1

1. TEMEL KAVRAMLAR

1.1 Akışkan

Devamlı hareket eden ve birbirleriyle çarpışan moleküllerin oluşturduğu akışkanlar;

sıvılar ve gazlar olmak üzere iki ana bölüme ayrılır. Sıvı, bir kapta tutulduğunda kendisini

çevreleyen kabın şeklini alır. Kabın üst yüzeyi atmosfere açık olduğunda akışkan üniform bir

yüzey oluşturur. Kap ayrıca herhangi bir yönde yan yatırıldığında, içerisindeki sıvı

dökülmeye başlar. Sıvının dökülme miktarı akıcılık özelliğine (viskozite) bağlıdır. Bir gaz

kapalı bir kapta tutulduğunda ise, gaz genişlemeye başlar ve kabı tamamen doldurur. Kap

açıldığında, içerisindeki gaz genişlemeye devam eder ve kaptan dışarı çıkmaya başlar.

Sıvılar ve gazlar arasındaki diğer önemli bir fark ise; sıvıların ihmal edilecek seviyede

az, gazların ise yüksek oranlarda sıkıştırılabilmesidir. Sıkıştırı labilirlik, basıncın

değiştirilmesiyle maddenin hacminde meydana gelen değişimi ifade eder.

Sıvılarda iç çekim kuvveti katılara oranla zayıftır. Moleküller ortam içinde yavaş

hareket ederler. Bu nedenle sıvıların belirli bir hacmi olmasına karşın, belirli bir biçimi

yoktur. Moleküller arasındaki iç çekim kuvvetinin yok denecek kadar az olduğu gazlarda ne

belirli bir hacimden, ne de belirli bir şekilden söz edilemez. Konuldukları her kabı

doldururlar. Denge konumuna geçebilmeleri için katı çeperlerle sınırlanması gerekir.

Üzerindeki basınç kalktığında bir gaz sonsuza kadar genleşir. Bu nedenle gazlar hiçbir zaman

açık yüzey oluşturmazlar.

Maddelerin sıvı ve gaz fazlarının en az birini bünyesinde bulunduran akışkan için

çeşitli tanımlar yapılmakta olup, bu tanımlardan en uygun ikisi aşağıda verilmiştir:

Tanım 1: Durgun halde sıfır kayma gerilmesine; hareket halinde ise üzerine uygulanan

kuvvetle (kayma gerilmesiyle) orantılı şekil değiştirme hızına sahip olan maddelere akışkan

adı verilir.

Tanım 2: Kayma gerilmesi uygulandığında, sürekli olarak deforme olan (yer değiştiren)

maddedir. Deformasyonun gerçekleşmesi için kayma gerilmesinin büyük olması gerekmez.

1.2 Katı ile akışkan arasındaki fark

Üzerine uygulanan kuvvetler ve kayma gerilmesi ne kadar büyük olursa olsun şekil

değiştirmeyen ve noktaları arasında hiçbir bağıl hareket olmayan nesnelere, teorik anlamda

katı cisim denir. Uygulamada kullanılan gerçek katı cisimlerin birçoğunda ise, sabit kayma

gerilmesi karşılığında, belli bir şekil değişimini takiben deformasyon sona erer. Ancak

akışkan için durum tamamıyla farklıdır: akışkan kayma gerilmesi uygulandığı sürece yer

2

değiştirmeye devam eder. Bu nedenle akışkan ‘durgun halde kayma gerilmesine karşı

koyamayan madde’ olarak da tanımlanabilir.

AF

=τ 210 ttt <<

Şekil 1.1. Katı ile akışkan arasındaki temel fark

1.3 Akışkanlar mekaniğinin uygulama alanları

Durgun ve hareket halindeki akışkan davranışlarını inceleyen bilim dalıdır. Akışkan

içeren tüm sistemler akışkanlar mekaniğinin ilgi alanı içerisindedir. Genel olarak;

• Yüksek hızlı hava hareketlerinin gerçekleştiği iklimsel olaylar (hortum, tayfun,

kasırga)

• Tüm ulaşım araçlarının dizaynı (havacılık ve uzay araçları, deniz üstü ve altı ulaşım

araçları, otomobil ve diğer kara taşıtları)

• Yüksek yada özel amaçlı bina ve köprüler (gökdelen, stadyum, asma köprüler)

• Tüm hidrolik makineler ve HVAC ekipmanları

• İnsan organlarını besleyen yapılar (kan, böbrek, akciğer, suni organlar vs.)

hortum kasırga hava taşıtı

deniz altı taşıtları kan pompalama solunum cihazı

Şekil 1.2 Akışkanlar mekaniği uygulamalarından bazıları

3

1.4. Akışkanlar mekaniği araştırma yöntemleri

Akışkanlar mekaniği araştırmalarında kullanılan yöntemler, Şekil 1.3’de gösterildiği

üzere, temel olarak üç farklı kola ayrılır: analitik, deneysel ve nümerik. Bu sınıflandırma aynı

zamanda çalışma alanlarını da belirler. Akışkanlar mekaniğinin gelişimi ağırlıklı bir şekilde

deneysel çalışmalara bağlıdır. Çünkü çok az gerçek akış yalnızca analitik metotlar

kullanılarak tamamen çözülebilir. Gerçek problemlerin çözümü, analiz ve deneysel bilgiler

içerir. Öncelikle, gerçek fiziksel akış durumu çözüm elde etmek için yeterince basit bir

matematiksel model ile yaklaşılır. Daha sonra analitik sonuçların kontrol edilmesi için

deneysel ölçümler yapılır. Ölçümlere dayanarak analizin incelikleri yerine getirilebilir.

Deneysel sonuçlar bu tasarım işleminde gereklidir. Uygun deneysel verilerin analizi yapılıp

dikkatlice incelenmeden geliştirilen deneysel dizaynların genelde maliyeti pahalı, performansı

zayıf ve kalitesi düşük olur. Diğer yandan laboratuardaki deneysel çalışmalar hem çok zaman

alır hem de pahalıdır. Son yıllarda bilgisayar ve bilgisayar yazılımlarında sağlanan hızlı

gelişmelere paralel olarak, birçok akışkanlar mekaniği probleminin karmaşık modellenmesi

ve ortaya çıkan denklemlerin nümerik olarak çözümü mümkün hale gelmiştir.

a) analitik akışkanlar mekaniği (AFD) b) deneysel akışkanlar mekaniği (EFD)

c) nümerik akışkanlar mekaniği (CFD)

Şekil 1.3 Akışkanlar mekaniği temel çalışma alanları

1.5 Akışkanlar mekaniğine katkı sağlayan bilim insanları

Akışkanlar mekaniği bilime katkı sağlamış bazı bilim insanlarına ait resimler Şekil

1.4’de gösterilmiştir. Akışkanlarla ilgili bilinen ilk çalışmalar Archimedes (MÖ 285-212)

tarafından yapılmıştır. Archimedes suyun kaldırma kuvvetinden hareketle, akışkanlar için bir

takım hesaplama yöntemleri geliştirmiştir. Ancak, akışkanlarla ilgili esas gelişmeler

Rönesans’tan sonra olmuştur. Akışkanlar mekaniğinde en önemli gelişmeyi Leonardo da

4

Vinci (1452-1519) yapmıştır. Vinci, tek boyutlu-sürekli akış için süreklilik denklemini

çıkararak dalga hareketleri, jet akışları, hidrolik sıçramalar, eddy oluşumu ve sürüklenme

kuvvetleri hakkında bilgiler vermiştir. Newton’un (1642-1727) yerçekimi kanununu

bulmasından sonra yerçekimi ivmesi de hesaplara katılmıştır.

Archimedes(C. 287-212 BC)

Newton(1642-1727)

Leibniz(1646-1716)

Euler(1707-1783)

Navier(1785-1836)

Stokes(1819-1903)

Reynolds(1842-1912)

Prandtl(1875-1953)

Bernoulli(1667-1748)

Taylor(1886-1975)

Archimedes(C. 287-212 BC)

Newton(1642-1727)

Leibniz(1646-1716)

Euler(1707-1783)

Navier(1785-1836)

Stokes(1819-1903)

Reynolds(1842-1912)

Prandtl(1875-1953)

Bernoulli(1667-1748)

Taylor(1886-1975)

Şekil 1.3 Akışkanlar mekaniği biliminin önemli insanları

Sürtünmesiz akışlarda en önemli gelişmeleri Daniel Bernoulli (1700-1782), Leonard

Euler (1707-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) ve Pier Simon Laplace (1749-1827)

yapmışlardır. Euler şimdi Bernoulli denklemi olarak bilinen bağıntıları ilk geliştirendir. Açık

kanal akışları, boru akışları, dalgalar, türbinler ve gemi sürüklenme katsayıları üzerinde

Antonie de Chezy (1718-1789), Henri Pitot (1695-1771), Wilhelm Eduard Weber (1804-

1891), James Bicheno Françis (1815-1892), Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869)

yaptıkları deneysel çalışmalarla akışkanlar mekaniğinin geliştirilmesinde önemli katkılarda

bulunmuşlardır. William Froude (1810-1879) ve oğlu Robert (1846-1924) modelleme

kanunlarını geliştirmesinden sonra, Lord Rayleigh (1842-1919) boyut analizi tekniğini ve

Osborne Reynolds (1842-1912) klasik boru deneyini (1883) geliştirerek akışkanlar

mekaniğinde çok önemli olan boyutsuz sayıları bulmuşlardır.

Henri Navier (1785-1836) ve George Stokes (1819-1903) Newtonian akışlara

sürtünme terimlerini de ilave ederek, bütün akışları analiz etmede başarıyla uygulanan ve

günümüzde Navier-Stokes denklemleri olarak bilinen momentum denklemlerini bulmuşlardır.

Ludwig Prandtl (1875-1953) yüzeye yakın yerlerde sınır tabakanın (1904) etkili olduğunu

onun dışında ise sürtünme kuvvetlerinin olmadığı durumlarda Bernoulli denkleminin

uygulanabileceğini göstermiştir. Aynı şekilde çok geniş teorik ve deneysel çalışmalar Thedore

5

von Karman (1881-1963) ve Geofrey Taylor (1886-1975)’un yanında pek çok araştırmacı

tarafından da yapılmış ve yapılmaktadır.

1.6 Akışkanlar mekaniğinde kullanılan temel denklemler

Akışkanlar mekaniği problemlerinin çözümünde temel ve yardımcı (bünye)

denklemleri olmak üzere çeşitli denklemler kullanılır. Temel denklemler aşağıda

belirtilmiştir:

i) Kütlenin korunumu – Süreklilik denklemi

ii) Newton’un ikinci hareket kanunu

iii) Açısal momentum ilkesi

iv) Termodinamiğin I. Kanunu

v) Termodinamiğin II. Kanunu

Söz konusu temel denklemlerin problem çözümü ve araştırmalarda kullanımlarıyla ilgili

bilinmesi gerekli bazı hususlar şulardır:

i) Bir problemi çözmek için yukarıdaki denklemlerin tümüne ihtiyaç olmayabilir.

ii) Bazı problemler için ek hal yada bünye denklemleri gerekli olabilir (Örneğin ideal gaz

denklemi)

iii) Bu temel denklemler, akışkanlarla ilgili problemleri çözerken uygun bir şekilde

formüle edilir.

iv) Akışkanlar mekaniğinde analitik çözümü bulunmayan birçok basit problem söz

konusu olup, bu durumda nümerik çözüm kullanılır.

v) Akışkanlar mekaniğinde analitik ve nümerik çözüm dışında bazı problemler deneysel

olarak çalışılır. Akış deneylerinde kullanılan her ölçüm aletinin doğruluk derecesi

sınırlı olup, deneysel datalarda hata analizi büyük önem taşır.

1.7 Akışkanlar mekaniği problemlerinin analizi

1.7.1 Sistem ve Kontrol Hacmi

i) Sistem:

Sabit ve tanımlanabilir kütlesi bulunan ve çevresinden sınırlarıyla ayrılabilen bir seçim

bölgesidir. Sınırlar sabit yada hareketli olabilir. Ancak sınırlardan kütle giriş-çıkışı

gerçekleşmez.

ii) Kontrol hacmi (ve yüzeyi):

Akışkanlar mekaniği genellikle kompresör, türbin, boru hattı gibi cihazlardaki akışkan

hareketlerini incelediğinden; içerisine akışkan giriş-çıkışı olan, uzayda seçilmiş bir hacmi

dikkate almak daha uygundur. Kontrol hacmi uzayda keyfi olarak seçilmiş, içerisine doğru

6

akış olan bir hacimdir. Kontrol hacminin geometrik sınırları kontrol yüzeyi olarak adlandırılır.

Kontrol yüzeyi gerçek yada hayali, hareketli yada hareketsiz olabilir.

(a)

(b)

Şekil 1.4 a) sistem, b) kontrol hacmi ve yüzeyi

1.7.2 Diferansiyel ve integral yaklaşım

i) Diferansiyel Yaklaşım:

Akışın noktasal olarak detaylı analizi gerektiğinde çok küçük (sonsuz küçük) bir bölgesi

üzerinde yapılan analizdir.

ii) İntegral Yaklaşım:

Akış ile ilgili noktasal analizin gerekli olmadığı, akışın toplam davranışının önemli olduğu

cihazlarda kullanılır. Sonlu sistem ve kontrol hacmi üzerinde yapılan integrasyon ile analitik

sonuca daha kolay ulaşılabilir.

1.7.3 Lagrangian ve Eulerian yaklaşım

Şekil 1.5 Sistemin kütle merkezinin, sabit bir koordinat sistemine kıyasla ‘r’ pozisyonları

7

i) Lagrangian yaklaşım:

Akış içerisinde bulunan kütlesi tanımlanabilir bir partikülün takip edilmesi esasına dayanan

bir metottur.

∑ === 2

2~~

dtrdm

dtVdmamF rr

ii) Eulerian yaklaşım:

Partiküllerin çok sayıda olduğu ve izlenmesinin mümkün olmadığı hallerde, seçilen akış

alanını sürekli ortam kabul ederek, akışı koordinat ve zamanın fonksiyonu olarak inceleyen

yaklaşımdır.

∑ ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

===zVw

yV

xVu

tV

DtVDmamF

~~~~~υrr

Önemli notlar:

• Langrangian yaklaşımında her bir partikül için ayrı bir denklem gereklidir.

• Eulerian yaklaşımında akış bir alan olarak tanımlanır ve bu akış alanı yer ve zamanın

sürekli bir fonksiyonu olarak ifade edilir. Bu durumda tüm akış ile ilgili bilgi bir

denklemle ifade edilebilir.

1.8 Yüzey gerilimi ve kılcallık (kapilarite)

Madde moleküllerini birbirine bağlayan kohezyon özelliğine ek olarak, akışkan

moleküllerinin diğer madde moleküllerine tutunma özelliğini sağlayan adezyon özelliği de

mevcuttur. İster katı, ister sıvı, isterse gaz hâli olsun bir maddenin atomları arasında

birbirlerine karşı kuvvet etkileşimleri vardır. Aralarında uygun bir mesafe bulunan iki atom

arasında çekme kuvveti tesirlidir. Eğer iki atom, bu çekme kuvvetinin tesiri ile birbirine çok

fazla yaklaşırsa bu defa birbirlerini itmeye başlarlar. İtme ve çekme kuvvetlerinin

dengelendiği mesafede atomlar en kararlı konumlarında bulunur.

Bir atomu kararlı konumundan ayırmak, yani diğer atoma yaklaştırmak veya

uzaklaştırmak için enerjiye ihtiyaç vardır. Gereken bu enerji miktarı katı madde atomları için

büyük, sıvılar için küçük, gazlar için ise ihmal edilebilecek kadar azdır. Böylece katı madde

katılığını muhafaza eder, sıvılar ise moleküller arası kuvvetlerin gaz hâlinden oldukça büyük

olması sebebiyle, katılar gibi hacimlerini muhafaza eder, fakat akışkan bir özellik kazanırlar.

Bir maddenin atomları arasındaki bu çekme kuvvetlerine kohezyon adı verilir. Atomlar arası

kuvvetler sadece aynı madde içerisinde tesir göstermezler. Bir maddenin atomu ile diğer bir

maddenin atomu arasında da çekme kuvvetleri mevcuttur ve buna da adezyon adı verilir.

8

Kohezyon ve adhezyon kuvvetleri, bir sıvının, bulunduğu ortamdaki davranışını

belirler. Sıvının kohezyonu, bulunduğu kabın uyguladığı adhezyondan büyükse, sıvı,

bulunduğu kabın çeperlerine yapışamaz, yani kabı ıslatmaz. Bu duruma en iyi örnek cıvadır.

Kohezyonu çok yüksek olan cıva bir cam kaba konulduğunda, camın çeperlerine yapışmaz.

Bir cam kaba konulan suyun kohezyonu kabın uyguladığı adhezyondan küçük kalır. Böylece

su cama yapışır ve camı ıslatır.

θ < 90º θ > 90º

Şekil 1.6 Adezyon, kohezyon ve ıslatma yeteneği

i) Yüzey Gerilimi:

Sıvının içindeki moleküller üzerine etkiyen çekim kuvvetlerinin bileşkesi sıfır olduğu

halde sıvı yüzeyindeki moleküller sıvı içine doğru çeken net bir kuvvetin etkisi altındadır.

Yüzeyi küçültmeye çalışan bu kuvvetleri yenmek için dışarıdan sıvıya enerji vermek

gerekmektedir.

Tanım 1: Sabit sıcaklık ve basınçta birim sıvı yüzeyini büyütmek için gereken iş miktarıdır.

Tanım 2: Yüzey gerilimi bir sıvı yüzeyindeki birim uzunluğu dikme keserek ikiye ayırmak

için gereken kuvvete eşit bir büyüklüktür.

Tanım 3: Yüzey içerisinde herhangi bir hat boyunca birim uzunluk başına düşen moleküler

çekim kuvveti yoğunluğudur.

=Γ

mN

uzunlukkuvvet

LF ....................

Örnek değerler:

temiz hava – su için mN /073,0=Γ ; temiz hava – civa için mN /48,0=Γ

9

RRP ππ 2.. 2 Γ=∆

RPPP di

Γ=−=∆

2

Şekil 1.7 Kesilmiş bir sıvı damlacığı üzerine etkiyen kuvvet dengesi

ii) Kılcallık (kapilarite) Etkisi

İnce bir boru içerisindeki su; boru çeperleri tarafından çekilerek, adhezyonun sıvı

ağırlığı ile dengelendiği noktaya kadar yükseltilir. İnce bir boru içerisindeki cıva sütununda

ise durum tam tersidir. Yani bir alçalma söz konusu olup, tesir eden bileşke kuvvet ise aşağı

doğrudur. Bu olaya kapilarite (kılcallık) tesiri denir.

Şekil 1.8 Su ve civa için kılcallık etkisi

Şekil 1.8’de kuvvet dengesinden (sıvı sütununun ağırlığı = yüzey gerilme kuvveti)

yükselme (alçalma) miktarı ‘h’ tespit edilebilir:

).(cos).2.( 2 hRR πγθπ =Γ

RhRh

γθ

θγ cos2cos2

Γ=⇒=Γ

civa

10

1.9 Buharlaşma basıncı ve kavitasyon

Buharlaşma basıncı; sıvının buharlaştığı ve kendi buharı ile dengede olduğu basınçtır.

Akış nedeniyle sıvının basıncı, buharlaşma basıncının altına düştüğünde, sıvı akış içerisinde

buharlaşma eğilimine girer ve bu olaya kavitasyon denir. Akış kaynaklı kaynamayı, yani

kavitasyonu tanımlayan boyutsuz sayı,

2

21 V

PPCa va

ρ

−=

şeklindedir. Denklemde; ‘Pa’ akış (ortam) basıncını, ‘Pv’ buharlaşma basıncını, ‘V’ ise

karakteristik akış hızını göstermektedir.

Şekil 1.9 Su için buharlaşma sıcaklığı ve basıncı arasındaki ilişki

1.10 Akışkanın hız alanı

Sürekli ortam kabulünden hareketle, bir noktadaki ani akışkan hızı ),,,(~~ tzyxVV = ile

gösterilebilir. Hız bir vektör olduğundan kwjviuV ~~~~ ++= yazılabilir. Bu durumda

),,,(,, tzyxfwvu = olur.

i) Kararlı Akış

Eğer akışkanın hiçbir bölgesinde akışkan özelliklerinde bir değişim olmazsa bu

durumda akış kararlı akış adını alır. Herhangi bir akışkan özelliği ise, kararlı akış şartı,

0=∂∂

tη

şeklindedir.

Örnek:

0=∂∂

⇒=tρρη ; 0

~~ =∂∂

⇒=tVVη

11

ii) Üniform akış ve akış alanı

Eğer hız akışa dik yönde sabit kalıyorsa akış üniform akış olarak adlandırılır. Eğer hız

vektörü bütün koordinatlardan bağımsız olarak tüm akış alanı içerisinde sabit yön ve şiddete

sahip ise akış alanı üniform olarak adlandırılır.

Örnek:

iii) Bir, iki ve üç boyutlu akış:

Bir akış, hız alanını tanımlamak içi gerekli koordinat sayısına göre bir, iki yada üç

boyutlu akış adını alır. Bir ve iki boyutlu akış aşağıdaki şekilde görüldüğü gibidir. Üç boyutlu

akış tipinde ‘z’ yönünde de hız profilinde değişim görülür.

Örnek:

⇒= ),,,(~~ tzyxVV …... Üç boyutlu kararsız akış

⇒= ),,(~~ tyxVV …….. İki boyutlu kararsız akış

⇒= ),(~~ txVV ……… Bir boyutlu kararsız akış

⇒= )(~~ xVV ………...Bir boyutlu kararlı akış

Şekil 1.10 Bir-boyutlu ve iki-boyutlu akışlar

1.11 Akışkanın stres (gerilme) alanı

Yüzey kuvvetleri; bir cismin sınırlarına direkt temas ile etki eden kuvvetler olup,

akışkan partikülü üzerinde bir gerilme oluştururlar (örneğin; normal ve kayma gerilmesi).

Diğer taraftan, akışkan hacmi içerisine etki eden ve fiziksel bir temas gerektirmeyen hacimsel

12

kuvvetler de söz konusudur (örneğin yerçekimi ve elektromagnetik kuvvetler). Ancak bu

kuvvetler bir gerilmeye sebep olmazlar.

Şekil 1.11 Akışkan partikülüne etkiyen normal ve teğetsel kuvvetler

→= → AFn

An δδσ δ 0lim Normal gerilme

→= → AFt

A δδτ δ 0lim Kayma gerilmesi

Gerilme için işaret kuralı:

Yüzeyin normali koordinat yönündeyse yüzey pozitif, aksi halde negatiftir. Yüzeyin normali

ve stres bileşeninin her ikisi de pozitif yada negatif ise stres işareti pozitiftir.

Şekil 1.12 Akışkan partikülünün ‘x’ yüzeyine etkiyen kuvvetler ve gerilme alanı

1.12 Sürekli ortam kabulü

Tüm akışkanlar sabit harekete sahip moleküllerden oluşur. Ancak mühendislik

uygulamalarının büyük çoğunluğunda birçok molekülün oluşturduğu ortalama ve

makroskobik etkilerle ilgilenilir ve yapılan ölçümlerde bu etkilerin sonucunu verir. Bu

13

nedenle biz genellikle akışkanı sonsuz olarak parçalara ayrılabilen sürekli bir ortam olarak

kabul edip, moleküllerle tek tek ilgilenmeyiz.

Örneğin, aşağıdaki şekilde sol tarafta gösterilen C(x0,y0,z0) noktasındaki yoğunluğun

doğru tespiti için seçilen δV hacmi yeterince küçük olmalıdır. Ancak sağ tarftaki şekilde

görüldüğü gibi δV’limitinin altında keskin dalgalanmalar sözkonusu olacağından hacim

küçüklüğünün de bir sınırı vardır. Bu sınır δV’ ile gösterilmiştir. Bu şartlarda C noktasındaki

yoğunluk ;

Vm

VV δδρ

δδ 'lim

→=

olarak tanımlanır. Yoğunluk diğer noktalarda da C noktasında olduğu gibi tanımlandığında bu

bir yoğunluk alanı oluşturur. Yani söz konusu süreklilik özelliği diğer noktalarda da geçerli

olacak şekilde hesaplama yapılır. Böylece, yoğunluk koordinat ve zamanın fonksiyonu olarak

ρ = ρ ( x,y,z,t) şeklinde ifade edilebilir.

a) b)

Vm

VV δδρ

δδ 'lim

→=

Vm

δδρα

δV

δV’

Şekil 1.13 Sürekli ortam kabulüne esas yaklaşım

1.13 Viskozite

Hareket halindeki bir akışkan, hareketi süresince temasta olduğu katı ve akışkan

ortamına enerji kaybederek, yavaşlar ya da durgun hale ulaşır. Akışkanın çevresindeki ortama

sürtünme yolu ile kaybettiği enerji sonucunda, hızının yavaşlaması ya da sıfıra inmesine

neden olan fiziksel özelliğine viskozite ismi verilmektedir. Viskozite bir akışkanın tüm

partikülleri için aynı derecede etkili olmakla birlikte, akış sırasında etkisinin en fazla olduğu

bölgeler, katı cisim cidarına yakın olan bölgelerdir.

14

Şekil 1.14’de gösterilen alt yüzeyi sabit-üst yüzeyi hareketli paralel iki levha arası

akışta; akışkanının hareket esnasında uğradığı şekil değiştirme hızı (deformasyon oranı),

levhaların hızlarında ortaya çıkacak olan farklılık olduğundan, aşağıdaki bağıntılar yazılabilir:

dtd

ttα

δδαγ δ == →0lim …………………….deformasyon oranı

y

x

y

x

Ayx dA

dFAF

y

==→

δδ

τδ 0

lim ………………...kayma gerilmesi

=⇒==yu

ttuyL δ

δδδαδδδαδδ …….şekil değiştirme (deformasyon) miktarı.

Diğer taraftan, dydu

dtd

yt =→→

α

δδ

00lim olduğundan deformasyon oranı için

dydu

=γ& yazılabilir.

Şekil 1.14 Paralel iki levha arası akış

Viskozite, gerilme ile deformasyon oranı arasındaki ilişkiyi belirleyen özelliktir.

Viskozite büyük ise, akışkan strese karşı daha fazla direnç gösterir. Dolayısıyla kayma

gerilmesi ile viskozite arasındaki ilişki doğru orantılı olacak şekilde; µγτ ∝yx ifadesiyle

belirtilir. Bu ifadede, ‘ ’ ‘dinamik (mutlak) viskozite’ yi göstermektedir. Dinamik viskozite

boyutu ve kullanılan birimler aşağıda veri lmiştir:

scmgPoise

mskgPas

LtmBoyut

.,:Birimler

:

==

Akışkanlar mekaniğinde ayrıca, ρµ /=v bağıntısıyla tanımlanan kinematik viskozite

büyüklüğü söz konusudur. Su ve hava için normal koşullarda (P=0.98 bar ve T =288 K)

belirlenen viskozite değerleri aşağıda belirtilmiştir:

µµµµ x103 (Pa.s) νννν x105 (m2/s)Su 1.14 0.114Hava 0.0181 1.45

15

1.14 Viskozitenin Sıcaklıkla Değişimi

Gerçekte ),( TPµµ = olmasına karşın, 0/ ≅∂∂ Pµ olduğundan, )(Tµµ = kabul

edilir. Gazların viskozitesi sıcaklıkla artarken, sıvılarınki sıcaklık ile düşer.

i) Gazlar için viskozite-sıcaklık ilişkisi:

( )( ) ( )

++=

YasasiSutherland..........................................T/T

YasasiKuvvet ........................................................./

02/3

0

0

0ST

ST

TT n

µµ

0µ : Bilinen sıcaklıktaki viskozite

n, S : Deneysel olarak tespit edilen sabitler

Örnek:

Hava için…….. n=0.7, S = 110 K, T0=273.15 K

ii) Sıvılarda viskozite – sıcaklık ilişkisi:2

00

0ln

+

+≅TT

cTT

baµµ

Örnek:

Su için……..a = -1.94, b = -4.80, c = 6.74, T0 = 273,16 K

1.15 Newtonyan (basit) akışkanlar

Kayma gerilmesi ile şekil değiştirme oranı arasında doğrusal (lineer) ilişki bulunan,

yani viskozitesi deformasyon oranıyla değişmeyen akışkandır (su, hava, gliserin vs.).

y

uyx d

dµτ =

Örnek: Paralel levhalar arası akış ( kayma gerilmesi – şekil değiştirme ilişkisi)

1)(

00

cyhVyu

hV

hV

dd

dd

y

u

y

u

+=

=−−

≅

= µτ

yhVyucuy =⇒==⇒= )(0;00 1

sabithV

== µτ

16

1.16 Newtonyan olmayan (kompleks) akışkanlar

Kayma gerilmesi ile şekil değiştirme (deformasyon) oranı arasında doğrusal (lineer)

ilişki bulunmayan akışkanlardır. Newtonyan olmayan akışkanların sınıflandırmasına ait şema

Şekil 1.15’de gösterilmiştir.

i) Üs kanunu (power-law) ile ifade edilen akışkanlar (Solüsyon, süspansiyon, çikolata, ayran)

Bu tür akışkanlar için viskozite ile deformasyon oranı arasındaki ilişki bir üs

katsayısının (n) fonksiyonu olarak verilir. nn

yx

n

yx dydu

dyduk

dyduk

=⇒

=

−1

ττ

==

dydu

yx ηγητ &

viskozitetif......efek..........1−

=

n

dydukη

Denklemde k= istikrarlılık indeksi, n ise akış davranış indeksi olarak isimlendirilir. ‘n’

indeksinin farklı değerleri akışkan türünü belirler:

n=1 : Newtonyan akışkan

n < 1 : Viskozitesi azalan (sanki-plastik, shear-thinning) akışkan

n > 1 : Viskozitesi artan (dilatant, shear-thickening) akışkan

ii) Bingham plastik akışkanlar (diş macunu, ketçap, magarin, kozmetik krem )

y

upyyx d

dµττ +=

Şekil 1.15 Newtonyan olmayan akışkanlarda kayma gerilmesi ve viskozitenin deformasyon oranı ile değişimi

17

iii) Viskoelastik akışkanlar (polimerik solüsyonlar ve eriyikler)

Akışkana uygulanan stres kaldırıldığında, belli bir zaman gecikmesi ile ilk şekline dönen ve

hafızası bulunan akışkanlardır.

iv) Zamana bağlı akışkanlar (boya, tutkal)

Akışkan viskozitesinin zamanla azaldığı ya da arttığı akışkanlardır.

Şekil 1.16 Zamana bağlı olarak viskozitesi değişen akışkanlar

1.17 Akışkan hareketlerinin tanımlanması ve sınıflandırılması

Akışkan hareketinin sınıflandırılmasına yönelik şema Şekil 1.17’de gösterilmiştir.

Şekil 1.17 Akışkan hareketinin sınıflandırılması

Dahili Harici

3

Viskoz

Viskoz olmayan

µ > 0

µ = 0

2

Sıkıştırılabilir

Sıkıştırılamaz

ρ ≠ sbt

ρ = sbt

1

Laminar Türbülanslı

4

18

1.17.1 Sıkıştırılabilir ve Sıkıştırılamaz Akışlar

Eğer bir akışta yoğunluk değişimleri ihmal edilebiliyorsa akış sıkıştırılamaz, ihmal

edilemiyorsa sıkıştırılabilir akış olarak adlandırılır. Genellikle sıvılar sıkıştırılamaz, gazlar ise

sıkıştırılabilir akışkanlar olarak değerlendirilse de, her ikisi içinde bazı istisnalar söz

konusudur. Temel kriter Mach sayısı olup,

Mach = Ma = 3.0<CV ise

akış sıkıştırılamaz olarak kabul edilir (V:akışkan hızı, C: yerel ses hızı). Mach Sayısı,

özellikle yüksek hızlı gaz akımlarında büyük bir öneme sahiptir. Tanımı, Ernst Mach ve oğlu

Ludwig Mach tarafından 1889 da yapılmıştır.

Not: Bu kitapta verilen akışkanlar mekaniği problemlerinde aksi belirtilmedikçe

sıkıştırılamaz akışlar göz önüne alınacaktır.

1.17.2 Viskoz ve Viskoz olmayan Akışlar

Bir akışta viskozite etkisi ihmal edildiğinde akış ‘viskoz olmayan akış’ adını alır.

Akışkan viskozitesinden dolayı, yüzey ile akışkan arasında bir hız (hidrodinamik) ve sıcaklık

(termal) sınır tabakası oluşur.

Örnek olmak üzere, aşağıdaki şekilde düz levha üzeri (laminar) bir akışta hız sınır

tabakasının, levha uzunluğu boyunca nasıl geliştiği gösterilmiştir. Levhanın ‘ ∞U ’ sabit

hızıyla akan bir akışkan içine konulması halinde, levhaya değen parçacıkların hızı yapışma

sonucu sıfır olur. Böylece cidara yakın yerlerde hızın, sıfırdan ∞U değerine ulaştığı ince bir

tabaka oluşur. Bu tabakaya 1904 de Prandtl tarafından hidrodinamik sınır tabaka ismi

verilmiştir. Levhanın ucunda sıfır olan sınır tabaka kalınlığı akış yönünde giderek artar.

Şekil 1.18 Düz levha üzeri (laminar) akışta sınır tabakanın gelişimi

Silindir üzeri akışta da viskozite etkisini gösteren akım çizgileri aşağıdaki şekilde

gösterilmiştir.

19

Şekil 1.19 Silindir üzeri akış; a) viskoz akış, b) viskoz olmayan akış

Şekilde bulunan bazı teknik terimlerin kısa tanımları şu şekildedir:

Ayrılma noktası (seperation point):

Bir cisim üzerinden akışta cismi geçen akışkanın hareket etmesine karşı koyacak derecede

karşı basınçla karşılaştığı nokta olup, akış bu noktada katı cisim yüzeyinden ayrılır.

Sürüklenme kuvveti (drag force):

Akış yönündeki net kuvvete verilen isimdir

Basınç sürüklenmesi (pressure drag):

Ayrılma noktası bulunan akışlarda, akış yönünde oluşan dengelenmemiş basınç kuvvetleri

sonucu cisme etkiyen kuvvettir.

Düşük basınç bölgesi (wake):

Sınır tabaka ayrışması sonucu cismin arka bölgesinde ortaya çıkan çok düşük basınca sahip

bölgedir. Bir cisim üzerindeki ayrışmış akışlarda ortaya çıkan bu bölge ne kadar büyük ise,

cisme etkiyen basınç sürüklenmesi de o kadar büyük olur.

Örnek uygulama:

Özellikle uçak gövdesinin tasarımında wake önleme yada azaltma için, aşağıda gösterilen

akım çizgilerine uyumlu geometri (Streamlining Object) kullanılır.

Not: Akış ayrılması dahili akışlarda da kanal geometrisinde ani ve hızlı değişimler sonucu

ortaya çıkar.

(a) (b)

20

1.17.3 Laminar ve Türbülanslı Akışlar

Viskoz akışlarda, akışın karakterine bağlı olarak iki tür akış bölgesi/ türü söz

konusudur. Laminar akışta, akış yapısı, akış tabakalarının hareketi ile tanımlanır. Komşu

tabakalar birbirlerine karışmaz ve tek bir çizgi halinde hareket ederler. Türbülanslı akışta ise,

akış yapısı rastgele üç boyutta hareket eden partiküllerle tanımlanır. Hız dalgalanmaları

nedeniyle tabakalar arası momentum transferi söz konusudur. Her iki akış karakterini yansıtan

şematik çizimler aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Akım karakterinin bir cismin üzerinde hangi bölgelerde laminar, hangi bölgelerde

türbülanslı olduğu, cismin üzerine etkiyecek taşıma ve sürükleme kuvvetlerinin bilinmesi

açısından önemlidir. Çünkü laminar bölgede akım, bazı basit modellemeler yardımı ile

açıklanabilir ve birçok davranış özellikleri önceden kestirilebilir iken, türbülanslı akım

bölgesinde herhangi bir basit modelleme yöntemi henüz bilinmemektedir. Bu nedenle laminar

olan ve olmayan akımlar için kullanılan sayısal ve deneysel yöntemler birbirinden çok

farklıdır.

Şekil 1.20 Laminar ve türbülanslı akışlarda akım çizgileri ve hız-zaman grafikleri

1.17.4 Dahili ve Harici Akışlar

Eğer akış tamamen katı yüzeylerle çevrili ise akış “dahili” yada “kanal” akış adını alır.

Dahili akış durumunda eğer kanal yüzeylerinden biri yerine sabit basınçta bulunan serbest bir

yüzey söz konusu ise, akış serbest yüzeyli akış adını alır (örneğin; nehir akışları, sulama

21

kanalları vs). Harici akış ise, sınırlanmamış akış içerisinde bulunan katı cisimlerin üzerinden

gerçekleşen akıştır.

Not: Dahili ve harici akışların her ikisi de laminar – türbülanslı – sıkıştırılabilir ve

sıkıştırılamaz olabilir.

Önemli notlar:

a) Sıkıştırılamaz boru içi akışta, akış hareketleri Reynolds (Re) sayısı ile belirlenir.

⇒≤= 2300Reµ

ρ DV Akış laminar

b) Düz yüzeyli levha üzeri akışta, akışın karakterini belirleyen Re;

⇒≤= −∞ 510.5Reµ

ρ xUAkış laminar

c) Dahili sıkıştırılabilir akış için Mach sayısı uygun kanal dizaynında oldukça önemlidir.

< 1 Sub-sonik akış

=

CVM = 1 Sonik akış

> 1 Süpersonik akış

1.18 Akış Çizgileri

i) Yörünge Çizgisi (pathline)

Bir akışkan partikülünün belirlenmiş zaman aralığında çizdiği yoldur. Yörünge

çizgisini belirlemek için işaretlenmiş bir partikül takip edilerek fotoğraflanır.

Not:

Yörüngenin düzlemsel koordinatlardaki diferansiyel denklemi:

u, v, z : f(x,y,z,t) olmak üzere,

dx/u= dy/v= dz/w= dt

Çözüm için ilk şartlar:

t = t0 da x = x0, y = y0, z = z0

Yörünge eğrilerinin çözümü:

x = x(x0, y0, z0, t), y = y(x0, y0, z0, t), z = z(x0, y0, z0, t)

şeklindedir.

22

ii) Akım Çizgisi (streamline)

Belirlenmiş bir anda akış alanı içerisinde her noktadaki hız vektörlerine teğet olan çizgilerdir.

Akım çizgisi her noktada hız vektörüne teğet olduğundan bu çizgilere dik yönde akış

oluşamaz.

Not:

Akım çizgisinin düzlemsel koordinatlardaki diferansiyel denklemi:

u,v : f(x,y) olmak üzere,

dx/u= dy/v

Akım çizgisi eğrilerinin çözümü:

ψ(x,z)=c , (c: sabit)

Akım çizgisi eğrilerinin eğimi:

dy/dx= v/u

şeklindedir.

iii) Zaman Çizgisi (timeline)

Bir akış alanı içerisinde birbirine komşu partiküller seçilmiş bir anda işaretlendiğinde oluşan

çizgidir. Akış alanı ile ilgili detaylı bilgi için farklı anlarda bu çizginin belirlenmesi gerekir.

iv) Yığılma çizgisi (streakline)

Seçilen bir nokta yada bölgede belli zaman aralığında geçen tüm akışkan partiküllerinin

fotoğraflanması sonucu oluşan çizgidir.

Not : Kararlı akışta yörünge çizgisi, akım çizgisi ve yığılma çizgisi aynı eğriyi verir.

(a) (b)

Şekil 1.21 a) zaman çizgileri, b) yığma çizgisi belirleme yöntemi (streakline photography)

1.19 Deney verilerindeki belirsizliklerin hesaplanması

)...........,,,( 4321 nxxxxxPP =

P : Hesaplanması istenilen parametre

x1, x2, x3,...xn : P’yi etkileyen değişken

23

111 xxx δ+= 1xδ : Belirsizlik

P’ deki toplam belirsizlik formülü; 2/122

22

2

11

..........

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

= nn

XXPX

XPX

XPP δδδδ

P genellikle diğer değişkenlerin kuvvetleri cinsinden ifade edilebilir.

1

1

111

1

21

111

21

.

........................... 2121

XPn

XPP

XP

nX

XXnCXPXXCP nnnn

=∂∂

⇒=∂∂

=∂∂

⇒= −

Bu durumda 1. terim

1

11 X

XPnδ

⇒

olacaktır. P’deki boyutsuz ya da yüzdesel belirsizlik ise;2/122

3

33

2

2

22

2

1

11 .......

+

+

+

=

n

nn X

Xn

XX

nXX

nXX

nPP δδδδδ

denklemi ile hesaplanabilmektedir.

1.20 SI birim sistemi

Fiziksel büyüklük

Bir sistemin ölçülebilir özelliğidir. Yani fiziksel nesnelerin,olayların ve hallerin ölçülebilen

özellikleridir.

Birim

Fiziksel büyüklüğün keyfi olarak seçilen ölçü değerini belirler.

Boyut

Fiziksel büyüklüğün uluslararası standartlarca kabul edilmiş olan ilişkisini gösteren bir

değerdir.

Örnek:

P = 80 W ifadesinde; P fiziksel büyüklük, 80 miktar, W ise keyfi seçilmiş birimdir.

Boyut kavramını örneklerle açıklamakta fayda vardır:

Güç =Zaman

İs = 3

22

TmL

TT

mLL

TFL

== …………………………..gücün boyutsal ifadesi

24

Bazı fiziksel büyüklüklerin sembol ve boyutları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Fiz.büy. Sembol BoyutUzunluk L LAlan A L2

Hacim V L3

Zaman t THız V LT-1 İvme a LT-2 Kütle m mEnerji ve İş E ML2T-2 Basınç P ML-1T-2 Özgül hacim L3/m Hacimsel debi Q L3/t

SI birimleri:

Temel SI birimleri, Türetilmiş SI birimleri ve Yardımcı SI Birimleri olmak üzere 3 kısımda

incelenebilir. Temel birimler ;

Uzunluk metre (m)Kütle kilogram (kg)Zaman saniye (s)Sıcaklık Kelvin (K)

olarak verilmekte olup, tüm fiziksel büyüklüklere ait birimler bu temel birimler yardımıyla

türetilebilirler. Türetilmiş SI birimlerine bazı örnekler aşağıda verilmektedir:

Hız m/sİvme m/s2

Kütlesel Debi kg/sHacimsel debi m3/sKuvvet kg. (m/s2) = Newton (N)Enerji N.m = Joule (J)Güç J/s = Watt (W)Basınç N/m2 = Pascal (Pa)Özgül ısı J/kgKIsı iletim katsayısı W/mKIsı taşınım katsayısı W/m2K

Yardımcı SI birimleri ise,

Düzlem açısı Radyan (rad )Hacim açısı Steradyan

şeklinde tanımlanmıştır.

25

SI birimlerinin üst katları Çarpım Faktörü Önek Adı Simge

1018 Exa E1015 Peta P1012 Tera T109 Giga G106 Mega M103 Kilo k102 Hekto h101 Deka da

SI birimlerinin ast katları Çarpım Faktörü Önek Adı Simge

10-18 Atto a10-15 Femto f10-12 Piko p10-9 Nano n10-6 mikro10-3 Mili m10-2 Santi cm10-1 Desi d

Birim Dönüşüm Tabloları

Akışkanlar mekaniği dersi birim dönüşümlerinin en çok kullanıldığı derslerin

başında gelmektedir. Bir çok sorunun çözümünde birim analizi ön plana çıkmakta ve birim

analizi yapılmadığı takdirde sorunun çözümü yapılamamaktadır. Bu nedenle birim

dönüşümlerinin iyi öğrenilmesinde çok büyük bir fayda vardır. Aşağıda en çok kullanılan bazı

birimlerin dönüşümleri verilmiştir:

1 N = 1 kg m / s2

1 h = 3600 s

1 Pa = 1N / m2 = 1 ms

kgms

kgm222 11

=

1 bar = 105 Pa = ms

kg2

510

1 J = 1Ws = 1 Nm = 2

2

2 11s

kgmms

kgm=

1 W = 1 3

2

2 1111s

kgs

ms

kgms

NmsJ

===

1 bar = 105 pa = 10 2 kpa 1 atm = 1, 0133 x 104 Pa1 at = 9, 8067 x104 Pa

1 kp / cm2 = 9, 8067 x 104 Pa1 Torr = 1,332 x 102 kpa 1 mm-Hg = 1,332x102 Pa1 m2 = 104 cm2 = 106 mm2

1 m3 = 103 lt = 1 dm3

1 kilopound = 1 kp = 9, 8065 N 1 dyne = 10 -5 N1 erg = 10 –7 J 1 dyn cm = 10 -7 J1 kcal = 4, 1868 x103 J1 kWh = 3,6 x 106 J1 kpm = 9,8067 J1 Btu = 1,0551 x 10 3 J1 PSh = 2,6478 x 106

1 W = 3,413 Btu / h

26