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8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
1/29
Questo
Os grficos das funes reaisfeg de varivel real, definidas porf(x) = 4 x2
e g(x)2
5 2x= interceptam-se nos pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)) , ab.
Considere os polgonos CAPBD onde C eD so as projees ortogonais de
A e B respectivamente sobre o eixox e P(x,y), axb um ponto qualquer do
grfico de f. Dentre esses polgonos, seja , aquele que tem rea
mxima. Qual o valor da rea de , em unidades de rea?
a)64
530b)
64
505c)
64
445d)
64
125e)
64
95
As abscissas dos pontos de interseco dos grficos de f e g so tais que
f(x) = g(x) 2
x5x4 2
= 2x2 x 3 = 0 x = -1 ou x =
2
3.
Logo, a = -1 f(a) = f(-1) = 3 e b =2
3 f(b) = f
2
3=
4
7.
y
P = (x, 4 x2)
A 3B
7/4
x0 x
01
alternativa B
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 01 PSAEN 2009
-1 3/2
DC E
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
2/29
A rea de APBDC a soma das reas dos trapzios APEC e PBDE. Dessaforma, temos:
rea (APBDC) =2
B D ) . E D ( P E
2
A C ) . C E ( P E ++
+=
=2
x )7 / 4 ) . ( 3 / 2 x( 42
1 )3 ) . ( x x( 4 22 ++++ =1 61 2 5
85 x
45 x 2 ++ .
Portanto, a rea mxima assumida pelo polgono APBDC ser dada por
yv=4 a
=
4
5-4 .
6 4
2 5 2 5 -
=6 4
5 0 5
.
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
3/29
Questo
As circunferncias da figura abaixo possuem centro nos pontos T e Q, tm
raios 3cm e 2cm, respectivamente, so tangentes entre si e tangenciam os
lados do quadrado ABCD nos pontos P, R, S e U.
B S C
R
U T
A P B
Qual o valor da rea da figura plana de vrtices P, T, Q, R e D em cm2 ?
a)22
182(7 )+b)
8
232(50 )+c)
4
22(15 )+
d)4
252(30 )+ e)4
492(50 )+
Consideremos a figura a seguir:
B S C
R2
U 3
A P D
Os segmentos ATeQCso diagonais de quadrados de lados medindo 3 cm e2 cm respectivamente e a diagonal ACdo quadrado ABCD a soma
dos segmentos AT,TQeQC, logo:
AC = AT + TQ + QC 2 = 3 2+ 5 + 2 2 =2
2510+
02
alternativa E
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 02 PSAEN 2009
Q
3
Q2
T
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
4/29
A rea do polgonoPTQRD obtida subtraindo-se as reas dos tringulos TPAe CRQ da rea do tringulo CDA, logo:
A(CDA) A(TPA) A(TPA) =2
2.22
3.3
2
ll.=
2132 l
=
=2
132
2510 2
+
= 2
132
25075
+
=4
49250 +.
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
5/29
Questo
Um tringulo retngulo est inscrito no crculo x2 + y2 6x + 2y 15= 0
e possui dois vrtices sobre a reta 7x +y + 5 = 0. O terceiro vrtice que
est situado na reta de equao 2 x + y + 9 = 0
a) (7,4) b) (6,3) c) (7, 4) d) (6, 4) e) (7, 3)
A equao x2+ y2 6x + 2y 15 = 0, posta na forma reduzida, resulta em(x 3)2+ (y + 1)2= 52, logo as coordenadas do centro O e a medida do raio, soO = (3, -1) e 5 respectivamente. Chamando de A, B e C os vrtices do tringulo,temos que a hipotenusa do mesmo coincide com o dimetro da circunferncia.
r A s
Como 7(3) -1 + 5 0, temos que (3,-1)no pertence reta 7x + y + 5 = 0, ouseja, esta reta est num dos catetos.
CO
Como -2(3) + (-1) + 9 0, temos que (3,-1) no pertence a -2 x + y + 9 = 0.Dessa forma, {A} = rs, onde r 7x + y + 5 = 0 e s -2 x + y + 9 = 0.
O terceiro vrtice, que pode ser B ou C, pertence interseco de r com, oude s com. Nas alternativas apresentadas, verifica-se que somente (6,3)satisfaz simultaneamente as equaes de e s, logo {B} = {(6,3)} s.
Nota: Para se chegar alternativa correta sem o raciocnio acima descrito, bastanotar que somente o ponto (6,3) satizfaz a equao 2 x + y + 9 = 0.
03
alternativa B
B
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 03 PSAEN 2009
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
6/29
Questo
No sistema decimal, a quantidade de nmeros mpares positivos menores que
1000, todos com algarismos distintos
a) 360 b) 365 c) 405 d) 454 e) 500
Analisando a situao em dois casos, temos:
De 01 a 99:
Temos um total de 12
1-99+ = 50 nmeros mpares, dos quais excluiremos
11, 33, 55, 77 e 99, pois estes no satisfazem ao enunciado.Logo, entre 01 e 99, temos um total de 50 5 = 45 nmeros mpares com todosos algarismos distintos.
De 99 a 999:
1algarismo 2algarismo
8 . 8 . 5
Logo, entre 99 e 999 temos 8. 8 . 5 = 320 nmeros mpares de 3 algarismostodos distintos.
Portanto, a quantidade total pedida resulta em 45 + 320 = 365.
04
alternativa B
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 04 PSAEN 2009
3algarismo (mpar)
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
7/29
Questo
Coloque FFFF (falso) ou VVVV (verdadeiro) nas afirmativas abaixo, assinalando aseguir a alternativa correta.
( ) Se A e B so matrizes reais simtricas ento AB tambm simtrica
( ) Se A uma matriz real n n cujo termo geral dado por aij = (1)i+j ento A
inversvel
( ) Se A e B so matrizes reais n n ento A2 B2 = (A B) .(A + B)( ) Se A uma matriz real n n e sua transposta uma matriz inversvel
ento a matriz A inversvel
( ) Se A uma matriz real quadrada e A2 = 0 ento A = 0
Lendo a coluna da esquerda, de cima para baixo, encontra-se
a) (F) (F) (F) (F) (F) b) (V) (V) (V) (F) (V) c) (V) (V) (F) (F) (F)
d) (F) (F) (F) (V) (F) e) (F) (F) (V) (V) (V)
(F) Tomemos uma matriz A, simtrica 2 x 2 e B simtrica 3 x 3.Portanto, o produto AB no est definido, logo AB no poder ser simtrica.
(F) Tomemos n = 2, logo A 2 x 2. De acordo com o enunciado, se aij= (1)i+j
teremos
=
11-
1-1A . Como det(A) = 0, A no ser inversvel.
(F) Se A2 B2= (A B) .(A + B), ento A2 B2= (A B) .(A + B)
A2 B2= A2+ AB BA B2 BA = AB.
=
43
21ATomemos
=
11
11Be . Temos que
=
77
33AB e
=
64
64BA .
Portanto, BA AB e dessa forma A2 B2 (A B) .(A + B)
(V) Se At inversvel, logo det(At) 0. Mas det(At) = det(A), logo det(A) 0, eportanto A inversvel.
(F) Pois se A = ,1-1-
11
A2=
00
00, no implicando A = 0.
05
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 05 PSAEN 2009
alternativa D
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
8/29
M3 M1I
Questo
Considere o tringuloABC dado abaixo, onde M1 , M2 e M3so os pontos
mdios dos lados AC, BC e AB, respectivamente e k a razo da rea
do tringuloAIB para a rea do tringulo IM1M2 ef(x) = 21122
1 23
+ xxx .
Se um cubo se expande de tal modo que num determinado instante sua
aresta mede 5 dm e aumenta razo de |f(k)| dm/min ento podemos
afirmar que a taxa de variao da rea total da superfcie deste slido,
neste instante, vale em dm2/min
a) 240 2
b) 330 2
c) 420 2
d) 940 2
e) 1740 2 B M2 C
Consideremos a figura a seguir:
B M2 C
Se M1, M2e M3so pontos mdios,Iser o baricentro de ABC, e dessa forma,
212
IMAI
2
== e consequentementek =)MIMrea(
AIB)rea(
21
=
2
2IMAI
= ( )22 =4.
Chamando del a aresta do cubo, a taxa de variao da aresta em funo dotempo
dada pordtdl
= |f(k)| = |f(4) |= 2112.44.421 23
+ =
= | 32 + 16 8 11|. 2= 29 (dm/min).
Dessa forma, a taxa de variao da rea total deste cubo ser equivalente a
dt)d(6 2l
que pela regra da cadeia, resultadtd
.12l
l , e que portanto, no
referido instante vale 12. 5. 29 2 =1740 2(em dm2/min).
06
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 05 PSAEN 2009
alternativa E
A
M3 M1I
A
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
9/29
Questo
Sejam:
a) f uma funo real de varivel real definida por )(xf = arctg
x
x
3
3
,x > 1 e
b)L a reta tangente ao grfico da funo y = )(1 xf no ponto (0, )(1 0f ).
Quanto mede, em unidades de rea, a rea do tringulo formado pela retaL e
os eixos coordenados?
a)2
3b) 3 c) 1 d)
3
2e)
3
4
Derivando em x a funo )(f = arctg
x
3x3
, x >1, temos:
)(xf = 23x
3x
1
1
+
(x2 1 ) . Fazendo 1f = g, temos que f (g(x)) = x
e logo, g(x) =(g(x))1
f. Uma possvel equao da reta L ser dada por
y g(0) = g(0).(x 0), de modo que g(0) = k 1f (0) = k f (k) = 0
arctg
k
3k3 = 0 k
3k3 = tg0 = 0 k = 3= g(0) (pois k >1).
Logo, g(0) =(g(0))1
f=
)3(1
f=
( )( )13
333
1
11
2
23
+
.
=21
e a
equao de L resulta em y 3= 21 (x 0) 3y32- x + = 1, reta esta que
forma com os eixos coordenados um tringulo retngulo de rea 32
332=
..
07
alternativa B
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 07 PSAEN 2009
.
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
10/29
Questo
Considere a funo real f de varivel real e as seguintesproposies:
I) Se f contnua em um intervalo aberto contendox = xo e tem um
mximo local emx = xo ento f (xo) = 0 e "f (xo) < 0.
II) Se f derivvel em um intervalo aberto contendox = xo e f (xo) = 0
ento f tem um mximo ou um mnimo local emx = xo .
III) Se f tem derivada estritamente positiva em todo seu domnio
ento f crescente em todo seu domnio.
IV) Se )(xfax
lim
= 1 e )(xgax
lim
infinito ento =
)())((
xg
ax
xflim 1.
V) Se f derivvel x IR, ento ).()()(
0
xx
fff
22s
2slim
s
=
Podemos afirmar que
a) todas so falsas b) todas so verdadeirasc) apenas uma delas verdadeira d) apenas duas delas so verdadeiras
e) apenas uma delas falsa
I. Falsa. Tomemos f(x) = x, contnua em IR e que possui mximo em x0= 0,porm, no existe f(x0) nem f (x0).
II. Falsa. f s ter mximo local ou mnimo local se, f(x0 ) = 0 e f(x0 ) < 0 (nocaso de mximo local) ou f(x0) = 0 e f(x0) > 0 (no caso de mnimo local). Acondio de que f(x0 ) < 0 ou f(x0) > 0 se faz necessria pois x0pode serabscissa de um ponto de inflexo.
III) Falsa. Se f tem derivada estritamente positiva em todo seu domnio
ento, f ser estritamente crescente.
08
alternativa A
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 08 PSAEN 2009
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
11/29
IV) Falsa. Se f(x) = ex e g(x)=x1
, por exemplo, temos que
1elimf(x)limx
xx==
++ 00 e == ++ x
1
limg(x)lim xx 00 ,
porm eelim)(elim(f(x))limx
x1
x
x
g(x)
x===
+++ 000
.
V. Falsa. Se f(x) = x, temos que f(x) = 1 2 f(x) = 2.
12s2s
2s2s)(xx
2s2s)f(xf(x)
==
= , e dessa forma, temos que
lim2s
2s)f(xf(x) = lim1 = 1, ou seja lim2s
2s)f(xf(x) 2 f(x)
Portanto, todas as proposies so falsas.
s 0 s 0 s 0
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
12/29
Questo
O raio de uma esfera em dm igual posio ocupada pelo termo
independente de x no desenvolvimento de( )
54
cosx12
xsen
2
1
525
2
+
+
quando
consideramos as potncias de expoentes decrescentes de
2
xsen
2
1 2
25 . Quantomede a rea da superfcie da esfera?
a) 10,24 m2 b) 115600cm2 c) 1444 dm2
d) 1296 dm2 e) 19,36 m2
A binmio( )
54
cosx12x
sen21
5252
+
+
equivalente a( )
54
cosx12x
sen
552
+
+
cujo
termo geral pode ser expresso como Tp + 1 =( )( )
pcosx1
p54
2x
sen
55p
54 2+
. .
Lembrando que 1 + cosx = cos
2
2
x
+ sen
2
2
x
+ cos
2
2
x
sen
2
2
x
= 2 cos
2
2
x
,temos que:
Tp + 1 =
p
2x
2cos
p54
2x
sen 22
55p
54
. = 5p
54.
Para que o termo obtido seja independente de x, o expoente de 5 deve resultar
em um nmero real sem os termos cos22x
e sen22x
. Dessa forma, temos que
(54 p ) = 2 p p = 18, o que implica que a ordem do termo independente, econsequentemente o raio, seja p + 1 = 18 + 1 = 19.
Portanto a rea da superfcie esfrica resulta em 4(19)2= 1444(dm2).
09
alternativa C
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 09 PSAEN 2009
2x
2p.cosx
p).sen-(54 22 +
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
13/29
Questo
Considere as funes reais f e g de varivel real definidas por
)ln(4
1e)(
2
12
xx
x
=
f e x.xx1
e=)(g respectivamente, A e B
subconjuntos dos nmeros reais, tais que A o domnio da
funo f e B o conjunto onde g crescente. Podemos afirmar
que AB igual a
a) [1, 3 [ ] 3 , + [
b) [1, 2 [ ] 2, + [
c) ] 2, + [
d) [1, 3 [ ] 3 , 2 [
e) ] 3 , + [
A funo)xln(41e
xf2
12x
=
)( est definida para e2x 1 1 0, 4 x2> 0 e ainda
ln(4 x2) 0. Logo:
e2x 1 1 0 e2x 1 1 e2x 1 e0 x 21
,
21
4 x2> 0 x2< 4 2 < x < 2 ]2 , 2 [
ln(4 x2) 0 (4 x2) 1 x 3 e x 3.
Portanto A =
,
21
[ [2,2 { }33, = ] [2,33,21
A funo g ser crescente se g(x) 0, para todo x interior a um intervalo ondeg contnua, logo:
g(x) = x. x1
e g(x) =
x
ee
x1
x1
e g(x) > 0 e
ex1
x1
0
x1
1 0 x
1x 0 x < 0 ou x 1, logo B = ] [ [ [ 1,0,
10
alternativa D
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 10 PSAEN 2009
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
14/29
21
3 2
A x
0 1B x
A B x1 3 2
Portanto A B =[ 1, 3 [ ] 3, 2[ .
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
15/29
Questo
Qual o valor de sen6x cosx dx ?
a) c2
5cos5
2
7cos7+
xx b) c2
5sen5
2
7sen7++
xx c) c10
5sen
14
7sen++
x
d) c10
5cos
14
7cos+
xxe) c
2
5cos5
2
7cos7+
xx
Temos que sen(6x).cosx = cos
6x
2 .cosx (I)
Usando a identidade cos
+
2qp . cos ( )qcospcos
21
2qp
+=
em (I), temos
que
6x2qp
=
+
12xqp =+ 5x2p =
x2
qp=
2xqp = 7x
2q =
Logo, sen(6x). cosx =
+
7x
2cos5x
2cos
21 = ( ) e7xsen5xsen
21
+
dessa forma, sen(6x).cosx dx =( )7xsen5xsen2
1+ dx =
= c7
7xcos5
5xcos21
+
= c
105xcos
147xcos
+
11
alternativa D
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 11 PSAEN 2009
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
16/29
Questo
Seja S o subconjunto de IR cujos elementos so todas as solues de
+
+
>+
05x3x5x)-(1
4)(x
1-4x32xlog
5 23
53
1
3
1log
. Podemos afirmar que S um subconjunto de
a) ] , 5 [ ] 1, + [
b) ] , 3 ] [ 3, + [c) ] , 5 [ ] 3, + [
d) ] , 3 ] [ 2, + [
e) ] , 2 [ [ 4, + [
De acordo com o sistema, temos que 1-4xlog32xlog31
31
>+ , cujas
condies de existncia esto restritas a x 3 e x 41 . Logo:
I) 1-4xlog32xlog31
31
>+ 1-4x32x
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
17/29
y3> 0 pois 3x2 x + 5 > 0 xIR
4
+ +
S2 +
4
Logo, S2=] , 4] ]
5
1 , +[ e dessa forma, temos que:
S = S1S2=] , 4] ] 2, +[
Analisando as alternativas, constatamos que S ] , 3] [ 2, +[.
y1
y2
y3
51
+++ + +
51
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
18/29
Questo
Ao escrevermos
22
2
211
2
1
4
2 CA
1 cxbxa
Dx
cxbxa
Bx
x ++
++
++
+=
+onde
ai , bi, ci (1 i 2) e A, B, C e D so constantes reais, podemos
afirmar que22 CA + vale
a)8
3b)
2
1c)
4
1d)
8
1e) 0
Fatorando-se a expresso x4+ 1, temos:
x4+ 1 = x4+ 2x2+ 1 2x2= ( x2+ 1)2 ( x)2= ( x2 2x + 1). ( x2+ x + 1)
Logo,1)x21).(xx2(x
x1x
x22
2
4
2
+++=
+e dessa forma,
os polinmiosa1 x2+b1 x +c1e a2 x
2+b2 x +c2 podem ser associados a
x2 2x + 1 e x2+ x + 1. Assim, temos:
1x2xDCx
1x2xBAx
1xx
224
2
++
++
+
+=
+
1x
DBC)xA2D2(BD)xB2C2(AC)x(A
1x
x4
23
4
2
+
+++++++++=
+
Logo, A + C = 0 A =22
1
B + D = 0 B = 0
A 2 C 2 + B + D = 1 C =22
1
B 2 D 2 + A + C = 1 D = 0
Portanto A2+ C2=
22
221
221
+
=
41
81
81
=+ .
13
alternativa C
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 13 PSAEN 2009
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
19/29
Questo
Considere :
a)1
v ,2
v ,3
v e4
v vetores no nulos no IR3
b) a matriz [vij] que descreve o produto escalar de iv por jv , 1 i4,
1j4 e que dada abaixo:
c) o tringulo PQRPQRPQRPQR onde QP =2
v e QR =3
v .
Qual o volume do prisma cuja base o tringuloPQRPQRPQRPQR e a altura h igual a
duas unidades de comprimento?
a)45 b)
453 c) 52 d)
554 e) 5
Do enunciado, temos pelo item b que [v22] = 2 e [v33] = 3. Logo 2v . 2v = 2
220cos ==222
vvv .. . Analogamente, temos que 3=3
v .
14
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 14 PSAEN 2009
[ ]
=
4323
1
3312
3
2123
22
31
23
3221
ijv
alternativa E
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
20/29
Temos ainda que [v23 ] = 1 2v . 3v = 1 1cos = .. 32 vv
61-
cos1-cos32 == .. , onde o ngulo formado pelos
lados QP e QR no tringulo PQR, que corresponde aos vetores2
v e
3v respectivamente.
Temos ainda que cos =61-
sen2 +
61
= 1 sen =65
,
pois 0
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
21/29
Questo
Nas proposies abaixo, coloque, na coluna esquerda (V) quando a
proposio for verdadeira e (F) quando for falsa.
( ) Dois planos que possuem 3 pontos em comum so coincidentes.( ) Se duas retas r e s do IR3 so ambas perpendiculares a uma reta t,
ento r e s so paralelas.( ) Duas retas concorrentes do IR3 determinam um nico plano.
( ) Se dois planos A e B so ambos perpendiculares a outro plano C,ento os planos A e B so paralelos.
( ) Se duas retas r e s no IR3 so paralelas a um plano A ento r e s so
paralelas.
Lendo a coluna da esquerda, de cima para baixo, encontra-se
a) F F V F F b) V F V F F c) V V V F F d) F V V F V e) F F V V V
(F) Os planos mencionados podem ser CONCORRENTES.
(F) Considere o cubo da figura a seguir:
As retas r e s so perpendiculares reta t, mas no so paralelas entre si.
15
alternativa A
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 15 PSAEN 2009
A B
D Cr
E
FG
H
t
s
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22/29
(V) Q r
{P} = rs, PQR. Logo, os 3 pontos P, Q e R
no esto alinhados e determinam um nico plano.
s
(F) No cubo da figura a seguir, se chamarmos de A, B e C os planosdeterminados pelas faces INOJ, JKPO e IJKL respectivamente , verificamosque A e B so perpendiculares a C, mas no obrigatoriamente paralelos entre si.
(F) No cubo da figura a seguir, chamando de A o plano da face MNOP, temosque as retas r e s so paralelas ao plano A, mas r no obrigatoriamenteparalela a s.
I J
L K
M
N
O
P
I J
L K
M
NO
P
r
s
R
P
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23/29
Questo
A figura abaixo mostra-nos um esboo da viso frontal de uma esfera,
um cilindro circular reto com eixo vertical e uma pirmideregular de base quadrada, que foram guardados em um armriocom porta, que possui a forma de um paraleleppedo retngulo
com as menores dimenses possveis para acomodar aquelesslidos. Sabe-se que estes slidos so tangentes entre si; todos
tocam o teto e o fundo do armrio; apiam-se a base do armrio;todos so feitos com material de espessura desprezvel; que a
esfera e a pirmide tocam as paredes laterais do armrio;
4 11 dm a medida do comprimento da diagonal do armrio;e a porta pode ser fechada sem resistncia, ento, a medida do
volume do armrio no ocupado pelos slidos vale
a) 354
dm3
522 )(
b) 354
m
3
522 )( +
c) 334
dm5
522 )(
d) 364
dam6
1022 )( +
e) 364
dm6
1022 )(
De acordo com o enunciado e figura, temos que duas das 3 dimenses do slidoso iguais. Chamando essas dimenses de x, temos que:
Diagonal = 4 11 114(12)(x)(x) 222 =++ x = 4
Logo, o raio da esfera e o raio da base do cilindro mediro (dm)224=
enquanto o lado da base da pirmide, a altura da mesma e a altura do cilindromediro 4 dm. O volume procurado ser: V(armrio) V(esfera) V(cilindro) V(pirmide) =
= 4 .4 .12 ( )32
34 .(2)
2.4 ( ) 4.431 2 = 192
332 16
364 =
=3
80512 =3
)5(22 54 (dm3 ) ou6
)10(22 64 (dm3).
16
alternativas A e E
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 16 PSAEN 2009
armr io
120 cm
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24/29
Questo
Um paraleleppedo retngulo tem as dimenses x, y e z expressas em
unidades de comprimento e nesta ordem, formam uma P.G de razo 2.
Sabendo que a rea total do paraleleppedo mede 252 unidades de rea, qual
o ngulo formado pelos vetores u = (x 2 ,y 2 ,z 4) e w = (3, 2, 1) ?
a) arc cos42
14b) arc sen
126
145c) arc tg 52
d) arc tg 55 e) arc sec3
14
Se x, y e z esto em P.G de razo 2, temos que x =2y e z = 2y. Dessa forma,
temos que a rea total do paraleleppedo pode ser expressa de modo que:
6y2524y2yy2522yy2y2y
y2y
2 222 ==++=
++
ementeconsequent12,62.ze326
xPortanto ====
8).4,(1,)4-122,-62,-(3 ==u
Desse modo, 9841 222 =++=u , 141(-2)3 222 =++=w e
3.8.14.(-2)1.31)2,-8).(3,4,(1, =++==wu .
Portanto, cos = ===4214
1431
1493
wu
wu
.
. = arc cos 414
17
alternativa A
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 17 PSAEN 2009
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25/29
Questo
Considerex1,x2 ex3IR razes da equao 64x3 56x2 + 14x 1 = 0.
Sabendo quex1,x2 ex3 so termos consecutivos de uma P.G e esto em
ordem decrescente, podemos afirmar que o valor da expressosen[(x1 +x2)] + tg[(4 x1x3)] vale
a) 0 b)2
2c)
2
22 d) 1 e)
2
22 +
Se x1, x2e x3so termos consecutivos de uma P.G decrescente,
temos: x1 =qk
, x2= k e x3= k.q , de modo que q < 1.
Aplicando as relaes de Girard equao dada:
64(-1)(-1)xxx 3
321=
641kqk
qk =
641k3 =
41k =
Dessa forma, x1 =4q1 , x2=
41 e x3=
4q
k = , logo:
64(-56)-
xxx 321 =++ 6456
4q
41
4q1
=++ 85
4q
4q1
=+
2q2 5q + 2 = 0 q = 2 (no convm, pois q < 1) ou q81
=
Consequentemente x121
21
4.
1== , x2
41
= e x381
421
== e portanto:
sen[(x1 + x2)] + tg[(4 x1 x3)] = sen
+
41
21
+ tg
81
21
4 =
= sen 43
+ tg 4
= +
=+ 22122
18
alternativa E
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 18 PSAEN 2009
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26/29
Questo
Considere um tanque na forma de um paraleleppedo com baseretangular cuja altura mede 0,5 m, contendo gua at a metade de sua
altura. O volume deste tanque coincide com o volume de um tronco depirmide regular de base hexagonal, com aresta lateral 5 cm e reas das
bases 54 3 cm2 e 6 3 cm2 respectivamente. Um objeto, ao ser imersocompletamente no tanque faz o nvel da gua subir 0,05 m. Qual o volume do
objeto, em cm3 ?
a)10
351 b)
10
363 c)
10
378 d)
10
387 e)
10
391
A rea S de um hexgono regular de lado L dada por S =2
33L2 , de modo que
L = 33
2S. Dessa forma, os lados L e
l
das bases desse tronco sero
respectivamente iguais a 633
)32(54= e 2
33)32(6= .
Aplicando Pitgoras aos tringulosformados, temos:
h2+ 42= 52 h = 3
O volume do tronco de pirmide de altura h e bases paralelas cujas reas so
B e b, ser: ( )bB.bB3h
++ = ( )363.635435433
++ = 78 3
19
alternativa C
MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 19 PSAEN 2009
A B
CD CD
B
5
2l
2L
A
5
D
B
5
4
4
A
5
44
h h
12
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Como o tronco e o paraleleppedo possuem o mesmo volume 78 3cm3, a rea
da base do paraleleppedo ser dada por cm50
378cm50cm378
m0,5cm378 33
== .
O volume do objeto em questo o volume de gua existente entre os nveisinicial e final, correspondentes a antes e depois da imerso do objeto.
Portanto, V 322 cm10
378cm.5cm
50378
m.0,05cm50
378=
=
= .
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28/29
Questo
Sabendo que a equao 2x = 3 sec,
8/14/2019 En 2009 Resolvida 84
29/29
Outro modo:
Se 2x = 3 sec cos2x3
= , logo, construindo um tringulo retngulo
hipottico, temos:
Assim,
sen = sen 1 =2x
94x2x
94x 22 =
, pois x < 0 e