ENERGÍA NUCLEAR Y CICLO DE COMBUSTIBLE · PDF fileENERGÍA NUCLEAR Y CICLO DE COMBUSTIBLE Tema 4: Gestión del combustible nuclear. Teor´ıas del transporte y la difusión multigrupo

ENERGIA NUCLEAR YCICLO DE COMBUSTIBLE

Tema 4: Gestion del combustible nuclear.Teorıas del transporte y la difusion

multigrupo

3er Curso. 1

er Cuatrimestre

Victor Koerting Wiese y Cesar Queral Salazar

28 de agosto de 2012

Indice general

1. Gestion del nucleo y gestion del combustible. 1

1.1. Gestion del nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Gestion del combustible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Tipos de esquemas de recarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1.1. Esquemas out-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1.2. Esquemas de bajas fugas . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1.3. Interes de los esquemas de bajas fugas . . . . . . . . 9

1.2.2. Estrategias de recarga en los reactores espanoles . . . . . . . . 10

1.2.2.1. Reactores PWR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2.2. Reactores BWR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Teorıa del transporte neutronico 16

2.1. Conceptos basicos: Flujo, densidad y corriente neutronica . . . . . . . 16

2.2. Ecuacion del transporte neutronico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Reactor virtual. kef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. Tratamiento de la variable angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1. Metodo de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.2. Metodo de las ordenadas discretas Sn. Metodo de Carlson . . 23

2.4.3. Aproximacion PL. Teorıa de la difusion (P1) . . . . . . . . . . 23

3. Teorıa de la difusion. Teorıa de la difusion multigrupo 29

3.1. Condiciones de contorno en las ecuaciones de difusion multigrupo . . 32

3.2. Teorıa de la difusion de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1. Resolucion de la ecuacion de difusion . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Teorıa de la difusion de dos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

i

Tema 4. Seccion Indice general

3.3.1. Reactor termico con la teorıa de difusion de dos grupos . . . . 55

3.3.2. Relacion de la teorıa de difusion de dos grupos con la difusionedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.3. Reactor con reflector. Perfil espacial del flujo neutronico . . . 58

3.4. Teorıa de la difusion de tres grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5. Tecnicas de resolucion espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5.1. Diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5.2. Metodos nodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6. Problemas. Aplicaciones de la teorıa de la difusion. . . . . . . . . . . 67

4. Metodologıa y programas de simulacion para el calculo del esquemade recarga. 79

4.1. Metodologıa de calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2. Codigos neutronicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

ii

Indice de figuras

1.1. Fases de ingenierıa en los estudios de recarga de un reactor. . . . . . . 2

1.2. Limitaciones en la gestion del nucleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Tipos de esquemas de recarga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Esquema de recarga tipo out-in en el primer ciclo de un reactor PWR-W. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Esquemas de recarga de bajas fugas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6. Impacto de la estrategia de recarga (out-in o L3P ) y los venenosconsumibles en el perfil radial del flujo neutronico. . . . . . . . . . . . 9

1.7. Esquema de recarga L3P con venenos consumibles WABA. PWR-W. 11

1.8. Esquema de recarga L3P con venenos consumibles integrales. PWR-W. 11

1.9. Esquema de recarga de bajas fugas en un PWR-KWU. C.N. Trillo. . 12

1.10. Esquema de recarga de bajas fugas y CCC en un BWR. . . . . . . . . 14

1.11. Perfil radial en un BWR con esquema de bajas fugas con CCC. . . . 15

2.1. Vector unitario de la velocidad. Coordenadas esfericas. . . . . . . . . 17

2.2. Esquema del metodo de Monte Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. Ejemplos de aproximaciones angulares. Cerca de una barra de control(a) y cerca de la cara interior de la vasija (b). . . . . . . . . . . . . . 24

2.4. Representacion esquematica de la ley de Fick. . . . . . . . . . . . . . 27

3.1. Ordenacion de los grupos energeticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2. Discretizacion en dos y cuatro grupos energeticos . . . . . . . . . . . 30

3.3. Condiciones en la frontera entre materiales. . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4. Distancia extrapolada. Condicion en la frontera con el vacıo. . . . . . 33

3.5. Comparacion de la distancia extrapolada en las teorıas del transportey la difusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

iii

Tema 4. Seccion Indice de figuras

3.6. Modo fundamental, n = 0, y segundo modo, n = 1, de una losainfinita de anchura H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.7. Perfil radial del flujo neutronico para distintas configuraciones ge-ometricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.8. Losa infinita de anchura H con reflector de espesor b. . . . . . . . . . 44

3.9. Comparacion del perfil espacial del flujo neutronico con/sin reflector(teorıa de un grupo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.10. Perfiles radial y axial del flujo neutronico para un reactor cilındricohomogeneo con/sin reflector (a) y heterogeneo con reflector (b). . . . 46

3.11. Comparacion de los perfiles espaciales del flujo neutronico para unreactor con reflector con la teorıa de un grupo y la multigrupo. . . . . 46

3.12. Variacion del perfil radial con la distribucion del enriquecimiento. . . 47

3.13. Perfil axial del flujo neutronico en un BWR (combustible fresco). . . 48

3.14. Perfiles axiales en un BWR con distintas estrategias de operacion. . . 49

3.15. Variacion del perfil radial del flujo neutronico con el quemado. . . . . 50

3.16. Variacion del perfil axial con el quemado en un PWR. . . . . . . . . . 51

3.17. Perfil radial de los flujos termico y rapido en un reactor homogeneo. . 57

3.18. Losa infinita de anchura H con reflector de espesor b. . . . . . . . . . 59

3.19. Perfil radial de los flujos termico y rapido en un reactor con reflector. 60

3.20. Perfil radial de los flujos termico y rapido en un reactor con/sin reflector. 61

3.21. Perfiles radial y axial del flujo neutronico en un reactor cilındricocon/sin reflector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.22. Problema de la tecnica nodal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.23. Sistema periodico combustible-moderador. . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1. Esquema de la metodologıa del calculo de la recarga. . . . . . . . . . 80

4.2. Esquema de calculo de celda - elemento - nucleo. . . . . . . . . . . . . 81

4.3. Perfil del flujo neutronico para distintos grupos energeticos dentro deuna celda de combustible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4. Condensacion de las secciones eficaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.5. Homogeneizacion en una celda de combustible. . . . . . . . . . . . . . 84

4.6. Efecto de la homogeneizacion en un grupo de varillas sobre el flujoneutronico rapido y termico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.7. Tipos de elementos BWR (secciones transversales). . . . . . . . . . . 86

4.8. Perfil normalizado del flujo neutronico dentro de un elemento PWR. . 87

iv

Tema 4. Seccion Indice de figuras

4.9. Perfil de potencia y tasa de fision en elementos BWR . . . . . . . . . 88

4.10. Homogeneizacion en un elemento de combustible. . . . . . . . . . . . 89

4.11. Nucleos de reactores LWR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.12. Perfil radial normalizado de la potencia en un PWR. Variacion con elquemado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.13. Variacion del quemado a lo largo del ciclo en un esquema de bajasfugas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.14. Simuladores dinamicos. Secuencia de expulsion de un haz de barras . 93

v

Indice de tablas

3.1. Laplaciano geometrico, distribucion de flujo crıtica y volumen crıticomınimo para diferentes geometrıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1. Codigos de celda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2. Codigos de nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3. Codigos neutronicos dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

vi

Seccion 1

Gestion del nucleo y gestion delcombustible.

Indice1.1. Gestion del nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Gestion del combustible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Tipos de esquemas de recarga . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2. Estrategias de recarga en los reactores espanoles . . . . . 10

En los reactores nucleares de agua ligera, al final de cada ciclo de operacion, se realizauna parada de la produccion de energıa electrica para recargar el combustible frescoy descargar el combustible gastado. La duracion de estos ciclos puede ser de 12, 18o 24 meses. Por lo tanto, es necesario prever con antelacion que combustible se vaa necesitar para el siguiente ciclo, su enriquecimiento y donde se colocara dentrodel reactor. Tambien se debe procurar optimizar el coste de la energıa, y garantizarmediante los calculos realizados que se cumplen todos los requisitos de seguridadnecesarios.

La gestion del nucleo y del combustible son trabajos de ingenierıa complejos (verFigura 1.1) en la que intervienen diversos aspectos y actores:

- Economicos: empresas electricas, suministradores de materias primas, fabri-cantes de combustible nuclear, empresas de ingenierıa . . .

- Tecnicos: es un proceso industrial en etapa de madurez pero en constanteevolucion.

- Regulacion: hay que tomar en cuenta toda la legislacion sobre seguridad.Consejo de Seguridad Nuclear (CSN).

En este Capıtulo se hara hincapie en las siguientes fases de ingenierıa,

1

Tema 4. Seccion

1. Gestion del nucleo: Determinacion del numero de elementos combustibles yenriquecimiento.

2. Gestion del combustible: Determinacion del esquema de recarga.

3. Estudio de seguridad de la recarga: Calculo de estacionarios y transitorios. ! "

# Figura 1.1: Fases de ingenierıa en los estudios de recarga de un reactor.

2

Tema 4. Seccion 1.1. Gestion del nucleo

1.1. Gestion del nucleo

El objetivo de la gestion del nucleo es determinar la cantidad y enriquecimiento delcombustible que se va a introducir en el reactor en el nuevo ciclo. Para analizarlo deuna forma sistematica, se presentan primero los datos conocidos de partida, despueslo que se quiere calcular y para terminar las restricciones que se imponen en estafase.

Datos de partida:

- La potencia en el reactor que es fija.

- La duracion aproximada del ciclo.

Se quiere calcular:

- Numero de elementos combustibles que vamos a comprar.

- Enriquecimiento de los elementos combustibles.

Restricciones:

- Conviene que el quemado sea lo mas alto posible.

- Existen limitaciones de seguridad sobre el enriquecimiento y el quemado, verFigura 1.2. Lımite de enriquecimiento = 5 %, debido al lımite impuesto en el licenci-

amiento de instalaciones de fabricacion y medios de transporte. Quemado limitado en la descarga, debido a su efecto sobre:

La resistencia mecanica de la vaina (por la presion en el huelgo,maxima deformacion elastica de la vaina (<1 %).

Corrosion. Empeora en ciclos largos. Lımites de quemado:Barra → 60,000 MWd/tUElemento → 50,000 MWd/tURegion → 45,000 MWd/tU

- Ademas, el coste del combustible crece exponencialmente con el enriquecimien-to.

3

Tema 4. Seccion 1.1. Gestion del nucleo

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4 56789 : 9 69 6;<8 =>8?@$ ?@& ?@()AB-.1 01C/1BD0*EFGH I J KLMNNOPQ RSLSNMLTM

12 meses 15 meses 18 meses

out-in

L3P

L4P

Figura 1.2: Limitaciones en la gestion del nucleo.

4

Tema 4. Seccion 1.2. Gestion del combustible

1.2. Gestion del combustible

El objetivo de la gestion del combustible es determinar la distribucion de elemen-tos nuevos y antiguos, venenos neutronicos, barras de control en el nuevo nucleo yduracion del ciclo. Para analizarlo de una forma sistematica, igual que en la sec-cion anterior, se presentan primero los datos conocidos de partida, despues lo que sequiere calcular y para terminar las restricciones que se imponen en esta fase.

Datos de partida:

- Numero de elementos frescos y su enriquecimiento (determinados en la gestiondel nucleo, Seccion 1.1).

- Quemado de los elementos gastados.

Se quiere calcular:

- La colocacion y orientacion de los elementos frescos, y de los gastados que sevan a volver a introducir. A esto se denomina:

ESQUEMA DE RECARGA DEL COMBUSTIBLE

- Venenos consumibles necesarios.

- Duracion del ciclo.

- Concentracion de Boro durante el ciclo (PWR).

- Configuracion de las barras de control (BWR).

Restricciones:

- Respecto a la seguridad: Margen de parada. Tiene que ser mayor que el valor mınimo exigido. Coeficientes de realimentacion negativos (CTM puede ser > 0 a HZP) Perfil radial de potencia lo mas plano posible. Evitar valores altos de la densidad de potencia lineal local. De esta formase evitan danos en la vaina y el combustible. Evitar danos en transitorios.

5

Tema 4. Seccion 1.2. Gestion del combustible No se pueden superar los lımites de quemado de descarga.

- Economicas: Mınimo numero de venenos consumibles. Se reduce el coste y el manejode estos.

Por otra parte, hay dos aspectos que van a interesar en la gestion del combustible:

Que el ciclo sea lo mas largo posible.

Un quemado a la descarga que sea lo mas alto y uniforme posible: interesaextraer la maxima energıa de los elementos de combustible.

1.2.1. Tipos de esquemas de recarga

En una primera aproximacion, se debe tener en cuenta que el combustible condistintos quemados se puede colocar en distintas configuraciones, Figura 1.3.

Figura 1.3: Tipos de esquemas de recarga.

Aunque existen infinidad de tipos de esquemas, los esquemas de recarga se clasificanbasicamente en dos: esquemas out-in y esquemas de bajas fugas.

1.2.1.1. Esquemas out-in

En este tipo de esquemas el combustible fresco se coloca en la corona exterior delnucleo y los elementos combustibles con distintos grados de quemado se introducenen la zona interior, ver Figura 1.4.

Sus caracterısticas son:

Ciclos de 12 meses.

6


Se introducen 40-50 elementos frescos (sobre un total de 157 elementos1).

3,25 % de enriquecimiento.

Figura 1.4: Esquema de recarga tipo out-in en el primer ciclo de un reactor PWR-W.

1En un PWR-W tıpico.

7


1.2.1.2. Esquemas de bajas fugas

En este tipo de esquemas el combustible mas quemado (que puede llevar dentro delreactor 2-3 ciclos) se coloca en la corona exterior del nucleo, el combustible fresco secoloca a continuacion, y los elementos combustibles con quemados intermedios (1-2ciclos) se introducen en la zona interior.

Se distinguen dos tipos, dependiendo del grado de agresividad del esquema, verFigura 1.5.

1. Bajas fugas. Low Leakage Loading Pattern, L3P .

El enriquecimiento del combustible fresco es del 3,60 %.

Se recarga del orden de un tercio de los elementos. Para un PWR-Wtıpico serıan 52 elementos frescos (de 157, en total)

Ciclos de 15 meses.

2. Muy bajas fugas. Low Low Leakage Loading Pattern, L4P .

El enriquecimiento del combustible fresco es del 4,1 %.

60/64 elementos frescos (157 en total), para un PWR-W tıpico.

Los ciclos son mas largos: 18 meses.

Figura 1.5: Esquemas de recarga de bajas fugas.

En la Figura 1.6 se pueden observar los distintos perfiles de flujo neutronico quegeneran las estrategias out-in y de bajas fugas.

8


Figura 1.6: Impacto de la estrategia de recarga (out-in o L3P ) y los venenosconsumibles en el perfil radial del flujo neutronico.

1.2.1.3. Interes de los esquemas de bajas fugas

Su caracterıstica principal consiste en que los elementos quemados se situan en lazona exterior. Esto conlleva una serie de ventajas e inconvenientes, que se enumerana continuacion.

Ventajas:

1. Menos fugas.

2. Menor fluencia neutronica en la vasija (hasta la mitad).

3. Ciclos mas largos con el mismo enriquecimiento.

4. Enriquecimientos menores para una misma longitud del ciclo.

Inconvenientes:

1. Perfiles de potencia menos planos.

2. Necesidad de mas venenos consumibles que en el out-in para:

- Disminuir los picos de potencia.

- Garantizar el margen de parada.

- Evitar altas concentraciones de Boro en PWR (CTM> 0).

9


1.2.2. Estrategias de recarga en los reactores espanoles

En esta seccion se analizan las distintas estrategias segun los tipos de reactoresnucleares que existen en Espana: PWR y BWR.

1.2.2.1. Reactores PWR

Antes de 1986 los PWR operaban a en ciclos de 12 meses y fracciones de recarga del30 %, con enriquecimientos de recarga de 3,15 % - 3,25 %. Los esquemas de recargaeran del tipo out-in con quemados medios por region de 33,000 MWd/tU, y seutilizaban venenos consumibles del tipo WABA2.

En 1986 comenzo la transicion a ciclos de 18 meses, con enriquecimientos de 4,15 %- 4,25 % en el combustible fresco, y fracciones de recarga del orden del 40 %.

Los esquemas que se utilizan hoy en dıa son de bajas fugas (L3P - L4P ), conquemados medios por region de 45,000 MWd/tU y venenos integrales de oxido deGd, en C.N. Zorita se utilizan solo WABAs. Los esquemas L3P y L4P son mejoresdesde la perspectiva de la economıa neutronica —bajas fugas, ciclos largos—, aunqueofrecen margenes de operacion inferiores a los que se usaban anteriormente. Esto haprovocado el cambio de los siguientes lımites de operacion:

El lımite de F∆H que ha pasado de 1,55 a 1,62.

El lımite de FQ que ha pasado de 2,3 a 2,4.

El lımite del coeficiente de realimentacion por temperatura del moderador(MTC), debido a la necesidad de utilizar concentraciones de Boro mas altasen el BOC3.

2WABA = Wet Annular Burnable Absorber.3BOC = Beginning of Cycle.

10


Figura 1.7: Esquema de recarga L3P con venenos consumibles WABA. PWR-W.

Figura 1.8: Esquema de recarga L3P con venenos consumibles integrales. PWR-W.

11


Figura 1.9: Esquema de recarga de bajas fugas en un PWR-KWU. C.N. Trillo.

12


1.2.2.2. Reactores BWR

Por otra parte, los BWR pasaron de ciclos de 12 meses y 1/3 de fraccion de recargaa 24 meses (C.N. Cofrentes y C.N. Garona) con 1/3 de fraccion de recarga. En 2004comenzo en la C.N. Cofrentes un proceso gradual de aumento de la duracion de losciclos hasta 24 meses (20-22-24 meses) que ya ha terminado. Los esquemas de recargaen Cofrentes utilizan la tecnica de celdas de control (CCC, Control Cell Core) conbajas fugas. En el caso de C.N. Garona se utilizan estrategias convencionales.

El esquema de recarga tipo CCC se caracteriza porque las barras de control quese utilizan estan rodeadas por elementos de bajo enriquecimiento, lo cual permiteconseguir las siguientes ventajas:

Los factores de pico son mas bajos.

Simplifica la operacion.

Aumenta los margenes termicos.

Por otra parte los elementos combustibles han ido pasando de 8×8 a 9×9 y 10×10con la consiguiente disminucion de la maxima densidad lineal de potencia (PLHGR),que permite aumentar el quemado.

Los quemados a la descarga son del orden de 40,000 - 45,000 MWd/tU (C.N.Cofrentes).

13


(a) Posiciones de CCC

(b) Ejemplo: recarga en C.N. Cofrentes

Figura 1.10: Esquema de recarga de bajas fugas y CCC en un BWR.

14


Figura 1.11: Perfil radial en un BWR con esquema de bajas fugas con CCC.

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Seccion 2

Teorıa del transporte neutronico

Indice2.1. Conceptos basicos: Flujo, densidad y corriente neutronica 16

2.2. Ecuacion del transporte neutronico . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Reactor virtual. kef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. Tratamiento de la variable angular . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1. Metodo de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.2. Metodo de las ordenadas discretas Sn. Metodo de Carlson 23

2.4.3. Aproximacion PL. Teorıa de la difusion (P1) . . . . . . . . 23

2.1. Conceptos basicos: Flujo, densidad y corri-

ente neutronica

En los capıtulos anteriores se ha realizado una descripcion global del comportamientode los neutrones en un reactor. Sin embargo, para aplicaciones practicas es necesarioun grado de detalle mucho mas alto. Para ello se analizaran aquellas teorıas quepermiten realizar una descripcion detallada de dicho comportamiento. Estas teorıasson principalmente, la teorıa del transporte y la teorıa de la difusion. La descripcionde la teorıa del transporte neutronico y la de la teorıa de la difusion, requieren elconocimiento de unos ciertos conceptos basicos que se enumeran a continuacion.

En lecciones anteriores se utilizo el concepto de flujo neutronico, φ(~r), cuyas unidadesson,

[φ] =neutrones

cm2 × s

16

Tema 4. Seccion 2.1. Conceptos basicos: Flujo, densidad y corriente neutronica

Esta variable es escalar. Este flujo puede separarse en dos cantidades, la densidadneutronica ,n(~r), y el modulo de la velocidad, v,

φ(~r) = v × n(~r)

cuyas unidades son,

[v] =cm

s

[n] =neutrones

cm3

Se debe tener en cuenta que en la expresion anterior, aparece el modulo de lavelocidad, no el vector, ~v, que viene dado por,

~v = v × ~Ω

siendo ~Ω el vector unitario de la velocidad.

~Ω =

sin θ cos αsin θ sin α

cos θ

=

√

1 − µ2 cos α√

1 − µ2 sin αµ

siendo µ = cos θ.

Figura 2.1: Vector unitario de la velocidad. Coordenadas esfericas.

Por otra parte, suele ser necesario conocer que flujo neutronico tenemos para cadaenergıa. Para ello es necesario conocer el flujo neutronico por unidad de energıa,ϕ(E,~r) , en vez del propio flujo, φ(~r), que estan relacionados por,

φ(~r) =

∫

∞

0

ϕ(E,~r)dE

sus unidades son,

17

Tema 4. Seccion 2.1. Conceptos basicos: Flujo, densidad y corriente neutronica

[ϕ(E,~r)] =neutrones

cm2 × s × eV

Otras veces tambien hace falta saber no solo que flujo tenemos para cada energıasino ademas, distinguiendo que direcciones llevan dichos neutrones. En este caso esnecesario tener en cuenta la dependencia en ~Ω . A este flujo dependiente de ~Ω , sele denomina flujo angular Ψ(~r, E, ~Ω) , cuya relacion con los anteriores es,

ϕ(~r, E) =

∫ 4π

0

Ψ(~r, E, ~Ω)d~Ω =

∫ 2π

0

dα

∫ π

0

Ψ(~r, E, ~Ω) sin θ dθ

φ(~r) =

∫

∞

0

ϕ(E,~r)dE =

∫

∞

0

dE

∫ 2π

0

dα

∫ π

0

Ψ(~r, E, ~Ω) sin θ dθ

y sus unidades son

[Ψ(~r, E, ~Ω)] =neutrones

cm2 × s × eV × rad

Si el flujo es isotropo, el mismo en todas direcciones,

Ψ(~r, E, ~Ω) =1

4πϕ(E,~r)

Por ultimo existe una variable denominada corriente neutronica, ~J(~r, E)

que viene definida por,

→

J (~r, E) =

∫ 4π

0

~ΩΨ(~r, E, ~Ω)d~Ω

y su integral en energıas,

→

j (~r) =

∫

∞

0

→

J (~r, E)dE

de forma que la tasa neta de neutrones que atraviesan la unidad de area viene dadapor,

→

j (~r) · ~eS

Las unidades de→

j (~r) y φ(~r) son identicas. Sin embargo→

j (~r) es una variable vectorialque caracteriza la tasa neta a la cual los neutrones atraviesan una superficie orientadaen una determinada direccion, ~eS , mientras que φ(~r) caracteriza la tasa total deneutrones que atraviesan el area unidad independientemente de la orientacion de

18

Tema 4. Seccion 2.2. Ecuacion del transporte neutronico

esta. Por ello→

j (~r) es una cantidad mas adecuada para describir las fugas (porejemplo, las fugas a traves de la superficie del reactor) y φ(~r) es mas adecuada paracaracterizar las tasas de reacciones.

2.2. Ecuacion del transporte neutronico

El comportamiento de un conjunto de neutrones viene descrito por la ecuacion detransporte, despreciando las interacciones entre neutrones,

1

v(E)

∂Ψ(~r, E, ~Ω, t)

∂ttasa de acumulacion

= −~Ω~∇Ψ(~r, E, ~Ω, t)termino de transporte (fuga)

− Σt(~r, E, ~Ω)Ψ(~r, E, ~Ω, t)desaparicion por choques y absorciones

+

+χ(E)

4π(1 − β)

∫ 4π

0

∫ E0

0

ν(E∗)Σf(~r, E∗, ~Ω∗)Ψ(~r, E∗, ~Ω∗, t)dΩ∗dE∗

neutrones instantaneos producidos en las fisiones

+

+6

∑

i=1

χi(E)

4πλiCi(~r, t)

neutrones diferidos

+ S(~r, E, t)fuente neutronica

+

+

∫ 4π

0

∫ E0

0

Σs(~r, E∗ → E; ~Ω∗ → ~Ω)Ψ(~r, E∗, ~Ω∗, t)dΩ∗dE∗

aparicion por choques

y las ecuaciones de los grupos diferidos,

∂Ci(~r, t)

∂t= βi

∫ 4π

0

∫ E0

0

ν(E∗)Σf(~r, E∗, ~Ω∗)Ψ(~r, E∗, ~Ω∗, t)dΩ∗dE∗ − λiCi(~r, t)

donde

19

Tema 4. Seccion 2.2. Ecuacion del transporte neutronico

Ψ(~r, E, ~Ω, t) flujo neutronico por unidad de energıa y angulo solido.~r vector de posicion en el espacio.E energıa.~Ω vector unitario de la velocidad (direccion),

~v(E) = v(E) × ~Ωv(E) velocidad de los neutrones de energıa E.χ(E) espectro de fision de los neutrones instantaneos,

∫ E0

0χ(E)dE = 1

β =∑

i

βi tanto por uno de neutrones diferidos generados en las fisiones.

βi tanto por uno de neutrones diferidos del grupo i generadosen las fisiones.

χi(E) espectro de fision de los neutrones diferidos del grupo i,∫ E0

0χi(E)dE = 1

λi constante de desintegracion del grupo de diferidos i.Ci(~r, t) densidad de nucleidos de los precursores del grupo i.S(~r, E, t) fuente neutronica.

Σs(~r, E∗ → E; ~Ω∗ → ~Ω) seccion eficaz diferencial de dispersion,

Σs(~r, E∗ → E; ~Ω∗ → ~Ω) = Σs(~r, E

∗, ~Ω∗)p(E∗ → E; ~Ω∗ → ~Ω)

La probabilidad de que los neutrones pasen de una energıa E∗ a E es,en el caso isotropo,

p(E∗ → E) = −1

E∗(1 − α), siendo α =

(

1 − A

1 + A

)2

∫ 4π

0

∫ E0

0p(E∗ → E; ~Ω∗ → ~Ω)dEd~Ω = 1 nucleo de dispersion.

La ecuacion de transporte muestra un alto grado de complejidad para su resolucion,debido entre otras razones a :

Dependencia de las ecuaciones en siete variables: ~r(3), E(1), ~Ω(2), t(1).

Dependencia de la secciones eficaces respecto de la energıa y la posicion(distintos materiales, con diversas estructuras geometricas).

La ecuacion es lineal en el flujo neutronico, porque no se incluyen interaccionesentre neutrones (n − n).

Es necesario conocer las condiciones iniciales y las condiciones de contorno.

20

Tema 4. Seccion 2.3. Reactor virtual. kef

2.3. Reactor virtual. kef

Al ser una ecuacion lineal, la ecuacion de transporte se puede expresar como un problema deautovalores. La solucion de la ecuacion es una combinacion lineal de autofunciones1. Expresandola ecuacion de transporte en funcion del operador L,

∂Ψ(~r, E, ~Ω, t)

∂t= L

Ψ(~r, E, ~Ω, t)

Este operador define un problema de autovalores de la forma,

L

Ψn(~r, E, ~Ω)

= αnΨn(~r, E, ~Ω)

permitiendo expresar la solucion de la ecuacion de transporte como,

Ψ(~r, E, ~Ω, t) =∑

n

cnΨn(~r, E, ~Ω) exp(αnt)

El conjunto de autovalores se puede ordenar en funcion de la parte real de los autovalores,

Re(αn) ≥ Re(αn+1) ∀n, n = 0, 1, 2, . . .

de forma que para intervalos de tiempo suficientemente altos la solucion es,

Ψ(~r, E, ~Ω, t) =t>>

c0Ψ0(~r, E, ~Ω) exp(α0t)

Como no es posible la existencia de flujos negativos es necesario que Ψ0(~r, E, ~Ω) ≥ 0 ∀~r, E, ~Ω yα0 debe ser real (sino en las oscilaciones aparecerıan valores negativos). El signo de α0 determinasi el reactor es supercrıtico (α0 > 0), crıtico (α0 = 0) o subcrıtico (α0 < 0). Los autovalores αi

se denominan como autovalores temporales, dinamicos o de decaimiento.Para realizar el estudio de cuando una determinada configuracion de materiales se hace crıticaserıa suficiente resolver la ecuacion de transporte para el mayor autovalor, α0. Si este no es nulose podrıa cambiar la configuracion hasta alcanzar la configuracion de reactor crıtico. Sin embargocomo lo que se persigue en este caso es que el reactor sea crıtico es mas aconsejable resolver elproblema a traves de los autovalores estaticos, k.

Esta tecnica consiste en reemplazar el numero de neutrones por fision ν porν

k, y

variando k hasta alcanzar la criticidad. Despreciando las fuentes de neutrones y elaporte de los diferidos que no influyen apreciablemente en estado estacionario, β = 0,

− ~Ω~∇Ψ(~r, E, ~Ω) − Σt(~r, E, ~Ω)Ψ(~r, E, ~Ω)+

+

∫∫

E∗,Ω∗

Σs(~r, E∗ → E; ~Ω∗ → ~Ω)Ψ(~r, E∗, ~Ω∗)dΩ∗dE∗+

+1

k

χ(E)

4π

∫∫

E∗,Ω∗

ν(E∗)Σf (~r, E∗, ~Ω∗)Ψ(~r, E∗, ~Ω∗)dΩ∗dE∗ = 0

21

Tema 4. Seccion 2.4. Tratamiento de la variable angular

Simplificando la notacion,

−~Ω~∇Ψ − ΣtΨ +

∫∫

E∗,Ω∗

ΣsΨdΩ∗dE∗ +1

k

χ

4π

∫∫

E∗,Ω∗

νΣfΨdΩ∗dE∗ = 0

Esta ecuacion tambien es una ecuacion de autovalores, kn, que cumplen,

k0 > k1 > k2 > . . . > kn

Al primer autovalor k0 se le denomina kef . Este parametro es el mismo que ya seanalizo con la formula de los seis factores, solo que el valor que se obtiene con estaecuacion es el exacto no un valor aproximado.

2.4. Tratamiento de la variable angular

Existen tres posibilidades de tratar la variable angular:

No realizar la discretizacion: metodo de Monte Carlo o metodo de la probabil-idad de colision (forma integral de la ecuacion del transporte)

Discretizar en N regiones angulares: metodo Sn o metodo de Carlson.

Desarrollo en armonicos e integracion en el espacio angular: teorıa de ladifusion.

2.4.1. Metodo de Monte Carlo

En estos metodos se sigue el comportamiento individual de un conjunto de neutrones.El conjunto de neutrones debe ser seleccionado de forma aleatoria, al igual que susposibles interacciones en los diversos materiales2.

Esta tecnica tiene la ventaja de permitir el modelado de sistemas con geometrıascomplejas e irregulares. En la teorıa de Monte Carlo tambien se utilizan un altoconjunto de grupos de secciones eficaces que se aplican como probabilidades de lasreacciones neutronicas. Ver Figura 2.2.

2Para mas detalles ver Nuclear Engineering; Knief pp. 127-130 y Nuclear Reactor Engineering,Glasstone-94 pp. 234-235.

22


Figura 2.2: Esquema del metodo de Monte Carlo.

2.4.2. Metodo de las ordenadas discretas Sn. Metodo deCarlson

En algunas ocasiones es necesario tener en cuenta la dependencia del flujo neutronicorespecto de Ω, para ello se discretiza la variable Ω en un conjunto finito de direccionesdenominadas ordenadas discretas (n direcciones). Este metodo tambien se denominaa veces modelo de transporte por su generalidad3.

Esta tecnica esta limitada a los casos que se pueden modelar en dos dimensiones,ya que la tercera dimension aumentarıa de forma prohibitiva el calculo. Las nexpresiones de las ecuaciones en cada sector angular Ωn son similares a las de laecuacion de transporte. Ver Figura 2.3.

2.4.3. Aproximacion PL. Teorıa de la difusion (P1)

Supongamos que intentamos integrar la ecuacion de transporte en la variableangular, de forma que podamos obtener la ecuacion del flujo por unidad de energıa,

ϕ(~r, E, t) =

∫ 4π

0

Ψ(~r, E, ~Ω, t)dΩ

3Para mas detalles ver Nuclear Engineering; Knife pp 130, Nuclear Reactor Engineering,Glasstone-94 pp. 233-234.

23


Figura 2.3: Ejemplos de aproximaciones angulares. Cerca de una barra de control(a) y cerca de la cara interior de la vasija (b).

Como se puede observar a continuacion surgen diversas dificultades. Integrado laecuacion de transporte en dΩ (se omiten por simplicidad los terminos de neutronesdiferidos y fuentes neutronicas que mas tarde se volveran a recuperar),

1

v(E)

∂ϕ(~r, E, t)

∂t= −

∫ 4π

0

~Ω~∇Ψ(~r, E, ~Ω, t)dΩ − Σt(~r, E)ϕ(~r, E, t)+

+χ(E)

∫ E0

0

ν(E∗)Σf(~r, E∗)ϕ(~r, E∗, t)dE∗ +

∫ E0

0

Σs(~r, E∗ → E)ϕ(~r, E∗, t)dE∗

como

∫ 4π

0

~Ω~∇Ψ(~r, E, ~Ω, t)dΩ = ~∇

∫ 4π

0

~ΩΨ(~r, E, ~Ω, t)dΩ

y definiendo la corriente neutronica, J , como,

24


→

J (~r, E, t) =

∫ 4π

0

~ΩΨ(~r, E, ~Ω, t)dΩ

se obtiene

1

v(E)

∂ϕ(~r, E, t)

∂t= − ~∇

→

J (~r, E, t) − Σt(~r, E)ϕ(~r, E, t)

+ χ(E)

∫ E0

0

ν(E∗)Σf(~r, E∗)ϕ(~r, E∗, t)dE∗

+

∫ E0

0

Σs(~r, E∗ → E)ϕ(~r, E∗, t)dE∗

(2.2)

Esta ecuacion que ya no depende de la variable angular, ~Ω, pero a cambio tiene dos

incognitas, ϕ(~r, E, t) y→

J (~r, E, t). A continuacion se intenta obtener una ecuacion

para la corriente neutronica,→

J (~r, E, t), para ello se multiplica la ecuacion del

transporte por ~Ω y se integra a su vez sobre la variable angular,

1

v(E)

∂→

J (~r, E, t)

∂t= −

∫ 4π

0

~Ω~Ω~∇Ψ(~r, E, ~Ω, t)dΩ −∑

t(~r, E)

→

J (~r, E, t)+

+χ(E)

∫ 4π

0

→

ΩdΩ

∫ E0

0

ν(E∗)Σf (~r, E∗)ϕ(~r, E∗, t)dE∗+

+

∫ 4π

0

∫ 4π

0

∫ E0

0

~ΩΣs(~r, E∗ → E; ~Ω∗ → ~Ω)Ψ(~r, E∗, ~Ω∗, t)dΩ∗dE∗dΩ

Como∫ 4π

0

→

ΩdΩ = 0 y aproximando el termino de choque elastico por,

∫ 4π

0

∫ 4π

0

∫ E0

0

~ΩΣs(~r, E∗ → E; ~Ω∗ → ~Ω)Ψ(~r, E∗, ~Ω∗, t)dΩ∗dE∗dΩ ∼=

∼= µ0(~r)Σs(~r, E)→

J (~r, E, t)

donde µ0(~r) =2

3Aes el valor medio del coseno en el sistema LAB. Sustituyendo,

1

v(E)

∂→

J (~r, E, t)

∂t= −

∫ 4π

0

~Ω~Ω~∇Ψ(~r, E, ~Ω, t)dΩ − Σtr(~r, E) ~J(~r, E, t)

25


donde

Σtr(~r, E) = Σt(~r, E) − µ0(~r)Σs(~r, E)

es la seccion eficaz macroscopica de transporte.

A continuacion para poder resolver el sistema es necesario desarrollar el flujo angularen funcion del angulo (la aproximacion de orden L consiste en desacoplar lasecuaciones a partir de un L determinado), tomando solo el desarrollo en primerorden (aproximacion P1),

Ψ(~r, E, ~Ω, t) =1

4πϕ(~r, E, t) +

3

4π

→

J (~r, E, t)~Ω + ∆(~Ω2) + . . .+

y sustituyendo en el termino convectivo,

∫ 4π

0

~Ω~Ω~∇Ψ(~r, E, ~Ω, t)dΩ =

∫ 4π

0

~Ω~Ω~∇(1

4πϕ(~r, E, t) +

3

4π

→

J (~r, E, t)~Ω)dΩ

=1

3~∇ϕ(~r, E, t)

se obtiene la ecuacion,

1

v(E)

∂→

J (~r, E, t)

∂t= −

1

3~∇ϕ(~r, E, t) − Σtr(~r, E)

→

J (~r, E, t) (2.4)

Por ultimo es posible demostrar que la derivada temporal de la corriente neutronica

se puede despreciar en general,∂→

J (~r, E, t)

∂t∼ 0, obteniendo finalmente,

→

J (~r, E, t) = −1

3Σtr(~r, E)~∇ϕ(~r, E, t)

Definiendo el coeficiente de difusion como,

D(~r, E) ≡1

3Σtr(~r, E)

queda,

→

J (~r, E, t) = −D(~r, E)~∇ϕ(~r, E, t)

26


Figura 2.4: Representacion esquematica de la ley de Fick.

Esta es la denominada ley de Fick o aproximacion de difusion, Figura 2.4.

Sustituyendo esta expresion de la corriente neutronica se obtiene la siguienteexpresion del flujo neutronico, denominado modelo de difusion dependiente de laenergıa (se vuelven a incluir los terminos de los neutrones diferidos y las fuentesneutronicas que se habıan omitido por simplificar la notacion),

1

v(E)

∂ϕ(~r, E, t)

∂t=∇(D(~r, E)∇ϕ(~r, E, t)) − Σt(~r, E)ϕ(~r, E, t)

+χ(E)(1 − β)

∫

E∗

ν(E∗)Σf (~r, E∗)ϕ(~r, E∗, t)dE∗

+

6∑

i=1

χi(E)λiCi(~r, t) +

∫

E∗

Σs(~r, E∗ → E)ϕ(~r, E∗, t)dE∗ + S(~r, t)

∂Ci(~r, t)

∂t=βi

∫ E0

0

ν(E∗)Σf (~r, E∗)ϕ(~r, E∗, t)dE∗ − λiCi(~r, t)

El modelo de difusion presenta diversas limitaciones:

27


Las ecuaciones no son validas en zonas con gradientes fuertes en el flujo:frontera con el exterior (frontera con el vacıo), interfase entre materialesdistintos y fuentes localizadas.

No es valida en medios fuertemente absorbentes.

Algunas de estas limitaciones se pueden subsanar de forma artificial, como semostrara en posteriores secciones.

La ecuacion de la difusion para el reactor virtual (despreciando las aportaciones delos diferidos) es,

∇(D(~r, E)∇ϕ(~r, E)) − Σt(~r, E)ϕ(~r, E)

+1

kχ(E)

∫

E∗

ν(E∗)Σf(~r, E∗)ϕ(~r, E∗)dE∗

+

∫

E∗

Σs(~r, E∗ → E)ϕ(~r, E∗)dE∗ + S(~r) = 0

El significado de los autovalores es similar al que tienen en la ecuacion del transporte.

28

Seccion 3

Teorıa de la difusion. Teorıa de ladifusion multigrupo

Indice3.1. Condiciones de contorno en las ecuaciones de difusion

multigrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2. Teorıa de la difusion de un grupo . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1. Resolucion de la ecuacion de difusion . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Teorıa de la difusion de dos grupos . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.1. Reactor termico con la teorıa de difusion de dos grupos . 55

3.3.2. Relacion de la teorıa de difusion de dos grupos con ladifusion edad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.3. Reactor con reflector. Perfil espacial del flujo neutronico . 58

3.4. Teorıa de la difusion de tres grupos . . . . . . . . . . . . 63

3.5. Tecnicas de resolucion espacial . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5.1. Diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5.2. Metodos nodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6. Problemas. Aplicaciones de la teorıa de la difusion. . . . 67

Para resolver la ecuacion de la teorıa de la difusion es necesario realizar algun tipode simplificacion o discretizacion en la variable energetica. El rango de interes enenergıas va desde 10 MeV a 0 eV. Se divide en un numero de grupos o intervalosde energıa, G. El numero de grupos depende de la aplicacion en concreto y puedevariar entre 105 y 1. La forma de ordenarlos es se presenta en la Figura 3.1

En la Figura 3.2 se muestran los rangos de energıa correspondientes a 2 y 4 gruposenergeticos

La ecuacion de difusion, despreciando la aportacion de los diferidos (β = 0), es,

29

Tema 4. Seccion

Figura 3.1: Ordenacion de los grupos energeticos.

Figura 3.2: Discretizacion en dos y cuatro grupos energeticos

1

v(E)

∂ϕ(~r, E, t)

∂t= ∇(D(~r, E)∇ϕ(~r, E, t)) − Σt(~r, E)ϕ(~r, E, t)

+χ(E)

∫

E∗

ν(E∗)Σf (~r, E∗)ϕ(~r, E∗, t)dE∗

+

∫

E∗

Σs(~r, E∗ → E)ϕ(~r, E∗, t)dE∗ + S(~r, t)

Integrando en el intervalo energetico del grupo g,

30

Tema 4. Seccion

1

v

∂φg(~r, t)

∂t= ∇(Dg(~r)∇φg(~r, t)) − Σt,g(~r)φg(~r, t)

+ χg

G∑

g∗=1

νg∗Σfg∗(~r)φg∗(~r, t) +

G∑

g∗=1

Σs,g∗→g(~r)φg(~r, t) + Sg(~r, t)

Donde,

φg(~r, t) =∫

∆Eg

ϕ(~r, E, t)dE , flujo energetico del grupo g.

[φg(~r, t)] =neutrones

cm2 × s

Σt,g = Σa,g + Σs,g

g = 1, 2, . . . , G

Aplicando el modelo de reactor virtual se obtiene la ecuacion espacial para el grupog,

∇(Dg(~r)∇φg(~r)) − Σt,g(~r)φg(~r) +χg

k

G∑

g∗=1

νg∗Σfg∗(~r)φg∗(~r)

+

G∑

g∗=1

Σs,g∗→g(~r)φg(~r) + S(~r) = 0

Las incognitas de este problema son los G perfiles espaciales de los G grupos y lakef ,

φ1(~r)φ2(~r). . .

. . .φG(~r)kef

Siendo el flujo total,

φ(~r) = φ1(~r) + φ2(~r) + .. + φg(~r) + .. + φG(~r)

31

Tema 4. Seccion 3.1. Condiciones de contorno en las ecuaciones de difusionmultigrupo

En las siguientes secciones se describen las teorıas de un grupo, dos y tres gruposenergeticos. De esta forma se podran resolver ciertos casos sencillos de formaanalıtica e ir comprobando el grado de complejidad que genera el numero de gruposutilizado.

3.1. Condiciones de contorno en las ecuaciones de

difusion multigrupo

Existen dos tipos de condiciones de contorno, las condiciones en la frontera con elexterior y las condiciones en la frontera entre diferentes materiales:

1. Condiciones en la frontera entre diferentes materiales. Es necesarioque tanto el flujo neutronico como la corriente neutronica sean continuas endichas fronteras, ya que si no se acumularıa flujo en la frontera:

Continuidad del flujo φ1,g(~r0) = φ2,g(~r0)

Continuidad de la corriente neutronica ~J1,g(~r0) = ~J2,g(~r0)

Esta condicion tambien se puede expresar en funcion del flujo, recordando que,

~Jg(~r) = Dg(~r)∇φg(~r)

se obtiene,

D1,g(~r0)∇φ1,g(~r0) = D2,g(~r0)∇φ2,g(~r0)

Figura 3.3: Condiciones en la frontera entre materiales.

32

Tema 4. Seccion 3.1. Condiciones de contorno en las ecuaciones de difusionmultigrupo

2. Condiciones de contorno en la frontera con el exterior (vacıo). Estacondicion se obtiene calculando a que distancia de la frontera del reactor seanularıa el flujo neutronico suponiendo que la variacion espacial del flujo desdela frontera es lineal. Esta distancia recibe el nombre de distancia extrapolada,dg , siendo el flujo nulo en dichos puntos,

φg(dg) = 0

Graficamente se puede observar en la Figura 3.4.

Figura 3.4: Distancia extrapolada. Condicion en la frontera con el vacıo.

Los valores de la distancia extrapolada se pueden calcular con la teorıa de ladifusion y la del transporte. El resultado obtenido varıa dependiendo de lateorıa que se utilice, en la Figura 3.5 se observan las distancias extrapoladasque se obtienen con la teorıa de la difusion y la teorıa del transporte parageometrıas planas.

Los valores de la distancia extrapolada para la teorıa de la difusion y la teorıadel transporte son:

Teorıa de la difusion: dg =2

3λtr,g =

2

3Σtr,g

= 2Dg, siendo Dg el coeficiente

de difusion.

Teorıa del transporte: dg = 0,71λtr,g =0,71

Σtr,g= 2,13Dg

33

Tema 4. Seccion 3.2. Teorıa de la difusion de un grupo

Figura 3.5: Comparacion de la distancia extrapolada en las teorıas del transporte yla difusion.

3.2. Teorıa de la difusion de un grupo

Esta teorıa supone que es posible describir el comportamiento de todos los neutronesindependientemente de la energıa. Esta aproximacion no es valida en general, peropermite introducir diversos conceptos de forma sencilla. Para obtener la expresion deesta teorıa solo hay que tener en cuenta que los terminos de moderacion (en ingles,scattering) desaparecen, ya que se ha integrado ha todo el intervalo de energıas. Enel caso del reactor virtual,

∇(D(~r)∇φ(~r)) − Σa(~r)φ(~r) +νΣf (~r)

kφ(~r) + S(~r) = 0

donde

Σa = Σa,nucleo = Σa,combustible + Σa,refrigerante + Σa,estructuras + Σa,venenos

Nota: En lo sucesivo no se incluye el termino fuente, excepto para ejemplos concre-tos.

Teniendo en cuenta que,

νΣf = νΣf

Σa,com

Σa,com

Σa,nucleoΣa,nucleo = ηfΣa,nucleo = k∞Σa,nucleo = k∞Σa

34


se observa que la expresion de la k∞ en la teorıa de difusion de un grupo viene dadapor,

k∞ =νΣf

Σa,nucleo= ηf

En esta teorıa no aparecen los parametros ǫ y p al no distinguirse las energıas. Portanto, la ecuacion de difusion para un grupo se puede expresar como,

∇(D(~r)∇φ(~r)) − Σa(~r)φ(~r) +k∞(~r)Σa(~r)

kφ(~r) = 0

Esta ecuacion es necesario resolverla numericamente en el caso general debido ala dependencia espacial de D(~r) , Σa(~r) y k∞(~r) . Para un reactor homogeneo,en el cual el combustible se encuentra disperso uniformemente dentro del refriger-ante/moderador, los coeficientes no tienen dependencia espacial,

D∇2φ(~r) − Σaφ(~r) +k∞Σa

kφ(~r) = 0

Recordando que L2 =D

Σa,

∇2φ(~r) +

(

k∞

k− 1

)

1

L2φ(~r) = 0

Esta ecuacion es de la forma,

∇2φ(~r) + B2φ(~r) = 0

Las incognitas de la ecuacion son:

El perfil espacial del flujo neutronico, φ(~r).

kef

Para resolver esta ecuacion en derivadas parciales es necesario conocer sus condi-ciones de contorno.

35


3.2.1. Resolucion de la ecuacion de difusion

La ecuacion de difusion de un grupo junto con sus condiciones de contorno se puederesolver como un problema de valores propios,

∇2φn(~r) + B2nφn(~r) = 0

donde B2n =

(

k∞

kn− 1

)

1

L2.

Tanto B2n como φn(~r) toman valores y expresiones distintas dependiendo de la

geometrıa del reactor. Las incognitas, perfil espacial del flujo neutronico y kef ,se obtienen de la siguiente forma:

La constante de multiplicacion, kef , se obtiene a partir del primer autovalor,

B20 =

(

k∞

k0− 1

)

1

L2=

(

k∞

kef− 1

)

1

L2

Despejando,

kef =k∞

1 + L2B20

El perfil del flujo neutronico bajo condiciones de criticidad es la primeraautofuncion,

φ(~r) = φ0(~r)

Para comprender mejor como se realiza el calculo se analizara a continuacion unejemplo.

♦

Ejemplo 3.1 Resolucion de un reactor con geometrıa de losa infinita de anchuraH

i. Calculo de autofunciones y autovalores.

ii. Expresion del perfil espacial del flujo neutronico.

iii. Calculo de la kef .

iv. Obtener de la condicion de criticidad. Ancho de la losa que hace que sea crıtica.

v. Obtener la expresion de la probabilidad de fuga de los neutrones a partir de laexpresion de la kef .

36


vi. Obtener la expresion de la tasa de neutrones por unidad de area que fugan dela losa.

vii. Hallar la relacion entre el flujo medio y el flujo maximo.

viii. Obtener la expresion de la probabilidad de fuga a partir de la corriente neu-tronica.

Solucion:

1. Calculo de autovalores y autofunciones

La ecuacion de difusion es unidimensional en este caso,

∂2φn(x)

∂x2+ B2

nφn(x) = 0

y las condiciones de contorno,

φn

(

H

2+ d

)

= 0 = φn

(

−H

2− d

)

la distancia extrapolada, d, es del orden de 2D, donde D es el coeficiente de difusion.

φn

(

H

2+ 2D

)

= 0 = φn

(

−H

2− 2D

)

las soluciones a este problema de autovalores y autofunciones son,

Bn =(n + 1)π

H + 2dn = 0, 1, 2, 3, . . .

φn(x) =

An cos

(

(n + 1)πx

H + 2d

)

n = 0, 2, 4, . . .

An sin

(

(n + 1)πx

H + 2d

)

n = 1, 3, 5, . . .

37


Figura 3.6: Modo fundamental, n = 0, y segundo modo, n = 1, de una losa infinitade anchura H .

2. Expresion del perfil espacial del flujo neutronico

El perfil espacial del flujo neutronico es la primera autofuncion,

φ(x) = A0 cos

(

πx

H + 2d

)

en la cual queda por determinar el parametro A0 , este parametro se puede expresaren funcion del flujo maximo. Teniendo en cuenta que el flujo maximo es cuandocos(0) = 1 , en el centro de la losa, queda,

A0 = φmax

Por tanto, la expresion del flujo neutronico queda,

φ(x) = φmax cos

(

πx

H + 2d

)

3. Calculo de kef

La kef se obtiene del primer autovalor, que se denomina Laplaciano geometrico, B2g

, ya que solo depende de las caracterısticas geometricas del sistema, H (la expresionde B2

g es distinta para cada configuracion geometrica).

B2g ≡ B2

0 =

(

π

H + 2d

)2

38


Siendo el valor de la kef ,

kef =k∞

1 + L2B2g

4. Obtencion de la condicion de criticidad. Ancho de la losa que hace quesea crıtica

Si lo que queremos es conocer el ancho de la losa que hace que sea crıtica es necesarioimponer la condicion de criticidad, kef = 1,

B2g =

k∞ − 1

L2

Al termino de la derecha se le denomina Laplaciano material, ya que solo depende delas propiedades de los materiales del reactor (su expresion es la misma para cualquierconfiguracion geometrica del reactor),

B2m ≡

k∞ − 1

L2

Por tanto la condicion de criticidad se puede expresar como,

(composicion del reactor) B2m = B2

g (geometrıa del reactor)

o sustituyendo por sus expresiones,

k∞ − 1

L2=

(

π

Hc + 2d

)2

que es la condicion de criticidad que relaciona las caracterısticas de los materialescon las caracterısticas geometricas del reactor y permite obtener la anchura crıticade la losa infinita,

Hc = π

√

L2

k∞ − 1− 2d

39


5. Obtener la expresion de la probabilidad de fuga de los neutrones apartir de la expresion de la kef

Anteriormente se ha deducido la expresion de la kef ,

kef =k∞

1 + L2B2g

Como a su vez esta se puede expresar como,

kef = k∞P

siendo P la probabilidad de permanencia. Despejando, obtenemos una expresion dela probabilidad de permanencia,

P =1

1 + L2B2g

y por tanto la expresion de la probabilidad de fuga es,

F = 1 − P =L2B2

g

1 + L2B2g

6. Tasa de neutrones por unidad de area que fugan

La tasa de fuga por unidad de area viene determinada por,

f = ~J

(

H

2

)

· ~eS = −D~∇φ

(

H

2

)

· ~eS

Como en este caso el flujo solo depende de x , el gradiente es,

~∇φ(x) =

(

∂φ(x)

∂x,∂φ(x)

∂y,∂φ(x)

∂z

)

=

(

dφ(x)

dx, 0, 0

)

y por tanto la unica componente no nula de la corriente sera,

~J(x, y, z) = (Jx(x), 0, 0)

donde Jx(x) = −Ddφ(x)

dx

Jx(x) = −Ddφ(x)

dx= D

φmaxπ

H + 2dsin

(

πx

H + 2d

)

40


Por otra parte el vector unitario normal a la superficie es,

~eS = (1, 0, 0)

y por tanto la tasa de fuga por unidad de area es,

f = ~J

(

H

2

)

·~eS = (Jx

(

H

2

)

, 0, 0) · (1, 0, 0) = Jx

(

H

2

)

= Dφmaxπ

H + 2dsin

(

πH

2H + 4d

)

7. Relacion entre el flujo medio y el flujo maximo

Si calculamos el valor medio del flujo neutronico,

φ =1

H/2

∫ H/2

0

φmax cos

(

πx

H + 2d

)

dx =2φmax

H

H + 2d

π

[

sin

(

πx

H + 2d

)]H/2

0

= φmax2H + 4d

πHsin

(

πH

2H + 4d

)

Por tanto,

φmax

φ=

πH

(H + 4d) sin

(

πH

2H + 2d

)

Haciendo la hipotesis de d = 0 , valido para ver el orden de magnitud de estarelacion,

φmax

φ=

π

2 sin(π/2)=

π

2= 1,57

Esta relacion tiene gran importancia ya que existen unos lımites de potencia maximalocal para evitar danos en el combustible. De forma que si esta relacion es alta, lapotencia media se ve muy limitada. Son convenientes perfiles lo mas planos que sepuedan conseguir de forma que la relacion sea lo mas cercana a la unidad.

8. Expresion de la probabilidad de fuga a partir de la corriente neutronica

La probabilidad de fuga se puede obtener como el cociente entre los neutrones fugadosy los neutrones generados,

41


F =neutrones fugados

neutrones generados

Como la losa tiene dos caras, la tasa de fuga del volumen de ancho H y area, el areaunidad es,

ftotal = D2φmaxπ

H + 2dsin

(

πH

2H + 4d

)

neutrones

cm2 × s

y los neutrones generados en cada volumen de ancho H y area, el area unidad, n(V )son,

n(V ) = n(H · A) = νΣf φV = νΣf φHA = νΣf φH

La probabilidad de fuga es,

F =

D2φmaxπ

H + 2dsin

(

πH

2H + 4d

)

νHΣf φ

=

D2π

H + 2dsin

(

πH

2H + 4d

)

νHΣf

πH

(2H + 4d) sin

(

πH

2H + 4d

) =Dπ2

νΣf (H + 2d)2

como D = L2Σa y B2g ≡

(

π

H + 2d

)2

F =L2π2Σa

νΣf (H + 2d)2=

L2ΣaB2g

νΣf

=L2B2

g

νΣf

Σa

=L2B2

g

k∞

Por otra parte como la losa es crıtica,

B2g =

k∞ − 1

L2

de donde,

k∞ = 1 + L2B2g

Sustituyendo,

42


Configuracion Esfera Paralelepıpedo Cilindrogeometrica recto infinito

Laplaciano (π

Re)2 (

π

ae)2 + (

π

be)2 + (

π

ce)2 (

2,405

Re)2 + (

π

He)2

geometrico B2g

Distribucion φmaxRc

πrsin

πr

Rcφmax cos

πx

accos

πy

bccos

πz

ccφmaxJ0(

2,405r

Rc) cos

πz

H c

de flujo crıtica

Volumen130

B3c

161

B3c

148

B3c

crıtico mınimo (si a = b = c) (para H = 1,847R)φmax

φ3,29 3,87 3,63

Tabla 3.1: Laplaciano geometrico, distribucion de flujo crıtica y volumen crıticomınimo para diferentes geometrıas.

F =L2B2

g

1 + L2B2g

se obtiene el mismo resultado que por el otro camino.

Realizando calculos similares a los del ejemplo anterior se pueden obtener lasexpresiones del Laplaciano geometrico, de la distribucion espacial del flujo neutronicoy el volumen mınimo para que el sistema sea crıtico correspondientes a distintasgeometrıas. En la tabla 3.1 se muestran los resultados para una esfera un cilindro yun paralelepıpedo recto,

Donde J0 es la primera funcion de Bessel y c es el valor crıtico extrapolado.

♦

Ejemplo 3.2 Ecuaciones del reactor homogeneo con reflector

Supongamos una losa infinita rodeada por un reflector. Se trata de obtener lasecuaciones necesarias para resolver el problema y que mejora se obtiene al incluirun reflector en la parte externa de un reactor, Figura 3.8.

Las ecuaciones en la zona del nucleo homogeneo y del reflector son, suponiendoreactor crıtico, son:

Ecuacion del flujo en el nucleo homogeneo,

Dnuc∂2φnuc(x)

∂x2+

(

νΣnucf − Σnuc

a

)

φnuc(x) = 0

43


Figura 3.7: Perfil radial del flujo neutronico para distintas configuraciones geometri-cas.

Figura 3.8: Losa infinita de anchura H con reflector de espesor b.

Ecuacion del flujo en el reflector,

Dref ∂2φref(x)

∂x2− Σref

a φref(x) = 0

Imponiendo las condiciones de contorno, solo se incluyen las del eje positivo porsimetrıa,

Continuidad del flujo en las fronteras entre materiales,

φref(H/2) = φnuc(H/2)

44


Continuidad de la corriente neutronica en las fronteras entre materiales,

Jref(H/2) = Jnuc(H/2)

Anulacion del flujo en la distancia extrapolada,

φref(H/2 + b + d) = 0

Figura 3.9: Comparacion del perfil espacial del flujo neutronico con/sin reflector(teorıa de un grupo).

La solucion del problema no se incluye por ser muy tediosa1, sin embargo sedebe destacar que en el caso con reflector el flujo neutronico es mas grande,principalmente en las zonas cercanas al reflector, lo cual permite disminuir las fugasdel reactor y la necesidad de menos material combustible para conseguir un reactorcrıtico. En la Figura 3.9 se compara el flujo neutronico con y sin reflector. En laFigura 3.10 se muestran los flujos axial y radial para un reactor cilındrico.

Los reflectores no solo sirven para disminuir las fugas, ademas tienden a aplanar elperfil espacial del flujo neutronico y por tanto la distribucion espacial de potencia.Sin embargo, la teorıa de la difusion de un grupo no es adecuada para describireste efecto, y por lo tanto son necesarias teorıas mas detalladas, como la teorıa dedifusion de dos grupos, para poder analizar este fenomeno, ver Figura 3.11.

1Ver Duderstadt pp. 212-214.

45


Figura 3.10: Perfiles radial y axial del flujo neutronico para un reactor cilındricohomogeneo con/sin reflector (a) y heterogeneo con reflector (b).

Figura 3.11: Comparacion de los perfiles espaciales del flujo neutronico para unreactor con reflector con la teorıa de un grupo y la multigrupo.

46


♦Ejemplo 3.3 Variacion del perfil mediante enriquecimientos no homogeneos

Como se ha visto en secciones anteriores, interesa que los flujos sean lo mas planosposibles. Una de las tecnicas mas utilizadas para conseguir este objetivo es utilizardistintos enriquecimientos radialmente, graficamente, Figura 3.12.

Figura 3.12: Variacion del perfil radial con la distribucion del enriquecimiento.

La aplicacion de esta tecnica sera descrita con detalle en el capıtulo sobre losesquemas de recarga de reactores nucleares.

♦

Ejemplo 3.4 Perfil axial del flujo neutronico en un BWR

Debido a que los reactores BWR funcionan en condiciones submoderadas en laszonas con mas moderador (lıquido, abajo) la potencia sera mas alta que en las zonascon menos moderador (mezcla lıquido-vapor, arriba).

47


Figura 3.13: Perfil axial del flujo neutronico en un BWR (combustible fresco).

48


(a) BOC

(b) EOC

Figura 3.14: Perfiles axiales en un BWR con distintas estrategias de operacion.

49


♦Ejemplo 3.5 Variacion del perfil radial del flujo neutronico con el quemado

Figura 3.15: Variacion del perfil radial del flujo neutronico con el quemado.

50


♦Ejemplo 3.6 Perfil axial del flujo neutronico en un PWR

Figura 3.16: Variacion del perfil axial con el quemado en un PWR.

Problema 3.1 El factor de multiplicacion infinito correspondiente a un sistemareticular, heterogeneo, de uranio natural y agua pesada vale 1,28. El valor de L2,para neutrones termicos es 175cm2.

1. Determinar la laplaciana crıtica, utilizando la ecuacion de criticidad de ungrupo (termico). Se sabe que el sistema esta constituido por barras de uranionatural de 1 pulgada de diametro, dispuestas en una red cuadrada con unespaciado de seis pulgadas, suspendidas en una vasija cilındrica que contieneel moderador (agua pesada). El nucleo del reactor desnudo posee una relacionde altura igual a 1,2.

2. Determinar la masa de uranio necesaria para que el reactor desnudo seajustamente critico.

51


3. Calcular la masa crıtica de combustible suponiendo que el reactor esta recu-bierto lateralmente por un reflector de agua pesada de 25 cm de espesor. Sesabe que la longitud de difusion de los neutrones termicos es de 100 cm.

1. La laplaciana crıtica es,

B2c =

k∞ − 1

L2=

0,28

175= 1,6 · 10−3cm−2

2. Primero se calculan las dimensiones del sistema crıtico, tomando para B2c el

valor 0,0016cm2 del apartado anterior.

B2c =

(

2,405

Rc

)2

+

(

π

Hc

)2

Pero como,

Hc

Dc=

Hc

2Rc= 1,2

B2c =

7,5

R2c

= 1,6 · 10−3

Por tanto,

R2c =

7,5

1,6 · 10−3⇒ Rc = 68,46cm Hc = 164,32cm

Como las barras de combustible se encuentran distribuidas en una red cuadradacon espaciado de 6× 2,54 = 15,2 cm, resulta que la superficie efectiva ocupadapor cada barra es igual a (15,2)2 = 230cm2. La seccion recta del nucleo delreactor desnudo vale πR2

c = 14716cm2. Por consiguiente, el numero de barrasde U es igual a 14716/230 = 64. Como las barras tienen un diametro de1pulgada = 2,54 cm, y la longitud del nucleo del rector es 164,32 cm, se deduceque el volumen de las barras tiene por valor,

V = π

(

2,54

2

)2

164,32 · 64 = 5,326 · 104cm3

La densidad del U metalico es 19g/cm3, de forma que la masa total de uranioen el reactor crıtico desnudo es igual a,

M = ρV = 1012kg

52


3. Teniendo en cuenta que la relacion entre T , grosor del reflector, y Lr, longitudde difusion en el reflector, T/Lr = 0,25, es pequena, se puede considerar elreflector como fino. Ademas, teniendo en cuenta que el moderador y el reflectorson ambos agua pesada, y por tanto los coeficientes de difusion no difierenmucho, el resultado que se obtiene es,

δ ≈D

Drth

T

Lr≈ T

Por lo tanto, el ahorro por reflector sera aproximadamente igual al grosor deeste ultimo. Por lo tanto, el radio critico del reactor con reflector sera,

Rc = 68,46 − 25 = 43,46 cm

Como no hay reflector en las dos bases del cilindro, la altura permaneceinalterada, y la relacion de volumenes sera la relacion entre radios elevadoal cuadrado.

(43,46)2

(68,46)2≈ 0,8

Por tanto se ahorra el 20 % de combustible.

53

Tema 4. Seccion 3.3. Teorıa de la difusion de dos grupos

3.3. Teorıa de la difusion de dos grupos

En esta seccion se obtendran primero las ecuaciones de la teorıa de dos grupos,posteriormente se analizara el ejemplo del reactor termico. Teniendo en cuenta lasecuaciones generales de la teorıa multigrupo para el reactor virtual se obtienen lasecuaciones para la teorıa de dos grupos,

Grupo 1:

∇ [D1(~r)∇φ1(~r)] − Σt,1(~r)φ1(~r) +χ1

k[ν1Σf1(~r)φ1(~r) + ν2Σf2(~r)φ2(~r)]

+ Σs,2→1(~r)φ2(~r) = 0

Grupo 2:

∇ [D2(~r)∇φ2(~r)] − Σt,2(~r)φ2(~r) +χ2

k[ν1Σf1(~r)φ1(~r) + ν2Σf2(~r)φ2(~r)]

+ Σs,1→2(~r)φ1(~r) = 0

siendo,

Σt,1 = Σa,1 + Σs,1→2 Σt,2 = Σa,2 + Σs,2→1

Como no hay paso a grupos de mayor energıa, Σs,2→1 = 0, las ecuaciones finales sonde la forma,

Grupo 1:

∇ [D1(~r)∇φ1(~r)] − Σa,1(~r)φ1(~r) − Σs,1→2(~r)φr(~r)

+χ1

k[ν1Σf1(~r)φ1(~r) + ν2Σf2(~r)φ2(~r)] = 0

Grupo 2:

∇ [D2(~r)∇φ2(~r)] − Σa,2(~r)φ2(~r) +χ2

k[ν1Σf1(~r)φ1(~r) + ν2Σf2(~r)φ2(~r)]

+ Σs,1→2(~r)φ1(~r) = 0

54


3.3.1. Reactor termico con la teorıa de difusion de dosgrupos

Se puede considerar un modelo simplificado de reactor termico con las expresionespara la teorıa de dos grupos, rapidos y termicos. Suponiendo que en las fisiones solose producen neutrones rapidos, χr = 1, χt = 0 , se obtiene,

Rapidos:

∇ [Dr(~r)∇φr(~r)] − Σa,r(~r)φr(~r) − Σs,r→t(~r)φr(~r)

+1

k[νtΣf,t(~r)φt(~r) + νrΣf,r(~r)φr(~r)] = 0

Termicos:

∇ [Dt(~r)∇φt(~r)] − Σa,t(~r)φt(~r) + Σs,r→t(~r)φr(~r) = 0

Para mostrar como se resuelve el sistema lo aplicaremos al caso de reactor homoge-neo. El proceso de calculo que se va a seguir es el siguiente,

Calculo de la kef .

Relacion entre los flujos rapido, termico y el flujo total.

Perfil espacial del flujo neutronico para los grupos rapido y termico

A continuacion se va a analizar en detalle cada uno de los pasos:

1. Calculo de la constante de multiplicacion.

Las ecuaciones para el caso homogeneo son,

Dr∇2φr(~r) − Σa,rφr(~r) − Σs,r→tφr(~r) +

1

k[νtΣf,tφt(~r) + νrΣf,rφr(~r)] = 0

Dt∇2φt(~r) − Σa,tφt(~r) + Σs,r→tφr(~r) = 0

Calculando los autovalores del sistema, el primer par de autovalores permiteobtener,

∇2φr(~r) + B2φr(~r) = 0

∇2φt(~r) + B2φt(~r) = 0

55


siendo B2 el Laplaciano geometrico. Sustituyendo en las ecuaciones anteriores,

−DrB2φr(~r) − Σa,rφr(~r) − Σs,r→tφr(~r) +

1

kef[νtΣf,tφt(~r) + νrΣf,rφr(~r)] = 0

−DtB2φt(~r) − Σa,tφt(~r) + Σs,r→tφr(~r) = 0

Agrupando terminos,

(

−DrB2 − Σa,r − Σs,r→t +

νr

kef

Σf,r

)

φr(~r) +νt

kef

Σf,tφt(~r) = 0

(

−DtB2 − Σa,t

)

φt(~r) + Σs,r→tφr(~r) = 0

o en forma matricial,

−DrB2 − Σa,r − Σs,r→t +

νr

kef

Σf,rνt

kef

Σf,t

Σs,r→t −DtB2 − Σa,t

φr(~r)

φt(~r)

= 0

Este sistema tiene solucion no trivial sı y solo sı el determinante es nulo,

(

DrB2 + Σa,r + Σs,r→t −

νr

kefΣf,r

)

(

DtB2 + Σa,t

)

−νt

kefΣf,tΣs,r→t = 0

Despejando es posible obtener el factor kef para la teorıa de dos grupos,

kef =νrΣf,r

DrB2 + Σa,r + Σs,r→t+

νtΣf,tΣs,r→t

(DrB2 + Σa,r + Σs,r→t)(DtB2 + Σa,t)

2. Relacion entre los grupos rapido y termico. Flujo total.

Teniendo en cuenta la expresion deducida anteriormente,

(

−DtB2 − Σa,t

)

φt(~r) + Σs,r→tφr(~r) = 0

y despejando,

56


φr(~r)

φt(~r)=

DtB2 + Σa,t

Σs,r→t

Ecuacion que indica que ambos perfiles son iguales salvo una constante deescala. Por otra parte el flujo total es,

φ(~r) = φr(~r) + φt(~r)

3. Perfil espacial de los grupos rapido y termico.

El perfil espacial de los dos grupos son las dos primeras autofunciones similaresa las analizadas en el caso de la teorıa de un grupo energetico. En la Figura3.17 se muestran los perfiles para los grupos termico y rapido en un reactorhomogeneo.

Figura 3.17: Perfil radial de los flujos termico y rapido en un reactor homogeneo.

3.3.2. Relacion de la teorıa de difusion de dos grupos con ladifusion edad

Es posible mostrar que se puede obtener una expresion similar a la formula de losseis factores. Para ello se definen,

L2d,r =

Dr

Σa,r + Σs,r→t, L2

d,t =Dt

Σa,t

57


y sustituyendo en la expresion de la kef de la teorıa de dos grupos,

kef =νrΣf,r/(Σa,r + Σs,r→t)

1 + L2rB

2+

νtΣf,t/Σa,t

(1 + L2rB

2)(1 + L2t B

2)

Σs,r→t

Σa,r + Σs,r→t

Definiendo parametros similares a los de la teorıa de la difusion edad,

ηr = νrΣf,r

Σcomba,r

fr =Σcomb

a,r

Σa,r + Σs,r→t

Pr =1

1 + L2rB

2

ηt = νtΣf,t

Σcomba,t

ft =Σcomb

a,t

Σa,tPt =

1

1 + L2t B

2p =

Σs,r→t

Σa,r + Σs,r→t

se obtiene,

kef = ηrfrPr + ηtftPrpPt = k1Pr + pk2PrPt

donde k1 = ηrfr, k2 = ηtft .

La relacion de la teorıa de dos grupos con la de la difusion-edad es,

kef = ηrfrPr + ηtftPrpPt =

(

ηrfr

ηtftpPt+ 1

)

ηtftPrpPt = ηtǫftPrpPt

Se observa que aunque es posible hallar la relacion entre ambas teorıas, la definiciondel factor de fision rapida, , es completamente forzada y no se corresponde con ladefinicion de la formula de los seis factores.

Por otra parte, teniendo en cuenta que la expresion de k∞ se obtiene eliminando lasfugas,

k∞ = ηrfr + ηtftp = k1 + pk2

3.3.3. Reactor con reflector. Perfil espacial del flujo neu-tronico

El modelo que permite la resolucion del problema tiene cuatro ecuaciones diferen-ciales, una para cada grupo en el reactor y una para cada grupo en el reflector,junto con seis condiciones: continuidad del flujo neutronico y densidad de corrienteen la superficie reactor/reflector para neutrones rapidos y termicos junto con la an-ulacion del flujo, rapido y termico, en la distancia extrapolada. Como ejemplo se

58


Figura 3.18: Losa infinita de anchura H con reflector de espesor b.

muestra el caso del reactor de losa infinita, ya visto en el caso de un grupo, que esunidimensional, ver Figura 3.18.

Ecuaciones:

1. Nucleo:

Rapidos

Dnucr

∂2φnucr (x)

∂x2+

(

νrΣnucf,r − Σnuc

a,r − Σnucs,r→t

)

φnucr (x) + νtΣ

nucf,t φnuc

t (x) = 0

Termicos

Dnuct

∂2φnuct (x)

∂x2− Σnuc

a,t φnuct (x) + Σnuc

s,r→tφnucr (x) = 0

2. Reflector:

Rapidos

Drefr

∂2φrefr (x)

∂x2−

(

Σrefa,r + Σref

s,r→t

)

φrefr (x) = 0

Termicos

Dreft

∂2φreft (x)

∂x2− Σref

a,t φreft (x) + Σref

s,r→tφrefr (x) = 0

Condiciones de contorno:

59


Continuidad del flujo en las fronteras entre materiales,

φrefr

(

H

2

)

= φnucr

(

H

2

)

φreft

(

H

2

)

= φnuct

(

H

2

)

Continuidad de la corriente neutronica en las fronteras entre materiales,

Jrefr

(

H

2

)

= Jnucr

(

H

2

)

Jreft

(

H

2

)

= Jnuct

(

H

2

)

Anulacion del flujo en la distancia extrapolada,

φrefr

(

H

2+ b + d1

)

= 0 φreft

(

H

2+ b + d2

)

= 0

El perfil espacial de los flujos rapido y termico, se modifica debido al reflector, aunqueel que es varıa mas es el termico debido a que tiene longitudes de interaccion menor,Figuras 3.19 y 3.20(b),

Figura 3.19: Perfil radial de los flujos termico y rapido en un reactor con reflector.

En la Figura 3.21 se muestra el efecto del reflector sobre el flujo total en un reactorcilındrico.

En general el reduccion que se puede conseguir en el radio de un reactor termico esdel orden de la longitud de difusion, de forma que en los reactores de agua ligera esdel orden de 6 cm y de 50 cm en reactores moderados por grafito.

Un valor aproximado del ahorro por reflector (agua) en los reactores de agua ligera(LWR) se puede obtener con la formula,

δ(cm) = Rsin reflector(cm) − Rcon reflector(cm) = 7,2 + 0,1[

M2(cm2) − 40,0]

siendo M2 la longitud de migracion en el nucleo.

60


(a) Sin reflector (b) Con reflector

Figura 3.20: Perfil radial de los flujos termico y rapido en un reactor con/sin reflector.

Problema 3.2 Un reactor de Uranio-grafito desnudo, de forma cubica, alcanza lacriticidad cuando la longitud de su arista es igual a 560 cm; contiene entonces 50toneladas de combustible. Estimar la masa critica de combustible, en el caso de queel nucleo del reactor este completamente rodeado por un reflector de grafito de 100cm de espesor, sabiendo que la longitud de emigracion de los neutrones en grafito esdel orden de 57 cm

Teniendo en cuenta que la relacion entre T , grosor del reflector, y Lr, longitud dedifusion en el reflector, T/Lr = 2, es grande, se puede considerar el reflector comogrueso. Ademas, teniendo en cuenta que el moderador y el reflector son ambos aguapesada, y por tanto los coeficientes de difusion no difieren mucho, el resultado quese obtiene es,

δ ≈D

Drth

T

Lr≈ Lr

Ademas, como el ahorro se aplica a cada cara del cubo, la masa critica con reflectorsera,

M = 50

(

560 − 2 · 54

560

)3

= 26toneladas

61


Figura 3.21: Perfiles radial y axial del flujo neutronico en un reactor cilındrico con/sinreflector.

62

Tema 4. Seccion 3.4. Teorıa de la difusion de tres grupos

3.4. Teorıa de la difusion de tres grupos

Por simplicidad solo se muestran las ecuaciones del rector virtual para el reactortermico homogeneo. En este caso las ecuaciones son, χr = 1,χe = 0,χt = 0 ,

Neutrones rapidos,

Dr∇2ϕr(~r) − Σa,rϕr(~r) − Σs,r→eϕr(~r) − Σs,r→tϕr(~r)

+1

k[νtΣf,tϕt(~r) + νeΣf,eϕe(~r) + νrΣf,rϕr(~r)] = 0

Neutrones epitermicos,

De∇2ϕe(~r) − Σa,eϕe(~r) − Σs,e→tϕe(~r) + Σs,r→eϕr(~r) = 0

Neutrones termicos,

Dt∇2ϕt(~r) − Σa,tϕt(~r) + Σs,r→tϕr(~r) + Σs,e→tϕe(~r) = 0

Este sistema de ecuaciones se puede expresar como,

Aνe

kefΣf,e

νt

kefΣf,t

Σs,r→e −DeB2 − Σa,e − Σs,e→t 0

Σs,r→t Σs,e→t −DtB2 − Σa,t

ϕr(~r)

ϕe(~r)

ϕt(~r)

= 0

Donde A = −DrB2 − Σa,r − Σs,r→e − Σs,r→t +

νr

kefΣf,r

La constante efectiva se obtiene como en el caso anterior, buscando la kef que haceel determinante nulo,

(

−DrB2 − Σa,r − Σs,r→e − Σs,r→t +

νr

kefΣf,r

)

(

DeB2 + Σa,e + Σs,e→t

) (

DtB2 + Σa,t

)

+νe

kefΣf,eΣs,r→e

(

DtB2 + Σa,t

)

+νt

kef

Σf,t

[

Σs,r→eΣs,e→t +(

DeB2 + Σa,e + Σs,e→t

)

Σs,r→t

]

= 0

obteniendo,

63

Tema 4. Seccion 3.5. Tecnicas de resolucion espacial

kef =νrΣf,r

DrB2 + Σa,r + Σs,r→e + Σs,r→t

+νeΣf,eΣs,r→e

(DrB2 + Σa,r + Σs,r→e + Σs,r→t) (DeB2 + Σa,e + Σs,e→t)

+νtΣf,t[Σs,r→eΣs,e→t + (DeB

2 + Σa,e + Σs,e→t)Σs,r→t]

(DrB2 + Σa,r + Σs,r→e + Σs,r→t) (DeB2 + Σa,e + Σs,e→t) (DtB2 + Σa,t)

Recordemos que en el caso de dos grupos la expresion era,

kef =νrΣf,r


νtΣf,tΣs,r→t

(DrB2 + Σa,r + Σs,r→t) (DtB2 + Σa,t)

La comparacion del resultado de dos grupos con el de tres muestra el grado decomplejidad que va adquiriendo la kef al aumentar el numero de grupos.

Debemos recordar que todos los casos que se han resuelto de forma analıtica soncasos de reactores homogeneos. En la siguiente seccion se describe el proceso que sedebe seguir para resolver las ecuaciones de transporte, ordenadas discretas o difusionsobre una malla espacial discreta.

3.5. Tecnicas de resolucion espacial

En general, las ecuaciones de la teorıa de la difusion no se pueden resolver de formaanalıtica, debido a la complejidad geometrica y a las heterogeneidades del sistema,por ello son necesarias tecnicas numericas que permitan resolver estas ecuaciones.De entre las distintas tecnicas de resolucion podemos destacar las diferencias finitasy los metodos nodales.

3.5.1. Diferencias finitas

Para mostrar la tecnica se realiza sobre un la ecuacion unidimensional. Discretizandocon tecnica centrada (tıpica de las ecuaciones de difusion) sobre una malla espacialunidimensional, i, la ecuacion del grupo g,

∇ [Dg (x)∇ϕg (x)] − Σt,g (x) ϕg (x) +χg

k

G∑

g∗=1

νg∗Σfg∗ (x) ϕg∗ (x)

+G

∑

g∗=1

Σs,g∗→g (x) ϕg (x) = 0

64


obteniendose,

Dg,iϕg,i+1 + ϕg,i−1 − 2ϕg,i

∆x2− Σt,g,iϕg,i +

χg

k

G∑

g∗=1

νg∗Σfg∗,iϕg∗,i

+G

∑

g∗=1

Σs,g∗→g,iϕg,i = 0

El numero de ecuaciones es n = g × i . Para obtener kef es necesario resolver eldeterminante de orden n . Para el caso tridimensional el orden de la matriz seran = g × i × j × k , siendo i, j y k el numero de nodos en las direcciones X,Y y Z.Esta tecnica presenta serias limitaciones ya que el tamano del mallado tiene que serdel orden del recorrido libre medio de los neutrones que es del orden de 3 cm en losLWR. Este problema se puede resolver con las tecnicas nodales, que se describen acontinuacion.

3.5.2. Metodos nodales

La idea consiste en resolver la ecuacion de difusion usando una matriz de nodosgrandes definiendo balances neutronicos basados en flujos medios en el nodo. Sinembargo el problema aparece en los terminos de fuga (corrientes neutronicas), yaque la corriente neutronica entre dos nodos vecinos no se puede expresar en funcionde los flujos medios.

Figura 3.22: Problema de la tecnica nodal.

Este problema se puede solucionar de varias maneras:

Metodos clasicos: La forma en el interior se supone plana y el acoplamiento en-tre nodos se realiza a traves de unas constantes de acoplamiento precalculadasu obtenidas de algun caso de referencia.

65


Metodos modernos: Se incluye una forma aproximada del flujo en el propioesquema de calculo del que se pueden deducir las corrientes, esto genera masde una incognita por nodo. Ejemplos: NEM (Nodal Expansion Method) y ANM(Analytical Nodal Method).

66

Tema 4. Seccion 3.6. Problemas. Aplicaciones de la teorıa de la difusion.

3.6. Problemas. Aplicaciones de la teorıa de la

difusion.

Problema 3.3 Una fuente puntual que emite 1013 neutrones/s se encuentre inm-ersa en agua que actua de moderador y absorbente.

Se pide:

Calcular la tasa de neutrones que saldrıan de una esfera de agua de radio 2 m querodea la fuente neutronica. Sabiendo que los valores medios aproximados para elagua en este caso son, L = 3 cm y D = 0,3 cm.

Para resolverlo se da la siguiente ayuda:

Recordando que la ecuacion de un grupo con presencia de fuente es,

∇(D(~r)∇φ(~r)) − Σa(~r)φ(~r) +νΣf (~r)

kφ(~r) + S(~r) = 0

Como el medio es homogeneo, D(~r) = D y Σa(~r) = Σa, no hay fisiones, Σf (~r) = 0,y la fuente es puntual, S(~r) = Sδ(~r), la ecuacion queda,

D∇2φ(~r) − Σaφ(~r) + Sδ(~r) = 0

La solucion de esta ecuacion en coordenadas esfericas es,

φ(r) =Se−r/L

4πDr

donde S son los neutrones/s emitidos por la fuente.

Solucion:

Los neutrones por segundo que atraviesan la unidad de superficie viene dado por lacorriente neutronica,

f = ~J(R) · ~es = −D~∇φ(R) · ~es

Por otra parte el flujo solo depende de la variable radial (simetrıa esferica),

~∇φ(r) =

(

dφ(r)

dr, 0, 0

)

El vector normal a la superficie de la esfera en coordenadas esfericas es,

~es = (1, 0, 0)

67


De esta forma, operando en (3.3), queda,

f = −Ddφ(r)

dr

∣

∣

∣

∣

r=R

Por lo que solo hace falta calcular la derivada,

dφ(r)

dr=

S

4πD

d

dr

(

e−r/L

r

)

= −S

4πD

(

1

r2+

1

rL

)

e−r/L

Sustituyendo,

f =S

4π

(

1

R2+

1

RL

)

e−r/L neutrones

cm2s

Multiplicando por el area de la esfera y sustituyendo,

Fugas = 4πR2 S

4π

(

1

R2+

1

RL

)

e−r/L =S

4π

(

1 +R

L

)

e−r/L

= 7,54 · 10−15 neutrones

s

Se observa que la cantidad de neutrones que salen de la esfera es muy pequena, comoera de esperar en un sistema con un radio muy grande respecto de su longitud dedifusion.

Problema 3.4 Supongase que se tiene un reactor homogeneo sin reflector con unacomposicion similar a la de un reactor PWR. Utilizando la teorıa de difusion de ungrupo, y sabiendo que:

Sus parametros basicos para la teorıa de difusion de un grupo son aproximada-mente2,

Σf = 0,0628 cm−1 ν = 2,5 Σa = 0,1532 cm−1 D = 9,21 cm d = 2D

El Laplaciano geometrico de un reactor cilındrico es,

B2g =

(

2,405

Re

)2

+

(

π

He

)2

donde el subındice e indica que son distancias extrapoladas.

2Para mas detalles, ver Duderstadt pp. 210-211.

68


El Laplaciano geometrico de un reactor esferico es,

B2g =

(

π

Re

)2

La relacion entre el flujo medio y el flujo maximo para un reactor esferico es(suponiendo despreciable la distancia extrapolada para este calculo),

φmax

φ= 3,29

El perfil espacial del flujo neutronico en un reactor esferico en la teorıa de ungrupo es,

φ(r) =φmaxRc

πrsin

(

πr

Re

)

Se pide:

1. Calcular la k∞, y la probabilidad de permanencia, probabilidad de fuga yLaplaciano material, B2

m, suponiendo que el reactor es crıtico.

2. Suponiendo que el reactor es cilındrico y que tiene una altura, H= 370 cm,calcular el radio crıtico del reactor y su volumen.

3. Suponiendo que el reactor es esferico, calcular el calcular el radio crıtico delreactor y su volumen.

4. ¿Cual es la relacion entre las masas de combustible de los apartados 2 y 3?,¿Que conclusion se obtiene?.

5. ¿Cual es el flujo en el centro del reactor esferico suponiendo que la potenciaes de 3000 MWt ?

6. ¿Cuantos neutrones por segundo fugan del reactor esferico (calcularlo a partirde la corriente neutronica)?

7. ¿Cuantos neutrones por segundo se generan en el reactor esferico?

8. ¿Cuantos neutrones por segundo son absorbidos en el interior del reactoresferico?

Solucion:

1. Aplicando la teorıa de difusion de un grupo,

69


Calculo de k∞.

k∞ =νΣf

Σa= 1,025

Calculo de P .

Como el reactor esta crıtico, kef = 1,

kef = Pk∞ = 1 ⇒ P =1

k∞

= 0,9756

Calculo de F .

F = 1 − P = 0,02439

Calculo de B2m.

B2m =

k∞ − 1

L2=

νΣf − Σa

D= 4,13 × 10−4cm−2

2. La condicion de criticidad es, B2g = B2

m, y como el reactor es cilındrico,

B2g =

(

2,405

Re

)2

+

(

π

He

)2

= B2m

Calculando la altura extrapolada, He = H + 2d = H + 4D = 406,84 cm , ydespejando,

Re =2,405

√

B2m −

(

π

He

)2= 127,93 cm

Por tanto,

R = Re − d = Re − 2D = 109,51 cm

El valor del radio que se obtiene es inferior al tıpico de un PWR, RPWR = 180cm. Este resultado muestra la limitacion del modelo de un grupo energeticopara realizar calculos cuantitativos en analisis de reactores.

El volumen de este reactor es,

Vcilindro = πR2H = 13,94m3

70


3. Si el reactor es esferico,

B2g =

(

π

Re

)2

= B2m

Despejando,

Re = 154,58 cm

Por tanto el radio es,

R = Re − d = Re − 2D = 136,17 cm

y el volumen,

Vesfera =4

3πR3 = 10,57 m3

4. Como la composicion es la misma en ambos casos, la relacion de masas seraigual a la relacion de volumenes,

Mc,esfera

Mc,cilindro=

Vesfera

Vcilindro= 0,758

Por lo tanto, si el reactor fuera esferico, necesitarıamos un 25 % menos decombustible.

5. Como la potencia es de 3000 MWt, en el caso del reactor esferico,

fisiones/s = 3,1 · 1010P (W ) = Σf φVesfera

⇒ φesfera =3,1 · 1010P (W )

ΣfVesfera

= 1,4 · 1014 neutrones

cm2s

Como la relacion entre flujo maximo y medio es,φmax

φ= 3,29, entonces,

φmax = 3,29 φ = 4,6 · 1014 neutrones

cm2s

6. Los neutrones por unidad de superficie que fugan del reactor vienen dados por,

f = ~J(R) · ~es = −D~∇φ(R) · ~es

71


Por otra parte, el flujo solo depende de la variable radial (simetrıa esferica),

~∇φ(r) =

(

dφ(r)

dr, 0, 0

)

Como el vector normal a la superficie de la esfera en coordenadas esfericas es,~es = (1, 0, 0), por tanto,

f = −Ddφ(r)

dr

∣

∣

∣

∣

r=R

y calculando la derivada,

dφ(r)

dr= φmax

Re

π

(

−1

r2sin

πr

Re+

π

Rercos

πr

Re

)

queda,

f = −DφmaxRe

π

(

−1

R2sin

πR

Re+

π

ReRcos

πR

Re

)

Siendo las fugas a traves de toda la superficie,

Fugas = −4πR2DφmaxRe

π

(

−1

R2sin

πR

Re+

π

ReRcos

πR

Re

)

= 4DReφmax

(

sinπR

Re−

πR

Recos

πR

Re

)

Sustituyendo los valores,

Fugas = 7,7 · 1018 neutrones

s

7. Neutrones generados por segundo en el reactor esferico,

Generados = νΣf φV = 2,32 · 1020 neutrones

s

8. Neutrones absorbidos en el reactor esferico,

Absorbidos = ΣaφV = 2,267 · 1020 neutrones

s

72


Se observa que el balance,

Generados = Absorbidos + Fugados

no se cumple, ya que en el calculo de los fugados se ha utilizado,φmax

φ= 3,29, que

se obtiene suponiendo que R = Re.

Problema 3.5 Calcular que masa debe tener una esfera de Pu239 para que elsistema sea crıtico.

Datos:3 D = 0,591 cm, L2 = 7,848 cm2, k∞ = 2,58, d = 2D, B2g = (

π

Re)2,

ρPu = 19,6g

cm3.

Solucion:

La condicion de criticidad es, B2g = B2

m,

(

π

Re

)2

=k∞ − 1

L2

Despejando,

Re = π

√

L2

k∞ − 1

Como, R = Re − d = Re − 2D, el radio es,

R = π

√

L2

k∞ − 1− 2D = 5,82 cm

y la masa,

M = ρ4π

3R3 = 16,2 kg

Se puede observar que el volumen que ocupa la esfera de Pu es bastante pequeno.

73


Problema 3.6 Considerese un reactor compuesto por celdas identicas que con-tienen combustible y moderador. Cada celda consiste en una region central ocupadapor el combustible de grosor a, y rodeado a su vez por un moderador de espesor b.Cerca del centro del reactor, se puede suponer que todas las celdas se comportanigual, ya que el reactor es grande. De esta forma la distribucion de flujo en cadacelda central se puede calcular de forma independiente.

Figura 3.23: Sistema periodico combustible-moderador.

Se pide:

1. ¿Cuales son las ecuaciones del flujo en cada region, suponiendo estado esta-cionario?

2. ¿Cuales son las condiciones de contorno?

Solucion:

1. Las ecuaciones en la zona del combustible y del moderador son, suponiendo reactorcrıtico,

Combustible

Dcom∂2φcom(x)

∂x2+ (νΣcom

f − Σcoma )φcom(x) = 0

Moderador

Dmod ∂2φmod(x)

∂x2− Σmod

a φmod(x) = 0

3Los valores estan ajustados para obtener el valor real.

74


2. Condiciones de contorno

Continuidad del flujo φmod(a/2) = φcom(a/2)

Continuidad de la corriente neutronica Jmod(a/2) = Jcom(a/2)

Corriente nula en las fronteras de celda. Jmod(a/2 + b) = 0

La ultima condicion es debida a que entran tantos neutrones como salen debido aque las celdas son identicas y estamos en la zona central del reactor.

Problema 3.7 Las ecuaciones para un reactor homogeneo en la teorıa de dos gruposson,

Dr∇2φr(~r) − Σa,rφr(~r) − Σs,r→tφr(~r) +

1


Dt∇2φt(~r) − Σa,tφt(~r) + Σs,r→tφr(~r) = 0

y la expresion de la kef ,

kef =νrΣf,r


νtΣf,tΣs,r→t

(DrB2 + Σa,r + Σs,r→t)(DtB2 + Σa,t)

Supongamos que el reactor es esferico. Por tanto, el Laplaciano geometrico es,

B2g = (

π

Re)2. El perfil espacial es,

φg(r) = φg,maxRc

πrsin

πr

Rc

y la relacion entre el flujo maximo y el medio,

φmax

φ= 3,29

.

Datos:

Las constantes de un determinado LWR son4, Dr = 1,40 cm, Dt = 0,4 cm,Σa,r = 0,0095cm−1, Σa,t = 0,09cm−1, νrΣf,r = 0,0065cm−1, νtΣf,t = 0,14cm−1,Σs,r→t = 0,0166cm−1.

Se pide:

4En Duderstadt pp. 312 se pueden ver otros valores.

75


1. Calcular el valor del Laplaciano geometrico para que el reactor sea crıtico.

2. Despreciando la distancia extrapolada, obtener el radio del reactor. Comprobarque la distancia extrapolada era despreciable.

3. Relacion entre el flujo rapido y el flujo termico.

4. Suponiendo que el flujo total medio es 1,4 · 1014 neutrones

cm2s, calcular el perfil

espacial rapido, termico y total.

5. Calcular todas las tasas de reaccion en el reactor, totales y por unidadde volumen de neutrones generados en las fisiones, neutrones absorbidosy neutrones moderados. A partir de los resultados anteriores calcular losneutrones fugados por segundo del reactor.

Solucion:

1. Sustituyendo los valores se obtiene la siguiente ecuacion,

0,56B4 + 0,13384B2 − 0,00056 = 0

Siendo la unica raız real,

B2g = 0,004113 cm−2

2. Despejando de la expresion del Laplaciano geometrico,

R = Re =π

√

B2g

= 48,98 cm

y el volumen,

V =4

3πR3 = 0,4922 m3

3. Teniendo en cuenta que, ∇2φt(~r) + B2φt(~r) = 0, la ecuacion de los neutronestermicos queda,

−DtB2φt(~r) − Σa,tφt(~r) + Σs,r→tφr(~r) = 0

Despejando,

φr(~r)

φt(~r)=

DtB2 + Σa,t

Σs,r→t

= 5,5208

76


4. El perfil espacial de los flujos viene dado por,

φg(r) = φg,maxRc

πrsin

πr

Rc

Por tanto, es necesario conocer el valor maximo, y para ello el valor medio,

φtotal = φr + φt = 6,5208φt ⇒ φt = 2,14 · 1013 neutrones

cm2s

φr = φtotal − φt = 11,85 · 1013 neutrones

cm2s

Por tanto, los valores maximos son,

φtotal,max = 4,606 · 1014 neutrones

cm2s

φr,max = 3,9 · 1014 neutrones

cm2s

φt,max = 0,706 · 1014 neutrones

cm2s

Y los perfiles espaciales,

Total.

φtotal(r) = φtotal,maxR

πrsin

πr

R=

71,81

rsin(0,064r)

Rapido.

φr(r) = φr,maxR

πrsin

πr

R=

60,79

rsin(0,064r)

Termico.

φt(r) = φt,maxR

πrsin

πr

R=

11,01

rsin(0,064r)

5. Las tasas de reaccion son,

a) Por unidad de volumen:

77


Neutrones producidos en la fisiones.

nfisiones = νrΣf,rφr + νtΣf,tφt = 3,76 · 1012 neutrones

cm3s

Neutrones absorbidos.

nabsorbidos = Σa,rφr + Σa,tφt = 3,05 · 1012 neutrones

cm3s

Neutrones moderados.

nmoderados = Σs,r→tφr = 1,96 · 1012 neutrones

cm3s

b) En todo el volumen:

Neutrones producidos en la fisiones.

nfisiones = (νrΣf,rφr + νtΣf,tφt)V = 1,85 · 1018 neutrones

s

Neutrones absorbidos.

nabsorbidos = (Σa,rφr + Σa,tφt)V = 1,50 · 1018 neutrones

s

Neutrones moderados.

nmoderados = Σs,r→tφrV = 0,96 · 1018 neutrones

s

c) Los neutrones fugados los obtenemos por balance, al ser el reactor crıtico,

fugados = generados− absorbidos = 0,35 · 1018 neutrones

s

78

Seccion 4

Metodologıa y programas desimulacion para el calculo delesquema de recarga.

Indice4.1. Metodologıa de calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2. Codigos neutronicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1. Metodologıa de calculo

El problema principal del analisis de la recarga es calcular el perfil neutronico enel reactor. A partir de este se pueden calcular cantidades de diseno tales comola distribucion de potencia, las tasas de quemado en los distintos elemento decombustible del reactor (que dependeran de la situacion geometrica de cada elementoy del enriquecimiento de cada uno de ellos), ası como los coeficientes de reactividadque se utilizan en los estudios dinamicos. Los datos de partida son las librerıasde secciones eficaces y los datos de ingenierıa que describen la estructura y lasdimensiones del nucleo del reactor.

Como no se puede obtener una solucion directa de la ecuacion del transporte, serealiza un proceso de calculo dividido en varios pasos. En la Figura 4.1 se representael esquema de la metodologıa de calculo de la recarga. A continuacion se analizaesta metodologıa, representandose dentro de un rectangulo los numeros y letrasque aparecen en la Figura 4.1.

La filosofıa general del calculo es comenzar con sistemas pequenos, como una barritade combustible 2 , pasar a sistemas intermedios, como los elementos de combustible

3 , y finalmente resolver el reactor completo 4 . Mientras el tamano del sistema

79

Tema 4. Seccion 4.1. Metodologıa de calculo

aumenta el numero de grupos energeticos disminuye y la malla espacial se vuelvemas burda.

Figura 4.1: Esquema de la metodologıa del calculo de la recarga.

80


Figura 4.2: Esquema de calculo de celda - elemento - nucleo.

0 Bases de datos de secciones eficaces. Para comenzar el calculo es necesariodisponer de una base de datos de secciones eficaces.

La base de datos Evaluated Nuclear Data File (ENDF) es una de las mayoresrecopilaciones de secciones eficaces de unos 80 nucleidos, para todas las interaccionesnecesarias y en funcion de la energıa. Dentro de las ENDF se distinguen1 la ENDF/Ay ENDF/B:

ENDF/A: Contiene conjuntos completos e incompletos de diversos isotopos.Algunos no estan comprobados.

ENDF/B: Esta base de datos proporciona un unico y completo conjunto devalores para utilizar en el diseno nuclear.

1 Calculo de librerıas condensadas. En un primer paso se calculan lassecciones eficaces en mezclas homogeneas. Esta librerıa de secciones eficaces seutiliza para periodos de muchos anos. Las secciones eficaces de los distintos gruposse obtienen mediante la ecuacion,

1Mas detalles en Martınez Val, 12-4.

81


σx,g =

∫

∆Eg

ϕ(E)σx(E)dE∫

∆Eg

ϕ(E)dE

Donde σx(E) se obtiene de la informacion de las ENDF/B, y ϕ(E) es el espectrotıpico del grupo g. Si el numero de grupos es suficientemente alto se puede considerarque el espectro energetico del flujo es constante, evitando la dependencia de la seccioneficaz respecto del espectro tıpico del grupo g. El numero de grupos energeticosutilizados puede ser del orden de 1000.

2 Calculos de celda. Con las distintas secciones eficaces calculadas en elpaso anterior es posible calcular el perfil espacial del flujo para distintos gruposenergeticos, entre 20 y 100 grupos, en cada uno de los tipos de celda. Estos tipos decelda vienen determinados por los siguientes parametros,

Los distintos grados de enriquecimiento.

Composicion isotopica.

Segun el quemado.

Condiciones de moderacion.

Porcentaje de gadolinio.

El numero de celdas que se resuelve en un caso real es del orden de 20-25 hastaun maximo de 60. Para obtener el perfil espacial del flujo en las celdas se utilizanmodelos 1-D (2-D a lo sumo) con 10 puntos radiales aproximadamente. Se resuelvela ecuacion del transporte por probabilidad de colision (basado en la forma integralde la ecuacion del transporte) o Sn.

A Condensacion y homogeneizacion. Para poder continuar el calculo esnecesario pasar a una estructura mas compleja: el elemento combustible. A cambiode aumentar la complejidad estructural del sistema es necesario disminuir el numerode grupos y utilizar una malla espacial mas burda. Para ello se realizan los procesosde condensacion en grupos energeticos y homogeneizacion en el espacio:

La condensacion se realiza mediante el pesado con el flujo neutronico, verFigura 4.4, segun la ecuacion,

Σx,G =

∑

g∈G

φgΣx,g

∑

g∈G

φg

82


Resonancia (epitérmicos)

Rápidos

Resonancia

Rápidos

Térmicos

Térmicos

Figura 4.3: Perfil del flujo neutronico para distintos grupos energeticos dentro deuna celda de combustible.

La homogeneizacion de distintas regiones de material, i, en una region I serealiza mediante un pesado en el flujo y los volumenes de las distintas regiones,como se puede ver en las Figuras 4.5 y 4.6, segun la ecuacion,

Σx,I =

∑

i∈I

Σx,iφiVi

∑

i∈I

φiVi

El proceso de homogeneizacion preserva las tasas de reaccion en la zonahomogeneizada.

83


U Uσ σ

Figura 4.4: Condensacion de las secciones eficaces.

Figura 4.5: Homogeneizacion en una celda de combustible.

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Figura 4.6: Efecto de la homogeneizacion en un grupo de varillas sobre el flujoneutronico rapido y termico.

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3 Calculos de elemento. Una vez se han obtenido las secciones eficaces

promediadas del paso A , se calculan los flujos neutronicos en los elementoscombustibles.

En este caso se resuelve el problema 2-D del flujo neutronico mediante tecnicas detransporte —probabilidad de colision u ordenadas discretas, Sn—, o difusion. Elnumero de grupos energeticos es de 3 a 12. El numero de puntos en la malla es deuno o dos puntos por celda de combustible, uno por vaina y uno por moderador.Por ejemplo, en un PWR se tienen 264 celdas.

Una vez se conoce el flujo neutronico, se realimenta con el paso anterior para teneren cuenta el quemado en distintos instantes del ciclo del combustible del reactor.

Figura 4.7: Tipos de elementos BWR (secciones transversales).

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Figura 4.8: Perfil normalizado del flujo neutronico dentro de un elemento PWR.

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Figura 4.9: Perfil de potencia y tasa de fision en elementos BWR

88


B Condensacion y homogeneizacion. Similar al paso A . Ver Figura 4.10.

Núcleo con 157 elementos

Homogeneización

Elemento 17x17

Figura 4.10: Homogeneizacion en un elemento de combustible.

4 Calculo del reactor. Una vez se han promediado las secciones eficaces en el

paso B se procede a obtener el perfil espacial 3-D del flujo neutronico en el reactory su kef .

Para ello se utilizan modelos de difusion de pocos grupos 2-3, que se resuelven contecnicas nodales.

Se toman 20 nodos axiales en cada elemento. A su vez, para cada altura axial, elelemento se subdivide en cuatro cuadrantes (es decir, 20×4 = 80 nodos por elementocombustible), en un PWR. En un BWR no se subdivide —solo tiene los 20 nodosaxiales—, ya que el tamano del elemento es mucho mas pequeno.

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(a) BWR

(b) PWR

Figura 4.11: Nucleos de reactores LWR.

90


Figura 4.12: Perfil radial normalizado de la potencia en un PWR. Variacion con elquemado.

Figura 4.13: Variacion del quemado a lo largo del ciclo en un esquema de bajas fugas.

91

Tema 4. Seccion 4.2. Codigos neutronicos

♦Ejemplo 4.1 Condensado de dos grupos a un grupo Las ecuaciones algebraicas delmodelo de dos grupos para el caso homogeneo son:

−DrB2rφr(~r) − Σa,rφr(~r) − Σs,r→tφr(~r)

+1


−DtB2t φt(~r) − Σa,tφt(~r) + Σs,r→tφr(~r) = 0

De esta ultima ecuacion se puede obtener la relacion entre ambos flujos,

φr =DtB

2t + Σa,t

Σs,r→t

φt

La seccion eficaz macroscopica de absorcion de un grupo obtenida por condensadode dos grupos es,

Σa =Σa,rφr + Σa,tφt

φr + φt

=

Σa,rDtB

2t + Σa,t

Σs,r→t

+ Σa,t

DtB2t + Σa,t

Σs,r→t+ 1

=Σa,r(DtB

2t + Σa,t) + Σa,tΣs,r→t

DtB2t + Σa,t + Σs,r→t

4.2. Codigos neutronicos

Los programas de simulacion neutronica se pueden clasificar de diversas maneras.Por ejemplo una clasificacion puede ser: Codigos de celda, codigos de elemento,codigos de nucleo y codigos dinamicos.

Codigos de celda

Codigos neutronicos. Analisis de elemento

Los codigos de celda se utilizan muy a menudo tambien para el analisis deelemento aunque hay otros especıficos como APOLLO y COBAYA (ETSII-UPM).

92


Codigos neutronicos. Simuladores de nucleo.

Los codigos de celda y de nucleo se utilizan de forma conjunta dentro deuna metodologıa. Ejemplos: BNFL/Westinghouse:PHOENIX/ANC; GE/GNF: TGBLA-6/PANACEA-11 para BWR; BritishEnergy/Tractebel: WINS/PANTHER para PWR; PHOENIX/POLCA-7;CASMO/SIMULATE; NEUPHYS/COS3D

Codigos neutronicos. Simuladores dinamicos.

Los codigos dinamicos sirven para analizar la evolucion tridimensional de lapotencia en el interior del nucleo.

Los codigos dinamicos de Westinghouse son SPNOVA y TWINKLE que seutilizan para los analisis de diseno y recarga. El que se utiliza en GE esPANAC11 (PANACEA).

Before Rod Ejection

0.115 s after Rod Ejection

0.182 s after Rod Ejection

Rel

ativ

e P

ow

er

Figura 4.14: Simuladores dinamicos. Secuencia de expulsion de un haz de barras

93


Codigo Caracterısticas Suministrador Disponibilidad Usuarios

CASMO-4 Codigo de celda(Transporte-2D) engeometrıarectangular(hexagonal)

Studsvik comercial Ampliamenteutilizado

HELIOS Codigo de celda(Transporte-2D) parageometrıasgeneralizadas

Studsvik comercial Primeras apli-caciones enel proceso delicenciamiento einvestigacion

WIMS7 Codigo de celdapara variasgeometrıas,Metodos: Di-fusion,transporte,Monte Car-lo,hıbrido

AEA Technolo-gy,UK

comercial

CPM-3 Codigo de celda(Transporte) engeometrıa rect-angular, genera2-grupos XSec

EPRI comercial bajo desarrollo

BOXER Codigo de celda(Transporte) engeometrıa rect-angular, genera2-grupos XSec

NEA (PSI) no-comercial pocos usuarios(academicos)

Tabla 4.1: Codigos de celda

94



SIMULATE-3 Nodal 3D2-grupos paraPWR y BWR

Studsvik comercial Ampliamenteutilizado en laindustria

PRESTO-2 Nodal 3D2-grupos paraPWR y BWR

Studsvik comercial Primeras apli-caciones en elproceso de li-cenciamiento

Panther Nodal 3D2-grupos paraPWR y BWR

AEA Technol-ogy

comercial

CORETRAN-01 Nodal 3D2-grupospara PWR yBWR,readsCPM-3 XSec

EPRI commercial bajo desarrollo

SILWER Nodal 3D2-grupos paraPWR y BWR

NEA (PSI) no-comercial pocos usuarios(academicos)

Tabla 4.2: Codigos de nucleo


PARCS Nodal 3D 2-grupos paraBWR y PWR

Purdue Univer-sity

investigacion -CAMP

Empresas yuniversidades

SIMULATE-K Nodal 3D 2-grupos paraPWR y BWR;parte delpaquete CAS-MO/SIMULATE

Studsvik comercial pocas apli-caciones enel proceso delicenciamiento,S3R tiemporeal

ARROTTA Nodal 3D 2-grupos paraPWR y BWR

EPRI comercial bajo desarrollo

PANTHER Nodal 3D,PWR y BWR

AEA Tech. comercial Utilizado enUK comoreferencia enbenchmarks

NESTLE 5 Nodal 3Dnumero ba-jo de grupos(PWR y BWR)

INL-NEA no-comercial,NEA versionpublica

Integrado enla versiondel DOE deRELAP5

Tabla 4.3: Codigos neutronicos dinamicos

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ENERGÍA NUCLEAR Y CICLO DE COMBUSTIBLE · PDF fileENERGÍA NUCLEAR Y CICLO DE COMBUSTIBLE Tema 4: Gestión del combustible nuclear. Teor´ıas del transporte y la difusión multigrupo