Engineering Mechanics : Staticscadcam.gwnu.ac.kr/subject/statics/01/01_Introduction.pdf · 5 기본개념 공간(space) 물체가 차지하는 기하학적인 영역 어떤점P의위치를표시하는

Introduction to Statics

Engineering Mechanics

: Statics

역학의 정의

역학이란 ? 물체에 작용하는 힘의 영향을 다루는 물리학의

한 분야

외력을 받고 있는 물체의 정지 또는 운동 상태를 설명하고 예측하는 과학

역학의 원리 기본원리 공학적인 응용에 폭 넓게 적용

수학식으로 표현

분류 정(靜)역학 : 힘을 받는 물체의 평형을 취급

동(動)역학 : 물체의 운동을 취급

Department of Automotive Engineering 2

5

기본개념

공간(space)

물체가 차지하는 기하학적인

영역

어떤 점 P의 위치를 표시하는데 사용되는 것

시간(time)

어떤 사건(현상)의 연속에 대한 단위

정역학에서는 포함하지 않음

3

X

Y

Z

x y

z

P (x, y, z)

O

3

7

P (3, 5, 7)

Department of Automotive Engineering

기본개념

질량(mass)

물체의 관성력에 대한 단위 (선형 가속도에 대한 물체의 저항값)

서로 다른 물체끼리의 인력에 영향을 미친다

4

질량이 같은 두 개의 물체들은

병진운동에서 방향을 변화시킬 때도 같은 저항을 나타내며,

같은 형태의 지구인력을 받는다


기본개념

힘(force)

다른 물체에 대한 한 물체의 작용

중력, 자력의 경우와 같이, 어떤 두

물체는 서로 접촉하여 있거나 떨어져 있어도 힘은 작용한다.

작용방향으로 물체를 이동시키는

경향이 있다

크기, 방향, 작용점에 의하여 결정된다

벡터(vector)로 표시

5 Department of Automotive Engineering

기본개념

질점(particle) 크기는 없고 유한한 질량만 있는 물체로 정의

물체의 모든 질량이 한 점에 집중되어 그 비중이 무한대인 공상적인 점

물체에 작용하는 모든 힘들은 이 한 점에 작용하는 것으로 취급

힘을 크기와 방향만으로 완전히 표현할 수 있다


▶ 예: 태양 주위를 돌고 있는 지구

강체(rigid body) 큰 힘이 작용하는 상태에서도 변형되지 않는 유한한 크기의 물체. 점 A와 B를 임의로 선택하면 직선거리 d는 변하지 않는다.

실제로는 존재하지 않지만 물체 내의 상대적인 변형이 무시할 정도로 작을 때 강체로 간주하여 해석한다. 예: 기중기팔을 지지하는 케이블에 작용하는 장력 계산

탄성물체 탄성한계 내에서 힘을 작용

하면 변형되고, 힘을 제거하면

원래의 형태가 된다.


스칼라와 벡터

벡터의 분류

자유벡터, 슬라이딩벡터, 고정벡터

자유벡터(free vector)

운동이 공간에 있는 어떤 유일한 직선에 구속되거나 관련되지 않은 벡터

공간에서 자유롭게 이동시켜도 효과가 변하지 않는 벡터

회전 없이 이동하는 물체의 변위

우력(偶力, couple)


9

X

Y

Z

O

4

8

2

변위벡터 우력(coupled force)

kjiV 84 2

1V

2V

1V

2V


스칼라와 벡터

이동벡터(sliding vector)

공간에서 벡터의 운동이 반드시 유일한 직선에 속하고 유지되는 벡터

작용선상에서 같은 크기로 이동 가능한 벡터(작용선에 관련됨)

강체에 작용하는 힘의 전달성 원리


A A

≡ 강체

스칼라와 벡터

고정벡터(fixed vector)

유일한 작용점이 있으며, 공간에서 특정 위치를 차지함

작용점, 크기, 작용선에 관련됨

11

변형체

A A

!=


벡터의 법칙

벡터의 표현

방향(θ)을 갖고 크기에

비례하는 화살표

벡터의 합

평행사변형(혹은 삼각형) 법칙에 따라 합성

12

21 VVV 21 VVV


벡터의 법칙

벡터의 성분

두 개 이상의 벡터의 합이 어떤 벡터 V와 같을

때, 그 두 개 이상의 벡터를 벡터 V의 성분이라고 함.


21 VVV yx VVV yx VVV

벡터 V의 성분 벡터 V의 성분 벡터 V의 성분

xV

VyV

벡터의 법칙

벡터의 직각성분 x, y 축 성분의 크기

Vx와 Vy의 합력 V의 크기

x 축에 대한 벡터의 방향


x

y

V

Vθ 1tan

sin

cos

VV

VV

y

x

222yx VVV

Vx

Vy

V

θ

y

x

y

x

V

V

VV

VV

1tan

cos

sin

벡터의 법칙

단위벡터 크기가 1인 벡터 : 방향을 나타낸다

직각 좌표계에서의 단위벡터를 이용한 표현

x축 방향 단위벡터:

y축 방향 단위벡터:


n VV V 1

여기서, : 벡터 의 크기 : 방향 단위벡터

j i yx

yx

VVV

VVV

VVn

V

VV

n

i

j

n VV n

yV

xV

V

yV

xV

i

j

벡터의 법칙

3차원 문제에서 벡터 의 표현 x, y, z 방향의 단위벡터 :

x, y, z 방향 성분벡터 합으로 표현

각 성분들의 크기

벡터 V의 크기


k j i zyx VVVV

zz

yy

xx

VV

VV

VV

cos

cos

cos

2222zyx VVVV

j i 1 yx VVV

k j i

k 1

zyx

z

VVVV

VVV

V

k , j , i

뉴턴의 법칙

제1법칙 한 질점에 작용하는 불평형 힘이 없다면, 그 질점은 정지해 있거나 일정한 속도로 직선상을 움직인다 (병진운동)

제2법칙 한 질점의 가속도는 그 질점에 작용하는 힘의 합력에 비례하고, 그 방향은 힘의 합력 벡터 방향이다

제3법칙 물체 상호간에 작용하는 힘과 반작용 힘은 크기가 같고 방향이 서로 반대이며 동일선상에 놓여 있다


aF m m a

단위계

18

물리량 차원의 기호

SI 단위 U.S. 단위

단위 기호 단위 기호

질량 M kilogram kg slug -

길이 L meter m foot ft

시간 T second s second sec

힘 F newton N pound lb

: 기본단위


단위계

SI 단위(International System of Units) 세계적으로 공인된 미터계

절대 단위계 기본 단위인 질량 측정은 환경과 무관

질량 : kg

길이 : m

시간 : s(초)

힘 : N (newton) 1N = 1kg·m/s2 (∵F = ma)

1N = 1kg의 물체에 1m/s2의 가속도를 낼 수 있는 힘


기본단위

< 지표면 근처에 있는 질량이 m 인 물체가 자유낙하할 때의 중력 > 중력가속도 g 로 지구 중심을 향하여 떨어진다. W(N) = m(kg) x g(m/s2)

단위계

U.S. 단위 foot-pound-second 단위

중력 단위계 특정 조건(해수면, 위도 45°)에서 표준 파운드(1 lbf)측정

질량 : slug 1 lb의 힘이 작용할 때, 1 ft/sec2의 가속도를 내는 질량

표준 파운드(1lbf) 1lbm의 질량에 32.1740 ft/sec2의 가속도를 일으키는데 필요한 힘


ft

seclb slug

2

g=9.80665 m/s2

=32.1740 ft/s2

단위계

단위변환


U.S. SI

질량(M) 1 slug (lb·sec2/ft) 1.459 x 10 (kg)

1 pound mass (lbm) 4.54 x 10-1 (kg)

길이(L) 1 foot (ft) 3.05 x 10-1 (m)

힘(F) 1 pound force (lbf) 1.602 x 10 (N)

단위계

공학 단위 공업 및 산업계에서 사용

중량(힘, weight) : kgf

길이 : m

시간 : s(초)


각종 단위계의 비교

단위계 길이 시간 질량 힘, 중량

국제단위계(SI)

m s kg kg·m/s2 (N)

물리단위계 cm s g, kg g·cm/s2 (dyn)

공학단위계 m s kgf·s2/m kg·9.81m/s2 (kgf)

중력의 법칙

중력법칙

지구의 중력

무게 W인 물체가 중력가속도 g로 낙하

23

2311

2

21

10673.6: skgmGr

mmGF

281.9: smg

mgW


유효숫자

정의와 표현

근사값을 구할 때 반올림 등에 의하여 처리되지 않은 부분으

로, 오차를 고려한다 해도 신뢰할 수 있는 숫자를 자리수로 나

타낸 것

일반적으로 유효숫자의 부분을 따로 떼어서 정수 부분이 한

자리인 소수로 쓰고, 소수점의 위치는 10의 거듭제곱으로 나

타낸다.


5997 6000 : 유효숫자 3 6411 6000 : 유효숫자 1

6000 6.00 x 103 : 유효숫자 3 6000 6 x 103 : 유효숫자 1

0.023 2.3 x 10-2 : 유효숫자 2

유효숫자

유효숫자의 판별

0이 아닌 숫자는 모두 유효숫자이다.

ex) 1950

0이 아닌 숫자들 사이의 0은 유효숫자이다.

ex) 5006

소수점 아래의 끝자리에 있는 0은 유효숫자이다.

ex) 19.300

자리를 나타내기 위한 0은 유효숫자가 아니다.

ex) 0.025

자연수에서 끝의 0은 유효숫자인지 아닌지 알 수 없다.

ex) 9500


정확도

유효숫자의 자리 수

주어진 자료의 정확도에 의해 정의되는 유효숫자보다 크면 안 된다.

유효숫자 세 자리는 대부분의 공학계산에서 정확함.

3개의 유효자리를 사용

ex) 40 N 40.0 N


근사값

라디안 (radian)

각도를 나타내는 SI 보조단위

1rad : 원주상에서 그 반지름과 같은 길이

의 원호를 끊어 이루어진 2개의 반지름 사

이의 평면각 (1rad ≒57.3°)

360° = ㎭

작은 각도 다루기


1costansin ,

1 1

2

2

:2:2

: :

Rl

RR

l

lR

각도호의호의길이각도원의원주길이

1cos , sin R

Rl

R

l

lR

lsintan

2

근사값

작은 각도 근사값에 기하학적 판단

근사값

작은 각도 근사값에 기하학적 판단

정역학 문제의 해결방법

정역학 평형상태에 있는 공학 구조물에 작용하는 힘의 정량적인 문제

물리적 문제(현상)의 수학적 공식화

이상화된 가정 임의의 근사 주어진 공학문제를 이상화된 수학적 모델로 구성

그래픽 사용 물리적 계(system)를 표현(설명, 가시화)

물리적 현상과 수학적 표현 사이의 전환에 용이

결과의 명확한 표현


문제의 정식화

문제의 정식화 주어진 자료와

원하는 결과를 기술하고

가정을 기술

정답의 계산절차 문제의 이해를 위하여 그림을 그리고

해답을 얻기 위한 지배방정식을 세운 다음

계산을 한다

계산된 해답이 정확도를 갖는지

모든 계산값이 유효숫자를 사용했는지 확인하고

해답이 크기, 방향 등에 있어서 일반 상식으로 납득이 되는지 확인한 다음

결론을 내린다.


정역학 문제의 해결방법

자유물체도 (FBD, Free-Body Diagram)

관심의 대상인 물체를 다른 물체로부터 분리시켜

분리된 물체에 작용하는 모든 힘들을 완전하고 정확하게 표현

분리된 물체에 작용하는 모든 외력을 나타낸 선도

수치적 값과 대수적 기호

수치를 직접 사용

대수 기호를 사용하여 해답을 공식으로 유도

차원적 동질성 유지


요약

단위벡터와 성분

벡터의 덧셈과 뺄셈

운동에 대한 뉴턴의 법칙

SI단위, U.S. 단위

근사값 법칙 적용

정역학 문제의 풀이방법


예제1.1

질량이 1400kg인 차의 무게를 Newton으로 표현하라. 이 차의 질량을 slug로, 무게는 Ib로 표현하라.


1) 차의 무게 (Newton)

N 101.37 N 13730)81.9(1400 4mgW

2) 차의 질량 (slug)

slugs 10 9.59 slugs 9.9514.59kg

1slug kg 1400

m

3) 차의 무게 (Ib)

Ib 103.09 Ib 30902.329.95 3mgW

g = 9.80665 [m/s2]

= 9.80665/0.3048 [ft/s2 ]

= 32.17404856 [ft/s2 ]

= 32.2 [ft/s2 ]

정현법칙과 여현법칙 (487 - 488)

정현법칙

한 변의 길이와 그 양 끝각을 알 때

두 변의 길이와 끼인각이

아닌 각의 크기를 알 때

여현법칙

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

세 변의 길이를 알 때

강릉원주대학교 기계자동차공학부 자동차공학전공 35

Cabbac cos 2222

c

C

b

B

a

A

B

A

b

a

sinsinsin

or

sin

sin

예제 1.3

그림과 같은 벡터 가 있다.

1) 두 벡터의 합 인 합벡터 의 크기(magnitude)를 구하여라.

2) 양의 x축과 가 이루는 각도

를 구하여라.

3) 를 단위벡터 의 항으로

나타내고, 를 따르는 단위벡터 을 표기하여라.


21 , VV

21 VVS

S

S

S , ji

S

n

예제 1.3

37

80.13

8.43692.0sin30

692.030sin

4

30sin

59.5

105sin

1

Units59.5

105cos2 21

2

2

2

1

2

S

VVVVS

1) 코사인법칙으로부터

2) 사인법칙으로부터


예제 1.3

38

333.1 43.5

80.13sin 80.13cos5.59

sin cos

jiS

ji

jiS

jSiSS yx

3)


238.0 971.0

59.5

333.1 43.5

jin

ji

S

Sn

0.385 -0.923 ,39

0.385 -0.923 39

15

39

36

391536

15 36

22

jinV

jijiV

Vn

V

jiV

Ref. for Problem 1.1

Determine the angle made by the vector V=-36i+15j with the positive x-and y-axes. Write the unit vector n in the direction of V.


15

-36 x

y

xy

4.15790

15

36tan 67.4

15

36tan 1

yx

yy


Determine the magnitude of the vector sum V=V1+V2 and the angle which V makes with the positive x-axis. Complete both graphical and algebraic solutions.


x

x

1.533

4tan 1

30x

units 2.32

2.32

1.83cos272122721

1.83cos272122721

22

222

V

V

V

V

30°

30°

21

27

32.2

3.70

3.70303.40

3.401.83sin2.32

21sin

1.83sin2.32

21sin

1.83sin

sin

2.32

21

1

x

x


A fore is specified by the vector F=160i+80j-120k N. Calculate the angles made by F with the positive x-, y- and z-axes.


2222

,

cos , coscos

k j i

zyx

zzyyxx

zyx

VVVV

VVVVVV

VVVV

9.123 ,1.68 ,9.41

9.123215

120cos

1.68215

80cos 9.41

215

160cos

21512080160

1

11

222

zyx

z

yx

V

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