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Ensino Superior
1.1 – Revisão de alguns conceitos básicos
Amintas Paiva Afonso
Álgebra Linear
2
Conceitos
• Escalar • Vector• Matriz
– Igualdade de matrizes– Matriz transposta– Matriz quadrada– Matriz diagonal– Matriz escalar
– Matriz identidade– Matriz simétrica– Matriz nula– Submatriz
3
Conceitos: Vector e Escalar
• Sempre que temos um conjunto E e um corpo K tal que:– Está definida uma adição em E que goza das propriedades
associativa, comutativa, existência de um só elemento neutro (0) e um só elemento simétrico.
– Está definida uma multiplicação de K por E que goza das propriedades de distribuição relativamente às adições de E e K, associatividade e elemento neutro (I).
Temos que E é um espaço vectorial relativo ao corpo K, os elementos de E designam-se por vectores e os de K por escalares.
4
Exemplificação
• Vectores
• Escalar – kn
n
2
1
n
2
1
u
uu
U;
v
vv
V
(V+U)+T = V+(U+T)V+U = U + VV + 0 = VV + (-V) = 0
k1(V+U)= k1 V+ k1 U
(k1+ k2)V= k1 V+ k2 V
k1 (k2 U)=(k1 k2 )U
1.V=V
5
Matrizes
– Igualdade de matrizes– Matriz transposta– Matriz quadrada– Matriz diagonal– Matriz escalar– Matriz identidade– Matriz simétrica– Matriz nula– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaaaaa
A
6
– Igualdade de matrizes– Matriz transposta– Matriz quadrada– Matriz diagonal– Matriz escalar– Matriz identidade– Matriz simétrica– Matriz nula– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaaaaa
A
ij2i1i
j22221
j11211
bbb
bbbbbb
B
j...,3,2,1ni...,3,2,1m
mnmn ;ba BA
Matrizes
7
ijj2j1
2i2212
1i2111
T
aaa
aaaaaa
'AA
– Igualdade de matrizes– Matriz transposta– Matriz quadrada– Matriz diagonal– Matriz escalar– Matriz identidade– Matriz simétrica– Matriz nula– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaaaaa
A
Matrizes
8
– Igualdade de matrizes– Matriz transposta– Matriz quadrada– Matriz diagonal– Matriz escalar– Matriz identidade– Matriz simétrica– Matriz nula– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaaaaa
A
ji se só e Se
Matrizes
9
– Igualdade de matrizes– Matriz transposta– Matriz quadrada– Matriz diagonal – Matriz escalar– Matriz identidade– Matriz simétrica– Matriz nula– Submatriz
nn
22
11
a00
0a000a
A
Matrizes
10
– Igualdade de matrizes– Matriz transposta– Matriz quadrada– Matriz diagonal– Matriz escalar– Matriz identidade– Matriz simétrica– Matriz nula– Submatriz
a,
a00
0a000a
E
Matrizes
11
– Igualdade de matrizes– Matriz transposta– Matriz quadrada – Matriz diagonal– Matriz escalar– Matriz identidade– Matriz simétrica– Matriz nula– Submatriz
100
010001
I
Matrizes
12
– Igualdade de matrizes– Matriz transposta– Matriz quadrada– Matriz diagonal– Matriz escalar– Matriz identidade– Matriz simétrica– Matriz nula– Submatriz
jiij
nn2n1n
n22221
n11211
aa se,
aaa
aaaaaa
A
Matrizes
13
– Igualdade de matrizes– Matriz transposta– Matriz quadrada– Matriz diagonal– Matriz escalar– Matriz identidade– Matriz simétrica– Matriz nula– Submatriz
000
000000
N
Matrizes
14
– Igualdade de matrizes– Matriz transposta– Matriz quadrada– Matriz diagonal– Matriz escalar– Matriz identidade– Matriz simétrica– Matriz nula– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaaaaa
A
Matrizes
15
ijij2i2i1i1i
j2j222222121
j1j112121111
ij2i1i
j22221
j11211
ij2i1i
j22221
j11211
bababa
babababababa
bbb
bbbbbb
aaa
aaaaaa
Adição de Matrizes
16
ij2i1i
j22221
j11211
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaaaaa
aaa
aaaaaa
Multiplicação de Matrizes por um escalar
mj2nmn222m121m
1nn121121111
njnj2n1n
j22221
j11211
mnmn2m1m
n22221
n11211
...ba...baba...
......
......ba...baba
bbb
bbbbbb
aaa
aaaaaa
Multiplicação de Matrizes
18
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaaaaa
A
Traço de uma matriz
nn332211 a...aaa)A(tr
