Elementarna

matematika 2

Sinisa Milicic

cinik@student.math.hr

24.6.2004.

Molim da se sve uocene greske i primjedbe posalju na mail.Ovaj dokument je javno dobro, te se smije neograniceno umnazati, mijenjati i koristiti.

2 EM2 2

Sadrzaj

1. Planimetrija 31.1. Aksiomatska izgradnja planimetrije 31.2. Klasicna geometrija trokuta 91.3. Slicnost trokuta 111.4. Cetverokut 121.5. Poligoni i povrsina 131.6. Izmjerivi skupovi tocaka i njihova povrsina 16

2. Trigonometrija 182.1. Trigonometrijske funkcije 18

3. Analiticka geometrija ravnine 213.1. Koordinate vektora u ravnini 213.2. Jednadzbe pravca u ravnini 213.3. Kut izmedju 2 pravca 23

4. Krivulje 2. reda 244.1. Kruznica 244.2. Elipsa 244.3. Hiperbola 264.4. Parabola 27

3 EM2 3

1. PLANIMETRIJA

Euklid, 3. st. pr. n. e. otac euklidske geometrije , 1900. Hilbertov sustav aksioma

1.1. Aksiomatska izgradnja planimetrije

DEF

1-1

Euklidska ravnina je skup cije elemente nazivamo tockama, a neke istaknute podskupove

pravcima. Oznacavamo je sa E2.

Tocke i pravce opisujemo aksiomima.5 grupa aksioma:

1. Aksiomi incidencije (pripadanja)1.1. Za svake dvije razlicite tocke A, B ∈ M postoji jedinstveni pravac iz M kojemu one pripadaju.

Kaze se da pravac prolazi tockama A i B, a da su te tocke incidentne s tim pravcem. Oznaka zataj pravac: AB.

1.2. Na svakom pravcu leze barem tri razlicite tocke.1.3. Postoje tri nekolinearne tocke.

2. Aksiomi uredjaja2.1. Na svakom pravcu ravnine postoje 2 medjusobno suprotna linearna uredjaja.2.2. (Paschov aksiom) ako pravac sijece jednu stranicu trokuta i ne prolazi niti jednim vrhom tog

trokuta na toj stranici, onda on sjece jos barem jednu stranicu tog trokuta.

3. Aksiomi metrikeZadana je funkcija d : M × M →

�, koju zovemo metrika, koja ima sljedeca svojstva.

3.1. (∀A, B ∈ M)d(A, b) ≥ 0, d(A, B) = 0 ⇔ A = B3.2. d(A, B) = d(B, A)3.3. (Nejednakost trokuta) (∀A, B, C ∈ M)d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B), pri cemu jednakost stoji ako i

samo ako je C ∈ AB.3.4. Za svaki polupravac s vrhom O ∈ M i za svaki broj x ∈

�postoji jedinstvena tocka T ∈ M na

polupravcu iz O takva da je d(O, T ) = x.

4. Aksiomi simetrije4.1. Za svaki pravac p ⊂ M postoji jedinstvena izometrija sp : M → M, razlicita od identitete, takva

da je sp(T ) = T za svaku tocku pravca p. Takva izometrija se zove osna simetrija s obzirom napravac p, a pravac p se zove os simetrije.

4.2. Za svaki par (Ox, Oy) polupravaca s vrhom u tocki O postoji bar jedan pravac p takav da jesp(Ox) = Oy.

5. Aksiom o paralelama5. Zadanom tockom T ∈ M\p ⊂ M prolazi najvise jedan pravac q paralelan sa p.

DEF

1-2

Tocke koje pripadaju istom pravcu zovemo kolinearnim. U suprotnom kazemo da su nekolin-earne.

DEF

1-3Kazemo da su pravci p, q ∈ M paralelni (u oznaci p ‖ q) ako je p = q ili p ∩ q = ∅.

Oznacimo suprotne uredjaje sa ≤ i ≥. Po aksiomu 1.1 slijedi da za svake dvije tocke A, B ∈ M postoji jedinstvenipravac na kojem one leze.

4 EM2 4

DEF

1-4Za tocku T tog pravca kazemo da lezi izmedju tocaka A i B ako vrijedi A ≤ T ≤ B ili B ≤ T ≤ A.

DEF

1-5Skup svih tocaka pravca AB koje leze izmedju tocaka A i B zovemo duzina i oznacavamo AB.

DEF

1-6

Polupravac kojemu je A pocetna tocka, a prolazi tockom B razlicitom od A je skup svih onihtocaka T pravca AB za koje vrijedi A ≤ T ≤ B ili A ≤ B ≤ T .

DEF

1-7Skup K ⊂ M je kovneksan ako vrijedi da A, B ∈ K ⇒ AB ⊂ K.

Duzina je konveksna po definiciji. Pravac i polupravac su po tranzitivnosti uredjaja.

DEF

1-8

Neka S ⊂ M bilo koji skup. Konveksna ljuska od S, u oznaci conv(S) je presjek svih konveksnihskupova koji sadrze S, tj. najmanji konveksni skup koji sadrzi S.

DEF

1-9

Ako su A, B, C ∈ M tri nekolinearne tocke, onda konveksnu ljusku skupa A, B, C zovemo trokut.Oznaka 4ABC.

DEF

1-10(M, d) gdje d ima svojstva (3.1.-3.3.) zove se metricki prostor.

DEF

1-11d(A, B) = |AB| zove se udaljenost tocaka A i B.

Pravac ravnine M koji ne prolazi niti jednim vrhom trokuta ABC ne sijece sve tri stranice tog trokuta.PROP

I

DokazPretopstavimo suprotno, tj. da postoji pravac p koji sijece sve tri stranice trokuta ABC. Pretpostavimo da tajpravac sijece stranicu AB u tocki P , stranicu BC u tocki Q i stranicu AC u tocki R. P, Q, R 6∈ {A, B, C}.Bez smanjenja opcenitosti mozemo pretpostaviti da je Q ≤ P ≤ R.Gledamo 4QCR. Znamo: P ∈ QR, P ∈ p, P ∈ AB, R, Q, C 6∈ AB, AB ∩ RC = AB ∩ QC = ∅. S drugestrane AB sijece stranicu QR trokuta QCR i ne prolazi niti jednim drugim vrhom tog trokuta (na toj stranici).Iz Paschovog aksioma slijedi da AB mora sijeci jos barem jednu tocku 4QCR, sto je kontradiktorno proslomzakljucku, te zakljucujemo da takav pravac ne postoji.

Na skupu M\p, gdje je p prizvoljni pracac u ravnini M, uvodimo sljedecu relaciju ∼: A, B ∈ M\p, A ∼B ⇔ AB ∩ p = ∅. Tvrdimo da je ta relacija relacija ekvivalencije.

PROP

II

Dokaz1. (∀A ∈ M\p)A ∼ A - refleksivnost ocita.2. (∀A, B ∈ M\p)A ∼ B ⇒ B ∼ A - simetricnost takodjer ocita jer je AB = BA.3. (∀A, B, C ∈ M\p)A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C - Tranzitivnost: za kolinearne tocke A, B, C je ocito, a zanekolinearne tocke, po Pascheovom aksiomu znamo da ako pravac ne sijece dvije stranice trokuta i ne sijecevrhove, onda ne sijece taj trokut uopce, sto je tocno data situacija.

DEF

1-12Klase ekvivalencije relacije bivanja sa iste strane pravca zovu se poluravnine.

DEF

1-13Poloviste duzine AB je tocka C ∈ M takva da je |AC| = |CB| = 1/2|AB|.

Egzistencija polovista

Poloviste duzine postoji.PROP

III

DokazGledamo polupravac AB, kojemu je A vrh, a B mu pripada.

5 EM2 5

Polupravac AB = {T ∈ M : (T ∈ AB) ∩ (A ≤ T ≤ B ∨ A ≤ B ≤ T}. Definiramo x = 12 |AB| > 0. Po aksiomu

4.4. znamo da postoji jedinstveni C ∈ ABp t.d. je |AC| = x. Pretpostavimo da je A ≤ B ≤ C. Tada, ponejednakosti trokuta znamo da je |AC| = |AB| + |BC|, tj. 1

2 |AB| = |AB| + |BC|, tj. |BC| = −12 |AB| < 0,

sto je kontradiktorno definiciji udaljenosti. To znaci da je C ∈ AB. Iz nejednakosti trokuta vrijedi da je|AB| = 1

2 |AB| + |CB|, tj. |CB| = 12 |AB| = |AC|. Time znamo da poloviste postoji.

Jedinstvenost: Neka je C ∈ AB, t.d. |AC| = |CB|. Po nejednakosti trokuta znamo da je |AB| = |AC| + |CB|,tj. |AB| = |AC| + |AC| ⇒ |AC| = 1

2 |AB|, iz cega, po aksiomu 4.4. imamo jedinstvenost.

DEF

1-14

Praslikavanje f : M → M izometrija ravnine M ako vrijedi: d(f(A), f(B)) = d(A, B), ∀A, B ∈M, tj. funkcija koja cuva udaljenosti.

Neka je f : M → M izometrija. Tada je:

1. f je injekcija.2. Ako tocka C lezi izmedju tocaka A i B na pravcu AB, onda tocka f(C) lezi izmedju tocakaf(A) i f(B) na pravcu f(A)f(B).

PROP

IV

Dokaz1. A, B ∈ M t. d. f(A) = f(B). Tvrdimo da je A = B. f(A) = f(B) ⇒ |f(A)f(B)| = 0 ⇒ |AB| = 0 ⇒ A =B ⇒ f je injekcija.2. Pretpostavimo da tocka C ∈ M lezi izmedju tocaka A i B na pravcu AB. ⇒ A ≤ C ≤ B ili A ≥ C ≥ B ⇒|AB| = |AC|+ |CB|. Iz cinjenice da je f izometrija slijedi |f(A)f(B)| = |f(A)f(C)|+ |f(C)f(B)|. Po aksiomuo nejednakosti trokuta, jednakost stoji samo za kolinearne tokcke, sto znaci da je f(C) ∈ f(A)f(B)

Kompozicija izometrija je izometrija.PROP

V

Dokazf, g : M → M su izometrije. Tvrdimo da je f ◦ g izometrija. Za A, B ∈ M, |(f ◦ g)(A)(f ◦ g)(B)| =|f(g(A))f(g(B))| = |g(A)g(B)| = |AB|.

DEF

1-15Fiksna (cvrsta) tocka preslikavanja f : M → M je svaka tocka T ∈ M takva da je f(T ) = T .

Primjeri: Osna simetrija ima fiksni pravac simetrije. Svaka tocka ravnine je fiksna za identitetu.

Svaka izometrija ravnine M preslikava bijektivno pravac na pravac.TM

VI

DokazNeka je f : M → M izometrija. Dokaz da je f bijekcija dajemo kasnije. Tvrdimo da f preslikava pravac napravac, tj. slika pravca je opet pravac. Uzmimo proizvoljan pravac q kroz tocke A i B, bez smanjenja opcenitostimozemo pretpostaviti da je A ≤ B. Gledamo f(q) = f(AB) = {f(C) : C ∈ q}. Neka je C ∈ q proizvoljna tocka.Po 2.1. je C ≤ A ≤ B ili A ≤ C ≤ B ili A ≤ B ≤ C. Pretpostavimo da je A ≤ C ≤ B. Iz ranije dokazanepropozicije slijedi da je f(A) ≤ f(C) ≤ f(B), te f(C) lezi na pravcu f(A)f(B), tj f(q) ⊂ f(A)f(B).

NPROP

VII

eka je f : M → M izometrija. Tada vrijedi:1. Slika duzine AB je duzina f(A)f(B).2. Slika polupravca s vrhom O je polupravac s vrhom f(O).3. Slika poluravnine odredjene pravcem p je poluravnina oderedjena pravcem f(p).DokazTrivijalno.

NPROP

VIII

eka je f : M → M izometrija ravnine. Tada vrijedi:

6 EM2 6

1. Ako su A i B fiksne tocke od f , onda je i svaka tocka pravca AB fiksna tocka od f .

2. Ako je f(A) = B i f(B) = A, onda je poloviste duzine AB fiksna tocka od f .3. Ako su A, B, C ∈ M tri nekolinearne fiksne tocke, onda je f identiteta na M.

4. sp = s′p ⇒ p = p′.Dokaz

1. Neka je T ∈ AB proizvoljna tocka. BSO A ≤ B. T ≤ A ≤ B ili A ≤ T ≤ B ili A ≤ B ≤ T . Ako je A ≤ B ≤T ⇒ |AT | = |AB| + |BT |, po izometriji slijedi da je |f(A)f(T )| = |f(A)f(B)| + |f(B)f(T )|. Po pretpostavcipropozicije |Af(T )| = |AB|+ |Bf(T )|, pa po nejednakosti trokuta i svojstvu izometrije zakljucujemo T = f(T ).

2. Neka je C ∈ AB poloviste AB. |AC| = |BC| ⇒ |f(A)f(C)| = |f(B)f(C)| ⇒ |Bf(C)| = |Af(C)|. Posto jeC ∈ AB, onda je f(C) ∈ f(A)f(B) = BA = AB. Stoga zakljucujemo da je f(C) = C.

3. Neka su A, B, C ∈ M tri nekolinearne fiksne tocke iz f . Prema 1. slijedi da su i pravci AB, AC i BC fiksni.Uzmimo tocku T ∈ M\ (AB ∪ BC ∪ AC). Neka je D ∈ AB\{A, B}. Pravac TD sijece stranicu AB trokutaABC i ne prolaz niti jednim njenim vrhom uz tu stranicu. Po Paschovom aksiomu pravac TD sijece jos jednustranicu trokuta ABC, npr. stranicu BC u tocki E. Tocka T je element DE. Pravci AB i BC su fiksni za f ,pa su i tocke f(E) = E i f(D) = D, tj E i D su fiksne za f . Zato je i DE fiksni pravac za f , stoga je T fiksnatocka za f . Prema pravilu generalizacije zakljucujemo da je f(T ) = T, ∀T ∈ M, tj. da je f identiteta na M.

4. Pretpostavimo suprotno, tj. da je sp = s′p i da je p 6= p′. Neka su A, B ∈ p i C ∈ p′\p. A, B su fiksnetocke za sp = s′p. C je fiksna tocka za s′p = sp. Imamo tri nekolinearne fiksne tocke, te je sp identiteta, sto jekontradikcija sa definicijom osne smimetrije.

Svaka osna simetrija sp je involucija, tj. sp ◦ sp je identiteta na M. Nadalje, sp nema drugih fiksnihtocaka osim onih na osi p, a poluravnine odredjene sa p preslikavaju se jedna na drugu. Posebno, sp jebijekcija ciji je inverz ona sama tj. s−1

p = sp.

PROP

IX

Dokazsp je izometrija pa je i sp ◦ sp je izometrija. No, sp ◦ sp 6= sp, jer bi tada bilo sp = idM , no, iz jedinstvenostiosne simetrije po osi i cinjenice da je pravac p fiksan i za kompoziciju slijedi da je sp ◦ sp = idM . Specijalno, toznaci da je sp involutorna i bijektivna.Tocke pravca p su jedine fiksne tocke od sp. Ako postoji tocka T ∈ M\p koja je fiksna, onda imamo trinekolinearne fiksne tocke, tj. sp = idM , sto je kontradikcija.

Dvije poluravnine pravcem p se preslikavaju po sp jedna na drugu. Uz proizvoljnu tocku T ∈ M\p. Gledamo

duzinu Tsp(T ). Znamo Tsp7→sp(T ), sp(T )

sp7→sp(sp(T )) = T . Prema ranijoj propoziciji, ako se duzina obrce uizometriji, onda njeno poloviste ostaje fiksno. Posto su jedine fiksne tocke od sp na pravcu p, znaci da je

poloviste te duzine presjek pravca p i duzine Tsp(T ), sto znaci da te tocke pripadaju razlicitim poluravninama.

koja pomaze pri uvodjenju pojma simetrale duzine

Neka su A, B ∈ M, A 6= B. Tada postoji jedinstveni pravac p takav da je sp(A). Ovo opravdava sljedecudefinciju.

PROP

X

Dokaz

Neka je O poloviste duzine AB, a Ox, Oy polupravci koji sadrze tocke A, odnosno B. Prema aksiomu 4.2.postoji pravac p takav da je sp(Ox) = Oy. Kako je |OA| = |OB|, slijedi da je sp(A) = B i sp(B) = A.

Neka je p′ proizvoljni pravac sa trazenim svojstvom. Njegova pripadna osna simetrija je nuzno involutorna, paje s′p ◦ s′p = idM , no sp(A) = sp′(A) = B i sp(B) = sp′(B) = A, pa je sp ◦ sp′(A) = A i sp ◦ sp′(B) = B, pa jeAB fiksan za tu kompoziciju. No, p, p′ 6= AB, pa postoje fiksne tocke od sp i sp′ izvan AB. No, iz toga slijedida je p = p′, jer ne mogu imati razlicite trece fiksne tocke - to bi ih cinilo identitetama.

DEF

1-16Pravac iz prethodne propozicije naziva se simetrala duzine AB.

Simetrala duzine je skup svih tocaka jednako udaljenih od tocaka A i B.PROP

XI

DokazOcito.

7 EM2 7

Osnovni teorem o izometrijama

Svaka izometrija f : M → M je ili osna simetrija ili kompozicija dviju osnih simetrija ili kompozicijatri osne simetrije.

TM

XII

Dokaz

Neka je f : M → M proizvoljna izometrija. Dokaz se racva u dvije mogucnosti.

1. f = idM . Onda je f = sp ◦ sp, za proizvoljan pravac p ⊂ M.

2. f 6= idM . Postoji tocka A ∈ M takva da je f(A) 6= A = idM (A). Oznacimo sa A′ := f(A) 6= A. Gledamosimetralu a duzine AA′. Definiramo izometriju g : M → M, g = sa ◦ f . Znamo da je sa(A) = A′. Znamo i daje sa(A′) = A. g(A) = (sa ◦ f)(A) = sa(f(A)) = sa(A′) = A. g je izometrija kojoj je A fiksna tocka.

2.1. g = idM sa ◦ sa ◦ f = sa ◦ idM ⇒ f = sa.

2.2. g 6= idM . Tada postoji B ∈ M takav da je g(B) 6= B. Oznacimo B ′ := g(B). Vrijedi g(A) = A, g(B) 6=B ⇒ A 6= B. Gledamo simetralu duzine BB′. Vrijedi sb(B) = B′, sb(B

′) = B. Definiramo preslikavanjeh : M → M, h = sb ◦ g. Vrijedi: h je izometrija. Zelimo odrediti odnos A, B, B′. |AB| = |g(A)g(B)| = |AB′| ⇒|BA| = |AB′| ⇒ A ∈ b ⇒ sb(A) = A. h(A) = (sb ◦ g)(A) = sb(g(A)) = sb(A) = A. A je fiksna tocka za h.

2.2.1. h = idM idM = h = sb ◦ g = sb ◦ sa ◦ f ⇒ f = sa ◦ sb.

2.2.2. h 6= idM hM = (sb ◦ g)(B) = sb(g(B)) = sb(B′) = B ∧ h(A) = A ⇒ h ima fiksni pravac c = AB. h nema

drugih fiksnih tocaka, pa je h = sc (po aksiomu 4.1.). sc = sb ◦ g = sb ◦ sa ◦ f . f = sa ◦ sb ◦ sb.

Svaka izometrija ravnine M je bijekcija. Ako je f : M → M izometrija, onda je i f−1 : M → M

izometrija.

KOR

XIII

Dokaz

Znamo da je osna simetrija bijekcija i znamo osnovni teorem o izometrijama, te zakljucujemo da je svakaizometrija f : M → M bijekcija. Neka je f : M → M proizvoljna izometrija. Tada vrijedi za f−1 : M → M

|f−1(A)f (A)| = |f(f−1(A))f(f−1(A))| = |AB|, dakle f−1 je izometrija.

Oznacimo li sa I skup svih izometrija na M. Znamo da su zatvorene, da su asocijativne, imaju neutralnielement = idM i inverz na kompozicije u I. Stoga je (I, ◦) grupa izometrija ravnine.

DEF

1-17

Rotacija sa sredistem u O (ili oko O) je ili izometrija rO ravnine M cija je jedina fiksna tocka Oili je idM .

Neka su p, p′ ⊂ M dva pravca u ravnini M koji se sijeku u tocki O. Tada je kompozicija sp ◦ sp′ = rO .TM

XIV

Dokaz

Neka je g = sp ◦ s′p izometrija sa fiksnom tockom O. Neka je A jos jedna fiksna tocka od g. Tada je sp′ =

sp′(g(A)) = sp′(sp′(sp(A))) = sp(A) =: B, no, slijedi da je sp(B) = A i sp(A) = B, dakle sp je simtrala od AB.Tada je ili p′ = p ili A = B. Ako je p′ = p, onda je kompozicija njihovih osinih simetrija identiteta. Ako jep 6= p′, onda je A = B, no i A, B ∈ p∩ p′, pa je A = B = O. Iz toga zakljucujemo da ako g nije identiteta, ondaima samo jednu fiksnu toku.

DEF

1-18

Neka je tocka O ∈ M tocka ravnine M. Centralna simetrija sO : M → M je definirana ovako:

T ∈ M i T ′ = sO(T ), onda je O poloviste duzine TT ′.

DEF

1-19Za pravce p, q ⊂ M, p 6= q kazemo da su okomiti ako je sp(g) = g, gdje je sp(g) = {sp(T ), T ∈ g}.

Relacija okomitosti je simetricna.LMA

XV

Dokaz

Neka su p, q ⊂ M, sq(p) = p, pravci i neka je A ∈ p, A 6∈ q. sq(p) = p ⇒ B = sq(A), B 6= A. Kako je

sp(A)sp(B) = AB, slijedi da je sp(q) = q

8 EM2 8

Centralna simetrija sO sa sredistem O je kompozicija sp ◦ sq dviju osnih simetrija s bilo kojim okomitimosima p i q koje prolaze tockom O.

TM

XVI

Centralna simetrija je rotacija.PROP

XVII

Centralna simetrija je involutorno preslikavanje.PROP

XVIII

Dokaz

Iz ranijeg teorema slijedi da postoje pravci p, g ⊂ M takvi da je SO = sp ◦ sq = sq ◦ sp. Zato vrijedi:SO ◦ SO = (sp ◦ sq) ◦ (sq ◦ sp) = sp ◦ (sq ◦ sq) ◦ sp = sp ◦ idM ◦ sp = sp ◦ sp = idM .

Centralna simetrija je jedinstevna involutorna rotacija.PROP

XIX

DEF

1-20

Za dva para (OX, OY ) i (O′X ′, O′Y ′) polupravaca kazemo da su kongruentni ako postoji izometrijaf takva da je f(OX) = O′X ′ i f(OY ) = O′Y ′, gdje je f(O) = O′.

Kongruentnost kuteva cini relaciju ekvivalencije.PROP

XX

DEF

1-21Klasu ekvivalencije za relaciju kongruencije zovemo neorijetirani kut.

DEF

1-22K je kvocijentni skup svih klasa neorijentiranih skupova.

Neki posebni kutovi:

Nulkut Θ je klasa parova podudarajucih polupravaca Θ = XOX = [(OX, OX)].

Ispruzeni kut ω je klasa polupravaca koji su komplementarni, tj. cija je unija pravac.

Pravi kut δ je klasa parova polupravaca ciji su pripadni pravci okomiti.

DEF

1-23

Kazemo da je otvoreni kutni isjecak presjek poluravnine po pravcu OX koja sadrzi polupravacOY osiom vrha O i poluravnine po OY koja sadrzi polupravac OX osim vrha O ako �XOY ne ciniispruzeni kut.

DEF

1-24

Zatvoreni kutni isjecak je unija polupravaca OX i OY sa pripadnim otvorenim kutnim isjeckom,u oznaci S(OX, OY ).

DEF

1-25

Kazemo da je γ zbroj kuteva α i β (u oznaci γ = α+β) kut odredjen polupravcima OX , OY i OZtakvim da je �XOY = α, �Y OZ = β i �XOZ = γ, tj. S(OX, OZ) = S(OX, OY ) ∪ S(OY, OZ).

DEF

1-26Simetrala kuta �XOY je pravac p takav da je Sp(OX) = OY .

Presjek simetrale ispruzenog kuta i njemu pripadne poluravnine sa polupravcima ispruzenog kuta ciniprave kuteve.

PROP

XXI

DEF

1-27

Unutarnja simetrala nekomplmentarnih polupravaca OX i OY je polupravac OZ koji lezi nasimetrali polupravaca OX i OY i sadrzan je u S(OX, OY ).

DEF

1-28

Na kvocijentnom skupu K definiramo potpun uredjaj ≤ na sljedeci nacin: kuteve α ≡ S(OX, OY ) iβ ≡ S(OX, OZ) postavljamo u relaciju β ≤ α ako je OZ ⊂ S(OX, OY ) ili sOX (OZ) ⊂ S(OX, OY ).

9 EM2 9

DEF

1-29

Mjera neorijentiranih kuteva je svaka strogo rastuca funkcija (id est funkcija koja preslikava

uredjaj na kutevima na uredjaj na�

-u)F : K →� +

0 takva da vrijedi da je f(α + β) = f(α) + f(β)kad god je α + β definiran.

f(Θ) = 0.KOR

XXII

Za svaki realni broj s > 0 postoji jedinstvena mjera φ iz K takva da je φ(ω) = s i φ je bijekcija sa K

na segment [0, s] ⊂�

.

TM

XXIII

DEF

1-30Za s = 180 φ je mjera kuta u stupnjevima. Za s = π φ je mjera kuta u radijanima.

DEF

1-31

Kut cija je mjera u radijanima u skupu 〈0, π2 zovemo siljasti kut, a onaj cija je mjera kuta u 〈π

2 , π〉zovemo Tupi kut.

Aksiomi 1. - 4. cine apsolutnu geometriju. Uz 5. aksiom govorimo o Euklidskoj geometriji

Aksiom o paralelama ekvivalentan je tvrdnji da je zbroj kuteva u trokutu ispruzeni kut.PROP

XXIV

Dokazi!

1.2. Klasicna geometrija trokuta

Konvencija: 4ABC = trokut sa vrhovima A, B i C, te stranicama AB, BC , CA, te njihovim duljinamac = |AB|, a = |BC| i b = |CA|. Unutrasnji kutevi su α = �CAB, β = ABC, γ = ACB.

DEF

1-32

Neka su 4ABC i 4A′B′C ′ dva trokuta u istoj ravnini M. Kazemo da su ti trokuti sukladniako postoji bijekcija f : {A, B, C} → {A′, B′, C ′} takva da je f(A) = A′, f(B) = B′, f(C) = C ′,f(α) = α pri cemu je a = a′, b = b′, c = c′, α = α′, β = β′ i γ = γ′. Pisemo 4ABC ' 4A′B′C.

DEF

1-33T je skup svih trokuta u ravinini M.

', relacija sukladnosti je relacija ekvivalencije na T.PROP

XXV

Po definiciji sukladnost je opisana s jednakosti 6 elemenata. Za dovoljnost postoji nekoliko teorema o sukladnostitrokuta.

S-S-S

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice.TM

XXVI

DokazTreba dokazati da postoji funkcija koja preslikava vrhove u vrhove i koja cuva udaljenosti i kuteve.Iz pretpostavke da je |AB| = |A′B′| znamo da postoji izometrija g : M → M takva da preslikava g : A 7→A′ ∧ B 7→ B′. Oznacimo sa g(C) = C ′′.Ako se C ′ i C ′′ nalaze u istoj poluravnini po AB, onda pretpostavimo da je C ′ 6= C ′′. |A′C ′| = b′ = b = |AC| =|A′C ′′|, stoga znamo da je A′ na simetrali od C ′C ′′. No, za a vrijedi |B′C ′| = a′ = a = |BC| = |B′C ′′|. To znacida je B′ na istoj toj simetrali, cime je ona u potpunosti odredjena kao pravac AB, no on ne moze biti simetralaC ′C ′′ jer su te tocke u istoj poluravnini po tom pravcu, stoga dolazimo do kontradikcije, pa zakljucujemo da jeC ′ = C ′′, pa g preslikava vrhove u vrhove, i kuteve u kuteve, pa zakljucujemo da su trokuti onda sukladni.Ako su C ′ i C ′′ u razlicitim poluravninama, onda je tocka simetricna po A′B′ tocki C ′′ jedanka C ′, po prethod-nom dijelu dokaza, a posto je osna simetrija izometrija, ona cuva udaljenosti i kuteve. Ova simetrija ima fiksnetocke u A′ i B′, a C ′ se nuzno preslikava u C ′′ po prethodnom dijelu dokaza.

S-K-S

Dva trokuta su sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu medju njima.TM

XXVII

10 EM2 10

a

Dokaz

Neka su 4ABC i 4A′B′C ′ trokuti takvi da vrijedi b = b′, c = c′ i α = α′. Po definiciji jednakosti kuteva,postoji izometrija g : M → M koja projicira �XAY u �X ′A′Y ′, gdje je X ∈ AB, Y ∈ AC, X ′ ∈ A′B′,Y ′ ∈ A′C ′. Izometrija g takodjer projicira po E3.4 B u B′ i C u C ′. Iz svojstva izometrije znamo da je|BC| = |g(B)g(C)| = |B′C ′|, sto po Teoremu S-S-S znaci da su ti trokuti sukladni.

K-S-K

Dva trokuta su sukladna ako se podudaraju u jednosj stranici i dva kuta uz tu stranicu.TM

XXVIII

Dokazi!

S>-S-K>

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot vecoj od njih.TM

XXIX

Dva trokuta 4 i 4′ su sukladni ako i samo ako postoji izometrija f : M → M takva eda je f(4) = 4′.TM

XXX

DEF

1-34Sjeciste okomice oi na stranicu xi trokuta 4X1X2X3 oznacavamo sa NXi

i nazivamo noziste.

DEF

1-35

U trokutu 4X1X2X3 sa noistima okomica NXiduzine XiNXi

zovemo visinama trokuta, zai = 1, 2, 3.

DEF

1-36

U trokutu 4X1X2X3 gdje je Pij poloviste duzine XiXj duzine PijXk za i, j, k ∈ {1, 2, 3}, i 6= j 6=k 6= i zovemo tezisnicama trokuta.

DEF

1-37Duzine koje spajaju polovista stranica trokuta zovemo srednjicama.

DEF

1-38Simetrale unutrasnjih kuteva u trokutu zovemo simetrale kuteva trokuta.

O srednjici trokuta

Srednjica trokuta paralelna je sa stranicom s kojom ima prazan presjek i njena je duljina jednaka poloviciduljine te stranice.

TM

XXXI

Dokaz

Gledamo 4ABC i polovista P1 stranice AC, te P2 stranice BC. Na pravcu P1P2 odredimo tocku D takvu daje D 6= P1 ∧ d(P2, D) = d(P1, P2). Tocka P2 raspolavlja duzine BC i P1D, iz cega zakljucujemo da je BDCP1

paralelogram. To implicira da je BD ‖ P1C = AP1 i |BD| = |P1C| = |AP1|, pa mozemo zakljuciti da je ABDP1

paralelogram. To znaci da je AB ‖ P1P2 ∧ |AB| = |P1D| = 2|P1P2|.

DEF

1-39Kruznica opisana trokutu je kruznica na kojoj leze svi vrhovi trokuta.

O sjecistu simetrala stranica

Simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj tocki i ta je tocak srediste tom trokutu opisane kruznice.TM

XXXII

Dokaz

Ako je sAB simetrala duzine AB, onda je za svaki S ∈ sAB |SA| = |SB|.Uzmimo 4ABC, proizvoljan trokut, te njegove simetrale s

AB, s

AC. Njihovo sjeciste je tocka S, i ona postoji

po 5. aksiomu. S ∈ sAB ⇒ |AS| = |BS| S ∈ sAC ⇒ |AS| = |CS| ⇒ |AS| = |CS| = |BS| ⇒ |CS| = |BS| ⇒S ∈ s

BCR := |AS| = |BS| = |CS| A, B, C ∈ k(S, R)

11 EM2 11

O simetralama kutova

Sve tri simertale unutarnjih kutova trokuta sijeku se u jednoj tocki. Ta je tocka srediste tom trokutuupisane kruznice.

TM

XXXIII

Dokaz

Ako je sα simetrala kuta α = �aV b, onda za T ∈ sα vrijedi da je d(T, a) = d(T, b). Uzmimo dvije simetrale,sα i sβ kuteva trokuta 4ABC. Gledajmo njihovo sjeciste U . T ∈ sα ⇒ d(AB, U) = d(AC, U) T ∈ sβ ⇒d(AB, U) = d(BC, U) ⇒ d(AB, U) = d(BC, U) = d(AC, U) ⇒ U ∈ sγ K := k(U, d(AB, U)) je kruznica kojadodiruje sve tri stranice, tj. koja je upisana trokutu.

O visinama

Pravci na kojima leze visine trokuta sijeku se u jednoj tocki.TM

XXXIV

Dokaz

Uzmimo proizvoljni trokut 4ABC. Kroz svaki od vrhova povucimo paralelu sa nasuprotnom stranicom. Timedobivamo veliki trokut 4A′B′C ′ kojemu su stranice malog trokuta 4ABC srednjice, pri cemu je A′ sjecistestranica koje ne sadrze tocku A itd. Cetverokuti ABCB′, ABA′C, i ACBC ′ su ocito paralelogrami, a svakipar od njih ima po jednu stranicu na zajednicku i po jedan par koji je u uniji stranica velikog trokuta a kojesu u presjeku samo jedna tocka. Posto su te stranice jednake po duljini (jer su suprotne zajednickoj stranici),zakljucujemo da je njihov presjek, tj. odgovarajuci vrh malog trokuta poloviste stranice velikog trokuta. Kakoje visina okomita na toj stranici paralelan pravac i prolazi vrhom koji je poloviste iste, zakljucujemo da je tosimetrala stranice velikog trokuta. Teorem o simetrlama stranica kaze nam da se ti pravci sijeku u nekoj to cki.

DEF

1-40

Neka su A, B, T ∈ M tri kolinearne tocke takve da je A 6= B. Kazemo da tocka T dijeli AB u

omjeru λ ∈�

ako vrijedi−→AT = λ

−→BT .

Zakljucak: U terminima radijvektora imamo izraz ~rT = ~rA−λ~rB

1−λ. Za poloviste, λ = −1.

O tezisnicama trokuta

Tezisnice trokuta sijeku se u jednoj tocki, tezistu trokuta. Teziste dijeli tezisnice u omjeru 2:1 gledajuciod vrha.

TM

XXXV

Dokaz

Uzmimo proizvoljan 4ABC. Oznacimo sa P1, P2, P3 polovista stranica 4ABC. Na tezisnici AP2 odaberimo

tocku T koja je dijeli u omjeru λ2 = −2.−→AT = −2

−−→P2T ⇒ ~rT =

~rA+2~rP2

3 Znamo da je rP2 = 12 (~rB +~rC) ⇒ ~rT =

13 (~rA + ~rB + ~rC). Kada pregrupiramo, dobijemo izraz ~rT = 1

3 (2 12 (~rA + ~rB) + ~rC) = 1

3 (2~rP1 + rc) ⇒ λ1 = −2.Analogno ide i za λ3. Zakljucak je da T lezi na sve tri tezisnice i dijeli ih u omjeru λ = −2 gledajuci od vrhova.

Tocke S, U , O i T su karakteristicne tocke trokuta.

1.3. Slicnost trokuta

DEF

1-41

Dva trokuta 4ABC i 4A′B′C ′ su slicni (u oznaci 4ABC ∼ 4A′B′C ′) ako postoji bijekcijaf : {A, B, C} → {A′, B′, C ′} takva da je f(A) = A′, f(B) = B′ i f(C) = C ′ i da je α = α′, β = β′ iγ = γ′, te a

a′= b

b′= c

c′.

Relacija “biti slican” je relacija ekvivalencije na T.PROP

XXXVI

Talesov teorem o proporcionalnosti u pramenu pravaca

Ako se dva pravca a i b sijeku u tocki O i ako su presjeceni sa dva paralelna pravca p i p′ takva da je

p ∩ a = {A} i p ∩ b = {B}, te p′ ∩ a = {A′} i p′ ∩ b = {B′}, tada vrijedi: |OA||OB| = |OA′|

|OB′| = |OA||AB| = |OB|

|BA| =|OB′||B′A′| .

TM

XXXVII

12 EM2 12

S-S-S slicnost

Dva su trokuta slicna ako su im sve tri stranice proporcionalne.TM

XXXVIII

S-K-S slicnost

Dva su trokuta slicna ako su im 2 stranice proporcionalne i kutevi izmedju njih jednaki.TM

XXXIX

O simetrali unutarnjeg kuta trokuta

Simatrala unutarnjeg kuta trokuta dijeli tom kutu nasuprotnu stranicu u omjeru preostalih stranica.TM

XL

Dokaz

Gledamo proizvoljan trokut 4ABC i simetralu sγ kuta �ACB. Presjek sγ ∩ b oznacimo sa D. Znamo da je�ACD = �BCD = γ

2

Na pravcu AC definiramo tocku E kao presjek AC i paralele sa CD kroz tocku B.

�AEB = �ACD = γ2 zbog kuteva sa paralelnim pravcima.

�CBE = �CDB = γ2 zbog kuteva uz zajednicku transverzalu.

⇒ 4BEC je jednakostranican, tj. |CE| = |CB|.Prema Talesovom teoremu o proporcionalnosti pramena pravaca zalkljucujemo da je |AD|

|DB| = |AC||CE| , a |CE| =

|BC|, pa znaci da je |AD||DB| = |AC|

|BC| .

1. Kateta pravokutnog trokuta je geometrijska sredina hipotenuze i svoje ortogognalne projekcije nahipotenuzu.

2. (Euklidov teorem) Visina na hipotenuzu pravokutnog trokuta je geometrijska sredina svih ortog-onalnih projekcija na hipotenuzu, tj. geometrijska sredina svojih odsjecaka na hipotenuzi.

PROP

XLI

Dokaz

Neka je N noziste visine iz vrha uz pravi kut. Oznacimo c1 := |AN |, c2 := |BN |. Trokuti 4ABC ∼ 4ACN ∼4CBN , po k-k-k teoremu. Iz toga slijedi da je b

c1= c

b⇒ b =

√cc1,

ac2

= ca⇒ a =

√cc2. Iz tranizitivnosti

relacije slicnosti dobivamo i da je vc

c1= c1

vc⇒ vc =

√c1c2.

Pitagorin poucak

U pravokutnom trokutu kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta.TM

XLII

Dokaz

Iz prethodnog teorema slijedi da je a2 + b2 = cc1 + cc2 = c(c1 + c2) = c2

Obrat pitagorinog poucka

Ako za stranice a, b, c trokuta 4ABC vrijedi da je a2 + b2 = c2, onda je 4ABC pravokutan trokut sapravim kutem u vrhu C.

TM

XLIII

Dokaz

a2 + b2 = c2 ⇒ c > a, b

Neka je 4A′B′C ′ pravokutan trokut takav da je |B′C ′| = a i |A′C ′| = b i �A′C ′B′ pravi kut. Iz pitagorinogpoucka slijedi da je |A′B′| = c, a po teoremu S-S-S jednakost parova odgovarajucih stranica je dovoljan uvjetza sukladnost trokuta, pa je 4A′B′C ′ ' 4ABC ⇒ 4ABC je pravokutan sa pravim kutem u vrhu C.

1.4. Cetverokut

DEF

1-42N

eka su A, B, C i D cetiri zadane tocke u ravnini M. Gledamo uniju duzina AB ∪ BC ∪ CD ∪ DA takvu dase niti jedan par duzina ne sjece u svojim unutrasnjim tockama. Takvu liniju zovemo zatvorena poligonalnalinija, a dio ravnine omedjen tom linijom zovemo cetverokut i oznacavamo ABCD.

13 EM2 13

DEF

1-43Duzine zatvorene poligonalne linije cetverokuta zovemo stranicama cetverokuta.

DEF

1-44Duzine koje su odredjene vrhovima cetverokuta a nisu u poligonalnoj liniji zovemo dijagonale.

DEF

1-45Trapez je cetverokut kojem barem jedan par nasuprotnih stranica lezi na paralelnim pravcima.

DEF

1-46Paralelogram je cetverokut kojemu dva para nasuprotnih stranica leze na paralelnim pravcima.

DEF

1-47Pravokutnik je paralelogram kojemu je jedan kut pravi.

DEF

1-48Romb je paralelogram kojemu su sve cetiri stranice jednake duljine.

DEF

1-49Kvadrat je romb koji je pravokutnik.

Svojstva paralelograma:

1 Nasuprotne stranice i nasuprotni kutevi paralelograma su jednaki.

2 Cetverokut je paralelogram ako i samo ako u se dijagonale raspolavljaju.

3 Ako za cetverokut ABCD vrijedi da je |AD| = |BC| i AD ‖ BC, onda je ABCD parelelogram.

1.5. Poligoni i povrsina

DEF

1-50

Neka je A0, A1, A2, A3, A4, . . . , An niz od konacno mnogo tocaka u ravnini. Uniju duzina A0A1 ∪A1A2 ∪ A2A3 ∪ . . . ∪ An−1An zovemo izlomljena duzina. A0 zovemo pocetkom izlomljeneduzine, a An kraj izlomljene duzine.

DEF

1-51

Izlomljenu duzinu kojoj se svaka tocka nalazi na tocno jednoj duzini ili je zajednicki vrh tocno dvijeciji je to zajednicki kraj zovemo jednostavna izlomljena duzina. Oznacavamo A1A2A3 . . . An.

DEF

1-52Samopresjecna izlomljena linija je izlomljena linija koja nije jednostavna.

DEF

1-53

Zatvorena izlomljena linija je izlomljena linija A0A1 . . . An, gdje je An = A0, tj. takva da jenjen pocetak jedanak njenom kraju.

DEF

1-54Poligon u uzem smislu je jednostavna zatvorena izlomljena linija.

Jordanov teorem

Poligon dijeli ravninu na dva dijela, unutrasnjost i vanjstinu.TM

XLIV

DEF

1-55Pologon je dio ravnine omedjen jednostavnom zatvorenom izlomljenom linijom.

Svaki se polinom moze trijangularizirati, tj. rastaviti na uniju konacno mnogo trokuta koji nemajuzajednickih unutrasnjih tocaka.

TM

XLV

DEF

1-56

Kazemo da je poligon π zbroj poligona π1 i π2 i pisemo π = π1 + π2 ako je π1 ∪ π2 = π i π1 i π2

nemaju zajednicke unutarnje tocke.

14 EM2 14

DEF

1-57

Za poligone π1 i π2 kazemo da su sukladni i pisemo π1 ' π2 ako postoji izometrija g : M → M

takva da je g(π1) = π2.

DEF

1-58P je skup svih poligona u ravnini, ukljucujuci i prazan skup.

DEF

1-59

Povrsina (plostina) p na skupu P je funkcija p : P →�

sa ovim svojstvima:

P1 p(π) ≥ 0, ∀π ∈ P (nenegativnost)P2 p(π1 + π2) = p(π1) + p(π2) (aditivnost)P3 π1 ' π2 ⇒ p(π1) = p(π2) (invarijantnost na izometriju)P4 Postoji barem jedan kvadrat κ ∈ P sa stranicom duljine 1 takav da je p(κ) = 1 (normiranost)

DEF

1-60Broj p(π) zovemo povrsina poligona.

Povrsina pravokutnika

Ako je ABCD pravokutnik takav da je duljina stranice |AB| = a i duljina stranice |BC| = b, onda jepovrsina p(ABCD) = ab.

TM

XLVI

Dokaz

FIXME !!!

Povrsina paralelograma i trokuta

Neka je PQRS paralelogram sa stranicom a i pripadnom visinom v, a 4ABC trokut sa stranicom a ipripadnom visinom va. Tada je:

1. p(PQRS) = av2. p(ABC) = 1

2ava.

TM

XLVII

Dokaz

FIXME !!!

Heronova forumla

Povrsina trokuta cije su stranice duljina a, b, c iznosi P =√

s(s − a)(s − b)(s − c), gdje je s = a+b+c2

poluopseg trokuta.

PROP

XLVIII

Dokaz

Talesov teorem o proporcionalnosti u pramenu pravaca

Nake su a i b dva razlicita pravca koji se sijeku u tocki O i neka su p ‖ q paralelni pravci koji sijekupravce a i b u tockama A i A′, odnosno B i B′. Tada vrijedi

|OA||OB| =

|OA′||OB′| ,

|OA||AB| =

|OA′||A′B′| ,

|OB||BA| =

|OB′||B′A′|

.

TM

XLIX

Dokaz

Dokaz Pitagorinog poucka preko povrsina: FIXME -slika

15 EM2 15

DEF

1-61

Kruznica k(O, r) ⊂ M sa sredistem u tocki O ∈ M radijusa r je skup svih tocaka T ∈ M takvihda je |OT | = r.

DEF

1-62Tetiva je duzina ciji su vrhovi tocke kruznice.

DEF

1-63Tetivu koja prolazi sredistem kruznice zovemo dijametar ili promjer kruznice.

Svaka tetiva dijeli kruznicu na dva dijela.TM

L

DEF

1-64

Svaki od dijelova na koje tetiva dijeli kruznicu zove se luk kruznice. Oznacava se sa AB, A, B ∈k(O, r), a obicno se gleda onaj manji.

DEF

1-65Kut �AOB, gdje su A, B ∈ k(O, r) zovemo sredisnji kut kruznice.

Ako su AB i A′B′ dvije tetive iste kruznice, onda su i njihovi sredisnji kutevi jednaki.PROP

LI

DEF

1-66Obodni kut nad lukom AB je kut �ATB gdje su A, T, B ∈ k(O, r).

O obodnom i sredisnjem kutu

Sredisnji kut nad kruznim lukom jednak je dvostrukom obodnom kutu nad istim lukom.TM

LII

Dokaz

Talesov teorem o kutu nad promjerom

Ako je AB dijametar kruznice k(PAB , 12 |AB|), a T bilo koja tocka na toj kruznici razlicita od A i B,

onda je 4ATB pravokutan, s pravim kutem u tocki T .

KOR

LIII

Neka su a, b, c duljine stranica trokuta 4ABC, P povrsina istog, a R radijus njemu opisane kruzinice.

Tada vrijedi P = abc4R

.

PROP

LIV

DEF

1-67

Za cetverokut kazemo da je tangencijalan ako su mu pravci na kojemu leze sve cetiri stranicetangente jedne kruznice, tj. ako mu se moze upisati kruznica.

DEF

1-68

Za cetverokut kazemo da je tetivan ako su mu sve cetiri stranice tetive iste kruznice, tj. ako mu semoze opisati kruznica.

Karakterizacija tangencijalnog cetverokuta

Cetverokut je tangencijalan ako i samo ako su mu zbrojevi duljina nasuprotnih stranica jednaki.

TM

LV

Dokaz

1. Pretpostavimo da je cetverokut ABCD tangencijalan. Tvrdimo da je |AB| + |CD| = |AD| + |BC|.Neka je O srediste cetverokutu upisane kruznice.

Nazovimo diralista E, F , G, H .

Gledamo parove trokuta cije su zajednicke stranice spojnice vrhova cetverokuta i sredista kruznice, gdje suim druge stranice spojnice diralista i sredista. Ti trokuti su medjusobno sukladni jer su im dva para stranicamedjusobno jednaki i kut nasuprot najdulje stranice (pravi kut zbog tangente) jednak. To znaci da je |AE| =|AH |, |BE| = |BF |, |CF | = |CG|, |DG| = |DH |. To znaci da je |AB| + |CD| = |AE| + |EB| + |CG| + |GD| =|AH | + |DH | + |BF | + |FC| = |AD| + |BC|. Time je dokazana nuznost.

16 EM2 16

2. Pretpostavimo da cetverokut ABCD ima svojstvo da je |AB| + |CD| = |AD| + |BC|. Tvrdimo da jecetverokut ABCD tangencijalan.Postoji jedinstvena kruznica kojoj su tangente pravci AB, CD i CD. Sjeciste tangente kroz tocku D natu kruznicu nazovimo sa E. Po definiciji, cetverokut EBCD je tangencijalan, pa znamo da vrijedi da je|EB|+ |DC| = |BC|+ |DE|, no znamo da je |AB|+ |BC| = |BC|+ |AD|, pa je onda |EB|−|AB| = |ED|−|AD|,no ||EB| − |AB|| = |AE|, tj. ||ED| − |AD|| = |AE|, no to u metickom prostoru vrijedi samo za A = E.

DEF

1-69Tetivni cetverokut je cetverokut kojemu se moze opisati kruznica.

Karakterizacija tetivnog cetverokuta

Cetverokut je tetivan ako i samo ako mu je zbroj nasuprotnih kuteva jednak ispruzenom kutu.

TM

LVI

DokazPretpostavimo da je ABCD tetivni cetverokut. Kut δ := �ADC je obodni kut kojemu pripada sredisnjikut �AOC = 2δ. Isto tako, β = �ABC je obodni kut kojem pripada sredisnji kut �COA = 2β. 2π =�COA + �AOC = 2δ + 2β ⇒ δ + β = π. Analogno ide i za A i C.Pretpostavimo da je ABCD cetverokut i da je α + γ = β + δ. Na pravcu AD odaberemo tocku D′ tako da jeABCD′ tetivni cetverokut, pa vrijedi da je δ′ + β = π. No, po pretpostavci δ + β = π, pa je zato δ = δ′. Ako jeD 6= D′, onda postoji trokut triangleDCD′, pa taj trokut ima sumu kuteva jednaku π. No, u takvom trokutujedan od kuteva mora biti unutarnji a drugi vanjski, pa onda je suma tih kuteva δ + π − δ = π, pa je tako kut�DCD′ = 0, sto znaci da tocke D, C i D′ ne tvore trokut.

Ptolomejev teorem

Za A, B, C, D ∈ M vrijedi |AB||CD| + |BC||AD| ≥ |AC||BD|. Jednakost vrijedi ako i samo ako suA, B, C i D cetiri uzastopne tocke na nekoj kruznici ili pravcu.

TM

LVII

Inverzija - pogledati u udzbeniku

1.6. Izmjerivi skupovi tocaka i njihova povrsina

DEF

1-70Kazemo da je S ⊆ M izmjeriv ako (ε > 0) (∃π ⊆ S ⊆ π′, π, π′poligoni) (p(π′) − p(π) < ε).

DEF

1-71

Za poligon π kazemo da je upisan skupu S ⊆ M a za poligon π′ da je opisan skupu S ako jeπ ⊆ S, tj.S ⊆ π′. Jos definiramo U(S) = {π ∈ P : π ⊆ S}, O(S) = {π ∈ P : S ⊆ π}.

pu(S) = sup(p(U(S)))po(S) = inf(p(O(S)))Taj infimum i supremum postoje u

�jer je S ogranicen u M. Uvijek vrijedi pu(S) ≤ po(S). Skup S je izmjeriv

⇔ pu(S) = po(S).Skup S = ([0, 1] ∩ � ) × ([0, 1] ∩ Q). Taj skup nije izmjeriv.

Krug K = K(O, r) je izmjeriv skup i njegova povrsina je jedanka r2π, gdje je π konstanta (Ludolfovbroj) priblizno jednaka 3.141592653589793238462643383279502884197169399 . . ..

TM

LVIII

DokazTvrdimo da je K izmjeriv. Neka je ε > 0 proizvoljan. Upisujemo i opisujemo pravilne 3 · 2n−1-terokute. πn je

upisani 3 · 2n−1-terokut, a π′n je opisani 3 · 2n−1-terokut. Vrijedi da je p(π′

n) − p(πn) < 72r2

2n < ε. To ce biti

manje od ε za n > log272r2

ε. Po deifiniciji to znaci da je K izmjeriv. Odavde slijedi da je supremum jednak

infimumu, a to znai da mozemo uzeti limes n → ∞. Odavde slijedi da je p(K)r2 = limn→∞

p(πn)r2 =: π. Iz toga

slijedi da je p(K) = r2π.

Ako je P povrsina, s poluopseg i r radijus upisane kruznice, onda vrijedi P = rs.PROP

LIX

Dokaz

17 EM2 17

DEF

1-72Kruzni isjecak Kφ kruga K = K(O, r) je presjek sredisnjeg kuta φ i kruga K.

DEF

1-73Homeomorfizam je funkcija takva da su i f i f−1 neprekidne.

DEF

1-74Jednostavna krivulja je homeomorfna slika duzine.

DEF

1-75Dio krivulje izmedju dvije mjerne tocke zove se luk tocke.

Problem: izracunati duljinu luka jednstavne krivulje.Za neki δ > 0, gledamo funkciju koja na krivulji k radi sljedece: za T ∈ k, T 7→ K(T, δ).Oko svake tocke T krivulje opisujemo kruznicu radijusa δ > 0 i neka je Kδ(k) =

⋃T∈k

k(T, δ)

Duljina luka je onda l(k) = limδ→0

p(kδ(k))2δ

.

Duljina kruznice

Opseg, tj. duljina kruznice polumjera r je dan je formulom O = 2rπTM

LX

DokazProvodimo ideju od ranije, opisujemo kruznice radijusa δ oko svake tocke kruznice k sa sredistem u tocki(O, r) dobijemo kruzni vijenac ciji je unutrasnji radijus r − δ, r + δ. Kδ(k(O, r)) = KV (O, r − δ, r + δ), pa jep(Kδ(k(O, r))) = (r + δ)π − (r − δ)2π = 4rδπ ⇒ lim

δ→0

2r2δπ2δ

= 2rπ.

18 EM2 18

2. TRIGONOMETRIJA

2.1. Trigonometrijske funkcije

U Kartezijevom koordinatnom sustavu prikazujemo jedinicnu kruznicu. Presjeke sa osima nazovimo A = (1, 0),B = (0, 1), C = (−1, 0) i D = (0,−1). Pravac p okomit na apscisu koji prolazi tockom A “namatamo” nakruznicu. Koristimo identifikaciju p sa

�, te definiramo preslikavanje E :

�→ k(O, 1). To je tzv. eksponen-

cijalno preslikavanje ili namatanje. Znamo da je duljina ove kruznice jednaka 2π, te iz toga zakljucujemoda je E(0) = A, E(π

2 ) = B, E(π) = C, E( 3π2 ) = D, te da je E(t + 2kπ) = E(t), ∀t ∈

�, k ∈ �

DEF

2-1Apscisu od E(t) zovemo kosinus i pisemo cos t, a ordinatu zovemo sinus, te pisemo sin t.

2cos t +

2

sin t = 1PROP

LXI

Dokaz

Ocito, iz Pitagorinog teorema.

DEF

2-2Zbog prethodnog, k(O, 1) jos se naziva trigonometrijska kruznica.

DEF

2-3

Tangens je funkcija definirana na sljedeci nacin tan t = sin tcos t

, za cos t 6= 0, a kotangens cot t =cos t

sin t, sin t 6= 0.

Formule komplementiranja

Za svako x ∈�

vrijedi:

cos(π

2− x

)= sin x, sin

(π

2− x

) TM

LXII

Dokaz

Ocito za x − 2kπ ∈[0, π

2

], k ∈ � , a u ostatku gledamo samo unutar kvadranta, tj. svodimo na siljasti kut.

Adicijske formule

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α

tan(α ± β) =tanα ± tan β

1 ∓ tan α tan β

cot(α ± β) =cotα cot β ∓ 1

cot β ± cotα

TM

LXIII

Dokaz

Provodi se samo za kosinus za siljaste kuteve sa α > β i to samo za razliku:

A = (cos α, sin α)

B = (cos β, sin β)

|AB|2 = (cosα − cos β)2 + (sin α − sin β)2 = 2(1 − cos α cos β − sin α sin β)

Nakon rotiranja sistema za β u pozitivnom smjeru, A postaje (cos(α − β), sin(α − β)), a B postaje (1, 0).

Tada je |AB|2 =2cos(α − β) + 1 − 2 cos(α − β) +

2

sin(α − β)

2(1 − cos(α − β)) = 2(1− cos α cos β − sin α sin β)

cos(α − β) = cosα cos β − sin α sin β

19 EM2 19

Formule dvostrukog kuta

2

sin(x/2) =1 − cos x

2

2cos(x/2) =

1 + cosx

2

KOR

LXIV

Formule redukcije

cos(π

2+ x

)= − sin x sin

(π

2+ x

)= cos x

KOR

LXV

cos 20◦ 6∈ � .PROP

LXVI

Dokaz

sin (α + β + γ) =?LMA

LXVII

sin (α + β + γ) = sin(α + β) cos γ + cos(α + β) sin γ

= sin α cos β cos γ + cos α sin β cos γ − cos α cosβ sin γ − sin α sin β sin γ.

Za α = β = γ dobivamo:

sin 3α = 3 sinα2cosα −

3

sin α = sin α(32cos α − sin α) = 3 sin α − 4

2

sin α.

U terminima kosinusa, cos 3α = 43cos α − 3 cosα

cos 60◦ = 43cos 20◦ − 3 cos 20◦ ∼ 8x3 − 6x − 1 = 0, D = 36 + 32 = 68,

√D 6∈ � ⇒ x1,2 6∈ �

sin x cos y = 12 (sin(α + β) − sin(α − β)).

PROP

LXVIII

DokazOcito iz adicionih formula.

cos nx =?, sin nx =?.PROP

LXIX

DokazIskoristimo Moivreovu formulu koja kaze da je (cos x + i sin x)

n= cos nx + i sin nx i Newtonov binomni teorem.

(cos x + i sin x)n

=n∑

k=1

ikk

sin xn−kcos x

Rastavimo na realni i imaginarni dio:

cos nx =ncos x −

(n2

) n−2cos x

2

sin x +(n4

) n−4cos x

4

sin x · · ·sin nx =

(n1

) n−1cos x sin x −

(n3

) n−3cos x

3

sin x · · ·

n∑k=0

sin kx =?PROP

LXX

Dokaz

Krenimo od parcijalne sume geometrijskog reda kompleksnih brojeva,n∑

k=0

zk = 1 − zn+1

1−z.

To znaci da je 1 +n∑

k=1

cos kx + in∑

k=1

sin kx = 1−cos(n+1)x−i sin(n+1)x

1−cosx−i sin x

20 EM2 20

1 − cos(n + 1)x = 22

sin(n+1)x

2

sin(n + 1)x = 2 sin(n+1)x

2 cos(n+1)x

2

1 +n∑

k=1

cos kx + in∑

k=1

sin kx =sin (n+1)x

2

sin x2

· sin (n+1)x2 −i cos n+1x

2

sin x2−i cos x

2

=sin (n+1)x

2

sin x2

·(cos nx

2 + i sin nx2

)

Zakljucujemo da jen∑

k=1

sin kx =sin (n+1)x

2 sin nx2

sin x2

.

O sinusima kuteva u trokutu

Stranice u trokutu odnose se kao sinusi tim stranicama nasuprotnih kuteva

a

sin α=

b

sin β=

c

sin γ= 2R,

gdje je R polumjer kruznice opisna trokutu.

TM

LXXI

DokazU trokutu 4ABC gledajmo trokute 4ANCC i 4BNCC, gdje je NC noziste visine iz vrha C.vc = b sinα = a sinβ ⇒ b

sin β= a

sinα⇒ b

sinβ= a

sinα= c

sin γ.

P = cvc

2 = cb sin α2 = abc

4R⇒ sinα

a= 1

2R⇒ a

sinα= 2R.

O kosinusima kuteva u trokutu

Ako su a, b i c duljine stranica u trokutu 4ABC, a α, β i γ kutevi istog, onda je

a2 = b2 + c2 − 2bc sin α

b2 = a2 + c2 − 2ac sin β

c2 = a2 + b2 − 2ab sin γ

TM

LXXII

DokazSa x oznacimo duljinu duzine ANC , gdje je NC noziste visine iz C.Siljasti kut u A: v2

c = b2 − x2 = a−(c − x)2 ⇒ a2 = b2 + c2 − 2cx, x = b sin α ⇒ a2 = b2 + c2 − 2bc cosαPravi kut u A: v2

c = a2 − c2 ⇒ a2 = b2 + c2 = b2 + c2 − 2bc cos π2 = b2 + c2 − 2bc cosα

Tupi kut u A: v2c = b2−x2 = a2−(c+x)2 ⇒ a2 = b2+c2−2cx, x = b cos π − α = −b cosα ⇒ a2 = b2+c2−2bc cosα

Ako realni brojeve a, b, c, α, β, γ ∈�

zadovoljavaju α + β + γ = π, te teorem o sinusima ili teoremo kosinusima, onda oni odredjuju trokut jedinstven do na suklandnost. U slucaju kosinusovog teoremauvjet sume kuteva nije nuzan.

TM

LXXIII

DokazOcito.

21 EM2 21

3. ANALITICKA GEOMETRIJA RAVNINE

3.1. Koordinate vektora u ravnini

DEF

3-1

Kartezijev koordinatni sustav u ravnini, tj. pravokutni koordinatni sustav u ravnini je

uredjeni par(O,

{~i,~j

}), gdje je O ∈ M, a ~i,~j ortonormirana baza od V

2.

DEF

3-2

Afini koordinatni sustav u ravnini, je uredjeni par(O,

{~i,~j

}), gdje je O ∈ M, a~i,~j neka baza

od V2.

DEF

3-3

Koordinatizacija je funkcija koja po koordinatnom sustavu(O,

{~i,~j

})κ : M →

� 2koja T ∈

M 7→ (x, y) ∈� 2

:−→OT = ~rT = x~i + y~j.

DEF

3-4

Za vektor ~a reprezenitran usmjerenom duzinom−−−→A1A2, A1(x1, y1), A2(x2, y2) ∈ M kazemo da su mu

x, y ∈�

pravokutne koodrinate u pravokutnom koordinatnom sustavu(O,

{~i,~j

})ako vrijedi

da je x~i + y~i = (x2 − x1)~i + (y2 − y1)~j.

DEF

3-5Norma vektora je funkcija d : V

2 →�

, koja vektoru ~a ∈ V 2 pridruzuje njegov modul, tj. duljinu.

DEF

3-6Orijentirani trokut je uredjeni par trokuta i jedne relacije uredjaja na skupu njegovih vrhova.

DEF

3-7

Za orijentaciju trokuta ~4ABC kazemo da je pozitivna ako ako je baza{AB, AC

}desna. Ako je

ta baza lijeva, kazemo da je trokut negativno orijentiran.

Povrsina orijentiranog trokuta ~4ABC, pri cemu je κA = (x1, y1), κB = (x2, y2), κC = (x3, y3) dana jeforumulom

P =1

2

∣∣∣∣∣∣

x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣.

Posebno, ako je trokut pozitivno orijentiran, onda je P > 0, a ako je negativno orijentiran, onda jeP < 0.

PROP

LXXIV

Dokaz

Oznacimo ortongonalne projekcije na os x tocaka A, B, C sa A′, B′, C ′. Povrsina trokuta ~4ABC je onda sumapovrsina trapeza A′C ′CA i C ′B′BC umanjena za povrsinu trapeza A′B′BA.

P = 12 ((y3 + y1)(x3 − x1) + (y2 + y3)(x2 − x3) − (y1 + y2)(x2 − x1))

P = 12 (y3x2 − y3x1 + y1x3 − y1x2 + x1y2 − x3y2) = 1

2

∣∣∣∣∣∣

x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣Koristimo sada svojstva determinanti, tj. nepromjenjivost na linearnu kombinaciju, pa oduzmimo prvi red oddrugog i treceg:

P = 12

∣∣∣∣∣∣

x1 y1 1x2 − x1 y2 − y1 0x3 − x1 y2 − y1 0

∣∣∣∣∣∣= 1

2

∣∣∣∣x2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y2 − y1

∣∣∣∣

Posto iz algebre znamo da je pozitivnost dobivene determinante uvjet desnosti baze, a povrsina ima isti predznak,dokazan je i ostatak tvrdnje.

3.2. Jednadzbe pravca u ravnini

22 EM2 22

DEF

3-8Jedandzba je nuzan i dovoljan uvjet na koordinate tocke da ona pripada nekom skupu.

Jednadzba ima smisla samo ako je prethodno definiran koordinatni sustav.Objekt opisan jednadzbom egzistira i bez koordinatnog sustava.

DEF

3-9

Neka su A, B ∈ M proizvoljne tocje pravca p ⊂ M, takve da je A 6= B. Vektor ~s =[−−→AB

]zove se

vektor smjera.

Svaki pravac je jednoznacno odredjen svojom tockom i vektorom smjera.KOR

LXXV

1. Jednadzba pravca p odredjenog tockom T0 ∈ p i vektora smjera ~s.T ∈ p ⇔ −−→

T0T = t~s, za neko t ∈�

⇔ ~rT − ~tT0 = t~s, za neko t ∈�

~r = ~r0 + t~s. Ovo zadjne je vektorskajednadzba pravca. t zovemo parametar.Pravac je jednoparametarska krivulja.

2. Jednadzba pravca p u koordinatnom susatvu.Koordinatno gledano: p . . . T0(x0, y0), ~s = (a, b) = a~i + b~j, a2 + b2 > 0, T (x, y).

{x = x0 + aty = y0 + bt

, t ∈�

Ovo su tzv. parametarske jednadzbe pravca.

3. Jednadzba pravca p u kanonskoj formiEliminiranjem t-a iz parametarskih jednadzbi dobivamo kanonski oblik jednadzbe pravca:

x − x0

a=

y − y0

b

Za a = 0 dobivamo pravac paralelan sa ordinatom x = x0, a za b = 0 dobivamo pravac paralelan sa apscisom,y = y0.

4. Jednadzba pravca odredjenog tockama T1(x1, y1), T2(x2, y2).

Tada vrijedi da je−−→T1T2 vektor smjera od p, sto znaci da je ~s = (x2 − x1, y2 − y1). Iz toga slijedi:

T ∈ p ⇔ x−x1

x2−x1= y−y1

y2−y1

⇔ y − y1 = y2−y1

x2−x1(x − x1), kanonski oblik pravca odredjenog tockama sa koordinatama (x1, y1), (x2, y2).

⇔

∣∣∣∣∣∣

x y 1x1 y1 1x2 y2 1

∣∣∣∣∣∣= 0

5. Jednadzba pravca koja intepretira kut sa apscisom.

DEF

3-10

φ je kut kojeg pravac p zatvara sa pozitivnim dijelom x-osi, tj. najmanji kut za koji treba u poz-itivnom smislu (smjeru) zakrenuti pozitivni dio x osi oko njezinog sjecista sa p tako da se rotiranipolozaj osi x i pravac p podudaraju. Taj kut zovemo kut pravca p prema osi Ox. φ ∈ [0, π〉. Zap ‖ x definiramo da je φ = 0.

k =y2 − y1

x2 − x1= tan φ

DEF

3-11Broj k zovemo koeficijent smjera.

y − y1 = k(x − x1)

Ovo je jednadzba pravca preko koeficijenta smjera i jedne tocke.

23 EM2 23

6. Eksplicitna jednadzba pravcaGledamo sjeciste pravca p i osi Oy, tocku L(0, l). l zovemo odsjecak pravca p nna osi Oy.

y = kx + l

Ta jednadzba se zove eksplicitna jednadzba pravca.

7. Pravac zadan odsjeccima na koordinatne osi.Sjecista sa koordinatnim osima M(m, 0) i N(0, n), m, n 6= 0.y = n

−m(x − m)

xm

+ yn

= 1segmentni oblik jednadzbe pravca.

8. Implicitni oblik jednadzbe pravca

Ax + By + C = 0, A2 + B2 > 0

9. ~n = A~i + B~j je vektor normale pravca p.Tada je T ∈ p ⇔ −−→

T0T ⊥ ~n ⇔ −−→T0T · ~n = 0 ⇔ (x − x0)A + (y − y0)B = 0

Ax + By − Ax0 − By0 = 0

jednadzba pravca zadanog tockom i vektorom normale

10. Karakterizacija pravca kao geometrijsko mjesto tocaka ravnine cija je udaljenost od tog pravca jednaka 0.Pravac p sijece os Ox u tocki P i os Oy u tocki Q. Gledamo tocku T0 = (x0, y0) koja ima radijvektor ~rT0 ,te jedinicni vektor normale na pravac p, ~n0. Neka je δ = d(O, p), a d duljina duzine na pravcu odredjenomvektorom ~n0 sa krajevima u ortogonalnoj projekciji T0 na taj pravac, N i u sjecistu sa pravcem p, M . d imapozitivan predznak ako je sa razlicite strane pravca, a negativan ako je sa iste strane. φ := �POMIz pravokutnih trokuta 4OPM i 4OMQ dobivamo segmentni oblik, te iz toga dolazimo do jednakosti:

x cos φ + y sin φ − δ = 0,

tzv. normalni ili Hesseov oblik jednadzbe pravca.Posto implicitna i normalna jednadzba opisuju isti objekt u istom koordinatnom sustavu, onda postoji λ ∈

�

takav da je λAx + λBy + λC = x cos φ + y sin φ − δ = 0, sto daje λA = cos φ i λB = sin φ. To je kvadrirano izbrojeno λ2(A2 + B2) = 1 ⇒ λ = ± 1√

A2+B2. Takodjer vrijedi da je sig λ = −sig C, pa je λ = 1

−sig C√

A2+B2.

Uvrstimo li to u jednadzbu, dobivamo:

Ax + By + C

−sig C√

A2 + B2= 0

Sada gledamo udaljenost do T0. Gledajmo skalarni produkt ~n0 · ~rT0 = |n0||rT0 | cos(�~n0, ~rT0) =|~rT0 | cos(�~n0, ~rT0) = δ + d (zbog pravokutnog trokuta i ranijih definicija).~n0 = (cos φ, sin φ), ~rT0 = (x0, y0) ⇒ ~n0 · ~tT0 = x0 cos φ + y0 sin φ = δ + dZakljucujemo:

d =Ax0 + By0 + C

−sig C√

A2 + B2

3.3. Kut izmedju 2 pravca

DEF

3-12

Pod kutom φ uredjenog para pravaca φ := �(p1, p2) pravaca koji se sijeku podrazumijevamo najmanjikut za kojeg treba zarotirati u pozitivnom smislu pravac p1 oko njihovog sejcista tako da on padnena p2. φin [0, π〉

tan φ = tan(α1 − α2)Ako je za p1 x = k1x + l, a za p2 x = k2x + l, tj. tanφ = k2−k1

1+k1k2.

Karakterizacija paralelnosti i okomitosti: p1 ‖ p2 ⇔ k1 = k2, p1 ⊥ p2 ⇔ k1k2 = −1

24 EM2 24

4. KRIVULJE 2. REDA

4.1. Kruznica

Neka je S ∈ M, a r ∈� +

. Gledamo kruznicu k(S, r) = {T ∈ M : d(T, S) = r}. Ako tocka S u nekompravokutnom koordinatnom sustavu ima koordinate (p, q), a tocka T koordinate (x, y), tada vrijedi da je

T ∈ k(S, r) ⇔√

(x − p)2 + (y − q)2 = r ⇔ r2 = (x − p)2 + (y − q)2

. Ovo je jednadzba kruznice.Posebno, ako je S = O, onda je jednadzba te kruznice x2 + y2 = r2. Tu kruznicu zovemo sredisnja kruznica.Izrazimo jednadzbu kruznice na drugaciji nacin: x2 + y2 − 2px − 2qy + p2 + q2 − r2 = 0. Ocito je da za bilokoji faktor A 6= 0, ova jednadzba pomnozena sa A opisuje isti skup, znaci, opcenitiji izraz jednadzbe kruzniceje Ax2 + Ay2 − 2pAx − 2qAy + Ap2 + Aq2 − Ar2 = 0.Namece se pitanje je li opcenita jednadzba oblika A(x2+y2)+Bx+Cy+D = 0 jednadzba kruznice za proizvoljneA, B, C, D ∈

�. Ocito je da mora biti A 6= 0. Podijelimo li jednadzbu sa A, dobivamo (x2+y2)− B

Ax+ C

Ay+ D

A=

0 ⇒(x + B

2A

)2+

(y + C

2A

)2= B2

4A2 + C2

4A2 − DA

⇔(x + B

2A

)2+ (y + )

2= B2+C2−4AD

4A2 . Iz ovoga zakljucujemo da

je to jednadzba kruznice ako i samo ako je B2 + C2 − 4AD > 0, a r = 12

√B+C2 − 4AD.

Znamo da se svaka kruznica moze jedinstveno zadati sa tri svoje razlicite tocke, Ti(xi, yi), i = 1, 2, 3. Posto suto tocke krunice, za njih vrijedi jednadzba kruznice, tj. A

(x2

i + y2i

)+ Bxi + Cyi + D = 0, i = 1, 2, 3. Takodjer,

opcenita tocka kruznice odgovara toj jednadzbi, pa je A(x2 + y2) + Bx + Cy + D = 0. Dobivamo homogenisustav koji ima netrivijalna rjesenja ako i samo ako je determinanta sustava jednaka 0, pa iz toga dobivamojednadzbu kruznice zadane sa tri tocke:

∣∣∣∣∣∣∣

x21 + y2

1 x1 y1 1x2

2 + y22 x2 y2 1

x23 + y2

3 x3 y3 1x2 + y2 x y 1

∣∣∣∣∣∣∣= 0

Odnos pravca p . . . y = kx + l i kruznice k(S, r) . . . (x − p)2 + (y − q)2 = r2, S(p, q). Imamo tri mogucnosti, daje udaljenost pravca od sredista veca od r, manja od r ili jednaka r.

Gledamo udaljenost pravca od sredista d(S, p) = kp−q+l

−sig (l)√

k2+1, kvadrirano to je (kp−q+l)2

k2+1

<=>

r2. Iz toga dobivamo

uvjet dodira pravca i kruznice (kp − q + l)2 = r2(k2 + 1).

Jednadzba tangente u tocki dodira je (x0 − p)(x − x0) + (y0 − q)(y − y0) = 0, osim u rubovima, gdje jex = p ± r.

PROP

LXXVI

DokazSituacija u rubovima je trivijalna.Tangenta je okomita na radijus, a koeficijent smjera pravca kroz srediste kruznice i tocku (x0, y0) na njoj jek′ = y0−q

x0−p, pa je koeficijent smjera jednak k = −x0−p

y0−q. Tada je jednadzba tangente y− y0 = −x0−p

y0−p(x−x0), sto

je ekvivalentno jednadzbi (x0 − p)(x − x0) + (y0 − q)(y − y0) = 0.

4.2. Elipsa

DEF

4-1

Neka su F1 i F2 dvije razlicite cvrste tocke ravnine M i neka je udaljenost |F1F2| = 2e, te neka jea > e realni broj. Elipsa je skup svih tocka ravnine za koje je zbroj udaljenosti od tocaka F1 i F2

konstantan i jednak 2a.E = {T ∈ M : |TF1| + |TF2| = 2a}

Tocke F1 i F2 zovemo fokusi ili zarista elipse.

25 EM2 25

Neka nam je dana elipsa i njezini fokusi F1 i F2. Odredimo koordinatni sustav tako da je pravac F1F2 x os, ay os okomica kroz poloviste duzine F1F2. Tada fokusi imaju koordinate κF1 = (−e, 0), κF2 = (e, 0). Tocke izpresjeka x osi i elipse nazovimo A i B. One imaju koordinate κA = (−a, 0), κB = (a, 0). Duzina AB naziva sevelika os elipse. e nazivamo linearni ekscentricitet. ε := e

aje numericki ekscentricitet elipse.

Trazimo jednadzbu elipse:

Jednadzba elipse je T ∈ E ⇒ |TF1| + |TF2| = 2a.PROP

LXXVII

r1 := |TF1| =√

(x + e)2 + y2

r2 := |TF2| =√

(x − e)2 + y2

Iz definicije elipse vrijedi r1 + r2 = 2a. Pomnozimo ovu jednakost sa (r1 − r2).r21 − r2

2 = 2a(r1 − r2) ⇒ (x + e)2 + y2 − (x − e)2 − y2 = 2a(r1 − r2) ⇒ 4ex = 2a(r1 − r2) ⇒ r1 − r2 = 2exa

.

Zbrojimo zadnju jednadzbu i definicijsku jednakost, pa dobivamo 2r1 = 2a + 2exa

⇒√

(x + e)2 + y2 = a + exa

.

Kvadrirano dobivamo (x + e)2 + y2 = a2 + 2ex + e2x2

a2 ⇒(1 − e2

a2 x2 + y2 = a2 − e2)⇒ a2−e2

a2 x2 + y2 = a2 − e2.

Definiramo b2 := a2 − e2 > 0b2

a2 x2 + y2 = b2 ⇒ x2

a2 + y2

b2= 1

Pretpostavimo da tocka zadovoljava ovu jednakost. Dokazimo da je ona na elipsi.

r1 := |TF1| =√

(x + e)2 + y2 =√

(x + e)2 + a2 − e2 − a2−e2

a2 x2 =√

2ex + a2 + e2

a2 x2 =

√(eax + a

)2=∣∣ e

ax + a

∣∣.y2 = a2 − e2 − a2−e2

a2 x2 ≥ 0 ⇔ |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a ⇔ 0 < a − e ≤ eax + a ≤ e + a

r2 := |TF2| = . . . = a − eax

r1 + r2 = 2a.Time je zadovoljena ekvivalencija.

Uvjet dodira elipse i pravca y = kx + l je

a2k2 + b2 = l2PROP

LXXVIII

Za rubne slucajeve vrijedi da je tangenta pravac x = ±a. Dokazb2x2 + a2(kx + l)2 = a2b2 ⇒ (b2 + a2k2)x2 + 2kla2x + a2(l2 − b2) = 0. Ova jedndazba ima jedinstveno rjesenjekada joj je diskriminanta jednaka 0.(2kla)2 − 4(b2 + a2k2)a2(l2 − b2) = 0 ⇔ 4(b2a2l2 − a2b4 − a4k2b2) = 0 ⇔ a2k2 + b2 = l2

x0xa2 + y0y

b2= 1 je tangenta na elipsu kroz diraliste (x0, y0).

PROP

LXXIX

DokazOva jednadzba pravca opisuje tangentu ako i samo ako zadovoljava uvjet dodira. Preformulirana u eksplicitni

oblik, ona glasi y = −b2

a2x0

y0x + b2

y0. Tada je k = −b2

a2x0

y0, a l = b2

y0.

Racunamo vrijednost a2k2 + b2 − l2 = a2 b4

a4

x20

y20

+ b2 − b4

y20

= b2

a2y20

(b2x2

0 + a2y20 − a2b2

)= 0

Uvjet dodira je zadovoljen, pa je taj pravac tangenta.

DEF

4-2

Za tocku T kazemo da je unutrasnja tocka elipse E ako svaki pravac kroz T sijece E u dvijerazlicite tocke.

Zrcalno svojstvo elipse

Simetrala vanjskog kuta radijvektora iz fokusa na tocku elipse koja nije kolinearna sa F1F2 je tangentana elipsu.

TM

LXXX

DokazNeka je D ∈ E proizvooljna tocka, D 6∈ F1F2 i neka je t simetrala vanjskog kuta radijvektora F1D, F2D. Zelimodokazati da je t tangenta na elipsu.Posto je D ∈ E i D ∈ t, treba pokazati da ∀D′ ∈ t, D′ 6= D ⇒ D′ 6∈ E. Oznacimo sa F ′

1 tocku na polupravcuF2D takvu da je |F1D| = |F ′

1D|. Iz definicije elipse slijedi da je |F ′1F2| = 2a.

26 EM2 26

Uzmimo sada proizvoljnu tocku D′ ∈ t, D′ 6= D. |F1D′| + |F2D

′| = |F ′1D

′| + |F2D′| > 2a zbog nejednakosti

trokuta. Time D′ 6∈ E.

Normala na tangentu kroz diraliste D je simetrala unutrasnjeg kuta trokuta 4F1DF2.KOR

LXXXI

4.3. Hiperbola

DEF

4-3

Neka su F1 i F2 dvije razlicite tocke u ravnini takve da je |F1F2| = 2e ∈ 〈0, +∞〉, te neka je a ∈�

takav da je 0 < a < e. Hiperbola je skup svih tocaka ravnine kojima je apsolutna vrijednost razlikeudaljenosti od tih tocaka konstantna i jednaka 2a. Dakle, H = {T ∈ M : ||F1T | − |F2T || = 2a}.Tocke F1, F2 zovu se zarista ili fokusi hiperbole.

Slazemo koordinatni sustav da jednadzba bude najjendnostavnija. Os x postavimo kao pravac F1F2, te ishodistestavimo na poloiste duzine F1F2, tako da tocke F1 i F2 imaju kordinate (−e, 0), odnosno (e, 0). Sjecista hiperbolesa x osi oznacimo sa A(−a, 0),B(a, 0).

T (x, y) ∈ H ⇔ b2x2 − a2y2 = a2b2,

gdje je b2 = e2 − a2.

PROP

LXXXII

DokazNazovimo udaljenosti |F1T | = r1, |F2T | = r2. Znamo da je onda r1 =

√(x + e)2 + y2, a r2 =

√(x + e)2 + y2,

te, iz definicije hiperbole, znamo da je |r1 − r2| = 2a, tj. r1 − r2 = ±2a.(r1 − r2)(r1 + r2) = (±2a)(r1 + r2)± 2xe

a= r1 + r2

r1 + r2 + r1 − r2 = ±2(

xea

+ a)

r1 = ±(

xea

+ a)

Kvadriramo li taj izraz i uvrstimo r1, dobivamo: (x + e)2 + y2 = x2e2

a2 + a2 + 2xe

x2 + e2 + y2 = e2

a2 x2 + a2

x2(1 − e2

a2

)+ y2 = a2 − e2

−x2 b2

a2 + y2 = −b2

x2b2 − y2a2 = a2b2

Kanonski oblik jednadzbe hiperbole:x2

a2− y2

b2= 1

Trazimo nuzne i dovoljne uvjete da pravac bude tangenta hiperbola.

Gledmo hiperbolu H . . . x2

a2 − y2

b2= 1 i pravac p . . . y = kx + l ili x = c.

Uvjet na pravac y = kx + l da sa hiperbolom ima zajednicku samo jednu tocku je a2k2 − b2 = l2.PROP

LXXXIII

Dokazy = kx + l, b2x2 − a2y2 = a2b2

y2 = k2x2 + l2 + 2klxb2x2 − a2k2x2 − a2l2 − 2klxa2 − a2b2 = 0(b2 − a2k2

)x2 +

(−2kla2

)x + (−1)

(a2b2 + a2l2

)= 0

D = 0 = 4k2l2a4 + 4(b2 − a2k2

) (a2b2 + a2l2

)

4k2l2a4 + 4a2b4 + 4a2b2l2 − 4a4k2b2 − 4k2l2a4 = 04a2b2

(b2 + l2 − a2k2

)= 0

b2 + l2 = a2k2 ⇔ a2k2 − b2 = l2

Jednadzba tangente kroz diraliste (x0, y0) je b2x0x − a2y0y = a2b2.PROP

LXXXIV

Dokaz

27 EM2 27

Pravac je tangenta ako i samo ako zadovoljava uvjet dodira, pa provjerimo zadovvoljava li gornja jednadzbapravca uvjet dodira.

b2x0x − a2y0y = a2b2 ⇒ y = b2x0

a2y0x − b2

y0

k = b2x0

a2y0, l = − b2

y0

a2k2 − b2 − l2 =b4x2

0

a2y20− b2 − b4

y20

= b2

a2y20

(b2x2

0 − a2y20 − 1

)= 0

Zakljucujemo da pravac zadovoljava uvjet dodira, pa je tangenta.

Tangenta hiperbole je simetrala unutarnjeg kuta izmedju radijvektora diralista iz fokusa.TM

LXXXV

DokazNa hiperboli H uzmimo tocku T , te oko udaljenijeg fokusa (BSO mozemo pretpostaviti da je to F1) promatramokruznicu K := k(F1, 2a). Oznacimo jos i tocke S, sjeciste pravca F1T sa kruznicom K koje se nalazi izmedjutih tocaka.Iz definicije hiperbole slijedi da je trokut 4SF2T jednakokracan. Promatrajmo pravac p na kojemu lezi visinatog trokuta. Taj je pravac ujedno i simetrala tog trokuta, a time i kuta �F1TF2. Ono sto zelimo dokazati jestda je taj pravac tangenta na hiperbolu.Iz definicije p znamo da ima barem jednu tocku zajednicku sa H , tocku T . Tvrdimo da je p ∩ H\ {T} = ∅.Uzmimo proizvoljnu tocku T ′ ∈ p, T 6= T ′.Iz definicije hiperbole znamo da je trokut ciji su vrhovi tocka hiperbole, blizi fokus i sjeciste spojnice sa daljimfokusom i kruznicom oko njega radijusa 2a jednakokracan, jer kada se udaljenost do daljeg fokusa umanji zaudaljenost do blizeg, dobijemo 2a, sto je definicija hiperbole.

Oznacimo sa S′ sjeciste spojnice F1T sa K. Ocito je S′ 6= S, a trivijalno je i da je |S ′T ′| < |ST ′|, pa je zato|S′T ′| 6= |F2T |, tj. T nije na hiperboli.

DEF

4-4

Asimptotom hiperbole zovemo granicni polozaj tangente kada se njezino diraliste po beskonacnojgrani hiperbole “giba” prema neizmjernost.

BSO gledamo samo 1. kvadrant koordinatnog sustava.

Tangenta u eksplicitnom obliku je y = b2x1

a2y1x − b2

y1, sto znaci da je k = b2x1

a2y1= b2x1

a2 ba

√x21−a2

= b

a

√1− a2

x21

.

limx1→+∞

= ba. Za l = − b2

y1= − ab√

x21−a2

. U limesu limx1→+∞

l = 0. Jednadzba asimptote u 1. (i 3., jer se predznaci

pokrate ) kvadrantu je y = bax. U 2. i 4. kvadrantu jednadzba asimptote je y = − b

ax.

DEF

4-5

Drugi nacin defniranja asmiptote

Asimptota hiperbole je pravac kojemu se hiperbola priblizava kada se tocka po njezinojbeskonacnoj grani “giba” prema neizmjernosti.

Ocito je da su te definicije ekvivalentne.

4.4. Parabola

DEF

4-6

Neka je d ⊂ M pravac, i F ∈ M, f 6∈ d. Skup svih tocaka te ravnine M cija je udaljenost od pravcad jednaka udaljensti od tocke F zovemo parabola. Dakle:

P = {T ∈ M : d(T, d) = d(T, F )} .

Pravac d zovemo direktrisa ili ravnalica, a F fokus ili zariste parabole.

Oznacimo noizste okomice na d kroz F sa N . Koordinatni sustav gradimo tako da za x os uzmemo pravac NF ,a ishodiste postavimo u sjecistu x osi sa parabolom, u tocki O, tjemenu parabole. Udaljenost p := |NF |zovemo poluparametar parabole.

Jednadzba parabole je izraz:

y2 = 2pxPROP

LXXXVI

28 EM2 28

Dokaz|TF | = |TN |, N ∈ d, ∀X ∈ d|TX | ≥ |TN |κF = (p

2 , 0)κT = (xT , yT ), κN = (− p

2 , yT )√(x − p

2 )2 + y2T = xT + p

2

x2T + p2

4 − px + y2T = x2

T + p2

4 + pxy2

T = 2pxT

Sada provjerimo je li taj izraz dovoljan uvjet na tocku da bude na paraboli.y2

T = 2pxT

|TF | =

√(xT − p

2

)2+ y2

T =√

x2T + p2

4 − pxT + 2pxT =√

x2T + p2

4 + px = x + p2

d(T, d) = x + p2 = |TF |

Uvjet dodira pravca i parabole je izraz p = 2kl.PROP

LXXXVII

Dokazy = kx + l, y2 = k2x2 + l2 + 2klxy2 = 2pxk2x2 + l2 + 2klx − 2px = 0k2x2 + (2kl − 2p)x + l2 = 0

x1,2 = 2p−2kl±√

D2k2

Ako zelimo jedinstveno rjesenje, onda je D = 4k2l2 + 4p2 − 8klp− 4k2l2 = 0.4k2l2 − 4k2l2 + 4p2 − 8kl = 4p(p − 2kl) = 0p 6= 0 ⇒ p − 2kl = 0 ⇒ p = 2kl

Jednadzba tangente na parabolu kroz diraliste (x0, y0) jest izraz yy1 = p(x + x1).PROP

LXXXVIII

DokazIz prethodne propozicije iskoristimo rjesenje kvadratne jednadzbe za x0 = p−kl

k2 , te ga uvrstimo u jednadzbupravca y = kx + l. Dobivamo da je y0 = p

k, tj k = p

y0, a iz uvjeta dodira dobivamo p = 2 p

y0l, tj l = y0

2 = y0

y20

px0

=

x0py0

.

y = py0

x + x0py0

⇒ y0y = p(x + x0)