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ELEMENTOS GEOMÉTRICOSPuntoPunto
LíneaLínearecta/curvadireccionesposiciones
ÁnguloÁngulotipos
posiciones
TRAZADOS GEOMÉTRICOSLugares GeométricosLugares Geométricos
mediatrizbisectriz
circunferencia
División de la CircunferenciaDivisión de la Circunferencia2-4-8 partes iguales
3-6 partes iguales7 partes iguales
5-10 partes iguales
DistanciasDistancias
FIGURAS GEOMÉTRICASTriángulosTriángulos
clasificaciónconstrucción
CuadriláterosCuadriláterosclasificaciónconstrucción
PolígonosPolígonosestrellas
a partir del ladoDistanciasDistancias
Operaciones con segmentosOperaciones con segmentossumaresta
división
Operaciones con ángulosOperaciones con ángulossumaresta
construcción
El PUNTOEl PUNTOEs el elemento mínimo y fundamental, definido como la intersección de dos líneas.Se caracteriza porque tiene coordenadas (lo podemos situar con total precisión) pero no dimensiones: su tamaño no importa.Por ello con su representación indicamos más un lugar que un objeto. Para su designación utilizaremos letras mayúsculas.
AA BB CC DD EE
Elementos básicosEl punto y la líneaEl punto y la línea
La LÍNEALa LÍNEAEs el elemento central del dibujo.Su definición más amplia la considera una sucesión infinita de puntos. Se designa utilizando letras minúsculas.
La línea recta sigue siempre una misma dirección.
La línea curva es la formada por puntos que no siguen la misma dirección
rr
ss
verticalverticalsentido arriba /abajo
Aquella que obedece la
horizontalhorizontalsentido izquierda /derechaAquella que coincide con
oblicuaoblicuasentido ascendente / descendente
Aquella que no es vertical
Existen tres direcciones fundamentales y en cada una dos sentidos
La línea rectaDirecciones y posicionesDirecciones y posiciones
Aquella que obedece la fuerza de la gravedad
Aquella que coincide con el horizonte, misma altura.
Aquella que no es vertical ni horizontal
Posiciones relativas de dos rectas.
Cuando dos líneas rectas siguen la misma dirección, las llamamos paralelas.Aunque las prolongásemos, no llegarían jamás a cortarse (¡o sólo en el infinito!)
En el caso contrario, si se cortan en algún punto propio, son concurrentes.Generan, de esta forma una división del espacio en cuatro zonas.
Si esas cuatro divisiones son iguales, las rectas son perpendiculares.
paralelas
concurrentes
perpendiculares
Como trabajar con medidas infinitas sería imposible, en lugar de utilizar rectas, utilizamos otros elementos.
--SemirrectaSemirrecta, porción de recta delimitada en uno de sus extremos.
Es una recta con principio o fin.
La línea rectaSemirrecta, segmento, ánguloSemirrecta, segmento, ángulo
--SegmentoSegmento, porción de recta delimitada en uno de sus extremos.
Es una recta con principio o fin.
aa
bb
cc
Para operar con segmentos (sumar, restar…)recurrimos a una semirrecta sobre la que
trasladaremos las medidas correspondientes.
En el caso de la suma, situaremos de manera sucesiva las medidas de los segmentos.
El punto más alejado determinará
Operaciones con segmentosTransportar: suma y restaTransportar: suma y resta
SUMA: c + aSUMA: c + a
cc aa
RESTA: c + a RESTA: c + a -- bb
El punto más alejado determinaráel segmento solución.
Para restar segmentos la operación es similar la clave es modificar el sentido del suma.
A izquierdas suma, a derechas resta.Así , el último punto situado determinará
el segmento el solución.
CIRCUNFERENCIALínea curva cerrada en la que todos sus
puntos están a la misma distancia (equidistan) de otro fijo llamado centro.
RADIORADIO: distancia entre cualquier punto de la circunferencia y el centro de la misma.
centro
CUERDACUERDA: distancia entre dos puntos cualquiera de la circunferencia.DIÁMETRODIÁMETRO: cuerda que pasa por el centro, su longitud es el doble del radio.
arco
La circunferenciaElementos y posicionesElementos y posiciones
centro longitud es el doble del radio.ARCO: parte de la circunferencia definida por ARCO: parte de la circunferencia definida por una cuerda.una cuerda.
FLECHAFLECHA: altura del arco, medida sobre perpendicular y alineada con el centro.
TANGENTESTANGENTES: tienen un único punto de contacto.
SECANTESSECANTES: tienen dos puntos de contacto.
diámetro
POSICIONES RELATIVAS: POSICIONES RELATIVAS: rectarecta--circunferenciacircunferencia
La circunferenciaPosiciones relativasPosiciones relativas
EXTERIORESNo tienen ningún punto en común.
TANGENTES EXTERIORESTienen un punto en común,
alineado con los centros.
SECANTESTienen dos puntos en común.TANGENTES INTERIORES
Tienen un punto en común,alineado con los centros.
INTERIORESNo tienen ningún punto en común,
CONCÉNTRICASInteriores de igual centro y distinto radio.
La diferencia entre una circunferencia y un círculo es que la primera es una línealínea y el segundo una superficiesuperficie.
Un círculo es la superficie superficie que encierra una circunferencia.
Un cuadrante es la cuarta parte de un círculo.
Una corona circular es la superficie no compartida
de dos círculos concéntricosconcéntricos.
¿CÍRCULO O CIRCUNFERENCIA?
El círculoDivisiones y agrupacionesDivisiones y agrupaciones
Un semicírculo es la mitad de un círculo
Una lúnula es la superficie
no compartida de dos círculos secantessecantes.
Un segmento circular es la parte de un círculo limitada por una cuerda.
Una faja circular es la parte de un círculo limitada por dos cuerdas paralelas.
Un sector circular es la parte de un círculo definida por dos radios.
cóncavo
convexo
DEFINICIÓNDEFINICIÓN“ Recta perpendicular a un segmento “ Recta perpendicular a un segmento
y que pasa por su punto medio”. y que pasa por su punto medio”.
A B
P
M
Operaciones con segmentosDividir: la mediatrizDividir: la mediatriz
En un segmento cualquiera, AB, el punto medio M estará situado a la misma distancia de cada extremo A y B: la mitad de su longitud.
Si sobre M, se sitúa otro punto, P, éste también será equidistante respecto A y B.
Por lo tanto, dos arcos con centros en A y B y de radio AP (o BP) se cortarán en P, y en otro punto, Q, equidistante de M.
Al unir P y Q, se obtiene una recta perpendicular al segmento por su punto medio.
Y esto se producirá, sea cuál sea el radio que se tome.…Siempre que sea mayor que la mitad del segmento. ¡ Si no, no se cortarían!
Q
Por 2 puntos cualesquiera (por ejemplo, A y B) pueden pasar infinitas circunferencias,
pues desde el centro de cada una de ellas hasta A y B siempre habrá la misma distancia: el radio.
Así, todos los centros estarán unidos mediante una rectaque equidiste de ambos puntos (A y B)
Esa recta es, por tanto, la mediatriz del segmento AB.
Operaciones con segmentosAplicaciones de la mediatrizAplicaciones de la mediatriz
A
B
A
B
B
A
3 puntos no alineados (por ejemplo A, B y C) siempre pueden unirse mediante 1 circunferencia.
Para ello cada par de puntos ha de definir una cuerda .
Si la mediatriz de cualquier cuerda de la circunferencia pasa por el centro de la misma,
el centro coincidirá con el punto de corte de aquellas.
A
Operaciones con segmentosAplicaciones de la mediatrizAplicaciones de la mediatriz
B
C
B
C
Operaciones con segmentosAplicaciones de la mediatrizAplicaciones de la mediatriz
Al espacio comprendido entre dos semirrectas concurrentes en
ÁngulosDefiniciónDefiniciónPara nombrar los ángulos utilizamos LETRAS GRIEGAS.
Es preciso conocer algunas de ellas:
���������
Al espacio comprendido entre dos semirrectas concurrentes en
su origen (vértice), lo llamamos ángulo.
La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de las semirrectas, sino de cómo estén éstas de separadas.
Al tener un punto común, el giro de una semirrecta sobre otra permite que la máxima separación sea un valor finito: 360º. 360º360º
((vérticevértice) V ) V
���
Clasificación ángulos
Si las semirrectas son perpendiculares, el ángulo mide 90º:
ángulo recto.ángulo recto.
Si es más estrecho,<90º:ángulo agudo.ángulo agudo.
TIPOS DE ÁNGULOS
ComplementariosComplementarios: dos ángulos que suman 90º
SuplementariosSuplementarios: dos ángulos que suman 180º
Tipos y posiciones relativasTipos y posiciones relativas
ángulo agudo.ángulo agudo.
Si es más amplio,>90º:ángulo obtuso.ángulo obtuso.
Si está formado por dos semirrectas opuestas:
ángulo llano.ángulo llano. POSICIONES RELATIVAS
Opuestos por el vérticeOpuestos por el vértice: tienen el vértice en común y
comparten ambos lados
ConsecutivosConsecutivos: tienen el vértice y un lado en común.
AdyacentesAdyacentes: consecutivos y suplementarios
B
A’
α
A
B’
α'
Operaciones con ángulosCopia de ángulosCopia de ángulos
Dado que un ángulo está compuesto por dos semirrectas concurrentes, lo primero que haremos para copiarlo será trazar una semirrecta cualquiera.
En cuanto conozcamos la inclinación de la segunda, habremos resuelto el ejercicio.
Para ello, tomaremos referencias sobre el ángulo α que queremos copiar,trazando un arco cualquiera con centro en el vértice que corte el ángulo en dos puntos: A y B.
A continuación, trazamos el mismo arco sobre la semirrecta con centro en su origen, obteniendo A’.
Para situar el equivalente de B tomamos sobre el ángulo la distancia AB con el compásy la trasladamos hasta que corte al arco en B’.
Terminaremos uniendo B’ con el origen de la semirrecta
Para sumar dos ángulos α y ß, lo que haremos será copiar uno de ellos a continuación del otro.
Los dos ángulos consecutivos definirán la solución.
+αß
Π α
ß
Operaciones con ángulosSumaSuma
A’
A
BB’
C
DC’
D’
Π
Para restar dos ángulos α y ß, lo que haremos será copiar uno de ellos en el interior del otro.
La solución vendrá dada por el espacio no compartido. Πα
ß
-αß
Operaciones con ángulosRestaResta
A’
A
BB’
C
DC’
D’Π
DEFINICIÓNDEFINICIÓN“ Recta que divide un ángulo “ Recta que divide un ángulo
en dos partes iguales”. en dos partes iguales”.
Operaciones con ángulosDivisión: la bisectrizDivisión: la bisectriz
La línea que divide un ángulo en dos partes iguales debe pasar por el vértice.Además será equidistante respecto las dos semirrectas.
Por lo tanto, para trazarla vamos a situar dos puntos que equidisten del vértice, y desde cada uno dibujaremos un arco (de radio cualquiera) que se cortan en un punto.
Al unir ese punto con el centro obtenemos la bisectriz.
La bisectriz es, asimismo, la mediatriz del segmento que definen los puntos marcados.
A partir de los ángulos de 60º y 90º y sus respectivas bisectrices (30º y 45º) dispondremos de los mismos ángulos
que en la escuadra y el cartabón.
60º
30º
30º
Operaciones con ángulosConstrucción : 30º, 45º, 60º, 90ºConstrucción : 30º, 45º, 60º, 90º
90º 90º
45º
45º
45º
45º
A
C D
G E
Polígonos inscritosCuadrado y OctógonoCuadrado y Octógono
Para dividir la circunferencia en cuatro partes iguales,trazamos dos diámetros perpendiculares.
Para dividir la circunferencia en ocho partes iguales,trazamos las bisectrices de los cuatro ángulos rectos
o de dos consecutivos y las prolongamos.
C D
B
F H
DEFINICIÓN.DEFINICIÓN.Los polígonos inscritos son aquellos que tienen Los polígonos inscritos son aquellos que tienen sus vértices situados sobre la circunferencia.sus vértices situados sobre la circunferencia.
Para dibujarlos vamos dividir la circunferencia Para dibujarlos vamos dividir la circunferencia en el mismo número de partes igualesen el mismo número de partes iguales
que vértices tenga el polígonoque vértices tenga el polígono.
Polígonos inscritosTriángulo y HexágonoTriángulo y Hexágono
Para dividir la circunferencia en tres o seis partes iguales,hemos de saber que el radio de cualquier circunferencia
la divide en seis partes iguales.
Así, si trazamos dos arcos de radio igual al de circunferencia con centros en los extremos de un mismo diámetro,
habremos obtenido seis puntos de corte equidistantes.
DEFINICIÓN.DEFINICIÓN.Los polígonos inscritos son aquellos que tienen Los polígonos inscritos son aquellos que tienen sus vértices situados sobre la circunferencia.sus vértices situados sobre la circunferencia.
Para dibujarlos vamos dividir la circunferencia Para dibujarlos vamos dividir la circunferencia en el mismo número de partes igualesen el mismo número de partes iguales
que vértices tenga el polígonoque vértices tenga el polígono.
Bastará con elegir los adecuados para cada caso.
lado7
Polígonos inscritosHeptágonoHeptágono
Para dividir la circunferencia en siete partes iguales,trazamos la mediatriz de uno de los radios.
El segmento definido por el punto medio del radio M y el punto de corte de la mediatriz con la circunferencia: P
es igual al lado del heptágono.Si lo aplicamos siete veces de manera consecutiva,
obtenemos los puntos buscados.
P
Mlado7
DEFINICIÓN.DEFINICIÓN.Los polígonos inscritos son aquellos que tienen Los polígonos inscritos son aquellos que tienen sus vértices situados sobre la circunferencia.sus vértices situados sobre la circunferencia.
Para dibujarlos vamos a necesitar dividir la Para dibujarlos vamos a necesitar dividir la circunferencia en el mismo número de partes circunferencia en el mismo número de partes
iguales que vértices ha de tener el polígonoiguales que vértices ha de tener el polígono.
Polígonos inscritosPentágono y decágonoPentágono y decágono
Para dividir la circunferencia en cinco partes iguales,partimos de la construcción del heptágono.
Una vez obtenido el punto (M),trazamos un arco de centro dicho punto y radio MA
que corta el diámetro en P.El segmento PA define el lado del pentágono.
Se procede en consecuencia.
El lado del decágono coincide con el segmento PO o con la mediatriz del lado del pentágono.
MP lado10lado10
DEFINICIÓN.DEFINICIÓN.Los polígonos inscritos son aquellos que tienen Los polígonos inscritos son aquellos que tienen sus vértices situados sobre la circunferencia.sus vértices situados sobre la circunferencia.
Para dibujarlos vamos a necesitar dividir la Para dibujarlos vamos a necesitar dividir la circunferencia en el mismo número de partes circunferencia en el mismo número de partes
iguales que vértices ha de tener el polígonoiguales que vértices ha de tener el polígono.
o con la mediatriz del lado del pentágono.
Polígonos inscritosEneágonoEneágono
Polígonos inscritosMétodo GeneralMétodo General
CuadradoCuadrado
Polígonos de lado conocido
Para construir un cuadrado sólo tenemos que trazar perpendicularessólo tenemos que trazar perpendiculares
por los extremos de los lados y medir la distancia del lado.
HexágonoHexágono
Polígonos de lado conocido
El trazado del hexágono de lado conocidoestá muy relacionado con el otro método estudiado.
Sólo hemos de situar el centro,trazar la circunferencia circunscrita
Y proceder como sabemos.
OctógonoOctógono
Polígonos de lado conocido
Existe una propiedad geométrica según la cual,la circunferencia circunscrita a cualquier polígono
de número de lados par tiene su centroen la intersección de la mediatriz del ladoy la circunferencia circunscrita al polígono
con la misma medida de lado y la mitad de lados.
Polígonos de lado conocido
PentágonoPentágono
El método para construir un pentágono conociendo su lado es difícilmente deducible.
Para empezar, trazamos la mediatriz y desdeel punto de corte (M) medimos el lado, C.
Unimos un extremo del lado (B) con C ydesde P medimos la mitad del lado, D.
El segmento BD coincide con la diagonal, de
C
DE
ladolado
lado /2lado /2
El segmento BD coincide con la diagonal, de manera que el arco con centro en B y radio BDcorta la mediatriz en E, vértice del pentágono.
Obtenido E, podemos situar los otros vértices trazando arcos de radio el lado.A BM
PentágonoPentágono
Polígonos de lado conocido
Si conocemos las propiedades del pentágono: el lado y la diagonal están en proporción áureapodemos actuar de otra manera… Sobre un extremo del lado: B,
trazamos una perpendicular igual al lado.
Con centro en el punto medio del lado, Mdibujamos arco que pasa por P.
y corta a la prolongación del lado en Q.
La medida del segmento AQ equivale
Mdiagonaldiagonal
P
QA B
La medida del segmento AQ equivalea la diagonal del pentágono
al guardar proporción áurea con el lado.
HeptágonoHeptágono
Polígonos de lado conocido
Para construir un heptágono a partir del lado, tenemos que empezar con un ángulo de 30º
apoyado sobre el segmento conocido.
Por el extremo del lado opuesto al vértice,levantar una perpendicular
que se corta con el lado del ángulo: C.
El arco de centro el vértice del ángulo y radio AC corta a la mediatriz del lado en D,
Dy radio AC corta a la mediatriz del lado en D,
centro de la circunferencia circunscrita.
A B
C
D
Eneágono
Polígonos de lado conocido
Comenzamos trazando la mediatriz del lado.A continuación, trazamos un arco de centro A y
radio AB que corta la mediatriz en C.
Ahora con centro en C y radio CB otro arcoque corta la mediatriz en D.
Y un tercer arco de centro D y radio DC que vuelve a cortar la mediatriz en E.
D
E
A B
C La mediatriz del segmento AE corta la mediatriz anterior en el centro de la circunferencia
circunscrita al eneágono.
Polígonos inscritosMétodo GeneralMétodo General
