Emanuele Borgonovo 1 Metodi Quantitativi per il Management Emanuele Borgonovo Metodi Quantitativi per il Management Prima Edizione Decision Market Return

Metodi Quantitativi per il Management

Emanuele Borgonovo1

Emanuele Borgonovo


Prima Edizione

Decision

Market

Return

Structural


Emanuele Borgonovo2

Capitolo I:

Modelli


Emanuele Borgonovo3

Modelli• Un modello è uno strumento matematico-logico che

l’analista, il manager, lo scienziato, l’ingegnere sviluppa per:– Predire il comportamento della realtà– Predire l’andamento di un mercato– Prendere una decisione relativa ad un investimento

• Elementi comuni ai modelli:– Incertezza iniziale– Una serie di ipotesi– Una serie di input– Eventi– Risultato (output) del modello


Emanuele Borgonovo4

Costruzione del modello

• Richiede una conoscenza approfondita di:

– Problema– Eventi rilevanti rispetto al problema– Fattori che influenzano il comportamento delle

quantità di interesse– Raccolta dei dati e delle informazioni– Statement e calcolo delle incertezze– Verifica della coerenza del modello mediante

verifica empirica, se possibile, e analisi di sensitività


Emanuele Borgonovo5

Esempio: la legge di gravità

• Vogliamo descrivere la caduta verticale di un corpo sulla superficie della terra. Adottiamo il modello: F=mg per la caduta dei corpi

• Ipotesi (?):– Corpo puntiforme (niente rotazioni)– Niente attrito– Niente correnti atmosferiche

• Funziona per la caduta di un corpo posto a grande distanza dalla superficie terrestre?


Emanuele Borgonovo6

Capitolo II

Elementi introduttivi di Teoria della Probabilità


Emanuele Borgonovo7

Probabilità

• E’ possibile definire la Probabilità?

• Sì, ma ci sono due scuole

• La prima dice che la probabiltà è una proprietà oggettiva degli eventi (Scuola Frequentista)

• La seconda dice che la Probabilità è una misura “soggettiva”della verosimiglianza degli eventi (De Finetti)


Emanuele Borgonovo8

Kolmogorov Axioms

)B(P)A(P)BA(P

,esclusivimutuamenteBeASe

0)A(P

1)U(P

U BA


Emanuele Borgonovo9

• Supponete di saltare dentro U a caso. Chiamate P(A) la probabilità di saltare in A. Quanto vale?

• Sarà l’area di A diviso l’area di U: P(A)=A/U• In questo caso P(U)=P(A)+ P(B)+ P(C)+ P(D)+ P(E)

Aree e rettangoli?

U

EDCBAU CA B D E


Emanuele Borgonovo10

Probabilità Condizionata

• Prendete due eventi A e B. La probabilità condizionale di A dato B, è la probabilità di avere A dato che si è verificato B. Si scrive: P(A|B)

UB

AAB



Probabilità Condizionale

• Supponete ora che B è avvenuto. Quindi siete saltati dentro l’area B.

B

AAB

•Ora non protrete che concordare che:• P(A|B)=P(AB)/P(B)•Quindi: P(AB)=P(A|B) *P(B)



Eventi Indipendenti

• Due eventi, A e B, sono indipendenti se l’accadere di A non influenza la Probabilità di B e viceversa.

Se due eventi sono indipendenti: P(AB)=P(A)*P(B)



Probabilità e Informazione

• Problema: vi è data una scatola contenente due gioielli. La scatola è costruita in modo tale che con la stessa probabilità (1/2) i due gioielli sono tutti e due d’oro (evento A) o uno è d’oro e uno d’argento (evento B). Per sapere il contenuto della scatola vi è permesso di estrarre uno dei due gioielli dalla scatola. Supponete che sia d’oro. – Secondo voi avete guadagnato informazioni

dall’estrazione?– La probabilità che l’altro sia d’oro è ancora del 50%?– Sareste disposti a pagare per estrarre?



La probabilità di un evento cambia con l’informazione



Il Teorema di Bayes

• Ipotesi: A e B sono due eventi. L’evento A è accaduto.

• Tesi: la probabilità di B dato che A è avvenuto cambia come segue:

)A(P

)BA(P)B(P)AB(P

P(B) prima che A avvenisse

Prob. di B ora che A è avvenuto Prob. che A avvenisse

Probabilità di A dato B



Applichiamolo al problema

• Eventi:• A: tutti e due i gioielli sono d’oro• o: l’anello estratto è d’oro

• Il teorema dice:

• P(A)=probabilità che tutti e due siano d’oro prima dell’estrazione=1/2

• P(o)=probabilità che un anello sia d’oro=3/4• P(o|A)=probabilità che l’anello sia d’oro dato A=1 (tutti e due gli

anelli sono d’oro)

• Quindi:

)o(P

)Ao(P)A(P)oA(P

3/24/3

12/1)oA(P



Dimostrazione del Teorema

)B(P

)A(P)AB(P)BA(P

)A(P)AB(P)B(P)BA(P

)AB(P)AB(P

Punto di Partenza

Formula della probabilità condizionale

Tesi



U

Estensione al caso di più eventi

• Teorema probabilità totale: dati N eventi mutuamente esclusivi (A1, A2,…,AN) e esaustivi, la probabilità di un altro evento E in U è data da:

• Teorema di Bayes :

)D(P

)C(P)B(P)A(P1

B A C

D

E

)A(P)AE(P...)A(P)AE(P)A(P)AE(P)E(P NN2211

N

1iii

111

)A(P)AE(P

)A(P)AE(P)EA(P



Distribuzioni di Probabilità

• Fino ad ora abbiamo parlato di eventi “ discreti”. Ci sono eventi il cui spazio è continuo. Ad esempio il tempo di rottura di un componente o l’intervallo di tempo tra i terremoti. In questo caso la variabile aleatoria “tempo” spazia da 0 a +. Per descrivere questi eventi si utilizzano distribuzioni continue di probabilità. La variabile caratterizzata da una distribuzione di probabilità prende il nome di variable aleatoria.



Densità di Probabilità

• Una funzione è una densità di probabilità se:– E’ integrabile – e – se il suo integrale tra - e + è pari a 1.

• Significato: f(x0) è la probabilità che x sia in un intervallo dx attorno ad x0.

1dx)x(f



Distribuzione Cumulativa

• Quando una variabile x è casuale, la probabilità che essa assuma un valore inferiore od uguale ad un valore X è data da:

• Se f(x) è continua, allora:

• Notiamo:

X

dx)x(f)Xx(P

dx

dP)x(f

)Xx(P)Xx(Pdx)x(f)XxX(P 12

X

X

21

2

1



La distribuzione esponenziale

• Fenomeni per cui gli eventi sono:– Indipendenti– Caratterizzati da ratei costanti

• sono caratterizzati dalla cumulativa esponenziale:

• e dalla densità esponenziale:

Te1)Tt(P

te)t(f




• Supponiamo di avere a che fare con un problema di affidabilità e ci interessa caratterizzare il tempo di rottura di componenti industriali (Chiamiamolo t). t non è noto a priori (non sappiamo quando si romperà il prossimo componente). Tutto quello che possiamo dire è che puù variare con continuità tra 0 e (diciamo) inifinto. Quindi, è una variable casuale con distribuzione continua.

• Assumiamo intervalli di rottura indipendenti. Ciò funziona se, quando il componente si rompe, lo sostituiamo con uno nuovo o lo ripariamo perfettamente. Se valgono queste ipotesi, gli intervalli di rottura sono indipendenti e caratterizzati da tasso di rottura costante per ogni intervallo dt. Quale è la distribuzione di probabilità di t?

• Supponiamo di avere una popolazione di N(t) componenti al tempo t. Se è il tasso di rottura del singolo componente, allora N(t)dt è il numero di rotture nel tempo dt.




• Quindi:• -N(t)dt=N(t+dt)-N(t)=dN(t)• Il segno meno sta ad indicare che il numero di componenti

funzionanti è diminuito. • Quindi:

• Risolvendo:

• N(T) è il numero di componenti che è sopravvissuto fino al tempo T e N(0) è il numero di componenti di partenza. Ponete N(0)=1. Allora N(T)/N(0) vi dà la probabilità che un componente sopravviva fino a T.

T)0(N/)T(Nlndt)t(N

)t(dNdt

)t(N

)t(dN T

0

T

0

Te)0(N

)T(N



0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

T/t

Illustrazione grafica

P(t<T)

f(t)



Valore atteso, varianza e percentili

xVdardSDeviazione

xExEdxxfxEx

xExExVVarianceVarianza

dxxxfxEValueExpectedattesoValore

:tan

)()(

)(:)(

)(:)(

222

2

Percentile p: è il valore Xp di x tale che la probabilità che x sia minore di Xp pari a p/100



La Distribuzione di Gauss

• Distribuzione simmetrica attorno al valor medio

• Densità:

• Cumulativa:

Xe

2

1)x(f

2)x

(2

1

G

dxe

2

1)Xx(P

2)x

(2

1

G



Grafici

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

500

1000

1500

2000

2500

3000Distribuzione Normale Standard

x

f(x)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000Cumulative Gaussian Distribution

x

)x(fG

)Xx(PG



Distribuzione Lognormale

• Funzione densità

• Funzione distribuzione cumulativa

x0e2x

1)x(f

2)xln

(2

1

L

X

0

)xln

(2

1

L

2

e2x

1)Xx(P



Grafici della distribuzione lognormale

0 20 400

0.1

.20

0

f x( )

500.07 x

0 20 400

0.5

11

0

f2 x( )

500.07 x

)x(fL

)Xx(PL



Problema II-1

• La frequenza di rottura del cambio di un’automobile è pari a 1/5 anni (densità esponenziale).

• Quale è il tempo medio di rottura del cambio?

• Quale è la probabilità che in 9 anni il cambio sia ancora integro?



Problema II-2

• State esaminando un test per selezionare l’ingresso degli studenti ad un corso particolarmente selettivo di un ’Università. Il test, come tutti i test, non è perfetto. Supponete che la classe prima del test (la vera distribuzione della classe) veda il 10% di adatti e il 90% di non adatti. Poi fate il test. Se lo studente è adatto ,il test lo ammette al 90%. Se lo studente non è adatto lo ammette al 10%. Ora, supponete di prendere uno studente che ha passato il test. – Quale è la probabilità che lo studente sia

effettivamente adatto?– Secondo voi il test funziona? Come lo usereste?– (Suggerimento: utilizzate il teorema della probailità

totale per la probailità di passare il test.)



Problema II-3

• Per il problema dei due anelli, calcolare:– La probabilità di essere nello stato B dato che

l’anello estratto è d’oro– La probabilità di essere nello stato B dato che

l’anello estratto è d’argento– La probabilità di essere in A dato che l’anello

estratto sia d’oro in due estrazioni consecutive– La probabilità di essere in B dato che che l’anello

estratto sia d’oro in due estrazioni consecutive



Soluz. Prob. II-1

• La frequenza di rottura del cambio di un’automobile è pari a 1/5 anni.

• Quale è il tempo medio di rottura del cambio?

• Quale è la probabilità che in 9 anni il cambio sia ancora integro?

%5.16e

)e1(1)9t(P1)9t(P9)5/1(

T

5/1dtet t



Soluz. Prob. II-3

3

• Per il problema dei due anelli, calcolare:

– La probabilità di essere nello stato B dato che l’anello estratto è d’oro

• Soluzione: ci sono solo due casi, A o B. Dunque P(Bo)=1-P(Ao)=1/3

– La probabilità di essere nello stato B dato che l’anello estratto è d’argento

• P(Ba)=1, dal testo del problema, dato che B è l’unico stato in cui l’anello può essere d’argento. Si può anche dimostrare con Bayes:

• P(Ba)=P(aB)*P(B)/[P(aB)* P(B)+P(aA)*P(A)]. Siccome P(aA)=0, ottneniamo subito 1.

– La probabilità di essere in A dato che l’anello estratto sia d’oro in due estrazioni consecutive

• Il teorema di Bayes si scrive:

)B(P)Bo2(P)A(P)Ao2(P

)A(P)Ao2(P)o2A(P

11

1



Sol. II-3• Dove, nella formula il pedice 1 indica le probabilità aggiornate dopo una

estrazione, ovvero: P1(B)=P(Bo)=1/3 e P1(A)=P(Ao)=2/3.

• A questo punto occorre notare che P(2o A)=1, e P(2o B)=1/2. P(2oB) è la probabilità che otteniamo oro al secondo tentativo, dato che siamo in B.

• Abbiamo quindi tutti I numeri da sostituire nella formula del teorema:

• In pratica, è lo stesso problema dell’esempio ma con le probabilità a priori aggiornate in base alla evidenza della prima estrazione

– La probabilità di essere in B dato che che l’anello estratto sia d’oro in due estrazioni consecutive

• Soluzione: 1-P(A 2o)=0.2

8.03/1*2/13/2*1

3/2*1

)B(P)Bo2(P)A(P)Ao2(P

)A(P)Ao2(P)o2A(P

11

1



Capitolo III:

Elementi di

Analisi delle Decisioni



An Investment Decision

• At time T, you have to decide whether, and how, to invest $1000. You face three mutually exclusive options: – (1) A risky investment that gives you $500 PV in

one year if the market is up or a loss of $400 if the market is down

– (2) A less risky investment that gives you $200 in one year or a loss of $160

– (3) The safe investment: a bond that gives you $20 in one year independently of the market



Decision Theory According to Laplace

• “The theory leaves nothing arbitrary in choosing options or in making decisions and we can always select, with the help of the theory , the most advantageous choice on our own. It is a refreshing supplement to the ignorance and feebleness of the human mind”.

• Pierre-Simon Laplace

• (March 28 1749 Beaumont-en-Auge - March 5 1827 Paris)



Decision-Making Process Steps

Problem identification

Alternatives identification

Model implementation

Alternatives evaluation

Sensitivity Analysis Further Analysis?

Yes

Best alternative implementation

No



Decision-Making Problem Elements

• Values and Objectives

• Attributes

• Decision Alternatives

• Uncertain Events

• Consequences



Gli Elementi del Problema• Obiettivi:

– Massimizzare il guadagno

• Attributi:– Money

• Alternative:– Invesitmento Rischioso (Risky)– Invesitmento Rischioso (Less Risky)– Investimento Sicuro (Safe)

• Eventi Casuali: – Il mercato

• Conseguenze: – Guadagno o perdita



Rappresentazione del Problema

• Diagrammi di Influenza • Alberi delle Decisioni

Decision

Market

Return

Structural

Market up

prob_upMarket down

1-prob_up

Less Risky

Market upprob_up

Market down

Risky

Safe

How should Iinvest $1000?

1-prob_up



Influence Diagrams

• Influence diagrams (IDs) are…“a graphical representation of decisions and

uncertain quantities that explicitly reveals

probabilistic dependence and the flow of

information”

• ID formal definition: – ID = a network consisting of a directed graph

G=(N,A) and associated node sets and functions (Schachter, 1986)



ID Elements

NODES

= Decision

= Random Event

= Utility

ARCS

• Informational Arcs

• Probabilistic Dependency Arcs

• Structural Arcs



ID Elements

Decision Node

Chance Node Value NodeChance Node

Decision Node

Conditional Arc

Probabilistic Dependency

Informational Arc

Sequential Decisions

Structural



Influence Diagram Levels

1. Physical Phenomena and Dependencies

2. “Function level”: node output states probabilistic relations (models)

3. “Number level”: tables of node probabilities



Case Study 2 - Leaking SG tube

• Influence Diagram for Case Study 2

DecisionsI - Normal Makeup

II - Shutdown

III - Reduce Power

IV - Isolate SG

Chemical VolumeControl System

SecondaryCooling

Primary

Cooling

Value

LeakageRate

days_to_shutdown

shutdown_cost

core_damage_cost

time_to_repair

Leakage from primaryto secondary, maximumrate of 20 l/hr

DeterministicInformation



Il Diagramma di Influenza

Decision

Market

Return

Structural



Alberi delle Decisioni

• Sono costituiti dal medesimo tipo di nodi dei diagrammi di influenza, ma mettono in evidenza tutte le possibili combinazioni degli eventi.

• Al posto degli archi ci sono “rami” o branches che emanano dai nodi in numero pari al numero di alternative o outcomes del nodo

• Rispetto ai diagrammi di influenza hanno il vantaggio di evidenziare I possibili patterns, ma lo svantaggio del ridursi della loro intelligibilità al crescere della complessità del problema.



The Decision Tree (DT)

Market up

Market down

1-prob_up

Less Risky

Market up

Market down

Risky

Safe




Soluzione degli alberi delle decisioni

• Equazione del payoff o della utilità di una alternativa:

• j=1…mi è l’indice di tutte le conseguenze associate alla scelta i

• Uj è l’utilità o il payoff della conseguenza j

• Pi(Cj) è la probabilità che la conseguenza Cj accada dato che si è scelta l’alternativa i

• In generale, sarà: P(Cj) =P(E1E2… EN), dove E1E2… EN sono gli eventi che devono accadere affinchè la conseguenza Cj si realizzi. Utilizzando le probabilità condizionali:

• P(Cj) =P(E1E2… EN)=P(EN| E1E2… )*…*P(E2| E1)*P(E1)

j

Cjii jU)C(P]U[E



Esempio

Market up

P.upC1

Market down

1-P.upC2

Blue Chip Stock

Market up

P.upC3

Market down

1-P.upC4

Risky investment

CD paying 5%C5




Soluzione del Problema

• Utilizzando la formula precedente:

21

2

1jjjRisky CP.up)1(CP.upC)C(P]U[E

43

2

1jjjLessRisky CP.up)1(CP.upC)C(P]U[E

5

2

1jjjLessRisky C1C)C(P]U[E



The Best Investment for a Risk Neutral Decision-Maker

Market up

0.600$200

Market down

0.400($160)

Blue Chip Stock$56

Market up

0.600$500; P = 0.600

Market down

0.400($600); P = 0.400

Risky investment$60

CD paying 5%return = $50

How should I

invest $1000?



Run or Withdraw?

You are the owner of a racing team. It is the last race of the season, and it has been a very good season for you. Your old sponsor will remain with you for the next season offering an amount of $50000, no matter what happens in the last race. However, the race is important and transmitted on television. If you win or end the race in the first five positions, you will gain a new sponsor who is offering you $100000, besides $10000 or $5000 praise. However there are unfavorable running conditions and an engine failure is likely, based on your previous data.

It would be very bad for the image of you racing team to have an engine failure in such a public race. You estimate the damage to a total of -$30000.

What to do? Run or withdraw?• A) Elements of the problem:

– What are your objectives– What are the decision alternatives– What are the attributes of the decision– What are the uncertain events– What are the alternatives



Example of a simple ID

Decision Engine Failure ProfitFinal Classification



From IDs to Decision Trees

Out of first five

1.000$20,000; P = 0.500

Failure

Engine Failure

0.500$20,000

Win

0.500$110,000; P = 0.250

In first five

0.300$105,000; P = 0.150

Out of first five

0.200$50,000; P = 0.100

No Failure

0.500$94,500

Run

Decision

$57,250

Old sponsor

1.000$50,000

Withdraw

Engine_Failure=0$50,000

Decision

pfailure=0.5

pfive=0.30

pout=0.2

pwin=0.5

Run : $57,250



Decisioni Sequenziali• Sono problemi decisionali in cui una o più decisioni appaiono

nel modello.• State decidendo a proporsito di un macchinario da acquistare. Avete a

disposizione tre modelli, A B e C. Il costo dei tre macchinari è pari a 150, 175 e 200 rispettivamente. Se acquistate il modello A, potete poi scegliere l’assicurazione A1, che ha un costo pari al 5% di A, e copre tutti i possibili guasti di A. Oppure potete scegliere l’assicurazione A2, che ha un costo pari al 3%, ma copre solo il trasporto. Se acquistate il modello B, l’assicurazione B1 ha un costo pari al 3% di B e copre tutti i guasti di B. L’assicurazione B2 costa il 2% e copre il trasporto. Per C, ritenuto il più affidabile, le assicurazioni costano il 2% e 1.5% rispettivamente. In base a queste informazioni e supponendo che la produttività dei macchinari sia la stessa, cosa decidete?

• (A: Probabilità di rottura nel periodo di interesse =5%)

• (B: Probabilità di rottura nel periodo di interesse =3%)

• (C: Probabilità di rottura nel periodo di interesse =2%



Diagramma di Influenza

Decision Assicurazione Ruttura Costo



Albero delle decisioni

1

Assicurazione

-150-5%*(150) = (£158); P = 1.000

Sì

0.050-150-2%*150-150 = (£303)

No

0.950-150*(1+2%) = (£153)

2(£161)

A

Decision

1 : (£158)

1-(175+3%*(175)) = (£180)

Sì

0.030-175-2%*175-175 = (£354)

No

0.970-175-2%*175 = (£179)

2(£184)

B1 : (£180)

1-200-2%*200 = (£204)

Sì

0.020-200-1.5%*200-200 = (£403)

No

0.980-200-200*1.5% = (£203)

2(£207)

C1 : (£204)

pA=0.05pB=0.03pC=0.02

A : (£158)



Valore dell’Informazione

• Abbiamo visto come la raccolta di informazioni sia essenziale nel prendere decisioni. Potremmo essere disposti a pagare per avere informazioni? Quanto?

• All’informazione può essere attribuito un valore in quanto contribuisce alla selezione delle alternative

• Il valore dell’informazione è il valore aggiunto che consegue dalla stessa (expected value of perfect information =EVPI):

• La definizione si legge: quanto vale la decisione dato che sappiamo l’informazione meno il valore della decisione senza l’informazione

• N.B.: ci riferiremo solo all’incertezza aleatoria

]ingBeforeKnow[E]Knowing[EEVPI



Esempio: l’investimento

Decision Market Value

Up

Market

0.500£500; P = 0.500

Down

0.500(£400); P = 0.500

RISKY

Decision

£50

Up

0.500£200

Down

0.500(£160)

LESS RISKY£20

SAFE

Market=0£20

P_UP=0.5RISKY : £50



Valore dell’informazione sull’andamento mercato

RISKY

Decision

£500; P = 0.500

LESS RISKY£200

SAFE£20

Up

Market

0.500RISKY : £500

RISKY(£400)

LESS RISKY(£160)

SAFE£20; P = 0.500

Down

0.500SAFE : £20

P_UP=0.5£260

DecisionMarket Value



EVPI Result

210

50260

]r[E]Knowing[EEVPI



Problemi



Quanto offrire?

• Voi lavorate per una compagnia nel settore della produzione di energia. La vostra compagnia si trova a fronteggiare la decisione su quanto offrire nella gara per il recupero del relitto di una SS.Kuniang, nave da trasporto per carbone. Se vinceste, la nave potrebbe essere riparata e destinata allo stoccaggio e trasporto di carbone. La vittoria e anche il risultato della decisione dipendono dal giudizio del tribunale della Guardia Costiera, che sarà noto solo dopo l’apertura delle buste di gara. Infatti, se la guardia costiera si pronuncerà per un basso valore della nave, significa che la nave è considerata recuperabile. Altrimenti, la nave sarà giudicata inservibile. Se non doveste vincere, la compagnia sarebbe costretta a comperare una nuova imbarcazione.

• Elencate gli elementi della decisione• Strutturate un diagramma di infuenza e l’albero delle decisioni

corrispondenti



Diagramma di influenza con tre eventi• Dati i seguenti elementi:

– Decisione con alternative 1 e 2– Eventi: A=(up, down); (B=high, low);(C=good, bad);

– Conseguenze Ci (una conseguenza per ciascuna delle combinazioni di eventi che si realizzano)

• Inoltere sapete che se si realizza A=Down, allora si realizza direttamente la condizione CAdown

• Disegnate il diagramma di influenza corrispondente al problema

• Disegnate l’albero delle decisioni corrispondente• Se ora l’evento C dipende da A, come cambia il diagramma di

influenza?• Come cambia l’abero delle decisioni?



• Dati i seguenti diagrammi di influenza e albero delle decisioni, date P_Alto e P_Alte|Alto, P_Alte|Basso, esprimere il valore delle alternative come funzione delle probabilità assegnate. Supponendo P_alto=0.5 e P_Alte|alto=P_Alte|basso=0.3, stimare la migliore decisione.

• Quale sarebbe la migliore decisione se, invence, ad un più alto costo di investimento corrispondesse un migliore risultato nelle vendite? Usare:• P_Alte|Alto=0.6 e P_Alte|Basso=0.2

Vendite_costi

Decisione

Vendite

Costo

Payoff

Alte

Vendite

P_Alte|Alto0

Basse1- P_Alte|Alto

-10

Alto

Costo

P_alto

AlteP_ P_Alte|Alto

20

Basse

1- P_Alte|Alto0

Basso

1-P_alto

Investo

Decisione

Non-Investo5

alto=0.5P_Alte=0.3P_alto=0.5



Guasto in produzione• Un sistema industriale composto da due linee ha subito un guasto ad una linea. La capacità

produttiva è quindi ridotta al 50%. Il management si trova di fronte alla seguente decisione e vi chiede una collaborazione. Vi viene spiegato che si può procedere a: 1) una riparazione intermedia, della durata di due giorni, con un costo di riparazione di €500000. Per ogni giorno di produzione perso si ha una perdita di incassi pari a €25000 al giorno (il valore giornaliero della produzione è di €50000). Dalle stime degli ingegneri, la probabilità di riparare perfettamente la linea rotta in due giorni è pari a P_2g . Nel caso in cui la riparazione non sia perfetta, la linea perderà il 15% della capacità produttiva; 2) un intervento più incisivo, della durata di 10 giorni, con un costo di riparazione di €1000000. Con probabilità P_10g la linea sarà come prima del guasto.

• Secondo voi la vita residua dell’impianto è importante per la decisione?• Supponete che vi siano ancora tre anni di vita per l’impianto. Quale intervento conviene

effettuare? – Individuate gli elementi della decisione– Realizzate il diagramma di influenza e l’albero delle decisioni corrispondente– Trovate il o i valori delle probabilità per cui conviene un intervento piuttosto che l’altro– Cosa consigliereste al direttore dell’impianto?



Valore dell’informazione

• Determinate il valore dell’informazione relativa a ciascuno degli eventi casuali nei seguenti problemi decisionali:

• Vendite_Costi (lez. 2)• Guasto in Produzione (lez.2)

• Ripetete la prova utilizzando, anzichè l’attributo profitto, la vostra funzione utilità per il denaro, determinata nel problema 2.



Soluzioni



Soluzione Diagr. 3 Eventi

D ec is io n

A

B

CC o n s eq u en c es

Skip Arc

• Diagramma di Influenza I



good

C

(No Payoff)

bad(No Payoff)

high

B

good(No Payoff)

bad(No Payoff)

low

up

A

down

B=0C=0

(No Payoff)

1

Decision

good(No Payoff)

bad(No Payoff)

high

good(No Payoff)

bad(No Payoff)

low

up

down

B=0C=0

(No Payoff)

2

Soluzione

• Corrispondente Albero delle Decisioni



Soluzione

• Diagramma di Influenza II

Decision

A

B

CConsequences



Soluzione

• Albero delle Decisioni II:good

C

(No Payoff)

bad(No Payoff)

high

B

good(No Payoff)

bad(No Payoff)

low

up

A

good(No Payoff)

bad(No Payoff)

down

B=0

1

Decision

good(No Payoff)

bad(No Payoff)

high

good(No Payoff)

bad(No Payoff)

low

up

good(No Payoff)

bad(No Payoff)

down

B=0

2



• Dati i seguenti diagrammi di influenza e albero delle decisioni, date P_Alto e P_Alte|Alto, P_Alte|Basso, esprimere il valore delle alternative come funzione delle probabilità assegnate. Supponendo P_alto=0.5 e P_Alte|alto=P_Alte|basso=0.3, stimare la migliore decisione.

• Quale sarebbe la migliore decisione se, invence, ad un più alto costo di investimento corrispondesse un migliore risultato nelle vendite? Usare:• P_Alte|Alto=0.6 e P_Alte|Basso=0.2

Vendite_costi

Decisione

Vendite

Costo

Payoff

Alte

Vendite

P_Alte|Alto0

Basse1- P_Alte|Alto

-10

Alto

Costo

P_alto

AlteP_ P_Alte|Alto

20

Basse

1- P_Alte|Alto0

Basso

1-P_alto

Investo

Decisione

Non-Investo5




Soluzione Vendite_Costi

Alte

Vendite

0.300£0

Basse

0.700(£10)

Alto

Costo

0.500(£7)

Alte

0.300£20

Basse

0.700£0

Basso

0.500£6

Investo

Decisione

(£1)

Non-Investo£5; P = 1.000


Non-Investo : £5



Guasto in produzione• Un sistema industriale composto da due linee ha subito un guasto ad una linea. La capacità

produttiva è quindi ridotta al 50%. Il management si trova di fronte alla seguente decisione e vi chiede una collaborazione. Vi viene spiegato che si può procedere a: 1) una riparazione intermedia, della durata di due giorni, con un costo di riparazione di €500000. Per ogni giorno di produzione perso si ha una perdita di incassi pari a €25000 al giorno (il valore giornaliero della produzione è di €50000. Dalle stime degli ingegneri, la probabilità di riparare perfettamente la linea rotta in due giorni è pari a P_2g . Nel caso in cui la riparazione non sia perfetta, la linea perderà il 15% della capacità produttiva; 2) un intervento più incisivo, della durata di 10 giorni, con un costo di riparazione di €1000000. Con probabilità P_10g la linea sarà come prima del guasto.

• Secondo voi la vita residua dell’impianto è importante per la decisione?• Supponete che vi siano ancora tre anni di vita per l’impianto. Quale intervento conviene

effettuare? – Individuate gli elementi della decisioni– Realizzate in diagramma di influenza corrispondente– Trovate I valori delle probabilità per cui conviene un intervento piuttosto che l’altro– Cosa consigliereste al direttore dell’impianto?– Cosa succederebbe se la vita dell’impianto fosse di due anni o quattro anni?



Diagramma di Influenza

Decisione

Riparazione_2g_perfetta

Riparazione_10g_Perfetta

Perdite



Albero delle Decisioni



P_2g-50000-500000

Riparazione_2g_non_perfetta

1-P_2g-50000-500000-25000*0.15*365*years

Intervento_2g

Decisione

Riparazione_10g_Perfetta=0



P_10g

Riparazione_2g_perfetta=0-250000-1000000

Riparazione_10g_non_Perfetta

1-P_10g

Riparazione_2g_perfetta=0-1000000-250000-years*.05*25000*365

Intervento_10g

P_10g=0.9P_2g=0.3years=3



Valori delle probabilità

• Tre anni



2 anni e 4 anni

• 2 anni

• 4 anni



Capitolo IV

Elementi di Analisi di Sensibilità



Sensitivity Analysis and Parameter Importance

• Parameter importance: – Relevance of parameter in a model with respect to a certain

criterion

• Sensitivity Analysis used to Determine Parameter Importance

• Concept of importance not formalized, but extensively used– Risk-Informed Decision Making– Resource allocation

• Need for a formal definition



Process

• Identify how sensitivity analysis techniques work through analysis of several examples

• Formulate a definition

• Classify sensitivity analysis techniques accordingly



Sensitivity Analysis Types

• Model Output:

• Local Sensitivity Analysis:– Determines model parameter (xi) relevance with all the

xi fixed at nominal value

• Global Sensitivity Analysis: – Determines xi relevance of xi’s epistemic/uncertainty

distribution

)x,...,x,f(xU n21



The Differential Importance Measure

• Nominal Model output:– No uncertainty in the model parameters– and/or parameters fixed at nominal value

• Local Decomposition:

• Local importance measured by fraction of the differential attributable to each parameter

ox

i xdU

dU)DIM(x i

nn

22

11

dxx

f...dx

x

fdx

x

fdU



Global Sensitivity Indices

• Uncertainty in U and parameters is considered• Sobol’’s decomposition theorem:

• Sobol’Indices

20

Ω

2

x

x

ni...ii

...iii...ii

fxd)x(f

...dxdxf...

D

D)(xS

i1

i1

1n1

s1

s1

n

1i nji1n...12jiijii0 )x(f...)x,x(f)x(ff)xf(U



Formal Definition of Sensitivity Analysis (SA) Techniques

• SA technique are Operators on U:

)]x,...,x,f(x[UI(x)^ n21

x1x2 xn

I(x1)I(xn) I(x2)

or

or



Importance Relations

• Importance relations:– X the set of the model parameters; – Binary relation

xi xj iff I(xixj)

xi~xj iff I(xixj)

xi xj iff I(xixj)

xi xj iff I(xixj)

• Importance relations induced by importance measures are complete preorder



Additivity Property

• In many situation decision-maker interested in joint importance:

• An Importance measure is additive if:

• DIM is additive always

• Si are additive iff f(x) additive and xj’s are uncorrelated

)xx(I)x,x(I jiji

)x(I)x(I)x,x(I jiji



Techniques that fall under the definition of Local SA techniques

IMPORTANCEMEASURE

EQUATIONTYPEADDITIVE

DIM

dU

dUix

Local Yes

L0

i

i

xU

x

x

U Local No

Tornado Diagrams U Local No

One Way Sensitivity U Local No

Fussell-Vesely0

0

i0x

)x(U

x)x(U Local No

Risk Achievement Worth

0

i

U

xU Local No



Global Importance Measures

IMPORTANCEMEASURE

EQUATION TYPE ADDITIVE

Sobol’ IndicesD

Ds1...ii Global No

Extended Fast

1j

2j

2

1p

2wp

2wp

i

BA2

BA2

S

j

iiGlobal No

Morris

)x,...,x,...,x(f

xd ni1i Global No

PearsonUi

ii

)x,Ucov(

Global No

Smirnov )X(Y)X(Ysup i2i1 Global No

Standardizedregression coefficients

kkb Global No



Sensitivity Analysis in Risk-Informed Decision-Making and Regulation

• Risk Metric:

• xi is undesired event probability

• Fussell-Vesely fractional Importance:

• Tells us on which events regulator has to focus attention

)x,...,x,f(xR n21

R

)x(R,)FV(x i

i



Summary of the previous concepts

• Formal Definition of Sensitivity Analysis Techniques

• Definition of Importance Relations• Definition enables to:

– Formalize use of Sensitivity Analysis– Understand role of Sensitivity Analysis in Risk-

informed Decision-making and in the use of model information



Sensitivity Analysis

• Various Types of SA– One Way SA– Two Way SA– Tornado Diagrams– (Differential Importance Measure)

• Uncertainty Analysis– Monte Carlo– (Global SA)



How do we use SA?

• a) To check model correctness and robustness

• b) To Further interrogate the model– Questions:

• What is the most influential parameter with respect to changes?

• What is the most influential parameter on the uncertainty (data collection)



• Underline the critical dependencies of the outcome

Sensitivity Analysis (Run or withdraw)

Tornado Diagram atDecision

Expected Value

$49K $55K $61K $67K $73K

pfailure: 0.25 to 0.75

pwin: 0.3 to 0.7

pfive: 0.2 to 0.4

Sensitivity Analysis on pfailure

pfailureE

xpec

ted

Val

ue0.450 0.525 0.600 0.675 0.750

$62K

$59K

$56K

$53K

$50K

$47K

$44K

$41K

$38K

Run

Withdraw

Threshold Values:

pfailure = 0.597EV = $50K



Contenuti

• Analisi di Sensitività– One way sensitivity– Two way sensitivity– Tornado Diagrams

• Analisi di Incertezza– Incertezza Aleatoria– Incertezza Epistemica– Teorema di Bayes per distribuzioni

continue– Metodo Monte Carlo



Analisi di Sensitività

• Per sensitività o sensibilità si intende il cambiamento del risultato (output) in funzione del cambiamento di uno dei parametri del modello (input)

• Tipi più semplici di analisi di sensitività:– one way sensitivity– two way sensitivity– Tornado diagrams



Analisi di sensitività ad un modo• Alterando una alla volta le variabili del modello, una

si analizza come cambia la decisione. • Permette di analizzare il variare del valore di

ciascuna delle alternative al variare del parametro su cui stiamo degli eventi

Sensitivity Analysis on pfailure

pfailure

Exp

ecte

d V

alue

0.450 0.525 0.600 0.675 0.750

$62K

$59K

$56K

$53K

$50K

$47K

$44K

$41K

$38K

Run

Withdraw

Threshold Values:

pfailure = 0.597EV = $50K



Analisi di sensitività Bi-variata

• In questo caso si variano due parametri.• Anzichè una linea si ottiene il piano delle combinazioni, in cui ogni

regione coincide con la decisione preferenziale dati i valori dei due parametri



Tornado Diagrams

• Si focalizza l’analisi sulla decisione principale• Si sceglie un intervallo di variazione per

ciascuno dei parametri• Si alterano una alla volta tutti i parametri• Si registra il cambiamento dell’output• Si mostra il cambiamento dell’output con una

barra orizzontale • La variabile che “incide” di più è quella

corrispondente alla barra più larga



Esempio di Tornado Diagram

Tornado Diagram atDecision

Expected Value

$49K $55K $61K $67K $73K

pfailure: 0.25 to 0.75

pwin: 0.3 to 0.7

pfive: 0.2 to 0.4



Pregi e Difetti

• Pregi

– Semplicità di calcolo

– Immediatezza nella lettura dei risultati

• Difetti– Range di variazione delle

variabili arbitrario, non consente una interpretazione dell’importanza (non si dovrebbero classificare)

– Una o al massimo due parametri possono essere cambiati contemporaneamente



Capitolo V

Analisi di Incertezza



Analisi di Incertezza

Monte Carlo Simulation atDecision

Value

Pro

babi

lity

$10K $40K $70K $100K $130K

1.000

0.900

0.800

0.700

0.600

0.500

0.400

0.300

0.200

0.100

0.000



Contenuti

• Distinzione tra Incertezza Aleatoria ed Incertezza Epistemica

• Il teorema di Bayes nel continuo come rappresentazione dell’incertezza epistemica

• Il metodo Monte Carlo per la propagazione dell’incertezza



Incertezze

• Incertezza Aleatoria:– Da “Alea” dadi: “Alea jacta est”

si riferisce all’ accadimento di un determinato evento casuale.– Esempio: l’accadere di un terremoto

• Incertezza Epistemica:– Dal Greco “”, Conoscenza

riflette la nostra mancanza di conoscenza del valore dei parametri del modello che si riferisce all’evento



Esempio: modello aleatorio

• La probabilità di un terremoto è di solito modellizzato da una distribuzione di Poisson:

• che rappresenta la probabilità che il numero di terremoti che avviene nel tempo t sia n.

• La distribuzione di Poisson si ottiene per eventi indipendenti in cui l’accadere dell’evento non influenza l’accadere degli eventi successivi e la probabilità dell’evento in ogni intervallo di tempo è la stessa

• AL MODELLO scelto per descrivere come si comportano i terremoti viene dato il nome di modello aleatorio [in inglese, con un po’ meno di modestia “model of the world” (MOW).]

!n

)t(e)t,n(P

nt



Informazioni utili sulla Poisson

– è la probabilità che nel tempo t si verifichino n eventi

• La somma per n=0... di P(n,t) è 1.

• La probabilità di avere k>N eventi è data da:

• E[n]=t

!n

)t(e)t,n(P

nt

0n

ttn

t

0n

nt

1ee!n

)t(e

!n

)t(e

N

0n

nt

1Nn

nt

!n

)t(e1

!n

)t(e

tt

0n

1nt

0n

nt

0n

nt

ete!1n

)t(te

!1n

)t(e

!n

)t(ne



Il corrispondente modello epistemico

• Ora, nonostante gli studi, è ben difficile che uno scienziato sappia con esattezza il valore del parametro della distribuzione. Più probabilitmente è descritto da una serie di valori. Per esempio può stare tra 1/5 e 1/50 anni. Supponiamo che lo scienziato decida di esprimere il suo stato di conoscenza su tramite una distribuzione uniforme u( ):

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

1

2

3

4

5

6

7

8Epistemic distribution for the frequency of earthquakes

lambda

f(lam

bda)

5/150/150/15/1)(u

5/150/10)(u



A questo punto...• Ci ritroviamo con due modelli:

• Il modello aleatorio: eventi avvengono secondo distribuzione di Poisson

• Il modello espitemico: distribuzione uniforme dell’incertezza

• Allora, qual è la probabilità di avere un terremoto nei prossimi due anni?

• Risposta: non c’è Una probabilità, ma c’è una p(n,t, ) per ogni valore di .

• Quindi dobbiamo riscrivere:

d)(u!n

)t(ed),t,n(p

nt



….

• Questa espressione ci dice che non tutte le distribuzioni di Poisson pesano (in genere) allo stesso modo. Quindi:

• Nel nostro caso: u()=c; quindi:

d)(u!n

)t(ed),t,n(p)t,n(P

nt

dn

tecdtnptnP

nt

!

)(),,(),(



In Generale

• Il MOW dipenderà da m parametri , ,…:

• La probabilità dell’evento (indichiamolo ancora con t) sarà:

),....,t(MOW

.....dd,....),(f),....,t(MOW)t(P



Un problema

• La probabilità di rottura di una serie di componenti attorno al tempo dt è data dalla densità esponenziale:

• Dai dati a vostra disposizione emerge che:

• Qual è il tempo medio di rottura?

dtedf t

2.0p10/1

3.0p8/1

5.0p5/1



Soluzione

• E[t]=

0

t3

0

t2

0

t1 1.0)dtet(5.0)dtet(5.0)dtet( 321

1.0/13.0/15.0/1 321

9.6



Teorema di Bayes nel continuo

• Incertezza eistemica e teorema di Bayes sono collegati in quanto sappiamo che possiamo usare l’evidenza per aggiornare le probabilità.

• Ad esempio, supponete di avere una moneta e di voler sapere se la probabilità che esca testa o croce sia del 50%.

• Come fate?• Tirate la moneta….



Formula

• La densità di probabilità di un parametro, dopo aver raccolto l’evidenza (E) cambia come segue:

• L(E)=MOW likelihood o verosimiglianza 0=() è la densità di probabilità di prima dell’evidenza

detta distribuzione a priori =() è la densità di probabilità di prima dopo l’evidenza

detta distribuzione a posteriori

)()E(L

)()E(L)(

0

0



Deriviamolo• Prendiamo la formula del teorema di Bayes nel discreto:

• Passiamo al continuo: in questo caso vogliamo sapere la probabilità che un parametro nella distribuzione assuma un determinato valore dato che un certo evento si è verificato

• Quindi l’evento Aj è: assume il valore *

• Da cui: P(Aj)0()d 0()=densità a priori

• Quindi: P(EAj) ha il significato di probabilità che l’evidenza E si realizzi dato che sia pari a * . Si scrive L(E, ) ed è chiamata funzione verosimiglianza: ma è anche il MOW!!!

n

1iii

jj

j

)A(P)AE(P

)A(P)AE(P)EA(P



Deriviamolo

• Il denominatore esprime la somma delle probabilità dell’evidenza dati tutti i possibili eventi. Nel caso dell’ncertezza epistemica i possibili eventi sono i valori del parametro . Quindi:

• Sostituendo i vari termini si trova la formula del teorema di Bayes per stribuzioni continue che abbiamo mostrato prima

d)()E(L)A(P)AE(P 0

n

1iii



E’ una moneta onesta?• Quale è il modello aleatorio?

• E’ una binomiale:

• 2) Quale è il valore di p?• Supponiamo di non sapere nulla su p e allora scegliamo una

distribuzione a priori non informativa: la uniforme

• Raccogliamo l’evidenza. • Al primo lancio esce testa• Al secondo croce • Al terzo testa

knk )p1(pk

n)kn,k(P

.altr0,1p01)p(0



Ristulato• Primo lancio

– Evidenza t.– MOW: L(tp)=p

– Priori: 0

• Secondo lancio: – Evidenza è c– MOW: L(cp)=(1-p)

– Priori: 1

• Terzo lancio:– Evidenza t– MOW: L(tp)=p

– Priori: 2

• Equivalentemente:– Evidenza: t,c,t– L(tctp)=p2(1-p)– Priori: 0

p2

pdp

1p

dp)p()pE(L

)p()pt(L)p(

1

0

0

01

)pp(6

dp)pp(

)p1(p

dp)p()ptc(L

)p()ptc(L)p(

2

1

0

21

12

)pp(12

dp)p1(p

)p1(p

dp)p()ptc(L

)p()ptc(L)p(

32

1

0

2

2

2

23

)pp(12

dp1)p1(p

1)p1(p

dp)p()ptc(L

)p()ptct(L)p(

32

1

0

2

2

2

03



Grafico

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0

1

2

3



Distribuzioni Coniugate

• Likelihood– Poisson

• Distr. a Posteriori

• Distr. A Priori– Gamma

• dove:

!n

)t(e)t,n(P

nt

e)(

),,(1

'1''

e)'(

')',',(

t'

r'




• Likelihood– Normale

• Distr. a Posteriori: Normale

• Distr. A Priori di :– Normale

• dove:

2

x

x )σ

μx(

2

1

x

X eπ2σ

1)x(f

2

μ

x )σ

μm(

2

1

μ0 e

π2σ

1)m(π

20μ

2x

20μ

2x'

)σ(n)σ(

)σ(xn)σ(μμ

2

'x

)σ

'μx(

2

1

xG e

π2'σ

1)x(f

n/)σ()σ(

)σ()n/σ(σ

2x

2μ

2μ

2x'

x




• Likelihood– Binomiale

• Distr. a Posteriori:

Beta

• Distr. A Priori di :– Beta

• dove:

knk )p1(pk

n

kq'q

knr'r

1r)1q(0 )p1(p)p(π

1'r)1'q(1 )p1(p)p(π



Riassunto delle Distribuzioni Coniugate

Modello Aleatorio Distribuzione a Priori

Distribuzione a Posteriori

Binomiale Beta Beta

Poisson Gamma Gamma

Normale Normale Normale

Normale Gamma Gamma

Negative binominal Beta Beta

N



Incertezza nei Problemi decisionali• Investimento:

• Supponiamo che P.up sia distribuita secondo una uniforme tra 0.3 e 0.7

• Come varia la decisione?

• Occorre propagare l’incertezza nel modello

21

2

1jjjRisky CP.up)1(CP.upC)C(P]U[E

21

2

1jjjRisky UP.up)1(UP.upC)C(P]up.PU[E

43

2

1jjjLessRisky CP.up)1(CP.upC)C(P]U[E

5

2

1jjjLessRisky C1C)C(P]U[E



Propagazione analitica

• E’ lo stesso problema del MOW …

• Ripetendo per le altre decisioni e confrontando i valori attesi si ottiene la decisione ottimale

• Ricordiamo: xd)x(f)x(g)]x,...,x,x(g[E n21

up.dP)up.P(fUP.up)1(UP.up

up.dP)up.P(f]up.PU[EUE

21

RiskyRisky



Metodo Monte Carlo

• Campionamento di un valore di P.up

• Per ogni valore di P.up si valuta il modello.

• 2 informazioni:– Frequenza della decisione migliore– Distribuzione di ciascuna delle alternative



Campionamento: il cuore del Monte Carlo

• 1) Generatore di numeri casuali “u” tra 0 e 1

• (I numeri sono generati con distribuzione uniforme)• 3) Supponiamo che il parametro incerto sia

caratterizzato dalla distribuzione cumulativa in figura:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

Distribuzione cumulativa esponenziale

0 1u



Campionamento

• Inversione:

• I valori di così ottenuti seguono la densità/cumulativa da cui abbiamo invertito

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

Distribuzione cumulativa esponenziale1

0

)u(F 1



Esempio

• Valutare il volume del solido mediante metodo Monte Carlo.

0in

nV

N

nlimV

VV0



Applicazione ID e DT

• Per ognuna delle variabili del modello si crea la corrispondente distribuzione epistemica

• Storia 1: • Si generano n numeri casuali tanti quanti sono le variabili incerte• Si campiona il valore di ciascuna variabile invertendo la

distribuzione comulativa corrispondente• Si valuta il modello• Si registra per ciascuna storia il valore di ciascuna delle

alternativa• Si registra l’alternativa preferita

• Si ripete il procedimento per N storie



Risultato

• Frequenza della decisione

Monte Carlo Simulation atDecision

Value

Pro

babi

lity

$10K $40K $70K $100K $130K

1.000

0.900

0.800

0.700

0.600

0.500

0.400

0.300

0.200

0.100

0.000

• Incertezza della decisione più frequente



Problema V-1

• Il tempo medio di rottura di una serie di componenti in funzionamento è descritto da una distribuzione esponenziale con parametro . Supponete che sia caratterizzato da una distribuzione uniforme tra 1/100 e 1/10.– Qual è il MOW? Quale il modello epistemico?– Qual è il tempo medio di rottura?

• Supponete di avere registrato I seguenti tempi di rottura: t=15, 22, 25.– Aggiornate la distribuzione epistemica in base ai nuovi dati– Qual è il nuovo tempo medio di rottura?



Problema V-2: Investire• Siamo di nuovo alle prese con il problema dell’investimento (lezione 2 per il

diagramma di influenza). In realtà, fino ad oggi non avete raccolto dati per la P_up. Dopo aver saputo del teorema di Bayes, cominciate a raccogliere dati. Dopo 15 giorni lavorativi avete: up,down, down,down,down,up,down,up,down,up,down,up,up,up. Assumendo che le giornate siano indipendenti:

• a) Quale è il modello aleatorio e quale quello epistemico?• b) Senza i dati qual è la decisione migliore?• c) Qual è la distribuzione probabilità che il mercato sia up dopo i dati?• d) Cosa decidete ora?• Soluzione: a) Stabilire un modello aleatorio ed uno epistemico

– Il modello aleatorio consta del modello degli eventi che caratterizzano la decisione. In questo caso abbiamo un solo evento, l’andamento del mercato. Il modello aleatorio di questo evento è una binomiale, dato che ci sono solo due eventi possibili, up e down, se assumiamo indipendenza tra le giornate. La probabilità corrispondente è P_up.

– Il modello epistemico: è l’insieme delle distribuzioni che descrive la nostra conoscenza dei parametri del modello aleatorio. In questo caso è la dstribuzione di P_up. La distribuzione a priori: partiamo da una uniforme tra 0 e 1 per P_up, dato che non abbiamo dati

• b) Dobbiamo riprendere le espressioni del valore delle tre alternative in funzione di P_up



Prob. 5-2• Per sapere qual è la decisione

migliore, dobbiamo ottenere il valore atteso delle tre alternative sulla distribuzione a priori di P_up, quindi sulla uniforme

• Sostituendo i valori: E[URisky]=50, E[USafe ]= 20, E[ULess Risky ]= 20

21

2

1jjjRisky CP_up)1(CP_upC)C(P]P_upU[E

43

2

1jjjLessRisky CP_up)1(CP_upC)C(P]up_PU[E

5

2

1jjjLessRisky C1C)C(P]up_PU[E

2121

1

0

21

1

0

RiskyRisky

CC5.0CCP_upE

up_dP)up_P(fCP_up)1(CP_upup_dP)up_P(f]P_upU[E]U[E

2143

1

0RiskyLessRiskyLess CC5.0CCP_upEup_dP)up_P(f]P_upU[E]U[E

5LessRisky C]up_PU[E



Investire• c) Usiamo Bayes per aggiornare l’uniforme

– Evidenza: up,down, down,down,down,up,down,up,down,up,down,up,up,up

– L(E|P_up):

– Priori: 0 uniforme tra 0 e 1

• Teorema di Bayes:

• Distribuzione a posteriori

• E[p_up]=0.47

• d) Decisione dopo i dati: E[URisky]=23, E[USafe ]= 20, E[ULess Risky ]= 9.2

1

0

87

87

1

0

87

87

up_dP)up_P1()up_P(

)up_P1()up_P(

up_dP1)up_P1()up_P(!8!7!15

1)up_P1()up_P(!8!7!15

P_up)|L(E

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

0.07

0.14

0.21

0.28

0.35

0.42

0.49

0.56

0.63 0.7

0.77

0.84

0.91

0.98

p0

p1

87 )up_P1()up_P(!8!7

!15P_up)|L(E



Problemi

• Per gli esempi e gli esercizi della scorsa lezione, sottoponete i modelli ad analisi di sensitività:– One way– Two way– Tornado diagrams

• Discutete i risultati



Decisione Bayesiana

• Siete i direttori di una libreria. Per migliorare le vendite state pensando di assumere ulteriore personale. Assumendo più persone, pensate, dovrebbe migliorare il servizio. Se il servizio migliora, vi aspettate un aumento del numero dei clienti e il conseguente aumento del fatturato. Supponete che il numero di persone che entrano nel negozio ogni giorno sia distribuito secondo una Poisson, con tasso non noto con certezza. Dai dati a vostra disposizione sul numero di clienti ad oggi vi aspettate in media 50 persone al giorno. I dati fittano una distribuzione gamma con valore atteso 55 e deviazione standard 15. L’aumento di costi dovuto al servizio è 5000EUR al mese. Se il servizio è efficace e ricevete più di 50 visite al giorno, ricavate 15000EUR, per un guadagno operativo di 10000 medio sul numero di visite. Se non riuscite a superare le 50 persone al giorno, allora perdete i 5000EUR. In base ad un sondaggio, stimate la probabilità che il servizio aumenti di qualità pari p. Cosa decidete?

• Dopo 6 giorni, avete a disposizione I seguenti dati sul numero di clienti: 75,45,30,80,72,41.

• Riaggiornate le probabilità. Cosa decidereste adesso?• Quanto vi aspettate di guadagnare adesso?• Sottoponete I risultati ad analisi di sensitività sulle probabilità. Cosa vi suggerisce?



Diagramma di influenza

Decisione Servizio Clienti Guadagno

Più di 500

Clienti

P_500_up10000

Meno di 500

1-P_500_up-5000

Migliora

Servizio

Pmigl

-5000Non Migliora

1-Pmigl

Investo

Decisione

Non Investo

Clienti=0Servizio=0

0

P=0.1Pmigl=0.5P_500=0.5P_500_down=0.5P_500_up=0.7



Capitolo VI

Elementi di Teoria delle Decisioni



Contenuti

• Preferenze nella Certezza– Curve di indifferenza– Funzione Valore [V(x)]: proprietà– Indipendenza preferenziale

• Preferenze nell’incertezza– Assiomi delle scelta razionale– Funzione Utilità [U(x)] ad una dimensione– Avversione al rischio

• Preferenze in presenza di obiettivi molteplici– Funzioni Utilità a multiattributi



Preferenze nella certezza

• Esempio: dovete sceglire il primo lavoro. Stabilite che gli attributi sono: località (misurata in distanza dal vostro luogo di origine), salario di base e prospettive di carriera. Chiamate gli attributi x1, x2, x3. Avete a disposizione 5 scelte o opzioni a1, a2,…,a5. Ad ogni scelta corrisponde con certezza un livello di x1, x2, x3. Ovvero: le conseguenze di ogni scelta sono note con certezza. Come decidete?

• Si tratta di un problema di scelta a più attributi, in cui le conseguenze di una decisione sono note con certezza.

• In questo caso dovete solamente stabilire quanto rinunciare di un attributo a favore di un altro.



1

Opzione

X1

2X2

3X3

4X4

5X5

X1=0.0X2=0.0X3=0.0X4=0.0X5=0.0

Opzione Valore

Preferenze nella Certezza

• La scelta è tra alternative le cui conseguenze sono certe



E’ possibile strutturare le preferenze?

• Per un determinato problema, potete creare le curve di indifferenza o di isopreferenza:

• Punti che giacciono sulla stessa curva vi lasciano indifferente

x1

x2



La funzione Valore

• Supponete di poter associare un valore ad ogni curva di indifferenza:

• V(x) è la funzione che ci dice quanto sono disposto a scambiare di xj a fronte di un aumento di xk

x1

x2

)x,...,x,x(v)x(V n21



V(x)

• V(x) è una funzione valore se soddisfa le seguenti proprietà:

• a)

• b)

• Dovete sempre supporre una corrispondenza tra opzioni (ai) e attributi x

)''x(v)'x(v''x'x

)''x(v)'x(v''x'x



Esempio• Per la scelta del lavoro, supponete di essere giunti

alla seguente funzione preferenza:

• dove x1 è la distanza misurata in centinaia di chilometri, x2 è la prospettiva di carriera misurata in una scala da 0 a 10 e x3 è lo stipendio misurato in k EUR

• Supponete di avere le seguenti 5 offerte:– (1, 5, 20), (5, 4, 10), (8,3,60), (10, 5, 20), (10,2,40)

• Quale scegliete?

232

21 xx4x/3)x(v



Preferenze nell’Incertezza

Opzione Evento Casuale Utilità

P11U1

P12 U2

P13U3

P14U4

1

2

3

P41 U1

P42U2

P43U3

P44U4

4

Scelta

Ora ho una miscela delle conseguenze di prima: per scegliere non uso più la funzione Valore (V(x)) ma l’Utilità (U(x))



Funzione Utilità

• Utilità è una funzione che dà la preferenza sulle distribuzioni degli attributi.

• Date le distribuzioni 1 e 2 sulle conseguenze x, la distribuzione 1 è tanto desiderabile quanto la 2 se e solo se:

)2x(UE)1x(UE



Utilità vs. Valore

– Problema ad 1 attributo x. Supponiamo che se l’alternativa 1 produce x1 e la 2 x2, allora 12 se x1>x2

– Prendiamo due alternative 1 e 2, con x1>x2, dati con certezza.

– La funzione valore ci dirà: v(x1)>v(x2)

– Adesso prendete il seguente problema:

– Per decidere avete bisogno di u(1) e u(2)

P1X1

1-P1XN

XI

1

2



Dominanza stocastica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

prob

abil

ity

dist

ribu

tion

s ov

er x

Distributions over attribute x

1

2

La distribuzione 1 è dominata dalla 2, se ottenere più x è preferibile. Viceversa, se ottenere meno x è preferibile, allora la distribuzione 2 è dominata dalla 1



Utilità in una Dimensione



Equivalente Certo• Data la lotteria:

• il valore di x tale che siete indifferenti tra x* per certo e giocare la lotteria.

• In equazioni:• N.B.: se siete neutrali rispetto al rischio, allora

x*=E[x]

)x(uE*)x(u

P1X1

1-P1XN

X3

1

2

P1X1

1-P1X2

X*

1

2



Definizione di Avversione al Rischio

• Un decisore è avverso al rischio se preferisce sempre il valore atteso di una lotteria alla lotteria

• Hp: funzione di utilità crescente. Th: Sitete avversi al rischio se l’equivalente certo di una lotteria è sempre inferiore al valore atteso della lotteria

• Siete avversi al rischio se e solo se la vostra funzione utilità è concava

(£20)

0.500£40

0.500 £20

1£10

2£10; P = 1.000

2 : £10



Premio per il Rischio e Premio di Assicurazione

• Il premio per il rischio (“RP”) di una lotteria è la differenza tra il valore atteso della lotteria e il vostro equivalente certo per la stessa:

• Intuitivamente, il premio per il rischio è la quantità di attributo a cui siete disposti a rinunciare per evitare i rischi connessi alla lotteria.

• Supponete ora di trovarvi di fronte ad una lotteria che abbia solo esiti negativi rispetto allo status quo. (una tale lotteria non è altro che un insieme di incidenti). In pratica E[x]=0. A questo punto:

• Quindi siete disposti a pagare x* pur di coprirvi dalla lotteria. RP in questo caso è il Premio di Assicurazione (PA)!

• Quindi:

*xxERP

*xRP

*x:PA



Definizione Matematica

• La funzione avversione al rischio è definita da:

• che si può anche scrivere:

• Supponiamo di avere una avversione al rischio costante, otteniamo una funzione utilità esponenziale:

)x('u

)x("u:)x(r

))x('uln(dx

d)x(r

bea)x(u

)ee(1

)x(u)x(udtedt)t('u

e)x('ux))x('uln())x('uln(dx

d

x

xx0

x

x

t)x(u

)x(u

x

0

00



Risk Preferences

• Constant Risk Aversion

• Compute constant through Certainty Equivalent (CE):

re1U

CE2/xx ee5.0e5.0 11



Investment Results with Risk Aversion

Market up

Market

0.6001-exp(-200/70) = 1

Market Down

0.4001-exp(-(-160)/70) = -9

Blue Chip Stock

Decision

-3

Market up

0.6001-exp(-500/70) = 1

Market Down

0.4001-exp(-(-600/70)) = -5,278

-2,110

Bond=11-exp(-50/70) = 1; P = 1.000

TwoStock

prob_up=0.6 Risky Investment



A quale valore accetterei l’investimento rischioso

Sensitivity Analysis on prob_up

prob_up

Exp

ecte

d V

alue

0.40 0.52 0.64 0.76 0.88 1.00

400.0

0.0

-400.0

-800.0

-1,200.0

-1,600.0

-2,000.0

-2,400.0

-2,800.0

-3,200.0

Blue Chip Stock

Risky Investment

Bond

Threshold Values:

prob_up = 0.96EV = 0.5

prob_up = 1.00EV = 0.9



Esempi di funzioni Utilità

• Lineare: u=ax– Proprietà:

• Neutrale rispetto al rischio

• Esponenziale:– Proprietà:

• Segno - Avversione al rischio costante, + propensione al rischio costante

• Logaritmica: – Proprietà:

• Avversione al rischio decrescente con x

bea)x(u cx

b)xln(a)x(u



Problemi



Problema VI-1

• Per le seguenti tre funzioni utilità,

• calcolate: – La funzione di rischio r(x)– Il premio di rischio per lotterie 50/50– Il premio di assicurazione

xa)x(u

bea)x(u x

b)xln(a)x(u



Problema VI-2

• Considerate una lotteria 50/50. Determinate la vostra costante di avversione al rischio, assumendo una funzione esponenziale.

• Con la costante trovata nell’esercizio precedente, risolvete i problemi e i diagrammi di influenza assegnagi nella lezione 2. Come cambiano le decisioni?



Problema VI-3

• State analizzando alternative per le vostre vacanze:

– Un tour per le città culturali d’Italia, durata 10 giorni, costo 500EUR, per un totale di 1500km percorsi in macchina.

– Un viaggio ai Caraibi, durata 1 settimana, costo 2000EUR, viaggio in aereo.

– 15 giorni in una località Trentino, per un costo di 2000EUR, con 500km di passeggiate a piedi.

• In questo caso, per decidere vi serve una funzione utilità o valore?

• Ragionate sull’ assegnazione di una funzione valore a tre attributi, e provate a decidere. Provate la seguente funzione:

• dove x1 è il costo in migliaia di EUR, x2 è la distanza e x3 è un coefficiente di merito riposo/divertimento da assegnare tra 1 e 10.

• Cosa scegliete?

c

x

b

)x(e1)x(s 3

22

xa

11

Documents

Emanuele Borgonovo 1 Metodi Quantitativi per il Management Emanuele Borgonovo Metodi Quantitativi per il Management Prima Edizione Decision Market Return