En vægkran - RUC.dkmilne.ruc.dk/MAT/En_vaegkran.pdf · 2005-07-01 · En vægkran Projektets overordnede udviklingssigte Sten Bregnhoved, LTG Filnavn: Steen Side 1 Indledning Denne

En vægkran Rapport til dokumentation af forløb i forbindelse med kurset Problemorienteret projektarbejde i, om og med matematik i gymnasiet, afholdt af Morten Blomhøj og Tinne Hoff Kjeldsen, IMFUFA, Roskilde Universitetscenter, i perioden februar til maj 2005. Udarbejdet af: Sten Bregnhoved Lyngby Tekniske Gymnasium Juni 2005

Indholdsfortegnelse

Indledning ....................................................................................................... 1 Intensionerne for underviserens udbytte af projektet ...................................... 1 Intensionerne for elevernes udbyttet af projektet ............................................ 1 Præsentation af projektet................................................................................ 2 Beskrivelse af undervisningsforløbet .............................................................. 4 Underviserens udbytte i forhold til intensionerne ............................................ 5 Elevernes udbytte i forhold til intensionerne ................................................... 6 Udvalgte pædagogiske observationer ............................................................ 7 Konklusion ...................................................................................................... 7 Perspektivering ............................................................................................... 8 Bilagsfortegnelse Bilag 1: Projektoplæg til elever, 2 sider ………………………………….……………….……. 9 Bilag 2: Modelleringsprocessen, 1 side ………………………………………………………. 11 Bilag 3: Gruppeinddelingsskema, 2 sider ……………………………………………..……... 12 Bilag 4: Evalueringsskema, 1 side ……………………………………………………………. 14 Bilag 5: Sammentælling af evalueringsskema, 4 sider ………………………………..….… 15 Bilag 6: Afsluttende spørgsmål til valgemnet ……………………………………………..…. 19 Bilag 7: En elevrapport ……………………….………………………….…………….………. 20

En vægkran Projektets overordnede udviklingssigte Sten Bregnhoved, LTG

Filnavn: Steen Side 1

Indledning Denne rapport er udarbejdet i forbindelse med kurset Problemorienteret projektarbejde i, om og med matematik i gymnasiet, afholdt af Morten Blomhøj og Tinne Hoff Kjeldsen, IMFUFA, Roskilde Universitetscenter, i perioden februar til maj 2005. Kursets gennemførelse fandt sted ved et 3-dages internat den 9.-11. februar, et midtvejsseminar den 18. april samt et 2-dages internat den 11.-12. maj, og formålet for kurset var at kvalificere deltagerne til at anvende problemorienteret projektarbejde som pædagogisk metode i matematikundervisningen specielt med henblik på at kunne leve op til udfordringerne i det nye gymnasium – herunder at arbejde med matematisk modellering, at arbejde projektorganiseret, at støtte progressionen i elevrollen samt at bringe matematikfaget i samspil med de øvrige fag i gymnasiet. På htx har vi i mange år arbejdet med tværfaglige projektopgaver i matematik, så i forhold til gymnasiereformen vil de største forandringer mest ligge i kravet om progressionen i undervisningen i forhold til elevarbejdsformen samt det, at de stillede projektopgaver fremover skal være åbne – tidligere var dette blot en mulighed, ligesom de stillede projektopgaver hidtil oftest har været stillet efter gennemgang af det pågældende emne. Intensionerne for underviserens udbytte af projektet I forhold til det i indledningen beskrevne, og som følge af indførelsen af studieområdet, som formodes at medføre mindre tid det faglige, er det af interesse at undersøge, hvorvidt eleverne med rimelighed kan lære et emne qua arbejdet med et projekt, og tilsvarende at jeg som underviser får mere erfaring med de (mere) åbne projektopgaver. Modelleringsprocessen, således som den er præsenteret på kurset, har jeg ikke præsenteret elever for før – dog har eleverne i forbindelse med projektopgaver i almindelighed arbejdet efter en mere simpel procedure, men den nødvendige simplificering og strukturering i forhold til løsningen af et givent problem og ofte også en validering af den fundne løsning er områder, som eleverne typisk ikke reflekterer meget over, og følgelig vil jeg undersøge, om disse tager modelleringsprocessen til sig. Intensionerne for elevernes udbyttet af projektet Projektet tjente til en introduktion til valgemnet Modstands- og inertimomenter, hvilket eleverne på forhånd havde valgt. Faglige mål er her en grundlæggende forståelse af begreberne samt anvendelse på simple, sammensatte tværsnit. Der er bilagt en elevrapport, som på fin vis forklarer emnet, se bilag 7. Rapporten er i den viste udgave ikke rettet. Overfaglige mål er gruppearbejde i en situation, hvor ikke alle deltagere besidder de samme faglige kompetencer, som er nødvendige for løsning af problemet samt modelleringsaspektet, hvor eleverne skal gennem hele processen, som beskrevet ovenfor.

En vægkran Præsentation af projektet Sten Bregnhoved, LTG


Præsentation af projektet Projektet indgår som en del af valgemnet i matematik på A-niveau på htx (der er således tale om 3. g på 6. semester), og det er tværfagligt med fysik på A-niveau, der havde valgt emnet Materialelære som valgemne. Det var tanken at lade fagene Statik & styrkelære, teknikfaget Design og produktion, byggeri og energi samt teknikfaget Design og produktion, el (svagstrøm) indgå ligeledes, men dette var ikke realisabelt grundet disse fags planlægning. Imidlertid egner projektet sig glimrende til, at alle ovennævnte fag indgår: Således kunne Design og produktion, el arbejde med Straingauges og wheatstone-broen, Design og produktion, byg kunne arbejde med modelleringen af kranen forstået således, at der kunne vælges andre, mere komplicerede modeller end den fast indspændte bjælke, som vi arbejdede med, alene grundet den yderligere til rådighed værende tid, og Statik & styrkelære kunne arbejde med for eksempel reaktioner fra kranen. Projektet i denne udgave handler imidlertid om udarbejdelsen af et forslag til en vægkran til en maskinfabrik. Klassen opgraderes således til en række ingeniørgrupper i et ingeniørfirma, og scenen sættes da ved udlevering af en skrivelse fra føromtalte maskinfabrik, se bilag 1. Valget af opgaveoplæg ligger i det fordrede svar til indkøbschefen for maskinfabrikken, som gerne skulle medføre en fornuftig dokumentation, hvilket normalt er svært at få alle elever til at udføre. Tidsplanen for gennemførelsen af projektet vises nedenfor. Der blev i alt afsat 8 lektioner á 60 minutter til selve projektet, og 2 lektioner til færdiggørelse af valgemnet. Det var ikke muligt at gennemføre projektet i én køre af hensyn til vores pædagogiske weekend, de planlagte terminsprøver og den øvrige planlægning af faget.

Uge Torsdag Fredag 9 Opstart, diskussion,

modelleringsprocessen, gruppedannelse

Tidsplan afleveres, det videre arbejde med projektet

10 Terminsprøver Pædagogisk weekend 11 Projektarbejde fortsat Rapport afleveres 12 Påske Påske 13 Valgemne færdiggøres n.a.

Efter udlevering af oplægget skulle behovet for at lære noget om de i kraftpåvirkede konstruktioner opståede spændinger samt den af kraften følgende nedbøjning gerne opstå, og der var planlagt udlevering af et kompendium derom på engelsk efter aftale med holdets engelsklærer. Dette motiveredes dels af, at det ikke er alle elever på holdet, der har statik & styrkelære/byg/fysik A, hvorfor ikke alle har blot et perifert kendskab til området, og dels af elevernes kommende uddannelse, hvor de vil møde lærebøger på fremmedsprog en masse. Der var afsat tid til den forventede diskussion, der burde opstå i denne fase af projektet, idet eleverne burde blive opmærksomme på, at de blandt andet skal igennem en undersøgelsesfase for at tilegne sig den for løsningen af projektet fordrede viden. Det var tanken, at de forskellige faggrupper - altså de elever der på tværs af arbejdsgrupperne (herefter blot grupperne) havde valgfagene Fysik A og Statik & styrkelære - skulle påtage sig ansvaret for at indhente og formidle den viden, som de grundet deres valgfag naturligt

En vægkran Præsentation af projektet Sten Bregnhoved, LTG


ville kunne bidrage med. Dette fordrede en entydig identifikation af, hvad det er nødvendigt at vide for at løse opgaven samt en opdeling af projektet i mindre dele. Der var derfor forberedt udlevering og gennemgang af et ark papir, hvor modelleringsprocessen i én udgave blev vist, se bilag 2. Dermed var det muligt at være på forkant med det næste behov – nemlig behovet for et redskab til at strukturere den på dette tidspunkt uoverskuelige opgave. Selve modelleringen havde ligeledes til hensigt at støtte den fagspecifikke læring, idet det var tanken, at de gennem modelleringen bestemte udtryk og disses grafer skulle tjene til en større forståelse af emnet. Endelig havde jeg begået et skrift, som vises på bilag 3, omhandlende krav og fordringer til gruppedannelsen. Der gælder flere forhold omkring denne: Opgaven vurderedes som så kompleks, at der af dokumentet fremgik en overordnet køreplan, der dog forinden var opnået konsensus om i forbindelse med klassediskussionen, som foregik forinden udleveringen, således at eleverne havde noget på skrift at forholde sig til, og der var krav om forskellige kompetencer hos de enkelte gruppemedlemmer af samme årsag. Der blev også stillet den opgave, at eleverne skulle evaluere arbejdsprocessen, idet eleverne jo fremover skal opnå kendskab til forskellige arbejdsprocesser foruden egne læringspræferencer. Endelig tilføjedes et konkurrencemoment, hvilket plejer at virke motiverende, ved at udlove en bonus til den bedste besvarelse. Afslutningsvis blev eleverne bedt om at beskrive, hvad de hver især havde tænkt sig at bidrage med i gruppearbejdet samt udarbejde en tidsplan for projektets gennemførelse til aflevering den følgende gang, og således var min opgave efter de første to lektioner reduceret til at agere vejleder for de enkelte grupper frem til afleveringen af gruppernes produkt. Produktet var en rapport skrevet til den indkøbsansvarlige for den bestillende virksomhed, hvilket fordrer en del forklarende tekst. Der var krav om beregninger, grafer og fortolkninger af disse (kravene var fremkommet i gruppediskussionen) samt ikke mindst en beskrivelse af dels gruppedeltagernes respektive roller med en fornuftig vurdering af, om de hver især har levet op til forpligtigelserne, som beskrevet af eleverne selv i forbindelse med gruppedannelsen, og dels et forsøg på at identificere de forskellige faser i modelleringsprocessen, således som nævnt ovenfor. Hver gruppe skulle aflevere et komplet løsningsforslag til ledelsen - uanset deres respektive valgfag. Løsningsforslagene kunne i de enkelte grupper dog variere i afhængighed af gruppernes evner. Færdiggørelsen af emnet skete ved udlevering af en række opgaver af lidt mere kompleks karakter, som klassen skulle løse. Dette tjente ikke mindst til kontrol af indlæringen af det grundlæggende pensum.

En vægkran Beskrivelse af forløbet Sten Bregnhoved, LTG


Beskrivelse af undervisningsforløbet Efter udlevering af oplægget, som umiddelbart blev vel modtaget med et smil på læberne, forløb den næste time med at diskutere problemstillingen i og med hele klassen. Heldigvis besad klassen som helhed viden nok til at overskue opgaven, således at jeg blot kunne fange de enkelte guldkorn op og lede diskussionen derhen, hvor det var hensigten. Således var vi efter en time klar med følgende: De enkelte faggrupper (matematik, fysik samt statik & styrkelære) havde fået tildelt nogle specifikke opgaver såsom at bestemme materialekonstanter for det anvendte stål (statik & styrkelære), at bestemme hvorledes ”normal” nedbøjning kan defineres (do.), at udlede udtrykket til bestemmelse af spænding (fysik), at udlede differentialligningen, som giver vinkeldrejning og nedbøjning (fysik) samt at løse samme (matematik). Denne tildeling skete helt naturligt, idet for eksempel en elev spurgte: ”Hvad er en normal nedbøjning?”. Svaret fra en anden elev, som så havde statik & styrkelære var da: ”Den maksimale nedbøjning bestemmes som 1/400 af længden af bjælken.” Her kom jeg så ind med et :”Er du sikker på det? I har nok oftest regnet på træbjælker, og her arbejder vi med stål. Er det det samme? Hvem kan undersøge det?”, og udgangen på denne idealiserede diskussion var da, at faggruppen Statik & styrkelære tog sig af det. Modelleringsprocessen blev gennemgået ganske kort: Således blev hver delproces forklaret og relateret til en tidligere opgave, hvor det var muligt. Der blev anvendt omkring 10 minutter på dette punkt, men klassen kunne faktisk efterfølgende komme med forslaget: ”Vi kunne simplificere kranen med en simpelt indspændt bjælke” som svar på mit spørgsmål umiddelbart efter gennemgangen af modelleringsprocessen: ”Hvad gør vi nu?”, og der kom også forslag til det profil, der skulle benyttes, og således endte vi på at modellere et rektangulært tværsnit, hvor bredden var større end højden, et rektangulært tværsnit, hvor højden var større end bredden samt et T-profil. Modelleringen og de deraf følgende grafer skulle benyttes til at vurdere de enkelte tværsnitsdimensioners indflydelse på nedbøjning og spænding. Enkelte elever kom af sig selv ind på stabilitetsproblemer ved de forskellige tværsnit, og refleksioner over bjælkens egenvægts betydning i forhold til spænding og nedbøjning. Ovenstående må opfattes som de styrende elementer, idet grupperne herefter i princippet havde stillet sig selv følgende to opgaver: Opstil en model der kan forudsige nedbøjning og spænding for hver af de (mindst) tre ovennævnte profiler. Vurdér hvor stor indflydelse dimensionerne på de enkelte tværsnit har på nedbøjning og spænding, og træf et valg om tværsnit på baggrund heraf. Det skal dog siges, at ikke alle grupper havde opnået den klarhed, som jeg mere eller mindre naivt antog, at de havde, hvilket beskrives nedenfor. Efter denne fase blev arbejdet givet frit, og eleverne arbejdede med gruppeinddelingen og derefter tidsplanen uden problemer – dog eksisterede der divergerende opfattelser af, hvad en sådan tidsplan skulle indeholde, og kun enkelte grupper kom på egen hånd frem til en plan, der var anvendelig, idet de øvrige ikke havde overblik nok til at planlægge i den detaljeringsgrad, der var nødvendig for, at planen skulle være en hjælp og et styringsredskab. Den følgende dag, gik arbejdet i de forskellige grupper derfor så trægt, at det viste sig nødvendigt at samle op på informationssøgningen – det vil sige fastlæggelse af materialekonstanter, forhold omkring nedbøjning, udtryk til bestemmelse af spænding samt differentialligning vedrørende vinkeldrejning og nedbøjning. Denne viden besad klassen som helhed dog forinden, men samarbejdet på tværs af grupperne virkede ikke

En vægkran Udbyttet af projektet Sten Bregnhoved, LTG


efter hensigten. Herefter gik arbejdet rimeligt og dét med den forventede forskel i tempo og niveau i de forskellige grupper. Den resterende del af arbejdet gik som forventet, og jeg agerede som vejleder i de enkelte grupper, men på afleveringsdagen var kun en enkelt gruppe klar med en rapport, der opfyldte alle de stillede krav, og som fyldte ikke mindre end 38 sider! Resten af gruppernes rapporter blev afleveret i løbet af de næste 3 uger, hvilket er et generelt problem i klassen. Kvaliteten og omfanget af de afleverede rapporter var af meget varierende karakter – således veksler kvaliteten fra noget, der kunne betegnes som noter, til noget nær lærebogsniveau, og omfangsmæssigt 6 sider til de førnævnte 38. Kun to rapporter indeholdt notatet med evalueringen, hvorfor spørgeskemaet på bilag 4 blev udleveret. Sammentællingen deraf ses på bilag 5. Underviserens udbytte i forhold til intensionerne Der er naturligt et vist sammenfald mellem intensionerne for henholdsvis underviserens og elevernes udbytte, hvorfor disse afsnit af rapporten bør læses med henblik på at erhverve sig den fulde vurdering. Tværfaglige projektopgaver er en velkendt del af matematikken på htx, og det nye i denne forbindelse er som sagt, at opgaverne her benyttes til læring af nyt stof samtidig med, at opgaven er mere åben, hvormed menes, at opgaven ikke er så bundet, at der kun er én løsning, end hidtil. Min erfaringer med åbne projektopgaver i matematik har hidtil været forholdsvis begrænsede, dog har der været stillet en sådan opgave omkring én gang om året per hold. De åbne opgaver betyder, at man som underviser er på lidt mere usikker grund, og det er noget, som i det mindste jeg skal vænne mig til, men for eleverne betyder det, at de oplever, at matematikken kan anvendes på alternative måder og med forskellige forudsætninger i samme kontekst, hvilket de ikke har oplevet så meget tidligere, og det er en vigtig pointe, som, jeg oplever, virker ansporende. Imidlertid er åbne opgaver i matematik ikke væsensforskellige fra projekter i for eksempel fysik A, hvor eleverne i en betragtelig del af undervisningstiden tilmed arbejder med nyt stof, så det handler også for mig, om at tro på, at eleverne kan lære af et projekt – blot projektet er veltilrettelagt. Det er til gengæld min opfattelse, at eleverne ikke er så begejstrede for de åbne opgaver, idet de let bliver usikre, når andre grupper, der arbejder med det samme problem, kommer frem til andre løsninger, end de selv gør, men det ser jeg som et fagbestemt problem, der for eksempel ikke eksisterer i særlig høj grad i for eksempel fysik. De svage elever har ligeledes svært ved at se, at de åbne opgaver kan være en lettelse for dem, idet der ikke er krav (omend det er et mål) om, at de skal igennem matematiske operationer af en vis kompleksitet for at nå frem til et endegyldigt facit. Således bør der fra underviserens side lægges vægt på at gøre disse forhold klare for eleverne fremover. Modelleringsprocessen skal der arbejdes meget mere med: Bilag 2 blev behandlet på tilnærmelsesvis 10 minutter, og det er alt for lidt, når det er første gang eleverne møder den – ikke mindst grundet kravet til abstraktion, som de fleste af vores elever ikke kan honorere. Såfremt modellen introduceres tidligt i forløbet i en simplificeret version, og den derefter gennem hele uddannelsen udbygges trinvist, vil en større del af eleverne kunne forstå og anvende den. Den konsensus, der forelå efter klassediskussionen i første lektion, slog ikke igennem, idet kun cirka halvdelen af grupperne havde udført de ønskede kurver. Disse grupper havde

En vægkran Udbyttet af projektet Sten Bregnhoved, LTG


dog kommenteret kurverne med bemærkninger som Kurven vokser lineært, eller vi kan se, at bredden bliver urealistisk stor, hvis vi skal opfylde kravet til spændingerne. Andre grupper havde (på traditionel htx-vis!) blot opstillet en ulighed, som da giver for eksempel den mindste bredde, der opfylder kravene. Ergo havde disse grupper ikke udført en egentlig modellering, ihvorvel opgaven jo blev løst på ingeniørmæssig korrekt facon. Helt konkret i forhold til dette projekt kunne et forsøg på at opnå en højere succesrate med hensyn til modellering være at formulere en række opgaver, som stillede krav om graferne for spænding og nedbøjning som funktion af bredden henholdsvis højden af det første rektangulære profil, og som lagde op til en vurdering deraf. Ved de efterfølgende profiler kunne der blot spørges i generelle termer i stil med ”Bestem den variabel, der har størst effekt på nedbøjningen.” med det håb, at eleverne så har set lyset og foretager en modellering. Elevernes udbytte i forhold til intensionerne Udbyttet i forhold til det matematikfaglige mål var højere end forventet. Eleverne udtrykker, at det var svært at få hul på emnet, men også at det lykkedes at opnå en rimelig forståelse af emnet ved arbejdet med projektet, og det kan jeg nemt tilslutte mig: Efter projektet udleveredes som anført en række opgaver med lidt mere komplekse tværsnit, se bilag 6. Som det fremgår, så skal eleverne for at løse opgaverne, have opnået en rimelig forståelse for begreberne arealmoment, tyngdepunktakse og inertimoment, og de skal selv være i stand til at opstille og løse de nødvendige integraler i forbindelse med bestemmelse af samme. Da dette så ud til at være tilfældet, må jeg konkludere, at projektarbejdet har båret frugt i denne henseende, men også en samtale under projektet indikerer, at læringen opstod under projektarbejdet: Elev 1: ”Hvad er afstanden nu fra det nederste areals tyngdepunkt til det samlede areals tyngdepunkt?”, Elev 2: ”Det skal vi da ikke bruge til noget!”, Elev 1 igen: ”Jeg synes da, at det var det, der stod i eksemplet i kompendiet. Lad os se efter.”, Elev 3: ”Du har ret. Vi skal kende afstanden for at bestemme det samlede inertimoment ved hjælp at flytteformlen.” Ofte skete der også det, at en gruppe markerede, og da det blev deres tur, så havde de klaret problemerne på egen hånd. Lektionerne i forbindelse med opsamlingen forløb således, at eleverne fik cirka 15 minutter til første opgave, hvorefter én af eleverne gennemgik opgaven på tavlen. Det gik over al forventning, og eleverne selv virkede begejstrede over det lidt opskruede tempo, hvormed vi fortsatte, indtil alle fire opgaver var løst. Det er glædeligt at konkludere, at eleverne faktisk godt kan lære noget af et projekt, hvilket jeg ikke har oplevet i så høj grad tidligere. Eleverne har vurderet gruppearbejdet anderledes end jeg. Således vurderer de både egen indsats såvel som de øvrige gruppemedlemmers indsats væsentlig højere, men det er i begge tilfælde også et kendt fænomen: De fleste elever vurderer sig selv højere, end de burde – ikke så meget omkring en faglig præstation, men oftere på en arbejdsindsats, og den ene elev er ofte ”flink” ved den anden, når de skal udtale sig om hinanden. Det er håbet, at reformen vil kompensere på dette område som følge af den deraf planlagte progression i arbejdsformer. Modelleringsprocessen gik det på den anden side heller ikke helt så godt med, idet eleverne ikke i særlig høj grad var i stand til at tage processen til sig og ej heller til at identificere delprocesserne. Dette ses også tydeligt af de mangelfulde eller helt manglende notater desangående. Eleverne er tydeligvis ikke vant til at reflektere over egen læring,

En vægkran Pædagogiske observationer Sten Bregnhoved, LTG


men igen vil reformen, som stiller helt andre krav til arbejds- og undervisningsformer end nu, forhåbentlig gøre eleverne i stand til at reflektere derom. Udvalgte pædagogiske observationer Med udgangspunkt i spørgeskemaet kan det konstateres, at eleverne tilsyneladende fandt opbygningen af projektet motiverende, hvilket også er min oplevelse under selve projektforløbet; at projektet har haft relevans, hvilket til dels vel ligger deri, at selvom de under Præsentation af projektet som mulige samarbejdspartnere nævnte fag ikke kom til at indgå som egentlige deltagere i projektet, så har eleverne arbejdet med en mere eller mindre realistisk problemstilling, der har inddraget viden fra et eller flere af disse fag; at eleverne i gennemsnit havde den opfattelse, at det var sjovt at arbejde med projektet, hvilket også var min overbevisning. Det konkluderes, at projekter fortsat har sin berettigelse. Helheden i projektet, det at kunne overskue problemet har derimod ikke været en succes, og tilbagemeldingen vedrørende det at indhente informationer fra andre faggrupper er kun lidt bedre, men altså ikke god nok. Netop dette var anledning til, at der blev samlet op i klassen den anden gang i forløbet, og selvom en opsamling altid kan være nødvendig, og derfor bør gennemføres, så var problemerne for eleverne så store, at der var risiko for, at projektet ville falde til jorden. Det må konkluderes, at et projekt af denne karakter ikke er velegnet i det nuværende htx, som er et valgfagsgymnasium, idet elevernes faglige baggrund er for forskellige til, at de kan overskue de mange fagspecifikke problemstillinger, men i det kommende htx med en naturfaglig studieretning som matematik A / fysik A / statik & styrkelære C støttet af de to teknikfag byggeri og el, burde dette projekt kunne gennemføres med en højere succesrate. På spørgeskemaet blev eleverne opfordret til at beskrive forhold omkring projektet, som optog dem. Det overordnede indtryk er, at projektet blev opfattet som et godt og interessant projekt, men også at det var svært, og at eleverne efter eget udsagn ikke arbejdede helt så effektivt med det som ønskeligt. Dette til trods for den høje vurdering på spørgeskemaet. Konklusion Det viste sig, at eleverne var i stand til at lære nyt stof gennem et projektarbejde, som de tilmed i den foreliggende opbygning var glade for at arbejde med. Fagligt set vurderes det på baggrund af undervisningen, rapporterne samt det udleverede spørgeskema, at eleverne har opnået et marginalt bedre resultat, end de ville ved en traditionel samtaleundervisning. Dette skønnes primært tilfældet grundet det ejerskab, som eleverne tog i forhold til projektet, men også det, at der var tale om en åben opgave og det deraf følgende konkurrencemoment, synes at have virket ansporende – der er altså tale om et bedre resultat grundet motivationsfaktorer. Selve modelleringen af vægkranen gik det ikke så godt med, idet for få grupper havde gennemført en egentlig modellering med en vurdering heraf. Det er tydeligt, at htx, således som det er nu, ikke ”opdrager” vores elever til at modellere, men mere til at dimensionere udfra nogle givne krav.

En vægkran Perspektivering Sten Bregnhoved, LTG


Elevernes matematikfaglige kunnen efter gennemførelse af projektet har som forannævnt været tilfredsstillende, og den følgende opgave med mere komplekse tværsnitsprofiler blev løst med entusiasme, hvilket indikerer, at det ønskede niveau blev nået. Elevernes gruppearbejde gik godt med hensyn til gruppeinddelingen og deres beskrivelser om det, de ville og kunne bidrage med under projektet, men skridtet fra ord til handling vurderes for stort, da arbejdsindsatsen var temmelig svingende, hvilket også ses af den i de fleste tilfælde alt for sene aflevering, og noget tilsvarende gælder modelleringsprocessen, som ikke blev effektueret i den tiltænkte udformning. Endelig var opgaven så bredt formuleret og fordrede så mange fag inddraget, at mange var ved at falde fra. I det nuværende htx kunne projektet gennemføres, såfremt alle de tænkte fag spillede med fra start.

Perspektivering Åbne projekter med tilhørende konkurrencemoment synes at have en positiv effekt på elevernes motivation, hvorfor fremtidige projekter vil være af sådan karakter, hvilket, hvad angår åbenheden, også reformen tilskriver. Tvær- eller flerfagligheden ligger ligeledes i reformen og er ikke ny for htx, men reformen tilsiger et ekstraordinært højt tværfagligt samarbejde mellem studieretningsfagene, og på Lyngby Tekniske Gymnasium er nærværende projekt fortrinligt til studieretningen matematik A / fysik A / statik & styrkelære C, rent fagligt. Fagene spiller i øvrigt sammen i en sådan grad, at mange andre projekter ville kunne realiseres. Dette tænkes ske derved, at der i perioder arbejdes med et tema, der så opdeles i en række undertemaer, hvorunder de forskellige projekter da forløber, og hvor de forskellige fag vil kunne spille ind med relevant stof. Eksempler kunne være: Hovedtemaet Byggeri med undertemaet Bærende konstruktioner med projekter indenfor søjler, bjælker, reaktioner og med bidrag fra matematik, fysik, statik & styrkelære, byg, samfundsfag eller undertemaet Indeklima, hvor projekterne kunne omhandle isoleringsevne med bidrag fra fagene byg, fysik, samfundsfag eller mikroorganismer med bidrag fra matematik, biologi og samfundsfag. Man kunne også tænke sig et hovedtema benævnt Transport med undertemaet Energi med projekter indenfor drivmidler, fremstilling, behov (kemi, teknologihistorie, fysik, samfundsfag) eller undertemaet Automobilet med projekter indenfor udvikling deraf, svingninger, motorens kemi, elektronik etc. (el, fysik ,matematik, samfundsfag, teknologihistorie, kemi). Mulighederne er næsten ubegrænsede. De overfaglige erfaringer, som dette projekt har givet, viser, at der er behov for at arbejde langt mere intensivt med elevernes arbejdsformer og de undervisningsformer, som de møder, herunder en forståelse af modelleringsprocessen. Dette arbejde foregår netop i skrivende stund i andet regi og omhandler blandt andet planlægningen af progressionen i elevernes arbejdsformer samt studiekompetencer. Dette vil desværre ikke blive uddybet yderligere her.

Sten Bregnhoved

En vægkran Bilag 1, side 1 af 2 Sten Bregnhoved, LTG


Østre Bøvelse, den 3. marts 2005 Ingeniørfirmaet 3.xy Matematikvej 3 2800 Kgs. Lyngby Vedr.: Etablering af vægkran I forbindelse med en større ordre på maskinelementer har vi behov for etablering af en række vægkraner til montering i vores produktionshal. De kan på det vedlagte bilag se en plantegning af hallen. Kranen skal kunne løfte emner med en masse på op til 350 kg, og hver kran skal have en aktionsradius på ikke mindre end 3 meter, men i øvrigt så stor som muligt, når nedbøjningen af kranen ikke må overstige, hvad der kan betragtes som normalt ved fuld belastning. Det er tanken, at vores egne smede skal varetage udførelsen af kranerne, ligesom vi selv leverer det fornødne materiale, idet vi grundet andre forhold har en række plader i dimensionen 2000x6000 i konstruktionsstål efter DS 37A liggende. Vi ønsker selvfølgelig at jeres konstruktion er så let og materialebesparende som muligt. Vi forventer Deres tilbud om højst 14 arbejdsdage. Med venlig hilsen Anders Iversen, Indkøbschef af første klasse Maskinfabrikken AV ApS Fantasivej 42 4242 Østre Bøvelse







Gruppeinddeling Grupperne, som I selv sammensætter, består af 3-4 deltagere. Hver gruppe repræsenterer en arbejdsgruppe fra ingeniørfirmaet, som har udlovet en bonus til den gruppe, der præsenterer det bedste forslag. Der er følgende krav til gruppesammensætningen: Der vælges en formand, som skal kunne holde deltagerne i sving, der skal være en deltager, som er god til at indhente oplysninger andet steds i huset, og der skal være én, der er særlig god til at regne. Gruppens arbejdsopgaver efter nedsættelse:

• Alle deltagere beskriver, hvorledes de har tænkt sig at bidrage til løsningen af den givne opgave. Kopi af beskrivelsen afleveres til ledelsen i dag senest kl. 16.20.

• Der udarbejdes en tidsplan med angivelse af milepæle. Tidsplanen afleveres næste

gang til ledelsen for godkendelse.

• Opgaven fra AV ApS løses…

• Der udarbejdes et notat med en evaluering af arbejdet. Evalueringen skal omhandle Det ”matematiske” arbejde Gruppedeltagernes arbejde i forhold til det nedenfor beskrevne Gruppedeltagernes opfattelse af modelleringsprocessen – herunder

en tydelig identifikation af de enkelte delprocesser Hvorledes det gik med at indhente de nødvendige oplysninger fra de

andre faggrupper

• Notatet afleveres til ledelsen sammen med rapporten til AV ApS, og ledelsen vil da siden på baggrund af notatet og rapporten indstille til en bonus.



Gruppe nummer: ___ Deltager 1 (Formand): _____________________________ forpligter sig til at bidrage med følgende: _______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Deltager 2: ______________________________ forpligter sig til at bidrage med følgende: _______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Deltager 3: ______________________________ forpligter sig til at bidrage med følgende: _______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Deltager 4: ______________________________ forpligter sig til at bidrage med følgende: _______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________



Evalueringsskema Det gik jo ikke så godt med det fordrede notat, idet kun én gruppe havde beskrevet alle punkter, så derfor bedes I alle udfylde nedenstående spørgeskema, således at vi alle lærer noget af forløbet. I bedes udtrykke jeres holdning til de nedenfor viste udsagn ved at notere et heltal mellem 1 og 5 ud for udsagnet, hvor 1 betyder, at I er helt uenige i udsagnet, og 5 betyder, at I er helt enige i udsagnet. Skemaet afleveres på katederet næste gang inden testen! Udsagn 1: Projektet var opbygget på en motiverende måde. ____ Udsagn 2: Jeg anså projektet for relevant. ____ Udsagn 3: Det var sjovt at løse opgaven. ____ Udsagn 4: Det var let at overskue helheden i projektet. ____ Udsagn 5: Det var let at få indhentet de nødvendige oplysninger fra de forskellige faggrupper. ____ Udsagn 6: Matematikken med valgemnet (Inertimomenter) var let at gå til. ____ Udsagn 7: Jeg lærte at regne med inertimomenter i løbet af projektet. ____ Udsagn 8: Modelleringsprocessen var let at gå til. ____ Udsagn 9: Jeg lærte at identificere de forskellige delprocesser i modelleringsprocessen i løbet af projektet. ____ Udsagn 10: Jeg har opfyldt min del af gruppekontrakten. ____ Udsagn 11: De øvrige gruppemedlemmer har opfyldt deres del af gruppekontrakten. ____ Sluttelig bedes du give din uforbeholdne mening om projektet nedenfor! Tak for hjælpen!!! Sten Bregnhoved



Sammentælling af evalueringsskema

U 3 4 4 2 1 4 4 4 2 4 3 1 4 2 4 4( ):=

gennemsnit t 3.125= mindstt 1= størst t 4= Resultatk t,

2

3

2

9

0

=

Udsagn 4: Det var let at overskue helheden i projektet. t 4:=

U 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 3 1 2 1 3 2( ):=


2

8

6

0

0

=

Udsagn 5: Det var let at få indhentet de nødvendige oplysninger fra deforskellige faggrupper.

t 5:=

U 3 2 4 3 2 4 3 2 2 1 1 2 2 2 5 4( ):=


2

7

3

3

1

=

Antal afleverede skemaer: n 16:= Mulige værdier: k 1 5..:=

Udsagn 1: Projektet var opbygget på en motiverende måde. t 1:=

U 5 5 4 3 3 5 5 4 3 5 3 3 3 3 5 3( ):=


0

0

8

2

6

=

Udsagn 2: Jeg anså projektet for relevant. t 2:=

U 5 4 5 3 4 5 4 4 4 5 3 2 4 4 4 4( ):=

gennemsnit t 4= mindstt 2= størst t 5= Resultatk t,

0

1

2

9

4

=

Udsagn 3: Det var sjovt at løse opgaven. t 3:=



mindstt 1= størst t 4= Resultatk t,

2

7

4

3

0

=

t 9:=Udsagn 9: Jeg lærte at identificere de forskellige delprocesser imodelleringsprocessen i løbet af projektet.

U 2 4 4 2 2 5 2 3 2 1 2 2 3 3 5 3( ):=


1

7

4

2

2

=

Udsagn 10: Jeg har opfyldt min del af gruppekontrakten. t 10:=

U 3 4 5 3 2 5 4 5 4 5 4 3 4 3 5 5( ):=

gennemsnit t 4= mindstt 2= størst t 5= Resultatk t,

0

1

4

5

6

=

t 6:=Udsagn 6: Matematikken med valgemnet (Inertimomenter) var let at gå til.

U 2 3 4 2 1 4 3 4 4 3 2 1 3 1 4 3( ):=


3

3

5

5

0

=

Udsagn 7: Jeg lærte at regne med inertimomenter i løbet af projektet. t 7:=

U 3 4 4 2 2 5 4 4 3 4 4 2 4 3 1 4( ):=


1

3

3

8

1

=

Udsagn 8: Modelleringsprocessen var let at gå til. t 8:=

U 3 4 4 2 2 3 3 3 2 1 1 2 2 2 4 2( ):=

gennemsnit t 2.5=



Udsagn 11: De øvrige gruppemedlemmer har opfyldt deres del afgruppekontrakten.

t 11:=

U 3 4 5 3 4 5 5 3 2 5 4 3 4 3 4 5( ):=


0

1

5

5

5

=

Den samlede optælling giver dermed:

gennemsnitT 3.875 4 3.125 2.25 2.625 2.75 3.313 2.5 2.813 4 3.875( )=

mindstT 3 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2( )=

størst T 5 5 4 3 5 4 5 4 5 5 5( )=

Resultat

0

0

8

2

6

0

1

2

9

4

2

3

2

9

0

2

8

6

0

0

2

7

3

3

1

3

3

5

5

0

1

3

3

8

1

2

7

4

3

0

1

7

4

2

2

0

1

4

5

6

0

1

5

5

5

=



Sluttelig bedes du give din uforbeholdne mening om projektet nedenfor!

13 ud af 16 har fuldt opfordringen. Deres kommentarer gengives i ufordøjet form nedenfor.

- syntes det var meget spændende, men fandt ud af senere i forløbet, at nogel af opgaverne var megetsvære at løse.

- som du kan se af ovenstående fandt jeg egentlig projektet meget interessant, og de gange hvor vi rigtigtfik arbejdet med det, var det faktisk også en meget tilfredsstillende oplevelse. Det skete beklageligvis ikkeofte nok, og som resultat blev afleveringen udskudt. Til sidst overlappede det dermed andre projekter(også i andre fag), og det blev nedprioriteret og derfor en anelse ustruktureret.

- ganske fint, dog en del arbejde.

- havde svært ved matematikken, så derfor var det svært at komme i gang og få løst projektet.

- glimrende emne, dog lidt uoverskueligt til start.

- meget interessant projekt.

- jeg synes det har været et meget godt forløb generelt. Dog synes jeg, at forløbet er indtruffet lidt forsent, så alle gruppemedlemmerne havde meget andet at se til, hvilket gjorde forløbet alt for fragmeneteretog præget af manglende gruppearbejde.

- okay projekt, dog med for lidt tid efter min mening.

- efter at have fundet ud af formler var det okay. Det var et okay emne, men synes ikke, at det skal være igrupper, for så er man afhængig af hinanden.

- det virker som om, at alt skal gøres lidt sværere end det behøver. Det er som om, du kun har 10-talselever, og dem, der ligger normalt, har svært ved at følge med.

- jeg har hverken teknik, byggeri eller statik & styrkelære, så det var meget uoverskueligt at blive kastetud i.

- projektet var svært, men vi kunne måske også havde lavet en bedre indsats. Timerne blev ikke brugtgodt nok.

- det var et udemærket projekt, der motiverede én til at arbejde selvstændigt og med kreativitet. Selveprojektet var udfordrende på den måde, at det indeholdt diverse tværfaglige områder, som man skulleuddybe.



Matematik A

Valgemne: Tyngdepunkter og inertimomenter Du skal nu efter at have arbejdet med projektet om vægkranen arbejde med en række tværsnit, der alle er definerede nedenfor. Du har cirka 15 minutter til hver opgave, hvorefter opgaven gennemgås af én af klassens elever på tavlen.

God fornøjelse!!! Sten Bregnhoved Opgave 1: Bestem arealmoment, tyngdepunktets beliggenhed og inertimoment for

nedennævnte symmetriske profiler.

a) T-profil: Højde af krop: 400 mm, bredde af krop: 10 mm, højde af flange: 12 mm, bredde af flange: 350 mm.

b) I-profil: Højde af krop: 40 mm, bredde af krop: 5 mm, højde af øverste flange: 10 mm, bredde af øverste flange: 50 mm, højde af nederste flange: 10 mm, bredde af nederste flange: 30 mm.

c) Et cirkulært tværsnit med radius 20 mm. d) Et halvcirkulært tværsnit med radius 30 mm.

En vægkran Bilag 7: En elevrapport Sten Bregnhoved, LTG


Matematikprojekt – Etablering af vægkran

Lavet af: A. Illum, H. H. Køller, P. Roed & S. Pane Uddannelsessted: Lyngby Tekniske Gymnasium (HTX)

Klasse: 3.z Gruppe: 1

Afleveringsdato: 18/3 2005

Gruppe 1 Matematikprojekt: Etablering af vægkran

21

Indholdsfortegnelse 1. Projektbeskrivelse 2. Grundbetingelser til bøjningspåvirkede konstruktionselementer 3. Løsningsforslag 4. Evaluering og validering 5. Konklusion Bilag: 1. Note vedrørende sammenarbejdet m.m. 2. Tidsplan

3. Oplægget indeholdende tegning over produktionshallen


22

1. Projektbeskrivelse I dette projekt har vi som gruppe 1 i ingeniørfirmaet 3.xy udarbejdet et løsningsforslag i forbindelse med bestemmelsen af en række vægkraners faktiske dimensioner til brug under monteringen i produktionshallen, som efterspurgt. Til udførelsen af dette løsningsforslag har vi taget udgangspunktet i de oplysninger, som maskinfabrikken AV ApS har vedlagt i ansøgningen. Oplysningerne er de følgende:

• Kranen skal være i stand til at løfte emner med en masse op til mmax = 350 kg • Kranen skal have en aktionsradius på L ≥ 3 m • Nedbøjningen af kranen må ikke overstige den ”normale” deformation ved fuldbelastning • Kranen skal udføres ud fra de fornødne materialer, hvilket er plader i dimensionen

2000 x 6000 mm i konstruktionsstål efter DS (Dansk Standard) 37A • Konstruktionselementet ønskes så let og materialebesparende som muligt • Løsningsforslaget ønskes præsenteret om højst 10 arbejdsdage

Med dette udgangspunkt vil vi i det følgende behandle fra start til slut hvorledes vi er kommet frem til løsningsforslaget. Løsningsforslaget udføres under to beregningsforudsætninger. Den første forudsætning er en afgrænsning af projektet, hvor vi kun betragter bjælken af konstruktionselementet. Den anden forudsætning er en simplificering af projektet, hvor vi betragter bjælken som et indspændt konstruktionselement. Her forneden ses en skitse over bjælken i overensstemmelse med vores beregningsforudsætninger:

Det er nødvendigt at bestemme en række størrelser i forbindelse med den ”normale” nedbøjning samt den type konstruktionsstål der er anvendt, som beregningsgrundlag. De pågældende størrelser er bestemt ved undersøgelse i fagbøger hhv. Internettet. Ifølge undersøgelserne fremgår følgende:

• Aktionsradiussen er bestemt til L = 4 m • Den ”normale” nedbøjning skal opfylde følgende ulighed:

umax

1400

L⋅≤

hvor umax er den maksimale nedbøjning og L er aktionsradiussen for bjælken


23

• Tykkelsen for konstruktionsstålet efter DS 37A er bestemt til t = {8, 15, 25} mm • Det regningsmæssige styrketal for konstruktionsstålet efter DS 37A afhængig af omtalte

tykkelser er bestemt til fyd = 210 N/mm2 • Konstruktionsstålets massefylde er bestemt til ρ = 7860 kg/m3

Med disse bestemmelser har vi nok oplysninger som beregningsgrundlag. For at kunne bestemme bjælkens faktiske dimensioner, så må noget basal teori for bøjningspåvirkede konstruktionselementer behandles. Dette vil vi gøre under benyttelsen af fagområderne statik, som er læren om legemers ligevægt og som sætter os i stand til at finde frem til det maksimalt påvirkede punkt i et konstruktionselement, og styrkelære, som behandler de styrkebetingelser til dimensioneringen af konstruktionselementer. Disse grundbetingelser vil efterfølgende sætte os i stand til at opstille nogle matematiske udtryk til bestemmelsen af bjælkens faktiske dimensioner.


24

2. Grundbetingelser til bøjningspåvirkede konstruktionselementer Tværsnitskonstanter Tværsnitsprofiler spiller en vigtig rolle i forbindelse med et materialets evne til at optage en given belastning. Dette er ensbetydende med, at tværsnitskonstanterne for et givet profil har indflydelse i styrkeberegningen. Af tværsnitskonstanter kan nævnes flere forskellige, såsom tværsnitsarealet, bredden, højden, evt. radier og to mindre kendte tværsnitskonstanter kaldet inertimomentet hhv. modstandsmomentet. Inertimomentet hhv. modstandsmomentet er udtryk for et materialets stivhed og indgår i forskellige styrkebetingelser. Disse tværsnitskonstanter kan i nogen grad hjælpe os til at identificere et givet tværsnitsprofils evne til at optage en belastning. Som vi skal se i det følgende, så har fx inertimomentet indflydelse i den maksimale nedbøjning af bjælken, mens modstandsmomentet har indflydelse i bøjningsspændingen eller de indre spændinger i bjælken som følge af en given påvirkning. Inertimoment af rektangel Lad os betragte et legemes tværsnitsareal A samtidig med vi kun kigger på en lille arealenhed dA. Herved vil inertimomentet i forhold til de indførte akser defineres ved:

Ix

A

.

Ay2⌠⌡

d

IyA

.

Ax2⌠⌡

d

hvor Ix hhv. Iy er inertimomentet i forhold til akserne, y hhv. x er afstanden fra arealenheden til akserne og dA er arealenheden. Inertimomentet af et rektangel må kunne bestemmes under benyttelsen af ovenstående definition af inertimomentet. Herunder indlægger vi x- hhv. y-aksen om rektanglets tyngdepunkt. Akserne kaldes tyngdeakser. Dernæst betragter vi en lille arealenhed dA med bredden som det eksisterende rektangel og højden dy.


25

Ix

A

.

Ay2⌠⌡

d

Ixh−

2

h

2yy2 b⋅

⌠⌡

d

Her udnyttes at arealenheden kan defineres ved dA = b dy, hvor vi derefter substituerer udtrykket for dy i definitionen for inertimomentet. I øvrig defineres grænserne til y = -h/2 hhv. y = h/2, idet vi ønsker at bestemme inertimomentet for hele tværsnitsarealet.

Ix

13

b⋅ y3⋅

Stamfunktionen bestemmes og vi gør os klar til at substituere grænserne i stedet for y.

Ix

13

b⋅h2

3⋅

13

b⋅h−2

3⋅−

Ix

13

b⋅h3

8h3

8+

⋅

Her ser vi at udtrykket besidder en fællesfaktor, som vi så sætter uden for parentesen. Dernæst ophæver vi kubiktalparenteserne og gør os klar til at ophæve også den sidste parentes.

Ix

224

b⋅ h3⋅


26

Ix

112

b⋅ h3⋅

Inertimomentet af et rektangel er altså defineret ved en tolvte del multipliceret med bredden, multipliceret med kubiktallet af højden. Herunder bemærker vi, at bredden og højden afhænger af om rektanglet er stående på højkant eller liggende. Inertimomentet måles i enheden mm4. Flytningsformlen Vi kan komme ud for, at et tværsnitsprofil er sammensat af flere delprofiler. Dette er fx tilfældet ved T-profiler, I-profiler, HE-profiler osv.. Ved sådan sammenbyggede delprofiler vil fællestyngdepunktet være placeret anderledes i forhold til de enkelte delprofilers tyngdepunktsplacering. Hvis den samlede tværsnitsareals tyngdeakse er sammenfaldende med deltværsnitsarealernes tyngdeakser, så kan inertimomentet for hele tværsnitsprofilet bestemmes ved at addere delprofilernes inertimoment med hinanden. Dog, hvis den samlede tværsnitsareals tyngdeakse ikke er sammenfaldende med deltværsnitsarealernes tyngdeakser, så kan denne regel ikke benyttes og må dermed udarbejde en anden løsningsmetodik. Løsningen på problemstillingen er den såkaldte flytningsformel. Lad os betragte et legemes tværsnitsareal A samtidig med vi kun kigger på en lille arealenhed dA. Herved vil inertimomentet i forhold til en parallelforskudt akse fra tyngdeaksen bestemmes ved:

Ix

A

.

Ay2⌠⌡

d

IxA

.

Ayt a+( )2⌠⌡

d

Her udnyttes at afstanden y kan defineres ved y = yt + a, hvor vi derefter substituerer udtrykket for y i definitionen for inertimomentet.

Ix

A

.

Ayt( )2⌠⌡

dA

.

Aa2⌠⌡

d+ 2 a⋅

A

.Ayt

⌠⌡

d⋅+


27

Ved at ophæve kvadratparentesen kommer vi frem til ovenstående integraler. Herunder kan vi konstatere at det første integral repræsenterer inertimomentet af hele tværsnitsarealet i forhold til tyngdeaksen. Det andet integral består af en konstant afstand a, som går fra tyngdeaksen til den parallelforskudte akse, og som vi lader stå. Det tredje og sidste integral repræsenterer rent faktisk en ny størrelse, som vi ikke har præsenteret endnu. Størrelsen kaldes et arealmoment og betegnes Q (her ses bort fra konstantfaktorerne multipliceret til integralet). I forbindelse med definitionen af arealmomentet gælder samme betingelser som for inertimomentet, afstanden yt er blot i første potens. Herunder må vi konkludere at det sidste integral må være lig nul, eftersom at tyngdepunktet for hele tværsnitsarealet er placeret på tyngdeaksen xt. Dette er ensbetydende med at yt-koordinaten for hele tværsnitsarealet er sammenfaldende med tyngdeaksen xt og medfører dermed, at arealmomentet Qx,t for hele tværsnitsarealet er lig nul. T(xt , yt) = (0,0)

Qx t,

A

.Ayt

⌠⌡

d yt A⋅ 0 A⋅ 0

Ix = Ix,t + a2A Inertimomentet af et legemes tværsnitsareal i forhold til en parallelforskudt akse fra tyngdeaksen er altså defineret ved summen af inertimomentet af tværsnitsarealet i forhold til tyngdeaksen og kvadratet på afstanden a gående fra tyngdeaksen til den parallelforskudte akse multipliceret med tværsnitsarealet. Modstandsmoment af rektangel Som ved inertimomentet, så bestemmes modstandsmomentet tilsvarende i forhold til det pågældende tværsnitsareals tyngdeakser. Modstandsmomentet om en tyngdeakse er defineret ved inertimomentet af tværsnitsarealet om samme tyngdeakse divideret med afstanden fra tyngdeaksen til det pågældende tværsnitsareals yderste fibre. Ved at anvende omtalte definition må modstandsmomentet af et rektangel kunne bestemmes således:


28

Wx

Ixe

Wx

112

b⋅ h3⋅

h

2 Her udnyttes som det fremgår i skitsen, at afstanden fra tyngdeaksen til tværsnitsarealets yderste fibre kan defineres ved e = h / 2, hvor vi derefter substituerer udtrykket for e i definitionen for modstandsmomentet.

Wx

212

b⋅ h2⋅

Wx

16

b⋅ h2⋅

Modstandsmomentet af et rektangel er altså defineret ved en sjette del multipliceret med bredden, multipliceret med kvadratet af højden. Herunder bemærker vi, at bredden og højden afhænger af om rektanglet er stående på højkant eller liggende. Modstandsmomentet måles i enheden mm3. Bøjningsspænding Når en bjælke belastes med en lastpåvirkning vinkelret på bjælken, så vil såkaldte indre spændinger opstå i bjælken som følge af belastningen, og bjælken vil have tilbøjeligheden til at bøje. Denne type indre spændinger kaldes for bøjningsspændinger. I det følgende skal vi udlede et udtryk til bestemmelsen af den maksimale bøjningsspænding. Dog skal først og fremmest gennemgås noget basal teori, som vi skal benytte under udledningen. Herunder introducerer vi en ny størrelse kaldet et moment. Ved et moment forstås produktet af kraften og den vinkelrette afstand fra omdrejningspunktet til kraftens virkelinie. Et moment udtrykker et legemes tilbøjelighed til at dreje under indflydelse af kræfter. Et moment udregnes ved at være konsekvens over den omløbsretning man vælger som positiv. Et særligt moment er det der kaldes et kraftpars moment. Ved et kraftpar forstås to parallelle og modsatrettede lige store kræfter. Det kan vises, at et kraftpars moment antager en konstant størrelse som i øvrig også skal benyttes under udledningen.

M = F(a + b) – Fb M = Fa + Fb – Fb


29

M = Fa Som forudsagt, så antager et kraftpars moment en konstant størrelse defineret ved den ene kraft multipliceret med afstanden a mellem kræfterne. Nu kan vi vende tilbage til bøjningsspændingen og udføre nogle forudsætninger som beregningsgrundlag til udledningen. 1. Den første forudsætning er, at tværsnitsprofilet for bjælken har et symmetriplan. Herunder vil

bjælken bøje efter pågældende symmetriplan. 2. Den anden forudsætning er, at bjælkens tværsnitsareal vil forblive plant efter bøjningen. Lad os betragte en bjælke som er bøjningspåvirket af en vinkelret kraft P centralt på bjælken. Vi indlægger et snit i bjælken og betragter venstre snitdel.

Som det fremgår fra den første snitskitse, så vil snitbjælken være påvirket af en indre kraft kaldet forskydningskraft Q samt et indre moment M som følge af kraftpåvirkningen P. Som det fremgår fra den anden snitskitse, så kan det indre moment erstattes af et kraftpar, hvor vi ser at den øverste kraft er en trykkraft, mens den nederste kraft er en trækkraft. Vi skal nemlig forestille os, at når bjælken begynder at bøje, så vil de øverste fibre af bjælken trykkes indad, mens de nederste fibre af bjælken trækkes udad. Herved vil tryk- hhv. trækspændingerne repræsenteret af kraftparret fordeles således mellem bjælkens fibre:


30

Som det fremgår fra snitbjælken, som i dette tilfælde har et rektangulær tværsnitsprofil, så finder vi de maksimale tryk- hhv. trækspændinger i bjælkens yderste fibre. Spændingerne aftager efterhånden, jo mere vi nærmer os tværsnitsarealets tyngdeakse og antager værdien nul på selve tyngdeaksen. De enkelte kræfter F i kraftparret kan udtrykkes ved rumfanget af den spændingsprisme der dannes.

F

12

h2

⋅ σmax⋅ b⋅

F

14

h⋅ σmax⋅ b⋅

Som omtalt, så kunne vi bestemme et kraftpars moment ved den ene kraft multipliceret med afstanden a mellem kræfterne, og vi får at: M = Fa Afstanden a kan efterfølgende udtrykkes således:

a

23

h⋅

Ved at substituere ovenstående udtryk for a samt udtrykket for F i udtrykket for et kraftpars moment finder vi at:

M F

23

⋅ h⋅

M

14

h⋅ σmax⋅ b⋅23

⋅ h⋅

M

16

b⋅ h2⋅ σmax⋅


31

Ved at reducere os frem til ovenstående udtryk for M ser vi, at udtrykket indeholder modstandsmomentet af et rektangel defineret ved W = 1/6bh2. Udtrykket for modstandsmomentet substituerer vi og det medfører at: M = Wσmax

σb

MW

Bøjningsspændingen, som endelig er et udtryk for de maksimale tryk- hhv. trækspændinger på bjælkens yderste fibre, er altså defineret ved bøjningsmomentet divideret med tværsnittets modstandsmoment. Bøjningsspændingen måles i enheden N/mm2 eller MPa. Endvidere gælder for bøjningspåvirkede konstruktionselementer, at et materialets regningsmæssige styrketal skal være større eller lig med bøjningsmomentet. Denne styrkebetingelse kan udtrykkes matematisk og vi får at: σb ≤ fyd

MW

fyd≤

M ≤ W fyd Denne styrkebetingelse skal vi benytte som udgangspunkt til bestemmelsen af bjælkens faktiske dimensioner. Nedbøjning (deformation) Udover at opfylde omtalte styrkebetingelse, skal bøjningspåvirkede konstruktionselementer også opfylde krav i forbindelse med nedbøjningen af bjælken som følge af en given påvirkning. I projektbeskrivelsen har vi defineret en nedbøjningsbetingelse, som er stillet til den betragtede bjælke. Herunder kan formler til bestemmelsen af den maksimale hældningskoefficient samt den maksimale nedbøjning udledes ved at tage udgangspunktet i en differentielligning af 2. orden oplagt til vores belastningsmodel.


32

2x

ud

d

2 F− x L−( )⋅E I⋅

d

xud

d⋅

F− x L−( )⋅E I⋅

dx⋅

Her udføres en lille omskrivning på venstre side samtidig med vi multiplicerer dx på begge sider og forkorter. Dernæst gør vi os klar til at integrere på begge sider.

uddx

⌠⌡

dF−

E I⋅xx L−

⌠⌡

d⋅

α

xud

dF−

E I⋅x2

2L x⋅−

⋅ k1+

Differentielligningens første fuldstændige løsning bestemmes og vi adderer integrationskonstanten k1 på højre side. Vi bemærker at når x = 0, altså dér hvor indspændingen finder sted, så er nedbøjningen ikke indtruffet, hvilket vil sige at tangenten ligger vandret på bjælken og α = 0. Ved at indsætte følgende værdier for x hhv. α ind i den fuldstændige løsning findes at integrationskonstanten k1 = 0. Hvis vi definerer x = L, så kan et partikulært løsning til bestemmelsen af den maksimale hældningskoefficient bestemmes.


33

α

F−E I⋅

L2

2L2−

⋅

α

F−E I⋅

L2 2 L2⋅−2

⋅

Her sættes tællerne i parentesen på fælles brøkstreg. Dernæst gør vi os klar til at reducere udtrykket og ophæve parentesen.

α

F−E I⋅

L2−2

⋅

αmax

F L2⋅2 E⋅ I⋅

Den maksimale hældningskoefficient er altså defineret ved kraftpåvirkningen multipliceret med kvadratet på aktionsradiussen, divideret med to, multipliceret med elasticitetsmodulet, som vil redegøres senere, multipliceret med tværsnittes inertimoment. Ved at tage udgangspunktet i forrige fuldstændige løsning, så kan et udtryk til bestemmelsen af den maksimale nedbøjning bestemmes.

xud

dF−

E I⋅x2

2L x⋅−

⋅

du

F−E I⋅

x2

2L x⋅−

⋅ dx⋅

Her udføres en separation af differentialerne. Dernæst gør vi os klar til at integrere på sider.

u1⌠⌡

dF−

E I⋅x

x2

2L x⋅−

⌠⌡

d⋅

u

F−E I⋅

x3

6L2

x2⋅−

⋅ k2+

Differentielligningens anden fuldstændige løsning bestemmes og vi adderer integrationskonstanten k2 på højre side. Som omtalt, så vil nedbøjningen ved x = 0 være u = 0. Ved at indsætte følgende værdier for x hhv. u i den fuldstændige løsning, findes at integrationskonstanten k2 = 0. Hvis vi definerer x = L, så kan et partikulært løsning til bestemmelsen af den maksimale nedbøjning bestemmes.


34

u

F−E I⋅

L3

6L3

2−

⋅

u

F−E I⋅

L3 3 L3⋅−6

⋅

Her sættes tællerne i parentesen på fælles brøkstreg. Dernæst gør vi os klar til at reducere udtrykket og ophæve parentesen.

u

F−E I⋅

2− L3⋅6

⋅

umax

F L3⋅3 E⋅ I⋅

Den maksimale nedbøjning er altså defineret ved kraftpåvirkningen multipliceret med kubiktallet på aktionsradiussen, divideret med tre, multipliceret med elasticitetsmodulet, multipliceret med tværsnittes inertimoment. Nedbøjningen måles i mm. Den eneste størrelse som indgår i de udledte udtryk og som vi ikke har præsenteret endnu er elasticitetsmodulet E. Denne størrelse er proportionalitetsfaktoren til størrelserne spændingen σ hhv. enhedsforlængelsen eller tøjningen ε. Proportionaliteten mellem spændingen og enhedsforlængelsen gælder kun for materialerne stål og træ. Denne proportionalitet kan udtrykkes matematisk således:

σ ∝ ε

∆LL

σε

E

Elasticitetsmodulet er afhængigt af materialetypen. For ståls vedkommende er elasticitetsmodulet for stål af alle kvaliteter bestemt til E = 0,21*106 N/mm2. Formlerne til bestemmelsen af den maksimale hældningskoefficient hhv. den maksimale nedbøjning skal vi benytte til bestemmelsen af bjælkens faktiske dimensioner.


35

3. Løsningsplan Hvis armen af vores kran opfattes som en indspændt konstruktion, må vi have en belastningsmodel som den nedenfor viste:

Egenlasten, Fq, kan udtrykkes som: Fq m g⋅ ρ V⋅ g⋅ ρ b⋅ h⋅ L⋅ g⋅ hvor m er massen, g er tyngde accelerationen givet ved 9,82m/s2, ρ er densiteten, L er spændvidden af kranen, mens h og b er hhv. højden og bredden af kranen (tværsnit vist nedenfor). (situation 1)

Det maksimale moment i kranen, Mmax, må da kunne udtrykkes som (regnet positivt med uret):

Mmax F L⋅ FqL2

⋅+ F L⋅ ρ b⋅ h⋅ L⋅ g⋅L2

⋅+ F L⋅ ρ b⋅ h⋅ g⋅L2

2⋅+

ud fra følgende (tidligere omtalte) styrkebetingelse, kan vi da dimensionere tværsnitet: Mmax fyd Wx⋅≤ udtrykket for Mmax og W indsættes:

F L⋅ ρ b⋅ h⋅ g⋅L2

2⋅+ fyd

Ixe

⋅≤

⇓

f l⋅ ρ b⋅ h⋅ g⋅l2

2⋅+ f yd

112

b⋅ h3⋅

h2

⋅≤

⇓


2⋅+ fyd

16

b⋅⋅ h2⋅≤


36

b isoleres:

f l⋅ f yd16

⋅ b⋅ h2⋅ ρ b⋅ h⋅ g⋅l2

2⋅−≤

⇓

F L⋅ b fyd16

⋅ h2⋅ ρ h⋅ g⋅L2

2⋅−

⋅≤

⇓

bF L⋅

fyd16

⋅ h2⋅ ρ h⋅ g⋅L2

2⋅−

≥

om kranen ved vi jo at stålet er af DS 37A standarten, hvormed fyd er bestemt til 210Mpa. Tykkelsen af stålet er 8, 15 eller 25mm. massefylden p er ved opslag fundet til:

ρ 7860kg

m3⋅ 7.86 10 6−⋅

kg

mm3⋅

ved indsættelse, kan det for ”situation 1” da findes at: b ≥ 7915mm h = 8mm b ≥ 1983,3mm h = 15mm b ≥ 677,1mm h = 25mm det tænkes imidlertid at bjælken vil være stærkere hvis den roteres 90° (situation 2):

det må da gælde at:


2⋅+ fyd

112

h⋅ b3⋅

b2

⋅≤


2⋅+ fyd

16

h⋅⋅ b2⋅≤


37

Hvilket vha. lommeregner isoleres til:

b3 8 F⋅ fyd⋅ 3 g2⋅ L3⋅ ρ2⋅+

⋅ 3 g⋅ h L3⋅⋅ ρ⋅+

L⋅

2 h⋅ fyd⋅≥

der indsættes og for ”situation 2” findes det at: b ≥ 230,6mm h = 8mm b ≥ 170,9mm h = 15mm b ≥ 134,5mm h = 25mm Til bjælkens hældning og ned bøjning, har vi fra tidligere kapitel fundet:

αF L2⋅2 E⋅ I⋅ og

uF L3⋅3 E⋅ I⋅

hvor E antages at være 0,21*106 MPa (fundet ved opslag). Disse er dog for påvirkningen af en enkeltkraft og ikke for en jævnt fordelt belastning, ligeså vel som de ikke udtrykker noget om hvordan flere kræfter der angriber forskellige steder skal lægges sammen i denne sammenhæng. Det er os derfor ikke umiddelbart muligt at medtage egenlasten i beregningerne, hvorfor vi indtil videre ser bort fra denne. Ved indsættelse i formlerne finder vi følgende: situation 1: b ≥ 7915mm h = 8mm ⇒ α = 0,3887 v = 21,1920° umax = 1033,9mm b ≥ 1983,3mm h = 15mm ⇒ α = 0,2324 v = 13,2098° umax = 625,9mm b ≥ 677,1mm h = 25mm ⇒ α = 0,1185 v = 8,4486° umax = 396,0mm situation 2: b ≥ 230,6mm h = 8mm ⇒ α = 0,016 v = 0,9178° umax = 42,7mm


38

b ≥ 170,9mm h = 15mm ⇒ α = 0,0210 v = 1,2025° umax = 55,98mm b ≥ 134,5mm h = 25mm ⇒ α = 0,0258 v = 1,4863° umax = 68,91mm som det ses heraf, så nedbøjer kranen mindst i situation 2, hvor bjælken er højere end den er bred. Imidlertid så nedbøjer alle bjælkerne for meget, idet at de max må nedbøje 1/400 af længden (dvs. max 10mm). Der opstilles derfor en ulighed for dimensionering af bjælken, ud fra nedbøjningen:

1400

L⋅F L3⋅3 E⋅ I⋅

≥

idet at bjælken i situation 2 er tydeligt stærkere en den første, beregnes der her kun på den. Hvis dens inertimoment indsættes i udtrykket overfor fås:

1400

L⋅F L3⋅

3 E⋅112

⋅ h⋅ b3⋅≥

b isoleres:

1400

L⋅ 3⋅ E⋅112

⋅ h⋅ b3⋅ F L3⋅≥

⇓

b

3F L3⋅

1400

L⋅ 3⋅ E⋅112

⋅ h⋅≥

ved indsættelse fås: b ≥ 374,1422mm h = 8mm b ≥ 303,4145mm h = 15mm b ≥ 255,9097mm h = 25mm det ses at de her fundene værdier stemmer overens med styrkebetingelsen, hvormed de er tænkelige løsninger til kranens tværsnitsdimensioner. Det tænkes dog at andre profiltyper ville være bedre/ mere materialebesparende, hvorfor det nedenfor er beregnet for et T-profil.


39

for at opsætte styrkebetingelser, og derudfra dimensionere bjælken, er vi nødt til først at kende det fælles tyngdepunkt for tværsnittet. Dette finder vi ved at opfatte arealerne af de to rektangler, T-profilet består af, som kræfter der har beliggenhed i rektanglernes tyngdepunkter, der lægges sammen efter momentligningen (for mere om denne metode se kilde 1 side 49): resultanten bestemmes: R A1 A2+ h b⋅ h b⋅+ 2 h⋅ b⋅ momentligningen opsættes:

R x⋅ A1b2

⋅ A2b2

⋅+

der indsættes:

2 h⋅ b⋅ x⋅ hb2

2⋅ h

b2

2⋅+

og x isoleres til:

xb2

(hvilket giver sig selv da der er en symmetrilinje midt i profilet, parallelt med y-aksen) på samme måde findes et udtryk til y-koordinatet af tyngdepunktet:

R y⋅ A1b2

⋅ A2 bh2

+

⋅+

⇓

2 h⋅ b⋅ y⋅ hb2

2⋅ h b2⋅+ b

h2

2⋅+

⇓

yb4

b2

+h4

+

⇓


40

y3 b⋅ h+

4 hvorfor e må være:

e3 b⋅ h+

8 Ud fra flytningsformlen m.m. må modstandsmomentet (I/e) da være:

W

112

h⋅ b3⋅3 b⋅ h+

4b2

−

2h⋅ b⋅+

112

b⋅ h3⋅+3 b⋅ h+

4b

h2

+

−

2h⋅ b⋅+

3 b⋅ h+8

hvis det indsættes i vores styrkebetingelse fås: Mmax fyd W⋅≤ ⇓

f l⋅ ρ b⋅ h⋅ g⋅l2

2⋅+ f yd

112

h⋅ b3⋅3 b⋅ h+

4b2

−

2h⋅ b⋅+

112

b⋅ h3⋅+3 b⋅ h+

4b

h2

+

−

2h⋅ b⋅+

3 b⋅ h+8

⋅≤

alle kendte størrelser indsættes, og b findes til (der er her set bort fra negative løsninger): b ≥ 118,0884mm h = 8mm b ≥ 81,8267mm h = 15mm b ≥ 56,1078mm h = 25mm disse størrelser skal da undersøges for nedbøjning:

αF L2⋅2 E⋅ I⋅

⇓ (udtryk for inertimomentet indsættes)

αf L2⋅

2 E⋅

112

h⋅ b3⋅3 b⋅ h+

4b2

−

2h⋅ b⋅+

112

b⋅ h3⋅+3 b⋅ h+

4b

h2

+

−

2h⋅ b⋅+

3 b⋅ h+8

⋅

og


41

uF L3⋅3 E⋅ I⋅

⇓ (udtryk for inertimomentet indsættes)

uF L3⋅

3 E⋅

112

h⋅ b3⋅3 b⋅ h+

4b2

−

2h⋅ b⋅+

112

b⋅ h3⋅+3 b⋅ h+

4b

h2

+

−

2h⋅ b⋅+

3 b⋅ h+8

⋅

størrelserne indsættes og det giver at: b ≥ 118,0884mm h = 8mm ⇒ α = 0,0439 v = 2,5156° umax = 117,1560mm b ≥ 81,8267mm h = 15mm ⇒ α = 0,0610 v = 3,4910° umax = 162,6792mm b ≥ 56,1078mm h = 25mm ⇒ α = 0,0821 v = 4,5944° umax = 218,9766mm Idet disse nedbøjer mere end de tilladte 10mm, opstilles der ligesom før en ulighed for dimensionering af bjælken, ud fra nedbøjningen:

1400

L⋅F L3⋅3 E⋅ I⋅

≥

⇓

1400

L⋅F L3⋅

3 E⋅

112

h⋅ b3⋅3 b⋅ h+

4b2

−

2h⋅ b⋅+

112

b⋅ h3⋅+3 b⋅ h+

4b

h2

+

−

2h⋅ b⋅+

3 b⋅ h+8

⋅

≥

hvorved b bliver: b ≥ 272,4307mm h = 8mm b ≥ 217,8349mm h = 15mm


42

b ≥ 178,0213mm h = 25mm ligesom før ses det at de her fundene værdier stemmer overens med styrkebetingelsen, hvormed de også er tænkelige løsninger til kranens tværsnitsdimensioner. Til sidst, vil vi også lige prøve at beregne på et I-profil:

Pga. symmetri, må det om tyngde punktet gælde at:

ex12

b⋅ og

ey h12

b⋅+

den maksimale afstand fra tyngdepunktet og til de yderste fibre, må da være: e

12

b⋅ h+

inertimomentet må da blive:

Ix112

h⋅ b3⋅ 2112

⋅ b h3⋅+ 2h2

b2

+

2⋅ b⋅ h⋅+

112

h⋅ b3⋅16

b⋅ h3⋅+ 2h2

b2

+

2⋅ b⋅ h⋅+

vi opsætter samme styrkebetingelse som sidst: Mmax fyd W⋅≤ der indsættes og reduceres:

F L⋅ p b⋅ h⋅ g⋅L2

2⋅+ fyd

112

h⋅ b3⋅

b2

h+

16

b⋅ h3⋅

b2

h++

2h2

b2

+

2⋅ b⋅ h⋅

b2

h++

⋅≤

⇓


43


2⋅+ fyd

112

h⋅ b3⋅

b 2 h⋅+

2

16

b⋅ h3⋅

b 2 h⋅+

2

+2

h2

b2

+

2⋅ b⋅ h⋅

b 2 h⋅+

2

+

⋅≤

⇓


2⋅+ fyd

16

h⋅ b3⋅13

b⋅ h3⋅+ 4h2

b2

+

2⋅ b⋅ h⋅+

b 2 h⋅+

⋅≤

der indsættes, og b findes til: b ≥ 85,6353mm h = 8mm b ≥ 62,4955mm h = 15mm b ≥ 46,6723mm h = 25mm udtryk for α og u findes:

αF L2⋅2 E⋅ I⋅

⇓

αF L2⋅

2 E⋅112

h⋅ b3⋅16

b⋅ h3⋅+ 2h2

b2

+

2⋅ b⋅ h⋅+

⋅

uF L3⋅3 E⋅ I⋅

⇓

uF L3⋅

3 E⋅112

h⋅ b3⋅16

b⋅ h3⋅+ 2h2

b2

+

2⋅ b⋅ h⋅+

⋅

der indsættes og fås: b ≥ 85,6353mm h = 8mm ⇒ α = 0,0382 v = 2,1866° umax = 101,8175mm b ≥ 62,4955mm h = 15mm ⇒ α = 0,0415 v = 2,3763° umax = 110,6616mm


44

b ≥ 46,6723mm h = 25mm ⇒ α = 0,0393 v = 2,2515° umax = 104,8439mm da u ≥ 10mm, opstilles udtryk:

1400

L⋅F L3⋅3 E⋅ I⋅

≥

⇓

1400

L⋅F L3⋅

3 E⋅112

h⋅ b3⋅16

b⋅ h3⋅+ 2h2

b2

+

2⋅ b⋅ h⋅+

⋅

≥

der indsættes, og det findes at: b ≥ 190,9938mm h = 8mm b ≥ 149,9762mm h = 15mm b ≥ 119,3204mm h = 25mm og ligesom før ses det at disse løsninger overholder styrkebetingelserne.


45

4. Evaluering og validering Som det fremgår fra beregningerne, så giver tværsnitsdimensionerne for pågældende profiler, der er bestemt ud fra styrkebetingelsen, en for stor nedbøjningen. Dette er ensbetydende med at de forkastes. Der kigges dermed kun på dem der er bestemt ud fra udtrykket:

1400

L⋅F L3⋅3 E⋅ I⋅

≥

Tværsnitsdimensionerne som vi kigger på er de følgende: Stående rektangel (situation 2): b ≥ 374,1422mm h = 8mm b ≥ 303,4145mm h = 15mm b ≥ 255,9097mm h = 25mm T-profil: b ≥ 272,4307mm h = 8mm b ≥ 217,8349mm h = 15mm b ≥ 178,0213mm h = 25mm I-profil: b ≥ 190,9938mm h = 8mm b ≥ 149,9762mm h = 15mm b ≥ 119,3204mm h = 25mm De tværsnitsdimensioner, som er mest prisbesparende må være dem, der giver det mindste tværsnitsareal. Derfor beregnes tværsnitsarealerne for de ovenfor omtalte tværsnitsdimensioner, i det følgende: A2; h = 8mm = 374,1422mm*8mm = 2993,1376mm2 A2; h = 15mm = 303,4145mm*15mm = 4551,2175mm2 A2; h = 25mm = 255,9097mm*25mm = 6397,7425mm2 AT; h = 8mm = 2*272,4307mm*8mm = 4358,5712mm2 AT; h = 15mm = 2*217,8349mm*15mm = 6535,047mm2 AT; h = 25mm = 2*178,0213mm*25mm = 8901,0650mm2 AI; h = 8mm = 3*190,9938mm*8mm = 4583,9483mm2 AI; h = 15mm = 3*149,9762mm*15mm = 6748,9304mm2 AI; h = 25mm = 3*119,3204mm*25mm = 8949,0313mm2 Ud fra beregningerne ser vi tydeligvis, at det tværsnitsprofil som er mest prisbesparende er rektanglet med en tykkelse på 8mm og en højde på 374,1422mm. Dog må vi forkaste denne her


46

løsning fordi faktorer såsom horisontale påvirkninger, drejningen af kranen og tværsnittes stabilitet gør at kranen ikke er særlig hensigtsmæssig. Dette skyldes at tværsnittes tykkelse er meget lille og vil formentlig ikke kunne optage disse påvirkninger. Derfor kigger vi på øvrige tværsnitsprofiler. Hvis vi kun kigger på T-profilet og I-profilet, så er T-profilet med h = 8mm mest prisbesparende (A = 4358,5712mm2). Det kan dog tænkes at der er tværsnitsprofiler som er mere prisbesparende (har et mindre areal). Hvis vi kigger på det I-profil, som vi har regnet på, så ses det at I-profilets bredde er lige så stor som højden af stammen (midterstykket af I-profilet), hvorfor det snare er et HE-profil. Hertil burde vi have beregnet I-profilets tværsnitsdimensioner, som en ligning med to ubekendte, nemlig både bredden og højden af stammen. I så tilfælde ville vi ikke være i stand til at regne på den, på anden vis end at sætte den ene af størrelserne til en værdi og finde hvilken værdi den anden da antager; gøre dette for alle tænkelige værdier, og da vælge den mest hensigtsmæssige. Grundet manglende tid m.m. har vi ikke haft mulighed for dette. I stedet for har vi kigget på hvorledes et reelt I-profil er opbygget. Vi har derved fundet at for mindre I-profiler er bredden ofte det halve af stammens højde (eller i nogle tilfælde mindre). Vi prøver derfor at beregne på et sådant I-profil (benævnt som I2-profil for resten af rapporten).

Inertimomentet bestemmes:

Ix112

h⋅ b3⋅ 2 h2

b2

+

2⋅

b2

⋅ h⋅+ 2 112

⋅b2

⋅ h3⋅+112

h⋅ b3⋅h2

b2

+

2b⋅ h⋅+

112

b⋅ h3⋅+

På baggrund af tidligere beregninger ved vi at de tværsnitsdimensioner som bjælkerne skal have for ikke at nedbøje mere end 10mm, overholder styrkebetingelsen, hvorfor vi blot dimensionerer ud fra udtrykket:

1400

L⋅F L3⋅3 E⋅ I⋅

≥

⇓

1400

L⋅F L3⋅

3 E⋅112

h⋅ b3⋅h2

b2

+

2b⋅ h⋅+

112

b⋅ h3⋅+

⋅

≥


47

der indsættes og b findes til: b ≥ 231,6730mm h = 8mm b ≥ 183,5488mm h = 15mm b ≥ 148,4401mm h = 25mm tværsnitsarealet for disse beregnes således: Ah = 8mm = 231,6730mm*8mm + 2*½*231,6730mm*8mm = 3706,7677mm2 Ah = 15mm = 183,5488mm*15mm + 2*½*183,5488mm*15mm = 5506,4627mm2 Ah = 25mm = 148,4401mm*25mm + 2*½*148,4401mm*25mm = 7422,0058mm2 Det ses heraf, at det af disse profiler som har h = 8mm, har et tværsnitsareal på 3706,7677mm2, hvilket er mere prisbesparende end de T- og I-profiler som vi tidligere har regnet på. Som løsning vælges der derfor denne tværsnitsprofil. Som nævnt under beregningerne så har vi på grund af uvidenhed, formlernes kompleksitet og manglende tid, ikke medtaget egenlasten i vores beregninger. Vi har dog ved opslag fundet en formel til beregningen af nedbøjningen for en indspændt bjælke, belastet med en jævnfordelt belastning:

up L4⋅8 E⋅ I⋅ (hvor p er belastningen pr. meter)

den jævnfordelte belastning bestemmes:

pFqL

2 ρ⋅b2

⋅ h⋅ L⋅ g⋅ ρ b⋅ h⋅ L⋅ g⋅+

L2 ρ⋅ b⋅ h⋅ g⋅

Ved at indsætte i formlen, så finder vi at den valgte bjælke uden anden belastning nedbøjer 0,7848mm. Dette må således betyde at egenlasten har en lille indflydelse på nedbøjningen, hvorfor vi bliver nødt til at tage højde for det. Nu har vi intet bevis for det, men hvis vi antager at den samlede nedbøjning kan findes ved addition af de nedbøjninger som hver enkelte parameter forsager, så må vi kunne omdimensionere bjælken ud fra udtrykket:

1400

l⋅f l3⋅

3 E⋅ I⋅ρ l4⋅8 E⋅ I⋅

+≥

⇓ 1

400l⋅

f l3⋅

3 E⋅112

h⋅ b3⋅h2

b2

+

2b⋅ h⋅+

112

b⋅ h3⋅+

⋅

ρ l4⋅

8 E⋅112

h⋅ b3⋅h2

b2

+

2b⋅ h⋅+

112

b⋅ h3⋅+

⋅

+≥


48

vi indsætter de kendte størrelser og finder at: b ≥ 241,4852mm h = 8mm (I2-profil) tværsnitsarealet for vores endelige tværsnitsprofil bliver da: A = 241,4852mm*8mm + 2*½*241,4852mm*8mm = 3863,7639mm2

Hvilket stadig er mindre end arealet for T- og I-profilerne. Af andre ting der skal nævnes, er der den længde vi har valgt (4m i stedet for 3m). Dette har vi valgt på baggrund af den tegning over produktionshallen der er vedlagt. Til tegningen er der ikke angivet et målestoksforhold, men der er angivet hvor mange kvadratmeter områderne er på. Såfremt væggene er tegnet rigtigt i forhold til hinanden, så kan vi derudfra beregne målestoksforholdet: Det ene af lokalerne angivet til at være 1872m2, og på tegningen er det 7,5*5,5cm = 37,5cm2. Forholdet for hvad en 1cm svarer til findes da:

1872 m2⋅

37.5 cm2⋅49.92 cm2⋅ 706.54 cm⋅

dvs. forholdet er ca. 1:700. Af deres oplæg er det ikke angivet hvor kranerne skal placeres, men hvis det er langs de på den vedlagte tegning skraverede vægge, at der skal monteres kraner, så er det en strækning af 84m der skal sættes kraner op på. Dette er fundet af at de to strækninger er på tegningen 5,5 og 6,5m, og 5,5cm*700 + 6,5cm*700 = 84m. Hvis kranerne kun har en aktionsradius på 3m, så skal der antageligvis placeres en hver sjette meter (aktionsdiameteren), hvilket vil sige at der skal sættes 14 kraner op (fundet af 84/6). Har kranerne derimod en aktionsradius på 4m så skal der kun sættes en op hver 8. meter, hvilket betyder at der kun skal bruges 11 kraner (84/8 = 10,5 ≈ 11). Idet at der således skal monteres færre kraner, kan der antageligvis spares nogle materialer. Hertil antages det at det elektroniske/hydraulisk som styrer kranen er markant dyrere end stålet. Forskellen i hvor meget stål der skal bruges er dog vist i det følgende: Hvis vi tager et tværsnitsprofil magen til vores, dog med den ændring at L = 3m, så kan dens dimensioner findes til: b ≥ 195,5328 h = 8mm hvilket er fundet ud fra udtrykket:

1400

L⋅F L3⋅3 E⋅ I⋅

ρ L4⋅8 E⋅ I⋅

+≥


49

arealet af denne bliver da: A = 2*195,5328*8 = 3128,5245mm2 idet at der skal være 14 kraner, og de er 3m lange, så skal der samlet bruges:

VL 3= 3128.52453000⋅ 14⋅ 131.3980106⋅ mm3⋅ i modsætning til vores løsning, hvor der skal bruges 11 kraner som er 4m lange: VL 4= 3863.76394000⋅ 11⋅ 170.0056106⋅ mm3⋅ samlet så er der altså et tab af stål på: Vståltab 170.0056 106

⋅ mm3⋅ 131.3980 106⋅ mm3⋅− 38.6076 106

⋅ mm3⋅ 0.0386 m3⋅ til gengæld så skal der sættes 3 kraner mindre op, hvor såfremt at prisen for al udstyret til styring af kranen samt fremstillingen og monteringen af kranen er mere end prisen for 0,0129m3 stål af en middelmodig standart, så er der penge sparet ved vores løsning. Ud fra dette argument, så burde vi imidlertid have lavet kraner med en længde af fx 6m (den fulde længde af de til rådighed stillede stålplader) eller mere, da der i så tilfælde skulle monteres endnu færre kraner. Dette kunne vi for så vidt også sagtens, begrænsningen hertil er dog at vi ikke får oplyst hvor stor en belastning styringsmekanismerne og væggene hvor kranen monteres, kan holde til. Hvis dette var blevet oplyst, så ville vi nemt kunne beregnes hvad bjælkens faktiske dimensioner samt spændvidden skulle være, ved indsættelse i de tidligere fundne udtryk. Såfremt at den her fremlagte argumentation for brugen af kraner, der har en længde på 4m, ikke er tilfredsstillende, da bør der blot bruges kraner med spændvidden 3m, som har de for lidt siden fundne dimensioner for sådan en (b ≥ 195,5328 og h = 8mm; I2-profil).


50

5. Konklusion På baggrund af evalueringen og valideringen, har vi valgt et I-profil med spændvidden 4m og følgende opbygning og tværsnitsdimensioner:

b ≥ 241,4852mm h = 8mm Som omtalt, så findes øvrige tværsnitsprofiler som også vil kunne bruges til dette formål. Dog er dette tværsnitsprofil det profil som vi synes vil være den mest optimale til etableringen af vægkraner. Vi kan ikke bortkaste, at der kan være tværsnitsprofiler som egner bedre end vores løsningsforslag, men af dem vi har haft tid til at regne på, så er I-profilet den mest egnet.

Documents

En vægkran - RUC.dkmilne.ruc.dk/MAT/En_vaegkran.pdf · 2005-07-01 · En vægkran Projektets overordnede udviklingssigte Sten Bregnhoved, LTG Filnavn: Steen Side 1 Indledning Denne