Emner i Matematikk 10 ved HiG. · 4 2.6.1 Oppgaveromparametrisertekurver 32 2.6.2 Oppgaver,repetisjonavvektorer 32 2.6.3 Oppgaver,vektorvaluertefunksjoner 33 2.6.4 Oppgaver,Maple

Høgskolen i GjøvikInstitutt for ingeniør- og allmennfag

Versjon per 12. september 2006

Emner i

Matematikk 10 ved HiG.

Hans Petter Hornæ[email protected]

Et samlehefte med emner i Matematikk 10.Dette er emner som ikke er behandlet i læreboka Lorentzen, Hole, Lindstrøm: Kalkulus med en ogflere variable, eller som er svært annerledes behandlet der enn i forelesningene.

Innhold

1 Maple 51.1 Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Maple ved HiG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Maple er et algebraisk matematikkprogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Kommandostyring og menystyring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Standard Maple og Klassisk Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Noen grunnlegende egenskaper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 En innledende øvelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Videre arbeid med Maple i Matematikk 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Liste over en del viktige kommandoer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1 Spesialtegn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.2 Parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.3 Konstanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.4 Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.5 Operatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.6 Andre prosedyrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.7 Differensiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.8 Eksterne pakker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.9 Programmering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Vektorvaluerte funksjoner 192.1 Parametriserte kurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Eksempel, lineære funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 Eksempel, parametrisering av en sirkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.1 Vektorer som retning og lengde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.2 Vektorer i kartesiske koordinatsystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Vektorvaluerte funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.1 Vektorvaluerte funksjoner tolket som posisjon ved tidspunkt t . . . . . . . . . 282.3.2 Hastighet og aksellerasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Eksempel, sirkelbevegelse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5 Parametriserte kurver i Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3

4

2.6.1 Oppgaver om parametriserte kurver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6.2 Oppgaver, repetisjon av vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6.3 Oppgaver, vektorvaluerte funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6.4 Oppgaver, Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7 Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Komplekse tall 393.1 Komplekse tall pa normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 Det komplekse tallplan og komplekse tall pa normalform . . . . . . . . . . . . 393.1.2 Multiplikasjon av komplekse tall pa normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.3 Komplekskonjugert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.4 Divisjon av komplekse tall pa normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.5 Regneregler for komplekse tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.6 Algebraens fundamentalsetning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Komplekse tall pa polarform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.1 Absoluttverdi (modul) og argument (polarvinkel) . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.2 Omregning mellom normal- og polarform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.3 Trigonometrisk form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.4 De Moivres formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.5 Komplekse tall pa eksponentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Komplekse tall og Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4.1 Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.2 Polarform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5 Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Kapittel 1

Maple

1.1 Innledning

1.1.1 Maple ved HiG

I 2004 anskaffet vi versjon 9 av Maple, et dataprogram for matematikk. Denne versjonen vil blibrukt i mange ar, det er kostbart a oppgradere til nyere versjoner.Samtidig besluttet vi a legge økt vekt pa Maple i realfagsundervisningen. Det vil for eksempel iflere fag bli gitt Mapleoppgaver som teller med pa sluttkarakteren, og Maple–relaterte spørsmal vildukke opp pa eksamen.Vi har 40 nettverkslisenser for studentbruk. Skulle det en sjelden gang være slik at alle er i brukvil ikke flere kunne logge seg pa. For sikkerhets skyld lønner det seg kanskje a unnga de versterushtidene (dette er kanskje mest kritisk i siste liten før viktige innleveringer).Introduksjon til Maple legges til faget Matematikk 10, der hovedmalsettingen er a komme i gangog bli fortrolig med Maple.Dette notatet er ment som en første introduksjon til Maple. Videreføring av dette vil bli gittelektronisk, som Maple–dokumenter som legges ut pa nettet, i første omgang under Maple pahjemmesiden til faget Matematikk 10:

http://www2.hig.no/at/realfag/matematikk/Ma10/HPH/2006/Ma10 06.html

Det er en liten fare for motivasjonen at studentene oppdager at regneteknikk man sliter med i dettefaget lett kan automatiseres i Maple. Erfaring sa langt tyder pa at dette ikke er noe stort problem.Uansett er Maple og tilsvarende program faktisk tilgjengelige, og det er viktig at studentene lærerseg noe om mulighetene og begrensningene som ligger i bruk av slike program. Spesielt vil man nokoppdage at Maple er til liten nytte om man ikke har et brukbart matematikkgrunnlag i bunnen.Det er min overbevisning at en del trening i gammeldags handregning er nødvendig for a byggeopp dette grunnlaget, og a fa et aktivt forhold til de matematiske begrepene.Siden en del tid skal brukes pa Maple ma andre ting i Matematikk 10 nedprioriteres i forhold tiltidligere. Dette gjelder først og fremst regning pa ”krøkkete uttrykk”, mens utregninger som viserat studenten behersker de grunnleggende teknikkene fortsatt er viktig. For eksempel kan det væreaktuelt (til eksamen) a vise hvordan man handregner integralene

∫cos(2π x) dx (enkel bruk av

substitusjon) eller∫

x sin(x) dx (enkel bruk av delvis integrasjon).Derimot kan vi vel overlate til Maple a regne ut integral som f.eks.∫ p

−p(p2 − x2) cos

(nπ

px

)dx .

5

6 KAPITTEL 1. MAPLE

Dette er en kombinasjon av substitusjon og to gangers bruk av delvis integrasjon, sa klarer man de to foregaende

integralene bør man i prinsippet klare denne. Det vil imidlertid plundre seg til en del med lange uttrykk og mange

konstanter. Dette er et integral som naturlig kan dukke opp i forbindelse med Fourierrekker i Matematikk 20. Da er

det etter min mening viktigere ting a bruke tid og konsentrasjon pa enn a slite med a regne ut dette integralet som

dere (om et ar) forhapentligvis lett klarer a regne ut i Maple.

I senere fag vil Maple brukes til a løse problemer som det er tidkrevende eller vanskelig a gjøre forhand. I noen grad vil dette bety at en større del av tiden brukes til matematisk modellerering (asette opp problemet pa matematisk form), mens regneteknikk nedprioriteres noe. For eksempel villøsningsmetoder for differensiallikninger bare fa en kort behandling i faget Fysikk. Maple brukestil a løse de differensiallikningene som naturlig framkommer i problemstillingene i faget.

Dessuten er Maple et utmerket pedagogisk hjelpemiddel til a illustrere matematiske begreper, foreksempel ved hjelp av grafikk.

1.1.2 Maple er et algebraisk matematikkprogram

For a illustrere dette ser vi pa løsningen av andregradslikningen x2 + x − 1 = 0 i Maple:

> solve(x^2+x-1=0, x);

−12

+√

52

, −12−

√5

2Her er tegnet > det som star først pa en linje der Maple kan ta i mot en kommando. Resten av den linja har jeg

skrevet, og løsningen pa neste linje er det Maple returnerer nar jeg trykker Retur –tasten.

Som dere ser framkommer svaret ved hjelp av rottegn, da√

5 er et irrasjonalt tall, det vil si at√

5ikke kan forenkles til et heltall eller en brøk.

Løsninger pa denne formen kalles algebraiske løsninger, eller (som vi vil kalle dem i faget Matematikk10) eksakte løsninger.

Dataprogram som kan regne med eksakte løsninger og symboler kalles algebraiske dataprogram. Paengelsk heter dette Computer Algebra System, forkortet CAS. Foruten Maple er Mathematica etmye brukt algebraisk dataprogram.Et dataprogram som i hovedsak regner bare med desimaltall kalles et numerisk program. Matlab,som brukes i enkelte fagmiljøer ved HiG, er et eksempel pa et numerisk system. Regneark som f.eks.Excel er ogsa numeriske system. De fleste kalkulatorer hører ogsa hjemme i denne kategorien.

Ofte ønsker man løsningen som desimaltall, og det finnes flere mater a fa til dette i Maple. Detraskeste er a erstatte en av koeffisientene, f.eks. konstantleddet 1, til desimaltall, altsa 1.0. Det ernok a skrive 1., altsa ha med desimalpunktumet men ingen desimaler.

Maple fungerer (i mange situasjoner) slik at om desimaltall puttes inn sa kommer desimaltall ut:

> solve(x^2+x-1.=0, x);

0.6180339888, −1.618033989

En av fordelene med algebraiske løsninger er at de kan inneholde symboler. For eksempel finnerMaple løsningen av den generelle andregradslikningen ax2 + bx + c = 0:

> solve(a*x^2+b*x+c=0, x);

−b +√

b2 − 4 a c

2 a,−b −√

b2 − 4 a c

2 a

Noen fordeler med bruk av eksakt løsning: Eksakte løsningsmetoder viser strukturen iløsningen pa en mate som kan gi verdifull informasjon om sammenhenger og mulige generaliseringer.

1.1. INNLEDNING 7

Eksakt regning gir mulighet til a regne med symboler, og der det bare finnes tall gir de trening somer nyttig nar tilsvarende utregninger skal gjøres med symboler.Problemet med avrundingsfeil er ikke til stede.

Noen fordeler med bruk av numerisk løsning: Det er ofte lettere med et blikk a se hvorstort et tall er (for eksempel er det ikke lett, uten ekstra regning, a se om brøken 9/17 er størreenn 12/23, men vi ser lett at dette er tilfellet for de tilsvarende desimaltallene 0.5294 og 0.5217).I mange problemstillinger kan de eksakte uttrykkene bli store og uoversiktlige. Ofte finnes ikkeeksakte metoder i det hele tatt, mens numeriske løsningsmetoder finnes.

Det vil være en vurderingssak fra situasjon til situasjon om eksakt eller numerisk løsning skalbrukes, men i faget Matematikk 10 vektlegges eksakte metoder sterkt. Dette er hovedgrunnen til atkalkulator ikke er tillatt pa eksamen i dette faget.

1.1.3 Kommandostyring og menystyring

Hvis handlinger i et dataprogram velges ved hjelp av museklikking pa menyer i programmet, kallesdette menystyring.I et Maple–dokument er det verktøylinjer øverst som gir menystyring av en rekke handlinger, foreksempel til lagring og apning av filer. Disse likner pa verktøylinjer du sikkert kjenner fra før, foreksempel i Microsoft Word.Hvis handlingene isteden styres ved at kommandoer legges inn pa tekstformat kalles det komman-dostyring.Kommandoer som skal eksekveres i Maple legges inn pa denne maten.Kommandostyring gir større fleksibilitet enn menystyring. Det er ogsa raskere nar man har en visstrening.En ulempe er selvfølgelig at man da i større grad er nødt til a huske hva kommandoene heter ogdessuten ma være veldig nøyaktig med at kommandoene skrives inn riktig. Mange av dagens stu-denter er bare vant til menystyring, og finner kommandostyring litt problematisk. Det er viktig meden del øvelse og regelmessig bruk for at dette skal ga smertefritt. Da lærer man seg etterhvert ogsaa tolke feilmeldingene som framkommer ved skrivefeil. Man lærer seg ogsa a bruke hjelpemenyenefor a finne kommandoer man ikke kjenner eller ikke husker nøyaktig.Det finnes ogsa visse muligheter til delvis menystyring av matematikkommandoer∗. KombinasjonenView->Palette gir oppsett for en del vanlige uttrykk, mens det under Tools finnes kommandoerfor a gjøre ferdig kommandoer der man bare har skrevet inn starten, og for stavekontroll.

1.1.4 Standard Maple og Klassisk Maple

Det er to forskjellige† oppsett for Maple–dokumenter (Maple–Worksheets): Moderne Standard ogKlassisk (Classic).Begge oppsett har tilgang pa de samme matematikkfunksjonene, men har litt forskjellig utseende.

Standard oppsettet har blant annet flere valg pa menylinja, og er kanskje litt lettere a bruketil a begynne med. Vi tar her utgangspunkt i menyvalgene pa denne. Filer laget under denneparaplyen far ekstensjon .mw. Den største ulempen med dette grensesnittet er at det krever mye av

∗Bare i MapleV9, ikke i Classic Maple†Egentlig 4, ogsa en for ikke–grafisk skjerm og en for egendefinert oppsett.

8 KAPITTEL 1. MAPLE

datamaskinens ressurser. Spesielt hvis maskinen har litt i underkant av anbefalt minne kan det galangsomt, eller kræsje helt ved tunge beregninger.

Klassisk oppsett har samme utseende som tidligere versjoner av Maple. Siden det krever mindreressurser av maskinen kan det være en ide a bruke dette hvis du planlegger a utføre ressurskrevendeberegninger (kompliserte grafer, for eksempel med animasjoner, er eksempler pa dette). Filer lagetunder denne paraplyen far ekstensjon .mws.

Det kan være noe som ikke fungerer, men det meste gar greit om du apner en .mws–fil i standardMaple, eller en .mw fil i klassisk Maple. Det samme gjelder om du apner en fil laget i tidligereversjoner av Maple.

1.2 Noen grunnlegende egenskaper

• Kommandoer avsluttes med semikolon ; .

Ved deretter a bruke returtasten eksekveres kommandoen.

Ønskes linjeskift inne i en kommando brukes kombinasjonen SHIFT RETUR.

Kommandoen kan ogsa avsluttes med vanlig kolon :. Da vises ikke resultatet av kommandoen.

• Maple skiller mellom store og sma bokstaver. For eksempel er Pi tallet π ≈ 3.14, mens pi erden greske bokstaven π, som ikke vil bli forstatt som et tall av Maple.

• Kommadoen evalf(XXX); gjør om et talluttrykk (XXX) til desimaltall‡.

• Symbolene for de fire regningsartene og potenser er +, -, *, / og ˆ.

Multiplikasjonstegnet ma alltid være med, ax vil bli forstatt som ett symbol satt sammen avto bokstaver, skriv a*x hvis du mener a · x.

• Tilordninger gjøres ved tegnkombinasjonen :=.

For eksempel vil p:= evalf(Pi); bety at p i fortsettelsen kan brukes som tallet π skrevetsom desimaltall.

Ogsa andre objekter som symboluttrykk, funksjoner eller figurer kan tilordnes navn pa dennematen.

• Funksjoner gies ved kombinasjonen -> (dvs. ”bindestrek” og ”større enn”).

For eksempel definerer vi funksjonen f gitt ved funksjonsuttrykket f(x) = x2 slik:f := x -> xˆ 2; .

‡Evalf er forkortelse for ”EVALuate to Floating point number”. Kanskje ikke det mest intuitive navnet de kunnevalgt, men svært nyttig a lære seg.

1.3. EN INNLEDENDE ØVELSE 9

1.3 En innledende øvelse

Hensikten med denne øvelsen er a komme i gang, og a lære:

• A starte Maple pa studentmaskiner, og a lagre og avslutte.

• Hvordan legge inn kommandoer: Spesialtegnet ; (semikolom).

• De fire regningsartene + - * og / samt potenser ^ .

• Desimaltall og kommandoen evalf.

• Konstanten Pi (det vil si π ≈ 3.14).

• A tegne enkle funksjonsgrafer med kommandoen plot.

• A løse likninger med kommandoen solve.

• A hente Maple-filer fra nettet (fagsidene i Matematik 10).

• Det som er skrevet med liten skrift er kommentarer, tips eller ekstra oppgaver. Det er stoff som i denne omgang

ikke er sa viktig.

Hensikten med oppgaven er ikke a fa sa mange riktige svar som mulig pa kortest mulig tid. Ta degtid til a tenke gjennom hva som skjer, slik at du forstar det og forhapentligvis husker det til siden.

Oppgave 1 Oppstart av Maple

Begynn med a opprette en katalog (folder) for Maple-filer pa ditt hjemmeomrade.Legg den for eksempel som en underkatalog til en katalog du kaller Ma10 ,og kall den Maple.

Start sa opp Maple.Dette kan gjøres ved a klikke startmenyen->alle programmer->Maple9.5 og klikke pa ikonet formaplew9.5(eller alternativt cmaplew9.5, om du ønsker a kjøre ”Klassik Maple”, som krever mindre ressurser av maskinen).

Det er nok lurt a lage en snarvei til a apne Maple pa ”skrivebordet”.

Lagre denne fila i katalogen du opprettet under et passende navn , ved hjelp av Edit -> Save AsDenne skrivematen betyr at du først skal klikke pa Edit i menyen oppe til venstre, og deretter undermenyen Save

As.

Oppgave 2 Aritmetikk med Maple

Under menylinjene er det et stort sett blankt omrade der Maplekommandoer og tekst kan skrivesinn, og resultater vises. Oppe til venstre finner du et rødt > –tegn. Det er et ”prompt” som viserat her starter en linje der Maple kan ta inn en kommando (kommandolinje).Nar jeg angir kommandoer i tekst tar jeg ofte med promptet, men det skal ikke dere skrive inn.

Det er antagelig ogsa en ”palett” med oppsett for en del kommandoer og stukturer til venstre (ikke i Classic–

versjonen). Denne skal foreløbig ikke brukes, og kan om dere ønsker ryddes vekk ved View->Palette->Hide all

a ) Prøv først det enkle regnestykket 5 + 7 ved a skrive inn> 5+7;

Semikolon til slutt angir at kommandoen er avsluttet (ma alltid være med), tast retur–tasten,og Maple returnerer svaret 12 i et felt av en type som kalles Output-felt.

Et nytt promt kommer ogsa fram, sa Maple er klar til a ta i mot en ny kommando.

10 KAPITTEL 1. MAPLE

b ) Et regnestykke til: Regn ut 5 · 23 med Maple.Merk at tegnet * (som gjerne finnes ved a bruke skift-tasten sammen med tasten til høyre for æ–tasten) ma

brukes ved multiplikasjon, og at ^ angir potenser. Dette tegnet er gjerne plassert pa tasten over *. Tegnet

kommer ikke fram med en gang, men det dukker opp nar du skriver inn neste tegn:

> 5*2^3;

Siden 23 = 2 · 2 · 2 = 8 er svaret selvfølgelig 5 · 8 = 40.

c ) Na til et mer sammensatt regnestykke,20 − 32

7 + 23+4. Spesielt ma teller og nevner samles til en

enhet hver for seg ved hjelp av parenteser(Uten parenteser vil regnestykket oppfattes som 20 − 32

7+ 23 + 4).

> (20-3^2)/(7+2^3)+4;

Hvis du har tastet riktig far du svaret 71/15 pa brøkform (eksakt form).

(Hvis du ønsker a se input pa ”brøkform” er dette mulig ved a avmerke dette og bruke Format->Convert

to->Standard Math Input)

d ) Na skal regnestykket over gjøres omigjen, men vi ønsker svaret som desimaltall. Desimaltallskrives i Maple med desimalpunktum (”amerikansk notasjon”, ”norsk notasjon” med desimal-komma fungerer ikke). For eksempel kan tallet 20 endres til 20.0. Det er nok a skrive 20., meddesimalpunktum men uten noen desimaler, for at Maple skal oppfatte dette som desimaltall.

Hvis minst et av tallene i et regnestykke av denne typen er desimaltall forstar Maple at viønsker svaret pa desimalform.

Gjør den lille endringen pa forrige regnestykket at du setter inn et punktum etter 20, og seat svaret kommer pa desimalform.Det er ikke nødvendig a skrive alt omigjen, gjør bare denne endringen pa det du alt har staende og tast retur

igjen. Hvis du gjorde om til Standard Math Input i forrige deloppgave er det nok enklest a konvertere tilbake

først, dvs Format->Convert to->Maple Input

Det er lurt a lagre nar du har gjennomført en oppgave. Bruke Edit -> Save.

Oppgave 3 Omgjøring til deimaltall med evalf

Kommandoen evalf og konstanten Pi.

a ) Kommandoen som gjør om et vilkarlig talluttrykk til desimaltall er evalf.

Test først eksemplet> evalf(1/3);

Dette er ogsa det første eksemplet pa en kommando med argument, det vil si at kommandoen pa samme mate

som en funksjon er pa formen evalf(), der det inne i parentesen skal settes inn en eller flere argumenter

(inn–verdier) til kommandoen.

b ) Tallet π angis i Maple som Pi.Det er viktig at du bruker stor P og liten i, det er en hyppig feil a skrive pi. Det er forsavidt lett a rette opp,

men det er ikke alltid lett a oppdage at det er der feilen ligger med en gang.

Tallet π er irrasjonalt, det vil si at det ikke kan skrives eksakt som en brøk mellom heltall,men vi kan regne det ut med sa mange desimaler vi ønsker. Standard i Maple er a regne med10 siffer, men ved et ekstra argument til evalf kan vi angi et annet antall desimaler om viønsker det.

1.3. EN INNLEDENDE ØVELSE 11

Na skal dere regne ut π med henholdsvis 10, 3 og 1000 desimaler.

> evalf(Pi), evalf(Pi,3); evalf(Pi,1000)

Det gar an a sette flere korte kommandoer inn pa en linje. Hvis de skilles med komma kommer svaret ut pa

en linje (som en sekvens) hvis det er plass, mens hvis de skilles med semikolon kommer de under hverandre.

Dette er en kombinasjon av begge varianter:

c ) Uttrykket pi oppfattes i Maple som den greske bokstaven π, og ikke tallet π ≈ 3.14. Vi serikke forskjell pa dem om vi bare ”printer dem ut”, men ser forskjellen om vi forsøker a gjøredem om til desimaltall. Uttrykket PI den greske bokstaven Π (stor π):

> pi, Pi, PI; evalf(pi), evalf(Pi), evalf(PI);

d ) I regnestykker med Pi er det ikke nok at en av koeffisientene er desimaltall for at svaret skalbli desimaltall. Kommandoen evalf ma brukes:

> 3*Pi^2/7, 3.*Pi^2/7, evalf(3*Pi^2/7);

Oppgave 4 Skissering av grafer med plot

Skissering av grafer og grafisk framstilling generelt er noe av det nyttigste med Maple, bade med pedagogisk siktemal

og for a lage figurer til skriflig materiale av forskjellige slag. Her begynner vi med noen enkle eksempler pa bruk av

kommandoen plot:

a ) Minimumsvarianten av plot har to argumenter adskilt med komma: Funksjonsuttrykket somskal plottes, og omradet (utsnittet i horisontal retning) vi skal ha med pa figuren. Detteutsnittet er et intervall, og skille mellom nedre og øvre grense i et intervall er i Maple dobbeltpunktum.

Som eksempel skal dere plotte grafen til parabelen gitt ved f(x) = x2, pa omradet −2 ≤ x ≤ 2:> plot(x^2 , x=-2..2);

Det er ikke en til en skala pa aksene, Maple bruker som standard et forhold som gir ”pen fasong” pa rammen

rundt plottet.

b ) Skal grafen til flere funksjoner plottes i samme diagram ma funksjonsuttrykkene samles i pa-rentesparet { } eller [ ].Det er mest vanlig a bruke mengdeparenteser { }. Da er rekkefølgen tilfeldig. Hvis vi ønsker styring pa rek-

kefølgen, for eksempel for a gi hver graf en farge valgt av oss, brukes listeparenteser [ ].

> plot({x^2, 3-x} , x=-2..2);

c ) Det finnes en rekke frivillige tileggsargumenter (opsjoner) til plot for a styre utseende. Rekkefølgen paargumentene ma da være: 1) Funksjonen(e) 2) Horisontal avgrensning (x=a..b) 3) vertikal avgrensing(y=c..d), hvis den skal være med. 4) Opsjonene i vilkarlig rekkefølge og antall.

Vi skal ikke i denne omgang ga sa nøye inn pa disse, men tar med et eksempel, der vi har avgrensning ogsa ivertikal retning, en opsjon for a gi svarte kurver (colour=black) og en opsjon for a fa til 1:1 –skala pa aksen(scaling=constrained):

> plot({x^2, 3-x} , x=-2..2, y=0..4, colour=black, scaling=constrained);

d ) Hjelpefunksjoner:En mate a fa hjelp til en kommando eller et emne pa er ved a taste inn ? før kommandonavnet. Ved a taste?? far du et konsentrert sammendrag, og ved a bruke ??? kommer du direkte til eksempler.

Jeg bruker dette ofte til huske hvilke opsjoner til plot som er tilgjengelig, og hvordan de brukes. Dette kommerfram ved kommandoen

> ? plot, options

Forsøk dette, og hvis du har tid, eksperimenter med noen av opsjonene til plot.


En strukturert tilgang til en stor samling hjelpefiler kan ogsa faes ved a klikke pa ”hjelp”-ikonet (markert med

spørsmalstegn, antagelig plassert øverst til høyre i dokumentet).

Oppgave 5 Likninger

Likninger løses ved hjelp av kommandoen solve. Kommandoen har som første argument selvelikningen(e) og deretter ma navnet pa den eller de ukjente angis (spesielt hvis likningen inneholderparametre, det vil si andre bokstaver enn den ukjente). Test dette pa følgende eksempler:

a ) Løs likningen 3x − 5 = 11 ved kommandoen> solve(3*x-5=11,x);

b ) Endre tallet pa høyresiden fra heltallet 11 til desimaltallet 11. for a fa løsningen som desimal-tall.

c ) Løs andregradslikningen x2 + 10x − 5 = 0 ved Maple.Finn løsningene bade som eksakte verdier og desimaltall.

d ) Et likningssystem løses ved a samle likningene for seg, og de ukjente for seg i mengdeparen-teser. For eksempel løses likningssystemet 2x − 3y = 3 og x + 2y = 2 ved kommandoen

> solve({2*x-3*y=3,x+2*y=2},{x,y});Finn ogsa løsningsparet som desimaltall.

Kommandoen solve bruker algebraiske metoder til a finne eksakte løsningsmetoder. Det er mange likningstyper

det ikke finnes eksakte løsningsmetoder for. Vi skal senere se pa en kommando fsolve som løser ogsa slike

likninger. Med fsolve blir løsningene alltid desimaltall, og parametre kan ikke være med i likningen.

Lagre og lukk fila.

Oppgave 6 Mapledokumenter fra nettet

Til slutt skal vi se pa hvordan ferdige (eller halvferdige) Mapledokumenter kan hentes fra nettet (hjemmeomradet til

Matematikk 10). I fortsettelsen vil de fleste oppgaver og eksempler bli gitt pa den maten.

Apne en nettleser.Som eksempel skal dere finne og apne en fil som heter redigering.mw som er en innføring (elektro-nisk lærebok) for grunnleggende redigering av Maple–dokumenter. Blant annet hvordan man lagertekstbolker, og hvordan man organiserer dokumentet i avsnitt som midlertidig kan lukkes.Hjemmomradet for Matematikk10 ved Høgskolen i Gjøvik har nettadresse


Naviger til denne, enten ved a skrive inn adressen eller navigere fra http://www.hig.no (HiGshjemmeside) ved lenkeserien Institutt for ingeniør og allmennfag-> Allmennfag -> Matematikk-> Matematikk 10. Plasser gjerne et bokmerke her til senere bruk. (TRES har egne sider, men and-re studenter kan ogsa bruke denne siden).Klikk sa pa Maple, og velg Redigering.mws.Hvis alt na fungerer som det skal, far dere opp en meny med valg mellom a apne fila i Maple, ellera lagre den pa disken. I sa fall velger dere a apne den i Maple.Orienter dere om innholdet, og lagre den pa deres eget omrade til seinere bruk.

1.4. VIDERE ARBEID MED MAPLE I MATEMATIKK 10 13

1.4 Videre arbeid med Maple i Matematikk 10

Innføringskurs

Innføringskurs og videre opplæring i Maple vil bli gitt som Maplefiler, og omhandle utvalgte temaer.Følgende dokumenter er a regne som pensum i Matematikk 10:

redigering.mw Om tekstredigering, tekst- og input felt og inndeling av dokumentene iseksjoner.

plott.mw Om plotting, og navn pa de elementære funksjonene:Enkel plotting, opsjoner, plott av parametriserte kurver, animasjon, 3dfigurer.

Derivasjon.mw Definisjon av funksjoner med ->, grenser og derivasjon.Integrasjon.mw Kommandoene int(), Int() og evalf(Int()),

Riemannsummer i Student[Calculus1]–pakken.Kompleks.mw Regning med komplekse tall i Maple.

Disse kan finnes pa fagsidene i Matematikk 10, via nettadressen


eller pa omradet for Maple

http://www2.hig.no/at/realfag/Maple/Maple.html

Det over vil, sammen med dette notatet, regnes som en del av pensum i faget Matematikk 10.

I tillegg er det laget et tilsvarende dokument om lineær algebra (Matematikk 15), om differensial-likninger (Fysikk) og om 3D-plott (Matematikk 30), og flere vil bli laget etterhvert.

Annet

I tilegg vil oppgaver og løsningsforslag bli lagt ut etter hvert.Eksempler fra forelesninger, oppgaveløsning og annet:I noen eksempler brukes forholdsvis enkel Maple, da er det et poeng at studentene selv skal kunnereprodusere disse.I andre eksempler er resultatet (for eksempel en figur eller animasjon) hovedpoenget, selve Maple-programmeringa er kanskje mer avansert (”for spesielt interesserte”).Løsningsforslag pa Mapleoppgaver, kanskje ogsa av og til pa ”handregningsoppgaver”, kommeretterhvert.


1.5 Liste over en del viktige kommandoer

Maple inneholder et utall kommandoer og funksjoner, og det er umulig a lære seg alle. Ved bruk avhjelpemenyene, erfaring og det a studere eksempler kan man fa til nesten hva som helst. Her følgeren liste over mange av de mest brukte kommandoene og elementene i Maple.

1.5.1 Spesialtegn

Kommando Betydning Eksempel

; Semikolon, kommando avsluttet > 2 + 3;

: Kommando avsluttet, svaret vises ikke > 19/3: %*3;

. Desimalpunktum > 2.71828 ;

, Komma, skilletegn i sekvenser > [x,y] = [2.11 , 3.19] ;

% , %% Siste og nestsiste svar > evalf(%);

.. Dobbelt punktum, intervall > int(sin(x), x=0..Pi);

+ , - Addisjon, subtraksjon > 2+5-3 ;

* , / Multiplikasjon, divisjon > 2*5/3 ;

^ Potens > 5^3-5*5*5;

! Fakultet, n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n > 4!-1*2*3*4;

:= Kolon–Likhet, Tilordning av verdi tilnavn

> pi := 3.14;

-> Bindestrek–Større enn, Funksjon > f := x -> x^2 ;

? Hjelp om kommando > ?plot, options ;

(1.1)

1.5.2 Parenteser


( , ) Gruppering og

argument til kommando

> (2 + 6)/4;

> plot(sin(x), x=0..Pi);

{ , } Mengder (ikke ordnede lister) > plot({x,x^2}, x=0..1);

[ , ] Ordnede lister og

indekser

> kvadr := [1,4,9,16,25]:

> kvadr[3];

(1.2)

1.5. LISTE OVER EN DEL VIKTIGE KOMMANDOER 15

1.5.3 Konstanter

Konstanter


I Den imaginære enhet j, j2 = −1. > (2+3*I)/(1-I);

Pi π ≈ 3.14 > cos(Pi);

exp(1) e1 = e ≈ 2.71828 > e := evalf(exp(1));

infinity Uendelig ∞ >int(exp(-x), x=0..infinity);

(1.3)

1.5.4 Funksjoner

Alle elementære funksjoner kan oppnaes ved kombinasjoner av følgende funksjoner og bruk av de binære operasjonene

+, -, *, / og ^, :

Funksjoner


arcsin Arcussinus (sin−1) > arcsin(1/2);

arctan Arcustangens (tan−1) > arctan(1);

exp Eksponentialfunksjonen ex > e := exp(1.0);

cos Cosinus cos(x) > cos(0);

ln Den naturlige logaritmen ln(x) > ln(1024.)/ln(2.);

sin Sinus sin(x) > sin(Pi/4);

sqrt Kvadratrot√

x > sqrt(81) ;

surd surd(x,n) er n-te rot n√

x > surd(27,3) ;

tan Tangens tan(x) > tan(Pi/3);

(1.4)

1.5.5 Operatorer

Operatorer


diff Derivasjon av funksjonsuttrykk > diff(x^2,x);

D Derivasjon av funksjoner > D(x->x^2);

evalf Gjør om til desimaltall > evalf(Pi, 3);

int Integrasjon, ubestemt og

bestemt

> int(cos(x), x) + C ;

> int(x^2, x = -1..1);

sum Summer,∑n

i=1 f(i) > sum(i^2, i=1..n);

(1.5)


1.5.6 Andre prosedyrer


expand Regner sammen uttrykk > expand((a + b)^2);

fsolve Numerisk likningsløsning > fsolve(ln(x)=x-2, x=0..1);

plot Tegn graf > plot(x+1,x=-2..2);

restart Tømmer alle tilordninger > restart:

seq Lager en sekvens (etter en “formel”) > seq(i^2, i=1..5);

simplify Forenkler uttrykk > simplify(exp(2*x)/exp(x));

solve Løs likning > solve(x^2-2*x-2 = 0, x);

subs Erstatter del av uttrykkk > subs(x=5, diff(x^3,x));

(1.6)

1.5.7 Differensiallikninger

dsolve

1.ordens: > dsolve({diff(y(x),x)+sin(x)*y(x)=cos(x) ,

y(Pi)=3 , y(x)}) ;

2.ordens: > dsolve({ diff(y(x),x,x)+y(x)=0 ,

y(0)=0, D(y)(0)=1 } , y(x));

(1.7)

1.5.8 Eksterne pakker

Generelt


with Apner ekstern pakke > with(plots);

Display er en kommando i pakken plots for a vise > f1:=plot(1/(x+1),x=0..3):

flere figurer sammen: > f2:=plot(1/x,x=1..4);

> display({f1,f2});

pakkenavn[prosedyrenavn]

Bruke prosedyre uten a apne pakke: > plots[display]({f1, f2});

(1.8)

1.5. LISTE OVER EN DEL VIKTIGE KOMMANDOER 17

Nyttige pakker

Pakkenavn Brukl

plots Flere kommandoer til plot, bl.a. display og animate

plottools Strukturer for avanserte, egendefinerte plott.

RealDomain Gir svar som reelle (ikke komplekse) størrelser for en rekkefunksjoner.

Student Gruppe pakker for a innøve begreper (pedago-gisk siktemal). Underpakkene apnes som f.eks.> with(student[Calculus1]);

student[precalculus] Funksjoner (stoff fra videregaede skole).

student[calculus1] Kalkulus i en variabel (Matematikk 10 stoff).

student[LinearAlgebra] Lineær algebra (Matematikk 15 stoff).

student[calculus2] Kalkulus med flere variable (Matematikk 30 stoff).

LinearAlgebra Lineær algebra (vektorer og matriser, Matematikk 15).

stats Statistikkpakke, med underpakker for bruk i statistikk.

inttrans Laplace- og Fouriertransformasjoner (Matematikk 20,elektro).

VectorCalculus Kommandoer for bruk i vektoranalyse (Matematikk 30) .

(1.9)

Dette er et skjønnsmessig utvalg av pakker. En liste over alle pakker kan du fa ved kommandoen> ?index,packages. Hjelpefunksjonene kan brukes til a finne ut mer detaljer om pakkene.

1.5.9 Programmering

Programmering


for/from/ > for i from 1 by 1 to 11 do

by/to/ Gjentar beregninger a[i] := i!;

do/od od;

if/then/ > if(9/17 > 12/23) then

elif/then/ Valg mellom alternativer maks := 9/7;

else/fi else maks := 12/23;

fi;

proc()/ Prosedyre > maks := proc(x,y)

end if x>y then x else y fi;

end;

(1.10)


Kapittel 2

Vektorvaluerte funksjoner

2.1 Parametriserte kurver

Grafen til en kontinuerlig funksjon f av en variabel kan som kjent skisseres i xy–planet, og giren sammenhengende kurve. Det er imidlertid begrenset hva slags kurver vi kan fa fram pa dennematen, først og fremst pa grunn av begrensningen at det bare skal være en funksjonsverdi (y–verdi)til hver argumentverdi (x–verdi). Vi kan fa til mye større fleksibilitet i hvilke kurver vi kan gibeskrive (og for eksempel plotte i Maple) ved a bruke parametriserte kurver.

Foe en parametrisert kurve gir vi x– og y–koordinaten separat som funksjon av en tredje variabelkalt parameteren. Vi skal ofte bruke bokstaven t for parameteren, og da er den parametrisertekurven mengden av alle punkter med koordinater pa formen (x(t), y(t)).

2.1.1 Eksempel, lineære funksjoner

Vi ser først pa et eksempel der bade x og y er lineære funksjoner (det vil si polynomfunksjoner avgrad 1) gitt ved:

x(t) = 5t − 12 , y(t) = 2t − 3

Vi kan regne ut koordinatene til noen punkter pa denne kurven:

t 0 1 2 3 4 5x(t) −12 −7 −2 3 8 13y(t) −3 −1 1 3 5 7(x, y) (−12,−3) (−7,−1) (−2, 1) (3, 3) (8, 5) (13, 7)

Nar vi tegner disse punktene inn i xy–planet ser vi at de ligger pent pa en rett linje, med sammeavstand. Vi skal senere gi et argument for at det faktisk blir en rett linje hver gang begge funksjonene

19

20 KAPITTEL 2. VEKTORVALUERTE FUNKSJONER

er lineære. Vi tegner ogsa inn denne linja.

Kurven parametrisert ved x(t) = 5t − 12, y(t) = 2t − 3 for t ∈ [0, 5]y

x�

�

�

�

�

�

�

�

��

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

t = 0

t = 1

t = 2

t = 3

t = 4

t = 5

Det framkommer ikke av selve kurven (linja) hvilke t–verdier som hører til hvilke punkter pa linja.Dette er her skrevet ved siden av de utregnede punktene.Hvis vi sier at definisjonsomradet til t er intervallet [0, 5] far vi akkurat det linjestykket som ertegnet her. Hvis vi isteden tillater alle t ∈ R betyr det at vi har hele den uendelig lange linja detteer en del av.

2.1.2 Eksempel, parametrisering av en sirkel.

Hvis vi skal parametrisere en sirkel med sentrum i origo og radius R kan vi bruke vinkelen mellomden positive x–aksen og linjestykket ut til det løpende punktet pa sirkelen (polarvinkelen) somparameter.

Sirkel parametrisert med polarvinkelen som parameter ty

x�

�

(x(t), y(t))

R

t

I den rettvinklede trekanten som er skissert er x(t)/R = cos(t), siden cosinus er lengden av hos-liggende katet dividert med hypotenusen. Tilsvarende er y(t)/R = sin(t). Dette gjelder ogsa om vihar (x(t), y(t)) i en av de andre kvadrantene. Ved litt omforming av disse to likningene far vi

Parametrisering av sirkel med sentrum i origo og radius R:x(t) = R cos(t) , y(t) = R sin(t) (0 ≤ t ≤ 2π)

(2.1)

2.2. VEKTORER 21

At parameteren t velges i intervallet [0, 2π] (eller et annet intervall med bredde 2π) gjør at sirkelen blirgjennomløpt en gang. Velger vi et kortere omrade far vi en del av sirkelen, for eksempel gir t ∈ [0, π/2] enkvartsirkel. Velger vi et omrade bredere enn 2π far vi bare de samme punktene opp igjen (punktet (x(t), y(t))løper mer enn en runde gjennom sirkelen).

En av fordelene med parametrisering er at det lett utvides til a parametrisere kurver i rommet, ved a hamed en tredje funksjon z(t) for z–koordinaten∗.For eksempel er kurven parametrisert ved x(t) = cos(t), y(t) = sin(t) og z(t) = t/5 en helix (form som enspiralfjær). Den ser slik ut:

-1-1

000

11

1

2

Punkter i planet (eller rommet) kan identifiseres med vektorer, og dette gir opphav til en litt annen matea betrakte parametriserte kurver pa. Fordelen med den maten er blant annet at da har vi vektorregningensom verktøy til a behandle parametriserte kurver. Dette behandles i avsnitt 2.3, men tar først med en kortrepetisjon av vektorer.

2.2 Vektorer

2.2.1 Vektorer som retning og lengde.

Vektorer stammer opprinnelig fra fysikk, der de blant annet brukes til a beskrive størrelser somfor eksempel hastighet, aksellerasjon og kraft. Dette er størrelser med to atributter, størrelse ogretning. Disse kan da illustreres med piler som angir retningen, og der lengden pa pila tilsvarerstørrelsen.Navn pa vektorer angis gjerne pa trykk med fet skrift, som i v. I handskrift angis det gjerne meden pil over navnet, som i �v.

To vektorer v og u, med v = u

��

��

��

��

��

��

��

��v

u

Siden de to atributtene retning og lengde er like for vektorene i figuren er v = u, selv om de altsaer plassert pa forskjellig sted.

Det er viktig a skille mellom vektorer (med sine to attributter) og skalarer. Skalarer er reelletall, eller bokstavuttrykk som gir reelle tall ved insetting av verdier (parametre, variabler eller

∗Grafen til en kontinuerlig funksjon i to variable f(x, y) (eller løsningsmengden til en likning med tre ukjente x,y og z) gir derimot en flate i rommet.


funksjonsuttrykk). Navn pa skalarer skrives med vanlig tykkelse (og uten pil), slik at x eller �xgjenkjennes som navn pa vektorer, mens x er navn pa en skalar.For vektorer har vi definert to viktige operasjoner, multiplikasjon med skalar og addisjon av tovektorer. Definisjonene er opprinnelig motivert fra fysikk, for eksempel ut fra hvordan den samledevirkningen av to krefter er.Multiplikasjon med skalar bevarer retningen, bortsett fra at den snues 180◦ hvis skalaren er negativ,og endrer størrelsen (lengden) med en faktor som er absolutverdien av skalaren. Dette framgar aven figur med et par eksempler:

Multiplikasjon av vektor med skalar.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

v 2v 0.5v−1v = −v

Addisjon av vektorer foregar ved parallelogramloven. Det vil si at hvis vi tegner vektorene v og umed felles startpunkt og lar dette være to av de fire sidene i et parallellogram, blir diagonalen medsamme startpunkt summen v + u.En alternativ og ofte nyttig mate a se dette pa er at ved a tegne u med start der v slutter, blirv + u vektoren fra startpunktet til v til sluttpunktet til u. I figuren ser vi at disse to matene a sedet pa er like, i siste variant er bare u tegnet som den annen av sidene i parallelogrammet. Sidenretning og lengde er uendret er det den samme vektoren:

Vektoraddisjon med parallelogramloven.

��

��

��

��

Addisjon som den ene vektoren etterfulgt av den andre.

��

��

v v

u

u

v + u v + u

Vanlige regneregler som vi kjenner fra tall gjelder disse operasjonene sa langt de gir mening. Foreksempel gjelder følgende omforming: v + (u−v) = u. Dette betyr at u−v er den vektoren vi maaddere til v for a fa u.For eksempel kan vi ved parallelogramloven tegne u som en diagonal og v som den ene siden, og den andresiden blir differensen u − v. Et alternativ er a tenke pa u − v som u + (−v), og addere u og den vektorensom er motsatt rettet og like lang som v ved parallelogramloven.

Den mest interessante tolkningen av u − v har vi nok med den andre varianten av figuren forvektoraddisjon. Siden v + (u − v) = u kan vi bruke samme figur, med navnet u erstattet medu − v, og v + u erstattet med u:

u − v som vektoren fra endepunktet av v til endepunktet av u.

��

��

v

u − v

u

2.2. VEKTORER 23

Det vi har sagt sa langt gjelder enten vi tenker pa at vektorene (pilene) er avgrenset til a holde seg i et plan,eller om vi tillater at retningen peker i vilkarlige retninger i et 3-dimensjonalt rom.

I fortsettelsen skal vi skille mellom vektorer i planet og rommet.

2.2.2 Vektorer i kartesiske koordinatsystem.

Vi tenker oss na at alle aktuelle vektorer ligger i et plan, der vi har lagt inn et to–dimensjonaltkartesisk koordinatsystem (xy–planet). I dette planet kan et punkt entydig identifiseres med etordnet par av reelle tall, (x, y), som kalles punktets koordinater. Mengen av slike par kalles R

2, menvi kaller ofte ogsa xy-planet selv for R

2.En vilkarlig vektor u i R

2 kan parallellforskyves til en vektor v med begynnelsespunkt i origo. Sidenlengde og retning er bevart, er u = v, og vi skal vanligvis ikke skille mellom disse to.

Vektorer i planet.y

x�

�

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1

0

1

2

3

4

�

�

u

v(x, y)

La (x, y) være koordinatene i endepunktet nar vektoren er plassert med start i origo. Da er koor-dinatene entydig bestemt av vektoren. I figuren over har vi for eksempel (x, y) = (3, 1).Hvis vi omvendt starter med et punkt i planet, finnes det en entydig vektor som ender i dettepunktet nar den plasseres med start i origo.Dette betyr at det er en naturlig en til en korrespondanse mellom vektorer i planet og punkter iplanet.Dette gir ogsa en mate a angi en vektor analytisk pa (dvs. med tall, istedenfor geometrisk, sompiler), ved a gi disse koordinatene. For a opprettholde et lite skille mellom punkter og vektorerbrukes ofte hakeparenteser istedenfor vanlige parenteser nar tallparet skal oppfattes som en vektor.For vektorene i forrige figur har vi dermed u = v = [3, 1].I Matematikk 10 er vi mer opptatt av likhetene, at punkter og vektorer igrunnen er det samme,enn av forskjellen pa disse to typene objekter. Det er ofte hensiktsmessig og naturlig a tegne, ellertenke pa, vektorer som punkter snarere enn som piler. Mengden av vektorer i planet skal vi (ogsa)kalle R

2.

Multiplikasjon med skalar og addisjon av vektorer i xy–planet.

En av fordelen med skrivematen [x, y] for en vektor i R2 er at multiplikasjon med skalar og vekto-

raddisjon følger en veldig enkel oppskrift:Multiplikasjon med skalar utføres med at skalaren multipliseres med hver koordinat. For eksempelom v = [3, 1] er 2v = 2[3, 1] = [2 · 3, 2 · 1] = [6, 2]. Dette tilsvarer den geometriske definisjonen,retningen bevares og lengden fordobles.Vektoraddisjon utføres ved at de to førstekoordinatene adderes til førstekoordinaten i summen, ogtilsvarende med andrekoordinatene. For eksempel er [3, 1] + [2, 2] = [3 + 2, 1 + 2] = [5, 3], og dettetilsvarer parallellogramloven:


Koordinatvis addisjon tilsvarer parallellogramloven.

�

�

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1

0

1

2

3

4

�

��

��

��

��

��

��

��

��

uv [3, 1]

[2, 2]

[3 + 2, 1 + 2]

= [5, 3]

Vektorer i rommet.

I det 3–dimensjonale kartesiske rommet har vi tre akser, x, y og z–aksen, som vi (ihvertfall idette faget) plasserer normalt pa hverandre. Et punkt far pa tilsvarende mate som i xy–planet,tre koordinater, (x, y, z). Vi kaller mengden av slike ordnetde tripler R

3, men vil ogsa bruke dennebetegnelesen pa (det geometrisek objektet) rommet med disse aksene, og etterhvert for vektorenei dette rommet.

Vi plasserer, pa tilsvarende mate som i planet, en vektor i standardposisjonen, og angir da vektorensom [x, y, z] hvis endepunktet faller i punktet med koordinater (x, y, z). Vi skal (nesten) ikke skillemellom punkter i rommet og vektorer i rommet.

Multiplikasjon med skalar utføres ved at skalaren multipliseres inn i hver komponent, f.eks er5[1, 2, 3] = [5, 10, 15].

Vektoraddisjon foregar komponentvis, f.eks [1, 2, 3] + [4,−3,−3] = [1 + 4, 2 + (−3), 3 + (−3)] =[5,−1, 0].

Disse operasjonene tilsvarer de geometriske definisjonene av de samme operasjonene pa piler.

Skalarprodukt og norm.

Norm. Hvis vi tegner inn vektoren med standardrepresentasjon [x, y] i xy–planet, kan vi vedhjelp av den indikerte trekanten og den Pythagoreiske læresetning bestemme lengden av vektoren:

Norm (lengde) til en vektor.

�

�

1 2 3 4

1

2

3

��

��

��

��

��

�� [x, y]

y

x

√x2 + y2

Lengden av vektoren kalles ogsa normen†, og vi bruker absoluttverditegn pa vektoren for a skriveat vi mener vektorens norm.

†Vi sa innledningsvis at en vektor har to attributter, og den ene av disse er størrelsen, som er det samme somnormen. Vi bruker helst norm og ikke lengde som betegnelse, da det er litt meningsløst a snakke om norm i anvendelserder vektoren ikke tolkes direkte geometrisk (men for eksempel som en kraft eller hastighet.)

2.2. VEKTORER 25

Vi har en tilsvarende formel for norm til vektorer i R3‡.

Definisjon av norm for vektorer pa komponentform i R2:

|v| = |[x, y]| def.=√

x2 + y2

Definisjon av norm for vektorer pa komponentform i R3:

|v| = |[x, y, z]| def.=√

x2 + y2 + z2

(2.2)

For eksempel, om v er som i forrige figur, er |v| = |[4, 3]| =√

42 + 32 =√

25 = 5.

Skalarprodukt. Hvis vi har to vektorer (tolket som piler) i planet eller rommet kan vi kallevinkelen mellom dem for θ.

��

��

��

��

θ

u

v

Vi velger vanligvis θ som den minste positive vinkelen mellom vektorene, sa 0 ≤ θ ≤ π, men detteer ikke vesentlig.

Vi kan da definere en type produkt kallt skalarprodukt mellom to vektorer u og v med utgangspunkti denne vinkelen og normene:

Definisjon av skalarprodukt.La θ være vinkelen mellom vektorene u og v. Da er

u · v =def.= |u| · |v| · cos(θ)(2.3)

Jeg har her valgt a bruke fet skrift pa ”multiplikasjonstegnet” · , for a skille det fra multiplikasjon mellom tall, eller

mellom skalar og vektor, som jeg skriver · hvis jeg har det med.

En umiddelbar konsekvens av denne denne definisjone er at om u · v = 0 ma cos(θ) = 0 (hvis ingenav vektoren har norm 0). Den eneste vinkelen (mellom 0 og π) som oppfyller dette er θ = π/2 = 90◦.Det vil si

Vektorene u og v star normalt (vinkelrett) pa hverandre ⇐⇒ u · v = 0 (2.4)

En ulempe med denne definisjonen er selvfølgelig at det vanligvis ikke er sa lett a se direkte hvorstor vinkelen θ er. Det finnes imidlertid en veldig grei mate a regne ut skalarproduktet for vektorerpa komponentform i planet R

2 og i rommet R3§.

‡Vi finner først lengden fra origo til projeksonen i xy–planet, dvs. punktet med koordinater (x, y, 0). Deretterbetrakter vi en rettvinnklet trekant med dette som en katet, og linja fra dette punktet til (x, y, z) som andre katet.Hypotenusen er da v, og lengden av denne er ved Pytagoras

x2 + y22

+ z2 = x2 + y2 + z2

§Dette kan vises ved hjelp av cosinussetningen fra trigonometrien, men vi gjennomfører ikke dette her.


Regneformel for skalarprodukt mellom vektorer pa komponentform i R2:

u · v = [x1, y1] · [x2, y2] = x1x2 + y1y2

Regneformel for skalarprodukt mellom vektorer pa komponentform i R3:

u · v = [x1, y1, z1] · [x2, y2, z2] = x1x2 + y1y2 + z1z2

(2.5)For eksempel er [2,−2, 1] · [2, 1,−2] = 2 · 2 + (−2) · 1 + 1 · (−2) = 0. Siden skalarproduktet er 0 stardisse vektorene normalt pa hverandre i rommet.Merk at skalarproduktet mellom to vektorer blir en skalar (et tall), derav navnet. Skalarproduktetkalles ogsa ofte prikkprodukt.Hvis vi starter med a definere skalarproduktet kan vi definere normen via dette:

Definisjon av norm fra skalarprodukt: |v| def.=√

v · v (2.6)

For eksempel er

|[2,−2, 1]| =√

[2,−2, 1] · [2,−2, 1] =√

2 · 2 + (−2) · (−2) + 1 · 1 =√

22 + (−2)2 + 12 =√

9 = 3 .

Langt pa veg gjelder vanlige regneregler for produkt for skalarprodukt, sa lenge de gir mening¶. Deviktigste er

Regneregler for skalarprodukt:u · v = v · u

u · (av + bw) = au · v + bu · wv · v ≥ 0 og v · v = 0 ⇐⇒ v = 0

(2.7)

Nullvektoren. I siste setning innførte vi nullvektoren 0, vektoren med null lengde og som pakomponentform er [0, 0] i R

2 og [0, 0, 0] i R3. Denne skrives ogsa �0. Tolket som punkt i planet

eller rommet tilsvarer nullvektoren origo. Nullvektoren spiller en rolle tilsvarende tallet 0 i vanligregning, men ma ikke forveksles med dette.Noen regneregler som likner regning med tallet 0 er for eksempel

v + 0 = v , v − v = 0 , 0v = 0 , k0 = 0 , v · 0 = 0 . (2.8)

Merk at det noen steder star vektoren 0, andre steder tallet 0.

2.3 Vektorvaluerte funksjoner

I avsnitt 2.1 definerte vi parametriserte kurver (i planet) ved to funksjoner, x(t) og y(t). Det vil siat for hver t–verdi er punktet (x(t), y(t)) et punkt pa kurven. Det er nesten ingen forskjell om viisteden betrakter dette som en vektor pa komponentform, [x(t), y(t)].En liten forskjell er det vel at vi oppfatter vektoren [x(t), y(t)] som ett enkelt objekt. For hvert–verdi far vi en entydig vektor (som tilsvarer et punkt i planet). Dette er dermed en funksjon fra

¶Merk at for eksempel (u · v) ·w ikke gir mening fordi produktet i parentesen er en skalar, og vi har ikke skalar-produkt mellom vektorer og skalarer. Om vi erstatter siste · med multiplikasjon med skalar far vi en vektor (u · v)w,men denne er vanligvis ikke lik vektoren u(v ·w).

2.3. VEKTORVALUERTE FUNKSJONER 27

(en delmengde av) R inn i mengden R2, noe vi skriver R → R

2. Dette kaller vi en vektorvaluertfunksjon.Vi bruker fet skrift eller pil pa et funksjonsnavn for a markere at det er en vektorvaluert funkjson,i motsetning til reell(valuert) funksjon. For eksempel et funksjonsnavn som r, eller i handskrift �r.Vi kan da skrive funksjonsuttrykket som

r(t) = [x(t) , y(t) ] (eller r = t → [ x(t) , y(t) ])

Første eksempel fra avsnitt 2.1 blir da, om vi gir det funksjonsnavnet r:

r(t) = [ 5t − 12 , 2t − 3 ] (evt. med definisjonsomrade 0 ≤ t ≤ 5).

mens sirkelen med sentrum i origo og (konstant) radius R blir

r(t) = [R cos(t) , R sin(t) ] .

Ved a ta med en ekstra koordinat far vi vektorvaluerte funksjoner fra R til R3, for eksempel helixen

fra avsnitt 2.1:r(t) = [ cos(t) , sin(t) , t/5 ] .

Den parametriserte kurven vi far er dermed en grafisk framstilling av verdimengden til den vek-torvaluerte funksjonen r : R → R

n. Dette er i motsetning til grafen til en reell funksjon f som ermengden av par (x, f(x)) (grafen til en vektorvaluert funksjon r : R → R

2 blir 3-dimensjonal).

Rette linjer som verdimengde til vektorvaluerte funksjoner. La u være en valgt (kon-stant) vektor, enten i planet eller rommet.Siden produkt med skalaren t, det vil si tu forlenger u med en faktor t (motsatt retning om t < 0)blir alle vektorer pa denne formen for t ∈ R (tolket som punkter) den ubegrensede rette linjagjennom origo som inneholder u (tegnet med start i origo). Med denne bruken skal vi kalle u enretningsvektor.La sa v være en annen valgt (konstant) vektor, og definer en vektorvaluert funksjon ved

r(t) = v + tu

Ved a bruke tolkningen av vektoraddisjon som andre vektor tegnet med start der den første ender,far vi da billedmengden som den rette linja gjennom vektoren (punktet) v, og med retning gitt avretningsvektoren u.

Rett linje som vektorfunksjonen v + tu.

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

u

u

v

tu

v + tu


Vi har r(0) = v + 0u = v, og r(1) = v + 1u = v + u, sa ved a begrense definisjonsomradet til0 ≤ t ≤ 1 far vi linjestykket mellom punktene v og v + u.Ved a erstatte u med u− v far vi r(0) = v og r(1) = v + u− v = u, slik at r(t) = v + t(u− v) eren vektorfunksjon for linja mellom punktene v og u.

Talleksempel Hvis vi lar v = [2, 2] og u = [3,−1] i R2 (passer med figuren) far vi pa kompo-

nentformr(t) = v + tu = [2, 2] + t[3,−1] = [2, 2] + [3t,−t] = [2 + 3t, 2 − t]

Vi ser at begge koordinatene er lineære funksjoner av t. Dette gjelder generelt, og utregningen overkan gjøres motsatt veg. Det vil si at hvis begge koordinatfunksjonene er lineære funksjoner blirbildemengden i R

2 en rett linje.Dette gjelder ogsa om en av dem er en konstant, da far vi linjer parallelle med en av koordinataksene.

2.3.1 Vektorvaluerte funksjoner tolket som posisjon ved tidspunkt t

En mate a betrakte en vektorvaluert funksjon pa er at r(t) er posisjonen en partikkel i det kartesiskeplanet (eller rommet) befinner seg ved tidspunktet t. Dette er en god hjelp for en intuitiv forstaelseav vektorvaluerte funksjoner, samtidig som det antyder et viktig anvendelsesomrade i fysikkfaget.Den parametriserte kurven blir dermed banen denne partikkelen følger. Men funksjonsuttrykketinneholder mer informasjon, nemlig om hvordan denne banen gjennomløpes (hvor fort, i hvilkenretning, om det er med konstant eller variabel fart osv.).Betrakt for eksempel de to funksjonene

r(t) = [cos(t), sin(t)], 0 ≤ t ≤ 2π og s(t) = [cos(2πt), sin(2πt)], 0 ≤ t ≤ 1 .

Begge banene blir en sirkel med sentrum i origo og radius 1 (for eksempel meter), gjennomløpt engang. Partikkelen med posisjon beskrevet av r bruker 2π ≈ 6.28 (f.eks sekunder) pa a gjennomføreden ene runden. Partikkelen beskrevet med s bare bruker 1 sekund, og roterer dermed mye fortere.

2.3.2 Hastighet og aksellerasjon

Vi skal fortsatt tolke r(t) som posisjonen til en partikkel ved tidspunkt t, og velger ut to tidspunktert0 og t0 + ∆t. Vektoren ∆r = r(t0 + ∆t) − r(t0) er vektoren mellom posisjonen ved disse to tids-punktene. Dette beskriver altsa (helt konkret) hvordan posisjonen har endret seg i tidsintervallet.

Gjennomsnittshastighet

r(t)

r(t + ∆t)r(t + ∆t) − r(t)

= ∆r(t)

∆r(t)/∆t

Hvis vi dividerer ∆r med ∆t far vi gjennomsnittlig endring per tidsenhet i dette tidsrommet, bademed retning og avstand.

2.3. VEKTORVALUERTE FUNKSJONER 29

Dette er det naturlig a definere som gjennomshastigheten i dette tidsrommet. Vi er imidlertid uteetter en definisjon av v(t0), hastighet akkurat i tidspunktet t0, og det er det naturlig a defineresom grensen for gjennomsnittshastigheten nar ∆t → 0. Ved a droppe indeksen pa t0 far vi da:

Fysisk definisjon av hastighetsvektor: v(t) def= lim∆t→0

∆r

∆t(2.9)

Pa den annen side er det, ved analogi til definisjonen av derivert for reelle funksjoner, naturlig adefinere denne grensen matematisk som den deriverte av den vektorvaluerte funskjonen r(t):

Matematisk definisjon av derivert av vektovaluert fumksjon:dr

dt

def= lim∆t→0

∆r

∆t(2.10)

Ved a kombinere den matematiske og den fysiske definisjonen far vi altsa at hastigheten v er denderiverte av posisjonen r med hensyn pa tiden t. Merk at hastighetener en vektor, altsa bade medlengde (banefart) og retning.En geometrisk tolkning av grensen v(t) = lim∆t→0 (∆r/∆t) er at dette gir tangentvektoren tilkurven (banen) i det aktuelle punktet.

Hastigheten pa komponentform Vi skal na se pa hvordan denne definisjonen blir nar vi skriverr(t) = [x(t), y(t)] pa komponentform i R

2, det blir helt tilsvarende i R3:

∆r = r(t + ∆t) − r(t) = [x(t + ∆t), y(t + ∆t)] − [x(t), y(t)] = [x(t + ∆t) − x(t) , y(t + ∆t) − y(t)]

Vi kan dividere skalaren ∆t inn i hver komponent i en vektor (da det er det samme som a multipliseremed skalaren 1/∆t):

∆r

∆t=

[x(t + ∆t) − x(t) , y(t + ∆t) − y(t)]∆t

=[x(t + ∆t) − x(t)

∆t,

y(t + ∆t) − y(t)∆t

]

Grensen for en vektorfunksjon kan taes komponent for komponent. Vi far da grenser i komponentenesom per definisjon av derivert av reelle funksjoner er de deriverte av disse:

lim∆t→0

∆r

∆t=[

lim∆t→0

x(t + ∆t) − x(t)∆t

, lim∆t→0

y(t + ∆t) − y(t)∆t

]=[dx

dt,

dy

dt

].

Vi bruker ofte Newtons notasjon for deriverte med hensyn pa t, altsa dx/dt = x og dy/dt = y. Vioppsummerer:

Hastighetsvektor (tangentvektor) pa komponentform: v(t) = [ x(t) , y(t) ] (2.11)

Banefart: Vi kaller banefarten til en partikkel med bane gitt av r(t) for v(t). Dette er normen(lengden) av hastighetsvektoren:

Banefart: v(t) = |v(t)| =

⎧⎨⎩

√x2 + y2 i R

2

√x2 + y2 + z2 i R

3(2.12)

Merk at banefarten v er en skalar (et tall) mens hastigheten v er en vektor. Vær nøye med a ikkeblande sammen disse.


Akselerasjon. Pa samme mate som hastighet som er endring av posisjon per tidsenhet er denderiverte av posisjonen med hensyn pa tiden, er akselerasjonen definert som endring av hastighetper tidsenhet. Altsa:

Akselerasjon: a(t) =dv

dt=

d2r

dt2= [ x(t) , y(t) ] (2.13)

Eksempel, rettlinjet bevegelse: La r(t) = [2 + 3t, 2 − t]. Da gir komponentvis derivasjonv(t) = [3,−1], altsa en konstant hastighetsvektor.

v(t) =√

32 + (−1)2 =√

10, altsa konstant banefart.

Akselerasjonen far vi ved a derivere hastigheten [3,−1], sa a(t) = [0, 0], ingen akselerasjon her.

2.4 Eksempel, sirkelbevegelse.

En partikkel som ved tidspunktet t befinner seg i punktet gitt ved

r(t) = [R cos(ωt) , R sin(ωt)] , der R > 0 og ω = 0 er konstanter

følger en bane som er en sirkel med sentrum i origo og radius R.

Hastighetsvektoren finnes ved a derivere komponentvis med kjerneregelen:

v(t) = [−Rω sin(ωt) , Rω cos(ωt)]

Vi har for eksempel at

r(t) · v(t) = −R2ω cos(ωt) sin(ωt) + R2ω sin(ωt) cos(ωt) = 0 for alle t

Det betyr at hastighetsvektoren alltid star vinkelrett pa radiusvektoren. Dette har dere vel hørtom før, spesielt hvis vi isteden tolker v(t) som en tangent til sirkelen.

Banefarten er (om ω > 0):

v(t) =√

(−R)2ω2 sin2(ωt) + R2ω2 cos2(ωt) =√

R2ω2(sin2(ωt) + cos2(ωt)

)=

√R2ω2 = Rω

Spesielt er Rω konstant, sa banefarten er konstant (selv om ikke hastighetsvektoren er det).

Vinkelhastighet for en sirkelbane er definert som banefart dividert med radius, altsa ωR/R = ω.Parameteren ω kan derfor fysisk tolkes som vinkelhastigheten.

Akselerasjone far vi ved a derivere en gang til:

a(t) =[−Rω2 cos(ωt) , −Rω2 sin(ωt)

]= −ω2 [R cos(ωt) , R sin(ωt)]

I siste omskrivning er den negative konstanten −ω2 satt utenfor som felles faktor. Det resterendeer uttrykket for r(t). Det betyr bl.a. at aksellerasjonen hele tiden har motsatt retning av radius-vektoren, dvs. hele tiden har retning mot sentrum. Vi har dessuteen at |a| = Rω2, sa størrelsen paakselerasjonen er konstant.

2.5. PARAMETRISERTE KURVER I MAPLE 31

Hastighets- og akselerasjonsvektor for sirkelbevegelse

y

x

��

��

��

ωt0

v(t0)

a(t0)

2.5 Parametriserte kurver i Maple

Parametriserte kurver i planet R2 kan i Maple plottes med den vanlige plot kommandoen (eventuelt

med opsjoner). Funksjonen gies da pa komponentform, med en 3. koordinat som angir for hvilket–verider vi skal plotte grafen.En sirkel med radius 1 og senttrum i origo kan saledes plottes med kommandoen

> plot([cos(t), sin(t), t=0..2*Pi]);

For vektorvaluerte funksjoner har ofte x og y en mye mer likeverdig rolle enn for grafen til en reellfunksjon y = f(x). Vi vil derfor ofte ønske en til en skala pa aksene. Det oppnar vi med opsjonenscaling=constrained.For eksempel vil følgende kommando produsere en rød enhetssirkel med sentrum i (3, 1). Vi tarmed hele omradet 0 ≤ x ≤ 5 og 0 ≤ y ≤ 3 (sa det blir en litt liten sirkel).Opsjonen scaling=constrained sikrer at den ikke blir flatklemt til en ellipse.Opsjonen colour=black gir svart kurve.

> plot([3+cos(t), 1+sin(t), t=0..2*Pi],x=0..5, y=0..3, scaling=constrained, colour=black);

Den tilsvarende konstruksjone i tre dimensjoner gir en parametrisert flate (som krever to paramet-re). For a plotte romkurver brukes en egen kommando, spacecurve.For eksempel er helixen i figuren i avsnitt 2.1 plottet med kommandoen

> plots[spacecurve]([cos(t),sin(t),t/5],t=0..4*Pi);


2.6 Oppgaver

2.6.1 Oppgaver om parametriserte kurver.

Oppgave 1

En linje i planet er parametrisert ved x(t) = 2t − 1, y(t) = 3 − t

Skisser de linjestykkene vi far nar −1 ≤ t ≤ 2 og nar 3 ≤ t ≤ 4.

Oppgave 2

Et linjestykke vi skal kalle L1 i planet er parametrisert ved x = x1(t) = t/2− 3 , y = y1(t) = t− 2,der 2 ≤ t ≤ 6.Et annet linjestykke, L2, er parametrisert ved x = x2(t) = −2t, y = y2(t) = 4 − 4t, der 0 ≤ t ≤ 1.Skisser L1 og L2. Kommentar?

Oppgave 3

Grafen til funksjonen f gitt ved f(x) = x2 − 3x + 3 kan tegnes som en kurve i xy–planet.Finn en parametrisering x = x(t) og y = y(t) for denne.

Oppgave 4

Følgende kurvestykke er en del av en sirkel med sentrum i origo og radius R = 2. Angi en para-metrisering (med definisjonsomrade for t) for dette kurvestykket.

y

x

2

2

1

01

-1

-2

0-1-2

2.6.2 Oppgaver, repetisjon av vektorer.

Oppgave 1

La vektoren v og u være (omtrent) som i figuren under:

��

��

��v u

Lag frihandstegninger av følgende vektorer:

a ) 2v b) −v c) −0.5u

d ) u + v e) u − v f) v − u

2.6. OPPGAVER 33

Oppgave 2

Tre vektorer i R2 er pa komponentform gitt ved u = [12, 5], v = [8, 6] og w = [−5, 2].

a ) Regn ut pa komponentform v + w.

Tegn v, w og v + w inn i xy–planet, og overbevis deg selv visuelt om at dette passer medparallellogramloven.

b ) Regn ut pa komponentform u − v.

Tegn u, v og u−v inn i xy–planet, og overbevis deg selv visuelt om at u− v er vektoren fraendepunktet av v til endepunktet av u (etter en parallellforskyving).

c ) Regn ut |u| og |v|.d ) Regn ut u · v, u · w og u · (v + w).

Sjekk at det stemmer at u · (v + w) = u · v + u · w.

e ) La θ være vinkelen mellon u og v.

Finn først cos(θ) eksakt, og deretter θ (bade i radianer og grader) som desimaltall ved hjelpav kalkulator eller dataprogram.

2.6.3 Oppgaver, vektorvaluerte funksjoner.

Oppgave 1

To vektorer er pa komponentform gitt som u1 = [ 1 , −1 ] og u2 = [ 4 , 3 ].En partikkel A befinner seg ved tidspunktet t i punktet gitt ved r(t) = u1 + t u2.En partikkel B befinner seg i posisjonen gitt av posisjonsvektoren s(t) =

[1 + 4t2 , −1 + 3t2

].

a ) Skriv r(t)pa komponentform (som [x(t), y(t)]).

b ) Skisser banen partikkel A følger i tidsrommet 0 ≤ t ≤ 1.

c ) Regn ut hastighetsvektoren v(t), farten v(t) og aksellerasjonsvektoren a(t) til partikkel A.

d ) Regn ut hastighetsvektoren v(t), farten v(t) og aksellerasjonsvektoren a(t) til partikkel B.

e ) Hvilken bane følger partikkel B i tidsrommet 0 ≤ t ≤ 1?

Gi en kort beskrivelse av bevegelsen til B med ord for dette tidsrommet.

Oppgave 2

En partikkel befinner seg ved tidspunktet t i punktet i rommet beskrevet av funksjonsuttrykket

r(t) = [3t, 4 cos(t), 4 sin(t)]

(Banen er en helix, en spiral, med x–aksen som symmetriakse.)

a ) Finn hastighetsvektoren v(t), og spesielt v(0).

b ) Finn banefarten v(t) i et vilkarlig tidspunkt. Kommentar?

c ) Finn aksellerasjonsvektoren a(t), og spesielt a(0).


Oppgave 3

Ved (bl.a.) a se bort fra luftmotstanden far vi forenklet beskrivelse av banen en ball som kastes utpa skra far ved posisjonsfunksjonen

r(t) =[

vx0t + sx0 , −12gt2 + vy0t + sy0

]

der parametrene g, sx0, sy0, vx0, vy0 er konstanter og der g er tyngdens aksellerasjon, g ≈ 9.81m/s2

.

a ) Finn hastighetsvektoren v(t) og aksellerasjonsvektoren a(t).b ) Gi en fysisk tolkning av vektorene [sx0, sy0] og [vx0, vy0].c ) Anta [sx0, sy0] = [0, 0] og [vx0, vy0] = [10, 10], og forenkl til g = 10.

Finn posisjons- og hastighetshastighetsvektorene for t = 1 og t = 2.

Oppgave 4

a ) Posisjonen til en partikkel i sirkelbevegelse er parametrisert ved

r(t) = [− sin(2πt),− cos(2πt)] .

Hvor pa sirkelen befinner partikkelen seg ved tidspunktet t = 0?Hvor er sentrum, og hva er radien i sirkelen?Beveger partiklen seg med eller mot klokka?Hva er omløpstiden?

b ) Finn en vektorfunksjon for en partikkel som beveger seg som i a–oppgaven, bortsett fra atsentrum i sirkelen er i punktet med koordinater (a, b).

c ) Et punkt beveger seg slik at posisjonsvektoren er gitt ved

s(t) = [2πt − sin(2πt), 1 − cos(2πt)]

Banen til punktet for t ∈ [0, 2] ser da slik ut:

0

0.51

1.52

2 4 6 8 10 12

Finn hastighetsvektoren v(t) ved tidspunktene t = 1/2 og t = 1.

Denne bevegelsen kan sees pa som summen av rotasjonsbevegelsen gitt ved [− sin(πt), 1 − cos(2πt)] og den

rettlinjede bevegelsen gitt ved [2πt, 0]. For t = 1 har punktet gjennomført en omdreining, og i tillegg forflyttet

seg 2π enheter mot høyre, like langt som omkretsen i sirkelen. Dette er den banen et merke nederst pa et hjul

følger nar hjulet ruller bortover. Denne kurven kalles en sykloide.

Oppgave 5

En parabel er gitt ved vektorfunksjonen

r(t) =[t2 − t − 2 , t2 + t − 2

]a ) Skisser den delen av parablen vi far nar −2 ≤ t ≤ 2.b ) Punktet med koordinater (−2, 0) ligger pa parabelen.

Finn en likning pa rektangulær form (dvs. pa formen y = ax + b) for tangenten til parabeleni dette punktet.

2.6. OPPGAVER 35

2.6.4 Oppgaver, Maple.

Oppgave 1

a ) En ellipse med origo i det ene brennpunktet er gitt ved vektorfunksjonen r med

r(t) = [4 + 5 cos(t), 3 sin(t)] , for 0 ≤ t ≤ 2π .

Lag et plott i Maple av denne.b ) Finn hastighetsvektoren for t = π/4, og plott denne (som et linjestykke med start i r(π/4)) i

samme figur.

Hint: Vektoren mellom punktene u og u + v er gitt ved u + tv, der 0 ≤ t ≤ 1.c ) Lag en animasjon ved kommandoen

> plots[animate]({[4+5*cos(t),3*sin(t), t=0..2*Pi],> [4+5*cos(v)+0.2*cos(t),3*sin(v)+0.2*sin(t), t=0..2*Pi]},> v=0..2*Pi, scaling=constrained, colour=black, frames=50);

Forklar (for deg selv) hvorfor resultatet blir som det blir.

Oppgave 2

a ) Lag et plott av en svart, tykk sirkel med radius R = 0.5 og sentrum i punktet med koordinater(0, 0.5), og en til en skala, med kommandoen

> plot([0.5*cos(t),0.5+0.5*sin(t)), t=0..2*Pi],> scaling=constrained, colour=black,thickness2);

b ) Lag en sirkel til i samme diagram, med samme radius og farge, men med sentrum i punktetmed koordinater (3, 0.5).

c ) Tegn ogsa inn rett linjestykker mellom punktene (−1, 0.5) og (4, 0.5), og mellom (−1, 0.5) og(0, 2).

d ) Lag noen rette linjer til, slik at figuren blir en enkel tegning av en bil. Fjern aksene vedopsjonen axes=NONE.

e ) Hvis du vil leke deg litt mer: Lag en enkel tegning av en mann rett foran bilen, i samme figur.f ) Lag til slutt en animasjon der bilen kjører forbi mannen.


2.7 Fasit

Oppgave 1.1

-2 4

432

200

-1 6

1

Oppgave 1.2

Bade L1 og L2 er linjestykket mellom punktene med koordinater (−2, 0) og (0, 4). Det finnes altsa fleremulige mater a parametrisere det samme linjestykket pa.

Oppgave 1.3

Mange muligheter, men det enkleste er nok a velge x = t og dermed y = f(t) = t2 − 3t + 3.

Oppgave 1.4

Sirkelen kan parametriseres med x(t) = 2 cos(t) og y(t) = 2 sin(t). For a fa bare den delen som er i figurenbegrenser vi definisjonsomradet til π/4 ≤ t ≤ 3π/2.

Oppgave 2.1

a) b) c)

��

��

��

��

��

a) b) c)

��

��

��

�

��

�

Oppgave 2.2

a ) [8, 6] + [−5, 2] = [8− 5, 6 + 2] = [3, 8] b) [12, 5]−[8, 6] = [12−8, 5−6] = [4,−1]

c ) |u| =√

122 + 52 =√

169 = 13, |v| =√

82 + 62 =√

100 = 10

2.7. FASIT 37

d ) [12, 5] · [8, 6] = 12·8+5·6 = 126, [12, 5] · [−5, 2] = 12·(−5)+5·2 = −50, [12, 5] · [3, 8] = 12·3+5·8 = 76.Ser at 126 + (−50) = 76.

e ) Setter inn tall fra c og d oppgaven i formelen u · v = |u| · |v| cos(θ):

126 = 13 · 10 · cos(θ) ⇐⇒ cos(θ) =126130

=6365

arccos(63/65) = 0.2487 (radianer) som tilsvarer 0.2487 · 180◦/π = 14.25◦

Oppgave 3.1

a ) r(t) = [1 + 4t,−1 + 3t].

b )

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

1 2 3 4 5x

c ) v(t) = r′(t) = [4, 3], v(t) = |v(t)| =√

42 + 32 = 5, a(t) = r′′(t) = [0, 0].

d ) v(t) = [8t, 6t], v(t) =√

(8t)2 + (6t)2 = 10t, a(t) = [8, 6].

e ) B følger samme rettlinjede bane som A.

Ved starttidspunktet er farten 0, men den akselererer jamt til farten 10 langs linjestykket.

Oppgave 3.2

a ) v(t) = [3,−4 sin(t), 4 cos(t)], v(0) = [3, 0, 4].

b ) v(t) =√

32 + 42 sin2(t) + 42 cos2(t) =√

25 = 5. Konstant fart.

c ) a(t) = [0,−4 cos(t),−4 sin(t)], a(0) = [0, 0,−4].

Oppgave 3.3

a ) v(t) = [ vx0 , −gt + vy0 ] og a(t) = [ 0 , −g ].

b ) [sx0, sy0] er startposisjonen, [vx0, vy0] er starthastigheten.c ) r(1) = [10, 5], v(1) = [10, 0] (dette er toppunktet for banen).

r(2) = [20, 0], v(2) = [10,−10] (dette er der ballen lander igjen, om grunnen er horisontal.)

Oppgave 3.4

a ) Ved t = 0 er partikkelen i punktet (0,−1), som er ”bunnpunktet” i sirkelen.Sentrum er i origo og radien er 1Partiklen roterer med klokka. (Se f.eks. pa t litt større enn 0. Da har x–koordinaten blitt litt mindreenn 0, den har rotert mot venstre fra bunnpunktet).Omløpstiden er 1 (som er perioden for cosinus og sinusfunksjonen i uttrykket).

b ) [a, b] + [− sin(2πt),− cos(2πt)] = [a − sin(2πt), b − cos(2πt)].


c ) v(t) = [2π − 2π cos(2πt) , 2π sin(2πt)]v(1/2) = [2π − 2π cos(2π/2), 2π sin(2π/2)] = [4π, 0]. (Dette er første topp pa kurven, horisontal tan-gent/hastighet).v(1) = [2π − 2π cos(2π), 2π sin(2π)] = [0, 0]Kommentar: Et slikt punkt der begge de deriverte er 0 kalles en singularitet. Kurven har her en spiss,selv om funksjonen er deriverbar. Dette til forskjell fra grafen til en funksjon f(x), som ikke kan haspisser der funksjonen er deriverbar.

Oppgave 3.5

a )

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 1 2 3 4

b ) Ma først finne t-verdien, for eksempel fra det at y = 0, som gir t = 1 eller t = −2. Ved a sette inn ix = t2 − 2t − 2 ser vi at det bare er t = 1 som passer med x = −2.”Hastighetsvektoren” kan geometrisk tolkes som en tangentvektor. Vi har v(t) = r′(t) = [2t−1, 2t+1],sa v(1) = [1, 3].Ved a bruke tangeringspunktet [−2, 0] som posisjon og v(1) som retningsvektor far vi tangenten pavektorform som [−2, 0]+ t[1, 3] = [−2+ t, 3t]. Ved a sette x = −2+ t og y = 3t, og eliminere t fra disselikningene finner vi t = x + 2 og dernmed y = 3t = 3(x + 2) ⇐⇒ y = 3x + 6.

Et alternativ er a finne stigningskoeffisienten dy/dx ved a bruke settedy

dx=

dy/dt

dx/dt=

2t + 12t − 1

, som for

t = 1 er 3/1 = 3. Da har vi stigningskoeffisienten 3 og et punkt pa tangenten, (−2, 0), og far dermedtangentlikningen y − 0 = 3(x − (−2)) ⇐⇒ y = 3x + 6.

Kapittel 3

Komplekse tall

I Matematikk 10 er en kort innføring i komplekse tall pensum. Dette er dekket i Lorentzen, Hole og LindstrømsKalkulus med en og flere variabler, kapittel A3 (s. 675—682), men her følger et alternativ som er litt mindrekortfattet.

3.1 Komplekse tall pa normalform

3.1.1 Det komplekse tallplan og komplekse tall pa normalform

Vi skal na konstruere et tallsystem som er en utvidelse av de reelle tall. De reelle tallene R fyller opptallinjen med tall i en naturlig forstand (uttrykt bl.a. med skjæringssetningen). For en geometrisktolkning ma vi derfor ha en mengde som er større enn bare en uendelig lang linje. Det viser segat det er mulig, og i mange sammenhenger praktisk, a lage et slikt tallsystem der tallene tilsvarerpunkter i planet. Dette tallsystemet kalles komplekse tall, og betegnes med C.Vi starter med a tegne et vanlig rettvinklet aksekors. Den horisontale aksen (x–aksen) skal vibetrakte som den reelle tallinjen, og punkter pa denne som reelle tall, som dermed er en delmengdeav de komplekse tall. Den horisontale aksen kalles i denne sammenheng den reelle aksen, og betegnesofte med �.Den vertikale aksen skal kalles den imaginære aksen, og betegnes med �.Det tallet som har koordinater (0, 1), altsa som ligger en enhet oppover den vertikale aksen, kallesden imaginære enheten, og betegnes med j.Den imaginære enheten ble opprinnelig kalt i, og dette brukes fortsatt i de fleste bøker, blant annet i læreboka.

Pa grunn av navnekollisjon med symbol for strømstyrke, og det at komplekse tall brukes mye i elektronikk, har

elektroingeniører erstattet dette med bokstaven j, og vi følger denne notasjonen her. I Maple brukes forøvrig I som

navn pa dette tallet.

�

�

�

�−3 −2 −1 0 1 2 3

−2j

−1j

j

2j

Tall pa formen bj, med b ∈ R \ {0}, kalles imaginære tall, og tilsvarer punktene med koordinater(0, b) langs den imaginære aksen.

39

40 KAPITTEL 3. KOMPLEKSE TALL

Addisjon mellom komplekse tall tilsvarer addisjon med vektorer i planet. Det vil si komponentvisaddisjon (som geometrisk tilsvarer parallellogramloven). Dessuten kan vi multiplisere inn reelle tallpa samme mate som vi multipliserer inn skalarer i vektorer, i hver komponent. Dermed kan vi skrivetallet som tilsvarer punktet med koordinater (a, b) pa formen

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bj

der vi har identifisert (1, 0) med det reelle tallet 1, og skriver a ·1 = a, og satt inn j for (0, 1). Dettekalles normalform for komplekse tall.For det komplekse tallet z = a + bj kalles det reelle tallet a realdelen, og vi skriver Re(z) = a.Det reelle tallet b kalles imaginærdelen, og vi skriver Im(z) = b.Bokstaven z brukes ofte som navn pa komplekse tall. For eksempel vil tallet som tilsvarer punktetmed koordinater (−1, 2) pa normalform skrives z = −1+ 2 · j. Vi har da Re(z) = −1 og Im(z) = 2.Merk at j ikke regnes med som en del av imaginærdelen.I neste figur er z = −1 + 2j og −1 − 2j tegnet inn, bade som punkter og vektorer:

�

�

�

�−3 −2 −1 0 1 2 3

−2j

−1j

j

2j�

�

��

��

��

��

��

��

−1 + 2j

−1 − 2j

Dette planet kalles det komplekse tallplan∗.Vi oppsummerer sa langt:

Komplekse tall z ∈ C pa normalform: z = a + bj (a ∈ R , b ∈ R)Realdel: Re(z) = a ∈ R , Imaginærdel: Im(z) = b ∈ R

Addisjon: (a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)jSubtraksjon: (a + bj) − (c + dj) = (a − c) + (b − d)j

(3.1)

Det vi har gjort sa langt er ikke annet enn a innføre noen nye begreper (nye navn) pa vektorregning iplanet R

2. Det som er den vesentlige utvidelsen er at vi ogsa skal innføre multiplikasjon, og etterhvertdivisjon, mellom komplekse tall. Det viser seg at det er nok a innføre en enkelt multiplikasjon fora fa definert multiplikasjon mellom alle komplekse tall:

j · j = −1 (3.2)

Dette skrives ogsa j2 = −1. For alle reelle tall x er x2 ≥ 0, slik at vi ser fra dette at j ikke er etreelt tall. Vi sier ofte at j =

√−1 (selv om dette kanskje er litt upresist, da ogsa (−j)2 = −1).Det er ikke slik at vi uten videre kan innføre en regel som denne. Regelen er motivert ut fra bruk av komplekse tallfør det komplekse tallplan ble innført. Da innførte man (litt uformelt) et tall i =

√−1.

Det er en viktig begrunnelse at dette fører til et system uten selvmotsigelser, og at alle ”vanlige regneregler” for de

fire regningsartene blir bevart. Disse er listet opp i avsnitt 3.1.5. Bevisene for disse er stort sett forholdsvis enkle,

men litt omfattende, sa vi vil ikke gjennomføre dette her.

∗Det kalles ogsa Gaussplanet, etter matematikeren Carl Friedrich Gauss (1777–1855), men det var faktisk nord-mannen Caspar Wessel, bror av forfatteren Johan Herman Wessel, som først innførte det i 1799. De komplekse talluten denne tolkningen hadde man allerede brukt lenge, blant annet av De Moivre (1667–1754).

3.1. KOMPLEKSE TALL PA NORMALFORM 41

Eksempel La oss si vi ønsker a løse 2. gradslikningen

x2 + 2x + 5 = 0

Innsetting i den kjente løsningsformlen for løsning av 2. gradslikninger gir da:

−2 ±√22 − 4 · 52

=−2 ±√−16

2.

Siden vi far et negativt tall under rottegnet sier vi at vi ikke har noen reelle løsninger, og gir ossofte med det. I en del sammenhenger er det imidlertid nødvendig a bruke disse røttene likevel, ogvi prøver a regne videre:

=−2 ±√16 · (−1)

2=

−2 ±√16 · √−12

=−2 ± 4 · √−1

2= −1 ± 2

√−1

Siden vi na har innført et tall j =√−1 kan vi uttrykke disse to røttene som

z1 = −1 + 2j og z2 = −1 − 2j .

Altsa er røttene de to komplekse tallene vi tegnet i forrige figur! Selv om dette er meningsløse talli noen sammenhenger, er de bade nyttige og viktige i andre sammenhenger†.

3.1.2 Multiplikasjon av komplekse tall pa normalform

Vi skal na se hva multiplikasjonen j2 = −1, sammen med vanlige regneregler for multiplikasjon(kjent fra a regne sammen polynomer) medføre for multiplikasjon mellom to komplekse tall z1 =a + bj og z2 = c + dj.Først multipliserer vi hvert ledd i første parentes med hvert i andre. Deretter bytter vi litt om parekkefølgen av leddene og faktorene, og far i første omgang:

z1z2 = (a + bj)(c + dj) = ac + adj + bjc + bjdj = ac + bdj2 + adj + bcj

Vi kan sa erstatte j2 med −1, og dessuten sette j utenfor som felles faktor i de to siste leddene:

z1z2 = ac + bd(−1) + (ad + bc)j = (ac − bd) + (ad + bc)j

Merk at ac − bd bare bestar av reelle tall, slik at dette er et reelt tall. Likeledes er ad + bc et reelttall. Dermed er siste uttrykk pa normalform, og vi har multiplisert to vilkarlige komplekse tall panormalform, og endt opp med et komplekst tall pa normalform. Vi oppsummerer:

Multiplikasjon av komplekse tall pa normalform:(a + bj)(c + dj) = (ac − bd) + (ad + bc)j

(3.3)

Det kan være hensiktsmessig a huske denne formelen. Selv synes jeg den er lettest a huske ”verbalt” som: ”Realdelen

av produktet er realdel ganger realdel minus imaginærdel ganger imaginæredel. Imaginærdelen av produktet er realdel

ganger imaginærdel pluss imaginærdel ganger realdel”. Alternativt kan man gjennomføre utregningen som over (med

tall istedenfor bokstaver), eller sla opp regelen i formelsamlinga (avsnitt 1.5, s. 2–3).

†For eksempel hører løsningen av denne likningen sammen med løsningen av differensialikningen y′′ +2y′+5y = 0.Selv om ikke røttene er reelle er løsningsfunksjonene vanlige reelle funksjoner som finnes via de komplekse røttene.De er forøvrig alle funksjoner pa formen y = C1e

−x cos(2x) + C2e−x sin(2x), der −x = −1 · x i eksponenten skyldes

ar realdelen er −1, mens 2 foran x inne i cosinus og sinusleddet er imaginærdelen.


Talleksempel: La z1 = 2 + 3j sa a = 2, b = 3 og z2 = 4 − j sa c = 4 og d = −1:

(2 + 3j)(4 − j) = (2 · 4 − 3 · (−1)) + (2 · (−1) + 3 · 3)j = 11 + 7j

3.1.3 Komplekskonjugert

En operasjon vi ofte støter pa med komplekse tall er a bevare realdelen, men a skifte fortegn paimaginærdelen.Dette kalles kompleks konjugering, og betegnes med z:

Definisjon av kompleks konjugert: a + bj = a − bj (3.4)

Vi ser lett at z2 = z1 er z2 = z1 (da vi bytter fortegn fram og tilbake).Vi sa for eksempel at de to komplekse røttene i likningen x2 − 2x + 5 = 0 var −1 + 2j og −1 −2j. Dette er et par av kompleks konjugerte tall. Det gjelder generelt at komplekse røtter i reellepolynomlikninger opptrer i komplekskonjugerte par.En viktig bruk av komplekskonjugering er a ta produktet av et tall med sin komplekskonjugerte.Vi kan bruke regneregelen for produkt (med c = a og d = −b), men et alternativ er a bruke 3.kvadratsetning som ogsa gjelder komplekase tall:

z · z = (a + bj) · (a + bj) = a2 − (bj)2 = a2 − b2 · (−1) = a2 + b2 (3.5)

Legg merke til at produktet a2 + b2 er et positivt reelt tall. Unntaket er hvis z = 0 = 0 + 0j. Da era2 + b2 = 02 + 02 = 0.Denne egenskapen utnyttes blant annet i kompleks divisjon.

3.1.4 Divisjon av komplekse tall pa normalform

Nar det gjelder kompleks divisjon anbefaler jeg at dere lærer metoden, framfor a huske formelen.Den baserer seg pa knepet a multiplisere teller og nevner med den komplekskonjugerte av nevneren.Med dette oppnar vi at nevneren blir et reelt tall.Metoden vises med et eksempel:

2 + 5j4 − 3j

=(2 + 5j)(4 + 3j)(4 − 3j)(4 + 3j)

=(2 · 4 − 5 · 3) + (2 · 3 + 5 · 4)

42 + 32=

−7 + 26j25

I nevneren brukte vi multiplikasjonsregelen for tall med sin komplekskonjugerte fra forrige avsnitt.Vitsen er at dette blir et reelt tall (her 25). Merk ogsa at det alltid blir + mellom de to kvadratene.Na kan vi dividere realdel og imaginærdel hver for seg med nevneren, og far

2 + 5j4 − 3j

=−725

+2625

j

Merk at na er kvotienten pa normalform, siden −7/25 og 26/25 er reelle tall.I tilegg til a være en metode for faktisk a utføre divisjonen generaliseres dette lett‡ slik at vi kanse at z1/z2 alltid blir et komplekst tall nar z2 = 0. Det vil si at divisjon er definert generelt forkomplekse tall.

‡Vi kan generalisere det til formelen

a + bj

c + dj=

ac + bd

c2 + d2+

bc − ad

c2 + d2j

3.1. KOMPLEKSE TALL PA NORMALFORM 43

Eksempel, lineær likning. Vi skal som eksempel se pa løsningen av følgende 1. gradslikningmed komplekse koeffisienter:

2z + 1 = jz − 4j

Vi ordner den først slik at leddene med z blir staende pa venstre side og resten pa høyre side avlikhetstegnet:

2z − jz = −4j − 1 ⇐⇒ (2 − j)z = −1 − 4j

Denne er pa samme form som en reell lineær likning ax = b, bortsett fra at a og b er komplekse.Den løses pa tilsvarende mate, dvs. tilsvarende x = b/a:

z =−1 − 4j2 − j

=(−1 − 4j)(2 + j)(2 − j)(2 + j)

=((−1)2 − (−4)1) + ((−1)1 + (−4)2)j

22 + 12=

2 − 9j5

=25− 9

5j

3.1.5 Regneregler for komplekse tall

Her listes opp noen grunnleggende regneregler for komplekse tall. Dette oppsummerer hva jeg leggeri begrepet ”vanlige regneregler for de fire regningsartene”.Det er temmelig rett fram a vise at de gjelder, men det blir jo litt mye regning med sa mange regler. Dette taes derfor

ikke med her.

1. For alle z1 ∈ C, z2 ∈ C er z1 + z2 ∈ C og z1z2 ∈ C

Vi sier at mengden av komplekse tall er lukket under addisjon og multiplikasjon.

2. Vi har et tall 0 ∈ C med egenskapen z + 0 = z for alle z ∈ C.Vi har et tall 1 ∈ C, 1 = 0, med egenskapen z · 1 = z for alle z ∈ C.Dette er selvfølgelig de vanlige tallen 0 og 1, og de kalles additiv og multiplikativ enhet.

3. For alle z1 ∈ C, z2 ∈ C er z1 + z2 = z2 + z1 og z1z2 = z2z1

Dette kalles kommutativitet av henholdsvis addisjon og multiplikasjon.

4. For alle z1 ∈ C, z2 ∈ C, z3 ∈ C er (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) og (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3)Dette kalles assosiativitet, og betyr at vi uten fare for misforstaelse kan droppe parentesene i gjentatte addi-

sjoner eller multiplikasjoner.

5. For alle z1 ∈ C, z2 ∈ C, z3 ∈ C er z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.Dette kalles distributivitet, og medfører regelen om at parenteser multipliseres sammen ved a multiplisere hvert

ledd i første parentes med hvert ledd i andre parentes.

6. For alle z ∈ C finnes et tall −z ∈ C med egenskapen z + (−z) = 0.Dette betyr at vi ogsa har subtraksjon, da vi kan definere z1 − z2 som z1 + (−z2).

7. For alle z ∈ C, z = 0, finnes et tall z−1 ∈ C med egenskapen z · z−1 = 1.Dette betyr at vi ogsa har divisjon, da vi kan definere z1/z2 som z1 · z−1

2 .

Fra disse reglene følger andre vanlige regneregler som for eksempel kvadratsetningene, potens-regningsreglene for heltallspotenser og brøkregningsreglene.

Noen kommentarer litt utenfor pensum:

Hvis vi hele vegen bytter ut C med Q (de rasjonale tallene) eller R (de reelle tallene) gjelder de samme reglene. Ettallsystem som oppfyler disse aksiomene kalles en kropp.

Man kunne tenke seg en videre utvidelse, at vi definerte en multiplikasjon av vektorene i R3 sa det ble en kropp. Detviser seg imidlertid at dette er umulig, og det er heller ikke mulig for Rn for noen andre endelige tall n. Dette betyrat vi i en viss forstand er framme ved det endelige malet med kroppsutvidelser nar vi har konstruert C.


Man synes kanskje en komponentvis multiplikasjon hadde vært enklere enn den multiplikasjonen vi har definert forC. Da ville vi ikke fatt noen kropp. I sa fall matte tallet 1 fra aksiom 2 betydd punktet (1, 1), men aksiom 7 ville ikkevært oppfyllt. Hvis vi for eksempel hadde valgt z = (0, 1), ville z · z1 = (0, 1) · (x, y) = (0, y), som ikke er lik (1, 1) fornoen valg av x og y.

Det er ikke tilfeldig at vi ikke har med noen setninger som involverer ulikheter. I motsetning til R og Q er ikke Clineært ordnet (ihvertfall ikke pa noen naturlig mate som gjør at regler som f.eks a < b og c < d ⇒ a + c < b + d

gjelder).

3.1.6 Algebraens fundamentalsetning.

La P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + ax + a0 være et polynom der koeffisientene an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ C.

Følgende setning (det noe kompliserte beviset tar vi ikke med) gjelder da:

Algebraens fundamentalsetning: Det finnes et komplekst tall c slik at P (c) = 0 (3.6)

En konsekvens av dette er at ethvert komplekst polynom kan faktoriseres i komplekse lineære faktorer:

P (x) = an(x − c1)(x − c2) · · · (x − cn)

Hvis koeffisientene an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R kommer de komplekse røttene i kompleks konjugerte par, ogfaktoren (x − c)(x − c) = x2 + (−c − c)x + c c er et irredusibelt 2. gradspolynom med reelle koeffisien-ter. Det betyr at ethvert reelt polynom kan faktoriseres i et produkt av reelle førstegrads- og irredusibleandregradspolynomer.

3.2 Komplekse tall pa polarform

3.2.1 Absoluttverdi (modul) og argument (polarvinkel)

Vi har i forbindelse med amplitude og faseforskyvning av sinuskurver sett at et punkt i planet kan angis enten somrektangulære koordinater ((x, y)–koordinater), eller som polarkoordinater. Polarkoordinater er paret bestaende av R,avstanden fra origo, og θ, vinkelen linja (vektoren) fra origo til punktet danner med den positive x–aksen.

Dette gjelder ogsa for komplekse tall, men vi bruker litt andre betegnelser og navn pa størrelsene.

Definisjon av absoluttverdi |z| =√

Re(z)2 + Im(z)2 (3.7)

Absoluttverdien kalles ogsa modulen til z.Absoluttverdien svarer geometrisk til lengden av linja fra 0 (origo) til punktet som representerer z i detkomplekse tallplan, eller normen til vektoren [Re(z), Im(z)].Hvis x ∈ R er ogsa x ∈ C, siden R ⊂ C. Da svarer absoluttverdi til hvordan absoluttverdi (eller tallverdi) erdefinert for reelle tall. Vi har for eksempel

| − 3| = | − 3 + 0j| =√

(−3)2 + 02 =√

9 = 3 .

Vi definerer argumentet til z som vinkelen linjestykket ut til punktet z danner med den positive reelle akseni det komplekse tallplan. Vi bruker ofte den greske bokstaven θ (eller φ) for argumentet.Argumentet gies alltid i radianer.Følgende skisse viser absoluttverdien |z| og argumentet θ for et komplekst tall:

�

�

θ

|z|

z

3.2. KOMPLEKSE TALL PA POLARFORM 45

Hvis absoluttverdien og argumentet er gitt far vi et entydig komplekst tall, men det er en viss flertydighet ihvordan vi oppgir argument, da vi kommer ut i samme retning og dermed til samme punkt i det komplekseplanet om vi adderer eller subtraherer et helt antall ganger 2π til argumentet θ.Ved a gi z ∈ C ved a oppgi absoluttverdi og argument sier vi z er gitt pa polarform (i motsetning tilnormalform).En skrivemate for dette er polar (|z|, θ|), for eksempel polar

(2, 2

3π)

eller polar (11.62, 1.982).Noen bruker ogsa skrivematen (|z|∠θ), for eksempel (2∠ 2

3π).

3.2.2 Omregning mellom normal- og polarform

Hvis |z| = 1 blir projeksjonen ned pa den reelle aksen cos(θ), det var jo slik vi definerte cosinus geometrisk.Da blir ogsa, fra geometrisk definisjon av sinus, projeksjonen til den imaginære aksen sin(θ). Dette er illustrerti figuren til venstre.

Hvis |z| er et vilkarlig tall vil vektoren, og dermed ogsa projeksjonen pa aksene, forlenges med en faktor |z|(figuren til høyre):

�

�

�

�

1

cos(θ)

sin(θ)

θ

|z|

Re(z) = |z| cos(θ)

|z| sin(θ) = Im(z)

θ

Siden førstekoordinaten er realdelen, og andrekoordinaten er imaginærdelen til z far vi dermed

Sammenheng mellom paret (realdel , imaginærdel) og paret (absoluttverdi, argument)Re(z) = |z| cos(θ)Im(z) = |z| sin(θ)

Re(z)2 + Im(z)2 = |z|2(3.8)

Den nederste likningen er Pytagoras eller, om vi vil, definisjonen av |z|. Den følger ogsa av de to over, menden er ofte nyttig a ha med som hjelpesetning ved siden av disse.Dette gir direkte hvordan vi regner om fra polar- til normalform.

Eksempel Et komplekst tall er gitt pa polarform som z = polar(2, 2

3π). Finn z pa normalform.

Vi har da at

Re(z) = 2 cos(

23π

)= 2 ·

(−1

2

)= −1 og Im(z) = 2 sin

(23π

)= 2 ·

(√3

2

)=

√3

Siden z = Re(z) + Im(z)j er da z = −1 +√

3j.Den omvendte vegen er litt mer komplisert. La oss de pa hvordan vi regner om z = −2 − 2j tilpolarform.Det er forholdsvis enkelt a finne absoluttverdien:

|z| =√

Re(z)2 + Im(z)2 =√

(−2)2 + 22 =√

8 =√

4 · 2 = 2√

2

For a finne argumentet er det nyttig a lage en figur. Jeg anbefaler at dere alltid gjør det, ihvertfall i fagetMatematikk 10 der kalkulator ikke tillates til eksamen.Det er lett a tegne inn tallet z = −2 + 2j, bare tegn punktet med koordinater (Re(z), Im(z)) = (−2, 2), oglinjestykket (vektoren) fra 0 (origo) til dette punktet:


�

��

�−3 −2 −1 0 1 2 3

|z| = 2√

(2)θ

j

2j�

−2 + 2j

Et blikk pa figuren skulle være nok til a se at θ = 3π/4 (altsa π/2 + π/4, som tilsvarer 90◦ + 45◦).Mer formelt kan vi si at linjestykkene med hjørner i punktene (−2, 0),(−2, 2), (2, 0) og (0, 0) er et kvadrat, og at

vektoren ut til z halverer dette kvadratet. Derfor er vinkelen den danner med f.eks. den negative reelle aksen π/4, og

derfor vinkelen med den positive reelle aksen π − π/4 = 3π/4.

Hvis vi skulle regnet ut θ uten figur kunne vi brukt at Re(z) = |z| cos(θ) som gir −2 = 2√

2 cos(θ), ogtilsvarende Im(z) = |z| sin(θ) som gir 2 = 2

√2 sin(θ). En mate a løse disse likningene pa er a ta

Im(z)Re(z)

=|z| sin θ)|z| cos(θ)

=sin θ)cos(θ)

= tan(θ) som for z = −2 + 2j gir tan(θ) =2−2

= −1 .

Det ma vises litt forsiktighet ved denne framgangsmaten. For det første virker den ikke om Re(z) = 0,men i denne situasjonen ligger tallet pa den imaginære aksen, og en figur vil raskt avgøre om θ = π/2 ellerθ = −π/2.Ellers er det naturlig a ta arcustangens, men dette fører ikke direkte til malet hvis θ ikke er i verdimengdentil arctan som er intervallet (−π/2 , π/2).I dette tilfellet far vi arctan(−1) = −π/4, men dette er stikk motsatt retning av det vi vil. Dette skyldesat θ ikke er i verdimengden til arctan. Medisinen er da a snu retningen ved a addere π, slik at vi farθ = −π/4 + π = 3π/4. Dette ma gjøres hver gang Re(z) < 0.Konklusjonen er at

z = −2 + 2j = polar(2√

2, 3π/4)

Et eksempel til, numeriske verdier. La na z = 19.23 − 7.11j. En røff figur vil vise at θ er mellom−π/2 og 0, altsa innenfor definisjonsomradet til arctan. Dermed skal vi ikke korrigere med π som i forrigeeksempel. (Kunne ogsa sagt at vi ikke skal korrigere med π da Re(z) = 19.23 > 0.)

Vi bruker kalkultor eller Maple til utregningene,og finner:

|z| = |19.23 − 7.11j| =√

19.232 + (−7.11)2 =√

19.232 + 7.112 = 20.50

Videre er

θ = arctan(−7.11

19.23

)= −0.3541

Kalkulatoren ma være innstilt i radianer (hvis ikke ma det korrigeres ved a multiplisere med omregningsfaktoren

π/180).Dermed er

z = 19.23 − 7.11j = polar (20.50,−0.3541)

3.2.3 Trigonometrisk form

Siden et komplekst tall z pa normalform er Re(z) + Im(z)j, og Re(z) = |z| cos(θ) og Im(z) = |z| sin(θ) , kandet ogsa skrives

z = |z| cos(θ) + |z| sin(θ)j = r (cos(θ) + j sin(θ))

der r = |z| er absoluttverdien og θ er argumentet. Hvis vi skriver tallet pa denne formen kalles det trigono-metrisk form. Pa denne formen inngar r og θ, det regnes ikke sammen (da kommer vi tilbake til normalform).


Tallene fra eksemplene i forrige avsnitt blir pa trigonometrisk form:

−2 + 2j = 2√

2(

cos(

34π

)+ j sin

(34π

))19.23 − 7.11j = 20.50 (cos (0.3541) + j sin (0.3541)) .

Det er de samme tallene som i polarformen vi uttrykker z med, sa det er egentlig bare et litt annet oppsettpa polarformen.Vi skal na regne ut produktet av to komplekse tall pa trigonometrisk form. La z1 = r1 (cos(θ1) + j sin(θ1))og z2 = r2 (cos(θ2) + j sin(θ2)).Vi ommøblerer først litt pa rekkefølgen av faktorene (ved a sette absoluttverdiene foran alt, og dessutenj–ene etter sinusene):

z1 z2 = r1r2 (cos(θ1) + j sin(θ1)) (cos(θ2) + j sin(θ2)) = r1r2 (cos(θ1) + sin(θ1) j) (cos(θ2) + sin(θ2)j)

Parentesene kan na multipliseres med multiplikasjonregelen for komplekse tall pa normalform (med a =cos(θ1), b = sin(θ1), c = cos(θ2) og d = sin(θ1)), og vi far:

z1 z2 = r1r2 ((cos(θ1) cos(θ2) − sin(θ1) sin(θ2)) + (cos(θ1) sin(θ2) + sin(θ1) cos(θ2)) j)

Dette ser kanskje komplisert ut ved første blikk, men ved a bruke summeformlene for cosinus og sinus,cos(u+ v) = cos(u) cos(v)− sin(u) sin(v) og sin(u+ v) = sin(u) cos(v)+cos(u) sin(v) ”baklengs”, med u = θ1

og v = θ2, forenkles dette til:

z1 z2 = r1r2 (cos(θ1 + θ2) + j sin(θ1 + θ2)) (3.9)

Legg merke til at dette er et uttrykk pa trigonometrisk form, med r = r1r2, og argument θ1+θ2. Det vil si: Vimultipliserer absoluttverdiene, og far absoluttverdien i produktet. Vi adderer argumentene og far argumenteti produktet.Ved a skrive dette tilbake pa polarform far vi

polar (r1, θ1) · polar (r2, θ2) = polar (r1 · r2 , θ1 + θ2) (3.10)

Vi far en tilsvarende divisjonsregel:

r1 (cos(θ1) + j sin(θ1))r2 (cos(θ2) + j sin(θ2))

=r1

r2(cos(θ1 − θ2) + j sin(θ1 − θ2))

polar (r1, θ1)polar (r2, θ2)

= polar(

r1

r2, θ1 − θ2

) (3.11)

Dette vises enklest fra produktregelen, som en likning, med x som absoluttverdi og y som argument i kvotienten:

polar (r1, θ1)

polar (r2, θ2)= polar (x , y) ⇐⇒ polar (x , y) polar (r2, θ2) = polar (r1, θ1) ⇐⇒

polar (x · r2 , y + θ2) = polar (r1, θ1) som gir likningene x · r2 = r1 og y + θ2 = θ1 .

Eksempel La z1 = polar (4, π/3) og z2 = polar (2, π/6). Da er

z1z2 = polar(4 · 2,

π

3+

π

6

)= polar

(8,

π

2

)= 8

(cos(π

2

)+ j sin

(π

2

))= 8(0 + j · 1) = 8j

og

z1

z2= polar

(42,π

3− π

6

)= polar

(2,

π

6

)= 2

(cos(π

6

)+ j sin

(π

6

))= 2

(√3

2+ j · 1

2

)=

√3 + j .

Vi kan sammenlikne med multiplikasjon pa normalform:

z1 = 4(cos(π

3

)+ j sin

(π

3

))= 4

(12

+ j

√3

2

)= 2 + 2

√3 j og


z2 = 2(cos(π

6

)+ j sin

(π

6

))= 2

(√3

2+ j

12

)=

√3 + j

Dette girz1z2 = (2 ·

√3 − 2

√3 · 1) + (2 · 1 + 2

√3√

3)j = 0 + (2 + 2 · 3)j = 8j

Forsøk selv a sjekke divisjonen pa normalform.

3.2.4 De Moivres formel

Hvis |z| = 1 er z = cos(θ) + j sin(θ). Vi far da

z2 = z · z = (cos(θ) + j sin(θ)) (cos(θ) + j sin(θ)) cos(θ + θ) + j sin(θ + θ) = cos(2θ) + j sin(2θ)

Denne typen multiplikasjon kan gjentas, og vi far for generelt heltall n ∈ Z:

De Moivres formel(cos(θ) + j sin(θ))n = cos(nθ) + j sin(nθ) (3.12)

Formelen kan formelt vises ved et induksjonsbevis, og gjelder ogsa for n = 0 og negative heltall.Hvis vi ikke begrenser oss til |z| = 1 far vi varianten

zn = (|z| (cos(θ) + j sin(θ)))n = |z|n cos(nθ) + j sin(nθ) (3.13)

som pa polarform kan skrivespolar (r, θ)n = polar (rn, nθ)

Eksempel La z = 1 + j, og vi skal regne ut z20.Vi har |z| =

√12 + 12 =

√2 = 21/2, og vi ser av en enkel figur at θ = π/4:

�

�

��

��

1 + j

θ = π/4

Dermed er zn pa polarform

polar(21/2, π/4

)20

= polar((

21/2)20

, 20π/4)

= polar(210, 5π

)Vi har at 210 = 1024. Siden cosinus og sinus har periode 2π kan vi addere eller subtrahere et helt antallganger 2π og fa en vektor i samme retning, dvs. fa det samme tallet. Vi har da at 5π tilsvarer 5π−2 ·2π = π.Pa trigonometrisk form, og etter litt regning pa normalform, far vi da

(1 + j)20 = 1024 (cos(π) + j sin(π)) = 1024(−1 + 0j) = −1024 + 0j = −1024 .

Eksempel Vi skal na finne alle komplekse tall z slik at z3 − 8 = 0, som kan omformes til z3 = −8. Detvil si finne alle komplekse 3. røtter til −8. Vi ser lett at −2 er en rot, men hvilke andre finnes?Vi løser dette ved a la z være ukjent, og uttrykke z pa polarform med ukjent r og θ.Vi har | − 8| = 8, og siden vektoren ligger langs den negative reelle aksen har −8 argument θ = π. Vi kanimidlertid bruke θ = 3π eller θ = 5π, og generelt θ = π + k · 2π der k er et heltall. Dette har betydning idenne problemstillingen.Vi regner ut den ukjente z3 (pa polar- eller trigonometrisk form), og sammenlikner med −8 pa den tilsvarendeformen:

z3 = polar (r, θ)3 = polar(r3, 3θ

)= polar (8, π + 2kπ)

Ved a sammenlikne absoluttverdiene ser vi at r3 = 8, og siden r er et positivt reelt tall ma vi ha r = 2.Deretter sammenlikner vi argumentene, og har at 3θ = π + 2kπ ⇐⇒ θ = π

3 + k 2π3 .

For k = 0 far vi da θ = π3 , for k = 1 far vi θ = π

3 + 2π3 = π og for k = 2 far vi θ = π

3 + 2 2π3 = 5π

3 .


Hvis vi fortsetter med k = 3 far vi θ = π3 + 3 2π

3 = π3 + 2π. Siden dette er argumentet vi fikk for k = 0 med

en ekstra runde, gir dette det samme tallet opp igjen. Tilsvarende far vi bare de 3 komplekse tallene vi fikved a velge k = 0, k = 1 og k = 2 opp igjen for andre k–verdier, sa vi blir staende igjen ped 3 røtter. Setterdet opp pa trigonometrisk for og regner det om til normalform:

k = 0 : 2(cos(π

3

)+ j sin

(π

3

))= 2

(√3

2+ j

12

)=

√3 + j

k = 1 : 2 (cos (π) + j sin (π)) = 2 (−1 + j 0) = −2

k = 2 : 2(

cos(

5π

3

)+ j sin

(5π

3

))= 2

(√3

2+ j

−12

)=

√3 − j

Kommentarer til eksemplet: Vi sa at en av røttene var den reelle roten −2, som vi kjente fra før. Deto komplekse røttene er komplekskonjugerte. Det gjelder generelt at komplekse røtter for et polynom med reellekoeffisienter kommer i komplekskonjugerte par.

Siden absoluttverdien til alle røttene er 2, ligger de pa en sirkel med radius 2 og sentrum i 0 (origo) i det kompleksetallplan. Dessuten kommer argumentene med samme parvis innbyrdes avstand 2π/3. Det vil si at de ligger jevntfordelt langs sirkelen og danner hjørnene i en likesidet trekant.

Generelt vil røttene i likningen zn = a, der a ∈ C, pa tilsvarende mate danne hjørnene i en regulær n–kant. Hvis

spesielt a = 1 hvil z = 1 være en av røttene, sa punktene ligger pa enhetssirkelen og det ene hjørnet kommer pa den

positvie reelle aksen. Likningen zn = 1 kalles sirkeldelingslikningen.

3.2.5 Komplekse tall pa eksponentialform

Eksponentialfunksjonen kan defineres for komplekse tall pa en entydig mate, for eksempel via rekketeo-rien (Matematikk 20). Vi skal ikke gjennomføre dette her, men sette opp en viktig konsekvens av dennedefinisjonen:

Eulers formelcos(θ) + j sin(θ) = ejθ (3.14)

Den komplekse eksponentialfunksjonen har mange av de egenskapene vi kjenner for den reelle eksponential-funksjonen, for eksempel

exey = ex+y .

Hvis x = jθ1 og y = jθ2 betyr dette

ejθ1ejθ2 = ejθ1+jθ2 = ej(θ1+θ2)

Legg merke til at dette ikke er noe annet enn en produktregelen for komplekse tall (med absoluttverdi 1) papolarform, satt opp pa en litt annen mate enn tidligere. Dette i seg selv er nesten nok til a begrunne hvorfordette er den eneste fornuftige maten a definere eiθ.Ved hjelp av Eulers formel kan vi skrive

|z| (cos(θ) + j sin(θ)) = |z|ej θ


Ethver komplekst tall z kan altsa skrives som z = rej θ (med r = |z|). Dette kalles eksponentialform. Sidenparametrene er absoluttverdien r = |z| og argumentet θ er dette i grunnen bare en annen mate a skrive oppet komplekst tall gitt pa trigonometrisk- eller polarform.For eksempel er −2 + 2j = polar

(2√

2, 3π/4), fra et tidligere eksempel. Pa eksponentialform skrives dette

−2 + 2j = 2√

2ej 3π/4 .

Ved igjen a bruke at exey = ex+y gjelder far vi ogsa fram hva ez ma være for et vilkarlig komplekt tallz = a + bj:

ea+bj = eaebj = ea (cos(b) + j sin(b))

For eksempel er

e2−5j = e2 (cos(5) + j sin(5)) = 7.389(0.2837 + j · 0.9589) = 2.096 + 7.086j .

Eksempel: I anvendelser i elektronikk og signalbehandling vil man ofte støte pa eksponentialformen i en sam-menheng der vi setter θ = ωt og |z| = R. Da tolkes kanskje R og ω som konstanter, og t som en reell variabel (tiden).Pa den maten blir dette en funksjon fra de reelle tall inn i de komplekse tall:

f(t) = Rejωt

Siden |z| = R = konstant, far alle punkter samme absoluttverdi og ligger derfor pa en sirkel med sentrum 0 og radiusR i det komplekse tallplan. ”Bildet” av dette blir da en ”partikkel” som beveger seg rundt sirkelen med vinkelhastighetω.

Ved a identifisere en vektor r med et punkt i planet, og videre med et komplekst tall, er dette egentlig det sammesom den vektorvaluerte funksjonen

r(t) = [ R cos(ωt) , R sin(ωt) ]

som ble gjennomgatt som et eksempel i forbindelse med vektorvaluerte funksjoner. En fordel med a tenke pa det somkomplekse tall er at regneregler for eksponentialfunksjonen (for eksempel potensregneregler, derivasjon og integrasjon)som vi kjenner fra den reelle eksponentialfunksajonen stort sett fortsatt gjelder.

Vi kan ogsa tenke pa Rejωt som en funksjon av ω. Dette skifte av ”stasted” (mellom ”tidsrommet” og ”frekvensrom-

met”) er et viktig aspekt ved bruken av denne funksjonen i anvendelser.

3.3 Komplekse tall og Maple

I Maple brukes stor I som navn pa den imaginære enhet. Dette fordi bokstavene i og j ofte brukes i andresammenhenger.Regning med komplekse tall pa normalform er da rett fram:> (2+3*I)*(1-5*I) ;

17 − 7I

> (2+3*I)/(1-5*I) ;

−12− 1

2I

Komplekse løsninger pa likninger gies pa normalform:> solve(x^2+2*x+5=0,x) ;

−1 + 2 I , −1 − 2 ∗ I

> solve({x+I*y=3.0 , I*x+5*y=1.0-I},{x,y}) ;

{x = 2.333333333− 0.1666666667I , y = 0.1666666667− 0.6666666667I}Kommandoen for polarform er polar. Hvis vi setter inn et tall pa normalform gjøres det om til polarform:> polar(1+I) , polar(-2+I) , polar(-2.+I);

polar(√

2 ,π

4

), polar

(√5 , − arctan

(12

)+ π

), polar (2.236067978, 2.677945045)

Hvis kommandoen polar gies med to reelle argumenter, oppfattes disse som absoluttverdi (modul) og argu-ment.

3.3. KOMPLEKSE TALL OG MAPLE 51

For a tvinge fram en omregning til normalform kan vi bruke kommandoene evalc (EVALuate to Complex

number, jfr. evalf).> polar(2,Pi/3) , evalc(polar(2,Pi/3));

polar(2 ,

π

3

), 1 +

√3I

Hvis vi tar eksponentialfunksjonen til et komplekst tall med desimalverdier regnes den om til normalformav seg selv. Hvis vi derimot har gitt den med eksakte verdier eller symboler ma vi bruke evalc for a fa denpa normalform:> exp(2.0+5.0*I) , exp(x+I*y), evalc(exp(x+I*y));

2.095995802− 7.085545260I , ex+Iy , ex cos(y) + Iex sin(y)

Vi kan fa realdelen av et komplekst tall ved kommandoen Re, og imaginærdelen med Im:> Re(3+4*I), Im(3+4*I), Re(polar(11,Pi/7)), Im(polar(11,Pi/7));

3 , 4 , 11 cos(π

7

), 11 sin

(π

7

)Absoluttverdien (modulen) far vi ved kommandoen abs, argumentet med kommadoen argument:> abs(3+4*I), argument(3+4*I), abs(polar(11,Pi/7)), argument(polar(11,Pi/7));

5 , arctan(

43

)11 ,

17π


3.4 Oppgaver

3.4.1 Normalform

Oppgave 1

Regn sammen til normalform

a ) (2 + 3j) + (−1 + j) − (2 − j) b) (2 + 3j)(3 + 2j)

c ) (3 + 4j)(3 − 4j) d) j(1 + j)

e ) j4 f)1

3 + 4j

g )3 − j

3 + jh)

1 + j

j

Oppgave 2

a ) Finn z (pa normalform) fra likningen

(3 − j) z = −1 + 2j

b ) Finn z (pa normalform) fra likningen

2 + 5j

−1 − 2jz = 4 + j

c ) Finn z1 og z2 (pa normalform) fra likningssystemet

z1 + jz2 = 1

z1 + 3z2 = 2j

d ) Finn de komplekse tallene x og y, skrevet pa normalform, som oppfyller følgende likningsystem

x − j y = 0j x + 3 y = 2 − 4j

.

Oppgave 2c var eksamensoppgave 5a i MM1, april 2003 (dvs. utsatt prøve)

Oppgave 3

Regn sammen til et polynom (med variabel x):

(x − (−1 + 2j)) (x − (−1 − 2j))

3.4.2 Polarform

Oppgave 1

Gjør om til normalform:

a ) 2 (cos(π/4) + j sin(π/4)) b) polar(√

2 , 3π/4)

c ) cos(3π/2) + j sin(3π/2) d) 4ejπ/6

Oppgave 2

Finn absoluttverdi (modul, |z|) og argument (θ) for:

a ) 1 + j b) 1 − j c) −1 + j d) −1 − j

e ) 1 +√

3 j f) −1 +√

3 j g) 4j h) −15

3.4. OPPGAVER 53

Oppgave 3

Utfør følgende utregninger eksakt, og uten kalkulator:

La z1 = 2 (cos(π/4) + j sin(π/4)) og z2 = 4ejπ/6 .

a ) Regn ut z1 · z2, og gi svaret pa trigonometrisk og eksponentilaform.b ) Finn z1 · z2 pa normalform (du vet fra 2.1a og 2.1d hva z1 og z2 er pa normalform).c ) Bruk svaret til a finne eksakt verdi av sin(5π/12)

Oppgave 4

Utfør følgende utregninger eksakt, og uten kalkulator:La z = −1 +

√3j .

a ) Gjør om z til polarform.b ) Regn ut z10 med de Moivres formel.

Svaret skal gies pa polar- og trigonometrisk form.c ) Regn ut z10 pa normalform.


3.5 Fasit

Oppgave 1.1

a ) (2 + 3j) + (−1 + j) − (2 − j) = (2 + (−1) − 2) + (3 + 1 − (−1))j = −1 + 5j

b ) (2 + 3j)(3 + 2j) = (2 · 3 − 3 · 2) + (2 · 2 + 3 · 3)j = 13j

c ) (3 + 4j)(3 − 4j) = (3 · 3 − 3 · (−4)) + (3 · (−4) + 4 · 3)j = (32 + 42) + 0j = 25d ) Enklere enn ”formel”: j · 1 + j · j = j − 1 = −1 + j

e ) j4 =(j2)2 = (−1)2 = 1

f )1

3 + 4j· 3 − 4j

3 − 4j=

3 − 4j

32 + 42=

325

− 425

j

g )3 − j

3 − j· 3 + j

3 + j=

(3 · 3 − (−1) · (−1)) + (3 · (−1) + (−1) · 3)j32 + 12

=8 − 6j

10=

45− 3

5j

h )1 + j

j· −j

−j=

−j − j2

02 + 12=

−j − (−1)1

= 1 − j

Oppgave 1.2

a ) Dividerer begge sider med 3 − j og far

z =−1 + 2j

3 − j=

(−1 + 2j)(3 + j)(3 − j)(3 + j)

=(−1 · 3 − 2 · 1) + (−1 · 1 + 2 · 3)j

32 + 12=

−5 + 5j

10= −1

2+

12j

b )

z =−1 − 2j

2 + 5j(4 + j) =

(−1 − 2j)(2 − 5j)(2 + 5j)(2 − 5j)

(4 + j) =−12 + j

22 + 52(4 + j) =

129

(−49 − 8j) =−4929

− 829

j

c ) Løser ut z1 fra første likning til z1 = 1 − jz2. Setter dette inn i andre likning:

(1 − jz2) + 3z2 = 2j ⇐⇒ (3 − j)z2 = −1 + 2j

Dette er samme likning som a–oppgaven, med løsning

z2 = −12

+12j .

Setter sa inn dette for a finne z1:

z1 = 1 − jz2 = 1 − j

(−1

2+

12j

)= 1 +

12j − 1

2j2 =

32

+12j

d ) Fra den første likningen har vi x = jy, som kan settes inn i den andre:

j · j y + 3 y = 2 − 4j ⇐⇒ −y + 3y = 2 − 4j ⇐⇒ y =2 − 4j

2= 1 − 2j

Finner deretter x somx = jy = j(1 − 2j) = j − 2j2 = 2 + j

Oppgave 1.3

Multipliserer sammen ledd for ledd, og behandler de komplekse tallene i første omgang som enkelt ledd:

(x − (−1 + 2j)) (x − (−1 − 2j)) = x2 − x(−1 − 2j) − (−1 + 2j)x + (−1 + 2j)(−1 − 2j) =

x2 − [(−1 − 2j) + (−1 − 2j)]x + (−1 + 2j)(−1 − 2j)

Regner sammen (−1 − 2j) + (−1 − 2j) = −2 + 0j = −2 og (−1 + 2j)(−1 − 2j) = 12 + 22 = 5, og setter inndette til

x2 − (−2)x + 5 = x2 + 2x + 5

Det som er gjort her er det motsatte av a løse likningen x2 + 2x + 5 = 0, med røtter −1 ± 2j.Disse røttene gir opphav til faktoriseringen x2 + 2x + 5 = (x − (−1 + 2j)) (x − (−1 − 2j)).

3.5. FASIT 55

Oppgave 2.1

a ) 2(√

2/2 + j ·√

2/2) =√

2 +√

2j

b )√

2(cos(3π/4) + j sin(3π/4)) =√

2(−√

2/2 + j · √2/2)

= −1 + j

c ) 0 + j(−1) = −j

d ) 4 (cos(π/6) + j sin(π/6)) = 4(√

3/2 + j · 1/2)

= 2√

3 + 2j

Oppgave 2.2

For a finne absoluttverdi og argument (med eksakte verdier) anbefales a tegne inn tallene i det kompleksetallplan.

a, b, c, d Gjør dette for oppgavene a), b), c) og d) i samme tegning:

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

1

j

−1

−j

�

�

�

�

�

� 1 + j−1 + j

1 − j−1 − j

Alle fire har modul |z| =√

12 + 12 =√

2

Vi ser at vinkelen linja ut til 1 + j danner med den positive reelle aksen er 45◦. Det vil si at θ =arg(1 + j) = π/4.

For de andre er vinklene π/4 pluss et helt antall rette vinkler, og vi har derfor

arg(−1+ j) = π/4+π/2 = 3π/4, arg(−1− j) = π/4+π = 5π/4 og arg(1− j) = π/4+3π/2 = 7π/4

e, f Bade 1 +√

3 j og −1 +√

3 j har modul |z| =√

12 +√

32

= 2

Lager figur far a se argumentene:

�

�

1

j

−1

√3j−1 +

√3j 1 +

√3j

�

��

|z| = 2

Vi gjenkjenner (forhapentligvis) en 30◦–60◦–90◦ trekant, da hypotenusen er dobbelt sa lang som denkorteste kateten. Derfor har vi en 60◦ vinkel for 1 +

√3 j. For −1 +

√3 j mangler det 60◦ pa a være

180◦, sa dette er en 120◦ vinkel. Omregnet til radianer gir dette

arg(1 +√

3 j) = π/3, arg(−1 +√

3 j) = 2π/3


g ) Tallet 4j finnes 4 enheter oppover pa den imaginære aksen (tegn figur selv).Derfor er |4j| = 4 og θ = arg(4j) = π/2

h ) Tallet −15 finnes 15 enheter til venstre pa den reelle aksen (tegn figur selv).Modulen er | − 15| = 15 (Obs: Ikke −15 !).

Vinkelen til den negative reelle aksen er 180◦ (Obs: Ikke 0◦ !), sa θ = arg(−15) = π

Oppgave 2.3

a ) Pa eksponentialform er z1 = 2ejπ/4, og multiplikasjonen er

2ejπ/44eπ/6 = 2 · 4ej(π/4+π/6) = 8ej5π/12 = 8(

cos(

512

π

)+ j sin

(512

π

))

b ) z1 = 2(√

2/2 + j√

2/2) =√

2 +√

2j

z2 = 4 (cos(π/6) + j sin(π/6)) = 4(√

3/2 + j · 1/2) = 2√

3 + 2j

Dette gir pa normalform multiplikasjonen

(√

2 +√

2j)(2√

3 + 2j) = (√

2 · 2√

3 −√

2 · 2) + (√

2 · 2 +√

2 ·√

3)j = (2√

6 − 2√

2) + (2√

6 + 2√

2)j

c ) Ved a sammenlikne imaginærdelene pa de to uttrykkene for z1 · z2 finner vi

8 sin(

512

π

)= 2

√6 + 2

√2 ⇐⇒ sin

(512

π

)=

2√

6 + 2√

28

=√

6 +√

24

Oppgave 2.4

a ) Vi fant i oppgave 2.2f at z = 2(cos(2π/3) + j sin(2π/3)). Pa polarform er dette

polar(

2 ,23π

)

b )

z10 = polar(

2 ,23π

)10

= polar(210 , 20π/3

)Det er hensiktsmessig a bruke et mindre argument ved a trekke fra et passende antall ganger 2π, ogsiden 3 · 2π = 6π = 18π/3 tilsvarer 20π/3 argumentet 20π/3− 18π/3 = 2π/3:

z = polar (1024, 2π/3) = 1024(

cos(

23π

)+ j sin

(23π

))

c ) Regner om z10 til normalform:

z10 = 1024

(−1

2+ j

√3

2

)= −512 + 512

√3j

Documents

Emner i Matematikk 10 ved HiG. · 4 2.6.1 Oppgaveromparametrisertekurver 32 2.6.2 Oppgaver,repetisjonavvektorer 32 2.6.3 Oppgaver,vektorvaluertefunksjoner 33 2.6.4 Oppgaver,Maple