Elementos de Estadística Guia 2011

8/7/2019 Elementos de Estadstica Guia 2011

1/87


2/87

Facultad de Ciencias

Veterinarias

U.B.A.

rea Bioestadstica2011 1er. Cuatrimestre

Elementos de Estadstica

Gua de Trabajos PrcticosGua de Trabajos PrcticosGua de Trabajos PrcticosGua de Trabajos Prcticos


3/87

I

Cronograma 2011 1er. CuatrimestreSem lunes

1 Mir 9/3 Jue: Experimentos aleatorios. Teoras de probabilidad.

2 14/3 Mar: Experimentos aleatorios. Teoras de probabilidad.

Jue: Probabilidad Condicional. Probabilidades conjuntas. VariablealeatoriaFuncin de probabilidad, funcin de densidad y funcin dedistribucin.

3 21/3FeriadoJue 24

Mar: Probabilidad Condicional. Probabilidades conjuntas. Variablealeatoria Funcin de probabilidad, funcin de densidad y funcin dedistribucin.

4 28/3FeriadoSb 2/4

Distribuciones especiales: distribucin Binomial, distribucin Normal

5 4/4 Ejercitacin integradora.6 11/4 Estadstica descriptiva: escalas de medicin y grficos adecuados

para cada caso. Medidas de posicin y tendencia central.

7 18/4F SSanta

21 22 23 24de Abr

Mar: ejercitacin y consulta.En esta clase no se controlara la asistencia.

8 25/4 Estadstica descriptiva: medidas de dispersin absoluta y relativa.Distribucin de la media muestral.

9 2/5 Integracin (sbado 7-5-11 parcial)

10 9/5 Teorema central del Lmite Distribuciones 2 y t. Distribucin de S2.

Problemas11 16/5 Estimacin puntual. Estimacin por intervalos de confianza, para la

media de una poblacin normal.

12 23/5FeriadoMi 25/5

Estimacin por intervalos de confianza para la varianza de unadistribucin normal. Intervalos de confianza de nivel aproximado oasinttico.

13 30/5 Pruebas de hiptesis. Marco terico. Caso de la media de unapoblacin normal.

14 6/6 Prueba de hiptesis para la varianza de una poblacin normal y parael parmetro p de la binomial.

15 13/6 Integracin. Revisin y consultas. (sbado 18-6-11 parcial)

16 20/6FeriadoLu 20/6

17 27/6 Recuperatorio 29/6


4/87

II

Bibliografa DeVore, Jay, L.: Probabilidad y Estadstica para Ingeniera y Ciencias.

International Thomson Editores. 6ta. Edicin. Mxico. Captulos: 1 a 8.

Cantatore de Frank, Norma M.: Manual de Estadstica Aplicada. Ed.Hemisferio Sur. 1ra. Edicin. Buenos Aires. Captulos: 1 a 5.

Cappelletti, Carlos A.: Elementos de estadstica. Cesarini Hnos. Editores.2da. Edicin. Bs. As. Captulos 1 al 9.

Daniel, Wayne W.: Bioestadstica. Base para el anlisis de las ciencias dela salud. 3ra. Edicin. Uteha, Noriega Editores. Mxico. Captulos: 1 al 6.

NOTA IMPORTANTE:

La ctedra publica solamente las

GUIAS DE TRABAJOS PRACTICOS

y de FORMULAS Y TABLAS,

para la cursada de esta materia.Cualquier otra publicacin NO CUENTA

CON LA APROBACION DE LA CATEDRA.


5/87

III

Sistema de Evaluacin de Elementos de Estadstica

Se tomarn dos parciales, que sern calificados en una escala de 0 a 10, en formaglobal.

La condicin de LIBRE se obtiene si en ambos parciales la calificacin obtenida es

inferior a 4 (cuatro), o cuando no se cumpla el requisito del 75% de concurrenciaa las clases terico-prcticas.

La condicin de ASISTENCIA CUMPLIDA se obtiene al cumplir el requisito depresentismo, correspondiente al 75% de concurrencia a las clases terico-prcticas, o sea, como mximo 4 ausentes; y obtener como calificacin:

en ambos parciales, mayor o igual a 4 (cuatro) y menor de 6(seis) en un parcial, mayor o igual a 4 (cuatro) y menor de 6 (seis); y en el

otro, menos de 4 (cuatro).No se recuperarn parciales para quedar en condicin de ASISTENCIA CUMPLIDA.

La condicin deREGULAR

se obtiene al cumplir el requisito de presentismo,correspondiente al 75% de concurrencia a las clases terico-prcticas, o sea,como mximo 4 ausentes; y obtener como calificacin:

en ambos parciales, 6(seis), sin uso del examen recuperatorio. en un parcial 6 (seis) y en el otro, nota 7 (siete), sin uso del examen

recuperatorio. en un parcial, inferior a 6 (seis); y en el otro, 6 (seis) o ms. En este

caso, deber recuperar el parcial correspondiente a una calificacin inferior a 6(seis) y aprobarlo. La nota de aprobacin del recuperatorio es 6 (seis).

La condicin de PROMOCIN se obtiene al cumplir el requisito de presentismo,correspondiente al 80% de concurrencia a las clases terico-prcticas, o sea,como mximo 3 ausentes; y obtener como calificacin:

de al menos 7(siete) en ambos parciales, de tal forma que la suma deambos puntajes sea mayor o igual a 14.

en un parcial, de al menos 7 (siete), y en el otro, un puntaje desde 4(cuatro) hasta menos de 6 (seis); pero que la suma de ambos sea de al menos 14puntos. En este caso, se tomar un coloquio oral de los contenidos que involucrael parcial de menor puntaje para definir su situacin, dependiendo sta de laaprobacin del mismo.


6/87

Elementos de Estadstica 2011Elementos de Estadstica 2011Elementos de Estadstica 2011Elementos de Estadstica 2011 Fac. Cs. Veterinarias (U. B. A.)Fac. Cs. Veterinarias (U. B. A.)Fac. Cs. Veterinarias (U. B. A.)Fac. Cs. Veterinarias (U. B. A.)

1

PROBABILIDAD

OBJETIVO ESPECIFICO Comprender, analizar y aplicar a la resolucin de problemas los conceptos de probabilidad, experimento

y variable aleatoria.

CONTENIDOS TEMATICOSProbabilidad: Nociones de probabilidad basadas en la teora clsica, del lmite de frecuencia relativa, y ladefinicin axiomtica. Caractersticas de cada una de las teoras. Experimento y suceso aleatorio. Reglas dela suma y del producto, y sus aplicaciones. Probabilidad condicional. Aplicaciones.

GLOSARIOExperimento aleatorio. Espacio muestral. Punto muestral. Sucesos. Casos especiales: sucesos imposibles,ciertos o seguros, mutuamente excluyentes o incompatibles, complementarios. Definicin clsica deprobabilidad, la probabilidad como lmite de la frecuencia relativa, teora axiomtica de probabilidad.Propiedades derivadas de la definicin axiomtica. Teoremas de la suma y del producto de probabilidades.Probabilidad condicional. Probabilidad conjunta. Independencia de sucesos.

PROBLEMAS RESUELTOS

EJERCICIO 1)Se tiene una urna que contiene tres bolillas verdes y dos rojas numeradas del 1 al 5.

1.1) Hallar el espacio muestral correspondiente a los siguientes experimentos aleatorios, asignando laprobabilidad correspondiente a cada uno de sus elementos, si el experimento consiste en elegir unabolillaal azar y

A) se observa y registra el color;B) se observa y registra el nmero.

1.2) Hallar el espacio muestral correspondiente a los siguientes experimentos aleatorios, asignando laprobabilidad correspondiente a cada uno de sus elementos si

1.2.1) el experimento consiste en elegir dos bolillasal azar, una y luego la otra con reposicinyA) se observa y registra el color de cada una;B) se observa y registra el nmero de cada una

1.2.2) el experimento consiste en elegir dos bolillasal azar, una y luego la otra, sin reposicinA) se observa y registra el color de cada una;B) se observa y registra el nmero de cada una

1.3) Indicar las probabilidades (si ya estn calculadas) o calcularlas, de los siguientes sucesos de losdiferentes espacios muestrales definidos:

i) la bolilla extrada es verde, considerando que el espacio muestral corresponde a 1.1.A)ii) la bolilla es la nmero 1, considerando que el espacio muestral corresponde a 1.1.B)iii) la bolilla tiene un nmero par, considerando que el espacio muestral corresponde a 1.1.B)iv) las dos bolillas son verdes, considerando que los espacios muestrales corresponde a 1.2.1.A) y a

1.2.2.A)v) la primera bolilla es verde y la segunda es roja, considerando que los espacios muestrales

corresponde a 1.2.1.A) y a 1.2.2.A)vi) al menos una bolilla es verde, considerando que los espacios muestrales corresponde a 1.2.1.A) y

a 1.2.2.A)vii) una bolilla es la nmero 1 y la otra es la nmero 5, considerando que los espacios muestrales

corresponde a 1.2.1.B) y a 1.2.2.B)viii) las dos bolillas tienen nmeros mayores o iguales que 2, considerando que los espacios

muestrales corresponde a 1.2.1.B) y a 1.2.2.B)

SOLUCIN1.1) Hallar el espacio muestral correspondiente a los siguientes experimentos aleatorios,asignando la probabilidad correspondiente a cada uno de sus elementos si el experimentoconsiste en elegir una bolilla al azar y

A) se observa y registra el colorSi interesa el color, slo se distinguen dos situaciones que llamaremos puntos muestrales y que

simbolizamos as:

V: el color de la bolilla elegida es verde


7/87


2

R: el color de la bolilla elegida es rojo

Por lo tanto el Espacio Muestral (S) ser: { }S = V, R

Las probabilidades correspondientes a cada elemento de S son:3 2

( ) ; ( )5 5

p p= =V R

B) se observa y registra el nmero.Si interesa el nmero, se distinguen cinco situaciones o puntos muestrales que simbolizamos de la

siguiente manera:

1: "nmero que se obtiene al extraer una bolilla es el 1,2: el nmero de la bolilla extrada es 2",y as sucesivamente

El espacio Muestral ( S) ser: { }1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5S=

Las probabilidades correspondientes a cada punto muestral1

(1) (2) (5)5

p p p= = = =L

1.2) Hallar el espacio muestral correspondiente a los siguientes experimentos aleatorios, asignando la

probabilidad correspondiente a cada uno de sus elementos si1.2.1) el experimento consiste en elegir dos bolillasal azar, una y luego la otra con reposicin y

A) se observa y registra el color de cada una;

Al extraerse 2 bolillas cada punto muestral estar formado por 2 ocurrencias (que podrn ser igual color odiferente color) quedando determinado un espacio muestral con 4 puntos muestrales.

{ }S= VV, VR, RV, RRAl realizar extracciones con reposicin siempre que se realiza una extraccin tendremos 5 elementospara realizar la seleccin.

1.2.2) el experimento consiste en elegir dos bolillas al azar, una y luego la otra, sinreposicin

A) se observa y registra el color de cada una;

Al realizar extracciones sin reposicin siempre que se realiza la primera extraccin tendremos 5elementos para elegir y, cuando realizamos la segunda extraccin, slo hay 4 elementos pues, el que fueseleccionado no se vuelve a colocar en la urna (no le damos la oportunidad de volver a salir). La cantidadde casos favorables puede o no modificarse dependiendo de cul es la bolilla que qued afuera.

El espacio muestral es el mismo que en 1.2.1.A) y las probabilidades son:

1.2.1) el experimento consiste en elegir dos bolillasal azar, una y luego la otra con reposicin yB) se observa y registra el nmero de cada una

El espacio muestral consta de 25 elementos (resultado de 5X5).

S = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (4,1);(4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (5,1); ( 5,2); (5,3); (5,4); (5,5)}

Todos los puntos muestrales tienen la misma probabilidad de ocurrir.

1.2.2) el experimento consiste en elegir dos bolillasal azar, una y luego la otra, sin reposicinB) se observa y registra el nmero de cada una

; ; ;= = = = = = = =p p p p* * * *

* * * *

3 3 3 2 2 3 2 29 6 6 4(VV) (VR) (RV) (RR)

5 5 25 5 5 25 5 5 25 5 5 25

; ; ;p p p p= = = = = = = =* * * *

* * * *

3 2 3 2 2 3 2 16 6 6 2(VV) (VR) (RV) (RR)

5 4 20 5 4 20 5 4 20 5 4 20

= = = =p p*

1 1(1,1) ........... (5,5)

5 5 25


8/87


3

p =9

(VV)25

p =6

(VV)20

p =6

(VR)25

p =6

(VR)20

Al realizar extracciones sin reposicin, cuando realizamos la segunda extraccin slo hay 4elementos y la cantidad de casos favorables puede o no modificarse dependiendo de cul es la bolillaque qued afuera.El espacio muestral slo tiene 20 elementos (resultado de 5X4).

S = {(1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,4); (3,5); (4,1); (4,2); (4,3); (4,5);(5,1); (5,2); (5,3); (5,4)}

1.3) Indicar las probabilidades (si ya estn calculadas) o calcularlas, de los siguientes sucesos de losdiferentes espacios muestrales definidos.

i) la bolilla extrada es verde, considerando que el espacio muestral corresponde a 1.1.A)

p3

(V) =5

se obtiene por lectura de lo calculado

ii)la bolilla es la nmero 1, considerando que el espacio muestral corresponde a 1.1.B)

se obtiene por lectura de lo calculado

iii)la bolilla tiene un nmero par, considerando que el espacio muestral corresponde a 1.1.B)

Si definimos D: la bolilla extrada tiene un nmero par, entonces D={2; 4} y su probabilidad, debido a queson sucesos mutuamente excluyentes, se calcula como la suma de la probabilidad de obtener un 2 y laprobabilidad de obtener un 4.

1 1 2(D) = (2) + (4) = + =

5 5 5p p p

o directamente por conteo de casos favorables sobre total de casos a partir del espacio muestral:

5

2=p

iv) las dos bolillas son verdes, considerando que los espacios muestrales corresponde a 1.2.1.A) y a

1.2.2.A)Utilizando el espacio muestral de 1.2.1.A) por lectura de lo calculado se obtiene:

y, utilizando el espacio muestral de 1.2.2.A), por lectura de lo calculado se obtiene:

v) la primera bolilla es verde y la segunda es roja, considerando que los espacios muestralescorresponden a 1.2.1.A) y a 1.2.2.A)

Utilizando el espacio muestral de 1.2.1.A) por lectura de lo calculado se obtiene

y, utilizando el espacio muestral de 1.2.2.A), por lectura de lo calculado se obtiene

vi)al menos una bolilla es verde, considerando que los espacios muestrales corresponde a 1.2.1.A) ya 1.2.2.A)

Si definimos H: al menos una bolilla extrada es verde, entonces H = { VR, RV, VV} y su probabilidad,debido a que son sucesos mutuamente excluyentes, se calcula como la suma de las probabilidades

individuales, por lo que ser en el espacio muestral de 1.2.1.A)

= = = =Kp p*

1 1(1,2) (5,4)

5 4 20

=1

(1)

5

p


9/87


4

6 6 9 21( ) ( ) ( ) ( )

25 25 25 25p H p p p= + + = + + =VR RV VV o por sucesos complementarios

4 21( ) 1 ( ) 1 ( ) 1

25 25p H p H p= = = =RR

y,en el espacio muestral de 1.2.2.A) 6 6 6 18( ) ( ) ( ) ( )

20 20 20 20p H p p p= + + = + + =VR RV VV o por sucesos complementarios

2 18( ) 1 ( ) 1 ( ) 1

20 20p H p H p= = = =RR

vii) una bolilla es la nmero 1 y la otra es la nmero 5, considerando que los espacios muestralescorresponde a 1.2.1.B) y a 1.2.2.B)

Si lo definimos como F, ser F={(1,5); (5,1)} y se puede calcular como la suma de las correspondientesprobabilidades:

1 1 2( ) (1, 5) (5,1)

25 25 25p p p= + = + =F calculado en el espacio muestral de 1.2.1.B) o, como ambas

probabilidades son iguales, se puede pensar en uno de los casos y multiplicar por los posibles cambios delugar de los elementos, en este caso 21 2

( ) 2. (1,5) 2.25 25

p p= = =F

Si se calcula en el espacio muestral de 1.2.2.B) ser

1 1 2( ) (1, 5) (5,1)

20 20 20p p p= + = + =F * *

1 2( ) 2 (1,5) 2

20 20p p= = =F

viii) las dos bolillas tienen nmeros mayores o iguales que 2, considerando que los espaciosmuestrales corresponde a 1.2.1.B) y a 1.2.2.B)

Si lo definimos como el suceso G, entonces G es:

G ={(2,2); (2,3); (2;4); (2,5); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); ( 5,2); (5,3); (5,4); (5,5)}y considerando el espacio muestral de 1.2.1.B) la probabilidad se puede calcular como:

suma de las probabilidades correspondientes a cada punto muestral.1 1 16

( ) (2,2) (2,3) (5,5)25 25 25

p p p p= + + + = + + =K LG

O, como todos los puntos muestrales son igualmente posibles, se puede pensar en uno de ellos ymultiplicar por la cantidad de casos como ese que forman G, es decir

* *

1 16( ) 16 (2, 2) 16

25 25p p= = =G

O, utilizando el concepto de sucesos complementarios

G ={(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (3,1); (4,1); (5,1)} por lo que1 1 9

( ) (1,1) (1,2) (5,1)25 25 25

p p p p= + + + = + + =K LG y por lo tanto

9 16( ) 1 ( ) 1

25 25p p= = =G G

En forma similar considerando el espacio muestral de 1.2.2.B)

G ={(2,3); (2;4); (2,5); (3,2); (3,4); (3,5); (4,2); (4,3); (4,5); (5,2); (5,3); (5,4)}

G ={(1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (3,1); (4,1); (5,1)}

y la probabilidad se puede calcular como:


10/87


5( )p B/E

1 1 12

( ) (2,3) (2, 4) (5, 4)20 20 20

p p p p= + + + = + + =K LG

* *

1 12( ) 12 (2,3) 12

20 20p p= = =G

1 1 8

p( ) p(1, 2) p(1,3) p(5,1) 20 20 20= + + + = + + =K LG y por lo tanto

20

8

20

121)(p1)(p === GG

EJERCICIO 2) En una jaula conviven, en igual proporcin, dos especies de jilguero, A y B. De la especieA, el 22% de los ejemplares est parasitado por un protozoo intestinal, mientras que de la especie B, el 35%de los ejemplares est parasitado por el mismo organismo. Un investigador necesita un jilguero para unainvestigacin, con lo cual entra a la jaula y captura uno al azar:a) Cul es la probabilidad de que el jilguero capturado est parasitado?b) Si el jilguero capturado est parasitado, cul es la probabilidad de que pertenezca a la especie B?

SOLUCINSimbolizaremos a los sucesosA = {el jilguero es de la especie A}B= {el jilguero es de la especie B}E= {el jilguero est parasitado}

Los datos son:.... conviven, en igual proporcin, dos especies de jilguero p(A) = p(B) = 1/2

De la especie A, el 22% de los ejemplares est parasitado por un protozoo intestinal. Al saber que son de laespecie A se simboliza p(E/A) = 0,22

... mientras que de la especie B, el 35% de los ejemplares est parasitado por el mismo organismo.En forma similar, dado que se sabe que son de la especie B, se simboliza p(E/B) = 0,35

Nota: si bien es conveniente que el smbolo seleccionado para cada suceso ayude a su interpretacin (comoel caso de A y B) no se debe usar la letra P con ms de una finalidad, por lo cual la reservamos paraprobabilidad y para parasitado se utiliz el smbolo E (de enfermo).

a) Para la definicin del suceso sea parasitado, debemos considerar a todos los parasitados, es decir, losque estn parasitados y son de la especie A y a los que estn parasitados y son de la especie B, comoaparece en la frmula:

Como son dos sucesos mutuamente excluyentes (si un jilguero es parasitado de la especie A ese jilguero noes parasitado de la especie B) la probabilidad de parasitado (p(E)) se calcula como la suma de lasprobabilidades de los dos sucesos que intervienen en la unin.

Cada uno de los trminos es la probabilidad de una interseccin de sucesos no independientes por lo tantose calcula

Sustituyendo los valores de las probabilidades y realizando el clculo llegamos a

b) Si el jilguero capturado est parasitado ... indica que parasitado es algo que ocurri por lo tanto losolicitado se simboliza

( ) ( )[ ] ( ) ( )= = +I U I I I(E) E A E B E A E Bp p p p

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). .= = + = +I U I I I(E) E A E B E A E B A E/A B E/Bp p p p p p p p

( ) ( )[ ]= I U I(E ) E A E Bp p

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = + = + =

=

I U I I I* *

p p p p p p p p

* *

(E) E A E B E A E B A E/A B E/B

1 10,22 + 0,35 = 0,11+0,175 = 0,285

2 2


11/87


6

( )15 3

0,3050 10

p = = =Z

( )

90,18

50p = =IZ C1

( ) ( ) ( ) ( )15 25 9 31

0,6250 50 50 50

p p p p= + = + = =U IZ C1 Z C1 Z C1

( )( )

= =Ip

pp

E B 0,175B/E = 0,614

0,285(E)

( ) ( ) ( ) **15 9

0,1850 15

p p p= = =IZ C1 Z C1/ Z

Y se resuelve

EJERCICIO 3) Dos campos con equinos en pastoreo clasificados segn su pelaje presentan la siguiente

distribucin:campo 1 campo 2

Zaino 9 6Bayo 11 6Rosillo 5 13

3.1) Se selecciona un equino al azar. Calcular la probabilidad de que:a) sea Zaino,b) sea Zaino y del campo 1,c) sea Zaino o del campo 1,d) sea Rosillo, sabiendo que es del campo 1.

3.2) Si se seleccionan dos equinos al azar:3.2.1)Con reposicinCalcular la probabilidad de que sean:

1) ambos Bayos,2) el primero Bayo y el segundo Zaino,3) uno Bayo y el otro Zaino,4) uno Bayo y del campo 1; y, el otro, Zaino y del campo 2.

3.2.2)Sin reposicinCalcular las probabilidades pedidas en 3.2.1)

SOLUCINPara facilitar los clculos agregamos una fila y una columna con los totales de animales que hay en cadacampo y de cada pelaje

campo 1 (C1) campo 2 (C2)Zaino (Z) 9 6 15Bayo (B) 11 6 17Rosillo (R) 5 13 18

25 25 50

3.1)

a)

b) Es la probabilidad de una interseccin y se puede calcular directamente observando la tabla y aplicando lateora clsica de probabilidades.

o por definicin, considerando a cualquiera de los dos sucesos como el primero. Si primero se observa elpelaje y luego de qu campo proviene:

Nota:Observar que dado que interviene una nica vez el azarnose multiplica por dos.

c) Como puede darse que el animal sea Zaino y tambin del campo 1 los dos sucesos Z y C1 no sonmutuamente excluyentes lo que lleva a la siguiente expresin y correspondiente clculo


12/87


7

( ) *17 17 289

0,115650 50 2500

p = = =BB

( ) *17 15 255 0,102050 50 2500

p BZ = = =

( ) ( ) ( )* * *17 15

2 2 0,204050 50

p p p+ = =BZ ZB BZ

( ) * *11 6

2 0, 052850 50

p = =IBC1 ZC2

( ) *17 16

0,111050 49

p = =BB

( ) *17 15 255

0,104150 49 2450

p = = =BZ

( ) ( ) * * *17 15

2 ( ) 2 0,208250 49

p p p+ = = =BZ ZB BZ

( ) * *11 6

2 0, 053950 49

p = =IBC1 ZC2

d) Lo que se sabe (equivalente a decir que est dado) es que ...es del campo 1 y lo aleatorio es que ...sea

rosillo, por lo tanto ( )5 1

0,201 25 5

RpC

= = = (por lectura directa de tabla), tomando en cuenta que la

condicin restringe la cantidad de casos posibles.Por frmula:

( )( )

( )

1 5 50 50,201 1 25 50 25

p R CRp C p C

= = = =

3.2)Dos equinos al azar

3.2.1)Con reposicin

1) Como la caracterstica Bayo es la misma para los dos animales seleccionados, no se ven diferencias si selos permuta o cambia de lugar por lo tanto NO multiplicamos por dos.

2) Como indica el orden en que deben ocurrir los sucesos slo hay una forma de calcularlo

3) Al no indicar el orden en que deben ocurrir los sucesos, el planteo tiene dos formas de presentarse

4) Como no aclara orden puedo plantear un caso y multiplicar por las permutaciones, es decir, por la cantidadde cambios de lugar diferentes que se pueden dar. En este caso debo multiplicar por 2 debido a que slo sepueden dar en dos rdenes: primero BC1 y luego ZC2, o primero ZC2 y luego BC1.

3.2.2)Sin reposicin

En este caso debemos recordar que:- para calcular la probabilidad del primer elemento, se razona de la misma manera que lo que se hizocon reposicin.- en el clculo de la probabilidad del segundo elemento que se selecciona, y en los sucesivos, eldenominador (cantidad de elementos que pueden ser seleccionados) siempre van disminuyendo.

1) En este caso cuando se selecciona el segundo elemento y el primero no se repuso vamos a tenertambin un caso favorable menos

2)

3)

4)

EJERCICIO 4) Queremos evaluar la calidad del anlisis clnico en la deteccin de cncer de mama. Paraello se consideran los 2641 casos de consulta en un servicio de ginecologa y patologa mamaria de Capi-tal Federal.Los resultados registrados se han tabulado a continuacin:


13/87


8

Resultado de la biopsiaResultado del anlisisclnico Cncer Patologa benigna Total

Anormal 635 268 903

Normal 486 1252 1738

Total 1121 1520 2641

Calcular: sensibilidad, especificidad, valor predictivo positivo, y valor predictivo negativo.

SOLUCINPara cada medida de calidad del anlisis clnico se aplican las siguientes frmulas:

Sensibilidad = P(+/E)= VP/(VP+FN)

Sensibilidad = 635/1121 = 0,5664

Especificidad = P(-/E)=VN/(FP+VN)

Especificidad = 1252/1520 = 0,8237

VPP = P(E/+)=VP/(VP+FP)

Valor predictivo positivo = 635/903 = 0,7032

VPN = P( E/-)=VN/(VN+FN)

Valor predictivo negativo = 1252/1738 = 0,7204

EJERCICIO 5)Un test de diagnstico tiene una probabilidad 0,9 de detectar la presencia de Escherichiacoli, en caso de haberla (sensibilidad del test). Si no est presente, detecta su ausencia con una probabi-lidad de 0,8 (especificidad del test). La probabilidad de que una muestra de agua contenga Escherichiacolies 0,20 (prevalencia).

1- Cul es la probabilidad de que el test d un resultado positivo?2- Suponiendo que el test dio un resultado positivo, cul es la probabilidad de que realmente la muestrade agua contenga E. coli? (Valor predictivo positivo del test)3- Por otro lado, si el test da un resultado negativo, cul es la probabilidad de que realmente el aguaest libre de bacterias? (Valor predictivo negativo del test)4- Calcular el coeficiente Falso positivo = P(test positivo cuando la bacteria est ausente)5- Calcular el coeficiente Falso negativo= P(test negativo cuando la bacteria s est presente)

SOLUCINConsideremos una tabla similar a la del ejemplo anterior:

Bacteria Escherichia ColiPresente AusentePositivo VP FP PPResultado del test

diagnstico Negativo FN VN PN0,20 0,80 1,00

Sabemos que la sensibilidad de la prueba es 0,9, lo que indica que:

P(+/presente)= 0,9

Es decir que: VP/0,2 = 0,9 luego VP= 0,2*0,9 = 0,18Adems sabemos que la especificidad es 0,8, lo que nos indica que:

P(-/ausente)=0,8


14/87


9

Es decir que: VN/0,8 = 0,8 luego VN= 0,8*0,8 = 0,64

Volquemos estos resultados en nuestra tabla:

Bacteria Escherichia ColiPresente Ausente

Positivo 0,18 0,16 0,34Resultado del testdiagnstico Negativo 0,02 0,64 0,660,20 0,80 1,00

2- Suponiendo que el test dio un resultado positivo, cul es la probabilidad de que realmente la muestrade agua contenga E. coli? (Valor predictivo positivo del test)

VPP = P(presente/+) = 0,18/0,34 =0,5294

3- Por otro lado, si el test da un resultado negativo, cul es la probabilidad de que realmente el aguaest libre de bacterias? (Valor predictivo negativo del test)

VPN = P(ausente/-) = 0,64/ 0,66= 0,97

4- Calcular el coeficiente Falso positivo = P(test positivo cuando la bacteria est ausente)

P(+/ausente) = 0,16/0,8 =0,2

5- Calcular el coeficiente Falso negativo= P(test negativo cuando la bacteria s est presente)

P(-/presente) = 0,02/0,20= 0,10

PROBLEMAS PROPUESTOSEJERCICIO 1) Un grupo de 60 perros fue clasificado como indica el cuadro:

Cachorro AdultoNegro 6 9Marrn 12 23Blanco 2 8

Calcular:a) la probabilidad de seleccionar:

a.1) un perro negro del grupo de cachorros;a.2) un cachorro negro.

b) si se seleccionan dos perros, cul es la probabilidad de que:b.1) uno sea un cachorro marrn y el otro un adulto negro?b.2) el primero sea adulto blanco y el segundo un perro marrn?

EJERCICIO 2) Se efectu la Prueba de Tuberculosis en vacas de un tambo y se obtuvieron los siguientesresultados:

VAQ. VACA-1aP. VACA-2aP. VACA-3aP.POSITIVAS 1 2 6 15NEGATIVAS 7 10 13 10SOSPECHOSAS 2 4 5 5

Antes de responder a las preguntas, clasifique los sucesos definidos en ellas, en mutuamente excluyentes ono excluyentes, y enumrelos.

a) Cul es la probabilidad de hallar:a.1) un animal de primera paricin y negativo?a.2) un animal de segunda o tercera paricin y sospechoso?

a.3) un animal positivo entre las vaquillonas?b) Si se examinan dos animales, cul es la probabilidad de que:


15/87


10

b.1) sean, el primero sospechoso y vaquillona y el segundo vaca de tercera paricin y negativo?b.2) sean uno negativo y otro sospechoso?b.3) el segundo sea negativo sabiendo que el primero es una vaca negativa de tercera paricin?

EJERCICIO 3) Un test detecta un cierto tipo de bacteria T con una probabilidad 0,90 en caso de haberla. Sino la hay, detecta la ausencia, con probabilidad 0,80. Sabiendo que la probabilidad de que una muestra de

agua contenga la bacteria de tipo T es 0,20, calcular la probabilidad de que:a) realmente haya presencia de bacteria cuando el test haya dado positivo.b) realmente haya presencia de bacteria cuando el test haya dado negativo.c) haya bacteria y adems el test d positivo.d) o haya bacteria o el test d positivo.

EJERCICIO 4)La esferocitosis es un tipo particular de anemia que se encuentra en 1 cada 2000 pacientescon anemia. Se conocen dos mtodos de deteccin: CHCM (concentracin de hemoglobina corpuscularmedia) mayor o igual a 34,5 y ADE (amplitud de distribucin eritrocitaria) mayor o igual a 14,5. El test basadoen la CHCM tiene una sensibilidad de 86% y una especificidad de 90%, mientras que en el test basado en laADE la sensibilidad es de 94% y la especificidad de 88%.a) Cul es la probabilidad de que una persona con anemia cuyo CHCM es mayor o igual a 34,5 tenga

esferocitosis?b) Cul es la probabilidad de que una persona con anemia cuyo ADE es mayor o igual a 14,5 no tengaesferocitosis?

EJERCICIO 5) Se sabe que uno de cada mil individuos contraen cierta enfermedad en una poblacin deestudio. Para detectar esta enfermedad se usa un test que da resultado positivo en el 99% de los casos depersonas enfermas, en tanto que da positivo slo en el 2% de los casos de las personas sanas.a.- Si tomamos un individuo al azar, le realizamos el test y da positivo, cul es la probabilidad de que hayacontrado la enfermedad?b.- Si ha dado negativo el test, cul es la probabilidad de que la persona est sana?

Completar la siguiente tabla:

Presencia de enfermedadEnfermos Sanos

PositivoResultado del testdiagnstico Negativo

Sensibilidad:Especificidad:Valor predictivo positivo:Valor predictivo negativo:


16/87


11

CUESTIONARIO

1) En un diario comentan que los accidentes automovilsticos en las rutas son ms probables actualmenteque hace diez aos. El diario de la competencia informa que este ao la probabilidad de que suceda unaccidente automovilstico para las vacaciones de invierno es de 1,5; por lo que aconseja prudencia.Opine sobre lo publicado en este ltimo. Justifique su opinin.

2) Dados dos sucesos distintos de vaco A y B, puede ser que:a) p(A) sea mayor que p(A/B)b) p(A) sea igual que p(A/B)c) p(A) sea menor que p(A/B)

Justifique en forma grfica, analtica o con ejemplos cada una de las respuestas.

3) Defina probabilidad condicional. Ejemplifique.

4) Haga un crculo en verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:Si A y B son dos sucesos no vacos, incluidos en un espacio muestral S, cuyas probabilidades son 0,40 y0,30 respectivamente, entonces:

- (V) (F) A y B pueden ser o no mutuamente excluyentes

- (V) (F) A y B son mutuamente excluyentes- (V) (F) A y B no son mutuamente excluyentes

5) Haga un crculo en verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:Si A y B son dos sucesos no vacos, incluidos en un espacio muestral S, con p(A)= 0,40; p(B)= 0,30;p(A/B)=0,7 entonces:

- (V) (F) A y B pueden ser o no independientes-(V) (F) A y B son independientes- (V) (F) A y B no son independientes

6) Segn la teora axiomtica de probabilidades la probabilidad es una funcin que: tiene como dominio .......................................................................... cumple con la cantidad de ............ axiomas.

7) Dados dos sucesos A y B no vacos incluidos en un espacio muestral S, son ........................ cuandola ocurrencia de uno no impide la ......................................... del otro en ..................... repeticin/nes delexperimento.


17/87


12

VARIABLE ALEATORIA

DISTRIBUCIONES EN PROBABILIDAD

* OBJETIVOS ESPECFICOS

Comprender los conceptos de variable aleatoria, funciones de probabilidad y de distribucin acumulada.Aplicar estos conceptos a la interpretacin del comportamiento de fenmenos biolgicos y conoceralgunas distribuciones de probabilidad que los describen.Analizar distintos casos y calcular valores medios y de dispersin.Calcular las probabilidades de ocurrencia de resultados experimentales.

* CONTENIDOS TEMTICOSVariable aleatoria: discreta y continua.Distribucin de probabilidad, funcin de cuanta, densidad y distribucin acumulada. Distribuciones deprobabilidad, Esperanza y varianza. Propiedades de la esperanza y la varianza. Percentil. Distribucionesespeciales: Bernoulli, Binomial, Normal, Normal estandarizada, t de Student y Ji-Cuadrado.

* GLOSARIO

Variable aleatoria. Funciones de probabilidad: funcin de cuanta, funcin de densidad, funcin dedistribucin acumulada. Percentiles. Esperanza matemtica. Varianza.Distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Distribuciones particulares: Binomial, Normal, t deStudent y Ji-Cuadrado.

PROBLEMAS RESUELTOS

EJERCICIO 1) Si X es una variable aleatoria discreta tal que:

xi 0 1 2 3 4p(xi) 0,1 0,1 0,35 0,25 .

a) Completar el valor faltante; b) Calcular la funcin de distribucin acumulada; c) Determinar P(X 2);d) Graficar la funcin de cuanta y la funcin de distribucin acumulada; e) Hallar E(X); f) Hallar E(X+2);g) Hallar E(2X)

SOLUCIN: observemos quela variable en estudio es una variable aleatoria discreta

a) Para resolver este punto debemos recordar una de las condiciones para que una funcin sea una funcinde probabilidad puntual o funcin de cuanta: la suma de las probabilidades puntuales es igual a uno,simblicamente:

=

=n

i

ixp0

1)( .

En nuestro caso4

0

( ) 1

i

i

x

p x

=

= , es decir: (0) (1) (2) (3) (4) 1p p p p p+ + + + = ;

reemplazando por los valores de tabla nos queda: 0,1+ 0,1+ 0,35 + 0,25 + p(4) = 1, despejando obtenemos:p(4)=1 - 0,1 - 0,1 - 0,35 - 0,25.

Por lo tanto el valor faltante es: p(4)=0,2

NotaNotaNotaNota: observar que el n de la sumatoria, puede ser infinito.

b) La funcin de distribucin acumulada (F(xi)).

Por ejemplo si queremos F(2), usamos la funcin de probabilidad puntual, de la siguiente manera:

(2) ( 2) ( 0) ( 1) ( 2) 0,1 0,1 0,35 0,55F P X p X p X p X = = = + = + = = + + =

Repitiendo este procedimiento para cada valor de la variable se obtiene la funcin de distribucin acumulada.


18/87


13

( ) ( ) ( )P X 2 = 1 - P X < 2 = 1- P X 1 = 1 -0,2 = 0,8

( ) ( )4

0

0 0,1 1 0,1 2 0,35 3 0,25 4 0,2 2,35i ii

E X x p x=

= = + + + + =

xi 0 1 2 3 4

p(xi) 0,1 0,1 0,35 0,25 0,2F(xi) 0,1 0,2 0,55 0,80 1,0

c) Nos estn preguntando la probabilidad de que la variable tome valores mayores o iguales a dos. Este tem

se puede resolver de dos formas1) Utilizando la funcin de cuanta y sumando cada probabilidad puntual

( 2) ( 2) ( 3) ( 4) 0,35 0, 25 0,2 0,8P X p X p X p X = = + = + = = + + =

2) Utilizando la funcin de distribucin y aplicando las propiedades de que la suma de todas lasprobabilidades es uno y de sucesos mutuamente excluyentes:

Por lo tanto 8,0)2( =XP

NotaNotaNotaNota: observar que en el caso en que la variable pueda tomar muchos valores, la primera forma deresolucin es poco prctica, ya que podra ser una suma con muchos trminos; en cambio la segunda formasiempre va a ser una operacin de, a lo sumo, dos trminos.

d) El grfico de la funcin de cuanta es un grfico de bastones que muestra las probabilidades puntuales decada valor de la variable. En el eje de las abscisas se ubican los valores de la variable y en el eje de lasordenadas se ubican los valores de probabilidad puntual.

El grfico de la funcin de distribucin acumulada es un grfico de escalones que muestra cuntoacumula cada valor de la variable, antes del primer valor de la variable la funcin vale cero ya que noacumula probabilidad y luego del ltimo valor de la variable la funcin se mantiene constante en uno ya queno hay ms valores de variable que aporten probabilidad. En el eje de las abscisas se ubican los valores dela variable y en el eje de las ordenadas los valores de probabilidad acumulada.

e) Para calcular la esperanza de una variable aleatoria discreta se utiliza la siguiente frmula

=

=n

oi

ii xpxXE )()(

En nuestro caso

Por lo tanto E(X)=2,35


19/87


14

3

1

8

1)( 2 += xxf

( )

13

2

3

10

3

2

24

8

3

0

21

0

3

2

24

2

3240

3

1

3.

8

10

03

1

8

10)()()(

332

0

32

0

3

2

2

0

2

0

2

2

0

0

=

+=

+=

+

+=

+=+

++=

=+

++=++=

xxx

x

dxdxxdxdxxfdxxfdxxfdxxf

f) Para calcular la esperanza que nos estn pidiendo hay que utilizar la propiedad que establece que laesperanza de una variable ms una constante es la esperanza de la variable ms la constante:E(X+a)=E(X) + a. En nuestro caso la constante es 2, E(X+2) = E(X) + 2

Por lo tanto E(X+2) = 2,35 + 2 = 4,35

g) Para calcular la esperanza hay que utilizar la propiedad que establece que la esperanza de unavariable por una constante es la esperanza de la variable por la constante: E(aX) = aE(X). En nuestrocaso la constante es 2, E(2X) = 2 E(X),

Por lo tanto E(2X) = 2*2,35 = 4,7

EJERCICIO 2) Dada la funcin:

a) Verificar que f(x) es funcin de probabilidad en el intervalo [0;2] y graficar.b) Hallar la funcin de distribucin acumulada.c) Calcular E(X)d) Calcular P(0,5 < X 1,5)

SOLUCIN: observemos quela variable en estudio es una variable aleatoria continua

a) Para verificar que f(x) es una funcin de probabilidad hay que verificar las dos condiciones:

( )1) ( ) 0 x ;

2) ( ) 1

f x

f x dx

=

La primeracondicin se verifica directamente con el grfico de la funcin:

Desde menos infinito hasta 0 la funcin vale cero, desde 0 hasta 2 la funcin es mayor o igual quecero y desde 2 hasta ms infinito la funcin vale cero. Por lo tanto la primera condicin se verifica.

La segundacondicin se verifica calculando la integral, es decir verificando que el rea bajo la curva es uno.

Como la integral es igual a 1 se verifica la segunda condicin.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

x

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

f(x)


20/87


15

( ) ( )

22 2 2 4 2

2 3

0 0 0 0

2 4 24 2

0

1 1 1 1 1 1

8 3 8 3 8 4 3 2

1 1 2 2 16 4 71,17

32 6 32 6 32 6 6

x xE X x f x dx x x dx x x dx

x x

= = + = + = + =

= + = + = + = =

Por lo tanto se verifican las dos condiciones es decir que f(x) es una funcin de probabilidad.

b) La funcin de distribucin acumulada es la funcin que da las probabilidades acumuladas y se obtieneintegrando la funcin de probabilidad. La integral es muy parecida a la calculada en el punto a.

( ) ( )3

2 3

0 0 0

1 1 1 1 1 1

8 3 8 3 3 24 3

xx x

X

uF x f u du u du u x x

= = + = + = +

Por lo tanto la funcin de distribucin es:( ) 3

0 para x < 0

1 1para 0 x 2

24 3

1 para x > 2

XF x x x

= +

c) Para calcular la esperanza de una variable aleatoria continua se utiliza la siguiente frmula:

( ) ( )E X x f x dx

=

En nuestro caso:

Por lo tanto E(X)=1,17.

Nota: La integral fuera del intervalo [0; 2] vale cero.

d)Nos estn preguntando la probabilidad de que la variable tome valores entre 0,5 y 1,5.Para calcular esta probabilidad utilizaremos la funcin de distribucin acumulada. Primero calculamos la

probabilidad de que la variable tome valores menores que 1,5 (reemplazando este valor en la funcin de

distribucin acumulada) y a este valor le restamos la probabilidad de que la variable tome valores menoresque 0,5 (reemplazando este valor en la funcin de distribucin acumulada). Recordemos que, como lavariable es continua, la probabilidad en un punto es igual a cero, por lo tanto:

( 1,5) ( 1,5) (1,5)P X P X F < = = , y lo mismo para 0,5.

Por lo que se puede deducir que no importa si los extremos estn o no incluidos, clculo de probabilidad sehace de la misma manera.

Nos queda:

Por lo tanto 46875,0)5,15,0( =< XP

EJERCICIO 3) Dada la funcin: f(x)= 2x definida en el intervalo [0;1] y0

1

1

2

0 s i x

F (X ) x s i 0 x

1 s i x

Responder:a)es f(x) una funcin de densidad de probabilidad? Por qu?b)cul es la probabilidad de (X < )?c)y la P(X 2)?

( ) ( ) ( )3 3

0,5 1,5 ( 1,5) ( 0,5) 1,5 0,5

1 3 1 3 1 1 1 1* * * *

24 2 3 2 24 2 3 2

27 1 1 1 26 2 90 0,46875192 2 192 6 192 6 192

P X P X P X F F < = < = =

= + + =

= + = + = =


21/87


16

d)cul es la probabilidad de (X )?

SOLUCIN: Notemos quela variable en estudio es una variable aleatoria continua

a) Para verificar que es funcin de densidad, o funcin de probabilidad debemos probar que la funcincumple con dos propiedades (como en el ejercicio anterior).

Estas son:1) f(x) 0 en todo su recorrido

2)+

=f(x) dx 1

La primera propiedad la verificamos directamente en el grfico de la funcin y observamos que elmismo aparece sobre el eje x (de abscisas), que se corresponde con el eje positivo de ordenadas, eneste caso f(x).

Al observar el grfico vemos que se cumple la primera propiedad.

La segunda propiedad la verificamosrealizando un clculo sencillo a partir delgrfico para evitar calcular integrales.Debemos observar que la segundapropiedad corresponde a considerar elrea bajo la curva que queda delimitadapor el intervalo de definicin o dominio.

En este caso bajo la curva reconocemos una figura geomtrica, el tringulo, por lo que debemos

calcular el rea del mismo, su base es de 1 unidad y su altura es de 2 unidades, por lo tanto:

Como el rea bajo la curva de la funcin es uno se verifica la segunda condicin

Por lo tanto se verifican las dos condiciones, entonces f(x) es una funcin de probabilidad o funcinde densidad.

b) Nos estn preguntando la probabilidad de que la variable tome valores menores a , para estoutilizaremos la expresin de la funcin de distribucin acumulada, que es una funcin partida, es decirque hay que prestar especial atencin al valor de la variable ya que este nos va a indicar qu parte de la

funcin utilizar.En este caso el valor es , este valor est entre 0 y 1, por lo tanto utilizamos la parte central de la

funcin, es decir F(x) = x2

Por lo tanto F(1/2) = P(X < 1/2) = (1/2)2 = 0,25

c) Nos estn preguntando la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales a 2. En estecaso el valor de la variable es 2, mayor que 1, por lo tanto utilizaremos la ltima parte de la funcin, esdecir F(x)=1

Por lo tanto F(2)=(P(X2) = 1

Nota: observar que el caso continuo es indistinto utilizar los smbolos > o y < o , ya que la probabilidad

puntual de una variable aleatoria continua es siempre cero. Es decir que:P(Xa) = p(X


22/87


17

( )

=

=

5 y 14 y14P(Y 5) 0,4 .0,6yi 0

d) Nos estn preguntando la probabilidad de que la variable tome valores mayores o iguales a , adiferencia de los dos puntos anteriores, nopodemos utilizar directamente la funcin de distribucin yaque esta sirve solamente para probabilidades acumuladas hasta el valor de la variabley, en este caso, esuna probabilidad acumulada a partir de dicho valor de la variable. Por lo tanto tendremos que hacer unpaso ms que consiste en escribir la expresin P(X 1/2) como una probabilidad que acumula pormenor. Sabemos que la probabilidad total es uno por lo tanto: P(X 1/2)= 1 - P(X < 1/2).

Ahora estamos en condiciones de utilizar la funcin de distribucin con el valor (esta probabilidad fuecalculada en el punto b).Por lo tanto P(X 1/2)= 1 - P(X < 1/2) = 1 - (1/2)2 = 1 - 0,25 = 0,75

EJERCICIO 4) De acuerdo a las leyes genticas la inseminacin artificial con semen proveniente de machosLandrace con hembras Duroc Jersey da hijos con las caractersticas paternas en un 60% de los casos y elresto con las caractersticas maternas. Si se tomaron 14 cras de este tipo de apareamiento (provenientes dedistintas madres), cul es la probabilidad de obtener:

a) hasta 5 cras con caractersticas maternas?b) menos de 6 cras con caractersticas paternas?c) el 50% de las cras con caractersticas maternas?d) Hallar V(3X)e) Hallar V(X+4).

SOLUCIN: La variable en estudio es una variable aleatoria discreta, pero a diferencia de las variablesdiscretas de los ejercicios anteriores, parecera tener una distribucin conocida, la distribucin Binomial,cuyas probabilidades estn tabuladas. Con lo cual, antes de calcular probabilidades debemos verificar lossupuestos de dicha distribucin.

En principio, es necesario precisar en qu consiste el experimento aleatorio. En este caso sera inseminarartificialmente una hembra Duroc Jersey con semen de un macho Landrace, y observar si un hijo tienecaractersticas paternas.

Este experimento se repite 14 veces y, de esta manera, queda definida la variable binomial.

X: Nde hijos de machos Landrace con hembras Duroc Jersey con caractersticas paternas, en 14 cras.

1)El experimento aleatorio tiene dos resultados posibles: xito y fracaso. Cada cra puede tenercaractersticas paternas o maternas (por como fue definida la variable el xito es que tenga caractersticas

paternas; pero se podra haber definido de otra forma).2)Cada repeticin del experimento aleatorio es independiente de las dems. Cada cra es independiente delas dems.3)Los resultados del experimento aleatorio son mutuamente excluyentes. Si una cra tiene caractersticaspaternas no puede tener caractersticas maternas.4)La probabilidad de xito se mantiene constante a lo largo de todas las repeticiones. La probabilidad decaractersticas paternas (p=0,6) es la misma a lo largo de los 14 repeticiones.5)El nmero de repeticiones es prefijado. Hay 14 cras observadas (n=14).

Una vez verificadas las condiciones de binomialidad se puede decir que XBi (14;0,6).

Como la probabilidad de xito es 0,6 es conveniente definir una variable aleatoria binomial auxiliar ya quela tabla no puede usarse con probabilidades de 0,6 porque solo cuenta con probabilidades de 0 a 0,5. Por

esta razn definimosY: Nde hijos de machos Landrace con hembras Duroc Jersey con caractersticas maternas, en 14 cras.

Es una variable aleatoria con distribucin binomial con parmetros p=0,4 y n=14: YBi (14;0,4).

a) Nos estn preguntando sobre las caractersticas maternas por lo tanto debemos utilizar la variablealeatoria Y. Hasta 5 cras con caractersticas maternas quiere decir que la variable aleatoria Y puede tomarvalores menores o iguales que 5. Hay dos formas de resolver este tem:

1) Por tabla, que da la funcin de distribucin acumulada, entrando con n=14 y p=0,4 y buscando el 5

P(Y 5) = 0,4859

2) Por frmula:

Por lo tanto la probabilidad de obtener hasta 5 cras con caractersticas maternas es de 0,4859.


23/87


18

P(Y = 7) = P(Y 7)- P(Y 6) = 0,8499 - 0,6925 = 0,1574

( ) =7 714P(X = 7) = 0, 4 0, 6 0,1574x

Nota: Por lo general es conveniente utilizar la tabla ya que los clculos con frmula son muytrabajosos

b) Nos estn preguntando sobre las caractersticas paternas por lo tanto debemos utilizar la variable aleatoriaX, pero vamos a tener que hacer un cambio de variable. Menos de 6 cras con caractersticas paternas

quiere decir que la variable aleatoria X puede tomar valores menores a 6, es decir menores o iguales a 5.Para hacer el cambio de variable analicemos que sucede con la otra variable, si la variable X puede tomarvalores menores o iguales a 5 quiere decir que la variable Y puede tomar valores mayores o iguales a 9, yaque si hay 5 cras con caractersticas paternas o menos hay 9 con caractersticas maternas o ms(recordemos que el total es 14). Este cambio de variable se puede ver ms claramente con un esquema endonde se ubican los valores de ambas variables:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Y 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Aclarado este punto, existen dos formas de resolver este tem:

1) Por tabla, haciendo el cambio de variable y luego utilizando la propiedad de la suma de lasprobabilidades totales, entrando con n=14 y p=0,4 y buscando el 8.

( 6) ( 5) ( 9) 1 ( 9) 1 ( 8) 1 0,9417 0,0583P X P X P Y P Y P Y < = = = < = = = 2) Por frmula se plantea: (no es necesario hacer el cambio de variable)

=

== 510) (tendremos queutilizar la propiedad de que la probabilidad total es uno, ya que todas las tablas dan probabilidades paravalores menores que un cierto valor, ya que son tablas de funciones de distribucin acumulada).

510 450( 510) ( 0,75) 1 ( 0,75) 1 0,77337 0,22663

80

XP X P P Z P Z

> = > = > = = =

El rea sombreada bajo la curva normal es de 0,22663.

Por lo tanto, la probabilidad de que el tambero nollegue a la quiebra es de 0,22663.

Nota: se entra en tabla por los mrgenes con el valorestandarizado de la variable, y se busca la probabilidad en el interior de la misma.

b) El tambero llega a la quiebra si produce a lo sumo 510 litros/mes y pierde su patrimonio personal siproduce menos de 320 litros/mes, por lo tanto no pierde su patrimonio personal si produce ms de 320litros/mes. Es decir que nos estn preguntando: cul es la probabilidad de que la variable tome valoresentre 320 y 510? Simblicamente se escribe: )510320( XP

320 510 320 450 510 450(320 510)

80 80

( 1, 63 0, 75) ( 0, 75) ( 1, 63) 0, 77337 0, 05155 0, 72182

= = =

= = = =

P X P Z P Z

P Z P Z P Z

El rea sombreada bajo la curva normal es de 0,72182

Por lo tanto, la probabilidad de que el tambero llegue a la quiebra sin perder su patrimoniopersonal es de 0,72182.

c) Si el tambero, en otro pas, tiene una probabilidad de 0,3 de no irse a la quiebra, debemos buscar elvalor de la variable que nos determina esta probabilidad, es decir buscamos el valor de a que resuelve:P(X>a)=0,3, pero debemos estandarizar, es decir que buscamos b que resuelva: P(Z>b)=0,30.


25/87


20

7,0)(3,01)(30,0)( ===> bZPbZPbZP .Entrando por el interior de la tabla con el valor de probabilidad 0,7 (o con el valor ms cercano a este),buscamos el valor de la variable en los mrgenes, obtenemos que b = 0,53. Pero nos interesa este valor sinestandarizar por lo tanto debemos des-estandarizar. Para esto debemos despejar el valor de X de lafrmula de estandarizacin:

aZaZa

Zb =+=

==

** 7,07,07,0

En nuestro caso 0,52*80 450 41, 6 450 491, 6a a a= + = + =

Por lo tanto si el tambero produjera en otro pas debera producir ms de 491,6 litros/mes para no irse a laquiebra.

EJERCICIO 6) Sea X una variable aleatoria con distribucin t-Student, con 16 grados de libertada) Cul es la probabilidad de que X 2,12?b) Cul es la probabilidad de que X > 2,921?c) Cul es la probabilidad de que X < -2,583?d) Cual es el valor de a que cumple con la siguiente restriccin: P(Xa)=0,90?e) Cul es el valor de a que cumple con la siguiente restriccin: P(X 2,921) =1-P(X 2,921). Para encontrar P(X 2,921) hacemos lo mismo que en elpunto a y obtenemos que P(X 2,921) = 0,995. Con lo cual P(X>2,921)=1-0,995=0,005

Por lo tanto, P(X > 2,921) = 0,005.

c)La tabla de la distribucin t slo cuenta con los valores positivos de la variable, pero como es una

distribucin simtrica utilizamos estos valores para encontrar probabilidades de los valores negativos. Porser simtrica podemos escribir P(X < -2,583) = P(X > 2,583) y seguir resolviendo como en el punto b,con lo cual P(X < -2,583) = P(X > 2,583) = 1-P(X < 2,583)=1- 0,99 = 0,01

Por lo tanto, P(X < -2,583) = 0,01.

Nota: la simetra nos asegura que el rea que queda a la izquierda del valor negativo de la variable es lamisma la que queda a la derecha del valor positivo de la variable.d)Nos estn pidiendo un valor de variable y nos estn dando la probabilidad de que los valores de t seanmenores de ese valor de variable (0,90), por lo tanto entramos por el encabezado de columna con estevalor, lo cruzamos con la fila de los 16 grados de libertad y as queda determinado el valor que estamosbuscando: 1,337.

Simblicamente: P(X


26/87


21

e)A diferencia del punto anterior, no podemos entrar directamente a tabla, por que la tabla cuenta solamentecon valores de probabilidad desde 0,6 hasta 0,9995. Por lo tanto, tendremos que utilizar nuevamente lapropiedad de simetra de la distribucin.

Por simetra: ( ) 0,05 ( ) 0,05P X a P X a< = > =

Por suma de las probabilidades totales: 05,0)(105,0)( = aXPaXP

Despejando: 95,0)(05,01)( = 33,92?c) Cul es el valor de b que cumple con la siguiente restriccin P(Yb) = 0,1?

SOLUCIN:La variable en estudio es una variable aleatoria continuacon distribucin Ji-Cuadrado con

22 grados de libertad por lo tanto podemos escribir: Y 222 . Vamos a utilizar la tabla (de distribucinacumulada) de la distribucin Ji. Para entrar en tabla necesitamos los grados de libertad, que en nuestrocaso son 22, por lo tanto solo utilizaremos la fila correspondiente a 22 para resolver los diferentes temdel ejercicio. La tabla de Ji es parecida a la de la t ya que cuenta con los valores de la variable en la partecentral, los grados de libertad en la primera columna y los valores de probabilidad en la primera fila.

a)Para obtener el valor que nos estn pidiendo solo tenemos que buscar en la fila de los 22 grados delibertad el valor de la variable 26,04, y leer en la fila de encabezados el valor de probabilidadcorrespondiente.

Por lo tanto, P(Y26,04) = 0,75.

Nota: si no est exactamente el valor de variable que buscamos se utiliza el valor ms prximo.

b)Una vez ms tendremos que utilizar la propiedad de la suma de las probabilidades totales ya que latabla slo da probabilidad para valores menores que un determinado valor de variable y nos estnpidiendo una probabilidades para valores mayores que un determinado valor de variable. Con lo cualP(Y> 33,92) = 1-P(Y 33,92), solo falta buscar el valor de probabilidad en tabla como en el punto a .P(Y>33,92) =1-P(Y 33,92)=1-0,95 = 0,05

Por lo tanto, P(Y > 33,92) = 0,05.

c)Entramos directamente en tabla con los grados de libertad 22 y el valor de probabilidad 0,25, donde secruzan la fila de los grados de libertad y la columna del valor de probabilidad queda determinado el valorpedido: b = 17,24

Simblicamente: 24,1725,0)( 2 25,0,22 ===< bbYp

Por lo tanto, b=17,24.

d)Una vez ms tendremos que utilizar la propiedad de la suma de las probabilidades totales9,0)(1.01)(1,0)( =


27/87


22

EJERCICIO 8) Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporcin de5 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmacin, otro laboratorio elige al azar a 2 pacientes a losque aplica la droga. Cul es la probabilidad de los siguientes sucesos?Resolver los siguientes tems de dos maneras diferentes, utilizando la distribucin correspondiente a lavariable de inters, y tambin aplicando los conceptos aprendidos en la unidad I.

a) Ningn paciente tenga efectos secundarios.

b) Uno tenga efectos secundarios y el otro no

c) Ambos tengan efecto secundario

SOLUCINSi aplicamos los conceptos de la unidad 1, debemos considerar los sucesos:

E: que el paciente tenga efectos colaterales provocados por la droga.

NE: que el paciente tenga efectos colaterales provocados por la droga.

El espacio muestral correspondiente al experimento en el que se extraen 2 individuos, con reposicin,formando el siguiente espacio muestral:

S = {(E, E); (E, NE); (NE, E); (NE, NE)}

Si aplicamos los conceptos de la unidad 2, necesitamos considerar la siguiente variable aleatoria:X:cantidad de pacientes con efectos secundarios provocados por la droga, de un conjunto de 2. Es unavariable aleatoria discreta, con distribucin binomial, que tiene como parmetros: n=2 y p=0,05.

En este punto, sera conveniente que usted aplique las condiciones de la binomial a esta situacin prcti-ca, para verificar que se trata de una distribucin binomial.

a) Ningn paciente tenga efectos secundarios.

Aplicando la unidad 1, se resuelve como:P(NE NE) = 0,95 * 0,95

Aplicando la unidad 2, se resuelve como:P(x=0) = 0,9025

b) Uno esta tenga efectos secundarios y el otro no

Aplicando la unidad 1, se resuelve como:P[ (NE E) (E NE) ] = (0,95 * 0,05) * 2 = 0,095

Aplicando la unidad 2, se resuelve como:p(x=1)= p(x1) - p(x=0) =0,9975-0,9025=0,095

c) Ambos tengan efecto secundario

Aplicando la unidad 1, se resuelve como:P(E E) = 0,05 * 0,05 = 0,0025

Aplicando la unidad 2, se resuelve como:p(x=2)= p(x2) - p(x1) =1-0,9975=0,0025

EJERCICIO 9)En una jaula hay 3 cobayos negros y 5 blancos. Se extraen simultneamente dos coba-yos, se pide:

1. Hallar el espacio muestral si se observa y registra el color.

2. Calcular la probabilidad de que:

2.a- ambos sean negros.2.b- ambos sean blancos.

2.c- uno sea negro y el otro blanco.

3. Si interesa estudiar la variable X: nmero de cobayos negros seleccionados, se pide:


28/87


29/87


24

( ) [ ]0;1-en2xxf =

( ) 20 para x -1

-x 1 para -1 x 0

1 para x 0

F X

PROBLEMAS PROPUESTOSEJERCICIO 1) La distribucin del nmero de cras nacidas muertas por paricin de un lote de 200 cerdasDuroc Jersey considerado como poblacin es la siguiente:

xi 0 1 2 3 4 5p(xi) 0,05 0,20 0,30 0,20 0,15 0,10

a) Cul y de qu tipo es la variable aleatoria en estudio?b) p(xi) es la funcin de ..........................................................................................................................c) Completar la tabla con la funcin de distribucin acumulada.d) Calcular P(X 2)e) Calcular P(X < 3)f) Calcular P(2 X 4)g) Calcular la E(X)h) Calcular la E(X - 0,5)

EJERCICIO 2) Considere la funcin de densidad:

con funcin de distribucin acumulada:

Calcular:a) De qu tipo es la variable en estudio?b) F(X) es la funcin de ................................................ y f(x) es la funcin de ....................................c) P (-1 X -0,5)d) P (-0,5 X -0,1)e) P (X -2)f) P (X 1)g) P (X < -0,25)

EJERCICIO 3) Una variable aleatoria se encuentra definida por:

xi 1 2 3 4 5 6p(xi) 0,05 0,10 0,25 0,30 0,20 ?

a) De qu tipo es la variable en estudio? ...........................................................................................b) p(x) es la funcin de ........................................................................................................................c) Completar el valor faltanted) Calcular la F(x)e) F(x) es la funcin de ..........................................................................................................................

f) Graficar las funciones de cuanta y de distribucin acumuladag) Calcular la E(X), E(3X) y E(X - 0,5)h) Calcular P(X 3)i) Calcular P(X1)j) Calcular P(X


30/87


25

e) cul es la probabilidad de que10 o menos estn parasitados?f) cul es la probabilidad de que 5 6 no estn parasitados?g) Calcular la V(X), V(X+10) y V(3X)

EJERCICIO 5)1ra. parte: La distribucin del tiempo de respuesta obtenido en la aplicacin de prostaglandi-nas a hembras caninas preadas entre 35 y 55 das es normal con media 60 horas y con desvo de 15

horas.a) Definir la variable en estudiob) Detallar su distribucinc) Si es necesario detallar la forma de estandarizacind) Cul es la probabilidad de obtener la reaccin luego de 50 horas?e) Cul es la probabilidad de obtener la reaccin antes de 30 horas?f) Cul es la probabilidad de obtener la reaccin entre 30 y 60 horas?g) Cul es la probabilidad de obtener la reaccin luego de 90 horas?h) A partir de qu tiempo la probabilidad de obtener reaccin es del 30%?

2da. Parte (se ver en la unidad temtica correspondiente): Si se toma una muestra de 16 hembraspreadas, cul es la probabilidad de que, en promedio, tengan la reaccin:

a) luego de 50 horas?b) antes de 30 horas?c) entre 30 y 60 horas?d) luego de 90 horas?e) A partir de qu tiempo medio la probabilidad de obtener reaccin es del 30%?

EJERCICIO 6) Sea X una variable aleatoria con distribucin t-Studenta)Con 20 grados de libertad.

1. Cul es la probabilidad de que X 2,85?2. Cul es la probabilidad de que X > 2,09?3. Cul es la probabilidad de que X < -2,53?4. Cual es el valor de a que cumple con la siguiente restriccin: P(Xa)=0,90?5. Cul es el valor de a que cumple con la siguiente restriccin: P(X -3,17?3. Cul es la probabilidad de que X < 2,23?4. Cual es el valor de a que cumple con la siguiente restriccin: P(Xa)=0,90?5. Cul es el valor de a que cumple con la siguiente restriccin: P(X 34,8?3. Cul es el valor de b que cumple con la siguiente restriccin P(Yb) = 0,1?5. Cules son los valores de a y b, tales que: P(aXb) = 0,90, dejando a y b reas iguales en las

colas?b)Con 15 grados de libertad.

1. Cul es la probabilidad de que Y 18,3?2. Cul es la probabilidad de que Y > 25?3. Cul es el valor de b que cumple con la siguiente restriccin P(Yb) = 0,1?

5. Cules son los valores de a y b, tales que: P(aXb) = 0,90, dejando a y b reas iguales en lascolas?


31/87


26

EJERCICIO 8) En un criadero de perros se dedican a las razas labrador y doberman, de pelajes negro y marrn. Se selecciona una muestra de 20 perros, y se ordenan los datos en la siguiente tabla:

Negro MarrnDoberman 4 5Labrador 3 8

Si se extraen dos perros al azar:a) Definir el espacio muestral del experimento de la variable aleatoria X: Nmero de labradores negrosb) Encontrar la funcin de cuanta (sugerencia: calcular la probabilidad de cada punto muestral)c) Encontrar F(x)d) Calcular las siguientes probabilidades: P(X>1) y P(X


32/87


27

CUESTIONARIO1) Indicar el tipo de variable aleatoria (D: discreta o C: continua) y la unidad experimental, para cada una

de las siguientes variables:a) X = Nmero de alumnos en una comisin de Elementos de estadsticab) X = Peso del crneo de un animalc) X = Cantidad de dinero, en monedas, en un monedero

d) X =Produccin de leche en un tambo

2) Defina funcin de cuanta, ejemplifique y calcule la funcin de distribucin acumulada

3) Dado un grupo de siete perros con ciertas afecciones, se sabe que la probabilidad de que untratamiento L sea efectivo es 0,85. Utilizando esta informacin:

a) defina una variable con distribucin Binomial. Especifique dicha distribucin.b) verifique los supuestos tericos en ESTE CASO.

4) Determinar el intervalo de definicin para que la siguiente funcin sea una funcin de densidad deprobabilidad.

5) Diga si los siguientes grficoscorresponden a una funcin dedistribucin acumulada para una variable

aleatoria discreta. Justifique cada caso:a) b)

c)

6) Si una funcin de densidad es distinta de cero en el intervalo (2 ; 7), puede ser que la P(X=3)=0?Justificar.


33/87


28

7) Sean las variables aleatorias X1 N(1 , 12) y X2 N(2 , 2

2). Establezca la relacin de igualdad odesigualdad ( < o > ), segn corresponda, entre las siguientes probabilidades:

a) P (1 - 1< X1 < 1 + 1) ............ P (2 - 2

< X2 < 2 + 2)b) P (X1 < 1) ............ P (X2 < 2 + 2)c) P (X1 < 1 + 1) ............ P (X2 >2 + 2)d) P (X1 > 1 ) ............ P ( X2 < 2 )

e) P (X1 < 1 -2 1) ............ P ( X2 > 2 +2 2)

8) Realizar grficos aproximados en un mismo esquema de:a)Una distribucin normal con media 4 y varianza 2 y una distribucin normal con media 8 y varianza

2.b)Una distribucin con media -1 y varianza 3 y una distribucin con media 1 y varianza 1.c) Una distribucin normal estndar y una distribucin t-Student.d)Una distribucin Ji-cuadrado con 17 grados de libertad y una distribucin Ji-cuadrado con 25

grados de libertad.e)Una distribucin t-Student con 20 grados de libertad y una distribucin t-Student con 30 grados de

libertad.

9) Indicar verdadero o falso segn corresponda:V F a)La distribucin normal es simtrica con respecto de cero.V F b)Una variable aleatoria discreta puede tener distribucin normalV F c)Cuando los grados de libertad de una distribucin Ji-cuadrado tienden a infinito la distribucin seasemeja a la distribucin normal.V F d)Una variable con distribucin binomial tiene dos resultados posibles.V F e)La distribucin t-Student tiene los mismos parmetros que la distribucin normal estndar.V F f) La varianza de una variable ms una constante es la varianza de la variable ms la constante.V F g)La esperanza de una variable aleatoria de cualquier tipo no puede tomar valores negativos.V F h)Una variable aleatoria discreta no puede tomar valores negativos.V F i) La distribucin normal estndar tiene desvo estndar igual a 1.V F j) La esperanza de una constante es siempre 1V F k)Una variable con distribucin t-Student slo toma valores positivos.

V F l) Una variable con distribucin Ji-cuadrado slo toma valores mayores o iguales a cero.

10) Completar las siguientes expresiones:a) La suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales que pertenecen al mismo espaciomuestral es ...................................................................................................................................b) La distribucin normal es ....................... con respecto a su ........................................................c) La funcin de ........................ da las probabilidades puntuales de una v. a. discreta.d) La distribucin t-Student tiene colas ms .................................... que la distribucin normal.e) Los parmetros de la distribucin Binomial son .................... y .................................................f) Una variable con distribucin Binomial toma solamente valores ...............................................g) La varianza de una constante es siempre .....................................................................................h) La funcin de distribucin acumulada se mantiene constante en ...................... cuando la variable

tiende a infinito.i) La distribucin Ji-cuadrado es asimtrica a .................................................................................j) Una variable con distribucin normal estndar tiene media ...... y varianza ...............................k) La probabilidad puntual de una variable aleatoria continua es siempre .....................................l) La varianza de una variable por una constante es la varianza de la variable por la constante elevadaal ...................................................................................................................................................


34/87


29

ESTADSTICA DESCRIPTIVA

OBJETIVOS ESPECIFICOS Identificar una poblacin o muestra Definir la o las variables que caracterizan a una distribucin Calcular medidas de posicin y de dispersin adecuadas para describir cada distribucin.

CONTENIDOS TEMTICOSPoblacin y muestra. Variables cuantitativas continuas y discretas. Variable atributo. Principios y tipos de

muestreo. Distribucin de frecuencias discretas y continuas. Grficos. Medidas de posicin y dispersin: me-dia aritmtica, mediana, modo, amplitud, varianza, desvo estndar, coeficiente de variacin y distancia inter-cuartlica. Propiedades de media aritmtica y varianza. Esperanza, varianza y caso especial de la distribucinde X.

* GLOSARIOEstadstica. Variable: cuantitativa, cualitativa o atributo. Poblacin. Muestra. Muestreo. Grficos: barras,

bastones, escalones, histogramas; polgonos de frecuencias, ojiva; Boxplot. Media aritmtica, Mediana,Modo, Varianza, Desvo estndar, Coeficiente de variacin, Rango o Amplitud. Variacin relativa y abso-luta.

El orden que seguimos es: Definir la poblacin de la que seleccionaremos la muestra a evaluar Definir la variable de inters, donde debe constar la unidad de observacin Ordenar los datos en una tabla de frecuencias. Graficar frecuencias a partir de la tabla. Calcular medidas que nos resuman las caractersticas de la distribucin de la variable en la muestra.

PROBLEMAS RESUELTOS

EJERCICIO 1) En un estudio sobre la deteccin de pseudotuberculosis, la Direccin de Bromatologaseleccion al azar 28 establecimientos, dedicados a la cra y engorde de ovinos, registrando la cantidadde animales afectados, por establecimiento, al realizar la faena en el frigorfico:

70 110 135 110 77 82 118 110 82 77 77 82 110 11075 82 75 82 70 75 118 75 120 77 77 82 82 70

a) Identificar la variable y clasificar la variable.b) Construir la tabla de frecuencias.c) A partir del boxplot analizar la distribucin de la variable.d) Calcular las medidas de posicin y dispersin.e) Si suponemos que en los establecimientos se realiz un tratamiento que disminuye en 10% la canti-dad de animales afectados, cmo se modifican las medidas calculadas en el punto e)?

SOLUCIN

a) La variable es aquella caracterstica que nos interesa medir, en este caso:X: cantidad de ovinos atacados de pseudotuberculosis en un establecimiento. V. Cuantitativa Discreta.En este problema la poblacin en estudio corresponde a los establecimientos dedicados a la cra y

engorde de ovinos; como no se especifica la regin en donde estn ubicados, solamente con esta descrip-cin nos alcanza. Entonces, la muestra tomada es de:

n (tamao de la muestra): 28 establecimientos dedicados a la cra y engorde de ovinos.

b) Tabla de frecuencias: la primeracolumna contiene los valores de la variable que se registraron en lamuestra, y se simboliza con xi; en la segundacolumna se registra cuntas veces se observa cada uno delos valores de la variable (xi), y corresponde a la frecuencia absoluta simple (fi). En la terceracolumna seregistra cuntas veces se observan los valores de la variable menores o iguales a x i, o sea, las frecuen-cias absolutas acumuladas (Fi). La cuarta columna corresponde al cociente entre fiy n, o sea la frecuen-cia relativa simple (hi). En la ltima columna, correspondiente a las frecuencias relativas acumuladas

(Hi), sumamos las frecuencias relativas simples de la misma manera que en la tercera columna, hasta


35/87


30

acumular el total de la muestra. Por las caractersticas de las frecuencias relativas siempre obtendremoscomo valor 1, o 100%, o cercanos a ellos, segn se expresen en decimales o como porcentajes.

xi fi Fi hi Hi

70 3 3 0,11 0,11

75 4 7 0,14 0,2577 5 12 0,18 0,4382 7 19 0,25 0,68

110 5 24 0,18 0,86118 2 26 0,07 0,93120 1 27 0,04 0,96135 1 28 0,04 1,00

TOTAL 28 1,00

La utilidad de la tabla es que el ordenamiento de los datos permite interpretar la informacin de la mues-tra. Por ejemplo, tomemos la informacin de la cuarta fila de datos, en donde x4 = 82: f4 = 7, indica que en 7 establecimientos se encontraron 82 ovinos atacados de pseudotuberculosis. F4 = 19, se interpreta como que en 19 establecimientos se encontraron a lo sumo 82 ovinos atacadosde pseudotuberculosis (o hasta 82 ovinos atacados de pseudotuberculosis inclusive).

NOTA:4

4 1 2 3 4

1

3 4 5 7 19iF f f f f f = = + + + = + + + =

h4 = 0,25, expresa que en el 25% de los establecimientos se encontraron 82 ovinos atacados depseudotuberculosis. H4 = 0,68, indica que en el 68% de los establecimientos se encontraron a lo sumo 82 ovinos atacadosde pseudotuberculosis (o hasta 82 ovinos atacados de pseudotuberculosis inclusive).

NOTA:4

4 1 2 3 4

1

0,11 0,14 0,18 0,25 0,68iH h h h h h= = + + + = + + + =

c) Boxplot.

Para analizar el boxplot debemos prestar atencin ala caja. En este caso vemos que la Me (representadapor la lnea horizontal dentro de la caja) est prximaal C1, de manera que el 25% de los datos centralesinferiores a ella estn muy cercanos, mientras que el25% de los datos centrales superiores a la Me estnms alejados, si comparamos la distancia entre la Mey C3. Adems toda la caja est desplazada hacia laparte inferior del grfico: el bigote inferior es menorque el superior. Esto nos indica que la distribucin esASIMTRICA POSITIVA.

(Nota: no explicaremos la forma de graficarlo porqueexcede el alcance de este curso. Esta grfica la obte-nemos aplicando el programa estadstico InfoStat).

El grfico siguiente se denomina de ESCALONES, y sirve para representar frecuencias acumuladas, ya seanlas absolutas o las relativas, pero en este ejercicio slo necesitamos graficar estas ltimas.


36/87


31

NOTA. En los ejercicios especificaremos cul/es grficos debe hacer.

Podemos observar los escalones y relacionarlos con el grfico de la funcin de distribucin acumuladaF(xi), que ya hemos visto en la unidad anterior (correspondiente a Distribuciones de Probabilidad).

d)Medidas de posicin

MEDIA ARITMTICAPara calcular la media aritmtica debemos sacar el promedio de

todos los valores de la variable que hemos obtenido en la muestra. En lafrmula observamos que aparece la expresin xifi o sea la sumatoria de losproductos entre cada valor de la variable y su correspondiente frecuenciaabsoluta simple. Para facilitar los clculos podemos agregar una columna ala tabla de frecuencias en donde realizaremos estos productos, de la si-guiente forma:

251089,64

28

i ix fxn

= = =

Interpretacin: aproximadamente 90ovinos atacados

MEDIANAPara calcular la mediana, primero debemos ordenar los datos de menor a

mayor o de mayor a menor. En este ejercicio ya ordenamos los datos al construirla tabla de frecuencias. Como sabemos, esta medida divide a la muestra en dospartes iguales, por lo que en el primer paso debemos encontrar la posicin de lamisma, o sea encontrar cul es el valor central de la muestra (en caso de que nsea un nmero impar), o cules son los valores centrales (en caso de que nseaun nmero par).

Entonces los valores centrales ocupan los lugares 14 y 15.Como los valores centrales son x(14)=82 y x(15)=82, debemos realizar el promedio entre ellos:

La interpretacin es 82 ovinos atacados.

xi fi xifi70 3 21075 4 30077 5 385

82 7 574110 5 550118 2 236120 1 120135 1 135

28 2510

xi Fi70 375 777 12

82 19110 24118 26120 27135 28

n +1 29Pos Me = = 14,5

2 2 =

( ) ( )14 15 82 8282 ovinos atacados

2 2x

x xMe

+ += = =

482= 7 Mo = ovinos atacadosf


37/87


32

MODO

Para calcular el modo tenemos que recurrir nuevamente a la tabla de frecuencias,porque en ella vamos a ubicar rpidamente cul es el valor de la variable que serepite con mayor frecuencia. Debemos observar cualquiera de las columnas defrecuencias simples, en este caso tomamos la columna de fi. La mayor frecuencia

es f4, por lo tanto:4

7 82f Mo ovinos atacados= =

Observar que tambin estas medidas verifican la condicin de asimetra positiva:

Me = Mo = 82 < 89,64ovinos atacados X ovinos atacados= CUARTILES

Otra medida de posicin para datos ordenados son los CUARTILES. Para calcularlos dividimos lamuestra en cuatro partes iguales, por lo que calculamos 3 cuartiles, C1, C2 (=Me) y C3.

Realizamos el mismo mecanismo que para calcular la Mediana, en cada una de las dos mitades, yobtenemos:

Medidas de dispersin

RANGO o AMPLITUDEsta medida de dispersin es la ms sencilla y consiste en conocer cuntas unidades comprende

la totalidad de los valores observados en la muestra. Para calcularlo slo basta con realizar la resta entreel xmx (mayor valor de la variable) y xmn (menor valor de la variable).

o 135 70 65Mx mnRango Amplitud x x ovinos atacados= = =

DISTANCIA INTERCUARTLICAEs la medida de dispersin asociada a los cuartiles, se simboliza dC, y en ella observamos la disper-

sin de los valores centrales, la forma de calcularla es: dC = C3 C1 , e indica el rango o amplitud dondese encuentra el 50% central de las observaciones.

En este caso es: dC=C3-C1=110-76=34 ovinos atacados

VARIANZAEn la frmula observamos que aparece la

expresin xifi, que ya habamos usado al calcularla media aritmtica, y aparece una expresin, xi

2fi,la sumatoria de los productos entre el cuadrado decada valor de la variable y su correspondiente fre-cuencia absoluta simple. Para facilitar los clculospodemos agregar una columna a la tabla de fre-cuencias en donde realizaremos estos productos,de la siguiente forma:

( ) ( )( )

2 2

2 225101 1 1

234886 234886 225003,57 366,021 27 28 27

i i

x i i

x fs x f

n n

= = = =

Debemos recordar que se expresa en la unidad de la variable pero elevada al cuadrado.

DESVO ESTNDAR

El desvo estndar es la raz cuadrada de la varianza. Por lo que lo calculamos de la siguiente forma:

xi fi70 3

75 4

77 582 7110 5118 2120 1135 1

TOTAL 28

xi fi xi fi xi2fi

70 3 210 1470075 4 300 2250077 5 385 2964582 7 574 47068

110 5 550 60500118 2 236 27848120 1 120 14400135 1 135 18225

TOTAL 28 2510 234886

sx = 366,02

2 366,02 19 13x x

s = s = = ,

C1 = 76 ovinos atacados y C3 = 110 ovinos atacados


38/87


33

Interpretacin: aproximadamente 19 ovinos atacados

COEFICIENTE DE VARIACINEs una medida de dispersin relativa en donde se relaciona una medida de dispersin (s x) con

una medida de posicin ( x ), y su resultado se expresa en porcentaje. No tiene unidades de medida.

e) Si cada observacin se disminuye en 10%, la variable inicial X se modifica de la siguiente forma:

La media aritmtica y la varianza tambin se modifican, en este caso segn la propiedad del productoentre la variable y una constante:

Como consecuencia de esta modificacin, el valor del desvo estndar ser:

El CV no se

Documents

Elementos de Estadística Guia 2011