Endomorphismes Des Espaces Euclidiens

7/26/2019 Endomorphismes Des Espaces Euclidiens

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Endomorphismes des espaces

euclidiens

Matrices orthogonales

Exercice 1 [ 00339 ] [correction]Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires suprieures ?

Exercice 2 [ 00340 ] [correction]SoitTune matrice relle carre dordre n antisymtrique.Etablir que la matrice exp(T) est orthogonale.

Exercice 3 [ 00341 ] [correction]SoitA Mn(R)inversible. En interprtant A comme la matrice de passage entreune base orthonorme dun espace euclidien et une autre base de cet espace et en

orthonormalisant cette dernire, tablir quil existe deux matrices Q On(R)etRT+n(R)telles que A = QR.

Exercice 4 Centrale MP [ 02403 ] [correction]a) Trouver les matrices deOn(R)diagonalisables sur R.b) Montrer quune matrice deOn(R)est diagonalisable sur C .

Exercice 5 Centrale MP [ 02404 ] [correction]SoitA = (ai,j)1i,jn On(R).a) Montrer

1i,jn

|ai,j | n

n

b) Montrer

1i,jn

ai,j

nc) Peut-on avoir simultanment :

1i,jn

|ai,j |= n

n et

1i,jn

ai,j

=n?

Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02742 ] [correction]SoitA une matrice antisymtrique deMn(R). Que peut-on dire de exp A ?

Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02743 ] [correction]SoitA = (ai,j)1i,jn une matrice relle orthogonale. Montrer que

1i,jn

ai,j

n

Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02744 ] [correction]SoitA On(R). On suppose que 1 nest pas valeur propre de A.a) Etudier la convergence de 1p+1 (In+ A + + Ap)lorsque p+.b) La suite(Ap)pN est-elle convergente ?

Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02745 ] [correction]Soient (a,b,c)R3, = ab + bc + ca,S= a + b + c et

M=

a b cc a b

b c a

a) Montrer :

M O3(R) = 0et S {1, 1}b) Montrer :

M

SO3

(R)

= 0et S= 1

c) Montrer queMest dans SO3(R) si, et seulement si, il existe k[0, 4/27]telquea, bet c sont les racines du polynme X3 X2 + k.

Exercice 10 Mines-Ponts MP [ 02746 ][correction]SoitJ la matrice deMn(R) dont tous les coefficients sont gaux 1.Quelles sont les A deOn(R)telles que J+ Asoit inversible ?


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Exercice 11 Mines-Ponts MP [ 02747 ][correction]Soit

M=

A BC D

On(R)

oA Mp(R)et D Mnp(R).Montrer que

(det A)

2

= (det D)

2

Exercice 12 Mines-Ponts MP [ 02749 ][correction][Transformation de Cayley]a) SiA est une matrice antisymtrique relle, que peut-on dire des valeurs proprescomplexes deA ?b) Soit

: A An(R)(In A)(In+ A)1

Montrer que ralise une bijection deAn(R) sur{ On(R)/ 1 /Sp()}

Exercice 13 Mines-Ponts MP [ 02926 ][correction]Soient p,q,r des rels et

A=

p q rr p q

q r p

Montrer queA est une matrice de rotation si, et seulement si, p,q,r sont les troisracines dun polynme de la forme X3 X2 + a o a est prciser. Indiquer leslments de la rotation.

Exercice 14 Mines-Ponts MP [ 02927 ][correction]

Soit des rels a,b,c. On pose A =

a2 ab c ac + bab + c b2 bc a

ac b bc + a c2

.

A quelle condition A est-elle orthogonale ?Cette condition tant ralise, reconnatre lendomorphisme de R3 de matricecanoniqueA.

Exercice 15 [ 03141 ][correction]Dterminer les matrices deOn(R)dont tous les coefficients sont positifs ou nuls.

Exercice 16 [ 03171 ][correction]SoitA Mn(R)une matrice inversible vrifiant

AtA= tAA

Montrer que la matrice = tA1A est orthogonale.

Exercice 17 [ 03343 ][correction]SoitA On(R).a) Montrer que si est une valeur propre complexe de A alors||= 1 .b) Soit une valeur propre complexe non relle de A et Z Mn,1(C)un vecteurpropre associ.On poseX= Re(Z)et Y =Im(Z). Montrer que Vect(X, Y)est stable par A.c) Montrer que les colonnes Xet Yont alors mme norme et sont orthogonales.Quelle est la nature de lendomorphisme induit par la matrice A sur lespaceVect(X, Y) ?

Automorphismes orthogonaux

Exercice 18 [ 00342 ][correction]Soitf O(E) diagonalisable. Montrer que f est une symtrie.

Exercice 19 [ 00343 ][correction]Soient Fun sous-espace vectoriel dun espace vectoriel euclidien Eet f O(E).Montrer quef(F) = f(F).

Exercice 20 [ 00344 ][correction]Soient fun automorphisme orthogonal dun espace vectoriel euclidien Eet

F= ker(f Id).Montrer quef(F) = F.

Exercice 21 [ 00345 ][correction]Soient f O(E)et Vun sous-espace vectoriel de E.Montrer que :

V est stable pour f si, et seulement si, V lest


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Exercice 22 [ 03082 ][correction]Soient Eun espace euclidien et f: EEune application linaire vrifiant

x, yE, (x|y) = 0(f(x)|f(y)) = 0a) Calculer (u + v|u v) pour u, v vecteurs unitaires.b) Etablir quil existe R+ vrifiant

xE, f(x)= xc) Conclure quil existe g O(E) vrifiantf= .g

Exercice 23 [ 00346 ][correction]Soient Eun espace vectoriel euclidien et f: EEune application telle que pourtoutx, yE, on ait (f(x)|f(y)) = (x|y). En observant que limage par fdunebase orthonorme est une base orthonorme montrer quef est linaire.

Exercice 24 [ 03075 ][correction]

Soient Eun espace euclidien et fune application deE vers E vrifiant

f(0) = 0 etx, yE, f(x) f(y)=x ya) Montrer que

xE, f(x)=xb) Etablir que

x, yE, (f(x)|f(y)) = (x|y)c) SoitB= (e1, . . . , en)une base orthonorme de E. Justifier que

xE, f(x) =n

k=1(ek|x) f(ek)

d) En dduire que f est un automorphisme orthogonal deE.

Exercice 25 [ 00348 ][correction]Soient a un vecteur dun espace euclidien orient Ede dimension 3 etfa, ra L(E)dfinis par

fa(x) = a xet ra= exp(fa)Montrer quera est une rotation et en donner les lments caractristiques.

Exercice 26 Mines-Ponts MP [ 02730 ][correction]SoitEun espace euclidien. Quels sont les endomorphismes deEtels que pourtout sous-espace vectoriel V deE: f(V)(f(V)) ?


SoitnN

. On noteMlespace vectoriel relMn(R

). On pose: (A, B) M2 trtAB.a) Montrer que est un produit scalaire.b) Donner une condition ncessaire et suffisante sur M pour queMMsoit-orthogonale.

Exercice 28 Mines-Ponts MP [ 02740 ][correction]Dans un espace euclidien E, soitf L(E). Montrer que deux des trois propritssuivantes entranent la troisime :(i)f est une isomtrie,(ii)f2 =Id,(iii)f(x)est orthogonal x pour tout x.

Exercice 29 X MP [ 03076 ][correction]Soit(E, , )un espace euclidien.Pour O(E), on noteM() = Im( IdE) et F() = ker( IdE).SiuE\ {0}, su dsigne la symtrie orthogonale par rapport lhyperplan u.a) Soit O(E). Montrer que M() F() = E.b) Si(u1, . . . , uk) est libre, montrer : M(su1 suk) = Vect(u1, . . . , uk).c) On suppose (u1, . . . , uk)libre. Soientv1, . . . , vkE\ {0} tels quesu1 suk = sv1 svk .Montrer que(v1, . . . , vk)est libre.

Exercice 30 Mines-Ponts MP [ 02748 ][correction]On note ( .| . ) le produit scalaire canonique de Rn. Pour toute familleu= (u1, . . . , up)(Rn)p on pose

Mu= ((ui|uj))1i,jpa) Montrer que(u1, . . . up) est libre si, et seulement si, Mu est inversible.b) On suppose quil existe u = (u1, . . . , up)et v = (v1, . . . , vp)telles queMu= Mv.Montrer quil existef O(Rn)telle que f(ui) = f(vi) pour tout i.


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Adjoint dun endomorphisme

Exercice 31 [ 00349 ][correction]Montrer quedet f = det f.

Exercice 32 [ 00350 ][correction]Quels sont les automorphismes orthogonaux autoadjoints dun espace vectoriel

euclidienE?

Exercice 33 [ 00351 ][correction]SoientB= (ei)1in etC = (fj)1jn deux bases orthonormes dun espaceeuclidienE.Soitu L(E). On pose

A=

ni=1

nj=1

(fi|u(ej))2

a) Montrer queA ne dpend pas des bases choisies.

b) Exprimer A en fonction de u seul.

Exercice 34 [ 00352 ][correction]Soitu L(E). Montrer que rg(u u) = rg(u) = rg(u u).

Exercice 35 [ 00353 ][correction]Soitu L(E). Comparerker uet ker(u u) dune part puis Imuet Im(u u)dautre part.

Exercice 36 [ 00354 ][correction]SoitA Mn(R). Montrer

rg(tAA) = rgA

Exercice 37 [ 00355 ][correction]Soient Eun espace vectoriel euclidien et u L(E) vrifiantu2 = 0.Etablir

ker(u + u) = ker u ker u

Exercice 38 [ 00356 ][correction]Soitu L(E)avecEespace vectoriel euclidien.a) Montrer

ker u =Imu et Imu = ker u

b) On suppose u2 = 0. Etablir :

u + u inversible

Imu= ker u

Exercice 39 [ 00357 ][correction]Soient Eun espace vectoriel euclidien orient de dimension 3 etuEnon nul.On considre f: xu x.a) Montrer quef est un endomorphisme de E.En dterminer image et noyau.b) Dterminerf.c) Montrer quef2 est diagonalisable dans une base orthonorme.


Soient Eun espace vectoriel euclidien et f L(E).On suppose que pour tout xE,f(x) x.Montrer quef(x) x.

Exercice 41 [ 00359 ][correction]Soient Eun espace euclidien et f L(E)vrifiantf(x) xpour tout x de E.a) Montrer que si f(x) = x alorsf(x) = x.b)E= ker(f Id) Im(f Id).

Exercice 42 Centrale MP [ 02397 ][correction]SoitEun espace euclidien orient de dimension 3 et u un endomorphisme deE.a) Rduire lexpression (x,y,z) = [u(x), y , z] + [x, u(y), z] + [x,y,u(z)].b) Montrer quil existe v L(E) tel que pour tout (x, y)E2,v(x y) = u(x) y u(y) x.

Exercice 43 Mines-Ponts MP [ 02737 ][correction]SoitEun espace vectoriel rel euclidien orient de dimension 3 et f L(E).Montrer lquivalence de :(i)f =f,(ii) il existewEtel quef(x) = w xpour toutxE.


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Exercice 44 Mines-Ponts MP [ 02738 ][correction]SoitEun espace euclidien de norme . , u dansL(E)et . L(E) la norme surL(E) subordonne . .a) CompareruL(E) etuL(E).b) SiuL(E) 1, comparerker(u Id) et ker(u Id).c) SiuL(E) 1, montrerE= ker(u Id) Im(u Id).

Exercice 45 Mines-Ponts MP [ 02739 ][correction]SoitEun espace euclidien et u L(E) tel queu u= 0. Montrer queImu= ker uu + u GL(E).

Exercice 46 [ 03149 ][correction]Soitu un endomorphisme dun espace euclidien E. Exprimerker(u u) etIm(u u)en fonction de ker u.

Exercice 47 Centrale MP [ 03391 ][correction]On considre lensembleEn des matrices M Mn(R)sans valeurs propres rellesvrifiant

tM= M2

1.a) Lorsquen = 2 , dterminer laide du logiciel de calcul formel lensembleE2;vrifier quil est constitu de deux matrices M1 et M2.b) Retrouver ce rsultat par le calcul.c) Montrer quil existe une matrice P O2(R)telle que

tP M1P= M2

2. Montrer que lensembleE3 est vide.3. Montrer laide du logiciel de calcul formel que la matrice

A=1

2

1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1

appartient E4.4.a Montrer que tout endomorphisme u dun R-espace vectoriel de dimension finien 2 sans valeurs propres relles, admet au moins un plan stable.

4.b Soient Eun espace vectoriel euclidien et Fun sous-espace vectoriel stable parun endomorphismeu dont ladjoint vrifie u =u2. Montrer que lorthogonal de Fest aussi stable par u.4.c Montrer, lorsque n = 4 , que pour toute matrice M E4, il existe P O4(R)telle que

tP M P=

1/2 3/2 0 0

3/2

1/2 0 00 0 1/2 3/20 0 3/2 1/2

4.d Exprimer une telle matrice Ppour la matrice A de la question 3. Vrifier avecle logiciel.

Endomorphisme autoadjoint

Exercice 48 [ 00361 ][correction]Soitfun endomorphisme symtrique dun espace vectoriel euclidien E. Montrerque les espaces Imf etker fsont supplmentaires et orthogonaux.

Exercice 49 [ 00362 ][correction]Soient fet g deux endomorphismes symtriques dun espace vectoriel euclidien E.Montrer quef g est symtrique si, et seulement si, f g= g f.

Exercice 50 [ 01751 ][correction]SoitEun espace euclidien de dimension n 2,a un vecteur unitaire de Eet k unrel.a) Montrer que

f(x) = x + k(x|a)adfinit un endomorphisme autoadjoint deE.b) Etudier les valeurs propres et les sous-espaces propres de f.

Exercice 51 [ 00363 ][correction]Soitp une projection dun espace vectoriel euclidien E.Montrer quep est une projection orthogonale si, et seulement si,p =p.


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Exercice 52 [ 00364 ][correction]Soitfun endomorphisme symtrique de E vrifiantxE, (f(x)|x) = 0.Dterminerf.

Exercice 53 [ 00365 ][correction]Soitfun endomorphisme dun espace vectoriel euclidien E.a) Montrer queu = f f est diagonalisable et que ses valeurs propres sontpositives ou nullesb) Etablir ker u= ker fpuis Imu= (ker f)

Exercice 54 [ 00366 ][correction]Soitu un endomorphisme autoadjoint dun espace euclidien Ede valeurs propres1, . . . , n comptes avec multiplicit et ranges en ordre croissant.Montrer

xE, 1 x2 (u(x)|x) n x2

Exercice 55 [ 00367 ][correction]Soitu un endomorphisme autoadjoint dun espace euclidien E.On noteu la norme de lendomorphisme u subordonne la norme euclidienne.Etabliru= sup

Sp(u)

||.

Exercice 56 [ 00368 ][correction]Soient Eun espace vectoriel euclidien de dimension n et S={xE/ x= 1} sasphre unit.Pour p {1, . . . , n}, on noteVp lensemble des sous-espaces vectoriels de Ededimensionp. Pour fun endomorphisme autoadjoint de E, on note1

n

ses valeurs propres comptes avec multiplicit.Etablir :

p = minVVp

maxxSV

(f(x)|x)


SoitK C

[0, 1]2 ,R

non nulle telle que(x, y)[0, 1]2 , K(x, y) = K(y, x). OnnoteE=C ([0, 1] ,R). Pourf E, soit (f) : x[0, 1] 1

0 K(x, y)f(y)dy R.

a) Vrifier que L(E).

b) Lapplication est-elle continue pour? pour1?c) Montrer que est autoadjoint pour le produit scalaire associ 2 sur E.Soit =

max0x1

10|K(x, y)| dy

1.

d) Montrer :], [ , hE, !f E, h= f (f).e) Si R, montrer que :dim ker( Id) 12 [0,1]2

K(x, y)2dxdy.

Exercice 58 Centrale MP [ 03189 ][correction]Soient Eun espace euclidien et f GL(E).a) Dmontrer lexistence dune base orthonorme de Etransforme par fen unebase orthogonale.b) SoitM GLn(R). Dmontrer lexistence de deux matrices orthogonales U etV telles que U M V soit diagonale.Mme question avecMnon inversible.c) Application

M=

1 21 2

Matrices symtriques

Exercice 59 Mines-Ponts MP [ 01330 ][correction]SoitA Mn(R)telle que tAA=AtA. On suppose quil existe p N tel queAp = 0.a) Montrer que tAA= 0.b) En dduire que A = 0.

Exercice 60 [ 00369 ][correction]SoitA

Mn(R). Montrer que la matrice

tAAest diagonalisable valeurs propres

positives.

Exercice 61 [ 00370 ][correction]SoitA une matrice relle carre dordre n.a) Montrer que

tAA= AtA

b) Montrer que tAAet AtA sont semblables.


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Exercice 62 [ 00371 ][correction]Soient A Mn(R) et B = 12(tA + A).On note la petite valeur propre de B et sa plus grande.Etablir SpA[, ].


SoitA Sn(R) valeurs propres positives. Etablir (det A)1/n 1ntrA.

Exercice 64 [ 02600 ][correction]On tudie lquation MtM M= In dinconnueM Mn(R).a) Montrer quune solution est une matrice symtrique.b) En dduire les solutions de lquation tudie.

Exercice 65 Centrale MP [ 02401 ][correction]Soient A et B dansMn(R). Montrer, si AtA=BtB, quil existeQ On(R)telqueB = AQ.

Exercice 66 Mines-Ponts MP [ 02750 ][correction]SiM Sn(R) vrifie Mp =In avecp N, que vaut M2 ?

Exercice 67 Mines-Ponts MP [ 02751 ][correction]Montrer que le rang de A Mn(R) est gal au nombre de valeurs propres nonnulles (comptes avec leur ordre de multiplicit) de tAA.


SoitJ la matrice deMn(R) dont tous les coefficient sont gaux 1. TrouverP On(R)et D Mn(R)diagonale telles que tP JP =D.

Exercice 69 X MP [ 03077 ][correction]Soient m, n N etM Mm,n(R).Etablir lexistence de U Om(R)et V On(R)telle que la matriceN= U M Vvrifie :

(i, j) {1, . . . , m} {1, . . . , n} , i=jNi,j = 0

Exercice 70 [ 03088 ][correction]Soit

A=

a1 b1 (0)

c1 a2. . .

. . . . . . bn1

(0) cn1 an

Mn(R)

vrifiant bkck> 0 pour tout1 k n 1.a) Montrer quil existe une matrice diagonale inversible D vrifiant

D1AD Sn(R)

b) En dduire que A est diagonalisable.

Exercice 71 [ 03161 ][correction]SoitA = (ai,j) Sn(R)de valeurs propres 1, . . . , n comptes avec multiplicit.Etablir

ni,j=1 a

2

i,j =

ni=1

2

i

Exercice 72 [ 03162 ][correction]Soient A, B Sn(R)et p N. On suppose que A2p+1 =B2p+1. Montrer queA= B.

Exercice 73 [ 03163 ][correction]SoitA Mn(R). Montrer que les matrices tAAet AtA sont orthogonalementsemblable i.e.

P O

n(R),t(tAA) = AtA

Matrices antisymtriques

Exercice 74 [ 00374 ][correction]Un endomorphismefdune espace vectoriel euclidien est dit antisymtrique sif =f.a) Soitf L(E). Montrer que f est antisymtrique si, et seulement si,

xE, (f(x)|x) = 0


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On suppose dsormais queEest un espace vectoriel euclidien orient dedimension 3.b) SoituE. Montrer que f: xu xest un endomorphisme antisymtriquedeE.c) Inversement, soit fun endomorphisme antisymtrique de E. Etablir quil existeun unique vecteur uEtel quef(x) = u xpour toutxE.

Exercice 75 [ 00373 ][correction]Montrer que tout matrice antisymtrique relle est de rang pair.

Exercice 76 Centrale PC [ 03084 ][correction]Montrer que le dterminant dune matrice antisymtrique relle est positif ou nul.

Exercice 77 [ 00375 ][correction]Un endomorphismeu dun espace euclidienE est dit antisymtrique si

x

E, (u(x)

|x) = 0

Soitu un endomorphisme antisymtrique.a) Quelles sont les seules valeurs propres relles possibles pour u ?A quelle condition un endomorphisme antisymtrique est-il diagonalisable?b) Etablir que, pour toutx, yE,

(u(x)|y) =(x|u(y))En dduire que la matrice A dans une base orthonorme dun endomorphismeantisymtrique est elle-mme antisymtrique.c) Soient A une matrice antisymtrique relle, une valeur propre complexe de lamatriceA et Xun vecteur propre associ.En tudiant t XAX, tablir que

iR.

Exercice 78 Mines-Ponts MP [ 02758 ][correction]a) SoitEun R-espace vectoriel, une forme bilinaire symtrique non dgnresurEet fdansL(E)telle que

x, yE, (f(x), y) =(x, f(y))Montrer quefest de rang pair.b) SiA Mn(R), montrer que le commutant de A dansMn(R)est decodimension paire.

Exercice 79 X MP [ 02915 ][correction]SoitA Mn(R)antisymtrique. Montrer queA est orthosemblable une matricediagonale par blocs avec sur la diagonale des zros et des blocs de la forme

0 aa 0

oaR


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Corrections

Exercice 1 : [nonc]Les matrices diagonales avec coefficients diagonaux gaux 1 ou1. Le rsultatsobtient en tendant les colonnes de la premire la dernire, en exploitantquelles sont unitaires et deux deux orthogonales.

Exercice 2 : [nonc]Par continuit de lapplication linaire de transposition, on justifie

t exp(T) = exp(tT)

Par suitet exp(T) exp(T) = exp(T) exp(T)

OrT etTcommutent donc

exp(T)exp(T) = exp(T+ T) = Inet on conclut.

Exercice 3 : [nonc]On munit Rn de sa structure euclidienne canonique, on noteB sa base canoniqueetB la famille dlments de Rn dtermine par A =MatBB. La familleB estlibre, on peut donc lorthonormaliser par le procd de Schmidt en une famille B.Par changement de base, A =MatBB MatBB avec MatBB On(R) carB, B orthonormes et MatBB T+n(R)carB obtenue par le procd deSchmidt.

Exercice 4 : [nonc]a) Les valeurs propres dune matrice U deOn(R)diagonalisable ne pouvant treque 1 et1, celle-ci vrifieU2 =In. Les matrices deOn(R)diagonalisables sur Rsont les matrices des symtries orthogonales.b) SoitU On(R). On peut construire une base orthonorme de trigonalisationde tout endomorphisme complexe donc il existe P GLn(C) vrifiant PP =InetPUP T+n(R). Or(PUP) =PU1P= (PUP)1 doncPUP estdiagonale et ses lments diagonaux sont de module 1.

Exercice 5 : [nonc]a) Par lingalit de Cauchy-Schwarz,

nj=1

|ai,j| n

j=1

a2i,j

nj=1

12 =

n

donc 1i,jn

|ai,j| nn.b) PourX= t

1 . . . 1

, on vrifie

1i,jn

ai,j = tXAX. Or

tXAX= (X|AX)donc toujours par lingalit de Cauchy-Schwarz,|tXAX| X AX. OrX=n etAX=X=ncar A On(R)donc 1i,jnai,j

n.c) On peut avoir lgalit si n = 1 mais aussi sin = 4 avec

A=1

2

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

En fait, un approfondissement du problme donne

n2Zcondition ncessaire lobtention de lgalit.

Exercice 6 : [nonc]Par continuit de la transposition t (exp A) = exp(tA).On a alors t (exp A)exp A= exp(A)exp(A) = exp(A + A) = exp(On) = In carA etA commutent.Ainsiexp Aest une matrice orthogonale.

Exercice 7 : [nonc]Pour X= t

1 . . . 1

, on vrifie

1i,jn

ai,j = tXAX. Or tXAX= (X|AX)donc par lingalit de Cauchy-Schwarz,|tXAX| X AX. OrX=n etAX=X=ncar A On(R)donc

1i,jnai,j n.


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Exercice 8 : [nonc]a) Posons Up=

1p+1(In+ A + + Ap).

On a(I A)Up = 1p+1(In Ap+1)0 car pour la norme euclidienne :M On(R), M=

n.

Puisque1 /SpA,Up0.b) Par labsurde si Ap converge vers B alors pour tout X Mn,1(R),A

p+1

X= AA

p

Xdonne la limite B X= ABX. Or1 /SpAdoncBX= 0etpuisque ceci vaut pour tout X,B = 0.OrAp=n0. Absurde.La suite (Ap)pN est divergente.

Exercice 9 : [nonc]a) Les colonnes deM sont unitaires et deux deux orthogonales si, et seulementsi,

a2 + b2 + c2 = 1

ab + bc + ca= 0

Puisque(a + b + c)

2

=a2

+ b2

+ c2

+ 2, on obtient

M O3(R) = 0et S2 = 1

b) En ajoutant toutes les colonnes la premire puis en factorisant

det M= (a + b + c)

1 b c1 a b1 c a

puis

det M= (a + b + c)

1 b c0 a b b c0 c b a c

et enfindet M= (a + b + c)

(a b)(a c) + (b c)2

Ainsi

det M= S

a2 + b2 + c2 ab bc ac =S3car = 0.FinalementM SO3(R) = 0et S= 1.c)a,b,c sont les racines du polynmeX3 X2 + k si, et seulement si,X3 X2 + k= (X a)(X b)(X c).

En identifiant les coefficients, cette identit polynomiale quivaut

a + b + c= 1

ab + bc + ca= 0

abc=kDe plus, le polynme X3

X2 + k admet trois racines relles si, et seulement si,

k[0, 4/27].En effet, considrons la fonctionf: xx3 x2 + k.fest drivable sur R et f(x) = x(3x 2).Compte tenu de ses variations, pour que f sannule 3 fois il est ncessaire quef(0) 0 et f(2/3) 0.Cela fournit les conditions k 0et k 4/27.Inversement, sik[0, 4/27],fadmet trois racines relles (comptes avecmultiplicit)Ainsi, si M SO3(R)alorsa,b,c sont les racines du polynmeX3 X2 + k aveck[0, 4/27].Inversement, sik[0, 4/27], le polynme X3 X2 + k admet trois racines a,b,cvrifiant = 0et S= 1doncM SO3(R).

Exercice 10 :[nonc]J+ A nest pas inversible si, et seulement si, il existe une colonne non nullevrifiant AX=JX.On a alors tAJX=X et donc1Sp(tAJ) = Sp(JA)avec une rciproqueimmdiate.Le polynme caractristique de J A tant(1)nXn1(X

i,jai,j), on obtient le

critre :J+ A est inversible si, et seulement si,

i,j

ai,j=1

Exercice 11 :[nonc]Introduisons

N=

tA Op,nptB I

On a

MN=

AtA + BtB BCtA + DtB D

Or

MtM=

AtA + BtB AtC+ BtDCtA + DtB CtC+ DtD

=In


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donc

MN=

Ip BOnp,p D

En passant cette relation au dterminant, on en dduit

det M det tA= det D

Sachant det M= 1, la conclusion est ds lors facile.

Exercice 12 :[nonc]a) Soit une valeur propre complexe de A et X Mn,1(C)une colonne propreassocie.Dune part t XAX= t XX, dautre part t XAX= tAXX=t XX.Puisque t XX R+, on obtient = donciR.b) Pour tout A An(R), =(A)est bien dfinie car1 /SpA.t = (In A)1(In+ A)(In A)(In+ A)1 orIn+ Aet In A commutentdonc t = In.De plus, si X=Xalors(In A)X=(In+ A)X (carIn A et (In+ A)1

commutent) et doncX= 0.Ainsi lapplication :An(R) { On(R)/ 1 /Sp()} est bien dfinie.Si(A) = (B)alors(In A)(In+ B) = (In+ A)(In B). En dveloppant et ensimplifiant on obtientA = B et donc lapplication est injective.Enfin soit On(R)tel que1 /Sp().Posons A = ( + In)

1(In )qui est bien dfinie car1 /Sp.On atA= (In1)(1+In)1 = (In)1(In+)1 = (In)(In+)1 =Aet(A) = .Finalement est bijective.

Exercice 13 :[nonc]

A est une matrice de rotation si, et seulement si, A O3(R)et det A= 1 ce quifournit le systme :

p2 + q2 + r2 = 1

pq+ qr + rp= 0

p3 + q3 + r3 3pqr = 1(le dterminant se calculant par Sarrus).Posons 1 = p + q+ r, 2 = pq+ qr+ rq,3 = pqr, S2= p2 + q2 + r2,S3 = p3 + q3 + r3 ett =p2q+pq2 + q2r+ qr2 + t2p + tp2

Si(p, q, r) est solution du systme alors 21 = S2+ 21 donne 1 =1.

De plus12 = 0donnet + 33 = 0et donc1=

31 = S3+ 3t + 63= S3 33= 1.

Ainsip,q,r sont les trois racines du polynme X3 X2 + a.Inversement, on vrifie que les trois racines du polynme X3 X2 + a satisfont lesystme.Il ne reste plus qu tudier quelle condition sur a ces trois racines sont relles.Ltude des variations de Pdonne la condition ncessaire et suffisante suivante

P(0) 0et P(2/3) 0

i.e.a[0, 4/27].La rotation alors obtenue est daxe dirig et orient par (1, 1, 1)et dangle aveccos = 3p12 etsin du signe de q r.

Exercice 14 :[nonc]

On aC12 =a2(a2 + b2 + c2) + b2 + c2 et(C1|C2) = ab(a2 + b2 + c2 1).SiA est orthogonale alorsC12 + C22 + C32 = 3 donne(a2 + b2 + c2)2 + 2(a2 + b2 + c2) = 3 et puisquea2 + b2 + c2 0, on obtient

a2 + b2 + c2 = 1.Rciproquement, sia2 + b2 + c2 = 1 alors on vrifieC1=C2=C3= 1 et(C1|C2) = (C2|C3) = (C3|C1) = 0doncA est orthogonale.Supposons maintenant a2 + b2 + c2 = 1 et posons u = (a,b,c)

A=

a2 ab acab b2 bc

ac bc c2

+

0 c bc 0 a

b a 0

.

La matrice

a2 ab acab b2 bc

ac bc c2

est celle de lapplicationx(u|x)u.

La matrice 0 c bc 0

a

b a 0 est celle de lapplicationx

u

x.

Lapplication tudie est donc x(x|u)u + u xqui est la rotation daxe diriget orient par u et dangle/2.

Exercice 15 :[nonc]SoitA On(R)dont tous les coefficients sont positifs ou nuls.Montrons que chaque colonne de A ne comporte quau plus un coefficient non nul.Par labsurde, supposons que la j me colonne deA possde au moins deuxcoefficients non nuls situs enkme et enme ligne. Puisque les colonnes de A


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sont orthogonales, on a pour tout j =jni=1

ai,jai,j = 0

Sachant que tous les coefficients sont positifs, cette quation quivaut

i {1, . . . , n} , ai,jai,j = 0et on en tire

ak,j = a,j = 0

Ainsi les n 1colonnes correspondant aux indices autres que j appartiennent lespace form des colonnes dont leskme et me coefficients sont nuls. Or cesn 1 colonnes sont indpendantes et cet espace est de dimension n 2. Cestabsurde.Puisque les colonnes de A sont de norme 1 et que ses coefficients sont positifs, surchaque colonne figure un 1 et n 1 coefficients nuls.Le mme raisonnement peut tre adapt aux lignes de A pour affirmer quechacune delles contient un coefficient 1 et n 1 coefficients nuls.Inversement, on vrifie aisment quune telle matrice est une matrice orthogonale coefficients positifs.En fait, les matrices considrs sont les matrices de permutation, il y en a n!

Exercice 16 :[nonc]On a

t = tA1AtAA1

OrA et tA commutent donc

t = tA1tAAA1 =In

Exercice 17 :[nonc]a) Soit une valeur propre complexe de A et Zun vecteur propre associ.On aAZ= Zet AZ= Zdonc

t(AZ)AZ=||2 tZZ

On a aussit(AZ)AZ= t ZtAAZ= t ZZ

Puisque t ZZ=Z2 R+, on obtient||2 = 1.

b) Ecrivons = e i. LidentitAZ= ZdonneAX= cos X sin YAY= sin X+ cos Y

Il est alors immdiat que Vect(X, Y) est stable par A.c) Puisque la matrice A est orthogonale

X2 =AX2 = cos2 X2 2cos sin (X|U) + sin2 Y2

On en dduit

sin2 X2 Y2

+ 2cos sin (X|Y) = 0

Puisque la matriceA est orthogonale, on a aussi

(X|Y) = (AX|AY) = cos sin (X2 Y2) + (cos2 sin2 )(X|Y)On en dduit

cos sin X2

Y

2 2sin

2 (X

|Y) = 0

Ainsi les nombres a =X2 Y2 etb = 2(X|Y)sont solutions du systmehomogne

a sin2 + b cos sin = 0

a cos sin b sin2 = 0Puisquesin = 0, ce systme est de Cramer et donc a =b = 0 .Quitte multiplier les colonnes Xet Y par un mme scalaire unitaire, on peutaffirmer que la famille (X, Y)est une base orthonorme du plan Vect(X, Y). Enorientant ce plan par cette base, lendomorphisme induit apparat comme tantune rotation dangle .

Exercice 18 :[nonc]Soit valeur propre de f. Pourx vecteur propre, on a f(x) = x avecf(x)=x do =1. Une diagonalisation de f est alors ralise avec des 1et des1 sur la diagonale, cest une symtrie.

Exercice 19 :[nonc]ftant un automorphisme,dim f(F) = dim F etdim f(F) = dim F. Par suite

dim f(F) = dim f(F)


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Soient xf(F)et yf(F). On peut crire x =f(a)et y = f(b) avecaFetbF. On a

(x|y) = (f(a)|f(b)) = (a|b) = 0doncf(F)f(F) puis lgalit par les dimensions.

Exercice 20 :[nonc]Soityf(F). Il existe xF tel quey = f(x). On a alorszF,(y|z) = (f(x)|f(z)) = (x|z) = 0.Par suitef(F)F.De plusf conserve les dimensions car cest un automorphisme donc il y a galit.

Exercice 21 :[nonc]() SiV est stable pour f alorsf(V)V et puisquef est un automorphismef(V) = V.xV, yV, (f(x)|y) = (x|f1(y)) = 0car f1(y)V doncf(x)VpuisV stable parf.

() SiV

stable parfalors V =V

aussi

Exercice 22 :[nonc]

a)(u + v|u v) =u2 v2 = 0 pouru et v unitaires.b) Soient u et v des vecteurs unitaires de E.u + v et u v sont orthogonaux doncf(u + v) et f(u v) le sont aussi.Or par linarit

f(u + v) = f(u) + f(v)et f(u v) = f(u) f(v)

de sorte que lorthogonalit de ces deux vecteurs entrane

f(u)=f(v)Ainsi les vecteurs unitaires de Esont envoys parf sur des vecteurs ayant tous lamme normeR+.Montrons qualors

xE, f(x)= xSoitxE.Six = 0 alors on af(x) = 0puisf(x)= x.Six= 0 alors en introduisant le vecteur unitaire u =x/x, on af(u)= puisf(x)= x

c) Si = 0 alorsf= 0 et nimporte quelg O(E) convient.Si= 0 alors introduisons lendomorphisme

g = 1

f

La relation obtenue en b) assure que g conserve la norme et donc g O(E)ce quipermet de conclure.

Exercice 23 :[nonc]ftransforme une base orthonormeB= (e1, . . . , en)en une base orthonormeB = (e1, . . . , en). Pour tout xE, f(x) =

ni=1

(f(x)|ei)ei =ni=1

(x|ei)ei do lalinarit def.

Exercice 24 :[nonc]a) Poury = 0, la relation

f(x)

f(y)

=

x

y

donne

f(x)

=

x

sachant

y= 0.b) Poury =x, la relationf(x) f(y)=x y donnef(x) =f(x).Par polarisation

(f(x)|f(y)) = 14

f(x) + f(y)2 + f(x) f(y)2

Orf(x) f(y)=x y etf(x) + f(y)=f(x) f(y)=x (y)=x + ydonc

(f(x)|f(y)) = 14

x + y2 + x y2

= (x|y)

c) Par conservation du produit scalaire, on peut affirmer que la famille(f(e1), . . . , f (en)) est une base orthonorme deE. Par suite, pour tout xE,

f(x) =

nk=1

(f(ek)|f(x)) f(ek) =n

k=1

(ek|x) f(ek)

d) Lexpression ci-dessus assure la linarit de f et puisquon sait dj que fconserve le produit scalaire, on peut affirmer que f est un automorphismeorthogonal.


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Exercice 25 :[nonc]Sia = 0 ,ra = Id.Sia= 0 alors dans une base orthonorme directe de premier vecteur a/a, lamatrice defa est

A=

0 0 00 0 a0

a

0

Par calcul, la matrice de ra dans cette base est alors

R=

1 0 00 cos a sin a

0 sin a cos a

Lendomorphismera est donc une rotation daxe dirig et orient par a et danglea.

Exercice 26 :[nonc]Un tel endomorphisme conserve lorthogonalit. Pour tout x, y vrifiant

x=y, on a x + y et x y orthogonaux doncf(x) + f(y)et f(x) f(y) aussi.Par suitef(x)=f(y). Ainsi un tel endomorphisme transforme une baseorthonorme(e1, . . . , en)en une famille orthogonale aux vecteurs isomtriques.Par suitef= g avecg O(E).La rciproque est immdiate.

Exercice 27 :[nonc]a) On reconnat le produit scalaire canonique surMn(R).b) Posons f: MM. (f(M)|f(N)) = tr(tMtN).f est-orthogonale si, et seulement si, pour tout M , N M,(M| tN) = (M| N) i.e. pour tout N M, tN= N i.e. t = In.Ainsif est-orthogonale si, et seulement si, lest.

Exercice 28 :[nonc]On observe que (i) quivaut f =f1 et (ii) quivaut f1 =f.Observons que (iii) quivaut f =f.Supposons (iii), pour toutx, yE,(f(x + y)|x + y) = 0 donne(f(x)|y) =(x|f(y))doncf =f. La rciproque est immdiate.Ainsi les proprits (i), (ii) et (iii) retraduites, il est immdiat de conclure.

Exercice 29 :[nonc]a) SoientyM()et xF().(x) = x et il existe aEtel quey = (a) a.On a alors

x, y=x, (a) x, a=(x), (a) x, a= 0car O(E).AinsiM()et F()sont orthogonaux et par la formule du rang

dim M() + dim F() = dim E

donneM() F() = E

b) Par rcurrence surk 1.Pour k = 1 : la proprit est immdiate.Supposons la proprit vraie au rang k 1.Soient (u1, . . . , uk+1)une famille libre et = su1 suk+1 O(E). EtudionsF().SoitxF(). La relation(x) = x donne

su1 suk(x) = suk+1(x)

puissu1 suk(x) x=suk+1(x) x

Orsuk+1(x) xVect(uk+1)et par hypothse de rcurrencesu1 suk(x) xVect(u1, . . . , uk).Puisque la famille(u1, . . . , uk+1)est libre, on obtient

su1 suk(x) x=suk+1(x) x= 0

Ainsix est point fixe de su1 suk et de suk et donc

xVect(u1, . . . , uk) Vect(uk+1) =Vect(u1, . . . , uk+1)

Par suiteF()Vect(u1, . . . , uk+1)

Lautre inclusion tant immdiate, on obtient

F() = Vect(u1, . . . , uk+1)

puisM() = Vect(u1, . . . , uk+1)


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Rcurrence tablie.c) Posons

=su1 suk = sv1 svkPar ltude qui prcde

F() = Vect(u1, . . . , uk)

De faon immdiate

Vect(v1, . . . , vk) F()En passant lorthogonal

Vect(u1, . . . , uk)Vect(v1, . . . , vk)Puisque la famille(u1, . . . , uk) est suppos libre, un argument de dimensionpermet daffirmer que la famille (v1, . . . , vk) lest aussi.

Exercice 30 :[nonc]a) Notons C1, . . . , C p les colonnes deMu.Si(u1, . . . , up)est lie alors il existe 1, . . . , p non tous nuls vrifiant1u1+

+ pup= 0. On a alors (1u1+

+ pup

|ui) = 0pour touti et donc

1C1+ + pCp= 0. AinsiMu nest pas inversible.Inversement, supposons Mu non inversible. alors il existe 1, . . . , p non tous nulsvrifiant 1C1+ + pCp = 0et donc (1u1+ + pup|ui) = 0pour touti.Ainsi1u1+ + pupVect(u1, . . . , up), or1u1+ + pupVect(u1, . . . , up)donc1u1+ + pup = 0et la famille(u1, . . . , up) est lie.b) Posonsr = rg(u1, . . . , up)et quitte permuter les vecteurs, supposons que les rpremiers vecteurs de la familleu sont indpendants.Par ltude qui prcde, on peut affirmer que les r premiers vecteurs de la famillev sont alors indpendants et que les autres en sont combinaisons linaires.Considrons alors lapplication linaireh : Vect(u1, . . . , ur)Vect(v1, . . . , vr)dtermine par

1 k r, h(uk) = vkPour toutx = 1u1+ + rur, on a h(x) = 1v1+ + rvr.Or

x2 =r

i,j=1

ij(ui|uj)et h(x)2 =r

i,j=1

ij(vi|vj)

doncx2 =h(x)2 car(ui|uj) = (vi|vj).Pour toutk {r+ 1, . . . , p},uk est combinaison linaire des u1, . . . , ur ce quipermet dcrire

uk= 1u1+ + rur

On a alors pour tout i {1, . . . , r},(uk (1u1+ + rur)|ui) = 0

et donc(vk (1v1+ + rvr)|vi) = 0

On en dduitvk = 1v1+ + pvr puisvk = h(uk).Enfin, on prolonge h en un automorphisme orthogonal solution dfini sur R

n

enintroduisant une application linaire transformant une base orthonorme deVect(u1, . . . , ur)

en une base orthonorme de Vect(v1, . . . , vr)

Exercice 31 :[nonc]SoitB une base orthonorme. MatBf =t MatBf.

Exercice 32 :[nonc]Ce sont les symtries orthogonales.

Exercice 33 :[nonc]a)A =

nj=1

u(ej)2 ne dpend par deC et A =ni=1

u(fi)2 ne dpend pas deB.b) En prenantC=B,

A=

ni=1

nj=1

(ei|u(ej)) (ej|u(ei))

NotonsM= (mi,j)la matrice de u dans la base orthonormeB. Puisquemi,j = (ei|u(ej))et mj,i= (ei|u(ej)),

A=n

i=1

n

j=1

mi,jmj,i

Orn

j=1

mi,jmj,i est le coefficient dindice(i, i)de la matrice M2 reprsentative de

u2 doncA =tr(u2).

Exercice 34 :[nonc]On saitker uker(u u) et si xker(u u)alors u(u(x)) = 0donc(u(u(x))|x) = 0puisu(x)2 = 0 doncxker u. Ainsi ker u= ker u u puisrg(u) = rg(u u). Enfin rg(u) = rg(u) = rg(u u) = rg(u u).


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Exercice 35 :[nonc]On saitker uker(u u) et si xker(u u)alors u(u(x)) = 0 donc(u(u(x))|x) = 0puisu(x)2 = 0 doncxker u. Ainsi ker u= ker u u. Il endcoule rg(u) = rg(u u)puis rg(u) = rg(u) = rg(u u) = rg(u u). OrIm(u u)Imu donc Im(u u) = Imu.

Exercice 36 :[nonc]SiXker A alors Xker tAA.Inversement, siXker tAAalors tAAX= 0donc tXtAAX= t(AX)AX= 0doAX= 0 puis X ker A.Ainsi

ker(tAA) = ker A

puis par la formule du rangrg(tAA) = rgA

Exercice 37 :[nonc]

Evidemmentker(u + u)ker u ker u

Inversement, soitxker(u + u). On a u(x) + u(x) = 0doncu(u(x)) = 0 etu(x)ker uor u(x)Imu = ker u doncu(x) = 0puis aussi u(x) = 0 etdoncxker u ker u.On peut conclure quant lgalit demande.

Exercice 38 :[nonc]a) Soitxker u. Pour toutyImu, on peut crire y = u(a)et(x|y) = (u(x)|a) = (0|a) = 0 doncker u Imu.Soitx

Imu,

a

E, (u(x)

|a) = (x

|u(a)) = 0doncu(x) = 0 do

Imu ker u.Puisqueu =u on a aussi Imu = ker udo Imu = ker u.b) On suppose Imuker u.() Supposons u + u inversible.Soitxker u Imu. On a u(x) + u(x) = 0doncx = 0. Par suiteker u Imu ={0}.Doncdimker u + dim Imu dim Epuis dimker u dim Imu. Par suiteImu= ker u.() Supposons Imu= ker u.Soitxker(u + u). u(x) + u(x) = 0.

Oru(x)Imuet u(x)Imu = (ker u) = (Imu) doncu(x) = u(x) = 0.Par suitexker uet xker u =Imu = ker u doncx = 0 .Par suiteu + u est injectif donc bijectif.

Exercice 39 :[nonc]

a) Il est clair que f

L(E).ker f= Vect(u)et Imf=

{u

}

par inclusion et

galit des dimensions.b) Soit matriciellement, soit(u x|y) = Det(u,x,y) = Det(y,u,x) = (y u|x) = (f(y)|x)doncf =f.c)(f2) =f2 doncf2 est diagonalisable dans une base orthonorme.

Exercice 40 :[nonc]

Version longue :f(x)2 = (f f(x)|x) f(f(x)) x f(x) x doncf(x) x quef(x)= 0 ou non.Version rapide :fL(E)=fL(E).

Exercice 41 :[nonc]a) Puisquef etf ont mme norme doprateur, on peut affirmer

xE, f(x) xSif(x) = x alors

f(x) x2 =f(x)2 2(f(x)|x) + x2 x2 2(x|f(x)) + x2 = 0et donc f(x) = x.b) Soitxker(f Id) Im(f Id).On af(x) = x (doncf(x) = x) et il existeaE vrifiantx =f(a) a.

x2 = (x|f(a) a) = (x|f(a)) (x|a)

Par adjonction x2 = (f(x)|a) (x|a) = 0Par suite

ker(f Id) Im(f Id) ={0}Enfin par le thorme du rang

dimker(f Id) +rg(f Id) = dim Epermet de conclure

E= ker(f Id) Im(f Id)


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Exercice 42 :[nonc]a) est une forme trilinaire alterne sur Ede dimension 3 donc estproportionnel au dterminant. Pour (i,j,k)base orthonorme,(i,j,k) = (i|u(i)) + (j|u(j)) + (k|u(k)) = trudonc(x,y,z) = tru. [x,y,z].b)(u(x) y u(y) x|z) = [u(x), y , z] + [x, u(y), z] = tru [x,y,z] [x,y,u(z)] =(x y, (tru.Id u)(z)). Ladjoint de (tru.Id u)rsout notre problme.

Exercice 43 :[nonc](ii)(i) est immdiate via

(w x|y) = Det(w,x,y) =Det(w,y,x) =(w y|x)

(i)(ii) Supposons f =f.Dans une base orthonorme directe(i,j,k), la matrice de fest de la forme

0 a ba 0 cb c 0

car antisymtrique.Pour w =(ak+ bj+ ci), on observe

w i=aj bk,w j = ai ck et w k= bi + cj

Par suitef(x) = w xpour toutx car les applications linaires f etxw xconcident sur une base.

Exercice 44 :[nonc]a)uL(E)=uL(E) (cf. cours). Rappelons que cette relation se dmontre encommenant par tabliru2L(E) u uL(E).

b) Soitxker(u Id).u(x) x2 =u(x)2 2(u(x)|x) + x2 x2 2(x|u(x)) + x2 = 0 caru(x) = x. Ainsiu(x) = x et xker(u Id). On peut conclureker(u Id)ker(u Id) puis lgalit par symtrie.c) Soitxker(u Id) Im(u Id). Il existe aEtel quex =u(a) a.u(x) = x donne u(u(a)) u(a) = u(a) a puis(u(u(a)) u(a)|a) = (u(a) a|a)qui conduit x2 =u(a)2 2(u(a)|a) + a2 = 0. Ainsiker(u Id) Im(u Id) ={0}. Deplus,dimker(u Id) +rg(u Id) = dim Edonc ker(u Id) Im(u Id) = E.

Exercice 45 :[nonc]() Supposons u + u inversible.Soitxker u Imu. On a u(x) + u(x) = 0doncx = 0. Par suiteker u Imu ={0}.Doncdimker u + dim Imu dim Epuis dimker u dim Imu. Par suiteImu= ker u.(

) Supposons Imu= ker u.

Soitxker(u + u). u(x) + u(x) = 0.Oru(x)Imuet u(x)Imu = (ker u) = (Imu) doncu(x) = u(x) = 0.Par suitexker uet xker u =Imu = ker u doncx = 0 .Par suiteu + u est injectif donc bijectif.

Exercice 46 :[nonc]On a immdiatement

ker uker(u u)Inversement, sixker(u u)alors

u(x)

2= (u(x)

|u(x)) = (x

|(u

u)(x)) = (x

|0) = 0

et donc xker u.Par double inclusion, on obtient

ker u= ker(u u)Soient xker uet yIm(u u). On peut crire y = u u(a)avecaEet alors

(x|y) = (u(x)|u(a)) = (0|u(a)) = 0On en dduit

Im(u u)(ker u)

Or

dim(ker u) + dim(ker u)

= dim Eet

dim Im(u u) + dim ker(u u) = dim Edonc par galit des dimensions

Im(u u) = (ker u)

Exercice 47 :[nonc]Commenons par charger le package linalg


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with(linalg);

1.a) Dfinissons une matrice gnraleM et rsolvons le systme correspondant lquation tM= M2

M:=matrix(2,2,[a,b,c,d]);

solve({seq(seq(evalm(transpose(M))[i,j]=evalm(M^2)[i,j],i=1..2),j=1..2)});

Parmi, les solutions nous liminons celles qui sont symtriques (car possdant desvaleurs propres relles) et il reste lordre prs

M1 =

1/2 3/23/2 1/2

etM2 =

1/2 3/23/2 1/2

1.b) Une matrice M solution possde deux valeurs propres complexes distinctesconjugues et . Puisque tM etM2, ont les mmes valeurs propres, on a

{, }= 2, 2Puisque2 = est impossible car / R, il reste

2 = et 2 =

On en dduit4 = puis =j ou j 2 sachant / R.Finalement et lordre prs,

= j et =j2

On en dduit le polynme caractristique de M et le thorme de CayleyHamilton donne

M2 + M+ I2= O2

do lon tireM+ tM=I2

Ainsi la matrice Mest de la forme

M=1/2 bc 1/2

La relation M2 = tMdonne alors b =c et bc =3/4do lobtention de M1 etM2.c) La matrice

P =

1 00 1

fait laffaire.2. En dimension impaire, toute matrice relle possde une valeur propre.3. Posons la matrice

A:=1/2*matrix(4,4,[-1,1,-1,1,-1,-1,1,1,1,-1,-1,1,-1,-1,-1,-1]);

On vrifie lquation

evalm(transpose(A)-A^2);

et labsence de valeurs propres relles

eigenvals(A);

4.a La matrice A de u dans une base possde au moins une valeur proprecomplexe. Son conjugu est aussi valeur propre de A et donc la matrice relle

A2 2Re()A + ||2 I

nest pas inversible. On en dduit que lendomorphisme

u2 2Re()u + ||2 Idnest pas injectif. Considrons alors un vecteur x de son noyau et lespace

P= Vect(x, u(x))

Puisquex nest pas vecteur propre de u,Pest un plan et celui-ci est stable par ucar

u2(x) = 2Re()u(x) ||2 x4.b Soit xF etyF. On a

(u(x)|y) = (x|u(y)) = (x|u2(y)) = 0caru2(y)F. Ainsiu(x)F.4.c Soit u endomorphisme de R4 euclidien canonique reprsent par Mdans labase canonique. Il existe un plan stable par u et son orthogonal est aussi stableparu. Chaque endomorphisme induit par u sur ces plans est reprsent dans une

base orthonorme par une matrice deE2 et en vertu de 1.c), on peut supposer quecette matrice est M1. On peut ainsi former une base orthonorme de R4 telle quela matrice de u dans celle-ci est de la forme

M1 O2O2 M1

et conclure.4.d Avec des notations entendues,e1+ e2 est envoy sur(e2+ e4). Considronsle plan

Vect(e1+ e2, e2+ e4)


19/25


et son orthogonalVect(e3, e1 e2+ e4)

On peut facilement proposer des bases orthonormes de ces plans puis, quitte procder des passages loppos sur les vecteurs de base, dterminer unematricePconvenable comme celle-ci

P =

1/

2

1/

6 0 1/

3

1/2 1/6 0 1/30 0 1 0

0 2/

6 0 1/

3

Exercice 48 :[nonc]Soitxker f ety = f(a)Imf.On a

(x|y) = (x|f(a)) = (f(x)|a) = 0Les espacesker f et Imf sont donc orthogonaux. Ils sont alors en somme directeet puisque la formule du rang donne

dimker f+ dim Imf= dim Eon peut affirmer que ces espaces sont supplmentaires.

Exercice 49 :[nonc](f g) =g f =g fdonc (f g) =f g si, et seulement si,f g= g f.

Exercice 50 :[nonc]a)fest videmment un endomorphisme de Eet pour x, yE,

(f(x)|y) = (x|y) + k(x|a)(y|a) = (x|f(y))

Ainsifest autoadjoint (et donc diagonalisable dans une base orthonorme).b)f(a) = (1 + k)a donc1 + kSpfet VectaE1+k(f).Pour xVect(a), f(x) = x donc 1Spf et(Vecta) E1(f).On peut alors conclure que si k= 0

Spf={1, 1 + k} , E1+k(f) = Vecta et E1(f) = (Vecta)

car la somme des dimensions des sous-espaces propres de fest gale n.Dans le cask = 0, on a f= Id.On peut aussi reprsenter fpar une matrice diagonale en considrant une baseorthonorme dont le premier vecteur est le vecteur a.

Exercice 51 :[nonc]Sip est une projection orthogonale alorsx, yE, (x|p(y)) = (x p(x)|p(y)) + (p(x)|p(y)) = (p(x)|p(y) y) + (p(x)|y) = (p(x)|y)doncp =p.Inversement, sip =p alors Imp=Imp = kerp doncp est une projectionorthogonale.

Exercice 52 :[nonc]Si est valeur propre de fet si x= 0 est vecteur propre associ alors(f(x)|x) = 0donne = 0. Sachant que f est diagonalisable car symtrique etque Sp(f) {0}, on peut conclure f= 0.

Exercice 53 :[nonc]a)u =u donc est diagonalisable dans une base orthogonale.Si est valeur propre de u et x vecteur propre associ

. x2 = (u(x)|x) =f(x)2

donc 0.b)ker f ker ude manire immdiate.Soitxker u, on a (u(x)|x) = 0ce qui donnef(x) = 0doncxker f.Ainsiker u= ker f.SoityImu, y= u(x),

aker f, (y|a) = (f(x)|f(a)) = 0donc Imuker(f).Enfindim Imu= dim E dimker u= dim E dimker f= dim ker(f), on peutdonc conclure.

Exercice 54 :[nonc]SoitB= (e1, . . . , en)base orthonorme forme de vecteurs propres associs auxvaleurs propres1, . . . , n.Pour xE, on peut crire x = x1e1+ + xnen et alors

u(x) = 1x1e1+ + nxnenPuisqueB est orthonorme,

(u(x)|x) =ni=1

ix2i


20/25


Sachant

x2 =ni=1

x2i

on obtient aisment lencadrement propos.

Exercice 55 :[nonc]Pour x0 vecteur propre associe la valeur propre0 vrifiant|0|= max

Sp(u)||,

u(x0)=|0| x0 doncu 0.Inversement, siB= (e1, . . . , en) est une base orthonorme de vecteurs propres deualors pour tout xE, x =x1e1+ + xnen, u(x) = 1x1e1+ + nxnenaveci valeur propre associe au vecteur propre ei.

PuisqueB est orthonorme,u(x)2 =ni=1

2i x2i etx2 =

ni=1

x2i donc

u(x) |0| x et doncu |0|.

Exercice 56 :[nonc]

Soit(e1, . . . , en)une base orthonorme de E forme de vecteurs vrifiantf(ei) = iei.SoitV Vp. Etablissons max

xSV(f(x)|x) p.

(f(x)|x) =ni=1

ix2i . Considrons W =Vect(ep, . . . , en). On a dim V =p et

dim W= n p + 1 doncV Wnest pas rduit au vecteur nul. PourxV W S, on a (f(x)|x) =

ni=p

ix2i pni=p

x2i =p et donc

maxxSV

(f(x)|x) p.Par suite min

VVpmaxxSV

(f(x)|x) p.Pour V =Vect(e1, . . . , ep) Vp, on axV S,

(f(x)|x) =pi=1

ix2i ppi=1

x2i =p donc maxxSV(f(x)|x) p puisminVVp

maxxSV

(f(x)|x) p et finalement lgalit.

Exercice 57 :[nonc]a) Pourf E,(f)Ecar (x, y)K(x, y)f(y)est continue et on intgre surun segment. La linarit de est vidente.b)(f) K f et(f)1

[0,1]2

|K(x, y)f(y)| dxdy K f1donc est continue pour et1.

c)((f)|g) = [0,1]2

K(x, y)f(y)g(x)dxdy= (f| (g))car(x, y)[0, 1]2 , K(x, y) = K(y, x).d) Rappelons que lespace norm (E, )est complet.Avec plus de finesse que dans les ingalits du b), on peut affirmer(f) 1 f.PourhEet||


21/25


on forme une base orthonorme(1, . . . , n) telle que la matrice de lapplicationlinairefdans les bases (1, . . . , n)et (1, . . . , n)est la matrice diagonale

D=

f(1) (0). . .

(0) f(n)

Par formule de changement de bases orthonormes, on obtient

UM V =D

avecU, Vmatrices orthogonales

U= Mat(e1,...,en)(1, . . . , n) etV =tMat(e1,...,en)(1, . . . , n)

SiMnest pas inversible, ce qui prcde peut tre repris en posant

i= f(i)

f(i)quandf(i)= 0 et choisissant les autres i dans une base orthonorme de (Imf)

pour former une base orthonorme (1, . . . , n)satisfaisante.c) On a

tMM=

2 44 8

Une base orthonorme diagonalisant tMM est forme des vecteurs

1 = 1

5

1

2

et2

15

2

1

et puisque

M1 =

101 avec 1 = 1

2

1

1

on prend

2= 1

2

1

1

et on obtient

UM V =

10 00 0

avec

U= 1

2

1 11 1

etV =

15

1 22 1

Exercice 59 :[nonc]a) PuisqueA et tAcommutent, on a (tAA)p = (tA)pAp = 0 et donc tAAestnilpotente.Dautre part, la matrice tAAest symtrique relle donc diagonalisable. Etantnilpotente, sa seule valeur propre possible est 0 et donc tAAest nulle carsemblable la matrice nulle.b) En exploitant le produit scalaire canonique sur

Mn(R)on a

A2 = (A|A) = tr tAA = 0et donc A = 0

Exercice 60 :[nonc]La matrice tAA est symtrique relle donc diagonalisable (via une matrice depassage orthogonale). Si est valeur propre de tAAalors pourXvecteur propre

associ, tXtAAX= tXXet tXtAAX= t(AX)AXdonc = (AX|AX)X2

0avec

( .| . )produit scalaire canonique surMn,1(R).

Exercice 61 :[nonc]a) PourA inversibledet A.tAA() = det(A

tAA A) = AtA(). det A donctAA= AtA puisquedet A= 0.Les applications AtAA et AAtA tant continues et concidant sur lapartie dense GLn(R), on peut affirmer quelles sont gales surMn(R).b) tAAest une matrice symtrique relle donc diagonalisable. Ses valeurs propressont les racines de tAA et la dimension des espaces propres correspondent lamultiplicit des racines respectives de tAA.Puisquon a la mme affirmation pour AtA, on peut affirmer que tAAet AtA sontsemblables car toutes deux semblables une mme matrice diagonale.

Exercice 62 :[nonc]Soient une valeur propre de A et Xun vecteur propre associ.On aAX= X et tXtA=tXdonc tXB X= tXX.B est symtrique relle donc orthogonalement diagonalisable.Ainsi, il existeP On(R) vrifiantB = P DtP avecD = diag(1, . . . , n),i[, ].En posantY = tP X, on a tXB X= tY DY compris entretY Y ettY Y avectY Y = tXX. On peut alors conclure [, ].


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Exercice 63 :[nonc]Notons1, . . . , n les valeurs propres de A. On a det A= 1 . . . n ettrA=1+ + n.Lingalit(1 . . . n)

1/n 1

n(1+ + n)est bien connue, cest la comparaisondes moyennes gomtrique et arithmtique qui sobtient par la convexit delexponentielle applique auxai= ln i.

Exercice 64 :[nonc]a) SoitM solution. On a M(tMM) = In et aussi

tM(MtM) = In.Ainsi linverse de la matrice tM Mest gale M et tM. On en dduit M= tM.b) SoitM solution. La matrice M est donc symtrique et vrifie M3 =In.PuisqueX3 1est annulateur deM, 1 est sa seule valeur propre relle.PuisqueM est symtrique relle, M est diagonalisable dansMn(R).Au final M est semblable In doncM= In.Rciproque immdiate.

Exercice 65 :[nonc]La rsolution est vidente si A est inversible puisque la matrice Q = A1B

convient.Dans le cas gnral, munissons Rn de sa structure euclidienne canonique etconsidrons les endomorphismes u et v de Rn canoniquement reprsents parA etB. La base canonique de Rn tant orthonorme on a uu =vv. Or il est connuquer = rgu= rguu donc Imu= Imuu puis Imu=Imv.Puisquedimker u= dim(Imu), il existe 1 O(Rn)transformant(Imu) enker u. Considrons alorsu =u1. On vrifie u

u =uu etker u = (Imu). Demme, on dfinit2 O(Rn) tel quev =v2 vrifiev v =vv etker v = (Imu).SoitB une base orthonorme adapte la dcomposition Imu Imu = Rn. Danscette base les matrices de u etv sont de la forme

A 0

0 0

et

B 0

0 0

avec

A, B

Mr(R) inversibles et vrifiant AtA =B tB. Il existe alors Q

Or(R)

vrifiant B =AQ. En considrant lendomorphisme de matrice

Q 0

0 Inr

dansB, on obtient v =uavec On(R).Il en dcoule la relationv = u(1

12 ) avec1

12 O(Rn)quil suffit de

retraduire matriciellement pour conclure.

Exercice 66 :[nonc]Mest diagonalisable et ses valeurs propres sont racines deXp 1, elles ne peuventdonc qutre1 ou1. Par suiteM2 =In.

Exercice 67 :[nonc]Par comparaison de noyau, il est facile dobtenir : rgA= rgtAA.La matrice tAA tant symtrique relle, elle est diagonalisable et donc son rangest gal au nombre de ses valeurs propres non nulles comptes avec multiplicit.

Exercice 68 :[nonc]

Sp(J) ={0, n},E0(J) : x1+ + xn= 0 et En(J) : x1= . . .=xn.

D= diag(n, 0, . . . , 0)et P =

1/

n 1/

2 0... 1/2 . . ....

. . . 1/

21/

n 0 1/2

conviennent.

Exercice 69 :[nonc]CasM GLn(R)Soitu lendomorphisme Rn canoniquement reprsent par M.Il sagit dtablir, que u transforme une base orthonorme en une familleorthogonale.On remarque que

(u(x)|u(y)) = (u u(x)|y)Lendomorphismeu u tant symtrique, le thorme spectral assure quil existeune base orthonormeB= (e1, . . . , en) le diagonalisant. Par le calcul qui prcde,la famille (u(e1), . . . , u(en))est orthogonale.De plus elle ne comporte pas le vecteur nul car uGL(E). Posons alorsB lafamille des vecteurs u(ek)/u(ek).La familleB est une base orthonorme et la matrice de u dans les basesB etBest diagonale ( coefficients diagonaux strictement positifs).Une formule de changement de base orthonorme permet alors de conclure.Cas gnral : M Mm,n(R)Soitu lapplication linaire de Rn vers Rm canoniquement reprsent par M.Posons F= ker uet G =Imu. La matrice deu dans une base orthonormeadapte la dcomposition F F = Rn au dpart et dans une baseorthonorme adapte la dcompositionG G = Rm larrive est de la forme

M =

A OO O

avecAGLr(R), r= rgM

Ltude qui prcde permet de transformer A en une matrice diagonale D viaproduit par des matrices orthogonales U etV :

UAV =D


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En introduisant les matrices orthogonales

U =

U OO Imr

etV =

V OO Inr

on obtient en oprant par blocs

UMV = D OO O

Enfin par une formule de changement de bases orthonormes, il existe U, V

orthogonales telles queM =UMV

et on peut alors conclure.

Exercice 70 :[nonc]a) Posons D = diag(1, . . . , n).En notantai,j le coefficient dindice (i, j)de la matrice A, le coefficient dindice(i, j)de D1ADest

1i jai,j

La matriceD1

ADest alors diagonale si, et seulement si, ses coefficients dindices(i, i + 1) et (i + 1, i) sont gaux i.e.

1i i+1bi = 1i+1ici

soit encore2i+1=

2i

cibi

En choisissant 1 non nul quelconque et en posant

2 = 1

c1/b1, . . . , n= n1

cn1/bn1

on forme une matrice D convenable.b)D1AD est symtrique relle donc diagonalisable et puisqueA est semblable une matrice diagonalisable, elle lest aussi.

Exercice 71 :[nonc]Puisque symtrique relle, la matrice A est orthogonalement semblable lamatriceD = diag(1, . . . , n) ce qui permet dcrire

A= tP DP avecP On(R)On a alors

tr(tAA) = tr(tP D2P) = tr(D2)

ce qui fournit la relation propose.

Exercice 72 :[nonc]SoitR. On a de faon immdiate

ker(A In)ker(A2p+1 2p+1In)Or la matriceA est diagonalisable donc

n= SpA

ker(A

In)

Puisque les 2p+1 sont deux deux distincts quand les varient et puisque lessous-espaces propres deA2p+1 sont en somme directe, on peut affirmer que lesinclusions prcdentes sont en fait des galits.Ainsi

R, ker(A In) = ker(A2p+1 2p+1In)Puisquon a la mme affirmation pour B , on obtient

R, ker(A In) = ker(B In)Sachant que les matrices A et B sont diagonalisables et ont les mmes

sous-espaces propres, on peut conclure A =B.

Exercice 73 :[nonc]Puisquil est connu queAB = BA, les matrices tAAet AtApossdent le mmepolynme caractristique. Ces deux matrices ont donc les mmes valeurs propreset ces dernires ont mme multiplicit. Puisque ces matrices sont symtriquesrelles, elles sont toutes deux orthogonalement diagonalisables et doncorthogonalement semblables une mme matrice diagonale ce qui permet deconclure.

Exercice 74 :[nonc]

a) Si fest antisymtrie (f(x)|x) = (x|f(x)) =(x|f(x))donc(f(x)|x) = 0pour toutxE.Inversement, si pour tout xE, (f(x)|x) = 0 alors pour toutx, yE,(f(x + y)|x + y) = 0 et en dveloppant et simplifiant on obtient(f(x)|y) + (f(y)|x) = 0do(f(x)|y) = (x| f(y))et donc f =f.b)f est bien un endomorphisme et (f(x)|x) = (u x|x) = 0.c) Soit(i,j,k) une base orthonorme directe de E. Compte tenu de son

antisymtrie, la matrice de fdans cette base est de la forme

0 a ba 0 c

b c 0

.


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Pour u =x.i + y.j + z.k, la matrice de xu xdans la base (i,j,k)est 0 z yz 0 x

y x 0

. Par galit de reprsentations matricielles, on peut conclure

lexistence et lunicit dun vecteur uEtel quef(x) = u xpour toutxE.En loccurrenceu =c.i + b.j a.k.

Exercice 75 :[nonc]SoitA Mn(R)antisymtrique.SiA est inversible alors det A= 0 et la relation tA=A donnedet A= (1)n det A et doncn est pair.SiA nest pas inversible, en considrant une base orthonorme de Rn adapte ker A, on peut crire A = tP AP avecP On(R)et A antisymtrique de laformeA =

0 00 A

avecA antisymtrique inversible. Puisque

rgA=rgA =rgA,A est de rang pair.

Exercice 76 :[nonc]SoitA une matrice antisymtrique relle.Le dterminant deA est le produit des valeurs propres complexes de A comptesavec multiplicit. Puisque la matrice A est relle, ses valeurs propres complexesnon relles sont deux deux conjugues et forment donc un produit positif. Ilreste tudier les valeurs propres relles de A.Soient une valeur propre relle de A et X est une colonne propre associe.Dune parttXAX= tXXDautre parttXAX=t (AX) X=tXXOn en dduit = 0 sachantX

= 0.

Par suite le dterminant de A est positif ou nul.

Exercice 77 :[nonc]a) Si est valeur propre de u de vecteur propre x= 0 alors la relation(u(x)|x) = 0 donne x2 = 0 qui entrane = 0 .Seule 0 peut tre valeur propre deu. Par suite un endomorphisme antisymtriqueest diagonalisable si, et seulement si, il est nul.b) Lgalit(u(x + y)|x + y) = 0avec(u(x)|x) = (u(y)|y) = 0donne le rsultat.

SoientB= (e1, . . . , en)une base orthonorme de Eet A = (ai,j) la matrice de udansB. On sait que

ai,j = (ei|u(ej))donc par la relation prcdente ai,j =aj,i et la matrice A est antisymtrique.c) Dune part

t XAX= t XX

Dautre part tXAX=t XtAX=tAXX=tXXOr, en notant x1, . . . , xn les lments de la colonneX, on a

tXX=

ni=1

|xi|2 >0

carX= 0.On en dduit = et donc iR.

Exercice 78 :[nonc]

a) Introduisons une base de Eet M etA les matrices de et fdans cette base.La matrice M est symtrique et inversible car non dgnre.Lhypothsex, yE,(f(x), y) =(x, f(y))donnet(AX)M Y =tXMAYpour toutes colonnes X, Y et donc tAM=M Asoit encore t (M A) =MA . LamatriceM Aest antisymtrique donc de rang pair (culture. . . ) et puisqueM estinversibleA est de rang pair.b) Soitf L(Mn(R))dfini par f(M) = AM MA .Le commutant de A est le noyau de fet sa codimension est le rang de f.Considrons : (M, N)tr(MN). est une forme bilinaire symtrique, nondgnre car(M, N) = 0 pour tout NentraneM= 0.Pour tout M, N Mn(R), on vrifie aisment (f(M), N) =(M, f(N))et onconclut.

Exercice 79 :[nonc]Remarquons pour commencer que, puisque A est antisymtrique, pour toutecolonneX, on a (AX|X) = 0. En effet(AX|X) = tXtAX=tXAX=(X|AX) =(AX|X).Etablissons maintenant la proprit en raisonnant par rcurrence sur n 1.Pour n = 1 , une matrice antisymtrique est nulle et la proprit est vrifie.

Pour n = 2 , une matrice antisymtrique est de la forme

0 aa 0

et la

proprit est vrifie.


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Supposons la proprit tablie jusquau rang n 2.ConsidronsA Mn+1(R)Si la matriceA est nulle alors le rsultat est obtenu.Si la matriceA nest pas nulle alors A2 non plus.

En effet ImA= (ker tA)

= (ker A)

et donc ImAker A.Puisque t (A2) = (A)2 =A2, la matrice A2 est diagonalisable.SoitX1 un vecteur propre unitaire deA

2 associ une valeur propre non nulle.

La colonne AX1 est ncessairement non nulle car A2X1= 0.Posons X2 une colonne unitaire colinaire AX1.On peut crire AX1 =aX2 avec aR.Les colonnes X1 et X2 sont orthogonales en vertu de la remarque prliminaire.De plusA2X1= X1 et A

2X1 =aAX2 doncX1 =aAX2.AinsiAX2 est colinaire au vecteur non nul X1 ce qui permet dcrireAX2 = bX1.La relation (A(X1+ X2)|X1+ X2) = (aX2+ bX1|X1+ X2) = 0donnea + b= 0 et donc b = a.Considrons alors une matricePorthogonale dont les deux premires colonnessont X1 et X2. Pour celle-ci, la matriceP

1AP est antisymtrique de la forme

Ma 01,n10n1,1 A

avecMa= 0 aa 0 PuisqueA Mn1(R)est antisymtrique, on peut exploiter lhypothse dercurrence pour rendre celle-ci orthosemblable une matrice de la forme voulue etconclure.Rcurrence tablie

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