ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA - …dismac.dii.unipg.it/.../disegno/_3_ElementiDiGeometriaDescrittiva.pdf · Cenni storici: l’Ottica di Euclide Il primo tentativo di formalizzare

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ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA

Appunti di Disegno Tecnico Industriale 45

Il problema della rappresentazione

Il problema fondamentale della rappresentazione è quello di riprodurre, in un ambiente bidimensionale (foglio da disegno) degli oggetti tridimensionali. Il disegno dunque, inteso come rappresentazione di uno o più oggetti, consiste in una trasformazione 3D -> 2D.

3D2D

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Definizioni e proposizioni fondamentali

Introduciamo alcuni concetti fondamentali della geometria proiettiva, che è alla base della scienza della rappresentazione.

Proposizioni fondamentali

Due punti individuano una retta a cui essi appartengono

Due piani individuano una retta a cui essi appartengono

Tre punti, non appartenenti ad una stessa retta, individuano un piano a cui essi appartengono

Tre piani, non appartenenti ad una stessa retta, individuano un punto a cui essi appartengono

Un punto ed una retta che non si appartengono, individuano un piano a cui essi appartengono

Una retta ed un piano che non si appartengono individuano un punto cui essi appartengono

Definizioni

Il punto, la retta ed il piano si dicono elementi fondamentali

Un insieme di punti, rette, piani dicesi figura o forma geometrica

Si dice che due elementi si appartengonoquando uno sta sull’altro (o lo contiene)


Forme geometriche fondamentali

Si dicono figure o forme geometriche elementari le seguenti:

Retta punteggiata

Figura formata dai punti appartenenti ad una retta

Piano punteggiato

Figura formata dai punti appartenenti ad un piano

Spazio punteggiato

Figura formata dai punti dello spazio

Fascio di rette

Figura formata dalle rette appartenenti ad uno stesso piano e ad uno stesso punto

Fascio di piani

Figura formata dai piani che appartengono ad una medesima retta

Stella di rette

Figura formata dalle rette dello spazio appartenenti al medesimo punto

Stella di piani

Figura formata dai piani dello spazio appartenenti al medesimo punto

Elemento generatore

Punto

Retta

Piano

Forme di 1a specie Forme di 2a specie Forme di 3a specie

Spazio di piani

Figura formata dai piani dello spazio

Piano rigato

Figura formata dalle rette appartenenti ad un piano

Le forme fondamentali si dicono di 1a, 2a o 3a specie a seconda che i loro elementi si possano mettere in corrispondenza biunivoca e continua con gruppi ordinati d 1, 2 o 3 parametri.

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Legge di dualità nello spazio

Confrontando tra loro le definizioni date nella trasparenza precedente si osserva che ciascuna di esse, o rimane inalterata, o si muta in una delle altre scambiando tra di loro le parole punto e piano e lasciando inalterata la parola retta.

Tali forme, che si ottengono l’una dall’altra con tali scambi, vengono dette duali.

Retta punteggiata

Fascio di rette

Fascio di piani

Fascio di rette

Forme di 1a specie

Forme di 2a specie

Piano punteggiato Stella di piani

Piano rigato Stella di retteForme di 3a specie

Spazio punteggiato Spazio di piani


Elementi impropri

Gli elementi impropri sono concetti utili a definire l’intersezione di enti tra loro paralleli. Per definizione un punto improprio è il punto che appartiene a ciascuna retta di un fascio di rette parallele. In questo modo due rette qualsiasi si intersecano sempre: l’intersezione può essere un punto proprio o improprio.

r1 r2

P

P∞r1

r2

Due rette incidenti si intersecano in un punto proprio dello spazio.

Due rette parallele si intersecano in un punto improprio dello spazio.

Analogamente una retta impropria è quella retta che appartiene a ciascun piano di una fascio di piani paralleli.

Due piani qualsiasi dunque si intersecano sempre:l’intersezione può essere una retta propria o impropria.

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L’operazione di proiezione

Introduciamo in questa trasparenza e nella successiva i concetti base della geometria descrittiva, ossia le operazioni di proiezione e sezione.

Proiezione di un punto da un punto

Proiettare da un punto S (detto centro di proiezione) un punto P significa costruire la retta (SP), detta retta proiettante (o proiettante)

Proiezione di una retta da un punto

Proiettare da un punto S (detto centro) una retta r significa costruire il piano (Sr), detto piano proiettante

Proiezione di un punto da una retta

Proiettare da una retta r (detta asse di proiezione) un punto S significa costruire il piano (Sr), detto piano proiettante


L’operazione di sezione

Sezione di un piano con un piano

Sezionare con un piano π un piano σ significa costruire la retta di intersezione di σ con π. Tale intersezione è detta traccia.

Sezione di una retta con un piano

Sezionare con un piano π una retta r significa costruire il loro punto di intersezione. Tale punto è detto traccia.

Sezione di un piano con una retta

Sezionare con una retta r un piano π significa costruire il loro punto di intersezione.

π

σ

π

r

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L’operazione di proiezione su un piano

L’operazione di proiezione di enti geometrici su un piano è molto importante nella scienza della rappresentazione. Essa consiste nell’applicare, in serie, le operazioni di proiezione e di sezione.

Proiezione su un piano di un punto da un punto

Proiettare da un punto S su un piano π un punto A significa proiettare prima A da S, quindi sezionare la retta (SA) con il piano π.

Proiezione su un piano di una retta da un punto

Proiettare da un punto S su un piano π una retta r significa proiettare prima r da S, quindi sezionare il piano (Sr) con il piano π.

π

S

A

A’

π

S

r

r’


Proprietà invarianti delle proiezioni

1. se un punto P appartiene ad una retta r, la proiezione P’ di P appartiene ancora alla proiezione r’ di r (conservazione dell’appartenenza);

2. se tre punti P, Q ed R sono allineati, allora le loro proiezioni P’, Q’ ed R’ sono ancora tre punti allineati (conservazione dell’allineamento);

3. se tre rette r, s e t sono incidenti, allora le loro proiezioni r’, s’ e t’ sono anch’esse incidenti (conservazione dell’incidenza);

Ogni operazione che trasforma una figura in un’altra attraverso una proiezione viene detta trasformazione proiettiva.

L’insieme delle proposizioni geometriche che non sono alterate da trasformazioni arbitrarie delle figure cui si riferiscono costituisce la geometria proiettiva. L’applicazione dei teoremi della geometria proiettiva ai problemi di rappresentazione costituisce la geometria descrittiva.

Se una determinata proprietà K di una figura F si mantiene invariata nella figura proiettata F’, si dice che tale proprietà è un invariante proiettiva.

Alcune invarianti proiettive sono le seguenti:

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Proprietà non invarianti delle proiezioni

1. il parallelismo;

2. l’ortogonalità;

3. le misure di lunghezze e di angoli;

4. i rapporti tra le misure di lunghezze e di angoli;

5. L’appartenenza di un punto ad un intervallo (betweenness), come mostrato nella figura seguente (il punto P appartiene all’intervallo [A,B], ma il punto P’ non appartieneall’intervallo [A’,B’])

A seguito di un’operazione di proiezione molte proprietà di una figura F non si mantengono nella figura proiettata F’. Varie proprietà geometriche non sono, in generale, invarianti rispetto ad una proiezione. In generale non sono invarianti le proprietà in cui interviene il concetto di parallelismo e quelle in cui interviene il concetto di misura (proprietàmetriche). Alcune proprietà in generale non invarianti sono le seguenti:

π

C

A

B

P

P’ B’ A’


Rapporto semplice di tre punti di una retta

Fissati su di una retta r un’origine ed un verso, un segmento LM giacente su di essa si dice positivo o negativo secondo che un punto che lo descrive andando da L ad M si muova secondo il verso positivo o negativo della retta .

C

r

s

L

MN

L’M’

N’

Il rapporto k = LN/LM viene detto rapporto semplicedei tre punti ed indicato con (LMN).

Dati tre punti LMN, ed altri tre punti L’M’N’, proiezione dei precedenti secondo il centro C, si può vedere quale relazione intercede tra i rispettivi rapporti semplici (LMN) ed (L’M’N’).

Applicando il teorema dei seni si ha:

)(

)(;

)(

)(

rlsen

mlsen

CM

LM

rlsen

nlsen

CN

LN ==l

mn

Da cui, dividendo membro a membro:

)(

)(

'

')'''(;

)(

)()(

mlsen

nlsen

CM

CNNML

mlsen

nlsen

CM

CNLMN ==

Si osserva che, in generale, il rapporto semplice non è un invariante proiettiva. Lo diventa, tuttavia, se il centro di proiezione C diviene improprio.

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Birapporto di quattro punti di una retta

Fissati su di una retta quattro punti L, M, N, ed O, si definisce birapporto, indicato con (LMNO) il rapporto tra i rapporti semplici definiti dalle terne (LNO) ed (MNO). Si ha quindi:

C

r

s

L

MN

L’M’

N’

MO

MN

LN

LO

MNO

LNOLMNO ==

)()(

)(

lm

n

Il birapporto è indipendente dall’unità di misura e dall’orientamento della retta r, ma dipende dall’ordine con cui si considerano i quattro punti. Risulta, infatti:

)()()()( ONMLNOLMMLONLMNO ===

O

O’

)(

1)(

LMONLMNO =

Il birapporto tuttavia non cambia se si scambiano tra loro due qualunque dei punti ed in pari tempo anche gli altri due:

o


Proprietà del birapporto

Considerata la definizione di rapporto semplice di tre punti su una retta e quella di birapporto di quattro punti su una retta risulta:

1'

''

')(

)'''(

)'''(

)(

)''''(

)( =

==CN

CN

CO

CO

CN

CN

CO

CO

MNO

ONM

ONL

LNO

ONML

LMNO

Tale relazione rappresenta la proprietà fondamentale del birapporto:

Il birapporto di quattro punti su una retta non si altera quando essi si proiettano da un punto su un’altra retta.

Sussiste pure la seguente proprietà:

Due birapporti i quali differiscano per lo scambio dei primi due punti (o dei due ultimi) hanno per prodotto l’unità. Infatti si ha:

)(

)()(;

)(

)()(

LNO

MNOMLNO

MNO

LNOLMNO ==

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Teorema di Desargues

Una dei cardini della geometria proiettiva è questo famoso teorema dovuto a Desargues:se i vertici di due triangoli (DEF) e (D’E’F’) si corrispondono in una proiezione (le rette congiungenti i vertici concorrono in un unico punto C – centro di proiezione), allora i lati corrispondenti, prolungati, si incontrano in tre punti allineati (LMN).

Risulta valido anche il teorema duale: se i lati corrispondenti di due triangoli (DEF) e (D’E’F’), prolungati, si incontrano in tre punti allineati (LMN), allora i vertici dei due triangoli si corrispondono in una proiezione.


Teorema di Pappo

Un altro teorema fondamentale della geometria proiettiva è presumibilmente ascrivibile al matematico greco Pappo (vissuto nel III secolo a.C.): se (A, B, C) e (A’, B’, C’) sono due terne di punti allineati, allora i punti che risultano dall’intersezione dei segmenti AB’ con BA’, AC’ con CA’ e BC’ con CB’ sono allineati.

Risulta valido anche il teorema duale: se a, b, c e a’, b’, c’. sono due terne di rette incidenti, r, s, t le rette definite dai punti intersezione rispettivamente delle rette (ac’, ca’); (ab’, ba’); (bc’,cb’) allora le rette r, s e t sono incidenti.

A

B

C

A'

B'

C'

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Geometria proiettiva e rappresentazione

Uno degli aspetti particolarmente interessanti della geometria proiettiva è che ad essa èriconducibile la percezione delle immagini che si ha nella realtà. Il meccanismo di visione dell’occhio umano è in effetti schematizzabile attraverso uno schema proiettivo in cui il centro di proiezione è rappresentato dal punto interno all’occhio in cui cristallino e cornea focalizzano i raggi luminosi, mentre la superficie di proiezione è rappresentata dalla retina (approssimativamente sferica).

C

Cornea

Cristallino

Retina


Cenni storici: l’Ottica di Euclide

Il primo tentativo di formalizzare i problemi legati alla rappresentazione è probabilmente legato alle riflessioni sulle modalità di visione dei matematici Greci, che trovarono sistemazione nell’opera di Euclide.

Proposizione IV: uguali lunghezze poste su una medesima retta, quelle che si vedono a distanza maggiore appaiono minori.

Proposizione V: oggetti uguali, ma inegualmente distanti appaiono ineguali e maggiore quello più vicino all’occhio.

Proposizione VI: rette parallele viste da lontano, appaiono non equidistanti.

Proposizione VI: oggetti uguali posti su di una stessa retta, ma tra loro distanti, appaiono disuguali.

Da notare che, secondo l’impostazione data da Euclide, il concetto di maggiore o minoredeve intendersi come “visto sotto un angolo maggiore o minore”, ossia le grandezze sono intese in termini di angoli visivi.

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Cenni storici: arte romanica

Dopo la fine del mondo classico la scienza della rappresentazione si è evoluta in modo lento, e senza uno sviluppo sistematico. Le rappresentazioni pittoriche normalmente non affrontano il problema della resa spaziale.

Paliotto d'altare della Seu d'Urgell con Cristo e gli apostoli, prima metà sec. XII (Barcellona, Mudeo d’Arte Catalana)


Cenni storici: il Medioevo

Occorre arrivare ai pittori pre-rinascimentali per trovare i primi tentativi sistematici di resa spaziale. Il risultato appare come qualcosa di ibrido tra assonometria e prospettiva.

Giotto (1267 - 1337): particolare da San Francesco che dona il mantello (Assisi, Basilica superiore)

Ambrogio Lorenzetti (1290 - 1348): Veduta di città sul mare (Siena, Pinacoteca)

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Cenni storici: il Rinascimento (1)

Il rinascimento rappresenta il punto di svolta per l’evoluzione delle tecniche di rappresentazione. Con la messa a punto di regole precise per la rappresentazione del reale codificate in trattati sistematici, si cerca di superare l’empirismo delle tecniche di rappresentazione medievali.

In questo studio del Brunelleschi il problema della rappresentazione dello spazio viene risolto intersecando i raggi proiettanti, passanti per il punto di vista, con il piano di riquadro, e utilizzando, a questo scopo, la pianta e l’alzato dell’elemento da rappresentare.

Si tratta, in pratica, dell’esecuzione della prospettiva attraverso il metodo di intersezione.

Filippo Brunelleschi (1377 - 1446): studio del battistero (Firenze)



Leon Battista Alberti (1404 - 1472) semplifica la costruzione prospettica introducendo il metodo che oggi chiamiamo del punto di distanza.

Si basa sulla convergenza verso un punto di fuga unico di tutte le rette perpendicolari al piano della rappresentazione e la progressiva diminuzione delle dimensioni apparenti degli elementi al crescere della loro distanza, da valutarsi attraverso la costruzione di un punto laterale detto punto di distanza. Il metodo abbreviato forniva un criterio per la costruzione della prospettiva molto efficace e fu utilizzato dagli artisti dell’epoca per mettere in scorcio una pianta quadrettata o per realizzare un vero e proprio reticolo spaziale di riferimento per la realizzazione della prospettiva .

Leon Battista Alberti Prospettiva

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Il De prospectiva pingendi (1475) di Piero della Francesca (1416 ca. - 1492) costituisce il primo trattato organico della prospettiva rinascimentale. La rappresentazione figurativa èriferita a un sistema di leggi e procedimenti matematici che devono consentire una verosimile traduzione dello spazio attraverso opportune deformazioni prospettiche avvertite dall’occhio umano.Mentre l’Alberti aveva concentrato la sua attenzione nel rappresentare sul piano del dipinto figure sul piano del pavimento, Piero affrontò il problema di dipingere nel piano oggetti tridimensionali.

Piero della FrancescaFlagellazione (Urbino, Galleria nazionale delle Marche)



In questa stampa di Albrecth Dürer (1471 - 1528) è ben esemplificato il concetto di proiezione che sta dietro alle tecniche di rappresentazione. I raggi di luce che vanno dalla scena all’occhio costituiscono una proiezione intersecando il quadro.

Albrecht Durer Disegnatore della donna sdraiata

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Cenni storici: il cinquecento ed il seicento. Dalla pittura alla matematica.

È a partire dal XVI secolo che le tecniche di rappresentazione passano da un piano tecnico-pittorico ad un piano teorico-matematico.

Guidobaldo dal Monte (1545 - 1607) pubblica nel 1600 un trattato sulla prospettiva (Perspectivae Libri VI). Riprende in esame le tecniche utilizzate dagli artisti per arrivare ad interessanti astrazioni. Pare che sia stato il primo a dimostrare che: la proiezione centrale di un fascio di rette parallele è costituita da un fascio di rette concorrenti in un punto; più fasci di rette parallele tra loro e tutte parallele allo stesso piano hanno i “punti in concorso” sulla stessa retta

Girard Desargues (1591 - 1661) è stato uno dei massimi teorizzatori della geometria proiettiva. Per teorizzare sul piano geometrico le tecniche della prospettiva introduce elementi ideali (punto e retta impropri) compatibili con gli elementi fondamentali della geometria euclidea (retta e punto).

Blaise Pascal (1623 - 1662) fu studioso notevole di geometria proiettiva. Si ricorda soprattutto la sua interpretazione delle coniche in chiave proiettiva.


Cenni storici: il settecento e l’ottocento. La geometria descrittiva

Gaspard Monge (1746 - 1818) è considerato il padre della moderna geometria descrittiva. Ad egli è dovuto il concetto della doppia proiezione ortogonale, descritto nella Géométrie Descriptive (1798): presi due piani ortogonali (orizzontale e verticale) si proietta su questi, ortogonalmente, la figura che si vuole rappresentare riportandone gli spigoli ed i vertici. Quindi si ruota idealmente uno dei due piani rispetto all’altro e si rappresentano le relative proiezioni su un unico foglio: la rappresentazione finale dell’oggetto è quindi contenuta in un’unica tavola.

Jean-Victor Poncelet (1788 -1867), allievo di Monge. I suoi studi sulla geometria proiettiva, raccolti nel Traité des propriétés projectives des figures (1822), si focalizzarono sullo studio delle trasformazioni proiettive e delle proprietà invarianti delle figure in seguito a tali trasformazioni. A lui è dovuta l’introduzione del birapporto di quattro punti su una retta, che rappresenta appunto l’invariante rispetto ad operazioni di proiezione.

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Proiezioni centrali e proiezioni parallele

Una importante distinzione, da cui derivano diversi sistemi di rappresentazione, si ha tra proiezioni centrali e proiezioni parallele.

Nelle proiezioni centrali il centro di proiezione si trova ad una distanza finita dal piano di proiezione (quadro). Le proiettanti convergono nel centro di proiezione (punto proprio dello spazio)

Nelle proiezioni parallele il centro di proiezione si trova ad una distanza infinita dal piano di proiezione (quadro). Le proiettanti sono tutte parallele tra loro (convergono in un punto all’infinito – punto improprio)

Prospettive Assonometrie e proiezioni ortogonali

C

C


Quadro sinottico delle tecniche di rappresentazione

Proiezioni centrali(coniche)

Proiezioni parallele(cilindriche)

AssonometrieProiezioni ortogonali

(ortografiche)

Assonometrie ortogonali Assonometrie oblique

Isometrica Dimetrica Trimetrica

Prospettiva frontale (ad un punto)

Prospettiva accidentale(a due punti)

Prospettiva razionale(a tre punti)

Cavaliera dimetrica

Cavaliera isometrica Planometrica

Prospettive

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Metodi di proiezione centrale (prospettiva).

I metodi di proiezione prospettica unificati (UNI EN ISO 5456-4) sono tre, e differiscono tra loro per la posizione dell’oggetto da rappresentare rispetto al piano di proiezione. In questa trasparenza è riportata la disposizione denominata posizione speciale, in cui la faccia principale dell’oggetto da rappresentare è parallela al piano di proiezione. Essa dà origine alla cosiddetta prospettiva ad un punto. Tutti i contorni e gli spigoli paralleli al piano di proiezione conservano la loro direzione; tutte le linee perpendicolari al piano di proiezione convergono al punto di fuga V, coincidente con il punto principale C.

Piano di terra (piano di base, piano geometrale)

Quadro prospettico(piano di proiezione)

Punto di vista (centro di proiezione)

Punto di stazione (stazione di osservazione)

Punto principale

Linea di terra (linea di base)

Linea di orizzonte


Prospettiva a due punti.

Nella prospettiva a due punti l’oggetto da rappresentare è posizionato in modo da avere i contorni e gli spigoli verticali paralleli al piano di proiezione (posizione particolare). Tutte le linee orizzontali dell’oggetto convergono nei rispettivi punti di fuga sulla linea di orizzonte.

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Prospettiva a tre punti.

Nella prospettiva a tre punti (detta anche prospettiva a quadro inclinato), l’oggetto da rappresentare si trova in posizione generica (posizione qualunque), non avendo nécontorni, né spigoli paralleli al piano di proiezione.


Metodi di proiezione parallela (assonometria)

L’assonometria può vedersi come un caso particolare della prospettiva con centro di proiezione improprio. Il disegno di un oggetto, in assonometria, non corrisponde esattamente alla realtà, poiché in pratica non può mai essere realizzata. Tuttavia le proiezioni parallele godono di interessanti proprietà che le rendono particolarmente utili nelle applicazioni (non ultima la rapidità e semplicità di esecuzione).

C

1. I lati e le facce di un oggetto paralleli al piano di proiezione si proiettano secondo la loro grandezza reale. Lati e facce non paralleli al quadro, una volta proiettati, subiscono una modifica delle loro dimensioni effettive.

2. Segmenti tra loro paralleli si proiettano ancora in segmenti paralleli (la relazione di parallelismo èun’invariante delle proiezioni parallele).

3. Segmenti tra loro paralleli si riducono, in proiezione, del medesimo rapporto.

4. La proiezione è indipendente dalla distanza dell’oggetto dal quadro.

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Assonometrie ortogonali ed oblique

Le assonometrie si classificano in ortogonali ed oblique a seconda della direzione che i raggi proiettanti assumono rispetto al quadro.

n

dn//d

Assonometria ortogonale Assonometria obliqua

n

d

Nelle assonometrie ortogonali la direzione di proiezione è ortogonale al quadro

Nelle assonometrie oblique la direzione di proiezione è inclinata rispetto al quadro


Rapporti di riduzione nelle assonometrie (1)

In una proiezione assonometrica, in generale, le lunghezze dei segmenti proiettati sono diverse da quelle originali. Vale tuttavia la relazione che segmenti tra loro paralleli si riducono, una volta proiettati, del medesimo rapporto. Si può dimostrare che la contrazione delle

Terna obiettiva

Terna assonometrica.

X

YZ

z

x

y

UzUy

Uxuz uy

ux

lunghezze può essere calcolata sulla base di tre coefficienti (rapporti di riduzione) associati ai tre versori di una terna ortogonale.

Associata una terna ortogonale (terna obiettiva) allo spazio tridimensionale, la proiezione assonometrica di essa costituisce la terna assonometrica.

Restano definiti i seguenti rapporti di riduzione:

z

z

y

y

x

x

Uu

r ;Uu

q ;Uu

p ===

Piano di proiezione

Direzione di proiezione

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Rapporti di riduzione nelle assonometrie (2)

I rapporti di riduzione sono compresi nell’intervallo [0,1] nel caso di assonometria ortogonale. Nel caso di assonometria obliqua possono essere maggiori di 1.

πPiano di proiezione

Direzione di proiezione A

B’ = B A’

In figura vediamo come nel caso di proiezione obliqua può aversi A’B’ > AB.


Teorema di Pohlke

Data la direzione di proiezione e l’orientamento della terna obiettiva rispetto al piano di proiezione è possibile determinare gli assi assonometrici ed i relativi rapporti di riduzione

Viceversa se si tracciano su un piano tre segmenti ux, uy

ed uz non allineati (assi assonometrici) uscenti da un medesimo punto, è sempre possibile determinare una direzione di proiezione ed un sistema di assi ortogonali (terna obiettiva) con versori di lunghezza U, le cui proiezioni coincidono con i segmenti ux, uy ed uz

(teorema di Pohlke).

Terna obiettiva

Terna assonometrica.

X

YZ

z

x

y

U

zU

y

U

xuz uy

ux

Piano di proiezione

Direzione di proiezione

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Classificazione delle assonometrie in base ai rapporti di riduzione

In base alle relazioni esistenti tra i valori dei rapporti di riduzione nelle assonometrie, si ha la seguente importante classificazione:

Assonometrie isometriche: tutti i rapporti di riduzione sono tra loro uguali;

Assonometrie dimetriche: due rapporti di riduzione sono tra loro uguali;

Assonometrie trimetriche: tutti i rapporti di riduzione sono tra loro diversi.

Delle varie tipologie di assonometria l’isometrica presenta il vantaggio di non introdurre contrazioni non uniformi nelle varie direzioni.


Rapporti di riduzione nelle assonometrie ortogonali (1)

Nell’assonometria ortogonale ciascun rapporto di riduzione varia nell’intervallo [0,1]. Inoltre esiste una relazione che lega l’orientamento della terna obiettiva, descritto dai tre angoli α, βe γ e gli angoli descritti dagli assi della terna assonometrica (α’, β’ e γ’).

αβ

γ

α’ β’

γ’

( )( )( )αβγ

γαβγβα

ctgctg

ctgctg

ctgctg

•−=•−=•−=

arccos'

;arccos'

;arccos'

'cos

'cos'cos

;'cos

'cos'cos

;'cos

'cos'cos

γβαγ

βγαβ

αγβα

•−=

•−=

•−=

ctg

ctg

ctg

Date quindi nel piano di proiezione tre rette orientate che individuano tre angoli la cui somma è 180°, è possibile individuare analiticamente la disposizione spaziale della terna ortogonale che, proiettata ortogonalmente dà origine ai tre assi assonometrici.

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Rapporti di riduzione nelle assonometrie ortogonali (2)

Ne consegue che nelle assonometrie ortogonali gli assi assonometrici ed i rapporti di riduzione non possono essere scelti ad arbitrio. Esiste una relazione che lega tra loro i valori dei rapporti di riduzione agli angoli che descrivono l’orientamento della terna obiettiva (e quindi degli assi assonometrici):

. ; ; γβα senUursen

Uu

qsenUup

z

z

y

y

x

x ======

Nell’ipotesi di isometria risulta p = q = r = 1. Sostituendo nelle precedenti equazioni tale relazione si ottiene che l’unica disposizione degli assi assonometrici che soddisfano l’ipotesi isometrica è tale per cui:

α’ = β’ = γ’ = 120°,

alla quale corrispondono i rapporti di riduzione:

p = q = r = 0.816.

Convenzionalmente, però, i rapporti di riduzione si assumono unitari nel caso della assonometria ortogonale isometrica (un cubo di lato 100 viene rappresentato, in proiezione, di lato 100, e non di 81.6). Ne consegue che l’assonometria isometrica produce un leggero ingrandimento.

Per quanto concerne, invece, le assonometrie ortogonali dimetriche e trimetriche, esistono infinite terne possibili di angoli che descrivono l’orientamento della terna obiettiva.


Procedura per ottenere la proiezione assonometrica

1) Si sceglie un orientamento degli assi assonometrici tra quelli possibili e consigliati (a ciascun orientamento è associata una terna di rapporti di riduzione);

2) si riportano sugli assi assonometrici le coordinate dei punti notevoli dell’oggetto moltiplicate per i corrispondenti rapporti di riduzione (ovvero si assegna a ciascun asse la rispettiva scala)

La procedura per ottenere la proiezione assonometrica è piuttosto semplice. Note le coordinate nello spazio dei punti notevoli dell’oggetto, si procede nel modo che segue.

Per convenzione l’asse Z è verticale. Normalmente il piano XY rappresenta il piano orizzontale, e l’asse Z l’asse delle altezze.

Z

X

Y

Scala delle larghezzeScala delle lunghezze

Scal

a de

lle a

ltezz

e

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Assonometria ortogonale isometrica

Nell’assonometria ortogonale isometrica (o semplicemente assonometria isometrica) gli assi assonometrici sono angolarmente equidistanti. Per convenzione i rapporti di riduzione si assumono unitari lungo tutti e tre gli assi. Poiché il rapporto reale di riduzione associato all’ipotesi di isometria è pari a 0.816, tale convenzione fa si che l’oggetto sia rappresentato in dimensioni leggermente ingrandite (di un fattore pari a 1/0.816 = 1.22) rispetto a quelle reali. L’assonometria isometrica è di facile esecuzione e di ampio utilizzo.

120°

120°

120°

Z

X Y

Z

YX

ux

uyuz

ux = 1; uy = 1; uz = 1


Assonometria ortogonale dimetrica

Nell’ipotesi di dimetria l’orientamento della terna assonometrica non è univoco. Normalmente si orientano gli assi in modo tale che l’angolo tra due di essi sia all’incirca lo stesso, come nell’esempio qui riportato. Questo tipo di assonometria viene utilizzato quando si vuole mettere in particolare evidenza una delle facce dell’oggetto.

ux = 0.5; uy = 1; uz = 1

Z

Y

X

uy ux

uz 42°

7°

Z

Y

X

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Assonometria ortogonale trimetrica

L’assonometria ortogonale trimetrica non rientra tra quelle previste dalla norma, ed è di utilizzo raro. Si riporta qui una tra le infinita possibilità di orientamento degli assi assonometrici ed i relativi rapporti di riduzione.

114°

136°

110°

Z

X Y

uxuy

uz

Z

X Y

ux = 0.695; uy = 0.811; uz = 0.927


Assonometria obliqua cavaliera isometrica

Corrisponde ad una disposizione in cui gli assi X e Z sono paralleli al quadro e le proiettanti sono inclinate di 45° rispetto ad esso. Risulta un significativo effetto di allungamento dei segmenti paralleli all’asse Y.

135°

135°

90°

Z

X

Y

ux uy

uz

Z

X

Y

ux = 1; uy = 1; uz = 1

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Assonometria obliqua cavaliera dimetrica

La disposizione degli assi è analoga al caso della cavaliera obliqua isometrica, ma l’effetto di allungamento lungo l’asse Y è ridotto.

135°

135°

90°

Z

X

Y

ux uy

uz

Z

X

Y

ux = 1; uy = 0,5; uz = 1


Assonometria obliqua cavaliera planometrica

L’assonometria obliqua cavaliera planometrica viene comunemente utilizzata per rappresentare edifici o arredamenti.

135°

90°

135°

Z

X Y

uxuy

uz

Z

X Y

ux = 1; uy = 1; uz = 2/3

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Normazione

Le rappresentazioni assonometriche sono oggetto di normazione da parte della EN ISO 5456-3. La norma raccomanda l’utilizzo delle seguenti assonometrie:

-l‘assonometria ortogonale isometrica;

-l’assonometria ortogonale dimetrica;

-l’assonometria obliqua cavaliera isometrica;

-l’assonometria cavaliera con rapporto di riduzione uy = 0.5 (ux = uz = 1);

-l’assonometria planometrica.


Elementi di cartografia

La cartografia tratta il problema di rappresentare sul piano, ad una scala assegnata s, la superficie terrestre. Nelle trasparenze che seguono supporremo, per semplicità, che questa sia approssimabile con una sfera.

Una rappresentazione ideale dovrebbe avere le seguenti proprietà:

�equidistanza: diretta proporzionalità, secondo la scala assegnata, tra elementi lineari sulla carta ed s. Una carta che possiede questa proprietà si dice equidistanteo lineare.

�conformità: uguaglianza tra gli angoli. Una carta che possiede questa proprietà si dice conforme, o autogonale o isogona.

�equivalenza: diretta proporzionalità tra elementi d’area ed s2. Una carta che possiede questa proprietà si dice equivalente o autalica.

Non essendo il geoide, approssimativamente sferico, una superficie sviluppabile su un piano, non esiste alcun metodo cartografico che permetta di ottenere le tre proprietà contemporaneamente.

È possibile costruire carte conformi o carte equivalenti. Simultaneamente ad un delle due proprietà è pure possibile ottenere l’equidistanza, ma solo su linee assegnate.

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Sistemi di proiezione cartografica

I sistemi di proiezione cartografica si differenziano in base al tipo di superficie su cui avviene la proiezione ed in base al fatto che la stessa sia pura o modificata.

Proiezioni geometriche pure:

�proiezioni piane

�proiezioni cilindriche

�proiezioni coniche

Proiezioni geometriche modificate:

Vengono ottenute dalle rispettive proiezioni pure modificandone i criteri in maniera tale da contenerne le deformazioni.


Proiezioni piane

Nelle proiezioni piane la terra, viene proiettata su un piano tangente ad essa. Il centro di proiezione può essere un punto proprio (interno o esterno) o un punto improprio.

Proiezione prospettica centrografica

Proiezione prospettica stereografica

Proiezione prospettica scenografica

Proiezione parallela ortografica

La proiezione stereografica è conforme. Tutte le altre sono afilattiche(cioè né conformi né equivalenti).

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Esempi di proiezioni piane

Proiezione prospettica stereografica

Proiezione prospettica ortografica


Proiezioni cilindriche pure

Nelle proiezioni cilindriche la terra viene proiettata sul cilindro tangente lungo l’equatore. Ogni punto viene proiettato dal centro della terra. Ilcilindro viene poi tagliato lungo una generatrice e sviluppato su un piano.

La proiezione cilindrica centrale pura è afilattica. Soltanto sul piano dell’equatore è equidistante.

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Esempio: proiezione cilindrica centrale pura


Proiezioni coniche pure

Nelle proiezioni coniche la terra viene proiettata sul un cono tangente lungo il parallelo corrispondente alla latitudine media della fascia da rappresentare. Ogni punto viene proiettato dal centro della terra. Il cilindro viene poi tagliato lungo una generatrice e sviluppato su un piano.

La proiezione cilindrica centrale pura è afilattica. Soltanto sul piano di tangenza è equidistante. Per rappresentare ampie zone si ricorre a sistemi policonici (unioni di più proiezioni coniche).

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Esempio: proiezione conica centrale pura


Proiezioni modificate

Le proiezioni modificate hanno lo scopo di rendere le proiezioni pure o equivalenti, o conformi, o equidistanti lungo determinate linee. Tra queste ricordiamo:

�la carta di Mercatore;

�la proiezione conica conforme di Lambert;

�la proiezione conica equivalente di Lambert;

�La proiezione conforme di Gauss

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La carta di Mercatore

La proiezione di Mercatore è una proiezione cartografica cilindrica modificata analiticamente in modo da renderla conforme. Proposta nel 1569 dal cartografo fiammingo Gerardus Mercator (italianizzato in Gerardo Mercatore).

Un retta tracciata sulla carta che interseca meridiani ad angolo costante corrisponde ad una curva sulla superficie della terra che interseca meridiani con lo stesso angolo. Questa linea indica la prora da tenere per spostarsi da un punto ad un altro sulla superficie terrestre.

Linea lossodromicaA

B


Lossodromie e ortodromie

Lossodromia: curva che taglia i meridiani sotto un angolo costante. Procedendo lungo una lossodromia ci muoviamo a spirale attorno alla Terra.

Ortodromia: curva di minima lunghezza congiungente due punti sulla superficie terrestre. Coincide con un cerchio di raggio massimo.

*Immagine tratta da: http://web.unife.it/progetti/matematicainsieme/matcart/ortloss.htm

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Proiezioni coniche modificate di Lambert

Il matematico svizzero Jean-Henri Lambert introdusse due proiezioni coniche modificate, qui sotto riportate, che sono, rispettivamente, conforme ed equivalente.

Proiezione conica conforme di Lambert

Proiezione conica equivalente di Lambert


Proiezione conforme di Gauss

Il grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss introdusse una corrispondenza biunivoca analitica tra i punti della superficie terrestre e quelli del piano che soddisfa le seguenti condizioni: 1) è conforme; 2) le immagini di un meridiano di riferimento e dell’equatore sono rettee 3) sul meridiano di riferimento la rappresentazione èequidistante.

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