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CONTEÚDO
1. NÚMEROS COMPLEXOS 31.1. ASPECTOS GEOMÉTRICOS 61.2. FATORAÇÃO POLINOMIAL 91.3. NÚMEROS ALGÉBRICOS E TRANSCENDENTES 15
EMB
1. NÚMEROS COMPLEXOS
Os números complexos começaram a serem utilizados formalmente nas fórmulas de re-solução de equações cúbicas e quárticas no século XVI. Por isso eles foram consideradosmais ‘complicados’ que números reais, e passaram ao menos 200 anos antes que os mate-máticos entendessem que, na verdade, eles são mais simples que R, e permitem abordagensmais uniformes a muitos problemas, como as soluções de equações (numéricas, diferen-ciais) ou o comportamento de funções e séries. O próprio termo ‘real’ foi introduzidoexatamente para distinguir R dos números imaginários.Por exemplo, o polinômio x3 −15x −4 tem um zero real, a saber x = 4. A fórmula (??)patenteia que esta raiz é gerada através dos números complexos:
x = (2+p−121
)1/3 + (2−p−121
)1/3 = (2+11i )1/3 + (2−11i )1/3 = (2+ i )+ (2− i ) = 4.Então os números complexos são presentes, conquanto não manifestamente, em situações‘reais’ também.1
Definição. Um número complexo z é um par de números reais (a,b) ∈ R2. Os números
a =: Re(z),b =: Im(z) chamam-se parte real e parte imaginária de z.
FIGURA 1. O plano de Argand-Gauß.
Costuma-se escrever z na forma a +bi , e o conjunto dos números complexos é indicado
por
C= {z = a +bi | a,b ∈R}
.
Assim, dois números complexos z1 = a +bi , z2 = c +di são iguais se tiverem as mesmaspartes reais a = c e imaginárias b = d .
1 A este respeito, Hadamard disse que “O caminho mais breve e melhor entre duas verdades no domínio
real muitas vezes passa pelo domínio imaginário.”
3
EMB
Definição. A soma e o produto dos números z1 = a +bi , z2 = c +di ∈C são
z1 + z2 := (a +b)+ (c +d)i
z1 · z2 := (ac −bd)+ (ad + cb)i .
Por conseguinte, para todo b ∈R∗ tem-se (bi )2 =−b2 < 0.
Exemplo. (2+ i )+ (2i −7) =−5+3i , (2+ i )(2i −7) =−16−3i .
Proposição. (C,+, ·) é um corpo.
Demonstração. A prova, deixada como exercício, consiste em verificar que
• +, · são comutativas e associativas, · é distributivo com respeito a +;
• 0 := 0+0i é o zero, 1 := 1+0i é a unidade;
• todo z = a +bi tem oposto −z :=−a + (−b)i ;
• todo z = a +bi ∈C\ {0} tem inverso z−1 = apa2 +b2
− bpa2 +b2
i .
�
Observação. Na prática pode-se manipular z = a+bi como fosse um polinômio na variá-
vel i , lembrando a regra
i 2 =−1,
como em (2+ i )(2i − 7) = 4i + 2i 2 − 14− 7i = −16− 3i . A razão é que R[x] é um anel
local com ideal maximal I gerado pelo polinômio irredutível x2+1, e o corpo quociente é
naturalmente isomorfo a CR[x]
/I
∼=−→ C
[1] 7−→ 1[x] 7−→ i
.
1.1. Observação. C não é um corpo ordenado. Ainda pior, C não possui ordenações com-
patíveis com a ordem de R. De fato, como i 2 e i 4 são inversos aditivos um do outro, se
um deles fosse declarado positivo (um elemento em C+) o outro deveria necessariamente
pertencer a C−, em contradição com o fato que o quadrado de um número imaginário é ne-
gativo EE Mais simplesmente, se houvesse i > 0 então 3i < 5i =⇒ 3i 2 < 5i 2 =⇒−3 <−5
EE (analogamente caso i < 0).
Pelo axioma de Zermelo ?? porém, existem (boas!) ordenações em C, por exemplo a ordem
lexicográfica do produto cartesiano R×R:
a +bi É a′+ i b′ ⇐⇒ a < a′ ou (a = a′ e b É b′).O ponto é que, sendo R ordenado, a ordem lexicográfica implica ni = n(0+ i ) < (1+0i ) =1, ∀n, o que tornaria C∼=R2 um grupo não arquimediano.
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EMB
Definição. O conjugado de z = a +bi é o número complexo z := a −bi
Re(z) = Re(z) Im(z) =− Im(z).
O módulo de z = a +bi é o número real não negativo
ρ := |z| :=√
zz =√
a2 +b2 Ê 0.
1.2. Exercícios. Provar que
i) |z| = |z|, Re z = (z + z)/2, Im z = (z − z)/2i
ii) z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2, (z) = z
(i.é, a conjugação é um homomorfismo involutivo)
iii) |z1 + z2| É |z1|+ |z2| (desigualdade triangular)
iv) |z1 · z2| = |z1| · |z2|v) se z 6= 0 então z−1 = z
|z|2 , z−1 = (z)−1
Se identificarmos a +0i ∈ C com a ∈ R podemos pensar nos reais como um subconjunto
dos complexos: R⊂ C. Por isso, a +0i ∈ C é chamado de número real, e bi = 0+bi ∈ C é
dito número imaginário. Assim
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.
Observação. O leitor curioso não será desapontado em descobrir que esta sequência não
para aqui; ao contrário, ela continua com demais conjuntos numéricos (os quatérnios H e
os octônios O . . . ). A teoria álgebro-geométrica dessas álgebras com divisão é extrema-
mente rica: explica por exemplo por que nenhum produto cartesiano Rn é um corpo, apesar
dos casos n = 1,2, ou que as esferas S1,S3 e S7 são especiais entre as outras dimensões
(Z geometria spin, topologia algébrica). A construção delas baseia-se na mesma ideia da
‘duplicação’ que gera C = R⊕R partindo de R: a receita geral, chamada de processo de
Cayley-Dickson, produz uma sequência crescente (An) de R-álgebras de dimensão real
2n , onde An+1 = An ⊕ An . De fato
A0 =R, A1 =C, A2 =H, A3 =O, . . .
O preço a ser pago a cada passo é a perda de uma propriedade algébrica: C não é mais or-
denada,H não é nem ordenada nem comutativa,O não é ordenada, comutativa, associativa.
(O passo sucessivo O⊕O não é uma álgebra com divisão normada: entramos no mundo
das álgebras de Jordan. . . ). O contexto enquadrando tudo isso é a teoria das Z álgebras de
Clifford, e o teorema fundacional chamado periodicidade de Bott.
Os quatérnios H fornecem o contexto perfeito para compreendermos as rotações no espaço
R3, e assim são de grande aplicabilidade à computer graphics (video games), a navegação
5
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e a engenharia aeroespacial (simuladores de vôo). Veja-se [?] para o emprego deles no
estudo das superfícies.
Exercícios.
i) Calcular módulo e conjugado para 2−5i , 3−2i , 4−3i , 1+ i , 1−3i , −3−3i .
ii) Transformar para a forma ‘cartesiana’ a +bi os números:
(2+3i )3(2+2i )−1,1+ i
i− i
i −1,
4+3i
1+ ip
3.
iii) Encontrar a,b tais que (a2−1)+(b2−3)(a−1)i seja um número complexo não-real.
iv) Sejam z, w números complexos. Mostrar que zw = 0 ⇐⇒ z = 0 ∨ w = 0. Isso
prova que C é um domínio de integridade.
1.1. ASPECTOS GEOMÉTRICOS.
Agora nós nos concentraremos em um ponto de vista mais geométrico para examinar as
demais propriedades dos números complexos.
Considere-se o plano cartesiano Oxy, identificado com R2 = {(a,b) | a,b ∈R}
. A função
C −→ R2
a +bi 7→ (a,b)
é uma bijeção (exercício), e permite de identificar números z = a +bi ∈ C com pontos do
plano de coordenadas (a,b). (Ver o exemplo ??).
Então o eixo x = Re z é chamado eixo real, o eixo y = Im z eixo imaginário. Por exemplo,
z = a − i b é o refletido de z = a +bi com respeito ao eixo real.
Aqui z é identificado com o vetor ~z aplicado à origem, e o módulo |z| =p
a2 +b2 é o
comprimento |~z|, isso é a distância entre 0 e z.
Interpretação vetorial: a soma de números complexos z+w é a mesma que a adição~z+ ~wde vetores aplicados na origem, cf. fig. 2.
1.3. Definição. Diz-se argumento (principal) de z 6= 0 o único numero real θ0 =: arg(z) ∈[0,2π) solução de
cosθ0 = Re z
|z| , senθ0 = Im z
|z| ,
i.é o ângulo entre o eixo real e o vetor~z. O número z = 0 não tem argumento.
A existência do argumento é provada invertendo a função exponencial de variável com-
plexa
z 7→ ez :=∞∑
n=0
zn
n!.
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FIGURA 2. Adição (vetorial) de números complexos
De fato, dados c, s ∈R satisfazendo c2 + s2 = 1, temos θ0 = log(c + si ) ∈ [0,2π). (Z análise
complexa)
Isso permite definir as funções trigonométri-
cas reais
cos x = Re(ei x), sen x = Im(ei x).
Pegando x =π se obtem a afamada fórmulade Euler eiπ+1 = 0.
Usando (??) então, todo z ∈ C \ {0} possui uma representação em forma polar (ou expo-nencial)
z = ρ(cosθ+ i senθ) = ρeiθ.
como ilustrado na fig. ??, p. ??.
Por exemplo, z = ρ(cosθ− i senθ) = ρ(cos(−θ)+ i sen(−θ)) = ρe−iθ.
De fato todo número de módulo ρ = 1 fica no círculo unitário:∣∣∣eiθ∣∣∣=√
cos2θ+ sen2θ = 1.
A correspondência ?? se lê
(1.1) 0 6= z = ρeiθ ←→ (ρ = |z|,θ0 = arg(z)).
Veja-se também ??.
Exemplos.
i)3
2− 3
p2
2i = 3
(1
2− i
p2
2
)= 3
(cos
π
3− i sen
π
3
)= 3eiπ/3;
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ii) i = cosπ
2+ i sen
π
2= eiπ/2;
iii) para todo k ∈Z, i k =
1 se k ≡4 0
i se k ≡4 1
−1 se k ≡4 2
−i se k ≡4 3
. Então i 235 = i 58·4+3 = i 3 =−i .
A forma exponencial fornece uma regra mnemónica muito fácil para lembrarmos o pro-
duto de números complexos: dados z1 = ρ1eiθ1 , z2 = ρ2eiθ2 ,
(1.2) z1z2 = ρ1eiθ1ρ2eiθ2 = ρ1ρ2ei (θ1+θ2).
ou seja |z1z2| = |z1| |z2| = ρ1ρ2, arg(z1z2) = arg(z1)+arg(z2).
Como consequência obtêm-se as fórmulas de adição (??). Além disso, este é o jeito melhor
para dividir números complexos:z
w= ρ1eiθ1
ρ2eiθ2= ρ1
ρ2ei (θ1−θ2).
1.4. Corolário (de Moivre). Se z = ρ(cosθ+i senθ) então zn = ρn(cosnθ+i sennθ) para
todo n ∈Z.
Demonstração. Exercício. �
Exemplo. Achamos3(p
32 + 1
2 i)2
i 17(p
22 +
p2
2 i)2 .
Para começar escrevamosp
3
2+ 1
2i e
p2
2+p
2
2i na forma exponencial:∣∣∣∣∣
p3
2+ 1
2i
∣∣∣∣∣= 1 arg
(p3
2+ 1
2i
)= π
6=⇒
p3
2+ 1
2i = eπi /6,∣∣∣∣∣
p2
2+p
2
2i
∣∣∣∣∣= 1 arg
(p2
2+p
2
2i
)= π
4=⇒
p2
2+p
2
2i = eπi /4.
Em seguida i 17 = i 4·4+1 = (i 4)4i = i . Então
3(p
32 + 1
2 i)2
i 17(p
22 +
p2
2 i)2 = 3(eπi /6)2
i · (eπi /4)2= 3eπi /3
i · i= 3eπi /3−πi = 3e−2πi /3.
Notar: conquanto o resultado seja igual a −3eπi /3, é preferível não utilizar a forma ex-
ponencial com módulo negativo, pois o coeficiente ρ tem o sentido geométrico de uma
distância Ê 0.
Observação. Geometricamente, então, os números complexos descrevem roto-translações
bidimensionais (no plano). Multiplicar z por w = r eiφ significa dilatar/encolher |z| de um
fator r , e girar (no sentido anti-horário) de φ partindo de arg(z).
8
EMB
Exemplo: a multiplicação de z = ρ(cosθ+ i senθ) = ρeiθ por i corresponde à rotação ao
redor da origem de π/2:
i z = ρei (θ+π/2) = ρ(cos(θ+π/2)+ i sen(θ+π/2)) = ρ(−senθ+ i cosθ).
Assim, o vetor−→i z é perpendicular a ~z. Duas rotações consecutivas agem como uma ro-
tação de π, isso é uma reflexão com respeito à origem: i 2z = −z. Em outras palavras, a
multiplicação por i é a estrutura complexa padrão de C, ver (??).
Exercícios. Sejam z1, z2, z3, z4 ∈C tais que z3, z4 6= z1, z2. Provar que
i) cos(−i x) = cosh x, i sen(−i x) = sinh x, tanh x = i tan(−i x) para todo x ∈R.
ii) arg
(z3 − z1
z3 − z2
)= arg
(z4 − z1
z4 − z2
)=⇒ z1, z2, z3, z4 ficam no mesmo círculo ou na mesma
reta. O quocientez3 − z1
z3 − z2
/z4 − z1
z4 − z2é um invariante, dito razão cruzada dos pontos
zi na Z geometria projetiva.
1.2. FATORAÇÃO POLINOMIAL.
Da definição do produto sabemos que a potência n-ésima do número z = ρeiθ é igual a
zn = ρnei nθ, ver corolário 1.4. Entretanto em R as raízes n-ésimas originam de funções
(então são únicas), em C a situação é completamente diferente, pois as raízes complexas
não definem funções. Elas são interpretadas como ‘funções multivaloradas’ (funções em
Z superfícies de Riemann). A existência das raízes complexas é garantida por um dos
pilares da matemática:
1.5. Teorema (fundamental da álgebra). Todo polinômio complexo não constante possui
uma raiz em C.
Isso vale em particular para polinômios reais R[x] ⊂C[x]. Mais sinteticamente, diz-se que
o corpo C é algebricamente fechado. Para mostrar a força dessa condição, lembramos que
- nenhum corpo finito Zp = {f1, . . . , fp
}é algebricamente fechado, pois
∏pi=1(x −
fi )+1 não tem raízes nele;
- Q não é algebricamente fechado: x3 −4 ∈Q[x] não tem raízes racionais (historica-
mente esta questão foi a razão para definir os reais);
- tampouco R é algebricamente fechado, pois x2 +1 = 0 não tem soluções reais.
O livro [?] fornece uma visão geral sobre o assunto.
Explicitamente, o teorema fundamental da álgebra garante que a equação algébrica
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EMB
p(z) =αn zn +αn−1zn−1 + . . .+α1z +α0 = 0
(αi ∈C, i = 0, . . . ,n) sempre possui uma solução complexa w0. Assim p(z) = (z−w0)p ′(z)
fatora em um produto de um termo linear e um polinômio de grau n−1. Como p ′(z) ∈C[z],
ele também tem uma raiz e fatora. Iterando o argumento por indução sobre o grau, após n
iterações obtemos a fatoração completa de p(z). Isso é, todo p ∈ C[z] de grau n pode ser
decomposto em um produto de n fatores lineares (com multiplicidade):
p(z) =αn (z −w0)r0 (z −w1)r1 · · · (z −wk )rk
com∑k
j=0r j = n.
Exemplos.
i) z4 −2 = (z2 −p2)(z2 +p
2) = (z − 4p
2)(z + 4p
2)(z − i 4p
2)(z + i 4p
2),
ii) −2z9 +32z6 −128z3 =−2z3(z −2)2(z − (−1+ i
p3)
)2 (z − (−1− i
p3)
)2.
Corolário. Todo número complexo a 6= 0 tem exatamente n raízes n-ésimas complexas
distintas.
Demonstração. Seja a = ρeiθ, e define-se θk := θ+2kπ
ncom k inteiro.
FIGURA 3. Raízes n-ésimas de z ∈C.
Os n números fornecidos pela fórmula de de Moivre
wk = npρeiθk = n
pρ (cosθk + i senθk ) , k = 0,1, . . . ,n −1,
resolvem zn = a pelo corolário 1.4. Eles são distintos pois 1−n < k− j < n−1 =⇒∣∣∣∣k − j
n
∣∣∣∣<1 =⇒ ∣∣θk −θ j
∣∣= ∣∣∣∣2π
n(k − j )
∣∣∣∣< 2π=⇒ θk 6= θ j .
Como o polinômio tem grau n, os wk são as raízes n-ésimas de a. �
10
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Observe-se que w0 tem argumento θ0 = θ
n. As raízes wk ficam no círculo de raio n
pρ e são
equidistantes sob simetria radial, porque construídas adicionando cada vez o ângulo2π
n.
Exemplos.
i) O quocientezn+1 −1
z −1= zn + zn−1 + . . .+ z2 + z +1 é chamado de polinômio ciclo-
tómico pois seus zeros são as raízes n-ésimas de 1 (diferentes de 1).
ii) Achamosp−1. Embora já saibamos que i 2 = (−i )2 =−1, podemos contudo escre-
ver −1 = cosπ+ i senπ, cujas raízes quadradas são
w0 = cos π2 + i sen π
2 = i
w1 = cos π+2π2 + i sen π+2π
2 =−i
iii) Calculamos 3p3i . Como |3i | = 3, arg(3i ) =π/2, as raízes são
w0 = 3p3(cos π
6 + i sen π6
)= 3p3(p
32 + i 1
2
)w1 = 3p
3(cos 5π
6 + i sen 5π6
)= 3p3(−
p3
2 + i 12
)=−w0
w2 = 3p3(cos 3π
2 + i sen 3π2
)=− 3p3i
iv) Esboçamos os valores de 6p
1 no plano complexo, sem calcular nada explicita-
mente:
FIGURA 4. As seis raízes sextas de z = 1.
Sabendo que 16 = 1, a primeira raiz é 1, de módulo 1 e argumento θ0 = 0. As demais
ficam no mesmo círculo, equidistantes de 2π/6 =π/3, então:
w0 = ei 0 = 1 w1 = eiπ/3 w2 = e2iπ/3
w3 = eiπ =−1 w4 = e−2iπ/3 = w2 w5 = e−iπ/3 = w1
11
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confira-se fig. 4. Como 6p
1 = 3√
2p
1, a própria figura contém também as raízes
quadradas w0, w3 de 1, e suas raízes cúbicas w0, w2, w4:
1 = w 20 = w 2
3 , 1 = w 30 = w 3
2 = w 34 , −1 = w 3
3 = w 31 = w 3
5 .
Assim, o hexágono é determinado pelos triângulos equiláteros com vértices em 1
e −1.
v) Fatoramos o polinômio z2 +2z +3. A fórmula (??) nos diz que a equação corres-
pondente tem soluções z = −2±p4−122 =−1± i
p2, então
z2 +2z +3 =(z +1+ i
p2)(
z +1− ip
2)
.
Isso pode ser visto mais simplesmente ‘completando o quadrado’
z2 +2z +3 = z2 +2z +1+2 = (z +1)2 +(p
2)2
.
De fato quando ∆= b2 −4ac < 0, então az2 +bz + c = a
((z + b
2a
)2
− ∆
4a2
).
vi) Explicar por que (e como exatamente) as raízes np
z de um número complexo z
são determinadas pelo módulop
zz e pelas raízes np
1 = cos2kπ
n+ i sen
2kπ
n, k =
0, . . . ,n −1 do número 1.
1.6. Corolário. Os zeros não reais de um polinômio p(z) ∈ R[z] com coeficientes reais
ocorrem em pares conjugados, e com a mesma multiplicidade:
p(a) = 0 ⇐⇒ p(a) = 0, ∀a ∈C.
Demonstração. Suponha-se que p(z) = ∑ni=0αi zi ∈ R[z] tenha raiz a. Pelo exercício 1.2
ii), p(a) = p(a) = 0 = 0. �
1.7. Corolário. Se a ∈C\R e deg p > 1, então
p(a) = 0 ⇐⇒ p(z) = (z2 −2Re(a)z +|a|2)q(z).
Demonstração. É só notar que z2 −2Re(a)z +|a|2 = (z −a)(z −a). �
1.8. Corolário. Todo polinômio em R[x] de grau ímpar sempre tem uma raiz real (então é
redutível).
Demonstração. Exercício. �
Corolário (Gauß). Os únicos polinômios p(x) ∈ R[x] irredutíveis são de grau 1, ou 2 se
tiverem discriminante ∆ negativo.
Demonstração. Todo p com deg p = 2h + 1, h > 0, é redutível pelo corolário 1.8. Caso
p tenha grau 2k > 2, suas raízes complexas surgem conjugadas em pares a, a, então p é
redutível como em 1.7, pois x2 −2Re(a)x +|a|2 ∈R[x]. �
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Exemplo. Fatoramos o polinômio p(x) = x4 +1 ∈ R[x]. A decomposição não é evidente,
pois p não tem raízes reais (p(x) > 0 para todo x). Assim, vamos fatorá-lo em C, achando
suas raízes complexas:4p−1 = wk = ei
(π4 +k π
2
)k = 0,1,2,3
onde w2 = w1, w3 = w0. Então
x4 +1 = (x −w0)(x −w3)(x −w1)(x −w2) [polinômios complexos]
= (x −w0)(x −w0)(x −w1)(x −w1)
= (x2 −2Re(w0)x +|w0|2
)(x2 −2Re(w1)x +|w1|2
)= (x2 −p
2x +1)(x2 +p2x +1). [polinômios reais]
A alternativa, menos agradável, é impor p(x) = (x2+ax+b)(x2+a′x+b′) e achar a,b, a′,b′ ∈R (como p é mônico podemos nos limitar a 4 parâmetros). Note-se que por razões de grau
a única decomposição admissível é ‘2+2’, ambos irredutíveis. Assim
(x2 +ax +b)(x2 +a′x +b′) = x4 + (a +a′)x3 + (b +b′+2aa′)x2 + (ab′+a′b)x +bb′
implica a′+a = 0
b +b′+aa′ = 0
ab′+a′b = 0
bb′ = 1
=⇒
a′ =−a
b +b′ = a2
a(b′−b) = 0
bb′ = 1
Como a = 0 não pode ser solução, obtemos 2b = 2b′ = a2 > 0,b2 = 1, isso é b = 1 = b′, a =p2 =−a′.
Exercícios. Resolver
z2 +3i z +4 = 0, z2 +2z + i = 0, z|z|−2z −1 = 0, |z|2z2 = 1,
z4 = |z|2 +2, z + i z2 =−2i , z3z +3z2 −4 = 0, z2 + zz = 1+2i .
Observação. Toda prova do teorema fundamental da álgebra baseia-se em argumentos
demais avançados para serem apresentados aqui. Conhecendo o cálculo infinitesimal po-
demos fornecer duas explicações rápidas do porquê sempre existem raízes em C.
A) Consideramos um polinômio mônico p(x) ∈R[x] (sem perda de generalidade). Se deg p
for ímpar, o corolário 1.8 nos diz que há um zero.
Caso deg p seja par, no entanto, lim|x|→∞
f (x) = +∞. Assim se não tiver nenhuma raiz, o
mínimo de p, digamos no ponto crítico r , satisfaz p(r ) > 0. Agora tomemos p(z) ∈ C[z]
e consideramos a função |p| : C = R2 → R. Esta é diferenciável em z se e somente se
p(z) 6= 0. Por um lado, |p| deve ter mínimo. Por outro lado todo ponto crítico de |p| é uma
sela. Então um ponto de mínimo tem que ser um ponto onde p não é diferenciável.
13
EMB
Por exemplo: p(x) = x2 + 1 ∈ R[x] tem um ponto crítico x = 0; este é um mínimo pois
p ′′(0) > 0, e neste ponto f (0) = 1 > 0.
Porém para p(z) = z2 +1 ∈ C[z] temos |p|(x, y) = √((x2 − y2)+1)2 +4x2 y2. O ponto 0 é
crítico e p(0) = 1, mas é uma sela, pois p(ε) > 1 > p(iε) para todo ε ∈R.
B) A segunda explicação, que imita a ideia original do Gauß, é a seguinte. Apresentamos
o argumento para o grau 2 pois sua generalização é imediata. Escrevemos z2 +pz +q = 0
em coordenadas polares, obtendo a interseção das superfícies{u(ρ,φ) := ρ2 cos2φ+pρ cosφ+q = 0
v(ρ,φ) := ρ2 sen2φ+pρ senφ+q = 0
Fixando ρÀ 0 (fora de uma circunferência grande o bastante), as funções ρ−2u,ρ−2v se
comportam como cos2φ, sen2φ, isso é tomam valores positivos e negativos alternados. As
curvas u = 0 = v são assintóticas às retas cos2φ = 0 = sen2φ e devem existir interseções
comuns.
Para grau maior, aumenta o número das assíntotas, pois cosnφ= 0 = sennφ representam
dois sistemas de n retas pela origem ‘alternadas’.
Eventualmente estamos prontos para provar a decomposição em frações parciais (??). A
prova é dividida em duas partes para simplificar a leitura.
1.9. Proposição. Sejam a(x)/b(x) ∈R(x) uma função racional com a(x),b(x) coprimos, e
α uma raiz de b(x) de multiplicidade m. Então existem uma única constante A ∈R e uma
única função racional a′(x)/b′(x) ∈R(x), com a′(x),b′(x) coprimos, tais que degb′ < degb
ea(x)
b(x)= A
(x −α)m+ a′(x)
b′(x).
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Demonstração. Pela hipótese b(x) = (x −α)mb1(x) com b1(α) 6= 0. Assima(x)
b(x)− A
(x −α)m= a(x)− Ab1(x)
(x −α)mb1(x),
e deg(a−Ab1) < degb. Pretendemos encontrar A de modo que o membro à direita tenha as
propriedades requeridas para a′(x)/b′(x). Como a e b1 não tem raízes comuns, as raízes de
b1 não podem ser às de a − Ab1. A única raiz comum possível é o número α determinado
por a(α)− Ab1(α) = 0. Com esta escolha
a(x)− Ab1(x)
(x −α)mb1(x)= a′(x)
b′(x),
onde deg a′ < degb′ < degb. Aliás, há b′(x) = (x −α)nb1(x) para um n < m, e a tese está
demonstrada. �
1.10. Proposição. Sejam a(x)/b(x) ∈R(x) uma função racional com a(x),b(x) coprimos,
e α+ iβ ∉ R uma raiz de b(x) de multiplicidade m. Então existem, únicas, constantes
B ,C ∈ R e uma função racional a′(x)/b′(x) ∈ R(x), com a′(x),b′(x) coprimos, tais que
degb′ É degb −2 ea(x)
b(x)= B x +C(
(x −α)2 +β2)m + a′(x)
b′(x).
Demonstração. Sabemos que b(x) = ((x −α)2 +β2
)mb1(x), com b1(α±iβ) 6= 0 pelo coro-
lário 1.7. Agora procuramos B ,C de modo quea(x)
b(x)− B x +C(
(x −α)2 +β2)m = a(x)− (B x +C )b1(x)(
(x −α)2 +β2)m b1(x)
satisfaça as hipóteses. Para fazer isso impomos que a(x)−(B x+C )b1(x) tenha raízes α±iβ:
a(α± iβ)− (B(α± iβ)+C
)b1(α± iβ) = 0,
o que implica, por subtração, 2i Bβ= a(α+ iβ)
b1(α+ iβ)− a(α− iβ)
b1(α− iβ). Como o membro direito é
imaginário, e β 6= 0, isso fornece um único valor B ∈R. Fazendo a soma das relações acima,
dá um único C . Agora é fácil verificar que esses números verificam o enunciado. �
1.3. NÚMEROS ALGÉBRICOS E TRANSCENDENTES.
Definição. A um número complexo dá-se o nome de número algébrico se for raiz de um
polinômio com coeficientes em Q (ou, equivalentemente, em Z).
São algébricos todos os números obtidos usando uma forma finita de adições, multiplica-
ções e raízes n-ésimas, e portanto os números algébricos formam um corpo Q, o fecho
algébrico de Q. Isso não significa que todo número algébrico possa ser representado deste
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modo: os zeros de x5−x+1, contudo algébricos, não se escrevem por operações aritméticas
e extraindo raízes. (Z teoria de Galois).
Para cada número algébrico a existe um único polinômio mônico ma(x) ∈ Q[x] de grau
mínimo n entre os polinômio com raiz a, dito polinômio mínimo de a. Neste caso a é
dito algébrico de grau n.
Exemplos.
• deg a = 1 ⇐⇒ a ∈Q, porque todo número racional a = p
qtem polinômio mínimo
x −p/q .
• deg a = 2 ⇐⇒ a = q1 + q2p
n com q1, q2 ∈ Q e n > 1 sem quadrados (irracional
quadrático).
• os irracionais qp
r com r ∈R+, q ∈Z (soluções de xq − r = 0).
• os números da forma cosθ, senθ quando θ ∈QπDemonstração. Se θ = mπ/n com m,n ∈Z então z = cosθ+ i senθ satisfaz z2n −1 = 0. (De fato, sabemos que um real diferente de 0,±1 é desta forma se e somente
se é a parte real de uma raiz da unidade.) �
Por exemplo:
cos(3π/7) é solução de 8x3 −4x2 −4x +1 = 0;
2cos(π/5) = φ é a razão áurea (??), solução de φ2 −φ−1 = 0. Ver [?] pela
relação entre π e φ.
• O número complexo a +bi é algébrico se e somente se a,b são algébricos.
Os números não algébricos ‘transcendem’ o alcance dos métodos algébricos, citando Euler
quem os batizou assim. Mais precisamente, consideramos polinômios q(x) ∈ Q[x] não
constantes:
1.11. Definição. O número r ∈ R é dito transcendente (sobre Q) se nenhum polinômio
q(x) ∈Q[x] não nulo tem raiz r .
Equivalentemente, o homomorfismo de avaliação
Q[x] −→ R
q(x) 7−→ q(r )
é injetivo.
Exemplos (de números transcendentes).
• π (provado pelo von Lindemann no 1882), e (provado pelo Hermite no 1873).
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• ea é transcendente, para todo a 6= 0 algébrico (teorema de Lindemann–Weierstraß).
Em particular, sen a,cos a, tan a, logb transcendentes, para todo a 6= 0,b 6= 0,1
algébrico; por exemplo: e,ep
2, sen1, log2.
Também π é transcendente:
Demonstração. (por absurdo) π ∈Q=⇒ 2πi ∈Q então e2πi = 1 ∉Q. EE �
•∞∑
n=0β2n
com β algébrico, 0 < |β| < 1.
• ab é transcendente para a,b ∈ C com a algébrico 6= 0,1 e b algébrico irracional
(teorema de Gelfond–Schneider, solução do 7o problema de Hilbert [?]);
por exemplo: eπ = (−1)−i , i i = e−π/2,2p
2,p
2p
2 são transcendentes.
Excepção:(p
2p
2)p2
=(ep
2lnp
2)p2 = e
p2ln
(ep
2lnp
2)= e2ln
p2 = 2 é algébrico.
Corolário. Os números algébricos são enumeráveis, no entanto os números transcenden-
tes são mais que enumeráveis.
Demonstração. A equação algébrica geral de grau nn∑
i=0ai xi = 0, ai ∈Z,
depende de n+1 números inteiros. Então tem ℵ0 ·(n+1) =ℵ0 equações algébricas de grau
n. Cada uma dessas tem n soluções, e assim há ℵ0 ·n =ℵ0 números algébricos de grau n.
Em total, tem ℵ0 ·ℵ0 = números algébricos: card(Q) =ℵ0.
Portanto tem∣∣∣C\Q
∣∣∣= ∣∣C∣∣−ℵ0 =ℵ1 −ℵ0 =ℵ1 números não algébricos. �
FIGURA 5. Distribuição dos números algébricos (em cor) em C. A maior
parte do plano fica no escuro.
Usando este simples argumento de cardinalidade o Cantor (1874) mostrou que
Corolário. Existem números transcendentes: Q(C.
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Historicamente porém, esse fato é posterior à descoberta feita pelo Liouville (1844) que∑∞j=110− j ! (dito constante de Liouville) é transcendente. Mais geralmente, todo número
de Liouville (de modo ingênuo, um número com aproximações racionais melhores de
qualquer número irracional algébrico Z aproximação diofantina) é transcendente.
Exemplos (problemas abertos Z teoria dos números transcendentes).
• não é conhecido se π±e,πe±1,ππ,ee,πe,πp
2,eπ2 são transcendentes (nem se são
irracionais!).
Porém, se a,b ∉Q então ao menos um entre a +b e ab é transcendente:
Demonstração. Como (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab, se ambos a + b e ab
fossem algébricos, também as raízes a,b o seriam. EE �
Excepções: π+eπ,πeπ,eπp
n (para todo n ∈N) são transcendentes.
• se ζ é a zeta de Riemann (??), então é sabido que ζ(3) ∉Q; não se sabe se ζ(2k+1),
com k > 1, é irracional.
• os teoremas citados acima estão generalizados na conjetura de Schanuel: dados
z1, . . . , zn ∈ C linearmente independentes sobre Q, então o grau de transcendência
de Q(z1, . . . , zn ,ez1 , . . . ,ezn ) sobre Q é maior que ou igual a n.
Uma ótima apresentação encontra-se em [?].
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA, INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA, UNIVERSIDADE FEDERAL FLU-
MINENSE • CAMPUS DO GRAGOATÁ (BLOCO G), RUA PROFESSOR MARCOS WALDEMAR DE FREITAS REIS S/N, 24210-201
NITERÓI/RJ, BRAZIL
E-mail address: [email protected]
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