Entrando en la ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad parte de las bases ideales siguientes:

1. El fluido es incompresible.2. La temperatura del fluido no cambia.3. El flujo es continuo, es decir su velocidad y presión no dependen del

tiempo.4. El flujo es laminar. No turbulento.5. No existe rotación dentro de la masa del fluido, es un flujo irrotacional.6. No existen pérdidas por rozamiento en el fluido, es decir no hay

viscosidad.

Tomemos un tubo imaginario de sección variable formado por un racimo de lineas de corriente del interior de un fluido en movimiento como se muestra en la figura 1. En un intervalo pequeño de tiempo Δt, el fluido que entra por el fondo del tubo imaginario recorre una distancia Δx1 = v1 Δtsiendo v1 la velocidad del fluido en esa zona. Si A1 es el área de la sección transversal de esta región, entonces la masa de fluido contenida en la parte azul del fondo es ΔM1 = ρ1A1 Δx1 = ρ1A1v1Δt, donde ρ es la densidad del fluido. De la misma forma el flujo que sale por el extremo superior del tubo imaginario en el mismo tiempo Δt tiene la masa ΔM2 = ρ2A2v2Δt. Como la masa debe conservarse y debido también a que el flujo es laminar, la masa que fluye a través del fondo del tubo en la sección A1, en el tiempo Δt, será igual a la que fluye en el mismo tiempo a través de A2. Por lo tantoΔM1 = ΔM2, o:

ρ1A1v1Δt = ρ2A2v2Δt    (ecuación 1)

Si dividimos por Δt tenemos que: 

ρ1A1v1 = ρ2A2v2   (ecuación 2) 

La ecuación 2 se conoce como ecuación de continuidad.

Como hemos considerado que el fluido es incompresible entonces ρ1 = ρ2 y la

Figura 1. Un fluido en movimiento con las lineas de corriente a lo largo de un tubo imaginario de sección

variable.

ecuación de continuidad se reduce a:

 A1v1 = A2v2

Es decir, el área de la sección transversal de un tubo, multiplicada por la velocidad del fluido es constante a todo lo largo del tubo. El producto Av, que tiene las dimensiones de volumen por unidad de tiempo se conoce como caudal.

Ecuación de la continuidad

Consideremos una porción de fluido en color amarillo en la figura, el instante inicial t y en el instante t+t.

En un intervalo de tiempo t la sección  S1 que limita a la porción de fluido en la tubería inferior se mueve hacia la derecha x1=v1t. La masa de fluido desplazada hacia la derecha es m1=·S1x1=S1v1t.

Análogamente, la sección S2 que limita a la porción de fluido considerada en la tubería superior se mueve hacia la derecha  x2=v2t. en el intervalo de tiempo t. La masa de fluido desplazada es m2= S2v2 t. Debido a que el flujo es estacionario la masa que atraviesa la sección S1 en el tiempo t, tiene que ser igual a la masa que atraviesa la sección S2 en el mismo intervalo de tiempo. Luego

v1S1=v2S2

Esta relación se denomina ecuación de continuidad.

En la figura, el radio del primer tramo de la tubería es el doble que la del segundo tramo, luego la velocidad del fluido en el segundo tramo es cuatro veces mayor que en el primero.