Guia Estadística General 2014

7/24/2019 Guia Estadstica General 2014

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PROBLEMAS DEESTADSTICA GENERAL

2014

Ing. Roberto M. Garca

Ing. Sergio A. Dopazo


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Ing. R. M. Garca - Ing. S. A. Dopazo Gua de Problemas de Estadstica General

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NDICE

TEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PG

TEMA I (PROCESAMIENTO DE DATOS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

TEMA II (PROBABILIDAD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

TEMA III (VARIABLES DISCRETAS: BERNOULLI - HIPERGEOMTRICA) . . . . . . . . 11

TEMA IV (VARIABLES CONTINUAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

TEMA V (DISTRIBUCIONES NORMAL Y LOGNORMAL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

TEMA VI (DISTRIBUCIN DE POISSON) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

TEMA VII (PROBLEMAS COMBINANDO LAS DISTRIBUCIONES) . . . . . . . . . . . . . . 31

TEMA VIII (SUMAS DE VARIABLES / TEOREMA CENTRAL DEL LMITE) . . . . . . . . 33

BIBLIOGRAFA:

Roberto M. Garca (1 ed 2004): Inferencia Estadstica y Diseo deExperimentos(Eudeba).

R. E. Walpole, R. H. Myers, S. L. Myers (6 ed 1998): Probabilidad y Estadsticapara Ingenieros(Prentice Hall).

Jay L. Devore (5 ed 2001): Probabilidad y Estadstica para Ingeniera yCiencias(Thomson Learning).

Douglas C. Montgomery, George C. Runger (2 ed 2002): Probabilidad yEstadstica Aplicadas a la Ingeniera(Limusa Wiley).

E. C. Dresdner, A. R. Evelson, M. O. Dresdner, M. D. Dreyfus (3 ed 1998):

Tcnicas Cuantitativas(Ediciones Universo).

Scheaffer, Mc Clave (1993): Probabilidad y Estadstica para Ingeniera(GrupoEditorial Iberoamrica).

Calot, Grard (4 tirada 1985): Curso de Estadstica Descriptiva(Paraninfo).


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TEMA I - PROCESAMIENTO DE DATOS - ANLISIS DE DATOS INDIVIDUALES -AGRUPAMIENTO DE DATOS, DISTRIBUCIONES EMPRICAS Y GRFICOS -CALCULO DE MEDIDAS Y FRACTILES

1) Considere los siguientes 100 datos de saldos de cuentas de ahorro de un banco en pesos:

272 - 299 - 328 - 305 - 198 - 397 - 286 - 179 - 486 - 1557

890 - 823 - 704 - 497 - 434 - 257 - 574 - 191 - 345 - 1365

125 - 158 - 513 - 563 - 102 - 149 - 513 - 449 - 456 - 1104

781 - 502 - 443 - 200 - 631 - 772 - 254 - 204 - 242 - 1782

220 - 232 - 82 - 298 - 146 - 112 - 434 - 414 - 103 - 1222

288 - 420 - 320 - 381 - 363 - 258 - 779 - 261 - 226 - 333

130 - 976 - 185 - 151 - 176 - 207 - 561 - 244 - 559 - 362

562 - 121 - 330 - 290 - 186 - 525 - 234 - 303 - 297 - 418

112 - 399 - 96 - 229 - 276 - 249 - 275 - 175 - 329 - 545449 - 443 - 427 - 359 - 627 - 575 - 244 - 697 - 249 - 211

a) Armar una tabla de frecuencias con 7 intervalos y dibujar el histograma y las curvasacumuladas izquierda y derecha ; b) Calcular la media y la el desvo a partir de la tabla defrecuencias ; c) Calcular el coeficiente de variacin, el coeficiente de Asimetra y la curtosis.Sacar conclusiones ; d) Calcular el porcentaje de cuentas mayores a $ 500 (X>500).

Resp: Va a depender del agrupamiento de los datos: b) x = $409,55 / Sn= $300,33 / Sn-1= $301,84 ;c) Cvn= 73,33% / Cvn-1= 73,70% / As = 2,23 / Ku = 8,60 ; d) 26,17%.

2) En un proceso productivo, el porcentaje diario de piezas defectuosas es una variable aleatoria de la cual sehan registrado 160 observaciones que se agruparon en el siguiente cuadro:

x(%) fi(das)

0 - 2 4 a) Calcular la media y el desvo de estos datos, dibujar el histograma y las curvas

2 - 4 26 de frecuencias acumuladas.

4 - 6 50 b) Calcular el porcentaje de los das dnde: (x>2,5) y (x


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3) El consumo diario de agua (medido en miles de litros) en una curtiembre responde a la siguiente distribucinde frecuencias:

Consumo x da Das

20 - 30 1 a) Calcular la media, la varianza, dibujar el histograma y las curvas de30 - 40 15 frecuencias acumuladas.

40 - 50 39 b) Calcular el porcentaje de los das que: (x>32) y (x


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Tiempo ( /pza) Observaciones

10,0 - 10,5 5 a) Calcular el nivel estndar de produccin por operario y por

10,5 - 11,0 35 minuto (piezas por minuto promedio) y su desvo estndar.

11,0 - 11,5 25 b) Calcular el tiempo estndar de produccin por operario y por

11,5 - 12,0 15 pieza (minutos por pieza promedio) y su desvo estndar.

12,0 - 12,5 8 c) Calcular para cada punto anterior el coeficiente de variacin y

12,5 - 13,0 3 sacar conclusiones.

Resp: a) x = 0,0891 pzas por minuto / Sn= 0,004598 pzas/min / Sn-1= 0,004624 pzas/min ; b) x = 11,22 minutospor pieza / Sn= 0,595 min/pza / Sn-1= 0,598 min/pza ; c) para a) Cvn= 5,16% / Cvn-1= 5,19% / para b)Cvn= 5,30% / Cvn-1= 5,33%

6) Para aumentar la madurez y el rinde de la caa en la obtencin de jugo para la produccin de azcar, en un

Ingenio azucarero que tiene plantacin propia de caa de azcar, se le aplica al cultivo un compuesto biogenticoen forma de gramicida. Se eligieron parcelas al azar, a las cuales se le aplic el tratamiento y a las otras no,obtenindose los siguientes resultados:

Sin Aplicacin del Tratamiento Con Aplicacin del Tratamiento

Int. Rinde x un. de vol. Obs. Int. Rinde x un. de vol. Obs.

1 7,6 - 8,2 4 1 6,2 - 7,1 1

2 8,2 - 8,8 22 2 7,1 - 8,0 1

3 8,8 - 9,4 95 3 8,0 - 8,9 32

4 9,4 - 10,0 251 4 8,9 - 9,8 1895 10,0 - 10,6 177 5 9,8 - 10,7 369

6 10,6 - 11,2 43 6 10,7 - 11,6 60

7 11,2 - 11,8 6 7 11,6 - 12,5 2

a) Determinar si el promedio de cada conjunto es representativo del mismo. b) Calcular lo coeficientesde Asimetra y Kurtosis de ambos conjuntos. c) Reservar los datos del problema para modelizar elcomportamiento de la variable en Estadstica Aplicada.

Resp: a) para el primer grupo: x = 9,83 rinde por un. de volumen / Sn= 0,5979 rinde/un.volumen /Sn-1= 0,5984 rinde/un.volumen / Cvn= 6,08% / Cvn-1= 6,09%, para el segundo grupo: x = 9,98 rinde por un.de volumen / Sn= 0,6596 rinde/un.volumen / Sn-1= 0,6601 rinde/un.volumen / Cvn= 6,609% / Cvn-1= 6,614%

; b) para el primer grupo: As = (-0,15) / Ku = 3,44, para el segundo grupo: As = -0,49 / Ku = 4,15

7) En una fbrica de calzado de seguridad, se ha recibido un pedido de 7.000 pares de botines con puntera deacero para una empresa de laminacin y fundicin. Por registros histricos del sector de mtodos y tiempos, setienen registrado los tiempos de armado en la siguiente tabla de frecuencias (medidos en minutos por cada parque utiliza un operario):


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Tiempo de armado (min / par) Cantidad de Observaciones

10 5

12 20

15 50

18 10

20 2

a) Calcular la tasa de productividad promedio (cantidad de pares por minuto).b) Calcular el tiempo necesario para cumplir con el pedido.c) Si se dispone de 120 horas, cuntos operarios sern necesarios?

Resp: a) x = 0,0691 pares por minuto ; b) 101.379,31 min = 1.689,66 horas de produccin; c) 15 operarios


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TEMA II - TEORA DE LA PROBABILIDAD

1) Una caja contiene 7 bolillas blancas y 3 rojas. Se extraen dos bolillas con reposicin. Calcular la probabilidadde que:

a) ambas sean blancas ; b) ambas sean del mismo color ; c) al menos una sea roja ; d) dem a), b) y c)pero considerando extracciones sin reposicin.

Resp: a) 0,49 ; b) 0,58 ; c) 0,51 ; d) 7/15 / 8/15 / 8/15.

2) Paradoja de J. L. F. BERTRAND (1822-1900) publicada en "Clculo de Probabilidades", 1889. Una cajacontiene dos monedas de oro, otra caja contiene dos monedas de plata y una tercera caja contiene una monedade oro y otra de plata. Se elige una caja al azar y se extrae una moneda que resulta ser de oro. Cul es laprobabilidad de que la otra moneda de esa caja tambin sea de oro? (La respuesta no es 0,5).

Resp: 2/3.

3) En una universidad se obtuvo la siguiente informacin: El 32% de las chicas tienen cabello rubio, ojos azuleso ambas cosas y el 20% tienen ojos azules. Qu porcentaje de chicas tienen cabello rubio y ojos no azules?.

Resp: 12%

4) Una caja C1 contiene 7 bolillas blancas y 3 rojas; otra caja C2 tiene 8 blancas y 12 rojas. Se elige una caja alazar y se extrae una bolilla.

a) Cul es la probabilidad de que sea blanca? ; b) si es blanca, cul es la probabilidad de haber elegidola caja C1?.

Resp: a) 11/20 ; b) 7/11.

5) En un colegio secundario, el 25% de los estudiantes fue aplazado en Matemtica, el 10% en Qumica y el 5%fue aplazado en ambas materias. Calcular:

a) De los aplazados en Qumica, qu porcentaje aplaz Matemtica? ; b) de los aplazados enMatemtica, qu porcentaje aplaz Qumica? ; c) qu porcentaje aplaz Matemtica o Qumica?.

Resp: a) 50% ; b) 20% ; c) 30%.

6) En una localidad del interior del pas hay dos bancos A y B. El 22% de los habitantes tiene cuenta en A, el37% en B y el 47% no tiene cuenta.

a) Cul es el porcentaje de habitantes que tiene cuenta en ambos bancos? ; b) de los que tienen cuentaen A, qu porcentaje tiene cuenta en B? ; c) de los que tienen cuenta corriente, qu porcentaje tienecuenta en B?.

Resp: a) 6% ; b) 27,3% ; c) 69,8%.

7) En una ciudad se publican dos diarios A y B. El 42% de los habitantes lee A, el 25% lee B y el 5% lee ambos.a) Cul es el porcentaje de personas que lee diarios? ; b) de los habitantes que leen diarios, quporcentaje lee B? ; c) si se eligen al azar 3 personas, cul es la probabilidad de que todas lean diarios?; d) cul es el porcentaje de personas que slo lee A?.

Resp: a) 62% ; b) 40,3% ; c) 0,238; d) 37%.


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8) Una caja C1 contiene 3 bolillas negras y 5 blancas; otra caja C2 tiene 1 negra y 9 blancas. Se toma la caja C1,se extrae una bolilla y, sin mirarla, se introduce en C2; luego se extrae una bolilla al azar de C2.

a) Cul es la probabilidad de que esta ltima sea negra? ; b) si esta es negra, cul es la probabilidadde haber pasado una blanca de C1 a C2?.

Resp: a) 1/8 ; b) 5/11.

9) Si y , calcular .( ) ( )P A P B 0,3= = ( )P A B 0,2 = P A B

Resp: 0,8571.

10) Un sistema de pesaje de residuos slidos tiene dos mecanismos de pesada, uno computacional y otromecnico. La probabilidad de que uno al menos funcione bien es 0,99 y la probabilidad de que funcione bien elprimero es 0,96. El sistema falla si ambos mecanismos fallan. Si el mecanismo computacional falla, cul es laprobabilidad de que el sistema falle?.

Resp: 0,25.

11) Una caja tiene 3 bolillas blancas y 7 rojas. Otra caja tiene 12 blancas y 8 rojas. Se elige una caja al azar yse extrae una bolilla y, sin mirarla, se la deja aparte. Luego se extrae otra bolilla de la misma caja. Calcular:

a) La probabilidad de que esta ltima bolilla sea blanca ; b) si es blanca, la probabilidad de haber elegidola primera caja ; c) si es blanca, la probabilidad de haber elegido la primera caja y dejado aparte unabolilla blanca.

Resp: a) 0,45 ; b) 0,333 ; c) 0,0741.

12) Una caja tiene 5 bolillas blancas y 2 rojas; otra tiene 4 blancas y 5 rojas. Se saca una bolilla de cada una y,sin mirarlas, se introducen en una tercera caja; de esta ltima se extrae una bolilla y se desea calcular la

probabilidad de que sea roja.Resp: 0,4206.

13) Una caja C1 contiene 3 bolillas negras y 5 blancas; otra caja C2 tiene 1 negra y 9 blancas. Se elige una cajaal azar, se extrae una bolilla y, sin mirarla, se introduce en la otra caja; luego de esta otra caja se extrae unabolilla al azar.

a) Cul es la probabilidad de que esta bolilla sea negra? ; b) si es negra, cul es la probabilidad deque la primera caja haya sido C1? ; c) si es negra, cul es la probabilidad de que la primera caja hayasido C1 y se haya extrado de ella una bolilla blanca? ; d) si es negra, cul es la probabilidad de quela primera extraccin haya sido una bolilla blanca?.

Resp: a) 0,2347 ; b) 0,2663 ; c) 0,121 ; d) 0,7601.

14) Una caja tiene 4 bolillas blancas y 6 rojas. Se saca una bolilla, se mira su color y se la vuelve a la caja,agregando, adems, dos bolillas del otro color. Luego se extrae una bolilla. Calcular la probabilidad de que seablanca.

Resp: 13/30.


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15) En un bazar hay dos vendedoras, Claudia y Virginia. De los clientes atendidos por Claudia, el 65% efectauna compra; de los atendidos por Virginia, el 75% lo hace. Cada cliente que llega elige una vendedora, pero seconsidera que las preferencias estn equilibradas. Claudia falta el 10% de los das y Virginia el 6%. Cuando faltanlas dos, los clientes son atendidos por la duea del negocio, que vende con probabilidad 100% pues, aunque noes tan bella como sus vendedoras, es muy simptica.

a) De los clientes que llegan al negocio, qu porcentaje efecta una compra? ; b) si un cliente efectauna compra, cul es la probabilidad de que haya sido atendido por Virginia? ; c) si un cliente efectauna compra, cul es la probabilidad de que ese da haya faltado Claudia?.

Resp: a) 70,38% ; b) 0,5509 ; c) 0,1087.

16) Jugando con un dado, se gana si sale 1 2 y se pierde si sale 4, 5 6. Si sale 3 se tira de nuevo. Calcularla probabilidad de ganar.

Resp: 2/5.

17) Se arroja un dado equilibrado hasta que salga un as.a) Calcular la probabilidad de que se necesite un nmero par de tiros ; b) si se necesit un nmero par

de tiros, cul es la probabilidad de que hayan sido 2?.

Resp: a) 5/11 ; b) 11/36.

18) Una caja C1 tiene 1 bolilla azul y 2 blancas; otra caja C2 tiene 2 azules y 3 blancas. Se eligi una caja y seextrajo una bolilla que result azul y de la otra caja se extrajo una bolilla que result blanca. Calcular laprobabilidad de que la primera caja haya sido C1.

Resp: 3/7.

19) Sacando cartas de un mazo espaol de 40, calcular la probabilidad de que el primer basto aparezca a partirde la tercera extraccin, sabiendo que en las dos primeras sali por lo menos un oro.

Resp 49/69=0,7101.

20) Para la sealizacin de un aeropuerto se han instalado dos indicadores que funcionan independientemente.Cuando hay una avera en el aeropuerto, el indicador A se acciona con probabilidad 0,95 y el B con probabilidad0,9. Calcular la probabilidad de que durante una avera se accione slo un indicador.

Resp: 0,14.

21) Un fabricante tiene dos mquinas que producen un mismo artculo. Una de ellas trabaja con el 1% dedefectuosos y la otra con el 4% . Cada lote lleva una fraccin Fde la primera mquina y (1-F) de la segunda. Elcliente revisa 5 piezas al azar del lote, aceptndolo si son todas buenas. Cul deber ser la fraccin Fpara que

se acepte el 90% de los lotes?. (En este tipo de problemas se debe suponer que los lotes son de tamao 4444).

Resp: 0,6383. Surge de resolver .( )[ ]0,99F 0,96 1 F 0,95

+ =

22) A y B se baten a duelo. En cada disparo, la probabilidad de acierto para A es 0,2 y para B 0,3. Disparaprimero A y si no acierta, se arroja una moneda; si sale cara dispara de nuevo A, de lo contrario dispara B. Sidespus de esto viven an A y B, tiene B un ltimo disparo. Calcular las probabilidades de que gane A, gane B


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y ambos salgan ilesos.

Resp: 0,28 ; 0,3 ; 0,42.

23) Se carga un dado de manera que la probabilidad de cada nmero es proporcional a l. Calcular la

probabilidad de obtener un 2 dado que se obtuvo un nmero par.Resp: 1/6.

24) Para los siguientes datos ; .( )P AB 0,4= ( ) ( )P A B P A B 0,9 = =

a) indicar si A y B son o no independientes, justificando la respuesta ; b) ; c) .( )P A B ( )P B AResp: a) no ; b) 4/15 ; c) 2/5.

25) En una mquina hay una pieza vital que debe cambiarse peridicamente. Si es de material M1, dura ms de6 meses con probabilidad 0,9 pero si es de material M2, dicha probabilidad es 0,4. Se solicita al proveedor unaunidad de M1, pero se admite que puede entregarla de M2, asignndose una probabilidad 0,2 a dicho engao.Se coloca la pieza y debe reponerse antes de los 6 meses. Cul es la probabilidad de que el proveedor hayaactuado con honestidad?.

Resp: 0,4.

26) De los clientes de una empresa, el 70% no tiene cuenta corriente, el 60% tiene menos de 3 aos deantigedad y de stos, el 20% tiene cuenta corriente.

a) Qu porcentaje tiene cuenta corriente o menos de 3 aos? ; b) de los que tienen cuenta corriente,qu porcentaje tiene menos de 3 aos? ; c) de los que tienen ms de 3 aos, qu porcentaje tienecuenta corriente?.

Resp: a) 78% ; b) 40% ; c) 45%.

27) Un anlisis para detectar una enfermedad de los equinos ofrece un 95% de confiabilidad en los enfermosy 99% en los sanos; se sabe, adems, que el 4% de la poblacin caballar del pas padece la enfermedad. En unlaboratorio se hizo un anlisis que arroj resultado positivo. Cul es la probabilidad de que el caballo analizadoest efectivamente enfermo?.

Resp: 0,798.

28) Una caja C1 contiene 3 bolillas blancas y 7 rojas. Otra caja C2 tiene 12 blancas y 8 rojas. Se elige una cajaal azar y se extrae una bolilla que resulta ser blanca; esta bolilla se reintegra a la caja y se vuelve a extraer unabolilla de la misma caja. Cul es la probabilidad de que esta ltima bolilla sea blanca?. (Cuidado, el problemano es tan fcil como parece).

Resp: 0,5.

29) El control de calidad para cierto tipo de motor incluye dos pruebas: A (ensayo de sobrecarga) y B (ensayode consumo). El 5% falla en la prueba A, el 6% en la prueba B y el 90% en ninguna.

a) Indique si las fallas en las pruebas son sucesos estadsticamente independientes, justificando


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numricamente la respuesta ; b) de los que no fallan en A, qu porcentaje falla en B?.Resp: a) no ; b) 5,26%.

30) Una nave no tripulada se dirige al planeta Venus y tiene una probabilidad 0,7 de descendersatisfactoriamente. A su vez, el sistema monitor da la informacin correcta con probabilidad 0,9 (sea o no

satisfactorio el descenso). En la prueba, el monitor inform que el descenso era correcto. Cul es laprobabilidad de que realmente lo haya sido?.

Resp: 0,9545.

31) En una planta manufacturera se tiene un lote de piezas de rechazo que se ha decidido incorporar"honestamente" a la produccin estndar, a razn de 5 en cada partida de 50, de modo tal que haya a lo sumo45 buenas, pero puede haber menos porque el proceso estndar trabaja con un 5% defectuoso. El compradorselecciona al azar dos unidades de cada partida y acepta la misma si ambas son buenas, de lo contrario larechaza. Determinar el porcentaje de partidas rechazadas.

Resp: 27,06%.

32) Una ciudad de 1 milln de habitantes se considera dividida en dos zonas: La 1, con 700000 y la 2 con300000. Ante el peligro de una epidemia, se decide vacunar al 80% de la poblacin; en la zona 1 se utiliza unavacuna con un 92% de efectividad y en la zona 2, una que tiene un 84% de efectividad; si la vacuna no inmunizaa la persona, hay una probabilidad 0,12 de contraer la enfermedad, lo mismo que si la persona no es vacunada.

a) Cuntas personas enfermarn si sobreviene la epidemia? ; b) si una persona se enferma, cul esla probabilidad de que haya sido vacunada en la zona 2?.

Resp: a) 33.984 ; b) 0,136.

33) Se han enviado dos vendedores A y B a dos distintos clientes para ofrecer un determinado producto y sesabe que: P(A no tenga xito) = 0,2 ; P(B slo no tenga xito) = 0,15 y P(A y B no tengan xito) = 0,16. Calcular:

a) P(uno al menos tenga xito) ; b) P(A tenga xito / B tuvo xito) ; c) P(A slo no tenga xito).

Resp: a) 0,84 ; b) 0,942 ; c) 0,04.

34) Dos tiradores A y B dan en el blanco con probabilidades pA y pB, respectivamente, y disparansimultneamente a sus propios blancos hasta que alguno acierta. Calcular las probabilidades de los sucesos"Gana A", "Gana B" y "Empatan".

Resp: ; ; .( )

( )

p 1 p

p p p p

A B

a B A B

+

( )

( )

p 1 p

p p p pB A

A B A B

+ ( )p p

p p p pA B

A B A B

+


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TEMA III - VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS - PROCESO DE JACQUES BERNOULLI (1654-1705)- PROCESO HIPERGEOMTRICO

1) Una variable discreta rasume los valores 0; 1; 2 y 3 con probabilidades . Calcular:( )P ra

2r=

a) a; b) La media y el desvo estndar ; c) La funcin de distribucin F(r).

Resp: a) 8/15 ; b) 11/15, 0,9286 ; c) .( )F r8

152

1

2 r=

2) El contenido de bolillas rojas de una caja se ha formado como sigue. Se arroj un dado y se colocaron tantascomo indic el dado; luego se extrajeron dos bolillas de una caja que contena 3 blancas y 7 rojas y seintrodujeron en la primera caja. Obtener la funcin de probabilidad, la media y la varianza del nmero de bolillasrojas que quedaron finalmente en cada una de las cajas.

Resp: Una caja: P(1)=1/90 ; P(2)=8/90 ; P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=15/90 , P(7)=14/90 , P(8)=7/90.

Otra caja: P(5)=P(6)=7/15 , P(7)=1/15.

3) El control de recepcin de una pieza que se recibe en cajas de 10 unidades consiste en elegir dos piezas decada caja y rechazar la misma si alguna es defectuosa. El "honesto" proveedor coloca en cada caja un nmerode defectuosas que depende del resultado de arrojar un dado como sigue: Si sale un as no pone ninguna; si elresultado es 2, 3, 4 5 pone 1 y si es 6 pone 2. Determinar:

a) La distribucin del nmero de defectuosas que hay en las cajas ; b) la distribucin del nmero dedefectuosas que se encuentran en cada muestra de 2 unidades ; c) el porcentaje de cajas rechazadas.

Resp: a) P(0)=1/6 , P(1)=4/6 , P(2)=1/6 ; b) P(0)=0,8037 , P(1)=0,1926 , P(2)=0,0037 ; c) 19,63%.

4) En una lnea de montaje se efectan dos operaciones consecutivas. La operacin A se realiza a razn de 30

unidades/da-hombre por cualquiera de dos operarios; la B es realizada a razn de 12 unidades/da-hombre yhay cinco operarios para la misma. Cada operario est regido por la respectiva mquina y por lo tanto, laproduccin que realiza es constante. El siguiente esquema muestra el flujo productivo.

Operacin A Operacin B

))))))))))))))))))))))))12))))))))))))))))))))''''

))))))))))))))))))))))))30))))))))))))))))))))'''' ))))))))))))))))))))))))12))))))))))))))))))))''''

))))))))))))))))))))))))60))))))))))))))))))))'''' ))))))))))))))))))))))))60))))))))))))))))))))'''' ))))))))))))))))))))))))12))))))))))))))))))))'''' ))))))))))))))))))))))))60))))))))))))))))))))''''

))))))))))))))))))))))))30))))))))))))))))))))'''' ))))))))))))))))))))))))12))))))))))))))))))))''''

))))))))))))))))))))))))12))))))))))))))))))))''''

Cada operario falta aleatoriamente el 8% de los das. Determine la distribucin de probabilidad de la produccin


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diaria, su media y desvo estndar en los casos:

a) Los operarios son especializados e irremplazables en caso de ausencia ; b) los operarios sonintercambiables.

Resp: a) = 51,13 , = 11,9 ; b) = 53,37 , = 8,31

5) Obtener de la tabla de la distribucin Binomial las siguientes probabilidades:

Gb(3 / 10 ; 0,25) = 0,4744 Fb(4 / 12 ; 0,45) = 0,3044Fb(4 / 8 ; 0,60) = 0,4059 Gb(10 / 14 ; 0,75) = 0,7415Fb(2 / 7 ; 0,15) = 0,9262 Fb(8 / 11 ; 0,90) = 0,0896

6) Se trata de que un proceso de produccin de latas de gaseosa no produzca ms del 1% de defectuosas. Atal efecto se lo controla peridicamente examinando 10 latas y, si alguna resulta fallada, se detiene el procesopara revisarlo.

a) Si realmente est trabajando al 1%, cul es la probabilidad de revisarlo innecesariamente? ; b)

cuntas latas debern probarse (en vez de 10) si se desea que valga 0,95 la probabilidad de revisarel proceso cuando haya un 10% de defectuosas y cunto valdra con este tamao de muestra laprobabilidad de revisar el proceso innecesariamente?.

Resp: a) 0,0956 ; b) 29 , 0,2528.

7) Un tirador obtiene, con un arma A, el 80% de aciertos y con un arma B el 90%. Cul es la probabilidad deque haya usado el arma B?:

a) Si en 8 disparos obtuvo 6 aciertos ; b) Si para obtener 6 aciertos necesit de 8 disparos.

Resp: a) 0,3363514443 ; b) se deja este punto para que el alumno lo interprete.

8) De un proceso tecnolgico que produce piezas con un 10% de defectuosas se toma una muestra de 15 piezas;cul es la probabilidad de encontrar:a) 2 menos defectuosas?; b) exactamente 2 defectuosas?; c) menos de 12 buenas?.

Resp: a) 0,8159 ; b) 0,2669 ; c) 0,0556

9) Calcular las siguientes probabilidades de PASCALmediante la tabla Binomial:

Fpa(12 / 5 ; 0,42) = 0,6175 Gpa(9 / 2 ; 0,12) = 0,752Fpa(14 / 12 ; 0,83) = 0,5659 Gpa(8 / 6 ; 0,78) = 0,4775Ppa(10 / 5 ; 0,47) = 0,1208 Ppa(7 / 5 ; 0,80) = 0,1966

10) Una moneda se lanzar 3 veces y en cada lanzamiento, si sale cara, se pone una bolilla blanca en una bolsay si sale ceca, se pone una bolilla roja; luego se extrae una bolilla de la bolsa.

a) Cul es la probabilidad de que sea blanca? ; b) si es blanca, cul es la probabilidad de que las otrasdos bolillas tambin sean blancas?.

Resp: a) 0,5 ; b) 0,25.

11) En un proceso de fabricacin que trabaja con un 15% de defectuosas se producen 10 unidades diarias. Al


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final del da se hace un control y se separan las defectuosas, pero dado lo dificultoso de esta inspeccin, hay unaprobabilidad constante 0,1 de considerar buena a una unidad defectuosa.

a) Cul es la probabilidad de separar 3 ms unidades defectuosas al final de un da cualquiera?;comparar esta probabilidad con la que se tendra si la inspeccin fuera perfecta ; b) cul es la mediay el desvo estndar del nmero de defectuosas separadas mensualmente (22 das hbiles)?.

Resp: a) 0,1424 , 0,1798 ; b) 29,7 , 5,07.

12) En un proceso de control de calidad se efecta una revisin peridica examinando la cantidad de piezasnecesarias hasta encontrar la segunda defectuosa. Si el proceso trabaja con un 20% de defectuosas, cul esla probabilidad de revisar:

a) 8 menos? ; b) 12 ms? ; c) exactamente 12?.

Resp: a) 0,4967 ; b) 0,3221 ; c) 0,0472.

13) El control de recepcin de una pieza consiste en tomar una muestra de dos unidades de cada caja de 10 yrechazar la caja en caso de encontrar alguna defectuosa. Si el proveedor entreg 15 cajas con una piezadefectuosa en cada caja, cul es la probabilidad de que le rechacen menos de 3 cajas?.

Resp: 0,398.

14) Para fabricar un pedido de 10 piezas buenas, se utiliza una mquina que trabaja con un 30% de defectuosas.Luego de fabricar 12 piezas se efectu un control y se encontr que an no se haba alcanzado la cantidadrequerida. Cul es la probabilidad de que se necesite fabricar ms de 14 para cumplir el pedido?.

Resp: 0,5565.

15) En una estacin de servicio, la distribucin de clientes que llegan cada 15' tiene la siguiente funcin deprobabilidad: P(0) = 0,2 ; P(1) = 0,4 ; P(2) = 0,3 ; P(3) = 0,1. Adems, la probabilidad de que un cliente pague contarjeta de crdito es p = 0,25. Obtener la distribucin de los clientes que en el lapso de 15' pagan con tarjeta de

crdito.Resp: P(0) = 0,7109 ; P(1) = 0,2547 ; P(2) = 0,0328 ; P(3) = 0,0016.

16) Un proceso se controla en cuanto a su porcentaje defectuoso mediante un grfico de control. Las muestrasextradas son de tamao n = 10 y el proceso se revisa, detenindolo, toda vez que se encuentra algunadefectuosa en la muestra.

a) Qu probabilidad hay de revisarlo sin necesidad cuando el porcentaje de defectuosas es el estndar,es decir, p1= 1%? ; b) si el proceso est fuera de control, y p vale p2= 4% cuntas muestras de 10unidades cree Ud. que podrn ser necesarias, como mximo, para que la probabilidad de detectarlo seadel 90% por lo menos?

Resp: a) 0,0956 ; b) 6.

17) El control de recepcin para un repuesto consiste en examinar una muestra de 5 unidades de cada lote yrechazar si hay ms de dos defectuosas. Un proveedor entrega un lote de 10 piezas que contiene 3 defectuosasy se lo rechazan. Si se consideran equiprobables "a priori" las alternativas de que la inspeccin se haya realizadocon o sin reposicin, cul es "a posteriori" la probabilidad de cada una?

Resp: Con reposicin: 0,6618 ; sin reposicin: 0,3381.


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18) El control de recepcin de una pieza que se recibe en grandes partidas consiste en seleccionar una muestrade 15 unidades y rechazar la partida si se encuentran 2 o ms defectuosas; si se encuentra ninguna defectuosa,la partida se acepta, pero si se encuentra exactamente 1 se toma una nueva muestra de 15 unidades y, en casode encontrar aqu alguna defectuosa, rechazar definitivamente la partida, de lo contrario aceptarla. Obtener laexpresin para calcular la probabilidad de aceptacin de una partida en funcin de la fraccin pdefectuosade la misma.

Resp: ( ) [ ][ ]1 p 1 15p 1 p15 14

+

19) En una empresa se adquirieron piezas de repuesto y se colocaron en dos cajas iguales que tenan 65unidades cada una, pero en una haba 8 de segunda calidad y en la otra 5. Por una confusin, las cajas noquedaron identificadas. Al tomar 5 piezas de una de las cajas y encontrar 1 de segunda calidad, se desea sabercul es la probabilidad de haberlas tomado de la segunda caja.

Resp: 0,4355.

20) Hay dos mquinas que producen un mismo tipo de pieza. La mquina A trabaja con un 5% de unidades

defectuosas y la B con un 8%. Un inspector de calidad va primero a una mquina y la decimosexta pieza revisadaes la primera defectuosa; luego se dirige a la otra mquina y la vigsima pieza revisada es la primera defectuosa.Calcular la probabilidad de que la primera mquina haya sido la A.

Resp: 0,468.

21) En una empresa se reciben peridicamente piezas de repuesto, las cuales se suministran en cajas igualesque contienen 65 unidades cada una. El control de recepcin consiste en tomar 5 unidades al azar de cada cajay rechazarla si se encuentra alguna pieza de segunda calidad. Este control de recepcin lo puede realizar dosinspectores: Garca y Gilaye; Garca aplica el procedimiento correctamente, pero Gilaye no, ocasionandograndes perjuicios a la empresa; ste, va sacando piezas de la caja hasta encontrar la segunda pieza de segundacalidad, aceptando la caja si necesita sacar ms de 5. Si el proveedor entreg cajas conteniendo 5 de segundacalidad. Calcular:

a) El porcentaje de cajas rechazadas por cada inspector ; b) Si una caja fue rechazada, cul es laprobabilidad de que haya sido inspeccionado por Gilaye

Resp: a) Garca = 33,89% y Gilaye = 4,36% ; b) 0,114

Clculo mediante: Aproximaciones, Calculadora especfica y/o Software especfico

22) Calcular la distribucin Binomial mediante la aproximacin por la distribucin de Poisson

Fb(r / n ; p) .Fpo(r / m = n.p) para p ####0,05Fb(r / n ; p) .Gpo[n)r / m = n.(1-p)] para p $$$$0,95

las siguientes probabilidades cuyos valores exactosse dan para chequeo:

Fb(2 / 50 ; 0,03) = 0,8108 Apr: Fpo(2 / 1,5) = 0,8089Gb(33 / 35 ; 0,97) = 0,9131 Apr: Fpo(2 / 1,05) = 0,3904Fb(97 / 100 ; 0,99) = 0,0794 Apr: Gpo(3 / 1) = 0,0803Gb(27 / 30 ; 0,96) = 0,9694 Apr: Fpo(3 / 1,2) = 0,9662Fb(2 / 400 ; 0,01) = 0,2366 Apr: Fpo(2 / 4) = 0,2381


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(La condicin de ngrande indicada por la mayora de los tratadistas no es necesaria)

23) Calcular, mediante la aproximacin de Abraham De Moivre (1667)1754) (o Normal clsica):

para y( )( )

F r / n;p r 0,5 n p

n p 1 pb

+

n p 10 > ( )n 1 p 10 >

las siguientes probabilidades cuyos valores exactosse dan para chequeo:

Fb(35 / 400 ; 0,10) = 0,2228 Apr: (-0,75) = 0,2266Fb(32 / 57 ; 0,50) = 0,8554 Apr: (1,0596) = 0,8553Gb(180 / 400 ; 0,42) = 0,1222 Apr: 1- (1,165) = 0,1220Fb(700 / 1000 ; 0,71) = 0,2531 Apr: (-0,6621) = 0,2540Gb(53 / 68 ; 0,80) = 0,7244 Apr: 1- (-0,576) = 0,7177

Gb(65 / 800 ; 0,07) = 0,1207 Apr: 1- (1,1778) = 0,1194

24) Un proveedor ha firmado contrato para proveer piezas de repuesto en las siguientes condiciones: A) Cadalote de 100 piezas ser revisado totalmente por el comprador, no pagndose las defectuosas; B) si el nmerode piezas rechazadas en el lote fuera superior a 10, por cada pieza adicional rechazada se descontar un montoigual a su precio de venta. Dado que hay un 10% de defectuosas, el costo de produccin es de 80 U$s/pieza yel precio de venta es de 120 U$s/pieza, calcular el beneficio promedio de los lotes.

Resp: por clculo exacto: U$s 2.657,58

25) Un comerciante sabe que el 5% de las semillas que vende no germina. En funcin de esto, garantiza en suspaquetes de 200 semillas una germinacin del 90%; calcular:

a) el porcentaje de paquetes que no cumple con la garanta ; b) la probabilidad de que en un conjuntode 100 paquetes, todos cumplan con la garanta.

Resp: valores exactos: a) 0,12% ; b) 0,8869. Por Poisson: a) 0,16% ; b) 0,8521.

26) El control de recepcin de una pieza consiste en tomar una muestra de 100 unidades de una partida de variosmiles y, en caso de encontrar ms de 8 defectuosas, rechazar toda la partida. De este modo, la empresacompradora afirma que es pequeo el riesgo del proveedor (probabilidad de que le rechacen una partida quecumple el 5% de defectuosas admitido por contrato) y existe, adems, un riesgo (para el comprador) del 15%de aceptar un lote "malo".

a) Cul es el riesgo del proveedor? ; b) cul es el porcentaje defectuoso del lote definido como"malo"?.

Resp: valores exactos: a) 0,0631 ; b) 11,83%. Por Poisson: a) 0,0681 ; b) 12,08%, por Poisson la aproximacin da malporque se debe aplicar la aproximacin por Normal: b) 11,85%.

27) En una compaa de seguros se sabe que el 0,1% de la poblacin sufre cierto accidente al ao. Si hay 10.000asegurados, cul es la probabilidad de que a lo sumo 3 de ellos sufran dicho accidente el ao prximo?.

Resp: valor exacto: 0,0103. Por Poisson: 0,0103.


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28) Una fbrica produce repuestos con tres mquinas. La primera realiza el 50% de la produccin total con un1% de defectuosos; la segunda el 30% con 2% de defectuosos y la tercera el resto con 3% de defectuosas. Elcontrol de recepcin de cada lote es realizado por el comprador revisando una muestra de 100 artculos,aceptando el lote si hay 5 menos defectuosos. Cul es el porcentaje de lotes rechazados?.

Resp: valor exacto: 0,74%. Por Poisson: 0,8%

29) Se desea disear un sistema de muestreo peridico para el control de produccin de una pieza seriada cuyoproceso productivo trabaja con un porcentaje defectuoso nominal del 4% . El mismo consistir en tomar muestrasde nunidades y revisar el proceso toda vez que se encuentren co ms defectuosas en la muestra. Seestablece en un 10% la probabilidad de detener el proceso innecesariamente (es decir, de encontrar co msdefectuosas cuando trabaja al 4%) y en un 95% la probabilidad de detenerlo cuando trabaja al 8%. Calcular eltamao nde la muestra a tomar y el valor de c(plan de muestreo).

Resp: valor exacto: n = 301 y c = 17. Por Normal: n = 304 y c = 18.

30) Una compaa de seguros participa en el ramo automotor con un paquete de 10.000 unidades aseguradas.

Si la frecuencia relativa mensual de accidentes mayores es de 1/1000 y el monto medio de las reparacionesasciende a U$S 20.000 por accidente, se desea calcular:a) Con qu frecuencia se deber disponer para un mes, de una suma mayor de U$s 500.000 paraatencin del pago de reparaciones?. b) Cul es el monto mensual a disponer para tener una seguridadmnima de que en un 90% de los casos se cubrir el monto de las reparaciones?

Resp: valores exactos: a) 0,0016 ; b) U$s 350.000. Por Normal: a) 0,0005 ; b) U$s 350.000.

31) En una fbrica, el nivel de ausentismo en un sector es del 10% sobre un total de 200 personas.a) Cul es la probabilidad de que en un da determinado falten menos de 15 personas? ; b) Cul esla probabilidad de que en un da determinado falten ms de 10 personas? ; c) Cul es la probabilidadde que en un da determinado falten entre 12 y 16 personas?.

Resp: valores exactos: a) 0,093 ; b) 0,9919 ; c) 0,111. Por Normal: a) 0,0968 ; b) 0,9933 ; c) 0,1062.

Uso de las Expectativas parciales

32) Se debe satisfacer un pedido de 8 discos de freno para un prototipo experimental, siendo 0,25 la probabilidadde que uno de ellos est fuera de especificacin. El costo de fabricacin de cada uno es de U$s 250, pero si enla partida inicial no se obtienen los 8 buenos, se debern hacer los adicionales, uno por uno, a un costo de U$s400 cada uno, mantenindose la probabilidad de defectuoso. El comprador paga adems U$s 150 por cada discobueno sobrante.

a) Si se decide fabricar inicialmente 11 discos, cul es el costo esperado del pedido? ; b) Cmo sepuede optimizar dicho costo?

Resp: a) U$s 2.823,63 ; b) hay que repetir el clculo para distintos valores de n, el ptimo es en n = 9 / U$s 2.768,77.

33) En un taller se efecta el control de expedicin revisando las cajas que contienen 20 unidades de una piezaestndar. Las cajas se revisan sacando las piezas, una por una y, al encontrar la 2 defectuosa, la caja se retirade expedicin. Esto significa que todas las cajas salen con 1 ninguna unidad defectuosa. Se sabe que elproceso productivo trabaja con el 4% de defectuosas. Calcular:

a) La probabilidad de que una caja cualquiera sea retirada de expedicin ; b) La cantidad media deunidades defectuosas que llevan las cajas que salen a expedicin ; c) El costo medio de muestreo por


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caja, si cada pieza tiene un costo de muestreo de U$s 5.

Resp: a) 0,1897 ; b) 0,455 ; c) U$s 91,15.

34) Una fbrica de autopartes tiene en cartera un pedido de 210 piezas fundidas. El porcentaje defectuoso es

del 11% y por razones tcnicas se deben fundir todas las piezas en una sola colada. En el contrato firmado porel cliente se estipula un precio de venta de U$s 122 por cada pieza hasta las 210 y de U$s 90 por cada piezaexcedente. Se establece adems que el proveedor otorgar una bonificacin de U$s 20 por cada pieza faltantehasta las 210. Cada pieza producida tiene un costo de U$s 92 (sea buena o defectuosa).

a) Si se decide fabricar 250 piezas, cul es el beneficio esperado del lote? ; b) cmo debera procederpara maximizar dicho beneficio?

Resp: a) U$s 3.744,24 ; b) hay que repetir el clculo para distintos valores de n, ptimo en: n = 239 con U$s 3.829,67.


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TEMA IV - DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE UNA VARIABLE - DISTRIBUCIONES DE EXTREMOS

Frecuentemente encontramos en libros de Estadstica enunciados de problemas en los que se atribuyea variables naturales determinadas distribuciones tericas, como en el caso anterior. Frecuentemente tambin,esto es un invento, es decir, que el tratadista no tiene ningn fundamento para hacer esa afirmacin; cabepreguntarse entonces por qu la hace; simplemente para dar a sus problemas enunciados ms pintorescos ysalir del aburrido "Una variable aleatoria tiene la densidad...". En esta recopilacin intentaremos evitar esasdeclaraciones falsas, pero si en algn problema hacemos una afirmacin mendaz o dudosa, lo aclararemos. Ladeterminacin prctica de la distribucin que da origen o que mejor se ajusta a una variable dada es un problemadifcil y profundo de la Inferencia Estadstica que se estudia en cursos superiores.

1) Una variable aleatoria tiene funcin de densidad para .f(x) a x 0,52= + 0 x 1 a) Calcular la constante a; b) Hallar la funcin de distribucin F(x); c) hallar la probabilidad de que unvalor de xelegido al azar sea menor que 0,5 ; d) si se sabe que un valor de xelegido al azar fuemayor que 0,5, cul es la probabilidad de que sea mayor que 0,75?.

Resp: a) 3/2 ; b) ; c) 5/16 ; d) 53/88.F(x)x

2

x

2

3

= +

2) Una variable aleatoria tiene funcin de densidad para y paraf(x) 1,2x= 0 x 1 f(x) 3m mx= .1 x 3

a) Calcular m; b) hallar la media y la varianza de x; c) P(x < 2,5 / x > 2) ; d) si se eligen al azar 15valores de x, cul es la probabilidad de que 4 o ms sean mayores que 2?.

Resp: a) 0,2 ; b) 16/15 y 0,3622 ; c) 0,75 ; d) 0,0556.

3) Hipotticamente, la duracin en horas de ciertas lmparas es una variable aleatoria cuya funcin de densidad

es para x $$$$30 (ESTO NO ES VERDAD!).f(x)30

x2=a) Cul es la probabilidad de que una lmpara elegida al azar dure ms de 40 horas? ; b) si hay unalmpara que funciona hace 35 horas, cul es la probabilidad de que funcione 10 horas ms? ; c) si seeligen 20 lmparas al azar, cul es la probabilidad de encontrar menos de 12 que duren ms de 40horas? ; d) de las 20 lmparas, cul es la probabilidad de que la menos duradera dure ms de 40horas?.

Resp: a) 0,75 ; b) 0,7778 ; c) 0,0409 ; d) 0,0032.

4) En condiciones normalizadas de funcionamiento, el rendimiento de un motor de combustin interna vara de

motor a motor segn la siguiente funcin de densidad BETA: para . Se( )f(x) 0,125 1 x0,875

=

0 x 1

desea calcular:a) El rendimiento superado por el 90% de los motores ; b) la probabilidad de que en 3 motores elegidosal azar, el menos rendidor tenga un rendimiento superior al 80% .

Resp: a) 56,95% ; b) 0,5469.

5) Cierto tipo de cable plstico presenta fallas de aislamiento tales que la distancia (x en metros) entre fallas


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consecutivas es una variable aleatoria Exponencial con = 0,01 falla/m. Calcular la longitud media entre fallas.

Resp: 100 metros.

6) Hay unas bateras cuya vida til es aleatoria con funcin de distribucin de Wallodi Weibull (1951) con = 60

horas y = 3 ; para x en horas. Calcular:a) Qu duracin deber especificarse para las bateras si se desea tener la seguridad de que sersuperada por el 95% de las mismas ; b) de las que duran ms de 50, qu porcentaje dura menos de60 horas?.

Resp: a) 22,3 horas ; b) 34,38%.

7) Una mquina produce piezas cilndricas de acero cuyo dimetro es una variable aleatoria que supondremos(aunque no es verdad) distribuida uniformemente entre 10 y 11mm. La tolerancia para estas piezas es

y el control se efecta con un calibre pasa - no pasa. Hay dos calibres para dicho( )10,05 x 10,90 control; uno de ellos tiene los topes correctos pero el otro tiene el tope inferior incorrecto en 10,1mm. Serevisaron 15 piezas con uno de los calibres y se encontraron 12 buenas. Cul es la probabilidad de que se haya

usado el calibre equivocado en esa inspeccin?.Resp: 0,5338.

8) Dos proveedores A y B suministran bombillas cuya duracin es variable con funcin de distribucin de Weibull,con = 3; donde , se expresa en horas y vale 80 para el proveedor A y 95 para el B. Adems, A suministra el70% y B el resto y estn mezcladas en el depsito en dichas proporciones.

a) Si se elige una al azar, cul es la probabilidad de que dure ms de 90 horas? ; b) se eligi una al azary hace 88 horas que funciona, cul es la probabilidad de que pertenezca a A? ; c) la bombilla elegidadur 89,4 horas exactamente, cul es la probabilidad de que pertenezca a A?. La pregunta c) es msdifcil.

Resp: a) 0,2967 ; b) 0,5772 ; c) 0,6901.

9) La resistencia a la rotura de una pieza es variable con la funcin de distribucin de Weibull, con parmetro que vale 2000 kg para las piezas de primera calidad y 1700 kg para las de segunda y = 3,8 para ambascalidades. El proveedor ha recibido un pedido de muchas piezas y desea, "de buena fe", incluir entre ellas unafraccin Fde unidades de segunda. El control que efecta el cliente consiste en revisar 5 piezas y rechazarel lote en caso de encontrar alguna con resistencia inferior a 700 kg. Cul debe ser como mximo el valor deFpara que el proveedor tenga a lo sumo una probabilidad 0,1 de que le rechacen el lote?.

Resp: 0,1629 = 16,29%.

10) La resistencia a la rotura de unos eslabones metlicos es variable con funcin de distribucin de Weibull, con= 5 (toneladas) ; y= 3 donde xse expresa en toneladas. Para una cadena de 8 eslabones, qu resistencia

podr garantizarse con 90% de confiabilidad?.

Resp: 1,18 toneladas.

11) Hay unos elementos con duraciones aleatorias cuya distribucin es Exponencial de = 0,01 (fallas por hora)para xen horas. Si estos elementos se conectan en serie, la duracin del circuito es la del elemento de menorduracin y si se conectan en paralelo, es la del de mayor duracin. Calcular en ambos casos, para n= 10elementos, la funcin de distribucin F(x)de la vida del circuito y su mediana.


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Resp: En serie ; Me = 6,93 horas.( )

F(x) 1 e0,1x

=

En paralelo ; Me = 270,36 horas.( )F(x) 1 e0,01x

10

=

12) La duracin de un cojinete a bolilla presenta la funcin de Weibull con = 10 (millones de revoluciones) ycon = 2, para xen millones de revoluciones. Calcular la probabilidad de que en 3 cojinetes elegidos al azar,el ms duradero dure menos de 10 millones de revoluciones.

Resp: 0,2526.

13) Las ofertas de licitaciones de productos metalrgicos para empresas del Estado suelen responder al modelode PARETO. Una explicacin intuitiva es que la mayora de los oferentes tratan de ganar la licitacin ofreciendoun precio lo ms bajo posible, cercano al costo del producto, por eso, el valor mnimo de la variable ( x= ) estambin el que tiene la frecuencia mayor. Considere una licitacin en que el costo es de U$s 75.000 y las ofertaspresentan un valor promedio de U$s 125.000. Calcular:

a) Las ofertas cuyas probabilidades acumuladas son 10% y 90% respectivamente ; b) De las quesuperan la mediana, qu porcentaje supera la media.

Resp: a) U$s 78.228,37 y U$s 188.391,48 ; b) 55,77%.

14) Se sabe que la duracin de una pieza responde a la distribucin de WEIBULL para x> 0 en horas de vidatil. Si = 2 y = 100 horas de vida til:

a) Calcular la duracin garantizada con un 90% de confiabilidad ; b) Se realiz una prueba con un lotemuy grande de piezas y se separaron 1.000 unidades con duracin superior a 100 horas, cuntasunidades habr en este lote de 1.000 unidades cuyas duraciones sean superiores a 120 horas?

Resp: a) 32,46 horas ; b) 644 unidades.

15) La duracin de los cartuchos de tner de una impresora lser es variable por distintas causas, sobre todopor los tipos de calidades de impresin, respondiendo a una WEIBULL. Para el cartucho original, la duracin tieneun = 5,8 (en miles de pginas), donde la variable xse expresa en miles de pginas, en tanto que para elcartucho re-manufacturado, la duracin tiene un = 5,2 miles de pginas; para ambos casos el = 3. En unbanco, el 20% de los cartuchos son originales y el resto son re-manufacturados.

a) Cul es la probabilidad de que un cartucho dure en ese banco ms de 6.000 pginas? ; b) Si uncartucho dur ms de 6.000 pginas, cul es la probabilidad de que sea original? ; c) Si un cartuchodur exactamente 6.012 pginas, cul es la probabilidad de que sea original?

Resp: a) 0,2383 ; b) 0,2775 ; c) 0,2172.

16) En trabajos de control de produccin, se ha podido comprobar que el alargamiento hasta la rotura del hilo

de coser, expresado en porcentaje, responde a la distribucin de GUMBEL del Mximo, siendo y losparmetros. El parmetro es el modo o moda de la variable, es decir el valor que maximiza la funcin dedensidad. Estos parmetros toman valores distintos segn el tipo de hilo. Para un tipo de hilo dado se tiene unamedia de 14% y se ha podido establecer que con probabilidad 0,1 se supera el 16%. Calcular con quprobabilidad el alargamiento es inferior al 13%.

Resp: 0,2736.


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17) La variable vida de seres vivientes de una misma especie ha sido objeto de numerosos estudios, sobre todoen la especie humana. Los objetivos de tales estudios, son de diversa ndole, pero en relacin con las Cienciasde la Administracin, resultan de utilidad para el clculo de las primas de seguros de vida. Hasta no hace muchotiempo se segua utilizando la distribucin Normal, desprecindose la clara asimetra negativa de dicha variable;esta aproximacin resulta algunas veces razonable cuando se trata de vida o de duracin de objetos inanimadoso de algunas especies animales. Para los humanos, se comenz a trabajar con la ley de W. WEIBULL, quepermite una exactitud considerablemente mejor; sin embargo, estudios ms recientes realizados con modernastcnicas de tratamiento de datos, permiten concluir que la distribucin ms exacta para estas variables es lapropuesta por E. J. GUMBEL, siendo ylos parmetros. El parmetro es el modo o moda de la variable, esdecir el valor que maximiza la funcin de densidad. Estos parmetros toman valores distintos segn el pas y elsexo, siendo en general la mujer ms longeva que el hombre. En nuestro pas se tiene, para los hombres, unamedia de 70,1 aos y se sabe que un 8% supera los 80 aos. Calcular qu porcentaje supera los 65 aos.

Resp: 77,2%.

18) Los salarios de una fbrica de automviles responden al modelo de PARETO, para x $$$$, es decir que esel valor mnimo de la variable. En esta empresa se tiene = U$s 420 y = U$s 770. Calcular:

a) La mediana de los salarios ; b) El porcentaje de empleados que gana ms que la media.

Resp: a) U$s 575,55 ; b) 26,36%.

19) Un sistema est integrado por dos elementos I y II que fallan al azar en promedio 1 vez cada 400 y 600 horasrespectivamente. El sistema falla cuando cualquiera de dichos elementos falla. Cul es la probabilidad de queel sistema falle despus de transcurridas las primeras 800 horas?

Resp: 0,0357.

20) En un circuito entran en serie dos elementos similares, que se obtienen del almacn al armarlo. En elalmacn hay 80% de estos elementos de calidad X(cuya vida media es de 2000 horas) y hay 20% de calidadY(cuya vida media es de 1000 horas). Sabiendo que el circuito hace 2000 horas que funciona sin fallas, calcular

la probabilidad de que contenga al menos un elemento de calidad X.Resp: 0,9929.


21) Los salarios de los empleados de una gran empresa son variables con funcin de distribucin de WilfredoPareto (1896) con = 150 U$s; para x $$$$150 U$s; el parmetro bse puede calcular sabiendo que el salariopromedio es de 200 U$s. Calcular el valor esperado del salario, para los empleados que ganan menos que lamedia.

Resp: U$s 169,14.

22) Hay unos elementos que fallan a azar con duraciones variables de acuerdo a un modelo Exponencial con= 0,01 (fallas por hora); para xen horas. Se prueban todos durante 40 horas y se descartan los que fallan.Calcular la duracin media futura de los que no han fallado.

Resp: 140 horas.


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TEMA V - DISTRIBUCIN NORMAL Y LOG-NORMAL

1) En una planta industrial el consumo mensual de combustible es una variable aleatoria distribuida Normalmentecon media 20000 litros y desvo estndar 2500 litros.

a) Qu porcentaje de los meses se consume menos de 24000 litros? ; b) Qu porcentaje de losmeses se consume ms de 18000? ; c) Qu porcentaje de los meses se consume entre 18000 y24000? ; d) qu capacidad debe tener un tanque para satisfacer el consumo mensual con 95% deprobabilidad? ; e) cul es el consumo superado en el 90% de los meses? ; f) de los meses que seconsume menos de 24000 litros, qu porcentaje se consume menos que la media? ; g) de los mesesque se consume menos de 24000 litros, qu porcentaje se consume ms de 18000? ; h) de los mesesque se consume ms de 18000 litros, qu porcentaje se consume menos de 24000? ; i) para el tanquecuya capacidad fue calculada en d), supongamos que es llenado todos los meses; cul es laprobabilidad de que en un ao haya algn mes en que no alcance a satisfacer el consumo?

Resp: a) 94,52% ; b) 78,81% ; c) 73,33% ; d) 24.112 litros ; e) 16.796 litros ; f) 52,9% ; g) 77,58 ; h) 93,05% ; i) 0,4596.

2) En un molino harinero, una mquina automtica envasa el producto en bolsas cuyo peso neto tiene unadistribucin Normal de media 800 gramos y desvo estndar 20 gramos. La Secretara de Comercio realiza una

inspeccin y elige al azar 30 bolsas aplicando una multa si encuentra alguna bolsa con peso neto inferior a 750gramos. Cul es la probabilidad de tal evento?

Resp: 0,1704.

3) En un establecimiento agropecuario, el 10% de los novillos que salen a venta pesan mas de 500 Kg y el 7%pesan menos de 410 Kg. Calcular:

a) el peso superado por el 15% de los novillos ; b) la probabilidad de que en una jaula de 25 novillos hayaalguno con peso inferior a 400 Kg.

Resp: a) 491,99 Kg ; b) 0,614.

4) Una carpintera recibe tablas de dos aserraderos A y B. En el primero, la longitud de las mismas tienedistribucin Normal con media 3,8 m y desvo estndar 0,3 m; en el segundo, la distribucin tambin es Normal,pero con parmetros 3,9 y 0,35 m respectivamente. Hay una partida en depsito de la cual, por una confusin,se desconoce su origen; en 10 tablas de la misma se encontraron 7 con longitud superior a 3,7 m; cul es conesta informacin la probabilidad de que el origen sea B?

Resp: 0,5251.

5) Hay unas piezas que tienen una dimensin crtica distribuida Normalmente cuya especificacin est definidaen 10 0,3 mm. Se revis una gran cantidad de ellas, encontrndose un 5% en bajo medida y un 11% en sobremedida. Luego de esta revisin, se descubri que el instrumento utilizado cometa un error sistemtico porexceso de 0,05 mm. Cules seran los porcentajes de rechazo si el instrumento hubiera efectuadocorrectamente la medicin?

Resp: 7,99% y 7,14%.

6) Una zapatilla puede ser defectuosa por tener raspaduras o por ser insuficiente la adherencia de la capelladaa la suela. Para comprobar dicha adherencia se efecta un ensayo con una carga de 24 Kg y si se despega, lazapatilla es defectuosa. La resistencia de la unin es una variable Normal de media 25 Kg y desvo 0,7 Kg.Adems, el 4% de las zapatillas presenta raspaduras. Una zapatilla es defectuosa si presenta cualquiera de losdefectos indicados y un par es defectuoso si alguna de sus zapatillas lo es. Calcular:


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a) El porcentaje de paresdefectuosos ; b) el nmero esperado de pares a elegir uno a uno hastaencontrar 20 buenos.

Resp: a) 21,41% ; b) 25,45 pares en promedio.

7) Los saldos de cuentas de ahorro de un banco tienen una media de U$s 120, y un desvo estndar de U$s 85.a) Qu porcentaje de los saldos es superior a U$s 140 ; b) De los saldos superiores a la media, quporcentaje supera los U$s 140? ; c) Cul es el saldo superado por el 90 % de las cuentas? ; d) Cules la mediana de los saldos?

Resp: a) 28,75% ; b) 76,69% ; c) U$s 43,26 ; d) U$s 97,92.

8) Los salarios de los empleados de una empresa tienen una media de U$s 320 y desvo de U$s 125. Calcular:a) La mediana y el modo ; b) El porcentaje de empleados con salarios superiores a la media ; c) De losque superan el modo, qu porcentaje gana menos que la media? ; d) dem a), b) y c) si se aplica unaumento del 10% a todos.

Resp: a) Me = U$s 298,07 y Mo = U$s 258,61 ; b) 42,53% ; c) 34,26%

d) Me = U$s 327,87 y Mo = U$s 284,47 ; 42,53% ; 34,26%.

9) En un banco, los saldos de cuentas corrientes tienen una media de U$s 320 y un desvo de U$s 425; en tantoque los saldos de cuentas de ahorro tienen una media de U$s 125 y un desvo de U$s 97. Hay 3.500 cuentascorrientes y 1.660 cuentas de ahorro. Calcular:

a) Qu porcentaje del total de las cuentas presenta un saldo inferior a U$s 180 ; b) De las cuentas consaldos inferiores a U$s 180, qu porcentaje son cuentas corrientes?

Resp: a) 58,14% ; b) 55,24%.

10) Las ventas mensuales de un determinado producto son variables con distribucin Normal de media U$s60.000 y desvo estndar U$s 5.000.

a) Qu porcentaje de los meses las ventas exceden de U$s 70.000? ; b) Si la empresa necesita vendermensualmente por lo menos U$s 49.000 para cubrir sus gastos fijos, qu porcentaje de los meses nopuede la empresa cubrir dichos gastos? ; c) Cul es la venta superada con 20% de probabilidad?

Resp: a) 2,28% ; b) 1,39% ; c) U$s 64.208,10.

11) Las ventas mensuales de un determinado producto pueden suponerse distribuidas normalmente con mediade 1.000 unidades y desvo de 150 unidades. Si el stock de producto terminado es de 800 unidades, cuntasunidades debern fabricarse para tener una seguridad del 99% de atender la totalidad de los pedidos del mes?

Resp: 549 unidades.

12) Una fbrica produce pistones cuyos dimetros se encuentran adecuadamente clasificados por unadistribucin normal con un dimetro medio de 5 cm y una desviacin estndar de 0,001 cm. Para que el pistnsirva, su dimetro debe encontrarse entre 4,998 y 5,002 cm. Los pistones bajo medida debern desecharse ylos que estn sobre medida pueden re-procesarse a un costo de U$S 5 por unidad.

a) Qu porcentaje de pistones debern desecharse? ; b) Sabiendo que la produccin estimada parael mes prximo es de 20.000 unidades, cul ser el costo adicional de aquellos pistones que deban serre-procesados?

Resp: a) 2,28% ; b) 2.275 U$s.


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13) Una empresa constructora ha ganado honestamente la licitacin estatal para una obra civil por un monto deU$s 600.000 y un plazo de entrega de 210 das, con una clusula que penaliza en U$s 2.500 cada da de atraso,y un premio de U$s 1.500 por cada da de adelanto. El costo de la obra para la empresa se ha calculado en U$s330.000 fijos ms 500 U$s/da. Adems, mediante la teora de redes, se ha determinado que la duracin de lostrabajos se distribuye normalmente con una media de 195 das y un desvo estndar de 25 das.

a) Calcular el beneficio esperado ; b) Si han transcurrido los 210 das y la obra no ha concluido, cules el tiempo esperado para concluirla? ; c) Cul es la probabilidad de ganar menos de U$s 165.000?

Resp: a) U$s 190.783,10 ; b) 225,4 das promedio en total, o sea 14,6 das promedio a partir de ahora ; c) 0,2743.

14) En una planta siderrgica hay un horno que trabaja con un quemador a fuel-oil cuya demanda semanal sigueuna ley Normal de media 40 toneladas y desvo estndar 6 toneladas. A tal efecto, hay un tanque de 45 toneladasque es completado semanalmente por camiones cisterna.

a) Calcular el consumo medio de combustible ; b) Cul es la demanda media para las semanas en queno se supera la capacidad del tanque? ; c) Cul es la demanda media para las semanas en que s se

supera la capacidad del tanque?Resp: a) 39,32 tn ; b) 37,88 tn ; c) 48,36 tn.

15) Una lnea de ferrocarril estudia la forma de optimizar el servicio de transporte de pasajeros en viajes de tiporpido. Cada vagn tiene 60 asientos y est prohibido que viajen pasajeros de pie. El tren parte actualmentecon 10 vagones (estn o no ocupados) y puede, por lo tanto, llevar a lo sumo 600 pasajeros. El costo demovimiento del tren se compone de: 1) 650 U$s/vagn; 2) 1.600 U$s por la locomotora y el furgn; 3) 10U$s/pasajero. Se evala adems en 25 U$s el lucro cesante por cada pasajero que no consigue pasaje porhaberse completado el tren. El precio de cada pasaje es de 40 U$s. Por estudios, se ha logrado establecer quela demanda se puede ajustar razonablemente bien a una distribucin Normal de media 550 pasajes y un desvode 75 pasajes.

a) Calcular el nmero medio de pasajes vendidos ; b) Calcular el nmero medio de pasajes vendidos

para los viajes en que la demanda no supere la capacidad del tren ; c) Calcular el nmero medio depasajes vendidos para los viajes en que la demanda s supere la capacidad del tren ; d) Calcular elbeneficio esperado ; e) Indicar cmo debe procederse para maximizar el beneficio esperado.

Resp: a) 538,67 pasajes ; b) 517,95 pasajes ; c) 600 ; d) 7.776,63 U$s ; e) Hay que buscar la cantidad de vagones parael cual el beneficio esperado es mximo (el resultado es 10 vagones).

16) En una planta se reciben tablas de longitud variable que se clasifican en: Categora A, las menores de 1,5m; Categora B, las que tienen longitudes comprendidas entre 1,5 y 2 m; y C, las mayores de 2m. Se sabe quelas proporciones son 12, 58 y 30%, respectivamente. Determinar la longitud media de cada categora.

Resp: 1,36 m ; 1,77 m ; 2,19 m, respectivamente.

17) Un productor agropecuario decide alquilar 50 hectreas de campo para la plantacin de lino. El costo dealquiler es de 8 U$s por hectrea ms el 2% de las ventas del producto. El rendimiento por hectrea se puedeconsiderar una variable aleatoria Normal de media 4 Tn y desvo de 0,5 Tn. El costo de preparacin y siembraes de 6 U$s por hectrea y los gastos fijos incurridos durante el ciclo productivo son de 1.000 U$s. El precio decolocacin segn la Junta Nacional de Granos es de 600 U$s/Tn. Adems, si la produccin supera las 200 Tn,el productor deber abonar al propietario el 1% del precio de venta por tonelada adicional. Calcular el beneficioesperado del productor.

Resp: 115.840,16 U$s.


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18) En una factura de energa elctrica se consigna el precio del kw-hora y el consumo. Hasta 40 Kwh 262 $ enconcepto de abono mnimo, siguientes 460 Kwh 3,857 $/Kwh; siguientes 150 Kwh 4,46 $/Kwh y por encima de650 Kwh 5,169 $/Kwh excedente. Todos los usuarios pagan adems un impuesto del 34%. Se sabe adems,que el consumo tiene distribucin Log-normal de media 200 Kwh y desvo de 250 Kwh. (Los datos anteriorescorresponden a tarifas domiciliarias de Capital Federal para junio-julio de 1984). Calcular el monto promedio deestas facturas.

Resp: 1.224,33 $.

19) En un bar de una facultad pblica la consumicin se cobra por medio de un ticket que es presentado por elconsumidor al salir del bar. Si pierde el ticket, debe pagar 20 U$s en concepto de importe por consumicin.Dados los diferentes estratos sociales que concurren a esa Facultad, los consumos presentan una fuertedispersin, con una media de 7 U$s y un desvo de 12 U$s. Aunque no es muy frecuente, hay personas cuyoconsumo supera los 20 U$s y, en ese caso, aplicando nuestros conocidos conceptos de viveza criolla, pierdenel ticket y pagan slo 20 U$s. Calcular el importe promedio pagado por los consumidores.

Resp: 5,74 U$s.

20) El monto de los seguros reclamados a una compaa de seguros es una variable aleatoria con distribucinLog-normal de media de 5.000 U$s y desvo estndar de 3.000 U$s. La compaa ha resuelto cancelar la deudatotal de acuerdo a la siguiente poltica: Los reclamos que no superen los 3.000 U$s se cancelarninmediatamente con una quita del 15% y los que superen los 6.000 U$s se pagarn a 60 das con un intersefectivo del 35%.

a) Cul es el monto promedio a pagar por cada siniestro? ; b) Cul es el monto superado por el 10%de los reclamos? ; c) Cul es el monto medio de los reclamos que no superan los 3.000 U$s?

Resp: a) 5.752,51 U$s ; b) 8.726,46 U$s ; c) 2.220,36 U$s.

21) La valuacin fiscal de los inmuebles de una comuna se puede considerar una variable aleatoria condistribucin Log-normal con parmetros m = 10,53 y D = 0,24. Se piensa establecer un impuesto a la propiedadinmueble del 1% de la tasacin fiscal, con las siguientes excepciones: los propietarios con tasacin inferior a U$s30.000 no lo pagarn, y los comprendidos entre U$s 30.000 y U$s 50.000 pagarn solamente la mitad.Determinar el valor esperado del monto a recaudar sobre un total de 100.000 inmuebles.

Resp: U$s 20.102.072,54.

22) En una central telefnica se tiene, para la categora familias, un consumo promedio bimensual por abonadode 850 pulsos, con un desvo estndar de 1.025 pulsos. Hay 200 pulsos libres, que tienen un abono fijo de U$s14 y el costo de los pulsos adicionales es de 0,045 U$s/pulso.

a) Escribir las expresiones que relacionan el consumo (en pulsos) con el importe a pagar por factura yla expresin del monto esperado por factura ; b) Calcular dicho monto esperado ; c) Si se sabe que en

esta central hay 580 abonados con consumos inferiores a 200 pulsos, cuntos habr con consumosinferiores a la mediana?

Resp: a) Si . Si . Entonces se deduce la siguiente expresin:( )

x 200 M 14x = ( )x 200 M 5 0,045xx = +

( ) ( ) ( ) ( )E M 14 F 200 5 G 200 0,045 J 200LN LN LN= + + ; b) 43,70 U$s ; c) 1.985 abonados.


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TEMA VI - PROCESO DE SIMEN DENIS POISSON (1781-1840) - DISTRIBUCIN DE POISSON -DISTRIBUCIN EXPONENCIAL - DISTRIBUCIN GAMMA

1) A un comercio entran en promedio 60 personas por hora. Calcular:a) La probabilidad de que en los prximos 5 minutos no entre nadie ; b) el lapso de tiempo tal que laprobabilidad de que no entre nadie es 0,5.

Resp: a) 0,0067 ; b) 41,59 segundos.

2) Un conmutador telefnico recibe en promedio 600 llamadas por hora y puede hacer como mximo 20conexiones en un minuto dado. Cul es la probabilidad de que su capacidad sea superada en un minuto dado?

Resp: 0,0016.

3) Un fabricante compr un nuevo equipo para producir cable plstico con el cual ha conseguido disminuir elpromedio de fallas (que con el viejo equipo era de 2 cada 1000 metros) a 1 cada 1000 metros. Le han informadoque su competidor principal, que tiene (o tena) un equipo igual al que l dej de usar, ha instalado tambin unnuevo equipo similar al suyo; su confianza en la fuente de informacin es tal que asigna una probabilidad 0,6 adicho evento. A fin de cerciorarse, decide comprar 2.000 metros de la competencia e inspeccionarlos, hallando5 fallas. Cul es, con esta informacin, la probabilidad de que el competidor haya instalado el nuevo equipo?

Resp: 0,2573.

4) Se tienen dos mquinas para fabricar caos por extrusin de 6 metros de longitud. Un inspector rechaza loscaos con fallas; va primero a una mquina y necesita revisar 5 caos para encontrar uno fallado; en la otra lohalla al 3er. cao revisado. Se sabe que las fallas se producen al azar, en la mquina A con un promedio de 1cada 30 m y en la B, de 1 cada 28 m. Cul es la probabilidad de que la primera inspeccin haya sido en lamquina B?

Resp: 0,4929.

5) En un proceso de pintura se producen fallas con media 1 falla por unidad. Las normas de control de calidadcalifican como defectuosa toda unidad con ms de 2 fallas. De los tres inspectores, A y B aplican correctamentela norma pero C, equivocadamente, clasifica como defectuosas las que tienen 2 ms fallas. Si de un grupo de15 unidades, que se saben inspeccionadas todas por el mismo inspector, hay 3 clasificadas como defectuosas,cul ser la probabilidad de que hayan sido inspeccionadas por C?

Resp: 0,5504.

6) Una empresa de instalaciones industriales adquiri en un remate un lote de caos de PVC de 6 m de longitud.Para realizar una estimacin del costo real de estos caos, se averigua que este lote podra provenir de algunode dos fabricantes: el A, cuyo proceso de fabricacin continuo presenta 1 falla cada 30 metros, o el B, que conun proceso ms moderno, presenta 1 falla cada 60 metros. En la primera instalacin de 300m de longitud en quese instalaron estos caos, al realizar la prueba hidrulica se tuvieron que cambiar 3 caos. Cul es laprobabilidad de que el lote provenga del proveedor A?

Resp: 0,0592.

7) Se deben entregar 4 copas de cristal de 1a. calidad (sin poros). Los poros aparecen al azar en la masacristalina, a razn de 1 cada 30 cm3y cada copa tiene un volumen de 36 cm3. Se desea calcular el nmero de


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copas a fabricar para satisfacer el pedido con 90% de probabilidad.

Resp: 21 copas.

8) En la fundicin de unas piezas se presentan poros a la Poisson, con una frecuencia de 1 falla cada 4 piezas

en promedio. Una pieza se considera buena si no presenta poros. Calcular la probabilidad de obtener 3 piezasdefectuosas antes de la tercera pieza buena, en una secuencia de fundicin de piezas independientes.

Resp: 0,0511.

9) Una carpintera recibe el 30% de las tablas (de 0,5m1,2m) para la construccin de placards, de un aserraderoA y el resto de otro B. Las tablas del aserradero A presentan nudos con intensidad 0,25 nudos/m 2y las delaserradero B, 0,1 nudos/m2. Al revisar al azar las tablas de una partida recin recibida, se encuentra que la primertabla que tiene algn nudo es la 6a. revisada. Cul es la probabilidad de que esa partida sea del aserradero A?

Resp: 0,3953.

10) La tasa de falla de un equipo electrnico es, en condiciones normales, de 0,4 fallas/da. Sin embargo, en losltimos tiempos se ha registrado una tasa de 1,6 fallas/da. El Jefe de Mantenimiento piensa que una causaposible es el desajuste de una pieza y subjetivamente asigna un 70% de probabilidades a dicha causa; enconsecuencia efecta la correccin del mismo. En los dos das subsiguientes ocurre una sola falla. Cul es,con esta informacin, la probabilidad de que realmente fuera el desajuste la causa?

Resp: 0,8654.

11) Una computadora digital que funciona las 24 horas del da sufre paradas accidentales por fallas que seproducen a la Poisson a razn de 0,25 fallas/hora.

a) Cul es la probabilidad de que la computadora se detenga ms de 25 veces en una semana hbil(5,5 das) ; b) si se observ que la computadora funcion sin detenerse durante 2 horas, cul es laprobabilidad de que no se detenga en las prximas 2 horas y cuntas horas funcionar en promedio

hasta producirse la primer falla?Resp: a) 0,9083 ; b) 0,6065 ; 4 horas.

12) La longitud entre fallas consecutivas en procesos continuos de produccin (tela, papel, cable, etc.) respondeen la mayora de los casos a la densidad Exponencial donde es la longitud media entre fallas. Cierto tipo decable plstico es suministrado por dos proveedores. Para el proveedor A, que entrega el 70%, la longitud mediaentre fallas es de 170 m y para el B, que entrega el resto, dicho parmetro es de 200 m. Se eligi un rollo al azarde 250 m y no se encontraron fallas. Cul es la probabilidad de que pertenezca a A?

Resp: 0,6518.

13) El proceso de fabricacin de una tela genera en promedio 1 falla cada 100 metros. La longitud de cada rolloqueda determinada por la aparicin de la segunda falla, de modo que todos los rollos tienen una falla. Calcular:a) el porcentaje de los rollos con longitudes inferiores a 150 metros ; b) la longitud superada por el 90%de los rollos ; c) la longitud superada por el 10% de los rollos ; d) la longitud mediana ; e) la longitudmodal.

Resp: a) 44,22% ; b) 53,18 m ; c) 389,96 m ; d) 167,83 m ; e) 100 m.


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14) Calcular con la relacin Gamma )Poisson las siguientes probabilidades:

a) Fg(x / r ; ) = Fg(20 / 4 ; 0,3) ; b) Fg(0,7 / 4 ; 10) ; c) Fg(500 / 8 ; 0,01) ; d) Gg(3,2 / 8 ; 3,1) ;e) Gg(14,6 / 7 ; 0,45) ; f) Gg(1.850 / 15 ; 0,01).

Resp: a) 0,8488 ; b) 0,9182 ; c) 0,1334 ; d) 0,2275 ; e) 0,5155 ; f) 0,1771.

15) A un comercio mayorista llegan en promedio 7 pedidos al da. Cul es la probabilidad de que transcurranms de 2 das para los prximos 10 pedidos?

Resp: 0,1094.

16) El control de recepcin de una tela cruda consiste en revisar 5 rollos de cada lote (muy grande) y rechazarel lote en caso de encontrar algn rollo con longitud inferior a 50 metros. Se sabe que estos rollos tienen unalongitud que ha quedado determinada por la aparicin de la 2da. falla y que el proceso genera en promedio 1 fallacada 160 metros.

a) Calcular el porcentaje de lotes rechazados ; b) Qu longitud puede garantizarse para un rollocualquiera con 90% de probabilidad? ; c) Qu longitud puede garantizarse para un lote de 5 rollos ; d)

Qu longitud puede garantizarse para un lote de 100 rollos. Explique la no-proporcionalidad entre losresultados de b) y c).

Resp: a) 18,38% ; b) 85,09 m ; c) 995,39 m ; c) 29.136,48 m.

17) El control de produccin de un tipo de tela se efecta revisando 10 rollos, deteniendo el proceso si seencuentra ms de 1 de 2 calidad. La longitud de los rollos es 50 metros y se consideran de 2 calidad los quetienen 2 ms fallas. En condiciones normales de trabajo, el proceso productivo genera fallas al azar a raznde 1 cada 200 metros en promedio. Cul es la probabilidad de detener el proceso innecesariamente?

Resp: 0,0274.

18) La demanda de energa en una usina tiene distribucin Gamma de media 45 Mw y desvo estndar 9 Mw.Si se dispone de un generador de 60 Mw, qu porcentaje del tiempo la demanda queda insatisfecha?

Resp: 5,75%.

19) Una usina dispone de 2 generadores con capacidades de 100 y 150 Mw, respectivamente. Cada generadoresta detenido, por diversas causas, el 8% del tiempo, siendo las detenciones independientes entre s. Lademanda de energa es una variable con distribucin Gamma de media 120 Mw. y desvo estndar 40 Mw. Quporcentaje del tiempo la demanda queda insatisfecha?

Resp: 7,44%.

20) Se tiene un lote de piezas mezcladas que han sido entregadas por dos proveedores: A (30%) y B (70%).La resistencia a la rotura de las piezas correspondientes a A, tiene distribucin Normal de media 20 tn y desvoestndar 2 tn; mientras que para las piezas correspondientes a B, la distribucin es Gamma de media 24 tn ydesvo estndar 6 tn.

a) Cul es la probabilidad de que una pieza elegida al azar resista 23 tn sin romperse? ; b) Si una piezaresisti 23 toneladas sin romperse, cul es la probabilidad de que provenga del proveedor A?

Resp: a) 0,3938 ; b) 0,0509.


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21) Una tela presenta en promedio 1 falla cada 400 metros y se provee en rollos de 100 metros. Un rollo seconsidera de segunda calidad si presenta 2 ms fallas.

a) Cul es el porcentaje de rollos de segunda calidad? ; b) Cul es la probabilidad de que en un lotede 200 rollos haya ms de 7 de segunda calidad?.

Resp: a) 2,65% ; b) 0,1639.

22) Calcular mediante la aproximacin de Wilson - Hilferty para la funcin de distribucin Gamma:

; las siguientes probabilidades:( ) ( )F x / r;l G r / m x 3 rx

r1

9 r1g po

13

= =

+

a) Fg(35 / 4 ; 0,1) ; b) Fg(15,2 / 7,3 ; 0,6) ; c) Fg(7,5 / 40,2 ; 6,1) ; d) Gg(5,7 / 12,4 ; 2).

Resp: a) 0,4623 ; b) 0,7727 ; c) 0,8134 ; d) 0,5782.

23) La lluvia cada mensualmente en una regin agrcola tiene distribucin Gamma con media 90 mm y desvoestndar 50 mm. Calcular:

a) La probabilidad de que la lluvia mensual supere la media ; b) La lluvia superada con 90% deprobabilidad ; c) Si durante el mes ya han llovido 50 mm, cul es la probabilidad de que lluevan 50 mmms?

Resp: a) 0,4625 ; b) 34,78 mm ; c) 0,7793.

24) En la fabricacin de una tela se produce en promedio 1 falla cada 100 metros. Esta tela es bobinada en rollosde longitud variable que queda determinada por la aparicin de cada falla, pues se corta en ella.

a) Si se tiene un lote de 6 rollos y se ha recibido un pedido de 700 metros, cul es la probabilidad de nopoder cumplirlo? ; b) si se tiene un lote de 60 rollos y se ha recibido un pedido de 7.000 metros, cules la probabilidad de no poder cumplirlo?

Resp: a) 0,6997 ; b) 0,8976.

25) Un elemento electrnico tiene una duracin variable de media 1.000 horas:a) Calcular la probabilidad de que un stock de 10 elementos dure ms de 15.000 horas. b) Quduracin puede garantizarse para el stock con 90% de probabilidad?

Resp: a) 0,0697. b) 6.223 hs 54' 17,14".


26) Para ciertos productos de importacin, el tiempo de estada en la aduana tiene distribucin Gamma de media30 das y desvo de 12 das. El costo de dicha estada tiene una parte fija de 100 U$s ms una parte variable quedepende del tiempo. Hasta 30 das se paga 10 U$s/da y si es mayor de 30 das, 5 U$s/da excedente.

a) Calcular el costo esperado de los pedidos ; b) Calcular el tiempo medio de estada para los pedidosque superan los 30 das.

Resp: a) 376,31 U$s ; b) 40,6 das.

27) Hay unos rollos de tela cuyo proceso de fabricacin genera en promedio 1 falla cada 100 metros. La longitudde cada rollo es variable, pues se miden 60 m, y si ya apareci alguna falla se corta en esa longitud (60 m), delo contrario se sigue enrollando hasta que aparezca la primera falla y se corta en ella.


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a) Calcular la longitud media de los rollos ; b) Calcular el beneficio esperado por rollo si el costo es de5 U$s/m y el precio de venta es de 8 U$s/m para los rollos menores de 80 m y de 10 U$s/m para losrestantes.

Resp: a) 114,88 m ; b) 506,40 U$s.

28) Un servicio de ferry-boat para transporte de automviles tiene una frecuencia de partidas de 1 cada 2 horaso al completarse el ferry si ello ocurre antes. Cada ferry tiene una capacidad para 5 autos y al partir esreemplazado de inmediato por otro que atraca en el muelle. Se sabe adems que los arribos ocurren al azar arazn de 4 autos por hora.

a) Calcular el lapso medio entre partidas ; b) Calcular el nmero medio de vehculos transportados.

Resp: a) 1h 12' 36,79" ; b) 4,84 autos.


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TEMA VII - PROBLEMAS COMBINANDO LAS DISTRIBUCIONES

1) En una operacin de taladrado se rompe en promedio una mecha cada 10 agujeros. Para hacer 25 agujeros,un operario dispone de 3 mechas. Calcular la probabilidad de que las 3 mechas le alcancen si se considera:

a) Las mechas se rompen por exceso de trabajo al final de la operacin y nunca se rompe ms de unaen el mismo agujero ; b) las mechas se rompen en forma accidental y es posible romper ms de una enel mismo agujero.

Resp: a) Gpa(25 / 3 ; 0,1) = 0,5643 ; b) Gg(25 / 3 ; 0,1) = 0,5438.

2) La fibra de rayn para neumticos tiene un promedio de 0,3 nudos por metro y la longitud necesaria para cadaneumtico es de 10 metros. Cada trozo de 10 metros no debe tener ms de 5 nudos porque de lo contrario selo considera defectuoso. Cules la probabilidad de que en 50 trozos haya ms de 7 defectuosos?

Resp: 0,0553.

3) Los dimetros de remaches producidos por una mquina tienen distribucin Normal de media 3 mm y desvo0,01 mm. La especificacin para los mismos es de: 3 0,025 mm.

a) Cul es la probabilidad de que en 200 remaches haya ms de 5 defectuosos? ; b) cul es laprobabilidad de que en 2000 remaches haya ms de 35 defectuosos? ; c) cuntos remaches habr quefabricar para obtener, con un 90% de probabilidad, 2000 buenos?

Resp: a) 0,0399 ; b) 0,02 ; c) 2.032.

4) El control de produccin de una pieza se efecta midiendo su dimensin crtica que debe estar en el intervalo:30 0,1 mm y verificando que no tenga fallas puntuales de pintura; cualquiera de estos defectos hace defectuosala pieza. La dimensin crtica se distribuye Normalmente con media 30 mm y desvo 0,05 mm y las fallas seproducen al azar a razn de 1 cada 30 piezas. Hay que satisfacer un pedido de 1.000 unidades buenas.Cuntas habr que fabricar para tener un 95% de probabilidad de cumplirlo?

Resp: 1.099 piezas.

5) Una mquina automtica expende un vaso de gaseosa cuando se le introduce una moneda, pero tiene un 2%de vasos defectuosos. Adems, la demanda diaria de vasos es una variable aleatoria aproximadamente Normalde media 200 y desvo 25 vasos. Cuntos vasos se debern proveer diariamente para cubrir, con un 90% deprobabilidad, la demanda que slo es superada el 5% de los das?

Resp: 250.

6) Los montos de depsitos a plazo fijo de una financiera tienen distribucin Log-normal de media 20.000 U$sy desvo 17.500 U$s. Si se eligen al azar 100 certificados, cul es la probabilidad de hallar ms de 55 conmontos inferiores a U$s 15.000?

Resp: 0,1279.

7) Hay unos rollos de alfombra con longitud variable, quedando sta determinada por la aparicin de cada falla.El proceso de fabricacin genera fallas al azar a razn de 1 cada 50 metros. Los rollos mayores de 20 metrosson de 1 calidad y el resto de 2. Se ha recibido un pedido de 10 rollos de 1 calidad. Cuntos habr que sacardel depsito para tener una seguridad del 90% de completar el pedido?

Resp: 19 rollos.


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8) Una pieza es suministrada por un proveedor en lotes muy numerosos. Lo que se controla de la pieza es: A)su dimensin crtica, cuya especificacin es de 30 0,25 mm. Se sabe que la dimensin es una variable aleatoriadistribuida normalmente con una media de 30 mm; adems se puede asegurar por registros que el 2,5 % detodas las piezas supera los 30,196 mm. B) fallas por pintura, las cuales se producen a razn de 1 cada 4 piezasen promedio. Las piezas de "Primera Calidad", son aquellas que estn dentro de los lmites de especificaciny no tienen fallas por pintura; las de "Segunda Calidad", son aquellas que estn dentro de los lmites deespecificacin y tienen 1 falla por pintura exactamente; y al resto de las piezas se las considera de "Descarte".El control de recepcin, consiste en revisar 20 piezas elegidas al azar de cada lote, y si se encuentran menosde 3 piezas de Descarte, se acepta la partida; si hay ms de 3 piezas de descarte, se rechaza la partida; y encambio si se encuentran exactamente 3 piezas de descarte, se toma una nueva muestra de 5 piezas del mismolote, y aqu si se encuentra alguna de Descarte se rechaza definitivamente la partida, caso contrario se acepta.

a) Determinar el porcentaje de piezas de cada Calidad suministrada por el proveedor ; b) Calcular laprobabilidad de rechazar la partida.

Resp: a) 1 calidad = 76,91% / 2 calidad = 19,23% / Descarte = 3,86% ; b) 0,0126.

9) La frecuencia de rotura de una pieza crtica de una mquina es de 1 cada 30 meses, siendo el total demquinas similares de 60. El stock de repuestos en almacn es suficiente para la reparacin de 5 mquinas,requirindose an de 2 meses para la llegada de una nueva partida.

a) Cul es la probabilidad de que se paren mquinas por agotamiento del stock de repuestos?(considerar despreciable la posibilidad de doble rotura en una mquina durante el perodo citado) ; b)Qu stock se debera tener para asegurar en un 95 % la no-paralizacin de mquinas?

Resp: a) 0,16 ; b) 7 repuestos.


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TEMA VIII - SUMAS DE VARIABLES INDEPENDIENTES - TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE

1) Una conserva se vender envasada en latas. Las distribuciones de los pesos y sus costos son los siguientes:

Peso neto x: Normal (= 49,8g ; = 1,2g);Peso del envase y: Normal (= 8,2g ; = 0,6g);Costo de la conserva a= 0,06 U$s/g;Costo del envase b= 0,008 U$s/g.

Calcular: a) La probabilidad de que una unidad terminada tenga un costo inferior a U$s 3 ; b) laprobabilidad de que el costo del producto terminado supere en ms del 2% al costo del peso neto.

Resp: a) 0,2288 ; b) 0,8781.

2) El costo directo de un producto est formado por materiales (0,08 m/unidad) y mano de obra (0,25horas/unidad). Debido a variaciones en la eficiencia de la mano de obra y en el rendimiento de los materiales,los costos unitarios son variables aleatorias independientes que pueden considerarse normales: el de materiales,con media 32 U$s/m y desvo 2,5 U$s/m; el de mano de obra, con media 20 U$s/hora y desvo 3 U$s/hora.Calcular el costo unitario superado con 5% de probabilidad.

Resp: 8,84 U$s/un.

3) Hay unas zapatillas econmicas que se expiden en cajas de cartn corrugado de 6 pares, cada par contenidoen su caja individual. Frecuentemente los clientes reciben cajas con unidades faltantes, es decir, que encuentran11 (o menos) zapatillas y reclaman furiosamente al vendedor. Para solucionar el problema, se ha decididoefectuar un control al final de la lnea de empaques, pero como obviamente sera ilgico abrir cada caja paraverificarla, se aplicar el siguiente procedimiento: Se colocar una balanza al final de la lnea y se pesarn todaslas cajas, abriendo luego aquellas cuyo peso sea sospechoso. Ahora, para implementar este control debe fijarseun peso crtico C, tal que si una caja pesa menos, se la abrir y, en caso de que le falte alguna zapatilla, se

la completar. A efectos de calcular el valor de C, se establece la condicin de detectar al menos el 99% delas cajas incompletas, y se sabe que los pesos de las zapatillas y las cajas son variables normales con lossiguientes parmetros:

Peso individual de las zapatillas t: (= 170gr ; = 7gr);

Peso de las cajas individuales x: (= 50gr ; = 5gr);

Peso de las cajas de cartn corrugado y: (= 300gr ; = 40gr).

Calcular: a) El valor de C; b) el porcentaje de las cajas completas que se revisa intilmente.

Resp: a) C = 2.581,3 gr ; b) 11,24%.

4) El consumo diario de combustible en una planta industrial es una variable aleatoria con media 35 litros y

varianza 140 litros2

. Qu capacidad en litros deber tener un tanque para satisfacer el consumo de 300 dascon 90% de confiabilidad?

Resp: 10.762,65 litros.

5) El porcentaje diario de unidades defectuosas en un proceso de manufactura es una variable aleatoria de lacual no se conoce su distribucin pero s su media que vale 10% y su desvo estndar, 3%. Se sabe, adems,que por cada unidad defectuosa se genera una prdida de U$s 4,5. Calcular, para un mes de 25 das hbiles en


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Ing. R. M. Garca - Ing. S. A. Dopazo Gua de Problemas d

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