ÉLŐJÁTÉK/1: ÉN+A DERIVE: Nélküle? Vele? (heé, hé, bra, emo, der,1xű)

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.

1

ÉLŐJÁTÉK/1: ÉN+A DERIVE: Nélküle? Vele? (heé, hé, bra, emo, der,1xű)

1.) BME, angol képzés (siker)2.) BGF, TASSO1: lineáris algebrai feladatok megoldása („első BT-m”)3.) BGF, TASSO2: GázMat tanulást segítő program fejlesztés: „Elég 1 perc a kudarchoz”, lásd az alantast:

HéMaxAlak.dfw beolvasása után#28 Határérték(x^4/(1+x^3), [-inf,inf], [-1])#29 Extrémum(x^4/(1+x^3), [-inf,inf], [-1], [])#30 Konvexitás(x^4/(1+x^3), [-inf,inf], [-1], [])

3)Érintő PINT HINT ÖDE HÉ EX KV2) So_Sajat.mth

LinearAlgebra.Mth LinaSom.dfw LinaGaussJordan1.dfw LinaTransz1.dfw LinaTransz2.dfw


2

ÉLŐJÁTÉK/2: ÉN + az EXCELTRANSZ: a „győztes” transzformációs eszköz, l. www.zweigmedia.com

14. sor SorMűveletek 10R1→ Sorműveletek elvégzése → 14. sort szorozza 10-el.

14. sor SorMűveletek R2, 15. sor SorMűveletek R1→ Sorműveletek elvégzése → 14.sor és 15.sor felcserélődik.

15. sor SorMűveletek R2-3R1 → Sorműveletek elvégzése → 15. sorhoz a 14. sor (-3)szorosa adódik. Mj. Hasonló sorműveletek szimultán is végezhetőek.


33

Logisztikusan a „káoszig”, valamint Barreto „kitűnőségéről”

Diaszámok alakulása: 40 ↓ 26 ↑ 26+2 ↑ 26+2+7=33. A teljes helye: www.tasso.hu

KKK?aDERIVEa TIÉD!

DERIVE program+Kézikönyv+egyebek Letöltési helye:

www.bgf.hu / KKK / Bejelentkezés: kkfk \ felhasználó jelszó

SZERVEZETI EGYSÉGEK / OKTATÁSI SZERVEZETI EGYSÉGEK / MÓDSZERTANI INTÉZETI TANSZÉKI OSZTÁLY /DOKUMENTUMTÁR / DERIVE stb.


44

#55: InputMode := Word {menüről}

{ODE1Simple.mth beolvasása menüről }

> ODE1(x’ = k•x•(a - x), t = t0, y = x0) {parancssorból egyszerűsítéssel}

1) Folytonos idejű logisztikus egyenlet(ek) és megoldás(uk)

(1.1) , d.e. folytonos idejű logisztikus egyenlet, k.é.p.

problémájának megoldása logisztikus függvény, ahol Kézzel?

xakxdt

dx

F1) , megoldása DERIVE 6.1-el: xakxdt

dx

00 )( xtx

0 t0)(t*ka

LN(x0)

a

a)LN(x0

a

LN(x)

a

a)LN(x :56#

{Megoldás menüről x-re nézve:}

{utóbbit -vel osztva:}x0)(a•t0•k•aet•k•ae•x0

t•k•ae•x0•a x:#57

tkae

, megoldása , ahol 0t-ta00

0xkexax

ax

00t-ta00 kexax

.0>,0 ka

00 )( xtx

xakxdt

dx 00 )( xtx


55

F2) A , , , megoldása MapleV.5-tel: xakxdt

dx 00 )( xtx 0k 0a

Mo: > de:=diff(x(t),t)=k*x(t)*(a-x(t));

)()()(: txatxktxt

de

> dsolve(de,x(t)); dsolve({de,x(t0)=x0},x(t));

> simplify(%,exp); # a simplify(%,exp) exponenciális típusú egyszerűsítést végez

ae

atx

kat _C11)(

, ahol _C1=c tetsz.

00

1

)( 0

xexa

atx ttka

k.é.p. megoldása, ,

00t-ta00 kexax 0t-ta

00

0xkexax

ax

,xakxdt

dx 00 )( xtx


66

F4) k=0.5, a=4 -re , x(0) = 1, 2.5, 6, 0, 4 grafikus megoldása xakxdt

dx

> restart: a:=4: k:=0.5: with(DEtools): Eq:=diff(x(t),t)=k*x(t)*(a-x(t)); # egy.

> Points:={[0,1],[0,2.5],[0,6],[0,0],[0,4]}: # k.f.> DEplot(Eq,x(t),t=0..2.5,Points,x=-1..6, arrows=slim,linecolour=blue); #mo., ábra

))(4)((5.)(: txtxtxt

Eq

Az x(t)=a e.h. aszimptotikusan stabilis az x(t)=0 e.h. helyzet instabilis.- stab.- , úgy a.st.

t atx )(atxttatx )(akkor , ha)( 00

atx )(

DEplot összevetésedsolve és display-el.


77

F4) Igazoljuk „elemi módon”, hogy a kezdeti érték

probléma rögzített tetszőleges értékére egyértelműen

megoldható megfelelő intervallumon és a megoldás:

ahol

Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az -n a következő esetekben: (x(t) a logisztikus függvény), (e.h.), (e.h.)

,xakxdt

dx 00 )( xtx

,0k ,0a ,0t 0x

,x

0t-ta00

0kexax

ax

,

0ha,

0ha,

0ha

0

0

0

axtt

axt

xatt

I

krit

krit

I

.ln1

00

0

ax

x

akttkrit

00 xa )(tx

,00 ax ,0 0 ax 00 x ax 0

F5) logisztikus függvény ábrája: 0t-ta00

0xkexax

atx

00450 00 , x, t, a,k


88

Mivel és , így -ben -nek maximuma van.

Állítás. Ha tetszőleges, akkor

egyetlen Inflexiós pontja: ahol és Ugyanakkor

-nek a helyen abszolút maximuma van és ez

000

0)( ttkaexax

xatx

,0k ,0a ,0 0 ax 0t

,, infinf xtka

xxa

tt

0

0

0inf

ln

.2inf

ax

tx inft

Igazoljuk előző állításainkat a Maple program felhasználásával.> restart: x:=a*x0/(x0+(a-x0)*exp(-k*a*(t-t0))): xd:=diff(x,t): #> xdd:=diff(x,t,t): xddd:=diff(x,t,t,t): solve(xdd=0,t): tinf:=expand(%); #

ka

x

xa

tka

xa

x

tt

0

0

00

0

0inf

lnln

> xinf:=subs(t=tinf,x):xinf:=simplify(xinf,ln); #2/:inf ax

,tx tx

inftx

0 tx

34)8/1( ka> simplify(subs(t=tinf,xddd)); # inftx

> subst(t=tinf,xd); #2)4/1( ka

inftxMivel és , így

valóban inflexiós pont.

0inf tx 0inf tx

inft 0)( inf tx 0)8/1()( 34inf katx tx

.max4

1 2 txtka


99

2) Diffúziós modell, mint speciális folytonos idejű logisztikus egyenlet

A tipikus diffúziós modell

(2.1)

ahol

─ N(t) a t időpontig egy innovációt ténylegesen elfogadók száma

─ m a potenciális elfogadók maximális száma

─ g(t) a diffúziós együttható

─ dN(t)/dt a a diffúzió terjedési sebessége

,0)0( ,)()()(

NtNmtgdt

tdN

Szokásos feltétel:

Könnyen igazolható, hogy a (2.1) diffúziós modell az

(2.2)alakba írható át, ahol F(t)=N(t)/m, a>0, b>0, m>0 és (2.2) az (1.1) szerint vizsgálható, továbbá eredményei visszaszállnak (2.1)-re:

),()( tNbatg ,0a .0b

0)0( ,)(1)()( FtFtFbatF

./ mbb

N’(t) (penetrációs ráta) maximuma N’(tinf)=(a+b)2m/ (4ab),

0<N(t)<m; N(t) sz.m.nő; t<tinf-re konvex, t>tinf-re konkáv;

)/()/ln(inf ababt

.)(lim mtNt


1010

Egyváltozós fázisgörbe )(1)()( tFtFbatF

mtFtN )()(


1111

3.) A folytonos idejű logisztikus egyenlet alkalmazása népesség becslésére egy populációs modellben

UK népessége 1781-től 1931-ig (millió fő )

Malthus modell: dp/dt=a*p, p(0)=13

Logisztikus növekedési modell:

tetp 1092.013)(

,)(2 bpapbpapdt

dp ,)( 00 ptp

,13)0(01781 pt ,135.24)50(501831 pt 934.34)100(01881 pt

,)(0

00

0ttaebpabp

aptp

(4.1)

1980004360453,0,60203830194,0,13,0 00 bapt (4.2)


1212

> eq1:=24.135=13*a/(13*b+(a-13*b)*exp(-50*a)):> eq2:=34.934=13*a/(13*b+(a-13*b)*exp(-100*a)):

> fsolve({eq1,eq2},{a,b},{a=0.02..0.03,b=0.0004..0.0005}); {a = .02038301946, b = .0004360453198}


1313

Ezek szerint az UK népessége 1781-től 1931-ben (millió főben )

t946-.0203830130e.014714430091570.00566858

300.26497925)( tp


1414

4/I. Diszkrét dinamikus rendszerekről. Stabilitás, pókháló diagram, stb.

1. def. elsőrendű diszkrét autonóm dinamikus rendszer

2. def. Ha akkor egyensúlyi helyzet.

3.-5. def. Az egyensúlyi helyzet lehet stabilis, taszító, aszimptotikusan stabilis, ha ..

,2,1,0t ,1 tt yfy

,)( yfy y

yy0 yyf n0 yy00 .0 yyf

yy0

yy

t t

lim


1515

4/II. elsőrendű lin. egyenlet vizsgálata pókháló diagrammal bayyfy ttt 1

vonzó e.h.taszító e.h.


1616

4/III. elsőrendű lin. egyenlet vizsgálata pókháló diagrammal bayyfy ttt 1


1717

megoldása:

4/IV. elsőrendű lin. egyenlet vizsgálata pókháló diagrammal bayyfy ttt 1

Néhány egyszerű elsőrendű differencia-egyenlet analitikus megoldása:

Az és -re az egyetlen egyensúlyi pont.

tt ayy 1 ,0yay tt ,2,1,0t 0y1a

,1 bayy tt 0a

,11 0

a

bya

a

by t

t

a

by

1

00 yyt ,2,1,0t

az egyetlen egyensúlyi pont.


1818

4/V. A logisztikus egyenlet diszkrét változata ábrázolása táblázatkezelővel

mo. ábrája, ha

,21 ttt byayy 1,00 y ,2a .1b

.1/)1(,02 21112

1 bayyyyybyayybyayy ttttttttt

ábrája ellenében1ty t

y(t)

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0 2 4 6 8 10 12

t=0,1,2,...

y0 ↔ $C$7 :0.01, 0.2, 0.3

a ↔ $C$5

b ↔ $C$6

értékeit változtatva alogisztikus görbe di-namikusan változik.

↔


1919

4/VI. Lineáris rekurzív egyenlet megoldásának ábrázolása Maple-lel megoldása -ra a cobweb eljárással:

1,625,05.4 01 yyy tt 20,,2,1,0 t

> f:=y->4.5-0.625*y; Egyensúlyi helyzet:

> cobweb(f,1,20,0,5);

92.769230760 y


2020

4/VII. Diszkrét logisztikus egyenlet megoldásának ábrázolása Maple-lel megoldása -ra a definíció alapján:1,625,05.4 01 yyy tt 20,,2,1,0 t

> restart: > t:='t': y:='y': Digits:=4: # Változók törlése, pontosság 4 jegyre állítása> y:=proc(t) option remember; 4.5-0.625*y(t-1) end: # y(t) definiálása> y(0):=1: # y0 megadása> data:=[seq([t,y(t)],t=0..20)]:# (t,y(t)) pontpárok előáll.> plot(data,colour=black,thickness=2); # ábrázolás

> data;

[[0, 1], [ 1, 3.875], [ 2, 2.078], [ 3, 3.201], [ 4, 2.499], [ 5, 2.938], [ 6, 2.664], [ 7, 2.835], [ 8, 2.728], [ 9, 2.795], [10, 2.753], [11, 2.779], [12, 2.763], [13, 2.773], [14, 2.767], [15, 2.771], [16, 2.768], [17, 2.770], [18, 2.769], [19, 2.769], [20, 2.769]]

92.769230760 yEgyensúlyi helyzet:


2121

4/VIII Elaydi a diszkrét dinamikai rendszer egyensúlyi helyzetei stabilitásáról

Stabilitási tétel: Jelölje az (6.1)dinamikai rendszer egy egyensúlyi pontját, ahol az f folytonosan differenciálható

-ban. Ekkor

ÁI. Ha akkor aszimptotikusan stabilis (vonzó) fixpont. (6.2)

ÁII. Ha akkor instabilis és taszító fixpont. (6.3)

ÁIII.-IV. -re további 5 i=1,2,3 -tól függő elégséges feltételt ad.

y tt yfy 1

y

,1 yf y

,1 yf y

1 yf yf i)(

Feladat. Vizsgáljuk Elaydi-val az alábbi diszkrét logisztikus rendszer stabilitását!

(6.4)

Az megoldásai az egyensúlyi helyzetek.

ttt yyy 21

yyy 2 ,01 y 12 y

202222 11 yyf 121 yf 01 y Instabilis, taszító fixpont;

102 yf 12 y a. stabilis, vonzó fixpont.


2222

4/IX Káosz és bifurkáció az alábbi logisztikus egyenlet kapcsán

, ahol és {1. példa} (4.1)

Azt a paraméterértéket, amelyben egy nemlineáris rendszer viselkedése radikáli-san megváltozik, bifurkációs értéknek hívják. A viselkedés aperiodikus, kaotikus.

Megjegyzés1. A lineáris rendszer nem kaotikus.

Megjegyzés2 ahol m=0,1,2,… tetszőleges.a)

tttt yyyfy 1,1 40 .10 ty

10 ty ,10 my

Legyen Ekkor a (4.1)-beli ábrája -ra: ;1.00 y .2,3 ty 100,,1,0 t

A) Ábra. A megoldás pályája nagyongyorsan beáll egy 2 periódusúpályára.


2323

1,00 y 85,3

Ha akkor kezdetben van ugyan némi kaotikus viselkedés, de utána a rendszer egy 3 periódusú pályára áll. (Átmeneti káosz.)

,85,3


, ahol és {2. példa} (4.1) tttt yyyfy 1,1

Hommes példája tranziens káoszra:


2424

4

Egyáltalán nem mutat periodikus jelleget, más szóval aperiodikus vagy kaotikus

egyensúlyi helyzetei ttt yyy 11 ,01 y .1

2

y


, ahol és {3. példa} (4.1) tttt yyyfy 1,1 ;1.00 y


2525

4/XI logisztikus egyenlet összefoglaló táblázata: ttt yyy 11

Leírás értéke Megjegyzések

Stabilitás váltás 1 Első bifurkációs pont

Az egyensúlyi pont instabillá válik (2-ciklus lép be)

3 Második bifurkációs pont

pl.

2-ciklus instabillá lesz (4-ciklus lép fel) 3.44949

4-ciklus instabillá lesz (8-ciklus lép fel) 3.54409

A 2-ciklusok felső határa (káosz indul) 3.57

Az első páratlan-ciklus megjelenése 3.6786

3-periódusú ciklus megjelenése 3.8284

Kaotikus tartomány vége 4

2.3

84.3


2626

4/XII Példák logisztikus egyenlet pókháló diagramjaira ttt xxx 11

2.3513045.00 x 48912.00 x

839.3

59.34.00 x

42.00 x

2-ciklus stabil 3-ciklus

korlátosbefedés

„teljes”befedés


2727

4/XIII További példák log. egyenlet kaotikus viselkedésére ttt xxx 11

A -nél valamivel nagyobb értékre a rendszer kaotikus viselkedést mutat: nincsenek szabályos ciklusok és egymáshoz közel induló megoldások is divergálnak egymástól mintegy tíz periódus után.

57,3 65,3


2828

4/XIV További példák log. egyenlet kaotikus viselkedésére

Baumol és Benhabib (1989-es) példája:

ttt xxx 11

A rendszer kaotikus, de nem teljesen random, hirtelen változások jellemzik, és bár majdnem vízszintes lesz, utána újra oszcillálni kezd.


29

+/1 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o./57m.f. / 123lap)


30

+/2 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o. / 57mf / 123lap)

Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xlsBevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázá / Szubvenciók / Kérdés&Válasz


31

+/3 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o. / 57mf / 123lap)

Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xlsBevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázá / Szubvenciók / Kérdés&Válasz


32

+/4 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o. /57mf / 123 lap)

Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xlsBevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázás / Szubvenciók / Kérdés&Válasz


33

+/5 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600.o. / 57mf/ 123lap)

Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xlsBevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázás / Szubvenciók / Kérdés&Válasz


34

Irodalomjegyzék:1) Ronald Shone: An Introduction to Economic Dynamics, 2001, Cambridge

University Press. (237 oldal fejezetenként 5 gyakorló feladattal és a web-en fejezetenként 10 feladat a diákoknak, további tíz az oktatóknak, összesen mintegy 250 feladat és a megoldásuk is meg van adva Microsoft Excelben is.)

2) Л. С. Понтрягин: Обыкновенные дифференциалъные уравнения, 1965, Издателъство Наука, Москва

3) Ronald Shone: Economic Dynamics Phase Diagrams and Their Economic Application, second edition, 2002, (724 oldal, a Maple 6 és Mathematica 4 alkalmazások forrásszinten elérhetők a web-en.)

4) Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Microsoft Excel, 2009, Cambridge University Press. (594 oldal, az Excel fájlok elérhetőek a Web-en.)

5) Kurt Jechlitschka, Dieter Kirschke and Gerald Schwarz: Microeconomics using Excel: Integrating Economic Theory, Policy Analysis and Spreadsheet Modelling, 2007, Routledge (240 oldal)

Gracias Humberto (nacido en Cuba); thanks Ronald Shone;спасибо С.А.Ломов;danke Kurt Jechlitschka;köszönet Kary Atida magát tartó

Köszönöm megtisztelő figyelmüket!

Documents

ÉLŐJÁTÉK/1: ÉN+A DERIVE: Nélküle? Vele? (heé, hé, bra, emo, der,1xű)