Elemente de StatisticaStatistica este disciplina care se ocupa
cu culegerea,inregistrarea,gruparea,analiza si interpretarea
datelor referitoare la un anumit fenomen precum si cu formularea
unor previziuni privind comportarea viitoare a acestuia.Activitatea
de culegere si inregistrare a datelor referitoare la un fenomen
face obiectul statisticii descriptive sau statisticii
formale.Activitatea de grupare,de analiza si de interpretare a
datelor precum si formularea unor previziuni priviind comportarea
viitoare a unui fenomen reprezinta obiectul statisticii
matematice.Elemente de limbaj in statistica.Date
StatisticeDefinitii1Multimea pe care se realizeaza un studiu
statistic se numeste populatie statistica.2Elementele componente
ale unei poulatii statistice se numesc unitati statistice sau
indivizi.3Numarul total de unitati statistice se numeste efectivul
total al populatiei statistice.4O parte a populatiei statistice
aleasa special pentru a fi studiata se numeste
esantion.5Proprietatea sau indicatorul in functie de care se
cerceteaza o populatie statistica se numeste caracteristica sau
variabila statistica.O caracteristica se numeste caracteristica
calitativa daca nu poate fi masurata(valoarea ei nu se exprima
numeric).Ex: media generala,calificativul,profesia O caracteristica
cantitativa se numeste discontinua sau discreta daca nu poate lua
decat valori numerice izolate.O caracteristica cantitativa care
poate lua orice valoare dintr-un interval de lungime finita sau
infinita se numeste caracteristica cantitativa continua.Intervalel
in care o caracteristica ia valori se numesc grupe sau clase de
valori.Ex: a)Nota la teza.media generala sunt caracteristici
cantitative discrete. b)Inaltimea este o caracteristica in functie
de care poate fi studiat un grup.Culegerea,Inregistararea si
Clasificarea Datelor StatisticeSa consideram studiul efectuat
asupra unui grup de sportivi dupa inaltime (exprimata in
centimetri).Rezultatele masuratorii sunt inregistrate in ordinea in
care a decurs masuratoare si sunt asezate in urmatorul
tabel:165168177195172198196190201168172168168196173199182195196196185205184192178165174182177172196192188195175192175184192170184205190200188176184174188170170180184199192184170175184188165168177195172198196190201168172168168196173199182195196196185205184192178165174182177172196192188195175192175184192170184205190200188176184174188170170180184199192184170175184188
Sub aceasta forma datele inregistrate sunt greu de analizat.De
aceea este necesara o alta grupare sau clasificare a datelor.De
exemplu,sa asezam aceaste date in ordinea crescatoare a inaltimi
sportivilor consemnand cati sportivi au o anumit inaltime.Se obtine
urmatorul tabel:cmNr.sportivicmNr.
sportivicmNr.sportivicmNr.sportivicmNr.sportivi165217411801190219921684175318221925200117041761184719532011172317721851196520521731178218841981--Cu
ajutorul acestei clasificari a datelor se pot obtine niste
concluzii mai rapide privind particularitatile acestui
grup.Rezultatele analizei statistice pot fi obtinute uneori mai
usor daca se practica o alta grupare a datelor statistice.De
exemplu se poate face o grupare a valorilor caracteristicii
studiate in clase de valori:Clase de
valoriNr.Sportivi[165,170)6[170,175)6[175,180)8[180,185)10[185,190)5[190,195)7[195,200)11[200,205)4
Cu ajutorul acestui tabel de date se pot obtine cu usurinta
diferite informatii despre grupul de studiu,ca de exemplu:-sunt 60
de sportivi-cei mai multi sportivi au inaltimea in clasa de valori
[195,200),urmand cei cu inaltimea in clasa de valori [180,185)
etc.-9 sportivi au inaltimea in clasa de valori [170,175)si
reprezinta 15% din efectivul populatiei statistice;-exista 45 de
sportivi cu inaltimea sub 95 cm etc.Valoarea absoluta a diferentei
extremitatilor unei clase de valori se numeste amplitudinea
clasei.Serii Statistice.Frecvente1Multimea tututor perechilor
(xi,ni),1 i p formeaza o serie statistica cu o singura
variabila.2Numarul ni de unitati statistice corespunzatoare valorii
xi a caracteristicii sau a unei clase de valori se numeste
frecventa absoluta a valorii xi,respectiv frecventa absoluta a
clasei de valori considerate.Rezulta ca Modul de prezentare a unei
serii statistice cu o variabila statistica este sub forma unui
tabel orizontal sau vertical care cuprinde valorile variabilei
statistice sau clasele de valori si frecvntele absolute
corespunzatoare:Valorile caracteristicex1 x2.....xpFrecventa
absolutan1 n2 ....npClase de valori[x1,x2)...[xp-1,xp)Frecventa
absolutan1.....................npSe spune ca aceste tabele definesc
distributia sau repartitia statistica a variabilei
statistice.Frecventa absoluta cumulata crescatoare a valorii x a
variabilei statistice este suma tutuoro frecventelor absolute ale
valorilor variabilei care apar pana la xi inclusiv.Se noteaza
Frecventa absoluta cumulata descrescatoare a valorii xi a
variabilei statisticei este suma tuturor frecventelor absolute ale
valorilor variabilei care apar la xi inclusiv.Se noteaza Raportul
dintre frecventa absoluta a unei valori xi sau a unei clase de
valori statistice si efectivul total al populatiei se numeste
frecventa relativa a clasei de valori.Se noteaza Se numeste
frecventa relativa cumulata crescatoare a valorii xi a variabilei
statistice , suma tuturor frecventelor relative a valorilor care
apar pana la xi inclusiv. Se noteaza Se numeste frecventa relativa
cumulata descrescatoare a valorii xi a variabilei statistice , suma
tuturor frecventelor relative ale vlorilor care apar la xi
inclusiv.Se noteaza Analog se definesc frecventele relative
cumulate ale claselor de valori.Reprezentarea Grafica a Datelor
StatisticeO modalitatea de realizare a analizei si interpretarii
datelor statistice o constituie reprezentarea grafica a acestora
,reprezentare care permite vizualizarea datelor statistice in
scopul formarii unei imagini intuitive si imediate asupra
fenomenului studiat.1Graficul unei serii statistice se numeste
diagrama structurala.1.Reprezentarea grafica folosind diagrama
circularaCercul de structura sau diagrama circulara este un cerc a
carui arie reprezinta efectivul total al populatiei statistice
(100%).Valorile variabilei se reprezinta prin sectoare de cerc ale
caror arii sunt proportionale cu frecventele relative ale valorilor
variabilei.Cu ajutorul regultii de trei simpla se determina masura
unghiului la centru corespunzator fiecarei frecvente. Ex: Structura
veniturilor banesti (in lei) din bugetul personal al unui student
pe o luna se afla in urmatorul tabel de date:VenituriBursa de
studiuDonatiiActivitati suplimentareVanzari de bunuriFrecventa
absoluta2 400 0001 200 0002 100 000300 000Frecventa
relativa40%20%35%6%Cu regula de trei simpla se obtine urmatoarea
corespondenta intre frecventa relativa fi si masura unghiului la
centru corespunzator:fi40%20%35%5%n1447212618Diagrama circulara
asociata serii statistice cu variabila calitativa este redata de
fi.2.Reprezentarea grafica folosind dreptunghiul de structuraPentru
desenarea dreptunghiului de structura se considera un reper
cartezian in plan.Axa verticala va fi axa frecventelor relative fi
ale valorilor xi ale variabilei statistice.Cu baza pe axa verticala
se deseneaza un dreptunghi cu inaltimea de 100 de unitati.Se
divizeaza dreptunghiul pe linii orizontale obtinand dreptunghiuri
cu ariile proportionale cu frecventele fi.Ex: Pentru seria
statistica cu variabila calitativa din tabelul anterior se obtine
dreptunghiul de structura din figura urmatoare : . 3.Reprezentarea
grafica prin batoaneDiagrama structurala cu ajutoarul batoanelor se
obtine astfel:2se alege un reper cartezian in plan3pe axa
orizontala se reprezinta valorile xi ale variabilei statistice4pe
axa verticala se reprezinta frecventele absolute ni sau frecventele
relative fi corespunzatoare valorilor xi 1ip5segmentul cu
extremitatile in punctele cu coordonatele (xi,0), (xi, ni)
respectiv (xi, fi) reprezinta batonul corespunzator valorii xi.Ex;
Se considera seria statistica reprezentand distributia unui
esantion de 120 de tineri in functie de numarul de carti
imprumutate de la bibleoteca intr-un semestru.Numar
carti012345678Numar elevi2810182025225104.Reprezentarea grafica
prin coloane sau benziAcest tip de reprezentare grafica foloseste
dreptunghiuri cu latimi egale si lungimile proportionale cu
frecventele absolute sau cu frecventele relative ale valorilor
variabilei statisticei.Daca dreptunghiurile sunt asezate
vertical,reprezentarea grafica se numeste diagrama prin coloane,
iar daca sunt asezate orizontal reprezentarea grafica se numeste
diagrama prin benzi.Ex: Repartitia numarului de ore de emisie de
radio (mii ore program) in perioada 1998-2003
este:Anii199819992000200120022003Numar ore525864607075 5.Poligonul
frecventelorO modalitate de vizualizare a datelot unei
seriistatistice este poligonul frecventelor care permite
reprezentarea grafica sub forma unei curbe.Fie seria statistica cu
telor absolute se unesc printr-o linie poligonala de coordonate ,
.Daca se unesc punctele de coordonate se obtine poligonul
frecventelor relative.6.HistogramaSe considera o serie statistica
cu variabila cantitativa continua si clasele de valori de
amplitudini egale:distributia unui grup de tineri dupa inaltimea
exprimata in centimetri:InaltimeNumar tineriFrecventa absoluta
cumulata crescatoareFrecventa absoluta cumulata descrescatoare[155,
160)5563[160, 165)121758[165, 170)153246[170, 175)205231[175,
180)86011[180, 185)3633Interpretarea Datelor Statistice Prin
Parametri de Pozitie Analiza si interpretarea datelor statistice
legate de un studiu statistic s-a realizat pana la acest moment cu
ajutorul frecventelor si a graficelor statistice. Pentru o serie
statistica este interesant de gasit acea marime care survine cel
mai des , acea marime este cea mai reprezentativa pentru toata
seria. O astefle de marime se numeste indicator sau parametru de
pozitie deoarece arata pozitia elementelor principale ale seriei in
cadrul acesteia. Reprezentivitatea unor astfel de marimi este data
de gradul de concentrare a datelor statistice in jurul
lor.1.Valoarea medie a unei serii statisticeFie seris statistica
asociata unui studiu statistic asupra unei populatii statistixce
din efectivul N, cu variabila cantitativa.Se numeste valoare medie
sau media variabilei statistice X , media aritmetica a tuturor
valorilor variabilei statistice calculata pentru toate unitatile
populatiei statistice.Se noteaza2.Mediana seriei statisticeordonata
Mediana unei serii statistice ordonate este valoarea Me care
imparte sirul ordonat al valorilor variabile in doua parti,fiecare
parte continand acelasi numar de valori.*Mediana unei serii
statistice cu variabila cantitativa discreta se obtine astfel: -se
aseaza cele N valori ale variabilei in ordine crescatoare sau
descrescatoare -daca N este numar impar, atunci -daca N este par
N=2k, atunci Clasa de valori in seria frecventelor absloute
cumulate careia ii corespunde cel putin jumateate din efectivul
total al populatiei se numeste clasa mediana.Mediana unei serii
statistice cu variabila cantitativa de tip continuu se calculaeaza
cu formula Unde: L=limita inferioara a clasei mediane CM=cota
medianei Ni-1=frecventa absoluta cumulata crescatoare pana la clasa
mediana ni=frecventa absoluta corespunzatoare clasei mediane
k=amplitudinea clasei mediane 3.Modulul unei serii statistice In
multe activitati economico-sociale prezinta interes acele aspecte
care survin cel mai frecvent in derularea lor. De exemplu
compararea numarului de apeluri telefonice pe intervale mici de
timp da posibilitatea determinarii perioadei din zi cand o centrala
telefonica este cel mai mult solicitata si, in conseciinta , da
posibilitatea determinarii capacitatii optime a centralei. Astfel
de probleme se rezolva folosind parametru statistic de pozitie
numit modul sau dominanta.Definitie!Modulul sau dominanta unei
serii reprezinta valoarea unei clase de valori a variabilei care
corespunde celui mai mare efectiv si se noteaza Mo.*Pentru
determinarea unei valori mai exacte a modulului unei serii
statistice cu date grupate in clase de valori , vom face o analiza
pe o secventa a diagramei structurale a acesteia care sa contina si
valorile din clasa modala [1, L).Fie cazul seriei statistice in
care clasa de valori anterioare clasei modale are frecventa mai
mica decat frecventa clasei de valori care urmeaza clasei
modale.Notam: D1=diferenta dintre frecventa clasei modale si cea a
clasei anterioare ei. D2=diferenta dintre frecventa clasei modale
si cea a clasei urmatoare. K=amplitudinea clasei modale k=L-1Se
obtine :4.Dispersia.Abaterea medie patratica Sa consideram
urmatoarele seturi de date: {1,2,3,4,5} si {2,40;2,50 ;2,60 ;2,80
;5} Se constata ca ambele siruri de date au valoarea medie egala cu
3 , sunt distincte , iar datele primului sir sunt raspandite in
raport cu media fata de cele a setului al doilea. Pentru a masura
gradul de impartasire a datelor unei serii statistice fata de medie
se folosesc urmatorii parametri de pozitie: dispersia si abaterea
medie patratica.Definitie! *Fiind data seria statistica dispersia
valorilor este media aritmetica ponderata a patratelor abatarilor
de la medie ale valorilor variabilei.Se noteazaIn cazul datelor
grupate in clase de valori , se considera abaterile centrelor
claselor de valori de la medie.Definitie! *Fiind data seria
statistica se numeste abatere medie patratica a valorilor
variabilei numarul unde este dispersia serie.Se noteaza Abaterea
medie patratica da posibilitatea caracterizarii dispersiei
valorilor variabilei statistice.Astfel, o serie care este putin
dispersata , adica prezinta valori ce sunt strans grupate in jurul
valorii medii, conduce la o medie patratica micaDefinitie! Raportul
dintre abaterea medie patratica si valoarea medie a unei serii
statistice se numeste coeficient de variatie
