

I G U U , I I I I IR .

Metod potencijalavorova (sluaj kada u mrei postojevorovi izmeu kojih su vezani ide-alni naponski generatori): Odrediti struje grana elektrine mree na sl. 6a.Podaci: E1=100 [V], E2=200 [V], E3=150 [V], Ig=1 [A], R1=250 [], R2=100 [], R4=20 []i R5=30 [].

E1

E2

R1

E3

IgR5

R4

R2

01

2I1

I2

I3

I4

I5

(a)

01

2

(b)

G2

G1

G5

G E1 1I1

I5G4

I2

G E2 2

I 4Ig

I3

E3

Sl. 6

Mrea na sl. 6a sa proizvoljno usvojenim referentnim smerovima struja grana ima n=3vorai ng=6 grana. Sistem jednaina po metodi Kirhofovih zakona bio bi reda ng-1=5 (zbog postojanjagrane sa idealnim strujnim generatorom). Poto je ni=1, to je za mreu na sl. 6a po MKS potrebnoformirati sistem od (ng-n+1)-ni =3 linearne jednaine. Meutim, za ovu mreu koja ima jednu gra-nu sa idealnim naponskim generatorom (ne=1), po MPpotrebno je formirati sistem od (n-1)-ne=1jednaine. Neka su U10 i U20 potencijali (naponi)vorova 1 i 2, respektivno, u odnosu na nultivor ineka je i i1 [( 1 5), 3]G / R i , i . Mrea na sl. 6a je zbog primene MPtransformisana u ekviva-lentnu mreu na sl. 6b, takoto su svi realni naponski generatori u njoj zamenjeni ekvivalentnimrealnim strujnim.

Za mreu na sl. 6a, odnosno za ekvivalentnu mreu sl. 6b sistem jednaina po MPglasi:


Zavor 1 ( ) ( + )G G G U G G U G E G E1 2 5 10 1 5 20 1 1 2 2 ,

Zavor 2 U20=E3,

i on ima reenje (U10, U20)(10800/71, 150) V. Kako je U12=U10-U20=2,113 [V], to su struje grana:

IU E

RG U U E I

U ER

G U E112 1

11 10 20 1 2

10 2

22 10 20 408 0 479 ( ) [A], ( ) [A],, ,

IUR

G U IUR

G U U420

44 20 5

12

55 10 207 5 0 07 , ,[A], ( ) [A] ,

I I I I I3 1 4 5 6 022 ( ) [A]g , .

Primer: Za mreu na sl. 7 odrediti struje grana pomou Kirhofovih zakona, metodom kon-turnih struja i metodom potencijalavorova.Podaci: R1=R2=R4=3 [], R3=1 [], R5=2 [], E=45 [V] i Ig=5 [A].

1

2

3

0

E

3J

2J

1JR5

R4

R3

R2R1

I5

I 4

I3

I2

I1

I g

Sl. 7

U mrei je prvo izvrena enumeracija vorova(n=4),a zatim i orijentacija svih grana (ng=6),tj.usvojeni su referentni smerovi struja svih grana.U mrei ne postoje grane sa idealnim napon-skim generatorima (ne=0), ali postoji jedna gra-na sa idealnim strujnim generatorom (ni=1).

Po IKZ mogu se napisati najvie n-1=3linearno nezavisne jednaine (npr. zavorove 1,2 i 3). Po IIKZ potrebno je napisati jodve (npr.za konture 3103 i 0120 ) da bi se formirao kon-zistentan sistem od 5 linearnih algebarskih jed-naina (ng-ni=5) po 5 nepoznatih struja grana.

Kompletan sistem jednaina po I i II Kirhofovom zakonu za mreu na sl. 7 glasi:

zavor 1 I1-I2-I3=0, zavor 2 I3-I5=Ig, zavor 3 I1-I4=Ig,

za konturu 3103 R1I1+ R2I2+R4I4=E, za konturu 0120 R2I2-R3I3-R5I5=0,

i njegovo reenje je {I1, I2, I3, I4, I5}{26/3, 8/3, 6,11/3, 1} [A]. Odatle sledi da je U10=R2I2=8 [V],U20=R5I5=2 [V] i U30= -R4I4= -11 [V].

Po metodi konturnih struja potrebno je formirati sistem od samo ng-n-ni+1=2 linearno neza-visne algebarske jednaine, stimto strujni generator mora biti obuhvaen samo sa jednom nezavis-nom konturom. Usvojene nezavisne konture sa pridruenim strujama J1 , J2 i J3=Ig prikazane su nasl. 7 crtkastim linijama. Sistem jednaina po MKS za mreu na sl. 7 glasi:

za konturu 3103 (R1+R2+R4)J1-R2J2-R4J3=E,

za konturu 0120 -R2J1+(R2+R3+R5)J2-R5J3=0,

za konturu 0230 J3=Ig,


i njegovo reenje je {J1, J2}{26/3, 6} [A]. Odatle se redom dobijaju struje grana: I1=J1=26/3 [A],I2=J1-J2=8/3 [A], I3=J2=6 [A], I4=J1-J3=11/3 [A] i I5=J2-J3=1 [A], a zatim i potencijali svih vorovau odnosu na nulti: U10=R2I2=8 [V], U20=R5I5=2 [V], U30= -R4I4= -11 [V].

Po metodi potencijala vorova (MP) potrebno je formirati sistem od ukupno n-1=3 linearnonezavisne algebarske jednaine po naponimavorova U10, U20 i U30. Neka je Gi=Ri-1 ( i1 5, ).

Sistem jednaina po MPza posmatranu mreu na sl. 7 glasi:

zavor 1 (G1+G2+G3)U10-G3U20-G1U30=G1E,

zavor 2 -G3U10+(G3+G5)U20= -Ig,

zavor 3 -G1U10+(G1+G4)U30=Ig-G1E,

i njegovo reenje je {U10, U20, U30}{8, 2, -11} [V]. Odatle se dobijaju U12=U10-U20=6 [V], U13==U10-U30=19 [V], a zatim i struje svih grana:

I U E R I U R I U R1 13 1 2 10 2 3 12 326 3 8 3 6 ( ) / [A], [A], [A]/ / / / ,

I U R I U R4 30 4 5 20 511 3 1 / / /[A], [A] .

Primer: Za mreu na sl. 8 odrediti struje svih grana i snagu koju naponski generator odaje.Podaci: R1=R2=R3=30 [], R4=20 [], R5=10 [], E=15 [V] i Ig=6 [A].

E

R1 I1

R2

I2I Ig

R4R3

R5

I4

I5

I3

0

1 2

3

Sl. 8

itava mrea moe se svesti na kolo takoto se odrede:(a) realan naponski generator ekvi-valentan paralelnoj vezi R3 sa rednom vezom E iR1 (otpornik R2 nema nikakvog uticaja i njegova

struja je I2=E/R2) i (b) realan naponski generatorekvivalentan realnom strujnom (Ig, R4). Iz dobi-jenog kola lako se odreuju oba neophodna na-pona U20 i U30 (U10=E), a zatim i struje svih gra-na. Naravno, enumeracija vorova mree je iz-vrena potpuno proizvoljno, uz jedini uslov danulti vor bude jedan od polova idealnog napon-skog generatora. Mrea ima n=4 vora i ng=7grana, a pri tome je ni=ne=1. Primena Kirhofo-vih zakona generie sistem linearnih algebarskihjednaina reda ng-ni=6, a MKS sistem reda ng-ni-n+1=3, dok MPgenerie sistem reda n-ne-1=2. Poto MPgenerie sistem najnieg reda,to emo u ovom sluaju primeniti upravo njega.Nepoznate veliine u sistemu jednaina bie na-poni vorova U20 i U30. Stavimo da je Gi=Ri -1

( i1 5, ).

Sistem jednaina po metodi potencijalavorova za mreu na sl. 8 glasi:

zavor 1 U10 =E,

zavor 2 -G1U10+(G1+G3+G4)U20-G4U30=Ig,

zavor 3 -G4U20+(G4+G5)U30= -Ig,


i njegovo reenje je {U10, U20 , U30}{15, 45, -25} [V]. Odatle se dobija: U12=U10-U20= -30 [V],U13=U10-U30=40 [V], U23=U20-U30=70 [V], a zatim redom i struje svih grana,

I U R I E R I U R1 12 1 2 2 3 20 31 0 5 15 / [A], [A], [A],/ , / ,

I U R I U R I I I4 23 4 5 30 5 23 5 2 5 0 5 / , / , ,[A], [A], [A]1 .

Snagu koju naponski generator ulae (tj. odaje) je PE=EI= -7,5 [W], pa se se on ponaa kaopotroa(prijemnik) sa elektromotornom silom.

2. Teoreme linearnih vremenski invarijantnih mrea

Videli smo da kada se problem raspodele struja grana u elektrinoj mrei reava direktnomprimenom Kirhofovih zakona dobija se najvei red sistema linearnih algebarskih jednaina po timstrujama. Da bi se taj red snizio koriste se odreeniematizovani postupci kaoto su metod kontur-nih struja, metod potencijalavorova i redukcija mree pogodnim ekvivalentnim transformacijama.Osim tih postupaka, postoji i vie teorema koje opisuju opte osobine mrea i korisno mogu poslu-iti za efikasno reavanje problema. U daljem razmatranju ograniiemo se na iroku i vanu klasuelektrinih mrea na linearne, vremenski invarijantne mree (LVI mree), za kojeemo formu-lisati neke teoreme: superpozicije, reciprociteta, Tevenenovu i Nortonovu i teoremu kompenzacije.

Teorema superpozicije (ravnotenih stanja): Jaina struje u bilo kojoj grani LVI mree jed-naka je algebarskom zbiru (u odnosu na isti referentni smer) jaina struja koje bi u toj granipostojale kada bi naponski i strujni generatori delovali ponaosob (Dokaz je dat u udbeniku).Naponski generatori eliminiu se iz mree takoto se izgrade, a njihovo mesto zameni se krat-kom vezom, a strujni takoto kada se izgrade na njihovom mestu ostavlja se otvorena veza.

Primer: Metodom superpozicije odrediti struje grana u elektrinoj mrei na sl. 9a.

E2U'

U' 'U

E1 E1E2

R1 R1

R1R2 R2 R2

R3R3

R3

I1 I3

I2

I1' I3'

I2'

I1' ' I3' '

I2' '

(a) (b) (c)

Sl. 9

Struje grana u mrei na sl. 9b (eliminisana je ems E2) dobijaju se iz sledeeg niza relacija:

IE

RR R

R R

U E R I IUR

IUR1

1

12 3

2 3

1 1 1 22

33

' , ' ' , ''

, ''

,

a struje grana mree na sl. 9c (eliminisana je ems E1) iz niza relacija:

IE

RR R

R R

U E R I IUR

IUR3

2

31 2

1 2

2 3 3 22

11

' ' , '' ' ' , ' '''

, ' '' '

.


Prema teoremi superpozicije struje grana mree na sl. 9a su: I1=I1'+I1'', I2=I2'+I2'' i I3=I3'+I3'',pri emu su kod svih mrea (sl. 9a, 9b i 9c) struje raunate u odnosu na iste referentne smerove. Na-ravno da princip superpozicije vai kako za struje, tako i za napone grana, pa je u posmatranom slu-aju U=U'+U''.

Primer: Ilustracija primene teoreme o superpoziciji na aktivnu rezistivnu mreu sa dva ide-alna naponska generatora (sl. 10a). Smerovi struja u odgovarajuim granama isti su kod svetri mree, a struja svake grane mree na sl. 10a jednaka je zbiru struja odgovarajuih granamrea na sl. 10b i 10c, npr. i=i'+i''.

+ +

+ += +

Ravnote`no stanje (1) Ravnote`no stanje (2)Posmatrana mre`a

R1 R2

R3 R4e1

e2 e2

e1

R1 R1R2 R2

R3 R3R4 R4

(a) (b) (c)

i i' i''

Sl. 10

Primer: Ilustracija primene teoreme o superpoziciji na aktivnu rezistivnu mreu sa idealnimstrujnim i dva realna naponska generatora (sl. 11a). Smerovi struja u odgovarajuim grana-ma isti su kod sve tri mre, a struja svake od grana mree na sl. 11a jednaka je zbiru strujaodgovarajuih grana mrea na sl. 11b, 11c i 11d, npr. i=i'+i''+i'''.

+ +E R1, g1 E R2 , g2Ig

R1

R2R3

Rg1 Rg2Ig

R1

R2R3

= +

+E R1, g1 Rg2

R1

R2R3

Rg1

R1

R2R3

++ + E R2 , g2

(a) (b)

(d)(c)

i i'

i''

i'''

Sl. 11

Posmatrajmo sada proizvoljnu pasivnu LVI mreu N bez akumulisane energije, simbolikipredstavljenu na sl. 12a i 12b pravougaonikom sa izdvojenim delovima grana "j" i "k". Poto jemrea pasivna i bez akumulisane energije, tada u njoj ne postoje nikakvi nezavisni naponski i struj-ni generatori.


+Pasivna LVI mre`a bezakumulisane energije

Deo j-te grane Deo k-te grane

(a)

ike jN

+Pasivna LVI mre`a bezakumulisane energije

Deo j-te grane Deo k-te grane

(b)

i j ek

N

Sl. 12

Teorema reciprociteta (ili uzajamnosti): Kada neka ems (ej), dejstvujui u jednoj grani pa-sivne LVI mree bez akumulisane energije (sl. 12a), u drugoj grani proizvodi odreenu struju(ik), tada e ta ista ems preneta u drugu granu (sl. 12b, ek=ej), proizvesti u prvoj grani istustruju (ij=ik). Smerovi ems i struja u dve posmatrane grane algebarski su i povezani (Dokazove vane teoreme dat je u udbeniku).

Primer: Proveriti teoremu reciprociteta na elektrinoj mrei prikazanoj na sl. 13a.

+

+e e

R1

R1R2 R2R3

R3

i3

i1

(a) (b)

Sl. 13

Prvo se za mreu na sl. 13a odredi struja i3 u grani sa otpornikom R3:

i e

RR RR R

R RR R R

RR R R R R R

e31

2 3

2 3

2 3

2 3 3

2

1 2 2 3 1 3

1

,

a zatim se generator ems e prenese u granu sa otpornikom R3 (sl. 13b) i odredi struja i1,

i e

R R RR R

R RR R R

RR R R R R R

e13

1 2

1 2

1 2

1 2 1

2

1 2 2 3 1 3

1

.

Poto je i1=i3, time je teorema reciprociteta na posmatranom primeru proverena.Elektrina mrea je dobro definisana ako u elektrinom ili magnetskom pogledu nije u sprezi

sa okolinom. Mrea sa kontrolisanim izvorom i kontrolnom promenljivom (napon ili struja) izvan temree, ili npr. transformator sa sekundarnim namotajem u mrei, a primarnim izvan nje primerisu mrea koje nisu dobro definisane.

Tevenenova teorema: U odnosu na bilo koja svoja dvavora a i b svaka sloena, LVI, dobrodefinisana aktivna termogena mrea N (sl. 14a), ponaa se kao ekvivalentan Tevenenov na-ponski generator ems eT jednake naponu praznog hoda mree uabi unutranje otpornosti RTjednake ekvivalentnoj otpornosti mree izmeu prikljuaka a i b koja se dobija eliminacijomsvih generatora iz mree N. Idealni naponski generatori eliminiu se iz mree N tako to seizgrade i na njihova mesta stave kratke veze, a idealni strujni tako to se izgrade i njihovamesta ostave se otvorenim.


Nortonova teorema: U odnosu na bilo koja svoja dva vora a i b, svaka sloena, LVI, dobrodefinisana aktivna termogena mrea N (sl. 14b), ponaa se kao ekvivalentan Nortonov strujnigenerator struje iN jednake struji kratkog spoja mree i0 i unutranje otpornosti RN jednakeekvivalentnoj otpornosti mree izmeu prikljuaka a i b koja se dobija eliminacijom genera-tora iz mree N.

Prema Tevenenovoj teoremi, za mreu na sl. 14a t je eT=uab, dok je struja kratkog spojamree (u sluajevima kada se ta veza uopte moe primeniti, a da ne doe do termikog oteenjamree usled prevelikih struja u nekim granama), i0=eT/RT, gde je RT unutranja otpornost ekviva-lentnog Tevenenovog generatora. Iz prethodnog zakljuujemo da je za mreu N, RT=eT/i0=uab/i0tj. unutranja otpornost ekvivalentnog Tevenenovog generatora kolinik je napona praznog hoda temree i struje kratkog spoja izmeu njenih prikljuaka a i b. Parametar RT ekvivalentnog Teve-nenovog generatora fiziki predstavlja ulaznu otpornost pasivne mree koja se dobija kada se izmree N eliminiu svi generatori. Slika i neki biografski podaci o Tevenenu dati su na kraju teksta.

+

aa

aa

b

b

b

b

N

N

i0 i0

i0i0 iN

uab

uab

uab

uab

eT

RT

RN

(a)

(b)

e u

i iT ab

N 0

Aktivna termogenaLVI mre`a

Aktivna termogenaLVI mre`a

Sl. 14

Prema Nortonovoj teoremi, za mreu na sl. 14b t je iN=i0, a napon praznog hoda mree jeuab=RNiN, gde je RN unutranja otpornost ekvivalentnog Nortonovog generatora. Poto Tevenenovi Nortonov generator na ekvivalentan nain predstavljaju mreu N, to se zakljuuje da su ti genera-tori ekvivalentni (sl. 14a i 14b), usled ega je:

TT T

T ab N N N 0 N N T N 0 T N NT T

( 0);

ee ee u R i R i R R R i i , e R i

R R

,

to u sutini predstavlja jood ranije poznatu transformaciju realnih naponskih u realne strujne ge-neratore, i obrnuto, koja slui za efikasno reavanje mnogih problema u analizi linearnih mrea.

Primer: Pomou Tevenenove teoreme odrediti struju I5 u mrei na sl.15a.

Ems ET i unutranja otpornost RT ekvivalentnog Tevenenovog generatora koji se "vidi" izme-u vorova a i b gledano iz grane sa otpornikom R5 mogu se odrediti na osnovu Tevenenove teore-me uz pomosl. 15b i 15c, respektivno. Na taj nain dolazi se do ekvivalentnog elektrinog kolaprikazanog na sl. 15d . Koristei sl. 15b, 15c i 15d redom se dobijaju:


Sa sl. 15b 2 3 1 41 2 T ab 3 2 1 11 2 3 4 1 2 3 4( ) ( )

R R R RE EI , I , E U R I R I ER R R R R R R R

,

Sa sl. 15c R R RR R

R RR RT

1 2

1 2

3 4

3 4

,

Sa sl. 15d I ER R

R R R RR R R R R R R R R R R R R

E5 TT 5 5( ) ( ) ( ) ( )

2 3 1 4

1 2 3 4 3 4 1 2 1 2 3 4

.+

R1 R2

R3 R4

E

R5

a

b

(a)

+

R1 R2

R3 R4

E

a

b

(b)

R1 R2

R3 R4

a

b

(c)

I5

UabI1

I2

RT

(d)

RT

E UT ab

a

b

I5

R5

Dobijenoko lo

(d) ekvivalen tnoje m

re`i (a)

upogledu

od re| ivanjatr a

e`nestruje

Sl. 15

Primer: Pomou Nortonove teoreme odrediti struju I u mrei na sl.16a.

(a) (b)

(c)(d)

a a

a

b b

b

c c

c

d d

d

I

I

E

E

R

Ra b

R1 R1R2 R2

R3R3R4 R4

I N

I G IG

I G

RNR R3 4||

R R1 2||Uca

U ad

I N

I ca

Iad

Sl. 16


Odredimo prvo ekvivalentni Nortonov generator (IN, RN) mree koji se izmeu vorova a i b"vidi" iz grane sa strujom I. Struja IN generatora odreuje se iz mree sa sl. 16b koja je na pogodnijinain predstavljena na sl. 16c. Sada se za mree na sl. 16b i 16c lako dalje redom dobijaju IN i RN:

IUR R

R RR R

IR

R RI I

UR R

R RR R

IR

R RIca

caG G ad

adG G

1 1

1 2

1 2

2

1 2 3 3

3 4

3 4

4

3 4

1 1, ,

2 3 1 4 1 2 3 4 N NN ca ad G N

1 2 3 4 1 2 3 4 N

Sa sl.16d( ) ( )( ) ( )

R R R R R R R R R I EI I I I , R I

R R R R R R R R R R .

Teorema kompenzacije: Bilo koji deo sloene elektrine mree, koji je sa ostatkom mreepovezan preko dva kraja 1 i 2, moe se zameniti,(a) idealnim naponskim generatorom ems jednake naponu izmeu tih krajeva i vezane za refe-rentni smer napona (sl. 17a)(b) idealnim strujnim generatorom sa strujom koja je jednaka struji izmeu delova mree ivezana je za isti referentni smer (sl. 17b).

1N 2N 1N

1N 1N2N 2N

2N+ +

1

2

1 1

111

2 2

222

e

e u 12

u12 e

i

i

iG

(a)

(b)

i iG

iG

Sl. 17

U posebnom sluaju kada je otpornik deo mree koji se zamenjuje, tj. kompenzuje, teoremakompenzacije formulie se na sledei nain:

Teorema kompenzacije za otpornik: Jedna grana bilo koje sloene elektrine mree, ili njendeo otpornosti R u kojem postoji struja i (sl. 18a), moe se zameniti,(a) idealnim naponskim generatorom ems e=u12 smera suprotnog od smera struje i (sl. 18b)(b) idealnim strujnim generatorom sa strujom iG istog smera i intenziteta kao struja i (sl. 18c).

N N+

1

2

1

2

e u 12u12

(a)

i iG N

1

2(b) (c)

R

i

i i

Sl. 18


Za razliku od prvih (tj. nezavisnih) naponskih i strujnih generatoraije ems, odnosno struje,ne zavise od mree u koju su ukljueni, ems-e naponskih i struje strujnih generatora formiranih naosnovu teoreme kompenzacije zavise od struja i napona mreeiji uticaj kompenzuju i zbog toga sesvi oni zovu neautonomni, zavisni ili kontrolisani generatori.

Ova teorema ima mnoge korisne primene, a jedna od njih ilustrovana je na sledeem primeru.

Primer: U mrei na sl. 19a poznati su Ek, Rk i struje Ij i Ik u sluaju kada je prekidaPotvoren. Odrediti intenzitet struje Ij ' u grani sa otpornikom Rj posle zatvaranja prikidaa.Pretpostaviti da je pasivna linearna mrea N sastavljena iskljuivo od termogenih otpornika.

+

j-ta grana k-ta grana

P

Rj RkEk

I j

Ik

(a)

Pasivna linearnamre`a N ++

j-ta grana k-ta grana

E EkRj

I j

Ik

(b)

Pasivna linearnamre`a N

Sl. 19

Problem se moe reiti kombinovanom primenom teorema kompenzacije i superpozicije. Priotvorenom prekidau P, otpornik Rk sa strujom Ik moe se prema teoremi kompenzacije za otpornikzameniti idealnim naponskim generatorom ems E=RkIk orijentisananom kaoto je prikazano na sl.19b. Sa druge strane, prema teoremi superpozicije, struja Ij moe se predstaviti zbirom struja koje biu j-toj grani stvarale ems Ek i E kada bi delovale ponaosob. Imajui u vidu orijentaciju tih ems ireferentne smerove struja Ij i Ik, pri otvorenom prekidau P vai sledee:

I G E Ej kj k( ) ,

gde je Gkj transkonduktansa mree N. Zatvaranjem prekidaa P ems E se ponitava, pa je:

I G Ej kj k' .

Eliminacijom Gkj iz prethodnih jednaina dobija se traeni intenzitet struje Ij ' u j-toj grani, usluaju kada je prekidaP zatvoren :

I EE E

I EE R I

Ij kk

jk

k k kj'

.

Test zadatak (Februar 2008): Koliki je intenzitet struje I otpornika R u mrei na sl. 20 ?Podaci: Ig=1 [A], E=50 [V], R=130 [, R1=100 [R2=200 [i R3=300 [.

3R

2R

1R

R

E

gI

Sl. 20

Rezultat: Intenzitet struje I kroz otpornik R je,

31 g

2 3

2 31

2 3

200 [mA]

RR I ER R

IR RR RR R

.

I


Ispitni zadatak (Pismeni, Septembar 2006): Odrediti snagu koju u aktivnoj termogenoj mreina sl. 21 generatori ulau sumarno.Podaci: E1=60 [V], E2=40 [V], R1=2,5 [k], R2=5 [k], R3=4 [k] i R4=10 [k].

1R 1R2R 2R

4R1E

2E3R 3R

Sl. 21

1R 1R2R 2R

4R1E

2E3R 3R

Sl. 22

Mrea na sl. 21 ima n=5vorova i ng=8 grana. Primenom Kirhofovih zakona potrebno je na-pisati n-1=4 jednaine po IKZ i ng-n+1=4 po IIKZ. Po MKS potrebno je napisati samo ng-n+1=4jednaine, a po MPn-1-ne=3 jednaine, jer postoji ne=1 grana sa idealnim naponskim generato-rom E2. Ako bi se primenio MPjedan odvorova A ili F (sl. 22) morao bi se usvojiti kao referent-ni (nulti). Pretpostavimo da smo se odluili da problem reavamo po MKS i da smo smerove strujagrana kao i konturne struje usvojili kaoto je oznaeno na sl. 22. Sistem jednaina po MKS je glasi:

(R1+R2+R3)J1-R2J2-R3J4=0, 11,5J1-5J2-4J4=0, (1)

R2J1+(2R2+R4)J2-R2J3= -E1, -5J1+20J2-5J3= -60, (2)

-R2J2+(R1+R2+R3)J3-R3J4=0 -5J2+11,5J3-4J4=0, (3)

-R3J1-R3J3+2R3J4=E2, -4J1-4J3+8J4=40, (4)

gde su sve konturne struje izraene u [mA]. Iz Jednaina (1) i (3) sledi da je J1=J3, pa se jednaina(1) moe odbaciti, poto je ista kao (3). Nakon toga, sistem jednaina (2)(4) postaje (2')(4'):

J1-2J2=6, (2') J2=J1/2-3, (2'') J2= -2,5 [mA].

11,5J1-5J2-4J4=0, (3') Zamenom (2'') i (4'') u (3') 5J1-5=0, odnosno J1=J3=1 [mA].

J1-J4= -5, (4') J4=J1+5, (4'') J4=6 [mA].

Struje grana su: I1=J1=1 [mA], I2=J1-J2=3,5 [mA], I3= -J1+J4=5 [mA], I4= -J2=2,5 [mA] i I=J4=6[mA]. Snaga koju ulae generator ems E1 je PE1=E1I4=150 [mW], a snaga koju ulae generator emsE2 je PE2=E2I=240 [mW], dok je sumarna uloena snaga generatora PE=PE1+PE2=390 [mW].

Problem se moe reiti i bez primene MKS. Na osnovu topoloke i parametarske strukturedate mree lako se zakljuuje da vertikalna, ljubiasta crtkasta linija na sl. 21 za ovu mreu moepredstavljati jednu ekvipotencijalnu liniju, pa se reavanje datog problema moe svesti na reavanjejednostavnijeg problema raspodele struja u mrei na sl. 23a, ili u ekvivalentnoj mrei na sl. 23b.


4 2R /1 2E /

2R1R

3R

2 2E /

A

B C

(a)

4I

I

1I 2I

3IA

2 2E /

(b)

I

Sl. 23

Sa sl. 23a i 23b redom se dobijaju:

2 1

BC11 BC 1 1 2

1 2

2 4 1 [mA], 17 5 [V], 3 5 [mA]2 4

E EUE

I U R I , I ,R R

,

23 4 2 1 1

3

5 [mA], 2 5 [mA],2

EI I I I , I I

R

to predstavlja isti rezultat kao i prethodno vedobijeni primenom meto

Test zadaci: Za mree na sl. 24a, 24b i 24c odrediti otpornosti pda ovi budu prilagoeni po snazi mreama i izraunati njihove snaPodaci: Ig1=50 [mA], Ig2=30 [mA], E=30 [V], R=60 [, R1=100 [

2R g2Ig1I 1R

pR '''

pR ''R RR

E E

R R R R

E EE

pR '

(a)

(c)

(b)

Sl. 24Rezultati:

(a)

2

1 g1 2 g2

p 1 2 p1 2

1600 [ ], [W]4 6

R I R IR ' R R P '

R R

;

(b)2

p p20 [ ], 5 [W]3 3R E

R '' P ''R

;

(c)2

p p

9 13515 [ ], [W]

4 16 16R E

R ''' P '''R

.

Francuz, roen uPolytechnique uTelegrafu dugihza inspektora nasi poinje intenzivma. Kada je postpoeo da predajenalnu agronomijudirektor Telegrafglavni inenjer fr3 6 [mA]I ,B

C

1R 1R1 4E /

3R

1I

3I

1 2 42 4R R / R / de konturnih struja.

rijemnika Rp', Rp'' i Rp''' takoge u svakom od sluajeva.iR2=500 [.

Lon Charles Thvenin(30.03.1857-21.09.1926)

Meaux-u. Diplomirao na coleParizu 1876. Od 1878. radi ulinija (kasniji PTT). Postavljentave na cole Superieure 1882.no da se bavi elektrinim koli-ao upravnik Bureau des Lignesmehaniku na Institutu za nacio-u Parizu. Godine 1896. postaje

ske inenjerske kole, a 1901.ancuskog Telegrafskog zavoda.

Documents

Elektrokinetika 4