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matematica
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Ficha de Trabalho Algebra - Radicais
Matematica A - 10o AnoFicha de Trabalho
Algebra - Radicais
Grupo I
1. Sejam a e b dois numeros naturais diferentes que 1 tais que x =a 3b.
Conclui-se entao que x pode ser dado por qual das expressoes abaixo?
(A)a32 b (B) 3
a3 b (C) 3
a23 b (D) 3
6a b
2. Considere dois numeros positivos a e c tais que a constante real x e dada por x = ca2 c 16 .
Qual das expressoes pode definir x?
(A)12ca+1 (B) 12
(ca)6 c2 (C) 12(ca)6 + c2 (D) 12c6a + 2
3. Considere a constante real a dada por a =
4 +
11 +
3
123 +
4.
Qual e o valor de a?
(A) 2
2 (B) 3
2 (C) 8 (D) 2
3
4. ** Indique o valor de x que e solucao da equacao abaixo.
8
4
3x = 38
3
(A) 3 (B) 9 (C) 27 (D) 36
Nota: De forma a resolver a equacao, coloque ambos os termos na mesma base e iguale os expoentes.
5. Considere uma superfcie esferica de area igual a81pi
27metros quadrados.
Indique o valor do raio da esfera, em metros, sabendo que a area de uma superfcie esferica de raio R edada por 4piR2.
(A)3
2
3 (B)
3
24
3 (C)9
2(D)
9
4
3
6. Considere x e y dois numeros positivos e a expressao seguinte:
3xy2 xy
3
x4y2
Qual e uma expressao equivalente a` dada acima?
(A) 4
(xy)3 (B) y 3x2y (C) 4
x2y3 (D)
x3 4
y3
7. Considere x e y dois numeros positivos e a expressao seguinte:
1
2 (y)2 (xy2)4 y3
Qual e uma expressao equivalente a` dada acima?
(A) (xy)4 y2
2(B)
1
2(xy)3(C) (xy)3 y
2
2(D)
x3y4
2
SINAL + | Nuno Miguel Guerreiro Ficha de Trabalho| Matematica A - 10o Ano| 1
Ficha de Trabalho Algebra - Radicais
8. Considere as proposicoes p e r:
p : x R : 4x = 5x 5
x
r : n N : n+ 1 = n
1 + 1n = 1
Qual das expressoes abaixo e uma proposicao falsa?
(A) p r (B) p r (C) p r (D) r p
9. Considere as proposicoes p e r:p : a R : a 13 + a 12 + a = 3a (1 +
a3 + a3)
r : a N : a 12 + a 12 = a ( 1a + 1)Qual das expressoes abaixo e uma proposicao verdadeira?
(A) p r (B) p r (C) p r (D) (p r) r
10. ** Considere um numero positivo a, uma constante real k e a expressao seguinte:
x =ak
2 a 3a
aa3 12a
Sabendo que a0 = 1, indique os valores de k para os quais x = 1?
(A) k = 12
(B) k = 2 (C) k =
2
2(D) k = 1
Nota: De forma a resolver a equacao, coloque ambos os termos na mesma base e iguale os expoentes.
11. Considere as proposicoes p e r:
p :
9 + 4
5 =
5 + 2
r :
11 62 = 2 + 3Qual das expressoes abaixo e uma proposicao verdadeira?
(A) p r (B) p r (C) p r (D) p r
12. Considere a circunferencia de centro em C e de raio r repre-sentada na figura ao lado.Sabe-se que:
Os pontos A e B pertencem a` fronteira da circunferencia; O triangulo [ABC] e rectangulo; AB = d
Sabendo que a circunferencia tem raio
6 + 4
2, indique ovalor de d.
C
A
B
d
r
(A) 1 +
2 (B) 4 + 2
2 (C) 2(1 +
2) (D) 2 +
2
Sugestao: Determine o valor de d2 na forma a + bc em que a e b sao constantes reais e c e um numero positivo e eleve
ao quadrado cada uma das opcoes da escolha multipla ate encontrar a correspondencia correcta.
13. Considere um crculo de centro em C de raio r e uma rectaque passa nos pontos A e B de tal forma que [ACB] e umtriangulo rectangulo em A.
Tendo em conta que AB =
4 +
3 e CB =
3 + 2
3,indique qual e o valor da area do crculo de centro em C.
(A) pi(1 +
3) (B) pi(7 +
3)
(C) pi(1 +3) (D) pi(7 + 33)
C
A
B
SINAL + | Nuno Miguel Guerreiro Ficha de Trabalho| Matematica A - 10o Ano| 2
Ficha de Trabalho Algebra - Radicais
Grupo II
1. Racionaliza o denominador de cada uma das seguintes fraccoes.
1.1.42
1.2.
25
1.3.4
5
3
1.4.103
2
1.5.2
5 5
10
1.6.10
12
1.7.
a
a 1 , a N\{1}
1.8.4
23 +
2
1.9.4
321.10.
aaa 1 , a N
1.11.
a+b
a, a, b N
1.12.
x+ y
x y , x, y N, x > y
2. Mostre que:
2.1.
a aa 1 =
a, a N\{1}
2.2.
6a2a3
=4
36a, a N
2.3.1
(a+ 1)2
a2 + 2a+ 1
a 1 =1
a2 1 , a N\{1}
2.4.
aba+b
= 3 2
2, se a 6= 0 e ab
= 2
2.5.k
2 1416k
=4k5, k R+
2.6.
(2
k+
1
k2
)n=
1
kn
(2k + 1)n, k, n N
3. Considere uma esfera de volume V e raio R e uma constante positiva a. Determine:
3.1. O volume da esfera para R =
3.
3.2. O volume da esfera para R =13
6.
3.3. O raio da esfera para V =108
a3.
3.4. O valor de a para V =16pi
9e R =
3a4
a.
3.5. Considere agora a superfcie esferica dessa mesma esfera e encontre o valor de R para o qual a areadesta e igual ao volume da esfera.
3.6. Para um dado R, a area da superfcie esferica e a2 vezes maior que o volume da esfera. Determine ovalor de a, em funcao de R.
4. Considere a piramide [OABC] e o prisma rectangular na qualela esta contida representados num referencial o.n Oxyz nafigura ao lado.Sabe-se que:
BC =
2 +
3
OA = 3 OB4.1. Calcula o valor de a para o qual a altura do prisma rec-
tangular e 4
3, tendo em conta que OA = a.
4.2. Calcula o volume do prisma rectangular, tendo em conta
que a altura deste e
1 +
3.
4.3. Calcule o valor de a para o qual o volume do prisma rec-
tangular e
2 +
3 a29 , tendo em conta que OA = a.
O
B
C
A
SINAL + | Nuno Miguel Guerreiro Ficha de Trabalho| Matematica A - 10o Ano| 3
Ficha de Trabalho Algebra - Radicais
5. Considerando x um numero real positivo:
5.1. Mostre que
9 +x4 + 12x3 + 36x2 = x+ 3, tendo em conta que (x+ 6)2 = x2 + 12x+ 36.
5.2. Escreva x+ 1 na formaa+bx4 + cx3 + dx2, com a, b, c e d constantes reais positivas.
6. Resolva as equacoes, apresentando a solucao com o denominador racionalizado:
6.1.
2x+ 100 =
32x
6.2.
3x+
2 =
5x
6.3. (x2 2) (x2 15) = 06.4. x(x8) = 2
6.5. x(x3) = 36.6. x(
5x 1)5 = 0
6.7. x3 2x2 4x = 06.8. x4 16x2 + 64 = 0
Sugestao: Proceda a` mudanca y = x2 e ache as solucoes
y da equacao de segundo grau.
7. Considere a e b dois numeros naturais diferentes e positivos. Simplifique as expressoes abaixo:
7.1.a2 3
b2 1a
a 4b
7.2.12a5 b9 4a
13a 3b
7.3.2a3 a 4a b2
b4 1b a
7.4.
6a3b (ab )2 ba
3
a2b(ab)2
7.5.
a34
(ab)1 4(
ab
)37.6.
aa baabaa
8. Considere uma esfera de raio R inscrita num cubo de aresta a e a constante real nao nula k.
8.1. Sabendo que o volume do cubo e 27k6 e que o raio da esfera e 3, determine o valor de k.Sugestao: Comece por exprimir o raio da esfera, em funcao do volume do cubo.
8.2. Determine o valor de k, sabendo que o volume da esfera e 6k2 vezes menor que o volume do cubo.Sugestao: Comece por exprimir o volume da esfera, em funcao do volume do cubo.
8.3. Considere as proposicoes:
p : a = 2Rq : R = pi 6
k
Sabendo que o volume do cubo e V =pi
8
k, determine o valor logico da proposicao p q.
9. ** Considere a um numero natural positivo e a constante real k dada por:
k =
1
(a x)2
Prove que se k a = 2, entao x = a2 x = 3a2 .Sugestao: Tenha em conta que
(x x0)2 = |x x0| na resolucao da equacao.
10. ** Considere a e b dois numeros naturais diferentes tais que a > 2 e b > 1 e a constante real x dada por:
x =a
ab
ab 1
2ab
Escreva x em funcao de a e b e indique, na forma de um intervalo real, os valores de b para os quais x > a.Sugestao: Tenha em conta que se x esta escrito na forma ak entao x > a sse k > 1.
**Os itens assinalados serao avaliados mais a` frente no programa do ensino secundario, uma vez que dizem respeito a` resolucao
de equacoes e inequacoes exponenciais e de equacoes com modulos. A resolucao destes fica ao criterio do aluno.
SINAL + | Nuno Miguel Guerreiro Ficha de Trabalho| Matematica A - 10o Ano| 4
Ficha de Trabalho Algebra - Radicais
Solucoes
Grupo I
1. (B)
2. (B)
3. (A)
4. (D)
5. (B)
6. (B)
7. (A)
8. (D)
9. (D)
10. (C)
11. (B)
12. (C)
13. (C)
Grupo II
1.1 2
2
1.2
10
5
1.34
3
15
1.4 5 3
4
1.55
10000
25
1.6 10(2 + 1)
1.7a+a
a 1
1.8 4
6 8
1.9 4(
3 +
2)
1.10 a(a+a 1)
1.11 1 +
ab
a
1.12
x2 y2x y
3.1 4
3pi 3.22pi
9 3.33
a3
1
pi3.4
4
33.5 3
3.6
3
R
4.1 3
2 4.2 3 (
1 +
3) 4.3
3
5.2 x+ 1 =
1 +x4 + 4x3 + 4x2
6.1 x =50
2
3
6.2 x =
10 +
6
2
6.3 x = 4
2 x =
5
5
6.4 x =
2 2 x =
2 + 2
6.5 x =
3
2(1
5) x =
3
2(1 +
5)
6.6 x =
5
10(1 +
21) x =
5
10(1
21)
6.7 x = 0 x =
2 x = 2
2
6.8 x = 2
2 x = 22
7.112b5
7.2 a12b5
7.3 a2b
7.4a
b
7.5 ab
7.6 aa
8.1
2 8.2
pi
68.3 V
10 b ]a 1,+[
SINAL + | Nuno Miguel Guerreiro Ficha de Trabalho| Matematica A - 10o Ano| 5