Elena Escribano PicazoMª Dolores Navarrete Pérez

Celia Utiel GarcíaLlanos Cifuentes Lavara

Las fracciones equivalentes tienen el mismo valor, es decir, representan lo mismo.

= =

1/2 = 2/4 = 4/8

Se forma una fracción equivalente al multiplicar o dividir el numerador y denominador por un mismo número.

1/2 = 2/4 =4/8 18/36 = 6/12 = 1/2

x2 x2 ÷3 ÷6

Todos los números racionales se pueden representar por fracciones equivalentes:

3= = -6= =

2.2= =

Se define la equivalencia:

= ⇒ad=bc

PARA QUÉ CONOCER LA EQUIVALENCIA DE FRACCIONES:

Para comparar tamaños de fracciones o decimales:

-¿Cuál es mayor, 2/5 o 7/15?

Para realizar operaciones con fracciones

(sumas, restas…)

Para convertir las fracciones en decimales y porcentajes

X25

¾ 75/100 = 0.75 =75%

X25

X333

1/3 333/999 = 0.333 = 33.3%

X333

CÓMO CONOCER LA EQUIVALENCIA

Se introduce a partir de aspectos como el área y los

conjuntos. Por ejemplo:

HART

Se les pedía a los niños de 12 y 13 años que: -Coloreasen una cantidad dada en fracción (2/3) sobre figuras geométricas (un hexágono).

-Rodeasen un número determinado de bolas (3/5), de un conjunto de éstas (15).

Se observó que era más fácil introducir la equivalencia a través de los conjuntos.

PAYNE

La equivalencia causaba dificultades al simplificar a fracción irreducible:

3/9 =1/3

BOHAN

Comparó con niños de 11 años qué método era más eficaz:

-Diagramas de área

-Multiplicación por 1

3/4 = ¾ x 1=3/4 x 3/3= 9/12

-Plegado de papel

Aun así, más de la mitad de los niños fallaron al simplificar una fracción a su irreducible, mientras que el 75% sí que formaba fracciones equivalentes cuando se trataba de formar una fracción mayor.

COBURN, STEFFE Y PARR

Trataron si era más sencillo introducir la equivalencia por medio de la razón (relacionada con los conjuntos) o por medio del área.

Las pruebas no son concluyentes, no se sabe cuál es el mejor método.

Es difícil saber si los niños que obtuvieron resultados correctos en estas cuestiones están demostrando auténtica comprensión de la equivalencia y no limitándose a detectar pautas o regularidades. Por ejemplo, Hart cita respuestas del tipo:

«2/7 = 10/15 porque 2 son menos que 7 y queremos un número que sea 5 menos que 15. (Hart, 1981).»

Porcentaje de aciertos

Cuestión 12 años 13 años 14 años 15 años

1/3 = 2/? 72 77 78 79

4/12=1/? 56 52 61 63

2/7= /14 57 55 63 74

Sugiere que la confusión subyacente a la noción de equivalencia es seguramente considerable.

Porcentaje de respuestas

Pregunta 9 años 11 años 17 años

Supongamos que x/y representa un número. Si se duplican los valores de x e y, el nuevo número es:

a) La mitad de grande que x/y 17 10 8

b) Igual a x/y 15 18 41

c) Doble de grande que x/y 47 65 46

d) No lo sé. 21 7 5

En una situación más estricta, en la que no bastaba con la mera detección de problemas numéricos sencillos, el porcentaje de niños capaces de resolverla muestra un abrupto descenso. Por ejemplo, en la última parte de la cuestión de CSMS.

2/7= /14 = 10/

La tasa de éxito varió desde sólo el 24% de los niños de 12 años al 31% de los chicos de 15 (Hart, 1980).

Pregunta Porcentaje de éxito

Aspecto “parte-todo” (1/4=5/20) Dos chicos tienen la misma cantidad de dinero de bolsillo. Uno piensa ahorrar ¼ parte de su

“paga”; el otro, 5/20 de la suya. Marca la respuesta que te parezca correcta:

a) 5/20 es más que ¼ b) ¼ es más que 5/20

c) 5/20 y ¼ son iguales (Hart, 1980)

76% de los niños de 12 años, subiendo al 85 de los chicos de 15

Aspecto “conjuntista” (3/5=24/40) En una clase hay 40 alumnos. 3/5 son niñas. ¿Cuántas niñas hay en clase? (Ward, 1979)

El 22% de los niños de 11 años

Aspecto “recta numérica” (2/8 =1/4) Una carrera de relevos se corre por tramos de

1/8 de kilómetros cada uno. Cada corredor hace una etapa. ¿Cuántos corredores harían

falta para cubrir una distancia de ¾ de kilómetro? (Hart, 1980)

El 48% de niños de 12 años, subiendo al 57% de los 15 años

La idea de equivalencia es importante también en lo que concierne a la capacidad de ordenar fracciones y razones.

Los niños no siempre se percatan fácilmente de que las fracciones son números, y que por su naturaleza de tales llenan en parte los huecos que dejan los números enteros en la recta numérica.

Puede no resultarles claro que, dadas dos fracciones, o bien son equivalentes y representan, por lo tanto, el mismo número, o uno de ellos representa un número mayor que la otra.

En casos sencillos, el mecanismo de esta comparación consiste normalmente en hallar formas equivalentes apropiadas para una o ambas fracciones.

La dificultad de la comparación de dos fracciones puede variar grandemente dependiendo de los números que figuren en los numeradores y denominadores.

Hart (1980) observó que el 66% de los chicos de 15 años se daban cuenta de que 3/10 era mayor que 1/15, mientras que en la encuesta NAEP, solamente el 3% de los chicos de 13 años supieron determinar cuál de los números ¼, 5/32, 5/16, 3/8 se encontraba más próximo a 3/16.

Noelting diseñó un concienzudo experimento destinado a examinar la dificultad a examinar la dificultad relativa de la comparación de diferentes razones.

La situación concreta de que se valió consistió en la preparación de naranjada, preguntando a los niños cuál de las combinaciones del dibujo producirá a mezcla más fuerte:

Ó

Halló que los alumnos resolvían el problema valiéndose de diversos métodos informales.

Las cuestiones como la ilustrada, en la que el número de unidades de zumo de naranja (o agua) situados en uno de los miembros es un múltiplo sencillo de número de unidades de zumo/agua del otro, fueron las primeras en ser respondidas por el niño medio de 12,5 años.

Sin embargo, algunos niños de las muestra supieron resolver esta cuestión en la edad de ocho años, mientras otros no habían alcanzado a este nivel a los dieciséis (esta tarea equivale a la de comparar las fracciones 1/3 y 2/5).

Noelting cita ejemplos de niños que utilizaron con éxito tanto fracciones como porcentajes para resolver estos problemas:

◦ Sylvie (14 años): “A la derecha hay 3/7 de zumo por 4/7 de agua, o sea, 15/35 de zumo; a la izquierda hay solamente 14/35 de zumo”.

Ó

◦ Réjean (13 años): “A= 71 3/7% porque tiene 5/7 de zumo de naranja; B= 70%, porque tiene 7/10 de zumo de naranja”.

La causa más frecuente de fallo en los niños que no acertaron en la tarea consistió en comparar el número total de vasos de agua (o de zumo de naranja); por ejemplo:

◦ Diane (8 años) “Es que hay menos vasos de agua”; o en fijarse en las diferencias entre el número de vasos de agua y el de zumo, en lugar de atender a su razón:

◦ Louise (11 años): “Porque el lado izquierdo tiene un vaso más de agua, mientras que el derecho tiene dos más de ellos”. ( Noelting, 1978).

Noelting: la dificultad de comparar fracciones

varia mucho dependiendo de las relaciones de los números.

Equivalencia: Una forma de usar la equivalencia, consiste en hallar una fracción comprendida entre otras dos; por ejemplo entre ½ y 2/3.

Lo peor es que los alumnos no se

dan cuenta que entre dos fracciones

cualesquiera SIEMPRE hay una recta

numérica de fracciones intermedias.

Por ejemplo:

En chicos de 15 años las respuestas fueron las siguientes:

RESPUESTAS PORCENTAJES

Infinitas, muchísimas, etc. 16%

Una 30%

Un número comprendido entre 1 y

20

22%

Otras respuestas 15%

No responde 17%

Brown obtuvo porcentajes similares a los del experimento anterior.

Son muy pocos los alumnos de 15 años los que se imaginan una recta atestada de números racionales.

Se basa en la conversión de fracciones a decimales a porcentajes, especialmente en casos sencillos como ¼ y 3/5.

APU en un experimento con niños de 11 años halló que:◦ 50% de los niños escribió bien la fracción ¼ mediante un

porcentaje.◦ 25% conocía su equivalencia decimal◦ Más del 40% supo hacer la conversión de décimas partes en

decimales. Ejemplo: Pon en número decimal 15 décimas 0.15

◦ El 30% hizo bien la conversión de centésimas a decimales. Ejemplo: ¿Cuántas décimas son 20 centésimas? 2 décimas

La representación decimal de un número se basa en la noción de fracción.

◦ Por ejemplo:

0,21 puede ser considerado como “dos décimas y una centésima”.

O como 21 centésimas.

Que podemos elegir hacerlo de una manera u otra según nos convenga.

Brown nos cita un ejemplo de una niña de 11 años que va a aprender la noción de equivalencia.

◦ Catherine había respondido a:

¿Existe diferencia entre 4,90 y 4,9? “Sí, 4,90 es más”.

¿Qué es mayor, 0,8 o 0,75? “Oh, es ocho décimas, que es igual a 80 centésimas”.

Brown da otro ejemplo de un niño de 14 años que es capaz de recurrir a esta idea para razonar la respuesta a la siguiente multiplicación, que se le planteó me manera distinta a la habitual:

5,13 ______

- Niño: “no se puede poner un cero ahí, al final, porque es un decimal”.

- Entrevistador: ¿Cómo de grande, aproximadamente…?

- Niño: 50… 51,3

- Entrevistador: ¿Cómo…?

- Niño: multipliqué ése 5 primero por 10, y después ese otro 1… diez décimas hacen uno… y entonces multipliqué ese 3 por diez y lo puse en tres décimas.

Brown dijo que el niño y la niña parecían encontrarse en un estadio transitorio de desarrollo conceptual, aparentemente común entre los niños de escuela secundaria.

MULTIPLICA POR 10

Resultados obtenidos por Brown en 1981 que requieren la noción de equivalencia decimal:

CUESTIÓN RESPUESTA 12 AÑOS 13 AÑOS 14 AÑOS 15 AÑOS

1. Señala el mayor de los números 0,75 y 0,8. ¿Por

qué es mayor? 0,8 51% 65% 69% 75%

2. Escribe un número comprendido entre:

a. 0,4 y 0,5

b. 0,41 y 0,42

(correcta)

(correcta)

42%

37%

54%

49%

71%

66%

75%

71%

3. Señala el número de valor más cercano a:

0,18 0,1/10/0,2/20/0/1/2 0,2 44% 48% 61% 59%

4. Multiplica por 10

5,13 _____51,3 37% 42% 58% 65%

5. Suma una décima2,9 _____ 3,0

0 3

38% 44% 51% 59%

6. Este número es…

3 4

_I__l__l__l__l__l__l__

3,2

(3,1)

23%

(48%)

37%

(42%)

50%

(33%)

58%

(21%)

7. Cuatro décimas son lo mismo que

______ centésimas.40 28% 31% 42% 40%

8. ¿cómo se escribiría en decimal:Once milésimas:

Once décimas:0,011(0,0011)

1,1 (0,11)

30%(17%)

28%(49%)

33%(24%)

35%(47%)

33%(28%)

36%(48%)

31%(36%)

34%(45%)

RESULTADOS QUE HE

OBTENIDO COMPARADOS

CON LOS DE BROWN

30 AÑOS DESPUÉS (1981-2011)

CUESTIÓN RESPUESTA 12 AÑOS 13 AÑOS 12 131. Señala el mayor de los números 0,75 y 0,8. ¿Por qué es

mayor? 0,8 51% 65% 93% 100%

2. Escribe un número comprendido entre:

a. 0,4 y 0,5

b. 0,41 y 0,42

(correcta)

(correcta)

42%

37%

54%

49%67%48%

84%77%

3. Señala el número de valor más cercano a:

0,18 0,1/10/0,2/20/0/1/2 0,2 44% 48% 44% 46%

4. Multiplica por 10

5,13 _____51,3 37% 42% 78% 100%

5. Suma una décima2,9 _____ 3,0

0 3

38% 44% 67% 69%

6. Este número es…

3 4

_I__l__l__l__l__l__

3,2

(3,1)

23%

(48%)

37%

(42%)48%

(29%)31%

(54%)

7. Cuatro décimas son lo mismo que ______

centésimas.40 28% 31% 55% 38%

8. ¿cómo se escribiría en decimal:Once milésimas:Once décimas:

0,011(0,0011)

1,1 (0,11)

30%(17%)

28%(49%)

33%(24%)

35%(47%)

70%81%

77%85%

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

BROWN

AHORA

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

BROWN

AHORA

Estudio APU

23% niños 11 años ordenó decimales en orden

creciente de magnitud

35% jóvenes de 15 años ordenó decimales en orden decreciente de magnitud.

-Aproximación-Lectura de escalas

graduadas-Comparación de

magnitudes en decimales.

Comprender decimales equivalentes no es espontáneo

Estudio de porcentajes en adultos:

50 adultos calcular 15% de 60. Respondieron correctamente 32 pero usando métodos muy

diferentes.

¿Se obtendrían resultados parecidos con cantidades no tan sencillas?

Estudio APU

-Calcular el precio de un traje dado el precio original y un descuento del 30%.

-Da un número y qué porcentaje era de un número total, y pedía que se calculase el total

•50% de la muestra de jóvenes de 15 años lo hicieron correctamente.

•11 años después: alrededor de un 15% de los jóvenes supo calcular qué porcentaje de 250 es 50

•En la pregunta sobre la equivalencia 50/250 = X/100, parece que resulta mucho más difícil en contexto de porcentajes que de fracciones .

Estudio a jóvenes de 13,14 y 15 años

•El 6% de los niños de una escuela comen gratis. La escuela tiene 20 250 alumnos. ¿Cuántos niños comen

gratis?•El periódico dice que 24 de cada 800 coches

Avenger tienen defectos en el motor. ¿qué porcentaje es este?

•El precio de un abrigo son 20€. Nos rebajan el 5%. ¿cuánto cuesta ahora?

Problema 1 Problema 2 Problema 3

13 años 37% 32% 5%

14 años 46% 40% 20%

15 años 58% 48% 27%

Estudio en jóvenes de 13, 14 y 15 años.

-Resultados correctos.