I metodi quantitativi

Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru 1

Concetti di base

Una popolazione (o universo) è l’insieme di elementi o delle “cose” che si prendono

in considerazione.

Un campione è la porzione della popolazione che si seleziona per l’analisi.

Individuo o unità statistica: è l’unità di base della rilevazione.

Carattere è ciascun tipo di informazione riferita all’unità statistica (es: se gli studenti

che seguono un corso di statistica compongono la popolazione, i caratteri sono il

sesso, l’età, la residenza, il titolo di studio, ecc.).

Una variabile è una caratteristica che cambia da persona a persona (unità

statistica).

Concetti di base

variabili

qualitative

quantitative

sconnesse

ordinabili

discrete

continue

Colore capelli: Biondo, moro, castano

Giudizio: Sufficiente, buono, ottimo

Voto: 18, 25, 28, 30

Costo bibita: 0.70, 0.97, 1.25, 2.28, 3.0


Cosa si può fare con le variabili qualitative e quantitative

• Variabili qualitative: rappresentazioni grafiche, calcolo di frequenze assolute e relative, indici di connessione.

• Variabili quantitative: rappresentazioni grafiche, calcolo di frequenze assolute e relative, funzioni di ripartizione, indici di posizione, indici di variabilità, indici di correlazione, regressione, ecc.


Le rappresentazioni grafiche

variabili

qualitative

quantitative

sconnesse

ordinabili

discrete

continue

Diagramma a Canne d’organo

Diagramma a torta

Sia

Diagramma Gambo - Foglia

Diagramma a barre

Istogramma

Sia


Per poter costruire delle rappresentazioni grafiche è necessario aver chiare alcune

definizioni

• Frequenze assolute

• Frequenze relative

• Distribuzione di frequenza

• Frequenze cumulate

Le rappresentazioni grafiche: il calcolo delle frequenze assolute e relative.

Frequenza assoluta. Indica il numero delle volte che una determinata modalità compare nel collettivo in esame. Le modalità si indicano genericamente con xi per i=1,2,…,n

Frequenza relativa. Si definisce frequenza relativa della modalità xi il rapporto tra la frequenza assoluta xi ed il numero complessivo delle osservazioni N. Le frequenze relative si indicano con fi. La somma di tutte le frequenze relative è sempre uguale ad 1.

Distribuzione di frequenze. E’ l’insieme delle modalità e delle rispettive frequenze (assolute o relative), organizzato in forma tabellare.

Frequenza cumulata. A partire da una distribuzione di frequenze, assolute o relative, si definisce la frequenza cumulata j-esima (assoluta o relativa) come la somma delle frequenze sino alla classe j-esima compresa. L’ultima frequenza cumulata assoluta è uguale a N, cioè al totale delle osservazioni, mentre l’ultima frequenza cumulata relativa è pari ad uno. La distribuzione di frequenza cumulata si rappresenta attraverso la Funzione di Ripartizione.

Esempio: Si consideri la seguente distribuzione di frequenza (Fonte dati Istat)

Dati ISTAT: Laureati che nel 2004 lavorano per area didattica - Italia Indagine laureati – 2004.

AREA DIDATTICALaureati del 2001 che

nel 2004 lavorano%

Umanistica 25.016 22.1%Economica-sociale 33.667 29.7%Scientifica 13.952 12.3%Giuridica 13.569 12.0%Ingegneria e architettura 23.596 20.8%Medica 2.518 2.2%Educazione fisica 858 0.8%Totale 113.176 100.0%

Modalità

Frequenze assolute

Frequenze relative percentuali

Le rappresentazioni grafiche: il calcolo delle frequenze assolute e relative.

1° frequenza relativa cumulata

2° frequenza relativa cumulata

ultima frequenza relativa cumulata

La distribuzione di frequenze cumulate si rappresenta con la Funzione di ripartizione che verrà analizzata nel dettaglio nel prossimo modulo.

Le rappresentazioni grafiche: il calcolo delle frequenze relative cumulate.


Le rappresentazioni grafiche: il calcolo delle frequenze cumulate.


Le rappresentazioni grafiche: il calcolo delle frequenze cumulate.


Le rappresentazioni grafiche per le variabili qualitative:Il diagramma a Canne d’organo.






Le rappresentazioni grafiche per le variabili qualitative:Il diagramma a torta.






Le rappresentazioni grafiche per le variabili quantitative discrete:Il diagramma gambo-foglia.L’utilità del diagramma gambo-foglia consiste nella sua immediatezza visiva, che ci consente di individuare facilmente intorno a quali valori si concentrano le osservazioni.Il diagramma gambo-foglia si costruisce dividendo ciascuna osservazione nella sua parte principale (il “gambo” dell’albero) e in quella secondaria (le “foglie” dell’albero).

Vediamo un esempio:

Analizziamo i seguenti dati numerici:

Per capire se i dati hanno una struttura la prima operazione da fare è ordinarli:

29, 31, 31, 31, 31, 32, 33, 33, 33, 33, 34, 35, 35, 36, 37, 38, 39, 39, 41, 42, 42, 43, 44, 47, 51

Al fine di rappresentare graficamente la serie ordinata è necessario adottare una codifica, operazione che consente di costruire il diagramma gambo-foglia. Nel diagramma la codifica è la seguente:

2|9 = 293- = intervallo 30 – 343+ = intervallo 35 – 39

25 - 29 9

30 - 34 1 1 1 1 2 3 3 3 3 4

35 - 39 5 5 6 7 8 9 9

40 - 44 1 2 2 3 4

45 – 49 7

50 - 54 1

Si può scrivere così:

Oppure così

2+ 9

3- 1 1 1 1 2 3 3 3 3 4

3+ 5 5 6 7 8 9 9

4- 1 2 2 3 4

4+ 7

5- 1


Le rappresentazioni grafiche per le variabili quantitative discrete:Il diagramma gambo-foglia.


Le rappresentazioni grafiche per le variabili quantitative discrete:Il diagramma gambo-foglia.


Le rappresentazioni grafiche per le variabili quantitative discrete:Il diagramma a barre.

Se si ruota di 90° il diagramma gambo-foglia si ottiene un diagramma a barre. Questa rappresentazione si utilizza quando le osservazioni si presentano con poche modalità.

Nelle ascisse si indicano le modalità e nelle ordinate le frequenze (assolute o relative).


Le rappresentazioni grafiche per le variabili quantitative discrete:Il diagramma a barre.

Le rappresentazioni grafiche per variabili quantitative continue.

L’Istogramma è la rappresentazione grafica dei dati quantitativi discreti, quando assumono un numero elevato di modalità, e dei dati quantitativi continui.

Per poter essere rappresentati, i dati devono essere opportunamente raggruppati in classi e riportati in forma tabellare, ottenendo una distribuzione di frequenza per dati raggruppati.

La caratteristica distintiva dell’Istogramma è che le frequenze delle modalità sono rappresentate nelle aree invece che nelle ordinate (così come accade nel diagramma a barre). In ordinata si indicano, invece, le densità di frequenza (o frequenze per unità di ampiezza).

Nella costruzione della tabella merita una particolare attenzione la scelta del numero di classi e l’ampiezza di ciascuna di esse.


Costruiamo l’istogramma relativo alla distribuzione delle aziende per classi d’investimento (in migliaia di euro), di seguito riportata:

Per rappresentare graficamente (attraverso un istogramma) una distribuzionein classi occorre:

1. calcolare l’ampiezza di classe (limite superiore meno limite inferiore): [50 - 30], [100 -

50], ecc;

2. calcolare la densità di frequenza. Rapporto tra frequenza e ampiezza di classe;

3. riportare su un sistema di assi cartesiani ortogonali, sull’asse delle ascisse le modalità

(limiti delle classi) e sull’asse delle ordinate le densità di frequenza;

4. costruire per ogni classe i rettangoli aventi come base l’ampiezza di classe e come

altezza la rispettiva densità di frequenza.

22Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Il risultato che si ottiene è il seguente:

Frequenze

Den

sit

à d

i fr

eq

uen

za

Limiti (inferiori e superiori) delle classi


Riprendendo l’esempio sulla distribuzione delle altezze di 195 operai (trattato in precedenza)

Scegliendo di formare 5 classi per rispettare la forma originaria della distribuzione, si suggerisce la seguente ripartizione: [165 − 168); [168 − 172); [172 − 175); [175 − 177); [177 − 178); [178 − 180].

A cui corrisponde, dopo aver costruito la distribuzione in classi, la seguente rappresentazione:

Frequenze


Densi

tà d

i fr

equenza

Valori delle x

La funzione di ripartizione

Nel precedente modulo abbiamo introdotto la definizione di frequenze cumulate, rimandando a questo, la rappresentazione. La distribuzione di frequenze cumulate relative (Fi) si rappresenta attraverso la Funzione di ripartizione.

Nel caso di variabili discrete si definisce così:

• entrambe le curve sono crescenti;• entrambe le curve variano tra 0 e 1 e presentano dei salti in corrispondenza delle diverse modalità (la funzione è costante per intervalli);• le curve crescono più rapidamente nel tratto iniziale e medio in cui si addensa la maggior parte delle frequenze; • la funzione di ripartizione dell’Umbria non scende mai al di sotto di quella della Puglia e questo fatto significa che, in termini relativi, le frequenze associate alle modalità più basse sono maggiori in Umbria e quindi la dimensione delle famiglie è minore in Umbria rispetto alla Puglia.

La contemporanea rappresentazione grafica di più funzioni di ripartizione permette di effettuare alcune osservazioni e facendo riferimento alla figura (dove si rappresenta la funzione di ripartizione delle famiglie secondo il numero di componenti in Puglia, linea continua e in Umbria, linea tratteggiata si può notare:


La funzione di ripartizione per variabili continue

Si consideri ora la seguente Funzione di ripartizione per classi di età a Napoli e a Perugia:

Fi

xi

Nel caso di distribuzioni di variabili quantitative ripartite in classi, il valore della funzione di ripartizione è noto solo in corrispondenza degli estremi delle classi e facendo l’ipotesi di distribuzione uniforme all’interno delle stesse, la funzione diviene una spezzata (all’interno della classe si ha un’interpolazione lineare).


E’ la rappresentazione grafica della seguente distribuzione di frequenze

Si possono fare alcune osservazioni:

• a parità di ascisse la curva di Napoli è sempre più elevata: indica cioè che la

popolazione è sistematicamente più giovane;

• l’inclinazione di entrambe le curve si attenua come ci si avvicina alle età avanzate.


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