Engineering Mechanics : Statics: Staticscadcam.gwnu.ac.kr/subject/statics/05/05_Distributed... · 체력(body force) : 물체에전체적으로분포하는힘 (kg/m3)(m/s2)=N/m3 강릉원주대학교기계자동차공학부

Engineering Mechanics: Statics: Statics

집중하중집중하중◦ 엄밀한 의미에서 집중력이란 존재하지 않음

모든 외력은 미소한 접촉면적에 분포모든 외력은 미소한 접촉면적에 분포◦ 전체에 대하여 외부 영향을 해석할 때에는 힘을 집중된것으로 볼 수 있다

분포하중◦ 내부응력과 변형률이 이어지는 접촉면 주위에 재료의 내력(internal forces) 분포에 대한 해석에서는 실제 분포를고려

강릉원주대학교 기계자동차공학부자동차공학전공 2

선분포선분포◦ 힘이 선에 따라서 분포될 때, 하중강도는 단위길이당 힘, 즉 N/m 로 표현

면적분포면적분포◦ 힘이 면적에 걸쳐 분포될 때, 강도는 단위면적당 힘으로 표현◦ 압력(pressure), 응력(stress)

N/ 2 P◦ N/m2 , Pa체적분포◦ 체력(body force) : 물체에 전체적으로 분포하는 힘◦ (kg/m3)(m/s2)=N/m3


력 심( f i )중력중심(center of gravity)◦ 줄의 인장력과 물체에 작용하는 중력의 합력(W)은 평형을 이룬다력의 합력(W)은 평형을 이룬다◦ 합력은 줄의 연장선과 일치◦ 중력중심: 다수의 임의의 점에 대한◦ 중력중심: 다수의 임의의 점에 대한합력의 작용선이 교차하는 점


물체 중심의 위치 결정 ∫물체 중심의 위치 결정◦ 모멘트원리를 평형 중력계에 적용하여 그 합력의 위치를 결정

∫= xdWxW

∫= ydWyW용하여 그 합력의 위치를 결정

임의 축에 대한 중력의 합력W의 모멘트

∫∫= zdWzW

W의 모멘트◦ 미소요소로 생각한 모든 질점에작용하는 중력 dW와 같은 축에작용하는 중력 dW와 같은 축에대한 모멘트의 합


dWydWxdW ∫∫∫W

zdWz

W

ydWy

W

xdWx ∫∫∫ ===

gdmdWmgW gdmdWmgW == ,

zdmz

ydmy

xdmx ∫∫∫ ===

mz

my

mx

요소 질량과 질량중심 G의 위치벡터

r dm∫

kjir , kjir zyxzyx ++=++=

r

rm

dm∫=


질량중심(center of mass)질량중심(center of mass)◦ 질량분포가 함수로 나타나는 물체에서 유일한 점◦ 중력장이 균일하고 평형하면 중력중심 (center of중력장이 균일하고 평형하면 중력중심 (center of

gravity)과 일치◦ 좌표축 선정에 따라 질량중심 위치 산정의 용이성이 결정된다정된다식을 가능한 한 간단히 할 수 있는 곳에 위치원형경계의 물체 : 극좌표 사용물체의 대칭성 고려 : 좌표축이나 면을 대칭축과 일치하도록 선물체의 대칭성 고려 : 좌표축이나 면을 대칭축과 일치하도록 선정


도심(centroid)도심(centroid)◦ 물체의 밀도가 전체적으로 일정하다면, 물체의 중심을 구하기 위한 식은 오직 물체의 기하학적 성질만을 정의하기 위한 식은 오직 물체의 기하학적 성질만을 정의

∫∫∫ dVzdVydVx ρρρ ※ 물체의 밀도가 일정하면분자 분모의 밀도 가

∫∫

∫∫

∫∫ ===

dVz

dVy

dVx

ρρρ분자,분모의 밀도 ρ가약분된다

◦ 따라서 기하학적 형상만을 고려하여 산정◦ 물체의 형상을 선, 면적 및 체적으로 구분하여 산정


길이 L 단면적 A 밀도 ρ인 가는 막대나 와이어 같은 물체길이 L, 단면적 A, 밀도 ρ인 가는 막대나 와이어 같은 물체일반적으로 도심 C는 선 위에 놓이지 않는다

m

zdmz

m

ydmy

m

xdmx ∫∫∫ ===

mmm

∫== AdLmAdLdm ρρ ,

∫∫∫ ∫∫

∫∫

∫∫ ===

AdL

AdLzz

AdL

AdLyy

AdL

AdLxx

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

L

zdLz

L

ydLy

L

xdLx ∫∫∫ ===

∫∫∫


LLL

두께 t가 얇고 일정한 밀도 ρ를 가진 물체두께 가 얇 일정한 밀 ρ를 가진 물체일반적으로 곡면의 도심 C는 표면에 놓이지 않는다

m

zdmz

m

ydmy

m

xdmx ∫∫∫ ===

mmm

∫== tdAmtdAdm ρρ ,

∫∫∫ ∫∫

∫∫

∫∫ ===

tdA

tdAzz

tdA

tdAyy

tdA

tdAxx

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

A

zdAz

A

ydAy

A

xdAx ∫∫∫ ===

∫∫∫


AAA

zdmydmxdm ∫∫∫ m

zdmz

m

ydmy

m

xdmx ∫∫∫ ===

∫ dVdVd ∫== dVmdVdm ρρ ,

∫∫∫ dVzdVydVx ρρρ

dVdVdV ∫∫∫

∫∫

∫∫

∫∫ ===

dVz

dVy

dVx

ρρρ

V

zdVz

V

ydVy

V

xdVx ∫∫∫ ===


선(lines)의 도심선(lines)의 도심

zdLz

ydLy

xdLx ∫∫∫ ===

면적(Areas)의 도심

L

zL

yL

x ===

면적( )의 도심

A

zdAz

A

ydAy

A

xdAx ∫∫∫ ===

체적(Volumes)의 도심

AAy

A

V

zdVz

V

ydVy

V

xdVx ∫∫∫ ===


요소의 차수요소의 차수◦ 고차의 요소보다 1차의 미분요소를 취하여 전체 도형을 한 번 적분으로 다룰 수 있도록 한다을 한 번 적분으로 다룰 수 있도록 한다.

적분번한대하여에 : dyldydA =

필요적분번두:dxdydA =

적분번한대하여에 : dydyrdV 2π=

필요적분번세:dxdydzdV =


필요적분번두 : dxdydA 필요적분번세 : dxdydzdV

연속성( ti it )연속성(continuity)◦ 가능한 한 요소는 한 번의 연속 작업으로 도형을 적분할 수 있는 것을 취해야 한다할 수 있는 것을 취해야 한다.

적합

필요적분이번두불연속이므로에서높이가미소면적의

1xx =적합


고차항의 제거(discarding higher order고차항의 제거(discarding higher-order terms)◦ 저차항에 비하여 고차항은 항상 버리게 된다. (고차의저차항에 비하여 고차항은 항상 버리게 된다. (고차의미소량은 저차의 미소량과 비교하여 항상 무시할 수있다)

좌표계의 선정좌표계의 선정◦ 대체로 도형의 경계와 잘 들어맞는 좌표계를 선택한다

직각좌표계직각좌표계극좌표계

.

버린다는

취하고를

dxdy

ydxdA

2

1=


2

요 의 심좌요소의 도심좌표◦ 미분요소를 취하고, 미분요소의 모멘트를 구할 때 모멘트 길이로써 요소도심의 좌표를 사용한다트 길이로써 요소도심의 좌표를 사용한다.

, , A

dAzz

A

dAyy

A

dAxx

ccc ∫∫∫ === , , V

dVzz

V

dVyy

V

dVxx

ccc ∫∫∫ ===


AAA VVV

y

xdLxL = ∫

3) 선의 도심을 결정

( ) [ ]αα

θθθα αα

α

α

sin22

sincos22

2

rxr

rrdrxr == −−∫∫

x

αα

ααsin

sin22r

x

rxr

=∴

=1) 대칭축을 x축으로 설정하여

도심의 y좌표가 0이 되게 한다

2) 호의 미분요소를 극좌표로 표시

rxrddL θθ cos== , ∫∫ −=

θθθ

θθθ

i

cossin

d

dQ

※ 각도는 라디안

[ ] rrrdL αθθ αα

α

α2=== −−∫

∫ = θθθ sincos d


※ 각도는 라디안

1) 2α = π 인 원호 2) 2α = π/2 인 원호 45°

√21

y´

y

1) 2α = π 인 원호 2) 2α = π/2 인 원호

y

45

1

´x´

Cr

αα

Cr

α C

r

y´ x′

r2′Cα

αx

Cαα

x πr

x2

=′

x

x

4sin4

sinπ

αr

rx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

x´

παα rr

x2sin

== ( )22

πr

x = ( ) 222414

παrrr

x

x

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=


πα ( )22 πππ

⎟⎠

⎜⎝

3) dA는 적분변수 y방향으로 표시해야 하므로x를 y의 함수로 표시한다.

( ) ( )h

yhbxhyhbx

−=⇒−= ::

dAA ∫

h

4) 도심의 y좌표를 구한다

( )2

10

2

0dybyy

h

bdy

h

yhbyybh

ydAyA

hh

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

−=

=

∫∫

∫

6232

1

2

223

00

bhby

h

byybh

yyyh

yh

yy

h

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

⎠⎝∫∫1) x축이 삼각형의 밑변과 일치하는

좌표축을 설정한다

3

62320

hy

h

=∴

⎥⎦

⎢⎣

xdydA =2) 미분 면적요소를 선정한다


3 xdydA

물체나 도형을 간단한 형태의 여러 부분으로 편리하게물체나 도형을 간단한 형태의 여러 부분으로 편리하게나눌 수 있을 때, 각 부분을 전체의 유한요소(finite element)로 보고 모멘트의 원리를 적용빈 공간 복합 형의 한 부분 생각하여 빈 공간이빈 공간도 복합도형의 한 부분으로 생각하여, 빈 공간이나 구멍에 해당하는 질량을 음의 질량으로 생각한다

( ) 332211321 xmxmxmXmmm ++=++

, , ∑∑

∑∑

∑∑ ===

m

zmZ

m

ymY

m

xmX


∑∑∑

실제 면적이나 체적의 경계를 수학적으로나 간단한 기하실제 면적이나 체적의 경계를 수학적으로나 간단한 기하학적 형태 등으로 표현할 수 없는 경우부정형 면적의 도심부정형 면적의 도심근사방법의 정확도◦ 띠의 폭이 좁을수록 높다면적 사치에 띠의 평 높이를 사용◦ 면적 근사치에는 띠의 평균높이를 사용

◦ 폭이 일정한 요소를 사용하는 것이 유리 h

Δ= xhA

xΔ

, ∑∑

∑∑ ==

A

yAy

A

xAx cc

xΔ


180

구분 x AyAxyA

60180

12010110

1 12,000 60 50 720,000 600,000

2 3,000 140 100/3 420,000 100,000

3 -1,414 60 12.73 -84,800 -18,000

100

50100/340

4 -800 120 40 -96,000 -32,000

계 12,790 959,000 650,000 60

14060/3=20

[ ]mmA

xAX 0.75

12790

959000===

∑∑

[ ]mmA

yAY 8.50

12 90

65000===

∑∑

[ ]mmr

y 7312)30(44

3 ===


[ ]A 12790∑[ ]mmy 73.12

333 ππ

물체를 다섯부분으로 나누고 각각의 평균면적

L)AV( 2.0 ×=×= QAV

물체를 다섯부분으로 나누고 각각의 평균면적,체적, 도심의 위치를 구한다.

구분

0-0 2 3 0 6 0 1 0 060

x xVVA

0-0.2 3 0.6 0.1 0.060

0.2-0.4 4.5 0.90 0.3 0.270

0.4-0.6 5.2 1.04 0.5 0.520

0.6-0.8 5.2 1.04 0.7 0.728

0.8-1.0 4.5 0.90 0.9 0.810

계 4 48 2 388계 4.48 2.388

[ ]mV

xVX 533.0

484

388.2===

∑∑


V 48.4∑

225 mkg

383.7 mMg=ρ 1) 5개의 요소로 분리하여 고려

2) 삼각부분은 음의 질량을 갖는 것으로 취급3) z축을 대칭축으로 선정

[ ]mmr

z 221)50(44===

4) 각 요소의 도심 결정

[ ]mmz 2.21331 ===ππ

[ ] [ ]mmz 100)75(31251503 −=−−−=

240 mkg 구분 y zmymzm

5) 질량중심 방정식 관련 항 정리

1 0.098 0 21.2 0 2.08

2 0.562 0 -75.0 0 -42.19

3 0 094 0 100 0 0 9 38

y y

[ ]ym 7140∑6) 질량중심 결정

3 -0.094 0 -100.0 0 9.38

4 0.600 50.0 -150.0 30.0 -90.00

5 1.476 75.0 0 110.7 0

[ ]

[ ]mmzm

Z

mmm

ymY

74573.120

3.53642.2

7.140

−=−

==

===

∑∑∑


계 2.642 140.7 -120.73[ ]mm

mZ 7.45

642.2===

∑

한 평면곡선을 같은 평면 상의 교차하지 않는 축으로 회한 평면곡선을 같은 평면 상의 교차하지 않는 축으로 회전시킬 때 생기는 표면적을 계산

면적 체적dL면적 체적dL

yπ2

∫ ∫ ddd

dAyπ2

∫=⇒= ydLAydLdA ππ 22 ∫=⇒= ydAVydAdV ππ 22

( )2 ∫== ydLLyLyA Qπ ( ) 2 ∫== ydVVyAyV Qπ


( ) 2 ∫ ydLLyLyA Qπ ( )∫ yyy

선이나 면적을 2π보다 작은 각도 θ만큼 회전시선이나 면적을 2π보다 작은 각도 θ만큼 회전시킬 때

1) 면적

LyA

LyA

θ

π

=

= 2

2) 체적

AyV π= 2

AyV

AyV

θ

π

=

= 2


1) 체적

( )( ) 222 22 RaaRAyV πππθ ===

1) 체적

2) 면적

( )( ) RaaRLyA 2422 πππθ ===


1) 체적

( )[ ] ( )( )[ ]( ) [ ]

606021603130

ArV

+==πθ

( ) [ ]35 1083.2 mm=

밀도강철의

2) 질량

Vm = ρ37830

mkg=ρ

( )[ ]k

mm

mmm

m

kg

2121000

11083.27830

335

3 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

kg21.2=


보(beam)보(beam)◦ 수직하중에 의해 발생된 힘에 대해 저항하도록 만든 구조물◦ 대부분 균일단면을 가지며, 하중은 보의 길이방향에 수직으로 작용

보의 하중크기 해석보의 하중크기 해석◦ 보를 분리하여 평형조건 수립

정역학 원리 적용정역학 원리 적용◦ 외부의 합력과 이를 지지하는 보의 내부 저항력 간의관계식 수립재료역학 이용


지지형태에 따른 분류지지형태에 따른 분류◦ 정정보와 부정정보


집중하중집중하중

분포하중분포하중◦ 분포하중의 강도

단위길이당 힘으로 표시단위길이당 힘으로 표시

◦ 분포하중의 형태일정강도, 변화강도연속, 불연속


분 하중의 합력분포하중의 합력◦ 분포하중 강도 w와 분포길이 L로 이루어진면적면적

합력의 작용 위치◦ 분포하중 면적의 도심위치◦ 분포하중 면적의 도심위치

평형조건 수립을 위한 분포하중의 취급◦ 등가 집중하중으로 치환◦ 등가 집중하중으로 치환


합력합력

∫= dxwR

도심의 x 좌표

∫

( )dxxwxR ∫= 원리모멘트Q

R

dxxwx ∫=

R


[ ]M 0=∑[ ]( ) ( ) ( )

NRR

M

B

B

A

9840010848000512000

0

=∴=+−−

=∑

[ ]( ) ( ) ( )R

M B

024800512000100

++=∑

( ) ( ) ( )NR

R

A

A

696002480051200010

=∴=++−


어떤 점 O 에 관한 합력 모멘트는 같은 점 O 에어떤 점 O 에 관한 합력 모멘트는 같은 점 O 에대해 계의 원래 힘들에 의한 모멘트의 합과 같다(Varignon의 정리의 확장)(Varignon의 정리의 확장)

∑FR

( )o

MRdFdMM

===

=

∑ ∑∑FR

≡

oMRd =


라디안 (radian)라디안 (radian)각도를 나타내는 SI 보조단위1rad : 원주상에서 그 반지름과 같은 길이의 원호를 끊어 이루어진 2개의 반지름의 원호를 끊어 이루어진 2개의 반지름사이의 평면각 (1rad ≒57.3°)360° = 2∏㎭

작은 각도 다루기

1costansin ≅≅≅ θθθθ ,


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