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EletrostáticaCap. 1,2 e 3
Definições matemáticasEquações da eletrostáticaDistribuições de carga e descontinuidadesEquações de Laplace e PoissonCondições de contorno e unicidade de soluçãoMétodo de funções de GreenMétodo variacionalMétodo das imagensMétodo da separação de variáveis
Expansão em séries de FourierExpansão em harmônicos esféricosExpansão em funções de BesselExpansão em autofunções para funções de Green
Operador Notação Propriedades
Gradiente Determina as taxas e sentidos de variação
máxima num campo escalar f.
Rotacional
Determina a tendência de um campo vetorial circular ao redor de um ponto.
Divergência
Determina o fluxo de uma fonte descrita por um campo vetorial num ponto.
Laplaciano Composição das operações de divergência e gradiente.
Teorema de Stokes
Rotacional e Divergência
Teorema da Divergência
Fasor
Campo Elétrico
Força Elétrica
Equações da Eletrostática
Continuo e Discreto
Lei de Gauss
Potencial Escalar
Equações do Campo Eletrostático
Campos eletrostáticos não apresentam dependência do tempo.
Forma Integral
ExercícioÉ possível haver uma onda eletrostática? Se sim, como assim!
http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/bernstein.pdf
Sugestão:
Descontinuidade em E e
Aproximação Dipolar
"na camada dipolar"
Equações de Poisson e Laplace
Obs.:
x x´
O
R a
Método da Função de Green
propagador
George Green 1793-1841
MQ
L = L(x)
Função de Green (carga puntiforme)
Teoremas de Green
10
20
Solução Formal
Condição de Dirichlet sobre S:
(valor médio do potencial sobre S)
Condição de Neumann para x´ sobre S:
Unicidade
o o
o
Dirichelet Neumann
Interpretação de F(x,x´)
Solução da Eq. de Laplace no interior do volume V;
Potencial de um sistema de cargas externo ao volume Vcuja particular distribuição de carga na superficie satisfaz = 0 ou nulo quando combinado com uma carga punti-forme em x´ (carga imagem).
Sob a condição de Dirichlet, pode ser o potencial induzidosobre um condutor devido a uma carga puntiforme em x´.
Importante: a determinação da G(x,x´) pode ser dificil ou impossível devido a sua dependência com a forma da superfície S.
Solução Formal usando oMétodo Variacional
Método variacional partindo de um funcional (caso Dirichlet)
onde é uma função bem definida dentro do volume V e sobre a superfície Se g é uma função fonte especificada e sem singularidades dentro de V.
Método variacional partindo de um funcional (caso Neumann)
(dentro de V)
(sobre S)
ExercícioRefazer o exemplo da distribuição de cargas arbitrária da Seção 1.12
Método das imagens
Transformação de um campo elétrico em um outro campo elétrico equivalente mais simples de calcular.
Cap. 2
Aplicação do Método das Imagens
. Carga elétrica puntiforme próxima a uma esfera metálica aterrada.
Quando a carga Q é positiva a densidade de carga superficial é negativa. A condição de contorno V = 0 é satisfeita pela cargaoriginal Q e sua imagem -Q` que é estrategicamente inserida no problema em substituição à esfera.
Impondo o potencial nulo nos pontos P1(r,) e P2 (r,) arbitrários:
Resolvendo
Em P3 (r,) :
Em um ponto P(r,) arbitrário :
Em r = a :
Cálculo da densidade superficial de carga elétrica em um ponto. Para fazer isso, primeiro fazemos o cálculo da intensidade do campo elétrico E produzido por um elemento de carga da isolado sobre a superfície de um condutor.
Podemos fazer isso usando a Lei de Gauss. O fluxo elétrico total emergindo de da deve ser da/o, metade dele entrando e outra metade saindo da elemento de área da.
Sendo n um vetorunitário normal à superfície.
Portanto, o elemento da carga da isoladamente produz a metade do campo elétrico total /o em um ponto externo, arbitrariamente próximo à superfície. Ou seja, este elementode carga gera um campo muito mais efetivo do que todas asdemais que devem produzir a outra metade.
Desta forma, a intensidade do campo elétrico atuando sobre da deve ser igual a / 2o, como mostrado na figura.
Podemos aproveitar e calcular a força sobre esse elemento decarga do condutor devido ao campo produzido pelas demais:
Logo, a “pressão” exercida pode ser escrita como:
Podemos agora calcular a densidade de carga que buscávamos assumindo que:
A carga total induzida sobre a superfície será dada por:
Ou seja, a carga total induzida na superfície do condutor é iguala carga imagem usada para substituir a esfera, validando a Leide Gauss.
R D
Exercício
22
24
D
RDD
Rq
D
qD
RQ
qF
o
(a) Mostre que a força F entre uma carga puntiforme q > 0 e uma esfera condutora de raio R com carga Q > 0 é dada por:
onde D é a distância entre q e o centro da esfera.
Essa força pode ser atrativa? Se sim, sob que condição.
Diagrama das linhas de campo e das equipotenciais no caso da carga próxima à esfera condutora.
?
ExercícioResolva o mesmo problema da carga puntiforme em frente a uma esferapelo método de função de Green, conforme seção 2.6.
Mostre que:
Mostre que:
Nesse caso:
Expansão em séries
Passagem para o contínuo
Potencial de "cantos e quinas"
Condições de contorno
Método da separação de variáveis(coordenadar retangulares)
Solução geral: =
Cavidade metálica retangular aterrada com a tampa polarizada
ExercícioObtenha a densidade superficial de carga na tampa superior da cavidade retangular discutida no slide anterior.
Equação de Laplace em coordenadas esféricas
UPQ
senr 22
Separação de Variáveis
Obtenção de UPQ
Polinômios de Legendre Associados
Polinômios de Legendre
Andre-Marie Legendre obteve a expansão abaixo em 1782.
Os polinômios de Legendre são também autofunções de um operador diferencial Hermitiano:
Os auto valores correspondem a n(n+1).
Ortogonalidade
Normalização
Polinômios de Legendre Associados
Harmônicos Esféricos
Condição de ortogonalização
Condição de completude ou fechamento
Representação visual(vermelho < 0 e verde > 0)
l
m = 0
Harmônico esféricos ortonormalizados em relação a uma esfera unitária
Obs.: atenção ao uso do fator de fase de Condon-Shorthley (-1)m se m > 0 e 1 no caso contrário.
Orbitais atômicos(módulo ao quadrado dos harmônicos esféricos combinados)
Y21 - Y2-1 Y22 + Y2-2 Y22 - Y2-2
Y10 Y11 + Y1-1 Y11 - Y1-1
Y20 Y21 + Y2-1
Expansão Multipolar
Expansão em harmônicos esféricos
Solução geral sob simetria azimutal
(m = 0)
Solução geral sem divergência na origem
Soluções geral no eixo de simetria (z = r)
Teorema da adição de harmônicos esféricos
Exercício
Use a relação de Completude ou Fechamento:
Verifique a expansão da função de Green em coord. esféricas:
Uma distribuição linear de cargas Cm se extende ao longo do eixo z entre z = a e z = a.
(a) Mostre que em qualquer ponto, tal que r > a, se verifica que:
(b) Obtenha o campo elétrico.
Exercício
...)(cos
5
1)(cos
3
1)(cos
2)4( 4
5
2
3
Pr
aP
r
aP
r
aV oo
ExercícioObtenha o potencial e o campo elétrico próximo a um plano condutor z = 0 com uma abertura circular de raio r = a onde as componentes de campo elétrico verticais assintóticas são Eo em z > 0 e E1 em z < 0.
Seguir passos indicados na Seção 3.13 e resolver o Problema 3.25.
Expansão multipolar fora (r< = r´ e r> = r)de uma fonte arbitrária de raio R
Momentos de multipolo
Tensor quadripolar elétrico
Momento dipolar elétrico
Obs.:
Expansão em coordenadas retangulares
Campo elétrico multipolar
ExercícioUma região com densidade de carga (x,y,z) encontra-se imersa numcampo eletrostático descrito por um potencial o)
(x,y,z).
(a) Admitindo uma pequena variação do potencial elétrico sobre a região que contém a densidade de carga, mostre que a força total atuando sobrea distribuição de carga pode ser decrita como:
(b) Mostre também que o torque total pode ser escrito como:
onde 1 é uma das componentes cartesianas.
Exercício(a) Verifique a expressão do campo elétrico dipolar.
(b) Mostre que para satisfazer tem-se:
ExercícioMostre que a solução geral da Eq. de Laplace para = QZR em coordenadas cilíndricas é (seção 3.7 do livro doJackson 3
a Ed.):
tal que:
sendo kmn = xmna extraída de :
Dielétricos Sob a ação de um campo elétrico aplicado o centro de carga da nuvem eletrônica da molécula desloca-se em relação aos centros de carga dos núcleos (valores típicos 10-8 o diâmetro de um átomo). Este fenômeno é a polarização eletrônica e/ou iônica.
Moléculas polares tendem a alinhar-se de forma espontânea e a ganhar polarização em presença de campos elétricos aplicados. Isto é denominado polarização orientacional. A agitação térmica tende a opor-se a este processo de alinhamento por torque :
Existem materiais com íons de sinais opostos capazes de se mover ou orientar sob a ação de um campo elétrico. O fenômeno de polarização intrínseca atômica ocorre em dielétricos ferroelétricos.
Polarização elétrica, P
Havendo N moléculas por unidade de volume com um momentode dipolo elétrico médio por molécula p.
Admitindo um momento de dipolo elétrico resultante pr no interiorde elemento de volume v.
Potencial elétrico de um dielétrico polarizado
Observação: se houver cargas elétricas livres presentes, então adiciona-se termos integrais similares para as cargas livres.
Equação de Poisson
Tal que
Comentário :
Um sólido cristalino possui via de regra propriedades dielétricasdiferentes em direções cristalinas distintas; devido a mobilidadee/ou orientação preferencial dos momentos dipolares elétricosem uma dada direção. Como resultado, a susceptibilidade elétrica pode depender do campo elétrico E e a direção da polarização elétrica P não ficar na mesma direção de E.
A susceptibilidade torna-se um tensor de 2a ordem. Importante dizer que apenas 6 das 9 componentes são independentes, havendo três direções principais relativas aos eixos cristalinos.
Ex.:
Cavidade num dielétrico entre placas polarizadas
0 r
Em
E
Campo elétrico emescala atômica
Campo elétrico local no centro da « cavidade » :
Campo das placas : sendo
Campo despolarizante: P = Pn
Campo interno no dielétrico:
Campo devido a P na cavidade:
Campo devido aos dipolos dentro da cavidade:
A rigor é nulo apenas em gases, líquidos ou cristais cúbicos
Exercício:
Lembrando que mostre que o campo elétrico de um
dipolo elétrico pode ser escrito a partir do potencial elétrico
como .
Exercício:
Usando a expressão acima, mostre que a componente x de um campo elétrico dipolar no interior de um dielétrico pode ser escrita como :
Admitindo o dielétrico isotrópico, as componentes x,y e z são equivalentes por causa da simetria da rede. Então os valores médios espaciais respeitam as relações:
Isto demonstra que E´= 0 numa cavidade de formato qualquer de um dielétrico ?
Condições de continuidade em uma interface
O potencial elétrico é continuo através da interface entre dois meios, pois em caso contrário o campo elétrico se tornaria infinitamente grande.
Exercício: Analise a interface entre um condutor e um dielétrico homogêneo, isotrópico e linear.
Considere o volume gaussiano e deduza as seguintes relações:
+QD
rs
bn
Carga puntiforme diante de um bloco dielétrico semi-infinito
Ojetivo: obter b e discutir o campo elétrico.
Componente normal à interface do campo elétrico devido a carga Q :
De acordo com a Lei de Gauss, a carga ligada induzida b
determina componentes normais de campo elétrico com intensidades b/2o opostas na interface ar-dielétrico, tal que no interior do dielétrico temos:
Resultando
Portanto,
Assumindo o lado direito contendo o dielétrico como sentidopositivo, temos as componentes normais do campo elétrico
Fora do dielétrico:
Dentro do dielétrico:
Temos que sendo a componente normal de D continua na interface, pois não há cargas livres.
Satisfeitas as condições de contorno a imposição de unicidade de solução permite dizer que podemos substituir o dielétrico poruma carga imagem Q’.
Ou seja, o campo elétrico a esquerda da interface ar-dielétrico pode ser descrito como devido a carga Q e a uma carga Q’,conforme mostra a Figura (a) no próximo slide.
Observa-se ainda que Eni permanece inalterado substituindo o dielétrico por uma carga efetiva Q’’, conforme mostra aFigura (b) no próximo slide.
O problema pode se dizer qualitativamente resolvido!
Intervenção de cargas imagens
D
equipotenciais
ar dielétrico
Densidade de energia eletrostática em termos de E e D
Cálculo do trabalho realizado pelo campo elétrico :
Energia dispendida :
Densidade de energia dispendida:
Ou ainda:
Configuração de cargas elétricas isoladas.
Energia potencial de um conjunto de cargas elétricas isoladasem termos das cargas e potenciais elétricos sobre as cargas
Energia potencial de um conjunto de cargas elétricas isoladas e distribuições (pseudo)contínuas de cargas
= --
pseudo-continuas discretas
Densidade de energia num campo eletrostático
Coeficientes de potencial (cij), de capacitância (i=j) e de indução (ij)
Exemplo:
Exercício: Obtenha a energia potencial eletrostática de uma distribuição de N cargas.
Resp.:
Exercício(a) Refazer a dedução do campo elétrico dipolar criado por uma esfera dielétrica imersa em um campo elétrico assintóticamente uniforme.
(b) Refazer a dedução do campo elétrico dipolar dentro de uma cavidade esférica em um meio dielétrico imersa em um campo elétrico assinto- ticamente uniforme.