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Cálculo 1

1- Funções e Limites

Amintas Paiva Afonso

Números e Números e Funções ReaisFunções Reais

Amintas Paiva Afonso

Números e funções reais

Conjunto dos Números Naturais (N)

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}

Negativos: Z- = {..., -3, -2, -1, 0}

Não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

N Z (N está contido em Z)

Conjunto dos Números Racionais (Q)

Q = {a/b | a,b Z, b 0}

Z Q (Z está contido em Q)


Conjunto dos Números Irracionais () É o conjunto formado por números cuja

representação decimal é não exata e não periódica Exemplo: = 3,141592653589...

Conjunto dos Números Reais (R) É o conjunto formado pela união dos conjuntos dos

números racionais e irracionais

R

QZ

N


Operações com números racionais

Adição:

Subtração:

Multiplicação:

Divisão:

bd

bcad

d

c

b

a

bd

bcad

d

c

b

a

bd

ac

d

c

b

a

bc

ad

c

d

b

a

dcba


Reta Real Cada ponto de uma reta real representa um número real Numa reta real os números estão ordenados de maneira

crescente da esquerda para a direita. Um número a é menor que qualquer número b colocado

a sua direita e maior que qualquer número c a sua esquerda.

543210-1-2-3-4

R

a bc


Conceito de função Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B é

uma lei ou regra de correspondência que relaciona a cada elemento de de A um único elemento de B.

Notação: f: A B y = f(x)


Plano Cartesiano O plano cartesiano é definido por dois eixos ortogonais Eixo x é o eixo das abscissas Eixo y é o eixo das ordenadas A origem do sistema é o ponto O As coordenadas do ponto P são os números reais x1 e y1

Par ordenado (x1 , y1)

x

y

x1

y1P(x1, y1)

O


Domínio É o conjunto de valores assumidos por x.

Imagem É o valor assumido pela função ao se aplicar a regra de

correspondência para os elementos do domínio. Gráfico

É a representação geométrica dos pares x e y no plano cartesiano.

Retas

Coeficiente angular da reta R:

Obs.: Retas horizontais: m = 0 Retas verticais: Não têm m

12

12

horizontal variação

verticalvariação

xx

yy

x

ym

m

X

RY

12 yyy

12 xxx

),(P 111 yx

),(P 222 yx

1x 2x

1y

2y

Retas

Equação da Reta: Forma Ponto – Coeficiente angular

A equação abaixo é a equação na forma ponto

– coeficiente angular que passa pelo ponto (x1, y1) e tem

coeficiente angular m.

11

11

)(ou

yxxmy

xxmyy

Retas

Exemplo 1 Escreva uma equação para a reta que passa pelo ponto P(2, 3) com coeficiente angular -

3/2.

x1 = 2

y1 = 3

m = -3/2

62

3

32

33

22

33

11

xy

xy

xy

xxmyy

Retas Exemplo 2

Escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos P1(-2, -1) e P2(3, 4).

x1 = -2

y1 = -1

x2 = 3

y2 = 4 m = ?

1

21

)2(1)1(11

xy

xy

xy

xxmyy

retadaequaçãodaCálculo

15

5

23

14

)2(3

)1(412

12

m

xx

yym

angularecoeficientdoCálculo

Retas

Equação reduzida da reta:

m - coeficiente angular b - coeficiente linear

Equação geral da reta:

A e B diferentes de zero.

bmxy

CByAx

R

b)(0,

X

Y ),( yx

b

Aplicações

Muitas variáveis importantes são relacionadas por equações lineares, como por exemplo, a relação entre as escalas de temperatura Fahrenheit e Celsius.

)32(9

532

5

9 FCouCF

mb

Funções e Gráficos

Os valores de uma variável freqüentemente dependem dos valores de outra variável A temperatura de ebulição da água depende da altitude

(o ponto de ebulição diminui quando a altitude aumenta) O rendimento anual de suas economias depende da taxa

de juros oferecida pelo banco Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A

um único elemento de outro conjunto B é chamada de função.

BA

OBS:A é o domínioB é a imagem (contra-domínio)


Nomenclatura (Leonhard Euler) y é igual a f de x

)(xfy Variável independente (domínio)

Variável dependente (contra-domínio ou imagem)

X (domínio)

Y (imagem)

Funções

Definição: Sejam R o conjunto dos números reais e, A e B dois subconjuntos de R. Uma função f de A em B é uma lei que associa a cada elemento x de A, um único elemento y = f(x) do conjunto B. Neste caso, dizemos que y é uma função de x, ou seja, f é uma função real de uma variável reale denotamos por:• x é chamada de variável independente.• y é chamada de variável dependente.• A é chamado de domínio, denotado por A = 𝔻(f).• B é chamado de contra domínio , denotado por B = C𝔻(f).

Seja f: A → B uma função. Domínio da função f é o conjunto A definido por:A = 𝔻(f) = {x∊ℝ/ ∃ f(x)ℝ} A Imagem da função f, denotada por 𝕀m(f), é um subconjunto do contra domínio B, ou seja, 𝕀m(f)⊂B, definido por:𝕀m(f) = {yB/ ∃ x∊A, com y = f(x)}

𝕀m(f)A = 𝔻(f) B = C𝔻(f)fy=f(x)x


Domínios e imagens Quando definimos uma função y = f(x) com uma fórmula e o domínio

não é citado explicitamente ou restrito pelo contexto, considera-se que o domínio seja o maior conjunto de valores de x para os quais a fórmula fornece valores reais de y – domínio natural.

Se queremos restringir o domínio de algum modo devemos dizê-lo. Exemplo: O domínio de y = x2 é o conjunto dos números reais. Se

queremos somente valores positivos de x devemos escrever y = x2, x > 0.

Os domínios e as imagens de muitas funções de uma variável real a valores reais são intervalos ou combinações de intervalos, que podem ser abertos, fechados ou semi-abertos e finitos ou infinitos.

Funções e Gráficos As extremidades de um intervalo são chamadas pontos de fronteira e os pontos

restantes são chamados pontos interiores. Intervalos que contêm os pontos de fronteira são fechados e os que não contêm são

abertos. Aberto AB

A < x < B ou (A, B) Fechado AB

A ≤ x ≤ B ou [A, B] Fechado em A e aberto em B

A ≤ x < B ou [A, B) Aberto em A e fechado em B

A < x ≤ B ou (A, B]

xA B

xA B

xA B

xA B


Exemplos de domínios e imagens

A função 1 fornece um valor real de y para qualquer número real de x, então o domínio é (-, )

A função 2 fornece um valor real de y somente quando x é positivo ou zero, então o domínio é [0, )

RRxy

RRxy

RRxy

ou),0[ou),0[)3

ou),0[ou),()2

ou),(ou),(2)1

(y) Imagem(x) DomínioFunção

2

Gráfico de uma função

Uma função pode ser representada por pares ordenados e seu gráfico é um subconjunto do ℝ2, isto é:Gr(f) = {(x,y) ℝ2/x𝔻(f) e y = f(x) 𝕀m(f)} ouGr(f) = {(x,f(x)) ℝ/ x 𝔻(f) }(x,y)y1 x1 x2

y2 y=f(x)

xy

𝔻(f)={x∊ℝ/x1 x x2}=[x1 , x2]

𝕀m(f)=[y1 , y2]

Zeros e sinais de uma função

x

y

Zeros ou raízes da função são os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo Ox, ou seja, f(x)=0, ou ainda, onde y=0.

y=f(x)

Os sinais da função: Acima do eixo Ox ela é positiva e abaixo é negativa.

x1 x2 x3

]-∞,x1] y<0[x1,x2] y>0[x2,x3] y<0[x3,+∞[ y>0 ++▁ ▁


Tipos de funções Função linear

Ex.: y = x + 1; Função linear afim

Ex.: y = 2x; Função quadrática

Ex.: y = x2 – 2x – 3; Função exponencial

Ex.: y = 2x; Função logarítmica

Ex.: y = log2x; Funções trigonométricas

Ex.: y = senx

Função do 1º Grau

baxy

Uma função de 1º grau, ou RETA, é toda função real do tipo :

Onde:

a = taxa de variação da função;

b = ponto onde a reta toca o Eixo Y;

R

b)(0,

X

Y ),( yx

b

Propriedades da Reta

É definida por um polinômio de 1o grau;

Possui uma única raiz real, isto é, ela cruza o Eixo X em

apenas um ponto;

O sinal da taxa de variação aa fornece a informação sobre o

crescimento ou decrescimento da função:

a < 0a < 0 função decrescente;

a > 0a > 0 função crescente;

Propriedades da Reta

Só tocam o eixo X uma vez.

Se a < 0, a função decresce.Se a > 0, a função cresce.

---

As funções de 1º Grau possuem apenas uma raiz, que é

justamente onde a reta (que representa a função de 1º Grau)

cruza o Eixo x. Isto é, onde a função tem valor zero.

abxbaxbaxy 00

Raízes da Função de 1º Grau

Função Afimy = ax + b ∀a≠0 e bℝ

θ

a>0 reta crescente

b

a coeficiente angular a = tgθb coeficiente lineara<0 reta decrescente

θb

Função do 1º grau

Função Lineary = ax + b

θ

a>0 reta crescente a<0 reta decrescenteθ

y = ax

Até 40h 3,00 por hora

Acima de 40h + 50% (4,50 por hora)

Salário Bruto = (até 40h) + (acima de 40h)

Sendo x o número total de horas,

S(x) = 40.3 + (x – 40).4,5

S(x) = 120 + 4,5x – 180 = 4,5x - 60

Exercícios

Fixa ...... 4,60 + 0,96 por quilômetro

Para um valor de 19,00

F(x) = 4,60 + 0,96.x

19 = 4,6 + 0,96.x

14,4 = 0,96.x

15 = x

Exercícios

X – preço de tabela

À vista: (30% de desc) = 0,7.x

Cartão de crédito: 1,1.x

Logo 0,7.x = 7000

x = 10.000

E portanto, no cartão 1,1.10000 = 11000

Exercícios

Exercícios

Exercícios

cbxax 2y

Uma função de 2º grau, também chamada de função

QUADRÁTICA, representada por uma PARÁBOLA, é toda

função real do tipo:

Desde que a ≠ 0;

Função de 2º Grau

É definida por um polinômio de 2o grau;

Pode possuir:

Duas raízes reais e distintas;

Duas raízes reais e iguais;

Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X).

O sinal de aa fornece a informação sobre a concavidade da

função:

a < 0a < 0 concavidade para baixo;

a > 0a > 0 concavidade para cima;

Propriedades da Parábola

Propriedades da Parábola

Podem ter três tipos de raízes.

Se a < 0, a concavidade é para baixo.

Se a > 0, a concavidade é para cima.

Para encontrar as raízes de funções de 2º Grau, resolvemos a equação:

02 cbxax

Cuja solução pode ser dada pela fórmula de Bhaskara:

acbcoma

bx 4,

22

Raízes da Função de 2º Grau

Função Quadrática Função do 2º graua>0 concavidade para cima a<0 concavidade para baixo

Função Quadrática

> 0 = 0

<0x1 x2 x1 = x2

Propriedades das Funções

-4-2-1-3


1-1f(x+a) com a>0 deslocamento para a esquerda

f(x-a) com a>0 deslocamento para a direita



2-2

24f(x) e –f(x) são simétricas em relação ao eixo Ox

-4 f(x) e f(-x) são simétricas em relação ao eixo Oy

Função Polinomial

3 raízes reais diferentes2 raízes reais iguais e 1 diferente

2 raízes complexas e 1 real

Função Potência

Função Potência

Função Potência

Função Potência

Função Potência

Função Potência

Função Racional

São função do tipo , onde g(x) e h(x) são polinômios na mesma variável.Exemplo: Dada a função , determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:

1-1

-1

-11

Função Logarítmica

1 1

Função Exponencial

1 1

1

Função definida por Sentença Aberta

10 2-1

Função Modular

1/21/4

Círculo Trigonométricoe os eixos das funções trigonométricas

Seno e Cossecante

Cosseno e Secante

Tangente

Cotangente0+

-

Seno e Cossecante

0

Funções sen(x) e cossec(x)

θ

yx0 /2 3/2 2 5/2 3

1-1

-/2--3/2-2

Função Seno

yx0 /2

3/2 25/2 3

1-1

-/2--3/2-2

cosseno e secante0

Funções cos(x) e sec(x)

θ

yx0 /2 3/22 5/2 3

1-1-/2--3/2-2

Função Cosseno

y

x0 /2 3/2 2 5/23

1-1

-/2--3/2-2

Função Secante

0

Funções tg(x) e cotg(x)

θ

Eixo da tangente

Eixo da cotangente

Função Tangente

yx0 /2 3/2 2 5/2-/2-

yx0 /2 3/2 2-/2--3/2

Função cotangente

Função Inversas das funções sen(x), cos(x) e tg(x)

yx0 /2 3/2 2 5/2 3

1-1

-/2--3/2-2

/21-1

-/2

f(x)=sen(x)

f -1(x)=arcsen(x)

/2

1-1

f(x)=cos(x)

f -1(x)=arccos(x)

yx0 /2 3/22 5/2 3

1-1-/2--3/2-2

yx0 /2 3/2 2 5/2-/2-

f(x)=tg(x)

/2

-/2

f-1 (x)=arctg(x)

Funções HiperbólicasDas funções trigonométricas, temos que P(x,y)=(cosθ,senθ) está sobre uma circunferência de equação x2+y2=1. .θ P(x,y)x

y 1

Para as funções hiperbólicas, temos que P(x,y)=(coshθ,senhθ) está sobre uma hipérbole de equação x2-y2=1. P(x,y)=(coshθ,senhθ)θ xy

Definições:

1

Seno hiperbólico Cosseno hiperbólico

Outras funções hiperbólicas

Tangente hiperbólica1

-1

Cotangente hiperbólica1-1

cotgh(x)tgh(x)

Secante hiperbólica1Cossecante hiperbólica

sech(x) cosech(x)

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