Emneopgave 4 andengradsfunktioner

Side 0 af 13

Emneopgave 4Andengradsfunktioner

HH1B

Kenneth Pedersen, Philip Ægidius, Lasse Madsen, Rasmus Lund og Anders NissenRibe Handelsskole

HH1B

Kenneth,Philip, Lasse, Rasmus & Anders Matematik Ribe handelsskole

Teoretisk Del.

Forskrift

Forskriften for en andengradsfunktion er:

Tallene a, b og c kaldes andengradsfunktionens koefficienter

Koefficienterne a og c, samt d’s betydning for grafens udseende

koefficienten påvirker hvorvidt parablen vender op eller ned, påvirker også hvor bred

parablens bue bliver. Hvis vil grenene vende op, og hvis vil de vende ned af.

Eks.

.

I den overstående formel er , det vil betyde at parablen vil vende grenene opad, da er

større end nul.

Side 1 af 13


Hvis formlen derimod havde været . Havde været negativ, dette ville

betyde at grenene peger ned af.

koefficienten viser hvor i en parabel den ene af linjerne krydser y-aksen.

Eks.

I den overstående formel er , det vil sige at parablens ene side vil krydse y-aksen i 4.

Side 2 af 13


er parablens diskriminant. d viser hvor mange nulpunkter en parabel har, hvis har

parablen 2 nulpunkter, hvis har parablen 1 nulpunkt, og hvis har parablen ingen

nulpunkter.

findes på følgende måde:

Eks:

Eksempel på en parabel med 2 nulpunkter:

Side 3 af 13


Toppunkt

Formel:

Toppunktet er det øverste eller det nederste punkt i grafen. Toppunktet kan findes ved hjælp af en

ligning, en lommeregner eller Graph. Facit angives som et punkt med både en x og en y værdi.

Eventuelle nulpunkter samt løsning af 2.-gradsligninger

Nulpunkter:

Nulpunkter er der hvor grafen skærer x-aksen, altså rammer 0-linien. Formlen for nulpunkterne

udregnes således:

Facit angives som 1 eller flere x-værdier afhængig af hvor mange nulpunkter grafen har.

Løsning af 2.-gradsligningerAndengradsligninger kan løses på forskellige måder og nedenfor er der et eksempel på hvordan.

Eksempel 1.

Side 4 af 13


Man kan også bruge programmer som Graph og TI-84 lommeregneren til at løse 2-gradsligninger.

Skæring mellem 2 funktioner

For at beregne skæringen mellem 2 funktioner skal man :

Bruge forskriften for de 2 funktioner, sætte dem op mod hinanden, og regne dem ud indtil der står

0 på den ene side. Derefter skal man finde a,b og c og finde diskriminanten. Hvis der er to

diskriminanter skal man sætte tallene ind i nulpunktsligningen for at kunne finde x. derefter skal

man sætte x ind i en af forskrifterne for at finde y. når der er 2 skæringspunkter, så sætter man

først den ene x-værdi ind i en af forskrifterne, og bagefter tager man den anden x-værdi, og sætter

den ind i samme eller den anden forskrift.

Man kan også bruge Graph til at tjekke eller beregne det.

Eks1:

1 Eks. fra side 204 i matematik bogen.

Side 5 af 13


f(x)= -x2-3x+2 (Blå)

g(x)=2x2-x+1 (Rød)

først skal man sætte de to funktioner lig hinanden:

-x2-3x+2 = 2x2-x+1

Derefter skal man trække højre side fra på begge sider:

-x2-3x+2-(2x2-x+1)=0

Derefter skal man ophæve minusparentesen så det bliver til plus i stedet.

-x2-3x+2 - 2x2+x-1=0

Derefter reduceres den så x2, x og de normale tal bliver lagt til eller trukket fra hinanden:

-3x2-2x+1=0

Derefter skal man finde a,b og c:

a = -3

b = -2

c = 1

Side 6 af 13


Ved hjælp af a,b og c kan man så finde diskrimanten(man starter med at regne hver side ud og

ligger derefter sammen):

d = (-2)2 – 4*(-3)*1 = 4+12 = 16

Efter at have fundet deskriminanten, skal man bruge resultatet i formelen for x:

x = = =

L=

Til sidst for så at finde y-værdierne i de to skæringspunkter skal man sætte tallene ind på x plads i

funktionerne:

f( ) = ( )2 – 3 * + 2 = - + 1 = 0,8889

g(-1)= 2*(-1)2-(-1)+1 = 2+1+1 =4

derfor vil det hele ende med at skæringspunkterne er ( og (-1,4). Skæringen kan også ses på

grafen oven over.

Faktorisering af 2.-gradsfunktionerAt faktorisere vil sige at opskrive et udtryk som et produkt af faktorer, dvs. som størrelser, der er

ganget med hinanden.2

Et eksempel hvor funktionen hedder f(x) = x2-7x+6, og nulpunkterne derfor er 1 og 6:

2 Matematik bog, side 210.

Side 7 af 13


x = 1 eller x = 6

Efter at have skrevet nulpunkterne op, trækker man så 1 og64 fra på de sidder hvor tallene står for

at få resultatet til at give 0:

x – 1 = 0 eller x-4 = 0

Derefter skal man omformere ved brug af nulreglen:

(x-1) * (x-6) = 0

Derefter skal de to parenteser ganges med hinanden:

(x-1)*(x-6)=x2-6*x-1*x+6 = x2-5x+6

og vi har da en faktoriseret andengradsfunktion:

f(x) = x2 -5x+6 = (x – 1) * (x -6)

Specialtilfælde af 2.-gradsligningenI nogle tilfælde kan man løse andengradsligningen ax2+bx = 0 på en anden og hurtigere måde end

når man bruger metoden for diskriminanter.

Side 8 af 13


Først skal man sætte det om som nulreglen, som betyder at hvis flere faktorer er ganget sammen

og resultatet skal give nul, bliver en af faktorerne nød til at være nul.

F.eks. skal ligningen x*y= 0 stilles op således:

x = 0 eller y = 0

derefter kan man dele dem ind i a,b og c, hvor c er 0. derefter kan ligningen så skrives som:

ax2 + bx = 0

eks:

-2x2+7x = 0

Så skal der faktoriseres og det betyder at man sætter x uden for parentesen:

x*(-2x+7) = 0

Derefter stiller man så vores forskrift op efter nulreglen:

x = 0 eller -2x+7 = 0

Og efter det trækker man så 7 fra på den anden siden af ligningen for at få x til at så alene:

x = 0 eller -2x = -7

så dividere man med -2 på begge sider i den anden ligning for at få resultatet:

x = 0 eller x = = 3,5

L =

Praktiske Del.

Toppunkt:

Side 9 af 13


Der er 2 måder, hvor på man kan finde toppunktet. Den ene er ved hjælp af Graph, hvor du

indsætter funktionen, trykker ”Evaluer Funktion”, derefter ”Lås til Ekstrenum”, og til sidst

klikker du på grafen, og så kan du aflæse toppunket: (2,1)

Man kan også beregne toppunktet, ved at bruge formlen: T = (P,Q) = ( , )

f(x)=-x2+4x-3

a = -1

b = 4

c = -3

d = b2 – 4ac

d = 42 – 4 * -1 * -3

d = 4

T = (P,Q) = ( , )

T = (P,Q) = ( , ) = (2,4)

Side 10 af 13


Nulpunkter:

Nulpunkter er der,hvor grafen skærer x-aksen.

Der er den reglen, at hvis d er større end 0, har grafen 2 nulpunkter, hvis d er ligmed 0, har

den 1 nulpunkt, og hvis d er mindre end 0, har grafen ingen nulpunkter.

Der er 2 måder hvorpå man kan finde nulpunker for en graf.

Den ene er ved at indsætte den i Graph, ”Evaluere Funktion”, ”Lås til x-akse”, og så trykke

på grafen:

Man kan også beregne grafens nulpunkter.

Formlen for nulpunkter er: X =

f(x)=-x2+4x-3

a = -1

b = 4

c = -3

d = b2 – 4ac

d = 42 – 4 * -1 * -3

d = 4

Side 11 af 13


X =

X = =

Monotoniforhold:

Monotoniforhold handler om hvorvidt en graf er voksende eller aftagende, og hvor den er det. Man tegner grafen, eller får Graph til at lave den, og så aflæser man bare:

Grafen er voksende i intervallet : x < 2Grafen er aftagende i intervallet : x > 2

Definitionsmængde og værdimængde:Dm(f) for f(x)=-x2+4x-3 = R (R = Alle reelle tal)Vm(f) for f(x)=-x2+4x-3 = R

Side 12 af 13

Documents

Emneopgave 4 andengradsfunktioner