UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO

FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS

Y DE LA EDUCACION

CARRERA DE DOCENCIA EN INFORMATICA

Elemento No 03

“MAPAS DE KARNAUGH”

ELECTRONICA DIGITAL

NOMBRE:

IVAN FABRICIO VILLACIS YANEZ

DOCENTE:

ING. WILMA GAVILANES

AÑO LECTIVO

2012-2013

DIAGRAMAS O MAPAS DE KARNAUGH

Los diagramas de Karnaugh sirven principalmente para minimizar expresiones del tipo suma de productos o productos de sumas, obteniendo otra suma de productos o producto de sumas.La expresión obtenida será mínima, por ejemplo para suma de productos, si no existe otra con menor número de sumandos ni otra con igual número de sumandos con menor cantidad de variables.

Hasta ahora, para obtener la forma canónica de una función, se debía armar la tabla de verdad de la misma y obtener la función expresada por suma de productos o productos de sumas. Mediante Karnaugh representamos la función y se obtiene directamente la forma canónica, considerando los unos o ceros obtenidos del diagrama.

Una suma de productos se realiza circuitalmente con dos niveles de compuertas donde cada sumando representa una compuerta, y cada letra del producto es una entrada de compuerta. El costo que representa adicionar una compuerta es mucho mayor que colocar una compuerta con mayor número de entradas. Luego dados dos circuitos equivalentes, será más económico aquel que contenga menos compuertas y si tienen igual número de compuertas, aquel que tenga un menor número de entradas.

La propiedad más importante del diagrama de Karnaugh es la adyacencia de las celdas ya que si en dos celdas adyacentes existen unos (que representan minitérminos de la función) se puede realizar la operación de sacar factor común entre dichas celdas y eliminar así una variable. Dos celdas son adyacentes si no difieren en más de un bit.

Por ejemplo en un diagrama de Karnaugh de cuatro variables, dos minitérminos adyacentes difieren entre sí en una sola variable. Cuatro minitérminos adyacentes difieren entre sí en dos variables, teniendo en común las dos restantes. Ocho minitérminos adyacentes difieren entre sí en tres variables, teniendo una sola variable en común.

Así como cada sumando de una función se representa por un número de minitérminos que es potencia de dos (1,2,4,8,16...) de manera inversa cada lazo posible de minitérminos adyacentes sólo puede abarcar 1,2,4,8,... minitérminos.

Se llama subcubo de orden n al lazo de 2n minitérminos. Un lazo de un minitérmino es un lazo 20 y conforma un cubo de orden cero. Un lazo 21 es el que conforma un cubo de orden uno. Si todas las celdas de un diagrama de Karnaugh están cubiertas por unos, entonces las función es verdadera y resulta F=1. De manera inversa, si no existe ningún minitérmino entonces la función es falsa y resulta F=0.

Implicantes primos: Son los mayores subcubos (lazos) que se pueden encontrar en un diagrama tales que dos cualquiera de ellos, no puede ser enlazado a su vez por otro subcubo de orden mayor que los contenga, proporcionando una simplificación adicional.

Los implicantes primos pueden compartir minitérminos entre sí.

Cuando un implicante primo tiene por los menos un minitérmino libre, es decir, no compartido con ningún otro subcubo, se denomina término esencial y debe aparecer necesariamente en el resultado final.

Cuando un implicante primo tiene todos sus minitérminos compartidos con otros implicantes primos se dice que es un implicante primo no esencial y no debe aparecer en el resultado final.

Reglas para simplificar una función mediante el diagrama de Karnaugh

a) Representar la función en el diagrama b) Determinar los implicantes primos para lo cual se debe: - Enlazar cada uno de los minitérminos aislados no adyacentes a ningún otro minitérmino (subcubo de orden cero) - Enlazar los pares de unos adyacentes entre sí (subcubos de orden uno) que no pueden formar parte de un subcubo de mayor orden. - Continuar la búsqueda de cubos de mayor orden hasta cubrir todos los unos de la función. - Determinar los implicantes primos esenciales. - Los unos de la función que no han sido enlazados por dichos términos esenciales, deben cubrirse con el menor número de implicantes no esenciales

Redundancias:

En un circuito de n entradas son posibles 2n combinaciones de variables de entrada. En ciertas aplicaciones algunas de dichas combinaciones puede no existir o no tener sentido. En aplicaciones del tipo decimal es común tomar sólo 10 de las 16 combinaciones posibles con cuatro variables de entrada. En ese caso se plantea que las seis combinaciones restantes son redundantes, pudiendo ser utilizadas para la simplificación del circuito, ya que se asume que nunca se presentará dicha combinación en las entradas. En el diagrama de Karnaugh las redundancias se representan con un letra “ x “.

Veamos esto en forma práctica:

Es un método para encontrar la forma más simplificada de representar una función lógica.

Esto es... Encontrar la función que relaciona todas las variables disponibles de tal modo que el resultado sea la mínima expresión.

Para esto vamos a aclarar tres conceptos que son fundamentales

a)- Minitérmino Es cada una de las combinaciones posibles entre todas las variables disponibles, por ejemplo con 2 variables obtienes 4 minitérminos; con 3 obtienes 8; con 4, 16 etc., como te darás cuenta se puede encontrar la cantidad de minitérminos haciendo 2n donde n es el número de variables disponibles.

b)- Numeración de un minitérmino Cada minitérmino es numerado en decimal de acuerdo a la combinación de las variables y su equivalente en binario así...

El Mapa de Karnaugh representa la misma tabla de verdad a través de una matriz, en la cual en la primer fila y la primer columna se indican las posibles combinaciones de las variables. Aquí tienes tres mapas para 2, 3 y 4 variables...

Analicemos el mapa para cuatro variables, las dos primeras columnas (columnas adyacentes) difieren sólo en la variable d, y c permanece sin cambio, en la segunda y tercer columna (columnas adyacentes) cambia c, y d permanece sin cambio, ocurre lo mismo en las filas. En general se dice que...

Dos columnas o filas adyacentes sólo pueden diferir en el estado de una de sus variables

Observa también que según lo dicho anteriormente la primer columna con la última serían adyacentes, al igual que la primer fila y la última, ya que sólo difieren en una de sus variables

c)- Valor lógico de un minitérmino (esos que estaban escritos en rojo), bien, estos deben tener un valor lógico, y es el que resulta de la operación que se realiza entre las variables. lógicamente 0 ó 1

Lo que haremos ahora será colocar el valor de cada minitérmino según la tabla de verdad que estamos buscando, por ejemplo:

El siguiente paso, es agrupar los unos adyacentes (horizontal o verticalmente) en grupos de potencias de 2, es decir, en grupos de 2, de 4, de 8 etc. y nos quedaría así...

Te preguntarás que pasó con la fila de abajo... bueno, recuerda que la primer columna y la última son adyacentes, por lo tanto sus minitérminos también lo son.

De ahora en más a cada grupo de unos se le asigna la unión (producto lógico) de las variables que se mantienen constantes (ya sea uno o cero) ignorando aquellas que cambian, tal como se puede ver en esta imagen...

Para terminar, simplemente se realiza la suma lógica entre los términos obtenidos dando como resultado la función que estamos buscando, es decir...

f = (~a . ~b) + (a . ~c)

Puedes plantear tu problema como una función de variables, en nuestro ejemplo quedaría de esta forma...

f(a, b, c) = S(0, 1, 4, 6)

F es la función buscada (a, b, c) son las variables utilizadas (0, 1, 4, 6) son los minitérminos que dan como resultado 1 o un nivel alto. S La sumatoria de las funciones que producen el estado alto en dichos minitérminos.

Sólo resta convertir esa función en su circuito eléctrico correspondiente. Veamos, si la función es...

(NOT a AND NOT b) OR (a AND NOT c)

El esquema eléctrico que le corresponde es el que viene a continuación...

El resultado de todo este lío, es un circuito con la menor cantidad de compuertas posibles, lo cual lo hace más económico, por otro lado cumple totalmente con la tabla de verdad planteada al inicio del problema, y a demás recuerda que al tener menor cantidad de compuertas la transmisión de datos se hace más rápida.

Puedes bajarte de la página de la cátedra un pequeño programa de simulación de mapas de karnaugh para practicar distintas simplificaciones.

f = (~a . ~b) + (a . ~c) o sea...

EJERCICIOS EN CIRCUIT LOGIC

EJERCICIO #01

EJERCICIO # 2

EJERCICIO # 03

EJERCICIO # 04

EJERCICIO # 05