1/25

　

行列の演算に関する詳細プリント ２

・積の結合法則・積の非可換性・逆行列の論理（準備）

2/25

積の結合法則　ABC ？３つの行列 A,B,C について, 積が計算可能なとき

(AB)C = A(BC) 　　　　

3/25

積の結合法則

３つの行列 A,B,C について, 積が計算可能なとき

(AB)C = A(BC) = ABC

左の等式 のおかげでABC と書いても誤解なく定められるという主旨.

4/25

証明：まず 行列の型 をチェックする.

AB, BC の積が計算可能なので, A,B,C の型を

A ： m × n

B ： n × r

C ： r × s

としよう. すると

AB ： m × r 　BC ： n × s 　

となり...

5/25

整理して

A ： m × n

B ： n × r

C ： r × s

AB ： m × r

BC ： n × s

(AB)C ： m × sA(BC) ： m × s

となって　 (AB)C と A(BC)の型が一致することがわかる.

　

6/25

次に 成分の一致 を確かめる.

記号を準備する.

記号（山田の流儀）：　(A)i,j で「行列Aの (i, j)成分」を表すとする.

行列の積AB の成分は 次の通り

(AB)i,j =n∑

k=1

(A)i,k(B)k,j

7/25

(AB)C = A(BC) の証明成分について

8/25

全体像((AB)C

)i,j

=

r∑l=1

(AB)i,l(C)l,j

=r∑

l=1

(n∑

k=1

(A)i,k(B)k,l

)(C)l,j

=∑

1 ≤ k ≤ n

1 ≤ l ≤ r

(A)i,k (B)k,l (C)l,j

=n∑

k=1

(A)i,k

(r∑

l=1

(B)k,l(C)l,j

)

=n∑

k=1

(A)i,k(BC)k,j =(A (BC)

)i,j

9/25

始めの部分は((AB)C

)i,j

=r∑

l=1

(AB)i,l(C)l,j

=r∑

l=1

(n∑

k=1

(A)i,k(B)k,l

)(C)l,j

　

10/25

始めの部分は((AB)C

)i,j

=r∑

l=1

(AB)i,l(C)l,j

=r∑

l=1

(n∑

k=1

(A)i,k(B)k,l

)(C)l,j

\ 1 2 · · · n

1 (1, 1) (1, 2) · · · (1, n)

2 (2, 1) (2, 2) · · · (2, n)...

......

. . ....

r (r, 1) (r, 2) · · · (r, n)

11/25

一方, 最後の方は

=n∑

k=1

(A)i,k

(r∑

l=1

(B)k,l(C)l,j

)

=n∑

k=1

(A)i,k(BC)k,j =(A (BC)

)i,j

\ 1 2 · · · n

1 (1, 1) (1, 2) · · · (1, n)

2 (2, 1) (2, 2) · · · (2, n)...

......

. . ....

r (r, 1) (r, 2) · · · (r, n)

12/25

和の順序の並べ替えを行うのが

=∑

1 ≤ k ≤ n

1 ≤ l ≤ r

(A)i,k (B)k,l (C)l,j =

∑条件★

　と書いたら, その条件★ に合うもの １つにつき１回,

　　　　重複なく漏れもなく 項の 和を取る という意味.

　　　（このとき, 和の順序は自由）

注：条件は文脈に応じて意味を読み取る.

13/25

和の順序の並べ替えを行うのが

=∑

1 ≤ k ≤ n

1 ≤ l ≤ r

(A)i,k (B)k,l (C)l,j =

\ 1 2 · · · n

1 (1, 1) (1, 2) · · · (1, n)

2 (2, 1) (2, 2) · · · (2, n)...

......

. . ....

r (r, 1) (r, 2) · · · (r, n)

14/25

積の 非可換性

15/25

積の 非可換性

２つの行列 A,B について,

一般に BA ̸= AB

これは

「（BA = AB となる例もあるが）　　常に BA = AB が成り立つとは限らない」

という意味.　もっと詳しくいうと

16/25

ABが計算可能でも

BAは　 [1] 計算不可能な場合 がある[2] 計算可能でも, 型が異なる場合 もある[3] 計算可能で 型が一致しても,

成分が異なる場合 もある

17/25

[1]　AB が計算可能なのに BAが 計算不可能 な例

[0 1 2

]　と　

1 0

2 2

3 −1

1 0

2 2

3 −1

　と　 [0 1 2]

18/25

[2]　AB が計算可能で, BAも計算可能であるが 型が異なる　例

1 2 3

0 2 −1

　と　4 3

2 2

0 1

4 3

2 2

0 1

　と　1 2 3

0 2 −1

19/25

　

[3]　AB が計算可能で, BAも計算可能で型が一致しても成分が異なる　例0 1

1 0

　と　2 0

0 3

2 0

0 3

　と　0 1

1 0

各自, 計算してみること

20/25

　

逆行列の論理（準備）“代数の基礎”

　

21/25

単位行列をE とする. （I と書く人もいる.）

E =

1 0 · · · 0

0 1 · · · 0

.

.

....

. . ....

0 0 · · · 1

= ( δij )

E の性質 （積の単位元：数の 1 に対応）

　 [1] （積が可能な）任意の行列X に対して XE = X.

　 [2] （　同　上　）任意の行列 Y に対して EY = Y .

定理.　この [1], [2] を両方満たす行列は E のみ.　

22/25

　 [1] （積が可能な）任意の行列X に対して XE = X.

　 [2] （　同　上　）任意の行列 Y に対して EY = Y .

定理.　この [1], [2] を両方満たす行列は E のみ.　

証明：E′ が [1], [2] を両方満たすとする. 　つまり

[1’] ∀X, XE′ = X. [2’] ∀Y, E′Y = Y .

∀ =「any 任意の」

23/25

　 [1] （積が可能な）任意の行列X に対して XE = X.

　 [2] （　同　上　）任意の行列 Y に対して EY = Y .

定理.　この [1], [2] を両方満たす行列は E のみ.　

証明：E′ が [1], [2] を両方満たすとする. 　つまり

[1’] ∀X, XE′ = X. [2’] ∀Y, E′Y = Y .

　 [2] で Y = E′ の場合に EE′ = E′.

24/25

　 [1] （積が可能な）任意の行列X に対して XE = X.

　 [2] （　同　上　）任意の行列 Y に対して EY = Y .

定理.　この [1], [2] を両方満たす行列は E のみ.　

証明：E′ が [1], [2] を両方満たすとする. 　つまり

[1’] ∀X, XE′ = X, [2’] ∀Y, E′Y = Y .

　 [2] で Y = E′ の場合に EE′ = E′.

　 [1’] で X = E の場合に EE′ = E.

この２つにより E′ = EE′ = E. □　

注：[1]と [1’]だけ, あるいは [2]と [2’]だけ からでは,

　　この証明は完成しない.

25/25

　

逆行列 A−1 の定義へ

黒板に戻る