SÄHKÖMAGNETISMI:  kevät  2017  Viikko   Aihe   kirjan  

luku  Viikko  1   Sähköken>ä,  pistevaraukset   14  Viikko  2   Varausjakauman  sähköken>ä   16  Viikko  2   Sähköinen  potenIaalienergia  ja  potenIaali   17  Viikko  3   Sähköken>ä  ja  aine   15  Viikko  3   MagneeNken>ä   18  Viikko  4   Kertausta   14-­‐18  Viikko  5   Sähköken>ä  johImissa,     19  Viikko  5   sähköiset  piirit,  komponenIt   20  Viikko  6   MagneeNnen  voima   21  Viikko  7     Kertausta   18-­‐21  Viikko  8   tenN  

KENTÄN  KÄSITE  

Ken>ä:  suureella  on  määrä>y  arvo  (skalaari  tai  vektori)  jokaisessa  tarkasteltavan  avaruuden  pisteessä.  

Ken>äviiva:  käyrä,  jonka  tangenN  käyrän  jokaisessa  pisteessä  on  kentän  suuntainen.  Viivojen    Iheys  (tai  pituus)  kuvaa  kentän  voimakkuu>a  

SÄHKÖKENTTÄ  

•  SähköisesI  varatut  hiukkaset  luovat  ympärilleen  sähkökentän,  jota  voidaan  mitata    voimavaikutuksen  kau>a  

+   +  +q2  

F +  

-q2  

F -­‐  

•  Coulombin  laki  kuvaa  voimaa  kahden  pistemäisen  varauksen  välillä.  Käänteisen  neliön  laki.  

•  Sähköken>ä  kiihdy>ää/jarru>aa  hiukkasta

•  Sähköken>ä  on  määritelty  E=F/q2

+q1   +q1  

FARADAYN  HÄKKI    

E=0

+  

+  

+  

+  

+  

+  

+  

+  

-­‐  -­‐  

-­‐  

-­‐  -­‐  

-­‐  

-­‐  

-­‐  

JOHDE  ULKOISESSA  SÄHKÖKENTÄSSÄ  

-­‐  -­‐  -­‐  -­‐  

+  +  +  +  

E0  

E=0

Johteessa  on  vapaita  varauksia.  Ulkoisessa  sähkökentässä  näihin  elektroneihin  kohdistuu  voima  ja  ne  liikkuvat  johteen  pinnoille  niin  e>ä  ken>ä  johteen  sisällä  on  nolla.    Johteessa  tasapainoIlassa  sähköken>ä  on  kohIsuorassa  pintaa  vastaan.  Jos  olisi  pinnan  suuntainen  sähkökentän  komponenN  se  kiihdy>äisi  varauksia  pinnalla.  Huomaa,  e>ä  nämä  eivät  päde  tasapainoIlanteeseen  mentäessä  kun  elektronit  vielä  liikkuvat  ja  järjestäytyvät.    

KERTAUSTA  ENSIMMÄISILTÄ  VIIKOLTA    •  Sähköinen  dipoli:  systeemi,  joka  koostuu  kahdesta  yhtä  suuresta  varauksesta  (esim.  H2O  molekyyli)  

-q +q

s•  Dipolin  ken>ä                                -­‐  akselin  suunnalla:  E=(2kp)/r3 - kohIsuoraan  akselilta:  E=-(kp)/r3

•  DipolimomenN:  p=qs •  Tarkastelupisteen  tulee  olla  kaukana  verra>una  dipolin  etäisyyteen  

•  Sähköken>ä  pyrkii  kiertämään  dipolia  suuntaisekseen.  Vääntö-­‐momenN  on  τ=p✕E.Dipolin  ken>ä  heikentää  ulkoista  ken>ää  

•  potenIaalienergia    U=-pEcosϕ = -p�E p

E ϕ

Harjoitus  4,  tehtävä  1    Kaksi  idenNstä  pysyvää  sähködipolia  on  asete>u  etäisyydelle  r  toisistaan.  Dipolien  akselit  ovat  x-­‐akselin  suuntaiset.    a)  Jäljennä  kuva  ja  hahmo>ele  siihen  varauksiin  vaiku>avat  

voimavektorit  ja  dipoleihin  vaiku>avat  ne>ovoimat.  b)  Osoita,  e>ä  dipoleihin  vaiku>avat  ne>ovoimat  ovat  

muotoa  F ~ 6q2s2/r4.  Kertaa  minkälaisen  kentän  sähködipoli  aiheuN  dipoli-­‐momenNnsa  suuntaisella  akselilla  kaukana  dipolista  (laskeNin  harjoituksissa  1).  MieI  minkälaiset  voimat  oikean  puoleinen  dipoli  aiheu>aa  vasemmanpuoleisen  dipolin  varauksiin.    

-q +q -q +q

rs s

r >>s

Harjoitus  4,  tehtävä  1    Kaksi  idenNstä  pysyvää  sähködipolia  on  asete>u  etäisyydelle  r  toisistaan.  Dipolien  akselit  ovat  x-­‐akselin  suuntaiset.    a)  Jäljennä  kuva  ja  hahmo>ele  siihen  varauksiin  vaiku>avat  

voimavektorit  ja  dipoleihin  vaiku>avat  ne>ovoimat.  b)  Osoita,  e>ä  dipoleihin  vaiku>avat  ne>ovoimat  ovat  

muotoa  F ~ 6q2s2/r4.  Toinen  tapa  ratkaista  b)  on  huomata  e>ä  dipoliin  kohdistuva  voima  voidaan  kirjoi>aa  F ≈ p∂E/∂r.  Nähdään  myös  suoraan,  e>ä  jos  dipoli  on  homogeenisessä  sähkökentässä  ei  siihen  kohdistu  kokonaisvoimaa  

-q +q -q +q

rs s

r >>s

Monet  molekyylit  ovat  sähködipoleita,  tai  ne  indusoituvat  dipoleiksi  ulkoisessa  sähkökentässä.  Dipolien  välisen  vuorovaikutuksen  ymmärtäminen  on  siis  tärkeää!  

KERTAUSTA  ENSIMMÄISILTÄ  VIIKOLTA    Sähköken>ä  Ietyssä  tarkastelupisteessä  varausjoukolle  saadaan  superposiIoperiaa>eella,  eli  voidaan  vain  laskea  vaikkapa  N:n  pistevarauksen  kentät  yhteen  (summa).    Jos  jatkuva  varausIheys  niin  summan  sijaan  lasketaan  integraali  (rajalla  dq  à 0).    

-­‐  lineaarinen  varausIheys    λ=Q/L ja  yksikkö  [λ]=C/m -­‐  pintavarausIheys  σ=Q/A ja  yksikkö  [σ]=C/m2

-­‐  IlavuusvarausIheys  ρ=Q/V ja  yksikkö  [ρ]=C/m3

Laskuissa  yleensä  on  olete>u,  e>ä  varausIheys  on  tunne>u  ja  pääosin  käsi>elimme  tapauksia  joissa  tasainen  jakauma.  

Jaa  tehtävä  osiin  (esim.  ohut  rengas  hyvin  pieniksi  pistevarausalkioiksi).  MieI  symmetriaa.    

E = dE∑ E = dE∫à  

OrigokeskeisesI  x-­‐akselilla  lepää  L-­‐pituinen  sauva,  jonka  varaus-­‐Iheys  muu>uu  lineaarisesI  dq = (Axdx)/L2 ,  missä  A  on  posiIivinen  vakio.  Origon  vasemmalla  puolella  sauva  on  siis  negaIivisesI  varautunut  ja  oikealla  puolella  posiIivisesI  varautunut.  Laske  sähkökentän  tarkka  arvo  x-­‐akselilla  pisteessä  P.    

ESMIERKKI  TEHTÄVÄ  VARAUSJAKAUMAN  SÄHKÖKENTTÄ  

Pdxdq = (Axdx)/L2  

rx

TYÖN  JA  POTENTIAALIN  MÄÄRITELMÄT  

•  KonservaIivinen  voima:  sen  tekemä  työ  ei  riipu  kappaleen  kulkemasta  reiIstä  (▽×E=0)    

•  työ  on  W=⎰F�ds

•  PotenIaalienergia U:  kyky  tehdä  työtä  asemansa  ansiosta.  Kun  kappale  liikkuu  suuntaan  johon  voima  kiihdy>ää  sitä  sen  potenIaali-­‐energia    pienenee  (posiIivinen  työ).  PosiIivisen  varauksen  potenIaalienergia  pienenee  sen  siirtyessä  sähkökentän  suuntaan,  negaIivisen  varauksen  potenIaalienergia  kasvaa  (tarkkana  miten  päin  voima  osoi>aa!)

-  ΔU= -W > 0: negaIivinen  työ,  tehdään  työtä  sähköken>ää  vastaan                    (hiukkanen  liikkuu  voimaa  vastaa),  kineeNnen  energia  pienenee  

-  ΔU= -W < 0: posiIivinen  työ,  sähköken>ä  tekee  työtä              (hiukkanen  liikkuu  voiman  suuntaan),  kineeNnen  energia  kasvaa  

TYÖN  JA  POTENTIAALIN  MÄÄRITELMÄT  •  Sähköinen  potenIaali  on  sähkökentän  potenIaalienergia  yksikkövarausta  kohden

•  Pistevarauksen  potenIaaliksi  saaIin  V=kq/r,  missä  r  on  etäisyys  pistevarauksesta.  Tässä  0-­‐taso  on  vali>u  ääre>ömyyteen  ja  potenIaali  menee  ääre>ömäksi  pistevarauksen  kohdalla  (eli  siis  voi  ajatella  potenIaalierona  ääre>ömyyden  ja  pisteen  r  välillä).  Jos  pistevarauksen  ken>ään  tuodaan  hiukkanen,  saadaan  sen  potenIaalienergia  kertomalla  potenIaali  hiukkasen  varauksella.    

•  Käytännössä  fysikaalisesI  merki>ävää  on  vain  jännite,  eli  potenIaaliero  kahden  pisteen  välillä.  

•  Jos  systeemin  sähköinen  potenIaali  tunnetaan  sähkökentän  saa  laske>ua  potenIaalista  derivoimalla  E=-­‐▽V

•  TasapotenIaalipinnat  (pisteiden  välinen  potenIaaliero  nolla).  TasapotenIaalipintaa  pitkin  kulje>aessa  sähköken>ä  ei  tee  työtä  

Harjoitus  4,  tehtävä  2    Ohuelle  R-­‐säteiselle  pallokuorelle  on  jakautunut  varaus  q.  Jakamalla  pallokuori  sopiviin  infinitesimaalisiin  osiin  laske  integroimalla  a)  sähkökentän  potenIaali  b)  ja  edellistä  derivoimalla  sähkökentän  voimakkuus  kaikkialla.    

Kanna>aa  myös  hahmotella  sekä  sähkökentän,  e>ä  potenIaalin  kuvaajat  niin  näet  vielä  paremmin  miten  ken>ä  ja  potenIaali  muu>uvat.    

Sähköken>ä  on  helpompi  laskea  kun  ensin  laskee  potenIaalin  

ESIMERKKI:  TASAISESTI  VARATTU  PALLO  Pistemäisen  varatun  hiukkasen  sähkökentän  voimakkuus  kasvaa  raja>a  hiukkasta  lähestyessä.  Entä  jos  hiukkanen  on  äärellisen  kokoinen?  Tarkastele  protonia,  jonka  varaus  tunnetusI  on  +e.  Oletetaan,  e>ä  protonin  varaus  on  jakautunut  tasaisesI  R-­‐säteiseen  palloon.  Määritä  sähkökentän  potenIaali  ja  sähkökentän  voimakkuus  kaikkialla,  protonin  sisällä  ja  ulkopuolella.  

R P

r

ds

s

Harjoitus  4,  tehtävä  3    Elektroniin  vaiku>aa  sähkökentässä  voima  F = Cxey,  missä  C on  posiIivinen  vakio.  Elektroni  lähtee  origosta  ja  kiertää  kentässä  xy-­‐tasossa  olevan  neliön  L:n  pituisia  sivuja  pitkin  suljetun  kierroksen  vastapäivään  (ks.  Kuva  oikealla).  Laske  voiman  elektroniin  tekemä  työ  tällä  suljetulla  kierroksella.  Onko  voima  konservaIivinen?  

Työn  ja  voiman  käsi>een  kertaamista  

A.  ∆V13 > ∆V12 > ∆V23 B.  ∆V13 = ∆V23 > ∆V12 C.  ∆V13 > ∆V23 > ∆V12 D.  ∆V12 > ∆V13 = ∆V23 E.  ∆V23 > ∆V12 > ∆V13

KYSYMYS    Laita  suurimmasta  pienimpään  potenIaali  erot  ∆V12,  ∆V13,  ja  ∆V23 pisteiden  1  ja  2,  pisteiden  1  ja  3,  sekä  pisteiden  1  and  3  välillä  

KYSYMYS    Protoni  päästetään  irI  levosta  pisteessä  B  missä  varaus  on  0 V.  Myöhemmin  protoni  

A. Liikkuu  kohI  piste>ä  A  tasaisella  nopeudella    B. Liikkuu  kohI  piste>ä  A  kiihtyvällä  nopeudella    C. Liikkuu  kohI  piste>ä C tasaisella  nopeudella.  D. Liikkuu  kohI  piste>ä  C  kiihtyvällä  nopeudella    E. Pysyy  paikallaan  pisteessä  B

Harjoitus  4,  tehtävä  4    Systeemi  koostuu  kahdesta  lähekkäisestä  johdelevystä  etäisyydellä  s  toisistaan.  Levyjen  etäisyys  on  paljon  pienempi  kuin  läpimi>a.  Molem-­‐mat  levyt  ovat  tasaisesI  vara>uja,  toisen  varaus  on  +q  ja  toisen  –q.  a)  Osoita  e>ä  levyjen  varausten  q  ja  levyjen  välisen  jänni>een V

suhde  on  vakio,  ts.  q/V = C.  Laske  vakion  C  lauseke.  b)  Laske  tehdyn  työn  määrä  dW ja  siis  kuinka  paljon  systeemin  

potenIaalienergia  dU  muu>uu,  kun  posiIiviselta  levyltä  siirretään  pieni  määrä  negaIivista  varausta  –dq negaIiviselle  levylle.  

c)  Ajatellaan  levyjen  varaaminen  tapahtuvan  seuraavasI:  Aluksi  levyt  ovat  neutraaleja.  Toiselta  levyltä  aletaan  siirtämään  negaIivista  varausta  -dq kokoisissa  erissä  toiselle,  kunnes  levyjen  varaukset  ovat  +q ja  -q.  Osoita,  e>ä  tässä  prosessissa,  levyjen  välisen  jänni>een  kasvaessa  arvoon  V  systeemin  potenIaalienergia  kasvaa  arvoon  U =½CV2

Tärkeitä  tuloksia.  KäyIin  luennollakin  lävitse  mu>a  hyvä  kaskea  itse  

•  Sähköken>ä  on  nolla  johteen  sisällä    

POTENTIAALI  JOHTEESSA  

Onko  myös  sähköinen  poten5aali  nolla  johteen  sisällä?    

V:  Ei  tarvi  olla  nolla  mu>a  on  vakio  

sillä  ΔV=-W/q ja W=Fd=qEd

à ΔV=0  

Harjoitus  4,  tehtävä  5    Ajatellaan  sylinterin  muodostuvan  suuresta  määrästä  vierekkäisiä  suoria  ohuita  eristesauvoja.  Sauvojen  pituus  on L,  sylinterin  säde R,    L >> R.  Sylinterillä  on  tasainen  pintavarausIheys  σ  ja  sen  keskipiste  on  origossa.  Leikataan  sylinterin  pinnasta  osa  pois  Kuvan  2  mukaisesI.  Mikä  on  kappaleen  aiheu>aman  sähkökentän  voimakkuus  E origossa  kulman  θ  funkIona?  

Vielä  yksi  harjoitus  sähkökentän  laskemisesta  hieman  erikoisemmalle  varausjakautumalle..  

Harjoitus  4,  tehtävä  6    JohImessa  kulkee  virta  0.62 A.  Kuvan    kolmio  muodostuu  kolminkertaisesta  johImesta,  kolmion  sivujen  pituudet  ovat  L = 8,3 cm.  Mikä  on  johImien  synny>ämän  magneeNkentän  vuon  Iheys  origossa  kolmion  (massa)keskipisteessä?  

Hyvä  tehtävä,  joka  kertaa  Biot’n  ja  SavarIn  lain  käy>öä  ja  symmetrian  mieNmistä.  Huomaa  e>ä  kolmen  virtajohdon  vaikutuksen  saat  helposI  mukaan  laskuun.  MieI  miten  massakeskipiste  jakaa  kolmion  korkeuden.    

ERISTE  ULKOISESSA  SÄHKÖKENTÄSSÄ  •  Klikkerikysymyksissä  havaitsimme  e>ä  neutraalin  eristeen  ja  sekä  posiIivisesI,  e>ä  negaIivisesI  varatun  pienen  kappaleen  välillä  on  sähköinen  vetovoima.    

•  Ulkoinen  sähköken>ä  muu>aa  siis  jollakin  tavalla  eristeen  atomien/molekyylien  sisäistä  rakenne>a.    

•  Eristeessä  ei  ole  vapaita  varauksen  kulje>ajia,  mu>a  atomit/molekyylit  voivat  olla  joko  pysyviä  dipoleita  tai  ulkoinen  sähköken>ä  voi  indusoida  niihin  dipolimomenIn.  Edellisessä  tapauksessa  dipolit  ovat  ”sikinsokin”  kun  ulkoista  ken>ää  ei  ole.  Ulkoisen  kentän  vaikutuksesta  ne  kiertyvät  kentän  suuntaan  niin  e>ä  ne  luovat  kentän  eristeen  sisälle,  joka  heikentää  ulkoista  ken>ää.  Samoin  käy  myös  indusoituneille  dipoleille.    

ERISTE  ULKOISESSA  SÄHKÖKENTÄSSÄ  

+  +  +  +  +  +  +  +  +  +  

+    +    +    +    +  

-­‐    -­‐    -­‐    -­‐    -­‐     Ep

-­‐  -­‐  -­‐  -­‐  -­‐  -­‐  -­‐  -­‐  -­‐  -­‐    

pintavarausIheys  σpE0 A

s

+Qp  –Qp  

E0

Ep

-­‐    +   -­‐    +   -­‐    +  -­‐    +   -­‐    +   -­‐    +  -­‐    +   -­‐    +   -­‐    +  

A

sE0

“levykondensaa>ori”  Etot =E p +E0

εr =E0 /Etot >1

KYSYMYS    Kahden  varatun  (+Q ja  –Q)  tason  väliin  työnnetään  eriste.  Tällöin  paikan  funkIona  sähkökentän  potenIaalia  esi>ää  kuvaaja  

.

MagneeNken>ä  syntyy  liikkuvista  varauksista.  MagneeNsuus  esiintyy  magneeNsten  materiaalien  magneeNsuutena,  joka  lii>yy  elektronien  magneeNseen  dipolimomenNin  spiniin  ja  elektronien  liikkeeseen  atomin  ympäri  (paramagneIsmi/ferromagneIstmi,  ei  varsinaisesI  kuulu  tämän  kurssin  aihepiiriin).  Tällä  kurssilla  tarkastelemme  pääasiassa  johImessa  kulkevien  elektronien  synny>ämää  magneeNken>ää.  Mu>a  muista,  e>ä  ihan  samalla  lailla  myös  liikkuvat  protonit  synny>ävät  sähkövirtaa.    

MAGNEETTIKENTTÄ  

spin  

+ -­‐-­‐-­‐-­‐  -­‐  

Tämä  laki  yhdistää  magneeNkentän  B  sähkövirtaan  I,  joka  on  siis  magneeNkentän  lähde  (tai  siis  sähkövirran  aiheu>avat  liikkuvat  elektronit).  Kentällä  on  r-2 kuin  sähkökentälläkin.  Tämä  on  kurssilla  perustyökalu  laskea  erilaisten  virtajohdinten  magneeNken>ä.  Taas  kanna>aa  jakaa  osiin  ja  mieNä  symmetriaa.    

ΔB = µ04πIΔl× r̂r2

B = µ0I4π

dl× r̂r2wire∫

B = µ04πqv× r̂r2

BIOTIN  JA  SAVARTIN  LAKI      

pienelle  virta-­‐alkiolle  Δl.  Yksikkövektorin  suunta  on  virta-­‐alkiosta  havaintopisteeseen    

Koko  johImen  ken>ä  saadaan  integroimalla  johImen  yli  (vrt.  sähkökentän  superposiIo)  

Tämä  on  liikkuvan  varauksen  (nopeus  v)  aiheu>ama  ken>ä    

OIKEANKÄDEN  SÄÄNNÖT  

Näiden  avulla  voidaan  näppäräsI  (?)  päätellä  magneeNkentän  suunta  

Virtasilmukan  kentälle  saaIin  (tai  vähän  vilkaisIin  periaate>a,  ehkä  vikalla  viikolla  laskuharjoitukseen,  koska  ilmeisen  tärkeä  tulos)  sama r3 riippuvuus  kuin  sähködipolille  ja  magneeNken>ä  on  vielä  samanmuotoinen  kuin  sähködipolin  ken>ä  (ks  kuva  lla).    

MAGNEETTINEN  DIPOLI  

E = 14πε0

2pr3,

Edellisellä  luentoviikolla  havaiNin,  e>ä  saadaan  ympyräsilmukan  kentäksi  vastaavasI  kun  määritetään  dipolimomenN  μ=IA missä  A  on  virtasilmukan  ala  (ympyräsilmukalle  siis  A=πR2)  

Sähködipolin  tapauksessa  määriteNin  p=qs sähköiseksi  dipoli-­‐momenIksi  joka  kertoo  miten  sähködipoli  kiertyy  ulkoisessa  magneeNkentässä.  Dipolin  sähköken>ä  pisteessä  r    dipolin  akselin  suuntaan  voiIin  kirjoi>aa  dipolimomenIn  avulla  

MAGNEETTINEN  DIPOLI  

B = µ04π2µr3

MAGNEETTINEN  DIPOLI  Ulkoinen  magneeNken>ä  pyrkii  myös  kääntämään  magneeNsta  dipolia  niin  e>ä  sen  aiheu>ama  ken>ä  on  vastakkainen  ulkoisen  kentän  suunnalle.  VääntömomenN  on  τ=µ×B

h>p://hyperphysics.phy-­‐astr.gsu.edu/hbase/magneIc/magmom.html#c2  

Johtoa  ei  tällä  kurssilla  vaadita  mu>a  täältä  se  tulee  à  

Eli  määritetään  minkälaisen  vääntömomenIn  virtasilmukka  kokee  kun  se  on  ulkoisessa  magneeNkentässä  

TASAINEN  MAGNEETTIKENTTÄ  Miten  saataisiin  aikaan  hyvin  tasainen  magnee<ken=ä?  

Laitetaan  kaksi  ympyräsilmukkaa  vastakkain  

Tietyllä  etäisyydellä,  ken>ä  on  suurella  alueella  hyvin  tasaisnen  silmukoiden  välissä  

TASAINEN  MAGNEETTIKENTTÄ  

TASAINEN  MAGNEETTIKENTTÄ  

Kierretään  johdinta  Iukkaan  ympäri  useita    kertoja  à  solenoidi  

à  Ken>ä  solenoidin  sisällä  kun  ollaan  kaukana  päistä  on  vakio  (useiden  ympyräsilmukoiden  kenNen  summa*)  

B = µ0NIl

*Solenoidin  kentän  lasku  on  esite>y  kirjan  sivuilla  735-­‐736  

Jos  solenoidin  säde  R  on  paljon  pienempi  kuin  sen  pituus  L (R  << L)  saadaan  kentäksi  solenoidin  keskellä:  

N  kierrosta  

TASAINEN  MAGNEETTIKENTTÄ  

Laitetaan  kaksi  solenoidia  vastakkain.  Tälläistä  systeemiä  kutsutaan  nimellä  Helmholtzin  käämit  

KYSYMYS    Mihin  suuntaan  magneeNken>ä  osoi>aa  pisteessä  P?  

PA. Vasemmalle  B. Oikealle  C. Ylös  D.   Alas  

I on  ulospäin  

I on  sisäänpäin  

KYSYMYS    Mihin  suuntaan  magneeNken>ä  osoi>aa  pisteessä  P?  

PA. Vasemmalle  B. Oikealle  C. Ylös  D.   Alas  

I on  ulospäin  

I on  sisäänpäin