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DPS1037 – SISTEMAS DA QUALIDADE II
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO – CT/UFSM
Morgana Pizzolato, Dra.
Aula 02 – Revisão de Estatística
Cronograma parcial – DPS1037
Data Aula Conteúdo
10/ago 1 Introdução à Engenharia da Qualidade
12/ago 2 Revisão de estatística
17/ago 3 Exercícios - Revisão de estatística
19/ago 4 Introdução ao controle estatístico da qualidade
24/ago 5 CC para variáveis (média e amplitude) e estudos de capacidade
26/ago 6 Exercícios - CC para variáveis (média e amplitude) e estudos de
capacidade
31/ago 7 CC para variáveis (média e desvio; mediana e amplitude; valores
individuais e amplitude)
2/set 8 Exercícios - CC para variáveis (média e desvio; mediana e
amplitude; valores individuais e amplitude)
7/set Feriado
9/set 9 CC para atributos
14/set 10 Exercícios - CC para atributos
16/set 11 Aplicativos computacionais para CEP
21/set 12 Prova 1
10/8/2010
2
ANÁLISE DE DADOS
1) Medidas de tendência central
2) Medidas de variabilidade
3) Histograma
4) Boxplot
5) Distribuição de probabilidade Normal
6) Gráfico de normalidade
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10
MÉDIA ARITMÉTICA
Exemplo:
Anota-se a temperatura corporal de um indivíduo
de 1 em 1 hora, durante 8 horas. Qual a
temperatura média do indivíduo?
n = 8 (tamanho da amostra)
xi = 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39 em ºC (valores
observados)
10/8/2010
n
i
ixn
x1
1
Cx 387
39393739383737
12
MEDIANA
Exemplo:
Qual a mediana da temperatura corporal do indivíduo?
n = 7 (tamanho da amostra é ímpar)
xi = 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39 em ºC (valores
observados)
xi = 37, 37, 37, 38, 39, 39, 39 em ºC (valores
observados ordenados)
10/8/2010
parn
ímparnxx
x
xnn
n
2
~)12/()2/(
)2/)1((
Cx 38~
13
MODA
Exemplo:
Qual a moda da temperatura corporal do indivíduo?
n = 7 (tamanho da amostra)
xi = 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39 em ºC (valores observados)
xi = 37, 37, 37, 38, 39, 39, 39 em ºC (valores observados
ordenados)
M = 37 e 39
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14
RELAÇÃO ENTRE MÉDIA E MEDIANA
A mediana é mais robusta a dados atípicos
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Simétrica Forma de Sino
Assimétrica à Direita Assimetria Positiva
Assimétrica à Esquerda Assimetria Negativa
xx~
x~ x x x~
A Distribuição simétrica 10 12 14 16 18 14~ 14 xx
B Distribuição assimétrica à direita 10 12 14 16 23 14~ 15 xx
C Distribuição assimétrica à esquerda 05 12 14 16 18 14~ 13 xx
15
MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE)
Observações individuais apresentam alguma
dispersão em torno do valor médio
Dispersão ou variabilidade das observações
Amplitude
Quartil
Variância e desvio-padrão
Coeficiente de Variação
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16
AMPLITUDE
R = Xmax - Xmin
Exemplo
xi = 8,5; 8,7; 8,9; 10,1; 10,5; 10,7; 11,5; 11,9
R = 11,9 - 8,5 = 3,4
10/8/2010
17
QUARTIL
É qualquer um dos três valores que divide o conjunto
ordenado de dados em quatro partes iguais
cada parte representa 1/4 da amostra ou população
1º quartil ou quartil inferior (Q1) = valor aos 25% da amostra
ordenada
2º quartil ou mediana (Q2) = valor até ao qual se encontra 50% da
amostra ordenada
3º quartil ou quartil superior (Q3) = valor a aos 75% da amostra
ordenada
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18
EXEMPLO DE CÁLCULO DOS QUARTIS
xi = 36, 40, 7, 41, 15, 39 (valores observados)
xi = 7, 15, 36, 39, 40, 41 (valores observados ordenados)
Q1 = 15
Q2 = (39+36)/2 = 37,5
Q3 = 40
Amplitude (intervalo) interquartílica: Q3-Q1 (40 - 15 = 25)
use a mediana para dividir os dados ordenados em duas metades, não inclua a mediana nas metades
o quartil inferior (ou superior) é a mediana da metade inferior (ou superior)
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19
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
10/8/2010
2
2 1
2
2 1
( )
1
( )
n
i
i
n
i
i
x x
sn
x
n
2
1
2
1
( )
1
( )
n
i
i
n
i
i
x x
sn
x
n
20
EXEMPLO DE VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
xi = 10, 12, 14, 16, 18 (cm)
A média e o desvio padrão possuem a mesma unidade de medida
Os desvios de cada valor em relação à média totalizam zero pois a
média é o valor central
10/8/2010
14cmx
2 2 2 2 22 2(10 14) (12 14) (14 14) (16 14) (18 14)
9,98 cm5 1
s
29,98 3,16 cms
21
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Um desvio padrão pode ser considerado grande ou pequeno
dependendo da ordem de grandeza da média da variável
Quanto menor o CV mais homogêneo é o conjunto de dados
Útil para comparar resultados de amostras cujas unidades
podem ser diferentes
10/8/2010
100s
CVx
22
EXEMPLO DE COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Duas turmas de Sistemas da Qualidade II
obtiveram as seguintes notas nas avaliações:
Turma B: média = 60, desvio padrão = 5
Turma C: média = 70, desvio padrão = 10
Qual das duas turmas é relativamente mais
homogênea?
CV B = (5 / 60)*100 = 8,3%
CV C = (10 / 70)*100 = 14,3%
10/8/2010
23
BOXPLOT
Gráfico que apresenta a variabilidade de um
conjunto de dados através de 6 medidas
Exemplo: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6
10/8/2010
0
1
2
3
4
5
6
7
Dim
en
são
Valor máximo = 6
Q3 = 5
x bar = média = 3,3
Q2 = Mediana = 3
Q1 = 2
Valor mínimo = 1
25
BOXPLOT, MAIS UM EXEMPLO
10/8/2010
a b c
Q3 70 75 57
Max 100 110 90
Mediana 40 45 50
Média 40 40 50
Min 10 15 18
Q1 20 22 30
0
20
40
60
80
100
120
a b c
Q3
Max
Mediana
Média
Min
Q1
26
BOXPLOT NO EXCEL (2003)
A ordem deve ser Q3, Max, Mediana, Média, Min, Q1
Selecione todo o conjunto de dados
Selecione Inserir Gráfico, tipo Linha com marcadores exibidos a cada
valor de dado, clique Avançar
Selecione Séries em Linha, selecione Concluir
Selecione no gráfico uma série de dados, com o botão direito
selecione Formatar Série de Dados
Selecione a aba Padrões, na opção Linha selecione Nenhuma, repita
o procedimento para as demais séries
Selecione um dado e com botão direito selecione Formatar Série de
Dados, selecione a aba Opções, selecione Linhas max/min e Barras
superiores/inferiores
10/8/2010
27
BOXPLOT NO EXCEL (2007)
A ordem deve ser Q3, Max, Mediana, Média, Min, Q1
Selecione todo o conjunto de dados
Selecione Inserir Gráfico, tipo Linha com marcadores
Selecione uma seqüência, clique com botão direito, Selecionar
Dados, Alternar entre Linha/Coluna, OK
Selecione no gráfico uma série de dados, com o botão direito
selecione Formatar Série de Dados, Cor de Linha, Sem Linha, Fechar
Repita este procedimento com todas as seqüências de dados
Selecione um dado, na barra de ferramentas selecione Layout, em
Análise selecione Linhas, Linhas de Máximo e Mínimo e em Barras
Superiores e Inferiores selecione Barras Superiores e Inferiores
10/8/2010
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DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
É um modelo matemático que relaciona um certo valor da
variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência
Distribuições Discretas
quando a variável que está sendo medida só pode assumir certos
valores, como por exemplo os valores inteiros: 0, 1, 2, etc., por
exemplo, binomial, poisson
Distribuições Contínuas
quando a variável que está sendo medida é expressa em uma
escala contínua, como no caso de uma característica
dimensional, por exemplo, normal
10/8/2010
29
QUANTIFICANDO A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
10/8/2010
2,28%
99,73%
95,45%
68,27%
0 1
-z +z
-2z +2z
-3z +3z
2 3-3 -2 -1
0,13%
15,87%
50,00%
84,13%
97,72%
99,87%
2~ (0,1 )N
A tabela de distribuição
Normal reduzida
(média = 0 e variância =1)
dá as probabilidades
acumuladas de -∞ até a
a xz
32
EXEMPLO
A força de tensão de sacos plásticos de supermercado é
normalmente distribuída com média 40 lb/in2 com desvio
padrão de 2 lb/in2. O comprador exige que os sacos
tenham resistência de pelo menos 35 lb/in2. Qual a
probabilidade do produto atender a especificação?
10/8/2010
35 1 35
35 4035 2,5 ( 2,5) 0,0062
2
35 1 0,0062 0,9938
P x P x
P x P z P z
P x Função no Excel
DIST.NORMP( )
33
CONTINUANDO O EXEMPLO
10/8/2010
Distribuição para x (valores reais) Distribuição para Z (valores codificados)
2~ (40,2 )N2~ (0,1 )N
35 2,5 ( 2,5) 0,62%P x P z
34
GRÁFICO DE NORMALIDADE
Muitos testes usados partem do princípio que os
dados amostrados são provenientes de uma
população normal
deve-se testar se um conjunto de dados tem uma
distribuição normal
Métodos quantitativos
Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors e Shapiro-Wilks
Método qualitativo:
Gráfico de normalidade (Normal Probability Plot)
10/8/2010
36
CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE NORMALIDADE
Ordenar os pontos amostrados de forma crescente (xj)
Calcular zj amostral
Calcular zj teórico
Graficar zj teórico (eixo das ordenadas) versus
amostral (eixo das abscissas)
10/8/2010
1/
1
1/
1 0,51
0,31752, 3, , 1
0,365
0,5
n
j
n
jj
teórico z j nn
j n
j
j
x xamostral z
Função no Excel
INV.NORMP( )
Probabilidade teórica
para a j-ésima
ordenação
n = número de elementos
j = posição na ordenação
37
10/8/2010j xj
zj
amostral
p
teórico zj teórico
1 30,1 -1,43 0,03 -1,82
2 30,6 -1,39 0,08 -1,39
3 34,0 -1,12 0,13 -1,12
4 38,6 -0,77 0,18 -0,91
5 40,1 -0,65 0,23 -0,74
6 40,2 -0,64 0,28 -0,59
7 40,6 -0,61 0,33 -0,45
8 40,7 -0,60 0,38 -0,31
9 45,4 -0,24 0,43 -0,19
10 45,9 -0,20 0,48 -0,06
11 47,1 -0,11 0,52 0,06
12 48,8 0,03 0,57 0,19
13 51,1 0,20 0,62 0,31
14 53,6 0,40 0,67 0,45
15 53,6 0,40 0,72 0,59
16 58,3 0,76 0,77 0,74
17 59,1 0,83 0,82 0,91
18 64,3 1,23 0,87 1,12
19 65,9 1,35 0,92 1,39
20 81,4 2,56 0,97 1,82
Gráfico de Normalidade
R2 = 0,9487
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Zj teórico
Zj
am
ostr
al
Se os pontos do gráfico apresentarem
um padrão linear, então a distribuição
normal é um bom modelo para este
conjunto de dados
Dados amostrais ordenados 48,5 12,9x 38