Emulador SISO

Circuito emulador

de funciones de transferencia

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES

CUAUTITLAN CAMPO 4

Jiménez Juárez Marcos Enrique

Santos Landa Francisco Javier

Bernardo Álvarez Jesús Felipe

Alumnos:

Profesor:

Pedro Celestino Rendón Torres

Control de procesos

2015-I

26/11/2014

Grupo: 1053

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

CONTROL DE PROCESOS 2015-i

Objetivo

Implementar un circuito electrónico configurable que sea capaz de emular respuestas de sistemas dinámicos con

función de transferencia de la forma:

( )

Introducción

La función de transferencia de cualquier sistema dinámico es la relación que existe entre la(s) respuesta(s) del

sistema y la(s) entrada(s) aplicadas. Siendo el sistema más sencillo el que cuenta con solo una entrada y una

sola salida (SISO: Single Input Single Output).

El conocer la función de transferencia del sistema implica conocer el funcionamiento del mismo y poder

predecir su respuesta a determinada señales de entrada. La identificación y modelado de los sistemas es el

primer paso para llevar a cabo la aplicación de un sistema de control a los mismos. Una vez conocida la función

de transferencia es posible diseñar el controlador que mejore la respuesta según parámetros específicos. Sin

embargo, como en cualquier otro diseño, el lograr el resultado deseado es un proceso iterativo, donde se hacen

los diseños de manera teórica, son probados en simulaciones por computadora y posteriormente son probados

en el sistema real.

Este proceso de prueba, comprobación de resultados y rediseño (si es necesario), presenta los siguientes

inconvenientes:

Si las pruebas son muy costosas no es posible realizar muchas de ellas o su duración puede ser limitada.

Si el sistema responde muy lentamente cada prueba retrasara el proceso de diseño del controlador.

Por ello es conveniente contar con un dispositivo electrónico que sea configurable y emule la respuesta de los

sistemas. Las ventajas de este tipo de sistemas son:

Uso de dispositivos electrónicos de bajo consumo de potencia.

Fácil medición de la señal de entrada y la señal de salida

Compacto y económico, con piezas fácilmente reemplazables

Por lo que el presente trabajo desarrollara un circuito que emule funciones de transferencia utilizando

componentes de electrónica analógica.


Desarrollo

Diferentes tipos de sistemas presentan diferentes funciones de transferencia, pero en general pueden ser

representados de manera suficientemente precisa empleando una función de transferencia de segundo orden.

Esto es, una función de transferencia de 2 polos. En caso de que los sistemas presenten un retraso en la

respuesta (cosa común en sistemas que representan reacciones químicas), es conveniente considerar una función

de dos polos y un cero, de la siguiente forma:

( )

( )( )

Al desarrollar la ecuación anterior se obtiene:

( )

( ) ( )

La cual se reescribirá de la siguiente forma:

( )

Esta función de transferencia representa el caso más general de función de transferencia de segundo grado, 1

cero y 2 polos. Y los parámetros a0, a1, b0 y b1 definen la función de transferencia.

Para el diseño del circuito se considera lo siguiente:

Los polos del sistema son negativos, es decir los polos siempre se encuentran en el semiplano negativo

del dominio del plano complejo.

Tanto el cero como la ganancia pueden cambiar de signo, por lo que el circuito puede representar

sistemas de fase mínima y de fase no mínima.

Una vez que se ha definido la función de transferencia que será representada por el circuito es necesario crear

un diagrama de simulación que represente por bloques la función de transferencia. Para ello primero se obtiene

una representación en espacio de estados de la misma, la cual se muestra a continuación, esto se hace con el

propósito de obtener una familia de ecuaciones de primer grado, de manera que no es necesario incluir

derivadores en el diseño, ya que este tipo de circuito debe evitarse por que introduce ruido al sistema:

[ ] [

] [ ] [

]

[ ] [ ] [ ]


El diagrama de simulación de la función de transferencia es el siguiente:

Los componentes electrónicos empleados para realizar este sistema serán circuitos con amplificadores

operacionales, ya que, como puede apreciarse en el diagrama de simulación, se compone de sumadores,

integradores y amplificadores.

Dado que los parámetros variables a0, a1, b0, y b1 son todos ganancias, es posible hacerlos variables empleando

amplificadores inversores variables con potenciómetros.

Es importante tener en cuenta los signos negativos introducidos por los circuitos inversores y utilizar inversores

de ganancia unitaria cuando sea necesario para no afectar la función de transferencia.

Por ello el diagrama de bloques del circuito presenta algunos inversores que corrigen los cambios de signo

cuando es necesario. Si se comprueban las ecuaciones de espacio de estados representadas por el diagrama de

bloques siguiente se demuestra que el diseño cumple con la representación deseada de función de transferencia.


El diagrama de bloques del circuito con amplificadores operacionales es el que se muestra a continuación:


Circuito 1

Para llevar a cabo el diseño del circuito se empleó el software Proteus 8 © de Labcenter Electronics.

Diseño de los sumadores:

Para los sumadores se utilizan sumadores inversores puesto que su ganancia permanece unitaria y su modelado

es más sencillo, así, los sumadores empleados serán como el mostrado a continuación:

Diseño de los amplificadores:

Para poder obtener ganancias variables se utilizan amplificadores con una resistencia variable en la

realimentación, de esta manera teóricamente es posible controlar la ganancia desde cero hasta un máximo.

Diseño de los integradores:

La consideración necesaria para el integrador es que tenga ganancia unitaria. La ganancia del integrador queda

definida como:

∫

De manera que RC debe ser igual a 1. Debido a la restricción de los operacionales de una resistencia de entrada

máxima de 100k, (por la corriente de polarización), es necesario emplear capacitores de valores elevados, los


cuales solo se encuentran del tipo electrolítico, con lo cual se llega al problema de la polarización de los

capacitores.

La solución ideada fue utilizar el sistema y comprobar si la polarización de los capacitores afecta o si los

capacitores se dañan al operar, esta decisión se basa en que al consultar diversa bibliografía sobre

amplificadores operacionales, frecuentemente se encuentran ejemplos de integradores con capacitores

polarizados, y no se hace ningún comentario respecto a la polarización.

Las pruebas demostraron que es posible emplear capacitores electrolíticos de la manera mostrada en la figura y

el circuito funciona correctamente. Los capacitores son de 25V en un sistema que no pasará de los 15V por lo

que incluso en polarización invertida no es muy probable que se dañen de manera inmediata y sería posible

predecir su fallo al observar resultados incorrectos en el funcionamiento del circuito.

Por lo que los integradores utilizados son como el que se muestra a continuación:

En caso de que el circuito presentara problemas a futuro es posible utilizar dos capacitores electrolíticos con

polaridades encontradas, para realizar el circuito integrador. De la siguiente manera:

Este circuito garantiza que los capacitores no se dañaran debido a las polaridades encontradas la capacitancia

equivalente de los capacitores en serie es de 50µF, y la resistencia equivalente de entrada es de 20kΩ, por lo que

la constante RC de este circuito sigue siendo de 1.

También es importante señalar que no se requiere de una resistencia de realimentación en los integradores, para

esta aplicación en particular, donde el circuito será probado con señales de tipo escalón (señal de CD) por lo que

no se debe limitar la ganancia del integrador a bajas frecuencias.


El circuito 1 de la simulación se muestra a continuación:


Circuito 2

Mejora en el control de las ganancias:

El siguiente diseño presenta la solución ideada para lograr un mejor ajuste del potenciómetro al poner switches

para elegir la escala de funcionamiento del potenciómetro:

A través de los switch se puede elegir que la escala del potenciómetro, en este caso puede ser de 0 a 1, de 0 a 10,

o de 0 a 100.

Para evitar la saturación de los amplificadores operacionales se eligió una cantidad de ganancia máxima de 100.

Mejora en los integradores:

La ganancia de los integradores puede modificar el tiempo de respuesta del circuito, por lo que se puede

considerar que desde estos circuitos se puede escalar la constante de tiempo, por ello los integradores también

cuentan con switches para elegir un funcionamiento 10 veces más rápido o 10 veces más lento de una función

de transferencia.

Estas mejoras fueron implementadas en el circuito 2.


Circuito 2, diagrama esquemático:


El circuito impreso fue diseñado en el mismo software y se muestra en la siguiente imagen:

Para poder calibrar el circuito se observó que los potenciómetros de perilla convencionales son de

comportamiento lineal por lo que es posible marcar una escala en el chasis donde irán montados, para poder

calibrar cómodamente el circuito. Sin embargo, esta escala no es muy precisa, por lo que se debe usar solo

como primer aproximación a la función de transferencia deseada y posteriormente ajustarse hasta tener la

respuesta deseada. El ajuste que proporciona la variación de cada parámetro se presenta en de forma detallada

más adelante.

A continuación se muestran algunas de las gráficas que se usaron para comprobar el funcionamiento del circuito,

así como sus comparaciones con la simulación en Proteus y el cálculo de la respuesta escalón de MATLAB:

10 cm

12 cm






Efec

to d

el c

amb

io d

e s

ign

o d

e a

0 y

a1


Configuración del circuito

La fórmula general de un sistema de segundo orden es la que se muestra a continuación:

( )

Al agregar a un sistema de segundo orden un cero la formula se escribe de la siguiente manera:

( )

De manera que es posible establecer la siguiente equivalencia:

( )

De esta manera es posible relacionar la función de cada uno de los parámetros variables del circuito con las

características de respuesta de la función de transferencia.

La ganancia del sistema está definida por las variables a1 y b1 y se obtiene de la siguiente forma:

Sin embargo, el cero del sistema está definido por las variables a0 y a1, de la siguiente forma:

La constante de amortiguamiento está definida por:

√

Los polos del sistema están definidos por las variables b0 y b1 y pueden ser hallados al resolver la ecuación de

trayectoria directa del sistema.

Esta relación de los parámetros variables con las características de la función de transferencia indica que variar

un parámetro implica la variación de varios aspectos de la función de transferencia, por lo que en caso de

realizar ajustes es importante conocer esto para saber predecir el nuevo comportamiento.


Para representar una determinada función de transferencia en el circuito se llevan a cabo los siguientes pasos:

Se elige una función de transferencia para que sea representada por el circuito, y se utilizan las escalas

apropiadas para los potenciómetros según el diagrama siguiente se muestran los switch para cada variable:

La selección de la escala de cada variable se hace con los switch asignados según el siguiente diagrama:

Switch 1: escala de 0 a 100




Para cambiar la escala de tiempo los switch deben configurarse de la siguiente manera:

Esta disposición fue por simetría de los elementos en la placa impresa.

Posteriormente se le dan los valores a los parámetros de manera aproximada al girar los potenciómetros a la

posición deseada, apoyándose en la escala marcada en el chasis para ello.

Finalmente al observar la respuesta de la función en el osciloscopio se realizan los ajustes necesarios hasta

obtener la respuesta buscada.

Ejemplo 1:

Se desea representar en el circuito la función de transferencia siguiente:

( )

( )( )

Se desarrolla la función a la forma adecuada para el circuito:

( )

( )

Se eligen las escalas adecuadas para cada variable:

Para a0 escala de 0 a 1

Para a1 escala de 0 a 10

Para b0 escala de 0 a 10

Para b1 escala de 0 a 10

Se giran los potenciómetros a la posición aproximada de sus valores deseados, en caso de no coincidir con la

respuesta deseada se harán los ajustes después de observar la primera respuesta del sistema de acuerdo a las

instrucciones dadas anteriormente.


Se colocan los signos de a0 y a1 con los switch ubicados en la tapa del chasis, en este ejemplo a0 es negativo y

a1 es positivo.

Se observa la respuesta del sistema obtenida de la simulación en Proteus y la respuesta generada en MATLAB:

La respuesta generada por el circuito es la siguiente:

0 1 2 3 4 5 6 7-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

MATLAB

Proteus


Ejemplo 2:

Se desea representar una función del siguiente tipo:

Sistema de fase mínima, 2 polos, ningún cero, ganancia de 1.5, constante de amortiguamiento de 0.2, que se

estabilice en 5 segundos aproximadamente.

Si la constante de amortiguamiento es menor a uno el sistema es sub-amortiguado y presentara oscilaciones.

Si se espera que el sistema se estabilice en 5 seg, la constante de tiempo es de:

Por lo que la parte real de los polos conjugados es 1.

De la formula general para resolver ecuaciones de segundo grado se obtiene:

√

Dado que para nuestra ecuación, a = 1, siempre se cumple; si sabemos que la parte real de esta ecuación es igual

a uno, se escribe:

Pero:

√

Por lo que al sustituir en la formula se obtiene:

√

Al sustituir el valor de la constante de amortiguamiento se obtiene:

b1 = 25

Y la ganancia se utiliza para calcular a1 como se muestra a continuación:

Al sustituir en la fórmula del circuito se obtiene la función:

( )


La grafica obtenida con esta ecuación se muestra a continuación:

Es posible observar la diferencia entre la gráfica de Proteus y la de MATLAB, esta diferencia no es muy

marcada pero es posible ajustarla al cambiar ligeramente la variable b0 a un valor menor, sin embargo cabe

recordar que esta función fue creada de acuerdo a los parámetros dados al inicio y cumple con las

especificaciones requeridas.

La grafica generada por el circuito se muestra a continuación:

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

MATLAB

Proteus


Ejemplos gráficos de la variación de cada

parámetro

Casos especiales de sistema inestable:

( )

( )







Resumen de funcionamiento del circuito

Parámetro

Efectos al incrementar

a0

Sistema de fase mínima

(a0 positivo)

Sistema de fase no mínima

(a0 negativo)

- Incrementa el retraso inicial del

sistema

- Incrementa el pico negativo al inicio

de la respuesta

- Incrementa el valor del cero, lo

“aleja” del centro del plano complejo.

- Incrementa el sobreimpulso del sistema

- Incrementa el valor del cero, lo “aleja”

del centro del plano complejo. - En cierto punto puede cancelar un polo

y presentar un sistema de primer orden.

a1 - Incrementa la ganancia

- Incrementa el valor del cero, lo “aleja” del centro del plano complejo.

b0

- Reduce el tiempo de respuesta del sistema

- Incrementa el sobreimpulso inicial

- Modifica el valor de los polos (si uno es cancelado con el cero del sistema, se

presenta un sistema de primer orden)

- Incrementa el valor de la constante de amortiguamiento

b1

- Reduce la ganancia del sistema

- Modifica el valor de los polos

- Incrementa la frecuencia natural del sistema

- Reduce la constante de amortiguamiento del sistema

Signos de a0 y a1

a0 a1

Efecto

+ +

- Sistema de fase mínima (cero en lado negativo

del dominio del plano complejo)

- No hay retraso inicial

- Ganancia positiva

+ –

- Sistema de fase no mínima (cero en el lado

positivo del dominio del plano complejo)

- Retraso inicial definido por el valor de a0

- Ganancia negativa

– +

- Sistema de fase no mínima (cero en el lado

positivo del dominio del plano complejo)

- Retraso inicial definido por el valor de a0

- Ganancia positiva

– –

- Sistema de fase mínima (cero en lado negativo

del dominio del plano complejo)

- No hay retraso inicial

- Ganancia positiva


Características finales de funcionamiento

del circuito

Voltaje de alimentación: ±5V a ±15V, recomendado ±12V

Función de transferencia:

( )

Donde

Se puede escalar la constante de tiempo x0.1, x1 o x10.

Limitaciones del circuito:

Por saturación de los operacionales, se recomienda limitar la ganancia de CD de la función de transferencia

al valor:

Además es importante recordar que la ganancia se calcula con la respuesta en estado estable, por ello incluso

si se evita la saturación en estado estable, puede existir saturación debido al máximo sobreimpulso de

sistemas subamortiguados. En tal caso se recomienda disminuir el voltaje de la señal de entrada.

Finalmente cabe señalar que para el uso correcto del circuito se requiere de conocimiento básico de

respuestas de sistemas dinámicos según su función de transferencia y de preferencia contar con la referencia

de la señal deseada obtenida mediante MATLAB.

Documents

Emulador SISO