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EM974 - Métodos Computacionais em Engenharia Térmica e Ambiental
Mancais Hidrodinâmicos com Dissipação Térmica
GRUPO: CÁSSIO PETTAN RA 042574 DIOGO STUANI RA 043031 PROF. EUGÊNIO ROSA
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Índice Parte I - Introdução.............................................................................................................. 3 Parte II - Revisão Bibliográfica........................................................................................... 4
II.i - Mancais Hidrodinâmicos......................................................................................... 9
II.ii - Solução da Equação de Reynolds para Mancais.................................................. 9
II.iii - Solução para Mancal Infinitamente Longo ....................................................... 10
II.iv - Solução para Mancal Curto ................................................................................ 12
II.v - Forças no Eixo ....................................................................................................... 15
II.vi - Lubrificação Termohidrodinâmica em Mancais .............................................. 18
II.vii - Temperatura e Viscosidade................................................................................ 18
II.viii - Resolução do Problema Termohidrodinâmico................................................ 20
II.ix - Aplicação no PHOENICS.................................................................................... 22 Parte III: Implementação, Resultados e Analise. ............................................................ 23
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Parte I - Introdução O estudo sobre as características dinâmicas de vários componentes mecânicos vem
sendo impulsionado pela necessidade de diminuição dos efeitos vibracionais dos mesmos no sistema, assim como redução de fadiga superficial e desgaste nas regiões de contato.
Os mancais lubrificados hidrodinamicamente estão presentes em muitas aplicações modernas, com destacado interesse na área veicular. Nestes casos, a lubrificação existente age como o elemento que vincula dinamicamente as pistas do mancal. Dentro deste contexto, algumas iniciativas precedentes permitiram nuclear um grupo de pesquisa na UNICAMP, através de diversos projetos financiados por órgãos de fomento nacionais e do estado de São Paulo, cuja linha de pesquisa em máquinas com elementos rotativos conduziu a demanda em modelagem e análise de mancais lubrificados.
Nestes projetos tem sido desenvolvidas técnicas de modelagem de mancais lubrificados hidrodinamicamente, sendo estes importantes elementos de ligação entre partes fixas e móveis das máquinas e, conseqüentemente, pontos de conexão e transmissão de forças. Também foram implementadas e avaliadas técnicas numéricas de modelagem para máquinas com elementos rotativos, para representação física da interação eixo-estrutura durante a operação da máquina, dentro de um conceito fortemente calcado em modelos teóricos e numéricos de lubrificação.
A lubrificação é essencial para o motor, pois diminui o atrito entre as peças internas e previne o contato metal-metal. Devido ao cisalhamento do lubrificante durante a operação, tem-se o aquecimento do fluido e com isso uma modificação na condição de lubrificação, já que a viscosidade, parâmetro que caracteriza as particularidades do escoamento, diminui com o aumento da temperatura. E essa redução da viscosidade causa diminuição do atrito viscoso, da pressão e da espessura do filme de óleo e do torque do motor, acarretando em diminuição das forças de sustentações e possível rompimento da camada de fluido, ocorrendo contato direto entre mancal-virabrequim.
Sendo assim, avalia-se que a viscosidade é fator determinante em mancais hidrodinâmicos, e fortemente dependente da temperatura para estes tipos de óleos. A determinação das temperaturas máximas é de extrema importância, visto que temperaturas excessivas são uma das causas básicas de falha nestes tipos de mancais. Para tanto, um modelo de lubrificação, abordando sua dependência com a temperatura do fluído no interior do mancal, deve ser desenvolvido e analisado, de forma a garantir a integridade do funcionamento, por exemplo, do mecanismo biela-pistão em motores de combustão interna.
A partir das considerações acima, surgiu a motivação para a escolha deste tema, no qual pretende-se utilizar o software “Phoenics” para analisar os fenômenos citados. Para isso será necessário o estudo de diversas configurações, de natureza experimental conhecida, que compreendem a posição de equilíbrio do eixo, velocidade de rotação e outros fatores, que serão determinantes para obtenção das forças de sustentação do mancal e consequentemente funcionalidade deste mecanismo.
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Parte II - Revisão Bibliográfica
A Revolução Industrial foi um grande marco na engenharia, devido os inúmeros avanços científicos conquistados. A intensa busca, em substituir o trabalho braçal pelos maquinários, estimulou o desenvolvimento das máquinas a vapor, tornos, furadeiras, teares, etc. Entretanto, verificou-se que durante a realização dos projetos, havia também a necessidade de elaborar novos elementos mecânicos que pudesse desenvolver funções especificas na máquina. Desta forma, foi nessa época que surgiram vários dos elementos de máquinas empregados até hoje, como por exemplo, os mancais. Segundo Norton (1996), os mancais são definidos como sendo os elementos que fazem a interface entre partes que possuem movimento relativo entre si, sendo esse movimento de translação ou rotação.
Durante esta época, constatou-se que o grande problema encontrado nesse elemento era o atrito, responsável por grandes perdas energéticas e elevados níveis de calor. Com isso, vários pesquisadores empenhavam-se em resolver o problema do atrito entre os eixos e suportes das máquinas.
Diante disso, os pesquisadores buscavam maneiras de solucionar tal problema através da lubrificação, desenvolvendo para tanto métodos teóricos e/ou experimentais. E foi desta forma que os ingleses Tower e Reynolds, e o russo Petrov obtiveram sucesso. Embora trabalhando separadamente e de maneira independente, eles resolveram os problemas fundamentais da lubrificação hidrodinâmica, equacionando o comportamento do filme de óleo existente entre as partes móveis e fixas das máquinas, surgindo assim um novo ramo de estudo na Engenharia conhecido hoje como Tribologia.
Tower (1883, 1885) iniciou sua pesquisa, analisando a influência do comportamento dinâmico dos mancais sobre as máquinas rotativas. No qual foi constatado, que um rotor é sustentado pelo filme de óleo quando submetido corretamente em movimento de rotação. Nesse mesmo período, Reynolds (1886) determinou a equação diferencial que representa o perfil de pressões entre duas superfícies em movimento, devido à variação da pressão interna no filme de fluido existente entre essas duas superfícies. Vale ressaltar, que a equação diferencial sugerida por Reynolds, foi obtida a partir de algumas simplificações nas equações de Navier-Stokes.
O trabalho desenvolvido por Reynolds em 1886, foi de fundamental importância para Petrov (1883) e Tower (1883, 1885), pois veio confirmar teoricamente seus resultados experimentais e explicar os fenômenos observados na lubrificação hidrodinâmica, que até então eram desconhecidos. A publicação desta equação é considerada um divisor de água no estudo dos mancais hidrodinâmicos.
A equação diferencial desenvolvida por Reynolds é do tipo parcial não homogênea, com coeficientes variáveis e de complexa solução analítica. Esta equação representa matematicamente o desenvolvimento da pressão interna nas direções circunferencial e axial do mancal. Durante muito tempo, a grande limitação existente para a obtenção da solução da equação de Reynolds, era o desconhecimento das condições de contorno necessárias para sua integração. Essas condições de contorno são diretamente relacionadas ao conhecimento da pressão do filme de óleo nas extremidades do mancal.
Reynolds introduziu muitos conceitos novos para o nível de conhecimento dos pesquisadores da época, abrangendo ainda mais o campo de pesquisa. Entre esses novos conceitos estava a folga radial, a relação com o fenômeno de cavitação nas partes divergentes dos mancais, e o próprio conceito de mancais infinitamente longos, que
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possibilita desprezar na formulação o termo referente ao fluxo do lubrificante e os gradientes de pressão na direção axial.
No início do século 20, Sommerfeld (1904) publicou uma solução analítica para a equação de Reynolds, aplicados a mancais longos. Esta solução foi obtida integrando a Equação de Reynolds a partir de novas condições de contorno, considerando para tanto a inexistência de perdas de óleos na extremidade do mancal. Desta forma, foi obtida a equação do perfil de pressão em função de parâmetros específicos, como por exemplo, posição angular, folga radial, razão de excentricidade, velocidade da superfície e viscosidade do fluido.
Embora já existisse uma solução para o mancal longo, a aplicação desses mancais apresentava ainda algumas restrições. Entre essas, destacam-se a possibilidade de redução da folga radial a zero, devido à ocorrência de pequenas deflexões do eixo ou também desalinhamentos. Com isso, houve a necessidade de estudar e analisar o comportamento hidrodinâmico em mancais curtos. Desta forma, Ocvirk (1952) propôs uma solução da equação de Reynolds para aplicação em mancais curtos, no qual é considerado o termo de perdas nas extremidades. Essa solução negligencia o termo que leva em conta o fluxo circunferencial do mancal, por considerar o mesmo pequeno quando comparado ao fluxo na direção axial do eixo (fluxo de perda).
Com o auxílio dos computadores modernos, Pinkus (1956) aplicou o método de diferenças finitas na modelagem das pressões de sustentação, o que possibilitou obter resultados da solução da Equação de Reynolds para mancais hidrodinâmicos elípticos. Três anos mais tarde, Pinkus (1959) publicou resultados obtidos de mancais trilobados, a partir de seu método de solução.
A contribuição mais relevante desses trabalhos realizados por Pinkus é a aplicação de soluções numéricas para determinação da distribuição de pressão e das forças hidrodinâmicas, possibilitando a realização de soluções para problemas mais generalizados de mancais hidrodinâmicos. Desta forma, pode-se afirmar que Pinkus introduziu uma nova vertente no estudo da lubrificação hidrodinâmica. Vale ressaltar que, após os trabalhos publicados por Pinkus (1956, 1959), os métodos numéricos tornaram-se amplamente utilizados na análise de mancais hidrodinâmicos, devido à facilidade de aplicação e pela capacidade de solucionar casos mais gerais.
Com o passar do tempo, a idéia introduzida por Pinkus, de aplicar métodos numéricos na análise de mancais hidrodinâmicos, passou a ser expandida, permitindo avaliar outros efeitos de interesse nos mancais além da distribuição de pressão e forças hidrodinâmicas. Diante disso, começaram a analisar os efeitos térmicos nos mancais, através de análises termohidrodinâmicas (THD).
A necessidade em realizar estudos para investigar os efeitos térmicos em lubrificação surgiu devido à forte dependência entre a viscosidade do lubrificante e a temperatura. Por esse motivo, Ferron, Frene e Boncompain (1983) estudaram o problema da temperatura em um mancal de comprimento finito. As análises realizadas levaram em conta a transferência de calor entre o filme de óleo, a bucha e o eixo, considerando a cavitação e a recirculação do lubrificante. A distribuição de pressão e o campo de temperatura foram obtidos através da solução numérica da equação de Reynolds e da equação da energia pelo método das diferenças finitas. Os resultados obtidos através das simulações computacionais foram comparados aos resultados experimentais, apresentado uma boa coerência entre eles. A partir dos resultados obtidos, é possível verificar que quando considerado os efeitos térmicos no mancal, a viscosidade do fluido diminui devido
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o aumento da temperatura, o que resulta em uma diminuição da força de sustentação. Por fim, concluiu-se ainda que um melhor conhecimento das constantes térmicas e dos coeficientes de convecção dos materiais possibilitaria uma melhor precisão e coerência entre os resultados.
As análises termohidrodinâmicas em mancais forneceram resultados significativos, que intensificou ainda mais a importância em estudar a distribuição da temperatura em mancais hidrodinâmicos. Os métodos aplicados nessas análises são robustos e eficientes, entretanto exigem um tempo computacional considerável, por basear-se na solução numérica completa da equação de energia na forma tridimensional, acoplada com a equação de transferência de calor. Dentro desse contexto, e visando acelerar a obtenção de resultados, Lund e Hansen (1984) propuseram um novo método para analisar as condições de temperatura em mancais. A diferença básica do método proposto é a aproximação do perfil de temperatura, através da espessura de filme, por um polinômio de quarta ordem, enquanto a variação da temperatura circunferencial é expressa em termos da expansão em séries de Fourier. Essas considerações simplificam a solução da equação de energia, juntamente com a equação de transferência de calor, o que possibilita a obtenção na forma fechada, resultando assim em um método mais rápido em termos de tempo computacional. Na primeira parte desse trabalho, Lund e Hansen (1984) apresentam a metodologia desenvolvida e mostram os resultados obtidos nas simulações computacionais. Esses resultados foram comparados com os resultados obtidos através da solução da equação da energia na forma tridimensional. Com isso, verificou-se que o método aproximado apresentou discrepâncias significativas no perfil de temperatura do filme de óleo. Entretanto, verificou-se também que a discrepância era reduzida quando aumentava a taxa de convergência da expansão em séries de Fourier.
Na segunda parte do trabalho, Lund e Tonnesen (1984) realizaram uma comparação entre os resultados obtidos pelo método simplificado e os resultados experimentais, concluindo que há certa coerência entre as distribuições de pressão, temperatura de operação e capacidade de carregamento. Em contra partida, observou-se discrepâncias significativas entre os valores de lócus do mancal. Por esse motivo, conclui-se que o método desenvolvido é simples, rápido em termos computacionais e, embora aproximado, é capaz de descrever as principais características do comportamento termohidrodinâmico em mancais, porém não substitui análise detalhada obtida através da solução completa da equação de energia, juntamente com a equação de transferência de calor.
Apesar da desvantagem do alto “custo” computacional, houve uma tendência em realizar os estudos e análises em lubrificação termohidrodinâmica através da solução numérica da equação de energia, acoplada a equação de transferência de calor, na forma tridimensional. Essa tendência ocorreu basicamente devido a dois motivos: a precisão dos resultados obtidos através desse método e por acreditar que no futuro, com o desenvolvimento de novos computadores e o aprimoramento dos métodos computacionais, o problema do tempo computacional seria minimizado. Desta forma, Boncompain, Fillon e Frene (1986) realizaram novas análises termohidrodinâmicas em mancais, aprimorando a forma de resolução e adicionando novos efeitos, como o escoamento reverso na entrada do lubrificante e a recirculação do fluxo de calor ao longo da zona inativa (região cujo gradiente de pressão é nula). Os métodos de diferenças finitas e Gauss-Seidel foram aplicados para solucionar as equações diferenciais envolvidas nesse trabalho. Para resolução, inicialmente determinam-se as viscosidades do fluido em cada ponto, a partir de um campo de temperatura inicial. Em seguida, calcula-se a distribuição de pressão e a
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velocidade do fluido em todos os pontos. Finalmente, é solucionada simultaneamente a equação de energia e a de transferência de calor, obtendo-se um novo campo de temperatura. Esse processo de solução iterativo é realizado sucessivamente até atingir uma diferença pontual inferior a 0,1 %. Os resultados obtidos nesse trabalho foram comparados com resultados experimentais, obtendo uma boa coerência. A partir desses resultados verificou-se que a região de alta temperatura ocorre próximo da mínima espessura de filme, onde ocorre o maior atrito viscoso do fluido com o eixo. Além disso, foi possível verificar que a variação de temperatura axial é muito pequena, podendo ser negligenciada. Outro aspecto relevante é a ocorrência de discrepâncias significativas entre os resultados calculados e os resultados experimentais, quando não considerado as deformações térmicas no eixo e na bucha. Devido esses resultados, foi possível validar a eficiência do método na análise do comportamento termohidrodinâmico, quando considerado as deformações térmicas no eixo e na bucha.
De forma similar, Rajalingham e Prabhu (1987) também investigaram a influência da temperatura em mancais hidrodinâmicos. Entretanto, Rajalingham e Prabhu enfatizaram a importância dos efeitos térmicos nas características do mancal, ressaltando os erros envolvidos na estimação da temperatura efetiva do filme lubrificante, através da teoria de mancal isoviscoso. As análises mostraram que, para um dado carregamento e velocidade, a dependência da viscosidade à temperatura aumenta a razão de excentricidade e a taxa de escoamento, sendo que, em contra partida, reduz o ângulo de atitude e o atrito viscoso no mancal.
No início da década de 90, Han e Paranjpe (1990) realizaram uma análise termohidrodinâmica para avaliar o desempenho de mancais hidrodinâmicos. Entretanto, diferentemente dos trabalhos anteriores, foi utilizado o método dos volumes finitos para a resolução das equações envolvidas no problema. Segundo Han e Paranjpe, o método dos volumes finitos, facilita a implementação das equações e permite obter resultados mais precisos e estáveis divido ser baseado na equação da continuidade. De acordo com os resultados obtidos, pode-se verificar que a pressão de alimentação e a configuração da ranhura de alimentação influenciam a distribuição de temperatura no mancal, afetando consideravelmente a capacidade de carga e a perda de pressão. Além disso, observou-se que a escolha das condições de contorno de temperatura influencia fortemente a solução, por isso deve-se tomar um cuidado especial nessa estimação, especificando valores realísticos. Em relação à validação das análises isotérmicas, Han e Paranjpe concluíram que, em muitos casos, quando realizada uma análise isotérmica, com viscosidade avaliada na temperatura média de saída do fluido, obtida através de uma análise termohidrodinâmica, os resultados obtidos são bem coerentes com os resultados determinados na análise termohidrodinâmica. Entretanto, a grande dificuldade em usar a análise isotérmica está em estimar uma temperatura média de saída do fluido. Por fim, Han e Paranjpe afirmam a importância em realizar a análise termohidrodinâmica utilizando o método dos volumes finitos, destacando a facilidade em averiguar diversos casos, incluindo efeitos de fluxo reverso, cavitação e recirculação.
Sendo assim, eles utilizando condições de eixo isotérmico e mancal adiabático obtiveram o seguinte resultado para a distribuição de temperatura:
8
Figura 2.1 – Distribuição de temperatura.
O resultado anterior será a base da validação do modelo implementado no PHOENICS.
Fitzgerald e Neal (1992) investigaram a distribuição de temperatura e transferência de calor em mancais hidrodinâmicos, considerando como parâmetros de análise a folga radial, a largura do mancal e o carregamento aplicado. O objetivo deste trabalho foi avaliar a influência destes parâmetros na distribuição de temperatura e na transferência de calor. Por esse motivo, foi realizada uma série de testes experimentais em mancais hidrodinâmicos, o que permitiu obter um banco de resultados sobre o comportamento térmico em mancais. De acordo com os resultados obtidos foi possível concluir que o uso de pequenas folgas radiais gera grandes transferências de calor, pois menor é a distancia entre o eixo e a bucha, resultando também em uma distribuição de temperatura mais elevada. Em relação à largura do mancal, verificou-se que quanto maior a largura do mancal, maior é a transferência de calor, pois maior é a área de transferência. Todavia, devido ao maior tamanho dessa área de transferência, ocorre uma melhor distribuição da temperatura, resultando em picos de temperaturas menos significativos. Por fim, verificou-se também que a transferência de calor e a potência perdida no mancal são diretamente proporcionais ao carregamento aplicado.
Neste período, apesar do grande conhecimento em relação às condições termohidrodinâmicas em mancais sob regime permanente, o comportamento termohidrodinâmico em mancais em regime transiente ainda era incerto. Devido à necessidade em conhecer as distribuições térmicas nos mancais, antes de atingir a condição de equilíbrio, Paranjpe e Han (1995) analisaram as condições termohidrodinâmicas em mancais durante o regime transiente. Essa análise sob regime transiente foi realizada considerando um carregamento dinâmico no mancal (carregamento senoidal). Desta forma, diferentemente das análises anteriores, para cada instante de tempo, obtém-se um novo balanço de força que resultará uma nova excentricidade, assim, depois de conhecida a posição do eixo no mancal, realiza-se a avaliação termohidrodinâmica no mesmo. Os resultados obtidos nesse trabalho permitiram concluir que a bucha e o apoio agem como reservatórios de calor, absorvendo e liberando uma grande fração do calor total gerado (acima de 40%), sendo que apenas uma pequena fração (10%) do calor total gerado é
9
transmitida às bordas. Além disso, pode-se verificar também que a temperatura no filme de óleo varia consideravelmente no tempo.
A seguir será apresentado algumas características dos mancais hidrodinâmicos, dando ênfase no mancal cilíndrico radial. II.I - MANCAIS HIDRODINÂMICOS Os mancais radiais são usados para suportar eixos e para sustentar carga radial com o mínimo de perda de carga e atrito. Eles podem ser representados por superfícies curvas (cilíndrica, elíptica ou multilobulares) alojando em seu interior o eixo. O lubrificante é suprido em algum ponto conveniente do mancal através de rasgos ou furos. Mancais radiais são dependentes do movimento do eixo para gerar pressões no filme de fluido que suportem a carga aplicada. A geometria mais comum para um mancal radial é mostrada na Figura 2.2. O eixo, normalmente, não gira concêntrico com o mancal. O deslocamento do centro do eixo relativo ao centro do mancal é conhecido como excentricidade. A posição de excentricidade do eixo assim como a folga do mancal são influenciadas pela carga que esta sendo suportada. A excentricidade é auto-ajustada até que a carga seja balanceada pela pressão gerada no filme de fluido convergente. A pressão gerada e posteriormente a capacidade de suportar cargas, geralmente dependem da excentricidade do eixo, da velocidade angular, do efeito de viscosidade do lubrificante, e das dimensões do mancal e sua folga.
Figura 2.2: Mancal Radial Hidrodinâmico. II.II - SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE REYNOLDS PARA MANCAIS
Vamos considerar a Figura 2.3, no qual, um eixo cilíndrico de raio R gira a uma velocidade angular absoluta Ω no interior de um mancal cilíndrico com raio fR + e largura
L na direção axial. As coordenadas do centro C do eixo são dadas por cx e cy em um
sistema inercial com origem no centro do mancal sendo este designado por O . Como visto anteriormente a distância entre o centro do eixo e o centro do mancal é a excentricidade, e
10
será definida aqui pela letra e . Será também definida uma coordenada θ, que mede o ângulo a partir da posição de espessura de filme máxima, localizada sobre a extensão da
linha CO que corta a superfície do mancal no ponto B . Considerando um ponto qualquer,
D , no mancal, observa-se que o ângulo DCB ˆ é igual a θ e possui vértice em C .
Figura 2.3: Geometria do Mancal Radial
A linha CD corta a superfície do eixo em A e o segmento AD é igual a ( )θh que nada mais é do que a espessura do filme de fluido. Para determiná-la, deve-se aplicar a lei dos
cossenos no triângulo DOC ˆ . Então:
( ) ( ) ( ) θcos2222⋅+⋅⋅−++=+ hRehRefR (2.1).
Rearranjando: θθ cos2cos222 22222 ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−+⋅⋅++=+⋅⋅+ heRehhRReffRR .
Desprezando os termos de segunda ordem, temos: ( )θεθ cos1cos +⋅=⋅+= fefh (2.2),
no qual f
e=ε é a razão de excentricidade. Note que 10 ≤≤ ε .
A aproximação da solução de Reynolds para mancais radiais podem se dar de duas formas: quando o mancal é considerado infinitamente longo, e quando o mancal é considerado curto.
II.III - SOLUÇÃO PARA MANCAL INFINITAMENTE LONGO
A equação
x
hu
y
ph
yx
ph
x ∂
∂⋅⋅⋅=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂η12³³ ,
não apresenta uma solução de forma analítica, mas pode ser resolvida por métodos numéricos. Raymondi e Boyd, em 1958, desenvolveram um grande número de cartas para estas aplicações, para mancais de comprimento finito.
11
Reynolds resolveu uma versão simplificada na forma de séries, em 1886, assumindo o mancal infinitamente longo na direção axial, o que torna o fluxo em tal direção praticamente nulo e a distribuição de pressão constante. Assim, pode-se assumir que
0=∂
∂
z
p. Com essa simplificação, a equação de Reynolds torna-se:
x
hu
x
ph
x ∂
∂⋅⋅⋅=
∂
∂⋅
∂
∂η6³ (2.3).
Note que na equação acima o termo _
12 u⋅ foi substituído por u⋅6 , isso acontece, pois,
2ba uu
u+
= , sendo bu a velocidade da parede do mancal que é igual a zero. Por
simplificação, o subindice que diz respeito à velocidade do eixo não foi adotado. Em 1904, A. Sommerfeld encontrou uma solução fechada para o mancal infinitamente longo. Pode chegar a sua solução seguindo o caminho a seguir. Integrando a equação (2.3) acima com respeito à x:
32
61
h
C
h
u
x
p
⋅+
⋅=
∂
∂⋅
ρη (2.4).
Fazendo uso das condições de contorno que são:
0=∂
∂
x
p quando
mxx = , mρρ = ,
mhh = ,
sendo que o subindice m representa as condições quando 0=∂
∂
x
p. Assim, a constante de
integração pode ser escrita como:
mm huC ⋅⋅⋅−= ρ6 .
Substituindo na equação da integral temos:
36
h
hhu
x
p mm
⋅
⋅−⋅⋅⋅⋅=
∂
∂
ρ
ρρη .
Considerando a densidade constante, a equação acima pode ser escrita como:
36
h
hhu
x
p m−⋅⋅⋅=
∂
∂η (2.5).
Agora, sendo o eixo cilíndrico de raio er e girando a uma velocidade angular ω e um
mancal também cilíndrico, temos: ω⋅= eru e θdrdx e ⋅= .
Substituindo essas considerações na equação (2.5):
3
26h
hhr
d
dp m
e
−⋅⋅= ωη
θ (2.6).
Introduzindo a seguir a equação (2.2) na equação (2.6) obtêm-se:
( ) ( )
⋅+⋅−
⋅+⋅
⋅⋅⋅=
32
2
cos1cos1
16
θεθεωη
θ f
h
f
r
d
dp me (2.7).
Para ser obtida a distribuição de pressão deve-se integrar a equação (2.7). Assim:
12
( ) ( )Cd
f
h
f
rp me +⋅
⋅+⋅−
⋅+
⋅⋅⋅= ∫ θ
θεθεωη
32
2
cos1cos1
16 (2.8).
O procedimento para avaliar integrais do tipo
( )∫
⋅+n
d
θε
θ
cos1,
é a introdução de uma nova variável
=
2tan
φγ . Com esse procedimento a pressão pode
ser avaliada, mas a expressão não particularmente útil, devido à dificuldade de se obter os componentes de carregamento de uma próxima integração.
Sommerfeld em 1904 superou essa dificuldade usando a seguinte substituição:
γε
εθε
cos1
1cos1
2
⋅−
−=⋅+ (2.9).
Essa relação é conhecida como substituição de Sommerfeld, e γ é conhecida como variável de Sommerfeld.
Fazendo o uso da substituição de Sommerfeld, das condições de contorno adequadas e após algumas manipulações algébricas, pode-se verificar a solução para a distribuição de pressão em um mancal radial infinitamente longo como:
( )
( ) ( )22
2
0cos12
cos2sin6
θεε
θεθεωη
⋅+⋅+
⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=−f
r
pp
e
(2.10),
sendo 0p a pressão no ponto de máxima espessura do filme de fluido.
Se p for calculado por essa equação quando θ varia de zero a π2 , serão obtidas pressões negativas de π a π2 com magnitudes iguais às pressões positivas (zero a π ). Dado que o fluido não consegue suportar grandes pressões negativas sem cavitar, a equação é geralmente avaliada no intervalo de pressões positivas, e é pressuposto que a pressão seja
0p na outra metade da circunferência. Esse fato recebe o nome de meia solução de
Sommerfeld. Sendo assim a distribuição de pressão é:
( )
( ) ( ) 022
2
cos12
cos2sin6
pf
r
p
e
+⋅+⋅+
⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=θεε
θεθεωη
para πθ <<0
e (2.11).
0pp = para πθπ 2<<
II.IV - SOLUÇÃO PARA MANCAL CURTO
Os mancais longos não são usados com freqüência em máquinas modernas por diversas razões. Pequenas deflexões no eixo ou deslizamentos podem reduzir a folga radial a zero em um mancal longo.
13
Mancais que possuem dimensão na direção axial bem menor que na direção radial (Figura 2.4) são considerados curtos. Assim sendo, o pico de pressão desloca-se mais rapidamente para a pressão ambiente na direção axial do que na direção radial. Portanto,
como o gradiente de pressão z
p
∂
∂é muito maior que o gradiente de pressão
x
p
∂
∂, o primeiro
termo do lado esquerdo da equação de Reynolds pode ser desprezado. Se for considerada somente carga estática então o movimento na direção vertical será nulo assim como sua velocidade, assim:
x
hu
z
ph
z ∂
∂⋅⋅⋅=
∂
∂
∂
∂η6³ (2.12).
no qual, novamente, o termo _
12 u⋅ foi substituído por u⋅6 devido aos mesmos motivos.
Figura 2.4: Mancal Curto
A solução para mancais curtos foi apresentada em 1953 por DuBois e Ocvirk. Como
h é apenas função de x, a equação (2.12) transforma-se:
dx
dh
h
u
z
pd⋅
⋅⋅=
∂ 32
2 6 η (2.13).
Integrando em z, encontra-se:
13
6Cz
dx
dh
h
u
z
p+⋅⋅
⋅⋅=
∂
∂ η.
Integrando uma segunda vez:
21
2
3 2
6CzC
z
dx
dh
h
up +⋅+⋅⋅
⋅⋅=
η.
14
sendo 1C e 2C constantes de integração. Considerando a origem do sistema de coordenadas na metade da largura L , temos:
0== atmopp , para 2
Lz = e
2
Lz −= .
Assim podemos obter o valor das constantes: 01 =C .
8
6 2
32
L
dx
dh
h
uC ⋅⋅
⋅⋅−=
η.
Portanto a distribuição de pressão pode ser escrita como:
−
⋅⋅=
4
3 22
3
Lz
dx
dh
h
up
η (2.14).
A primeira integração da equação (2.13) mostra que se 0=dx
dh, a pressão será nula, ou seja,
que não haverá capacidade de sustentação de carga no mancal. Para um mancal radial é possível obter a distribuição de pressão de acordo com suas
características geométricas. Seja θ⋅= erx e pela regra da cadeia tem-se:
dx
d
d
dh
dx
dh θ
θ⋅= .
Aplicando na equação (2.2):
θε senfdx
dh⋅⋅−= .
Sabendo que erdx
d 1=
θ e inserindo na expressão acima:
er
senf
dx
dh θε ⋅⋅−= .
Portanto, a distribuição de pressão para o mancal radial curto é:
( ) atm
e
pL
zfr
senup +
−⋅
+⋅⋅
⋅⋅−=
4cos1
3 22
32 θε
θη (2.15).
Todos os termos da equação (2.15) são positivos, exceto θsen , que é positivo no intervalo de zero a PI e negativo no intervalo de PI a dois PI. Como o líquido não pode suportar pressão negativa, forma-se uma região de vapor oriundo do óleo, que é a cavitação.
A pressão de vapor nunca cai abaixo da pressão de vapor do lubrificante. Na maioria das vezes, a pressão da região sujeita à cavitação é constante e é denotada por
cavitaçãop , sendo seu valor aproximadamente igual a zero. Na solução da Equação de
Reynolds, a qualquer pressão negativa tem seu valor substituído pela pressão de cavitação ( cavitaçãop ). Então:
( )
−⋅
+⋅⋅
⋅⋅−=
4cos1
3 22
32
Lz
fr
senup
e θε
θη para πθ <<0
15
e (2.16). 0=p para πθπ 2<<
Na figura abaixo se pode observar o perfil da distribuição de pressão ao redor do eixo.
Figura 2.5: Distribuição de Pressão no Mancal Radial
II.V - FORÇAS NO EIXO As forças calculadas no sistema de coordenadas móvel ao longo da circunferência do eixo são chamadas de forças radiais rF , direção da mínima espessura de filme, e força
tangencial tF perpendicular à rF . Essas forças podem ser calculadas também no sistema
fixo, no entanto, recebem outra denominação: xF e yF . Pode-se ver essas forças na figura
abaixo.
16
Figura 2.6: Forças sobre o Eixo
As forças hidrodinâmicas sobre o eixo são:
∫ ∫− ⋅⋅⋅⋅=π
θθ0
2
2
cosB
B er drdzpF (2.17);
∫ ∫− ⋅⋅⋅⋅=π
θθ0
2
2
B
B et drdzsenpF (2.18).
Substituindo a equação (2.15) nas equações (2.17) e (2.18), temos:
( )
⋅
⋅+
⋅⋅⋅⋅
⋅
−⋅
⋅⋅−= ∫∫−
π
θθε
θθωε
η0 3
2
2
22
2 cos1
cos
4
3d
sendz
Lz
f
rF
L
Le
r (2.19);
( )
⋅
⋅+⋅⋅⋅
⋅
−
⋅
⋅−= ∫∫−
πθ
θε
θωε
η0 3
22
2
22
2 cos142d
sendz
Lz
f
rF
L
Le
t (2.20).
As segundas integrais que se encontram do lado direito da equação anterior foram avaliados por Sommerfeld e são da forma:
( ) ( )220 31
2
cos1
cos
ε
εθ
θε
θθπ
−
⋅−=⋅
⋅+
⋅∫ d
sen (2.21a);
( )( )
( )2
32
2
0 3
2
12
21
cos1 ε
επθ
θε
θπ
−⋅
⋅+⋅=⋅
⋅+∫ d
sen (2.21b).
Inserindo as equações (2.21) nas equações (2.19) e (2.20) e fazendo algumas manipulações matemáticas, temos:
( )22
2
2
3
1 ε
εωη
−⋅
⋅⋅⋅−=
f
LrF e
r (2.22);
17
( )2
32
2
3
14 ε
επωη
−⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅=
f
LrF e
t (2.23).
As forças rF e tF podem ser relacionadas com as forças externas aplicadas, como o
peso, força devido a acoplamentos e/ou engrenamentos, como em casos de multiplicadores ou redutores de velocidade, ou empuxo radial do vapor no caso de turbinas.
É importante lembrar que essa análise e feito com o sistema mecânico em equilíbrio. Consideraremos a carga externa W aplicada na direção vertical para baixo. Observando a Figura 2.6, temos que:
φcos⋅= WFr (2.24a);
φsenWFt ⋅= (2.24b).
Introduzindo as expressões (2.22) e (2.23) nas expressões (2.24) e isolando W e φ , têm-se:
( )( ) 222
222
3
16114
εεπε
εωη⋅+−⋅⋅
−⋅
⋅
⋅⋅⋅=
f
LrW e (2.25);
ε
επφ
21
4tan
−⋅= (2.26).
Adotando a condição de carga estática, o centro do eixo se encontra no ponto do espaço dado pela excentricidade e pelo ângulo de atitude φ . Sendo assim, se a carga externa for estacionaria a posição do eixo também não mudará. Em uma máquina real, haverá variações da carga externa, ou efeitos internos como o desbalanceamento. Usualmente estas cargas são pequenas comparadas com a carga estática, de modo que o eixo move-se em uma pequena órbita em torno da posição de equilíbrio.
Rearranjando a equação (2.15):
( )( ) 222
222
2161
14
εεπε
εωη
⋅+−⋅
−⋅⋅
=
⋅
⋅⋅⋅
L
r
r
fW
Lr e
e
e
(2.27).
Note que do lado esquerdo da equação aparece o parâmetro adimensional conhecido como número de Sommerfeld S , que apresenta as características geométricas e operacionais do mancal.
O ângulo de atitude também pode ser obtido como função da razão de excentricidade ε. Pode ver que a posição de equilíbrio do eixo segue um semicírculo como mostrado na Figura 2.7. Assim, quando a velocidade é zero, o centro do eixo está na posição mais baixa sendo a razão de excentricidade igual a um e o ângulo de atitude igual a zero. Conforme vai se aumentando a velocidade, o centro do eixo tende a se deslocar aproximando-se do centro do mancal, no qual a excentricidade equivale a zero e o ângulo de atitude equivale a 90°.
18
Figura 2.7: Lugar Geométrico da Posição de Equilíbrio do Eixo
II.VI - LUBRIFICAÇÃO TERMOHIDRODINÂMICA EM MANCAIS A forma isoviscosa da equação de Reynolds é comumente usada como base para analise de desempenho de mancais. Como o desempenho de tais elementos de máquina é fortemente dependente da lubrificação viscosa, e como a viscosidade de lubrificantes comuns é função da temperatura, os resultados da teoria clássica podem ser utilizados somente em casos em que o aumento da temperatura do lubrificante seja desprezível. Desta maneira, as considerações térmicas possuem um papel importante na análise e projeto de mancais. II.VII - TEMPERATURA E VISCOSIDADE A viscosidade de um líquido é devida quase que na totalidade por forças interatômicas. Conforme a temperatura vai aumentando o liquido se expande, as moléculas se separam e as forças intermoleculares decrescem como resultado, a viscosidade diminui. Exemplos de curvas que descrevem a dinâmica viscosidade-temperatura para óleos lubrificantes típicos são mostradas na Figura 2.8.
19
Figura 2.8: Viscosidade em função da temperatura para vários tipos de óleos lubrificantes.
É conveniente haver uma equação matemática que relacione viscosidade e temperatura. Inúmeras fórmulas empíricas têm sido propostas com esse propósito. Nenhuma dessas equações empíricas é universalmente aplicável, mas certa equação que é simples e possui precisão razoável para lubrificantes líquidos é:
20
T
BA +=ηlog (2.28).
onde A e B são constantes e T é a temperatura absoluta. A variação da viscosidade com a temperatura é uma característica muito importante de um lubrificante. Para óleos lubrificantes a índice de viscosidade (V.I) se tornou de uso comum e fornece uma indicação aproximada dos efeitos da temperatura na viscosidade cinemática (que nada mais é do que a viscosidade absoluta dividido pela densidade). A classificação do índice de viscosidade foi proposta por Dean e Davies em 1929 e era baseada em duas séries de óleos padrão. Os óleos padrão escolhidos foram os óleos da Pensilvânia e da Costa do Golfo. Os óleos da Costa do Golfo eram aqueles que possuíam maior variação da viscosidade com a temperatura e foram associados com o índice 0, enquanto que os óleos da Pensilvânia eram os que possuíam menor variação e foram associados com o índice 100. Com isso, qualquer outro óleo deveria possuir um V.I entre 0 e 100. O índice de viscosidade é baseado numa escala arbitrária e muitas anomalias podem acontecer em seu uso. Ele tem a vantagem de ser simples, mas devido a suas deficiências ele só pode ser usado como uma indicação da taxa de variação da viscosidade com a temperatura. Hoje em dia, com o refinamento melhorado, o uso de aditivos e lubrificantes sintéticos, valores fora da faixa do índice podem ser encontrados. A maioria dos óleos lubrificantes comerciais apresenta índice na região próxima aos 100, enquanto óleos de motores automobilísticos apresentam índice próximo de 160, devido às altas faixas de temperatura no qual devem operar. Um grande volume de trabalhos foi dedicado a relação viscosidade-temperatura de produtos de petróleo e agora é possível determinar com razoável precisão a viscosidade cinemática de um produto a qualquer temperatura sabendo somente sua viscosidade a duas temperaturas diferentes. Dois métodos gráficos foram desenvolvidos com esse propósito, conhecidos como método ASTM e método Refutas. Ambos são baseados na equação de Walther:
( ) Tcba 101010 logloglog ⋅+=+ν (2.29).
onde a , b e c são constantes que dependem da constituição do óleo e ν é a viscosidade cinemática. II.VIII - RESOLUÇÃO DO PROBLEMA TERMOHIDRODINÂMICO A solução teórica de problemas reais requer a determinação do campo de pressão assim como a determinação da variação da temperatura no filme de lubrificante. Para isso, primeiramente, assume-se o campo de temperatura constante no sistema e resolve-se a equação de Reynolds dada pela equação
x
hr
z
ph
zx
ph
xe
∂
∂⋅⋅⋅=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂ω
ηη6
³³ (2.30).
Essa equação determina o campo de pressão hidrodinâmica atuante, e a partir da integração dessa pressão encontram-se as forças hidrodinâmicas. Após inclui-se a teoria termohidrodinâmica, ou seja, o estudo das características do mancal considerando a variação da temperatura. Inicialmente, determina-se o campo de
21
velocidade do fluido, u , v e w , e suas derivadas que serão utilizadas posteriormente na equação da energia. As velocidades u e w são dadas pelas equações:
x
pyhy
h
yru e
∂
∂⋅
⋅
−⋅−⋅⋅=
ηω
2 (2.31);
y
pyhyw
∂
∂⋅
⋅
−⋅−=
η2 (2.32).
Para encontrar a velocidade v basta substituir as velocidades anteriores na equação da continuidade. Com isso obtêm-se:
−⋅
⋅⋅+⋅⋅
∂
∂=
h
y
h
yru
h
y
x
hv e 1
2
ω (2.33),
no qual é assumido 0=∂
∂
z
h.
A seguir, resolve-se a equação da energia para o fluido. A equação da energia dada pela equação:
( ) Φ⋅+⋅⋅++∇⋅=⋅⋅ ηβρDt
DpTqTkdiv
Dt
DTCp '''
pode ser simplificada. Primeiramente como a densidade do fluido é considerada constante o termo β é igual a zero. Também são considerados constantes o calor específico Cp e a condutividade térmica k . Qualquer condução de calor através da coordenada axial não foi considerada, isso porque tal condução é considerada pequena em comparação as outras,
sendo a condução através do filme a maior. Com isso temos que 02
2
=∂
∂
z
T. Na maioria dos
mancais radiais o fluxo de cisalhamento é dominante e a variação de temperatura na direção
z pode ser ignorada por ser pequena, ou seja, 0=∂
∂
z
T. Assim, a equação da energia é dada
pela seguinte expressão:
Φ⋅+
∂
∂+
∂
∂⋅=
∂
∂⋅+
∂
∂⋅⋅⋅ µρ
2
2
2
2
y
T
x
Tk
y
Tv
x
TuCp (2.34);
222222
3
22
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂⋅−
∂
∂+
∂
∂⋅=Φ
x
w
y
w
x
v
y
u
y
v
x
u
y
v
x
u (2.35).
Conhecido o campo de temperatura, determina-se o campo de viscosidade no sistema e suas derivadas que serão utilizadas na equação de Reynolds. Como relação para a viscosidade em função da temperatura foi utilizada a seguinte equação:
( ) )exp( 21 pCTTC ii ⋅+−⋅−⋅= ηη (2.36),
onde ms
Kgi 03.0=η , 12
1 10448.1 −−×= CC ο , =iT temperatura de referencia em °C, e
N
mC
216
2 10448.1 −×= são constantes e p é a pressão.
22
Essa seqüência é repetida até que se alcance o regime permanente, que se dá quando a diferença entre a temperatura em um ponto entre duas passagens consecutivas seja menor que o erro estipulado. No entanto essa solução é muito difícil para se obter analiticamente, por isso, é necessária a introdução de métodos numéricos. Um dos métodos mais utilizados é o da diferenças finitas, que pode ser empregada computacionalmente, gerando resultados condizentes com as condições observadas em experimentos práticos. II.IX - APLICAÇÃO NO PHOENICS Pretende-se avaliar o comportamento explicado anteriormente através do software PHOENICS, onde as condições serão modeladas da maneira mais conveniente para as seguintes análises dos resultados. Para a verificação desses resultados obtidos, será utilizado um software não comercial de diferenças finitas, desenvolvido especificamente para a análise termohidrodinâmica de mancais. As opções mais práticas para a modelagem deste problema no PHOENICS são duas: a aplicação de uma malha BFC (body-fitted coordinates) na configuração real de um mancal, ou a simplificação do dispositivo e utilização da malha cartesiana. Como a primeira opção, apesar de simular melhor a situação observada na prática, requer conhecimentos avançados a respeito do PHOENICS, o grupo optou pela utilização da segunda alternativa proposta. Portanto, a simplificação será dada da seguinte maneira: serão modeladas duas superfícies, uma atuando como eixo e outra como o mancal, e entre elas estará presente o fluído de lubrificação, como representado esquematicamente através da Figura 2.9. O afastamento entre estas superfícies, assim como suas geometrias, será fundamental para representar a configuração real do mancal (excentricidade, desbalanceamento, forças de sustentação etc.).
Figura 2.9 – Simplificação do Mancal
E utilizando-se deste artifício, poderá ser aplicada uma malha cartesiana simples, permitindo que o grupo modele e execute análises a respeito do dispositivo em questão. Serão avaliadas questões relativas aos conceitos expostos anteriormente, principalmente em torno da questão térmica, e sua influência no desempenho do mancal.
23
Parte III: Implementação, Resultados e Analise. Para a simulação do mancal radial no PHOENICS, foi necessária a criação de uma geometria que o caracteriza-se. A melhor geometria para a análise é obtida quando é passado de sua forma tradicional para uma forma “aberta”, como se pode ver na figura abaixo:
Figura 3.1 – Forma do Mancal. No entanto, como o mancal é excêntrico, a placa móvel, que simboliza o eixo, não é paralela à placa fixa e o filme de lubrificante obedece à equação (2.2) repetida aqui por comodidade:
( )( )θcos1 ⋅+⋅= ecrCrh no qual h é a espessura do filme do óleo, Cr é a folga radial, ecr é a razão de excentricidade e θ é a posição circunferencial. Desta maneira temos um perfil para o filme de lubrificante que pode ser visto na Figura 3.2.
Figura 3.2 – Perfil do lubrificante no mancal.
Para efeito de comparação, foram criados 3 perfis. Os perfis um e dois serão comparados entre si para se verificar se as características do mancal hidrodinâmicas estão sendo satisteitas. O perfil 3 será comparado com a literatura para uma possível validação do modelo. Essa comparação se dará através da distribuição de temperatura obtido através do PHOENICS e a Figura 2.1.
24
Sendo assim, foi criado no software Pro-Engineering, uma superfície com as características da equação (2.2) para as configurações dos mancais. A configuração 1 tem as seguintes características: mr 2106.3 −⋅= , ml 2101.2 −⋅= , mCr 5106.3 −⋅= , 9.0=ecr . A configuração 2: mr
310180 −⋅= , ml31099 −⋅= , mCr
610135 −⋅= , 5.0=ecr . Por fim a configuração 3: mr 310125 −⋅= , ml 310200 −⋅= , mCr 61036 −⋅= , 75.0=ecr . Com essas características foi possível montar no PHOENICS os mancais. As geometrias e as malhas utilizadas podem ser visualizadas na Figura 3.3.
Figura 3.3a – Configuração 1
Figura 3.3b – Configuração 2
25
Figura 3.3c – Configuração 3.
As malhas adotadas possuem uma grande quantidade de volumes nas direções ‘X’ e ‘Y’ que dizem respeito ao plano das figuras acima, no qual ‘X’ é a direção horizontal e ‘Y’ a vertical. Foram escolhidas malhas mais refinadas nessas direções, pois é nelas que temos a maior variação de pressão, velocidade e temperatura. Como objetos, eixo e mancal, foram utilizados “blockages”, já que nessas regiões não há fluido. Sabe-se que o eixo possui uma velocidade de rotação, sendo assim facilmente descobre-se sua velocidade tangencial através de relações simples. Essa velocidade, 3 m/s na configuração 1, 10.2 m/s na configuração 2 e 6.25 m/s na configuração 3, foi colocada como atributo do eixo. Também, de acordo com Dowson, pesquisador de renome na área tribológica, devido a sua constante rotação, o eixo possui pequenas flutuações de temperatura, permitindo uma aproximação isotérmica para tal. Como o mancal é estacionário, sua velocidade é nula. Para o efeito térmico, Cameron propôs em 1951 que a maior parte do calor presente no fluido de trabalho é dissipado através do eixo, e Fitzgerald, em 1972, concluiu que a condução de calor através do mancal pode ser negligenciada sem sérios problemas de superestimação na predição da temperatura. Como condição de contorno nas superfícies HIGH e LOW foi utilizada PLATES, sendo sua superfície em contato com o ar e conseqüentemente, trocando calor com o mesmo por convecção. Essa suposição permite uma cavidade fechada do mancal evitando vazamentos de fluido. Nas superfícies WEST e EAST foram utilizadas a condição cíclica (XCICLE), uma vez que a malha é originalmente cilíndrica, sendo o ponto x+1 igual ao ponto 0. Para o domínio, foi utilizada propriedades de óleo lubrificante. Como essas não se encontravam nos dados do programa elas foram incluídas manualmente. Seus valores
26
foram: densidade 3859 mKg=ρ , calor específico CKgJCp o⋅= 2000 ,condutividade
térmica CmWk o⋅= 13.0 e viscosidades sPa ⋅⋅= −31 107.22µ sPa ⋅⋅= −3
2 1032.14µ e
sPa ⋅⋅= −33 103µ para as configurações um, dois e três respectivamente.
Foi incluído também um INFORM no grupo 9 mostrando a influência da viscosidade com a temperatura. Essa influência é dada através da equação (2.36) que será repetida a seguir:
( ) )exp( 21 pCTTC ii ⋅+−⋅−⋅= ηη
Com isso foi feita a simulação e encontrou-se os resultados a seguir.
Figura 3.4a – Distribuição de pressão no plano XY – Config. 1.
27
Figura 3.4b – Distribuição de pressão no plano XY – Config. 1.
Figura 3.4c – Distribuição de pressão no plano XY – Config. 2.
28
Figura 3.4d – Distribuição de pressão no plano XY – Config. 2.
29
Figura 3.5b – Distribuição de pressão no plano XZ – Config. 2
As Figuras 3.4 e 3.5 ilustram a distribuição de pressão no mancal. Pode notar que a pressão se encontra no centro do mancal. Essa solução está de acordo com a solução de Sommerfeld, que indica que a pressão máxima deve estar entre 0 e 180°, que corresponde ao centro do mancal, e depois a outra metade é simétrica com pressões negativas. Esse fenômeno pode ser observado na Figura 3.6. Essa situação de pressões negativas não existe fisicamente, já que nessa situação há a cavitação do óleo.
Figura 3.6 – Solução de Sommerfeld. A pressão nesse caso é admiensional.
30
As Figuras 3.7 dizem respeito às velocidades no fluido. Como era esperado, a região em contato com o eixo possui as maiores velocidades, a mesma velocidade que o eixo, e a região nas proximidades do mancal possui velocidade nula.
Figura 3.7a – Distribuição de velocidade- Config. 1.
31
Figura 3.7b – Distribuição de velocidade- Configuração 2.
Nas Figuras 3.8 vemos as velocidades U1, V1, e W1. As velocidades U1 são dadas para diferentes linhas de volumes na direção de y. Como o eixo não é paralelo ao mancal, temos que quando a malha atinge o eixo a velocidade do fluido é zero, já que não existe fluxo naquele local. As velocidades V1 e W1 apesar de sua geometria complexa podem ser consideradas zero, uma vez que a ordem de grandeza é pequena.
Figura 3.8d - Velocidades U1 – Configuração 2.
32
Figura 3.8e - Velocidade V1 – Configuração 2.
Figura 3.8f – Velocidade W1 – Configuração 2.
33
Figura 3.9a – Distribuição de temperatura – Configuração 1.
Figura 3.9b – Distribuição de temperatura – Configuração 2.
34
As Figuras 3.9 mostram a distribuição de temperatura no filme de lubrificante. O óleo aquece quando o eixo começa a girar. Nessa situação, as partículas de fluido que estão em contato com o eixo apresentam a mesma velocidade tangencial, e as partículas em contato com o mancal estão estáticas. Dessa maneira, existe movimento relativo entre os planos atômicos, cisalhamento, que rompem as ligações atômicas e liberam energia na forma de calor. Pode ser verificado que as maiores temperaturas se encontram na parede do mancal e as menores na superfície do eixo. Isso é causado pelas condições de contorno que consideram o eixo adiabático e o eixo isotérmico. Como esperado a maior temperatura é encontrada onde a espessura do filme é menor. Isso ocorre devido o cisalhamento ser inversamente proporcional a variação da espessura do filme. Consequentemente, para a mesma variação de velocidade, uma redução na espessura resulta em aumento do cisalhamento nessa região.
Sabe-se que a resistência viscosa do fluido aumenta com a taxa de deformação, isto é, a força requerida quando o fluxo é rápido é maior que a força quando o fluxo é lento e também que a viscosidade diminui com o aumento da temperatura, pois a maior energia térmica permite que as moléculas se desprendam, ou seja, menores forças externas são necessárias pra romper as ligações.
A figura 3.10 mostra como a viscosidade variou no plano XY, justamente em função do perfil de temperatura.
Figura 3.10 – Variação da Viscosidade devido à Temperatura – Configuração 1.
Sendo assim, comparando os resultados obtidos pode-se notar que no modelo
térmico, as pressões são menores. Isso pode ser observado nas figuras abaixo.
35
Figura 3.11a – Distribuição de Pressão com dissipação térmica – Configuração 1.
Figura 3.11b – Perfil de Pressão com dissipação térmica – Configuração 1.
36
Figura 3.11c – Distribuição de Pressão com dissipação térmica – Configuração 2.
Figura 3.11d - Perfil de pressão com dissipação térmica – Configuração 2.
37
A figura 3.12 mostra o perfil térmico obtido para a configuração 3, em linhas isotermas. Este resultado pode ser comparado com a figura 3.12, que apresenta a distribuição teórica.
Figura 3.12 - Perfil de Isotermas – Configuração 2.
Figura 3.13 - Perfil Teórico de Isotermas
No caso apresentado na literatura existe uma entrada de óleo num rasgo axial que se estende de 10º até 60º. Com isso, nessa região, vemos uma redução na temperatura quando comparado com o resultado obtido no PHOENICS, onde essa entrada de óleo não foi modelada. Sendo assim, podemos verificar que as temperaturas máximas se encontram nas mesmas posições, e que seus valores convergem para uma mesma temperatura (~120ºC).
Assim, pode-se dizer que os resultados apresentados pelo software estão satisfatórios. Pode-se observar uma redução na pressão total, decorrente do aumento de temperatura. Isso representa menores forças de sustentação para o eixo, reduzindo a eficiência do mancal. Soluções em termos de uma maior refrigeração podem ser empregadas, o que reduziria as variações na viscosidade.
Em anexo se encontram os arquivos RESULT das simulações.
38
