금융공학 V Introduction to Financial Engineering with R · 2019. 4. 29. · [표지사진] Half and Half Rock@Coyote Buttes South, Arizona 2015. 05. 27. F11 and 1/200sec Canon

IM&F시리즈 15

금융공학 V

Introduction toFinancial Engineering with R

최병선 지음

김구재단

[표지사진]Half and Half Rock@Coyote Buttes South, Arizona2015. 05. 27.F11 and 1/200secCanon EOS 5D Mark II with Canon EF 28-300mm F/3.5-5.6

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머릿글

금융파생상품이 본격적으로 거래가 되기 시작한 것은 시카고선물거래소가 만들어진 1973

년이다. 같은 해 옵션의 공정한 가치를 평가하는 Black-Scholes식이 발표되었고, 이 식은

파생상품시장이 폭발적으로 커지게 되 기폭제가 되었다. 그 후 파생상품 거래액은 지수적으로

증가해서, 오늘날에는 파생상품이 세계 경제를 좌지우지한다고 해도 과언이 아니다. 미 CIA

가 발표한 World Factbook에 의하면 2013년 구매력 (purchasing power parity) 기준 세계총

생산량 (gross world product)은 USD 87.25조이고 명목 세계총생산량은 USD 74.31조이다.

또한, 세계은행 (World Bank)에서 발표한 명목 세계총생산량은 USD 75.59조이다. 반면에

장외시장 (over-the-counter)의 미결제 파생상품의 상정원본 (notional amount)은 USD 700

조 가량이다. 즉, 파생상품의 상정원본이 세계총생산량의 9배 이상이다. 또한, 이 상정원본

규모는 전 세계 주식 시가총액의 13배, 전 세계 채권총액의 10배에 해당한다. 이는 파생상

품이라는 꼬리가 세계경제라는 몸통을 흔드는 것을 의미한다. Wag the dog! 이렇게 비대한

파생상품시장은 세계경제를 불안정하게 만들고 있다. 오늘날 세계는 국지적으로 돌아가면서

경제위기에 빠지게 되었고, 또한 지역의 경제위기는 곧 전 세계적으로 파급되어 다른 지역도

경제위기에 빠지는 악순환이 반복되고 있다. 뉴욕증권거래소에서 하루 거래되는 금액이

USD 220억인데 반해서 세계외환시장(global forex market)에서 하루 거래되는 금액이 USD

5조라는 것을 생각한다면, 경제위기가 자주 발생하며 또한 돌림병처럼 이곳에서 저곳으로

전이되는 현상을 쉽게 이해할 수 있다. 이러한 파생상품의 거래 규모는 오늘날 경제가 금융

자본주의(Finance Capitalism), FIRE경제(Finance, Insurance, and Real Estate economy)

나 Plutonomy(Pluto-economy)가 되는 데 지대한 역할을 해오고 있다.

이러한 세계금융시장에서 살아남기 위해서는 당연히 금융파생상품을 잘 이해하고 잘 다룰

수있어야한다. 그러나금융선진국에비해우리나라의금융파생상품을다루는수준은너무나

낮다. 어떤 상품이든 거래하기 위해서는 그 상품의 가치를 알아야 한다. 금융파생상품도 상품

이므로, 거래하기 전에 그 가치를 알아야 한다. 이렇게 계산된 금융파생상품가치를 사용해서

전략을 세워야 앞으로 닥칠 위험에 대비하거나 이익을 추구할 수 있다. 이렇게 금융파생상

ii

품의 가치를 평가하고 이를 바탕으로 위험을 회피하거나 이윤을 추구하는 학문이 금융공학

(financial engineering)이다. 금융공학은 경제학, 경영학, 산업공학 등이 연합된 학문이다.

금융파생상품은 수학적으로 정의되는 것이다. 따라서 금융파생상품의 가치를 평가하거나

이를 사용해서 위험을 회피하기 위한 전략을 세우는 과정은 수리적 논리를 바탕으로 해야

한다. 따라서 금융공학에서는 수학, 통계학, 그리고 컴퓨터학을 도구로 사용한다. 결과적으로,

금융공학을 공부하기 위해서는 경영경제학적 지식 뿐 아니라 수리적 능력도 있어야 한다.

그러나 고등학교부터 문과와 이과로 나누는 우리 교육시스템에서는 문과와 이과를 아우르는

능력을 지닌 학생을 찾기가 쉽지 않다. 수리적 능력이 있는 학생은 경영경제 마인드가 없고,

경제학이나 경영학을 전공하는 학생은 수리적 능력이 없다. 정글과 같은 세계금융시장에서

살아남기위해서는더늦기전에금융공학을제대로공부하는사람들을길러내야한다. 그러한

목적을 달성하는데 일조하기 위해서 본서의 원고를 작성했다.

본서는 절판된 금융공학 III: Introduction to Financial Engineering을 바탕으로

한 것이다. 이 절판된 책의 원고는 본저자가 14년에 걸쳐서 아래아한글로 작성한 것이다.

시간이 흐르면서 아래아한글에는 다양한 한글폰트들이 사용되었는데, 이제 와서 그 폰트들에

대한 저작권을 주장하는 사람들이 있다고 한다. 본저자도 모르는 사이에 그 폰트들에 대한

저작권을 위반했을지도 모르고, 그것이 법적인 문제를 야기할지도 모른다는 것이 출판계와

접촉한 로펌의 의견이다. 본저자는 나름 많은 시간, 노력, 금전적 희생을 바탕으로 쓴 책을

무료로 웹에 올리면서 법적인 소송에 휘말릴 생각은 없다. 그래서 그 책의 내용을 LATEX으로

다시 작성하였다. 이제 MATLAB의 시대는 가고 적어도 당분간은 R언어와 Python이 그

자리를 차지할 것이라는 생각에서, 기존의 MATLAB프로그램을 R프로그램으로 바꾸었다.

이러한작업을한국과학기술연구원(KAIST) 산업공학과박선영교수의금융경제학연구실

(Financial Economics Lab)에 속한 공형우군, 김택훈군, 윤태섭군 그리고 홍인섭군이 훌륭

하게 해주었다. 세부적으로 말하면, MATLAB코드를 R코드로 바꾸는 작업은 공형우군과

윤태섭군이 해주었다. 공형우군은 5장, 8장, 8장, 9장 및 11장을 담당하였고, 윤태섭군은 2장

및 13장을 담당하였다. 또한, LATEX작업은 김택훈군과 홍인섭군이 주로 진행하였고, 공형우

군과 윤태섭군이 부분적으로 참여하였다. 김택훈군은 2장, 8장, 11장 및 12장을, 홍인섭군은

3장, 4장, 5장, 7장, 10장 및 13장을 진행하였다. 또한, 공형우군은 9장, 11장 및 12장, 그리고

윤태섭군은 1장및 6장을작업하는데도움을주었다. 이네학생들이외에도초본을작성할때

도움을 준 고봉균군과 강윤구군, LATEX스타일파일을 만들고 책의 체제를 맞추어준 김찬수군,

표지를 만들어주신 세경사 이해연사장님, 그리고 아래 촛불 그림을 재능기부해주신 김순호

군에게 감사드린다. 본저자는 2016년 2학기 서울대학교에서 개설된 학부 수리금융경제학과

대학원수리금융경제학연구에서본서의원고를교재로사용하면서마지막교정작업을하였다.

이 과목들을 들은 학생들이 타이포 (typo)를 잡아준 것에 대해 감사드린다. 또한, 카이스트

박선영교수님의 도움없이는 본서가 출간될 수 없었다. 마지막으로 본서의 출간에 도움을 주신

김구재단에 감사드린다.1

지난 50여년 동안 우리 삶 주변을 항상 에워

싸던 검고 사악한 기운을 물리치는 촛불이

타오르는 서글프고도 찬란한 시절에 ...

최병선

2016년 12월 24일

1현대문화사 ([email protected])에서 본서의 POD판을 구하실 수 있습니다.

iv

차 례

차 례 v

제1장 서 론 1

제1.1절 금융공학의 목적 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

제1.2절 경제학과 금융공학 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 경제학에서 가격결정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 재정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 금융공학에서 공정한 가치결정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4 위험을 거래하는 시장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.5 Pareto효율성과 불완비시장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

제1.3절 금융공학의 역사 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 역사와 창의성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Bachelier와 Brown운동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Markowitz와 평균분산접근법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.4 Sharpe와 CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.5 Black-Scholes-Merton과 편미분방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.6 Cox-Ross-Rubinstein와 이항나무모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.7 Harrison-Kreps-Pliska와 위험중립가치평가식 . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.8 이자율모형들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

제1.4절 본서의 목적 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

제1.5절 금융파생상품 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5.1 금융파생상품의 가치평가 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5.2 금융자산가치평가의 예제들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

v

vi 차 례

제2장 금융경제학 33

제2.1절 금융경제학과 금융공학 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

제2.2절 금융자산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1 금융자산거래 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2 금융자산의 종류 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.3 금융파생상품의 종류 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.4 투자위험 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.5 투자전략 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

제2.3절 포트폴리오 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.1 자산배분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.2 수익률과 확률모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

제2.4절 평균분산모형분석 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4.1 완전자본시장과 자산배분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4.2 기대효용이론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.3 위험회피도와 확실성등가 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.4 위험회피함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.5 효율적프론티어 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4.6 자본시장선과 접점포트폴리오 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.4.7 공매가 없는 시장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.4.8 확실성등가수익률과 무차별곡선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

제2.5절 CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.5.1 평균 · 분산모형과 CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.5.2 시장의 균형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.5.3 CAPM의 유도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.5.4 증권시장선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.5.5 제로베타포트폴리오 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2.5.6 CAPM의 검증 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.5.7 연속시간형 CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

제2.6절 APT모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

제2.7절 포트폴리오모형의 선택 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.7.1 평균절대편차모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

vii

2.7.2 희유수준모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

제2.8절 인덱스펀드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

제2.9절 포트폴리오의 평가 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

제2.10절 VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

제3장 금융파생상품의 가치평가를 맛보기 121

제3.1절 정의와 표기법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

제3.2절 무재정조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

제3.3절 자산가치평가의 근본적 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

제3.4절 위험중립확률 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

제3.5절 마팅게일 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

제3.6절 예제들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

제3.7절 변형모형들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.7.1 원자산에 배당이 있는 경우 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.7.2 원자산이 환율인 경우 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

제3.8절 연속시간모형과 확률미분방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

제4장 자산가치평가의 근본적 정리 143

제4.1절 증권과 확률모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

제4.2절 상태가격과 재정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

제4.3절 무위험포트폴리오 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

제4.4절 위험중립가치평가법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

제4.5절 완비시장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

제5장 이항나무모형과 실물옵션 165

제5.1절 옵션 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

제5.2절 복제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

제5.3절 1기간 이항나무모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

제5.4절 다기간 이항나무모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.4.1 다기간 이항나무 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.4.2 이항나무모형의 모수들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.4.3 유럽형콜옵션의 무재정가치 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

viii 차 례

제5.5절 유럽형옵션의 가치평가식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

제5.6절 자기금융조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

제5.7절 이항나무모형과 마팅게일 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.7.1 Markov성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.7.2 마팅게일성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

제5.8절 이항나무모형에 의한 가치평가식의 해석해 . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

제5.9절 Black-Scholes식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.9.1 이항나무모형과 Black-Scholes식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.9.2 풋콜패리티 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

제5.10절 Black-Scholes 모형의 확장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

제5.11절미국형옵션 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.11.1 미국형옵션과 최적행사시점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.11.2 이항나무모형과 미국형옵션 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.11.3 행사영역과 속행영역 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.11.4 미국형옵션의 행사시점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5.11.5 조기행사확률 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

제5.12절실물옵션 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

5.12.1 실물옵션이란 무엇인가? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

5.12.2 실물옵션의 종류 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.12.3 가치평가 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5.12.4 예제들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

5.12.5 전환사채의 가치평가 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

제6장 확률론의 기초 249

제6.1절 확률미적분의 필요성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

제6.2절 확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

제6.3절 기대값과 적률모함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

제6.4절 조건부기대값 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

제6.5절 중요한 확률분포들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

6.5.1 이항확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

6.5.2 정규확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

ix

6.5.3 대수정규확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

6.5.4 지수확률분포와 Poisson확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

제6.6절 왜도와 첨도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

제6.7절 통계적 수렴성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

6.7.1 평균제곱수렴과 Lp-수렴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

6.7.2 분포수렴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

6.7.3 확률수렴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

6.7.4 개수렴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

6.7.5 대수법칙과 중심극한정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

제6.8절 다변량정규확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

제6.9절 안정Pareto분포와 포트폴리오 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

6.9.1 안정Pareto분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

6.9.2 안정Pareto분포의 적률추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

6.9.3 포트폴리오선택 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

제7장 확률과정론의 기초 295

제7.1절 확률보행 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

7.1.1 단순확률보행 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

7.1.2 이산시간형 확률보행 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

7.1.3 확률보행의 특성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

7.1.4 단순확률보행의 최초도달시간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

제7.2절 Poisson확률과정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

제7.3절 정상성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

제7.4절 Markov과정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

7.4.1 Markov과정의 정의와 중요성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

7.4.2 다변량Markov과정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

제7.5절 Brown운동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

7.5.1 Brown운동과 재무이론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

7.5.2 확률보행과 Brown운동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

7.5.3 Brown운동과 Wiener과정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

7.5.4 Brown운동의 통계적 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

x 차 례

7.5.5 Brown다리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

7.5.6 반사원리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

7.5.7 적분Brown운동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

제7.6절 정규사건과 우발사건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

7.6.1 정규사건과 우발사건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

7.6.2 Brown운동과 Poisson확률과정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

7.6.3 이산형 시간구간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

7.6.4 우발사건의 모형화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

7.6.5 사건과 적률 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

7.6.6 Lévy확률과정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

제8장 마팅게일의 기초 375

제8.1절 마팅게일게임 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

제8.2절 마팅게일의 정의와 필요성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

8.2.1 마팅게일의 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

8.2.2 마팅게일로 변환 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

제8.3절 Brown운동과 마팅게일 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

제8.4절 금융자산가치평가에서 마팅게일의 필요성 . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

제8.5절 마팅게일 표본경로 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

8.5.1 변분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

8.5.2 Brown운동의 변분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

8.5.3 마팅게일의 변분들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

제8.6절 마팅게일과 확률적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

8.6.1 확률적분의 가능성과 필요성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

8.6.2 Doob-Meyer분해의 마팅게일표현 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

8.6.3 금융자산가치평가와 확률적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

8.6.4 마팅게일과 금융자산가치평가 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

제9장 확률미적분의 기초 423

제9.1절 확률미분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

9.1.1 확률미분의 필요성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

9.1.2 결정적 미분과 확률미분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

xi

9.1.3 확률미분방정식의 개략적 유도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

9.1.4 Brown운동의 미분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

제9.2절 Riemann적분과 Stieltjes적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

제9.3절 확률미분과 확률적분방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

제9.4절 Wiener적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

9.4.1 Riemann적분과 Ito적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

9.4.2 Wiener적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

제9.5절 Ito적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

9.5.1 Ito적분의 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

9.5.2 Ito적분과정의 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

9.5.3 경로별적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

제9.6절 Ito-Doeblin보조정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

9.6.1 확률함수의 전미분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

9.6.2 Ito-Doeblin보조정리의 유도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

9.6.3 Ito-Doeblin보조정리의 응용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

9.6.4 Ito-Doeblin보조정리의 확장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

제10장 확률미분방정식의 기초 487

제10.1절확률미분방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

제10.2절확률미분방정식의 해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

10.2.1 해의 종류 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

10.2.2 확률미분방정식에 대한 해의 확인 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

10.2.3 확률미분방정식의 해와 마팅게일 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

제10.3절여러 확률미분방정식들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

10.3.1 확산계수가 결정적인 확률미분방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

10.3.2 선형Brown운동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

10.3.3 Black-Scholes확률과정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

10.3.4 Brown다리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

10.3.5 일반화된 확률미분방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

제10.4절이자율모형과 확률미분방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

10.4.1 이자율모형과 채권방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

xii 차 례

10.4.2 Vasicek모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

10.4.3 Cox-Ingersoll-Ross모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

10.4.4 Hull-White모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

제11장 Black-Scholes방정식 527

제11.1절 Black-Scholes 방정식의 유도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

제11.2절 Black-Scholes방정식의 해설 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

제11.3절편미분방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

11.3.1 Black-Scholes방정식과 편미분방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

11.3.2 편미분방정식의 분류 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

11.3.3 2차편미분방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

제11.4절 Black-Scholes방정식과 열전도방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

제11.5절열전도방정식의 해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

제11.6절 Black-Scholes방정식의 해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

제11.7절 Black-Scholes식의 해석 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

제11.8절편미분방정식의 수치해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

제11.9절그릭스 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

11.9.1 Delta (∆) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

11.9.2 Rho (ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

11.9.3 Theta(Θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

11.9.4 Gamma (Γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

11.9.5 베가 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

11.9.6 옵션의 탄력성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

11.9.7 행사가격에 대한 변화율 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

11.9.8 다른 그릭스 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

11.9.9 내재변동성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

제11.10절Black-Scholes환경과 옵션가치평가 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

11.10.1Black-Scholes 환경 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

11.10.2중간배당이 있는 Black-Scholes모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573

11.10.3이색옵션의 가치평가 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

제11.11절복제포트폴리오의 재구성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

xiii

제11.12절Black-Scholes를 넘어서 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

11.12.1변동성스마일 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

11.12.2Black-Scholes모형의 확장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

11.12.3결정변동성모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

11.12.4점프확산과정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

11.12.5확률변동성모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

제12장 동치마팅게일측도 591

제12.1절평균의 이동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

제12.2절동치확률측도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

제12.3절동치마팅게일측도를 사용한 Black-Scholes식의 유도 . . . . . . . . . . . 600

12.3.1 Black-Scholes환경 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

12.3.2 동치마팅게일측도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

12.3.3 동치마팅게일측도에 의한 확률미분방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . 604

12.3.4 Black-Scholes식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605

제12.4절 Girsanov 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

12.4.1 다변량정규확률분포와 Girsanov정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

12.4.2 지수마팅게일과 Girsanov정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

제12.5절 Feyman-Kac정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622

제13장 금융시계열분석 입문 627

제13.1절금융시계열데이터 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

13.1.1 코스피데이터 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

13.1.2 정규성검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

제13.2절자기상관성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

13.2.1 자기상관함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

13.2.2 AR(1)모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639

13.2.3 Durbin-Watson검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

13.2.4 AR(p)모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643

13.2.5 Ljung-Box검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

제13.3절 ARMA모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651

13.3.1 MA모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651

xiv 차 례

13.3.2 ARMA모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

13.3.3 ARMA모형화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

제13.4절비정상시계열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

13.4.1 ARIMA모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672

13.4.2 단위근검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

제13.5절 GARCH모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681

13.5.1 ARCH모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682

13.5.2 GARCH모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683

13.5.3 변동성변화의 비대칭성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685

13.5.4 GARCH-M 모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688

13.5.5 오차항의 확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688

13.5.6 GARCH모형의 통계적 추론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689

13.5.7 옵션가치평가식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694

참고 문헌 697

제1장

서 론

The influences that determine the movements of theExchange are innumerable; past, current and evenanticipated events that often have no obviousconnection with its changes have repercussions forthe price. Alongside the, as it were, naturalvariations, artificial causes also intervene: theExchange reacts to itself and the current movementis a function not only of previous movements butalso of the current state. The determination ofthese movements depends upon an infinite numberof factors; it is thus impossible to hope formathematical predictability. Contradictory opinionsabout these variations are so divided that at thesame time the buyers believe in an increase and thesellers in a decrease. The calculus of probabilitiescan no doubt never apply to movements of stockexchange quotations! and the dynamics of theExchange will never be an exact science, but it ispossible to study mathematically the static state ofthe market at a given instant, that is to say, toestablish the probability distribution of thevariations in price that the market admits at thatinstant. Although the market does not predict themovements, it does consider them as being more orless likely, and this probability can be evaluatedmathematically. Research into a formula thatexpresses this probability does not appear to havebeen published until now; it will be the object ofthis work. I have deemed it necessary to first of allrecall some theoretical notions relating tooperations of the exchange adding certain newobservations indispensable in our later research.

Louis Bachelier (1900)

1

2 제 1장 서 론

제1.1절 금융공학의 목적

어떤 금융자산의 가격에 연동해서 가격이 결정되는 금융상품이 있다. 예를 들면, 미래 어떤

시점의 주가에 의존해서 손익이 정해지는 주가선물과 주가옵션이 있다. 이 경우에 주가를

원자산 (underlying asset 또는 underlying)이라 하고, 주가선물과 주가옵션을 금융파생상품

들 (financial derivatives)이라고 한다. 본서의 목적은 금융파생상품의 공정한 (fair) 가치를

평가하는 방법을 소개하는 것이다. 금융파생상품의 가치를 평가하는 것이 금융공학 (financial

engineering)의 주된 목적이므로, 본서의 목적은 금융공학의 기초를 소개하는 것이다.

금융공학은재무론, 경제학, 수학, 통계학, 컴퓨터사이언스를비롯한 IT이론그리고심리학

등여러학문이어우러지는학제적(學際的, interdisciplinary) 분야이다. 그중에서도재무론이

금융공학과 가장 밀접한 관계를 유지하고 있다. 크게 본다면 금융공학은 재무이론을 실장

(實裝, implementation)하고 응용하는 기술적인 분야라고 할 수 있다. 그러나 금융공학이

재무론의 부분집합이라고 하기에는 금융공학에 기여하는 학문 분야들이 너무 다양하다.

재무론의목적은금융시장과금융상품의구조를이해하고, 금융상품거래에관한합리적인

의사결정을 하고, 이를 바탕으로 효율적인 자산배분 (asset allocation)을 추구하는 것이다.

금융거래 참가자는 투자 또는 자금조달에서 자신의 효용을 증대시키려고 합리적 의사결정을

한다. 예를 들어, 현재 이용하고 있는 금융계약이나 금융거래에 문제점이 없는지, 만약 개선의

여지가 있다면 어떻게 수정을 해야 하는지를 검토한다. 모든 의사결정이 그러하듯이, 금융에

관한 의사결정도 과거와 현재의 정보를 바탕으로 미래에 발생할 현상을 예측하는데서 시작된

다. 예측이란 불확실성을 바탕으로 하므로, 예측에는 항상 위험이 따른다. 즉, 재무론은 위험

관점에서 금융시장의 구조를 파악하고, 그 안에서 발생하는 계약이나 금융상품가치와 같은

특성을 밝히는 학문이다.

기본적으로 금융공학의 목적은 재무론의 목적과 같다. 다만, 재무론에 비해 금융공학에서

는 기술적 측면을 좀 더 중시한다. 즉, 금융공학에서는 가능한 수리과학적 지식과 컴퓨터에

관한 지식을 사용해서 각 금융거래에서 금융상품의 적정한 가치나 위험정도 등을 명시적으로

구하고자 한다. 시장에서 금융공학이 널리 이용되는 이유는 이렇게 명시적인 해를 제공할

수 있기 때문이다. 금융공학이 주는 여러 편익 중에서 가장 주된 것은 새로운 금융상품이

나 금융거래를 설계하는 것과 거래과정에서 발생하는 비용을 감소시키는 것이다. 실제로

금융공학이 발전함에 따라 새로운 형태의 금융상품이 속속 태어나고 있으며, 또한 기존의

금융거래를 좀 더 적은 비용으로 할 수 있다. 특히, 이론적으로는 뛰어나지만 비용이 과다해서

과거에는 거래되지 않았던 금융상품도 금융공학의 발전에 힘입어 적은 비용으로 거래할 수

경제학과 금융공학 3

있는 경우도 많다. 예들 들어, 증권화를 통해서 인프라산업이나 대규모 주택사업 등에 필요한

자금조달이 원할해지고 또한 비용이 감소된다. 물론, 이 과정에 지나친 욕심을 가진 인간들

때문에 금융공학이 사술 (邪術)로 비치기도 한다. 경제가 발전할수록 금융거래에 따르는

현금흐름이 복잡해지는 것은 당연한 현상이다. 이러한 현금흐름을 실현 가능하게 만드는 것이

금융공학의 역할이다. 즉, 이론적으로는 가능하지만 실제로 시장에서 실현시키기가 어려운

복잡한 현금흐름을 가능하게 만드는 것도 금융공학의 주된 목적 중 하나이다.

제1.2절 경제학과 금융공학

1.2.1 경제학에서 가격결정

재화의 가격결정구조를 연구하는 것은 경제학의 주요 과제들 중 하나이다. 경제학과 금융공학

사이에서보여지는가격결정구조의차이를이해하기위해서, 먼저경제학에서가격결정구조를

살펴보자.

모든 점에서 동일한 상품은 동일한 가격을 가져야 한다는 것을 경제학에서 일물일가법칙

(the law of one price)이라부른다. 그러나, 일상생활에서는같은상품에다른가격이매겨지고

있는 것을 자주 경험한다. 예를 들어, 백화점에서 산 옷과 동일한 옷을 마트에서 더 싸게 살

수도 있다. 경제학에서는 모든 점에서 동일하다는 의미를 글자 그대로 해석하기 때문에,

가게에 대한 접근의 용의성, 상품에 대한 애프터서비스나 정보제공의 정도 등 세세한 점에서

조금이라도 차이가 있으면 이들을 서로 다른 상품으로 간주한다. 이렇게 상품을 엄밀하게

정의하는 경우에 한해서 일물일가법칙이 성립한다. 경제학에서는 이러한 일물일가법칙을

바탕으로 수요와 공급이 일치되는 균형점 (equilibrium point)에서 시장가격이 결정된다고

한다.

경제학에서는 균형가격을 설명하기 위해서, 효용 (utility)이라는 개념을 도입한다. 어떤

재화를 사용하는 것이 어느 정도 만족감을 유발시키는지를 효용으로 측정한다. 동일한 재

화라 하더라도 소비자에 따라 그 효용의 크기가 다른 것이 보통이다. 각 재화를 획득하기

위해서는 그 가격에 해당하는 자금을 필요로 하므로, 각 소비자는 예산제약 내에서 자신의

효용이 가장 커지도록 재화들을 조합해서 소유하고자 한다. 시장 전체로 본다면, 어느 한

시점에서 어떤 재화에 대한 모든 소비자들의 수요를 합한 총수요량이 이 재화의 총공급량과

일치하지 않을 수도 있다. 그러나, 시간이 흐름에 따라 총수요량은 총공급량에 수렴하고, 결국

이들이 같아지는 균형점에서 이 재화의 가격이 결정된다. 즉, 각 소비자의 효용에 관한 정보가

이 재화를 매입하기 위해 기꺼이 지불하고자 하는 수요량과 수요가격에 반영되고, 이러한

4 제 1장 서 론

각 소비자의 수요량이 집약되어 경제 전체의 총수요량이 되고, 이 총수요량은 시장가격을

결정하는 주요인이 된다.

1.2.2 재정

재정(裁定, arbitrage)은 금융시장의 구조를 이해하기 위해 필요한 금융경제학의 최소한 지식

이지만, 재정을 완전하게 이해하는 것만으로도 금융공학을 공부하는데 필요한 금융경제학에

대한지식이충분하다고해도과언이아니다. 경제학에서정의되는재정이란이득을얻기위해

가격 차이를 이용해서 상품을 매매하는 것이다. 재정을 무료점심 (free lunch)이라고 부르기도

한다.

재정을구체적으로설명하기위한예로옥수수가격에대해서살펴보자. 어떤시점에서옥수

수 1부셸(bushel, 약 27.216kg) 당 가격이 한국에서는 650만원 미국에서는 5천달러라고 하자.

미국에서 한국에 옥수수를 운송하기 위해서는 1부셸 당 20만원이 필요하다. 그 시점에 환율이

1,100원인 경우, 미국에서 옥수수 1부셸을 사서 한국에서 팔면 80만원을 번다. 이러한 거래를

할 수 있는 기회가 있다면, 미국에서 옥수수를 구입하는 자금과 수송비를 은행에서 저리로

조달함으로써, 투자자금없이 수익을 얻을 수 있다. 이렇듯 자금을 투자하지 않고 수익을 얻는

기회를 재정기회(arbitrage opportunity)라 하고, 그러한 거래를 재정거래(arbitage trade)라

한다. 재정거래는 투자자금을 들이지 않고 무위험으로 확실한 순익을 획득할 수 있으므로,

일물일가법칙에 위반되는 거래이다. 그러나 현실에서는 이러한 기회는 오래 지속되지 않는다.

만약 재정기회가 존재한다면, 많은 사람들이 이러한 거래를 통해 부를 축적하려 할 것이다.

결과적으로 가격차이는 점점 줄어들어 재정기회는 사라질 것이다.

이 세상에는 재정기회를 찾는 사람이 다수 존재하기 때문에, 시장에서 각 상품의 합리적

가격이 형성되는 것이다. 어떤 사람이 재정기회를 발견하고 그 기회를 이용해서 순익을 얻었

다면, 그사람은그러한행동을반복할것이다. 앞에서든예에서처럼, 미국에서옥수수를사서

한국에팔아서차익을얻는다고하자. 이러한행동을반복시행하면, 미국에서옥수수의수요가

증가하는 동시에 한국에서 옥수수의 공급은 증가한다. 결과적으로, 미국에서 옥수수가격이

높아지는 반면에 한국에서는 하락한다. 따라서, 시간이 경과함에 따라 미국과 한국에서 옥수

수가격은 합리적인 가격으로 수렴하고 재정기회는 사라질 것이다. 즉, 재정기회를 없어지는

방향으로 옥수수가격이 움직일 것이다. 이 예에서는 원과 달러의 환율이 일정하다고 가정했

지만, 미국과 한국에서 옥수수가격이 변동하지 않는 경우에도 환율이 변동해서 재정기회가

없어질 수 있다.


1.2.3 금융공학에서 공정한 가치결정

금융공학의 공학 (engineering)이라는 단어에서 연상되듯이, 금융공학의 주된 목적 중의 하

나는 시장에서 거래되는 금융상품들을 조립해서 새로운 금융상품을 만드는 것이다. 이러한

조립 과정을 살펴보기 위해서, 먼저 Arrow-Debreu증권이라고도 불리우는 상태증권 (state

security)을 생각해보자. 상태증권은 미래 어떤 시점에서 정해진 상태 (state)가 발생했을

때 그리고 그 상태가 발생했을 때에 한해서 1원을 지불하는 증권이다. 예를 들어, 원자산

(underlying)이 A사의 주가이며 행사가격 (strike price)이 10만원인 유럽형풋옵션을 살펴보

자. 만약 만기시점 (expiry)에서 A사 주가가 10만원 미만이면, 이 유럽형풋옵션의 발행자는

옵션소유자에게 행사가격 10만원에서 주가를 뺀 차액을 지불한다. 반면에 만약 A사 주가가

10만원 이상이면, 0원을 지불한다. 편의상 시장에서 A사 주가의 호가단위가 1천원이라고 가

정하자. 각 k(= 1, 2, · · · , 99)에대해서 A사주가가 [100−k]×1000원인경우 1원이지불되는

상태증권을 1000k매 포함하는 포트폴리오를 생각해보자. 즉, A사 주가가 99,000원인 경우

1원이 지불되는 상태증권을 1,000매, 주가가 98,000원인 경우 1원이 지불되는 상태증권을

2,000매 등으로 구성된 포트폴리오를 살펴보자. 이 포트폴리오는99∑k=1

1000k = 4, 950, 000

매의 상태증권들로 구성되어 있다. 만기시점에서 이 포트폴리오의 지불금액은 행사가격이 10

만원인유럽형풋옵션의지불금액과동일함을알수있다. 즉, 상태증권이라는부품을사용해서

원자산이 A사 주가이며 행사가격이 10만원인 유럽형풋옵션이라는 금융파생상품을 조립할

수 있다. 물론, 이 예제는 아주 간단한 것이다. 실제 시장에서 금융공학을 구사해서 만들어

내려고 하는 제품이나 사용하는 부품은 이 예제보다 훨씬 복잡하다. 이렇게 만들어진 제품, 즉

금융상품의 합리적 가치를 계산하기 위해서는 편미분방정식을 풀거나 적분을 해야 하는데, 이

과정에서 해석적인 해를 구할 수 있는 경우는 드물고 컴퓨터를 사용해서 수치적으로 풀어야만

하는 경우가 많다. 따라서, 금융공학을 전공하기 위해서는 수리적 능력이나 컴퓨터를 다루는

능력도뛰어나야한다. 요약하면근본적으로금융공학에서는환원론(還元論, reductionism)이

적용된다. 즉, 직관적으로잘이해가되지않는금융상품을쉽게다룰수있는기존의금융상품

들로 분리함으로써, 그 금융상품을 좀 더 쉽게 다룰 수 있게 만드는 것이 금융공학의 역할이다.

경제학에서와달리금융공학에서금융상품의합리적가치를결정하는데는수요공급이론을

사용하지 않는다. 대신에, 시장에 재정기회가 존재하지 않는다는 무재정조건 (no arbitrage

condition)을 사용한다. 무재정조건을 ‘비지니스 세계에서 공짜 점심은 없다 (There’s no free

lunch in a business world)’라는 말로 표현하기도 한다. 앞에서 언급했듯이, 재정기회가 존

재하지 않는다는 것은 동일한 수익률과 동일한 위험을 지닌 금융상품들의 가격은 동일하다는

것이다. 좀더협의적으로말한다면, 재정기회가존재하지않는다는것은위험을감수할각오를

6 제 1장 서 론

하지 않으면서 확실한 이득을 얻을 수 있는 기회는 없다는 것이다. 동일한 상품이 서로 다른

가격으로 거래된다면, 이 상품을 싼 값에 매입해서 비싼 값에 되팔아서 쉽게 돈을 벌 수 있을

것이다. 이러한 경우, 시장에 재정기회가 존재하는 것이다. 현실에서는 시장에 재정기회가

존재하는 경우가 많고, 실제로 이를 노려서 이득을 보는 재정기회자 (arbitrageur)도 많다.

그러나, 금융공학에서 어떤 금융자산의 가치를 평가할 때는 시장에 재정기회가 존재하지

않는다고 가정한다. 만약 동일한 상품이 서로 다른 두 가격들로 거래되면, 중학교 수준의

수학을 사용해서 그 상품이 수없이 많은 가격들로 거래될 수 있음을 증명할 수 있다. 그러한

경우에 가격의 의미는 무엇일까? 금융공학에서 어떤 금융상품의 가치를 평가하기 위해서는

기존의 금융상품들을 합성해서 주어진 금융상품의 복제포트폴리오를 만든 다음, 그 두 금융

상품들에 무재정조건을 적용한다. 독자들이 유의할 점은 일물일가법칙이 성립하는 경우에

반드시 무재정조건이 성립하는 것은 아니라는 것이다. 따라서 일물일가법칙은 무재정조건의

필요조건이지 충분조건은 아니다. 즉, 무재정조건이 일물일가법칙보다 약간 더 제약이 강한

조건이다. 한 가지 부언한다면, 2007-8년 금융위기 이후 금융파생상품의 가치를 평가할 때

일물일가법칙을 적용하지 않는 xVA(x valuation adjustment)가 도입되고 있다.

지불금액을 바탕으로 한 공정한 가치 측정이 가능한 증권들인 경우에는, 어떤 두 증권들이

동일한 가치를 지녔는지를 판단하는 것이 비교적 쉽다. 앞에서 다룬 A사 주가를 원자산으로

하는 유럽형풋옵션의 가치와 이를 상태증권들로 복제한 포트폴리오의 가치는 같다. 만약

두 증권들의 가치가 동일하다면, 무재정조건을 적용해서 한 증권의 가치로부터 다른 증권의

가치를평가할수있다. 이렇게무재정조건을이용하는방법은시장에서거래되지않는새로운

금융상품이나 유동성 (liquidity)이 없는 금융상품의 공정 가치를 평가하는 데 매우 유용하다.

1.2.4 위험을 거래하는 시장

금융상품의 가치를 평가한다는 것은 그 상품이 내포하고 있는 위험, 즉 미래에 발생할 수

있는 위험의 대가를 평가한다는 것이다. 고전적 경제학으로는 그러한 위험에 대한 대가를

결정하는 게 가능하지 않았다. 즉, 어떤 대가를 지불하는 대신 위험을 회피하고자 하는 사람과

이 대가를 받고 위험을 감수하고자 하는 사람사이에 주고받는 대가를 공정하게 정하는 것이

쉽지 않았다. 위험을 회피하고자 하는 사람은 가능한 한 낮은 대가를 지불할 것을 희망하고,

위험을부담하고자하는사람은가능한한높은대가를희망하므로, 거래가성립하기위해서는

협상이필요했다. 만약시장에서유사한위험이자주거래되고있었다면, 이러한협상이비교적

쉬웠을 것이다. 그러나, 해당 위험이 전례가 없거나 자주 거래가 되지 않는 경우에는, 참고할

수있는시장가격이존재하지않았을것이다. 또한이러한협상에아주큰비용이들어, 비용이


거래를 함으로써 발생할 수 있는 효용 증가분을 상회할 수도 있었을 것이다. 영국에서는 17

세기말과 18세기초에옵션거래가활발하게이루어졌다. 이러한현상이발생했던주된이유는

당시 영국이 도박천국이었기 때문이다. 그러나 이후 위험의 거래는 레버리지 (leverage)가

높은 도박으로 인식되었으며, 결과적으로 위험의 거래는 크게 활성화되지 못했다. 그 후, 1870

년 Rothschild가의 비서였던 Lefévre가 원자산의 배수로 옵션가치를 나타내었고 Bachelier의

1900년 논문에도 옵션가치평가식이 나오지만, 오늘날 일반적으로 받아들여지는 위험의 대가

에 대한 최초의 식은 Black & Scholes (1973)가 제시한 유럽형옵션의 공정한 가치평가식인

Black-Scholes식이다. 이 식이 발표되기 전 적어도 300년 동안은 옵션을 발행하는 위험의

대가를 감으로 정했다고 해도 과언이 아니다.

금융공학의 탄생과 발전은 상황을 반전시켰다. 달리 말하면, 금융공학은 위험의 대가를

공정하게 평가하기 위한 필요에 의해서 탄생하고 발전한 분야이다. 금융공학에서는 무재정조

건이라는 합리적 원칙 하에 과거에는 평가할 수 없었던 위험의 대가를 다루고 있다. 앞에서도

언급했듯이 무재정조건은 경제학의 근본 원칙인 일물일가법칙과 아주 유사하므로, 사람들은

무재정조건을 바탕으로 계산된 결과를 신뢰하였고, 결과적으로 위험의 거래는 활성화되었다.

즉, 오늘날 금융공학은 위험회피나 위험관리를 위해 유용하게 사용되고 있다.

상식적인 말이지만, Black-Scholes식이라고 해서 절대적으로 믿어서는 안된다. 언뜻 생각

하면 금융공학에서 위험이라는 것이 아주 중요해 보이지만, 사실 위험은 본질적 역할을 하지

않는다. 무재정조건을 달리 쓰면, ‘완전히 같은 수익구조를 가진 금융상품들의 가치는 같다’

는 것이다. 금융공학에서는 미래에 두 금융상품들의 수익구조가 달라질 수도 있다는 가정을

완전히 배제한 다음, 그들의 가치들에 무재정조건을 적용하는 것이다. 만약 두 금융상품들의

수익구조가 달라지면, 그들의 가치가 달라지는 것은 당연하다. 예를 들어, 원자산을 주가로

하는 유럽형콜옵션의 경우에 이 콜옵션의 지불금액함수 (payoff function)를 원자산과 무위험

자산가치의 정확한 선형결합으로 나타낼 수 없다. 단, 원자산의 순간수익률들이 서로 독립인

정규분포를따른다는가정이나자기금융조건(self-financing condition)이성립한다는가정하

에, 이 콜옵션의 지불금액함수를 원자산과 무위험자산가치의 선형결합으로 근사시킬 수 있다.

좀 더 명확히 말한다면 L2−공간에서 선형결합으로 나타낼 수 있다. 그러나, 주가의 수익률은

정규분포보다꼬리가무거운확률분포를따른다는것이널리알려져 있다. Black-Scholes식에

대한 논쟁에 대해서는 IM&F12의 제1.4절을 참조하라.

8 제 1장 서 론

1.2.5 Pareto효율성과 불완비시장

새로운 금융상품을 거래할 수 있게 됨으로써 경제가 더 좋은 상태로 이전되었다고 할 수 있을

까? 이 소절에서는 이 질문에 대해 살펴보자. 경제학에서 한 개인에게 경제가 나아졌는지를

판단하는기준은효용의상승여부이다. 반면에, 경제전체가나아졌는지를판단하는기준으로

후생경제학(welfare economics)에서 다루는 Pareto효율성을 이용하기도 한다. 후생경제학의

목적은 경제적 후생 또는 복지의 최대화를 기준으로 경제정책이 좋고 나쁨을 판단하고 또한

그 개선방법을 모색하는 것이다. 후생경제학에서 자주 이용되는 Pareto효율성은 자원배

분 결과로 발생하는 전체적 효용수준으로 측정한다. 만약 어떤 사람의 효용을 증가시키기

위해서는 다른 사람의 효용을 감소시켜야만 하는 상태에 있다면, 경제 전체의 자원배분은

Pareto효율적 상태에 있다고 한다. Pareto효율성에서는 공정성이나 공평성 등은 고려되지

않으며 또한 경제에 참여하는 단 한 사람의 효용도 내려가지 않는다는 것을 조건으로 하고

있으므로, 경제적 후생정도를 나타내는 기준으로서 아주 좋은 것은 아니라고 할 수 있다.

후생경제학의 기본 정리에 따르면, 모든 재화들이 시장에서 거래되고 생산함수나 효용함수가

어떤 일정한 조건들을 만족하면 시장메커니즘에 따른 자원배분은 Pareto효율적이다. 여기서

우리가 관심을 갖아야 하는 중요한 가정은 ‘시장에서 모든 재화들이 거래된다’ 는 것이다. 즉,

새로운 재화를 만들면, 이 재화를 기존의 재화들로 복제할 수 있다. 이러한 시장을 완비시장

(complete market)이라 부른다.

금융공학의 발전에 의해서 지금까지 거래되지 않았던 새로운 금융상품이 개발되었다는

것은 다음 두 가지 중 한 가지 가능성을 내포하고 있다. 첫째, 이 새로운 금융상품을 기존의

금융상품들로 복제할 수 있다. 둘째, 이 새로운 금융상품을 기존의 금융상품들로 복제할 수

없다. 두 번째 경우는 시장이 완비가 아니라는 것이고, 따라서 그 시장에서는 후생경제학의

기본 정리가 성립하지 않는다. 오늘날 시장에는 새로운 금융상품이 계속 도입되므로, 시장이

완비라고 할 수는 없다. 시장이 불완비라고 주장할 수 있는 이유들 중 하나는 시장을 조성하는

경제자원이 필요하다는 것이다. 예를 들어, 한국거래소 (Korea Exchange: KRX)는 대한민

국의 증권 및 금융파생상품을 거래하는 시장을 개설하고 운영하여, 국민에게 투자수단을

제공하는 동시에 기업에게는 직접 자금조달할 수 있는 장을 제공한다. 이러한 장을 제공하기

위해서는 상당한 규모의 물적자원과 인적자원이 투입되어야 한다. 즉, 시장 제공 그 자체가

경제활동이다. 시장을 제공하는 주체는 시장을 형성시키기 위해서 투입한 비용을 거래를 통해

회수하는동시에이익을발생시키고자한다. 또한, 이런가능성이없는재화에대해서는시장을

제공하려 하지 않을 것이다. 즉, 거래 자체를 발생시키기 위해서 자원 투입이 필요하다면,

시장이 불완비인 것은 당연하다. 새로운 금융상품을 거래할 수 있는 것은 이 거래기회를

금융공학의 역사 9

제공한 주체가 시장제공과 제품제공을 통해서 이익을 얻을 수 있기 때문이다.

불완비시장에서는 거래 자체를 제공받는데 대한 비용을 고려한다 해도 거래에 참여하는

수요자와 공급자의 효용을 증대시킬 수 있는 새로운 금융상품이 출연할 것이다. 이 새로운

금융상품의 거래에 참가하지 않는 경제주체들의 효용수준에 대해서 생각해보자. 이것은

불완비시장에서 다른 불완비시장으로 옮겨갈 때, 경제 전체의 관점에서 보아 Pareto효율성이

개선되는지를 생각해보는 것이다. 새로운 재화가 출현하면, 기존 재화의 가격이 변할 가능성

이 있다. 따라서 반드시 Pareto효율성이 개선된다고 할 수는 없다. 어떤 위험을 효율적으로

회피할 수 있는 새로운 금융상품이 개발되었다고 하자. 그 위험을 회피하기 위해 기존에

사용되었던 금융상품의 가격은 내려가고, 따라서 기존 금융상품을 소유하거나 생산한 사람의

효용을 하락할 것이다. 새로운 금융상품을 거래함으로써 효용이 상승하는 사람들에게서

효용이 내려가는 사람들로 소득을 이전해서, 이 새로운 금융상품이 도입되기 전보다 효용이

내려가는사람이없어지는방법을연구하는경제학자도있을것이다. 만약이러한소득이전이

실현된다면, 새로운 금융상품을 사용해서 Pareto적 효율성을 개선할 수 있다. 그러나, 먹는

것만 충족되면 되는 동물들의 정글이 아닌 탐욕적 인간들의 머니정글에서 그러한 소득이전,

다른 말로 하면 소득재분배가 가능할까?

제1.3절 금융공학의 역사

1.3.1 역사와 창의성

정보기술이 발전하면서, 시간의 흐름이 아주 빨라지고 있다. 오늘날 젊은이에게 ‘옛날에는’

으로 말을 시작하면, 그저 고리타분한 늙은이로 치부된다. 그러나, 본저자는 ‘역사를 알지

못하면발전이없다’ 는말을믿는다. 정보기술이발달함에따라집단지식(集團知識,여기서는

집단지성을 의미하지는 않음)이 커지는 것은 명백하다. 그러면, 개인지식은? 옛날에는

일반인이 접할 수 없었던 정보를 오늘날에는 컴퓨터와 인터넷을 통해서 쉽게 접할 수 있으

니, 보편적인 사람이 어느 수준까지 개인지식을 넓히는데 컴퓨터와 인터넷이 기여한 것은

사실이다. 그러나, 그 개인지식이라는 것이 깨달은 것이라기 보다는 단편적으로 외운 것에

불과한 경우가 많다. 인터넷에 떠다니는 내용을 앵무새처럼 복창할 수 있는 것이 그 사람의

지적능력과 무슨 상관일까? 스마트폰과 같이 좋은 전자장비를 하나 가지고 웹서치를 잘 할 수

있으면, 그 사람은 지적으로 뛰어난 사람일까? 어떤 사람에게 기존에 알려지지 않은 새로운

문제를 던져 주었을 때, 그 새로운 문제를 해결하는 능력과 웹서치능력은 비례하는 것일까?

본저자는 여러 사람들이 어느 한 책을 읽을 때, 다 똑같은 책을 읽는 것은 아니라고 생각한다.

10 제 1장 서 론

책의 내용을 이해할 수 있는 능력, 요약할 수 있는 능력, 이를 바탕으로 새로운 것을 만들어낼

수 있는 능력이 어우러져, 각자 자기 수준에 맞게 그 책을 읽는다고 생각한다. 즉, 지적능력에

따라 서로 다른 책들을 읽는 것이다. 이미 암기하는 능력은 지적능력의 평가기준이 아니다.

그리고고급두뇌를필요로하는직업군에서는요약을잘하는능력은필요조건이지충분조건은

아니다. 문제는 창의성이다. 창의성은 웹서치 능력과 큰 상관이 없다. 본저자도 한 인간의

창의적 능력, 즉 창의력은 타고난 것이라고 믿는다. 그러나, 뛰어난 창의력을 갖고 태어난

사람은 아무런 노력이 없이도 대단한 창의성을 발휘할 수 있을까? 또한, 평범하게 태어난

사람은 창의성을 발휘할 수 없는 것일까? Edison은 천재는 1%의 영감과 99%의 노력으로

이루어지는 것이라고 말했다지만, 본저자는 이 질문들에 대한 확실한 답을 할 자신이 없다.

그러나, 다음과 같은 말은 할 수 있다. 어떤 분야에서 창의성을 발휘해보고 싶다면, 그 분야의

선배들이거쳐온길을다시한번걸으면서자신을연마해야할것이다. 이과정은어떤뛰어난

사람이 말한 것을 무조건 그렇다고 믿는 것이 아니라, 그 사람은 왜 그렇게 생각했는지를

연구해서 그 결과를 스스로 깨우치는 것이다. 수학문제를 푸는 것으로 비유한다면, 알려진

정답을 이해하는 것이 아니라 스스로 문제를 풀 때까지 생각하고 생각해보는 것이다. 정답은

단지 자신의 결과가 옳은지를 확인하기 위해서 보는 것이다. 만약 자기 스스로 문제를 풀기

전에정답을본다면, 그순간그문제를통해서자신의창의성을연마하겠다는생각을포기하는

것이다. 그래서, 본저자는 창의력을 늘리기 위해서는 역사를 더듬어 보아야 한다고 생각한다.

선배들은 어떤 문제를 어떻게 접근했는지? 나라면 어떻게 생각하고 해결할 것인지? 이러한

과정을 거쳐야만 미래에 부딪히게 될 새로운 문제를 해결할 수 있는 능력이 향상될 것이다.

사설(私說)이 길어졌다. 결론을 말하면, 이 절의 목적은 본서에서 다루는 범위 내에서 알아야

할 금융공학의 역사를 간단히 기술하는 것이다.

혹자는 최초로 금융공학기법을 사용한 사람은 기원전 6세기에 살던 Thales라고 한다.

Aristotle의저서 ‘정치학(Politics; the things concerning the polis)’에다음과같은이야기가

나온다고 한다. 사람들이 Thales의 가난함을 비웃으며 철학은 쓸모 없는 학문이라고 말하자,

Thales는 철학자는 원하기만 한다면 쉽게 부자가 될 수 있으나 철학자가 추구하는 것은 그

이상의것이라고주장했다고한다. 또한이를입증하기위해서, 다음과같은상거래를하였다고

한다. Thales는 별을 관측하여 다음 해 올리브가 대풍일 것라고 예측하고, 다음 해 올리브유를

짜는 기계를 사용할 권리를 샀다고 한다. 정말 다음 해 올리브농사는 대풍이었고, Thales는

올리브유를 짜는 기계를 사용할 권리를 비싼 값에 대여해서 큰돈을 벌었다고 한다. 이에 대한

내용은 다음 웹사이트를 참조하라.

http://en.wikipedia.org/wiki/Thales


설사 이 이야기가 사실이라 하더라도, Thales를 금융공학의 시조로 볼 수는 없는 일이다. 일반

적으로 금융공학의 기원을 Bachelier (1900)의 박사학위논문으로 생각한다. 경제학 분야에서

그의 연구는 오랫동안 잊혀지고 있다가 1970년대에 재조명되었다. Bachelier의 박사학위논문

으로부터 50여년이 지난 뒤, Markowitz (1952)가 Chicago대학에 박사학위논문으로 제출한

평균과 분산을 사용한 포트폴리오선택이론이 현대재무이론의 효시로 간주된다.

금융공학에서 1973년은 의미가 큰 해이다. 이 해에 Black-Scholes식이 학술논문지에 발표

되었고 또한 Chicago선물거래소가 개소되었다. 이로서 금융공학이라는 분야가 학술적으로

그리고사회에서인지되기시작하였다. 오늘날우리나라에서도금융공학은사회적관심을끌고

있다. 2009년 4월 18일자 조선일보에 Renaissance Technologies사의 James H. Simons라는

펀드매니저가 연봉 15억불을 벌었다는 기사가 나온 후로는, 본저자가 어린 중학생으로부터

금융공학을 공부하려면 무엇을 준비하면 좋겠냐는 이메일 받는 상황에 이르렀다. (참고로

본저자는 모르는 사람으로부터 오는 이메일에 대해서 답장을 해주지 않는다.)

1.3.2 Bachelier와 Brown운동

Louis Bachelier는 1900년 3월 29일 Sorbonne대학에제출한박사학위논문 ‘Theory of Specu-

lation(불어로는 Théorie de la spéculation)’에서 Brown운동(Brownian motion)을사용해서

주가변동을 기술하고, 옵션의 가치를 평가하기 위한 모형을 구축하였다. 이 날이 수리재무

(mathematical finance)의 탄생일이라고 할 수도 있을 것이다. Bachelier의 이 논문은 그

의 지도교수이며 천재적 수리물리학자인 Poincaré의 강력한 추천을 받아 프랑스의 유명한

과학저널에 발표되었다. 그러나, 시장수익률들이 서로 독립이고 동일한 확률분포를 갖는

확률변수들이라는 그의 이론은 당시 실증분석에서 거의 지지를 받지 못했다. 금융공학에 관한

수많은 아이디어를 포함하고 있는 이 박사학위논문은 그의 생애를 통해서는 정당한 평가를

받지 못하고 오랫동안 잊혀져 있었지만, 오늘날에는 금융시장에 관한 수리적 이론에 혁신적

일보를 내디딘 논문으로 높이 평가되고, Bachelier는 국제적으로 금융공학의 아버지로 추앙받

고 있다. 특히, 1996년에는 Bachelier재무학회 (The Bachelier Finance Society)가 결성되어,

금융공학에 기여한 그의 업적을 기리고 있다. 이 Bacheler재무학회는 그의 박사학위논문 100

주년인 2000년 프랑스 파리에서 첫 세계대회 (First World Congress)를 열었다.

Bachelier의 박사학위논문은 수학과 재무론에 새로운 지평을 여는 다음과 같은 창의적 아

이디어들을 포함하고 있다. 첫째, Bachelier는 Brown운동을 수학적으로 묘사하였다. Brown

운동이란 명칭은 1827년 스코틀랜드의 식물학자 Robert Brown이 액체 속에서 작은입자들이

무작위적으로 움직이는 것을 관찰한 것으로부터 유래한다. Einstein (1905)은 Brown운동에

12 제 1장 서 론

의해 지배되는 확산편미분방정식 (diffusion partial differential equation)을 유도하고, 이를

사용해서 분자의 크기를 측정하였다. 그러나 이보다 5년 앞선 Bachelier의 박사학위논문에

Einstein이 얻은 수학적 결과가 기술되어 있다. Einstein은 Bachelier의 연구결과를 모르고

있었다고 한다. 수학자인 Nobert Wiener는 Brown운동에 관한 좀 더 엄밀한 수학이론을

구축하였는데, 이는 훗날 그가 제창한 사이버네틱스 (cybernetics)에서 중요한 역할을 한다.

이러한 수학적 공헌으로 인해, Brown운동을 Wiener과정이라고 부르기도 한다. Bachelier

는 확률보행에 확산극한 (diffusion limit), 즉 시간간격을 조절한 중심극한정리를 적용해서

Brown운동을 유도하였다. 훗날 Cox & Ross & Rubinstein (1979)은 같은 방법을 적용해서,

Black-Scholes식을 유도하였다. Bachelier 전에도 Bohr의 스승인 Thiele이 1880년 논문에서

Brown운동을 발생시키는 시계열모형을 다루었다고 한다. Brown운동의 표본경로 (sample

path)는 각 시점에서 연속이지만 미분불가능한 함수이다. 이는 수학적으로 뿐 아니라 재무

학적으로도 매우 중요한 성질이다. 둘째, Bachelier는 자산가치과정 (asset price process)의

증분들(increments)은서로독립적인정규분포를따름을관찰하고, 자산가치과정이무기억성

(lack-of-memory property)을 갖는다고 주장했다. 오늘날 이 무기억성을 Markov성이라 부

른다. 이산시간형 확률과정의 Markov성은 Markov (1906)에 의해서 정형화된 것으로 알려져

있다. 셋째, Bachelier는 열전도 (heat transfer)에 관한 Fourier의 연구결과를 응용해서 연속

시간형확률과정의천이확률(transition probability)에관한법칙을만들었다. 따라서, 오늘날

Fokker-Planck방정식 또는 Kolmogorov전향방정식이라 불리우는 이 천이확률에 관한 식에

Bachelier의 이름을 붙이는게 타당할 것이다. 즉, 이 식을 Bachelier- Smoluchowski-Fokker-

Planck-Kolmogorov방정식이라 불러야 할 것이다. 넷째, Bachelier가 그의 박사학위논문에서

Brown운동의반사원리(reflection principle)를 사용한것은지도교수인 Poincaré에게감명을

줄 정도로 획기적인 일이다. 이 반사원리는 barrier옵션의 가치평가에서 매우 중요한 역할을

한다. Bachelier는 조합형태 (combinatorial form)의 반사원리에서 아이디어를 얻었다고

기술하고 있다. Bertland가 1888년 저서에서 조합형태의 반사원리를 설명하고 있다. 그

러나, Bachelier가 Brown운동의 반사원리를 정확하게 증명한 것은 아니다. 이 반사원리를

증명하기 위해서는 먼저 Brown운동의 강Markov성 (strong Markov property)을 증명해야

한다. 그러나, 이 강Markov성이 완전하게 증명된 것은 1956년 Hunt에 의해서이다. 다섯째,

Bachelier는 프랑스정부가 발행한 영구채권 (perpetual bond)인 les rentes를 원자산으로

하는 옵션의 공정한 가치를 평가하였다. 이 결과는 그 유명한 Black & Scholes의 1973년

논문보다 무려 73년 앞선 것이다. 이 논문에서 Bachelier는 원자산이 정규분포를 따른다는

가정을 하였으나, Black & Scholes는 Samuelson을 따라 주가가 기하Brown운동 (geometric


Brownian motion)을 따른다고 가정하였다. 주가가 기하Brown운동을 따른다는 가정을 한

것은 Samuelson이 처음은 아니다. 천문학자 Osborne (1959) 역시 주가는 기하Brown운동을

따른다는 주장을 하였다. 여섯째, Bachelier는 재무현상을 설명하는 데 마팅게일(martingale)

아이디어를 도입했다. 원래, 마팅게일은 도박의 한 종류이다. 이를 확률론에 도입한 사람은

Ville (1939)이고, Doob는 1940년대 이를 수리적으로 발전시켰다. 비록 정형적으로 마팅게일

을정의하지는않았지만, 마팅게일아이디어는 Bachelier의박사학위논문에서큰역할을한다.

일곱째, Bachelier는 시장이 효율적임을 보였다. Bachelier는 Brown운동을 사용해서 주가를

나타내고, 이를 바탕으로 투기수익 (speculation return)의 기대값은 0이라 결론지었다. 이는

Samuelson (1965)이 주가가 기하Brown운동을 따른다는 가정 하에 마팅게일을 사용해서

효율적시장가설 (efficient market hypothesis)을 증명하기 65년 전이다. 엄격히 말한다면,

Samuelson은 Bachelier 이후 꾸준히 발전되어 온 확률해석을 사용해서 Bachelier의 결론을

좀 더 세밀하게 증명했다고 해야 하는 것이 아닐까?

지금부터는 Bachelier의 생애와 학문에 대해서 살펴보자. 아래의 내용은 다음 웹사이트

내용을 바탕으로 한 것이다.

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bachelier.html

Bachelier는 1870년 프랑스의 르아브르 (Le Havre)에서 태어났다. 고등학교 졸업 후 부모를

여윈 그는 집안사업에 종사하였다. 아마도 이 기간에 Bachelier는 금융시장에 대해 알게 된

것이 아닌가 짐작된다. 그는 1892년 파리의 Sorbonne대학에서 입학해서 그로부터 8년 뒤인

1900년 박사학위를 받았다. 그러나 1900년부터 1914년 사이에 Bachelier가 어떤 직업을

가지고 있었는지는 정확하게 알려져 있지는 않다. 제1차 세계대전 동안에는 프랑스육군에

징병되었고, 간간이장학금을받아서연구를계속했으며, 1909년과 1914년사이에는 Sorbonne

대학에서 자유교수 (free professor)로 강의를 하였다. 그 당시 그가 담당한 과목들 중 하나는

‘재무론에응용하는확률해석’이다. 또한, 1912년에는 “확률미적분(Calcul des Probabilites)”

그리고 1914년에는 “게임, 기회 그리고 위험 (Le Jeu, la Chance et le Hazard)”을 출간하였

다. 전쟁이 끝나고 브상송(Besançon)에서 강사자리를 얻은 Bachelier는 1922년 디종(Dijon)

으로 그리고 1925년 레느 (Rennes)로 자리를 옮겼다. 1926년 56세의 Bachelier는 디종에

서 자리를 잡으려 했으나, 에꼴폴리테크니크 (Ecole Polytechnique)에 재직 중이며 당시 40

세이던 Lévy교수의 비판적 보고서 때문에 실패하였다. 그러나, Bachelier의 논문을 인용한

Kolmogorov의 1931년 논문을 읽은 Lévy교수는 Bachelier에게 사과편지를 썼고, 이후 둘은

화해했다고 한다. 1927년 영구교수로 브상송에 돌아간 Bachelier는 1937년 67세의 나이로

14 제 1장 서 론

은퇴하였고, 1941년 마지막 논문을 발표하였으며, 1946년 76세의 나이로 사망하였다.

동시대 뛰어난 프랑스 수학자들인 Hadamard, Borel, Lebesgue, Lévy 그리고 Baire 등은

Bachelier의 연구결과 중요하다고 평가하지 않았으며, 또한 그의 논문은 수학적으로 정교하지

않다고 생각했다. 그러나, 여기서 정교하지 않았다는 것은 틀렸다는 의미가 아니다. 측도론

(measure theory)이나 공리적 확률론 (axiomatic probability theory)이 발전되지 않았던 당

시로서 Bachelier는 자신의 연구결과를 그렇게 표현할 수 밖에 없었던 것이다. 이것은 시대를

앞서가는 사람의 비애인 것 같다. Fourier해석을 발견한 Fourier 역시 당시에는 정교하지 않은

수학으로 비판을 받았다. 그러나, Fourier해석 없이 오늘날 학문세계나 우리가 누리는 문명의

이기들이 존재할 수 있었을까? Fourier해석 없이는 편미분방정식을 풀 수가 없었을 것이고,

편미분방정식을 풀 수 없다는 것은 Newton패러다임으로 사고를 할 수 없다는 것이다. 물론

Black-Scholes식도존재하지않았을것이다. Brown운동은결정적(deterministic) 세계관에서

확률적(stochastic) 세계관으로바뀌는 길목의초병이다. Brown운동은 흘러가는 시간에 따라

변하는 세상을 확률적으로 설명하는 도구들 중에서 가장 간단한 것들 중 하나이다. 이러한

Brown운동에 관한 연구는 20세기에 들어서 가장 중요한 수학적 발견들 중 하나이고, 이러한

연구의 시발점에는 Bachelier, Einstein 그리고 Wiener 등이 있다.

Bachelier의 이러한 업적은 경제학계에서 오랫동안 잊혀져 있었고, 이러한 업적을 재조

명한 것은 Samuelson이다. 1955년 어느 날 Yale대학 통계학교수였던 Savage는 당대 유명한

경제학자들에게 1914년에 Bachelier가쓴투기이론에관한책에대해서알고있느냐는내용의

엽서를 보냈다. Samuelson은 이 엽서가 내포한 중요성을 첫눈에 알아보았다. 1950년대부터

Samuelson을포함한일부경제학자들에게옵션가치를평가하는문제는중요한연구주제였다.

Savage가 보낸 엽서를 읽은 Samuelson은 MIT도서관에서 Savage가 언급한 책을 찾지 못했

으나, Bachelier의 박사학위논문을 구할 수가 있었다. 그는 Bachelier의 박사학위논문을 읽고

그 내용을 초창기 재무학자들에게 널리 전파하였다. 그렇다고 해서, Bachelier의 연구결과가

오랫동안 사람들에게서 잊혀져 있었다고 할 수는 없다. Bachelier의 연구는 크게 경제학의

투자론에 기여한 부분과 수학의 확률과정론에 기여한 부분으로 나눌 수 있는데, 경제학

분야에서는 Bachelier를 잊고 있었지만 수학 분야에서는 그의 연구결과를 계속 발전시켜

오늘날 다양한 학문분야에서 그 결과가 적용되고 있다. 지금도 많은 사람들이 읽는 고전인

Doob (1953, p. 97)에는 ‘Brown운동을 수리적으로 처음 다룬 사람은 Bachelier이고 후에

Wiener가 좀 더 정교하게 다루었다’ 라고 적혀있다. 또한, 확률론의 고전인 Feller (1971, Vol.

Ⅱ, p. 181)에서는 Brown운동을 Wiener-Bachelier과정이라고도 부르고 있다. Bachelier의

Brown운동에 대한 이해와 연구결과는 Einstein의 1905년 논문의 내용보다 더 깊고 또한 더


수학적이다. 이러한 Bachelier의업적은뒷날 Wiener (1923), Kolmogorov (1931), Ito (1944)

그리고 Black & Scholes (1973) 등의 연구에 지대한 영향을 끼쳤다. Cootner (1964)와 Davis

& Etheridge (2006)에 Bachelier의 박사학위논문이 영어로 번역되어 실려 있다. Bachelier와

박사학위논문에 관한 자세한 내용은 Courtault & Kabanov & Bru & Crépel & Lebon & Le

Marchand (2000)와 Taqqu(2001)를 참조하라.

1.3.3 Markowitz와 평균분산접근법

Harry M. Markowitz는 1927년 시카고에서 태어났다. Chicago대학 학부를 졸업한 후, 같은

대학의 대학원에서 경제학을 공부했다. Markowitz의 박사학위논문의 주제는 응용수학을

사용해서 주식시장을 분석하는 것이었다. 당시 경제학계의 분위기로 보아 이러한 주제가 경제

학박사 학위논문으로 타당한지에 대한 논란의 가능성이 있었으나, 지도교수였던 Marschak의

지지와 독려 하에 Markowitz는 연구를 계속하였다. Markowitz는 당시 널리 사용되던 주가

이론에는 불확실성에서 오는 위험에 대한 분석이 결여되어 있음을 깨닫고, 불확실성 하에서

포트폴리오선택 (portfolio selection)에 관한 이론, 즉 수익률의 분산을 위험으로 간주해서

기대수익률과 위험을 동시에 다루는 평균분산모형 (mean-variance model)을 개발하여, 그

결과를 1952년 Journal of Finance에 발표하였다. 다양한 포트폴리오분석들이 제안되어

왔지만, Markowitz에 의해 도입된 평균분산모형분석법은 오늘날까지 포트폴리오분석에서

기둥 역할을 해왔다. 포트폴리오선택문제에 처음으로 현대적 의미의 수리적 그리고 계량적

방법론을 적용한 것이 평균분산모형분석법이다.

1952년 Markowitz는 RAND Corporation(흔히들 RAND라 부름)에 취직하였고, 그곳

에서 단체법 (simplex method)으로 유명한 Dantzig를 만났다. 최적화 (optimization) 분야의

대가인 Dantzig의 도움을 받아, 자신의 평균분산모형을 바탕으로 최적인 포트폴리오를 찾아

내기 위한 크리티컬라인알고리즘 (critical line algorithm)을 개발하였다. 이러한 최적 포트

폴리오들의 집합을 Markowitz프론티어 (Markowitz frontier) 또는 효율적 프론티어 (efficient

frontier)라 부른다. Markowitz는 평균분산모형을 이용해서 다양한 금융자산들에 분산투

자함으로써, 기대수익률을 일정하게 유지하면서 위험을 경감시킬 수 있음을 보였다. 또한,

평균분산모형이론은 투자자가 가지고 있는 투자자금에서 어떤 금융자산에 얼마씩 투자해야

좋은지에 대한 구체적인 지침을 준다.

1955년 Markowitz는 포트폴리오선택에 관한 논문으로 Chicago대학으로부터 박사학위를

받았다. 이 논문의 심사위원회는 주심인 Marschak교수와 Friedman교수 등으로 구성되었다.

흔히들 defense라 부르는 논문심사의 쟁점은 이 논문의 내용이 경제학인가 아닌가에 관한

16 제 1장 서 론

것이었다고한다. Markowitz (1991)는저서의맺음말에서, 이때상황에대해자세히설명하고

있다. 관심있는 독자는 다음 웹사이트를 참조하라.

www.altavra.com/docs/thirdparty

/interview-with-nobel-laureate-harry-markowitz.pdf

훗날 (1976년) 노벨경제학상을 받은 Friedman교수는 다음과 같은 발언으로 Markowitz를

당황하게 만들었다.

“이것을 전체적으로 경제학 논문이라고 할 수 있는가? 이것이 수학 논문이 아닌 것은

명백하다. 또한, 경영학 논문이라고 할 수도 없고, 경제사 논문이라고도 할 수 없다.”

그러자, 경륜이 있던 Marschak교수가 다음과 같은 말로 Markowitz의 위기를 넘겨주었다.

“Friedman교수, 그러나 이것은 문학 논문도 아닙니다.”

지도교수인 Marschak교수의 적극적인 후원으로 Markowitz는 박사학위를 받을 수 있었지만,

이논문심사는청년 Markowitz에게큰영향을미쳐, 그는이후긴시간동안경제학의본류에서

거리를 두게 되었다고 한다. 그 당시로서는 Markowitz의 박사학위논문에 대한 비판적 관점은

단지 Friedman에 한정된 것은 아니었다. 당시 많은 경제학자들은 이 논문을 수준이 낮은

실무적 연구에 지나지 않는다고 여겼다. 특히 Friedman은 훗날 로이터(Reuters)와 인터뷰를

하면서자신은 Markowitz, Sharpe 그리고 Miller가노벨경제학상후보자 100인에들어간다고

생각하지 않는다는 발언을 함으로서, 젊은 경제학자들 사이에 뒷말이 일어나게 하였다. 이에

대한 자세한 내용은 Davis & Eteridge (2006, p. ix)를 참조하라.

여러 금융자산들의 조합을 포트폴리오라 부른다. 일단 그 조합이 고정되면, 포트폴리오 자

체를 하나의 금융자산으로 간주할 수 있다. 만약 금융자산을 무한히 분할할 수 있다면, 시장에

금융자산이유한개밖에존재하지않는경우에도무수히많은포트폴리오들이존재할수있다.

따라서, 금융자산들사이의상관관계를적절히이용하면, 개별금융자산은가질수없는성질을

갖는 포트폴리오를 조립할 수 있다. 특히, 금융자산을 운용하는 데 발생하는 위험을 관리하기

위해 바람직한 특성을 갖는 포트폴리오를 설계할 수 있다. 이러한 과정을 포트폴리오분석,

포트폴리오선택 그리고 포트폴리오 최적화 등으로 부른다. 즉, 포트폴리오분석이란 주식과

같이 불확실한 수익을 발생시키는 금융자산들에 투자할 때, 어떻게 포트폴리오를 구축하면

투자자에게 바람직한 수익 특성을 가질 수 있는지를 분석하는 것이다.

경제학자들과는 달리 금융실무자들은 평균분산모형을 높이 평가하였다. 그 이유는 평균

분산모형은 투자수익률의 분산을 이용해서 투자위험을 알기 쉽게 표현하고, 또한 구체적인

투자계획법을 제공하기 때문이다. 만약 평균분산모형이 좀더 연구되고 실제 거래에 적용되


었더라면, 금융공학은 1960년대에 이미 중요한 학문분야로 정립되었을 수도 있었을 것이다.

그러나, 평균분산모형은 계산이라는 벽에 부딪치고 말았다. 오늘날 컴퓨터의 성능으로는 투자

대상인 금융자산들이 수백 수천 개에 달하는 대규모 포트폴리오선택문제를 평균분산모형으로

다룰 수 있지만, 당시 컴퓨터의 성능으로는 이러한 문제를 푸는 것이 불가능했기 때문에 1980

년대에 이르기까지 평균분산모형은 실무에서 잘 사용되지 않았다. 평균분산모형을 적용하기

위해서는 투자대상이 되는 금융자산들의 수익률들의 분산공분산행렬을 추정할 필요가 있다.

투자대상이되는금융자산들의개수가 N인경우에는, N [N+1]/2개모수들을추정해야한다.

따라서, N이 큰 경우에는 통계적으로 신뢰할 수 있는 추정값들을 얻는 것이 어렵다. 이러한

단점에도 불구하고, 평균분산모형은 오늘날 포트폴리오이론과 실무 양면에서 기본적으로

사용되는 모형이다. Markowitz에 대해서는 다음 웹사이트를 참조하라.

http://en.wikipedia.org/wiki/Harry_Markowitz

제2차세계대전전후로비선형계획법(nonlinear programming)과조건부최적화문제에는

이론적 측면과 계산적 측면에서 많은 발전이 있었다. Markowitz는 이러한 최적화 연구결과를

포트폴리오선택문제에 적용해서, 선형인 제약조건 하에서 목적함수인 2차함수를 최소화하는

문제로 정형화하였다. 우선, 포트폴리오의 리턴 (return)의 척도로 기대수익률 (expected

return rate)을 사용하고, 수익률의 분산이나 표준편차가 불확실한 투자수익의 위험을 나타낸

다고 하자. 위험회피적 (risk averter)인 합리적 투자자는 되도록 높은 수익률과 되도록 작은

위험을 선호한다. 따라서, 우리는 동일한 기대수익률을 갖는 포트폴리오들 중에서 위험을

최소화하는 것 또는 동일한 위험을 갖는 포트폴리오들 중에서 기대수익률을 최대화하는

것만을 고려해도 된다. 이러한 포트폴리오를 효율포트폴리오 (efficient portfolio)라 부른다.

즉, 효율포트폴리오란특정한기대수익률이주어진경우에제거할수있는위험을모두제거한

포트폴리오이다. 달리 말하면, 추가적인 위험증가 없이는 추가적인 기대수익을 얻을 수 없는

포트폴리오이다. 효율포트폴리오의 집합이 앞에서 언급한 효율적 프론티어이다. 기대수익률

제약과 예산제약 이외에도 공매가 금지되어 있거나 투자비율의 상한 또는 하한이 제한되는

등 다른 제약이 있는 경우에는 효율포트폴리오를 해석적으로 구하는 것이 쉽지만은 않다.

이러한 경우에는 수치적으로 효율적 프론티어를 구해야 한다. 시장에 국채나 은행예금과 같은

위험이 없는 무위험자산이 존재하고 그 무위험자산의 대출과 차입에 제약이 없다고 가정하면,

효율포트폴리오를 구하는 문제는 접점포트폴리오(tangent portfolio)라 불리우는 위험자산과

무위험자산 사이의 투자비율을 결정하는 것으로 귀착된다. 이 자산분리정리는 포트폴리오

이론에서 아주 명쾌한 결과들 중의 하나이다. 그러나, 분산은 수익률이 평균수익률보다 큰

18 제 1장 서 론

경우에 발생하는 편차도 위험으로 간주하는 통계량이므로, 분산이 위험척도로서 적절한지

여부가 논란이 되어 왔다. 또한, 이에 관한 다양한 수정과 확장도 제안되어 왔다.

1.3.4 Sharpe와 CAPM

RAND는로스엔젤레스의서쪽바닷가에위치한산타모니카에있는연구소로, 제2차대전중에

동원된 많은 우수한 연구자들을 전쟁 후에도 활용하기 위해서 미국정부가 세운 연구소이다.

당시 RAND에는 Arrow, Koopmans, Scarf, Dantzig 등 당대의 뛰어난 경제학자들과 OR학

자들이 모여 있었다. Markowitz는 이 연구소의 연구원이 되어, 1959년 “Portfolio Selection:

Efficient Diversification of Investment”라는 명저를 저술했다. 1960년대 초, 이 책을 읽고

감명을받은 UCLA 경제학부의대학원생 William Sharpe가 RAND로 Markowitz를찾아갔을

때, Markowitz는 전혀 다른 연구주제에 몰두하고 있었다. 당시, Markowitz는 Dantzig교수가

개발한 단체법의 효율화와 시뮬레이션언어인 SIMSCRIPT의 개발 등에 몰두해 있었다. 앞

에서 언급한 대로 평균분산모형은 계산상 벽에 부딪쳐 있었으나, Sharpe는 Markowitz와의

대화에서 이 벽을뛰어넘을수 있는 힌트를 얻었다. 1960년대중반, Sharpe는 평균분산모형을

사용하지 않으면서 평균분산모형과 매우 비슷한 결론을 내는 방법을 제시하였다. Sharpe는

이 아이디어를 계속 발전시켜, 획기적 재무이론인 CAPM(Capital Asset Pricing Model)을

제시했다.

Sharpe (1964), Harvard대학의 Lintner (1965) 그리고 노르웨이의 경제학자 Mossin

(1966)은 투자자가 Markowitz가 제시한 평균분산모형의 조건을 따른다는 가정 하에서 위

험자산의 적정가치를 평가하기 위한 CAPM을 제시했다. CAPM은 경제학에서 중시하는

균형이론 체계를 따르는 모형이다. 즉, CAPM은 균형을 이루는 자본시장에서 금융자산의

위험프리미엄이 어떻게 결정되는가를 설명하는 모형이다. 이 CAPM의 등장으로, 재무이론은

단번에 경제학의 주류로 편입되었다. 평균분산모형이론에 의하면 합리적 투자자는 접점포트

폴리오와 무위험자산에만 투자해야 한다. 시장에 참가하는 모든 투자자들이 수익률에 대해

동일하게 예상하고 기대하며, 즉 동일한 기대수익률들과 동일한 분산공분산행렬을 가정하며,

또한 평균분산모형에서 가정하는 조건들을 만족하는 투자선호도를 갖는다면, 투자자는 효율

포트폴리오 중 어느 하나를 선택해야 한다. 이렇게 선택된 포트폴리오는 접점포트폴리오와

무위험자산의 조합이다. 이 경우에 각 투자자의 위험에 대한 태도가 다르므로, 접점포트폴

리오와 무위험자산에 대한 투자비율은 각 투자자에 따라 다르다. 그러나, 모든 투자자들이

구축하는 포트폴리오들에 포함되는 위험자산들을 합하면 시장에 존재하는 위험자산 전체가

되므로, 접점포트폴리오는 시장에 존재하는 위험자산들 전체로 이루진 포트폴리오임에 틀


림없다. 이러한 이유로 접점포트폴리오를 시장포트폴리오라 부른다. 이를 바탕으로 Sharpe

등은 다음과 같은 성질을 증명하였다. 각 위험자산의 기대수익률에서 무위험수익률을 뺀

기대초과수익률은 시장포트폴리오의 기대초과수익률과 비례하며, 그 비례상수인 베타는

위험자산 수익률과 시장포트폴리오 수익률의 공분산을 시장포트폴리오 수익률분산으로 나눈

것이다. 즉, 각 위험자산의 초과기대수익률은 최과시장기대수익률의 배수이다.

이러한 사고를 바탕으로, 각 금융자산의 수익률을 시장포트폴리오의 수익률에 비례하는

부분과 무상관인 부분으로 분해할 수 있다고 가정하는 수익률모형이 단인자모형이다. 이

단인자모형을 이용하면, 평균분산모형에 비해서 추정해야 할 모수들의 개수를 격감시킬 수

있다. 즉, 단인자모형을 활용하면, 적당한 개수의 금융자산들을 적절하게 조합해서 시장포

트폴리오와 거의 같은 수익을 내는 포트폴리오를 구성할 수 있다. 1960년대에는 주식시장에

존재하는 주식들 중에서 20개에서 30개 주식들을 적절하게 조합하면, 시장포트폴리오와

비슷하게 움직이는 포트폴리오를 구성할 수 있었다고 한다. 당시의 컴퓨터 수준으로도 충

분히 CAPM을 적용할 수 있었기 때문에, 1980년대 초반까지 CAPM이 포트폴리오이론의

중심에 서고 평균분산모형은 변방으로 밀리게 되었다. 그러나, 1980년대에 들어서서 PC가

등장하는 등 컴퓨터세계의 급격한 발전과 이에 힘입은 동적계획법 등 최적화이론의 발전에

기인해서, 1960년대에는풀 수 없었던초대형평균분산모형을쉽게풀 수 있게되었다. 이러한

컴퓨터와 최적화이론의 발전으로 평균분산모형의 계산상 문제를 해결할 수 있었으므로,

평균분산모형이론은 재무이론의 기본으로 부활하여 오늘날 포트폴리오이론의 가장 기본적

모형들의 하나로 활용되고 있다. 1990년도 노벨경제학상은 Markowitz(UC San Diego 교수),

Sharpe(Stanford대학교수) 그리고 Miller(Chicago대학교수, 기업재무이론의기본적이되는

Modigliani-Miller정리를 제시함)에게 주어졌다.

1.3.5 Black-Scholes-Merton과 편미분방정식

파생상품이라는 것은 주식이나 원유 등 자산가격에 연동해서 정해지는 상품이다. 대표적인

파생상품으로는 옵션 (option)이 있다. 옵션은 미래의 불확실성에 동반되는 위험을 헤지하기

(hedging) 위한 수단으로 오래 전부터 사용되어 왔다. 그러나, 옵션의 적정한 가치를 결정하는

이론이 없었기 때문에, 옵션가치는 그때 그때 적당히 평가되었다. 당대 경제학계의 스타였던

MIT의 Samuelson교수도 오랜 기간동안 옵션의 가치평가문제에 매달렸으나 만족할 만한

답을 얻지 못했다. 잘 알려져 있듯이, 이 어려운 문제에 대해 처음으로 만족스러운 해답을

제시한 것은 Black & Scholes (1973)이다. 이들이 확률미적분(stochastic calculus)에 나오는

Ito-Doeblin보조정리를 적용해서, 오늘날 우리가 Black-Scholes식이라 부르는 유럽형옵션의

20 제 1장 서 론

가치평가식을제시한것은 1970년 초반이다. 그러나, 이 논문은저명한 2개의학술잡지들에서

게재를 거절당했다고 한다. 곤란해진 그들은 Chicago대학의 Miller교수에게 부탁해서, 1973

년 Journal of Political Economy에 겨우 게재허락을 받았다고 한다. 같은 해에 시카고옵션

거래소 (Chicago Board Options Exchange: CBOE)가 개설되었고, 그 후 옵션시장은 크게

발전하였다. 그러나, Black-Scholes식 없이 이러한 옵션시장의 발전은 있을 수 없었을 것이다.

Black은 Chicago대학의 교수를 거쳐 1975년 이후 MIT대학의 교수로 재직했으나, 1984년

Goldman-Sachs사의 파트너로 직업을 바꾸었다. 이러한 그의 전직은 한동안 화제가 되었다고

한다. 대학에서 기업으로의 이적이 드물지 않은 미국에서도, Black 정도의 거장이 MIT교수

직을 버리고 업계로 간다는 것은 파격적인 일이었기 때문이다. 들리는 이야기로는 Black은 두

가지 이유로 학계를 떠났다고 한다. 하나는 연봉의 차이가 큰 것이었고, 다른 하나는 논문을

경제학 전문지에 투고하였을 때 심사위원들 (referees 또는 reviewers)에게서 잔소리를 듣는

것이 싫었기 때문이라고 한다. Black은 Goldman-Sachs에서도 연구를 계속해서 재무이론과

실무 양면에 기여하는 획기적인 아이디어와 모형들을 제시했다. Black에 대해서는 Mehrling

(2005)이 쓴 “Fischer Black and the Revolutionary Idea of Finance”를 참조하라.

Black & Scholes (1973)에서는오늘날표준적으로사용되는거래전략(trading strategy)이

라는 개념이나 자기금융조건 (self-financing condition)을 사용하지 않았다. 오늘날 금융전

문가들 사이에서 기초상식이 되어 있는 Black-Scholes식에 재무론적 개념을 추가한 사람은

Merton (1973a)이다. 또한, 그는 이자율과정이 결정적 (deterministic) 상수가 아닌 확률적

(stochastic)인 경우를 다루었고, 배당 (dividend)이 따르는 주가를 원자산으로 하는 옵션가

치평가식을 제공하였다. Merton이 MIT학생이었을 때 지도교수인 Samuelson은 “이렇게

머리 좋은 사람은 본 적이 없다”라고 감탄했다는 말이 전해진다. 이 Merton이 본격적으로

확률미적분을 사용해서 재무이론의 중요한 문제들을 해결하는 논문들을 발표했다. 이러한

연구결과가 Merton (1992)에 수록되어 있다.

Black-Scholes-Merton모형이라고도 불리우는 Black-Scholes모형에서는 원자산이 기하

Brown운동을따른다고가정하고, Ito-Doeblin보조정리를사용해서원자산과유럽형옵션으로

이루어진 포트폴리오의 가치가 따르는 확률미분방정식을 유도하고, 이로부터 무재정조건

하에서 공정한 가치가 만족해야 하는 편미분방정식 (partial differential equation: PDE)을

유도한다. Black-Scholes편미분방정식이라고부르는이포물형편미분방정식을열전도방정식

(heat transfer equation)으로 변형하면, 쉽게 해석해를 구할 수 있다. 이 해석해를 Black-

Scholes식이라 부른다. Black-Scholes편미분방정식과 Black-Scholes식을 유도하는 과정을

설명하는 것이 본서의 주된 목적이다.


1997년도 노벨경제학상은 금융파생상품의 가치이론에 관한 업적으로 Scholes(Stanford

대학 교수)와 Merton(Harvard대학 교수)에게 수여되었으나, 유감스럽게도 Black은 1995

년에 암으로 타계하였다. 그들의 Nobel상 수상이 금융공학이 더 많은 관심을 끌게 된 것은

의심할 여지가 없다. 그러나, 1998년 Scholes와 Merton이 경영에 참여하고 있던 헤지펀드

운영사인 LTCM(Long-Term Capital Management)가 도산함으로써, 그들은 Nobel실패작

(Nobel failure)라는 오명을 쓰게 되었다. LTCM의 도산의 파장은 세계경제를 공황에 빠뜨릴

정도였으나, 미국정부가 적극적으로 나서서 겨우 이를 진정시킬 수 있었다. 이 도산이 러시아

통화위기때문에 발생한 것이기는 하지만, 길게 보면 시장은 항상 정상적 상태로 되돌아온다는

굳건한믿음과수리적모형에대한지나친신뢰감, 그리고이를바탕으로한과도한레버리지의

사용이 이러한 비극적 결과를 발생시켰다.

1.3.6 Cox-Ross-Rubinstein와 이항나무모형

편미분방정식을 사용해서 Black-Scholes식을 유도하는 과정에서 확률해석 (stochastic anal-

ysis)이 사용된다. 따라서, 확률해석에 익숙하지 않은 사람이 이 방법을 이해하기가 쉽지

않다. 지금은 자연과학이나 공학을 전공한 사람이 금융실무에 종사하는 것이 전혀 이상하지

않지만, 1973년 당시에는 그러한 상황이 아니었다. 수리적 배경이 약한 실무종사자를 위해서,

Cox & Ross & Rubinstein (1979)은 기초통계학을 이수한 사람이 이해할 수 있는 수준에서

Black-Scholes식을 유도하였다. Bachelier (1900)가 보였듯이, Brown운동을 이산시간형

확률보행과정(random-walk process)의극한으로나타낼수있다. Cox & Ross & Rubinstein

(1979)은 이 성질을 이용해서, 원자산수익률이 연속시간형 Brown운동이 아닌 이산시간형

이항나무모형 (binomial tree model)을 따른다고 가정하였다. 이러한 가정 하에 미적분과

기초통계학을 이수한 학생들도 이해할 수 있는 정도의 수학을 사용해서, 무재정조건을 바

탕으로 하는 자산가치평가의 근본적 정리 (fundamental theorem of asset pricing)를 아주

쉽게 유도하였다. 또한, 이 이항나무모형에 일종의 중심극한정리인 확산극한을 적용해서,

Black-Scholes식을 도출하였다.

이렇게 이항나무모형과 같은 격자모형(lattice model)을 사용해서 금융파생상품의 가치를

평가하는 것은 계산재무론 (computational finance)의 다양한 기법들 중의 하나였다. 즉,

실무종사자가 이색옵션 (exotic option)과 같은 새로운 금융파생상품의 가치를 평가할 때,

연속시간형 모형을 사용해서는 명시적 해를 도출하는 것이 불가능하거나 또는 어려우면, 먼저

격자모형을사용해서수치적해를도출해보기도하였다. 제5장에서이항나무모형을사용해서

Black-Scholes식을 유도할 것이다.

22 제 1장 서 론

1.3.7 Harrison-Kreps-Pliska와 위험중립가치평가식

앞에서 설명한 무재정조건을 좀 더 명확하게 정의해보자. 시장이 다음 두 조건들 중에서

적어도 하나를 만족하면, 시장에 재정 (arbitrage)이 존재한다고 한다. 첫째, 현재 투자액이

음 (negative)인 경우, 미래에 확실하게 비음 (nonnegative)인 수익을 얻는 기회가 존재한다.

둘째, 현재 투자액이 비양(nonpositive)인 경우, 미래에 확률 1로 양(positive)인 수익을 얻는

기회가 존재한다. 이러한 재정의 정의에서 중요한 부분은 ‘확률 1로’라는 것이다. 예를 들어,

은행에서 10억 원을 빌려 미국달러를 샀고, 1년 후에 그 달러를 12억에 팔아 은행에 원리금을

상환하고 남은 1억원을 수익으로 얻었다고 하자. 이러한 거래가 시장에 존재한다고 해서 이

시장에 재정기회가 없다는 조건이 위반된 것은 아니다. 투자시점에서 보면 미래에 미국달러에

대한환율이떨어져손실을입을가능성도있어서, 투자시점에서양의수익이확실하게보장되

는 것이 아니기 때문이다. 시장에 재정이 없다는 조건을 무재정조건이라 하고, 무재정조건을

만족하는 시장을 무재정시장이라 한다.

금융상품에 대한 가치평가는 투자자의 위험회피도 (risk preference)에 따라 다른 것이

보통이다. 예를들어, 복권이라는금융상품을생각해보자. 이금융상품에 1,000원을투자하면,

평균적으로는 600원 정도의 수익 (return)밖에 돌아오지 않는다. 그러나, 평균적으로 손해를

보는 것을 알면서도, 많은 사람들이 복권을 산다. 복권을 사는 사람은 좀처럼 얻기 어려운

아주 큰 이익과 소액의 손실을 머릿속 저울에 달아보고, 이 금융상품이 1,000원 이상 가치가

있다고 생각하는 것이다. 이에 반해서, 복권을 사지 않는 사람은 좀처럼 얻기 어려운 아주 큰

이익에는 그다지 무게를 두지 않기 때문에, 그 금융상품의 가치를 1,000원 미만으로 평가하고

있는 것이다. 이와 같이 불확실한 수익을 주는 금융상품에 대한 평가는 각 투자자의 위험과

효용에 관한 판단기준에 의해서 달라지는 것이 보통이다. 그렇다면, 불확실성이 존재하는

경우에 누구든지 납득할 수 있는 공정한 가치평가는 가능한 것일까?

Harrison & Kreps (1979)는 이산시간형 모형에 마팅게일 (martingale)을 적용해서, 이

문제에 대한 해답, 즉 무재정조건 하에서 금융파생상품의 공정한 가치를 평가하는 방법을 제

시했다. 또한, Harrison & Pliska (1981, 1983)는 동일한 아이디어를 연속시간형 모형에 적용

하였다. 그들은 당시 확률동적계획법 (stochastic dynamic programming)이나 확률제어이론

(stochastic control theory)에 선도적 위치를 점하고 있었던 Stanford대학교의 공과대학에서

연구를하고있었다. 이분야의연구결과를금융파생상품의가치평가에적용해서, 다음과같은

자산가치평가의근본적정리(the fundamental theorem of asset pricing)를제시할수있었다.

첫 번째 자산가치평가의 근본적 정리는 다음과 같다. 시장에 재정기회가 존재하지 않기 위한

필요충분조건은 시장에서 거래되는 각 금융자산의 가치를 기준이 되는 다른 금융자산가치로


나눈 상대가치가 마팅게일이 되는 인위적 확률측도가 존재하는 것이다. 수학적 관점에서

말하면, 이 인위적 확률측도는 시장에서 각 금융자산의 실제가치 변동을 지배하는 확률측도와

동치 (equivalent)이다. 따라서, 이 인위적 확률측도를 동치마팅게일확률측도 (equivalent

martingale probability measure)라 부른다. 앞에서 설명했듯이, 시장에 충분하게 다양한

금융자산들이 거래되고 있어서 어떤 새로운 금융상품의 지불금액함수 (payoff function)를

기존의 금융자산들의 지불금액함수들의 선형결합으로 나타낼 수 있다면, 이 시장은 완비

(complete)이다. 두 번째 자산가치평가의 근본적 정리는 다음과 같다. 시장이 완비이기 위한

필요충분조건은앞에서설명한동치마팅게일확률측도가일의적으로(uniquely) 존재하는것이

다. 즉, 자산가치평가의근본적정리들은완비시장에서무재정조건과동치마팅게일확률측도의

일의적 존재가 등가임을 의미한다. 이 자산가치평가의 근본적 정리는 경제학의 균형이론을

바탕으로 수리계획법 (mathematical programing), 확률미적분 등 수리적 기법들을 구사해서

만들어진 아주 중요한 정리이다. Davis & Etheridge (2006, p. 114)에서 언급했듯이, 자산

가치평가의 근본적 정리가 완전하게 증명됨으로써 재무경제학의 영웅시대 (heroic period)가

막을 내렸다고 할 수 있다.

이 자산가치평가의 근본적 정리들을 이용해서, 어떤 새로운 금융상품의 공정한 가치를

평가할 수 있다. 첫 번째 자산가치평가의 근본적 정리에서 알 수 있듯이, 새로운 금융상품의

지불금액함수를기존의금융자산들의지불금액함수들로복제할수있다. 시장이무재정조건을

만족하기위해서는, 이새로운금융상품의할인된가치과정은미래시점의가격변동을나타내는

진짜확률측도 (true probability measure)가 아닌 동치마팅게일확률측도 하에서 마팅게일을

이루어야 한다. 즉, 동치마팅게일확률측도 하에서 이 금융상품 미래가치의 기대값을 현재

시점의 가치로 나타낸 것이 이 금융상품의 공정한 현재가치이다. Black-Scholes환경에서는

금융상품가치를 할인하는 기준재로 보통 무위험채권을 사용하므로 동치마팅게일확률측도가

위험중립확률측도 (risk-neutral probability measure)가 된다. 따라서, 이러한 가치평가법을

위험중립가치평가법 (risk-neutral pricing method)이라 부른다. 만약 시장이 완비이면, 위험

중립확률측도가 일의적으로 결정되고, 따라서 각 금융파생상품의 무재정가치도 일의적으로

정해진다. 결론적으로, 위험중립가치평가법을 적용해서 Black-Scholes식을 유도할 수 있다.

아쉽게도 대부분 시장은 완비성을 갖지 못한다. 좀더 명확히 말한다면, 실제시장은 완비와는

거리가 멀다. 따라서, 복잡한 금융상품의 가치를 평가할 때는 자산가치평가의 근본적 정리를

참고하면서 다양한 변종기법들을 적용해야 한다.

24 제 1장 서 론

1.3.8 이자율모형들

만기시점까지 이자인 쿠폰 (coupon) 지불이 없는 채권을 제로쿠폰채 (zero coupon bond)라

한다. 일반적으로 만기시점 전에는 가격이 상환가격인 액면가보다 낮고, 실질적으로 그 가격

차이가 이자를 나타낸다. 따라서, 제로쿠폰채는 할인채라고도 불리는 확정이자부증권이다.

제로쿠폰채의 현재시점에서 가격 또는 가치는 만기시점까지 발생하는 현금흐름 (cash flow)을

현재가치로 나타낸 것이다. 쿠폰채는 발행시점에서 이자지불이나 상환가격 등 미래의 현금

흐름을 확약하는 증권으로서, 대부분의 국채, 지방채, 사채 등이 쿠폰채이다. 제로쿠폰채와

쿠폰채의 가격을 결정하는 것은 금융자산이나 금융파생상품의 가격을 결정하는데 직접적으로

관련된다. 따라서, 채권가치의 평가는 재무학에서 아주 중요한 위치를 차지한다. 그러나,

Vasicek (1977)의 논문이 발표되기까지는 재무학이나 금융공학에서 이자율에 관련된 금융자

산이나 금융파생상품의 가치 평가에 관한 통일적인 구조를 제공하는 연구가 없었다.

이논문에서 Vasicek은단기간대부와차입에서설정되는이자율인현물이자율(spot rate),

즉 단기이자율을 Ornstein-Uhlenbeck 확률과정이라 불리는 평균회귀적인 (mean-reverting)

성질을 갖는 확산과정 (diffusion process)을 이용해서 모형화하였다. 또한, Black-Scholes

편미분방정식을 유도하는 방법과 비슷한 방법을 적용해서, 현물이자율이 만족하는 포물형

편미분방정식을 도출한 다음, 이를 풀어서 이자율파생상품의 가치를 평가할 것을 제안하였다.

여기에서 평균회귀성이란 확률과정의 현재 상태값 (state value)이 클 때에는 직후 상태값이

감소하고, 반대로 현재 상태값이 작을 때에는 직후 상태값이 증가하여, 장기적으로 볼 때

상태값이 어떤 평균값으로 스스로 되돌아가는 경향을 갖는 성질을 의미한다. Hull & White

(1990)는 Vasicek모형에 시간에 의존하는 추세항 (drift)을 추가하는 확장을 시도하였다. 이

러한 현물이자율모형들은 Markov과정으로 기술되어 있기 때문에, 이자율파생상품의 가치에

관한 해석해를 얻을 수 있는 경우도 많으며, 그렇지 않은 경우에도 수치해석을 적용하기가

용이하다는 장점을 갖고 있다. 그러나, Vasicek모형이나 Hull-White모형에서 계산되는 현

물이자율이 정규분포를 따르기 때문에, 이자율이 음수가 될 확률이 0보다 크다는 구조적

문제를 포함하고 있다. 반면에, Cox & Ingersoll & Ross (1985)는 확산계수가 현물이자율의

제곱근으로 주어지는 확산과정을 사용해서, 이자율이 음수가 될 소지를 없앴다. 이 모형을

CIR모형이라 부른다.

Heath & Jarrow & Morton (1992)은 다른 접근법을 취했다. 채권의 잔존기간 (tenor)에

대한 이자율을 표현하는 곡선을 이자율기간구조 (term structure of interest rate)라고 한다.

특히, 평균이자율인 일드 (yield)와 채권의 잔존기간의 관계를 표현하는 곡선을 일드곡선

(yield curve)이라 한다. Heath & Jarrow & Morton은 현물이자율의 변동을 모형화하고 그

본서의 목적 25

로부터 일드곡선을 도출하는 것이 아니라, 일드곡선 자체의 시간적 변동을 확률미분방정식을

사용해서 모형화하였다. 즉, 각 만기시점에서 할인채가격 또는 어떤 미래시점에서 발생하는

단기간대부와차입에서설정된다고상정되는이자율인선도이자율(forward rate)이만족하는

확률미분방정식으로부터 모형화를 시작한다. 또한, 채권시장에서 관측되는 초기시점에서

일드곡선을 그 초기조건으로 한다. 이러한 모형을 HJM모형이라 부른다. 즉, HJM모형은

초기시점의 선도이자율과 변동성에 관한 기간구조를 주어진 것으로 해서, 선도중립확률측도

하에서 이자율기간구조의 변동을 기술하는 모형이다. 변동성이 이자율에 의존하는 경우를

다루므로, CIR모형과 마찬가지로 이자율이 음수가 되는 경우를 회피할 수 있다. 그러나,

이자율파생상품의 평가에서 특수한 경우를 제외하고는 해석해가 얻어지지 않을 뿐 아니라,

도출되는 현물이자율이나 채권가치과정이 Markov성을 갖지 않기 때문에 수치계산 역시

쉽지는 않다. 그래도 HJM모형은 확정이자부증권이나 이자율파생상품의 가치평가에 널리

사용된다.

스왑션 (swaption), 캡릿 (caplet), 플로어릿 (floorlet), 캡 (cap), 플로어 (floor)와 같은 이

른바 LIBOR(London Interbank Offered Rate)상품의 가치평가에서는 Black공식이 널리

이용되어 왔다. Black공식은 LIBOR가 기하Brown운동에 따른다고 가정 하에 이자율파생

상품들을 평가하는 식으로, 위에서 언급한 각 이자율파생상품의 가치평가식을 해석적으로

얻을 수 있다는 장점이 있다. 그러나, Black모형에서는 선도LIBOR의 변동성이 일정하다고

가정하기 때문에, 잔여기간에 따라 변동성이 변하는 실제 상황에서는 재정기회가 발생할 수도

있다.

제1.4절 본서의 목적

본저자가재무이론이나금융공학에다시관심을가진것은 1998년경부터이다. 본저자는 1980

년대 초 대학원과정에서 통계학과 경제학을 공부하면서, Markowitz의 평균분산모형이론이나

Sharpe의 CAPM 등을미시경제학과수리경제학시간에배웠고, Harrison교수자신이가르친

금융확률과정론 (stochastic processes in finance)에서 당시로서는 최첨단 이론이었던 위험

중립가치평가법을 배울 수가 있었다. 이 과목들을 수강할 당시에는 이러한 과목들이 지금과

같이 높이 평가되지 않았고, 단지 경제학과 경영학 사이에 새로이 나타나는 한 분야라고만

간주되고 있었다. 당시 본저자의 관심은 온통 정보이론 (information theory)에 쏠려 있었고,

그 이후로 대학원 재학 중에는 재무이론을 다시 공부하지 않았다.

귀국 후 상경대학에 재직하고 있는 관계로 여러 교수님들이나 대학원생들로부터 재무이

26 제 1장 서 론

론에 필요한 수학, 계량경제학, 통계학, 컴퓨터 등에 관한 질문을 받고 이에 대한 답을 해줄

때에도, 본저자 자신이 다시 재무이론을 깊게 공부하게 되리라고는 생각하지 않았다. 그러나,

1998년 Stanford대학으로 안식년을 가서 지도교수였던 Cover교수의 목요일 콜로퀴엄에 다시

참석하면서 금융공학에 관심을 갖게 되었다. 그 당시 우리나라에서도 여러 사람들이 금융공학

에 대해서 말했지만, Black-Scholes식을 유도할 수 있는 사람은 그리 많지 않았던 것 같았다.

그러나, Cover교수의 콜로퀴엄에서 당시 전자공학과 대학원에 다니던 Assaf Zeevi(지금은

Columbia대학의경영대학원교수)가 Black-Scholes식을네가지방법으로유도하는것을보고

놀라지않을수없었다. 또한, Stanford대학통계학과의 Lai교수는그당시 50세가넘었는데도

불구하고, 새로이 금융공학을 공부하고 있었다. Lai교수는 앞으로 응용수학이나 통계학이

나아갈 큰 방향 중의 하나가 금융공학이라고 주장하면서, 자신의 박사과정학생들 뿐 아니라

본저자에게도 금융공학을 공부할 것을 권유하였다. 이러한 연유로 해서 본저자는 다시금

재무이론에 관심을 가지게 되었다. IMF구제금융사태 전에 어떤 재무학 교수가 본저자에게

금융공학을 다시 공부할 것을 권유하면서 다음과 같은 말을 했었다.

“금융공학을 공부해서 금융시장에서 외국에 국부를 빼앗기지 않도록 (사실은 더

적게 뺏기도록) 하는 것이 전자제품이나 자동차를 생산해서 보국하는 것보다 더

큰 역할일 것입니다.”

본저자는 그 당시에 이 말을 깊게 새겨듣지 않았지만, 1997년 시작된 IMF구제금융사태를

멀리 미국에서 바라보면서 이 말을 심각하게 받아들이게 되었다. 그 후, 2008년 불거진

키코사태에서 Nobel경제학상을 받은 Robert F. Engle교수, Robert A. Jarrow교수, Stuart

M. Turnbull교수, 당시 카이스트금융대학원의 노재선교수와 함께 팀을 구성해서 원고인

수출기업을 도우면서 이 말을 뼈저리게 느끼게 되었다. 그리고, 우리가 금융공학 분야에서

실력이 일취월장하지 않는다면 외국의 거대자본에 계속 당할 수 밖에 없다는 절박감을 가지게

되었다. 그래서, 본저자는지금까지공부해온경제학, 수학, 통계학그리고 IT 지식을바탕으로

후학들이 재무학과 금융공학을 공부하는 데 필요한 수리적인 지식을 넓고 깊게 가르치고,

후학들이 금융공학을 체계적으로 공부할 수 있도록 저서를 집필하는 것을 은퇴까지 목표로

삼고 있다.

본서에서는금융파생상품의가치평가에관한이산시간형모형과연속시간형모형을다루게

될것이다. 본서를읽는데는미적분학, 기초통계학, 그리고선형대수학의지식을필요로한다.

만약 계량경제학과 수리통계학을 수강하였다면, 본서를 읽기가 훨씬 쉬울 것이다. 우리나라

학생들 수준으로 보아 아직은 Lebesgue적분을 심각하게 다룰 수는 없으므로, 본서에서는

금융파생상품 27

Lebesgue적분을 사용하지 않고 금융파생상품이론을 설명하게 될 것이다. 그러나, 좀 더

심각하게 금융공학이론을 전개하기 위해서는 Lebesgue적분을 사용하는 것이 필수적이다.

따라서, 금융공학을 전공하고자 하는 독자들은 실해석 (real anaylysis), 확률론 그리고 함수론

(functional analysis)을 공부하기를 권한다.

본서를 쓰는데 가장 많은 참고를 한 문헌들은 다음과 같다.

Neftci, S. N. (2000) An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives

(2nd Ed), Academic Press.

Neftci, S. N. (2008) Principles of Financial Engineering (2nd Ed), Academic Press.

Wilmott, P. (2006) Paul Wilmott on Quantitative Finance (2nd Ed), Wiley.

본서의 원고를 작성할 때는 Neftci (2000)를 주로 참고하였다. 그렇다고, 이 책을 읽기를

권하지는 않는다. 솔직히 말한다면, 이 책에는 잘못된 곳이 너무 많다. 본저자도 처음에는

잘못된 곳들을 찾아서 저자인 Neftci에게 알려주려 했으나, 틀린 곳이 너무 많아서 중간에

포기하고 말았다. 본서의 원고가 완성되었을 때 Neftci의 제3판인 Hirsa & Neftci (2013)이

출간되었다. 그러나, 이 책의 내용을 참고하지는 못했다. Wilmott (2006)는 3권이 한 질로

되어 있는데, 그 중에서 제1권과 제2권을 주로 참고하였다.

제1.5절 금융파생상품

1.5.1 금융파생상품의 가치평가

본서의 목적은 금융파생상품의 공정한 가치를 평가하는 것이다. 즉, 어떤 금융자산가격 St를

원자산으로 하는 금융파생상품의 공정한 가치 F (St, t)를 평가하는 것이다. 여기서 t는 현재

시점을 나타낸다. 다시 강조한다면, 우리가 알고자 하는 것은 St와 t의 함수인 F (St, t)이다.

완비인 무재정시장에서 금융파생상품의 공정한 가치 F (St, t)를 원자산과 무위험채권가치의

함수로 복제할 수 있다고 가정하면, 이를 바탕으로 실제 경제상황이나 다른 금융자산들과의

관계를 고려하지 않는 가치평가식을 얻을 수 있다. 이러한 가치평가식을 구하는 방법들은

많으나, 본서에서 고려하는 방법은 다음과 같은 세 가지이다.

첫 번째 방법은 편미분방정식을 이용하는 것이다. 금융파생상품의 공정한 가치 F (St, t)는

St와 t의함수이고, 어떤함수를해로하는방정식은미분방정식이다. 따라서, 금융파생상품가

치 F (St, t)를구하기위해서는먼저 F (St, t)의미분방정식을구해야한다. 여기서설명변수가

1개가 아닌 St와 t 2개이므로 상미분방정식 (ordinary differential equation: ODE)이 아닌

편미분방정식 (partial differential equation: PDE)을 유도해야 한다. 이 편미분방정식을

28 제 1장 서 론

유도하기 위해서, 우선 원자산과 금융파생상품으로 이루어진 무위험포트폴리오를 구축한다.

이 무위험포트폴리오에 무재정조건을 적용하면, 금융파생상품가치 F (St, t)의 편미분방정

식을 얻는다. 이 편미분방정식과 지불금액함수로 주어지는 말기조건 (terminal condition)

으로 이루어진 경계값문제(boundary-value problem)를 풀어서 금융파생상품가치 F (St, t)를

구한다. 이상적으로 말하면, 우리는 이 경계값문제의 해석해 (closed-form solution)를 구하고

싶다. 예를 들면, Black-Scholes식이 가장 잘 알려진 해석해이다. 만약 해석해가 존재하지

않으면, 이경계값문제에수치해석기법들을적용해서수치해를구한다. 위험중립가치평가법도

동치마팅게일확률측도를 사용하는 방법이다.

두 번째 방법은 연속시간형 마팅게일 (martingale)을 이용하는 것이다. 우선 Girsanov정

리를 바탕으로 동치마팅게일확률측도를 구한다. 적절히 할인된 금융자산가치들은 이 동치

마팅게일확률측도 하에서 마팅게일성을 갖는다. 따라서, 이 동치마팅게일확률측도 하에서

금융파생상품가치의조건부기대값을구함으로써, 금융파생상품의현재시점에서무재정가치를

계산할 수 있다.

세 번째 방법은 일종의 위험중립가치평가법이다. 다만, 연속시간형 마팅게일 대신 이산

시간형 마팅게일을 적용한다. 또한, 각 시점에서 상태공간이 연속형이 아닌 이산형, 즉 이항

나무모형 (binomial tree model) 또는 삼항나무모형 (trinomial tree model)과 같은 격자모형

(lattice model)을 사용한다. 이렇게 구한 가치평가식에 일종의 중심극한정리를 적용하면,

연속시간형 가치평가식을 얻을 수 있다.

1.5.2 금융자산가치평가의 예제들

다시 한 번 강조하면, 우리의 목적은 금융파생상품가치를 공정하게 평가하는 것이다. 금융

파생상품의 가치평가라는 문제를 심층적으로 정의하고 필요한 개념들을 자세히 소개하기

위해서, 우선 금융파생상품가치를 평가하는 간단한 예제들을 살펴보자.

예제 1.5.1 시점 t에서 금 1량의 가격을 St라 하자. 미래시점 T (> t)에서 금 1량을 F =

F (St, t)주고 사기로 시점 t에서 계약한다고 하자. 시점 t에서 계약을 하지만, 미래시점 T

까지는 실물교환이 일어나지 않는다. 이 계약은 계약자들 쌍방에 의무를 부과하는 것이다.

즉, 미래시점 T에서 한쪽은 금 1량을 인도하고 현금 F = F (St, t)를 받으며, 다른 한쪽은 금 1

량을 받으며 현금 F = F (St, t)를 지불한다. 이러한 계약이 원자산을 금값으로 하는 선도계약

(forward contract)이다. 시점 t에서 연속복리인 (continuously compounding) 무위험이자율

r로 차입되는 자금 St로 금 1량을 구입한다고 하자. 이 무위험이자율 r이 시간구간 (t, T ]

내에서일정하다고가정하고, 단위시간당금의보관료와보험료 c를만기시점에서지불한다고


가정하자. 시간구간 (t, T ] 에서 이 금 1량을 보유하는 비용은 er[T−t]St+ [T − t]c이다. 여기서

첫째항은만기시점 T에서은행에반환하는원리금 er[T−t]St이고, 둘째항은보관비용 [T −t]c

이다. 이것이 만기시점 T 에 금 1량을 확보하는 한 가지 방법이다. 즉, 시점 t에서 필요한

자금을차입해서원자산인금을사고, 이것을만기시점 T까지보관한다. 만기시점 T에서금 1

량을 확보하는다른 방법은선도계약을하는것이다. 이 선도계약은 만기시점 T에서금 1량을

수취하기로 하는 계약을 현재시점 t에서 체결하는 것이다. 이 두 거래의 결과는 동일하므로,

이 금융상품들의 가치들은 동일해야만 한다. 그렇지 않으면, 이 시장에 재정기회가 존재한다.

따라서, 이 선도가치의 가치평가식은 다음과 같다.

F (St, t) = er[T−t]St + [T − t]c (1)

여기서 St와 t는변수들이고, c, r과 T는고정된모수들이다. 식 (1)은무재정조건을이용해서,

시점 t에서 선도가치 F (St, t)를 St와 t의 함수로 나타낸 것이다. 이 선도가치의 가치평가식에

서 선도가치 F (St, t)는 St에 관해서 선형이므로, 선도가치을 선형상품 (linear product)이라

부른다. 만기시점 T에서 원자산가격과 선도가치는 같아야 한다. 즉, 다음 식이 성립한다.

ST = F (ST , T ) (2)

선도가치의 가치평가식 (1)에 극한 t → T를 적용해서 식 (2)를 구할 수도 있다. 식 (2)를

말기조건 (terminal condition)이라 한다.

비선형인 (nonlinear) 금융파생상품의 가치를 평가하는 것은 예제 <1.5.1>의 선도계약

에서처럼 간단하지는 않다. 이에 대한 자세한 내용은 다음 장부터 다루기로 하고, 여기서는

간단한 예제를 하나 살펴보기로 하자.

예제 1.5.2 주가 St를 원자산으로 하고, 만기시점을 T (> t), 그리고 행사가격을 K로 하는

콜옵션가치를 Ct.= F (St, t)라 하자. 또한, r을 고정된 무위험이자율이라 하자. 이 단순화된

조건 하에서는 주가 St가 콜옵션가치 Ct에 확률성을 부여하는 유일한 원천이다. 즉, 주가

St의 예측할 수 없는 변동만이 콜옵션가치 Ct의 예측할 수 없는 변동을 유발한다. 따라서,

주식에대한포지션과반대방향으로콜옵션에대한포지션을취함으로써, 주가 St의예측할수

없는 변동을 상쇄할 수 있다. 이는 시간에 따라 변하는 주가 St의 경로가 주어졌을 때, 시간에

따라 변하는 콜옵션가치 Ct의 경로에 어떤 조건을 부가하는 것이다. 이를 좀 더 직관적으로

30 제 1장 서 론

이해하기위해서, <그림 1.5.1>을살펴보자. <그림 1.5.1>의부분 (a)는원자산을주가 St로

하는콜옵션가치 Ct를그린것이다. 이콜옵션가치는 Black-Scholes식으로부터도출된것이다.

시점 t에서 주가가 St = s라고 가정하면, 콜옵션가치 Ct는 곡선 위의 점 A의 Y 값이다. 시점

t에서 주식 1단위를 s로 공매한 경우, 이 숏포지션에 의한 수익을 그린 것이 <그림 1.5.1> 의

부분 (b)이다. 시점 t+dt에서 주가가 높을수록, 이 숏포지션을 취한 거래자는 손실을 입는다.

만약주가가 s에서 dSt만큼상승하면, 이 주식에대한숏포지션을취함으로써 dSt만큼손실을

입게 된다. 그러나, 이 경우에는 콜옵션가치가 오르므로, 이 금융파생상품에서 이익 dCt를

얻는다. <그림 1.5.1> 의 부분 (a)에서 관찰할 수 있듯이, 함수 Ct = F (St, t)의 점 St = s

에서 기울기는 1보다 작다. 즉, dCt < dSt이다. 만약 주식 1단위에 대해 숏포지션을 취하는

동시에콜옵션 1단위에대해롱포지션을취하면, 또한 만약주가가상승하면, 전체적으로보아

이 투자는 손실을 초래한다. 그러나, 포지션들을 약간 조정하면, 이러한 손실을 해소할 수

있다. 점 A에서 함수 Ct = F (St, t)의 접선의 기울기는 FS 이다. 만약 주식을 FS 단위만큼

공매하면, 이 숏포지션의 총손실은 FSdSt이다. 그러나, <그림 1.5.1>의 부분 (a)에서 알 수

있듯이, FSdSt는 dCt와 아주 비슷하다. 이 FSdSt를 δCt로 표기하자. 만약 dSt가 아주 작은

증분이면, δCt는 dCt의 아주 가까운 근사가 될 것이다. 따라서, 콜옵션의 롱포지션에 의해

발생하는 이익은 주식의 숏포지션에 의한 손실을 (거의) 상쇄하게 된다. 근사적으로 말하면,

이러한 포트폴리오의 가치는 예측불가능한 변동을 하지 않는다고 할 수 있다. 즉, 다음 식이

성립한다.

d[−FS · St + F (St, t) · 1] = 0 (1)

만약 확률과정의 표본경로가 미분가능하다면, 식 (1)은 확률미분방정식 (stochastic dif-

ferential equation)이고, 또한 이 확률미분방정식을 풀어서 Ct = F (St, t)를 구할 수 있을

것이다. 이러한 접근법이 편미분방정식을 사용해서 금융파생상품가치를 평가하는 방법이다.

그러나, 확률과정의 표본경로는 미분가능하지 않다. 따라서, 이러한 방법을 적용하기 위해서

는 확률해석과 편미분방정식에 대한 깊은 지식이 있어야 할 것이다. 예를 들어, 확률과정의

표본경로가 미분가능하면, 식 (1)에서 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

dF (St, t) = StdFS + FSdSt (2)

그러나, 확률과정의 표본경로는 미분가능하지 않으므로, 식 (2)를 다음과 같이 써야만 한다.

dF (St, t) = StdFS + FSdSt + dFSdSt (3)


그림 1.5.1. 원자산의 수익과 콜옵션가치

<예제 1.5.2>를 바탕으로, 다음과 같이 델타헤지를 정의하자.

32 제 1장 서 론

정의 1.5.1

원자산 St와 금융파생상품가치 F (St, t)를 살펴보자. 원자산 FS 단위에 대한 포지션과

금융파생상품 1단위에 대한 포지션을 서로 반대로 취함으로써 포트폴리오의 확률변동을

상쇄하는 것을 델타헤지 (delta hedge)라 한다. 이러한 포트폴리오를 델타중립 (delta

neutral)이라 하고, FS를 델타 (delta)라 한다.

델타헤지에서 dSt가크면, δFt는 dFt의좋은근사가아니다. 즉, 만약원자산이극단적으로

변동하면, 헤지가 잘 되지 않는다. 이 경우에 원자산 St의 변동 dSt에 대응하는 금융파생

상품의 가치증분 dFt는 δFt = FSdSt를 크게 벗어난다. <예제 1.5.2>에서와 마찬가지로,

기초적인 금융자산의 가치평가에서는 원자산이나 금융파생상품가치가 연속적인 시간을 따라

움직인다는 가정을 암묵적으로 하고 있다. <예제 1.5.2>에서는 원자산의 숏포지션을 조금

조정하는 것으로 콜옵션가치의 변동을 복제할 수 있었다. 이러한 포트폴리오의 미세한 조정이

가능한것은금융상품가치과정이연속시간형이라는가정과거래비용이없는시장(frictionless

market)이라는 가정을 하기 때문이다.

제2장

금융경제학

금융공학을 잘 이해하기 위해서는 금융경제학에 대한 충분한 이해가 선행되어야 한다. 그렇지

않으면서 금융공학을 공부한다면, 금융부분보다는 공학부분만을 치중하게 되고 결과적으로

실무에서 자주적인 결정을 내리기보다는 다른 사람이 시키는 일을 주로 하게 될 것이다. 세상

모든 일이 그러하듯이, 원리를 이해하지 못하면 많은 것을 깊게 행할 수가 없고 그 과실을

충분히 즐길 수도 없다. 많은 금융공학 서적에서 확률론적 접근을 취하고 있으나, 본서에서는

확률론적 접근 전에 금융경제학적 접근을 하고자 한다. 이러한 과정을 거쳐야 금융공학에

대한 이해가 깊어질 것이라는 것이 본저자의 생각이다.

제2.1절 금융경제학과 금융공학

금융공학은 경제활동에 있어서 필수적인 자금에 관련되는 문제를 대상으로 한다. 자금의

잉여주체와 부족주체 사이 대차관계에서 발생하는 여러 문제들, 특히 위험의 평가와 관리에

관한 문제에 대해서, 경제학, 경영학 그리고 수리적 지식을 동원해서 문제해결을 도모하는

학문이다.

공기업이든 사기업이든 운영을 계속하거나 설비투자나 신규사업 등에 착수하기 위해서

많은 자금을 필요로 한다. 국가나 공공단체에게는 세금징수나 국공채발행 등이 주된 자금

조달원이고, 사기업은 자기자금을 이용하거나 금융기관으로부터 차입하거나 새로운 주식이나

사채와 같은 금융자산을 발행하는 등 다양한 방법으로 필요한 자금을 조달한다. 발행된 금융

자산은 발행시장에서 매각되어 기업에 자금을 공급한다. 따라서, 사기업은 ‘다양한 자금조달

수단중에서어느것을선택할까’라는선택문제에직면하게된다. 고전적인기업재무론에서는

‘거래비용이나 세금이 없으며 또한 자금의 대차에 제한이 없다는 가상적 시장인 마찰이 없는

33

34 제 2장 금융경제학

시장에서는 기업의 가치는 그 자본구성, 즉 자기자본과 부채의 비율에 의존하지 않는다’

라는 Modigliani-Miller정리가 인용되곤 한다. 그러나, 현실시장에서는 이 가정들이 만족되는

경우는 없고, 따라서 최적의 자본구성이나 그것에 동반하는 자본비용이 중요하다.

투자자는시장에서금융자산을매매해서이익을얻을기회가있다. 일반적으로잉여자금을

갖는 가계의 투자자는 각 금융자산의 미래가치의 증가, 즉 수익을 바라고 투자하므로, 당연히

잉여자금을 얼마나 현명하게 운용하는지가 문제가 된다. 투자자는 현재시점에서 얻을 수

있는 정보에 의거해서 미래를 예측하고, 그 예측을 바탕으로 확실한 이자를 얻을 수 있는

예금 형태로 금융기관에게 대부를 하거나, 어느 정도 위험을 각오하고 예금보다 높은 수익을

얻기 위해서 주식이나 부동산 등 불확실성이 있는 자산에 투자한다. 따라서, 투자자는 ‘어떤

금융자산에 얼마를 언제 투자해야 하는가?’라는 의사결정문제에 직면하게 된다. Neumann &

Morgenstern (1944)에의하면, 불확실성하에서합리적의사결정은기대효용이론에입각해야

한다. 금융경제학은 기대효용이론에 따라서 최적화 (optimization), 균형 (equilibrium), 그리

고 재정 (arbitrage)을 주축으로 구성되어 있고, 이상적 시장인 완전자본시장에서는 나름대로

설득력 있는 이론체계를 형성하고 있다. 그러나, 현실에서는 완전자본시장 조건이 만족된다고

할 수 없다. 더구나, 기대효용이론에 대한 반증이나 최근에 나타나는 행동경제학, 심리학을

배경으로 한 의사결정이론의 성과를 고려한다면, 기대효용이론이 절대적 법칙이라고 할 수는

없다. 인지과학의 탄생에 크게 기여하였고 또한 제한된 상황에서 의사결정모형에 관한 이론

으로 1978년 노벨경제학상을 수상한 Herbert A. Simon은 인간이 가지고 있는 인지능력의

한계라는 관점을 가지고 주류 경제학에서 가정하는 합리성에 대해 비판하였다. 즉, 인간은

기능, 지식, 예측력, 그리고시간등에제한을가지고있다고생각하고, ‘신고전주의경제학에서

가정하는 합리성이 충족되지 않은 상황에서 인간은 어떻게 논리적으로 사고하는가?’ 에 대한

연구를 하였다. 그는 신고전주의 경제모형에서 가정되는 것처럼 최적인 의사결정을 하고

이를 행사하는 합리적 경제주체와는 달리, 인간이 하는 의사결정의 대부분이 주어진 환경

하에서 대안의 발견과 선택에 의한다는 한정합리성 (bounded rationality)을 제시하였다. 금

융공학에서는 이 한정합리성의 개념을 존중하고, 좀 더 현실에 입각해서 문제해결을 도모하는

공학적 접근을 취한다. 이는 금융경제학 이론을 완전히 무시하는 것이 아니며, 현실적으로

이용 가능한 부분은 최대한 이용한다는 공학적 자세를 취하는 것이다.

금융경제학이나 재무이론에서는 금융자산의 균형가치와 시장의 효율성을 다루는 것이

중심과제이다. 즉, 시장을구성하는각금융자산의수익률의확률분포를규정하는모수들이주

어졌다는가정 하에, 최적화, 균형, 그리고재정과같은개념과기법을이용하여각 금융자산의

균형가치의 존재성과 일의성, 그리고 시장의 효율성을 다룬다. 그러나, 금융공학에서는 실제

금융자산 35

데이터로부터통계적수법을적용하여그모수들을추정하는작업에서출발함으로써, 현실세계

상황을 적극적으로 모형에 도입한다. 또한, 경제학, 경영학, 수학, 컴퓨터학, 통계학, 산업공학

등에서 도입이 가능한 이론이나 수법을 이 모형에 적용함으로써, 금융상품의 합리적인 가치를

해석적으로 도출하거나 또는 다양한 수치해석기법이나 시뮬레이션을 사용해서 근사적인 해를

구한다.

오늘날 금융공학에서 중요한 과제는 위험관리이다. 일명 ‘IMF구제금융사태’라고 부르는

아시아통화위기가 1998년 한국경제를 강타했다. 그리고, 2007년 미국발 서브프라임모기지사

태는 세계경제를 위기로 몰았다. 이러한 사태들을 겪으면서, 환율변동이라는 위험이 외화조

달과 운용에 있어서 큰 영향을 미칠 뿐 아니라 국가경제 자체 존립에도 영향을 미친다는 것을

실감하게 되었다. 원래 선물이나 옵션과 같은 금융파생상품은 이러한 위험을 회피하기 위해

만들어진 것이다. 더구나, 주식이나 채권처럼 종이에 기재된 계약으로 금융자산이 거래되던

금융세계는 비약적인 IT발전에 힘입어 좀 더 넓고 빠른 시대를 맞이하게 되었다. 이러한

투자환경 하에서, 기관투자자는 위험을 회피하는 투자방법을 구축함과 동시에 저위험고수익

(low risk high return)이라는일반투자자의요구에응하는새로운금융상품개발경쟁에참여할

수 밖에 없다. 이러한 금융상품개발에 큰 힘을 발휘한 것이 수리적 지식을 기반으로 하는

금융공학이다. 금융공학의 주된 목적은 금융자산이나 조건부청구권 등을 조합하여 원하는

기대수익률과 변동성을 갖는 금융상품을 만들어서 위험을 관리하고, 위험을 포함하는 상품의

가치평가를 통해서 위험이 시장가격에 어떻게 작용하고 있는가를 분석하는 것이다.

제2.2절 금융자산

2.2.1 금융자산거래

금융자산 (security)이란 금융시장에서 거래되는 대상을 의미한다. 수리적으로 말하면 그 가

치가 확률적으로 변화하는 청구권을 금융자산이라 한다. 상수 (constant)도 확률변수이므로,

가격이 일정한 값을 갖는 청구권도 금융자산이다. 금융시장에서 수요와 공급이 일치하는

균형상태에서 금융자산가격이 정해진다. 이론적으로 말하면 금융자산의 매입자 (buyer)나

매도자 (writer)는 현재시점에서 얻을 수 있는 정보를 바탕으로 미래를 예측하고, 그 예측을

바탕으로 의사결정을 한다. 이용가능한 정보는 시시각각 변화하기 때문에, 투자자는 어떤

경우에는 매도자가 되고 어떤 경우에는 매입자가 된다. 그 결과로서 형성되는 금융자산가격은

시간경과에 따라 변화하는 시계열로 나타난다. 다양한 투자자들이 참가하는 금융시장은

금융자산가격의 불확실성을 산출해내는 근원이며, 투자자에게 위험을 제공하거나 회피하는


방법을 제공하는 장이다. 즉, 투자에 동반되는 위험을 회피하기를 바라는 투자자 (hedger)는

위험을 각오하는 대가로 높은 수익을 바라는 투기자(speculator)에게 비용을 지불하고 위험을

매도한다. 이 투자자들과 투기자들 사이에서 행해지는 거래의 결과로 금융자산가격이 결정

된다. 다시 말하면, 모든 사람이 높은 수익을 희망한다는 점에서는 일치하지만, 수익획득에

따르는위험에대한태도의차이에의해서금융자산매매가이뤄지고, 금융자산가격이형성되는

것이다.

2.2.2 금융자산의 종류

이 소절에서는 본서에서 자주 등장하는 주요 금융자산과 그 성질에 대해 간단히 살펴보자.

금융자산은 현금, 은행예금, 할인채 (discount bond)와 같이 현재시점에서 그 미래가치를

확실히 규정할 수 있는, 즉 어떤 미래시점에서 정해진 현금흐름 (cash flow)을 발생시키는

무위험자산(또는안전자산)과시간이경과함에따라가격이나수익률이확률적으로변동하는,

즉 현금흐름이 불확실한 위험자산으로 나눌 수 있다. 수리적 관점에서 각 금융자산의 가치를

확률변수로 표현할 수 있다. 그 확률변수가 상수이면 무위험자산이고, 그렇지 않으면 위험자

산이다. 즉, 위험자산은 미래시점에서 가격을 현재시점에서 확실하게 예측할 수 없는 금융자

산을 총칭한다. 시장에서 거래되고 있는 금융자산의 가격이 갖는 불확실성은 수요와 공급의

흩어짐에 의해 발생하기 때문에, 그러한 불확실성은 시장의 상태에 영향을 받는다. 위험자

산의대표격은주식이며,그이외에도조건부청구권이라고도불리우는금융파생상품등이있다.

[1] 무위험자산

Keynes류 경제학에서는 이자 (interest)를 현금이 갖는 유동성을 희생하는 담보의 대가라

는 다소 애매한 정의를 하고 있지만, 우리는 그 정의가 어찌됐든 상식적인 의미에서 이자를

생각하기로 하자. 고정이자란 불확실성을 포함하지 않는 확정적인 현금흐름을 제공하는

것이다. 예를 들어, 정기예금이나 제로쿠폰채 (zero-coupon bond, 무이표채, 無利票債) 등은

현재시점에서 미래시점의 가격을 정확하게 알 수 있다. 이렇게 현재시점에서 미래시점의

가격을 확정적으로 알 수 있는 자산을 무위험자산이라 한다.

각 금융자산의 가치를 평가하기 위해서는 이자를 계산하는 것이 중요하다. 이후, 연이자율

(annual interest rate)을 r 이라하자. 원금 P를단리(單利, simple interest)로예금하면, t년

후예금자는원금과이자의합계인원리금 P [1+rt]를받는다. 만약 1년을M개의소구간들로

등분하고 각 소구간 단위로 이자를 계산하는 복리 (複利, compound interest)로 예금하면,

t년 후 예금자는 원리금 P [1 + rt/M ]M 을 받는다. 만약 연속복리 (連續複利, continuously

금융자산 37

compounding interest)로 예금하면, t년 후 예금자는 다음과 같이 원리금을 받는다.

limM→∞

P

[1 +

rt

M

]M= Pert (2.2.1)

반대로, 연이자율 r인 연속복리로 지급하는 예금에서 t년 후에 원리금 P를 수취하기 위해서

는, 현재시점에서 Pe−rt를 예금해야 한다. 이를 미래시점에서 가치를 현재시점에서 가치로

환산하기 위한 할인이라 하고, 이 e−rt를 할인인자라 한다.

지금까지는 이자율이 시점에 대해 불변인 상수로 가정하였다. 그러나, 실제 이자율은

시점에 따라 변화한다. 연속복리이자율이 시점에 따라 결정적으로 변화한다고 가정하자. 즉,

시점 t에서이자율을 rt라하자. 시점 t에서원금 P를은행에저금하면, 충분히작은양수 h에

대해서 시점 t+ h에서 원리금은 근사적으로 P [1 + rt h]이다. 이 rt를 시점 t에서 현물이자율

(spot interest rate) 또는순간적현물이자율(instantaneous spot interest rate)이라한다. 시점

0에서 원금 1을 예금한 경우, 시점 t에서 원리금을 Dt로 표기하자. 지금부터는 현물이자율 rt

를 사용해서 Dt를 나타내기로 하자. 충분히 작은 h에 대해서, 다음 근사식이 성립한다.

Dt+h ≈ Dt[1 + rt h] (2.2.2)

즉, 다음 식들이 성립한다.

dDt

dt= lim

h→0

Dt+h −Dt

h= Dtrt (2.2.3)

시점 0에서 원금 1을 저금한다고 가정하면, 이 초기조건과 식 (2.2.3)에서 알 수 있듯이 다음

식이 성립한다.

Dt = exp(∫ t

0rsds

)(2.2.4)

시점 t에서 1을 지불하는 채권의 시점 0에서 가치는 Pt이고 또한 시점 0에서 예금액 1/Dt의

시점 t에서 가치는 1이므로, 다음 식들이 성립한다.

Pt =1

Dt= exp

(−∫ t

0rsds

)(2.2.5)


만약 r t를 시간구간 [0, t]에서 평균현물이자율이라 하면, 다음 식이 성립한다.

r t =1

t

∫ t

0rsds (2.2.6)

함수 r t | t ≥ 0 를 일드곡선 (yield curve)이라 한다.

[2] 채권

채권(bond)이란전매가능한차용증서로서, 정부, 공공단체, 또는기업등에자금을제공한

것을 증명하는 증서를 가리킨다. 채권의 대부분은 상환기한을 나타내는 만기일을 가지며,

채권발행자는 만기일에 채권보유자에게 액면가격을 반제해야 한다. 채권은 만기에 따라,

미국연방정부가 발행하는 장기국채 (T-Bond)와 같이 만기가 10년 이상인 장기채권, 미국연

방정부가 발행하는 중기국채 (T-Note)와 같이 만기가 2년에서 10년 사이인 중기채권, 그리고

미국연방정부가 발행하는 단기국채 (T-Bill)와 같이 만기가 3개월, 6개월, 또는 1년인 단기채

권으로 나눌 수 있다.

채권발행자는 제공된 자금의 대가로 미리 확정한 쿠폰 (coupon, 이표, 利票)을 채권매

입자에게 지불한다. 채권에는 다양한 종류가 있지만, 제로쿠폰채는 쿠폰을 지불하지 않는

채권으로서 상환기한까지 이자를 상환금에서 미리 할인하여 발행가격을 정한다. 만약 발행

시점에서 이자율이 확정적으로 정해지면, 제로쿠폰채는 무위험자산이다. 반면에, 변동이자

율이 지불되는 경우에는 불확실성을 포함하는 위험자산이다. 전환사채 (convertible bond:

CB)는 채권매입자가 이자를 수취할 뿐만 아니라, 발행시점에 정해진 조건으로 채권을 그

기업의 주식으로 전환할 수 있는 권리를 갖는다. 또한, 신주인수권부사채 (新株引受權付社債,

warrant bond)란 기업이 발행하는 신주를 일정기간 내에 미리 결정된 행사가격으로 살 수 있

는선택권(warrant)이부여되는사채이다. 이들은조건부청구권, 즉금융파생상품의일종이다.

[3] 주식

주식은그것을발행한기업의자산소유권을나타내며, 주권이라는형태의증서로발행된다.

주식을소유하면주주라부르며, 주주는기업의일부를소유하는것이다. 시장에서매매되는주

식의가격, 즉주가는각투자자가상정하는그기업의미래가치와시장상황에의해서결정된다.

[4] 금융파생상품

금융파생상품(financial derivative) 또는 조건부청구권 (contingent claim)이란 그 가치가

금융자산 39

기본자산 또는 원자산 (underlying)이라 불리우는 특정 금융자산이나 금융자산의 지불금액

함수로서 정의되는 계약이다. 따라서, 청구권의 가치는 원자산의 가격에 의존한다. 원자산

으로는 주식, 채권, 이자율, 환율 등 각종 금융상품이나 회사의 신용이나 날씨와 같은 것이

이용된다. 본저자는 원자산과 원자산의 가치를 모두 원자산으로 혼용해서 쓰고자 한다. 그

이유는 이자율, 환율, 신용과 같은 것들은 원자산이라고 할지 또는 원자산가치라고 할지가

애매모호하기 때문이다.

금융파생상품에는 선물, 옵션, 신주인수권부채, 전환사채 등 거래소에서 거래되는 것도

있지만, 선도나 스왑 등과 같이 매입자와 매도자가 장외시장 (over-the-counter: OTC)에서

직거래하는 상대거래가 많다. 오늘날, 금융파생상품의 거래액은 정말 방대하다. 특히, 우

리나라에서는 거래소에서 옵션이 많이 거래되는 데, 그 이유 중 하나는 약간의 증거금이나

프리미엄을 갖고도 거래를 할 수 있다는 점 때문이다. 즉, 적은 자금으로 큰 거래가 가능한

지레효과 (leverage effect)가 거래액 증대에 크게 기여한다. 또한, 외국기업이나 금융기업을

중심으로, 자금조달과 사업의 활성화, 그리고 회사에 대한 사원의 충성심을 높이기 위해

스톡옵션을 발행하기도 한다. 이는 금융파생상품을 교묘하게 이용하는 경영활동의 하나이다.

금융파생상품의 중요한 기능들 중 하나는 자본시장에서 발생하는 위험을 헤지하는 것이

다. 즉, 금융공학의 목적들 중 하나는 어떤 금융자산의 불확실한 변화에서 발생하는 위험을

헤지하기에 적절한 금융파생상품을 개발하고, 이 금융파생상품의 공정한 가치를 평가하고,

그 금융파생상품을 사용해서 원자산이 내포한 위험을 헤지하거나 관리하는 방법을 개발하는

것이다.

2.2.3 금융파생상품의 종류

이 소절에서는 기초적 금융파생상품들인 선도계약 (forward contract), 선물 (futures), 옵션

(option), 그리고 스왑 (swap)에 대해서 살펴보자.

[1] 선도계약

미래시점 T에 상환인도가격 (delivery price)이라 불리우는 정해진 가격 K로 원자산을

거래하는 계약시점 t = 0에서 계약을 선도계약이라 한다. 따라서, 선도계약은 권리인 동시에

의무이다. 상환인도가격을 행사가격 (strike price)이라 부르기도 한다. 이 T를 만기시점 또는

상환인도일(delivery date)이라 부른다. 상환인도가격은 계약시점 t = 0에서 계약가치가 0이

되도록 정해지므로, 계약시점 t = 0에서는 매입자나 매도자 어느 쪽도 비용없이 선도계약을

할 수 있다. 따라서 선도계약의 수익률을 정의할 수 없다. 이러한 선도계약은 위험을 분산하는


것을 목적으로 하고 있으며, 거래소가 아닌 장외시장에서 거래된다. 즉, 선도계약은 은행과

기업 사이 거래처럼 상대거래이고, 일반적으로 선도계약이 제3자에게 전매되는 경우는 없다.

선도거래에는 엄격한 규제가 없기 때문에, 한쪽이 도산할 수 있는 위험이 항상 따른다. 거래

당사자들 중 한쪽은 만기시점 T에 원자산을 정해진 가격 K에 산다는 약속을 하는 것으로

선도거래를 매입하고, 다른 한쪽은 만기시점 T에 가격 K로 그 원자산을 판다는 약속을 하는

것으로 선도거래를 매도한다.

선도계약은 위험을 헤지하기 위해 사용할 수 있다. 예를 들어, 물품을 수입하는 기업은

항상 환율변화에 대한 위험에 노출되어 있기 때문에, 현재시점에서 미래시점의 지불금액을

고정해두고자 하는 경우가 많다. 어떤 미래시점에 달러를 지불해야만 한다고 하자. 이 기업은

현재시점에서 은행과 선도계약을 체결함으로써 달러환율을 고정시킬 수 있다. 만약 달러가

고정된 상환인도환율 아래로 떨어지면, 은행이 이익을 얻는다. 반대로, 달러가 고정된 상환인

도환율 위로 올라가면, 이 기업이 이익을 얻는다. 기업의 입장에서 보았을 때, 현재시점에서

실제로달러를구입하는것보다선도계약을하는것이유리한점은선도계약에서는이론적으로

시점 t = 0에서 비용이 들지 않는다는 것이다.

시점 t (∈ [0, T ])에서 선도계약가치 Yt는 원자산의 시장가격 St에 따라 변화한다. 시점

t에서 선도계약가치가 0이 되는 상환인도가격을 선도가격 (forward price) Ft라 하자. 일반

적으로, Ft는 Yt와 다르다. 만기시점 T에서 선도계약가치는 YT = ST - K이다. 또한, 시점 t

(∈ [0, T ])에서 선도계약가치는 다음과 같다.

Yt = St −Ke−r[T−t] (2.2.7)

시점 t에서 선도계약가치가 Yt = 0가 되는 상환인도가격 (delivery price) K를 선도가격

(forward price) Ft라고정의했으므로, 식 (2.2.7)에식 Yt = 0 와식 Ft = K를대입하면, 다음

식을 얻는다.

Ft = St er[T−t] (2.2.8)

만약식 (2.2.8)가성립하지않고대신부등식 Ft > St er[T−t]이성립하면, 은행에서연이자

율 r로 현금 St를 차입한 다음, 그 현금으로 원자산을 St어치 구입함과 동시에 이에 해당하는

선도계약을매도하자. 시점 t에서이계약매도자의현금흐름은 0이다. 그러나, 이계약매도자는

만기시점 T에서 차입금 St er[T−t]를 은행에 반환하는 동시에, 선도계약에 의해서 원자산을 Ft

로 팔 수 있다. 따라서, 이 계약매도자는 아무런 위험없이 순익 Ft −St er[T−t](> 0)를 얻는다.

금융자산 41

반면에, 만약 식 (2.2.8)가 성립하지 않고 대신 부등식 Ft < St er[T−t]이 성립하면, 원자산을

St어치 공매 (short sale)하여 받는 현금을 은행에 연이자율 r로 예금하는 동시에 이에 해당

하는 선도계약을 매입하자. 즉, 시점 t에서 이 계약매입자의 현금흐름은 0이다. 그러나, 이

계약매입자는 만기시점 T에서 은행에서 원리금 St er[T−t]를 받는 동시에, 선도계약에 의해서

원자산을 Ft로 매입한다. 따라서, 이 계약매도자는 아무런 위험없이 순익 St er[T−t]−Ft(> 0)

를 얻는다. 즉, 만약 식 (2.2.8)가 성립하지 않으면, 위험없이 순익을 얻는 기회, 즉 재정기

회가 발생한다. 재정기회가 없는 시장에서 어떤 금융자산의 가치를 무재정가치 또는 공정

한가치라부른다. 따라서, 식 (2.2.8)이성립하지않으면, 선도가격 Ft는공정한가치가아니다.

[2] 선물

선도계약과 마찬가지로 선물 (futures 또는 futures contract)은 미래시점 T 에 정해진

가격 K로 원자산을 팔거나 사는 계약시점 t = 0에서 계약이다. 선물이 선도계약과 다른

점은 거래소에서 거래가 행해진다는 것이다. 따라서, 선물거래에서는 선도계약처럼 매입자와

매도자가 서로 상대방을 알고 있을 필요는 없으며, 시장에서 선물을 제3자에게 전매하여

계약을 해소할 수도 있다. 또한, 투자자는 먼저 위탁증거금 (margin)을 거래소에 납입하고,

가격변동에 따라 가상시가평가 (mark-to-market: MTM)를 받게 된다.

[3] 옵션

옵션은그소유자에게만기시점(expiry)이라불리우는미래시점에정해진값으로원자산을

주어진 수량만큼 거래할 권리를 부여하는 계약이다. 예를 들어, 원자산을 주가로 하는 옵션을

생각해보자. 콜옵션 (call option) 1단위 매입자는 만기시점 T에 주식 1단위를 사전에 정해진

행사가격 (strike price) K에 살 수 있는 권리를 갖는다. 만약 만기시점 T에서 식 ST > K가

성립하면, 지불금액 (payoff)은 ST −K이다. 반대로, 식 ST ≤ K가 성립하면, 지불금액은 0

이다. 따라서, 이 콜옵션의 만기시점 T에서 지불금액은 다음과 같다.

[ST −K]+ = max ST −K, 0 (2.2.9)

여기서 A+ .= max A, 0 이다. 반면에, 풋옵션 (put option) 1단위 매입자는 만기시점 T에

주식 1단위를 사전에 정해진 행사가격 K에 팔 수 있는 권리를 갖는다. 만약 만기시점 T에서

부등식 ST > K가 성립하면, 지불금액은 0이다. 반대로, 식 ST ≤ K가 성립하면, 지불금액은


K − ST 이다. 따라서, 이 풋옵션의 만기시점 T에서 지불금액은 다음과 같다.

[K − ST ]+ = max K − ST , 0 (2.2.10)

만기시점 T 에서만 권리행사를 할 수 있는 옵션을 유럽형옵션 (European option)이라

하고, 만기시점 이전 임의의 시점에서 권리를 행사할 수 있는 옵션을 미국형옵션 (American

option)이라 한다.

[4] 스왑

결정된 미래시점들에서 미리 약속한 식에 따라 거래당사자들끼리 현금흐름을 교환하는

계약을 스왑 (swap)이라 한다. 대표적인 스왑으로는 이자율스왑과 통화스왑이 있다. 오늘날

에는 아주 다양한 스왑들이 존재하며, 그 중에서도 이자율스왑이 가장 널리 거래되고 있다.

스왑을 선도계약포트폴리오로 간주할 수 있으며, 초기시점에서 가치나 만기시점에서 가치는

0이다.

가장 간단한 이자율스왑은 거래당사자 A가 어떤 원금에 대해서 고정이자율에 의한 이

자를 거래당사자 B에 지불하는데 동의하고 반대로 거래당사자 B는 동일한 원금에 대해서

변동이자율에 의한 이자를 거래당사자 A에 지불하는 것에 동의하는 계약이다. 따라서,

이 스왑은 변동이자율을 적용하는 대부 (loan)와 고정이자율을 적용하는 대부를 교환하는

것이다. 이때 변동이자율은 LIBOR(London Interbank Offer Rate)를 기준으로 하는 경우가

많다. 예를 들어, A사는 자금조달을 할 때 변동이자율를 선호하고, B사는 고정이자율을

선호한다고 하자. 또한, A사와 B사에 적용되는 고정이자율들은 각각 a와 b이고, A사와 B

사에 적용되는 변동이자율들은 각각 LIBOR + α와 LIBOR + β라고 하자. 여기서 부등식

a < b가 성립한다고 가정하자. 이 두 회사들은 이자율 부담을 적게 하기 위해서, 다음과 같은

전략을 행사한다고 하자. 우선, A사는 고정이자율 a로 하는 회사채를 M어치 발행하고, B

사는변동이자율 LIBOR+β로은행에서M을차입함과동시에 A사와다음과이자율스왑을

맺는다. 변동이자율을 원하는 A사는 B사에게 변동이자율 LIBOR를 지불하고, 반대로 B

사는 A사에 대하여 고정이자율 α+ γ를 지불한다. 여기서 γ는 A사와 B사 간에 결정한 작은

양수로서, 식 γ < b − a − β을 만족한다고 하자. 그러면, 이 스왑에 의해서 A사의 이자율

부담은 a + LIBOR − [a + γ] = LIBOR − γ이다. 이 이자율스왑을 맺지 않으면, A사는

변동이자율 LIBOR + α를 지불해야 한다. 따라서, A사가 부담해야할 변동이자율이 α + γ

만큼 낮아진다. 반면에, B사의 이자율 부담은 [LIBOR+ β] + [a+ γ]−LIBOR = a+ β+ γ

금융자산 43

이다. 이 이자율스왑을 맺지 않으면, B사는 고정이자율 b를 지불해야 한다. 따라서, B사가

부담해야할 고정이자율이 b− [a+ β + γ](> 0)만큼 낮아진다.

2.2.4 투자위험

투자를 통해서 미래시점에서 획득하는 순익에는 불확실성이 동반되므로, 투자는 불확실한

미래가치를 얻기 위해서 확실한 현재가치를 희생하는 것이다. 따라서, 투자는 시간과 위험이

라는 2가지 특성과 깊은 관계가 있다.

위험을수익률의확률분포에서평균으로부터괴리(乖離)를나타내는분산(또는표준편차)

으로 측정되는 경우가 많다. 그러나, 위험을 분산으로 측정하는 것이 반드시 정당하다고 말할

수는 없다. 그림 2.2.1에 그려진 수익률의 확률분포들을 살펴보자. 그림 2.2.1에서 흑색

실선으로 표시된 확률분포에서는 수익률이 양수일 확률이 1이고, 적색 점선으로 표시된

확률분포에서는 수익률이 음수일 확률이 1이다. 흑색 실선에 해당하는 확률변수를 X라고

하면, 적색 점선에 해당하는 확률변수 −X이다. 또한 식 V ar(X) = V ar(−X)가 성립한다.

즉,두 수익률들의 분산은 같다. 그러나, 적색 점선으로 표시된 수익률의 분산을 위험이라고

할 수는 있어도, 흑색 실선으로 표시된 수익률의 분산이 위험이라고 말하기는 힘들다. 즉,

음수인 수익률은 위험으로 파악되어 기피대상이나, 큰 양수인 수익률은 선호된다는 것을

상기하라. 백원짜리 동전을 던져서 앞면이 나오면, 전재산을 상대방에게 주는 내기를 한다고

하자. 유감스럽게도 이 동전의 앞면과 뒷면 모두에 이순신장군이 그려진 조작된 것이라면,

이는 확률 1로 전재산을 내놓아야 하는 위험한 게임이다. 그러나, 이 경우에 분산은 0이다. 이

예에서는 분산이 위험을 잘 나타낸다고 할 수는 없다.

2.2.5 투자전략

투자를 할 때는 위험 이외에도 거래비용을 고려할 필요가 있다. 또한, 투자에는 시간, 투자금,

투자대상 등에 다양한 제약이 따르는 것이 보통이다. 그러한 제약들을 만족시키는 최적투자

전략을 수립하는 것은 투자문제를 넓은 의미에서 수리계획문제로 볼 수 있다.

전통적인 투자전략을 크게 기술적분석 (technical analysis)과 기본적분석 (fundamental

analysis)으로 나눌 수 있다. 차트분석이라고도 하는 기술적분석은 시장전문가들이 이용하는

방법이다. 기술적분석은 ‘과거의 가격변화에서 미래의 가격변화를 예측할 수 있으며, 과거는

미래의 거울이다’ 라고 가정하고, 과거 금융자산가격을 그래프나 차트로 나타내고, 이로부터

가격변화 안에 내재된 경향이나 모수들을 추출하는 전략이다. 언뜻 보면, 기술적분석은

금융공학에서 유력한 방법으로 생각되지만, 그 결과는 경마, 경륜, 경제예측 등에서와 마찬가


그림 2.2.1. 분산과 위험

지로 무의미하며 잘 맞지 않는다는 것이 통설이다. 즉, 확실하게 적중시킬 수 있는 예측법을

이용해서 현재시점에서 주당 B인 주가가 미래시점에 A(> B)가 되는 것을 안다면, 모든 투

자자들이 현재시점에서 주당 B로 이 주식을 구입하고, 미래시점에 주당 A로 매각할 것이다.

주가는 매매의 균형에 의해 결정되므로, 모든 합리적 투자자들이 이 주식 구입을 희망한다

해도, 현실에서는 주당 B로 매입할 수도 그리고 주당 A로 팔 수도 없을 것이다. 그러나,

기술적분석을 신봉하는 사람은 그러한 방법이 있다면 그 정보를 다른 사람에게 누설하지 않을

것이므로, 위와 같은 상황은 일어나지 않을 것이라고 반론할 것이다. 즉, 자기 혼자만 이익을

꾀하든지, 또는 모든 투자자들이 합리적일 수는 없다고 반론할 것이다. 반면에, 기본적분석은

금융자산가격이 해당 기업의 미래 경영실적에 대한 기대를 반영하는 것이라는 입장을 취하고,

그기업의재무정보나각종거시경제예측결과등이용가능한모든정보를바탕으로그기업의

미래가치를 예측한다. 본서에서는 기술적분석을 하는 입장을 취하지 않는다.

미래의금융자산가격을확실하게예측하는것은불가능하므로, 이를확률변수로기술한다.

즉, 미래의금융자산가격은확률변수이며, 이확률변수에관한정보는모든합리적투자자들이

인정하는 확률분포로 나타낼 수 있다고 가정하자. 그러나 위험에 대한 태도는 투자자마다

다른 것으로 가정하자. 금융공학에서 이용되는 투자전략은 수입이 높으면서 위험이 낮은

금융자산을 탐색하는 예측중시형 기법이 아니라, 여러 금융자산들을 조합하여 포트폴리오

(portfolio)를만들어서위험헤징을도모하는포트폴리오전략이기본을이루고있다. 포트폴리

오전략을 크게 나누어 보수적(passive) 전략과 적극적(active) 전략으로 나눌 수 있다. 보수적

포트폴리오 45

전략은인덱스펀드(index fund) 등을이용해서시장평균정도의투자성과를얻으려는것이다.

반면에, 시장의 일시적 불균형이나 이자율변동 등에 의해서 유리한 투자기회가 발생하면,

적극적으로 포트폴리오를 다시 구성하거나 매매를 반복하는 것으로 시장평균 이상의 투자성

과를 얻으려 하는 것이 적극적 전략이다. 균형과 시장의 효율성이 강조되는 금융경제학에서는

포트폴리오의 적극적 운용에서 성과를 얻기는 불가능하다고 전제하므로, 최근에는 적극적

운용보다도 시장의 평균수익률을 추구하는 보수적 운용이 주류를 이루고 있으며, 또한 위험에

대해서 적극적으로 헤징하려는 경향이 대세이다. 즉, 최대 투자성과를 올리기 위해서 어떻게

자금을 여러 금융자산들에 배분하면 좋을지를 결정하는 자산배분문제 (asset allocation)와

포트폴리오가치의 하락위험을 헤징하는 기법들이 금융공학의 주된 연구대상이다. 그러나

현실세계에서 보수적 전략으로는 큰 이익을 얻을 수 없다. 따라서, 헤지펀드 등은 적극적

전략인 고위험고수익전략을 추구한다.

자산을 효율적으로 운용하기 위한 포트폴리오전략을 결정하기 위해서는 다음과 같은

점들에 유의해야 한다. 첫째, 재정기회가 없는 시장에서 고수익은 고위험을 전제로 한다.

따라서, 원하는 기대수익율과 허용하는 위험수준을 미리 설정해 둘 필요가 있다. 위험을 어느

정도 부담하는지에 따라 기대수익률이 변한다. 즉 위험수준을 설정하는 것은 투자의 위험

허용도하에서그것에상응한수익을획득하려는투자방침을정하는것이다. 둘째, 투자전략은

성과의좋고나쁨에따라평가되어야하므로, 포트폴리오의성과에대해평가하는것은중요한

일이다. 그 평가는 기준 (benchmark)이 되는 포트폴리오의 수익률과 비교함으로써 시행되는

경우가 많다. 이 기준으로는 종합주가지수와 같은 금융자산가격들의 평균이나 수익률들의

평균이 이용된다. Wilmott(2006, pp. 69-70)에 의하면, 1998년 말을 기준으로 해서 1년 동안

종합주가지수(UK All Share Index)를 초과하는 수익을 얻은 펀드는 전체 펀드들의 9퍼센트,

3년동안초과수익을얻은펀드는 6퍼센트, 5년동안초과수익을얻은펀드는 5퍼센트, 그리고

10년 동안 초과수익을 얻은 펀드는 1퍼센트이다.

제2.3절 포트폴리오

2.3.1 자산배분

선물이나 옵션과 같은 금융파생상품을 잘 알지 못해서 그 거래에서 속지는 않을까 걱정하는

일반투자자는주식이나채권에만투자하는경향이있다. 그리고, 가능한한위험은적고수익은

큰 쪽이 좋다는 이상적인 생각이 지배적이다. 옛날부터 전해오는 ‘달걀 여러 개를 한 바구니에

담지 말라’는 속담이 있는데, 이 말은 투자세계에서도 해당이 되어, 고전적 재무이론에서는


포트폴리오를 사용해서 자산배분 (asset allocation)을 해야 한다고 결론짓고 있다. 잘 알려져

있듯이, 자산을 한 곳에 집중시키기 보다는 여러 곳으로 분산시키는 것이 위험이 적다. 이는

주식에 투자하는 경우, 한 종목이 아닌 여러 종목들에 자산을 배분해야 함을 의미한다. 앞에서

언급했듯이 투자대상이 되는 금융자산들의 조합을 포트폴리오라 부르며, 자산배분문제는

포트폴리오를 구성할 때 수중에 있는 자금을 개별자산들에 어떻게 배분할지를 결정하는

문제이다. 이 장에서는 최적인 자산배분을 목적으로 하는 포트폴리오 최적화문제를 다루기로

하자.

이러한자산배분문제에서, 포트폴리오무게(portfolio weight)는자산총액에대한개별자산

투자액의 비율을 나타낸다. 예를 들어, 현재시점에서 자산 1억원을 투자대상 A에 4천만원을

그리고 투자대상 B에 6천만원을 투자하면, 포트폴리오무게들은 각각 0.4와 0.6이다. 앞서

언급했듯이, 포트폴리오무게는 현재시점에서 투자총액의 각 개별자산에 대한 배분비율을

나타내며, 자산배분이되지않는개별자산의포트폴리오무게는 0이며, 포트폴리오무게는음의

값을 가질 수도 있다. 또한, 포트폴리오무게들의 합은 항상 1이다.

2.3.2 수익률과 확률모형

위험자산의 가격이나 수익률은 불확실성을 내재해서, 미래시점의 가격이나 수익률을 현재

시점에서 확실하게 알 수는 없다. 이러한 가격이나 수익률을 수리적으로 표현하기 위해서는

확률변수로 나타내는 것이 편리하다. 즉, 확률개념을 사용해서 위험자산의 가격이나 수익률을

표현하는 것이 편리하다. 본서를 읽는 독자는 어느 정도 통계학에 대한 지식이 있으리라

생각한다. 따라서, 본서에서는 독자들이 사상 (event), 확률, 확률공간 (probability space),

확률변수, 확률분포함수 등에 대해서 어렴풋이나마 알고있다고 가정한다. 여기서 금융공학

에서 사용되는 확률 (probabiity)의 의미를 다시 생각해보자. Bruno de Finetti (1974, p. xi)

에 의하면 “확률은 존재하지 않는다.” 그 의미는 객관적인 확률은 존재하지 않고 각 개인의

주관적인 확률 만이 존재한다는 것이다. 만약 de Finetti의 의견을 받아들인다면, 우리는 금융

공학 이론을 전개하는 과정에서 확률이라는 개념을 사용할 수 없는 것인가? 본저자는 그렇게

생각하지 않는다. 우선 금융공학에서 사용되는 확률은 진짜 확률이라기 보다는 적분계산을

쉽게 하기위해서 도입하는 합성확률이다. 즉, 공리적 확률 (axiomatic probability)의 정의를

충실히 따르는 합성확률이다. 최근 컴퓨터 발전과 더불어 부활한 베이지안통계학이 경제학과

재무학에 넓고 깊게 파고드는 데, 잘 알다시피 베이지안통계학에서 사용되는 확률은 주로

주관적 확률이다.

이 소절에서는 확률변수를 이용해서 주가나 수익률을 표현하는 방법을 간단히 살펴보자.

포트폴리오 47

이에 대한 좀 더 자세한 내용은 제4장에서 다시 다루게 될 것이다. 어떤 기업의 현재시점

t = 0에서 주가를 알고 있다고 하고, 미래시점 t = 1에서 주가를 y(ω)로 나타내자. 여기서

ω는 상태 (또는 사상)이다. 표본공간 Ω가 어떠한 것인지가 매우 중요하지만, 여기에서는

자세히 언급하지 않기로 한다. 그 이유는 주가가 어떤 사상들로 표현되는지가 불분명하기

때문이다. 만약 누군가가 그것을 완전하게 해명할 수 있다면, 경제학에 획기적인 기여를 하게

될 것이다. 단지 막연하게 경제상태를 상정해 두면 된다. 예를 들어, 표본공간이 Ω = ω1 =

호경기, ω2 = 보통경기, ω3 = 불경기와 같이 3가지 경제상태들로 구성된다고 가정하고,

미래시점 t = 1에서 경제상태에 의존하는 기업의 주가가 호경기에서는 y(ω1) = 300, 보통경

기에서는 y(ω2) = 200, 그리고 불경기에서는 y(ω3) = 100이라고 하자. 호경기가 될 확률이나

불경기가 될 확률을 구하기 위해서는 거시경제데이터를 분석해서 그 확률을 추정하는 작업을

해야 한다. 또한, 각 경제상태에서 주가가 얼마인지를 결정하는 것도 중요한 작업이다. 이

문제에 대해서는 그 기업의 과거 주가데이터를 바탕으로 조사하는 방법이나, 기업의 재무데이

터를분석하는방법으로미래의주가를예측한다. 어느방법으로예측을하든주가의예측값은

실증분석에서 매우 중요하지만, 이후 본서에서 다루는 이론적 측면과는 큰 연관이 없다. 즉,

이 장에서 다루는 포트폴리오이론에서는 과거의 데이터를 바탕으로 수익률의 확률분포함수를

구했다고 가정하는 것으로 충분하다.

금융자산가격의 확률모형을 구축할 때, 확률변수를 어떻게 나타내야 할까? 가장 자연적인

발상법은 금융자산가격이 미지이고 불확실성을 포함하므로, 금융자산가격 자체를 y와 같은

확률변수로 나타내는 것이다. 이 방법을 따르면, 확률변수 y의 존재성을 암묵적으로 가정하

고, 확률변수 y가 정의되는 확률공간은 명시하지 않으며, 단지 확률변수 y의 확률분포함수

F (y)를 고찰대상으로 한다. 그리고, 확률분포함수 F (y)의 구체적인 형태와 이에 포함되는

모수들은 통계적 수법을 이용하여 과거 데이터로부터 추정한다. 따라서, 이 방법에서는 F (y)

를 확률분포함수로 하는 확률변수가 존재한다는 보증이 없다. 그러나, 이 방법은 취급이

비교적 간단하다. 다른 방법으로 이론적으로 확률변수와 확률공간을 구성하는 것이 있으며,

이 방법은 수학자들이 선호하는 방법이다. 이 방법에서는 이론적 구성이 제시되면 그 다음

분석을 이론적으로 행할 수 있는 장점이 있다. 과연 이 확률변수가 현실적 모형으로 적당한지

여부를조사해야하는심각한문제가남아있지만, 이론을전개해서얻은결과가옳은지여부를

검증할 수 있다는 장점이 있다.

자본이득 (capital gain)은 매도가 (賣渡價)에서 매입가 (買價)를 뺀 값이다. 자본이득을

획득하는것이투자의주된목적이다. 따라서투자의효율성면에서투자금액을고려할필요가

있다. 예를 들어, 주식을 10에 구입하여 20에 매각하면, 자본이득이 10이다. 반면에, 다른


주식을 100에 구입해서 110에 매각해도 자본이득 10이 얻어진다. 따라서 전자가 더 효율적인

투자이다. 자본이득을 투자액으로 나눈 값을 수익률 (return rate)이라 하며, 일반적으로

투자의 효율성을 나타내는 척도로 이용된다. 좀 더 엄밀하게 설명하기 위해서, 현재시점 t = 0

에서 금융자산가격을 s0라 하고, 미래시점 t = 1에서 금융자산가격를 확률변수 S1이라 하자.

이 경우에, 자본이득은 확률변수 S1 − s0이며, 이 금융자산의 수익률 R은 다음과 같다.

R =S1 − s0s0

(2.3.1)

또한, 이 금융자산에 미래시점 t = 1에서 배당 D가 지불되면, 이 금융자산의 수익률은 다음과

같다.

R =S1 +D − s0

s0(2.3.2)

실무에서는 확률변수 R의 실현값을 수익률이라 한다. 특히, 자본이득이 음인 경우에는

자본손실(capital loss)이라부르기도한다. 좀 더 일반적으로수익률을정의하기위해서, 어떤

금융자산의 시점 t(= 0, 1, 2, · · · )에서 가격을 st라 하고, 미래시점 t+ k에서 금융자산가격를

확률변수 St+k로 나타내자. 시간구간 (t, t+ k]에서 수익률 Rt(k)는 다음과 같다.

Rt(k) =St+k − st

st(2.3.3)

즉, Rt(k)는 시점 t에서 가격 st로 매입하고 시점 t+ k에 가격 St+k로 매각해서 발생한 수익

률이다. 만약 시간구간 (t, t+ k]에 배당 Dt+k가 지불되는 경우에 이 시간구간에서 수익률은

다음과 같다.

Rt(k) =St+k +Dt+k − st

st(2.3.4)

일반적으로 k는 1일, 1개월, 1년 등으로 하는 경우가 많으며, 각각에 대해서 Rt(k)를 일별수

익률, 월별수익률, 연별수익률이라 한다. 다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

1 +Rt(k) =k−1∏s=0

[1 +Rt+s(1)] (2.3.5)

수익률 Rt(k)의통계적성질을관찰하기위해서는, 먼저 k를고정하고과거의수익률들로부터

히스토그램을 그려본다.

평균분산모형분석 49

제2.4절 평균분산모형분석

2.4.1 완전자본시장과 자산배분

다음조건들을만족하는이상적인가공시장을완전자본시장(perfect market)이라한다. 첫째,

마찰이 없는 시장(fricktionless market)이다. 즉, 거래비용이나 세금이 없으며, 각 금융자산의

매매에서 π주나 1백분의 1주와 같이 거래단위가 임의의 실수로 무한분할가능이다. 둘째,

투자자는 가격수용자이다. 즉, 각 투자자의 행동이 수익률의 확률분포에 영향을 줄 수 없다.

셋째, 시장에 재정기회가 존재하지 않는다. 따라서, 모든 무위험자산들의 수익률은 동일하다.

넷째, 제도적인 제약이 없다. 예를 들어 각 투자자는 자신의 금융자산을 발행할 수 있다. 즉,

어떤 금융상품을 보유하고 있지 않으면서도 매도함으로써 현금을 수취하고, 미래의 어떤 기간

내에 그 금융상품을 시장에서 매입해서 상환하는 거래 형태인 공매 (short sale)가 가능하다.

완전자본시장은 현실적인 시장은 아니나, 완전자본시장이라는 가정 하에서 이론전개를 간결

하게 할 수 있다.

시장에 N개 금융자산들이 거래된다고 하자. 각 j(= 1, 2, · · · , N)에 대해서 제j번째

금융자산 Xj의 시간구간 (t0, t1]에서 수익률을 확률변수 Rj로 표기하자. 이 금융자산의 평균

수익률과 분산을 각각 µj와 σ2j 로, 그리고 제i번째 금융자산의 수익률과 제j번째 금융자산의

수익률의 공분산을 σi,j로 표기하자. 총투자자금 M중에서 θjM을 제j번째 금융자산 Xj에

투자한다. 여기서 각 θj는 투자비율이므로, 다음 식이 성립한다.

N∑j=1

θj = 1 (2.4.1)

완전자본시장이라는 가정 하에서 각 금융자산은 얼마든지 분할가능하다. 따라서, 각 θj 는

실수이다. 만약 θj > 0이면, 현재시점에서 현물을 매입하고 이를 보유하는 것이다. 이를

롱포지션 (long position)을 취한다고 한다. 만약 θj < 0이면, 제j번째 금융자산을 공매하는

것이다. 이를 숏포지션 (short position)을 취한다고 한다. 이는 실제로는 현재시점에서 제j

번째 금융자산을 보유하고 있지 않으면서도 이 금융자산을 판 다음, 미래시점에서 이를 청산

하는 것이다. 이 투자비율들의 벡터 θθθ.= [θ1, θ2, · · · , θN ]t를 이 N개 금융자산들로 이루어진

포트폴리오라 한다. 이 포트폴리오의 수익률 RP.= R (θθθ)는 다음과 같다.

RP.= R (θθθ) =

n∑j=1

θjRj (2.4.2)


만약 θk = 1이고 또한 각 j(= k)에 대해서 θj = 0이면, 식 R (θθθ) = Rk가 성립한다. 따라서,

포트폴리오를 구성하는 각 금융자산도 포트폴리오의 일종이다.

시장에서거래되는 N개금융자산들중에서어느금융자산에투자하면좋을까? 예를들어,

금융자산들 X1과 X2의 수익률들 R1과 R2가 서로 독립이며, 다음 식들을 만족한다고 하자.

Pr(Rj = 2) = Pr(Rj = 0) =1

2, (j = 1, 2) (2.4.3)

다음 식들이 성립한다.

E(Rj) = 1, V ar(Rj) = 1, (j = 1, 2) (2.4.4)

즉, 각 j(= 1, 2)에 대해서 원금 M을 금융자산 Xj에 투자하면, 각각의 기대수익률은 1이고

수익률의분산은 12이다. 그러나, 금융자산들 X1과 X2 각각에M/2를투자하면, 다음식들이

성립한다.

E

(R1 +R2

2

)= 1, V ar

(R1 +R2

2

)=

1

2(2.4.5)

즉, 원금 M을 둘로 나누어 금융자산 X1과 금융자산 X2 각각에 M/2씩 투자하면, 기대수익

률은 1이나 수익률의 분산은 12/2이다. 즉, 금융자산 X1 또는 금융자산 X2에 집중투자를

하거나이들에분산투자를하거나, 기대수익률은같다. 그러나, 분산투자를하면집중투자보다

수익률의 분산이 반감한다. 이렇게 분산투자를 이용해서 위험감소를 도모하는 투자방법이

포트폴리오전략이다. 여기서는 투자자는 평균수익률이 같을 때에는 위험을 나타내는 분산이

작은 쪽이 바람직하다는 기준으로 투자대상을 선택하고 있다. 만약 금융자산 X1과 금융자산

X2 각각에 투자자금을 반씩 투자하는 대신 다른 비율로 투자한다면, 위험을 더 감소시킬 수

있을까? 지금부터 이 질문에 대한 답을 살펴보자.

2.4.2 기대효용이론

부 (wealth)에서 초래되는 만족도를 효용 (utility)이라 하고, 부와 효용 사이 관계를 함수로

표현한 것을 효용함수 (utility function)라고 한다. 투자자에 따라 효용함수가 다르다. 즉,

각 투자자는 고유한 효용함수를 가지고 있다. 투자자의 현재시점에서 부 (wealth) w에 대한

효용을 u(w)로 표현하자. 즉, u(·)는 효용함수이다. 부의 수준이 높으면 높을수록 부에서

얻어지는 만족도, 즉 효용도 높다. 따라서, 효용함수 u(w)는 w의 비감소함수라고 가정한다.


현재시점에서 부와 같이 투자자의 부가 확정적인 경우에는 투자자는 보다 큰 부를 선호한다.

그렇다면, 만약미래시점에서부와같이부가확률적인경우에효용함수는어떠한역할을하는

것일까? 확률변수의 대소관계를 단순하게 비교하는 것은 일반적으로 불가능하지만, 확률변

수의 기대값의 대소관계를 비교할 수는 있다. 그러나, 확률적인 부를 초래하는 투자상품이

여러 개 있는 경우에, 투자자가 어떤 투자상품을 선택하는 것이 바람직한지를 결정하는 것이

단지 기대수익률의 대소관계에만 달려있는 것은 아니다. 즉, 투자자가 불확실성 하에서 부를

선택하는 데는 부의 확률성으로부터 기인하는 위험을 고려할 필요가 있다.

불확실성 하에서 부(wealth)를 나타내는 확률변수를 선택하는 다른 기준으로 이 확률변수

를 독립변수로 하는 효용함수의 기대값, 즉 기대효용을 이용할 수도 있다. 기대효용이론에 따

르면, 불확실성 하에서 투자의사결정은 기대효용이 최대가 되도록 해야 한다. 기대효용이론의

기본은 다음과 같다. 투자액 I 또는 수익률 R에 대한 투자자의 만족도를 나타내는 효용값을

u(I) 또는 u(R)이라 하자. 예를 들어, 어떤 투자자가 첫 번째 투자상품에 투자하면 수익 I1

를 얻고, 두 번째 투자상품에 투자하면 수익 I2를 얻는다고 하자. 여기서 수익들 I1와 I2는

확률변수들이다. 즉, u(I1)와 u(I2)도 확률변수들이다. 따라서, u(I1)와 u(I2)의 대소관계를

직접 논하는 것은 무의미하다. 그 대신에 효용함수 u(I)의 기대값인 기대효용 E(u(I))의

대소관계를 바탕으로 투자상품을 선택한다. 즉, 만약 식 E(u(I1)) > E(u(I2))이 성립하면,

첫 번째 투자상품을 선택한다. 이것이 기대효용이론 (expected utility theory)의 핵심이다.

기대효용이론에 따르면, 투자자는 포트폴리오수익률 RP 에 의한 효용함수 u(RP )의 기대값인

기대효용 E(u(RP ))를 최대로 하는 포트폴리오 P를 추구해야 한다. 다음 예제를 살펴보자.

예제 2.4.1 다음과 같은 수익률 R에 관한 오목한 지수효용함수를 살펴보자.

u(R) = 1− e−bR (1)

여기서 b는 양수이고, 수익률 R은 정규분포를 따른다고 가정하자. 정규분포의 적률모함수를

이용해서, 다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

E(exp(R)) = exp(E(R) +

1

2V ar(R)

)(2)

식 (2)를 식 (1)에 적용하면, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

E(u(R)) = 1− E(e−bR) = 1− exp(−bE(R) +

1

2b2V ar(R)

)(3)


따라서, E(R)− bV ar(R)/2를 최대화하면, 투자자의 기대효용이 최대화된다. 이러한 목적을

달성하기 위해서는 기대수익률 E(R)을 크게 하고 투자위험을 나타내는 분산 V ar(R)을 작게

해야 한다.

2.4.3 위험회피도와 확실성등가

앞에서도 언급했듯이, 불확실성 하에서 부 (wealth)를 나타내는 확률변수들 중 하나를 선

택하는 기준은 그 확률변수를 독립변수로 하는 효용함수의 기대값들을 비교하는 것이다.

만약 서로 다른 투자상품들의 기대수익들이 같다면, 효용함수가 선형인 투자자는 그 부가

결정적 상수이거나 확률변수 여부에 관계없이 가치가 같다고 판단한다. 만약 투자상품들의

기대수익들이 다르다면, 위험의 대소 여부에 관계없이 기대수익이 큰 쪽을 선택한다. 이렇게

효용함수가 선형인 투자자는 위험에 관계없이 기대수익만을 바탕으로 투자판단을 하므로,

위험중립적 (risk-neutral)이라 한다. 이 경우에 부 w의 선형효용함수를 다음과 같이 쓸 수

있다.

u(w) = cw + d (2.4.6)

효용함수는비감소함수이므로, c는양수이다. 따라서, 2차미분이가능한위험중립적효용함수

u(·)는 식 u′′(w) = 0를 만족한다. 수익들 IA와 IB에 대한 기대효용들은 각각 다음과 같다.

E(u(IA)) = cE(IA) + d, E(u(IB)) = cE(IB) + d (2.4.7)

따라서, 효용함수가 선형인 경우에는 계수들 c와 d에 상관없이 기대효용의 대소관계는 기대

수익의 대소관계와 같음을 알 수 있다. 기대수익의 대소관계로만 투자판단을 하는 관점에서

효용함수 u(w) = cw와 효용함수 u(w) = w는 등가이다. 식 (2.4.7)에서 알 수 있듯이, 만약

효용함수 u(·)가 선형이면, 확률변수 I에 대해서 다음 등식이 성립한다.

E(u(I)) = u(E(I)) (2.4.8)

식 (2.4.8)은 E(I)라는 확실한 수익의 효용과 불확실성 하에서 수익 I의 효용 u(I)의 평균에

대한 선호도가 같은 것을 나타낸다. 따라서, 위험중립적 투자자에게는 불확실성 하에서

기대수익이 결정적 수익과 같다면, 이들 중에서 어느 쪽을 선택해도 상관없다. 즉, 위험중립적


투자자에게 이 두 투자기회들은 등가이다.

만약 어떤 투자자에게 불확실성 하에서 투자기회와 결정적 투자기회가 있고 또한 이 불확

실성 하에서 투자기회의 기대수익이 결정적 투자기회의 수익보다 작거나 같으면, 이 투자자는

반드시 결정적 투자기회를 선택한다고 하자. 이러한 투자자를 위험회피적 (risk-averse)이라

한다. 위험회피적 투자자가 갖는 효용함수 u(·)는 오목함수 (concave function)이다. 즉, 각

α(∈ (0, 1)), x(> 0)와 y(> 0)에 대해서 다음 식이 성립한다.

u(αx+ [1− α]y) ≥ αu(x) + [1− α]u(y) (2.4.9)

따라서, 2차미분이 가능한 위험회피적 효용함수 u(·)는 부등식 u′′(w) ≤ 0를 만족한다. 또한,

확률변수 I에 대해서 다음 Jensen부등식이 성립한다.

E(−u(I)) ≥ −u(E(I)) (2.4.10)

식 (2.4.10)은 E(I)라는 확실한 수익의 효용이 불확실성 하에서 수익 I의 효용 u(I)의 평균보

다 선호되는 것을 의미한다. 특별한 언급이 없는 한, 본서에서는 위험회피적 투자자를 다룬다.

불확실성 하에서 투자기회의 기대수익이 결정적 투자기회의 수익보다 크거나 같으면,

이 투자자는 반드시 불확실성 하에서 투자기회를 선택한다고 하자. 이러한 투자자를 위험

선호적 (risk-loving)이라 한다. 위험선호적 투자자가 갖는 효용함수 u(·)는 볼록함수 (convex

function)이다. 즉, 각 α(∈ (0, 1)), x(> 0) 와 y(> 0) 에 대해서 다음 식이 성립한다.

u(αx+ [1− α]y) ≤ αu(x) + [1− α]u(y) (2.4.11)

따라서, 2차미분이 가능한 위험선호적 효용함수 u(·)는 부등식 u′′(x) ≥ 0를 만족한다. 또한,

확률변수 I에 대해서 다음 Jensen부등식이 성립한다.

E(u(I)) ≥ u(E(I)) (2.4.12)

식 (2.4.12)는 E(I)라는 확실한 수익의 효용보다는 불확실성 하에서 수익 I의 효용 u(I)의

평균이 선호되는 것을 의미한다.

확실성등가(certainty equivalent)란 불확실성 하에서 부(wealth)를 나타내는 확률변수의

기대효용과 같은 수준을 부여하는 확정적 부를 의미한다. 즉, 불확실성 하에서 부가 w이고

효용함수가 u(·)라 하면, 다음 조건을 만족시키는 상수 wc를 확률변수 w의 확실성등가라


한다.

u(wc) = E(u(w)) (2.4.13)

만약 어떤 투자자의 효용함수가 u(·)라고 하면, 불확실성 하에서 부 w의 기대효용과 결정적

부 wc의 효용은 같다. 즉, 이 투자자에게는 불확실성 하에서 부 w를 결정적 부 wc로 완전하게

대체할수있다. 따라서, 부의수준이서로다른투자기회들중에서어떤것을선택할지에대한

판단기준으로 확실성등가를 사용할 수 있다. 즉, 각 투자자는 확실성등가가 큰 쪽을 선택한다.

식 (2.4.10)과 식 (2.4.13)에서 알 수 있듯이, 효용함수 가 위험회피적이면 다음 식이 성립

한다.

u(E(w)) > u(wc) (2.4.14)

효용함수가 u(·)가 단조증가이므로, 식 (2.4.14)에서 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

wc < E(w) (2.4.15)

식 (2.4.15)에서 알 수 있듯이, 위험회피적 투자자에게는 불확실성 하에서 부 w의 확실성등가

wc가 기대값 E(w)보다 작다. 즉, 위험회피적 투자자는 기대값이 동일한 부들 중에서는

불확실성이 낮은 쪽을 선택한다. 확실성등가 wc는 w의 기대값에서 불확실한 부분을 제거한

것이라고 할 수 있다. 위험회피도와 확실성등가에 대한 자세한 내용은 IM&F9의 제5.4절을

참조하라.

2.4.4 위험회피함수

효용함수의 2차미분이 작을수록, 수익이 증가함에 따른 효용의 증가 정도보다 수익이 감소함

에 따른 효용의 감소 정도가 커진다. 즉, 이 2차미분이 작을수록, 투자자가 위험을 회피하는

경향이 커진다고 할 수 있다. 따라서, 투자자의 위험회피도를 표현하기 위해서, 다음과 같이

정의되는 Arrow-Pratt의 절대위험회피함수 (absolute risk aversion function: ARA함수)

a(x)가 이용되기도 한다.

a(x).= −u

′′(x)

u′(x)(2.4.16)


여기서 식 u′ > 0가 성립함을 상기하라. Arrow-Pratt의 절대위험회피함수 a(x)는 선형변

환에 대해 불변이다. 즉, 효용함수 u(x)의 절대위험회피함수와 이를 선형변환한 cu(x) + d

의 절대위험회피함수는 동일하다. 절대위험회피함수 a(x)는 평가시점에서 (결정적) 부의

수준 x에 의존한다. 이는 동일한 효용함수를 갖는 투자자라도 그 시점에서 부의 수준에 따라

위험회피도가 다르다는 것을 의미한다. 한편, 부의 수준에 대한 상대적 변화에 대한 위험회피

도를 나타내는 지표로 다음과 같이 정의되는 Arrow-Pratt의 상대위험회피함수 (relative risk

aversion function: RRA함수) a(x)가 이용된다.

a(x).= xa(x)− xu′′(x)

u′(x)(2.4.17)

자주 사용되는 효용함수들과 위험회피함수들을 살펴보자. 첫째, 지수효용함수는 다음과

같다.

u(x) = −e−γx (2.4.18)

여기서 γ는 양수이다. 이 지수효용함수의 절대위험회피함수와 상대위험회피함수는 각각

다음과 같다.

a(x) = γ, a(x) = γx (2.4.19)

이 절대위험회피함수는 부의 수준 x에 의존하지 않는다. 즉, 지수효용함수를 갖는 투자자는

부의 수준에 상관없이 절대위험회피함수가 일정하다. 둘째, 2차효용함수는 다음과 같다.

u(x) = x− α

2x2 (2.4.20)

효용함수는 단조증가이므로, 2차효용함수는 u(x)가 단조증가하는 영역에서만 정의된다. 즉,

다음 조건이 만족되는 경우에 한해서 2차효용함수가 정의된다.

u′(x) = 1− αx > 0 ⇔ x <1

α(2.4.21)

이 2차효용함수의 절대위험회피함수와 상대위험회피함수는 각각 다음과 같다.

a(x) =α

1− αx, a(x) =

αx

1− αx(2.4.22)



E(u(I)) = E(I)− α

2E(I2) = E(I)− α

2E(I)2 − α

2V ar(I) (2.4.23)

식 (2.4.23)에서 알 수 있듯이, 기대값이 같은 확률변수들에 중에서는 분산이 작은 쪽의 기

대효용이 커진다. 즉, 2차효용함수를 갖는 투자자는 기대수익이 같은 투자들 중에서 분산이

작은 쪽을 선호한다. 셋째, 대수효용함수는 다음과 같다.

u(x) = lnx, (x > 0) (2.4.24)

이 대수효용함수의 절대위험회피함수와 상대위험회피함수는 각각 다음과 같다.

a(x) =1

x, a(x) = 1 (2.4.25)

대수효용함수의 절대위험회피함수는 부의 수준에 반비례한다. 넷째, 멱효용함수는 다음과

같다.

u(x) = xγ , (x > 0) (2.4.26)

여기서 γ는 구간 (0, 1)에 속하는 상수이다. 이 멱효용함수의 절대위험회피함수와 상대위험

회피함수는 각각 다음과 같다.

a(x) =1− γ

x, a(x) = 1− γ (2.4.27)

멱효용함수의 절대위험회피함수는 부의 수준에 반비례한다. 즉, 부의 수준이 높아지면 높아

질수록, 부의 수준의 단위변화량에 대한 위험회피도가 감소하는 특징을 갖는다.

예제 2.4.2 부(wealth)를 나타내는 Bernoulli확률변수 w의 확률밀도함수가 다음과 같다고

하자.

Pr(w = 0) = p = 1− Pr(w = 1) (1)

확률변수 w의 기대값은 1 − p이다. 또한 확률변수 w의 효용함수 u(w)의 기대값은 다음과


같다.

E(u(w)) = p · u(0) + (1− p) · u(1) (2)

효용함수 u( · )가 식 u(0) = c0와 식 u(1) = c1을 만족한다고 하고, 다음과 같은 효용함수

u( · )를 정의하자.

u(w).=

1

c1 − c0[u(w)− c0] (3)

효용함수 u( · )는 식 u(0) = 0와 식 u(1) = 1 을 만족한다. 만약 식 a > 0가 성립하면,

효용함수 u( · )의 선형변환 au( · ) + b는 효용함수 u( · )와 등가이다. 따라서, 일반성을 잃지

않고 효용함수 u( · )가 식 u(0) = 0와 식 u(1) = 1을 만족한다고 가정할 수 있다. 기대효용

E(u(w))는 다음과 같다.

E(u(w)) = p · 0 + [1− p] · 1 = 1− p (4)

부를 나타내는 확률변수 w의 효용함수 u( · )에 대한 확실성등가를 wc(p)라 하면, 다음


E(u(w)) = u(wc(p)) (5)

식 (4)와 식 (5)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

u(wc(p)) = 1− p (6)

식 (6)을 사용해서 여러 p에 대한 w의 확실성등가 wc(p)를 구하면, 곡선 (wc(p), u(wc(p)))

로부터 효용함수를 추정할 수 있다. 다음 R-파일 UtilityFunction.r을 실행해보자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: UtilityFunction.R3 ## Utility function estimation & Relative risk aversion function4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Estimating utility funcion8 p = seq(from=0.1, to=0.9, by=0.1);9 CE = c(0.90, 0.75, 0.60, 0.50, 0.40, 0.30, 0.18, 0.10, 0.05);

10 pFull = c(0, p, 1);11 CEfull = c(1, CE, 0);


12 util = 1-p;13 utilFull = 1-pFull;1415 ## Estimating the risk-aversion coefficient16 gammaDum = log(util)/log(CE);17 gamma = mean(gammaDum);18 RRA = 1-gamma;19 CEdum = seq(from=0, to=1, by=0.01);20 UTILpwr = CEdum^gamma;21 revCE = rev(CE);22 UTILpw = revCE^gamma;2324 ## Plot utility function25 plot(CEfull, utilFull , type="l", lty="solid", lwd=2, xlab="Wc(p)", ylab="1-p");26 lines(CEdum, UTILpwr, lty="dashed", lwd=2, col="red");27 legend(0.01, 0.95, c("Estimated Utility Function", "Power utility Function"),28 lty=c("solid", "dashed"), col=c("black","red"), lwd=c(2,2));29 points(CEfull, utilFull);30 points(revCE,UTILpw, pch=24, col="red");3132 ## end of program33 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램에서는 다음과 같이 효용함수를 추정한다. 시장에서 주식회사 A가 발행한

액면가 1억 원인 제로쿠폰채가 거래되고, 또한 이와 동일한 만기시점을 갖으나 액면가가 다른

국채가거래되고있다고하자. 제로쿠폰채의발행체가도산할확률이 p인경우에, 투자자가이

제로쿠폰채에투자하는것과등가인국채의액면가는얼마인가? 단, 여기서국채의부도확률은

0이고, 제로쿠폰채가 부도가 날 경우에 수취액은 0이라 하자. 즉, 회수율이 0이라고 하자.

각 k(= 0, 1, · · · , 10)에 대한 도산확률 pk = 0.1k에 대해서, 액면가 1억원인 제로쿠폰채에

대한 확실성등가 wc(pk)를 구하자. 만약 국채의 액면가가 wc(pk)보다 작으면, 국채 대신 이

액면가가 1억원인 제로쿠폰채에 투자한다. 반면에, 만약 국채의 액면가가 wc(pk)보다 크면,

이 액면가가 1억원인 제로쿠폰채 대신 국채에 투자한다. 특히, 만약 도산확률이 p = 1이면,

만기시점에 제로쿠폰채로부터 수취액이 결정적으로 0억 원이므로, 확실성등가는 wc(1) = 0

이다. 또한, 만약 도산확률이 p = 0이면, 만기시점에 제로쿠폰채로부터 수취액이 결정적으로

1억 원이므로, 확실성등가는 wc(0) = 1이다. 만약 도산확률이 pk이면, 만기시점에서 제로쿠

폰채로부터 수취액의 기대값 E(wk)는 다음과 같다.

E(wk) = pk × 0 + [1− pk]× 1 = 1− pk (7)

이 예제에서 가정된 확실성등가와 효용함수는 다음과 같다.


k 1 2 3 4 5 6 7 8 9

pk 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

wc(pk) 0.90 0.75 0.60 0.50 0.40 0.30 0.18 0.10 0.05

u (wc(pk)) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

추정된 효용함수를 멱효용함수 u(x) = xγ로 근사시키기로 하자. 다음 식이 성립한다.

γ =lnu(x)

lnx , (x ∈ (0, 1)) (8)

따라서, 다음 식을 이용해서, 각 k(= 1, 2, · · · , 9)에 대한 지수 γk를 구한다.

γk =ln (1− pk)

lnwc(pk)(9)

다음과 같이 멱효용함수의 지수 γ를 추정한다.

γ =1

9

9∑k=1

γk (10)

이 지수추정량은 γ = 0.7665이고, 멱효용함수에 대한 Arrow-Pratt의 상대위험회피함수는

a(x) = 1− γ = 0.2335이며, 계산된 γk와 추정된 멱효용함수는 다음과 같다.

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9

γk 1.00 0.78 0.70 0.74 0.76 0.76 0.70 0.70 0.77

ωγk 0.10 0.17 0.27 0.40 0.50 0.59 0.68 0.80 0.92

추정된 효용함수과 멱효용함수가 그림 2.4.1에 그려져 있다. 그림 2.4.1에서 알 수 있듯이, 이

예제에서는 멱효용함수가 효용함수를 잘 반영하고 있다.

2.4.5 효율적프론티어

기대효용이론에서는포트폴리오수익률 RP 에의한기대효용 E(u(RP ))를최대로하는반면에,

투자에 의한 위험을 직접적으로 반영하지 않고 효용함수 형태를 통해서 간접적으로 고려한다.

Markowitz (1952)는 투자에 의한 기대수익률과 위험을 동시에 반영하는 모형을 제시하였다.

포트폴리오 θθθ의 수익률 RP =N∑j=1

θjRj 의 기대값 E(RP )와 분산 σ2(RP ).= σ2(θθθ)는 각각


그림 2.4.1. 추정된 효용함수와 역효용함수

다음과 같다.

E(RP ) =N∑j=1

θj µj , σ2(RP ) =N∑i=1

N∑j=1

θi θj σi,j (2.4.28)

투자자가 바라는 포트폴리오 θθθ는 기대수익률 E(RP )를 크게 하는 동시에 위험에 해당하는

분산 σ2(RP )를 작게 하는 것이다. 이러한 상반되는 목적을 달성하기 위해서, 다음과 같이

절충을 위한 함수 g(θθθ)를 만들어서 이를 최대화하기로 하자.

g(θθθ) = E(RP )− c σ2(RP ) (2.4.29)

여기서 c는 음이 아닌 상수로서, 투자자의 기대수익과 위험 사이에 절충을 반영하는 모수이다.

특히, Markowitz의절충법은기대수익률 E(RP )를일정한상수로두고분산 σ2(RP )를최소로

하는 포트폴리오 θθθ를 구한다. 이러한 모형을 평균분산모형이라 한다.


Markowitz의평균분산모형을다루기위해서, 우선다음과같은벡터들과행렬을정의하자.

RRR.=

R1

R2

...

RN

, µµµ

.=

µ1

µ2...

µN

, Σ

.=

σ11 σ12 · · · σ1N

σ21 σ22 · · · σ2N...

......

σN1 σN2 · · · σNN

(2.4.30)

여기서 RRR은 수익률벡터, µµµ는 기대수익률벡터, 그리고 Σ는 수익률의 분산공분산행렬이다.

수익률들 µ1, µ2, · · · , µN 중에서 적어도 2개는 서로 다르며, 분산공분산행렬 Σ는 양정치

(positive-definite)라고 가정하자. 지금부터 이들을 사용해서, Markowitz의 평균분산모형을

나타내기로 하자. 식 (2.4.1)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

1tθ = 1 (2.4.31)

여기서 1 .= [1, 1, · · · , 1]t 이다. 식 (2.4.31)을예산제약이라부른다. 또한, 포트폴리오수익률을

RP = θtRRR로 표기할 수 있다. 따라서, 식 (2.4.28)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

E(RP ) = θtµ, σ2(RP ) = θ

tΣθ (2.4.32)

기대수익률이 상수 ν라는 기대수익률제약 하에 위험을 최소로 하는 포트폴리오를 선택하는

문제를 생각해보자. 이를 다음과 같은 최적화문제로 표기할 수 있다.

Minimize θtΣθ subject to µtθ = ν and 1tθ = 1 and θ ∈W. (2.4.33)

여기서 집합 W 는 포트폴리오가 만족해야 하는 집합을 나타낸다. 만약 집합 W 가 볼록

(convex)이면, 최적화문제 (2.4.33)은 볼록2차계획문제이다.

다음과 같이 정의되는 집합 F를 실행가능영역 (feasible region)이라 한다.

F.= (σ, ν) | µtθ = ν,

√θtΣθ = σ, 1tθ = 1, θ ∈W (2.4.34)

주어진 기대수익률 ν에 대해서 분산 θtΣθ를 최소화하는 포트폴리오를 θ(ν) 그리고 그에 해

당하는표준편차를 σ(ν)라하자. 앞에서가정했듯이, 집합W가볼록이면, 집합 Ξ.= ν | ν =

µtθ, 1tθ = 1, θ ∈W 상에서 σ(ν)는 기대수익률 ν의 볼록함수이다. 위험이 같은 경우에 투


자자는기대수익률이큰쪽을선택하므로, 실질적으로의미가있는것은 ν가 arg minν∈Ξ

σ(ν)이

상인경우이다. 따라서,표준편차-평균평면상의곡선 (σ(ν) , ν) | ν ∈ Ξ, ν ≥ arg minν∈Ξ

σ(ν)

가 효율적프론티어 (efficient frontier)이다. 합리적 투자자가 이 효율적프론티어 상에 있는

포트폴리오를선택하는것은당연하다. 기대수익률제약과예산제약이외에도공매가금지되어

있거나투자비율의상한또는하한이제한되는등다른제약이있는경우에,최적화문제 (2.4.33)

을 해석적으로 푸는 것이 어려울 수도 있다. 이러한 경우에는 수치적으로 효율적프론티어를

구해야 한다. 오늘날에는 대규모 볼록2차계획문제를 푸는 많은 알고리즘들이 알려져 있기

때문에, 쉽게 수치적으로 효율적프론티어를 구할 수 있다. 물론, 이 경우에 실행가능영역은

축소된다.

기대수익률제약 µtθ = ν와 예산제약 1tθ = 1만 있는 경우에는 Lagrange승수법을 적용

해서 최적해를 구할 수 있다. Lagrange승수들 λ1과 λ2를 사용해서 다음과 같이 Lagrange

함수를 L을 정의하자.

L(θ, λ1, λ2) =1

2θtΣθ + λ1[ν − µtθ] + λ2[1− 1tθ] (2.4.35)

최적화문제 (2.4.33)을 푸는 것과 식 (2.4.35)으로 정의되는 Lagrange함수 L(θ, λ1, λ2)를

최적화하는 (θ, λ1, λ2)를 구하는 것은 등가이다. 최적화의 1차조건은 다음과 같다.

∂L

∂θ= Σθ − λ1µ− λ21 = 0 (2.4.36)

∂L

∂λ1= ν − µtθ = 0 (2.4.37)

∂L

∂λ2= 1− 1tθ = 0 (2.4.38)

연립방정식 (2.4.36)∼(2.4.38)을 풀어서, 최적포트폴리오를 구하기로 하자. 가정에 의해서 Σ

의 역행렬이 존재하므로, 식 (2.4.36)에서 다음 식을 유도할 수 있다.

θ = λ1Σ−1µ+ λ2Σ

−11 (2.4.39)

식 (2.4.39)의 양변에 µt를 곱하면, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

ν = µtθ = λ1µtΣ−1µ+ λ2µ

tΣ−11 (2.4.40)


식 (2.4.39)의 양변에 1t를 곱하면, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

1 = 1tθ = λ11tΣ−1µ+ λ21tΣ−11 (2.4.41)

편의상 다음 모수들을 정의하자.

α.= µtΣ−1µ, β

.= 1tΣ−1µµµ, γ

.= 1tΣ−11, D

.= αγ − β2 (2.4.42)

양정치행렬 Σ의 역행렬도 양정치이므로, 다음 식들이 성립한다.

α > 0, γ > 0 (2.4.43)

또한, 다음 식들이 성립한다.

αD = α[αγ − β2] = [βµ− α1]tΣ−1 [βµµµ− α1] > 0 (2.4.44)

여기서 첫 번째와 두 번째 등호들은 식 (2.4.42)에 의해서, 그리고 부등호는 Σ가 양정치행렬

이고 µ가 1의 스칼라곱이 아니어서 성립한다. 식 (2.4.43)과 식 (2.4.44)에서 알 수 있듯이,

다음 식이 성립한다.

D > 0 (2.4.45)

연립방정식 (2.4.40)과 (2.4.41)을 풀면, 그 해는 다음과 같다.

λ1 =ν γ − β

D, λ2 =

α− ν β

D(2.4.46)

식 (2.4.46)을 식 (2.4.39)에 대입하면, 최적화문제 (2.4.33)의 최적해 θ(ν)가 다음과 같음을

알 수 있다.

θ(ν) =ν γ − β

DΣ−1µ+

α− ν β

DΣ−11 (2.4.47)


또한, 이에 해당하는 표준편차 σ(ν)는 다음과 같다.

σ(ν) =√θ(ν)tΣθ(ν) =

√γ ν2 − 2β ν + α

D(2.4.48)

식 (2.4.48)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

σ2(ν)

1/γ− [ν − β/γ]2

D/γ2= 1 (2.4.49)

따라서, σ(ν)는 ν의 쌍곡선 중에서 우측부분이다. 위험수준이 동일한 경우에는 기대수익률이

큰포트폴리오가선호되므로, 쌍곡선의위쪽부분이효율적 σ와 ν의관계를이룬다. 이쌍곡선

의위쪽절반을효율적프론티어라고부른다. 즉, 효율적프론티어상에 (표준편차, 기대수익률)

이 존재하는 포트폴리오는 각 기대수익률 ν에 대해서 위험 σ를 최소화한다. 따라서, 각

투자자는 효율적프론티어 상에 (표준편차, 기대수익률)이 존재하는 포트폴리오를 선택한다.

특히, 점 (σ, µ) =(√

1γ ,

βγ

)는 이 쌍곡선의 정점을 나타내며, 이에 해당하는 포트폴리오를

최소분산포트폴리오 (minimum variance portfolio)라 부른다. 즉, 시장에서 거래되는 N개의

위험자산들을 잘 조합하면 분산을 1/γ까지 감소시킬 수 있으며, 그에 해당하는 기대수익률은

β/γ이다. 식 (2.4.49)를 바탕으로 실행가능영역과 효율적프론티어를 그린 것이 그림 2.4.2

이다. 그림 2.4.2에서 (σ, µ)가 실행가능영역이라 하더라도 기대수익률 ν가 β/γ보다 작은

경우에는 적어도 이론적으로는 어떤 투자자도 투자를 하지 않을 것이다.

그림 2.4.2. 효율적프론티어


예제 2.4.3 최적포트폴리오를 구성하고 효율적프론티어를 구하기 위해서, 다음 R-파일

PortfolioOptimization1.r을 실행해 보자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: PortfolioOptimization1.R3 ## Portfolio Optimization No 1 additional 24 ## Programmed by YTS and Modified by CBS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## input initial given data8 ExpReturn = c(0.1, 0.2, 0.15, 0.25, 0.3)9 ExpCovariance = matrix(c(0.005, -0.010, 0.004, 0.001, 0.002, -0.010, 0.040,

-0.002, 0.002, -0.001, 0.004, -0.002, 0.015, 0.003, 0.001, 0.001, 0.002,0.003, 0.050, -0.003, 0.002, -0.001, 0.001, -0.003, 0.060), nrow=5, ncol=5,byrow=TRUE)

10 NumAssets = length(ExpReturn)11 ExpSD = diag(ExpCovariance)^0.51213 ## Calculate Efficient Frontier14 alpha = ExpReturn%*%solve(ExpCovariance)%*%ExpReturn15 beta = rep(1, len=NumAssets)%*%solve(ExpCovariance)%*%ExpReturn16 gamma = rep(1, len=NumAssets)%*%solve(ExpCovariance)%*%rep(1, len=NumAssets)17 D = alpha*gamma-beta^218 sigma <- seq(gamma^(-0.5) ,0.40,length=1000)19 dumRoot = sqrt((gamma*sigma^2-1)*D/gamma^2)20 nuU <- beta/gamma + dumRoot21 nuL <- beta/gamma -dumRoot22 xVer <- 1/sqrt(gamma)23 yVer <- beta/gamma2425 # Plotting26 # install.packages("ggplot2")27 library(ggplot2)28 setEPS()29 plot.new()30 jpeg('Figure243.jpg') # Start to save figure31 RVdata242 <- data.frame(sigma,nuL,nuU)32 ydel = 0.0133 plot11 <- ggplot(RVdata242) +34 geom_point(aes(x=sigma,y=nuL),col="blue",lwd=1.5,shape=16) +35 geom_point(aes(x=sigma,y=nuU),col="red",lwd=1.5,shape=16) +36 xlim(0,0.4) + ylim(0,0.6) +37 xlab(expression(paste(sigma))) +38 ylab(expression(mu)) +39 annotate(geom="text",x=xVer-0.01,y=yVer,label="V",size=4) +40 annotate(geom="text",x=ExpSD[1],y=ExpReturn[1]-ydel,label="Asset1") +41 annotate(geom="text",x=ExpSD[2],y=ExpReturn[2]-ydel,label="Asset2") +42 annotate(geom="text",x=ExpSD[3],y=ExpReturn[3]-ydel,label="Asset3") +43 annotate(geom="text",x=ExpSD[4],y=ExpReturn[4]-ydel,label="Asset4") +44 annotate(geom="text",x=ExpSD[5],y=ExpReturn[5]-ydel,label="Asset5")45 print(plot11)46 dev.off() # End to save figure47 # -----------------------------------------------------------------------------

이 문제에서는 5개의 위험자산들 X1, X2, X3, X4, X5로 포트폴리오를 구성한다. 이 위험


자산들의 기대수익률벡터 µµµ와 수익률들의 분산공분산행렬 Σ가 다음과 같다고 가정한다.

µµµ = [ 0.1, 0.2, 0.15, 0.25, 0.30 ]t (1)

Σ =

0.005 −0.010 0.004 0.001 0.002

−0.010 0.040 −0.002 0.002 −0.001

0.004 −0.002 0.015 0.003 0.001

0.001 0.002 0.003 0.050 −0.003

0.002 −0.001 0.001 −0.003 0.060

(2)

이러한조건하에서, 앞서설명한평균분산모형을이용하여목적한기대수익률을만족하는

최소분산포트폴리오를구할수있다. 또한여러목적수익률들에대한최소분산포트폴리오들의

집합이 효율적프론티어가 됨을 쉽게 이해할 수 있다. 이 R파일을 실행해서 얻은 효율적프

론티어가 그림 2.4.3에 그려져 있다. 그림 2.4.3에서 적색 실선과 청색 실선은 식 (2.4.49)의

쌍곡선을 나타내고, 적색 실선은 식 (2.4.48)의 효율적프론티어를 나타낸다. 점 V는 꼭지점(1√γ ,

βγ

)= (0.038, 0.121)이다.

그림 2.4.3. 공매가 가능한 시장에서 효율적프론티어


2.4.6 자본시장선과 접점포트폴리오

식 (2.4.47)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

θ(ν) =ν γ β − β2

D

[1

βΣ−1µ

]+αγ − ν γ β

D

[1

γΣ−1 1

](2.4.50)


θ (ν) = ηθ1 + [1− η]θ2 (2.4.51)

여기서 벡터들 θ1과 θ2 그리고 η는 각각 다음과 같다.

θ1.=

1

βΣ−1µ, θ2

.=

1

γΣ−1 1, η

.=ν γ β − β2

D(2.4.52)

식 (2.4.51)에서 알 수 있듯이, θ1과 θ2를 사용해서 효율적프론티어 상에 (표준편차, 기대수익

률)이 존재하는 임의의 포트폴리오를 나타낼 수 있다. 이를 일반화하면, 효율적프론티어 상에

(표준편차, 기대수익률)이 존재하는 임의의 두 포트폴리오들을 사용해서 효율적프론티어를

생성할 수 있다.

시장에서 거래되는 N개 위험자산들 이외에 또 확실한 수익률 r을 보증하는 무위험자산이

있다고하자. 위험회피적투자자는식 r > µj을만족하는위험자산 Sj에는투자하지않으므로,


r < min µ1, µ2, · · · , µN (2.4.53)

무위험자산의수익률을추정하는데는콜금리, repo율, 거액의정기예금이자율등을이용한다.

이무위험자산을제0번째투자대상으로하고, S0로표기하자. 무위험자산 S0의분산은 σ20 = 0

이고, 각 위험자산 Sj 와 무위험자산 S0의 공분산은 σ0,j = 0이다. 무위험자산을 포함하는

포트폴리오 θ0, 이 포토폴리오의 수익률벡터 RRR0, 기대수익률벡터 µ0, 그리고 분산공분산행렬

Σ0는 각각 다음과 같다.

θ0 =

θ0θ

, RRR0 =

rRRR

, µ0 =

rµ

, Σ0 =

0 0t

0 Σ

(2.4.54)



1 = 1tθ0 (2.4.55)

ν = µt0 θ0 = r θ0 + µ

tθ = r[1− 1tθ] + µtθ (2.4.56)

식 (2.4.56)의 세 번째 등호는 식 (2.4.55)에 의해 성립한다. 식 (2.4.56)의 우변에서 θ0가

소거되었음을 상기하라. 또한, 다음 식이 성립한다.

θt0Σ0 θ0 = θtΣθ (2.4.57)

따라서, 무위험자산이포함된포트폴리오의기대수익률이상수 ν라는조건하에위험을최소로

하는 포트폴리오를 선택하는 문제를 다음과 같은 최적화문제로 표기할 수 있다.

Minimize θtΣθ subject to [µ− r1]tθθθ = ν − r. (2.4.58)

다음과 같이 Lagrange함수 L0를 정의하자.

L0(θ, λ) =1

2θtΣθ + λ ν − r − [µµµ− r1]tθ (2.4.59)

최적화의 1차조건은 다음과 같다.

∂L0

∂θ= Σθ − λ[µ− r1] = 0 (2.4.60)

∂L0

∂λ= ν − r − λ[µ− r1]tθ = 0 (2.4.61)

방정식들 (2.4.60)과 (2.4.61)을 풀어서, 최적포트폴리오 θθθ를 구하기로 하자. 우선, 다음과

같은 모수를 정의하자.

E.= [µ− r1]tΣ−1 [µ− r1] (2.4.62)


E = α− 2β r + γ r2 (2.4.63)



θ = λΣ−1[µ− r 1] (2.4.64)

식 (2.4.64)를 식 (2.4.61)에 대입하면, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

ν − r = λ [µ− r1]tΣ−1 [µ− r 1] = λE (2.4.65)

즉, 다음 식이 성립한다.

λ =ν − r

E(2.4.66)

식 (2.4.66)을 식 (2.4.64)에 대입하면, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

θ(ν) =ν − r

EΣ−1 [µ− r 1] (2.4.67)

식 (2.4.55)를 식 (2.4.67)에 대입하면, 무위험자산에 대한 투자비율 θ0가 다음과 같음을 알 수

있다.

θ0(ν) =1

E ν [ γ r − β] + α− β r (2.4.68)

또한, 이에 해당하는 분산 σ2 (ν)는 다음과 같다.

σ2(ν) = θ (ν)tΣθ (ν) =[ν − r]2

E(2.4.69)

여기서 두 번째 등호는 식 (2.4.62)와 식 (2.4.67)에 의해서 성립한다. 따라서, 다음 식들이

성립한다.

σ(ν) = ± ν − r√E

(2.4.70)

즉, (σ(ν), ν)는 점 (0, r)을 지나는 두 반직선들이 된다. 무위험수익률 r이 위험자산들로

이루어진 최소분산포트폴리오의 수익률 β/γ보다 작아야 한다. 따라서, 부등식 r < β/γ이

성립해야 함에 유의하라.


식 (2.4.70)의 두 반직선들 중에서 위쪽 직선은 다음 식을 만족한다.

ν = r +√E σ(ν) (2.4.71)

이 반직선을 자본시장선 (capital market line: CML)이라 한다. 위에서 기술한 자본시장선의

도출과정에서 투자자의 효용함수가 사용되지 않았으므로, 자본시장선은 모든 투자자들에게

있어서 동일하다. 한 위험자산만을 보유하면 비효율적 포트폴리오가 되므로, 포트폴리오를

구성하는 각 위험자산은 이 자본시장선 아래에 위치하게 된다. 식 (2.4.49)와 식 (2.4.71)에서

알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

σ2(ν)

1/γ− [r +

√E σ(v)− β/γ]2

D/γ2= 1 (2.4.72)

식 (2.4.72)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

[1− γE

D

]σ2(ν)− 2

γ

D

[r − β

γ

]σ(ν)− γ

D

[r − β

γ

]− 1

γ= 0 (2.4.73)


[β − rγ]σ(ν)−√E 2 = 0 (2.4.74)

즉, 자본시장선 (2.4.71)은 무위험자산이 없는 포트폴리오의 효율적프론티어 (2.4.72)의 접선

이다. 또한 접점 M(σ , µM )은 다음과 같다.

(σM , µM ) =( √

E

β − r γ, r +

E

β − r γ

)=(√α− 2β r + γ r2

β − r γ,α− β r

β − r γ

)(2.4.75)

이 접점 (σM , µM )에 해당하는 포트폴리오 θM 을 접점포트폴리오 (tangent portfolio)라 부

른다. 표준편차-평균평면 상에서 무위험자산과 어떤 위험자산으로 이루어진 포트폴리오는

반드시 무위험자산과 위험자산을 나타내는 점들을 연결한 선분 상에 위치한다. 따라서,

자본시장선은 무위험자산에 해당하는 점 (0, r)과 접점 (σM , µM )을 연결하는 반직선이다.

접점포트폴리오를 구하는 다른 접근법을 생각해보자. 기대수익률을 크게 하고 위험을

줄이기 위해서는, 초과수익률을 표준편차로 나눈 이 선분의 기울기가 가능한 한 커지도록

위험자산을 선택한다. 이에 해당하는 포트폴리오는 무위험자산을 나타내는 점에서 위험자산

으로 이루어진 실행가능영역에 그은 접선의 접점에 위치한다. 이것이 접점포트폴리오이다.


따라서, 다음 최적화문제를 풀어서 접점포트폴리오 θθθM 을 구할 수 있다.

Minimize√θ tΣθ

[µ− r 1]t θ subject to 1t θ = 1. (2.4.76)

식 (2.4.76)의 목적함수에서 θ대신 상수를 곱한 cθ를 대입해도 목적함수는 변하지 않는다.

따라서, 우선제약조건이없다는가정하에이목적함수를최소화하는투자비율벡터를구하고,

그 투자비율벡터를 정규화해서 최적해를 구한다.

식 (2.4.71)과 식 (2.4.75)에서 알 수 있듯이, 자본시장선을 다음과 같이 쓸 수 있다.

ν − r

σ(ν)=

µM − r

σM(2.4.77)

식 (2.4.77)의 우변에서 µM − r은 접점포트폴리오 θM 의 초과수익률을 나타내므로, 접점포트

폴리오의 위험프리미엄이라 한다. 따라서, [µM − r ]/σM 은 위험 1단위에 대한 위험프리미엄

이므로, 이를 위험의 시장가격 (market price of risk)이라 한다. 즉, 식 (2.4.77)은 자본시장선

상에 (표준편차, 기대수익률)이존재하는각포트폴리오의위험 1단위에대한위험프리미엄이

위험의 시장가격과 같다는 것을 보여준다. 자본시장선 (2.4.77)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

ν − r =µM − r

σMσ(ν) (2.4.78)

그림 2.4.4에 자본시장선과 접점포트폴리오가 그려져 있다.

그림 2.4.4. 자본시장선과 접점포트폴리오

식 (2.4.67), 식 (2.4.69) 그리고 식 (2.4.74)에서 알 수 있듯이, 접점포트폴리오 θM 은


다음과 같다.

θM =

0

θ∗

=

0

1β−γ r Σ

−1 [µ− r 1]

(2.4.79)

즉, 접점포트폴리오 θM 은 위험자산들로만 구성된 효율적프론티어 상에 존재하는 점 M

에 대응한다. 각 j에 대해서 식 µj > r가 성립하고 또한 식 r < β/γ이 성립하므로, θ∗의

각 원소는 양이다. 즉, 접점포트폴리오 θM 은 시장에서 거래되고 있는 모든 위험자산들로

구성되어있다. 그리고, 모든투자자들의자본시장선은동일하므로, 각투자자는위험자산들의

포트폴리오의 하나로 접점포트폴리오 θM 을 가지고 있다. 따라서, 접점포트폴리오 θM 에

포함되지 않는 금융자산은 시장에서 거래되지 않고, 그 금융자산가치는 0이다. 즉, 어느 누구

도 그 금융자산에 투자하지 않는다. 가격이 양수인 금융자산은 항상 접점포트폴리오 θM 에

포함된다. 만약 어떤 금융자산이 접점포트폴리오 θM 에서 제거된다면, 그 금융자산의 가격은

하락할 것이고 따라서 기대수익률은 상승할 것이다. 그 결과, 그 금융자산이 접접포트폴리오

θM 에 다시 편입되는 과정이 순간적으로 일어난다는 것이 경제학적 사고법이다. 결과적으로,

접점포트폴리오 θM 은시장에서거래되고있는모든금융자산들로구성된다. 이러한점과다음

절에서 기술한 이유에서 접점포트폴리오를 시장포트폴리오 (market portfolio)라 부르기도

한다. 시장포트폴리오란 시장에서 거래되는 모든 금융자산들로 구성되는 포트폴리오로서, 각

j (= 1, 2, · · · , N)에 대해서 다음 식을 만족한다.

θj =제j번째 금융자산의 시가총액

총시가총액(2.4.80)

위험자산들만으로 구성되는 포트폴리오 A의 기대수익률과 수익률표준편차를 각각 µA와

σA라고 하면, 표준편차-평균평면 상에서 무위험자산을 나타내는 점 (0, r)과 포트폴리오 A

를 나타내는 점 (σA, µA)를 잇는 직선의 기울기 [µa − r]/σA를 포트폴리오 A의 Sharpe지수

(Sharpe ratio)라 부른다. 위험자산들로 구성된 포트폴리오 A와 무위험자산의 조합으로

이루어진 새로운 포트폴리오를 종합포트폴리오 (overall portfolio)라 부른다. 포트폴리오 A

에 대한 자산배분무게를 c라 하면, 무위험자산에 대한 자산배분무게는 1− c이다. 이 종합포

트폴리오 A(c)의 기대수익률 µA(c)와 수익률표준편차 σA(c)는 각각 다음과 같다.

µA(c) = c µA + [1− c]r, σA(c) = c σA (2.4.81)


식 (2.4.81)에서 c를 소거하면, 다음 식을 얻는다.

µA(c) =µA − r

σAσA(c) + r (2.4.82)

종합포트폴리오 A(c)의기대수익률 µA(c)가수익률표준편차 σA(c)의 1차함수임을알수있다.

이 때, 기울기는 포트폴리오 A의 Sharpe지수이고 Y 축 절편은 무위험이자율 r이다. 특히, c

가 [0, 1]에 속하는 부분은 무위험자산과 포트폴리오 A를 잇는 선분을 나타내고, c가 (1,∞)

에 속하는 부분은 포트폴리오 A로부터 우측 반직선을 나타낸다. 즉, 종합포트폴리오 A(c)는

무위험자산과 포트폴리오 A를 잇는 반직선 상의 점으로 표현된다.

투자대상이되는위험자산들로구성되는포트폴리오들중에서, Sharpe지수가최대가되는

포트폴리오를생각해보자. 위험자산들로구성되는포트폴리오는실행가능영역에속해야한다.

따라서, 그림 2.4.4에서 알 수 있듯이, 실행가능영역에 속하는 포트폴리오들 중에서 Sharpe지

수가 최대가 되는 것은 시장포트폴리오M이다. 즉, 표준편차-평균평면 상에서 Sharpe지수를

최대로 하는 포트폴리오와 무위험자산을 잇는 반직선이 자본시장선이다. 따라서, 자본시장선

상에 (표준편차, 기대수익률)이 존재하는 포트폴리오는 투자가능한 금융자산들의 조합으로

구성되는 포트폴리오 중에서 Sharpe지수를 최대화하는 포트폴리오이고, 또한 자본시장선

상에 (표준편차, 기대수익률)이 존재하는 포트폴리오들은 동일한 Sharpe지수를 갖는다.

동일한기대수익률을갖는포트폴리오들중에서, 자본시장선상에 (표준편차, 기대수익률)

이 존재하는 포트폴리오보다 수익률표준편차가 작은 포트폴리오는 존재하지 않는다. 만약

이러한포트폴리오가존재한다면, 시장포트폴리오M보다도 Sharpe지수가큰위험자산들로만

구성된포트폴리오가존재한다. 이는실행가능영역에속하는포트폴리오들중에서시장포트폴

리오M의 Sharpe지수가 가장 크다는 점에 모순된다. 즉, 무위험자산이 투자대상에 포함되는

경우에 평균분산모형의 관점에서 효율적 포트폴리오의 (표준편차, 기대수익률)은 자본시장선

상에 있다. 따라서, 합리적 투자자는 자본시장선 상에 (표준편차, 기대수익률)이 존재하는

포트폴리오를 보유한다. 즉, 시장포트폴리오 M과 무위험자산만을 보유하는 것이다. 이것을

2자산분리라 한다.

투자자에 따른 선호의 차이는 이 두 자산들 사이의 배분비율로만 나타난다. 따라서,

투자자가 선택하는 위험자산들로 구성된 포트폴리오는 수익률과 위험에 관한 선호와는 독립

이다. 즉, 모든 투자자들은 동일한 시장포트폴리오 M을 보유하므로, 각 투자자가 보유하는

위험자산들의 포트폴리오는 같다. 그러나, 투자자에 따라 수익률과 위험에 의한 효용함수가

다르기 때문에, 무위험자산과 시장포트폴리오에 투자되는 비율이 다른 것이다. 이렇게 투자


자의 효용함수와는 독립적으로 최적 종합포트폴리오가 결정되는 것을 포트폴리오선택에서

분리정리라 부른다.

예제 2.4.4 접점포트폴리오와 자본시장선을 구하기 위해서, 다음 R-파일 PortfolioAlloca-

tion1.r을 실행해 보자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: PortfolioAllocation1.R3 ## Portfolio Allocation No 14 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## input initial given data8 ExpReturn = c(0.1, 0.2, 0.15, 0.25, 0.3)9 ExpCovariance = matrix(c(0.005, -0.010, 0.004, 0.001, 0.002, -0.010, 0.040,

-0.002, 0.002, -0.001, 0.004, -0.002, 0.015, 0.003, 0.001, 0.001, 0.002,0.003, 0.050, -0.003, 0.002, -0.001, 0.001, -0.003, 0.060), nrow=5, ncol=5,byrow=TRUE)

10 NumAssets = length(ExpReturn)11 ExpSD = diag(ExpCovariance)^0.512 RisklessRate = 0.151314 ## Calculate Efficient Frontier15 alpha = ExpReturn%*%solve(ExpCovariance)%*%ExpReturn16 beta = rep(1, len=NumAssets)%*%solve(ExpCovariance)%*%ExpReturn17 gamma = rep(1, len=NumAssets)%*%solve(ExpCovariance)%*%rep(1, len=NumAssets)18 D = alpha*gamma-beta^219 mu = seq(from=0, to=0.5, by=0.001)20 minVar = ((gamma*mu^2)-2*beta*mu+alpha)/D21 minSD = sqrt(minVar)2223 ## Plot Efficient frontier24 plot(minSD, mu, col="red", xlab="Risk(sigma)", ylab="Expected Return(mu)", xlim=c

(0,0.35))25 points(ExpSD,ExpReturn)26 ydel = 0.0127 text(ExpSD[1],ExpReturn[1]-ydel,"Asset1")28 text(ExpSD[2],ExpReturn[2]-ydel,"Asset2")29 text(ExpSD[3],ExpReturn[3]-ydel,"Asset3")30 text(ExpSD[4],ExpReturn[4]-ydel,"Asset4")31 text(ExpSD[5],ExpReturn[5]-ydel,"Asset5")3233 ## Calculate and Plot Capital Market Line34 TangentValue = c()35 for (i in 1:length(mu))36 37 TangentValue = c(TangentValue , (mu[i]-RisklessRate)/minSD[i])38 39 CMLslope = max(TangentValue)40 xCML = seq(from=0, to=6, by=0.001)41 yCML = CMLslope*xCML+RisklessRate42 points(xCML,yCML)4344 ## Calculate and Plot Capital Market Line (2)45 mu2 = seq(from=RisklessRate , to=0.5, by=0.001)46 E = (ExpReturn -RisklessRate)%*%solve(ExpCovariance)%*%(ExpReturn -RisklessRate)47 CMLsigma = (mu2-RisklessRate)/sqrt(E)48 points(CMLsigma , mu2, col="blue")49


50 legend("topleft", c("CML","Efficient frontier","False CML"), col=c("black","red","blue"), lwd=2);

5152 ## end of program53 ## --------------------------------------------------------------------------

이 예제에서는 예제 2.4.3과 동일한 위험자산들을 사용하고 또한 무위험이자율은 0.15이다.

앞서 설명한 무위험자산을 포함한 평균분산모형의 경우에는 식 (2.4.53)의 조건을 만족해야

한다. 그러나 이 문제에서는 위험자산 X1의 수익률이 무위험이자율보다 낮아서 이 모형을

사용할 수 없다. 이러한 현상이 이론적으로 타당하지 않으나, 실제 데이터를 분석할 때 자주

나타나는현상이다. 그림 2.4.5의청색실선이평균분산모형을사용해서구한자본시장선이다.

그러나, 이 반직선이 제대로된 자본시장선이 아닌 것을 쉽게 확인할 수 있다.

이러한 경우, 자본시장선이 무위험자산을 지나는 효율적프론티어의 접선임을 이용해 자본

시장선을 구할 수 있다. 즉, 효율적프론티어의 각 점과 무위험이자율을 나타내는 점을 연결한

직선의 기울기 중 최대값이 자본시장선의 기울기이다. 이 성질을 이용해서 구한 자본시장선이

그림 2.4.5의검은실선이다. 물론모든위험자산의기대수익률값이무위험이자율보다높거나

같다면, 두 방법들 모두 올바른 자본시장선을 유도한다. 유도된 올바른 자본시장선의 식은

µ = 1.024σ + 0.15이다.

그림 2.4.5. 자본시장선


2.4.7 공매가 없는 시장

지금까지는 공매가 허용된 완전자본시장을 고려하였다. 그러나, 일반투자자는 현물거래만 할

수있는경우가많다. 이러한경우에는포트폴리오를구성하는각금융자산의투자비율이비음

(nonnegative)이어야 한다. 그 외에도, 각 금융자산의 투자에서 다양한 제약이 따르는 경우도

있다. 예들 들어, 포트폴리오 θ에 기대수익률제약 µtθ = ν와 예산제약 1tθ = 1이외에도

다음과 같은 제약들이 부과된다고 하자.

θj ≥ 0, (j = 1, 2, · · · , N) (2.4.83)N∑j=1

ai,j θj ≤ bi, (j = 1, 2, · · · , N) (2.4.84)

식 (2.4.83)은 포트폴리오무게가 비음이므로 공매가 허락되지 않는 시장을 의미한다. 편의상,

벡터들 x = [x1, x2, · · · , xn ]t와 y = [y1, y2, · · · , yn ]t에 대해서 다음 표시법을 사용하자.

x ≤ y ⇔ xi ≤ yi, (i = 1, 2, · · · , n ) (2.4.85)

식 (2.4.83)과 식 (2.4.84)에서 알 수 있듯이, 공매가 없는 시장에서는, 다음과 같은 2

차계획문제를 생각해야 한다.

Minimize θtΣθ subject to µtθ = ν, 1t θ = 1, θ ≥ 0, Aθ ≤ b. (2.4.86)

여기서 A는 M × N 행렬이고 b는 M차원 열벡터이다. 이와 같이 부등식조건을 포함하는

비선형계획문제를 푸는 강력한 수단은 Karush-Kuhn-Tucker조건을 이용하는 것이다. 다음과

같이 Lagrange함수를 정의하자.

L =1

2θtΣθ + λ1 [ ν − µt θ ] + λ2 [ 1− 1t θ ] + λt

3 [ b−Aθ ] (2.4.87)


따라서, 1차조건은 다음과 같다.

∂L

∂θ= Σθ − λ1µ− λ2 1−At λ3 ≥ 000 (2.4.88)

∂L

∂λ1= ν − µt θ = 0 (2.4.89)

∂L

∂λ2= 1− 1t θ = 0 (2.4.90)

∂L

∂λ3= b−Aθ ≥ 0 (2.4.91)

[∂L∂θ

]tθ = [Σθ − λ1µ− λ2 1−At λ3 ]

t θ = 0 (2.4.92)

λt3

∂L

∂λ3= λt

3 [ b−Aθ ] = 0 (2.4.93)

θ ≥ 0 (2.4.94)

λ3 ≥ 0 (2.4.95)

이 1차조건을 풀어서 λ1, λ2,λ3와 θ를 구한다. 식 (2.4.92)과 식 (2.4.93)에 상보성완화조건

(complementary slackness condition) 또는 상보성조건을 적용해서 이 문제를 좀 더 쉽게 풀

수 있다. 상보성조건에 관해서는 IM&F9 (p. 114)를 참조하라.

예제 2.4.5 시장에서 공매가 가능하지 않다는 조건 하에 효율적프론티어를 구하기 위해서,

다음 R-파일 PortfolioOptimization2.r을 실행해 보자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: PortfolioOptimization2.R3 ## Portfolio Optimization No 24 ## Dataset: Korean Stock Prices in year 20105 ## The original data is from www.krx.co.kr6 ## programmed by YTS7 ## --------------------------------------------------------------------------89 ## Import Package

10 library(quadprog)1112 ## Import stock price data13 rawData = read.table("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch2\\KstockPrices2010.txt")14 colnames(rawData) = c("Binggrae","Daewoo","Hansol","Hanwha","Hcar","HHI","Hyosung

","Kolong","Samsung","SKT")15 NumObs = nrow(rawData)16 DeltaT = 1/NumObs1718 Data = subset(rawData, select= -Kolong)19 ReturnData = (Data[2:251,]-Data[1:250,])/(Data[1:250,]*DeltaT)


20 ExpReturn = colMeans(ReturnData)21 ExpCovariance = cov(ReturnData)22 NumAssets = length(ExpReturn)23 ExpSD = diag(ExpCovariance)^0.52425 ## Calculate Efficient Frontier26 mu = seq(from=0.2, to=1, by=0.001)27 minVar = c()28 for (i in mu)29 30 Dmat = ExpCovariance31 dvec = rep(0, len=NumAssets)32 I = diag(NumAssets)33 Amat = cbind(c(ExpReturn),rep(1, len=NumAssets),I)34 bvec = c(i, 1,rep(0,len=NumAssets))35 result = solve.QP(Dmat,dvec,Amat,bvec,meq=2)36 minVar = c(minVar, result$solution%*%ExpCovariance%*%result$solution)37 38 minSD = sqrt(minVar)3940 ## Plot Efficient frontier41 plot(minSD, mu, col="red", xlab="Risk(sigma)", ylab="Expected Return(mu)", xlim=c

(0,8), ylim=c(0,1.2))42 points(ExpSD,ExpReturn)43 legend(0.05, 1, c("Efficient Frontier(no short sale)", "Assets"), col=c("red","

black"), pch=1);44 ydel = 0.02545 text(ExpSD[1],ExpReturn[1]-ydel,"Binggrae")46 text(ExpSD[2],ExpReturn[2]-ydel,"Daewoo")47 text(ExpSD[3],ExpReturn[3]-ydel,"Hansol")48 text(ExpSD[4],ExpReturn[4]-ydel,"Hanwha")49 text(ExpSD[5],ExpReturn[5]-ydel,"Hyundai car")50 text(ExpSD[6],ExpReturn[6]-ydel,"Hyundai HI")51 text(ExpSD[7],ExpReturn[7]-ydel,"Hyosung")52 text(ExpSD[8],ExpReturn[8]-ydel,"Samsung Elec")53 text(ExpSD[9],ExpReturn[9]-ydel,"SK telecom")5455 ## end of program56 ## --------------------------------------------------------------------------

데이터세트 KstockPrices2010.txt에는 2010년 1월 4일부터 2010년 12월 30일까지삼성전

자(Samsung), 현대자동차 (Hcar), SK텔레콤(SKT), 현대중공업(HHI), 대우증권(Daewoo),

효성 (Hyosung), 한화 (Hanwha), 빙그레 (Binggrae), 코오롱 (Kolong), 한솔제지 (Hansol)의

일별 종가가 수록되어 있다. 이 중에서 코오롱을 제외한 나머지 9개의 회사주식들로 구성된

효율적프론티어를 구하기로 하자. 단, 이 주식들에 대한 공매가 허용되지 않는다고 가정하자.

공매가 허용되지 않는 경우에 대해서는 예제 2.4.3에서 한 것처럼 간단히 계산할 수 없다. 이

책에서는 R의 quadprog패키지에서 제공하는 R함수 solve.QP를 사용할 것이다. 이 R함수

solve.QP는 목적함수의 차수가 2차인 최적화문제를 풀어주는 함수이다.

첫째 단계로, 코오롱을 제외한 나머지 9개 회사주식들의 일별종가로 구성된 Data행렬을

만든다. 이 Data행렬의 각 행은 일별 종가들의 나타내고, 행들의 개수 NumObs는 251이다.

또한 Data행렬의 각 열은 회사별 종가들을 나타내고, 열들의 개수 NumAssets는 9이다.


둘째 단계로, 일별종가 데이터를 사용해 일별수익률 데이터를 만든다. 시계열데이터 Data

는 일별데이터이므로 시간간격 (tick distance)은 1/NumObs, 즉 ∆t.= 1/251이다. 다음과

같이 주가과정 Sk∆t의 시점 k∆t에서 단순수익률 (simple return) Rk∆t를 계산한다.

Rk∆t =S[k+1]∆t − Sk∆t

Sk∆t∆t, (k = 1, 2, · · · 251) (1)

여기서 유의할 점은 식 (1)에 의해 계산된 수익률은 연수익률 (yearly return rate)이라는

것이다.

셋째단계로, 일별수익률데이터를이용하여회사주식들의기대수익률과분산공분산행렬을

구해보자. 지금까지는 평균·분산모형에서 위험자산들의 기대수익률과 분산공분산행렬은

주어졌다고 가정하였다. 그러나 현실에서 이 모수들은 주어진 것이 아니다. 역사적데이터

(historical data)나예측기법을적용해서얻어지는모의데이터(scenario data)를이용해서이

모수들을 추정해야 한다. 여기서는 역사적데이터를 이용하는 방법에 대해서 간단히 살펴보자.

제j증권의 제t기 수익률을 Rj(t), (t = 1, 2, · · · , T )라 하자. 제j증권의 기대수익률 µj 와

분산 σ2j 그리고 제j증권의 수익률과 제m증권의 수익률 사이 공분산 σj,m을 다음과 같이

추정할 수 있다.

µj.=

1

T

T∑t=1

Rj(t) (2)

σ2j.=

1

T − 1

T∑t=1

[Rj(t)− µj ]2 (3)

σj,m.=

1

T − 1

T∑t=1

[Rj(t)− µj ][Rm(t)− µm] (4)

이들을 사용해서 기대수익률벡터추정량 µµµ와 분산공분산행렬추정량 Σ는 각각 다음과 같다.


(기업 나열 순서는 알파벳 순이다.)

µµµ = [0.13, 0.29, 0.06, 0.004, 0.47, 1.03, 0.30, 0.19, 0.039]t (5)

Σ =

16.319 4.97 1.412 4.343 2.094 5.295 0.763 3.694 2.798

4.97 34.18 7.897 12.588 9.421 16.277 13.06 10.667 3.329

1.412 7.89 39.588 8.936 5.06 −1.62 6.511 1.667 0.25

4.34 12.588 8.94 28.57 1.89 8.38 11.638 4.96 3.82

2.094 9.421 5.064 1.89 33.81 3.49 3.49 6.64 1.042

5.295 16.28 −1.62 8.38 3.49 37.97 11.248 6.789 4.29

0.76 3.059 6.511 11.639 3.49 11.25 43.29 1.39 2.355

3.69 10.66 1.667 4.96 6.65 6.79 1.39 17.04 2.08

2.79 3.33 0.25 3.82 1.04 4.29 2.355 2.08 9.146

(6)

넷째 단계로, R함수 solve.QP를 사용해 효율적프론티어를 구해보자. R패키지 quadprog

의 R함수 solve.QP는 목적함수가 2차인 최적화문제를 풀어주는 함수이다. R함수 solve.QP

의 기본적인 입출력형식은 다음과 같다.

solve.QP (Dmat,dvec,Amat,bvec) =

[solution, value, unconstrained.solution, iterations, Lagrangian, iact]

모수들 Dmat, dvec 그리고 Amat 각각에 D, ddd0 그리고 A를 할당하면, 우리의 최적화문제를

다음과 같이 일반적인 최적화문제로 기술할 수 있다.

Minimize 1

2θtDθ − dddt0θ subject to Atθ ≥ bbb0. (7)

공매가허락되지않는조건에서의최적포트폴리오와효율적프론티어를구하기위해서는식

(2.4.86)의최적화문제를풀어야한다. 식 (2.4.86)을 R함수 solve.QP를이용해풀기위해서는

입력변수를 아래와 같이 넣어주면 된다.

Dmat = Σ, dvec = 0, Amat = [µµµ, 1, I], bvec = [µ∗, 1,0t ] (8)

여기서 µµµ와 Σ는 셋째 단계에서 구한 기대수익률추정값과 분산공분산추정행렬이다. 그리고

µ∗는기대수익률이다. 또한, 식 (2.4.86)의첫두제약식들은등호조건이므로 R함수 solve.QP

안에 meq = 2를할당한다. 이 meq는등호조건인제약식을알려주는입력변수이다. 이 R함수

solve.QP를실행하면기대수익률을만족시키는최소분산포트폴리오를출력변수인 solution에


출력한다. 여러기대수익률에대해서최소분산포트폴리오를다음, 이최소분산포트폴리오들을

연결해서 효율적프론티어를 그릴 수 있다. 그림 2.4.6에는 공매가 허락되지 않는 조건에서

효율적프론티어가 적색 실선으로 그려져있고, 각 주식은 흑색 점으로 표시되었다.

그림 2.4.6. 공매가 없는 시장에서 효율적프론티어

2.4.8 확실성등가수익률과 무차별곡선

각 투자자는 포트폴리오 P의 기대수익률 µP 와 수익률표준편차 σP 를 바탕으로 효용값 uP

를 계산할 수 있다고 가정하자. 효용함수는 기대수익률 µP 의 증가함수이고 위험을 나타내는

수익률표준편차 σP 의감소함수이다. 이러한성질을바탕으로다음과같은효용함수를고려할

수 있다.

uP = µP − 1

2Aσ2P (2.4.96)

여기서 A는 투자자의 위험회피도를 나타내는 지수, 즉 위험회피지수이고, 기대수익률 µP

와 수익률표준편차 σP 는 백분율이 아닌 소수로 나타낸 것이다. 식 (2.4.96)의 효용함수는

재무이론에서 널리 사용되는 것이다. 위험회피적 효용함수이면 A가 양수이고, 위험선호적

효용함수이면 A가 음수이며, 위험중립적 효용함수이면 A가 0이다. 위험회피도를 나타내는


지수 A가 크면, 위험이 효용을 감소시키는 정도가 커진다. 위험포트폴리오 P의 효용값 µP

를 확실성등가수익률 (certainty equivalent rate)로 해석할 수 있다. 수익률이 µP 인 위험포

트폴리오 P의 확실성등가수익률이란 이 위험포트폴리오의 효용값 µP 에 해당하는 무위험포

트폴리오의 수익률을 의미한다. 따라서, 여러 포트폴리오의 효용가치를 비교하는 기준으로

확실성등가수익률을 사용할 수 있다.

투자자의 위험회피도 A를 고정시키고 표준편차-평균평면에서 동일한 효용값을 갖는

포트폴리오를연결한것을무차별곡선(indifference curve, level curve, isoquant)이라부른다.

그림 2.4.7에 위험회피도가 A = 2인 무차별곡선들이 그려져 있다.

앞에서 언급했듯이, 무위험자산과 위험자산들로 구성되는 포트폴리오들 중에서 평균분산

모형의 관점에서 효율적인 포트폴리오의 (표준편차, 기대수익률)은 자본시장선 상에 있다.

투자자의 선호 차이는 이 두 자산들 사이의 배분비율로만 나타난다. 이 배분비율은 수익률과

위험에 관한 무차별곡선에 의해서 결정된다. 즉, 자본시장선 상에 (표준편차, 기대수익률)이

존재하는 포트폴리오들 중에서 효용값을 가장 크게 하는 포트폴리오가 최적 종합포트폴리

오이다.

그림 2.4.7. 효용함수의 무차별곡선

예제 2.4.6 무위험자산과 위험자산들로 구성된 최적 종합포트폴리오를 구하기 위해서, 다음

R-파일 PortfolioAllocation2.r을 실행해 보자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: PortfolioAllocation2.R


3 ## Portfolio Allocation No 24 ## Dataset: Korean Stock Prices in year 20105 ## The original data is from www.krx.co.kr6 ## programmed by YTS7 ## --------------------------------------------------------------------------89 ## Import Package

10 library(quadprog)1112 ## Import stock price data13 rawData = read.table("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch2\\KstockPrices2010.txt")14 colnames(rawData) = c("Binggrae","Daewoo","Hansol","Hanwha","Hcar","HHI","Hyosung

","Kolong","Samsung","SKT")15 NumObs = nrow(rawData)16 DeltaT = 1/NumObs1718 Data = subset(rawData, select= -Kolong)19 ReturnData = (Data[2:251,]-Data[1:250,])/(Data[1:250,]*DeltaT)20 ExpReturn = colMeans(ReturnData)21 ExpCovariance = cov(ReturnData)22 NumAssets = length(ExpReturn)23 ExpSD = diag(ExpCovariance)^0.524 RisklessRate = 0.052526 ## Calculate Efficient Frontier27 mu = seq(from=0.2, to=1, by=0.001)28 minVar = c()29 for (i in mu)30 31 Dmat = ExpCovariance32 dvec = rep(0, len=NumAssets)33 I = diag(NumAssets)34 Amat = cbind(c(ExpReturn),rep(1, len=NumAssets),I)35 bvec = c(i, 1,rep(0,len=NumAssets))36 result = 함수R solve . QP(Dmat , dvec , Amat , bvec , meq=2)37 minVar = c(minVar , result$solution%*%ExpCovariance%*%result$solution)38 39 minSD = sqrt(minVar)4041 ## Plot Efficient frontier42 plot(minSD , mu , col="red", xlab="Risk(sigma)", ylab="Expected Return(mu)", xlim=c

(0,8) , ylim=c(0,1.2))43 points(ExpSD , ExpReturn)44 legend("topleft", c("Efficient Frontier no short sale", "CML","Indiffrence Curve

") , col=c("red","black","blue") , pch=1) ;45 ydel = 0.02546 text(ExpSD[1],ExpReturn[1]-ydel ," Binggrae")47 text(ExpSD[2],ExpReturn[2]-ydel ," Daewoo")48 text(ExpSD[3],ExpReturn[3]-ydel ," Hansol")49 text(ExpSD[4],ExpReturn[4]-ydel ," Hanwha")50 text(ExpSD[5],ExpReturn[5]-ydel ," Hyundai car")51 text(ExpSD[6],ExpReturn[6]-ydel ," Hyundai HI")52 text(ExpSD[7],ExpReturn[7]-ydel ," Hyosung")53 text(ExpSD[8],ExpReturn[8]-ydel ," Samsung Elec")54 text(ExpSD[9],ExpReturn[9]-ydel ," SK telecom")5556 ## Calculate Capital Market Line57 TangentValue = c()58 for (i in 1:length(mu))59 60 TangentValue = c(TangentValue , (mu[i]-RisklessRate)/minSD[i])


61 62 CMLslope = max(TangentValue)63 xCML = seq(from=0, to=6, by=0.03)64 yCML = CMLslope*xCML+RisklessRate6566 ## Plot Capital Market Line67 points(xCML , yCML)6869 ## Plot Indifference Curve70 RiskAver = 0.0671 xdum = seq(from=0, to=6, by=0.03)72 utility = yCML - 0.5*RiskAver*xCML^273 IC = max(utility)+0.5*RiskAver*xdum^274 points(xdum , IC , col="blue")7576 ## end of program77 ## --------------------------------------------------------------------------

예제 2.4.5에서는 R quadprog패키지의 R함수 solve.QP를 사용해서 데이터세트

KstockPrice2010.txt에 대한 효율적프론티어를 그렸다. 이 결과를 바탕으로 이 예제에서는

자본시장선과 최적 종합포트폴리오를 구한다. 여기서 무위험이자율은 0.05이다. 이 데이

터세트에도 무위험이자율보다 낮은 수익률을 가진 위험자산이 존재하기에, 예제 2.4.4처럼

기울기가 최대인 접점을 구해서 자본시장선을 구한다. 그렇게 그린 자본시장선이 그림 2.4.8

의 흑색 선으로 그려져 있다.

주어진 위험회피지수는 A = 0.06이다. 효용함수식 u = µP − 12 × 0.06σ2P 을 이용해

자본시장선 위의 포트폴리오 중에서 효용함수값이 최대가 되는 점을 찾는다. 이 효용함수가

최대가 되는 점을 지나는 무차별곡선을 그릴 수 있다. 이 무차별곡선은 그림 2.4.8의 청색

선으로 그려져 있다.

제2.5절 CAPM

2.5.1 평균 · 분산모형과 CAPM

컴퓨터과학의 발전에 힘입어 오늘날에는 투자대상이 되는 금융상품들이 수천 개에 달하는

대규모 포트폴리오선택문제를 Markowitz의 평균분산모형분석법으로 다룰 수 있다. 그러나

1950년대 컴퓨터 성능으로는 실제 시장에서 발생하는 포트폴리오선택문제를 푸는 것이 쉽지

않았다. 이러한 실제 적용에서 문제점을 극복하기 위해서, 효율적 포트폴리오의 개념을

바탕으로 개발된 것이 자본자산가치평가모형(capital asset pricing model: CAPM, 캪엠이라

읽음)이다. 그 후 실무에서는 CAPM이 주로 사용되었고, 컴퓨터과학이 급속히 발달한 1980

년대에이르러실무에서평균분산모형분석법이다시사용되었다. 앞에서도언급했듯이, 분산은

CAPM 85

그림 2.4.8. 효용함수의 무차별곡선

수익률이그평균을넘는경우에발생하는차이도위험에기여하는요소로파악하므로, 분산이

위험을나타내는척도로서적절한지논란이되고있다. 또한, 분산을위험측도로사용하는것이

기대효용이론과 정합적인지 여부도 문제가 되고 있다. 이는 평균분산모형분석법의 타당성에

의문을 제기하는 것이다. 평균분산모형분석법에서 대상이 되는 금융상품의 개수를 N이라

하면, N개분산들과 N [N−1]/2개공분산들을추정해야한다. 만약 N이아주크면, 시장에서

얻은 데이터로부터 이 모수들의 통계적으로 신뢰할 수 있는 추정값들을 얻기가 쉽지 않다.

그러나, 분산은 이론적 분석이나 수치계산에서 다루기가 쉬우므로, 오늘날 이론전개에서뿐

아니라 실무에서도 평균분산모형은 기본적 재무모형이 되고 있다.

위험자산들과 더불어 무위험자산을 투자대상에 포함한 경우, 평균분산모형의 관점에서

효율적 포트폴리오의 (표준편차, 기대수익률)은 반드시 자본시장선 상에 존재한다. 따라서,

평균분산모형분석을 바탕으로 투자하는 투자자에게 필요한 의사결정은 단지 무위험자산과

시장포트폴리오에 대한 자산배분비율을 결정하는 것 뿐이다. 즉, 평균분산모형의 관점에서

본다면, 위험자산들로 구성된 포트폴리오들 중에서 분석할 가치가 있는 것은 시장포트폴리오

단 하나 뿐이다. 이러한 시장포트폴리오와 자본시장선의 관계를 이용하여, 포트폴리오에

포함되는 각 위험자산의 기대수익률을 계산하는 식을 유도할 수 있는데, 이 식이 CAPM이다.

지금부터 평균분산모형과 CAPM을 연결해서 생각해보자. 포트폴리오수익률 RP = θtR


의 분산 σ2P 를 다음과 같이 쓸 수 있다.

σ2P = Cov( N∑

j=1

θj Rj , RP

)=

N∑j=1

θj Cov(Rj , RP ) (2.5.1)


σP =

N∑j=1

θjCov(Rj , RP )

σP(2.5.2)

식 (2.5.2)에서 알 수 있듯이, Cov(Rj , RP )/σP 를 포트폴리오 θ에 대한 제j번째 금융자산의

위험으로 생각할 수 있다. 포트폴리오 j를 시장포트폴리오 M으로 간주하면, 제j번째 금융

자산의 시장포트폴리오에 대한 위험가격 pj는 다음 식을 만족한다.

uj − r = pjCov(Rj , RM )

σM(2.5.3)

만약 어떤 금융자산의 시장포트폴리오에 대한 위험가격에 재정기회가 존재한다면, 그 금융자

산을 위험가격으로 사는 동시에 시장포트폴리오를 위험가격으로 파는 과정을 통해서 아무런

위험없이 순익을 획득할 수 있다. 따라서, 각 금융자산의 시장포트폴리오에 대한 위험가격은

시장포트폴리오의 위험가격, 즉 위험의 시장가격 (market price of risk)과 같아야 한다. 즉,


uj − rCov(Rj ,RM )

σM

=µM − r

σM≥ uj − r

σj. (2.5.4)

여기서 부등식이 성립하는 이유는 제j번째 위험자산의 위험 1단위에 대한 위험프리미엄은

위험의 시장가격, 즉 자본시장선의 기울기보다 작거나 같기때문이다. 다음과 같이 βj 를

정의하자.

βj.=Cov(Rj , RM )

σ2M(2.5.5)

이 βj를 제j번째 금융자산의 베타값이라 부른다. 식 (2.5.4)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

µj = r + βj [µM − r] (2.5.6)

따라서, 베타값 βj 를 제j번째 금융자산의 수익률을 종속변수로 하고 시장포트폴리오의

CAPM 87

수익률을 설명변수로 하는 단순선형회귀의 회귀계수로 해석할 수 있다. 식 (2.5.6)은 각

개별금융자산의 기대수익률과 시장포트폴리오의 기대수익률사이의 관계를 나타내고 있으며,

이를 CAPM이라 부른다.

CAPM은 자본시장이 균형상태에 있을 때 위험자산의 위험프리미엄이 어떻게 결정되

는가를 설명하는 모형이다. 이 모형은 Sharpe (1964), Lintner (1965), Mossin (1966) 등에

의해 제안되었다. 그들은 모두 위험자산의 투자수익을 기준으로 논의를 시행하지만, Sharpe-

Lintner형 CAPM에서는투자비율에따라포트폴리오를정의하고, 표준편차-평균평면상에서

무차별곡선을 이용하여 최적포트폴리오를 고찰한다. 반면에, Mossin형 CAPM에서는 증권의

보유량으로 포트폴리오를 정의하고, 투자자의 효용함수로부터 직접적으로 최적포트폴리오를

도출한다. 이 절에서는 Sharpe-Lintner형 CAPM를 중심으로 살펴보자.

2.5.2 시장의 균형

만약 시장에 참가하는 각 투자자가 금융상품 수익률들의 평균벡터와 분산공분산행렬에 대

해서 동일한 예상을 하고 또한 평균분산모형에서 가정하는 선호 (preference)를 갖는다면,

각 투자자는 접점포트폴리오와 무위험금융상품의 선형결합으로 이루어진 효율적프론티어

상에서 포트폴리오를 하나 선택해야 할 것이다. 각 투자자의 위험에 대한 태도가 다르므로,

접점포트폴리오 대 무위험금융상품의 비율은 달라질 수 있다. 그러나, 모든 투자자들이

구축하는 포트폴리오들에 포함되는 위험자산들을 합하면, 그 합은 시장에 존재하는 위험자산

전체가 될 것이다. 따라서, 접점포트폴리오는 시장에 존재하는 위험자산 전체로 이루어지는

포트폴리오이다. 이를 좀 더 자세히 설명하면, 다음과 같다. 시장의 균형이란 모든 자산에

대해 어떠한 초과수요나 초과공급이 존재하지 않는 상태를 의미한다. 균형상태에서 투자자

들은 희망하는 포트폴리오를 모두 보유하고 있으며 또한 어떠한 잉여자산도 보유하고 있지

않다. 시장 전체 관점에서 본다면, 어떠한 자산에 대해서도 초과수요나 초과공급이 존재하지

않는다는 것은 모든 위험자산들이 그 시가총액의 비율로 접점포트폴리오에 포함되어 있음을

의미한다. 따라서, 시장의 균형상태에서 이 접점포트폴리오는 각 위험자산이 시가총액에

비례해서 포함된 포트폴리오와 일치한다. 이러한 포트폴리오는 무위험자산에 해당하는 점을

지나며 효율적프론티어에 접하는 접점을 구하거나 시장에서 직접 관측할 수 있다. 이 접점포

트폴리오는 시장을 대표하는 투자자들의 공통된 최적포트폴리오이므로, 이를 시장포트폴리오

(market portfolio)라 부른다. 이러한 시장포트폴리오의 특성 때문에, 수많은 시장인덱스들

(market indexes) 중에서 시가총액가중종합지수가 이론상 가장 우수하다고 간주된다.

시장포트폴리오를 좀 더 자세히 살펴보기 위해서, 자본시장이 I명의 투자자들로 구성되어


있으며 또한 제i번째 투자자의 자산액을 w(i)0 (> 0)라 하자. 이 자본시장의 총자산액 wM

0 는

다음 식을 만족한다.

wM0 =

I∑i=1

w(i)0 (2.5.7)

제i번째 투자자가 제j번째 금융자산에 투자하는 비율을 θ(i)j 라 하면, 다음 식이 성립한다.

N∑j=1

θ(i)j = 1 (2.5.8)

따라서, 다음 식들이 성립한다.

I∑i=1

N∑j=1

θ(i)j w

(i)0 =

I∑i=1

w(i)0 = wM

0 (2.5.9)

여기서I∑

i=1θ(i)j w

(i)0 는 제j번째 금융자산의 총가치, 즉 시가총액이다. 따라서, 식 (2.5.9)는

균형에서 자본시장 전체의 총자산과 시장을 구성하는 금융자산들의 총가치가 같다는 것을

기술하는 균형식이다. 만약 θMj 을 시장을 구성하는 금융자산들의 총가치에서 제j번째 금융

자산의 시가총액이 점유하는 비율이라 하면, 다음 식들이 성립한다.

θMj =

I∑i=1

θ(i)j w

(i)0

wM0

=I∑

i=1

θ(i)j

w(i)0

wM0

(2.5.10)

이러한 비율로 구성되는 포트폴리오가 시장포트폴리오이고, θMj 를 시장포트폴리오에서 제j

번째 금융자산의 포트폴리오가중값 (portfolio weight)이라 한다. 즉, 시장포트폴리오란 시장

에서 거래되고 있는 모든 금융자산들로 구성된 포트폴리오이며, 그 가중값은 각 금융자산의

시가총액이 시장을 구성하는 금융자산들의 시가총액에서 차지하는 비율이다. 식 (2.5.7)을

다음과 같이 쓸 수 있다.

I∑i=1

w(i)0

wM0

= 1 (2.5.11)

또한, 각 i에대해서식 w(i)0 > 0가성립한다. 따라서, 시장포트폴리오는각투자자가보유하는

포트폴리오의 볼록결합이다.

CAPM 89

2.5.3 CAPM의 유도

앞에서 간단히 언급했듯이, CAPM의 결론은 다음과 같다. 각 위험자산의 기대수익률에서

무위험이자율을 뺀 기대초과수익률은 시장포트폴리오의 기대초과수익률과 비례관계에 있

으며, 베타라 불리우는 그 비례상수는 그 위험자산의 수익률과 시장포트폴리오의 수익률

사이의 공분산을 시장포트폴리오 수익률의 분산으로 나눈 것이다. 이 결론을 바탕으로, 각

위험자산의 수익률을 시장포트폴리오의 수익률에 비례하는 부분과 이와 상관관계가 없는

부분으로 분해할 수 있다고 가정하는 수익률모형이 단인자모형 (single factor model)이다. 이

모형을 포트폴리오선택문제에 적용하면, 평균분산모형분석법에서 나타나는 모수들의 개수를

크게 감소시킬 수 있다.

CAPM에서 투자자의 행동원칙은 평균분산모형분석법에서 가정과 같다. 즉, CAPM

에서도 각 투자자는 다음과 같은 평균분산모형분석법의 전제조건 하에서 포트폴리오선택을

한다고 가정한다.

첫째. 1기간에서 투자만을 고려한다.

둘째, 시장은 완전경쟁이다. 어떤 투자자의 행동이 가격에 영향을 미치지 않고, 정보수집에

비용이 들지도 않는다. 따라서, 투자자는 시장에서 주어진 가격을 받아들이기만 하는

가격수용자 (price taker)이다.

셋째, 각 금융자산은 무한히 분할이 가능하다.

넷째, 거래에는 거래비용이나 세금 등 부대비용이 따르지 않는다. 즉, 마찰이 없는 시장

(frictionless market)을 가정한다

다섯째, 각 투자자는 수익율의 평균과 분산만을 고려해서 기대효용을 최대화한다. 즉, 3차

이상적률들을사용하지않는다. 이는잠재적으로수익률이정규분포를따른다는가정을

하는 것이다. 따라서, CAPM을 2모수접근법이라 부르기도 한다.

또한, CAPM에서는 추가로 다음과 같은 가정을 한다.

여섯째, 모든 투자자들은 수익률들의 결합확률분포에 관한 동일한 가정을 한다.

일곱째, 시장에는 무위험자산이 존재하고, 이 무위험자산을 무제한으로 차입하거나 대출할

수 있다. 또한, 차입이자율과 대출이자율은 같다.


여섯 번째 가정인 투자자의 동질적기대성은 모든 투자자들이 표준편차-평균평면 상에서

동일한 실행가능영역과 동일한 효율적프론티어를 갖는 것을 보증한다. 시장에 무위험자산이

존재하므로, 효율적프론티어는 무위험자산과 접점포트폴리오의 선형결합으로 이루어지고

또한 실행가능영역이 확대된다. 자본시장선은 확대된 실행가능영역의 좌상 (upper-left)에

위치하는 경계집합으로서, 투자자가 가장 효율적 투자를 할 수 있는 포트폴리오의 집합이다.

그림 2.5.1에 확대된 실행가능영역이 그려져 있다.

그림 2.5.1. 확대된 실행가능영역

시장포트폴리오 M과 제j번째 위험자산 Xj를 cj 대 1− cj의 비율로 구성한 포트폴리오

θ(cj)의 수익률 R(cj)는 다음과 같다.

R(cj) = cjRj + [1− cj ]RM (2.5.12)

제j번째 위험자산 Xj 를 초과해서 포함시켰다는 의미에서, 이 포트폴리오를 초과포트폴리

오 (excessive portfolio)라 부르자. 이 초과포트폴리오의 기대수익률과 µ(cj)와 수익률분산

σ2(cj)는 각각 다음과 같다.

µ(cj) = cjµj + [1− cj ]µM (2.5.13)

σ2(cj) = c2jσ2j + [1− cj ]

2σ2M + 2cj [1− cj ]σj,M (2.5.14)

CAPM 91

여기서 σj,M = Cov(Rj , RM )이다. 이초과포트폴리오의표준편차와기대값의궤적 [µ(cj), σ(cj)]

가 그림 2.5.2에 그려져 있다.

그림 2.5.2. 초과포트폴리오


∂µ(cj)

∂cj= µj − µM (2.5.15)

∂σ(cj)

∂cj=

1

2σ(cj)2cjσ2j − 2[1− cj ]σ

2M + 2σj,M − 4cjσj,M (2.5.16)

식 (2.5.13)과 식 (2.5.15)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

∂µM∂cj

=∂µ(cj)

∂cj

∣∣∣∣cj=0

= µj − µM (2.5.17)


∂σM∂cj

=∂σ(cj)

∂cj

∣∣∣∣cj=0

=1

σM[σj,M − σ2M ] (2.5.18)


식 (2.5.17)과 식 (2.5.18)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

∂µM∂σM

=

∂µM∂cj∂σM∂cj

∣∣∣∣∣cj=0

=[µj − µM ]σMσj,M − σ2M

(2.5.18)

식 (2.4.78)에서 알 수 있듯이, 접점포트폴리오의 접점 M에서 기울기는 [µM − r]/σM 이다.

이 성질과 식 (2.5.19)에서 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

µM − r

σM=

[µj − µM ]σMσj,M − σ2M

(2.5.20)

식 (2.5.20)을 정리하면, 다음과 같다.

µj = r +σj,Mσ2M

[µM − r] (2.5.21)

식 (2.5.5)를 식 (2.5.21)에 대입하면, 다음과 같이 CAPM을 얻는다.

µj = r + βj [µM − r] (2.5.22)

즉, CAPM에 의하면, 제j번째 위험자산의 무위험이자율에 대한 초과기대수익률 µj − r은

시장포트폴리오의초과기대수익률 µM − r에 비례하고, 그 비례계수가 베타값 βj로 주어진다.

CAPM은 Markowitz-Tobin의 포트폴리오이론구조안에서 구축된시장균형모형이다. 즉,

마찰이 없으며 무위험자산이 존재하고 수익률들의 결합확률분포에 관해 동질적 예상을 하는

위험회피적 투자자들로 구성된 1기간 시장모형의 균형조건으로서 식 (2.5.22)가 성립한다.

2.5.4 증권시장선

각 금융자산에 대한 베타는 종종 그 금융자산의 위험을 나타내는 위험지표로 사용된다. 이

소절에서는 그 이유에 대해 살펴보자.

투자자가 평균분산모형의 관점에서 효율적 투자를 한다면, 투자자는 시장포트폴리오와

무위험자산의 조합에만 자산배분을 한다. 이러한 관점에서 베타는 각 금융자산의 기대수익

률의 시장 전체의 동향에 대한 감응도 (sensitivity)를 나타낸다고 해석할 수 있다. 식 (2.5.22)

에서 알 수 있듯이, 각 위험자산의 기대수익률을 무위험이자율과 위험프리미엄으로 분해할 수

있다. 또한, 위험자산 Xj의 위험프리미엄 µj − r은 시장의 초과수익, 즉 시장의 위험프리미엄

µM −r에 βj배한것이다. 따라서, 이 βj는위험프리미엄의크기를결정하는중요한모수이다.

CAPM 93

위험자산 Xj의 수익률과 시장포트폴리오의 수익률의 공분산에 의해 βj가 결정된다. 이 βj

는 체계적 위험 (systematic)을 나타내며, 분산투자를 통해서 제거할 수 없는 위험이다. 만약

βj = 1이면, 체계적 위험의 크기가 시장포트폴리오의 위험크기와 일치하고, 기대수익률 µj도

시장포트폴리오의 기대수익률 µM 과 같다. 만약 βj < 1이면, 체계적 위험의 크기가 시장포트

폴리오의 위험크기보다 작고, 기대수익률 µj도 시장포트폴리오의 기대수익률 µM 보다 작다.

즉, 위험자산 Xj는 시장포트폴리오보다 저위험저수익 (low-risk low-return) 종목이다. 만약

βj > 1이면, 체계적 위험의 크기가 시장포트폴리오의 위험크기보다 크고, 기대수익률 µj도

시장포트폴리오의 기대수익률 µM 보다 크다. 즉, 위험자산 Xj는 시장포트폴리오보다 고위

험고수익 (high-risk high-return) 종목이다. 기대수익률 µj를 베타값 βj의 선형함수로 보아,

식 (2.5.22)를 증권시장선 (security market line: SML)이라 부른다. 결론적으로 CAPM을

다음과 같이 해석할 수도 있다. 시장은 위험분산이 불가능한 체계적 위험에만 위험프리미엄을

지불하고, 분산투자를 통해서 소거가 가능한 비체계적 위험에 대해서는 프리미엄을 지불하지

않는다.

식 (2.5.22)에서알수있듯이, 동일한베타값을갖는위험자산들의기대수익률은동일하다.

또한 기대수익률이 같은 위험자산들을 조합한 포트폴리오의 기대수익률은 각 위험자산의 기

대수익률과 동일하다. 따라서, 같은 베타값을 갖는 위험자산들의 포트폴리오의 기대수익률은

항상동일함을알수있다. 즉, 같은베타값을갖는위험자산들또는그들의조합으로구성되는

포트폴리오의 기대수익률과 수익률표준편차는 표준편차-평균평면 상에서는 X축과 평행인

직선 위에 존재한다. 반면에, 기대수익률이 같은 위험자산들을 조합해서 포트폴리오를 구성하

면, 기대수익률에는 변함이 없으나 수익률표준편차를 감소시킬 수 있다. 주어진 기대수익률을

가지며수익률표준편차가가장작은포트폴리오의 (표준편차, 기대수익률)이자본시장선상에

존재하므로, 이 X축과 평행인 직선과 자본시장선의 교점이 주어진 기대수익률에 대한 수익

률표준편차의 하한을 부여한다. 식 (2.4.78)의 자본시장선과 식 (2.5.22)의 교점은 (βjσM , µj)

이다. 따라서, 기대수익률이 µj인 포트폴리오가 갖을 수 있는 수익률표준편차의 하한은 βjσM

이다. 즉, 동일한 베타값 βj를 갖는 위험자산들을 어떻게 조합시켜도 기대수익률은 일정하다.

또한, 수익률표준편차가 βjσM 미만인 포트폴리오를 구성할 수는 없다. 즉, 수익률표준편차의

하한 βjσM 은 시장에서 제거할 수 없는 위험이다. 이렇듯 어떻게 포트폴리오를 구성해도

제거할 수 없는 위험은 시장에 잠재적으로 존재하는 위험으로서, 앞에서 언급했듯이 체계적

위험 또는 시장위험이라 불리운다. 이 βjσM 이 베타값에 비례하므로, 베타는 체계적 위험을

나타내는 위험지표로 간주할 수 있다.

식 (2.4.1)과 식 (2.5.22)로부터, 임의의 포트폴리오 θ에 대해 다음 식이 성립함을 알 수


있다.

N∑j=1

θjµj = r + [µM − r]N∑j=1

θjβj (2.5.23)

즉, 포트폴리오 θ의 베타값은 그 포트폴리오를 구성하는 금융자산들의 베타값들의 가중평균N∑j=1

θjβj로 표현되고, 각 금융자산의 가중값은 포트폴리오를 구성하는 비율이다.

증권시장선과 자본시장선을 비교해보자. 자본시장선은 무위험자산과 시장포트폴리오로

구성된 종합포트폴리오 P의 위험프리미엄 µP − r을 수익률표준편차 σP 의 함수로 나타낸

것이다. 즉, 수익률표준편차가 충분히 분산된 포트폴리오의 위험지표로 적당하다고 가정하고,

종합포트폴리오의위험프리미엄 µP −r을위험지표인 σP 의함수로나타내는것이다. 반면에,

증권시장선은 위험자산 Xj의 위험프리미엄 µj − r을 자신의 체계적 위험을 나타내는 베타값

βj의함수로나타낸것이다. 즉, 충분히분산된포트폴리오를구성하는위험자산 Xj의위험지

표로는 수익률표준편차 σj가 아닌 베타값 βj가 더 타당하므로, 위험자산 Xj의 위험프리미엄

µj − r을 위험지표인 βj 의 함수로 나타내는 것이다. 그러나, 식 (2.5.23)을 사용하면, 어떤

효율적 포트폴리오에도 증권시장선을 적용할 수 있음에 유의하라.

증권시장선은 기대수익률과 베타의 관계를 나타내므로, 시장에서 적절하게 평가된 포트폴

리오의 (베타, 기대수익률)은 증권시장선 상에 존재할 것이다. 즉, 시장이 균형상태에 있으면,

각 위험자산의 (베타, 기대수익률)은 증권시장선 상에 존재해야 한다. 따라서, 증권시장선을

사용해서 위험자산의 수익률을 평가할 수 있다. 만약 어떤 위험자산의 (베타, 기대수익률)

이 증권시장선보다 위쪽에 위치한다면, 기대수익률이 증권시장선이 제시하는 적정수익률을

상회할 것이다. 즉, 이 위험자산은 저평가 되어 있으므로, 투자할 가치가 있다. 반대로, 만약

어떤 위험자산의 (베타, 기대수익률)이 증권시장선보다 아래쪽에 위치한다면, 기대수익률이

증권시장선이제시하는적정수익률을하회할것이다. 즉, 이위험자산은고평가되어있으므로,

투자할만한가치가없다. 또한, CAPM을신규프로젝트의투자를검토하는데적용할수있다.

즉, 신규프로젝트의베타값이주어지면, 증권시장선을사용해서기대수익률을계산할수있다.

증권시장선이 제시하는 적정수익률과 실제 기대수익률의 차이를 Jensen의 알파값 (alpha

value) 또는 간단히 알파값이라 부른다. 즉, 포트폴리오 P의 CAPM에 의해 정의되는 초과수

익률 α는 다음과 같다.

α.= E(RP )− r + βP [RM − r] (2.5.24)

예를 들어, 위험자산 X1의 베타값이 β1 = 2 , 시장수익율이 µM = 0.12, 그리고 무위험이자

CAPM 95

율이 r = 0.10이라 하면, 이 위험자산의 기대수익률은 µ1 = 0.14이다. 만약 어떤 투자자가

위험자산 X1의 수익률이 0.15라고 예상하면, 그 투자자의 알파값은 0.01이다. 그림 2.5.3에

증권시장선과알파값이그려져있다. 포트폴리오관리는시장포트폴리오의수익률을추구하는

포트폴리오를 구성하는 것으로부터 시작한다. 그 다음 단계로 알파값이 음 (negative)인

위험자산의 비중을 축소하는 동시에 양 (positive)인 위험자산의 비중을 확대한다.

그림 2.5.3. 증권시장선과 알파값

예제 2.5.1 각위험자산의베타값과알파값을구하기위해서, 다음 R-파일 CAPM.r을실행해

보자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: CAPM.R3 ## Capital Asset Pricing Model4 ## Dataset: Korean Stock Prices in year 20105 ## The original data is from www.krx.co.kr6 ## programmed by YTS7 ## --------------------------------------------------------------------------89 ## Import Package

10 library(zoo)1112 ## Import stock price data13 rawData = read.table("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch2\\KstockPrices2010_full.txt")14 NumObs = nrow(rawData)15 DeltaT = 1/NumObs1617 Datenum = seq(from=1,to=NumObs-1,by=1)18 retAsset = (rawData[2:251,3:11]-rawData[1:250,3:11])/(rawData[1:250,3:11]*DeltaT)19 retKospi = (rawData[2:251,1]-rawData[1:250,1])/(rawData[1:250,1]*DeltaT)20 retKTB = (rawData[2:251,2]-rawData[1:250,2])/(rawData[1:250,2]*DeltaT)


21 MretAsset = colMeans(retAsset)22 MretKospi = mean(retKospi)23 sdRetKospi = sd(retKospi)24 MretKTB = mean(retKTB)25 sdRetKTB = sd(retKTB)2627 ## Time series plots28 skt = zoo(retAsset[,9],Datenum)29 hyosung = zoo(retAsset[,7],Datenum)30 asset = merge(skt,hyosung)31 kospi = zoo(retKospi,Datenum)32 ktb = zoo(retKTB,Datenum)3334 win.graph(width=7, height=4)35 plot(skt, ylim = c(-20, 20), ylab="Assets", xlab="date")36 lines(hyosung, lty="dashed", col="red")37 legend("topright",c("SKT","Hyosung"), lty=c("solid","dashed"), col=c("black","red

"), cex = 0.7)3839 win.graph(width=7, height=4)40 plot(kospi, ylim = c(-20, 20), ylab="KOSPI", xlab="date")41 legend("topright",c("KOSPI"), lty="solid", col="black", cex = 0.7)4243 win.graph(width=7, height=4)44 plot(ktb, ylim = c(-20, 20), ylab="KTB", xlab="date")45 legend("topright",c("KRX-Korea Treasury Bond Index"), lty="solid", col="black",

cex = 0.7)4647 ## Calculating betas48 retAssKos = cbind(retAsset , retKospi)49 sigmaAssKos = cov(retAssKos)50 betas = sigmaAssKos[1:9,10]/var(retKospi)51 SMLvalue = MretKTB + betas*(MretKospi -MretKTB)52 ExcessReturn = MretAsset - SMLvalue5354 ## Ploting betas and alpha55 win.graph(width=7, height=5)56 plot(1:9, MretAsset ,xlim = c(0.5, 9.5) ,ylim = c(-0.2, 1.2),xlab="Return" ,ylab

="",xaxt='n')57 lines(1:9, MretAsset , lty="dashed", col="red")58 points(1:9, SMLvalue , pch = 2)59 lines(1:9, SMLvalue, lty="solid", col="black")60 legend("topright",c("Return","Risk-Adjusted Return"), lty=c("dashed", "solid"),

col=c("red","black"), cex=0.8)61 axis(side=1,at=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9),labels=c("BG","DW","HS","HW","HC","HHI","HS

","SS","SKT"))6263 win.graph(width=7, height=5)64 plot(1:9, betas,xlim = c(0.5, 9.5) ,ylim = c(-0.5, 2.2),xlab="Return" ,ylab="",

xaxt='n')65 lines(1:9, betas, lty="dashed", col="red")66 points(1:9, ExcessReturn , pch = 2)67 lines(1:9, ExcessReturn , lty="solid", col="black")68 legend("topright",c("Beta","Alpha"), lty=c("dashed", "solid"), col=c("red","black

"), cex=0.8)69 axis(side=1,at=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9),labels=c("BG","DW","HS","HW","HC","HHI","HS

","SS","SKT"))7071 ## end of program72 ## --------------------------------------------------------------------------

CAPM 97

예제 2.4.5에서 다룬 데이터세트 KstockPrices2010.txt에는 2010년 1월 4일부터 2010년

12월 30일까지삼성전자(Samsung), 현대자동차(Hcar), SK텔레콤(SKT), 현대중공업(HHI),

대우증권 (Daewoo), 효성 (Hyosung), 한화 (Hanwha), 빙그레 (Binggrae), 코오롱 (Kolong),

한솔제지 (Hansol)의 일별종가가 수록되어 있다. 이 중에서 코오롱주가를 제외한 나머지

주가의 베타값과 알파값을 구하기로 하자. 이 주식 수익률들을 변수 retASSET에 저장하고,

같은 기간 동안 KOSPI의 수익률을 변수 retKOSPI에 저장하고, 한국거래소에서 제공하는

국채가격인 KRX-Korea Treasury Bond를 변수 KoreaTB에, 그리고 이로부터 구한 국채수

익률을 변수 retKTB에 저장한다. 또한, 이들의 기대수익률과 표준편차를 각각 MretASSET,

sdRetASSET, MretKOSPI, sdRetKOSPI, MretKTB, 그리고 sdRetKTB로 표기하자. 이들

중에서 MretASSET와 sdRetASSET는 예제 2.4.5에서 알 수 있고, MretKOSPI는 0.2020,

sdRetKOSPI는 2.3775, MretKTB는 0.0694 그리고 sdRetKTB는 0.3517이다. 주가수익률의

표준편차가가장큰효성의수익률과표준편차가가장작은 SKT의수익률의시계열산점도들,

시장포트폴리오인 KOSPI수익률을 나타내는 retKOSPI의 시계열산점도, 그리고 무위험이자

율을 나타내는 retKTB의 시계열산점도가 그림 2.5.4에 그려져 있다. 그림 2.5.4에서 확인할

수있듯이, 각주가수익률의변동성에비해서, KOSPI수익률인 retKOSPI의변동성이작으며,

무위험이자율인 retKTB의 변동성은 아주 작다.

증권시장선값을 위험조정수익률 (risk-adjusted return)이라고도 부른다. 이 R프로그램

CAPM.r에서는 알파값과 증권시장선값을 정의로부터 행렬계산을 이용해서 직접 구한다. 각

주가수익률의 변동성, 베타값, 증권시장선값, 알파값, 그리고 기대수익률은 다음과 같다.

변동성 베타값 위험조정수익률 알파값 기대수익률

삼성전자 4.1276 1.2202 0.2313 -0.0373 0.1940

현대자동차 5.8149 1.0143 0.2039 0.2422 0.4461

SKT 3.0242 0.4462 0.1286 -0.0901 0.0385

현대중공업 6.1618 1.3878 0.2535 0.7727 1.0262

대우증권 5.8465 1.8236 0.3113 -0.0226 0.2887

효성 6.5795 1.0025 0.2024 0.1017 0.3040

한화 5.3449 1.1166 0.2175 -0.2132 0.0043

빙그레 4.0384 0.6045 0.1496 -0.0193 0.1303

한솔제지 6.2919 0.6262 0.1517 -0.0912 0.0605

위험조정수익률은 위험을 조정한 적정수익률이다. 위험조정수익률에 알파값을 더하면

기대수익률이된다는것을상기하라. 따라서, 알파값은 CAPM에의한적정수익률을초과하는


초과수익률이다. 이초과수익률이클수록투자할가치가큰주식이다. 이예제에서는현대중공

업의알파값이가장크다. 즉, 2010년에는여기서고려한 9개회사들중에서현대중공업주식이

가장 매력적이었다. 물론, 그렇다고 해서 그 후에도 현대중공업주식이 매력적이라는 보장은

없다.

그림 2.5.5의 첫 번째 그래프에는 위험조정수익률이 삼각형으로, 그리고 기대수익률이

동그라미로 표기되어 있다. 만약 기대수익률이 위험조정수익률 위 쪽에 있으면 초과수익률이

양수이다. 그렇지 않으면, 초과수익률이 음수이다. 그림 2.5.5의 두 번째 그래프에는 알파값이

삼각형으로, 그리고 베타값이 동그라미로 표기되어 있다.

그림 2.5.4. 시계열산점도

CAPM 99

그림 2.5.5. 위험조정수익률과 알파값

2.5.5 제로베타포트폴리오

앞에서 간단히 언급했듯이, Black (1972)은 무위험자산이 존재하지 않는 시장의 균형모형을

제안하였다. 효율적프론티어 상에 (표준편차, 기대수익률)이 존재하는 임의의 포트폴리오와

수익률의 상관계수가 0이 되는 포트폴리오의 (표준편차, 기대수익률)이 동일한 효율적프론티

어 상에 반드시 존재함을 증명할 수 있다. 상관계수가 0이라는 것은 이에 해당하는 베타값이

0이라는 것이다. 따라서, 이러한 포트폴리오를 제로베타포트폴리오 (zero beta portfolio)라

부른다. 만약 시장포트폴리오의 (표준편차, 기대수익률)이 효율적프론티어 상에 있다면,

무위험자산대신제로베타포트폴리오 Z를사용해서 CAPM을유도할수있다. 이를제로베타

CAPM 또는 Black모형이라 부른다. 제로베타포트폴리오 Z의 수익률 rZ의 기대값과 분산을

각각 µZ와 σ2Z라 하자. 제로베타CAPM에서 증권시장선은 다음과 같다.

µj = µZ + βj [µM − µZ ] (2.5.25)

여기서 βj는 식 (2.5.5)에서 정의된 것과 같다. 제로베타CAPM이 그림 2.5.6에 그려져 있다.

제로베타포트폴리오에 관한 자세한 내용은 IM&F9의 제4.4절을 참조하라.


그림 2.5.6. 제로베타포트폴리오

2.5.6 CAPM의 검증

CAPM은 Nobel상을 받은 모형이면서도 결론이 간단하여, 많은 사람들이 검증을 시도하였다.

이 중에서 대표적 것은 Black & Jensen & Scholes (1972), Blume & Friend (1973), Fama &

MacBeth (1973) 등이 있다. 이러한 검증은 다음과 같은 단계들을 거쳐 행해졌다.

(1단계) 시장포트폴리오의 대리변수로서 적절한 시장인덱스를 하나 선택한다.

(2단계) 시장인덱스, 개별주식 그리고 무위험자산의 월별수익률을 수집한다.

(3단계) 각 월별수익률에서 그 달의 무위험이자율을 뺀 초과수익률을 구한다.

(4단계) 각 개별주식의 초과수익률을 설명변수로 하고 시장인덱스의 초과수익율을 종속변

수로 하는 회귀모형을 추정해서, 각 주식의 β값을 추정한다. 이 데이터세트는 Gauss-

Markov조건을만족하지못하므로, 오차항이계열상관을갖는다는전제하에회귀분석을

해야한다.

(5단계) 제4단계에서 추정된 β값들의 크기를 바탕으로 20개 정도의 개별주식들을 선택해서,

이들로 포트폴리오를 구성한다.

(6단계) 이 포트폴리오의 기대수익률을 종속변수로 하고 β값을 설명변수로 하는 단순회귀

모형을 추정함으로써, 증권시장선을 검증한다.

CAPM 101

검증결과는 전반적으로 CAPM을 지지했다. 그러나, Roll (1977)은 이러한 검증과정에

대해 다음과 같은 의문을 제시하였다. 제로베타CAPM에서 알 수 있듯이, 증권시장선의

성립은 시장포트폴리오가 효율적프론티어 상에 있는 것과 동치이다. 그러나, 검증에서는

시장포트폴리오의 대리변수로서 시장인덱스가 사용된다. 이는 실증분석에서 이용된 시장인

덱스의 효율성을 검증하고 있을 뿐, CAPM의 검증과는 무관하다. 실제로 시장포트폴리오가

사용되지 않는 한, 진정한 CAPM의 검증이 될 수는 없다. 더구나, 원칙적으로 시장포트폴

리오는 투자가능한 모든 위험자산들을 포함해야만 한다. 그러나, 주식이나 채권뿐만 아니라

실물자산이나 인적자산을 포함하는 모든 위험자산들의 기대수익률이나 분산을 조사하는 것은

실질적으로 불가능하다. 따라서, CAPM의 검증은 원리적으로는 가능하지만, 실질적으로는

불가능하다. 이러한 Roll의 비판을 바탕으로, Ross (1976)는 CAPM을 대신하는 새로운

자산평가 이론으로서 재정가격이론 (arbitrage pricing theory: APT)을 제안했다. CAPM

이 시장포트폴리오를 하나의 인자로 사용하는 단인자모형 (single factor model)인데 반해서

APT는다인자모형(multi-factor model)이다. 또한, APT는시장포트폴리오의존재를전제로

하지 않기 때문에, Roll의 비판으로부터 자유롭다. 주식의 기대수익률에서 CAPM으로는

설명되지 않는 종목간 격차가 있는 것이 발견되었다. 이러한 수익률을 특이수익률 (abnormal

return) 또는 위험교정수익률(risk-adjusted return)이라 부른다. 특이수익률의 예로서, Basu

(1977)는 수익주가비율 (earning price ratio)이 높은 포트폴리오가 높은 수익률을 보이는

것을 발견했다. Banz (1981)는 투자수익률과 상대시가총액 사이에 통계적으로 유의한 음의

관계가 있으며, 그것이 베타의 설명력을 초과하는 것을 발견했다. Fama & French (1992)는

주식의 시가총액이나 주가순자산배율 (price book value ratio: PBR)의 역수가 수익률을 잘

설명하고 있으며, 또한 베타에 대해 기대수익률이 평평한 것을 발견했다.

CAPM의 검증을 둘러싼 문제는 아직까지도 완전히 해결된 것은 아니다. 시장의 효율성을

조사하거나 또는 새로운 위험프리미엄을 발견하는 것에 관련되어 다양한 연구가 이루어지고

있지만, 아직이렇다할결론에도달하고있지는않다. 그러나, CAPM의검증결과가명확하지

않다고 해서, 그것이 반드시 CAPM의 이론적 가치를 떨어뜨린다고 생각할 수는 없다. 실제로

자본시장에서 어떤 결정을 내릴 때, CAPM이 제공하는 위험의 개념은 매우 유용한 것이다.

CAPM에 대한 자세한 내용은 IM&F9 (pp. 200-218)을 참조하라.

2.5.7 연속시간형 CAPM

CAPM은 1기간모형이므로, 이를 다기간 모형 또는 연속시간형 모형으로 확장하려고 하는

것은 자연스러운 일이다. 이러한 과정에서 가장 중요한 논점은 기대수익률과 베타의 선형관


계가 유지되는지 여부이다. 연속시간형 CAPM(Intertemporal CAPM: ICAPM)을 최초로

고려한 것은 Merton (1973)이다. 이 소절에서는 그의 방법을 간단히 살펴보자.

연속시간형 CAPM에서는 제j번째 위험자산 Xj의 시점 t에서 가격 Pj,t가 다음과 같은

확률미분방정식을 만족한다고 가정한다.

dPj,t

Pj,t= µj(st)dt+ σj(st)dzj,t (2.5.26)

여기서 st는 상태변수, µj 와 σ2j 는 각각 위험자산 Xj 의 기대수익률과 분산 그리고 zj,t는

표준Brown운동이다. 또한, 상태변수 st는 다음 확률미분방정식을 만족한다고 가정한다.

dst = α(st)dt+ β(st)dzs,t (2.5.27)

여기서 zs,t는 표준 Brown운동이다. 제k번째 투자자는 시점 t에서 소비 ck,t를 하고 이로부

터효용 uk(ckt, st, t)를얻는다고하면, 시간구간 [0, τ ]에서기대효용은 E( ∫ τ

0 uk(ck,t, st, t)dt)

이다.

이 기대효용을 최대화하는 최적포트폴리오전략 wk는 다음과 같다.

wk = ak1t V −1[µ− r1]wT + hk[1

t V −1σs]wh (2.5.28)

여기서 ak와 hk는 각각 제k번째 투자자의 상대위험회피도 (relative risk aversion: RRA)와

상태변수 st에 대한 선호도를 나타내고, V 는 자산가격변화율들의 분산공분산행렬이며, σσσs는

자산가격변화율들과 상태변수 st의 공분산벡터이고, wT 와 wh는 각각 다음과 같다.

wT.=

V −1[µ− r1]

1tV −1[µ− r1], wh

.=

V −1σs

1tV −1σs(2.5.29)

식 (2.5.29)의 wT 는 효율적프론티어 상의 접점포트폴리오이며, 또한 wh는 상태변수 st와의

상관정도에 비례해서 가중값이 정해지는 헤지포트폴리오이다. 식 (2.5.28)은 3자산분리정

리이다. 즉, 각 최적포트폴리오를 무위험자산, 접점포트폴리오 wT , 그리고 헤지포트폴리오

wh로 분리할 수 있다는 것이다. 이 ICAPM에서 제j번째 위험자산의 기대수익률 µj 와

위험프리미엄들은 다음 식을 만족한다.

µj = r + βj,TλT + βj,sλs (2.5.30)

APT모형 103

여기서 βj,T 는 접점포트폴리오에 대한 β값, λT 는 접점포트폴리오의 기대초과수익률인 위험

프리미엄, βj,s는 상태변수 st에 대한 헤지포트폴리오의 β값, 그리고 λs는 헤지포트폴리오의

위험프리미엄이다. 만약 상태변수 st가 S차원 벡터라면, 식 (2.5.30)을 다음과 같은 다요인

베타모형으로 확장할 수 있다.

µj = r + βj,TλT +

S∑l=1

βj,lλl (2.5.31)

제2.6절 APT모형

엄밀하게 말하면, CAPM의 식 (2.5.22)는 시장포트폴리오의 수익률과 제j번째 위험자산의

수익률 사이 인과관계를 나타내지는 않는다. 그러나, 실증분석에서는 식 (2.5.22)를 바탕으로

다음 시장모형을 회귀분석한다.

Rj = αj + βjrM + ϵj (2.6.1)

앞에서도 언급했듯이, 이러한 실증분석은 오랫동안 찬반논쟁 속에 있다.

Roll & Ross (1980)는 CAPM과 같은 조건을 만족하는 시장에서 제j번째 위험자산의 1

기간 [t0, t1]에서 수익률이 다음과 같은 다인자모형을 따른다고 가정하였다.

Rj = αj,0 + αj,1 f1 + · · ·+ αj,q fq + ϵj , (j = 1, 2, · · · , N) (2.6.2)

여기서 fk는 1기간 [t0, t1]에서 수익률들을 변화시키는 공통인자들이고 ϵj는 오차항들로

서, 다음 식들을 만족한다.

E(fk) = 0, V ar(fk) = δk, Cov(fk, fl) = 0, (k = l) (2.6.3)

E(ϵj) = 0, V ar(ϵj) = υj,j , Cov(ϵj , ϵi) = υj,i (2.6.4)

Cov(ϵj , fk) = 0 (2.6.5)

APT모형 (2.6.2)의 모수들 사이에는 제약이 있음이 알려져 있다. 즉, 위험자산들의 개수

N이 크면, 이 APT모형 하에서 제j번째 위험자산 Rj 의 기대수익률 E(Rj) = αj,0가 다음


근사식을 만족한다는 것이 알려져 있다.

αj,0 ≈ λ0 +

q∑k=1

αj,kλk, (j = 1, 2, · · · , N) (2.6.6)

여기서 λ0는 무위험이자율이고, 각 자연수 k에 대해서 λk는 제k번째 인자의 위험프리미

엄이다. 각 j(= 1, 2, · · · , N)에 대해서 포트폴리오 ηj.= [ηj,1, ηj,2, · · · , ηj,N ]t이 다음 식을

만족한다고 가정하자.

ηtj1 = 0, ηtjαj = 1, ηtjαk = 0, (k = j) (2.6.7)

여기서 αj.= [αi,1, αi,2, · · · , αi,N ]t이다. 식 (2.6.7)의 첫째 식은 포트폴리오가치가 0임을

의미한다. 즉, 위험자산들의 매입액과 공매액이 동일함을 의미한다. 둘째 식과 셋째 식은 ηj

가 제j번째 공통인자 fj에 전적으로 치중된 포트폴리오임을 의미한다. 식 (2.6.2)를 다음과

같이 벡터형태로 쓸 수 있다.

R = α0 +α1f1 + · · ·+αqfq + ϵϵϵ (2.6.8)

여기서 R.= [R1, R2, · · · , RN ]t이고 ϵ

.= [ϵ1, ϵ2, · · · , ϵN ]t이다. 식 (2.6.7)과 식 (2.6.8)을

사용해서, 다음 식들이 성립함을 보일 수 있다.

ηtjRRR = ηtjα0 + fj + ηtjϵϵϵ ≈ λj + fj + η

tjϵϵϵ (2.6.9)

따라서, 이 포트폴리오 ηj 의 기대수익률은 λj 이며, λj 는 공통인자 fj 의 위험프리미엄으로

해석할 수 있음을 확인할 수 있다.

지금부터는제약조건 (2.6.6)을유도하기로하자. 우선, 다음행렬들과벡터들을정의하자.

A.= [1,α1,α2, · · · ,αq], M

.= A[AtA]−1At (2.6.10)

p.= [I −M ]α0, e

.= Mα0 (2.6.11)

여기서 M은 사영행렬임에 유의하라. 다음 식들이 성립한다.

pt1 = 0, ptαj = 0, (j = 1, 2, · · · , q) (2.6.12)

APT모형 105

상수 ϕ에 대한 포트폴리오 ηϕ = ϕp의 수익률 Rϕ는 다음 식들을 만족한다.

Rϕ = [ϕp]tR = ϕpt[α0 +

q∑k=1

αkfk + ϵ]= ϕ[ptα0 + p

tϵϵϵ] = ϕ[ptp+ ptϵϵϵ] (2.6.13)

여기서 세 번째 등호는 식 (2.6.12)에 의해서 성립하고. 네 번째 등호는 식M2 =M에 의해서

성립한다. 따라서, 포트폴리오 ηϕ = ϕp의 수익률 Rϕ의 기대값과 분산은 각각 다음과 같다.

µϕ = E(Rϕ) = ϕptp, σ2ϕ = ϕ2ptΣp ≤ Kϕ2ptp (2.6.14)

여기서 Σ.= [σi,j ]이고 K

.= max

i,jσi,j이다. 식 (2.6.14)에 식 ϕ = [ptp]−2/3을 대입하면, 다음

식들을 얻는다.

µϕ = [ptp]1/3, σ2ϕ ≤ K[ptp]−1/3 (2.6.15)

만약 limN→∞

∥ppp∥ = ∞이면, 극한 µϕ → ∞ 와 극한 σ2ϕ → 0가 성립한다. 기대수익률은 무한히

커지는 반면에 위험은 0에 접근하므로, 시장에는 점근적으로 재정기회가 존재한다. 이 포트

폴리오는 식 pt1 = 0를 만족하므로, 매입자금이 0이다. 따라서, 무재정조건 하에서는 다음


limN→∞

∥ ppp ∥ < ∞ (2.6.16)

식 (2.6.10)에서알수있듯이,M은선형공간 Sp(A)로의사영행렬이다. 따라서, 식 (2.6.11)

에서 알 수 있듯이, 다음 식을 만족하는 λ.= [λ0, λ1, · · · , λq]t가 존재한다.

e = λ01+ λ1α1 + · · ·+ λqαααq (2.6.17)

식 (2.6.11)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

λλλ = [AtA]−1Atα0 (2.6.18)

p = α0 − λ01−q∑

j=1

λjαj (2.6.19)



limN→∞

N∑j=1

[αj,0 − λ0 −

q∑k=1

λk αj.k

]2< ∞ (2.6.20)

따라서, 충분히 큰 j에 대해서 근사식 (2.6.6)이 성립한다. 위험자산에 임의로 번호를 붙일 수

있으므로, 각 j(= 1, 2, · · · , N)에 대해서 근사식 (2.6.6)이 성립한다.

제2.7절 포트폴리오모형의 선택

지금까지는 포트폴리오선택문제를 기대수익률과 위험이라는 모수들을 이용해서 평균분산모

형으로 정형화하고, 효율적프론티어에 관한 논의를 했다. 특히, 위험을 목적함수로 간주하고,

위험척도로서 분산을 이용하였다. 그 결과 CAPM과 같은 균형모형을 구축할 수 있으며, 이를

사용해서 각 금융자산의 기대수익률을 도출할 수 있기 때문에, 평균분산모형은 경제학자들이

인정하는모형이되었다. 반면에, 균형가격을도출할수없는모형은경제학자들에게경시되어

거의 검토되지 않고 있다. 그러나, 공학적 관점에서 현실적 문제를 해결하는 금융공학에서는

균형이론을 바탕으로 하지 않더라도 실제 투자상황을 설명할 수 있고 구체적으로 최적투자

전략을 도출할 수 있는 모형을 구축하고자 한다. 즉, 포트폴리오선택문제에 대해 현실적으로

해를 도출하기 위해서, 보다 현실적 상황을 잘 나타내는 위험척도를 사용한 효율적 알고리즘

개발을 중시한다. 이 절에서는 분산이 아닌 다른 위험척도를 사용하는 포트폴리오선택문제를

간단히 살펴보고자 한다.

2.7.1 평균절대편차모형

통계학적 관점에서 보면, 평균분산모형은 묵시적으로 정규성을 가정하는 것이다. 그러나,

수익률의 확률분포가 정규분포보다는 꼬리가 두껍다는 것이 일반적 인식이다. 따라서, 포트폴

리오 θ의 위험지표로서 표준편차 σθ 대신에 다음과 같이 정의되는 수익률의 절대편차 (mean

absolute deviation: MAD)를 사용하기도 한다.

dθ.= E

∣∣∣∣∣∣N∑j=1

[Rj − µj ]θj

∣∣∣∣∣∣ (2.7.1)

포트폴리오모형의 선택 107

이 절대편차의 추정량은 다음과 같다.

dθ.=

1

T

T∑t=1

∣∣∣∣∣∣N∑j=1

[Rj(t)− µj ]θj

∣∣∣∣∣∣ (2.7.2)

여기서 µj.= 1

T

T∑t=1

Rj(t)이다.

우리의 문제는 기대수익률 µθ를 고정하고, 수익률의 절대편차 dθ를 최소화하는 것이다.

평균분산모형이 2차계획문제인 것에 비해, 이 평균절대편차모형은 선형계획문제이다. 절대편

차를 최소로 하는 방법은 평균제곱오차(mean squared error)를 최소로 하는 방법보다 꼬리가

무거운확률분포를반영한다. 컴퓨터의발전에힘입어, 아주큰 T에대해서도절대편차추정량

dθ를 계산해낼 수 있다. 특히, Kamarker방법을 적용하면 효율적으로 이 추정값을 계산할 수

있을 것이다.

2.7.2 희유수준모형

희유수준모형 (unlikely level model, rare level model)이란 목표로 하는 수익률이 달성되지

않을 확률을 위험으로 가정하고, 그 위험수준을 어떤 정해진 값 α이하로 한다는 조건 하에서

기대수익률을 최대화하는 모형이다. 포트폴리오 θ의 수익률 Rθ가 목표수익률 ν에 달성되지

않을확률은 Pr (Rθ ≤ ν)이다. 따라서, 우리의목적은다음최적화문제의해를구하는것이다.

Maximize ν subject to Pr (Rθ ≤ ν) ≤ α. (2.7.3)

만약 수익률이 정규분포를 따른다면, 최적화문제 (2.7.3)의 제약조건을 다음과 같이 쓸 수

있다.

α ≥ Pr (rθ ≤ ν) = Pr(rθ − µθσθ

≤ ν − µθσθ

)= N

(ν − µθσθ

)(2.7.4)

여기서 µθ와 σθ는 수익률 Rθ의 기대값과 표준편차이고, N( · )은 표준정규분포함수이다. 식

(2.7.4)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

µθ +N−1(α)σθ ≥ ν (2.7.5)


따라서, 포트폴리오 θθθ의 기대수익률의 최대값은 다음과 같다.

νθ.= ν −N−1(α)σθ (2.7.6)

제2.8절 인덱스펀드

평균분산모형분석에 의하면, 투자자는 무위험자산과 시장포트폴리오에 분산투자해서 원하

는 수익률을 달성하는 조건 하에 위험을 최소화한다. 그러나, 시장포트폴리오는 시장에서

거래되고 있는 모든 위험자산들로 구성되기 때문에, 금융자산운용에 필요한 거래비용이

커진다는약점을지니고있다. 또한, 실제로시장포트폴리오의구성비율을관찰하는것은거의

불가능하기 때문에, 그 대용으로서 KOSPI와 같은 주가지수를 기준포트폴리오 (benchmark

portfolio)로 사용한다. 그러나, 아주 많은 종목들로 구성된 기준포트폴리오보다도 훨씬 적은

종목들로 구성되면서도 기준포트폴리오와 유사한 가격변화를 나타내는 포트폴리오를 구성

하는 것이 현실적일 것이다. 기준포트폴리오와 유사하게 움직이도록 설계된 포트폴리오를

인덱스펀드 (index fund)라 한다. 이론적으로 인덱스펀드란 그 기대수익률과 수익률분산이

각각 기준포트폴리오의 기대수익률과 수익률분산과 동일하며, 소수 위험자산들로 구성되고,

또한 베타값이 1이 되도록 설계된 포트폴리오이다.

인덱스펀드는 시장과 같은 정도의 위험과 수익의 실현을 추구하는 소극적 포트폴리오

운용방법으로서, 좀 더 높은 수익률을 추구하는 펀드를 설계할 때 기초가 된다. 일반적으로

인덱스펀드에 대해서는 수수료가 낮기 때문에, 인덱스펀드의 실제 수익이 기준포트폴리오의

수익과 가까운 경향이 있다. 기준포트폴리오의 움직임을 가능한 한 충실히 재현하는 인덱

스펀드를 설계하는 경우, 인덱스펀드 수익률의 기준포트폴리오 수익률로부터 이탈 정도를

연동오차 (tracking error)라고 한다. 시장에서 이용되고 있는 연동오차의 척도로는 과거

시계열데이터를바탕으로추정한두포트폴리오들의수익률들차이와이들사이의상관계수를

바탕으로 하는 것이 주류를 이룬다.

인덱스펀드를구성하는여러방법들이있으나, 시장전체의움직임을반영하는소수위험자

산들로 구성하는 샘플링법 (sampling method)이 가장 널리 사용된다. 샘플링법은 구성비용,

보유비용, 그리고 관리에 필요한 시간 등에서 유리한 방법이다. 앞에서와 마찬가지로, 위험

자산들 N개로 구성된 마찰없는 완전자본시장을 가정하자. 기준포트폴리오 θ∗의 수익률을

R[θ∗].=

N∑n=1

θ∗nRn, 기대수익률을 E[θ∗], 수익률분산을 V [θ∗], 그리고 수익률표준편차를

σ[θ∗]로 표기하자. 인덱스펀드를 작성할 때 고려해야 하는 근본적 문제는 시장에 있는 N개

위험자산들 중에서 K개 위험자산들을 선택해서 구성한 인덱스펀드 θI 의 수익률 R[θI ]의

인덱스펀드 109

확률분포가 기준포트폴리오 수익률 R[θ∗]의 확률분포에 가능한 한 가깝도록 하는 것이다.

따라서, 다음과 같은 문제들이 발생한다. 첫째, 어떤 기준포트폴리오 θ∗를 선택할 것인가?

둘째, 어떤 위험자산들로 인덱스펀드를 구성할 것인가? 셋째, 이 위험자산들 사이 비율을

어떻게 정할 것인가?

이 두 포트폴리오들의 근접성을 평가하는 기준으로 다음과 같은 연동오차 (tracking error)

eT 를 사용하기로 하자.

eT.= E

(R[θ∗]−R[θI ]2

)(2.8.1)


eT = Var(R[θ∗]−R[θI ]) + [E(R[θ∗])− E(R[θI ])]2 (2.8.2)

다음 함수를 정의하자.

δn.=

0, (제n번째 위험자산이 인덱스펀드에 포함된다)

1, (제n번째 위험자산이 인덱스펀드에 포함되지 않는다)(2.8.3)


R[θI ] =

N∑n=1

θInδnRn (2.8.4)

N∑n=1

θInδn = 1 (2.8.5)

N∑n=1

δn = K (2.8.6)

연동오차는 다음 식을 만족한다.

eT =

N∑n=1

N∑m=1

[θ∗n − θInδn][θ∗m − θImδm]E(RnRm) (2.8.7)

기준포트폴리오 θ∗와 수익률 R[θ∗]가 주어졌으므로, 우리의 문제는 제약조건들 (2.8.5)

와 (2.8.6)을 만족하며 연동오차 eT 를 최소화하는 δn과 θIn를 구하는 것이다. 이 최적화


문제를 다음과 같이 쓸 수 있다.

Minimize[θ∗ − θI ⊙ δ

]t[Σ + µµt]

[θ∗ − θI ⊙ δ

]subject to δtθI = 1 and δt1 = K. (2.8.8)

여기서 µ.= [µ1, µ2, · · · , µN ]t와 Σ

.= [σi,j ]는 각각 수익률벡터 R

.= [R1, R2, · · · , RN ]t

의 평균벡터와 분산공분산행렬이고, δ .= [δ1, δ2, · · · , δN ]t이며, a ⊙ b는 벡터들 a =

[a1, a2, · · · , , an]t와 b = [b1, b2, · · · , bn]t의 Hadamard곱 a⊙b .= [a1b1, a2b2, · · · , anbn]

이다. 최적화문제 (2.8.8)에서, θI가 주어졌다는 가정 하에 최적 δ를 구하는 문제 자체가 NP

완전문제 (NP-complete problem)라 불리우는 수리적으로 어려운 문제이다. 여기서 NP는

‘nondeterministic polynomial-time’ 을 뜻한다.

지금부터는 인덱스펀드를 구성하는 K개 위험자산들이 주어졌다고 가정하자. 즉, δ가

주어졌다고가정하고, 포트폴리오 θI의최적해가만족해야할식을유도하기로하자. 일반성을

잃지 않고, 포트폴리오 θI 가 첫 K개 위험자산들로 구성되어 있다고 하자. 이 최적화문제는

다음과 같다.

Minimize [θ∗ − θI ⊙ 1N,K ]t[Σ + µµt][θ∗ − θI ⊙ 1N,K ]

subject to 1tN,KθI = 1. (2.8.9)

여기서 1N,K.= [1, · · · , 1, 0, · · · , 0 ]t는 첫 K개 원소들은 모두 1이고 나머지 원소들은 0인

N차원 열벡터이다. 행렬 C.= Σ+ µµt와 벡터들 θ∗와 θI 를 다음과 같이 분할하자.

C.=

C11 C12

C21 C22,

, θ∗.=

θ∗1θ∗2

, θI.=

θI10

(2.8.10)

여기서 C11은 K ×K행렬이고, θ∗1와 θI1는 K차원 열벡터이다. 식 C12 = Ct21이 성립함에

유의하라.

정리 2.8.1

인덱스펀드 111

최적화문제 (2.8.9)의 해는 다음과 같다.

θI1 = [θ∗I + C−111 C12θ

∗2] +

1tθ∗2 − 1tC−111 C12θ

∗2

1tC−111 1

C−111 1

증권시장에서 이 K개 위험자산들로 이루어진 부분공간 SK에 의한 효율적프론티어 EK

라 하면, 이 최적화문제의 해 θI1는 집합 EK에 속한다.

증명. 다음 식들이 성립한다.

[θ∗ − θI ⊙ 1N,K ]t[Σ + µµt][θ∗ − θI ⊙ 1N,K ]

= [θ∗1 − θI1]tC11[θ∗1 − θI1] + 2[θ∗2]

tC21[θ∗1 − θI1] + [θ∗2]

tC22θ∗2 (1)

1tθI1 = 1 (2)

식 (1)과 식 (2)에서 θ만이 미지임을 상기하라.

첫 번째 단계로 부행렬 C11이 정칙임을 보이자. 행렬 µµt가 반양정치임은 자명하다.

또한, 분산공분산행렬 Σ는 양정치라고 가정했으므로, C = Σ + µµt는 양정치이다. 따라서,

부행렬 C11은 정칙이다.

두 번째 단계로 최적값을 구하자. 우선 다음과 같은 Lagrange함수를 정의하자.

L.= [θ∗1 − θI1]tC11[θ

∗1 − θI1] + 2[θ∗2]

tC21[θ∗1 − θI1]− 2λ[1tθI1 − 1] (3)

이 최적화문제의 1차조건은 다음과 같다.

∂L

∂θI1= −2C11[θ

∗1 − θI1]− 2C12θ

∗2 − 2λ1 = 0 (4)

∂L

∂λ= −2[1tθI1 − 1] = 0 (5)

식 (4)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

θI1 = θ∗1 + C−111 C12θ

∗2 + λC−1

11 1 (6)

식 (5)와 식 (6)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

λ =1

1tC−111 1

[1 − 1tθ∗1 − 1tC−111 C12θ

∗2] =

1

1tC−111 1

[1tθ∗2 − 1tC−111 C12θ

∗2] (7)


식 (6)과 식 (7)에서 알 수 있듯이, 최적해 θI

1는 다음 식을 만족한다.

θI

1 = [θ∗1 + C−111 C12θ

∗2] +

1tθ∗2 − 1tC−111 C12θ

∗2

1tC−111 1

C−111 1 (8)

식 (8)의우변에서첫번째괄호안의 θ∗1+C−111 C12θ

∗2는제약조건 (2)가없는경우에해당하는

최적해이고, 두 번째 항은 제약조건 (2)가 부과된 경우에 해당하는 교정항이다.

세번째단계로, θI

1가집합 EK에속함을증명하자. 기준포트폴리오 θ∗는모든위험자산들,

즉 N개 위험자산들로 이루어진 효율적프론티어 EN (⊂ SN = RN )에 속한다. 즉, θ∗ ∈ EN

이다. 따라서, 식 (2.4.49)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

V [θ∗]

1α

−[E[θ

∗]− β

α ]2

Dα2

= 1 (9)

여기서 α = µtΣ−1µ, β = 1tΣ−1µ, γ = 1tΣ−11, 그리고 D = αγ − β2이다. 식 (2.8.10)

에서와 마찬가지로, 수익률벡터 R, 평균벡터 µ.= E(R)과 분산공분산행렬 Σ

.= V ar(R)을

다음과 같이 분할하자.

R.=

R1

R2

, µ.=

µ1

µ2

, Σ.=

Σ11 Σ12

Σ21 Σ22

(10)

포트폴리오 θI

1의 기대수익률 E[θI

1

]과 수익률분산 V

[θI

1

]은 각각 다음과 같다.

E[θI

1

].= µt

1θI

1, V[θI

1

].=[θI

1

]tΣ11θ

I

1 (11)

다음 상수들을 정의하자.

α1.= 1tΣ−1

11 1, β1.= µt

1Σ−111 1, γ1

.= µt

1Σ−111 µ1, D1

.= α1γ1 − β21 (12)

우리의 목적은 다음 식을 증명하는 것이다.

V [θI

1]1α1

−

[E[θ

I

1]−β1

α1

]2D1

α21

= 1 (13)

식 (8)과 식 (9)를 이용해서, 식 (13)을 증명할 수 있다. 그러나, 이 방법은 계산이 아주

인덱스펀드 113

복잡하므로, 여기서는 다른 방법을 이용하기로 하자. 연동오차 eT 는 다음 식들을 만족한다.

eT = E(R[θ∗]−R[θI ])2 = E([θ∗)]tRRR− [θI1]tR1)

2

= [θ∗]tµµtθ∗ + [θ∗]tΣθ∗ + [θI1]tµ1µ

t1θ

I1 + [θI1]

tΣ11θI1 − 2[θ∗]t

Σ11

Σ12

(14)


θ∗ = Σ−1( 1

DE[θ∗][αµ− β1] + [γ1− βµ]

)(15)

또한, 다음 식이 성립한다.

Σ−1

Σ11

Σ12

=

IO

(16)


[θ∗]t

Σ11

Σ12

θI1=

(1

DE[θ∗][αµ− β1] + [γ1− βµ]

)t

Σ−1

Σ11

Σ12

θI1=

(1

DE[θ∗][αµ− β1] + [γ1− βµ]

)t

θI10

(17)

여기서 첫 번째 등호는 식 (15)와 Σ의 대칭성에 의해서, 그리고 두 번째 등호는 식 (16)에

의해서 성립한다. 식 (17)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

[θ∗]t

Σ11

Σ12

θI1 =1

DE[θ∗][αµt

1θI1 − β] + [γ − βµt

1θI1] (18)



eT = [θ∗]tµµtθ∗ + [θ∗]tΣθ∗ + [θI1]tµ1µ

t1θ

I1 + [θI1]

tΣ11θI1

− 2

DE[θ∗][αµt

1θI1 − β] + [γ − βµt

1θI1] − 2[θ∗]tµµt

1θI1

(19)

우리의 문제는 제약조건 1t1θI1 = 1 하에서 연동오차 eT 를 최소화하는 것이다. 다음과 같은

Lagrange함수를 정의하자.

M.= [θI1]

tµ1µt1θ

I1 + [θI1]

tΣ11θI1 − 2[θ∗]tµµt

1θI1

− 2

DE[θ∗][αµt

1θI1 − β] + [γ − βµt

1θI1] − 2η[1tθI1 − 1] (20)

최적화의 1차조건은 다음과 같다.

∂M

∂θI1= 2µ1µ

t1θ

I1 + 2Σ11θ

I1 − 2[θ∗]tµµt

1 −2

DαE[θ∗]− βµ1 − 2η1 = 0 (21)

∂M

∂η= −2[1tθI1 − 1] = 0 (22)

식 (21)을 식 (22)에 대입하면, 다음 식들을 얻는다.

η = [θI1]t[µ1µ

t1θ

I1 +Σ11θ

I1 −E[θ∗]µ1 −

1

DαE[θ∗]− βµ1

]= [µt

1θI1]2 + [θI1]

tΣ11θI1 −

E[θ∗] +

1

D[αE[θ∗]− β]

µt1θ

I1

(23)

따라서, 최적해(η, θ

I

1

)는 다음과 같다.

θI

1 = [µ1µt1 +Σ11]

−1[ϕµ1 + η1] (24)

η = E2[θI

1] + V [θI

1]− ϕE[θI

1] (25)

여기서 ϕ는 다음과 같다.

ϕ.= E[θ∗] +

1

DαE[θ∗]− β (26)

IM&F9의 정리 1.3.31에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

[Σ11 + µ1µt1]−1 = Σ−1

11 − Σ−111 µ[1 + µ

t1Σ

−111 µ1]

−1µt1Σ

−111 (27)

인덱스펀드 115


µt1[Σ11 + µ1µ

t1]−1µ1 = γ1 − γ1[1 + γ1]

−1γ1 =γ1

1 + γ1(28)

µt1[Σ11 + µ1µ

t1]−11 = β1 − γ1[1 + γ1]

−1β1 =β1

1 + γ1(29)

1t[Σ11 + µ1µt1]−11 = α1 − β1[1 + γ1]

−1β1 =α1 + α1γ1 − β21

1 + γ1(30)

식 (24), 식 (27) 그리고 식 (28)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

E[θI

1

]= µt

1θI

1 = ϕγ1

1 + γ1+ η

β11 + γ1

(31)

식 (25)와 식 (31)에서 η를 제거하면, 식 (13)을 구할 수 있을 것 같다. 그러나, 식 (25)와 식

(31)에는 ϕ가 포함되어 있다. 비록, ϕ가 기지이기는 하나 식 (13)에 포함되어 있지 않으므로,

식 (25)와 식 (31)에서 ϕ를 제거할 필요가 있다. 따라서, 식 하나가 더 필요하다. 식 (24), 식

(29), 식 (30), 그리고 식 1tθI

1 = 1에 의해서, 다음 식이 성립한다.

ϕβ1

1 + γ1+ η

α1 + α1γ1 − β211 + γ1

= 1 (32)

식 (31)과 식 (32)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

η = − β1D1

[E[θI

1

]− γ1β1

](33)

ϕ =1 + γ1γ1

E[θI

1

]+

β21γ1D1

[E[θI

1

]− γ1β1

](34)

식 (25), 식 (33), 그리고 식 (34)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

E2[θI

1

]+ V

[θI

1

]−1 + γ1γ1

E[θI

1

]+

β21γ1D1

[E[θI

1

]− γ

β

]E[θI

1

]= − β1

D1

[E[θI

1

]− γ1β1

](35)

따라서, 다음 식이 성립한다.

V[θI

1

]= − E2

[θI

1

]− β1D1

[E[θI

1

]− γ1β1

]+

1 + γ1γ1

E[θI

1

]+

β21γ1D1

[E[θI

1

]− γ1β1

]E[θI

1

](36)


식 (36)을 정리하면, 다음과 같다.

α1V[θI

1

]=α21

D1

[E[θI

1

]− β1α1

]2+ 1 (37)

즉, 식 (13)이 성립한다. 따라서, θI

1는 효율적프론티어 EK에 속한다.

정리 2.8.1에서정의한인덱스펀드 θI

1의기대수익률과기준포트폴리오 θ∗의기대수익률이

다음 식을 만족하는 것은 자명하다.

E(R[θ∗]) ≥ E(R[θI1]) (2.8.11)

특히, 만약 기준포트폴리오 θ∗가 접점포트폴리오라면, 위의 부등식은 엄격하게 (stictly)

성립한다. 그러나, 투자퍼포먼스의 기준으로 광범위하게 이용되고 있는 다우존즈지수나

KOSPI200과 같은 단순평균주가는 효율적프론티어 상에 존재하지 않는 것으로 인식되고

있다. 지금부터는 포트폴리오 θ가 효율적프론티어에 존재하지 않는 경우에 대해서 살펴보자.

정리 2.8.2

어떤 포트폴리오 θ와의 연동오차 eT 를 최소로 하고 (표준편차, 기대수익률)이 효율적프

론티어 EN 에 존재하는 포트폴리오를 θ∗N 라고 하면, 다음 식들이 성립한다.

E[θ] = E[θ∗N ]

eT = V [θ]− V [θ∗N ]

maxθ

Corr[θ,θ] = Corr[θ,θ∗N ] =σ[θ∗N ]

σ[θ]

증명. 여기서는증명의개요만을설명하고자한다. 좀더자세한내용은 Kandel & Stambaugh

(1987)을 참조하라. 만약 θ∗가 (표준편차, 기대수익률)이 효율적 프론티어에 존재하는 포트

폴리오이면, 식 (2.4.47)에서 알 수 있듯이 다음 식이 성립한다.

θ∗ =1

DE[θ∗]b+ c (1)

인덱스펀드 117

여기서 b와 c는 각각 다음과 같다.

b.= αΣ−1µ− βΣ−11, c

.= γΣ−11− βΣ−1µ (2)

식 (1)을 연동오차 eT 에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

eT =1

D2

btΣb

[E[θ∗]− DbtΣθ − btΣc

btΣb

]2+ c0

(3)

여기서 c0는 상수이다. 행렬 Σ가 양정치이므로, 식 (3)에서 알 수 있듯이 다음 식이 성립한다.

E[θ∗N ] =DbtΣθ − btΣc

btΣb(4)

식 (2)를 식 (4)에 적용하면, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

E[θ∗N ] =D[αE[θ]− β

]+ βD

αD= E[θ] (5)

Kandel & Stambaugh (1987)는 다음 식들이 성립함을 증명했다.

maxθ

Corr[θ,θ] = Corr[θ,θ∗N ] =σ[θ∗N ]

σ[θ](6)


Cov[θ,θ∗N ] = V [θ∗N ] (7)

연동오차 eT 는 다음 식들을 만족한다.

eT = V ar(R[θ∗N ]−R[θ]) + [E(R[θ∗N ])− E(R[θ])]2

=V ar(R[θ∗N ]−R[θ])

(8)

여기서 두 번째 등호는 식 (5)에 의해서 성립한다. 따라서, 다음 식들이 성립한다.

et = V [θ∗N ] + V [θ]− 2Cov[θ∗N , θ] = V [θ]− V [θ∗N ] (9)

여기서 두 번째 등호는 식 (7)에 의해서 성립한다.


제2.9절 포트폴리오의 평가

각 포트폴리오의 운용결과를 비교관리하기 위해서는 먼저 평가기준을 정해야 한다. 당연한

말이지만, 평가기준이 다르면 평가결과도 다를 것이다. 따라서, 평가하는 목적이나 시장상황

등을 고려해서 평가기준을 선택해야 할 것이다. 널리 사용되는 평가기준들은 Sharpe지수,

Jensen지수, 그리고 Treynor지수 등이 있다.

첫째, 위험 1단위 당 초과수익률을 Sharpe지수 (Sharpe ratio)라 한다. 즉, 포트폴리오 θθθ

의 Sharpe지수 S[θθθ]를 다음과 같이 정의한다.

S[θ].=E[θ]− r0σ[θ]

(2.9.1)

여기서 r0는 무위험이자율이다. Sharpe지수는 베타계수를 이용하지 않기 때문에, 계산이

간단하다. 또한, 정도 (precision)가 높아서, 현재로서는 포트폴리오의 운용결과를 비교하는

가장 좋은 척도로 간주되고 있다. Sharpe지수는 위험자산이 시장에서 어느 정도의 위험프리

미엄을 갖는지를 조사할 때도 이용된다.

둘째, 포트폴리오 θθθ의 Jensen지수를 다음과 같이 정의한다.

J [θ].= E[θ]− r0 + β[θ] [E[θM ]− r0] (2.9.2)

여기서 θM 은 시장포트폴리오이고, β[θ]는 이 시장포트폴리오를 기준으로 하는 CAPM에서

포트폴리오 θ의 베타계수로서 다음과 같다.

β[θ] =Cov[θ,θM ]

Var[θM ](2.9.3)

즉, Jensen지수는 CAPM을 바탕으로 시장평균을 초과하는 기대수익을 나타낸다.

셋째, 베타계수, 즉 베타위험 1단위 당 초과수익률을 Treynor지수라고 한다. 즉, 포트폴리

오 θθθ의 Treynor지수를 다음과 같이 정의한다.

T [θ].=E[θ]− r0β[θ]

(2.9.4)


T [θ] =σ[θ]

β[θ]S[θ] (2.9.5)

포트폴리오의 평가 119

예제 2.9.1 다음표와같이주어지는두위험포트폴리오 θA와 θB의운용성적을평가해보자.

여기서 무위험이자율 r0는 연 2퍼센트이다.

포트폴리오 베타계수 기대수익률 표준편차

θA 1.2 13% 20%

θB 1.4 16% 30%

θM 1 10% 15%

각 포트폴리오의 Sharpe지수는 다음과 같다.

S[θA] =E[θA]− r0σ[θA]

=13− 2

20= 0.550 (1)

S[θB] =E[θB]− r0σ[θB]

=16− 2

30= 0.467 (2)

따라서, Sharpe지수를 척도로 하면, 포트폴리오 θA가 포트폴리오 θB보다 우수하다.

각 포트폴리오의 Jensen지수는 다음과 같다.

J [θA] = E[θA]− [r0 + β[θA] E[θM ]− r0]

= 13− 2 + 1.2[10− 2] = 1.4(%) (3)

J [θB] = E[θB]− [r0 + β[θB] E[θM ]− r0]

= 16− 2 + 1.4[10− 2] = 2.8(%) (4)

두포트폴리오들의 Jensen지수들이양이므로각수익률은시장평균을상회하며, Jensen지수를

척도로 하면, 포트폴리오 θB가 포트폴리오 θA보다 우수하다.

각 포트폴리오의 Treynor지수는 다음과 같다.

T [θA] =σ [θA]

β [θA]S[θA] =

20

1.2× 0.550 = 9.167 (5)

T [θB] =σ [θB]

β [θB]S[θB] =

30

1.4× 0.467 = 10.000 (6)

Treynor지수를 척도로 하면, 포트폴리오 θB가 포트폴리오 θA보다 우수하다.


제2.10절 VaR

시장에서 쇼크가 발생함에 따라, 포트폴리오에 위험이 발생한다. 포트폴리오의 수익률이 증가

하면 위험이 증가한다. 따라서, 포트폴리오를 선택할 때는 허용할 수 있는 최대 위험수준을 미

리정해둘필요가있다. 포트폴리오의위험은그수익률이기대수익률에서흩어짐을나타내는

중요한 지표이므로, 이 흩어짐을 관리하는 것이 우리의 과제이다. 이것은 대량 생산공정에서

품질관리를 할 때, 평균값은 고유기술에 의존하지만 흩어짐은 관리기술에 의존한다는 생각과

비슷하다.

포트폴리오에서 흩어짐을 표준편차로 해석하면, 이 흩어짐은 기대수익률의 양측으로

벗어남을 의미한다. 그러나, 기대수익률보다도 위쪽으로 치우치는 포트폴리오는 바람직하고,

아래쪽으로 치우치는 포트폴리오는 위험한 것이다. 따라서, 일정기간 내에서 최악의 시나리오

를 상정하고, 그 때 발생하는 최대 손실을 VaR(Value at Risk)라 한다. 이 VaR를 위험관리를

위한 측도로 사용한다. 즉, 위험을 기대수익률의 양측에서 흩어짐으로 해석하는 것이 아니라,

투자자는 손실에 민감하다는 상황을 적극적으로 도입한 척도가 VaR이다. 수익률이 정규분포

N(µ, σ2)를 따른다고 가정하는 경우, 100α%의 VaR란 다음 식을 만족하는 aα에 대해서

3[µ+ aασ]이다.

∫ aα

−∞

1√2π

exp(− 1

2x2)dx = α (2.10.1)

한 예로 5%의 VaR는 3[µ − 1.645σ]이다. 그러나, 단기간 데이터로 수익률이 정규분포를

따른다고말할수는없다. 따라서, 과거데이터나최악의시나리오에몬테카를로법을적용해서

경험분포 (empirical distribution)를 구한 다음, 이를 바탕으로 VaR를 추정한다.

결론적으로 말해서, VaR를 이용한 포트폴리오의 위험관리란 과거의 운용성적과 흩어짐의

정도를 정확히 추정해서, 미래 일어날 기대손실의 최대값을 예측하여, 투자자의 위험허용

수준에 맞춰서 위험을 관리하는 것이라 할 수 있다. VaR에 대한 자세한 내용은 Jorion (2006)

과 McNeil & Frey & Embrechts (2015)를 참조하라.

제3장

금융파생상품의 가치평가를 맛보기

이 장에서는 금융파생상품의 가치평가문제를 기술하고, 이 문제를 푸는 기본적 방향을 살펴

보자.

제3.1절 정의와 표기법

어떤 복잡한 수리적 문제를 풀어가는 과정에서 정의와 표기법을 정확하게 이해하는 것은

수리적 논리를 전개하는 것만큼이나 중요한 것이다. 이 절에서는 금융파생상품의 가치평가에

필요한 정의와 표기법을 살펴보자.

시점 t에서 옵션, 선물, 선도, 주식 등 N개 금융자산들의 가격들을 다음과 같은 가격벡터

SSSt로 표현하자.

St.= [St(1), St(2), · · · , St(N)]t (3.1.1)

이 가격벡터는 금융시장에 존재하는 모든 금융자산들의 시점 t에서 가격들을 하나의 기호로

나타낸 것이다. 예를 들어, St(1)은 무위험이자율, St(2)는 어떤 주식의 가격, St(3)는 그 주가

를원자산(underlying)으로하는콜옵션가치, St(4)는그 주가를원자산으로하는풋옵션가치

등으로 생각할 수 있다. 일반적으로, 시점 t = 0는 초기시점 (initial point)을 나타낸다.

금융자산가치평가에서는 언뜻 보기에 추상적 (抽象的, abstract)이지만 지극히 현상적

(現象的, phenomenal)인 개념이 하나 필요하다. 이것은 시장상태 (state of the world), 경제

상태(economic state) 또는 간단히 상태(state)라 부르는 것으로, 금융자산가치평가에서 매우

중요한 역할을 한다. 이 장에서는 금융시장에 상태들이 S개 존재한다고 가정하고, 가능한

121

122 제 3장 금융파생상품의 가치평가를 맛보기

상태들 ω1, ω2, · · · , ωS를 나타내는 상태벡터를 다음과 같이 정의하자.

ω.= [ω1, ω2, · · · , ωS ]

t (3.1.2)

여기서 S는유한임을기억하라. 이 상태들 ω1, ω2, · · · , ωS는상호배타적(mutually exclusive)

이며, 또한 각 시점에서 이들 중 하나가 반드시 발생한다. 따라서, 상태는 확률공간에서

정의되는 기초사건 (elementary event)에 해당한다. 일반적으로 금융자산은 각 상태에 따라

가치와 수익이 변화한다. 예를 들어, 어떤 주가가 시점에 따라 변화한다는 것은 명백하지만,

그것이 어떠한 형태로 변화하는지는 알 수 없다. 그러나, 아주 짧은 시간구간에서는 이 주가가

‘한 단위 업틱 (up-tick)’, ‘한 단위 다운틱 (down-tick)’ 또는 ‘변화하지 않음’ 중 어느 하나를

취한다고 생각할 수 있다. 이 경우에는 상태들이 3개 존재한다.

미래시점의 각 상태에 따라 각 금융자산의 미래시점가치 (payoff)가 다르다. 제j번째

금융자산의 한 단위가 상태 i에서 갖는 미래시점가치를 dij 로 표기하자. 어떤 금융자산의

미래시점가치는 두 가지 요소들로 이루어진다. 첫 번째 요소는 금융자산가격이 오르내리는

것에 따른 자본이익(capital gain) 또는 자본손실(capital loss)이다. 어떤 금융자산을 사들인,

즉 롱포지션 (long position)을 취한 투자자는 이 금융자산가격의 상승에 의해서 자본이익을

얻고, 이금융자산가격의하락에의해서자본손실을입는다. 그반대로, 금융자산을공매한, 즉

숏포지션(short position)을취한투자자는이금융자산가격의상승에의해서자본손실을입고,

이 금융자산가격의 하락에 의해서 자본이익을 얻는다. 두 번째 요소는 배당 (dividend)이나

쿠폰이자 (coupon interest payment)와 같은 배당지불 (payout)이다. 콜옵션, 풋옵션, 제로쿠

폰채(zero-coupon bond)와같은금융자산들에는배당지불이없다. 시장이N개금융자산들과

S개 상태들로 이루어질 때, 이에 해당하는 미래시점가치들을 다음과 같은 미래시점가치행렬

D로 나타낼 수 있다.

D.=

d11 d12 . . . d1N

d21 d22 . . . d2N...

.... . .

...

dS1 dS2 . . . dSN

(3.1.3)

행렬 D의 제i번째 행은 제i번째 상태에서 각 금융자산의 미래시점가치를 나타내고, 제j번째

열은 제j번째 금융자산의 각 상태에 따른 미래시점가치를 나타낸다. 미래시점가치가 시점 t

정의와 표기법 123

에 따라 변화함을 명시하고자 하면, 행렬 D에 아래첨자 t를 붙여 Dt로 표기한다.

제2장에서 언급했듯이, 경제학에서 다루는 완전자본시장 (perfect capital market)은 다음

조건들을 만족한다. 첫째, 세금이나 수수료 등과 같은 거래비용이 존재하지 않는다. 둘째,

모든 경제주체들이 시장에 자유롭게 참여하고 매매할 수 있으며, 충분히 많은 경제주체들이

시장에 참여하고 있다. 셋째, 정보는 완전하다. 즉, 거래되고 있는 상품에 관한 정보가 모든

시장참자가들에게 충분하고 평등하게 전달된다. 따라서, 모든 투자자들은 각 금융자산의

미래시점가치의 확률분포나 이 금융자산에서 발생하는 수익률의 확률분포에 대해서 동일하게

생각한다. 특히, 첫째 조건과 둘째 조건을 만족하는 시장을 마찰이 없는 시장 (frictionless

market)이라 부른다. 이 조건들은 다음과 같은 의미를 갖는다. 첫 번째 조건 하에서 거래

수수료나 자본이득에 대한 세금 등 거래비용이 존재하지 않는다. 따라서, 각 금융자산의

수익률은 매각시점에서 받는 판매대금에 소유기간 동안 획득한 이자나 배당 등 소득을 합한

값을매입시점에서가격으로나눈것이다. 두번째조건하에서투자자는자유롭게금융자산의

매매주문을 낼 수 있다. 즉, 매매주문량에 제한이 없으므로 공매 (short sale)가 가능하고,

매매주문 단위는 정수가 아닌 실수이다. 또한, 충분히 많은 투자자들이 시장에 참여하고 있기

때문에, 시장에서 각 금융자산의 유동성 (liquidity)이 높다. 시장 전체의 관점에서 보면 각

투자자의 매매주문은 상대적으로 충분히 작기 때문에, 각 매매주문 크기는 시장가격에 대해

영향력이없다고할수있다. 따라서, 각투자자가투자전략을세울때는각금융자산의가격을

주어진 것으로 하고 최적투자전략을 선택해야 한다. 가격결정에 영향력을 미치지 못하는

경제주체를 가격수용자 (price taker)라 부른다. 세 번째 조건 하에서 모든 시장참여자들은

어떤 금융자산의 발행주체에 관한 정보를 포함한 모든 정보를 동등하게 공유한다. 즉, 일부

투자자들만 접할 수 있는 정보는 없으며, 따라서 미래시점에서 각 금융자산의 지불금액함수의

확률분포에 관한 정보도 동일하다.

CAPM이나 Modigliani-Miller정리와 같이, 완전자본시장이라는 가정에 의존하는 재무적

이론들이많다. 예를들어, CAPM에서는모든투자자들이어떤미래시점에서금융자산가치의

확률분포에 대해 동일하게 생각한다고 가정한다. 이러한 가정 하에서는 모든 투자자들의

효율적프론티어가 같고, 따라서 2자산분리정리가 성립한다. 일반적인 금융파생상품의 가

치평가에서도 완전자본시장을 전제로 하고 있다. 완전자본시장에서는 공매에 대한 제한이

없으며또한각투자자는가격수용자이므로, 현재가격체계에서재정기회가존재하는경우에는

낮은 가격에 매입하는 동시에 높은 가격에 매도함으로써 아무런 위험 없이 순익을 얻을 수

있다. 이러한 과정이 반복됨으로써, 시장에 재정기회가 없는 가격체계가 성립한다. 그러나,

현실에서는 거래에 따른 거래비용이나 세금이 존재하고, 거래단위에도 제한이 있다. 예를


들어, 대한민국 주식시장에서 고가가 아닌 일반적인 주식의 거래단위는 10주이다. 또한,

일반적으로 개인투자자에게는 공매가 허용되지 않으며, 차입금리는 대출금리보다도 높다.

더구나, 유동성이 작은 금융자산은 팔고자 할 때 팔리지 않거나 또는 사고자 할 때 살 수 없을

수도 있다. 이렇게 실제시장에는 다양한 마찰이 존재한다.

제3.2절 무재정조건

오늘날 사용되는 많은 금융파생상품의 가치평가법들 (pricing methods)은 재정 (裁定, arbi-

trage)이라는 개념을 이용하고 있다. 예를 들어, 어떤 무위험포트폴리오의 미래시점가치가

무위험인 단기국채 (treasury bill)의 미래시점가치보다 크면, 투자자는 이러한 무위험포트

폴리오를 선택할 것이다. 만약 이러한 무위험포트폴리오가 존재하면, 그 시장에 재정기회가

존재한다고 한다. 재정에는 두 가지 종류가 있다.

첫째, 현재시점에서 비양 (nonpositive)인 투자가 미래시점의 각 상태에서 비음 (nonneg-

ative)인 수익을 발생시키고 또한 양의 수익을 발생시키는 상태가 적어도 하나 존재하면,

이러한 투자기회를 제1종 재정기회 (arbitrage opportunity of the first kind)라 한다. 예를

들어, 현재시점 t에서 어떤 주식 1주를 St에 공매하고, 그 주가를 원자산으로 하고 만기시점

T에서 행사가격이 K인 콜옵션 1단위를 Ct에 매입하고 나머지 St − Ct를 무위험이자율이

r인 무위험채권에 투자한다고 하자. 식 K = er[T−t] [St − Ct]이 성립한다고 가정하자. 만약

만기시점 T에서 원자산 ST 가 콜옵션의 행사가격 K 이상이면, 무위험채권을 K에 매도해서

그 대금으로 콜옵션을 행사해서 원자산 1단위를 공매자에게 지급한다. 따라서, 이 포트폴리

오의 만기시점 T에서 가치는 er[T−t] [St − Ct] −K = 0이다. 만약 만기시점 T에서 원자산

ST 가 콜옵션의 행사가격 K 미만이면, 콜옵션을 행사하지 않고 시장에서 원자산 1단위를

ST 로 매입해서 공매자에게 지급한다. 따라서, 이 포트폴리오의 만기시점 T 에서 가치는

er[T−t] [St − Ct]−K + [K − ST ] > 0이다. 즉, 이 시장에는 제1종 재정이 존재한다.

둘째, 현재시점에서 가치가 음 (negative)인 투자가 미래시점의 각 상태에서 비음 (non-

negative)인 수익을 발생시키는 투자기회를 제2종 재정기회 (arbitrage opportunity of the

second kind)라 한다. 예를 들어, 현재시점 t에서 어떤 주식 1주를 St에 공매하고, 그 주가를

원자산으로 하고 만기시점 T 에서 행사가격이 K인 콜옵션 1단위를 Ct에 매입하고, 또한

무위험채권을 K exp(−r[T − t])어치 매입한다고 하자. 만약 만기시점 T에서 원자산 ST 가

콜옵션의 행사가격 K 이상이면, 무위험채권을 K에 매도해서 그 대금으로 콜옵션을 행사해서

원자산 1단위를 공매자에게 지급한다. 따라서, 이 포트폴리오의 만기시점 T에서 가치는 0

무재정조건 125

이다. 만약 만기시점 T에서 원자산 ST 가 콜옵션의 행사가격 K 미만이면, 콜옵션을 행사하지

않고시장에서원자산 1단위를 ST 로매입해서공매자에게지급한다. 따라서, 이포트폴리오의

만기시점 T에서가치는K−ST (> 0)이다. 즉, 어떤상황에서도이포트폴리오의만기시점에서

가치는비음이다. 따라서, 만약현재시점 t에서이포트폴리오가치 St−Ct−K exp(−r[T − t])

가 음 (negative)이면, 이 시장에는 제2종 재정이 존재한다.

일물일가법칙 (the law of one price)이 성립한다는 것과 무재정조건이 성립한다는 것은

아주 비슷한 현상이다. 그러나, 이들이 동일한 것은 아니다. 시장이 무재정조건을 만족한다는

것은일물일가법칙이성립한다는것보다좀더강한제약조건이다. 이에대한증명은 IM&F11

의 제4.1.4소절을 참조하라.

재정이라는 개념을 이용해서, 금융자산의 공정한 가치 (fair price)를 정의할 수 있다. 시장

에 재정기회가 존재하지 않는다는 가정 하에서 금융자산가치를 평가하는 방법을 재정가치평

가법 (arbitrage pricing method)이라 하고, 이렇게 평가된 가치를 무재정가치 (no-arbitrage

price)라고 한다. 만약 어떤 금융자산의 가격이 무재정가치와 동일하다면 (실제로는 유의적인

차이가 없다면), 이 가격은 공정한 수준 (fair level)에 있다고 하거나 또는 금융자산이 바르게

평가되었다고 (correctly priced) 한다. 무재정가치와 시장가격 사이에 큰 차이가 있다는 것은

초과수익을얻을수있는기회가있음을나타낸다. 따라서, 무재정가치를기준가격(benchmark

price)으로 사용할 수 있다.

현실세계에는 재정이 존재한다. 그렇다고 해서, 무재정가치에 대한 흥미가 반감되는 것은

아니다. 우리는 무재정가치를 다음과 같은 용도로 이용할 수 있다.

첫째, 실제 거래되고 있는 금융자산가격의 타당성을 조사하는데 무재정가치를 사용할 수

있다. 즉, 잘못된 시장가격을 찾는데 무재정가치를 이용할 수 있다. 만약 시장가격과

무재정가치 사이에 큰 괴리가 있다면, 초과수익을 얻을 수 있는 재정기회가 존재한다.

어떤금융자산의무재정가치가실제관찰된가격을상회하면, 이금융자산은평가절하된

것이다. 따라서, 이 금융자산에 롱포지션을 취해서 추가이익을 얻을 수 있다. 반대

경우에는, 금융자산은평가절상된것이고따라서이금융자산에대해숏포지션을취해서

추가이익을 얻을 수 있다.

둘째, 어떤 퀀트 (quant)가 새로운 금융상품을 고안하는 경우, 이 신상품의 공급가격을 결정

하기 위해서 무재정가치를 이용할 수 있다. 즉, 이 신상품은 아직 시장에서 거래되지

않기 때문에, 실제 거래를 통해서 시장가격을 관찰할 수는 없다. 이러한 상황에서 이

신상품의 시장가격을 추정하는 데 무재정가치가 매우 유용하다.


셋째, 시장에서 유동성 (liquidity)이 낮은 금융자산을 가상일일정산 (mark-to-market)하는

데 무재정가치를 사용할 수 있다. 즉, 거래가 없는 금융자산의 현재가치를 알고자 하는

경우, 이 금융자산의 무재정가치를 사용하는 것이 그 해결책이 될 수 있다.

넷째, 시나리오분석을 사용해서 위험관리를 하는데 무재정가치를 사용할 수 있다. 위험관리

자는 최악의 시나리오를 상정해서 자신이 가지고 있는 포트폴리오의 위험을 추정하고자

한다. 이 경우에 다루고자 하는 문제는 아직 관찰되지 않은 가상적인 상황이다. 따라서,

위험관리자는 위험의 정도를 추정하는 시뮬레이션을 해야하고, 이 시뮬레이션에서는

해당 금융자산의 어떤 기준가격이 필요하다. 이러한 기준가격으로 무재정가치가 유용

하다.

제3.3절 자산가치평가의 근본적 정리

이 절에서는 금융파생상품의 가치평가에서 중요한 역할을 하는 자산가치평가의 근본적 정리

(the fundamental theorem of asset pricing)에 대해서 살펴보자. 이 절에서는 이 정리를

간단히 소개하고, 어떻게 이 정리를 금융자산평가에 이용하는지 예제들을 통해서 알아보기로

하자. 이 정리에 대한 자세한 내용은 제4장에서 다룰 것이다.

이 절에서는 1기간모형을 분석한다. 즉, 이 모형에는 현재시점 t0와 미래시점 t1.= t0 + δ

밖에존재하지않는다고가정하자. 두시점들사이의시간간격 δ(> 0)는무한소(infinitesimal)

가 아닌 작은 시간간격을 나타낸다. 투자자가 다음과 같은 세 종류 금융자산들에만 투자하는

경우를 생각해 보자.

첫째, 현재시점 t0에서 이 금융자산을 1만큼 매입한 경우, 미래시점 t1에서 이 금융자산의

가치는 1 + rδ이다. 여기서 r은 무위험이자율이다. 미래시점 t1에서 상태에 관계없이

이 금융자산의 미래시점가치는 일정하므로, 이는 무위험자산이다.

둘째, 미래시점 t1에서주가 St1은주어진두종류값들 s1(1)과 s1(2)중에서하나를취한다고

가정하자. 이것은 미래시점 t1에서 상태들이 2개임을 의미한다. 즉, 상태가 1이면 주가

St1 은 s1(1)이고, 상태가 2이면 주가 St1 은 s1(2)이다. 이 주식은 상태에 따라 서로 다른

미래시점가치를 가지므로, 위험자산이다.

셋째, 앞에서 언급한 주가를 원자산으로 하고, 행사가격 (strike price)이 K이고, 미래시점 t1

에서 만기 (expiry)가 되는 콜옵션을 생각해보자. 미래시점 t1에서 상태들이 2개라고

자산가치평가의 근본적 정리 127

가정하였으므로, 이 콜옵션도 미래시점 t1에서 두 종류의 값들 c1(1)과 c1(2) 중 하나를

취한다. 이콜옵션역시상태에따라서로다른미래시점가치를가지므로, 위험자산이다.

이 시장모형에는 금융자산들 세 종류와 상태들 2개가 존재한다. 즉, N = 3이고, S = 2

이다. 언뜻 보면 이 시장모형은 현실세계를 나타내기에는 지나치게 간단하다. 그러나 이

모형이 완전히 비현실적이라고 할 수도 없다. 실제로 연속시간에서 투자하고 있는 투자자가

어떤 옵션의 포지션에 주목하고 있다고 하자. 만약 관찰하는 시간구간이 짧으면, 그 시간구간

동안 원자산이 한 단위 틱을 넘어서 상승하거나 하락하는 경우는 없을 것이다. 따라서, 아주

가까운 미래시점에 상태들이 두 종류 밖에 존재하지 않는다고 가정하는 것은 현실을 합리적

으로 근사시킨 것이라 할 수 있다. 이 모형을 제3.1절에서 정의한 표기법으로 나타내 보자. 이

금융자산들의 가격벡터를 다음과 같이 표기할 수 있다.

St = [Bt, St, Ct ]t , (t = t0, t1) (3.3.1)

여기서 Bt는 무위험자산의 가격, St는 주가, Ct는 콜옵션가치이다. 금융자산들이 세 종류이

므로, 미래시점가치행렬 D의 열은 3개이다. 또한, 상태들이 2개이므로, D의 행은 2개이다.

여기서 상태들의 개수보다 금융자산들의 개수가 더 크다는 점에 유의하라. 이 시장모형에서는

마찰이 없다고 가정하므로, 이자율이 r인 무위험자산의 차입과 대출은 무제한으로 가능함을

상기하라. 미래시점 t1에서 무위험자산가격 Bt1 은 상태에 관계없이 일정한 값 [1 + rδ]Bt0

이다. 문제를 간단히 하기 위해서, 다음과 같이 가정하자.

Bt0 ≡ 1 (3.3.2)

미래시점 t1에서 주가 St1 은 상승한 값 s1(1)이거나 하락한 값 s1(2)이다. 콜옵션가치 Ct는

원자산 St의 변화에 따라 변동하여, 각 상태에 따라 c1(1) 또는 c1(2)이다. 따라서, 미래시점

가치행렬은 다음과 같다.

D =

1 + rδ s1(1) c1(1)

1 + rδ s1(2) c1(2)

(3.3.3)

아직자산가치평가의근본적정리를소개하지않았음을상기하라. 그러나, 자산가치평가의

근본적 정리를 설명하기 위해서 식 (3.3.2)와 식 (3.3.3)에 이 정리를 적용하면, 다음과 같은

결론을 얻을 수 있다.


첫째, 만약 다음 식을 만족하는 양수들 ψ1과 ψ2가 존재한다면, 재정은 존재하지 않는다.

1

St0

Ct0

=

1 + rδ 1 + rδ

s1(1) s1(2)

c1(1) c1(2)

ψ1

ψ2

(3.3.4)

둘째, 만약 재정이 존재하지 않으면, 식 (3.3.4)를 만족하는 양수들 ψ1과 ψ2가 존재한다.

식 (3.3.4)를 무재정표현(arbitrage-free representation)이라고 부른다. 식 (3.3.4)의 양수

들 ψ1과 ψ2는 무엇을 의미할까? 미래시점 t1에서 원자산 St1 이 상태 1에서는 1이고 상태 2

에서는 0이라면, 즉 s1(1) = 1이고 s1(2) = 0이라면, 무재정표현 (3.3.4)의 둘째 행에서 알

수 있듯이 St0 = ψ1이다. 따라서, 투자자는 미래시점 t1에서 상태가 1인 경우에는 보험금 1

그리고 상태 2인 경우에는 보험금 0을 지급하는 보험정책(insurance policy)에 대한 보험료로

현재시점 t0 에서 ψ1을 기꺼이 지불할 것이다. 마찬가지로, 투자자는 미래시점 t1에서 상태가

1인 경우에는 보험금 0 그리고 상태가 2인 경우에는 보험금 1을 지급하는 보험정책에 대한

보험료로 현재시점 t0에서 ψ2를 기꺼이 지불할 것이다. 따라서, 현재시점 t0에서 보험료로

ψ1 + ψ2를 지불하면, 시장이 어떠한 상태가 되어도 미래시점 t1에서 보험금 1을 보장받을 수

있다. 이를 무재정표현 (3.3.4)의 첫째 행에서 확인할 수 있다. 즉, 이 첫째 행은 다음과 같다.

[1 + rδ][ψ1 + ψ2] = 1 (3.3.5)

이 식은 현재시점 t0에서 보험료 ψ1 + ψ2의 미래시점 t1에서 가치가 1임을 의미한다. 이러한

해석으로부터 ψ1과 ψ2를 상태가격들 (state prices)이라 부르는 이유를 알 수 있다.

상태가격들의 존재성과 무재정조건을 연결시켜 보자. 상태 1과 상태 2에서 원자산 St의

총수익률들 (gross return rates) R1과 R2는 각각 다음과 같다.

R1 =s1(1)

St0, R2 =

s1(2)

St0(3.3.6)

무재정표현 (3.3.4)의 첫 두 행들을 다음과 같이 쓸 수 있다.

[1 + rδ]ψ1 + [1 + rδ]ψ2 = 1 (3.3.7)

R1ψ1 +R2ψ2 = 1 (3.3.8)

위험중립확률 129


[1 + rδ]−R1ψ1 + [1 + rδ]−R2ψ2 = 0 (3.3.9)


[1 + rδ]−R1

[1 + rδ]−R2= −ψ2

ψ1< 0 (3.3.10)

여기서 등호는 식 (3.3.9)에 의해서 성립하고, 부등호는 ψ1과 ψ2가 양수들이어서 성립한다.


min R1, R2 < 1 + rδ < max R1, R2 (3.3.11)

즉, 만약 이 시장모형에 재정이 존재하지 않으면, 식 (3.3.11)이 성립한다. 이를 다음과 같이

재확인할 수 있다. 만약 식들 1+ rδ ≤ R1 < R2가 성립하면, 무위험이자율 r로 무위험자산을

차입해서 원자산을 매입함으로써 양의 순익을 얻는다. 즉, 재정이 존재한다. 만약 식들

R1 < R2 ≤ 1+rδ가성립한다면, 원자산을공매해서얻는자금을무위험자산에투자함으로써

양의 순익을 얻는다. 즉, 재정이 존재한다.

제3.4절 위험중립확률

이 절에서는 제3.3절에서 다룬 예를 사용해서, 자산가치평가의 근본적 정리가 왜 금융파생상

품의 가치평가에서 중요한지를 설명하고자 한다.

제3.3절에서 알 수 있듯이, 재정이 존재하지 않으면 상태가격이 존재한다. 즉, 잘못 평가된

(mispriced) 금융자산이 존재하지 않으면, 상태가격들 ψ1과 ψ2가 존재한다. 이 경우에, 무재

정표현 (3.3.4)의 첫째 행을 다음과 같이 쓸 수 있다.

1 = [1 + rδ]ψ1 + [1 + rδ]ψ2 (3.4.1)

다음 값들을 정의하자.

q1.= [1 + rδ]ψ1, q2

.= [1 + rδ]ψ2 (3.4.2)


무재정조건 하에서 상태가격이 양수라는 것 그리고 식 (3.4.1)과 식 (3.4.2)에 의해서, 다음

식들이 성립함을 알 수 있다.

0 < q1 < 1, 0 < q2 < 1, q1 + q2 = 1 (3.4.3)

식 (3.4.3)에서 알 수 있듯이, q1과 q2를 상태들에 해당하는 확률들로 해석할 수 있다. 여기서

유의할 점은 이 상태들이 실현되는 진짜확률들 (true probabilities)은 q1이나 q2가 아니라는

것이다. 이 q1과 q2를 위험중립확률들 (risk-neutral probabilities) 또는 위험조정합성확률들

(risk-adjusted synthetic probabilities) 또는 위험조정확률들 (risk-adjusted probabilities)이

라 부른다. 지금까지 내용을 정리한 것이 자산가치평가의 근본적 정리이다. 즉, 자산가치평가

의 근본적 정리는 재정이 존재하지 않으면 위험중립확률들이 존재한다는 것이다.

자산가치평가의 근본적 정리로부터, 다음과 같은 금융자산가치평가에서 중요한 정리를

유도할 수 있다.

정리 3.4.1

위험중립확률을 사용해서 미래시점에서 금융자산가치의 기대값을 계산한 다음, 이 기대

값을 무위험이자율로 할인한 값이 이 금융자산의 공정한 현재가치이다.

정리 3.4.1를 예증하기 위해서, 우선 무재정표현 (3.3.4)를 다음과 같은 세 등식들로 표현

하자.

1 = [1 + rδ]ψ1 + [1 + rδ]ψ2 (3.4.4)

St0 = ψ1s1(1) + ψ2s1(2) (3.4.5)

Ct0 = ψ1c1(1) + ψ2c1(2) (3.4.6)

만약 1 + rδ = 0이면, 식 (3.4.5)와 식 (3.4.6)을 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.

St0 =1

1 + rδ[1 + rδ]ψ1s1(1) + [1 + rδ]ψ2s1(2) (3.4.7)

Ct0 =1

1 + rδ[1 + rδ]ψ1c1(1) + [1 + rδ]ψ2c1(2) (3.4.8)

식 (3.4.7)과 식 (3.4.8)에 식 (3.4.2)에서 정의한 위험중립확률들 q1과 q2를 대입하면, 다음

위험중립확률 131

식들을 얻는다.

St0 =1

1 + rδq1s1(1) + q2s1(2) (3.4.9)

Ct0 =1

1 + rδq1c1(1) + q2c1(2) (3.4.10)

식 (3.4.9)와 식 (3.4.10)에서 1/[1 + rδ]은 시간구간 [t0, t1]에서 무위험할인율 (risk-free

discount rate)이다. 또한, 식 (3.4.9)의 우변과 식 (3.4.10)의 우변의 대괄호 안의 값들은

위험중립확률들을 사용해서 계산한 기대값들이다. 즉, 다음 식들이 성립한다.

St0 =1

1 + rδEQ(St1) (3.4.11)

Ct0 =1

1 + rδEQ(Ct1) (3.4.12)

여기서 Q는 위험중립확률들 q1과 q2에 해당하는 위험중립확률측도 (risk-neutral probability

measure)이다. 드디어 확률측도 (probability measure)라는 단어가 나타났다! 확률론에

대한 지식이 없는 독자는 확률측도를 확률분포 (probability distribution)로 간주하라. 식

(3.4.11)과 식 (3.4.12)의 기대값들은 진짜확률밀도함수에 의해서 계산된 진짜기대값들 (true

expectations)이 아니다. 그러나, 자산가치평가의 근본적 정리에서 알 수 있듯이, 재정이

존재하지 않으면 식 (3.4.11)과 식 (3.4.12)가 성립한다. 이렇게 q1과 q2를 확률들로 간주하면,

각금융자산의공정한현재가치는미래시점가치의위험중립확률측도(risk-neutral probability

measure) Q하에서 계산한 기대값을 무위험이자율로 할인한 값과 같다. 독자들은 위험자산을

평가하는 경우에도 무위험이자율로 할인함에 유의하라.

위험중립확률의 중요성을 강조하기 위해서, 위험중립확률측도 Q대신에 진짜확률측도 P

를 사용해서 기대값들을 계산해 보자. 상태들이 발생하는 진짜확률들을 p1과 p2라 하고, 이를

사용해서 구한 진짜기대값들은 다음과 같다.

EP (St1) = p1s1(1) + p2s1(2) (3.4.13)

EP (Ct1) = p1c1(1) + p2c1(2) (3.4.14)


다음 식들이 성립한다고 가정하자.

St0 =1

1 + rδEP (St1) (3.4.15)

Ct0 =1

1 + rδEP (Ct1) (3.4.16)

일반성을 잃지 않고, 시점 t0에서 각 금융자산가격이 0이 아니라고 가정할 수 있다. 가정

(3.4.15)와 가정 (3.4.16)에 의해서, 다음 식들이 성립한다.

EP (St1)

St0− 1 = rδ =

EP (Ct1)

Ct0

− 1 (3.4.17)

식 (3.4.17)은 각 위험자산의 진짜기대수익률이 무위험이자율과 동일함을 나타낸다. 이것은

위험자산이 양 (positive)의 위험프리미엄을 갖는다는 사실과 모순이다. 만약 위험에 대한

보상이이루어지지않는다면, 위험회피적투자자는위험자산에투자하지않을것이다. 따라서,

다음 식들이 성립해야 한다.

[1 + rδ] + (St의 위험프리미엄) =EP (St1)

St0(3.4.18)

[1 + rδ] + (Ct의 위험프리미엄) =EP (Ct1)

Ct0

(3.4.19)

즉, 다음 부등식들이 성립한다.

St0 < EP

(1

1 + rδSt1

)(3.4.20)

Ct0 < EP

(1

1 + rδCt1

)(3.4.21)

등식들 (3.4.11)과 (3.4.12)를 부등식들 (3.4.20)과 (3.4.21)과 비교하면, 금융자산가치평

가에서 무재정조건과 자산가치평가의 근본적 정리의 중요성을 명백하게 알 수 있다. 만약

재정이 존재하지 않으면, 양의 상수들 ψ1과 ψ2가 존재하고, 또한 이들을 이용해서 위험중립

확률들 q1과 q2를 계산할 수 있다. 이 위험중립확률들을 이용해서, 가치평가식들 (3.4.11)과

(3.4.12)를 얻는다. 부등식들 (3.4.20)과 (3.4.21)을 해석할 때와는 달리, 이 가치평가식들은

위험프리미엄을 포함하지 않는다. 즉, 위험중립확률을 이용하면, 위험프리미엄을 계산할

필요가 없다. 앞에서 강조했듯이, 위험중립확률을 이용해서 어떤 금융자산가치의 기대값을

계산하고, 그 기대값을 무위험이자율로 할인한 값은 그 금융자산의 현재가치와 같다. 따라서,

마팅게일 133

위험중립확률측도 하에서 각 금융자산의 기대수익률은 무위험이자율과 같다.

제3.5절 마팅게일

어떤 시점 t에서 얻을 수 있는 정보집합(information set)을 It라 하자. 만약 확률과정 Xt가

다음 등식을 만족하면, 확률과정 Xt는 확률측도 P에 대해서 마팅게일 (martingale)이라

한다.

EP (Xt+s | It) = Xt, (s > 0) (3.5.1)

만약 확률과정 Xt가 다음 부등식을 만족하면, 확률과정 Xt는 확률측도 P 에 대해서

열마팅게일 (submartingale)이라 한다.

EP (Xt+s | It) ≥ Xt, (s > 0) (3.5.2)

만약 확률과정 Xt가 다음 부등식을 만족하면, 확률과정 Xt는 확률측도 P 에 대해서

우마팅게일 (supermartingale)이라 한다.

EP (Xt+s | It) ≤ Xt, (s > 0) (3.5.3)

식 (3.4.20)과 식 (3.4.21)에서 알 수 있듯이, 어떤 금융자산가치를 진짜확률측도 P 하에서

계산한기대값을무위험이자율로할인하면, 식 (3.5.2) 또는식 (3.5.3)과같은부등식이성립한

다. 반면에, 이 금융자산가치를 위험중립확률측도 Q하에서 계산한 기대값을 무위험이자율로

할인한 값은 식 (3.5.1)과 같은 등식을 이룬다. 따라서, 진짜확률측도 대신에 위험중립확률측

도를 이용하면, 금융자산가치평가에서 마팅게일의 성질들을 이용할 수 있다. 즉, 정리 3.4.1

에서 알 수 있듯이, 금융자산의 공정한 가치를 마팅게일을 사용해서 구할 수 있다. 예를 들어,

다음과 같은 확률변수 Xt+uδ를 살펴보자.

Xt+uδ =1

[1 + rδ]uCt+uδ (3.5.4)

여기서 u는 자연수이고, Ct+uδ는 시점 t+uδ에서 콜옵션의 무재정가치이다. 식 (3.4.12)에서



Xt = EQ (Xt+uδ | It) (3.5.5)

여기서 Q는 위험중립확률측도임을 상기하라. 식 (3.5.5)에서 Xt+uδ | u = 0, 1, · · · 는

마팅게일임을 알 수 있고, 식 (3.5.5)를 이용해서 현재시점 t에서 공정한 가치 Xt를 결정할 수

있다. 즉, 콜옵션의 현재시점 t에서 공정한 가치 Ct를 평가할 수 있다.

금융이론에서마팅게일을이용하는데유의해야할점이있다. 첫째, 마팅게일은항상어떤

확률측도상에서정의된다는것이다. 한예로, 식 (3.5.5)에서정의한할인된금융자산가치과정

Xt+uδ | u = 0, 1, · · · 는 위험중립확률측도 Q에 대한 마팅게일이다. 그러나, 진짜확률측도

P에대한마팅게일은아니다. 둘째, 마팅게일은정보집합 It에대해서정의된다. 좀더엄격히

말하면, 증대정보계 (filtration)에 대해 정의된다.

원자산과정 St+uδ 자체가 마팅게일이 아니라, 할인된 확률과정 1[1+rδ]uSt+uδ, 즉 정

규화된 (normalized) 확률과정이 마팅게일이다. 이 [1 + rδ]u는 무위험자산 1에 시간간격이

δ단위인 복리를 적용해서 얻은 총수익 (gross return)이다. 그러나, 만약 이자율이 시점 t에

의존한다면, 시점에 의존하는 할인인자를 사용해야 할 것이다. 예를 들어, 어떤 금융자산가격

St+uδ를 확률적 제로쿠폰채가격 Bt+uδ로 나눈 다음 확률변수를 생각해보자.

Yt+uδ.=St+uδ

Bt+uδ(3.5.6)

어떤금융자산가격을정규화시키는다른금융자산을기준재(numéraire)라부른다. 식 (3.5.6)

에서는 제로쿠폰채가 기준재로 사용되었다. 자산가치평가의 근본적 정리에 의하면, 정규화된

확률과정 Yt+uδ | u = 0, 1, · · · 가 마팅게일이 되도록 하는 확률측도 Q∗가 존재한다. 이 확

률측도 Q∗는확률측도 Q와다르다. 정규화된금융자산가치를마팅게일로만드는확률측도를

찾아서 그 금융자산가치를 평가하는 것은 매우 중요한 기법이다.

제3.6절 예제들

이 절에서는 자산가치평가의 근본적 정리와 위험중립확률측도의 유용성을 살펴보기 위해서

예제들을 살펴보자.

예제 3.6.1 현재시점 t0에서 무위험자산 1단위를 매입하고, 그 결과로 시점 t1에서 10퍼센트

의 수익을 얻는다고 하자. 또한, 어떤 주식의 현재시점 t0에서 주가가 St0 = 310/3이라 하고,

예제들 135

미래시점 t1에서 상태들이 2개 존재한다고 하자. 미래시점 t1에서 상태가 1이면 주가는 99

이고, 상태가 2이면 주가는 121이라고 하자. 즉, s1(1) = 99이고 s1(2) = 121이다. 만기시점

t1에서 행사가격이 110인 콜옵션을 살펴보자. 만약 이 시장모형에 재정이 존재하지 않는다면,

자산가치평가의 근본적 정리에 의해서 다음 무재정표현이 성립한다.

1

310/3

Ct0

=

1.1 1.1

99 121

0 121− 110

ψ1

ψ2

(1)

식 (1)에서 콜옵션가치 Ct0 가 미지수인 것에 유의하라. 우선, 시장에서 콜옵션가치가

Ct0 = 11/2이라고 가정하자. 식 (1)의 세 번째 행에서 ψ2 = 1/2임을 알 수 있다. 이 값을 두

번째행에대입하면, ψ1 = 257/594을얻는다. 그러나, 이 ψ1과 ψ2는첫번째행을만족시키지

못한다. 즉, 다음 식들이 성립한다.

1.1× 257

594+ 1.1× 1

2=

227

270> 1 (2)

결론적으로, 만약 시장에서 콜옵션가치가 Ct0 = 11/2이면, 무재정표현 (1)을 만족하는 상태

가격들 ψ1과 ψ2가 존재하지 않는다. 즉, 재정이 존재한다.

이번에는 식 (1)의 첫 번째 행과 두 번째 행으로 구성된 연립방정식에서 상태가격들 ψ1과

ψ2를 구하자. 이 연립방정식의 해는 ψ1 = 10/33 (> 0)과 ψ2 = 20/33 (> 0)이다. 이 값들을

세 번째 행에 대입하면, 식 Ct0 = 20/3가 성립함을 알 수 있다. 따라서, 무재정조건 하에서

얻어진 상태가격들 ψ1과 ψ2를 사용하면, 콜옵션가치는 Ct0 = 20/3이다. 즉, 위험중립가치

평가식에 의한 콜옵션가치는 Ct0 = 20/3이다. 이 콜옵션가치는 무재정가치이므로 공정한

가치라고 할 수 있다.

예제 3.6.2 현재시점에서 주가가 St0 = 70이라는 것을 제외한 나머지 상황은 <예제 3.6.1>

과 동일하다고 가정하자. 만약 재정이 존재하지 않는다면, 자산가치평가의 근본적 정리에

의해서 다음 무재정표현이 성립한다.

1

70

Ct0

=

1.1 1.1

99 121

0 121− 110

ψ1

ψ2

(1)


식 (1)의 첫 번째 행과 두 번째 행에서 상태가격들 ψ1과 ψ2를 구하면, ψ1 = 20/11과

ψ2 = −10/11이다. 이는 상태가격이 양이라는 조건에 위배된다. 따라서, 자산가치평가의

근본적 정리에서 알 수 있듯이, 이 시장에는 재정기회가 존재한다.

예를 들어, 현재시점 t0에서 무위험자산 70a을 공매하여 생긴 자금으로 주식 a단위를

사면, 미래시점 t1에서 이 주식의 가치는 적어도 99a이고 무위험자산의 가치는 77a이다. 즉,

현재시점에서 가치가 0인 포트폴리오의 미래시점가치가 적어도 22a (> 0)이다. 따라서,

재정이 존재함을 확인할 수 있다.

예제 3.6.3 현재시점에서 주가가 St0 = 90이라는 것을 제외한 나머지 상황은 <예제 3.6.1>

과 동일하다고 가정하자. 만약 재정이 존재하지 않는다면, 자산가치평가의 근본적 정리에

의해서 다음 무재정표현이 성립한다.

1

90

Ct0

=

1.1 1.1

99 121

0 121− 110

ψ1

ψ2

(1)

식 (1)의 첫 번째 행과 두 번째 행을 만족하는 상태가격들 ψ1과 ψ2를 구하면, 각각

ψ1 = 10/11과 ψ2 = 0이다. 이는 상태가격이 양이라는 조건에 위배된다. 따라서, 자산가치평

가의 근본적 정리에 의해서, 재정이 존재한다. 식 (1)의 세 번째 행에서 이 콜옵션의 공정한

가치가 0이어야 함을 알 수 있다. 따라서, 만약 콜옵션의 시장가격이 양수이면, 이 콜옵션에

숏포지션을 취하고 다른 금융자산에 롱포지션을 취함으로써 재정이 발생한다. 콜옵션의

시장가격이 음수라는 것은 현실적으로 의미가 없는 것이다. 또한, 만약 콜옵션의 시장가격이

0이면, 원자산은 무위험이다. 따라서, 이러한 콜옵션 자체가 존재하지 않을 것이다.

예제 3.6.4 <예제 3.6.1>에서 고려하는 시장모형에 주가를 원자산으로 하며 만기시점 t1에

서 행사가격이 209/2인 풋옵션을 추가하자. 만약 재정이 존재하지 않는다면, 자산가치평가의

예제들 137

근본적 정리에 의해서 다음 무재정표현이 성립한다.

1

310/3

Ct0

Pt0

=

1.1 1.1

99 121

0 121− 110

2092 − 99 0

ψ1

ψ2

(1)

식 (1)에서 콜옵션가치 Ct0 와 풋옵션가치 Pt0 가 미지수임에 유의하라. 식 (1)의 첫 번째

행과 두 번째 행에서 알 수 있듯이, 식 ψ1 = 10/33 (> 0)과 식 ψ2 = 20/33 (> 0)이 성립한다.

이 상태가격들을세 번째행에대입해서, 콜옵션의무재정가치 Ct0 = 20/3을얻는다. 또한, 이

상태가격들을 네 번째 행에 대입해서, 풋옵션의 무재정가치 Pt0 = 5/3를 얻는다. 다음 식들이

성립한다.

1.1q1 + 1.1q21

=99q1 + 121q2

310/3=

11q2Ct0

=112 q1

Pt0

= 1.1 (2)

즉, 위험중립확률측도 하에서 각 위험자산의 기대수익률은 무위험이자율과 같다.

예제 3.6.5 다음과 같은 무재정표현을 살펴보자.

1

100

Ct0

=

1.1 1.1 1.1

100 50 150

0 0 50

ψ1

ψ2

ψ3

(1)

이 모형에서 금융자산들의 개수가 3이고 상태들의 개수가 3이다.

식 (1)에서 첫 번째 행과 두 번째 행으로 이루어진 연립방정식을 만족하는 상태가격들 ψ1,

ψ2 그리고 ψ3는 무수히 많이 존재한다. 즉, 이 시장모형에서는 콜옵션가치 Ct0 도 무수히 많이

존재한다. 따라서, 콜옵션의무재정가치 Ct0를하나로결정하기위해서는적절한상태가격벡터

[ψ1, ψ2, ψ3]t를 선택할 필요가 있다. 이에 대해서는 IM&F11의 제4.11절을 참조하라.

지금까지 설명했듯이, 금융자산의 공정한 가치를 평가하기 위해서 자산가치평가의 근본적

정리를 바탕으로 하는 위험중립가치평가법을 적용할 수 있다. 이 위험중립가치평가법을

적용하는 절차를 다음과 같이 요약할 수 있다.


(1단계) 원자산과정 St의 움직임을 나타내는 모형을 구축한다.

(2단계) 만기시점 또는 그 외 경계 (boundary)에서 원자산과 금융파생상품가치의 관계를

정립한다. 재무이론적으로 보면 이러한 관계는 그 금융계약 자체를 정의한 것이고,

수리적으로 보면 이 관계는 경계조건 (boundary condition)이다.

(3단계) 위험중립확률측도를 구축한다.

(4단계) 이 위험중립확률측도를 사용해서, 만기시점에서 금융파생상품가격의 기대값을

구한다.

(5단계) 이 기대값을 무위험이자율로 할인한다. 이 할인된 기대값이 금융파생상품의 현재시

점에서 공정한 가치이다.

제3.7절 변형모형들

이 절에서는 지금까지 다룬 1기간모형을 변형한 모형들을 설명하고자 한다. 이 모형들은

실무에서 자주 사용되는 것들이다. 첫째는 배당이나 쿠폰과 같은 배당지불 (payout)이 있는

경우이다. 즉, 어떤금융파생상품의만기시점이전에해당원자산에배당금이지급되는모형이

다. 둘째는 외국환(foreign exchange: FX)에 관련된 경우이다. 즉, 환율과 연관된 금융자산을

원자산으로 하는 모형이다. 원자산에 배당지불이 없다고 가정하고 유도한 금융파생상품의

가치평가식을 약간 변형해서, 원자산에 배당지불이 있는 금융파생상품이나 원자산이 외화로

표시된 금융파생상품의 가치평가식을 유도할 수 있다. 이 변형모형들에 대한 자세한 내용은

IM&F11의 제2.4절을 참조하라.

3.7.1 원자산에 배당이 있는 경우

지금까지 다룬 시장모형에 다음과 같은 가정을 추가하자. 원자산 St에 배당비율 dt0δ만큼의

배당이 시점 t1에서 지불된다. 여기서 다음 두 가지 점들에 유의하자. 첫째, 배당은 일정한

값 (lump sum)이 아니라, 시점 t1에서 원자산에 비례해서 일정한 비율만큼 지불된다. 둘째,

배당비율 dt0 의 첨자는 t1이 아닌 t0이다. 따라서, 시점 t1에서 dt0 는 알려진 값이다. 즉, 시점

t0에서 정보 It0 가 주어지면, 배당비율은 확률변수가 아닌 상수이다. 이러한 조건 하에, 시점

t1에서 상태가 1이면 원자산은 St0 에서 sut1 로 상승하고, 상태가 2이면 원자산은 St0 에서 sdt1

로 하락한다고 하자. 즉, 시점 t1의 상태 1에서 원자산가치는 [1 + dt0δ]sut1 이고, 상태 2에서

원자산가치는 [1 + dt0δ]sdt1 이다.

변형모형들 139

자산가치평가의 근본적 정리에 의해서, 다음과 같은 무재정표현을 얻을 수 있다.

1

St0

Ct0

=

1 + rδ 1 + rδ

[1 + dt0δ]sut1 [1 + dt0δ]sdt1cut1 cdt1

ψ1

ψ2

(3.7.1)

식 (3.7.1)에 식 (3.4.11)과 식 (3.4.12)를 유도하는 방법을 적용해서, 다음 가치평가식들을

얻을 수 있다.

St0 =1

1 + rδ[1 + dt0δ]E

Q(St1) (3.7.2)

Ct0 =1

1 + rδEQ(Ct1) (3.7.3)

여기서 Q는 중간배당을 고려한 위험중립확률측도이다. 식 (3.7.2)는 배당지불이 없는 경우인

식 (3.4.11)과 다르며, 식 (3.7.3)은 배당지불이 없는 경우인 식 (3.4.12)와 동일함에 유의하라.

즉, 시간구간 [t0, t1)에서원자산의배당률이 dt0δ이면, 원자산의위험중립할인인자는 1/[1+rδ]

가 아니라 [1 + dtδ]/[1 + rδ]라고 해석할 수 있다. 반면에, 콜옵션의 할인율에는 변화가 없다.

식 (3.7.2)와 식 (3.7.3)에서 알 수 있듯이, 만약 시간간격 δ가 충분히 작다면, 다음 식들이

성립한다.

EQ

(St1St0

)=

1 + rδ

1 + dt0δ≃ 1 + [r − dt0 ]δ (3.7.4)

EQ

(Ct1

Ct0

)= 1 + rδ (3.7.5)

즉, 원자산에 배당이 지불되는 경우에, 위험중립확률측도 Q하에서 원자산의 시간구간 [t0, t1)

에서 기대수익률은 무위험이자율 rδ에서 배당률 dt0δ를 뺀 값이다. 그러나, 콜옵션의 기대수

익률은 무위험이자율과 같다.

3.7.2 원자산이 환율인 경우

제3.3절에서도입한시장모형에서주식대신외화예금구좌(foreign currency savings account)

에 투자하는 경우를 살펴보자. 즉, 외환예금구좌가 원자산이라고 하자. 여기서 유의할 점은

비록 외화예금구좌에 투자를 하지만, 투자액이나 수익을 국내통화 (domestic currency)로

계산한다는 점이다. 따라서, 이러한 투자에서는 환율 (exchange rate)이 고려되어야만 한다.

시점 t에서 외화 (foreign currency) 1단위를 구입하기 위해 국내통화 Ft단위를 지불한다고


하자. 이 경우에, 시점 t에서 환율은 Ft이다. 예를 들어, USD 1.00을 매입하기 위해서 KRW

1200.00을 지불한다면, 환율은 1200원/달러이다.

외화예금의 이자율 rf 를 시점 t0에서 알고 있다고 가정하자. 이론을 전개할 때는 해당

외환국가의무위험이자율을외화예금의이자율로간주하는것이일반적이다. 시간구간 [t0, t1)

에서소유하고있는외화 1단위에는외화예금이자 rfδ가지급된다. 이 rfδ에시점 t1에서환율

Ft1 을 곱한 Ft1rfδ가 국내통화로 나타낸 이자이다. 또한, 시점 t1에서 상태가 1이면 원자산인

환율은 Ft0 에서 fut1 로 상승하고, 상태가 2이면 환율은 Ft0 에서 fdt1 로 하락한다고 하자. 이

경우에, 시점 t1의 상태 1에서 원자산가치는 [1 + rfδ]fut1 이고, 상태 2에서 원자산가치는

[1 + rfδ]fdt1 이다. 따라서, 다음과 같은 무재정표현이 성립한다.

1

Ft0

Ct0

=

1 + rδ 1 + rδ

[1 + rfδ]fut1 [1 + rfδ]fdt1cut1 cdt1

ψ1

ψ2

(3.7.6)

여기서 r은 국내무위험이자율이고, Ct는 외국통화 1단위의 가격인 환율 Ft를 원자산으로

하는 콜옵션가치이다. 이 콜옵션의 행사가격이 K라고 하자. 만약 만기시점 t1에서 환율이

K를 초과하면, 이 콜옵션의 매입자는 명목원금 (notional amount) A에 [Ft1 − K]를 곱한

A[Ft1 −K]를 수취한다.

식 (3.4.11)과 식 (3.4.12)를 유도하는 방법을 식 (3.7.6)에 적용해서, 다음 식들을 얻을 수

있다.

Ft0 =1

1 + rδ[1 + rfδ]E

Q(Ft1) (3.7.7)

Ct0 =1

1 + rδEQ(Ct1) (3.7.8)

여기서 Q는 외화예금을 고려한 위험중립확률측도이다. 식 (3.7.7)은 외화예금의 이자율 rf 가

없는 경우와 다르며, 식 (3.7.8)은 외화예금의 이자율 rf 가 없는 경우와 동일함에 유의하라.

즉, 외화예금의 경우에 위험중립할인인자는 1/[1 + rδ]가 아니라 [1 + rfδ]/[1 + rδ]로 해석할

수있다. 반면에, 콜옵션의할인율에는변화가없다. 식 (3.7.7)과식 (3.7.8)에서알수있듯이,

연속시간모형과 확률미분방정식 141

만약 시간간격 δ가 충분히 작다면, 다음 식들이 성립한다.

EQ

(Ft1

Ft0

)=

1 + rδ

1 + rfδ≃ 1 + [r − rf ]δ (3.7.9)

EQ

(Ct1

Ct0

)= 1 + rδ (3.7.10)

즉, 위험중립확률측도 Q하에서 외화예금의 연간 기대수익률은 국내무위험이자율 r에서

외화예금이자율 rf 를 뺀 값이다. 그러나, 원자산을 환율로 하는 콜옵션의 기대수익률은

국내무위험이자율 r과 같다.

제3.8절 연속시간모형과 확률미분방정식

지금까지 다룬 1기간모형을 확장해서 이산시점들 tk | k = 0, 1, · · · , n에서 정의되는

이산시간모형을 다룰 수 있다. 그러나, 좀 더 심각하게 금융자산가치를 평가하는 방법을

다루기 위해서는, 시점 t가 연속이라는 가정을 해야 한다. 연속시간모형에서는 짧은 시간간격

δ대신에 무한소(infinitesimal) 시간간격 dt를 사용해야 한다. 만약상태들의개수가 비가산적

(uncountable)이라면, 시장의 상태들도 연속적이라고 가정하는 것이 타당할 것이다. 즉,

연속형 상태공간을 가정해야 할 것이다. 이러한 경우를 다루기 위해서는 확률미분방정식

(stochastic differential equation: SDE)을 사용해야 한다. 연속시간모형을 사용하는 경우에

는 금융자산가치를 할인하는 방법도 바꾸어야 한다. 이산시간모형에서 시간간격 δ에 대응

하는 할인인자는 1/[1 + rδ]이다. 반면에, 연속시간모형에서는 무위험이자율 r을 연속복리

(continuously compounded)로 적용한 e−rδ이다.

제3.4절에서 다룬 이산시간모형을 연속시간모형으로 전환해 보자. 식 (3.4.11)에서 알 수

있듯이, 만약 시간간격 δ가 충분히 작다면, 다음 근사식이 성립한다.

EQ

(St1St0

)≃ 1 + rδ (3.8.1)

식 (3.8.1)에서 알 수 있듯이, 다음 근사식이 성립한다.

St1St0

≃ 1 + rδ + σ∆WQt0

(3.8.2)

여기서 σ∆WQt0는예측할수없는성분, 즉 백색잡음항(white noise)이다. 또한, ∆WQ

t0의 ∆는

시간구간을 의미하는 것이 아니라 차분연산자 (difference operator)임을 유의하라. 즉, 다음


식들이 성립한다.

∆WQt0

.=WQ

t1−WQ

t0, ∆St0

.= St1 − St0 (3.8.3)


∆St0 ≃ rSt0δ + σSt0∆WQt0

(3.8.4)

식 (3.8.4)의 양변에 식 t0 = t와 극한 δ → 0을 대입하면, 다음과 같은 확률미분방정식이

성립한다.

dSt = rStδ + σStdWQt (3.8.5)

여기서 dt는 무한소 (infinitesimal) 시간간격이다. 만약 WQt 가 무엇인지 궁금한 독자가

있다면, 현재로서는 σdWQt 가 회귀분석의 오차항들에 해당한다고 단순히 생각하라. 앞으로

본서의 많은 부분에서 WQt 를 다루게 될 것이다. 식 (3.8.5)의 dSt는 원자산의 무한소변화

(infinitesimal change)를 나타내고, 우변의 rStdt는 그 중에서 예측가능한 부분을 나타내며,

σStdWQt 는예측이불가능한부분을나타낸다. 식 (3.8.5)와같은확률미분방정식을사용해서,

금융파생상품의 가치를 평가하는 것이 본서의 주된 목적이다.

제4장

자산가치평가의 근본적 정리

이 장에서는 자산가치평가의 근본적 정리 (the fundamental theorem of asset pricing)에

대해서 좀 더 자세히 살펴보기로 하자. 본서에서는 주로 연속시간모형들을 다룰 것이나, 이

장에서는이정리를직관적으로설명하기위해서 1기간모형을다루고자한다. 이시장모형에서

상태들의 개수가 유한이라고 가정한다. 이 장의 내용에 대한 좀 더 자세한 내용은 IM&F11

의 제4장을 참조하라.

제4.1절 증권과 확률모형

금융자산의 미래가치는 불확실하다. 이러한 불확실성을 바탕으로 하는 금융현상을 분석하기

위해서는 금융자산의 미래가치를 확률모형으로 나타내어야 한다. 앞에서 언급했듯이, 이 장

에서는 1기간모형을 다룬다. 즉, 투자자는 현재시점(t = 0)과 미래시점(T = 1)만을 고려해서

자신의 최적투자전략을 결정한다고 하자. 현재시점 t = 0에서 보면 미래시점 T = 1에서 어떤

상황이 발생할지 불분명하다. 미래시점 T = 1에 일어날 수 있는 상태들 (states)과 그것이

일어날 확률들을 나열하면, 미래시점 T = 1에서 가치, 즉 미래시점가치 (payoff)를 나타내는

확률변수 D의 확률밀도함수가 결정된다. 물론 이 확률밀도함수는 각 개인투자자 별로 다를

수 있다. 그러나, 객관적인 논리를 전개하기 위해서 대표적 투자자가 존재한다고 가정하고 이

대표적 투자자의 확률밀도함수를 살펴보기로 하자. 미래시점 T = 1에서 가능한 상태들의

전체집합, 즉 상태공간을 Ω로 표기하자. 통계학에서는 이 Ω를 표본공간 (sample space)이라

부른다. 앞에서와 마찬가지로, 상태공간 Ω는 유한집합이라 가정하고 다음과 같이 표기하자.

Ω.= 1, 2, · · · , S (4.1.1)

143

144 제 4장 자산가치평가의 근본적 정리

각 증권 (security)은 현재시점 t = 0에서 가격 p0 (> 0)와 미래시점 T = 1에서 가치, 즉

미래시점가치 D로 특징지어진다. 미래시점가치 D는 표본공간 Ω 상에서 정의되는 확률변수

이다. 즉, 1기간모형에서는 증권을 현재가격 p0와 미래가치를 나타내는 확률변수 D로 구성된

쌍으로 정의할 수 있다.

정의 4.1.1

어떤 금융자산에 대해서 현재가격 p0와 미래시점의 상태공간 Ω 상에서 정의되는 확률

변수 D로 구성된 쌍을 증권 X라고 한다. 즉, X .= (p0, D)를 증권이라 한다. 또한, 이

확률변수 D를 증권 X의 미래시점가치라 한다.

일상적으로 사용하는 의미로 말한다면, 미래시점 T = 1의 상태 ω(∈ Ω)에서 거래되

는 증권가격을 S1(ω)라 하고 또한 그 시점에서 받는 배당 (dividend)을 α1(ω)로 하면, 식

D(ω) = S1(ω) + α1(ω)이 성립한다. 즉, D(ω)는 배당이 붙은 (cum-dividend) 증권가격에

해당한다. 미래시점 T = 1에서기업이더이상활동할능력과의사가없어서기업을해체하는

경우에는 미래시점가치 D에 증권의 총발행수를 곱한 것이 기업의 해산가치이다. 또한,

증권의 미래시점가치가 비음 (nonnegative)이라는 조건이 있으면, 이 증권은 유한책임성

(finite liability)을 갖는다. 반면에, 음 (negative)의 미래시점가치가 허용되면, 이 증권에는

변제의무가 있다. 현재가격 p0에 대해서, 다음과 같은 점들을 유의하라. 만약 식 p0 < 0이

성립하면, 매각입장과 매입입장을 서로 바꾸어서 p0가 양수라는 제약으로 변환할 수 있다.

현재가격 p0가 0이 되는 예로는 선물가격이 있다. 현재가격이 p0 (> 0)인 증권 X = (p0, D)

에 대하여, D/p0 또는 D/p0 − 1을 증권의 수익률 (return rate)이라 한다. 전자를 총수익률

그리고 후자를 순수익률이라 한다.

증권이라는 용어는 금융공학에서 널리 사용되는 금융상품이라는 단어보다는 금융경제학

냄새가 난다. 그러나, 금융상품을 수량화한 것이 증권이라는 관점에서 본다면, 수학을 주로

사용해서 금융이론을 전개하는 본서에서는 증권이라는 단어가 더 적합할 것 같다. 본서에서는

증권이라는 용어와 금융상품이라는 용어를 혼용할 것이다.

제4.2절 상태가격과 재정

이 장에서는 N개 증권들 X1 = (p0,1, D1), X2 = (p0,2, D2), · · · , XN = (p0,N , DN )으로

이루어진 시장모형을 다루기로 하자. 앞에서 설명한 대로, 현재시점 t = 0에서 제j증권의

상태가격과 재정 145

가격 p0,j 는 상수이지만, 미래시점가치 Dj 는 확률변수이다. 상태집합 Ω가 유한이산집합

1, 2, · · · , S이므로, 확률변수 Dj의 치역은 Dj(1), Dj(2), · · · , Dj(S)이다. 다음 값들을

정의하자.

dij.= Dj(i), (i = 1, 2, · · · , S, j = 1, 2, · · · , N) (4.2.1)

즉, dij는 시점 T = 1의 상태 i에서 제j증권의 미래시점가치이다. 현재시점의 가격벡터 ppp0,

제j증권의 미래시점가치벡터 ddd.j와 미래시점가치행렬 D를 각각 다음과 같이 정의하자.

ppp0.=

p0,1

p0,2...

P0,N

, ddd.j

.=

d1j

d2j...

dSj

, D

.=

d11 d12 . . . d1N

d21 d22 . . . d2N...

.... . .

...

dS1 dS2 . . . dSN

(4.2.2)

여기서 D는 S ×N 행렬임을 기억하라. 다음 식이 성립한다.

D = [ddd.1, ddd.2, · · · , ddd.N ] (4.2.3)

본서에서는 제j증권의 미래시점가치를 확률변수 Dj 또는 벡터 ddd.j로 표기한다. 본저자는 학

생들에게 확률변수는 벡터의 일종임을 강조한다. 확률변수를 벡터로 간주하면, 벡터공간에서

유도된 많은 결과들을 확률변수에 쉽게 적용할 수 있다. 이렇게 확률변수를 벡터로 처리하는

것은 본저자의 독창적인 생각이 아니라, 단지 실해석론에서 다루는 Hilbert공간을 이용하는

것일 뿐이다. 논리의 전개를 위해서, 먼저 벡터들의 순서 (order)를 정의하자.

정의 4.2.1

만약 벡터 yyy = [y1, y2, · · · , yn]t 가 다음 식들을 만족하면, 벡터 y를 비음벡터(nonnega-

tive vector)라 하고 식 y ≥ 0로 표기한다.

y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, · · · yn ≥ 0

만약 y ≥ 0이고 y = 0이면, y를 양벡터 (positive vector)라 하고 식 y > 0로 표기한다.

만약 벡터 y가 다음 식들을 만족하면, 벡터 y를 진양벡터 (proper positive vector)라


하고 식 y ≫ 0로 표기한다

y1 > 0, y2 > 0, · · · , , yn > 0

제j증권을 xj 단위만큼 보유하는 포트폴리오를 xxx.= [x1, x2 · · · , xN ]t로 표기하자. 각

증권의 보유단위 개수는 실수이다. 만약 제j증권의 보유단위 개수 xj가 양수이면, 제j증권에

대한 롱포지션을 취하는 것이다. 반면에, 만약 xj 가 음수이면, 제j증권에 대한 숏포지션을

취하는것이다. 포트폴리오 x의매입가격은 pt0x이다. 또한, 이포트폴리오의미래시점가치는

확률변수 Dx이다. 이 확률변수를 다음과 같이 벡터로 나타낼 수 있다.

Dx =

N∑j=1

d1jxj ,

N∑j=1

d2jxj , · · · ,N∑j=1

dSjxj

t

(4.2.4)

제3장에서재정(arbitrage)이라는개념, 무재정조건, 그리고위험중립가치평가식에대해서

간단히 소개하였다. 무재정조건을 바탕으로 위험중립가치평가식을 유도하기 위해서는, 먼저

재정이라는 개념을 수학적으로 정의해야 한다.

정의 4.2.2

만약 다음 조건들 중 하나를 만족하는 포트폴리오 x가 존재하면, 이 시장모형에는 (강한)

재정이 존재한다고 한다.

(a) pt0x ≤ 0 and Dx > 0

(b) pt0x < 0 and Dx ≥ 0

동일한 상품이 가게에 따라 다른 가격으로 팔리고 있다고 하자. 자기자본이 0인 사람이

자금을 빌려서, 한 가게에서 이 상품을 싼 값으로 사고 또한 그것을 다른 가게에 비싼 값으로

팔아서 수익을 얻을 수 있다. 이를 재정이라고 한다. 금융이론에서는 보통 arbitrage를 재정

또는 차익거래라고 번역하지만, 중개거래 (scabbard)라고 번역하기도 한다. <정의 4.2.2>의

조건 (a)는 현재시점 t = 0에서 자기부담이 없이 포트폴리오를 구성해서 미래시점 T = 1에서

수익을 얻는 것을 의미한다. 즉, 제1종 재정기회를 뜻한다. 조건 (b)는 미래시점 T = 1에서

부채를 갚을 의무, 즉 변제의무가 없는 포트폴리오를 구성해서 현재시점 t = 0에서 수익을

얻는 것을 의미한다. 즉, 제2종 재정기회를 뜻한다. 만약 재정이 존재하면, 이 재정에 대한


수요가 급증하고 결과적으로 가격체계가 변화하여 재정이 없어질 것이다. 재정이 없는 시장을

무재정시장이라 한다. 앞에서도 언급했듯이, 무재정시장에서는 일물일가법칙이 성립한다.

그러나, 일물일가법칙이 성립한다고 해서, 무재정시장이라고 할 수는 없다. 즉, 무재정조건은

일물일가법칙보다 강한 제약조건이다.

지금부터는 자산가치평가의 근본적 정리에 대해서 살펴보자. 즉, 재정의 존재여부와

상태가격의 관계에 대해 살펴보자. 선형대수학적 관점에서 보면, 자산가치평가의 근본적

정리는 단순한 것이다. 이 정리는 연립방정식 Ax = b가 진양벡터를 일의적인 해로 갖기 위한

조건을 기술한 것에 불과하다. 상태가격벡터를 수학적으로 정의하면 다음과 같다.

정의 4.2.3

만약 벡터 ψ = [ψ1, ψ2, · · · , ψS ]t 가 다음 식들을 만족하면, ψ1, ψ2, · · · , ψS를 상태가격

들이라 하고 ψ를 상태가격벡터라 부른다.

ψ ≫ 0, p0 = Dtψψψ

경제학적인 관점에서 설명한다면, 정의 4.2.3의 상태가격벡터 ψψψ가 만족해야하는 식

p0 = Dtψψψ는 주어진 예산제약 하에서 효용함수를 최대로 하는 최적화문제의 1차조건이다.

또한, 상태가격벡터 ψψψ는 이 최적화문제의 Lagrange승수 (Lagrange multiplier)와 밀접한

관계가 있다. 이에 대한 자세한 내용은 IM&F11의 제4.10절을 참조하라. 다음 보조정리는

자산가치평가의 근본적 정리를 증명하는 데 중요한 역할을 한다. 이 보조정리의 증명에

대해서는 IM&F11의 제4.4절 참조하라.

보조정리 4.2.1: Stiemke정리

행렬 Am×n에 대하여 다음 조건들은 동치이다.

(a) 방정식 Ay = 0는 y ≫ 0인 해를 갖는다.

(b) 부등식 Atx > 0를 만족하는 x (∈ Rm)는 존재하지 않는다.


정리 4.2.1: 자산가치평가의 근본적 정리 I

재정이 존재하지 않기 위한 필요충분조건은 상태가격벡터가 존재하는 것이다.

증명. (⇒) <정의 4.2.2>에서 알 수 있듯이, 재정이 존재하지 않는다는 것은 다음 식을 만족

하는 x = [x1, x2, · · · , xN ]t (∈ RN )가 존재하지 않는다는 것이다.

−p0,1 −p0,2 . . . −p0,N

d11 d12 . . . d1N

d21 d22 . . . d2N...

.... . .

...

dS1 dS2 . . . dSN

x1

x2...

xN

> 0 (1)

Stiemke정리에서 알 수 있듯이, 이 조건은 다음 방정식의 해 y0 = [y0, y1, · · · , yS ]t (≫ 0)가

존재하는 것과 동치이다.

−p0,1 d11 d21 . . . dS1

−p0,2 d12 d22 . . . dS2

−p0,3 d13 d23 . . . dS3...

......

. . ....

−p0,N d1N d2N . . . dSN

y0

y1

y2...

yS

= 0 (2)

명백하게 이 조건은 다음 식을 만족하는 y0 = [y0, y1, · · · , yS ]t (≫ 0)가 존재하는 것과

동치이다.

p0 = Dt

y1/y0

y2/y0...

yS/y0

(3)

만약 ψ = [y1/y0, y2/y0, · · · , yS/y0]t라 놓으면, 식 p0 = Dtψ가 성립한다. 또한, Stiemke정

리의 동치조건에서 식 ψ ≫ 0가 성립함을 알 수 있다. 결론적으로, 만약 재정이 존재하지

않으면, 상태가격벡터 ψ (≫ 0)가 존재한다.


(⇐) 만약 상태가격벡터 ψ = [ψ1, ψ2, · · · , ψS ]t (≫ 0)가 존재하면, 다음 식이 성립한다.

−p0,1 d11 d21 . . . dS1

−p0,2 d12 d22 . . . dS2

−p0,3 d13 d23 . . . dS3...

......

. . ....

−p0,N d1N d2N . . . dSN

1

ψ1

ψ2

...

ψS

= 0 (4)

따라서, Stiemke정리에서 알 수 있듯이 다음 식을 만족하는 x = [x1, x2, · · · , xN ]t (∈ RN )

가 존재하지 않는다.

−p0,1 −p0,2 . . . −p0,N

d11 d12 . . . d1N

d21 d22 . . . d2N...

.... . .

...

dS1 dS2 . . . dSN

x1

x2...

xN

> 0 (5)

<정의 4.2.2>에서 알 수 있듯이, 이는 재정이 존재하지 않는다는 것을 의미한다.

예제 4.2.1 미래시점 T = 1에서상태들이 2개인시장모형을살펴보자. 단 한종류증권 A로

형성된 시장모형에서, 이 증권의 현재가격과 미래시점가치행렬이 각각 다음과 같다고 하자.

p0 = 1000, D =

3000

2000

(1)

현재시점 t = 0에서 1,000원을 투자하면, 미래시점 T = 1에서 가치, 즉 미래시점가치가

1,000원보다 크다. 따라서, 직관적으로 느끼기에 이 시장모형에 재정이 있을 것 같다. 그러나,

재정의정의에의하면, 한종류의증권으로구성된시장모형에는재정이존재하지않는다. 좀더

자세히 설명하면 다음과 같다. 현재시점 t = 0에서 이 증권을 x단위 구입하는 비용은 1000x

원이다. 만약 이 시장모형에 재정이 존재하고, 또한 만약 이 구입가격 1000x가 0 이하이면,


x ≤ 0이다. 따라서, 미래시점 T = 1에서 가치, 즉 미래시점가치는 다음 식들을 만족한다.

3000

2000

x =

3000x

2000x

≤ 0 (2)

<정의 4.2.2>에서 알 수 있듯이, 이 시장모형에는 재정이 있을 수 없다.

무위험이자율이 0.10이고 차입과 대출이 자유로운 채권 B가 추가로 이 시장모형에 도입

된다고 하자. 현재시점 t = 0에서 이 채권가격을 1,000원이라 하면, 가격벡터 p0와 미래시점

가치행렬 D는 각각 다음과 같다.

p0 =

1000

1000

, D =

3000 1100

2000 1100

(3)

이 새로운 시장모형에서 x = [1, −1]t라는 투자전략을 실행함으로써 차익거래를 할 수 있다.

즉, 현재시점 t = 0에서 무위험채권 B 1단위를 공매해서 1,000원을 얻고, 그 대금을 증권 A에

투자한다. 또한, 미래시점 T = 1에서 2,000원 또는 3,000원에 증권 A를 팔아 부채 1,100원을

갚는다. 이로써 현재시점 t = 0에서 자금이 없어도 미래시점 T = 1에서 수익을 얻을 수 있다.

다시 한 번 강조하지만, 재정은 복수의 증권들로 구성된 시장모형에서만 존재할 수 있다.

<정의 4.2.3>에서 알 수 있듯이, 만약 N = S이고, 또한 만약 상태가격벡터가 존재하면,

이 상태가격벡터는 일의적으로 존재한다. 그러나, 일반적으로 상태가격벡터가 일의적으로

존재하는 것은 아니다. 상태가격벡터가 일의적이기 위한 조건을 살펴보자. 선형대수학을

수강한 독자라면, 다음 정리가 성립함을 쉽게 증명할 수 있을 것이다.

정리 4.2.2

상태가격벡터 ψ를 미지수로 하는 방정식 p0 = Dtψ의 해에는 S − rank(D)개의 자유모

수들이 존재한다.

<정리 4.2.2>에서 알 수 있듯이, 상태가격벡터 ψ의 일의성과 식 S = rank(D)는 동치이

다. 따라서, 상태가격벡터가일의적으로정해지기위해서는반드시 N ≥ S이어야한다. 즉, 시

장모형을 구성하는 증권들의 개수가 상태들의 개수보다 작지 않아야 한다. 만약 S = rank(D)


이면, 다음 식들이 성립한다.

[DDt]−1D p0 = [DDt]−1D[Dtψ] = ψ (4.2.5)

식 (4.2.5)가 어떻게 나왔는가 궁금한 독자들이 있을 것이다. 이는 행렬 A의 일반화역행렬

(generalized inverse matrix)인 Moore-Penrose역행렬 A+를 사용한 것에 불과하다. 즉, 다음


[DDt]−1DDt = [DDt]−1[DDt] = I (4.2.6)

식 (4.2.6)은 [Dt]+.= [DDt]−1D가 Dt의 좌역행렬 (right-inverse matrix)임을 의미한다.

따라서, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

ψ = [Dt]+p0 = [DDt]−1D p0 (4.2.7)

즉, 식 (4.2.5)가 성립한다.

상태가격벡터가일의적으로정해지는시장모형은완비성(completeness)을갖는다고한다.

즉, 완비 (complete)의 수학적 정의는 다음과 같다.

정의 4.2.4

만약 S = rank(D)이면, 이 시장모형은 완비라고 한다.

<정의 4.2.4>와 <정리 4.2.2>에서 알 수 있듯이, 다음 따름정리가 성립한다.

따름정리 4.2.1: 자산가치평가의 근본적 정리 II

시장모형이완비이기위한필요충분조건은상태가격벡터 ψ(≫ 0)가일의적으로존재하는

것이다.

다음 따름정리는 <따름정리 4.2.1>을 기하학적으로 묘사한 것이다.


따름정리 4.2.2

어떤 시장모형이 완비이기 위한 필요충분조건은 미래시점가치행렬 D가 공간 RN 에서

공간 RS 위로가는 (onto) 사상이다.

증명. 행렬 D의랭크는 RN 에서 RS로가는선형사상 D의치역(range)의차원이다. 따라서,

시장모형이완비이기위한필요충분조건은D가 Euclid공간 RN 에서 Euclid공간 RS 위로가는

사상인 것이다.

만약 상태가격벡터가 존재하나 일의적으로 정해지지 않으면, 이 불완비시장 (incomplete

market)에 진입하는 새로운 금융상품의 가치를 여러 개로 평가할 수 있다. 즉, 불완비시장에

서는 N개의 미래시점가치들 D1, D2, · · · , DN 에 의해 생성되는 부분공간 SpD1, D2, · · · ,

DN = Sp(D)가 증권의 가치평가에서 일의성문제 (uniqueness problem)를 일으킨다. <

정의 4.2.4>에서 알 수 있듯이, 이 부분공간 Sp(D)의 차원은 S미만이다. 따라서, 증권의

현재가치를 일의적으로 평가할 수 없다.

예제 4.2.2 미래시점 T = 1에서 상태들이 3개인 무재정시장모형을 살펴보자. 무위험증권

A는 무이자로 차입과 대출이 자유로운 채권이다. 현재시점 t = 0에서 구입가격이 2인 증권 B

의미래시점 T = 1에서가치를상태들 1, 2, 3 각각에따라 1, 2, 3이라고하자. 또한, 현재시점

t = 0에서 구입가격이 3인 증권 C의 미래시점 T = 1에서 가치를 상태들 1, 2, 3 각각에 따라

2, 3, 4라고 하자. 이 경우에 가격벡터 p0와 미래시점가치행렬 D는 각각 다음과 같다.

p0 =

1

2

3

, Dt =

1 1 1

1 2 3

2 3 4

(1)

행렬 D의 랭크가 2이므로, 이 시장모형은 완비가 아니다. 정의 4.2.3에서 알 수 있듯이,

상태벡터 ψ = [ψ1, ψ2, ψ3]t가 다음 식들을 만족함을 알 수 있다.

ψ1 = ψ3, ψ2 = 1− 2ψ3, 0 < ψ3 <1

2(2)

여기서 ψ3는 자유모수이다. 이 시장모형에 새로운 증권 X4가 진입한다고 하자. 증권 X4의

미래시점 T = 1에서 가치가 상태들 1, 2, 3 각각에서 3, 1, 0이라고 하자. 이 증권의 현재시점


t = 0에서 공정한 가치 p0,4는 다음과 같다.

p0,4 = 1 + ψ3, 0 < ψ3 <1

2(3)

즉, 현재가치 p0,4는 자유모수 ψ3의 함수이므로, 증권 X4의 공정한 현재가치를 일의적으로

평가할 수는 없음을 알 수 있다.

따름정리 4.2.3

시장모형이완비이기위한필요충분조건은다음식을만족하는포트폴리오들 a(1),a(2), · · · ,

a(S)(∈ RN )가 존재하는 것이다.

Da(i) = ei, (i = 1, 2, · · · , S)

여기서 ei는 제i번째 원소가 1이고 나머지 원소들은 0인 단위벡터이다.

<따름정리 4.2.3>의 S개 포트폴리오들 a(1),a(2), · · · ,a(S)를 순수증권들 (pure securi-

ties) 또는 상태증권들 (state securities)이라 부른다. 또한, 노벨경제학상을 받은 Kenneth

Arrow와 Gerald Debreu의 이름들을 따서 Arrow-Debreu증권들이라 부르기도 한다. 완비시

장에서는 어떤 증권이든 이 S개 상태증권들의 일의적 포트폴리오로 나타낼 수 있다. 따라서,

완비시장모형에서 본질적인 증권은 이 S개 상태증권들이다. 예를 들어, 만약 시장모형에

무위험채권이 존재한다고 가정하면, 이 상태증권들을 결합해서 무위험채권을 나타낼 수 있다.

상태증권들로 구성된 N × S 행렬 A.=[a(1), a(2), · · · , a(S)

]를 상태행렬이라 한다. 다음


DA = D[a(1), a(2), · · · , a(S)

]= I (4.2.8)

즉, 상태증권들의미래시점가치들로이루어진 DA는단위행렬이다. 따라서미래시점가치행렬

D는 상태행렬 A의 일반화역행렬 A−이다.

지금부터는 약한 의미의 재정을 살펴보자. 일반적으로, 재정이라는 것은 <정의 4.2.1>에

주어진 강한 의미의 재정을 의미한다. 또한, 고급수준 재무이론을 다루는 문헌이 아니면, 약한

의미의 재정을 다루지는 않는다.


정의 4.2.5

시장모형을 구성하는 모든 증권들의 현재시점에서 가격벡터 p0와 미래시점가치행렬 D

가 주어졌을 때, 임의의 포트폴리오 x가 다음 명제를 만족한다고 가정하자.

Dx ≥ 000 ⇒ pt0x ≥ 0

이러한 가정이 만족되면, 시장모형에 약한 의미의 재정은 존재하지 않는다고 한다.

<정의 4.2.5>에 의하면, 약한 의미의 재정이 존재하지 않는다는 것은 미래시점에 수입이

있거나 적어도 결제시점에 대금을 지불할 필요가 없는 포트폴리오를 현재시점에서 구입하는

비용이 비음이라는 것이다. 만약 pt0x = 0 이고 Dx > 000인 포트폴리오 x가 존재하면, 약한

의미의 재정이 존재하지 않는다. 그러나, <정의 4.2.2>에서 알 수 있듯이, 포트폴리오 x에는

강한 재정이 존재한다. 다음 정리가 성립함을 쉽게 알 수 있다.

정리 4.2.3

만약 강한 의미에서 재정이 존재하지 않으면, 약한 의미의 재정도 존재하지 않는다.

약한 의미에서 재정이 존재하지 않기 위한 필요충분조건을 구하기 위해서, <보조정리

4.2.1>을 변형한 다음 보조정리를 살펴보자.

보조정리 4.2.2: Minkowski-Farkas정리

행렬 Am×n에 대해서 다음 조건들을 동치이다.

(a) 방정식 Ay = bbb는 y > 0인 해를 갖는다.

(b) 방정식 Atx ≥ 0을 만족하는 임의의 x (∈ Rm)에 대해서 bbbtx ≥ 0이다.

<정의 4.2.5>와 <보조정리 4.2.2>을 사용해서, 다음 정리가 성립함을 쉽게 증명할 수

있다.


정리 4.2.4

약한 의미의 재정이 존재하지 않기 위한 필요충분조건은 p0 = Dtψ를 만족하는 ψ (> 000)

가 존재하는 것이다.

예제 4.2.3 다음과 같은 가격벡터와 미래시점가치행렬을 살펴보자.

p0 =

1

1

, D =

a 1

b 1

(1)

여기서 식 a < b가 성립한다고 가정하자. 방정식 p0 = Dtψ의 해는 다음과 같다.

ψ =

[b− 1

b− a,1− a

b− a

]t(2)

<정리 4.2.1>에서 알 수 있듯이, 강한 의미의 재정이 존재하지 않기 위한 필요충분조건은

다음과 같다.

a < 1 < b (3)

<정리 4.2.4>에서 알 수 있듯이, 약한 의미의 재정이 존재하지 않기 위한 필요충분조건은

다음과 같다.

a ≤ 1 < b or a < 1 ≤ b (4)


a < 1 < b ⊂ a ≤ 1 < b ∪ a < 1 ≤ b (5)

식 (5)는 강한 의미에서 재정이 존재하지 않으면 약한 의미의 재정도 존재하지 않는다는 <

정리 4.2.3>을 예증하고 있다.


제4.3절 무위험포트폴리오

미래시점 T = 1에서 가치, 즉 미래시점가치가 확률변수가 아니고 (0이 아닌) 어떤 상수가

되는 포트폴리오를 무위험포트폴리오 (risk-free portfolio)라 한다. 즉, 미래시점 T = 1에서

어떤 상태가 되어도 미래시점가치는 동일하다. 이 절에서는 특별한 언급이 없는 한 무위험포

트폴리오의 미래시점가치를 1이라 하자. 즉, 다음과 같이 정의하자.

정의 4.3.1

주어진 미래시점가치행렬 D에 대해서 Dx0 = 111 (∈ RS)이 되는 x0 (∈ RN )를 무위험포

트폴리오라고 한다.

예제 4.3.1 완전시장모형에서 상태증권 a(i), (i = 1, 2, · · · , S)를 한 단위씩 보유하면, 미래

시점가치는 다음 식들을 만족한다.

D

[S∑

i=1

a(i)

]=

S∑i=1

Da(i) =

S∑i=1

ei = 111 (1)

따라서, 포트폴리오 x0.=

S∑i=1a(i)는 무위험포트폴리오이다. 즉, 미래시점 T = 1의 어떠한

상태가 실현되더라도 포트폴리오 x0의 미래시점가치는 항상 1이다.

시장모형에 중복성이 있다는 것은 미래시점가치행렬 D를 구성하는 N개 열벡터들이

선형종속이라는 의미이다. 만약 중복성이 있는 시장모형에 무위험포트폴리오가 존재하면,

증권들의 다양한 조합들로 이 무위험포트폴리오를 재구성할 수 있다. 즉, 무위험자산이

일의적으로 존재하는 것은 아니다. 시점 t = 0에서 무위험포트폴리오 x0의 구입가격은 pt0x0

이다. 만약 이 시장모형에 재정이 없다고 하면, 자산가치평가의 근본적 정리 I에서 알 수

있듯이 시점 t = 0에서 가격벡터 p0 (∈ RN )에 대해서 p0 = Dtψ를 만족하는 상태가격벡터

ψ = [ψ1, ψ2, · · · , ψS ]t (≫ 0)가 존재한다. 따라서, 무위험포트폴리오 x0의 현재시점 t = 0

에서 공정한 가치 ψ0는 다음과 같다.

ψ0.= pt0x0 = ψ

tDx0 = ψt1 (4.3.1)

즉, 무위험포트폴리오의 현재가치 ψ0 = ψt1은 무위험포트폴리오 x0의 선택에 관계없이 상

무위험포트폴리오 157

태가격벡터 ψ에 의해서 정해진다. 만약 시장모형이 완비이면, 이 상태가격벡터는 일의적으로

정해진다. 따라서, 다음 정리가 성립한다.

정리 4.3.1

만약 완비인 무재정시장에서 무위험포트폴리오가 여러 개 존재하면, 그들의 현재가치는

동일하다.

<정리 4.3.1>을 불완비시장 (incomplete market)으로 확장하기 위해서, 다음과 같이

복제포트폴리오 (replicating portfolio)를 정의를 하자.

정의 4.3.2

만약서로다른포트폴리오들 x1과 x2의미래시점가치벡터들이동일하면, 즉Dx1 = Dx2

이면, 이 두 포트폴리오들을 서로의 복제포트폴리오라 한다.

정리 4.3.2

무재정시장에서 서로의 복제포트폴리오들 x1과 x2의 현재가치들은 동일하다.

증명. 자산가치평가의 근본적 정리 I에서 알 수 있듯이, 현재시점 t = 0에서 가격벡터

p0 (∈ RN )에 대해 식 p0 = Dtψ를 만족하는 상태가격벡터 ψ = [ψ1, ψ2, · · · , ψS ]t (≫ 0)가

존재한다. 따라서, 다음 식들이 성립한다.

pt0x1 = ψtDx1 = ψ

tDx2 = pt0x2 (1)

즉, 서로의 복제포트폴리오들 x1과 x2의 현재가치들은 동일하다.

무위험수익률과 더불어 할인율은 금융파생상품의 가치평가에서 중요한 역할을 한다.

현재시점 t = 0에서 현재가격 ψ0로 무위험포트폴리오를 구입하면, 미래시점 T = 1에서 이

무위험포트폴리오의 가치가 1이라고 하자. 이 경우에 무위험총수익률은 R0.= 1/ψ0이고,

무위험순수익률은 r.= R0−1 = [1−ψ0]/ψ0이다. 또한, ψ0 = 1/[1+ r]을시간구간 [0, 1]에서


할인율(discount rate)이라 한다. 식 (4.3.1)에서 알 수 있듯이, 무위험포트폴리오가 존재하는

무재정시장에서는 다음 식들이 성립한다.

1

1 + r= ψ0 = ψ1 + ψ2 + · · ·+ ψS (4.3.2)

즉, 상태가격벡터 ψ = [ψ1, ψ2, · · · , ψS ]t에 의해서 무위험수익률 r이 일의적으로 정해진다.

예제 4.3.2 어떤 증권의 현재시점 t = 0에서 가격을 p0라 하자. 미래시점 T = 1에서 가치,

즉 미래시점가치 D는 확률공간 Ω = 1, 2, · · · , S에서 정의되는 확률변수이다. 이 증권의

가격을원자산으로하는선물을살펴보자. 이선물은미래시점 T = 1에서이증권을행사가격

K로 매매하기로 현재시점 t = 0에 약속하는 것이다. 선물거래에는 반드시 이 거래를 수행할

의무가따른다. 반면에, 계약시점 t = 0에서비용이들지않는다. 이시장모형에무위험채권이

존재한다고가정하고, 그수익률을 r이라고하자. 이선물의행사가격 K를 [1+r]p0로정하는

것이공정하다. 지금부터이렇게행사가격을정해야하는이유를세가지방법으로설명하고자

한다.

첫째, 무재정조건을 이용해서 선물의 행사가격 K를 결정하기로 하자. 우선, 식 K >

[1 + r]p0가 성립한다고 가정하자. 이 경우에, 현재시점 t = 0에서 단위 당 가격이 1인 무위

험채권을 p0단위 공매해서 얻어진 자금 p0로 이 증권을 1단위 구입하고, 동시에 이 증권을

만기시점 T = 1에서 행사가격 K로 매도하는 선물계약을 한다. 현재시점 t = 0에서 비용은

0이다. 선물계약에 따라 보유하고 있는 증권 1단위를 만기시점 T = 1에서 시장가격이 아닌

행사가격K에팔고, [1+r]p0로무위험채권을사서채권의숏포지션을청산한다. 이거래에서

얻어지는 순익이 K − [1 + r]p0(> 0)이므로 재정이 발생한다. 같은 방법을 적용해서, 식

K < [1 + r]p0이 성립하는 경우에도 재정이 발생함을 보일 수 있다. 즉, 무재정조건 하에서

식 K = [1 + r]p0가 성립한다.

둘째, 복제의 관점에서 선물의 행사가격 K를 결정하기로 하자. 증권 (p0, D)와 단위 당

가격이 1인 무위험채권으로 이루어진 시장모형을 생각해 보자. 만약 현재시점 t = 0에서

이 증권이 원자산이고 만기시점 T = 1에서 행사가격 K인 선물계약 1단위를 매입하면,

미래시점 T = 1에서 순수익은 D − K이다. 이는 현재시점 t = 0에서 이 증권 1 단위를

매입하는 동시에 무위험채권 K/[1 + r]단위에 대해 숏포지션 취해서 얻어지는 포트폴리오의

순이익과 일치한다. 즉, 이 포트폴리오는 선물계약을 복제한 것이다. 선물의 매입가격은 0

이고, 복제포트폴리오의 구입가격은 p0 −K/[1 + r]이다. 따라서, <정리 4.3.2>에서 알 수

있듯이 식 p0 −K/[1 + r] = 0이 성립한다. 즉, 식 K = [1 + r]p0가 성립한다.

위험중립가치평가법 159

셋째, 상태가격벡터를 사용해서 선물의 행사가격 K를 결정하기로 하자. 무재정시장에는

상태가격벡터 ψ (≫ 000)가 존재한다. 만약 시장모형이 완비가 아니면, 상태가격벡터의 존재는

일의적이지 않다. <정의 4.2.3>과 식 (4.3.2)에서 알 수 있듯이, 시장모형의 완비성 여부에

상관없이 다음 식들이 성립한다.

p0 =

S∑i=1

Diψi,1

1 + r=

S∑i=1

ψi (1)

여기서 Di는 미래시점 T = 1의 상태 i에서 이 증권의 가치이다. 만약 현재시점 t = 0에서

선물 K어치를 매입하면, 미래시점 T = 1의 상태 i에서 순익은 Di −K이다. <정의 4.2.3>

에서 알 수 있듯이, 이 선물의 현재가치는S∑

i=1[Di −K]ψi이다. 식 (1)에서 알 수 있듯이, 다음


S∑i=1

[Di −K]ψi = p0 −1

1 + rK (2)

계약시점 t = 0에서 선물의 가치는 0이다. 식 (2)에서 알 수 있듯이 식 K = [1 + r]p0가

성립한다.

제4.4절 위험중립가치평가법

이 절에서는 금융자산의 위험중립가치평가법 (risk-neutral pricing method)에 대해서 살펴보

자. 우선, 다음 값들을 정의하자.

qi.=ψi

ψ0, (i = 1, 2, · · · , S) (4.4.1)

상태가격벡터의 정의에 의해서, 각 i(= 1, 2, · · · , S)에 대해서 식 qi > 0가 성립한다. 식

(4.3.2)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

q1 + q2 + · · · + qS = 1 (4.4.2)

즉, q1, q2, · · · , qS를표본공간 Ω상에서확률밀도함수 q로간주할수있다. 이확률밀도함수

q를 위험중립확률밀도함수 (risk-neutral probability density function)라고 한다. 가격벡터

p0와 상태가격벡터 ψ 사이의 관계식 p0 = Dtψ로부터, 제j증권의 현재시점 t = 0에서 가치


p0,j가 다음 식들을 만족함을 알 수 있다.

p0,j = d1,jψ1 + d2,jψ2 + · · · + dS,jψS = ψ0

S∑i=1

di,jqi =1

1 + r

S∑i=1

di,jqi (4.4.3)

제j증권의 미래시점 T = 1에서 가치 Dj의 위험중립확률밀도함수 q에 대한 기대값 EQ(Dj)

는 다음과 같다.

EQ(Dj) =S∑

i=1

di,jqi (4.4.4)

여기서 Q는 위험중립확률밀도함수 q에 해당하는 위험중립확률측도이다. 식 (4.4.3)과 식

(4.4.4)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

p0,j =1

1 + rEQ(Dj), (j = 1, 2, · · · , N) (4.4.5)

식 (4.4.5)를다음과같이해석할수있다. 제j증권의현재시점 t = 0에서가치 p0,j는미래시점

T = 1에서가치, 즉미래시점가치Dj의위험중립확률측도Q하에서기대값 EQ(Dj)와무위험

할인인자 1/[1+r]의곱이다. 앞에서도언급했듯이, 이렇게미래시점가치의위험중립확률측도

하에서 기대값을 현재가치로 환산해서 증권가치를 평가하는 방법을 위험중립가치평가법이라

부른다.

제4.5절 완비시장

본격적으로 확률론과 확률과정론을 사용해서 금융파생상품의 가치평가에 대해 논하기 전에,

지금까지 배운 내용을 정리해보자.

미래시점 T = 1에서 지불금액함수에 해당하는 지불금액벡터 d = [d1, d2, · · · , dS ]t가

주어졌다고 가정하고, 다음 방정식을 살펴보자.

Dx = d (4.5.1)

만약 연립방정식 (4.5.1)의 해 x = [x1, x2, · · · , xN ]t가 존재하면, 각 j(= 1, 2, · · · , N)에

대해서제j증권을 xj단위매입함으로써지불금액벡터 d를실현할수 있다. 정의 4.2.3에서알

수 있듯이, 포트폴리오 x와 미래시점 T = 1에서 미래시점가치행렬 D에 대해서 식 x = Dtψ

를만족하는진양벡터 ψ가존재하면, 이 ψ가상태가격벡터이다. 자산가치평가의근본적정리

완비시장 161

I에서 알 수 있듯이, 재정이 존재하지 않기 위한 필요충분조건은 상태가격벡터 ψ가 존재하는

것이다.


d = Dx = D[Dtψψψ] (4.5.2)

<따름정리 4.2.1>에서 알 수 있듯이, 시장모형이 완비이기 위한, 즉 식 S = rank(D)가

성립하기 위한 필요충분조건은 상태가격벡터 ψ가 일의적으로 존재하는 것이다. 이 경우에,

식 (4.5.2)에서 알 수 있듯이 상태가격벡터는 ψ = [DDt]−1d이다. 따라서, x = Dt[DDt]−1d

가 방정식 (4.5.1)의 해이다. 즉, 만약 시장모형이 완비이면, 각 S차원 벡터 d에 대해 방정식

(4.5.1)을 만족시키는 N차원 벡터 x가 존재한다. 역으로, 각 S차원 벡터 d에 대해 방정식

(4.5.1)을만족시키는 N차원벡터 x가존재한다고가정하면, 각 S차원단위벡터 ei에대해서,

식 Dxi = ei를 만족하는 벡터 xi가 존재한다. 즉, 행렬 D의 랭크는 S이므로, 이 시장모형은

완비이다. 이러한 내용을 다음과 같이 재무론의 언어로 설명할 수 있다. 어떤 금융상품의 지불

금액함수와 동일한 지불금액함수를 시장모형에서 거래되고 있는 금융자산들의 포트폴리오로

실현시킬 수 있을 때, 이 지불금액함수는 복제가 가능하다고 한다. 임의의 지불금액함수를

복제할 수 있는 시장모형을 완비 (complete)라고 한다. 이러한 내용을 수리적으로 기술하면

다음과 같다. 주어진 확률공간 (Ω,F , P )에서 F−가측인 확률변수로 표현되는 지불금액함

수가 있다고 하자. 시장모형에서 거래되고 있는 다른 금융자산들로 구성된 포트폴리오로

이 지불금액함수를 실현시킬 수 있을 때, 이 지불금액함수는 복제가능이라고 한다. 만약

F−가측인 확률변수로 표현되는 임의의 지불금액함수의 복제가 가능하면, 이 시장모형은

(Ω,F , P ) 하에서 완비라고 한다.

지금까지다룬내용을미래시점 T = 1의각상태 ωi에대응하는 Arrow-Debreu증권이존재

하는 시장모형을 바탕으로 생각해보자. 이 경우에는 각 상태 ωi에 대응하는 Arrow-Debreu증

권을 di단위 보유함으로써, 미래시점 T = 1에서 지불금액벡터 d = [d1, d2, · · · , dS ]t를

복제할 수 있다. 따라서, 완비시장이란 모든 Arrow-Debreu증권들이 존재하거나 또는 각

상태에 해당하는 Arrow-Debreu증권을 복제할 수 있는 시장이다. 특히, <예제 4.3.1>에서 알

수 있듯이, 어떤 상태가 실현되도 지불금액이 1인 무위험자산은 각 상태에 대응하는 Arrow-

Debreu증권 1단위들로 구성된 포트폴리오로 복제할 수 있다. 무재정시장에서 상태 ωi에

대응하는 Arrow-Debreu증권의 현재시점 t = 0에서 가격을 ψi라고 하면, 미래시점 T = 1


에서 지불금액벡터 d에 해당하는 포트폴리오의 현재시점 t = 0에서 가치 ψd는 다음과 같다.

ψd =

S∑i=1

diψi (4.5.3)

미래시점 T = 1의 각 상태에서 가치가 1인 무위험자산의 현재시점 t = 0에서 가치는S∑

i=1ψi

이므로, 무위험수익률 r은 다음 식을 만족한다.

r =1

S∑k=1

ψk

− 1 (4.5.4)

식 (4.5.3)와 식 (4.5.4)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

ψd =1

1 + r

S∑i=1

diψi

S∑k=1

ψk

(4.5.5)

무재정시장에서는 위험중립확률측도 Q가 존재한다. 이 위험중립확률측도에 해당하는 위험

중립확률밀도함수 qi는 다음 식을 만족한다.

ψd =1

1 + r

S∑i=1

diqi (4.5.6)

시장모형이 완비이면, 위험중립확률밀도함수 qi는 일의적으로 정해진다. 식 (4.5.5)와 식

(4.5.6)이 임의의 S차원 벡터 d에 대해서 성립하므로, 다음 식들이 성립한다.

qi =ψi

S∑k=1

ψk

, (i = 1, 2, · · · S) (4.5.7)

즉, 위험중립확률은 정규화된 Arrow-Debreu증권가격이다. 결론적으로, 무위험시장에서는

위험중립확률이 존재하고, 더구나 시장모형이 완비이면 이 위험중립확률은 일의적으로 존재

한다.

이 장에서 다룬 1기간모형이 완비가 되기 위해서는 임의의 S차원 벡터 d를 복제할 수

있어야만 한다. 즉, 미래시점가치행렬 D의 랭크가 S이어야만 한다. 따라서, 시장모형이

완비가 되기 위해서는 거래되고 있는 증권들의 개수 N은 상태들의 개수 S 이상이어야 한다.

그러나, 다기간모형인 경우에는, 시간이 흐름에 따라 경제에 대한 정보가 추가되므로, 그

완비시장 163

정보를 바탕으로 포트폴리오를 구성하는 금융자산들의 개수를 변경할 수 있다. 따라서, 각

시점에서 반드시 상태들의 개수가 증권들의 개수 이하이어야 하는 것은 아니다. 단, 어떤

시점의 어떤 상태에서 갈 수 있는 다음 시점의 상태들의 개수는 증권들의 개수 이하이어야

할 것이다. 거래기간 (time horizon)이 [0, T ]이고, Brown운동 Wt | t ∈ [0, T ]에 의해서

생성되는 금융자산가치들을 다루는 연속시간형 모형을 생각해보자. 이 시장모형이 완비가

되기위해서는, 주어진 Brown운동의차원에 1을더한개수이상의서로독립적인증권들이이

시장모형에 존재해야 한다. 예를 들어, Black-Scholes모형에서 유럽형옵션의 지불금액함수를

원자산과 무위험자산가치로 복제하는 것이 가능하다. 그 이유는 이 복제포트폴리오에서

Brown운동의 차원이 1이기 때문이다. 증권가치과정에 Poisson과정과 같은 점프과정 (jump

process)이 포함한 경우에도 요인들의 개수에 1을 더한 개수 이상의 서로 독립적인 증권들이

존재해야 한다. 좀 더 일반적으로 말하면, 마팅게일에 대한 확률적분으로 증권가치과정을

생성하는 시장모형이 완비가 되기 위해서는 시장모형에 그 마팅게일의 차원에 1을 더한 개수

이상의 서로 독립적인 증권들이 존재해야 한다.

제5장

이항나무모형과 실물옵션

Cox & Ross & Rubinstein (1979)은 이항나무모형(binomial tree model)을 사용해서 유럽형

옵션 (European option)의 가치평가식을 유도하였고, 이를 연속시간형으로 점근시켜 Black-

Scholes식을 유도하였다. 즉, 이 접근법을 이용하면 이항확률분포 (binomial probability

distribution)와 중심극한정리만을 사용해서 위험중립가치평가식과 Black-Scholes식을 유

도할 수 있다. 이 장에서는 Cox & Ross & Rubinstein (1979)을 따라서 Black-Scholes식을

유도하기로 하자. R패키지 fOptions에 내장된 R함수 BinomialTreeOptions를 사용해서

이항나무모형을 실장할 수도 있다.

제5.1절 옵션

이항나무모형을 사용해서 유럽형옵션의 공정한 가치를 평가하는 문제를 다루기 전에, 옵션에

대해서 다시 한번 생각해보자. 옵션 (option)이란 어떤 미래시점에 어떤 금융자산을 미리

정해진 가격으로 사거나 또는 팔 수 있는 권리 (right)이다. 정해진 시점에서 권리를 행사할

수도 있고 하지 않을 수도 있는 선택권이 있다는 점에서 이 권리를 옵션이라 부른다. 옵션의

대상이 되는 금융자산 또는 금융자산가치를 원자산 (underlying)이라 하고, 원자산을 살 수

있는 권리를 콜옵션 (call option) 그리고 팔 수 있는 권리를 풋옵션 (put option)이라 한다.

옵션매입자는 권리를 얻는 대가로 옵션매도자에게 프리미엄 (premium)을 지불해야 한다. 이

프리미엄이 옵션의 가치이다. 원자산을 매매하기 위해서 미리 정한 가격을 행사가격 (strike

price), 권리행사가 가능한 시점을 만기시점 (expiry) 또는 행사시점 (exercise date)이라 부

른다.

옵션의 원자산에는 다양한 종류가 있다. 본저자는 원자산을 정의하는 데 아직도 갈등이

165

166 제 5장 이항나무모형과 실물옵션

있다. 다음과 같은 질문을 생각해보자. 삼성전자의 주가에 대한 옵션의 경우, 삼성전자주식이

원자산일까 아니면 삼성전자주가가 원자산일까? 이 질문에 대한 답은 별 갈등 없이 삼성전자

주식이 원자산이고 삼성전자주가는 원자산의 가격이라고 대답할 수 있다. 그렇다면, 이자율에

대한 옵션의 경우, 원자산은 무엇일까? 환율에 대한 옵션의 경우, 원자산은 무엇일까? 물론,

LIBOR같은 이자율이나 USD/KRW와 같은 환율의 경우에는 상정원본 (notional amount)을

원자산이라할수도있을것이다. 이경우에이자율이나환율에상정원본을곱한값을원자산의

가치라고부를수도있을것이다. 그러나, 관습적으로상정원본을원자산이라부르지는않는다.

본저자의 생각으로는 이자율이나 환율을 원자산의 가치라고 부르는 것보다는 원자산 자체로

부르는 것이 더 타당할 것 같다. 이에 맞추어 주식이 아닌 주가를 원자산으로 부르는 것이

타당하지 않을까? 여하튼 원자산으로 표기되는 St는 주가, 이자율 그리고 환율과 같은 숫자

라는 것이다. 대표적인 원자산으로는 주가, 환율, 이자율, 채권가격과 같은 현물과 통화선물,

주가선물, 이자율선물, 채권선물, 상품선물과 같은 선물이 있다. 현물을 원자산으로 하는 것을

현물옵션 그리고 선물을 원자산으로 하는 것을 선물옵션이라 부른다. 그 외에도 파생상품

자체를 원자산으로 하는 옵션이 있다. 이 경우에 원자산은 파생상품의 거래를 개시하거나

해약할 권리이다. 예를 들어, 스왑 (swap)을 대상으로 하는 스왑션 (swaption)은 스왑거래를

개시할 수 있는 권리이다. 또한, 이미 계약되어 있는 스왑을 중도에 해약할 수 있는 스왑션도

있다.

옵션의 만기시점에만 권리를 행사할 수 있는 타입을 유럽형옵션 (European option) 그

리고 발행시점에서 만기시점 사이에 있는 어느 시점에서도 권리를 행사할 수 있는 타입을

미국형옵션 (American option)이라 부른다. Crack (2004, p. 4)에 의하면, 이 유럽형옵션과

미국형옵션을 명명한 것은 Samuelson이라 한다. 1960년대까지만 해도 유럽의 경제학자들은

미국의 경제학자들이 실력이 없다고 깔보았다. 이러한 유럽의 경제학자들에게 반감을 가졌던

Samuelson은 가치평가가 비교적 간단한 옵션을 유럽형 그리고 훨씬 더 복잡한 옵션을 미국형

이라 이름지었다고 한다.

옵션은 지불금액함수 (payoff function)에 의해서 정의된다. 지불금액함수를 좁게 해석하

면, 옵션매입자가 권리를 행사한 경우에 얻을 수 있는 이득을 나타내는 것이다. 그러나, 만기

시점과 같은 행사가능조건을 지불금액함수에 포함시키는 것이 수리적으로 옵션을 다루는 데

편리하다. 유럽형옵션이나미국형옵션과같은표준적옵션을플레인바닐라옵션(plain-vanilla

option)이라 한다. 플레인바닐라옵션보다 좀 더 복잡한 지불금액함수를 갖는 것을 이색옵

션 (exotic option)이라 한다. 이색옵션 중에는 어떤 방아쇠사건 (trigger event)이 발생하면

권리가 소멸되거나 또는 발생하거나 하는 종류가 있다. 방아쇠사건의 예로 원자산이 어떤

복제 167

울타리값 (barrier)에 도달하는지 여부로 설정되는 것이 있으며, 이러한 방아쇠사건을 갖는

옵션을 barrier옵션이라 한다. Barrier옵션 중에서 방아쇠사건이 발생하면 권리가 발생하는

것을 knock-in옵션이라 하고, 권리가 소멸하는 것을 knock-out옵션이라 한다. Barrier옵션을

좀 더 자세히 분류하면, up-and-out옵션, up-and-in옵션, down-and-out옵션, down-and-in

옵션 등이 있다. 만기시점까지 원자산의 평균을 S, 행사가격을 K, 그리고 만기시점 T에서

원자산을 ST 라 하자. 만기시점 T에서 지불금액함수가 [S −K]+인 옵션을 아시아형콜옵션

(Asian call option), 그리고 만기시점 T 에서 지불금액함수가 [ST − S]+인 옵션을 변형된

아시아형콜옵션 또는 평균행사가옵션 (average strike option)이라 한다. 현재시점을 t라

할 때, 만기시점 T에서 지불금액이 시간구간 [t, T ]에서 원자산의 최소값 Smin이나 최대값

Smax에 의존하는 옵션을 lookback옵션이라 한다. 예를 들어, 지불금액함수가 ST − Smin인

콜옵션은만기시점 T에서원자산을시간구간 [t, T ]에서최저가로살수있도록하는권리이다.

이색옵션에 관해서는 IM&F10의 제1.7절을 참조하라.

제5.2절 복제

옵션의 가치평가는 옵션의 공정한 가치를 도출하는 문제이다. 이러한 가치평가의 기본적

접근법은 지불금액함수의 복제 (replication)라는 개념을 바탕으로 한다. 이 절에서는 다음과

같은 예를 사용해서, 복제를 설명하고자 한다.

현재시점 t에서 ABC주식회사의보통주주가가 St = 100이라하자. 이주가가원자산이고,

만기시점 T = t+ 1에서 행사가격이 K = 100인 유럽형콜옵션을 생각해보자. 만기시점에서

상태집합을 up, down이라 하자. 이 만기시점에서 상태가 up이면 이 주가는 120으로 상승

하고, 상태가 down이면 이 주가는 90으로 하락한다고 하자. 이렇게 1기간 뒤 상태들이 단 2개

존재하는 모형을 1기간 이항나무모형 (binomial tree model)이라 부른다. 만약 만기시점에서

상태가 up이면, 이 유럽형콜옵션의 가치는 cuT = 120 − 100 = 20이다. 만약 만기시점에서

상태가 down이면, 이 유럽형콜옵션의 가치는 cdT = 0이다. 우리의 문제는 이 유럽형콜옵션의

현재시점 t에서 가치 Ct를 평가하는 것이다.

옵션거래는 옵션매도자 (option writer)와 옵션매수자 (option holder) 사이에서 이루어

진다. 옵션매도자는 현재시점 t에서 이 유럽형콜옵션 1단위를 판 대금으로 옵션가치 Ct를

수취한다. 이 옵션매도자는 수취한 Ct로 원자산 α단위를 매입하고, 나머지는 이자율이 0인

은행계좌에 예금한다고 하자. 단, 이 은행계좌는 마이너스통장을 허용한다고 하자. 실제시장

에서는 α가 정수(integer)이지만, 본서에서는 마찰이 없는 시장을 가정하므로 α는 실수이다.


이 은행계좌의 현재시점 t에서 예금액은 Ct − 100× α이다. 이렇게 원자산 α단위와 이자율

0인 은행예금으로 구성된 포트폴리오의 만기시점 T에서 가치 VT 를 살펴보자. 만기시점에서

상태가 up인 경우 이 포트폴리오가치는 vuT = 120 × α + [Ct − 100 × α]이고, 상태가 down

인 경우 포트폴리오가치는 vdT = 90 × α + [Ct − 100 × α]이다. 가정에 의해서, 현재시점 t

에서 식 Ct = Vt가 성립한다. 따라서, 무재정조건에 의해 미래시점 T에서 식 CT = VT 가

성립해야한다. 즉, 미래시점 T에서 다음 식들이 성립한다.

120× α+ [Ct − 100× α] = vuT = cuT = 20 (5.2.1)

90× α+ [Ct − 100× α] = vdT = cdT = 0 (5.2.2)

식 (5.2.1)과 식 (5.2.2)로 구성된 연립방정식을 풀면, 그 해는 다음과 같다.

α =2

3, Ct =

20

3(5.2.3)

지금까지의 내용을 정리하면, 다음과 같다. 현재시점 t에서 콜옵션 1단위를 매도한 옵

션매도자가 수취한 대금은 Ct = 20/3이다. 옵션매도자가 은행에서 60을 차입해서 확보한

현금 203 + 60 = 200

3 으로 원자산 2/3단위를 매입한다. 이 포트폴리오는 이 유럽형콜옵션 1

단위를 복제한 (replicating) 것이다. 따라서, 만기시점 T 에서 이 포트폴리오의 가치와 이

유럽형콜옵션 1단위의 가치는 같아야 한다. 즉, 옵션가치를 복제하는 포트폴리오를 구성해서,

옵션의 현재가치를 평가할 수 있다. 만약 이 유럽형콜옵션의 현재시점 t에서 가격이 20/3보다

높다면, 이 옵션을 발행해서 아무런 위험없이 순익을 얻을 수 있다. 만약 이 유럽형콜옵션의

현재시점에서 가격이 20/3보다 낮다면, 이 옵션을 매입해서 아무런 위험없이 순익을 얻을 수

있다. 즉, 이 두가지 경우 모두에서 재정이 발생한다. 따라서, 이 유럽형콜옵션의 공정한 (fair)

가치는 20/3이다. 이렇게 옵션매도자가 복제포트폴리오를 구성하여 옵션매입자가 옵션을

행사할 때 발생하는 손실을 막는 행위를 옵션헤지 (option hedge)라 한다.

제5.3절 1기간 이항나무모형

제5.2절에서 다룬 1기간 이항나무모형을 좀 더 자세하게 살펴보자. 현재시점 t에서 원자산을

St라 하자. 만기시점 T.= t + δt에서 행사가격이 K인 유럽형콜옵션을 생각해보자. 만기시

점에서 상태집합을 up,down이라 하자. 만기시점에서 상태가 up이면 이 원자산은 Stut로

1기간 이항나무모형 169

상승하고, 상태가 down이면 Stdt로 하락한다고 하자. 즉, 이 원자산의 시간구간 [t, T ]에서

상승률과 하락률은 각각 ut와 dt이다. 원자산의 상승확률과 하락확률이 각각 pt와 1− pt라고

하자. 이 유럽형콜옵션의 만기시점 T에서 가치는 각 상태에 따라 다음과 같다.

cuT = [Stut −K]+, cdT = [Stdt −K]+ (5.3.1)

옵션매도자는 현재시점에서 이 유럽형콜옵션 1단위를 매도하고 옵션가치 Ct를 수취한다.

이 옵션매도자는 수취한 Ct로 원자산 αt단위를 매입하고, 나머지는 연이자율이 r인 무위

험자산에 투자한다. 시장에 마찰이 없으므로, 옵션매도자는 아무런 제약없이 무위험자산을

매입하거나 공매할 수 있다. 이 무위험자산의 현재시점 t에서 가치는 Ct − Stαt이다. 이렇게

원자산과 무위험자산으로 구성된 포트폴리오의 만기시점 T에서 가치 VT 를 살펴보자. 만기

시점에서 상태가 up인 경우 포트폴리오가치 vuT 와 상태가 down인 경우 포트폴리오가치 vdT

는 각각 다음과 같다.

vuT = Stutαt + [1 + rδt][Ct − Stαt] (5.3.2)

vdT = Stdtαt + [1 + rδt][Ct − Stαt] (5.3.3)

가정에 의해서, 현재시점 t에서 식 Ct = Vt가 성립한다. 즉, 이 원자산과 무위험자산으로

구성된 포트폴리오는 유럽형콜옵션 1단위의 복제포트폴리오이다. 따라서, 무재정조건에

의해서 만기시점 T 에서 식 CT = VT 가 성립해야한다. 즉, 만기시점 T 에서 다음 식들이

성립한다.

Stutαt + [1 + rδt][Ct − Stαt] = cuT (5.3.4)

Stdtαt + [1 + rδt][Ct − Stαt] = cdT (5.3.5)

식 (5.3.4)와 식 (5.3.5)로 구성된 연립방정식을 풀면, 그 해는 다음과 같다.

αt =cuT − cdT

[ut − dt]St(5.3.6)

Ct =1

1 + rδt

[1 + rδt − dtut − dt

cuT +ut − 1− rδtut − dt

cdT

](5.3.7)

식 (5.3.7)이 1기간 이항나무모형을 사용해서 구한 유럽형콜옵션의 가치평가식이다. 이 가치

평가식은 무재정조건을 바탕으로 하므로 재정가치평가식 (arbitrage pricing equation)이라


부르기도 한다.

원자산의 실제 상승확률을 pt로 표기하자. 가치평가식 (5.3.7)을 적용할 때 상승확률

pt를 사용하지 않고 무재정가치 Ct를 계산한다. 달리 말하면, 이항나무모형을 사용하는

경우에 상승확률 pt가 어떤 값을 갖는지에 상관없이 만기시점의 지불금액함수를 복제하는

복제포트폴리오를 구축할 수 있다. 다음과 같이 qt를 정의하자.

qt.=

1 + rδt − dtut − dt

(5.3.8)

식 (5.3.8)을 식 (5.3.7)에 대입하면, 다음 가치평가식을 얻는다.

Ct =1

1 + rδtqtCu

T + [1− qt]CdT (5.3.9)


dt < 1 + rδt < ut (5.3.10)


0 < qt < 1 (5.3.11)

따라서, qt를 확률로 간주할 수 있다. 제3.4절에서 정의했듯이, qt를 위험중립확률 (risk-

neutral probability)이라 부른다. 이 위험중립확률에 해당하는 확률측도를 Qt로 표기하고,

이를 위험중립확률측도라 부른다. 따라서, 식 (5.3.9)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

Ct =1

1 + rδtEQt(CT ) (5.3.12)

여기서 EQt(·)는 위험중립확률측도 Qt 하에서 기대값연산자이다. 식 (5.3.12)는 위험중립가

치평가식이다. 다시 한번 강조하지만, 이항나무모형에서는 원자산의 확률적 변동을 나타내는

실제 상승확률 pt가 아닌 위험중립확률 qt가 옵션의 무재정가치를 계산하는 데 사용된다.

다기간 이항나무모형 171

제5.4절 다기간 이항나무모형

5.4.1 다기간 이항나무

제5.3절에서다룬 1기간이항나무모형을다기간으로확장하자. 현재시점을 t라하고, 만기시점

T에서 행사가격이 K인 유럽형콜옵션을 살펴보자. 이 옵션의 잔존기간은 τ.= T − t이다.

자연수 M에 대해서, 다음 값들을 정의하자.

δ.=

τ

M=T − t

M, tm

.= t+mδ, (m = 0, 1, · · · ,M) (5.4.1)

식 (5.4.1)의 δ는 t에 의존하지 않는 상수임에 유의하라. 시간구간 [t, T ]의 분할 (partition)

을 Π.= t = t0 < t1 < · · · < tM = T라 하고, 유한다기간 이항나무과정 Stm | m =

0, 1, · · · ,M을 살펴보자. 각 m에 대해, 원자산 Stm 이 시점 tm+1에서 Stmum 또는 Stmdm

으로 추이된다고 (transitioning) 하자. 여기서 um (∈ (1,∞))과 dm (∈ (0, 1))은 상수들이다.

즉, 시점 tm+1에서 원자산 Stm+1 은 Stmum과 Stmdm중 하나를 취하며, 시간구간 [tm, tm+1]

에서 원자산의 상승률과 하락률은 각각 um와 dm이다.

시점 t0에는 상태들의 개수는 20이고 원자산은 St이다. 시점 t1에는 상태들의 개수는 21

이고 원자산이 취할 수 있는 값들은 Stu1과 Std1이다. 시점 t2에는 상태들의 개수는 22이고

원자산이 취할 수 있는 값들은 Stu1u2, Stu1d2, Std1u2와 Std1d2이다. 또한, 시점 tM 에는

상태들의 개수는 2M 이고, 원자산이 취할 수 있는 값들은 최대 2M 개다. 원칙적으로 시간구간

[t, T ]의 분할 Π는 거래가 일어나는 시점을 모두 포함해야 한다. 따라서, M은 충분히 큰

값이어야 한다. 이 경우에 2M 은 지나치게 큰 값이 되어, 과도한 컴퓨터 사용을 필요로 한다.

이러한 문제점을 피해가기 위해서, 다음과 같은 가정을 하자.

um = u, dm = d, (m = 0, 1, · · · ,M − 1) (5.4.2)

이러한 가정 하에, 시점 tm에는 상태들의 개수가 m + 1이고 또한 원자산이 취할 수 있는

값들의 집합 Am은 다음과 같다.

Am = Stumd0, Stum−1d1, Stum−2d2, · · · , Stu1dm−1, Stu

0dm (5.4.3)

시점 tm에서 원자산은 그 시점에 이르기까지 원자산의 상승횟수와 하락횟수에 의해서 일의적

으로 결정된다. 즉, 시간구간 [t0, tm]에서 상태들이 j번 하락하고 m− j번 상승하면, 상승과


하락이 나타나는 순서에 상관없이 시점 tm에서 원자산은 Stum−jdj 이다. 이러한 경우에

이항나무는 재결합한다고 (recombining) 말한다. 원자산이 sm,j.= Stu

m−jdj가 되는 상태를

ωm,j로 표기하고, 이항나무모형에서 이에 해당하는 점을 시점 tm에서 제j번째 노드 (node)

라고 부르자. 그림 5.4.1은 소구간들의 개수가M = 5인 이항나무모형의 예를 도시한 것이다.

이해를 돕기 위해서, 그림 5.4.1에는 원자산과정 Stm이 아닌 lnStm을 그렸다.

그림 5.4.1. 원자산의 추세가 있는 이항나무

시점 tm의 상태 wm,j 에서 이동할 수 있는 시점 tm+1의 상태들은 ωm+1,j 와 ωm+1,j+1

이다. 식 (5.3.8)에서 알 수 있듯이, 시점 tm의 상태 ωm,j 에서 시점 tm+1의 상태 ωm+1,j 로

추이하는 위험중립확률 qm은 [1 + rδ − d]/[u− d]이다. 또한, 시점 tm의 상태 ωm,j에서 시점

tm+1의 상태 ωm+1,j+1로 추이하는 위험중립확률은 1 − qm이다. 위험중립확률 qm은 시점

tm이나 상태 ωm,j 에 의존하지 않는 상수이다. 따라서, 위험중립확률 qm을 q로 표기하고,

이에 해당하는 위험중립확률측도를 Q로 표기할 수 있다. 즉, 다음과 같이 위험중립확률 q를


정의하자.

q.=

1 + rδ − d

u− d(5.4.4)

5.4.2 이항나무모형의 모수들

다기간 이항나무모형을 완성하기 위해서는 원자산의 상승률 u, 하락률 d, 위험중립확률 q와

소구간들의 개수 M을 정해야 한다. 이러한 모수들은 제3.8절에서 정의한 연속시간형 모형

(3.8.5)와의 정합성을 고려해서 결정해야 한다.

다음과 같이 정의되는 시간구간 [0, 1]의 분할 Π[0,1]을 살펴보자.

Π[0,1].=

0 =

0

M<

1

M<

2

M< · · · < M − 1

M<M

M= 1

(5.4.5)

원자산과정 Su의 시간구간 [0, 1]에서 로그수익률의 기대값은 r이고 표준편차는 변동성 σ

이다. 즉, 다음 식이 성립한다.

σ =

√V ar

(ln S1S0

)(5.4.6)


ln S1S0

=

M−1∑m=0

lnS[m+1]/M

Sm/M(5.4.7)

로그수익률들 ln S1/M

S0/M, ln S2/M

S1/M, · · · , ln SM/M

S[M−1]/M은 서로 독립이고 동일한 확률분포를 따른다.

이 로그수익률의 분산을 σ2M 로 표기하면, 다음 식이 성립한다.

σ2 =Mσ2M (5.4.8)


σM =1√Mσ (5.4.9)


따라서, 원자산의 시간구간 [t, t+ δ]에서 변동성 σt는 다음과 같다.

σt =√δσ (5.4.10)

이산시간형 원자산과정 Stm | m = 0, 1, · · · ,M의 극한 (limit)이라고 할 수 있는 연속시

간형 원자산과정 Su | t ≤ u ≤ T는 위험중립확률측도 Q 하에서 다음 확률미분방정식을

만족한다.

dStSt

= rdt+ σdWQt (5.4.11)

여기서 dWQt 는 평균이 0이고 분산이 dt이며 서로 독립인 정규확률변수열이다. 식 (5.4.11)

은 식 (3.8.5)에서 소개한 확률미분방정식이다.

확률해석이론을 적용해서, 식 (5.4.11)로부터 다음 식을 유도할 수 있다.

d lnSt =[r − 1

2σ2]dt+ σdWQ

t (5.4.12)

식 (5.4.12)의 유도에 대해서는 <예제 10.2.6>을 참조하라. 확률미분방정식 (5.4.12)로부터

다음 식들을 유도할 수 있다.

EQ(d lnSt) =[r − 1

2σ2]dt (5.4.13)

V arQ(d lnSt) = σ2dt (5.4.14)


∆ lnStm = lnStm+1

Stm(5.4.15)


EQ(∆ lnStm) = q lnu+ [1− q] ln d (5.4.16)

V arQ(∆ lnStm) = q[1− q][ln ud

]2(5.4.17)


식 (5.4.13)과 식 (5.4.16)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 근사적으로 성립한다.

q lnu+ [1− q] ln d =

[r − 1

2σ2]δ (5.4.18)

식 (5.4.14)와 식 (5.4.17)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 근사적으로 성립한다.

q[1− q][ln ud

]2= σ2δ (5.4.19)

미지모수들 u, d와 q을구하기위해서는방정식들 (5.4.18)과 (5.4.19) 이외에도방정식이하나

더 필요하다. 이항나무모형를 구축할 때는 계산량을 줄이기 위해서, 이항나무의 재결합조건의

하나인 식 Stmud = Stm 이 성립한다고 가정하자. 따라서 다음 식이 성립한다고 가정하자.

u =1

d(5.4.20)

식 (5.4.18)∼식 (5.4.20)으로 구성된 연립방정식의 해는 다음과 같다.

u = eσ√δ, d = e−σ

√δ, q =

erδ − d

u− d(5.4.21)

식 (5.4.21)을 유도하는 자세한 과정에 대해서는 IM&F10의 제2.1.3소절을 참조하라. 식

(5.4.21)이 성립하는 경우에는, 이항나무 자체가 추세 (drift)를 갖지 않는 반면에 확률과정

자체의 추세는 식 (5.4.21)의 위험중립확률 q에 의해서 반영된다. 그림 5.4.2는 소구간들의

개수가 M = 5이고 추세가 없는 이항나무모형의 예를 도시한 것이다. 이해를 돕기 위해서,

그림 5.4.2에서도 원자산과정 Stm이 아닌 로그원자산과정 lnStm을 그렸다.

5.4.3 유럽형콜옵션의 무재정가치

이 유럽형콜옵션의 만기시점 tM = T에서 가치 CtM 은 다음과 같이 원자산 StM 의 함수이다.

CtM = [StM −K]+ (5.4.22)

이 유럽형콜옵션의 시점 tM−1에서 공정한 가치 CtM−1 을 평가해보자. 시점 tM−1에서

원자산이 StM−1 이므로, 만기시점 tM = T에서 원자산이 취할 수 있는 값은 StM−1u와 StM−1d

이다. 시점 tM−1에서 옵션매도자는 이 유럽형콜옵션 1단위를 매도하고 현금 CtM−1 을 수취한

다. 이옵션매도자는수취한 CtM−1으로원자산 αtM−1단위를매입하고, 나머지는연이자율이 r


그림 5.4.2. 원자산의 추세가 없는 이항나무

인무위험자산에투자한다. 이무위험자산의현재시점 tM−1에서가치는 CtM−1 −StM−1αtM−1

이다. 이렇게 원자산과 무위험자산으로 구성된 포트폴리오의 만기시점 T에서 가치 VT 를

살펴보자. 시점 tM 에서 상태가 up인 경우 포트폴리오가치 vuT 와 상태가 down인 경우 포트폴

리오가치 vdT 는 각각 다음과 같다.

vuT = StM−1uαtM−1 + [1 + rδ][CtM−1 − StM−1αtM−1 ] (5.4.23)

vdT = StM−1dαtM−1 + [1 + rδ][CtM−1 − StM−1αtM−1 ] (5.4.24)

가정에 의해서, 시점 tM−1에서 식 CtM−1 = VtM−1 이 성립한다. 즉, 이 원자산과 무위험자산

으로 구성된 포트폴리오는 유럽형콜옵션 1단위의 복제품이다. 따라서, 무재정조건에 의해서

식 CT = VT 가 성립해야한다. 식 (5.4.23)과 식 (5.4.24)에서 알 수 있듯이, 만기시점 T에서


StM−1uαtM−1 + [1 + rδ][CtM−1 − StM−1αtM−1 ] = cuT (5.4.25)

StM−1dαtM−1 + [1 + rδ][CtM−1 − StM−1αtM−1 ] = cdT (5.4.26)

여기서 cuT 와 cdT 는각각원자산 StM−1u와 StM−1d에대응하는유럽형콜옵션의시점 tM−1에서


가치이다. 식 (5.4.25)와 식 (5.4.26)으로 구성된 연립방정식을 풀면, 그 해는 다음과 같다.

αtM−1 =cuT − cdT

[u− d]StM−1

(5.4.27)

CtM−1 =1

1 + rδ

[1 + rδ − d

u− dcuT +

u− 1− rδ

u− dcdT

](5.4.28)

식 (5.4.28)에 식 (5.4.4)를 적용하면, 다음 가치평가식을 얻는다.

CtM−1 =1

1 + rδqcuT + [1− q]cdT (5.4.29)

따라서, 이 유럽형콜옵션의 시점 tM−1에서 공정한 가치 CtM−1 의 평가식은 다음과 같다.

CtM−1 =1

1 + rδEQ(CT ) (5.4.30)

여기서 EQ(·)는 위험중립확률측도 Q 하에서 기대값연산자이다. 식 (5.4.22)를 식 (5.4.30)에

적용하면, 다음 식을 얻는다.

CtM−1 =1

1 + rδEQ([ST −K]+) (5.4.31)

식 (5.4.21)에 기술한 위험중립확률을 사용해서 식 (5.4.31)의 우변항을 계산할 수 있다.

같은 방법을 적용해서, 각 m (= 2, 3, · · · ,M)에 대해서 이 유럽형콜옵션의 시점 tM−m에

서공정한가치 CtM−m을평가해보자. 시점 tM−m에서원자산이 StM−m이므로, 시점 tM−m+1

에서 원자산이 취할 수 있는 값들은 StM−mu와 StM−md이다. 시점 tM−m에서 옵션매도자는

유럽형콜옵션 1단위를 매도하고 현금 CtM−m 을 수취한다. 이 옵션매도자는 수취한 CtM−m

으로 원자산 αtM−m 단위를 매입하고, 나머지는 연이자율이 r인 무위험자산에 투자한다. 이

무위험자산의 시점 tM−m에서 가치는 CtM−m − StM−mαtM−m 이다. 이렇게 원자산과 무위험

자산으로 구성된 포트폴리오의 시점 tM−m+1에서 가치 VtM−m+1 을 살펴보자. 시점 tM−m+1

에서 상태가 up인 경우 포트폴리오가치 vutM−m+1와 상태가 down인 경우 포트폴리오가치

vdtM−m+1는 각각 다음과 같다.

vutM−m+1= StM−muαtM−m + [1 + rδ][CtM−m − StM−mαtM−m ] (5.4.32)

vdtM−m+1= StM−mdαtM−m + [1 + rδ][CtM−m − StM−mαtM−m ] (5.4.33)


가정에서 알 수 있듯이, 시점 tM−m에서 식 CtM−m = VtM−m 이 성립한다. 즉, 이 원자산과 무

위험자산으로 구성된 포트폴리오는 유럽형콜옵션 1단위의 복제품이다. 무재정조건에 의해서

식 CtM−m+1 = VtM−m+1 이 성립해야한다. 즉, 시점 tM−m+1에서 다음 식들이 성립한다

StM−muαtM−m + [1 + rδ][CtM−m − StM−mαtM−m ] = cutM−m+1(5.4.34)

StM−mdαtM−m + [1 + rδ][CtM−m − StM−mαtM−m ] = cdtM−m+1(5.4.35)

여기서 cutM−m+1와 cdtM−m+1

는 각각 원자산 StM−mu와 StM−md에 대응하는 유럽형콜옵션의

시점 tM−m+1에서 가치이다. 식 (5.4.34)와 식 (5.4.35)로 구성된 연립방정식을 풀면, 그 해는

다음과 같다.

αtM−m =cutM−m+1

− cdtM−m+1

[u− d]StM−m

(5.4.36)

CtM−m =1

1 + rδ

[1 + rδ − d

u− dcutM−m+1

+u− 1− rδ

u− dcdtM−m+1

](5.4.37)

식 (5.4.37)에 식 (5.4.4)를 적용하면, 다음 가치평가식을 얻는다.

CtM−m =1

1 + rδqcutM−m+1

+ [1− q]cdtM−m+1 (5.4.38)

식 (5.4.38)에서 알 수 있듯이, 이 유럽형콜옵션의 시점 tM−m에서 공정한 가치 CtM−m 을

다음과 같이 쓸 수 있다.

CtM−m =1

1 + rδEQ(CtM−m+1) (5.4.39)

식 (5.4.21)에 기술한 위험중립확률을 사용해서 식 (5.4.39)의 우변항을 계산할 수 있다.

식 (5.4.31)과 식 (5.4.39)를 적용해서, 유럽형콜옵션의 시점 t = t0에서 공정한 가치

Ct를 구할 수 있다. 이를 자세히 설명하면 다음과 같다. 각 상태에서 유럽형콜옵션가치는

일의적으로 정해진다. 따라서, 상태 ωk,j에서 이 유럽형콜옵션가치를 ck,j로 표기하자. 시점

tk의 제j번째 노드에서 유럽형콜옵션가치는 ck,j 이다. 그림 5.4.3에는 유럽형콜옵션가치에

대한 이항나무가 그려져 있다. 식 (5.4.29)와 식 (5.4.38)에서 알 수 있듯이, 다음 재귀식이

성립한다.

ck,j =1

1 + rδqck+1,j + [1− q]ck+1,j+1, (k =M − 1,M − 2, · · · , 0) (5.4.40)


위험중립확률 q를 알고 있으므로, 식 (5.4.40)을 적용하기 위해서는 유럽형콜옵션의 미래시점

tk+1에서 가치들 ck+1,j와 ck+1,j+1이 필요하다. 이 값들을 안다면, 시점 tk에서 유럽형콜옵션

가치 ck,j를 구할 수 있다. 우선, 만기시점 T = tM 에서 유럽형콜옵션가치들 cM,j는 다음과

같다.

cM,j = [sM,j −K]+, (j = 0, 1, · · · ,M) (5.4.41)

식 (5.4.41)을 식 (5.4.40)에 대입하면, 시점 tM−1에서 유럽형콜옵션가치들 cM−1,j | j =

0, 1, · · · ,M−1를구할수있다. 이유럽형콜옵션가치들 cM−1,j를식 (5.4.40)에대입하면,

시점 tM−2에서 유럽형콜옵션가치들 cM−2,j | j = 0, 1, . . . ,M − 2를 구할 수 있다. 이와

같이 식 (5.4.40)을 후향으로(backward) 반복적용해서, 현재시점 t = t0에서 유럽형콜옵션의

무재정가치 Ct = c0,0를 구할 수 있다. 이 과정이 그림 5.4.3에 수록되어 있다.

그림 5.4.3. 유럽형콜옵션가치의 이항나무

동일한 방법을 사용해서, 현재시점 t = t0에서 유럽형풋옵션의 무재정가치 Pt = p0,0를

구할 수 있다. 이 과정이 그림 5.4.4에 수록되어 있다.


그림 5.4.4. 유럽형풋옵션가치의 이항나무

제5.5절 유럽형옵션의 가치평가식

원자산이 St이고 만기시점 T에서 행사가격이 g(ST )인 금융파생상품의 시점 t에서 공정한

가치 Ft를 평가하기로 하자. 제5.4절에서 유럽형콜옵션의 무재정가치를 계산한 방법을

적용해서, 이 유럽형옵션의 시점 t = tk에서 무재정가치 Ftk 를 구할 수 있다. 이 절에서는 이

방법을 요약하고, 실제 문제에 적용해 보자.

각 k (=M,M − 1, · · · , 1, 0)에 대해서, 다음 가치평가식들이 성립한다.

fk,j =1

1 + rδqfk+1,j + [1− q]fk+1,j+1, (j = 0, 1, · · · , k) (5.5.1)

여기서 j는 시간구간 [t0, tk]에서 원자산이 하락한 횟수를 나타내고, fk,j 는 시점 tk의 제j

번째 노드에서 이 유럽형옵션의 공정한 가치이다. 위험중립확률 q를 알고 있으므로, 식

(5.5.1)을 이용하기 위해서는 유럽형옵션의 미래시점 tk+1에서 가치들 fk+1,j 와 fk+1,j+1이

필요하다. 이 값들을 안다면, 시점 tk에서 유럽형옵션가치 fk,j를 구할 수 있다. <그림 5.5.1>

에는 유럽형옵션가치 Fu에 대한 이항나무가 그려져 있다. 만약 만기시점 T의 각 노드에서

유럽형옵션가치를알면, 시점 tk(< T )의제j번째노드에서유럽형옵션가치 fk,j를알수있다.

만기시점 T에서 유럽형옵션가치 FT 를 이 유럽형옵션의 지불금액함수로부터 구할 수 있다.

유럽형옵션의 가치평가식 181

예를 들어, 유럽형콜옵션의 경우에는 지불금액함수 fM,j = [sM,j − K]+를, 그리고 유럽형

풋옵션의 경우에는 지불금액함수 fM,j = [K − sM,j ]+를 사용한다. 이렇게 만기시점 T에서

유럽형옵션가치 FT = FtM 이구해지면, 식 (5.5.1)을후향으로(backward) 반복적용함으로써,

현재시점 t = t0에서 유럽형옵션의 무재정가치 Ft = f0,0를 구할 수 있다.

지금까지 설명한 방법을 요약하면, 다음과 같다. 우선 원자산의 다기간 격자 (lattice)를

전향으로 (forward) 나아가며 원자산의 이항나무를 구축한 다음, 유럽형콜옵션의 지불금액함

수를사용해서만기시점 T의각상태에서유럽형옵션가치를계산한다. 다음으로, 이만기시점

T의 모든 유럽형옵션가치들을 초기값들로 해서, 다기간 격자를 후향으로 나아가며 유럽형옵

션가치들을 계산하면, 이항나무모형의 초기시점인 현재시점 t = t0에서 유럽형옵션가치 Ft를

구할 수 있다. 이항나무모형과 위험중립가치평가식을 사용해서 유럽형옵션의 무재정가치를

평가하는 알고리즘은 다음과 같다.

그림 5.5.1. 유럽형옵션가치의 이항나무

알고리즘 5.5.1

이항나무모형을 사용해서, 원자산이 Su이고 만기시점 T에서 행사가격이 K인 유럽형옵

션의 현재시점 t에서 무재정가치 Ft를 다음과 같이 평가할 수 있다.


(1단계) 옵션의 잔존기간 τ = T − t를 M개 소구간들로 분할하고, δ = τ/M라 하고,

tk = t+ kδ, (k = 0, 1, · · · ,M)이라 하자.

(2단계) 식 u = eσ√δ와 식 u = e−σ

√δ를 사용해서 시점 tk에서 제j번째 노드의 원자산

sk,j를 계산하여, 원자산에 관한 이항나무를 구축한다. 여기서 첨자 j는 원자산이

하락한횟수를나타낸다. 즉, 현재시점 t0 = t에서시점 tk까지원자산이 j번하락한

경우에 원자산은 sk,j = Stuk−jdj이다.

(3단계) 다음 식을 이용해서, 위험중립확률 q를 계산한다.

q =erδ − d

u− d

(4단계) 만기시점 tM = T 에서, 원자산 sM,j 와 지불금액함수를 사용하여 유럽형옵

션가치 fM,j 를 계산한다. 예를 들어, 유럽형콜옵션의 만기시점 tM 에서 지불금

액은 fM,j = [sM,j − K]+이고, 유럽형풋옵션의 만기시점 tM 에서 지불금액은

fM,j = [K − sM,j ]+이다.

(5단계) 우선, k = M − 1라 하고, 다음 위험중립가치평가식을 사용해서, 시점 tk에서

유럽형옵션가치 fk,j를 구한다.

fk,j =1

1 + rδqfk+1,j + [1− q]fk+1,j+1, (j = 0, 1, · · · , k)

(6단계) 첨자 k대신 k − 1을 대입하여 제5단계를 반복적용해서, 유럽형옵션가치들

fk,0, fk,1, · · · , fk,k | k = M − 1,M − 2, · · · , 0를 구한다. 이 f0,0가 우리가 구하

고자 하는 유럽형옵션의 현재시점 t에서 무재정가치 Ft이다.

예제 5.5.1 <알고리즘 5.5.1>을 사용해서 유럽형콜옵션과 유럽형풋옵션의 무재정가치들을

평가하기 위해서, 다음 R-파일 EuropeanBinomial.R을 실행해 보자.

1 #----------------------------------------------------------------------------2 # Filename: EuropeanBinomial.R3 # Pricing European Call and Put Options using Binomial4 ### Need fOptions package5 # Programmed by KHW6 #----------------------------------------------------------------------------7 EuropeanBinomial = function(St,K,r,Ctime,Etime,sigma,D,M)8 # Input9 # St = current underlying , K =strike price

10 # r = risk-free interest rate, D = dividend rate11 # sigma = volatility , M = number of subintervals

유럽형옵션의 가치평가식 183

12 # Grid for underlying13 tau = Etime-Ctime # tenor14 delta = tau/M # length of subinterval15 MM = M+116 u = exp(sigma*sqrt(delta)) # increasing ratio17 d = 1/u # decreasing ratio18 q = (exp((r-D)*delta)-d)/(u-d) # risk neutral probability19 # S= array(0, dim=c(M+1,M+1)) , C= S, P=S # initial matrics20 S = array(0, dim=c(M+1,M+1))21 C = S22 P = S23 for(m1 in 1:MM)24 for(j1 in 1:m1) 25 S[m1,j1] = u^(m1-j1)*d^(j1-1)*St26 27 28 C[MM,] = pmax(S[MM,]-K,0)29 P[MM,] = pmax(K-S[MM,],0)30 for(m1 in M:1)31 for(j1 in 1:m1)32 C[m1,j1] = exp(-r*delta)*(q*C[m1+1,j1]+ (1-q)*C[m1+1,j1+1])33 P[m1,j1] = exp(-r*delta)*(q*P[m1+1,j1]+ (1-q)*P[m1+1,j1+1])34 35 36 # Result37 Ct = C[1,1] # Call option prices by binomial38 Pt = P[1,1] # Put option prices by binomial39 Cbs = GBSOption(TypeFlag="c",S=St,X=K,Time=tau,r=r,b=r-D,sigma=sigma)@price #

Black-Shores Call prices40 Pbs = GBSOption(TypeFlag="p",S=St,X=K,Time=tau,r=r,b=r-D,sigma=sigma)@price #

Black-Shores Put prices41 message("u = ",round(u,digits=4))42 message("d = ",round(d,digits=4))43 message("q = ",round(q,digits=4))44 message("\n")45 message("Call Price by Binomial Model=\n" ," ", round(Ct,digits=4))46 message("Call Price by B-S formula=\n" ," ", round(Cbs,digits=4))47 message("Put Price by Binomial Model=\n" ," ", round(Pt,digits=4))48 message("Put Price by B-S formula=\n" ," ", round(Pbs,digits=4))49 # End of program50 51 #---------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램을 실행하기 위해서, R커맨드행에 다음 명령을 내려보자.

>> EuropeanBinomial(100,100,0.10,0,6/12,0.30,0.00,5)

이 명령문을 실행하면, 원자산이 현재시점 t = 0에서 St = 100이고, 원자산의 변동성이

σ = 0.30그리고 원자산의 중간배당률이 D = 0이며, 무위험이자율이 r = 0.1인 경우, 만기시

점 T = 6/12에서 행사가격이 K = 100인 유럽형옵션들의 Black-Scholes값들을 출력한다. 이

옵션의 잔여기간은 τ = 6/12이고, 이 이항나무를 구성하는 소구간들의 개수는 M = 5이다.

이 명령문을 실행한 결과, 원자산의 상승률과 하락률은 각각 u = 1.0995와 d = 0.9095

이고, 위험중립확률은 q = 0.5292임을 알 수 있다. 이에 해당하는 원자산의 이항나무 sk,j

가 그림 5.5.2에 그려져 있다.


유럽형콜옵션가치의이항나무 ck,j가그림 5.5.3에그려져있다. 그림 5.5.3에서알수있

듯이, 이유럽형콜옵션의시점 t = 0에서무재정가치는 11.2873이다. 또한, R패키지 fOptions

의 R함수 GBSOption을 이용해서 구한 이 유럽형콜옵션의 Black-Scholes값은 10.9065이다.

평가된유럽형콜옵션가치들이이렇게차이가나는이유는이 R프로그램 EuropeanBinomial.R

에서 사용된 소구간들의 개수 M = 5가 작기 때문이다.

유럽형풋옵션가치의 이항나무 pk,j가 그림 5.5.4에 그려져 있다. 그림 5.5.4에서 알 수

있듯이, 이 유럽형풋옵션의 시점 에서 무재정가치는 6.4103이다. 또한, R패키지 fOptions의

R함수 GBSOption을 이용해서 구한 이 유럽형풋옵션의 Black-Scholes값은 6.0294이다. 이

유럽형풋옵션가치들 사이에도 상당한 차이가 있다.

소구간들의개수M이크면, 이항나무모형을사용해서구한유럽형옵션의무재정가치와 R

함수 GBSOption를 이용해서 구한 Black-Scholes값의 차이가 작아질 것이다. 이를 확인하기

위해서, R커맨드행에 다음 명령을 내려보자.

>> EuropeanBinomial(100,100,0.10,0,6/12,0.30,0.00,1024)

이 명령문을 실행하면, 원자산이 현재시점에서 St = 100, 행사가격이 K = 100, 무위험

이자율이 r = 0.1, 옵션의 잔여기간이 τ=6/12, 원자산의 변동성이 σ = 0.3그리고 원자산의

중간배당률이D = 0인유럽형옵션들의무재정가치들을출력한다. 이이항나무를구성하는소

구간들의개수는M = 1024이다. 이 명령문을실행한결과, 원자산의상승률과하락률은각각

u = 1.0067와 d = 0.9934이고, 위험중립확률은 q = 0.5020이다. 이이항나무모형을사용해서

구한유럽형콜옵션의시점 t에서무재정가치는 10.9044이고, Black-Scholes값은 10.9065이다.

또한, 이 이항나무모형을 사용해서 구한 유럽형풋옵션의 시점 t에서 무재정가치는 6.0274

이고, Black-Scholes값은 6.0294이다. 소구간들의개수M에따른유럽형옵션의무재정가치와

Black-Scholes값의 차이에 관한 자세한 내용은 IM&F10의 제2.1.5소절을 참조하라.

제5.6절 자기금융조건

제5.4절에서 다룬 다기간 이항나무모형을 사용한 유럽형콜옵션가치의 평가는 다음과 같은

두 단계로 이루어진다. 첫째, 각 노드에서 유럽형콜옵션을 원자산과 무위험자산으로 구성된

포트폴리오로 복제한다. 둘째, 유럽형콜옵션가치와 이 복제포트폴리오가치가 동일하다는

무재정조건을 적용해서, 유럽형콜옵션가치를 구한다. 이 첫 번째 단계를 수행할 때, 각 노

자기금융조건 185

그림 5.5.2. 원자산의 이항나무

그림 5.5.3. 유럽형콜옵션가치의 이항나무

드에서 복제포트폴리오를 재구성해야 한다. 이렇게 옵션매도자가 복제포트폴리오를 계속

재구성함으로써 옵션매입자가 권리행사를 하는 경우 손실을 막을 수 있다. 즉, 옵션헤지를 할

수 있다. 이러한 헤지를 동적헤지 (dynamic hedge)라고 부른다. 식 (5.3.6)에서 알 수 있듯이,


그림 5.5.4. 유럽형풋옵션가치의 이항나무

시점 tk의 제j번째 노드에서 유럽형콜옵션 1단위를 매도했을 때 구입해야 하는 원자산의

단위수 αk,j는 다음과 같다.

αk,j =ck+1,j − ck+1,j+1

[u− d]Sk,j=ck+1,j − ck+1,j+1

sk+1,j − sk+1,j+1(5.6.1)

식 (5.6.1)의 αk,j는 유럽형콜옵션의 델타 (delta)의 이산시간형이다.

각 k(≥ 1)에 대해, 시점 tk에서 구성되는 복제포트폴리오에는 외부에서 자산이 추가되거

나 외부로 자산이 나가지 않는다. 즉, 포트폴리오 내에서만 자산의 재배분이 이뤄지고 있다.

이러한 포트폴리오는 자기금융조건 (self-financing condition)을 만족한다고 한다.

시점 tk에서 복제포트폴리오는 원자산 αtk 단위와 무위험자산 Vtk − αtkStk 로 구성된다.

정의에서 알 수 있듯이, 이 복제포트폴리오는 자기금융조건을 만족한다. 이 복제포트폴리오의

시점 tk에서 가치는 Ctk 이다. 또한, 이 복제포트폴리오의 시점 tk+1에서 가치 V tk+1는 다음과

같다.

V tk+1= δtk+1

Stk+1+ [1 + rδ][Vtk − αtkStk ]

= [1 + rδ]Vtk + αtkStk+1− [1 + rδ]Stk

(5.6.2)

자기금융조건 187

식 (5.4.38)에서 알 수 있듯이 다음 식이 성립한다.

[1 + rδ]Vtk = qcutk+1+ [1− q]cdtk+1

(5.6.3)

식 (5.4.36)과 식 (5.6.3)을 식 (5.6.2)에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

V tk+1= qcutk+1

+ [1− q]cdtk+1+cutk+1

− cdtk+1

sutk+1− sdtk+1

Stk+1− [1 + rδ]Stk (5.6.4)

만약 Stk+1= sutk+1

이면, 식 (5.6.4)에서 알 수 있듯이 V tk+1의 값 vutk+1

는 다음과 같다.

vutk+1= qcutk+1

+ [1− q]cdtk+1+cutk+1

− cdtk+1

sutk+1− sdtk+1

[u− 1− rδ]Stk (5.6.5)

식 (5.4.4)를 식 (5.6.5)에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

vutk+1= cutk+1

(5.6.6)

같은 방법으로, 만약 Stk+1= sdtk+1

이면, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

vdtk+1= cdtk+1

(5.6.7)


V tk+1= Ctk+1

(5.6.8)

식 (5.6.8)에서알수있듯이, 원자산이시점 tk+1에서상승또는하락중어느상태에있다해도

시점 tk 에서 구성한 복제포트폴리오의 시점 tk+1에서 가치와 시점 tk+1에서 옵션가치는

같다. 즉, 이렇게 자기금융조건을 만족하는 복제포트폴리오과정을 구성하면, 만기시점 T에서

복제포트폴리오의 가치와 유럽형콜옵션의 지불금액이 일치한다.


제5.7절 이항나무모형과 마팅게일

5.7.1 Markov성

이산시간형 확률과정 xtk | k ∈ Z 가 다음 식을 만족하면, 이 확률과정은 Markov성을

갖는다고 한다.

Pr(xtk+1

| xtk , xtk−1, · · ·

)= Pr

(xtk+1

| xtk), (k ∈ Z ) (5.7.1)

만약 Pr(xtk+1

| xtk)가 tk에 의존하지 않으면, 이 Markov확률과정의 추이확률은 시간동질적

(time-invariant)이다. 어떤확률과정이 Markov성을갖는다는것은미래시점의확률변수값을

예측하는데 유효한 정보가 모두 현재시점의 확률변수값에 포함되어 있다는 것을 의미한다.

실제 경제현상을 나타내는데 Markov성이 타당한 것인지에 대한 논란의 여지가 있다. 그러나,

이론전개나 계산효율성이라는 관점에서 Markov성은 매우 중요하다.

재결합성을 갖는 이항나무모형에서 원자산과정 Stk는 Markov성을 갖는다. 왜냐하면,

재결합성을 갖는 이항나무의 각 노드에서 원자산은 바로 전 노드의 원자산에만 의존하고 그

전에 어떠한 노드들을 거쳐서 바로 전 노드에 도달했는지에 대한 정보에는 의존하지 않기

때문이다.

이산시간형 확률과정 xtk | k ∈ Z 가 Markov성을 가지면, 다음 식들이 성립한다.

E(xtk+m

| xtk , xtk−1, · · ·

)= E

(xtk+m

| xtk), (m = 1, 2, · · · ) (5.7.2)

좀 더 일반적으로, 임의의 함수 f에 대해서 다음 식이 성립한다.

E(f(xtk+m

) | xtk , xtk−1, . . . , xt0

)= E

(f(xtk+m

) | xtk), (m = 1, 2, · · · ) (5.7.3)

이산시간형 마팅게일 xtk | k ∈ Z 가 Markov성을 가지면, 다음 식이 성립한다.

E(xtk+1

| xtk)= xtk , (k ∈ Z ) (5.7.4)

이항나무모형과 마팅게일 189

5.7.2 마팅게일성

제5.4절에서 다룬 재결합성을 갖는 이항나무모형에서 원자산과정 Stk는 다음 식들을 만족

한다.

EQt0(St1)

.= EQ(St1) = qSt0u+ [1− q]St0d (5.7.5)

EQtk−1

(Stk).= EQ(Stk | Stk−1

) = qStk−1u+ [1− q]Stk−1

d, (k = 2, 3, · · · ,M) (5.7.6)

식 (5.7.6)이 성립하는 이유는 원자산과정 Stk가 위험중립확률측도 Q 하에서 Markov성을

갖기 때문이다. 식 (5.4.4)와 식 (5.7.6)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

EQtk(Stk+1

).= EQ(Stk+1

| Stk) = [1 + rδ]Stk (5.7.7)


EQ

(Stk+1

[1 + rδ]k+1

∣∣∣∣ Stk[1 + rδ]k

)=

Stk[1 + rδ]k

(5.7.8)

다음과 같은 확률변수들을 정의하자.

Stk.=

Stk[1 + rδ]k

, (k = 0, 1, · · · , M) (5.7.9)

이 Stk 는 원자산 Stk 를 이자율 r로 할인한 것이다. 식 (5.7.9)를 식 (5.7.8)에 대입하면, 다음

식이 성립함을 알 수 있다.

EQ(Stk+1

∣∣∣ Stk) = Stk (5.7.10)

즉, 할인된 원자산과정 Stk는 위험중립확률측도 Q 하에서 마팅게일을 이룬다.

유럽형콜옵션가치 Ctk 를 이자율 r로 할인한 Ctk 를 다음과 같이 정의하자.

Ctk.=

Ctk

[1 + rδ]k, (k = 0, 1, · · · ,M) (5.7.11)

식 (5.7.11)을 식 (5.4.39)에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

EQ(Ctk+1

∣∣∣ Stk) = Ctk (5.7.12)


즉, 할인된 유럽형콜옵션가치과정 Ctk도 위험중립확률측도 Q 하에서 마팅게일을 이룬다.

식 (5.7.12)에서 Stk 가 주어진 조건이나 Ctk 가 주어진 조건이 동등함에 유의하라.

제5.4절에서 정의한 원자산과 무위험자산으로 구성된 복제포트폴리오의 할인가치에 대해

서 살펴보자. 시점 tk에서 이 복제포트폴리오는 원자산 αtk 단위와 무위험자산 Vtk − αtkStk

로 구성되어 있다. 이 복제포트폴리오의 할인가치 Vk를 다음과 같이 정의하자.

Vtk.=

Vtk[1 + rδ]k

, (k = 0, 1, · · · ,M) (5.7.13)

만약 식 (5.4.36)처럼 αtk 를 정의하면, Vtk 는 Stk 의 함수이다. 따라서, 할인된 복제포트폴

리오과정 Vtk는 위험중립확률측도 Q 하에서 마팅게일을 이룬다. 또한, αtk 가 식 (5.4.36)

으로 주어지지 않았다 하더라도, αtk 가 원자산들 St0 , . . . , Stk−1, Stk 에만 의존하면, Vtk는

위험중립확률측도 Q 하에서 마팅게일을 이룬다. 지금부터 이를 증명하기로 하자. 정의에서


Vtk+1

[1 + rδ]k+1=

Vtk[1 + rδ]k

+ αtk

Stk+1

[1 + rδ]k+1− Stk

[1 + rδ]k

(5.7.14)


Vtk+1= Vtk + αtk [Stk+1

− Stk ] (5.7.15)


EQ(Vtk+1|Stk , Stk−1

, · · · , St0)

= EQ(Vtk |Stk , Stk−1, · · · , St0) + EQ(αtk [Stk+1

− Stk ] |Stk , Stk−1, · · · , St0)

= Vtk + αtkEQ([Stk+1

− Stk ] |Stk , Stk−1, · · · , St0)

= Vtk

(5.7.16)

즉, 할인된 복제포트폴리오과정 Vtk는 위험중립확률측도 Q 하에서 마팅게일을 이룬다.

제5.8절 이항나무모형에 의한 가치평가식의 해석해

지금까지는 이항나무모형을 사용한 유럽형옵션의 가치평가법에 대해 설명했다. 이 가치

평가법은 기본적으로 복제포트폴리오와 무재정조건을 바탕으로 한다. 즉, 유럽형옵션의

이항나무모형에 의한 가치평가식의 해석해 191

만기시점에서지불금액함수를복제하는포트폴리오를구성할수있으면, 그복제포트폴리오의

현재시점에서 가치가 해당 유럽형옵션의 현재시점에서 가치이다. 이렇게 구해지는 유럽형

옵션의 공정한 가치는 원자산의 실제 상승확률이나 하락확률과는 관계가 없다. 그 대신에

위험중립확률을 사용해서, 유럽형옵션의 공정한 가치를 계산한다. 원자산, 유럽형옵션가치

그리고 해당 복제포트폴리오가치를 무위험이자율로 할인한 할인가치는 위험중립확률측도

하에서 마팅게일을 이룬다. 확률극한을 사용해서 이러한 이산시간형 마팅게일성을 연속시간

형 모형의 마팅게일성으로 전환할 수 있다. 이 연속시간형 마팅게일성은 연속시간형 모형을

이용한옵션가치평가에서중요한역할을한다. 연속시간형모형을설명하기전에, 이절에서는

이항나무모형에 의한 유럽형옵션의 해석해를 구해보자.


Ctm =1

1 + rδEQ(Ctm+1 | Stm), (m = 0, 1, · · · M − 1) (5.8.1)

식 (5.8.1)을 반복적용하면, 다음 식을 얻는다.

Ct =1

[1 + rδ]MEQ(CT | St) (5.8.2)


Ct =1

[1 + rδ]MEQ([ST −K]+ | St) (5.8.3)

시점 t0의 상태 ω0,0에서 시점 tM 의 상태 ωM,j 에 이르는 표본경로들의 개수는(Mj

)이다.

따라서, 시점 tM 에서 원자산이 StuM−jdj인 위험중립확률은

(Mj

)qM−j [1 − q]j이다. 즉, 이

위험중립확률을 다음과 같이 쓸 수 있다.

q(wM,j) = q(StM = sM,j) =

(M

j

)qM−j [1− q]j (5.8.4)

식 (5.8.4)를 식 (5.8.3)에 적용하면, 다음과 같은 유럽형콜옵션의 가치평가식을 얻는다.

Ctm =1

[1 + rδ]M

M∑j=0

[StuM−jdj −K]+

(M

j

)qM−j [1− q]j (5.8.5)



Ctm =1

[1 + rδ]M

M∑j=0

[StuidM−i −K]+

(M

j

)qi[1− q]M−i (5.8.6)

다음 부등식을 만족하는 최소의 자연수를 α라 하자.

a ≥ln K

St−M ln d

lnu− ln d (5.8.7)

다음 값을 정의하자.

q.=

u

1 + rδq (5.8.8)

다음 식이 성립함을 알 수 있다.

0 < q < 1 (5.8.9)

식 (5.8.9)에서 알 수 있듯이, q를 확률로 간주할 수 있다. 식 (5.8.8)을 식 (5.8.6)에 적용하면,

다음 식을 얻는다.

Ct = St

M∑i=a

(M

i

)qi[1− q]M−i − K

[1 + rδ]M

M∑i=a

(M

i

)qi[1− q]M−i (5.8.10)

다음과 같이 이항확률분포함수를 정의하자.

B(c;M,p).=

c∑i=0

(M

i

)pi[1− p]M−i (5.8.11)

유럽형콜옵션의 가치평가식 (5.8.10)을 다음과 같이 표기할 수 있다.

Ct = St[1−B(a− 1;M, q)]−K1

[1 + rδ]M[1−B(a− 1;M, q)] (5.8.12)

같은 방법을 적용해서, 유럽형풋옵션의 시점 t에서 무재정가치 Pt가 다음과 같음을 알 수

있다.

Pt = K1

[1 + rδ]MB(a− 1;M, q)− StB(a− 1;M, q) (5.8.13)

Black-Scholes식 193

지금까지 내용을 정리하면, 다음 정리와 같다. 이 정리의 자세한 증명은 IM&F11의 제

6.4.2소절을 참조하라.

정리 5.8.1: 이항나무모형에 의한 유럽형옵션의 가치평가식

원자산과정 Su가이항확률과정을따르며, 이원자산의변동성이 σ라고하자. 만기시점

이 T에서 행사가격이 K인 유럽형콜옵션의 시점 t에서 무재정가치 Ct와 유럽형풋옵션의

시점 t에서 무재정가치 Pt는 각각 다음과 같다.

Ct = St[1−B(a− 1;M, q)]−K1

[1 + rδ]M[1−B(a− 1;M, q)]

Pt = K1

[1 + rδ]MB(a− 1;M, q)− StB(a− 1;M, q)

여기서 r은 무위험이자율, M은 시간구간 [t, T ]의 분할을 이루는 소구간들의 개수이다.


τ = T − t, δ =τ

M, q =

1 + rδ − d

u− d, q =

u

1 + rδq

그리고 a는 다음 부등식을 만족하는 가장 작은 자연수이다.

a ≥ln K

St−M ln d

lnu− ln d

제5.9절 Black-Scholes식

5.9.1 이항나무모형과 Black-Scholes식

이 절에서는 정리 5.8.1에 기술한 .

이항나무모형의한유럽형옵션의가치평가식으로부터 Black-Scholes식을유도하기로하자.

이항분포에 관한 중심극한정리인 De Moivre-Laplace정리에서 알 수 있듯이, 다음 식이

성립한다.

limM→∞

B(Mp+ z√Mp[1− p];M,p) = N(z) (5.9.1)


여기서 N(·)은 표준정규분포함수이다. 또한, 다음 식들이 성립한다.

q =1

2+

√δ

2σ

[r − 1

2σ2]+O(δ) (5.9.2)

q =1

2+

√δ

2σ

[r +

1

2σ2]+O(δ) (5.9.3)

식 (5.9.2)와 식 (5.9.3)을 이용해서, 다음 식들을 유도할 수 있다.

a− 1−Mq =√M

1

2σ√r

ln KSt

−√r

2σ

[r +

1

2σ2]

+ o(√M) (5.9.4)√

Mq[1− q] =1

2

√M + o(

√M) (5.9.5)


limM→∞

a− 1−Mq√Mq[1− q]

=1

σ√r

ln KSt

−[r +

1

2σ2]r

(5.9.6)


limM→∞

1−B(a− 1;M, q)

= 1− limM→∞

N

(a− 1−Mq√Mq[1− q]

)

= 1−N

(1

σ√τ

ln KSt

−[r +

1

2σ2]τ

)= N

(1

σ√τ

ln StK

+

[r +

1

2σ2]τ

)(5.9.7)

여기서 첫 번째 등호는 식 (5.9.1)에 의해서, 그리고 두 번째 등호는 식 (5.9.6)에 의해서 성립

한다. 같은 방법으로 다음 식을 유도할 수 있다.

limM→∞

1−B(a− 1;M, q) = N

(1

σ√τ

ln StK

+

[r − 1

2σ2]τ

)(5.9.8)

또한, 다음 식들이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

limM→∞

[1 + rδ]M = limM→∞

[1 + r

τ

M

]M= erτ (5.9.9)

식 (5.9.7)∼식 (5.9.9)를 식 (5.8.12)에 적용하면, 유럽형콜옵션의 연속시간형 가치평가식이


다음과 같음을 알 수 있다.

Ct = StN

(1

σ√τ

ln StK

+

[r +

1

2σ2]τ

)−Ke−rτN

(1

σ√τ

ln StK

+

[r − 1

2σ2]τ

)(5.9.10)

식 (5.8.13)에같은방법을적용해서, 유럽형풋옵션의연속시간형가치평가식이다음과같음을

알 수 있다.

Pt = Ke−rτN

(− 1

σ√τ

ln StK

+

[r − 1

2σ2]τ

)− StN

(− 1

σ√τ

ln StK

+

[r +

1

2σ2]τ

)(5.9.11)

식 (5.9.10)과 식 (5.9.11)이 유럽형옵션가치들을 평가하는 Black-Scholes식들이다. 이항나

무모형으로부터 이 Black-Scholes식들을 자세히 유도하는 과정에 대해서는 IM&F12의 제1

장을 참조하라. 지금까지 내용을 정리하면, 다음과 같다.

정리 5.9.1: Black-Scholes식

원자산 Su의 변동성이 σ라고 하자. 만기시점이 T에서 행사가격이 K인 유럽형콜옵션과

유럽형풋옵션의 시점 t에서 무재정가치들은 각각 다음과 같다.

Ct = StN(d1)−Ke−rτN(d2)

Pt = e−rτKN(−d2)− StN(−d1)

여기서 r은 무위험이자율이고, τ = T − t이며, d1과 d2는 각각 다음과 같다.

d1.=

1

σ√τ

ln StK

+

[r +

1

2σ2]τ

d2

.= d1 − σ

√τ

예제 5.9.1 <정리 5.9.1>의 Black-Scholes식을 이용해서 유럽형옵션가치의 무재정가치를

평가하기 위해서, 다음 R-파일 BlackScholes.R을 실행해 보자.

1 #----------------------------------------------------------------------------2 # Filename: Blackscholes.R3 # Pricing European Call and Put Options using Black-Scholes formular


4 ### Need fOptions package5 # Programmed by KHW6 #----------------------------------------------------------------------------7 BlackScholes = function(St, K, r, Ctime,Etime, sigma,D )8 # Input9 # St = Current underlying K = strike price

10 # r = risk-free interest rate, D = dividend rate11 # sigma = volatility12 # Grid for underlying13 tau = Etime-Ctime14 d1 = 1/(sigma*sqrt(tau))*(log(St/K)+(r-D+sigma^2/2)*tau)15 d2 = d1 - sigma*sqrt(tau)16 Ct = St*exp(-D*tau)*pnorm(d1) - K*exp(-r*tau)*pnorm(d2)17 Pt = K*exp(-r*tau)*pnorm(-d2) - St*exp(-D*tau)*pnorm(-d1)18 Cbs = GBSOption(TypeFlag="c",S=St,X=K,Time=tau,r=r,b=r-D,sigma=sigma)@price19 # R function GBSOption20 Pbs = GBSOption(TypeFlag="p",S=St,X=K,Time=tau,r=r,b=r-D,sigma=sigma)@price21 # The current Europen option values22 message("Black-Shcholes call value=\n", " " ,round(Ct,digits=4))23 message("Call value by function GBSOption=\n"," ", round(Cbs,digits=4))24 message("Black-Shcholes put value=\n", " ",round(Pt,digits=4))25 message("Put value by function GBSOption=\n", " ",round(Pbs,digits=4))26 my_list = list("Ct"=Ct,"Pt"=Pt);27 return(my_list);28 29 # End of program30 #----------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램을 실행하기 위해서, R커맨드행에 다음 명령을 내려보자.

>> BlackScholes(100,100,0.10,0,6/12,0.30,0.00)

이 R명령문을 실행하면, 원자산이 현재시점 t = 0에서 St = 100이고, 원자산의 변동

성이 σ = 0.30이며, 원자산의 중간배당률이 D = 0이며, 그리고 무위험이자율이 r = 0.1

인 경우, 만기시점 T = 6/12에서 행사가격이 K = 100인 유럽형옵션들의 Black-Scholes

값들을 출력한다. 이 명령문을 실행한 결과, 이 유럽형콜옵션과 유럽형풋옵션의 시점 t에서

무재정가치들이 각각 10.9065와 6.0294임을 알 수 있다. R함수 GBSOption을 사용해서, 이

값들이 올바르다는 것을 확인할 수 있다.

5.9.2 풋콜패리티

식 (5.9.10)과 식 (5.9.11)로부터 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

St + Pt − Ct = Ke−r[T−t] (5.9.12)

식 (5.9.12)를 풋콜패리티 (put-call parity)라 부른다.


다음 식이 성립함은 자명하다.

[ST −K]+ − [K − ST ]+ = ST −K (5.9.13)


CT − PT = ST −K (5.9.14)

식 (5.9.14)에 무재정조건을 적용해서 풋콜패리티 (5.9.12)를 유도할 수 있다. 식 (5.9.12)를

유도하기 위해서, 시점 t에서 원자산 1단위 매입, 유럽형풋옵션 1단위 매입, 그리고 유럽형콜

옵션 1단위 매도로 구성된 포트폴리오를 생각해보자. 이 포트폴리오의 시점 t에서 가치를 πt

라 하자. 다음 식이 성립한다.

πt = St + Pt − Ct (5.9.15)

식 (5.9.14)에서 알 수 있듯이, 만기시점 T에서 이 포트폴리오의 지불금액, 즉 가치는 K이다.

시점 T 에서 지불해야 할 금액 K를 시점 t에서 미리 확실하게 확보하기 위해서는 은행에

Ke−r[T−t]를 정기예금하는 것이다. 따라서, 식 (5.9.12)가 성립한다.

만약 식 (5.9.12)가 성립하지 않고 대신 부등식 πt < Ke−r[T−t]가 성립한다고 가정하자.

시점 t에서 무위험이자율 r로 현금 Ke−r[T−t]를 은행에서 차입해서 원자산 1단위 매입,

유럽형풋옵션 1단위 매입, 그리고 유럽형콜옵션 1단위 매도하면, 현금 Ke−r[T−t] − πt (> 0)

이 남는다. 반면에, 만기시점 T에서 원자산 1단위 매도, 유럽형풋옵션 1단위 매도, 그리고

유럽형콜옵션 1단위매입해서현금 K = ST +PT −CT 를확보하는한편, 원리금 K를 은행에

반제 (return)한다. 즉, 이 포트폴리오매입자의 만기시점 T에서 잔고는 0이다. 결론적으로,

만기시점 T에서 아무런 위험없이 시점 t에서 순익 Ke−r[T−t] − πt (> 0)를 얻는 재정기회가

발생한다. 이를 표로 정리하면 다음과 같다.

포지션 시점 t에서 가치 만기시점 T에서 가치

주식 매입 −St ST (< K) ST (≥ K)

풋옵션 매입 −Pt −[ST −K] 0

콜옵션 매도 Ct 0 −[ST −K]

은행에서 차입 Ke−r[T−t] −K −K

합계 Ke−r[T−t] − πt (> 0) 0 0


만약 식 (5.9.12)가 성립하지 않고 대신 부등식 πt > Ke−r[T−t] 가 성립한다고 가정하자.

시점 t에서 원자산 1단위와 유럽형풋옵션 1단위를 공매해서 확보한 현금으로 유럽형콜옵션 1

단위 매입하면, 현금 πt = St + Pt − Ct가 남는다. 그 중에서 무위험이자율 r로 Ke−r[T−t]를

은행에 저금하면, 현금 πt −Ke−r[T−t]가 남는다. 반면에, 만기시점 T에서는 은행으로부터

찾은 현금 K와 유럽형콜옵션 1단위를 매도해서 얻은 현금의 합 CT +K를 사용해서 원자산

1단위와 유럽형풋옵션 1단위를 ST + PT 에 매입한다. 즉, 이 포트폴리오매입자의 만기시

점 T 에서 잔고는 0이다. 결론적으로, 만기시점 T 에서 아무런 위험 없이 시점 t에서 순익

πt −Ke−r[T−t](> 0)를 얻는 재정기회가 발생한다. 이를 표로 정리하면 다음과 같다.

포지션 시점 t에서 가치 만기시점 T에서 가치

주식 공 St −ST (> −K) −ST (≤ −K)

풋옵션 매도 Pt ST −K 0

콜옵션 매입 −Ct 0 ST −K

은행에 예 −Ke−r[T−t] K K

합계 πt −Ke−r[T−t](> 0) 0 0

제5.10절 Black-Scholes 모형의 확장

이 소절에서는 원자산에 중간배당이 지불되는 경우와 원자산이 환율인 경우에 대한 유럽형옵

션의 합리적 가치를 이항나무모형을 사용해서 구해보자.

연간 연속배당률 (annual continuous dividend yield) D로 중간배당을 하는 주식의 가격

을 원자산으로 하는 유럽형옵션의 공정한 가치를 구해보자. 원자산에 중간배당이 지불되는

경우, 중간배당이 지불된 직후 원자산은 중간배당만큼 가치가 감소한다. 이를 배당락 (ex-

dividend)이라 한다. 각 소구간 [tm, tm+1]에서 중간배당률은 Dδ이다. 여기서 δ = [T − t]/M

이다. 즉, 각 시점 tm에서 중간배당은 DδStm 이다. 만약 원자산에 대해 롱포지션을 취하는

투자자가 중간배당을 모두 이 원자산에 재투자한다면, 시점이 증가할 때마다 주식 1단위에

대해 비율 Dδ로 보유하는 원자산 단위수가 증가한다. 즉, 시점 t = t0에서 원자산 1단위를

보유하면, 시점 tm에서 보유 단위수는 [1 +Dδ]m이 된다. 따라서, 시점 tm에서 원자산가치

Atm 은 다음과 같다.

Atm.= [1 +Dδ]mStm = [1 +Dδ][tm−t]/δStm ≃ exp ([tm − t]D)Stm (5.10.1)

Black-Scholes 모형의 확장 199

이렇게 중간배당을 모두 재투자한 경우에도, 중간배당을 포함한 원자산가치의 할인과정

exp (−rtm)Atm은 중간배당을 고려한 위험중립확률측도 Q 하에서 마팅게일이어야 한다.


exp (−rtm)Atm = EQtm

(exp (−rtm+1)Atm+1

)(5.10.2)


exp (−rtm) exp ([tm − t]D)Stm = EQtm

(exp (−rtm+1) exp ([tm+1 − t]D)Stm+1

)(5.10.3)

식 (5.10.3)을 정리하면, 다음과 같다.

Stm = EQtm

(exp(−[r −D]δ)Stm+1

)(5.10.4)

원자산의 상승률과 하락률이 각각 u와 d이고, 상승확률이 q라 하자. 다음 식이 성립한다.

EQtm

(Stm+1

)= quStm + [1− q]dStm (5.10.5)


Stm = exp(−[r −D]δ)qu+ [1− q]dStm (5.10.6)

방정식 (5.10.6)을 상승확률 q에 대해서 풀면, 다음 해를 얻는다.

q =exp([r −D]δ)− d

u− d(5.10.7)

식 (5.10.7)의 q가 중간배당을 고려한 경우에 해당하는 위험중립확률이고, 이에 대응하는

확률측도가 Q이다. 지금까지 유도한 원자산과정 Su의 이항나무모형에 제5.8절과 같은

방법을 적용해서, 중간배당이 있는 원자산에 대한 유럽형옵션의 무재정가치식을 유도할 수도

있다.

지금부터는 정리 5.9.1을 사용해서 중간배당이 있는 원자산에 대한 유럽형옵션의 무재정

가치식을 쉽게 유도하기로 하자. 확률과정 Hu.= eD[u−T ]Su | t ≤ u ≤ T 를 생각해보자.

식 (5.10.1)에서 알 수 있듯이, 이 확률과정 Hu를 중간배당이 없는 원자산과정으로 간주할


수 있다. 식 HT = ST 가 성립하므로 유럽형콜옵션과 유럽형풋옵션의 지불금액함수들은 각각

[HT −K]+와 [K−HT ]+이다. 정리 5.9.1에서알수있듯이, Hu를원자산으로하고만기시점

T에서 행사가격이 K인 유럽형콜옵션의 시점 t에서 합리적 가치 CMt 는 다음과 같다.

CMt = Ste

−DτN(dM1 )−Ke−rτN(dM2 ) (5.10.8)

여기서 τ = T − t이며, dM1 와 dM2 는 각각 다음과 같다.

dM1.=

1

σ√τ

ln Ste

−Dτ

K+

[r +

1

2σ2]τ

(5.10.9)

dM2.= dM1 − σ

√τ (5.10.10)

식 (5.10.8)이 중간배당이 있는 원자산과정 Su에 대한 유럽형콜옵션가치이다. 같은 방법을

적용해서, 중간배당이 있는 원자산과정에 대한 유럽형풋옵션가치를 구할 수 있다.

Merton (1973a)은 연속시간형 확률모형을 사용해서 연속배당률 (continuous dividend

yield) D로 중간배당을 하는 주식의 가격을 원자산으로 하는 유럽형옵션의 합리적 가치를

다음과 같이 제시하였다.

정리 5.10.1

무위험이자율이 r이고, 연속배당률 D로 중간배당을 하는 주식의 시점 u에서 주가 Su

의 변동성을 σ라고 하자. 주가 Su를 원자산으로 하고 만기시점 T에서 행사가격이 K인

유럽형콜옵션과 유럽형풋옵션의 시점 t에서 합리적 가치들 CMt 와 PM

t 는 각각 다음과

같다.

CMt = Ste

−DτN(dM1 )−Ke−rτN(dM2 )

PMt = Ke−rτN(−dM2 )− Ste

−DτN(−dM1 )

여기서 τ = T − t이며, dM1 와 dM2 는 각각 다음과 같다.

dM1 =1

σ√τ

ln Ste

−Dτ

K+

[r +

1

2σ2]τ

dM2 = dM1 − σ

√τ

<정리 5.9.1>의 Black-Scholes식들 Ct와 Pt에서원자산 St 대신에 e−DτSt를대입한것이

미국형옵션 201

<정리 5.10.1>의 Merton식들 CMt 와 PM

t 이다.

같은 방법을 적용해서, 환율을 원자산으로 하는 유럽형옵션의 가치평가식을 유도할 수

있다. Garman & Kolhagen (1983)은 연속시간형 확률모형을 사용해서 환율을 원자산으로

하는 유럽형옵션의 합리적 가치를 다음과 같이 제시하였다.

정리 5.10.2

국내의 무위험이자율이 rd이고, 외국의 무위험이자율이 rf 이며, 국내통화 대 외국통화의

비율인 환율 Su의 변동성을 σ라고 하자. 환율 Su를 원자산으로 하고 만기시점 T에서

행사가격이 K인 유럽형콜옵션과 유럽형풋옵션의 시점 t에서 합리적 가치들 CGKt 와

PGKt 는 각각 다음과 같다.

CGKt = Ste

−rf τN(dGK1 )−Ke−rdτN(dGK

2 )

PGKt = Ke−rdτN(−dGK

2 )− Ste−rf τN(−dGK

1 )

여기서 τ = T − t이며, dGK1 와 dGK

2 는 각각 다음과 같다.

dGK1

.=

1

σ√τ

ln Ste

−rf τ

K+

[rd +

1

2σ2]τ

dGK2

.= dGK

1 − σ√τ

<정리 5.9.1>의 Black-Scholes식들 Ct와 Pt에서 원자산 St 대신에 e−rf τSt를 대입한

것이 <정리 5.10.2>의 Garman-Kohlhagen식들 CGKt 와 PGK

t 이다. 또한, <정리 5.10.1>

에서 D를 rf 로 바꾸면, <정리 5.10.2>가 된다.

제5.11절 미국형옵션

이 절에서는 이항나무모형을 이용한 미국형옵션의 가치평가에 대해서 다룬다. 유럽형옵션

과는 달리 미국형옵션의 가치평가문제에 대한 해석해가 알려지지는 않았다. 이 절의 원고를

작성하는데는 주로 Shreve (2004a)를 참조하였다.


5.11.1 미국형옵션과 최적행사시점

시점 u에서원자산이 Su라하고, 이원자산에대해서만기시점 T에서행사가격이K인옵션을

생각해보자. 미국형옵션은 만기시점 T에 이르기 전이라도 원자산을 거래할 수 있는 권리를

갖는다. 즉, 미국형옵션은 임의의 시점 u (≤ T )에서 권리행사가 가능하며 또한 옵션매입자가

시점 u에서 권리행사를 한 경우에 지불금액이 g(Su)인 금융파생상품이다. 여기서 함수 g(·)

는 각 옵션별로 정해지는 지불금액함수이다. 예를 들어, 미국형콜옵션과 미국형풋옵션은

시점 u (∈ [t, T ])에서 지불금액들이 각각 [Su − K]+와 [K − Su]+인 금융파생상품들이다.

현실세계에서는 유럽형옵션보다는 미국형옵션이 더 많이 거래되고 있다. 특히, 시장에서 거

래되는 지수옵션 (index option)의 대부분은 유럽형이지만, 주가옵션과 선물옵션의 대부분은

미국형이다.

유럽형옵션경우에는생각할필요가없었던, 권리를행사하는최적시점, 즉최적행사시점을

선택하는 새로운 문제가 미국형옵션의 가치평가에서 발생한다. 미국형옵션에는 이러한 권리

행사시점의 자유성이 추가되므로, 같은 조건 하에서 미국형옵션가치는 유럽형옵션가치보다

작지 않다. 다른 조건이 동일한 미국형옵션가치에서 유럽형옵션가치를 뺀 값을 조기권리행

사프리미엄 (early exercise premium)이라 한다. 즉, 어떤 시점에서 미국형옵션가치는 즉시

권리행사 (immediate exercise)를 행사해서 얻는 지불금액, 즉 내재가치 (intrinsic value)보다

작지않아야한다. 할인된유럽형옵션가치는위험중립확률측도하에서마팅게일이다. 반면에,

미국형옵션은 최적행사시점에서 내재가치가 할인된 옵션가치의 기대값보다 작지 않다. 즉,

미국형옵션가치는 우마팅게일성을 갖는다. 그러나, 행사시점이 아닌 시점에서는 할인된

옵션가치과정은 마팅게일처럼 행동한다.

5.11.2 이항나무모형과 미국형옵션

만기시점에서만 권리행사가 가능한 유럽형옵션과는 달리, 미국형옵션에 대해서는 Black-

Scholes식과 같은 해석해가 존재하지 않는다. 따라서, 옵션가치를 수치적으로 계산할 필요가

있다. 먼저 이산시간형 모형을 바탕으로 하는 미국형옵션의 가치평가문제를 정의하고, 이항

나무모형을 이용해서 미국형옵션의 이산시간형 가치평가문제를 살펴보자.

마찬가지로 연속배당률 D로 중간배당을 하는 주식의 가격 Su를 원자산으로 하는 미국

형옵션의 가격을 평가하기 위해서, 시간구간 [t, T ]의 분할 Π.= t = t0 < t1 < t2 < · · · <

tM = T를 생각해보자. 여기서 tm.= t0 +mδ, (m = 0, 1, · · · , M)이고, δ .

= [T − t]/M

이다. 또한, 소구간 (tm, tm+1]에서 Su의 차분을 ∆Stm.= Stm+1 − Stm 으로 표기하자. 이를

바탕으로, 미국형옵션의 이산시간형 가치평가문제를 다음과 같이 정의하자.

미국형옵션 203

정의 5.11.1

시점들 t1, t2, · · · , tM 에서만 권리행사가 가능한 미국형옵션의 초기시점 t0에서 가치를

평가하는 문제를 미국형옵션의 이산시간형 가치평가문제라 한다.

<정의 5.11.1>에서알수있듯이, 이산시간형미국형옵션은버유다옵션(Bermuda option)

의일종이다. 이러한이산시간형모형에서M을무한히증가시키면연속시간형모형에수렴하

고, 따라서미국형옵션의이산시간형가치평가문제의해는원래미국형옵션의가치평가문제의

해로 수렴할 것이다.

지금부터는 어떤 미국형옵션이 시점 tm−1까지 권리행사되지 않았다는 조건 하에, 시점 tm

에서 가치를 생각해보자. 시점 tm까지 권리가 행사되지 않으면, 시점 tm에서 가치 htm(Stm)

을 속행가치라고 부른다. 반면에, 미국형옵션이 시점 tm−1까지 권리가 행사되지 않았으나

시점 tm에서 권리가 행사되면, 옵션매입자는 지불금액 g(Stm)을 수취한다. 즉, 이 미국형옵

션의 행사가치는 g(Stm)이다. 이 행사가치가 내재가치이다. 옵션매입자의 관점에서 보면,

행사가치와 속행가치를 비교해서 행사가치가 속행가치를 웃돌면 옵션을 행사해야 한다. 즉,

미국형옵션의 시점 tm에서 가치 Vtm(Stm)은 다음과 같다.

Vtm(Stm) = max htm(Stm), g(Stm) (5.11.1)

지금부터는이항나무모형을이용해서미국형옵션의이산시간형가치평가문제를풀어보자.

즉, 원자산과정을 그림 5.4.2에 그려진 이항나무모형으로 나타낼 수 있다고 가정하자. 우선,

만기시점 tM 에서 미국형옵션가치를 살펴보자. 만기시점 tM 에서 권리가 행사되지 않는 것은

만기시점 tM 에서 권리가 소멸되는 것을 의미한다. 따라서, 만기시점 tM 에서 속행가치는 0

이다. 즉, 식 htM (StM ) = 0가성립한다. 반면에, 옵션매입자가미국형옵션의권리를행사하면,

지불금액 g(StM )을 수취할 수 있다. 따라서, 미국형옵션의 시점 tM 에서 가치 VtM (StM )은

다음과 같다.

VtM (StM ) = max 0, g(StM ) = g(StM ) (5.11.2)

다음으로, 시점 tM−1에서 미국형옵션가치를 살펴보자. 미국형옵션의 시점 tM−1에서 속

행가치는 만기시점 tM 에서만 권리행사가 가능한 유럽형옵션의 가치와 일치한다. 따라서,

유럽형옵션의 가치평가법을 적용하면, 시점 tM−1에서 미국형옵션의 속행가치는 만기시점


tM 에서 지불금액함수의 위험중립확률측도 Q 하에서 기대값을 할인한 값이다. 여기서 Q는

중간배당률 D를고려한위험중립확률측도이다. 즉, 미국형옵션의시점 tM−1에서속행가치는

다음과 같다.

htM−1

(StM−1

)=

1

1 + rδEQ

(g(StM ) | StM−1

)(5.11.3)

여기서 r은 무위험이자율이다. 원자산에 중간배당이 있어도 이에 해당하는 금융파생상품의

할인율은 무위험이자율 r임을 상기하라. 식 (5.11.3)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

htM−1

(StM−1

)=

1

1 + rδq · g(u · StM−1) + [1− q] · g(d · StM−1) (5.11.4)

여기서 모수들 u, d와 q는 다음과 같다.

u = eσ√δ, d = e−σ

√δ, q =

exp([r −D]δ)− d

u− d(5.11.5)

시점 tM−1에서 행사가치와 속행가치를 비교해서 큰 쪽이 미국형옵션가치 VtM−1(StM−1)

이므로, 다음 식이 성립한다.

VtM−1(StM−1) = maxhtM−1(StM−1), g(StM−1)

(5.11.6)

다음으로, 각 m (= M − 2,M − 3, · · · , 0)에 대해 시점 tm에서 이 미국형옵션의 가치를

살펴보자. 미국형옵션의 시점 tm에서 속행가치는 만기시점 tm+1에서 권리행사가 가능한

유럽형옵션의 가치와 일치한다. 따라서, 시점 tm에서 미국형옵션의 속행가치는 시점 tm+1

에서 지불금액함수의 위험중립확률측도 Q하에서 기대값을 할인한 값이다. 즉, 미국형옵션의

시점 tm에서 속행가치는 다음과 같다.

htm(Stm) =1

1 + rδEQ

(g(Stm+1) | Stm

)(5.11.7)


htm (Stm) =1

1 + rδq · g(u · Stm) + [1− q] · g(d · Stm) (5.11.8)

시점 tm에서행사가치와속행가치를비교해서큰쪽이미국형옵션가치 Vtm(Stm)이므로, 다음

미국형옵션 205


Vtm(Stm) = max htm(Stm), g(Stm) (5.11.9)

식 (5.11.4), 식 (5.11.6), 식 (5.11.8), 그리고 식 (5.11.9)에서 알 수 있듯이, 각 m(= M,

M − 1, · · · , 1)에 대해서 다음 식이 성립한다.

Vtm−1(Stm−1) = max

1

1 + rδEQ(g(Stm) |Stm−1) , g(Stm−1)

(5.11.10)

결론적으로, 다음과 같이 미국형옵션의 이산시간형 가치평가문제를 풀 수 있다. 첫

째, 식 (5.11.2)를 적용해서 만기시점 tM 에서 가치 VtM (StM )를 구한다. 둘째, 각 m (=

M,M − 1, · · · , 1)에 대해서 점화식 (5.11.10)을 후향으로 적용한다. 이 미국형옵션의 현재

시점 t에서 가치는 Vt(St)이다.

5.11.3 행사영역과 속행영역

미국형옵션의 이산시간형 가치평가문제에서는 시점 tm에서 행사가치 g(Stm)이 속행가치

htm(Stm)보다 크거나 같으면 권리를 행사한다. 이렇게 식 g(Stm) ≥ htm(Stm)이 성립하는

Stm 의 영역을 행사영역이라 한다. 반면에, 식 g(Stm) < htm(Stm)이 성립하는 Stm 의 영역을

속행영역이라 한다. 원자산 Stm 이 행사영역에 들어가는지 속행영역에 들어가는지 여부는

이항나무모형을 사용해서 옵션가치를 후진으로 계산할 때 알 수 있다. 이항나무모형을 사용

해서, 미국형옵션의 가치를 평가하고 원자산의 행사영역과 속행영역을 구하는 방법을 다음과

같이 요약할 수 있다.

알고리즘 5.11.1

다음과 같은 단계들을 수행하면, 미국형옵션의 이산시간형 가치를 평가하고 원자산의

행사영역과 속행영역을 구할 수 있다.

(1단계) 미국형옵션의 만기시점 tM 에서 가치 VtM (StM ) = g(StM )을 계산한다.

(2단계) 시점 tm에 tM−1을 할당한다.

(3단계) 시점 tm의 각 노드에서 원자산 Stm 에 대해, 다음 식을 적용해서 해당 노드에서


옵션가치를 계산한다.

Vtm(Stm) = max

1

1 + rδEQ(g(Stm+1) | Stm) , g(Stm)

여기서 Q는 위험중립확률측도이다.

(4단계) 식 g(Stm) ≥ 11+rδE

Q(g(Stm+1) | Stm)이 성립하면, 원자산 Stm 을 행사영역에

할당한다. 그렇지 않으면, 원자산 Stm 을 속행영역에 할당한다.

(5단계) 만약 시점 tm이 t0이면, 미국형옵션의 시점 t에서 가치를 Vt(St)로 할당하고

이 알고리즘을 끝낸다. 그렇지 않으면, 시점 tm에 tm−1을 할당한 다음, 제3단계로

돌아간다.

미국형옵션의 특징은 만기시점 전에 권리행사가 가능하다는 것이다. 이렇게 만기시점

전에 권리행사를 하는 것을 조기행사라 부른다. 미국형옵션에 조기행사가 일어나는지 여

부는 이산시간형 원자산과정 Stm | m = 0, 1, · · · , M − 1에 달려있다. 만약 원자산 Stm

이 행사영역에 들어가면, 즉각 권리행사를 해야만 한다. 만약 행사가치가 속행가치보다 큰

경우에 옵션매입자가 권리행사를 하지 않으면, 그 순간에는 행사가치와 속행가치의 차액만큼

옵션매입자에게 손실이 발생하는 것이다. 따라서, 미국형옵션을 매입한 사람은 원자산이

최초로 행사영역에 들어간 순간에 권리행사를 하는 것이 최적이라고 할 수 있다.

예제 5.11.1 <알고리즘 5.11.1>을 이용해서, 미국형옵션가치를 평가하기 위해서, 다음과

같은 R-파일을 실행하자.

1 #----------------------------------------------------------------------------2 # Filename: AmericanOption.R3 # Pricing American Call and Put Options4 # Programmed by KHW5 #----------------------------------------------------------------------------6 AmericanOption = function(St,K,r,Ctime,Etime, sigma,D,M)7 # Input8 # St = Current underlying K = strike price9 # r = risk-free interest rate, D = dividend rate

10 # sigma = volatility11 # Ctime = current time, Etime = expiry12 # M = number of subintervals13 # Binomial Model14 tau = Etime-Ctime # tenor15 dt = tau/M16 u = exp(sigma*sqrt(dt))17 d = 1/u18 qtilde = (exp((r-D)*dt)-d)/(u-d)19 MM = M+120 S = array(NaN,dim=c(MM,MM))

미국형옵션 207

21 CExerValue = S22 PExerValue = S23 CDeciMat = S24 PDeciMat = S25 for(mm in 0:M )26 mm1 = mm+127 for (ii in 0:mm)28 ii1 = ii+129 S[mm1,ii1] = St*u^(mm-ii)*dîi30 CExerValue[mm1,ii1] = max(S[mm1,ii1]-K,0)31 PExerValue[mm1,ii1] = max(K-S[mm1,ii1],0)32 33 34 message("u= ",round(u,digits=4))35 message("d= ",round(d,digits=4))36 message("q= ",round(qtilde,digits=4))37 message("\n")38 message("Underlying Matrix=")39 print(round(S,digits=4))40 message("\n")41 CContiValue = CExerValue42 PContiValue = PExerValue43 CAmerValue = CExerValue44 PAmerValue = PExerValue45 CDeciMat[MM,] = (S[MM,]>=K)46 PDeciMat[MM,] = (S[MM,]<=K)47 CExerPeriod = M48 PExerPeriod = M49 for(mm in seq(M-1,0,by=-1))50 mm1 = mm+151 for(ii in 0:mm)52 ii1 = ii+153 CContiValue[mm1,ii1] = 1/(1+r*dt)*(qtilde*CAmerValue[mm1+1,ii1]+(1-qtilde)*

CAmerValue[mm1+1,ii1+1])54 PContiValue[mm1,ii1] = 1/(1+r*dt)*(qtilde*PAmerValue[mm1+1,ii1]+(1-qtilde)*

PAmerValue[mm1+1,ii1+1])55 CAmerValue[mm1,ii1] = max(CContiValue[mm1,ii1],CExerValue[mm1,ii1])56 PAmerValue[mm1,ii1] = max(PContiValue[mm1,ii1],PExerValue[mm1,ii1])57 CDeciMat[mm1,ii1] =058 if(CContiValue[mm1,ii1]<= CExerValue[mm1,ii1] && CExerValue[mm1,ii1]>0)59 CDeciMat[mm1,ii1] =160 CExerPeriod = mm61 62 PDeciMat[mm1,ii1]=063 if(PContiValue[mm1,ii1]<= PExerValue[mm1,ii1] && PExerValue[mm1,ii1]>0)64 PDeciMat[mm1,ii1] =165 PExerPeriod = mm66 67 68 69 #Outputs of American Call Option70 message("Call Exercise Period = ",CExerPeriod)71 CExerTime = CExerPeriod * dt72 message("Call Exercise Time = ", round(CExerTime ,digits=4))73 ACvalue = CAmerValue[1,1]74 message("American Call Value = ", round(ACvalue,digits=4))75 message("\n")76 message("Call Decision Matrix = ")77 print(round(CDeciMat ,digits=4))78 message("\n")79 message("Call Exercise Value Matrix = ")


80 print(round(CExerValue ,digits=4))81 message("\n")82 message("Call Continuous Value Matrix = ")83 print(round(CContiValue ,digits=4))84 message("\n")85 message("American Call Value Matrix = ")86 print(round(CAmerValue ,digits=4))87 message("\n")88 #Outputs of American Put Option89 message("Put Exercise Period = ",PExerPeriod)90 PExerTime = PExerPeriod * dt91 message("Put Exercise Time = ", round(PExerTime ,digits=4))92 APvalue = PAmerValue[1,1]93 message("American Put Value = ", round(APvalue,digits=4))94 message("\n")95 message("Put Decision Matrix = ")96 print(round(PDeciMat ,digits=4))97 message("\n")98 message("Put Exercise Value Matrix = ")99 print(round(PExerValue , digits=4))

100 message("\n")101 message("Put Continuous Value Matrix = ")102 print(round(PContiValue ,digits=4))103 message("\n")104 message("American Put Value Matrix = ")105 print(round(PAmerValue ,digits=4))106 107 # End of program108 #----------------------------------------------------------------------------

이 R-파일을 실행하기 위해서, R커맨드행에 다음 명령문을 입력하자.

>> AmericanOption(100,100,0.1,0,1/12,0.4,0.08,6)

이 R명령문을 실행하면, 현재시점 t = 0에서 원자산이 St = 100, 행사가격이 K = 100,

무위험이자율이 r = 0.1, 만기시점이 T = 1/12, 원자산의 변동성이 σ = 0.4, 중간배당률이

D = 0.08, 그리고 소구간들의 개수가 M = 6인 경우에 해당하는 미국형옵션의 가치를

계산한다.


이고, 위험중립확률은 q = 0.4912임을 알 수 있다. 또한, 원자산의 이항나무가 그림 5.11.1에

그려져 있다. 이 미국형콜옵션의 행사가치와 속행가치가 그림 5.11.2와 그림 5.11.3에 그려져

있다. 또한이미국형콜옵션의행사영역과속행영역이그림 5.11.4에그려져있다. 그림 5.11.4

에서는 행사영역에 속하는 노드를 1로 그리고 속행영역에 속하는 노드를 0으로 표시한다.

이항나무모형을 사용해서 이 미국형콜옵션의 이산시간형 가치를 계산한 것이 그림 5.11.5

에 그려져 있다. 그림 5.11.5에서 알 수 있듯이, 이 미국형콜옵션은 시점 t5 = 0.0694에서

권리행사가 되며 또한 현재시점 t에서 가치는 4.4672이다.

같은방법으로, 이항나무모형을사용해서이미국형풋옵션의이산시간형가치를계산하면,

미국형옵션 209

이미국형풋옵션은시점 t3 = 0.0417에서권리행사가되며또한현재시점 t에서가치는 4.3391

이다.


5.11.4 미국형옵션의 행사시점

원자산에 중간배당이 없는 경우를 먼저 살펴보자. 미국형콜옵션은 권리행사를 나중에 할수록

유리하다. 즉, 미국형콜옵션의최적행사시점과유럽형콜옵션의행사시점에는차이가없다. 그

이유는 콜옵션의 시간가치가 항상 비음이기(nonnegative) 때문이다. 반면에, 미국형풋옵션은

만기시점전에권리행사를하는것이유리할수있다. 즉, 미국형풋옵션의최적행사시점과유럽

형풋옵션의 행사시점에는 차이가 있을 수 있다. 그 이유는 풋옵션의 시간가치가 음 (negative)


그림 5.11.2. 미국형콜옵션의 행사가치

그림 5.11.3. 미국형콜옵션가치의 속행가치

미국형옵션 211

그림 5.11.4. 미국형콜옵션의 행사영역과 속행영역

그림 5.11.5. 미국형콜옵션의 행사가치


이 될 수 있기 때문이다. 이에 대한 자세한 내용은 IM&F9의 제7.7.3소절과 IM&F11의 제

2.3.10소절을 참조하라.

예제 5.11.2 원자산에 중간배당이 없는 경우, 미국형옵션을 만기시점 전에 권리행사하는

것이 유리한지를 살펴보기 위해서, R커맨드행에 다음 명령문을 입력하자.

>> AmericanOption(100,100,0.1,0,1,0.4,0.00,128)


무위험이자율이 r = 0.10, 만기시점이 T = 1, 원자산의 변동성이 σ = 0.4, 중간배당률이

D = 0, 그리고 소구간들의 개수가 M = 128인 경우에 해당하는 미국형옵션의 가치들을

출력한다. (단, 행렬을출력시킬경우모두출력이되지는않으므로, 행렬부분을주석처리하는

것이 좋다.)


이고, 위험중립확률은 q = 0.5022임을 알 수 있다. 이 미국형콜옵션은 만기시점인 t128 = 1

에서 권리가 행사되며, 현재시점 t에서 가치는 20.2822이다. 반면에, 이 미국형풋옵션은

만기시점 전인 t11 = 0.0859에서 권리가 행사되며, 현재시점 t에서 가치는 11.9457이다.

다음으로 원자산에 중간배당이 있는 경우를 살펴보자. 미국형콜옵션 경우에 권리행사를

하면 원자산을 취득하는 것이므로, 권리행사 이후에는 원자산에 지불되는 중간배당을 수취할

수 있다. 반면에 권리행사를 하지 않고 계속 미국형콜옵션을 소유하고 있으면, 원자산에 지불

되는 중간배당을 수취할 수 없다. 따라서, 지불되는 중간배당만큼 원자산가치는 감소한다. 즉,

원자산의 중간배당률이 높아지면, 미국형콜옵션에서는 권리행사를 빨리해서 원자산을 빨리

취득하는것이좋다. 결론적으로, 중간배당률의상승은조기행사를촉진시킨다. 미국형풋옵션

경우에 권리행사를 하면 원자산을 포기하는 것이므로, 권리행사 후에는 중간배당을 수취할 수

없다. 반면에, 풋옵션을계속보유하고있으면, 원자산에지불되는중간배당을수취할수있다.

따라서, 미국형풋옵션에서 중간배당률이 증가되는 것은 권리행사를 지연시키는 방향으로

작용할 것이다.

예제 5.11.3 자산에 중간배당이 있는 경우, 미국형옵션을 만기시점 전에 행사하는 것이

유리한지를 살펴보기 위해서, R커맨드행에 다음 명령문을 입력하자.

>> AmericanOption(100,100,0.1,0,1,0.4,0.05,128)


미국형옵션 213


D = 0.05, 그리고 소구간들의 개수가 M = 128인 경우에 해당하는 미국형옵션의 가치들을

출력한다.

이명령문을실행한결과, 원자산의상승률과하락률은각각 u = 1.0360와 d = 0.9653이고,

위험중립확률은 q = 0.4967임을 알 수 있다. 이 미국형콜옵션은 만기시점 전인 t26 = 0.2031

에서권리가행사되며, 현재시점 t에서가치는 17.1265이다. 반면, 이미국형풋옵션은만기시점

전인 t13 = 0.1016에서 권리가 행사되며, 현재시점 t에서 가치는 13.2394이다.

현재시점 t = 0에서 원자산이 St = 100, 행사가격이 K = 100, 무위험이자율이 r = 0.10,

만기시점이 T = 1, 원자산의변동성이 σ = 0.4, 그리고소구간들의개수가M = 256인경우에

해당하는 미국형옵션의 배당률(dividend rate) D의 변화에 따른 가치 변화를 살펴보자. 그림

5.11.6의 위 그래프는 배당률과 미국형콜옵션가치의 관계를, 그리고 아래 그래프는 배당률과

행사시점의 관계를 그린 것이다. 그림 5.11.6에서 확인할 수 있듯이, 배당률이 커지면, 미

국형콜옵션가치는 작아지며 또한 행사시점은 빨라진다. 이는 배당률이 커질수록 콜옵션의

속행가치의 증가분보다 중간배당의 증가분이 더 커짐을 의미한다. 특히, 유의할 점은 배당률

D가증가하면서무위험이자율 r = 0.10에가까이가면이미국형콜옵션의행사시점은급격히

감소한다. 그러나, 배당률 D가무위험이자율 r = 0.10를넘어서면, 그행사시점의감소속도는

아주 완만하다. 또한, 배당률이 D = 0인 경우에 미국형콜옵션의 행사시점은 만기시점임을

알 수 있다.

그림 5.11.6. 배당률과 미국형콜옵션


그림 5.11.7의 위 그래프는 원자산 배당률과 미국형풋옵션가치의 관계를, 그리고 아래

그래프는 원자산 배당률과 미국형풋옵션 행사시점의 관계를 그린 것이다. 그림 5.11.7에서

확인할 수 있듯이, 배당률이 커지면 미국형풋옵션가치는 커지며 또한 행사시점은 늦어진다.

이는 배당률이 커질수록, 풋옵션의 속행가치의 증가분이 중간배당의 증가분보다 더 커짐을

의미한다.

그림 5.11.7. 배당률과 미국형풋옵션

본저자는 미국형옵션가치를 분석할 때 다음과 같은 점을 고려해야 한다고 생각한다.

미국형콜옵션은 권리행사를 함으로써 중간배당을 받는다. 또한, 미국형풋옵션의 경우에는

권리행사를 해서 얻는 대금을 만기시점까지 무위험채권에 투자해서 수익을 얻는다. 이 점들을

반영해서 분석하는 것이 타당할 것이다

5.11.5 조기행사확률

미국형옵션의 이산시간형 가치평가에서는 원자산이 처음으로 행사영역에 들어간 시점에서

권리를 행사해야 한다. 이렇게 권리행사가 되는 시점은 정지시점(stopping time)의 일종이다.

행사영역에서 미국형옵션가치는 행사가치이므로, 옵션매입자에게 최적행사시점은 미국형옵

션가치가 행사가치와 처음으로 일치하는 시점이다.

이항나무모형에서 원자산의 각 표본경로를 나타내는 사상을 ω로 표기하자. 따라서, 사상

ω에 해당하는 원자산의 이산시간형 표본경로는 Stm(ω) | m = 0, 1, · · · ,M이다. 따라서,

Stm(ω)는 사상 ω에 의해 주어지는 표본경로에서 시점 tm에 해당하는 원자산을 나타내고

있다. 미국형옵션의 이산시간형 가치평가에서 최적정지시점은 표본경로 Stm(ω)에서 원자

미국형옵션 215

산이 처음으로 행사영역에 들어가는 시점이다. 표본경로가 시점 tm에서 출발하여 처음으로

행사영역에 들어가는 시점을 다음과 같이 표기하자.

ηm(ω).= mintk | k ≥ m, Vtk(Stk(ω)) = g(Stk(ω)) (5.11.11)

어떤 고정된 ζ = tn (≥ tm)에 대해서, 다음 식이 성립함은 명백하다.

P (ηm ≤ ζ | Stm) = EP (1(ηm ≤ ζ) | Stm) (5.11.12)

여기서 EP (·)는실제확률측도 P 하에서기대값연산자이고, 함수 1(A).= 1A는지시함수이다.

식 (5.11.12)에서 m = 0이면, 원자산이 확정값 St0 로 주어지므로, 조건부확률은 무조건부확

률과 동일하다. 즉, 다음 식이 성립한다.

P (η0 ≤ ζ | St0) = P (η0 ≤ ζ) (5.11.13)

식 (5.11.13)의 P (η0 ≤ ζ)는 원자산이 현재시점 t0 = 0에서 St0 를 출발하여 (처음으로) 시점

ζ이전에 권리행사가 될 확률이다. 이 P (η0 ≤ ζ)를 조기행사확률이라 부르자.

지금부터는 조기행사확률을 구하는 알고리즘을 생각해보자. 다음과 같이, 함수 ϵ(tm, x)

를 정의하자. 만약 이항나무모형의 시점 tm에서 원자산 Stm(ω) = x가 행사영역에 들어가면,

함수 ϵ(tm, x)에 값 1을 할당하자. 만약 그렇지 않으면, 함수 ϵ(tm, x)에 값 0을 할당하자. 시점

ζ = tn인 경우를 생각해보자. 만약 원자산 Sζ = x가 행사영역에 들어가면, 다음 식들이

성립한다.

P (ηn ≤ ζ | Sζ = x) = P (ηn = ζ | Sζ = x) = ϵ(ζ, x) = 1 (5.11.14)

만약 원자산 Sζ = x가 속행영역에 들어가면, 다음 식들이 성립한다.

P (ηn ≤ ζ | Sζ = x) = P (ηn = ζ | Sζ = x) = ϵ(ζ, x) = 0 (5.11.15)

다음으로 시점 tn−1인 경우를 생각해보자. 만약 원자산 Stn−1 = x가 행사영역에 들어가면,


P (ηn−1 ≤ ζ | Stn−1 = x) = ϵ(tn−1, x) = 1 (5.11.16)


만약 Stn−1 = x가 속행영역에 들어가면, 다음 식들이 성립한다.

P (ηn−1 ≤ ζ | Stn−1 = x) = P (ηn = ζ | Stn−1 = x)

= EP (1(ηn = ζ) | Stn−1 = x) = EP (EP (1(ηn = ζ) | Sζ) | Stn−1 = x)

(5.11.17)

여기서 세 번째 등호는 반복조건부기대값법칙에 의해서 성립한다. 따라서, 원자산 Stn−1 = x

가 속행영역에 들어가면, 다음 식이 성립한다.

P (ηn−1 ≤ ζ | Stn−1 = x)

= pEP (1(ηn = ζ) | Sζ = u · x) + [1− p]EP (1(ηn = ζ) | Sζ = d · x)(5.11.18)

여기서 p는원자산의상승상태를나타내는실제확률이고 u와 d는이항나무모형에서상승률과

하강률이다. 식 (5.11.14), 식(5.11.15), 그리고식 (5.11.18)을이용하면, 시점 tn−1에서원자산

Stn−1 이 주어진 경우, 속행영역에서 조건부 조기행사확률 P (ηn−1 ≤ ζ | Stn−1 = x)을 계산할

수 있다.

좀 더 일반적인 경우를 다루기 위해서, 시점 tm에서 원자산 Stm = x가 속행영역에 속하는

경우, 다음과 같은 조건부 조기행사확률 θ(tm, x)를 정의하자.

θ(tm, x).= P (ηm+1 ≤ ζ | Stm = x) (5.11.19)


θ(tm, x) = pEP (1(ηm+1 ≤ ζ) | Stm+1 = u · x)

+ [1− p]EP (1(ηm+1 ≤ ζ) | Stm+1 = d · x)(5.11.20)


θ(tm, x) = pP (ηm+1 ≤ ζ | Stm+1 = u · x)

+ [1− p]P (ηm+1 ≤ ζ | Stm+1 = d · x)(5.11.21)

만약 원자산 Stm = x가 행사영역에 들어가면, 다음 식이 성립한다.

P (ηm ≤ ζ | Stm = x) = ϵ(tm, x) = 1 (5.11.22)

미국형옵션 217

반면에, 원자산 Stm = x가 속행영역에 들어가면, 다음 식이 성립한다.

P (ηm ≤ ζ | Stm = x) = θ(tm, x) < 1 (5.11.23)

식 (5.11.22)와 식 (5.11.23)에서 알 수 있듯이, 시점 tm에서 원자산이 Stm = x로 주어지면

조건부 조기행사확률은 다음과 같다.

P (ηm ≤ ζ | Stm = x) = max ϵ(tm, x), θ(tm, x) (5.11.24)

지금까지 내용을 정리한 다음 알고리즘을 사용해서, 조기행사확률을 구할 수 있다.

알고리즘 5.11.2

이항나무모형을 사용한 미국형옵션의 가치평가에서, 고정된 시점 ζ(= tn)에서 조기행사

확률 P (η0 ≤ ζ)를 다음과 같이 구할 수 있다.

(1단계) 시점 ζ(= tn)에서 조건부 조기행사확률은 다음과 같다.

P (ηn ≤ ζ | Sζ = x) = ϵ(ζ, x)

여기서 함수 ϵ(tm, x)는 다음과 같다.

ϵ(tm, x) =

1, (Stm = x가 행사영역에 포함)

0, (Stm = x가 속행영역에 포함)

이 조건부 조기행사확률을 계산한다.

(2단계) 다음 식을 사용해서 속행영역에서 조건부 조기행사확률

θ(tn−1, x) = P (ηn ≤ ζ | Stn−1 = x)을 계산한다.

θ(tn−1, x) = pP (ηn ≤ ζ | Sζ = u · x) + [1− p]P (ηn ≤ ζ | Sζ = d · x)

여기서 p는 원자산의 상승상태를 나타내는 실제확률이다.

(3단계) 시점 tm에 tn−1을 할당한다.

(4단계) 다음 식을 적용해서, 원자산이 Stm = x로 주어지는 조건부 조기행사확률을


계산한다.

P (ηm ≤ ζ | Stm = x) = max ϵ(tm, x), θ(tm, x)

또한, 다음 식을 사용해서 속행영역에서 조건부 조기행사확률

θ(tm−1, x) = P (ηm ≤ ζ | Stm−1 = x)을 계산한다.

θ(tm−1, x) = pP (ηm ≤ ζ | Stm = u · x) + [1− p]P (ηm ≤ ζ | Stm = d · x)

(5단계) 만약 시점 tm이 t0이면, 미국형옵션의 시점 t0에서 조기행사확률은

P (η0 ≤ ζ | St0) = P (η0 ≤ ζ)이고, 알고리즘을 끝낸다. 그렇지 않으면, 시점 tm에

시점 tm−1을 할당한 다음, 제4단계로 돌아간다.

예제 5.11.4 <알고리즘 5.11.2>를적용해서조기행사확률을구하기위해서, 다음 R-파일을

실행하자.

1 #----------------------------------------------------------------------------2 # Filename: EarlyExercise.R3 # Early Exercise Probability of American Option4 # Programmed by KHW5 #----------------------------------------------------------------------------6 EarlyExercise = function(St,K,r,Ctime,Etime,sigma,D,M,mu,gamma)7 # Input8 # St = Current underlying K = strike price9 # r = risk-free interest rate, D = dividend rate

10 # sigma = volatility11 # Ctime = current time, Etime = expiry12 # M = number of subintervals13 # mu = real rate of return14 # gamma = maximum stopping ratio15 # Binomial Model16 # Binomial Model17 tau = Etime-Ctime # tenor18 dt = tau/M19 u = exp(sigma*sqrt(dt))20 d = 1/u21 qtilda = (exp((r-D)*dt)-d)/(u-d)22 MM = M+123 #24 S = array(NaN,dim=c(MM,MM))25 CExerValue = S26 PExerValue = S27 CDeciMat = S28 PDeciMat = S29 for(mm in 0:M )30 mm1 = mm+131 for (ii in 0:mm)32 ii1 = ii+133 S[mm1,ii1] = St*u^(mm-ii)*dîi34 CExerValue[mm1,ii1] = max(S[mm1,ii1]-K,0)

미국형옵션 219

35 PExerValue[mm1,ii1] = max(K-S[mm1,ii1],0)36 37 3839 CContiValue = CExerValue40 PContiValue = PExerValue41 CAmerValue = CExerValue42 PAmerValue = PExerValue43 CDeciMat[MM,] = (S[MM,]>=K)44 PDeciMat[MM,] = (S[MM,]<=K)45 CExerPeriod = M46 PExerPeriod = M4748 for(mm in seq(M-1,0,by=-1))49 mm1 = mm+150 for(ii in 0:mm)51 ii1 = ii+152 CContiValue[mm1,ii1] = 1/(1+r*dt)*(qtilda*CAmerValue[mm1+1,ii1]+(1-qtilda)*

CAmerValue[mm1+1,ii1+1])53 PContiValue[mm1,ii1] = 1/(1+r*dt)*(qtilda*PAmerValue[mm1+1,ii1]+(1-qtilda)*

PAmerValue[mm1+1,ii1+1])54 CAmerValue[mm1,ii1] = max(CContiValue[mm1,ii1],CExerValue[mm1,ii1])55 PAmerValue[mm1,ii1] = max(PContiValue[mm1,ii1],PExerValue[mm1,ii1])56 CDeciMat[mm1,ii1] =057 if(CContiValue[mm1,ii1]<= CExerValue[mm1,ii1] && CExerValue[mm1,ii1]>0)58 CDeciMat[mm1,ii1] =159 CExerPeriod = mm60 61 PDeciMat[mm1,ii1]=062 if(PContiValue[mm1,ii1]<= PExerValue[mm1,ii1] && PExerValue[mm1,ii1]>0)63 PDeciMat[mm1,ii1] =164 PExerPeriod = mm65 66 67 68 ACvalue = CAmerValue[1,1]69 APvalue = PAmerValue[1,1]707172 # Calculating Early Exercise Probability73 ptilde = (exp((mu-D)*dt)-d)/(u-d)74 etaMAX = floor(gamma*M)75 COSPh = CDeciMat76 POSPh = PDeciMat77 if(etaMAX < M)78 for(mm in seq(from= etaMAX+2, to=M+1))79 for(ii in 1:mm)80 COSPh[mm,ii] = 081 POSPh[mm,ii] = 082 83 84 85 COSP = COSPh86 POSP = POSPh87 for( mm in seq(M,1,by=-1))88 for( ii in 1:mm)89 COSPe = ptilde*COSP[mm+1,ii]+(1-ptilde)*COSP[mm+1,ii+1]90 COSP[mm,ii] = max(COSPe,COSPh[mm,ii])91 POSPe = ptilde*POSP[mm+1,ii]+(1-ptilde)*POSP[mm+1,ii+1]92 POSP[mm,ii] = max(POSPe,POSPh[mm,ii])93


94 95 COSProb = COSP[1,1]96 POSProb = POSP[1,1]97 message("American Call Option Price =\n"," ", round(ACvalue,digits=4))98 message("\n")99 message("Optimal Stopping Probability of American Call Option=\n"," ", round(

COSProb,digits=4))100 message("\n")101 message("American Put Option Price=\n"," ", round(APvalue,digits=4))102 message("\n")103 message("Optimal Stopping Probability of American Put Option=\n"," ", round(

POSProb,digits=4))104 message("\n")105 my_list = list("ACvalue"=ACvalue, "COSProb"=COSProb ,"APvalue"=APvalue, "POSProb

"=POSProb)106 return(my_list)107 108 # End of program109 #----------------------------------------------------------------------------


>> EarlyExercise(100,100,0.1,0,1/12,0.4,0.08,200,0.2,0.9)



D = 0.08, 소구간들의 개수 M = 200, 그리고 실제수익률이 µ = 0.20인 경우에 해당하는

미국형옵션의 가치와 조기행사확률을 계산한다. 즉, 어떤 상수 γ (∈ [0, 1])에 대해서 최적행

사시점 η0가 γT이하가 되는 조기행사확률 P (η0 ≤ γT )를 계산한다. 이 예제에서는 γ = 0.9

로 하였다. 따라서, 조기행사확률 P (η0 ≤ 0.075)을 출력한다.

이 명령문을 실행한 결과, 미국형콜옵션가치는 4.6473이고, 이에 해당하는 조기행사확

률은 P (η0 ≤ 0.075) = 0.0222 이다. 또한, 미국형풋옵션가치는 4.4979이고, 이에 해당하는

조기행사확률은 P (η0 ≤ 0.075) = 0.2286이다.

소구간들의 개수 M이 증가함에 따른 미국형옵션가치와 조기행사확률의 수렴성에 관해

살펴보자. 그림 5.11.3에는 현재시점 t = 0에서 원자산이 St = 100, 행사가격이 K = 100,


D = 0.08, 그리고 실제수익률이 µ = 0.20인 경우에 해당하는 미국형콜옵션의 가치와 조기

행사확률을 그린 것이다. 여기서 γ = 0.95로 하였으므로, 조기행사확률 Pr(η0 ≤ 0.0792)

가 출력된다. 그림 5.11.3의 윗 그래프에서 X축은 소구간들의 개수 M을 그리고 Y 축은

미국형콜옵션가치를 나타낸다. 이 그래프에서 알 수 있듯이, 소구간들의 개수가 M = 50

을 넘으면, 소구간들의 개수를 증가시켜도 미국형콜옵션가치에는 거의 변화가 없음을 알 수

실물옵션 221

있다. 또한, 아래 그래프에서 X축은 소구간들의 개수 M을 그리고 Y 축은 조기행사확률을

나타낸다. 이 그래프에서 알 수 있듯이, 소구간들의 개수가 M = 100을 넘으면, 소구간들의

개수를 증가시켜도 미국형콜옵션의 조기행사확률에는 거의 변화가 없음을 알 수 있다.

그림 5.11.8. 미국형콜옵션가치와 조기행사확률

그림 5.11.4에는 그림 5.11.3에서 다룬 미국형콜옵션과 동일한 조건을 갖는 미국형풋옵

션의 가치와 조기행사확률을 그린 것이다. 여기서 γ = 0.95로 하였으므로, 조기행사확률

Pr(η0 ≤ 0.0792)가 출력된다. 그림 5.11.4의 윗 그래프에서 X축은 소구간들의 개수 M

을 그리고 Y 축은 미국형풋옵션가치를 나타낸다. 이 그래프에서 알 수 있듯이, 소구간들의

개수가M = 50을 넘으면, 소구간들의 개수를 증가시켜도 미국형풋옵션가치에는 거의 변화가

없음을 알 수 있다. 또한, 아래 그래프에서 X축은 소구간들의 개수 M을, 그리고 Y 축은

조기행사확률을 나타낸다. 이 그래프에서 알 수 있듯이, 소구간들의 개수가 M = 150을

넘으면, 소구간들의개수를증가시켜도미국형풋옵션의조기행사확률에는거의변화가없음을

알 수 있다.

제5.12절 실물옵션

5.12.1 실물옵션이란 무엇인가?

금융파생상품이론이 발전됨에 따라, 비즈니스세계에서 지금까지 간과해왔던 선택기회에

대한 가치에 새로이 관심을 갖게 되었다. 즉, 어떤 비즈니스기회를 채택함으로써 발생할 수


그림 5.11.9. 미국형풋옵션가치와 조기행사확률

있는 수익이나 이에 관련된 프로젝트의 실행가치를 원자산으로 하는 실물옵션 (real option)을

사용해서, 경영상 유연성을 평가하게 되었다.

기업이 개시시점이 정해져 있는 프로젝트에 투자해야 할지 말지 여부는 해당 프로젝트가

창출해 내는 미래 현금흐름 (cash flow)의 순현재가치 (net present value: NPV)에 의해서

결정된다. 즉, 순현재가치가 양 (positive)이면, 기업은 이 프로젝트를 실행한다. 순현재

가치법에서는 한 시나리오를 바탕으로 프로젝트의 기대가치가 계산되므로, 이 방법에서

기업은 한 번 내린 의사결정을 계속 유지하는 경직적 존재라고 가정되고 있다. 그렇다면,

기업이 프로젝트의 개시시점을 선택할 수 있는 경우는 어떠할까? 이 경우에는 현재시점에서

프로젝트의 순현재가치가 양이라고 해도, 기업이 그 프로젝트를 즉각 개시하는 것이 최적

의사결정이라고는 할 수는 없다. 이 문제를 프로젝트의 현재가치를 원자산으로 하고 투자액을

행사가격으로 하는 미국형옵션으로 생각해보자. 이 미국형옵션에서는 권리를 즉각 행사하지

않고, 즉 프로젝트를 즉시 개시하지 않고 만기시점에 가까운 시점에서 권리를 행사하는 것이

더 유리한 경우가 존재한다. 이렇듯 기업은 예기치 못한 상황 변화에 맞추어 그 경영방침을

유연하게 재검토함으로써, 미래에 추가수익을 얻을 가능성을 높이거나 추가손실이 발생할 수

있는 위험을 줄이고자 노력한다. 그러한 경영상 유연성을 실물옵션으로 나타낼 수 있다. 즉,

실물옵션을 사용하면 순현재가치에 실물옵션가치를 더한 것이 투자기회가치가 된다. 비록

순현재가치가 음 (negative)인 프로젝트라 해도 순현재가치에 실물옵션가치를 더한 투자기회

가치가 양(positive)이면, 적절한 시점이 도래할 때 실물옵션을 행사한다. 따라서, 실물옵션을

실물옵션 223

사용하는 기업에게는 미래의 불확실성이 위험을 초래할 뿐 아니라 기회를 줄 수도 있다.

금융자산가격을 원자산으로 하는 금융옵션과는 달리, 실물옵션에서는 원자산이 다양하다.

예를 들어, 부동산가격이나 날씨데이터는 비즈니스수익에 큰 영향을 미치기 때문에, 실물

옵션의 전형적인 원자산으로 간주된다. 프로젝트의 확장이나 개시시점과 같이 의사결정이

해당 시점에서 평가된 프로젝트가치나 수익에 따라 정해지는 경우에는, 실물옵션을 사용한

접근법이 유용하다. 실물옵션분석은 불확실성 하에서 의사를 결정하는 문제에서 기업이 갖는

선택권을금융파생상품인옵션에비추어분석하는것이다. 즉, 실물옵션은금융세계(financial

world)의 옵션에 대응하는 실물세계 (real world)의 옵션을 의미한다.

실물옵션이론이 가장 자주 사용되는 곳은 프로젝트를 평가하거나 의사결정을 하는 분야

이다. 특히, 불확실한 환경 하에서 대형 프로젝트의 의사결정를 해야 하는 경우에 실물옵션이

유용하다. 첫 번째 예로서, 어떤 새로운 프로젝트의 실행여부를 결정을 하려고 하는 기업을

생각해보자. 이 프로젝트에 투자하면, 그 기업은 미래의 어떤 기간 동안 현금흐름을 얻을 것이

다. 이렇게 미래에 발생하는 현금흐름을 할인해서 합한 현재가치는 경제상황에 따라 시시각각

변화하는 데 반해서, 이 프로젝트에 투자하는 비용은 일정하다고 가정하자. 만약 기업이 이

프로젝트를 실행하는 개시시점을 미래로 연기할 수 있는 유연성을 가지고 있다면, 기업은

프로젝트가치가 높은 시점을 개시시점으로 선택함으로써 수익을 높일 수 있을 것이다. 이

프로젝트가치를 원자산으로 그리고 투자비용을 행사가격으로 간주하면, 투자비용을 지불하여

프로젝트가치를 획득하는 것은 콜옵션을 행사하여 원자산을 구입하는 것과 유사하다. 즉,

프로젝트에 투자할 수 있는 기회를 콜옵션으로 간주해서 그 가치를 평가할 수 있다. 두 번째

예로서, 신약개발이나 석유개발 등 대형 프로젝트를 실행하는 경우를 생각해보자. 이러한

대형 프로젝트에는 큰 투자액이 들고, 또한 실패하면 이 투자금액의 회수나 다른 프로젝트로

전용하는 것이 곤란하다. 이러한 대형 프로젝트는 초기단계에서 기술적인 불확실성이 아주

크거나, 양의 현금흐름이 발생하기까지 기간이 긴 경우가 많다. 그러나, 일단 프로젝트가 잘

수행되면, 큰 현금흐름을 발생시킬 뿐 아니라, 추가적인 투자기회가 발생하는 경우도 많다.

이러한 대형 프로젝트를 여러 단계들로 나누고, 각 단계에서 상황을 판단해서 그 프로젝트를

중단하거나, 확장하거나 또는 축소하는 유연성을 갖는 것이 중요하다. 따라서, 이러한 대형

프로젝트는 여러 실물옵션들을 포함하는 프로젝트로 가치를 평가하는 것이 타당하다. 세

번째 예로서, 기업이 보다 확실하고 큰 수익을 올리기 위해서, 어떤 프로젝트를 끝내고 이

로부터 얻은 경험을 사장시키기보다는 그 노우하우를 토대로 새로운 프로젝트를 개시하는

것이 좋을 수도 있다. 이러한 기업은 현재 프로젝트를 실행하고 있는 동안, 다음 프로젝트를

시작할지 말지를 선택하는 실물옵션을 보유하고 있다고 생각할 수 있다. 이 경우에, 현재


프로젝트가종료된후또는그것과연동해서다음프로젝트를실행할가치가있다고판단하면,

이 실물옵션을 행사해서 다음 프로젝트를 개시한다. 기업이 현재 프로젝트와 연동해서 다음

프로젝트의 실행여부를 판단해야 한다면, 현재 프로젝트의 개시여부 결정하는 단계에서 다음

프로젝트에 관한 실물옵션가치를 고려해야 한다. 네 번째 예로서, 부동산을 개발 또는 재개

발하는 프로젝트에서, 개발 후 부동산가치를 원자산으로 하고 개발비용을 행사가격으로 하는

콜옵션으로 평가할 수 있다. 다섯 번째 예로서, 특허권이나 저작권과 같은 지적재산권 가치나

브랜드 (brand) 가치의 원천은 현재와 미래에 발생되는 현금흐름이다. 이들의 가치를 단순히

순현재가치법으로 평가하기보다는, 실물옵션을 이용해서 지적재산권의 임대가치나 브랜드의

판매가치를 등을 고려해서 평가하는 것이 더 적절한 경우가 많다. 그 외에도, 실물옵션이론을

사용해서, 해약, 중도변경, 그리고기한연장등과같은유연성을갖는계약의가치를평가할수

있다. 금융공학의 발전에 힘입어, 이러한 경영상 유연성의 가치를 좀 더 정밀하게 평가할 수

있다. 관심이 있는 독자는 웹에서 inpama.com을 찾아보라. 이제는 특허권을 실물옵션으로서

평가하고, 웹 상에서 그것이 거래되고 있음을 알 것이다.

학부에서수리금융경제학을강의할때실물옵션에관한숙제를내면, 학생들은실물옵션을

사용해서 그들의 고민을 새롭게 생각해보려는 시도를 한다. 최근의 주제로는 다음과 같은

것들이 있다. 공부를 계속하기 위해서 유학을 갈 것인가? 만약 유학을 간다면, 언제 떠날

것인가? 나는 새로운 비지니스아이템이 있는데 언제 학교를 그만두고 사업을 시작할까?

사랑하는 연인이 있는데, 향후 둘의 경제상황을 고려할 때 언제 결혼을 할 것인가? 회사에

취직이 되었는데 썩 마음에 들지 않는 경우, 대학원에 진학해서 2년의 여유를 갖고 좀 더 좋은

직장을 찾을 것인가?

실물옵션분석에서는 옵션가치평가의 기초가 되는 프로젝트가치나 이에 관련된 모수들을

윤곽조차 파악하지 못해서, 실물옵션가치의 엄밀한 평가가 이루어지지 않는 경우도 많다.

그러나, 합리적인 의사결정방법에 따라 실물옵션을 포함하는 프로젝트를 분석함으로써,

순현재가치법에 비해서 좀 더 적절한 의사결정을 할 수 있는 경우도 많다. 금융옵션과 달리

실물옵션은 법적인 권리로 확보되지 않는 경우가 많으므로, 가치평가에 들어가기 전에 그

대상에 어떤 유연성이 존재하는지를 정밀하게 분석해야만 한다. 사업에 내재된 실물옵션은

시장의 상황이나 기업의 능력 등에 대응하여 기업이 취할 수 있는 경영전략에 의존한다. 예를

들어, 어떤 프로젝트를 연기하면 보다 큰 이득을 기대할 수 있는 기회가 있다고 해도 경쟁상

대들이 많으면 이 프로젝트의 시작을 연기할 수 없으며, 또한 핵심역량이 없는 사업영역에서

미래 성장성을 기대하여 큰 액수를 투자하는 것은 결코 현명한 판단이라고 할 수는 없다. 즉,

실물옵션은 독립된 자산으로서가 아닌 기업전략의 흐름 속에서 논의되어야 한다.

실물옵션 225

5.12.2 실물옵션의 종류

기업이 갖는 다양한 경영상 유연성을 실물옵션으로서 평가할 수 있다. 대표적인 실물옵션들은

다음과 같다.

(1) 연기옵션

연기옵션 (option to defer)은 이미 결정된 프로젝트의 실시를 미래로 연기하는 유연성을

의미한다. 즉, 기업가는 토지나 자원에 대한 매입이나 리스 시기를 결정하는 유연성을 가지고

있으며, 원자재가격이나생산제품가격의변화에대비해서건물이나공장을짓는시기를결정하

는 유연성도 가지고 있다. 이러한 연기옵션은 행사시점에서 투자비용에 비해 프로젝트가치가

높으며, 프로젝트가치가 커질수록 연기옵션의 수익도 커진다. 따라서, 연기옵션은 콜옵션에

해당한다.

(2) 포기옵션

포기옵션 (abandonment option)은 프로젝트가치가 지나치게 하락하면, 그 프로젝트를

포기하는 유연성을 의미한다. 즉, 시장이 심하게 침체되면, 기업가는 투자한 프로젝트를

포기하고 남은 자본재와 남은 실물자산의 판매가치를 확보하는 유연성을 가지고 있다. 이러한

포기옵션에서는 행사시점에서 남은 자산의 가치가 행사가격에 해당한다. 이 행사가격에

비해서 원자산인 프로젝트가치가 낮을수록 수익이 커지므로, 포기옵션은 풋옵션에 해당한다.

(3) 교체옵션

교체옵션(option to switch)은조업중인프로젝트에대해시장상황에따라원료, 제품등을

전환할 수 있는 유연성을 의미한다. 여러 종류의 연료들로 가동할 수 있는 보일러나, 용이하게

재조성할수있는생산라인과같이프로젝트에필요한원료나생산할제품등을그시장상황에

따라 변경할 수 있는 유연성을 의미한다. 교체시점에서 선택할 수 있는 프로젝트가치가

확률적으로 변동하는 경우에는, 교체옵션은 여러 개의 원자산들을 교환하는 교환옵션으로

모형화할 수 있다.

(4) 조업규모변경옵션

조업규모변경옵션 (option to alter operating scale)은 상황에 따라 조업규모를 확대 또는

축소하는 유연성을 의미한다. 만약 처음 생각했던 것보다 시장상황이 좋아지면, 조업규모를

확대하거나생산을가속화할수있다. 반대로, 만약시장상황이나빠지면, 조업규모를줄이거나

잠시 생산을 중단할 수도 있다. 조업규모변경옵션은 프로젝트의 일부분에 대한 연기옵션 또는


포기옵션으로 간주할 수 있다.

(5) 성장옵션

성장옵션 (growth option)은 현재시점에서 투자를 하는 것이 미래에 확대가 기대되는

시장으로진입할수있는기회를확보할수있는유연성을의미한다. 예를들어, 미개발유전을

전략적으로인수하는것은미래의에너지시장에진입할수있는기회를확보하는것이다. 또한,

실리콘밸리나 샌프란시스코의 마켓스트리트에 위치하고 최첨단 기술력을 지닌 그래픽회사에

투자하는 것은 앞으로 확대될 고급 애니메이션시장에 진출하는 교두보를 확보하는 것이다.

성장 중에 있는 산업이나 기술진보가 현저하게 나타나는 시장에서는 현재시점에서 투자가

미래에 투자기회를 가질 수 있는 전제조건이다. 이러한 경우를 대비하는 성장옵션은 선행하는

옵션을 행사해서 후속 옵션을 취득하는 복합옵션으로 간주할 수 있다. 따라서, 복합옵션의

가치를 평가하는 방법을 사용해서 성장옵션가치를 평가할 수 있다.

(6) 축차진행옵션

서로 다른 투자기회들을 동시에 다루는 성장옵션과 달리, 한 프로젝트를 여러 단계들로

나누어각단계에서프로젝트를진행할지여부를선택하는유연성을축차진행옵션(sequential

process option)이라 한다. 여러 단계들로 나누어 투자가 이루어지는 프로젝트는 각 단계에서

새로이 얻게 되는 정보를 바탕으로 다음 단계를 진행할 것인지 프로젝트를 포기할 것인가를

결정하는 기회를 갖는다. 이 경우에 각 단계에서 프로젝트를 계속할지 여부를 선택하는

유연성을 실물옵션으로 본다. 따라서, 복합옵션의 가치를 평가하는 방법을 사용해서 축차진

행옵션가치를 평가할 수 있다.

5.12.3 가치평가

앞에서 언급했듯이, 실물옵션이라는 이름은 금융파생상품인 옵션과 유사하게 이름지어진

것이다. 앞에서 언급했듯이, 금융파생상품으로서 옵션을 금융옵션이라 부르자. 실물옵션의

가치평가법은 근본적으로 금융옵션의 가치평가법과 유사하다. 실물옵션에는 행사시점이

명시되지 않는 경우가 많다. 이러한 경우, 미국형옵션으로 간주할 수 있다.

먼저 이산시간형 모형을 살펴보자. 프로젝트와 같은 실물옵션에서 전형적인 원자산은

자세히 살펴본다해도 월 단위 정도로 밖에 파악되지 않으므로, 연속시간형 모형보다는 이항

나무모형이 더 적합하며 다루기도 쉽다. 금융옵션의 가치평가법에서는 위험중립확률측도

하에서 기대값을 취하는 것, 무위험이자율로 할인하는 것, 옵션가치는 옵션매입자의 위험회

피도에 의존하지 않는 것, 그리고 시장모형은 완비라는 것을 전제로 하고 있다. 실물옵션의

실물옵션 227

가치평가에서도기본적으로이금융옵션의가치평가법이유효하다. 주식과같은금융자산과는

달리 프로젝트는 자주 거래되고 있지 않지만, 충분한 유동성을 갖는 원자산시장이 존재하지

않는다고 해서, 실물옵션의 가치평가에 큰 문제가 생기는 것은 아니다. 투자비용이 일정한

상수 I이고 시점 t에서 프로젝트가치 Vt라고 하자. 제5.11절에서 다룬 이항나무모형을

사용한 미국형옵션의 가치평가법에서 시점 tm에서 금융원자산 Stm 대신에 실물원자산 Vtm 을

대입하고, 행사가격 K대신 I를 대입하면, 실물옵션가치를 평가할 수 있다. 식 (5.11.2)에서

알 수 있듯이, 만기시점 T = tM 의 제j번째 노드에서 다음 식이 성립한다.

F (VtM ,j) = [VtM ,j − I]+ (5.12.1)

식 (5.11.10)에서 알 수 있듯이, 각 m (= M − 1,M − 2, · · · , 0)에 대해 시점 tm의 제j번째

노드에서 다음과 같은 가치평가식을 적용한다.

F (Vtm,j) = max

1

1 + rδ

qVtm+1,j + [1− q]Vtm+1,j+1 − I

, Vtm,j − I

(5.12.2)

이항나무모형을 사용한 실물옵션의 가치평가에 대해서는 Copeland & Antikarov (2003)를

참조하라.

다음으로, 연속시간형 모형을 살펴보자. 투자비용이 일정한 상수 I이고 시점 t에서 프로

젝트가치 Vt가 다음 확률미분방정식을 만족한다고 하자.

dVt = αVtdt+ σVtdWt (5.12.3)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. Dixit & Pindyck (1994)는 프로젝트가치를 복제하는

자산을 연속적으로 거래할 수 있다는 가정 하에, 시점 t에서 프로젝트가치 V = Vt에 의존하는

실물옵션가치 F = F (Vt, t)가 다음 가치평가식을 만족함을 보였다.

1

2σ2V 2FV V + Ft + [r −D]V FV − rF = 0 (5.12.4)

여기서 r은 무위험이자율, D는 이 프로젝트의 현금흐름율이다. 이 옵션가치 F는 옵션보유자

의 위험회피도에 의존하지 않으며, 또한 F는 시장에서 결정되는 프로젝트가치 Vt의 위험조

정된 총수익률 µ.= α +D에 의존하지 않는다. 편미분방정식 (5.12.4)는 Black-Scholes식을

유도하는데사용되는 Black-Scholes편미분방정식이다. 이 Black-Scholes편미분방정식에대해

서는 제11.3절에서 다루게 될 것이다. 편미분방정식 (5.12.4)에 적절한 경계조건을 추가하면,


경계값문제 (boundary value problem)가 된다. 이 경계값문제를 해석적 또는 수치적으로

풀어서 실물옵션가치를 구한다. 실물옵션이 고정된 행사시점을 갖지 않는 경우가 많다.

이러한 경우에는 실물옵션을 미국형옵션으로 간주한다. 이 프로젝트에는 원자산의 배당률에

해당하는 현금흐름율 D가 있기 때문에, 만기시점이 없는 경우에도 프로젝트가치가 아주 크지

않으면 투자를 시행하는 것이 최적이 될 수 있다. 편미분방정식 (5.12.4)을 쉽게 풀기 위해서,

멱함수형 실물옵션가치 F (Vt) = AV θt 를 가정하기도 한다. 이 경우에 투자가 최적이 되는

프로젝트가치 V ∗t 에서 식 F (V ∗

t ) = V ∗t − I와 식 F ′(V ∗

t ) = 1를 만족하고 또한 식 Ft = 0을

만족하는 모수들 A, θ와 최적프로젝트가치 V ∗t 를 구하기도 한다.

기업이갖는투자기회는기업에따라다르므로, 실물옵션이포함되는시장모형이완비성을

갖는다는 것에 의문을 가질 수 있다. 그러나, 다른 기업이 흉내낼 수 없는 독특한 투자기회

로부터 발생하는 현금흐름을 절대 복제할 수 없다는 것은 아니다. 시장에 모든 금융자산의

가치과정을 복제하기에 충분한 개수의 금융자산들이 있다면, 그것들을 적절하게 조합해서

많은 실물자산의 가치과정이나 프로젝트의 가치과정을 복제할 수 있다고 생각하는 것은

어느 정도 타당성이 있다. 또한, 많은 금융자산들은 실제로 실물자산의 현금흐름의 일부를

절취한 것이고, 오늘날 더욱 많은 실물자산의 현금흐름이 증권화나 유동화 의해서 새로운

금융자산으로 거래가 가능하다.

지금까지는 현금흐름을 복제할 수 있는 프로젝트를 다루었으므로, 위험중립가치평가법을

사용할 수 있었다. 그러나, 현금흐름을 복제할 수 없는 프로젝트의 가치를 평가할 때는 이

방법을 사용할 수 없다. 이러한 경우에는 일반적인 불확실성 하에서 의사결정기법인 동적계

획법 (dynamic programming)을 적용할 수 있다. 즉, 이 가치평가문제를 최적정지문제로 풀

수 있다. 최적정지문제에 대해서는 IM&F9의 제8장을 참조하라. Dixit & Pindyck (1994)

는 프로젝트가치과정 Vu가 확률미분방정식 (5.12.3)을 만족한다는 가정 하에 다음과 같이

투자기회가치의 최적투자시점 T = T ∗를 선택함으로써, 이 프로젝트를 원자산으로 하는

실물옵션의 현재가치를 최대화하였다.

F (Vt) = supT > t

Et([VT − I] exp(−µ[T − t])) (5.12.5)

여기서 µ는 이 투자기회의 위험조정된 할인율이며, D는 이 µ에서 Vu의 기대상승율 α을

뺀 값이다. 이 투자기회가치는 다음 편미분방정식을 만족한다.

1

2σ2V 2FV V + Ft + [µ−D]V FV − µF = 0 (5.12.6)

실물옵션 229

편미분방정식 (5.12.6)은 편미분방정식 (5.12.4)에서 r대신 µ를 대입한 것이다.

보통금융옵션과마찬가지로실물옵션은원자산과정이확률적으로변화하는시장의불확실

성에대응한다. 그외에도실물옵션에연관된불확실성의원천으로기술, 제도, 그리고경쟁등

다양한 요인이 있다. 첫 번째로 기술요인에 대해서 살펴보자. 큰 규모의 연구개발투자는 여러

단계로 분할되어서 각 단계에서 성패가 다음 단계로 진행하는데 영향을 줄 수 있다. 이러한

경우 이 연구개발투자의 실패확률은 시장과는 관계없이 그 기술로 결정된다. 그 실패확률이

증가하면, 이 프로젝트의 기대가치는 감소하지만 위험프리미엄이 즉각적으로 증가하지는

않는다. 일정기간내에실패할확률을그기간에대응하는배당률과같은수익률의부족분으로

간주하면, 기술상의 불확실성을 원자산에 배당이 지불되는 경우와 비슷한 형태로 모형화할

수 있다. 두 번째로 제도요인에 대해서 살펴보자. 제도의 변경에 의한 투자환경의 변화는

연속적이라기보다 일괄적 (lump sum)이며, 시장 자체의 불확실성과 직접적으로 연결되어

있지는 않다. Dixit & Pindyck (1994)는 투자자를 우대하는 세제의 도입에 의한 기업투자

유도에 관한 효과분석에서, 이러한 정책의 불확실성을 Poisson과정으로 모형화하고 있다.

세 번째로 경쟁요인에 대해서 살펴보자. 경쟁에 기인하는 불확실성은 매우 복잡하다. 많은

기업들이 경쟁하는 산업에서, 신규 참여기업의 시장점유율 증가속도가 알려진 경우에는 이

신생기업의참여에의한자사현금흐름의감소를배당과같이원자산을일정비율로감소해가는

모수를 사용해서 모형화할 수 있다. 그러나, 독과점시장과 같이 참여기업의 수가 적고, 서로의

행동효과가 상대방 의사결정에 직접 영향을 미치는 경우에는 이러한 모형화가 불가능하며,

게임이론을 이용한 모형화가 필요하다.

5.12.4 예제들

첫번째예제로포기옵션에대해서살펴보자. 기업이이미실행하고있는프로젝트나상품개발

등을 정지하는 의사결정에 관한 실물옵션을 포기옵션이라 부른다. 포기옵션은 해당 기간에서

프로젝트의 현재가치 또는 수익을 원자산으로 하는 풋옵션으로서, 행사가격은 프로젝트를

중지함으로써 발생하는 잔존자산을 매각해서 얻는 수입이다. 예를 들어, 기업이 어떤 공장을

소유하고 그 공장에서 제품을 생산하는 경우를 생각해보자. 이 공장에서 발생하는 수익의

순현재가치가 양이면, 이 공장에서 생산을 계속해도 손해가 발생하지는 않는다. 그렇다면,

이렇게 순현재가치가 양인 한 생산을 속행하는 것이, 이 기업의 입장에서 최적 의사결정이라

할 수 있을까?

어떤 프로젝트를 중지함으로써 포기해야 하는 투자가치는 그 프로젝트의 포기하는 시점

에서 순현재가치이다. 어떤 공장에서 생산을 포기하고 공장을 매각하면 어떤 액수의 수입이


예상된다. 이 예상수입액에서 공장에서 생산을 속행하는 기회비용으로서 순현재가치분을

공제한것이, 공장을매각했을때이기업이얻는실질적수익이다. 만약생산을속행하는순현

재가치가 공장의 매각수익보다 크면, 생산을 속행하는 것이 좋다. 그와 반대 경우에는, 공장을

처분해서 발생하는 실질적 수익을 취하는 것이 좋다. 이러한 기업의 유연성을 기업이 다음과

같은 옵션을 보유하는 것으로 설명할 수 있다. 각 시점에서 생산을 속행하는 순현재가치를

원자산으로 하고 공장의 매각수익을 행사가격으로 하는 미국형풋옵션을 보유하는 것이다. 즉,

프로젝트의 중단시점을 미국형풋옵션으로 해석할 수 있다.

예제 5.12.1 기업 A가 어떤 공장을 소유하고 그 공장에서 생산을 속행하는 순현재가치가

3년 전에는 140억원, 2년 전에는 110억원, 1년 전에는 100억원, 그리고 현재는 90억원으로

추정된다고 하자. 또한, 공장을 매각해서 생기는 수입은 시점에 상관없이 100억원이라 하자.

즉, 처분가치 (salvage value)가 100억원이다. 몇 년 전까지만 해도 이 공장의 순현재가치의

추정값은 상당한 수준이었지만, 2년 전부터 시장이 경쟁이 심해져서 수익을 낮게 설정하지

않을수없었다. 결과적으로, 생산을속행하는순현재가치의추정값이하락했다. 현재시점에서

생산을 속행하는 순현재가치의 추정값은 90억원이다. 즉, 1년 전까지는 생산을 속행하는

순현재가치의 추정값이 이 공장의 매각수익 이상이므로 이 실물옵션은 행사되지 않았다.

그러나, 현재시점에서는 순현재가치의 추정값은 90억원이므로, 이 실물옵션을 행사하면

공장의 매각수익 100억원에서 생산을 속행하는 순현재가치의 추정값 90억원을 뺀 10억원이

이 실물옵션의 가치이다. 현재부터 매년 실적이 좋아져서 내년에 순현재가치가 110억원이 될

확률이 0.5이고, 반대로 실적이 나빠져서 내년에 순현재가치가 60억원이 될 확률이 0.5라고

하자.

주식과 달리 생산을 속행하는 순현재가치가 시장에서 거래되고 있는 것은 아니다. 그러

나, 생산을 속행하는 것과 동등한 가치를 갖는 주식, 즉 현재시점에서 가격이 90억원이고,

내년에는 상태 ω1에서 110억원이 되고 상태 ω2에서 60억원이 되는 주식을 원자산으로 하는

미국형풋옵션을 생각해보자. 현재시점에서 이 미국형풋옵션의 속행가치를 P0로 표기하고, 이

P0로 이 원자산을 α단위, 즉 90α억원어치 매입하고 나머지 P0 − 90α억원을 무위험자산에

투자한다. 만약 무위험이자율이 r = 0.10이라 하면, 내년의 각 상태에 따른 이 포트폴리오의

가치는 다음과 같다.

P1(ω1) = 110α+ 1.10[P0 − 90α], P1(ω2) = 60α+ 1.10[P0 − 90α] (1)

여기서 단위는 억원이다. 내년에 상태가 ω1이면 이 풋옵션가치는 [100 − 110]+ = 0이고,

실물옵션 231

상태가 ω2이면 이 풋옵션가치는 [100−60]+ = 40이다. 따라서, 식 (1)에서 알 수 있듯이 다음


110α+ 1.10[P0 − 90α] = 0 (2)

60α+ 1.10[P0 − 90α] = 40 (3)

연립방정식 (2)과 (3)를 풀면, 그 해는 다음과 같다.

P0 = 8, α = −4

5(4)

이미국형풋옵션의현재시점에서속행가치 P0 = 8억원은현재시점에서행사가치 [100−90]+ =

10억원보다 작다. 따라서, 현재시점에서 이 실물옵션을 행사하는 편이 좋다. 즉, 기업 A는

내년까지 기다리지 않고 현재시점에서 공장을 매각하는 것이 좋다.

두 번째 예로서, <예제 5.11.1>에서 소개한 R-파일 AmericanOption.R을 사용해서 포기

옵션의 가치를 평가하는 예제를 살펴보자.

예제 5.12.2 기업 B가 어떤 토지를 소유하고 현재시점에서 그 토지의 시가는 100억원이라

하자. 만약 미래의 어떤 시점에서 이 토지의 가격이 100억일 것이라 추정한다면, 이는 시장의

변동성을 반영하지 않은 것이다. 즉, 시장에는 변동성이 있으므로, 이 토지가격은 향후 100

억보다 클 수도 있고 작을 수도 있다. 또한, 미래에 토지가격이 오를 것이라고 판단해서 이

토지를 개발하지 않고 방치할 수도 있지만, 건물을 지어서 사용하거나 임대해서 수입을 올릴

수도 있고, 매각해서 현금을 확보할 수도 있다. 즉, 이 토지는 경영상 유연성을 가지고 있다.

기업 B는 포기옵션을 이용해서 잠재적인 토지가격 하락위험에 대비하기 위해, 이 토지의

잠재적구매자인 C사와다음과같은계약을하였다. 향후 2년동안기업 B가요구하면기업 C

는이토지를 90억원에매입하기로한다. 이는전형적인미국형풋옵션계약으로, 기업 C는기업

B에게 토지가격을 원자산으로 하고 만기시점 2년에서 행사가격이 90억원인 미국형풋옵션을

판 것이다. 그렇다면, 기업 B는 이 미국형풋옵션을 매입하는 대가로 기업 C에게 얼마를

지불해야 하는가? 이항나무모형을 사용해서 이 미국형풋옵션의 가치를 평가하기 위해, R

커맨드행에 다음 명령문을 입력하자.

>> AmericanOption(100,90,0.05,0,2,0.30,0.00,8)




D = 0, 그리고소구간들의개수M = 8에해당하는미국형풋옵션의가치를계산한다. 여기서

소구간들의 개수를 M = 8로 선택한 이유는 매 4분기 토지가격이 다시 산정된다고 가정했기

때문이다.


이고, 위험중립확률은 q = 0.5043임을 알 수 있다. 또한, 이 미국형풋옵션은 시점 t3 = 0.7500

에서 권리가 행사되며 또한 시점 t0에서 가치는 8.5258억원이다. 결론적으로, 포기옵션을

포함하지않는이토지의현재시점 t0에서가치는 100억원이지만, 포기옵션을포함해서계산한

가치는 108.53억원이다.

세 번째 예제로 개시옵션을 살펴보자. 프로젝트의 순현재가치는 프로젝트로부터 현재와

미래에 발생하는 현금흐름의 현재가치에서 현재시점의 투자액을 뺀 값이다. 만약 이 프로젝트

의 개시시점을 연기한다면, 연기한 기간만큼 프로젝트에서 얻어지는 수익을 포기하는 것이다.

반면에, 프로젝트에 의한 수익이 경제상황이나 원자재가격 등과 같은 요인에 의해 영향을

받는 경우에는, 각 시점마다 프로젝트의 순현재가치도 변화한다. 현재시점에서 프로젝트의

순현재가치가 음이라 해도, 미래의 어느 시점에서 양이 되는 상황을 생각할 수 있다. 프로젝

트에 대한 투자액이 항상 일정한 경우에, 이 기업이 프로젝트의 개시시점을 연기할 수 있다는

것을 다음과 같이 옵션으로 설명할 수 있다. 이 기업은 프로젝트의 현재가치를 원자산으로

하고 투자액을 행사가격으로 하는 미국형콜옵션을 보유하고 있는 것과 같다. 단, 각 시점에서

프로젝트에 의한 수익은 주식에서 배당을 수취하는 것과 같으므로, 이러한 옵션은 중간배당이

있는 원자산에 대한 미국형콜옵션에 해당한다. 비록 현재시점에서 프로젝트의 순현재가치가

양이라해도프로젝트의개시시점을연기할수있다면, 지금바로이프로젝트를개시하는것이

최적이아닐수도있다. 만약어떤시점에서행사가치가속행가치를웃돌면, 이미국형콜옵션을

행사한다. 즉, 프로젝트를 개시한다. 그렇지 않다면, 그 시점에서는 프로젝트를 개시하지 않고

다음 시점에서 다시 이 프로젝트를 개시할지 여부를 조사한다. 만약 만기를 맞이할 때까지 단

한 번도 행사가치가 속행가치를 초과하지 않으면, 최종적으로 이 프로젝트를 포기한다.

예제 5.12.3 IT기업 D가 신생 IT기업 E의 어떤 프로젝트에 관심이 있다고 하자. 이 프로젝

트의 순현재가치는 10억원이고, 이 프로젝트에서 발생하는 수익률은 0.05이고, 이 프로젝트의

현금흐름의 변동성은 0.30이다. 기업 D는 향후 3년 간 언제라도 11억 원을 지급하고 이

프로젝트를 매입하는 권리를 획득하고자 한다. 이러한 개시옵션은 기업 D의 경영에 유연성을

실물옵션 233

부여한다. 이 개시옵션은 전형적인 미국형콜옵션으로, 기업 D는 기업 E에게 이 프로젝트가

격을 원자산으로 하고 만기시점 3년에서 행사가격이 11억원인 미국형콜옵션을 사는 것이다.

그렇다면기업 D는 이미국형콜옵션을매입하는대가로기업 E에게얼마를지불해야하는가?

단, 무위험이자율은 0.10이다.

이항나무모형을 사용해서 이 미국형콜옵션의 가치를 평가하기 위해, R커맨드행에 다음

명령문을 입력하자.

>> AmericanOption(10,11,0.10,0,3,0.30,0.05,128)



D = 0.05, 그리고소구간들의개수M = 128에해당하는이미국형풋옵션의가치를계산한다.


이고, 위험중립확률은 q = 0.5013임을알수있다. 또한, 이미국형풋옵션은시점 t23 = 0.5391

에서 권리가 행사되며 또한 시점 t0에서 가치는 1.9638억원이다. 결론적으로, 포기옵션을

포함하지 않는 이 토지의 현재시점 t0에서 가치는 10억원이지만, 포기옵션을 포함해서 계산한

가치는 11.96억원이다.

네 번째 예제로 변경옵션을 살펴보자. 기업이 이미 보유한 프로젝트를 다른 프로젝트로

변경하는 것이 가능한 경우, 이 경영상 유동성을 프로젝트를 바꿀 수 있는 옵션을 가진 것으로

생각할 수 있다. 이렇게 이미 보유하고 있는 프로젝트를 다른 프로젝트로 변경하는 옵션을 변

경옵션이라 부른다. 전환사채 (convertible bond: CB)를 주식으로 전환하는 권리가 대표적인

변경옵션이다. 전환사채에서 전환은 회사채의 고정수익에서 주식의 변동수익으로 현금흐름

종류를 변경하는 것을 의미한다. 전환사채에 대해서는 다음 소절에서 자세히 다룰 것이다.

이러한 현금흐름 형식을 변경하는 것 이외에도, 변경옵션에서는 다양한 종류의 변경을 다룰

수 있다.

실물옵션을널리활용하는분야가 IT업계이다. 한예로한때이슈가되었던휴대폰요금의

정액제를 생각해보자. 우리나라에서도 2010년 8월 SK텔레콤을 시작으로 이동통신 3사가

일제히 요금정액제 서비스를 시작하면서, 스마트폰 사용자들의 생활에 일대 변혁이 일어나고

있다. 추가적인 요금부담이 사라지면서 스마트폰으로 컬러링, 음악, 동영상, 게임, 네비게이션

등 네트워크를 기반으로 하는 모든 서비스를 마음껏 즐길 수 있게 되었다. 그러나, 이동통신

망에서 서비스가 끊기거나 네트워크접속이 불안정한 상황이 일어나면서, 소비자의 불만이


커지는 등 정액제서비스의 단점이 나타나기도 했다. 지금부터는 실물옵션을 사용해서, 어떤

이동통신사가 휴대폰 요금제도를 종량제에서 정액제로 변경하는 문제를 살펴보자. 여기서

정액제란 패킷정액제를 의미한다. 패킷 (packet)이란 데이터통신에서 송수신할 때 사용되는

데이터 전달방식이다. 패킷통신은 데이터를 패킷이라 부르는 규격화된 작은 상자에 담아서

송수신하는 통신방식을 가리킨다. 휴대폰으로 데이터를 주고받는 경우, 종래에는 패킷통신

에서 송수신한 패킷수에 따라 요금이 부여되는 종량제가 사용되었다. 이러한 종량제에서는

통신요금은 통신시간이 아닌 통신하는 데이터용량에 따라 증가하기 때문에, 통신데이터의

종류에 따라서는 고액을 지불해야 할 경우도 있었다. 반면에, 패킷정액제란 일정한 요금을

지불하면 데이터의 송수신을 마음껏 할 수 있다. 즉, 사용자의 입장에서는 지불액이 고정되어

있으므로, 통신요금에 신경을 쓰지 않고 데이터를 주고받을 수 있다. 패킷정액제를 도입하는

통신회사는가입자 1인당평균수입(average revenue per user)이감소할것으로예상하였으나,

이 패킷정액제가 도입 이후 사용자는 접속요금을 신경 쓸 필요가 없어졌기 때문에, 도리어

컨텐츠 판매에서 1인당평균수입이 상승한다고 한다. 다음 예제에서 패킷종량제로 변경하는

시점을 변경옵션으로 고찰해보자.

예제 5.12.4 통신회사 F사에서는 휴대폰요금을 기존 종량제에서 정액제로 변경할 것을

검토하기로하였다. 문제는 ‘어느시점에정액제로변경하는것이최적일까?’ 이다. 이문제를

해결하기 위해서, 다음과 같은 가정을 하자. 첫째, 휴대폰사업의 현재가치는 가입자수에

가입자 1인당평균수입을 곱한 값에 비례한다. 둘째, 정액제를 도입하기 위해서는 네트워크를

강화하는 등 새로운 기술투자에 일정한 비용이 든다. 이 비용은 가입자수에 상관없이 일정한

상수라고 가정하자. 반면에, 정액제를 도입하면, 가입자 1인당 평균수입은 상승한다. 셋째,

휴대폰가입자수는 이항나무모형 상에서 움직인다. 그러나, 종량제를 지속하면, 휴대폰가입

자수는 일정한 비율 D로 감소한다. 이 휴대폰가입자수의 감소율 D를 주식에서 배당락으로

간주하여 이 변경옵션의 가치를 평가하기 위해서, 다음 R-파일을 실행해보자.

1 #----------------------------------------------------------------------------2 # Filename: ChangeOption.R3 # Pricing A Change Option4 # Programmed by KHW5 #----------------------------------------------------------------------------6 ChangeOption = function()7 r = 0.10 # risk-free interest rate8 St = 1.00 # number of members9 sigma = 0.35 # volatility of underlying

10 ctime = 0 # current time11 etime =1 # maximum time of change12 tau = etime-ctime # change period13 ARPUO = 25000 # average revenue per user(ARPU)/month14 uprate = 0.3 # increasing rate of ARPUO

실물옵션 235

15 K =8000 # change cost to the fixed cost16 D = 0.03 # decreasing rate of the floating system17 # Binomial Tree model of Underlying18 M = 12819 MM = M+120 dt = tau/M21 u = exp(sigma*sqrt(dt))22 d = 1/u23 q = (exp((r-D)*dt)-d)/(u-d)24 S = array(NaN, dim=c(MM,MM))25 for(mm in seq(from=0, to=M))26 mm1 = mm+127 for(ii in seq(from=0, to=mm ))28 ii1 = ii+129 S[mm1,ii1] = u^(mm-ii)*dîi*St30 31 32 # Initial Values33 ARPUfloat = ARPUO*S34 ARPUfixed = pmax((1+uprate)*ARPUO*S-K*array(1,dim=c(MM,MM)),0)35 DumVal = pmax(ARPUfloat , ARPUfixed)36 DecisionMat = array(NaN, dim=c(M+1,M+1))37 FixedValue = array(NaN, dim=c(M+1,M+1))38 FloatValue = array(NaN, dim=c(M+1,M+1))39 # At T = t_M40 FixedValue[M+1,] = DumVal[M+1,]41 FloatValue[M+1,] = ARPUfloat[M+1,]42 DecisionMat[M+1,] = floor(ARPUfixed[M+1,]/DumVal[M+1,])43 ChangePoint = M44 # At t_M-1, t_M-2, ..... t_045 for(mm in seq(from=M-1,to=0,by=-1))46 mm1 = mm+147 for(ii in seq(from=0, to=mm, by=1))48 ii1 = ii+149 DumValue = exp(-r*dt)*(q*FixedValue[mm1+1,ii1]+(1-q)*FixedValue[mm1+1,ii1

+1])50 FixedValue[mm1,ii1] = max(DumValue, ARPUfixed[mm1,ii1])51 DecisionMat[mm1,ii1] = 052 if(FixedValue[mm1,ii1]==ARPUfixed[mm1,ii1] && DumVal[mm1,ii1]>0)53 DecisionMat[mm1,ii1] =154 ChangePoint = pmin(ChangePoint ,mm)55 56 FloatValue[mm1,ii1] = exp(-r*dt)*(q*FloatValue[mm1+1,ii1]+(1-q)*FloatValue[

mm1+1,ii1+1])5758 59 60 ChangeValue = FixedValue -FloatValue61 Changetime = ChangePoint * dt62 # Final Values at t63 message("M = ", M)64 message("u = ", round(u,digits=4))65 message("d = ", round(d,digits=4))66 message("q = ", round(q,digits=4))67 message("")68 message("Value for Fixed Charge System = \n"," " ,round(FixedValue[1,1],digits

=4))69 message("Value for Floating Charge System =\n"," ", round(FloatValue[1,1],

digits=4))70 message("Value for Changing Charge System =\n", " ",round(ChangeValue[1,1],

digits=4))


71 message("Charge Time =\n"," ", round(Changetime ,digits=4))-72 73 # End of program74 #---------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램에서 시장의 무위험이자율은 r = 0.10이다. 초기시점에서 가입자수를 1

로 정규화하고, 가입자수의 변동성이 σ = 0.35라 하자. 정액제로 전환할 수 있는 기간은

현재로부터 1년 이내이다. 종량제가 시행되는 현재시점에서 가입자 1인당 평균사용료는

ARPU0 = 25, 000원이고, 정액제를도입하면종량제인경우에비해서가입자 1인당평균사용

료가 uprate = 0.30만큼 증가한다. 정액제를 도입하는데 드는 비용은 초기시점의 가입자수 1

에 대해 K = 8, 000원이고, 종량제를 지속한 경우에는 해마다 비율 D = 0.03으로 가입자수가

감소한다고하자. 또한, 소구간들의개수는M = 128이다. 시점 t = 0에서변경옵션의가치는

변경옵션을 포함한 사업가치에서 변경옵션이 없는 사업가치를 뺀 것이다.

이 R-파일을실행하면, 현재시점 t = 0에서원자산이 ARPU0[1+uprate]St, 즉, 25000[1+

0.30] · 1, 행사가격이 K = 8000, 만기시점이 T = 1, 가입자수의 변동성이 σ = 0.35, 중간배

당률이 D = 0.03, 소구간들의 개수 M = 128에 해당하는 이산시간형 미국형콜옵션가치를

변수 FixedValue에 저장한다. 또한, 현재시점 t = 0에서 원자산이 ARPU0St = 25000 · 1,

행사가격이 0, 만기시점이 T = 1, 가입자수의 변동성이 σ = 0.35, 중간배당률이 D = 0.03,

소구간들의 개수 M = 128에 해당하는 이산시간형 유럽형콜옵션가치를 변수 FloatValue에

저장한다. 원자산의 상승률과 하락률은 각각 u = 1.0314와 d = 0.9695이고, 위험중립확률은

q = 0.5011임을 알 수 있다. 현재시점 t = 0에서 변경옵션을 포함하는 사업가치, 즉 정액제

시스템의 가치는 25,350.41원이고, 변경옵션을 포함하지 않는 사업가치, 즉 종량제시스템의

가치는 24,261.14원이다. 따라서, 이 변경옵션가치는 1, 089.27(= 25, 350.41–24, 261.14)원

이다. 또한, 정액제로 변경하는 시점은 현재시점으로부터 0.11년, 즉 1.3개월되는 시점이다.

결론적으로, 현재시점에서 약 1.3개월 후, 가입자 1인당 8,000원을 투자한 다음 요금체계를

정액제로 변경하면, 가입자 1인당 월 1,089.27원을 더 받는 효과가 있다.

예제 5.12.4에서 가입자수의 감소율 D를 0에서 무위험이자율인 0.1까지 변화시킨 경우,

가입자수의 감소율 D에 따른 변경옵션가치와 변경시점의 변화가 그림 5.12.1에 그려져 있다.

그림 5.12.1의 윗 그래프에서 알 수 있듯이, 가입자수의 감소율 D가 증가함에 따라 이 변경옵

션가치는 감소하다가 증가하는 것을 알 수 있다. 즉, 변경옵션가치가 아주 천천히 감소하다가

D가 0.03를 넘어서면 증가한다는 것이다. 이것은 변경옵션가치가 즉시 권리를 행사할 때

발생하는가치와더불어권리행사를다음기회로미룸으로써발생하는가치를동시에포함하기

실물옵션 237

때문에 나타나는 현상이다. 즉, 만약 가입자수의 감소율 D가 크면, 권리를 빨리 행사함으로써

가입자수의감소를막을수있고, 따라서권리를행사할때발생하는가치가증가한다. 반면에,

만약 가입자수의 감소율 D가 작으면, 가입자수의 감소가 미미하다. 따라서, 종량제 도입에

따른지출을연기함으로써, 즉권리행사를미룸으로써발생하는가치를증가시킬수있다. 그림

5.12.1의 아래 그래프에서 알 수 있듯이, 가입자수의 감소율 D가 증가함에 따라 변경시점은

빨라진다. 또한, 가입자수의 감소율이 D = 0인 경우에는 만기시점 T = 1에서 종량제로

바꾸는 것이 좋다.

그림 5.12.1. 옵션가치와 변경시점

5.12.5 전환사채의 가치평가

금융파생상품에는 풋옵션이나 콜옵션과 같이 매매의 권리에 관한 계약뿐만 아니라, 이미

보유하고 있는 금융자산을 다른 금융자산으로 전환하는 권리를 부여하는 것도 있다. 대표적인

예가전환사채(convertible bond: CB)이다. 전환사채는 사채의 만기시점이전으로설정된전

환가능기간에서, 보유자에게 보통주식으로 전환하는 권리가 부여된 사채이다. 즉, 전환사채를

보유한 투자자는 사채를 주식으로 전환하는 변경옵션을 갖는다. 따라서, 전환사채의 전환은

사채의 고정수익을 주식의 변동수익으로 변경하는 것을 의미한다.

전환사채의 전환권을 행사해서 취득할 수 있는 주식의 가치를 패리티라 부른다. 패리티는

해당시점에서 주가와 미리 결정된 전환비율을 곱한 값으로 정의된다. 전환비율은 사채의


액면가격을 행사가격이라 불리는 기준가격으로 나눈 것이다. 전환사채 발행시 행사가격을

주식 1단위의 가격과 일치시키면, 전환사채 발행시점에서 패리티는 사채의 액면가격과 같다.

전환사채를 보유한 투자자는 전환권을 행사함으로써, 전환사채를 패리티에 해당하는 주식

으로 변환할 권리를 갖는다. 패리티는 전환권을 행사하는 시점에서 취득하는 주가이므로,

전환가능기간 내에서 전환사채가치는 패리티보다 크거나 같아야 한다. 전환가능기간 내의

어떤 시점에서 전환권을 행사하지 않으면, 전환사채의 행사권리가 지속되어 다음 시점에서

다시 전환할지 여부를 판단한다. 미국형옵션에서와 마찬가지로, 전환권이 행사되지 않아

행사권리가 지속되는 경우에 전환사채가치를 속행가치라 부르기로 하자.

전환사채의 발행시점을 t, 만기시점을 T 라 하자. 이 전환사채에서 사채는 제로쿠폰채

(zero-coupon bond, 무이표채)라고 하자. 이산시간형 모형으로 전환사채가치를 평가하기

위해서, 시간구간 [t, T ]의 분할 Π.= t = t0 < t1 < · · · < tM = T를 정의하자. 여기서

tm.= t0 + mδ이고 δ

.= [T − t]/M이다. 전환권이 발생하는 시점을 tc (∈ Π)라 하고, 전

환가능기간을 [tc, tM ]이라 하자. 시점 tm에서 원자산인 주가를 Stm 그리고 전환사채가치를

Vtm = Vtm(Stm)으로 표기하자. 시점 tm (∈ [tc, tM−1])까지 주식으로 전환되지 않은 경우에,

전환사채가치 즉 속행가치를 Utm 으로 표기하자. 전환비율을 ρ라 하면, 행사가치인 패리티는

ρStm 이다. 이 전환사채의 액면가격을 A라 하자.

만기시점 tM 에서 속행가치 UtM = UtM (StM )은 액면가격 A와 일치하므로, 다음 말기조

건이 성립한다.

VtM (StM ) = max A, ρStM (5.12.7)

각m (=M−1,M−2, · · · , c)에대해서, 시점 tm에서속행가치 Utm = Utm(Stm)은만기시점

tm+1에서 전환사채가치 Vtm+1 을 수취하는 옵션가치이다. 즉, 위험중립확률측도 Q 하에서


Utm(Stm) =1

1 + rδEQ

(Vtm+1(Stm+1) |Stm)

)(5.12.8)

여기서 r은 무위험이자율이다. 원자산과정 Stm이 상승률 u이고 하락률이 d인 이항나무모

형에 따르고, 위험중립확률측도 하에서 상승확률 q가 다음과 같다고 하자.

q.=

1 + rδ − d

u− d(5.12.9)

실물옵션 239

식 (5.12.8)에서 알 수 있듯이, 시점 tm에서 속행가치 Utm 은 다음과 같다.

Utm(Stm) =1

1 + rδ

qVtm+1(u · Stm) + [1− q]Vtm+1(d · Stm)

(5.12.10)

시점 tm에서 속행가치 Utm 과 전환권을 행사해서 주식을 취득하는 가격인 패리티에서 큰 값이

전환사채가치 Vtm(Stm)이다. 즉, 다음 식이 성립한다.

Vtm(Stm) = max Utm(Stm), ρStm (5.12.11)

식 (5.12.10)을 식 (5.12.11)에 대입해서, 시점 tm에서 전환사채가치 Vtm(Stm)을 구할 수

있다. 이러한 과정을 반복적용해서, 시점 tc에서 전환사채가치 Vtc = Vtc(Stc)를 구한다. 각

m (= c−1, c−2, · · · , 0)에대해, 시점 tm에서속행가치 Utm이전환사채가치 Vtm(Stm)이다.

식 (5.12.11)을 반복적용해서, 시점 t0에서 전환사채가치 Vt0 = Vt0(St0)를 구한다. 지금까지

내용을 요약하면, 다음 알고리즘을 얻는다.

알고리즘 5.12.1

액면가가 A인 제로쿠폰채에 시점 w에서 주가가 Sw인 주식으로 전환할 수 있는 권리가

첨부된 전환사채의 시점 tm에서 가치를 Vtm = Vtm(Stm)이라 하자. 이 전환사채의 시점

w에서 패러티는 ρSw이고, 발행시점이 t = t0, 만기시점이 T = tM , 전환권의 발생시점이

tc라 하자. 이항나무모형을 사용해서, 다음과 같이 현재시점 t에서 전환사채가치 Vt(St)

를 평가할 수 있다.

(1단계) 다음 식을 사용해서 전환가능기간 [tc, tM ]의 마지막 시점 tM 에서 전환사채가

치를 계산한다.

VtM (StM ) = max A, ρStM

(2단계) 시점 tm에 tM−1을 할당한다.

(3단계) 시점 tm에서 전환사채가치 Vtm(Stm)은 다음과 같다.

Vtm(Stm) = max

1

1 + rδ

qVtm+1(u · Stm) + [1− q]Vtm+1(d · Stm), ρStm

여기서 q는 위험중립확률이다.


(4단계) 만약시점 tm이 tc이면, 시점 tc에서전환사채가치를 Vtc(Stc)로하고, 제5단계로

넘어간다. 그렇지 않으면, 시점 tm을 tm−1으로 바꾼 다음, 제3단계로 돌아간다.

(5단계) 만약 시점 tm이 t0이면, 시점 t0에서 전환사채가치를 Vt0(St0)로 하고 이 알고리

즘을 끝낸다. 그렇지 않으면, 시점 tm을 tm−1으로 바꾼 다음, 제6단계를 실행한다.

(6단계) 다음 식을 사용해서 시점 tm에서 전환사채가치 Vtm(Stm)을 구한 다음, 제5

단계로 돌아간다.

Vtm(Stm) =1

1 + rδqVtm+1(u · Stm) + [1− q]Vtm+1(d · Stm)

예제 5.12.5 <알고리즘 5.12.1>을 사용해서 전환사채의 가치를 평가하기 위해서, 다음 R-

파일 ConvertibleBond.R을 실행해 보자.

1 #----------------------------------------------------------------------------2 # Filename: ConvertibleBond.R3 # Pricing Convertible Bond4 # Programmed by KHW5 #----------------------------------------------------------------------------6 ConvertibleBond = function(A,St,rho,r,Ctime,Etime,MINtime,sigma,M)7 # Input8 # A = nominal value of bond9 # St = current underlying

10 # rho = convertible ratio11 # r = risk-free interest rate12 # Ctime = current time, Etime = expiry13 # MINtime = minimum of converting time14 # sigma = volatility15 # M = number of subintervals16 # Binomial Model17 tau = Etime - Ctime # tenor18 c = MINtime * M # the first possible index to convert19 delta = tau/M20 u = exp(sigma*sqrt(delta))21 d = 1/u22 qtilda = (1+r*delta-d)/(u-d)23 MM = M+124 # Initial Values25 S = array(NaN, dim=c(MM,MM))26 CBExerVal = S27 CBContiVal = S28 CBvalue = S29 CBDeciMat = S30 for(mm in seq(from=0,to=M,by=1))31 mm1 = mm+132 for(ii in seq(from=0,to=mm,by=1))33 ii1 = ii+134 S[mm1,ii1] = St*u^(mm-ii)*dîi35 CBExerVal[mm1,ii1] = rho*S[mm1,ii1]36 CBContiVal[mm1,ii1] = A37 CBvalue[mm1,ii1] = max(CBContiVal[mm1,ii1],CBExerVal[mm1,ii1])38 CBDeciMat[mm1,ii1] = 0

실물옵션 241

39 40 41 message("u = " ,round(u,digits=4))42 message("d = ", round(d,digits=4))43 message("qtilda = ",round(qtilda,digits=4))44 message("\n")45 message("Stock Matrix = ")46 print(round(S,digits=4))47 message("\n")48 # At t_M49 CBDeciMat[M+1,] = (CBExerVal[M+1,] >= CBContiVal[mm1,ii1])50 CBExerPeriod = M51 # At t_M-1, t_M-2, .... , t_c52 for(mm in seq(from=M-1, to=c, by=-1))53 mm1 = mm+154 for(ii in seq(from=0,to=mm,by=1))55 ii1 = ii+156 CBContiVal[mm1,ii1] = 1/(1+r*delta)*(qtilda*CBvalue[mm1+1,ii1]+(1-qtilda)*

CBvalue[mm1+1,ii1+1])57 CBvalue[mm1,ii1] = max(CBContiVal[mm1,ii1],CBExerVal[mm1,ii1])58 CBDeciMat[mm1,ii1] = 059 if(CBContiVal[mm1,ii1]<= CBExerVal[mm1,ii1] && CBExerVal[mm1,ii1] >0)60 CBDeciMat[mm1,ii1] =161 CBExerPeriod =mm62 63 64 65 # At t_c-1, t_c-2, ... , t_066 for(mm in seq(from=c-1,to=0,by=-1))67 mm1 = mm+168 for(ii in seq(from=0,to=mm,by=1))69 ii1=ii+170 CBContiVal[mm1,ii1] = 1/(1+r*delta)*(qtilda*CBvalue[mm1+1,ii1]+(1-qtilda)*

CBvalue[mm1+1,ii1+1])71 CBExerVal[mm1,ii1] = 072 CBvalue[mm1,ii1] = max(CBContiVal[mm1,ii1], CBExerVal[mm1,ii1])73 74 75 # Outputs of American CBall Option76 message("CB Exercise Period = ", CBExerPeriod)77 CBExerTime= CBExerPeriod*delta78 message("CB Exercise Time = ", round(CBExerTime ,digits=4))79 ACBvalue = CBvalue[1,1]80 message("CB Value = ", round(ACBvalue,digits=4))81 message("\n")82 message("CB Decision Matrix =")83 print(CBDeciMat)84 message("\n")85 message("CB Exercise Value Matrix =")86 print(round(CBExerVal ,digits=4))87 message("\n")88 message("CB Continuous Value Matrix =")89 print(round(CBContiVal ,digits=4))90 message("\n")91 message("CB Value Matrix =")92 print(round(CBvalue,digits=4))93 94 # End of program95 #----------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램을 실행하기 위해서, R커맨드행에 다음 명령을 내리자.


>> ConvertibleBond(100,90,0.9,0.1,0,1,0.5,0.30,6)

이 R명령문을 실행하면, 액면가가 A = 100이고 현재시점 t = 0에서 주가가 St = 90이고,

전환비율이 ρ = 0.9이고, 무위험이자율이 r = 0.10이고, 만기시점이 T = 1이고, 전환가능한

최초시점이 tc = 0.5이고, 주가의 변동성이 σ = 0.30인 전환사채의 현재시점 t = 0에서

가치를 출력한다. 이항나무모형을 구성하는 소구간들의 개수는 M = 6이다.

이 R명령문을 실행한 결과, 원자산의 상승률과 하락률은 각각 u = 1.1303와 d = 0.8847

이고, 위험중립확률은 q = 0.5373임을 알 수 있다. 주가의 이항나무 sm,j가 그림 5.12.2

에 그려져 있다. 그림 5.12.2에서 sm,j는 시점 tm의 제j번째 노드에서 전환사채의 사채로서

가치이다. 전환비율이 ρ = 0.9이므로, 시점 w (∈ [0.5, 1])에서 전환권을 행사해서 취득할 수

있는 주식의 가치인 패리티는 0.90Su이다. 또한, 시점 w (∈ [0, 0.5))에서는 전환권을 행사할

수 없다. 이 전환사채 행사가치의 이항나무는 그림 5.12.3과 같다. 이 전환사채 속행가치의

이항나무 um,j가 그림 5.12.4에 그려져 있다. 여기서 um,j는 시점 tm의 제j번째 노드에서

속행가치이다. 이 전환사채의 행사영역과 속행영역이 그림 5.12.5에 그려져 있다. 그림 5.12.5

의 이항나무에서는 행사영역에 속하는 노드를 1로, 그리고 속행영역에 속하는 노드를 0으로

표시한다. 이들을 종합한 전환사채가치의 이항나무 vm,j가 그림 5.12.6에 그려져 있다.

그림 5.12.6에서 vm,j는 시점 tm의 제j번째 노드에서 전환사채가치이다. 그림 5.12.6에서 알

수 있듯이, 이 전환사채는 시점 t4 = 4/6에서 전환을 해야 하며 현재시점 t = 0에서 가치는

96.5287이다.

실물옵션 243


그림 5.12.3. 전환사채 행사가치의 이항나무


그림 5.12.4. 전환사채 속행가치의 이항나무

그림 5.12.5. 행사영역과 속행영역

실물옵션 245

그림 5.12.6. 전환사채가치의 이항나무

전환비율의변화에따른전환사채가치의변화를그린것이그림 5.12.7이다. 그림 5.12.7은

전환사채의액면가가 A = 100이고, 현재시점 t = 0에서주가가 St = 80이고, 무위험이자율이

r = 0.10이고, 만기시점이 T = 1이고, 전환가능한 최초시점이 tc = 0.2이고, 주가의변동성이

σ = 0.30인전환사채에해당하는현재시점 t = 0에서가치를그린것이다. 이이항나무모형을

구성하는소구간들의개수는M = 250이다. 이렇게M을선택한이유는 1년의주식거래일을

250일로 간주하고 하루 한 번씩 전환권 행사여부를 결정한다고 가정한 것이다. 그림 5.12.7

에서 알 수 있듯이, 전환비율이 ρ가 0.5에서 2까지 움직일 때, 전환사채가치는 증가하며

전환시점은 빨라진다. 특히, 전환비율이 1보다 큰 경우에는, 전환사채가치의 증가가 빨라지며

전환시점의 감소는 둔화된다.

소구간들의 개수 M의 변화에 따른 전환사채가치의 변화를 그린 것이 그림 5.12.8이다.

그림 5.12.8은 전환사채의 액면가가 A = 100이고, 현재시점 t = 0에서 주가가 St = 90이고,

무위험이자율이 r = 0.10이고, 만기시점이 T = 1이고, 전환비율이 ρ = 0.9이고, 전환가능한

최초시점이 tc = 0.5이고, 주가의 변동성이 σ = 0.30에 해당하는 전환사채의 현재시점 t = 0

에서 가치를 그린 것이다. 이 이항나무모형을 구성하는 소구간들의 개수 M을 20에서 2000

까지 변화시켰다. 그림 5.12.8에서 알 수 있듯이, 소구간들의 개수 M이 증가하면, 전환사채

가치는 96.65로 수렴한다. 그러나, 전환시점은 진동한다. 즉, 전환시점의 크기에 관계없이


전환사채가치는 수렴한다.

그림 5.12.7. 전환비율과 전환사채가치

그림 5.12.8. 소구간들의 개수와 전환사채가치

실물옵션 247

무위험이자율 r의 변화에 따른 전환사채가치의 변화를 그린 것이 그림 5.12.9이다. 그림

5.12.9는 전환사채의 액면가가 A = 100이고, 현재시점 t = 0에서 주가가 St = 90이고,

만기시점이 T = 1이고, 전환비율이 ρ = 0.9이고, 전환가능한 최초시점이 tc = 0.5이고,

주가의 변동성이 σ = 0.30에 해당하는 전환사채의 현재시점 t = 0에서 가치를 그린 것이다.

이이항나무모형을구성하는소구간들의개수는M = 250이다. 그림 5.12.9에서알수있듯이,

무위험이자율 r이 증가하면 전환사채가치는 감소한다. 그러나, 전환시점은 무위험이자율 r

의 크기에 관계없이 움직인다.

그림 5.12.9. 무위험이자율과 전환사채가치

제6장

확률론의 기초

금융파생상품의 가치평가에 사용되는 기본적 도구인 확률미적분 (stochastic calculus)을 이

해하기 위해서는 당연히 확률론과 확률과정론에 관한 지식이 있어야 한다. 본서의 독자는 이

과목들에 대한 기초적인 지식을 가지고 있으리라 생각한다. 특히 제5장까지 내용을 이해한

독자라면, 어느 정도 확률론과 확률과정론에 대해 알고 있으리라 판단된다. 앞으로 좀 더

자세하게 논리를 전개하기 위해서, 이 장에서는 확률론에 대한 기본적인 개념들을 복습하기로

하자. 확률론에대한충분한지식이있는독자는이장을읽지않아도될것이다. 확률측도론에

관한 아주 간단한 개론은 IM&F7의 제6장을 참조하라.

제6.1절 확률미적분의 필요성

금융시장에서 시장참가자는 확률적으로 발생하는 뉴스에 의해 증권가격이 순간적으로 변

화하는 상황을 직면한다. 따라서, 금융파생상품의 가치평가에 이용되는 기술적인 도구는

무한소 (infinitesimal) 시간구간 (t, t+ dt]에서 확률변수를 다룰 수 있는 것어야 한다. 이렇게

무한소 시간구간에서 확률변수를 다루는 미적분을 확률미적분이라 한다. 수학의 각 분야가

그러하듯이, 확률미적분은 일관성을 지니는 연산규칙들의 집합이다. 이 연산규칙들은 근본

적으로 표준적 미적분의 연산규칙들과는 다르다. 처음에는 확률미적분이 실무에 적용하기

에는 지나치게 추상적이라고 느껴질 수도 있다. 그러나, 재무이론을 공부하다 보면, 이러한

첫인상은 옳은 것이 아니라는 것을 알게 될 것이다. 독자들이 약간의 지식과 경험을 쌓는다면,

금융파생상품의 가치평가에서 이산시간분석 도구들보다 연속시간분석 도구들을 더 쉽게

사용할수있을것이다. 더구나, 연속시간분석에서얻은결과에대응하는이산시간분석결과가

존재하지 않는 경우도 있다. 금융파생상품의 가치평가에서 연속시간모형과 확률미적분을

249

250 제 6장 확률론의 기초

사용해야 하는 구체적인 이유는 다음과 같다.

첫째, 연속시간분석에서는포트폴리오를구성하는금융자산들의투자비율을무한소로조정할

수 있다. 이러한 무한소 조정을 이용하면, 단순한 포트폴리오로 비선형 금융자산을

복제하는 것이 가능하다. 일반적으로 이산시간분석에서는 이러한 복제가 불가능하다.

둘째, 이산시간분석에서 관찰점들 사이의 시간간격이 일정하지 않을 수도 있다. 예를 들어,

어느 날 시장참가자는 다른 날보다도 가격변동이 심한 시장에 직면할 수도 있다. 이러한

가격의 변동성 (volatility)을 모형에 반영하기 위해서는, 시간간격을 변화시킬 필요가

있다. 시간간격을 조정해서 금융자산가격의 효율적인 근사모형을 얻기 위해서는, 연속

시간에서 정의된 확률변수를 이용하는 것이 편리하다.

셋째, 이산시간 관점에서 보면 복잡한 확률구조를 연속시간 관점에서 보면 아주 단순한 구

조로 생각할 수도 있다. 다음과 같은 예를 살펴보자. 만약 시간간격이 무한소 dt이면,

금융자산가격의 변화량이 업틱 (uptick)이나 다운틱 (downtick) 두 가지 중에서 하나를

취한다고 가정할 수 있다. 이러한 이항구조는 무한소 시간구간 (t, t+ dt]에서 일어나는

현상을 나타내는 좋은 근사구조이다.

넷째, 확률미적분에서 중심이 되는 도구인 Ito적분이 표준적 미적분에서 중심이 되는 도구인

Riemann–Stieltjes적분보다 금융시장에서 더 적합하다.

확률미적분을 도입하는 세부적 목적들은 다음과 같다.

첫째, 어떤 확률변수의 변동에 대한 다른 확률변수의 대응을 조사하고자 한다. 이는 확률미분

(stochastic differentiation)을 필요로 한다. 그러나, 엄격히 말하면 확률미분이 아닌

확률적분 (stochastic integration)을 사용한다.

둘째, 확률변수의 증분들의 합을 계산하고자 한다. 이는 확률적분의 도입을 필요로 한다.

셋째, 어떤 확률함수를 다른 간단한 확률함수로 근사시키고자 한다. 이는 확률적 Taylor

전개를 필요로 한다.

넷째, 확률변수의동적특성(dynamics)을모형화하고자한다. 이는확률미분방정식(stochas-

tic differential equation)의 도입을 필요로 한다.

확률분포 251

제6.2절 확률분포

금융파생상품은 확률적으로 변동하는 원자산을 바탕으로 하는 금융상품이다. 따라서, 금융

파생상품을 다루기 위해서는 확률적 모형을 필요로 한다. 확률론에 나타나는 몇 가지 기본적

모형들은 금융파생상품의 가치를 평가하는데 매우 적절하다. 많은 투자자들이 공리적이고

(axiomatic) 정형적인 (formal) 확률모형들보다는 직감적인 (intuitive) 확률에 입각해서 행동

하는 것처럼 보이는 상황에서, 수리적인 확률모형을 필요로 한다는 것을 독자들은 의외라고

생각할 수도 있을 것이다. 그러나, 무재정조건 하에서 진짜확률측도에 상관없이 합성적으

로 (synthetically) 만들어진 위험중립확률측도를 사용해서 금융파생상품의 공정한 가치를

평가할 수 있다. 즉, 시장이 무재정조건을 만족한다는 가정 하에서는 확률모형을 사용해서

금융파생상품의 공정한 가치를 평가할 수 있다.

확률변수를 다루기 위해서는, 우선 확률공간과 확률측도의 정의가 선행되어야 한다. 이를

간단히 복습해 보자. 시장을 대변하는 확률모형을 정의하기 위해서는, 시장의 상황을 나타

내는 상태들 (states)의 집합이 필요하다. 이후, 어떤 상태를 ω로 표기하고, 상태들의 집합인

표본공간을 Ω로 표기하자. 통계학에서는 ω를 기초사건 (elementary event, atomic event,

simple event)이라 부른다. 사건(event)은 ω들의 집합에 대응한다. 즉, 사건은 표본공간 Ω의

부분집합이다. 발생할수있는모든사건들, 즉표본공간 Ω의부분집합들의모임을집합족이라

하고, 문자 F로 나타내자. 또한, 사건 A(∈ F)가 발생할 확률을 P (A)로 표기하자. 확률은

다음 조건들을 만족한다.

P (A) ≥ 0, (A ∈ F), P (Ω) = 1 (6.2.1)

식 (6.2.1)의 첫 번째 조건은 사건 A의 확률이 비음 (nonnegative)임을 나타낸다. 두 번째 조

건은 표본공간 Ω의 확률이 1임을 나타낸다. 이러한 Ω,F , P가 확률공간이다. 즉, 표본공간

Ω 안에서 한 점 ω가 무작위로 추출되었을 때, P (A)는 이렇게 추출된 점 ω가 사건 A(∈ F)

에 속할 확률을 나타낸다. de Finetti (1974)가 언급했듯이, 확률을 단순한 수식으로 표현할

수 있다는 명확한 근거는 없다. 그러나, 몇 가지 단순하고 편리한 수학적 모형들을 사용해서,

금융데이터에 관련되는 확률들을 근사적으로 나타낼 수 있다.

예제 6.2.1 선물거래소에서거래되고있는어떤농산물의선물가격이그날미농무성(USDA)

이 공표하는 수확보고서(harvest report)에만 의존하고 있다고 가정하자. 농무성의 보고서에

적혀진내역은상태 ω에해당한다. 표본공간 Ω는미농무성이발표할수있는이농산물에관한


가능한모든상태들의집합이다. 우리는보고서내용을 ‘선호한다’ 또는 ‘선호하지않는다’라고

말할 수 있다. 이것이 사건의 예이다. 우리가 수확보고서에서 ‘선호한다’는 결과를 도출하는

상태 ω가 여러 개 존재할 수 있음에 유의하라. 따라서, 이 사건은 상태 ω의 집합이라고 할 수

있다. 우리는 보고서가 선호될 확률을 P (수확보고서에서 선호됨)라고 쓸 수 있다.

확률변수 X는 집합족 F 안에서 정의되는 함수 또는 사상 (mapping)이다. 만약 사건

A(∈ F)가 주어지면, 확률변수 X에는 어떤 실수값이 대응한다. 즉, X : F → R이다.

예제 6.2.2 <예제 6.2.1>을 다시 살펴보자. 농무성에서 발표하는 추정값을 X로 표기하자.

만약 이 추정값이 1000 이상이면, 수확보고서가 선호된다고 하자. 그렇지 않으면, 수확보고서

가 선호되지 않는다고 하자. 이를 다음과 같은 동치식으로 나타낼 수 있다.

선호되는 수학보고서 ⇔ 1000 ≤ X

이와 같은 방법으로, 사건으로부터 확률변수 X를 정의할 수 있다.

이산값들 x1, x2, · · · , xK에대한확률들을각각 f(x1), f(x2), · · · , f(xK)로갖는이산형확

률변수X는확률밀도함수(probability density function: pdf) 또는확률질량함수(probability

mass function: pmf) f(x)를 갖는다고 한다. 이 확률밀도함수는 다음 조건들을 만족한다.

0 ≤ f(xk) ≤ 1, (k = 1, · · · ,K),

K∑k=1

f(xk) = 1 (6.2.2)

확률변수X가 x이하의값을취할확률은 F (x) =∑xt≤x

f(xk)이다. 이 F (x)를누적확률분포함

수(cumulative distribution function: cdf) 또는 확률분포함수라고 한다. 이산형 확률변수 X

가 x1 < x2 < · · · < xK을 만족하는 K개 값들을 가지면, 집합 x1, x2, · · · , xK를 확률변수

X의 받침대 (support)라고 한다. 다음 식들이 성립한다.

F (x1) = f(x1)

∆F (xk).= F (xk)− F (xk−1) = f(xk), (k = 2, 3, · · · ,K)

(6.2.3)

연속적인 값 x(∈ R)를 취하는 연속형 확률변수 X는 다음 식들을 만족하는 확률밀도함수

확률분포 253

f(x)를 갖는다.

f(x) ≥ 0,

∫ ∞

−∞f(x)dx = 1 (6.2.4)

확률변수 X의 확률분포함수는 F (x).=∫ x−∞ f(t)dt이다. 미적분의 근본적 정리 (the funda-

mental theorem of calculus)에 의해서 다음 식이 성립한다.

d

dxF (x) = f(x) (6.2.5)

이산형 또는 연속형 구분 없이, 확률변수 X가 구간 (a, b]에서 값을 취할 확률은 다음과

같다.

Pr(a < X ≤ b).= P (a < X ≤ b) = F (b)− F (a) (6.2.6)

이 P를 확률측도 (probability measure)라 부른다. 즉, 확률측도 P와 확률분포 F는 일대일

대응이다. 이러한 관계를 Baire측도로 설명할 수 있다. 이에 대해서는 IM&F7의 제6.2절을

참조하라. 독자들은 확률분포함수가 다음 정리를 만족한다는 것을 알고 있을 것이다.

정리 6.2.1

확률분포함수 F (x)는 다음 명제들을 만족한다.

(a) 0 ≤ F (x) ≤ 1

(b) limx→−∞

F (x) = 0

(c) limx→∞

F (x) = 1

(d) 만약 x1 ≤ x2이면, 식 F (x1) ≤ F (x2)이 성립한다.

(e) 만약 확률변수 X가 연속형이면, 확률분포함수 F (x)는 좌측연속 (left-continuous)

이며 또한 우측연속 (right-continuous)이다. 즉, 다음 식들이 성립한다.

limδ→+0

F (x+ δ) = limδ→+0

F (x− δ) = F (x)


만약 확률변수 X가 이산형이고, 또한 만약 점 x가 확률변수 X의 받침대에속하면,

F (x)는 우측연속이지만 좌측으로는 불연속이다. 즉, 다음 식들이 성립한다.

limδ→+0

F (x− δ) = F (x) = limδ→+0

F (x+ δ)

학문의 주된 목적들 중 하나는 인과관계를 다루는 것이다. 따라서, 방법론을 제시하는

통계학에서 확률변수 하나 만을 다루는 것보다는 여러 확률변수들을 동시에 다루는 것이 더

실용적이라고 할 수 있다.

어떤 집단에 속한 한 사람이 가지고 있는 복숭아의 개수를 확률변수 X로 나타내고 사과의

개수를 확률변수 Y 로 나타내자. 복숭아를 x개 그리고 사과를 y개 가지고 있을 결합확률

(joint probability) Pr(X = x, Y = y)를 f(x, y)로 표기하자. 가능한 모든 쌍 (x, y)에 대해서

f(x, y)가 정의되면, 이를 결합확률밀도함수 (joint probability density function)라고 한다.

이 결합확률밀도함수는 다음 식들을 만족한다.

f(x, y) ≥ 0,∑x

∑y

f(x, y) = 1 (6.2.7)

같은방법으로,이산형확률변수들X1, X2, · · · , Xn의결합확률Pr(X1 = x1, X2 = x2, · · · , Xn =

xn)을 결합확률밀도함수 f(x1, x2, · · · , xn)으로 표기하자. 이 결합확률밀도함수는 다음 식들

을 만족한다.

f(x1, x2, · · · , xn) ≥ 0,∑x1

∑x2

· · ·∑xn

f(x1, x2, · · · , xn) = 1 (6.2.8)

우리대학교 각 신입생의 키를 확률변수 X로 그리고 몸무게를 확률변수 Y 로 나타내자.

임의의 a, b(≥ a), c, d(≥ c)에 대해서, a < X ≤ b이고 동시에 c < Y ≤ d인 결합확률을

다음과 같이 나타낼 수 있다고 하자.

Pr(a < X ≤ b, c < Y ≤ d) =

∫ d

c

∫ b

af(x, y)dxdy (6.2.9)

이 f(x, y)가 결합확률밀도함수이다. 이 결합밀도함수는 다음 식들을 만족한다.

f(x, y) ≥ 0,

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(x, y)dxdy = 1 (6.2.10)

연속형 확률변수들 X1, X2, · · · , Xn의 결합확률밀도함수를 f(x1, x2, · · · , xn)으로 표기하자.

기대값과 적률모함수 255

이 결합확률밀도함수는 다음 식들을 만족한다.

f(x1, x2, · · · , xn) ≥ 0, (6.2.11)∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞· · ·∫ ∞

−∞f(x1, x2, · · · , xn)dx1dx2 · · · dxn = 1 (6.2.12)

제6.3절 기대값과 적률모함수

확률변수 X가 확률밀도함수 f(x)를 갖는다고 하자. 확률변수 X의 함수 g(X) 역시 확률변수

이다. 받침대가 x1, x2, · · · , xK 인 이산형 확률변수 X에 대해서, 확률변수 g(X)의 기대값을

다음과 같이 정의한다.

E(g(X)).=

K∑k=1

g(xk)f(xk) (6.3.1)

연속형 확률변수 X에 대해서, 확률변수 g(X)의 기대값을 다음과 같이 정의한다.

E(g(X)).=

∫ ∞

−∞g(x)f(x)dx (6.3.2)

평균 µ.= E(X)는 확률분포의 중심 (center) 또는 위치(location)가 어디인지를 나타내는

대표적 척도이다. 분산(variance) σ2 .= V ar(X)는 평균 µ근처에서 X가 어떻게 흩어져 있는

가를 나타내는 척도이다. 분산의 정의에서 알 수 있듯이, 분산의 단위는 확률변수 X의 단위의

제곱이다. 만약 확률변수 X의 단위가 달러라면, 분산의 단위는 달러2이다. 이렇게 제곱을

나타내는 단위를 확률변수 X의 퍼짐의 척도로 해석하는 것은 편리하지 않다. 반면에, 분산에

제곱근을취한표준편차(standard deviation)√σ2 = σ의단위는확률변수 X의단위와같다.

따라서, 확률변수 X의 퍼짐 척도로 표준편차 σ를 사용하는 것이 편리하다. 재무이론에서는

평균 µ근처에서 확률변수 X의 퍼짐 척도인 σ를 변동성 (volatility)이라 부른다. 확률변수 X

의 관찰값들 x1, x2, · · · , xn이 주어졌을 때, 확률변수 X의 평균 µ와 분산 σ2를 각각 다음과

같이 정의되는 표본평균과 표본분산으로 추정한다.

x.=

1

n

n∑i=1

xi, s2.=

1

n− 1

n∑i=1

[xi − x]2 (6.3.3)

이산형 확률변수들 X1, X2, · · · , Xn의 결합확률밀도함수가 f(x1, x2, · · · , xn)이면, 확률


변수 g(X1, X2, · · · , Xn)의 기대값을 다음과 같이 정의한다.

E(g(X1, X2, · · · , Xn)).=∑x1

∑x2

· · ·∑xn

g(x1, x2, · · · , xn)f(x1, x2, · · · , xn) (6.3.4)

연속형 확률변수들 X1, X2, · · · , Xn의 결합확률밀도함수가 f(x1, x2, · · · , xn)이면, 확률변수

g(X1, X2, · · · , Xn)의 기대값을 다음과 같이 정의한다.

E(g(X1, X2, · · · , Xn))

.=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞· · ·∫ ∞

−∞g(x1, x2, · · · , xn)f(x1, x2, · · · , xn)dx1dx2 · · · dxn

(6.3.5)

확률변수 X가 커지면, 확률변수 Y 도 커지는 방향으로 변화하는지, 확률변수 Y 가 작아지

는 방향으로 변화하는지, 아니면 확률변수 Y 는 변화하지 않는지를 나타내는 척도가 공분산

(covariance)이다. 확률변수들 X와 Y 의 공분산을 다음과 같이 정의한다.

σXY.= Cov(X,Y )

.= E([X − µX ][Y − µY ]) (6.3.6)

여기서 µX와 µY 는 확률변수들 X와 Y 의 평균들이다. 또한, 확률변수들 X와 Y 의 상관계수

(correlation coefficient) ρXY 를 다음과 같이 정의한다.

ρXY.=

σXY

σXσY(6.3.7)

여기서 σX 와 σY 는 확률변수들 X와 Y 의 표준편차들이다. Cauchy-Schwarz부등식을 사용

해서, 다음 식이 성립함을 증명할 수 있다.

−1 ≤ ρXY ≤ 1 (6.3.8)

엄격히 말하면, 식 (6.3.8) 자체가 Cauchy-Schwarz부등식이다. 만약 ρXY 가 1에 가까우면,

확률변수들 X와 Y 가 높은 상관관계를 갖는다. 반면에, 만약 ρXY 가 -1에 가까우면, 높은

음의 상관을 나타낸다. 만약 확률변수들 X와 Y 가 독립이면, ρXY 는 0이며 X와 Y 는 무상관

(uncorrelated)이다. 그러나, 이 성질의 역이 성립하는 것은 아니다. 확률변수들 X와 Y 의

관찰값들 (x1, y1), (x2, y2) · · · , (xn, yn)이 주어지면, 공분산과 상관계수를 각각 다음과 같이

기대값과 적률모함수 257

추정한다.

σXY.=

1

n− 1

n∑i=1

[xi − x][yi − y] (6.3.9)

ρXY.=

σXY

σXXσY Y(6.3.10)

다음 정리를 쉽게 증명할 수 있다.

정리 6.3.1

임의의 상수열 ai와 확률변수열 Xi에 대해서 다음 식들이 성립한다.

(a) E

(a0 +

n∑i=1

aiXi

)= a0 +

n∑i=1

aiE (Xi)

(b) V ar (a0 + a1X1) = a21V ar (X1)

(c) V ar

(n∑

i=1aiXi

)=

n∑i=1

n∑j=1

aiajCov (Xi, Xj)

확률변수들X1, X2, · · · , Xn의결합확률밀도함수 f(x1, x2, · · · , xn)에대해서, 각확률변수

Xi의 확률밀도함수 fXi(xi)를 주변확률밀도함수 (marginal probability density function)라

부른다. 만약 결합확률밀도함수 f(x1, x2, · · · , xn)을 다음과 같이 표기할 수 있으면, 확률변

수들 X1, X2, · · · , Xn은 서로 독립이라 한다.

f(x1, x2, · · · , xn) =n∏

i=1

fXi(xi) (6.3.11)

확률변수들 X1, X2, · · · , Xn이 서로 독립이고 동일한 확률분포를 따르는 것을 i.i.d (indepen-

dently and identically distributed)로 표기하자. 이 경우에, 각 확률변수 X의 평균이 µ이고

분산이 σ2이면, X ∼ i.i.d.(µ, σ2)라 표기하자.

확률변수X의확률밀도함수를 f(x)라할때, E(Xk)를확률변수X의 k차적률(moment)

또는 k차 원점적률 (moment about the origin)이라 부른다. 또한, E(X − E(X))k를 k차

평균적률 (moment about the mean) 또는 k차 중심적률 (central moment)이라 부른다. 확률

변수 X의 적률모함수 (moment generating function: mgf)를 다음과 같이 정의한다.

MX(t).= E

(etX)

(6.3.12)


적률모함수 MX(t)를 점 t = 0에서 Taylor전개하면, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

MX(t) = E

(1 +

t1

1!X +

t2

2!X2 + · · ·+ tk

k!Xk + · · ·

)= 1 + tE(X) +

t2

2!E(X2) + · · ·+ tk

k!E(Xk) + · · · (6.3.13)

따라서, MX(t)를 t에 관해 미분하면, 다음 식들을 얻는다.

MkX(0) = E(Xk), (k = 0, 1, · · · ) (6.3.14)

만약 적률모함수를 구할 수 있다면, 적률모함수를 사용해서 적률을 구하는 것도 한 방법이다.

적률모함수는 다음 정리를 만족한다. 이 정리의 증명은 수리통계학 책을 참조하라.

정리 6.3.2

(a) 상수들 a와 b에 대해서, 확률변수 Y = a + bX의 적률모함수 MY (t)는 다음 식을

만족한다.

MY (t) = eatMX(bt)

(b) 확률변수들 X1, X2, · · · , Xn이 서로 독립이고, 이들의 적률모함수들을

MX1(t),MX2(t), · · · ,MXn(t)라고 하자. 확률변수 Y =n∑

i=1Xi 의 적률모함수

MY (t)는 다음과 같다.

MY (t) =

n∏i=1

MXi(t)

(c) 확률변수 X의 적률모함수MX(t)와 Y 의 적률모함수MY (t)가 어떤 상수 h(> 0)에

대해서 구간 (−h, h)에서 동일하기 위한 필요충분조건은 X와 Y 의 확률분포들이

동일한 것이다.

제6.4절 조건부기대값

재무이론에서 조건부기대값은 매우 중요한 역할을 한다. 우선, 조건부확률밀도함수를 정의하

자. 확률변수들 X와 Y 의 결합확률밀도함수를 f(x, y), 그리고 주변확률밀도함수들을 fX(x)

와 fY (y)라고하자. 조건 Y = y 하에서확률변수 X의조건부확률밀도함수 f(x | y)를다음과

조건부기대값 259

같이 정의한다.

f(x | y) .= f(x, y)

fY (y)(6.4.1)

이산형 확률변수들 X와 Y 에 대해서, 조건 Y = y 하에서 확률변수 X의 조건부기대값

E(X | y)를 다음과 같이 정의한다.

E(X | y) .=∑x

xf(x | y) (6.4.2)

연속형 확률변수들 X와 Y 에 대해서, 조건 Y = y 하에서 확률변수 X의 조건부기대값

E(X | y)를 다음과 같이 정의한다.

E(X | y) .=∫ ∞

−∞xf(x | y)dx (6.4.3)

다음 정리는 조건부기대값에 관한 것이다. 이 정리의 증명은 수리통계학 책을 참조하라.

정리 6.4.1

(a) 상수들 a, b와 확률변수들 X,Y 와 Z 그리고 조건 Z = z에 대해서, 다음 식들이

성립한다.

E(aX + bY | z) = aE(X | z) + bE(Y | z)

(b) 만약 확률변수들 X와 Y 가 독립이면, 임의의 Y = y에 대해서 다음 식이 성립한다.

E(X | y) = E(X)

(b) 함수 h(·)에 대해서, 다음 식이 성립한다.

E(Xh(Y ) | y) = h(y)E(X | y)

(b) 확률변수들 X와 Y 에 대해서, 다음식이 성립한다.

EY (EX(X | Y )) = EX(X)


<정리 6.4.1>의 성질 (d)를 반복조건부기대값법칙 또는 탑성질 (tower property)이라

부른다. 이 법칙은 재무이론에서 중요한 역할을 한다. 확률변수 Y 의 함수 h(Y )를 사용해서

X를 예측하고자 할 때, 예측오차 X − h(Y )의 제곱평균 E([X − h(Y )]2)을 최소로 하는

예측량을 Y 가주어진조건하에서 X의최량예측량(best predictor)이라한다. 다음정리에서

알 수 있듯이, 조건부기대값 E(X |Y )는 X의 최량예측량이다.

정리 6.4.2

확률변수 Y 의 함수를 사용해서 확률변수 X를 예측하는 경우, 조건부기대값 E(X | Y )

는 예측오차제곱평균을 최소로 하는 최량예측량이다. 즉, 임의의 함수 h(Y )에 대해서

다음 부등식이 성립한다.

EX,Y ([X − E(X | Y )]2) ≤ EX,Y ([X − h(Y )]2)

여기서 EX,Y 는 확률변수들 X와 Y 에 대한 기대값을 의미한다.

증명. 조건부기대값 E(X | y)는 y의함수이므로 g(y).= E(X | y)로표기하자. 다음식들이

성립한다.

EX,Y ([X − h(Y )]2) =EX,Y ([X − g(Y )]2) + EY ([g(Y )− h(Y )])2

+ 2EX,Y ([g(Y )− h(Y )] [X − g(Y )]) (1)

식 (1)의 우변의 세 번째 항은 다음 식들을 만족한다.

EX,Y ([g(Y )− h(Y )] [X − g(Y )])

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞[x− g(y)][g(y)− h(y)]f(x, y)dxdy

=

∫ ∞

−∞[g(y)− h(y)]fY (y)

[∫ ∞

−∞[x− g(y)]f(x | y)dx

]dy

(2)

조건부기대값의 정의에 의해서, 다음 식이 성립한다.

∫ ∞

−∞[x− g(y)]f(x | y)dx = 0 (3)

조건부기대값 261

식 (2)와 식 (3)을 식 (1)에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

EX,Y ([X − h(Y )]2) = EX,Y ([X − g(Y )]2) + EY ([g(Y )− h(Y )]2) (4)

식 (4)에서 알 수 있듯이, 다음 부등식이 성립한다.

EX,Y ([X − h(Y )]2) ≥ EX,Y ([X − g(Y )]2) (5)

일반적으로 시간이 흐름에 따라 어떤 투자자가 이용할 수 있는 정보량은 증가한다. 즉,

투자자가 과거의 정보를 결코 잊어버리지 않는다고 가정하면, 시점 t에서 정보집합 It는 시점

t가 커짐에 따라 증가한다. 이를 다음과 같이 표기할 수 있다.

It1 ⊆ It2 ⊆ · · · ⊆ Itk ⊆ Itk+1⊆ · · · (6.4.4)

여기서 t1 < t2 < · · · < tk < tk+1 < · · · 이다.

정의 6.4.1

만약 정보집합들 It가 식 (6.4.4)를 만족하면, 정보집합족 It를 증대정보계 (filtration)라

부른다.

어떤 증대정보계에서 확률변수의 기대값을 취한다는 것은 예측의 개념을 정형적으로

표현하고자 하는 것이다. 즉, 어떤 시점 t에서 확률변수를 예측하기 위해서는 정보집합 It가

주어졌다는 조건 하에서 조건부기대값을 사용한다. 이 조건부기대값을 계산하기 위해서는

조건부확률밀도함수 f(x | It)를 사용해야 한다. 간단한 예를 살펴보자. 주식시장의 크래쉬

(crash)는주가의갑작스런하락을의미한다. 즉, 1929년의크래쉬나 1987년의 Black Monday

와같은것을의미한다. 일반적으로크래쉬가발생할확률을무조건부확률로표현한다. 그러나,

심한불황에빠진경우에는크래쉬가발생할확률을조건부확률로표현해야할것이다. 이러한

경우에 정보집합 It의 의미는 심한 불황이 시작되었다는 것이다. 이러한 정보를 바탕으로,

크래쉬의 무조건부확률을 조건부확률로 수정해야 한다. 시점 u에서 정보집합 Iu가 주어졌을


때, 어떤 미래시점 t(> u)에서 어떤 확률변수 St의 조건부기대값은 다음과 같다.

E(St | Iu) =∫ ∞

−∞Stf(St | Iu)dSt (6.4.5)

즉, 조건부기대값 E(St | Iu)는 정보집합 Iu가 주어졌다는 조건 하에 조건부확률을 이용해서

계산한다. 이러한 조건부기대값을 사용해서, 시점 u까지 발생한 모든 정보를 예측에 활용되게

된다. 이후, 정보집합 It가 주어졌다는 조건 하에서 조건부기대값 E(· | It)를 간단하게 Et(·)

로 표기하자. 여기서 Et의 아래 첨자 t는 기대값이 계산되는 시점 t에서 이용 가능한 모든

정보를 바탕으로

기대값을 계산하는 것을 의미한다.

<정리 6.4.1>의 성질 (d), 즉 반복조건부기대값법칙은 금융공학에서 중요한 역할을

한다. 시점 t에서 조건부기대값 Et+d(St+d+u), (d > 0, u > 0)의 예측에 대해서 생각해 보자.

즉, 예측값의 예측에 대해서 살펴보자. 시점 t에서 미래시점의 정보집합 It+d를 얻는 것은

불가능하다. 따라서, 조건부기대값 Et+d(St+d+u)는 결정적 (deterministic)이 아니다. 달리

말하면, 시점 t에서 Et+d(St+d+u) 자체가확률변수이다. 즉, 다음식들을만족하는시점 t에서

오차항 ϵt가 존재한다.

Et+d(St+d+u) = Et(Et+d(St+d+u)) + ϵt, Et(ϵt) = 0 (6.4.6)

식 (6.4.6)의 양변에 조건부기대값연산자 Et(·)를 적용하면, 다음 식을 얻는다.

Et(Et+d(St+d+u)) = Et(St+d+u) (6.4.7)

식 (6.4.7)을 해석하면 다음과 같다. 미래시점 t + d에서 St+d의 기대값 Et+d(St+d+u)의 현

재시점 t에서 예측값은 현재시점에서 St+d+u의 예측값과 같다. 식 (6.4.7)에서 알 수 있듯이,

조건부기대값연산자를 반복 적용하는 것은 상대적으로 작은 정보집합 하에서 조건부기대값을

취하는 것과 같다. 즉, 다음 정리가 성립한다.

정리 6.4.3

중요한 확률분포들 263

만약 It ⊆ Is이면, 다음 식이 성립한다.

E(E(· | Is) | It) = E(· | It)

앞에서도 강조했듯이, <정리 6.4.3>은 금융자산의 가치평가에서 매우 중요한 역할을

한다. 조건부기대값에 대한 자세한 내용은 IM&F11의 제6.1절을 참조하라.

제6.5절 중요한 확률분포들

이 절에서는 몇 가지 중요한 확률분포들에 대하여 논의하자. 이 확률분포들은 금융자산가치

평가의 이론에서뿐 아니라 실무에서도 중요하다.

6.5.1 이항확률분포

다음과 같은 세 가지 조건들을 만족시키는 시행 (trial)을 Bernoulli시행이라 한다.

첫째, 시행 결과는 성공 또는 실패 두 가지로만 구분된다.

둘째, 성공하는 확률 p는 일정하다.

셋째, 시행들은 서로 독립이다.

성공확률이 p이고 실패확률이 q = 1 − p인 서로 배반되는 사상들로 이루어진 실험을

반복하는 시행모형을 생각해보자. 대표적인 예가 공정한 동전을 던지는 실험으로서, 이

경우에는 p = q = 12 이다. 제n번째 실험결과가 성공이면 1을 취하고 실패이면 0을 취하는

확률변수를 ϵn으로 표현하자. 식 Pr(ϵn = 1) = p와 식 Pr(ϵn = 0) = q가 성립한다. 만약

εn | n = 1, 2, · · · 이 서로 독립이면, 이 ϵn을 Bernoulli시행이라 부른다. 이 Bernoulli시행

들의 합 Xn =n∑

k=1

ϵk는 이 실험을 n번 반복할 때 얻어지는 성공횟수를 나타낸다. 확률변수

Xn의 받침대는 0, 1, 2, · · · , n이다. 이 Xn을 이항확률변수라고 하고, 이항확률변수의 확

률분포를 이항확률분포라고 한다. 이 이항확률분포를 B(n, p)로 표기한다. 이항확률분포의

확률밀도함수는 다음과 같다.

f(x) =

(n

x

)pxqn−x, (x = 0, 1, · · · , n) (6.5.1)


정리 6.5.1

이항확률분포 B(n, p)를 따르는 이항확률변수 X는 다음 식들을 만족한다.

E(X) = np, V ar(X) = nqp, MX(t) = [pet + q]n


MX(t) =n∑

x=0

etx(n

x

)pxqn−x =

n∑x=0

(n

x

)[pet]xqn−x = [pet + q]n (1)

식 (1)에서 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

dMX(t)

dt= n[pet + q]n−1pet (2)

d2MX(t)

dt2= n[n− 1][pet + q]n−2[pet]2 + n[pet + q]n−1pet (3)


E(X) =M ′X(0) = np (4)

E(X2) =M ′′X(0) = np[np+ q] (5)

V ar(X) = np[np+ q]− [np]2 = npq (6)

확률변수들 X와 Y 가 서로 독립이며 각각 B(m, p)와 B(n, p)를 따른다면, Bernoulli시행

의 정의에서 알 수 있듯이 이 확률변수들의 합 X +Y 는 이항확률분포 B(X +Y, p)를 따른다.

즉, 이항확률분포는 재생성을 갖는 확률분포이다.

이항확률분포 B(n, p)에서 식 np = λ(> 0)를 유지하면서 극한 n → ∞를 취하면, 이항

확률분포의 확률분포함수는 평균이 λ인 Poisson확률분포함수로 수렴한다. 뒤에서 이 성질을

자세히 다룰 것이다. Bernoulli시행에 중심극한정리를 적용하면, 다음 식이 성립함을 알 수


있다.

limm→∞

Pr(Xn − np√nqp

≤ a

)=

1√2π

∫ a

−∞exp

(−1

2t2)dt (6.5.2)

이를 De Moivre-Laplace정리라 부른다. 즉, 이항확률분포 B(n, p)를 따르는 확률변수 Xn을

표준화한 확률변수 Yn.= [Xn − np]/

√npq는 표준정규확률분포 N(0, 1)에 수렴한다. 좀 더

명확하게 말하면, 분포수렴한다 (converge in distribution).

6.5.2 정규확률분포

연속형 확률분포들 중에서 가장 중요한 것은 정규확률분포 (normal distribution)이다. 극좌

표변환을 사용해서, 다음 식을 증명할 수 있다.

∫ ∞

−∞

1√2π

exp(− [x− µ]2

2σ2

)dx = 1 (6.5.3)

따라서, 다음 함수는 확률밀도함수이다.

nµ,σ(x).=

1√2πσ

exp(− [x− µ]2

2σ2

)(6.5.4)

이 확률밀도함수를 갖는 연속형 확률변수 X를 모수들이 µ와 σ2인 정규확률분포를 따른다고

하고, 다음과 같이 표기한다.

X ∼ N (µ, σ2) (6.5.5)

확률변수들 X1, X2, · · · , Xn이 서로 독립이고 동일한 모수들 µ와 σ2을 갖는 정규확률분

포를 따른다는 것을 다음과 같이 표기한다.

Xi ∼ NID(µ, σ2), (i = 1, 2, · · · , n) (6.5.6)

여기서 NID는 normally and independently distributed의 두문자어이다.

정리 6.5.2


만약 X ∼ N (µ, σ2)이면, 다음 성질들이 성립한다.

E(X) = µ, V ar(X) = σ2, MX(t) = exp(µt+

1

2σ2t2

)

증명. 정의에 의해서, 다음 식이 성립한다.

MX(t) =

∫ ∞

−∞

1√2πσ

exp(tx− [x− µ]2

2σ2

)dx (1)

이 적률모함수 MX(t)의 지수항은 다음 식을 만족한다.

tx− [x− µ]2

2σ2= − 1

2σ2x− [σ2t+ µ]2 +

[µt+

σ2

2t2]

(2)


∫ ∞

−∞

1√2πσ

exp(−x− [σ2t+ µ]

2σ2

)dx = 1 (3)

식 (1)∼식 (3)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

MX(t) = exp(µt+

σ2

2t2)

(4)

식 (4)의 양변을 미분하면, 다음 식들을 얻는다.

dMX(t)

dt= [µ+ σ2t] exp

(µt+

σ2

2t2)

(5)

d2MX(t)

dt2= σ2 exp

(µt+

σ2

2t2)+ [µ+ σ2t]2 exp

(µt+

σ2

2t2)

(6)


E(X) =M ′X(0) = µ (7)

E(X2) =M ′′X(0) = σ2 + µ2 (8)

V ar(X) = σ2 + µ2 − µ2 = σ2 (9)


따름정리 6.5.1

정규확률변수 X ∼ N (µ, σ2)의 k차 평균적률 µk = E([X − µ])k는 다음과 같다.

µ2k−1 = 0, µ2k =σ2k(2k)!

2kk!, (k = 1, 2, · · · )

따름정리 6.5.2

만약 X ∼ N (µ, σ2)이면, 상수들 a와 b에 대해서 확률변수 Y = a + bX는 다음 식을

만족한다.

Y = a+ bX ∼ N(a+ bµ, b2σ2)

증명. <정리 6.3.2>의 성질 (a)와 <정리 6.5.2>에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

MY (t) = eatMX(bt) = exp([a+ bµ]t+

1

2b2σ2t2

)(1)

식 (1)과 <정리 6.3.2>의 성질 (c), 즉 적률모함수의 일의성으로부터, 확률변수 Y 가 평균이

a+ bµ이고 분산이 b2σ2인 정규확률분포를 따른다는 것을 알 수 있다.

<따름정리 6.5.2>에서알수있듯이, 정규확률변수X의선형함수 Y 도정규확률변수이다.

만약 X ∼ N (µ, σ2)이면, 다음 식들이 성립한다.

Z.=X − µ

σ∼ N(0, 1) (6.5.7)

이확률변수 Z는표준정규확률분포를따른다고한다. 또한, 이 확률변수 Z의확률밀도함수와

확률분포함수를 각각 다음과 같이 표기한다.

n(z).=

1√2π

exp(−z

2

2

), N(z)

.=

∫ z

−∞n(x)dx (6.5.8)

임의의 실수 z에 대해서, 다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

N(−z) = 1−N(z) (6.5.9)


6.5.3 대수정규확률분포

확률변수 Y 가 정규확률분포를 따를 때, X = exp(Y )는 대수정규확률분포 (log-normal

distribution)를 따른다고 한다. 즉, 다음 식을 만족하는 확률변수 X는 대수정규확률분포를

따른다고 한다.

Y = lnX ∼ N (µ, σ2) (6.5.10)

이를 식 X ∼ LN (µ, σ2)로 표기하자. 이 대수정규확률분포의 확률밀도함수를 다음과 같이

구할 수 있다. 정규확률변수 Y 의 확률밀도함수는 다음과 같다.

fY (y) =1√2πσ

exp(− [y − µ]2

2σ2

)(6.5.11)

변수변환 Y = lnX의 Jacobian은 J = dy/dx = 1/x이다. 식 (6.5.11)에서 알 수 있듯이,

대수정규확률변수 X의 확률밀도함수는 다음과 같다.

fX(x) = fY (lnx)|J | =

1√2πσ2

1x exp

(− [lnx−µ]2

2σ2

), (x > 0)

0 , (x ≤ 0)

(6.5.12)

정리 6.5.3

만약 X ∼ LN (µ, σ2)이면, 다음 성질들이 성립한다.

(a) E(X) = exp(µ+ σ2

2

)(b) E(Xk) = exp

(µk + σ2

2 k2), (k = 2, 3, · · · )

(c) V ar(X) = exp(2µ+ σ2

)[exp(σ2)− 1]


E(Xk) = E(ekY ) = exp(µk +

σ2

2k2)

(1)

여기서 두 번째 등호는 <정리 6.5.2>에 의해서 성립한다. 식 (1)에서 알 수 있듯이, 다음



E(X) = exp(µ+

σ2

2

)(2)

E(X2) = exp(2µ+ 2σ2) (3)

V ar(X) = exp(2µ+ 2σ2)− exp(2µ+ σ2) = exp(2µ+ σ2)[exp(σ2)− 1] (4)

대수정규확률분포의 적률들은 식 (6.3.13)을 만족하지 못한다. 좀 더 자세히 말하면,

식 (6.3.13)의 우변의 급수는 수렴하지 않는다. 따라서, 대수정규확률분포의 적률모함수는

존재하지 않는다. 대수정규확률분포의 중요한 특징은 분산 V ar(X)가 평균 E(X)의 제곱에

비례한다는 것이다. 즉, 확률변수 X가 대수정규확률분포를 따를 때, X의 표준편차는 평균

E(X)에비례해서변화한다. 따라서, 확률변수X의평균적수준이높아지면, X의표준편차도

이 평균수준에 비례해서 커진다. 재무이론에서는 확률변수들 중에는 평균수준이 높아지면

그에 비례해서 표준편차가 커지는 경우가 많다. 이러한 경우에는 대수정규확률분포를 사용할

수 있다. 특히, Black-Scholes모형에서는 원자산이 대수정규확률분포를 따른다고 가정한다.

6.5.4 지수확률분포와 Poisson확률분포

확률변수 X가 다음과 같은 확률밀도함수를 가질 때, 이 확률변수는 모수 λ(> 0)인 지수확률

분포 (exponential distribution)를 따른다고 한다.

f(x) =

λe−λx, (x ≥ 0)

0, (x < 0)

(6.5.13)

여기서 λ를 비율모수 (rate parameter) 그리고 1/λ를 척도모수 (scale parameter)라 부른다.

인간 또는 물체의 수명을 지수확률분포로 나타내는 경우가 많고, 이러한 설정은 현실적

으로 타당성을 갖는다. 예를 들어, 전구의 수명을 나타내는 확률변수 X에 대해서 살펴보자.

시간구간 (t, t + ∆t]에서 이 전구가 고장날 확률 p∆t.= Pr(X ≤ t + ∆t | X > t)가 시점 t

에는 의존하지 않고 시간간격 ∆t에만 의존한다고 가정하자. 다음 식들이 성립한다.

Pr(X > k∆t) =k∏

j=1

Pr(X > j∆t | X > [j − 1]∆t) = [1− p∆t]k (6.5.14)


만약 p∆t = λ∆t+ o(t)라고 가정하면, 다음 식들이 성립한다.

Pr(X > t) = lim∆t→0

[1− p∆t]

1∆t

t= e−λt (6.5.15)

즉, 확률변수 X의 확률밀도함수는 식 (6.5.13)의 f(x)와 동일하다.

다음 정리에서 알 수 있듯이, 지수확률분포는 무기억성 (memoryless property)을 갖는다.

이 무기억성이 지수확률분포의 가장 큰 특성이다.

정리 6.5.4

만약확률변수 X가비율모수가 λ(> 0)인지수확률분포를따르면, 다음식들이성립한다.

Pr(X > t+ s | X > t) = Pr(X > s) = eλs, (s > 0, t > 0)


Pr(X > t+ s | X > t) =Pr(X > t+ s)

Pr(X > t)

=

∫∞t+s λe

−λxdx∫∞t λe−λxdx

=eλ[t+s]

eλt= e−λs = Pr(X > s) (1)

<정리 6.5.4>를 해석하면 다음과 같다. 어떤 전구의 수명이 지수확률분포를 따른다고

가정하자. 시점 t까지 고장나지 않은 전구가 시점 t + s까지 고장나지 않을 확률은 시점 0

에서 같은 종류의 새로운 전구가 시점 s까지 고장나지 않을 확률과 같다. 즉, 지수확률분포는

무기억성을 갖는다. 역으로, 무기억성을 갖는 연속형 확률분포는 지수확률분포임을 증명할

수 있다. 무기억성의 정의에 의해서, 다음 식이 성립한다.

lims→0

Pr(X > t+ s)− Pr(X > t)

s= Pr(X > t) lim

s→o

Pr(X > s)− 1

s(6.5.16)

확률변수 X의 확률밀도함수와 확률분포함수를 각각 h(x)와 H(x)라고 하면, 식 (6.5.16)에서

알 수 있듯이 다음 미분방정식이 성립한다.

dH(t)

dt= [1−H(t)]h(0) (6.5.17)


여기서 H(x)는 증가함수이므로 h(0) > 0이다. 이 h(0)를 모수 λ로 표기하자. 미분방정식

(6.5.17)을풀면, 각 t(> 0)에대해서H(t) = 1−e−λt이다. 즉, h(x)는식 (6.5.13)에서정의한

지수확률분포의 확률밀도함수 f(x)와 동일하다.

모수가 λ인 Poisson확률분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

f(x) =1

x!λxe−λ, (x = 0, 1, · · · ) (6.5.18)

Taylor전개에 의해서 다음 식들이 성립함을 확인할 수 있다.

∞∑x=0

f(x) = e−λ∞∑x=0

1

x!λx = 1 (6.5.19)

정리 6.5.5

모수가 λ인 Poisson확률분포는 다음 식들을 만족한다.

E(X) = λ, V ar(X) = λ, MX(t) = exp(λ[et − 1])


MX(t) = eλ∞∑x=0

1

x!λxetx = e−λ exp(λet) = exp(λet − λ) (1)

식 (1)에 미분을 적용하면, 다음 식들을 얻는다.

dMX(t)

dt= λe−λ exp(λet)et (2)

d2MX(t)

dt2= λe−λet exp(λet)[λet + 1] (3)


E(X) =M ′X(0) = λ (4)

E(X2) =M ′′X(0) = λ[λ+ 1] (5)

V ar(X) = λ (6)


Poisson확률분포와지수확률분포는다음과같은밀접한관계를가지고있다. Poisson확률

분포의 확률밀도함수 f(x)는 주어진 시간구간 [0, 1]에서 평균적으로 λ번 발생하는 사건들이

x번 발생할 확률을 나타낸다. 이러한 사건들이 연속해서 발생할 때, 이웃하는 사건들 사이

거리 T의 확률분포함수 G(t)를 살펴보자. 다음 식들이 성립한다.

G(t) = 1− Pr(T > t)

= 1− Pr(시간구간 [0, t]에서 사건이 전혀 발생하지 않음)

= 1− e−λt (6.5.20)

즉, 확률분포함수 G(t)는 비율모수가 λ인 지수확률분포이다.

다음 정리는 이항확률분포와 Poisson확률분포 사이의 관계를 나타낸다.

정리 6.5.6

만약 확률변수 X가 이항확률분포 B(n, p)를 따르면, 이 이항확률분포의 확률밀도함수

fX(t)는 다음 식을 만족한다.

limn=λ/p→∞

fX(t) = limn=λ/p→∞

(n

t

)pt[1− p]n−t = e−λλ

t

t!


(n

t

)pt[1− p]n−t

=n[n− 1] · · · [n− t+ 1]

t!

[λ

n

]t [1− λ

n

]n−t

=n[n− 1] · · · [n− t+ 1]

ntλt

t!

[1− λ

n

]n [1− λ

n

]−t

→ e−λλt

t!(1)

식 (1)에서 알 수 있듯이, 이항확률밀도함수는 Poisson확률밀도함수로 수렴한다.

왜도와 첨도 273

제6.6절 왜도와 첨도

The theory of errors is to be distinguished from thedoctrine,the false doctrine, that generally, whereverthere is a curve with simple apex representing agroup of statistics-one axis denoting size, the otheraxis frequency-that the curve must be of the normaspecies. The doctrine has been nick-named“Quetelismus” on the ground that Queteletexaggerated the prevalence of the normal law.

F.Y. Edgeworth (1922)

기초통계학에서는 확률분포의 특성을 나타내기 위해서 주로 평균 µ와 분산 σ2만을 사용

한다. 이는 확률분포가 정규확률분포에 가깝다는 가정을 바탕으로 하는 것이다. 물론, 통계학

에서 정규확률분포가 차지하는 위치는 독보적이다. 이렇게 정규확률분포가 독보적인 위치를

차지하는데는 중심극한정리가 기여한 바가 크다. 그러나, 대학에서 정규확률분포 위주의

교육을 하다보니, 정규확률분포의 조건이 충족되지 않는 데이터를 억지로 정규확률분포에

맞추려는 사람이 있다. 그러한 사람을 Quetelismus라 부른다.

재무이론에서 나타나는 확률변수 중에는 정규확률변수와 현저하게 다른 것이 많다. 그

럼에도 불구하고, Black-Scholes식과 같이 정규확률분포 가정 하에 유도되는 식들이 많다.

그러나, 이러한 식들은 실제 시장에서 관찰되는 현상이나 데이터와 유리되는 경우가 많다.

그러한 현상을 나타내거나 데이터를 분석하기 위해서는 3차적률과 4차적률을 이용할 필요가

있다.

확률변수 X가 평균 µ와 분산 σ2를 갖는 확률분포를 따른다고 하자. 표준화변수 Z =

[X − µ]/σ의 평균은 0이고 분산은 1이다. 표준화변수 Z의 3차적률 E(Z3)를 확률변수 X

의 왜도 (skewness)라 부르며,√β1으로 표시한다. 왜도는 확률분포의 비대칭성을 나타내는

측도이다. <따름정리 6.5.1>에서 알 수 있듯이, 정규확률분포의 경우에√β1 = 0이다. 즉,

정규확률분포는 평균 µ를 중심으로 좌우대칭이다.

재무이론에서 나타나는 수익률의 확률분포는 꼬리 (tail)가 두터운 것이 많다. 확률분포

꼬리의 두께를 특징짓는 모수로 4차적률이 이용된다. 꼬리가 두터운 확률분포가 갖는 의미는

무엇일까? 정규확률분포와 비교해서 두터운 꼬리를 갖는다는 것은 극단적인 (extreme) 관찰

값이 발생할 확률이 높은 것을 의미한다. 그러나, 이 점은 신중하게 생각해 보아야 한다. 정규

확률분포의꼬리는 −∞에서∞까지펼쳐져있다. 따라서, 정규확률분포를따르는확률변수도

때때로 극단적인 값을 가질 가능성이 있다. 그러나, 꼬리가 두터운 확률분포에서는 이러한

극단적인 관찰값들의 발생빈도가 상대적으로 높다. 정규확률분포에서는 대부분 관찰값들이

평균 주위에서 자연스럽게 발생된다. 즉, 보통 값들, 절대값이 큰 값들, 그리고 극단적인 값들


순으로 발생하는 확률이 점차 작아진다. 이러한 의미에서, 극단적인 값들은 드물게 발생한

다. 반면에, 꼬리가 두터운 확률분포를 정규확률분포와 비교하면, 확률분포의 양끝 부분의

무게 (weight)가 높다. 따라서, 정규확률분포와 비교하면, 극단적 관찰값들을 얻을 가능성이

커진다. 확률변수 X의 표준화변수 Z의 4차적률 E(Z4)를 확률변수 X의 첨도 (kurtosis)라

부르고, β2로 표기한다. 문헌에 따라서는 γ.= β2 − 3를 첨도로 정의한다. 첨도는 확률분포의

뾰족한 상태를 말하는 것으로, 확률분포의 양쪽 방향에서 확률밀도가 어느 정도 빨리 중심에

접근해 가는가를 나타내는 척도이다. <따름정리 6.5.1>에서 알 수 있듯이, 정규확률분포

N (µ, σ2)의 4차평균적률은 3σ4이다. 따라서, β2 = 3이다. 만약 식 β2 > 3가 성립하면,

이 확률분포는 정규확률분포보다 양끝이 두텁게 퍼진 모양이다. 이러한 확률분포를 뾰족한

(급첨적, leptokurtic) 확률분포라부른다. 만약 β2 < 3이면, 이 확률분포는정규확률분포보다

양끝이 얄팍하게 퍼진 모양이다. 이러한 확률분포를 뭉툭한 (완첨적, platykurtic) 확률분포라

부른다.

확률변수의 첨도가 크면 꼬리가 무겁다고 알고 있는 독자는 첨도가 크면 확률분포가 뾰족

하다는 말에 혼란스러울 수도 있다. 이 성질들이 모순처럼 생각되기 때문이다. 그러나, 일반적

으로 사용되는 확률분포들을 고려하면, 이 성질들은 모순이 아니다. 지금부터 위키피디어에

수록된 그림을 사용해서 이를 설명하고자 한다. 그림 6.6.1은 ‘wikipedia.org/wiki/Kurtosis’

에서 다운받은 것이다. 그림 6.6.1에서는 첨도로 γ2 = β2 − 3를 사용한다. 또한, D는 이

중지수확률분포 (double exponential distribution)로도 알려진 Laplace확률분포로서 첨도가

γ2 = 3, S는 쌍곡시컨트확률분포 (hyperbolic secant distribution)로서 첨도가 γ2 = 2, L

은 로지스틱확률분포로서 첨도가 γ2 = 1.2, N은 정규확률분포로서 첨도가 γ2 = 0, C는

상승코사인확률분포 (raised cosine distribution)로서 γ2 = −0.594, W는 Wigner반원확률

분포 (Wigner semicircle distribution)로서 첨도가 γ2 = −1 그리고 U는 일양확률분포로서

첨도가 γ2 = −1.2이다. 이 확률분포들의 평균은 0이고 분산은 1이다. 그림 6.6.1에서 알 수

있듯이, 첨도가 클수록 확률분포는 뾰쪽하고 꼬리가 무겁다. 확률변수값의 절대값이 중간

정도인 경우에 확률이 작고, 절대값이 커지거나 0에 가까워지면 확률은 커진다. 즉, 첨도가 큰

확률분포는 절대값이 중간 정도인 확률변수값의 질량을 양쪽으로 나누어주는 모습을 보인다.

정리 6.6.1

왜도와 첨도 275

그림 6.6.1. 확률분포의 첨도

만약 X ∼ B(n, p)이면, 다음 식들이 성립한다.

√β1 =

q − p√npq

, β2 = 3 +1− 6pq

npq

증명. <정리 6.5.1>에서 알 수 있듯이, 이항확률분포 B(n, p)의 3차평균적률은 npq[q − p]

이다. 또한, 표준편차는 σ =√npq이다. 따라서, 왜도는 다음과 같다.

√β1 =

npq[q − p]

npq3/2=q − p√npq

(1)

또한, 4차평균적률이 npq 1 + 3pq[n− 2]임을 알 수 있다. 따라서 첨도는 다음과 같다.

β2 = 3 +1− 6pq

npq(2)

<정리 6.6.1>에서 알 수 있듯이, 이 이항확률분포에서 p < 1/2이면 왜도는 양수이다.

만약 p > 1/2이면, 왜도는 음수이다. 만약 pq < 1/6이면, 첨도는 3보다 크다. 반면에, 만약

pq > 1/6이면, 첨도는 3보다 작다.


정리 6.6.2

만약 X ∼ LN (µ, σ2)이면, 다음 식들이 성립한다.

√β1 = [ω − 1]1/2[ω + 2], β2 = ω4 + 2ω3 + 3ω2 − 3

여기서 ω.= exp(σ2)이다.

증명. <정리 6.5.3>에서 알 수 있듯이, 확률변수 X의 3차평균적률은 ω3/2[ω − 1]2[ω + 2]u3

이다. 여기서 u.= exp(µ)이다. 또한, 표준편차는 uω[ω− 1]1/2이다. 따라서, 왜도는 다음과

같다.

√β1 =

ω3/2[ω − 1]2[ω + 2]u3

u3ω[ω − 1]3/2= [ω − 1]1/2[ω + 2] (1)

또한, 확률변수 X의 4차평균적률은 ω2[ω − 1]2[ω4 + 2ω3 + 3ω2 − 3]u4이다. 따라서, 첨도는

다음과 같다.

β2 =ω2[ω − 1]2[ω4 + 2ω3 + 3ω2 − 3]u4

u4ω2[ω − 1]2= ω4 + 2ω3 + 3ω2 − 3 (2)

<정리 6.6.2>에서 알 수 있듯이, 대수정규확률분포 LN (µ, σ2)인 경우에, 식 ω =

exp(σ2) > 1이 성립하고, 왜도√β1은 양수이며, 또한 첨도 β2는 항상 3보다 크다.

이후, k차평균적률 E([X−µ]k)의추정량으로다음과같은 k차표본평균적률을사용하자.

mk.=

1

n

n∑i=1

[Xi − X]k, (k = 2, 3, · · · ) (6.6.1)

왜도√β1과 첨도 β2를 각각 다음과 같이 추정할 수 있다.

√b1

.=

m3

m3/22

, b2.=m4

m22

(6.6.2)

다음 정리는 왜도와 첨도의 적률추정량들에 관한 것이다. 이 정리는 Bera-Jarque검정법

(1982)을 유도하는데 중요한 역할을 한다.

통계적 수렴성 277

정리 6.6.3

만약 X ∼ N (µ, σ2)이면, 다음 식들이 성립한다.

(a) E(√b1)= 0

(b) V ar(√b1)= 6[n−2]

[n+1][n+3] ≈6n

(c) E(b2) =3[n−1]n+1 ≈ 3

(d) V ar(b2) =24n[n−2][n−3]

[n+1]2[n+3][n+5]≈ 24

n

제6.7절 통계적 수렴성

이 소절에서 소개하는 정리들의 증명은 본서의 수준을 넘는다. 이들의 증명은 확률론 책을

참조하라.

6.7.1 평균제곱수렴과 Lp-수렴

Ito적분은 확률미분방정식을 사용해서 금융파생상품의 가치를 평가하는데 가장 중요한 수리

적 도구이고, Ito적분을 정의하기 위해서는 평균제곱수렴 (mean square convergence)이라는

개념이필요하다. 따라서, 평균제곱수렴은재무이론에서아주중요한것이다. 평균제곱수렴을

확장한 Lp-수렴을 정의하기 위하여, 먼저 다음과 같은 표기법을 정의하자.

정의 6.7.1

어떤 p(= 1, 2, · · · )에 대해서, 확률변수 X가 E( | X |p) <∞를 만족하면, 식 X ∈ Lp로

표기한다.

정의 6.7.2

어떤 p(= 1, 2, · · · )에 대해서, 확률변수열 Xn ∈ LP 와 확률변수 X(∈ LP )가 다음 식을

만족한다고 하자.

limn→∞

E( | Xn −X |p) = 0


이 확률변수열 Xn은 확률변수 X에 LP -수렴한다 (converge in LP ) 하고, 다음과 같이

표기한다.

XnLP

−−→ X

특히, p = 2이면, Lp-수렴을 평균제곱수렴이라 한다.

만약 확률변수열 Xn이 확률변수 X에 평균제곱수렴하면, n이 커짐에 따라 오차항

ϵn.= Xn − X의 분산은 0으로 수렴한다. 그러나, 만약 n이 유한이면, ϵn의 분산은 작지만

반드시 0이라고 할 수는 없다. 따라서, 수치계산을 할 때에는 반드시 이러한 근사오차를

명시적으로 고려해야 한다. 한 예로, ϵn의 표준편차 추정값을 사용해서, 근사오차를 고려할

수도 있을 것이다.

6.7.2 분포수렴

정의 6.7.3

각 n(= 1, 2, · · · )에 대해서, 확률변수 Xn의 확률분포함수를 Fn(x)라 하자. 또한, 확률

변수 X의 확률분포함수를 F (x)라고 하자. 만약 함수 F (x)가 연속인 각 점 x에서 식

limn→∞

Fn(x) = F (x)가 성립하면, 확률변수열 Xn이 X에 분포수렴한다 (converge in

distribution) 또는 약수렴한다 (convergence weakly) 하고, 다음과 같이 표기한다.

Xnd−→ X

또한, F를 확률분포함수열 Fn의 극한분포 (limiting distribution)라 한다.

다음 정리가 성립함은 자명하다.

정리 6.7.1

각 n(= 1, 2, · · · )에 대해서 확률변수 Xn의 확률분포가 Pn이고, 확률변수 X의 확률분

포가 P라고 하자. 임의의 유계이고 연속인 실함수 g에 대해서 다음 식이 성립한다고

가정하자.

EPn(g(Xn)) → EP (g(X))

여기서 EPn(g(Xn))은 확률분포 Pn 하에서 g(Xn)의 기대값이고, EP (g(X))는 확률분포


P 하에서 g(X)의 기대값이다. 이 가정이 성립하면, 확률변수열 Xn은 확률변수 X에

분포수렴한다.

<정리 6.7.1>에 따르면, 임의의 함수 g에 대해서 두 확률변수들 g(Xn)과 g(X)가 충분히

가까운 기대값들을 가지면, Xn은 X에 분포수렴한다. 즉, Xn과 X는 반드시 아주 가까운

값을 가질 필요는 없지만, n이 큰 경우에 Xn과 X는 아주 가까운 확률분포를 따르게 된다.

모수 n이 무한히 커질 때, 확률변수 Xn이 갖는 값들은 흥미의 대상이다. 예를 들어, Ito

적분을 정의하기 위해서는, 먼저 단순한 형태의 확률분포들을 갖는 확률변수들을 만든다.

여기서각확률변수는모수 n에의존하고있다. 다음단계로극한 n→ ∞를취하면, 이단순한

확률변수들이 Ito적분에 평균제곱수렴한다. 즉, Ito적분을 정의할 때는 확률변수가 갖는 값

들이 관심의 대상이며, 또한 평균제곱수렴을 필요로 한다. 그러나, 다른 상황에서는 확률변수

Xn이 갖는 값들이 중요하지 않을 수도 있다. 그 대신에 확률변수열 Xn의 기대값들이 주된

관심사일 수도 있다. 예를 들어, 원자산을 St로 하는 어떤 금융파생상품의 만기시점 T에서

가격을 F (ST , T )라고 하자. 제4.4절에서 간단히 설명했듯이, 시장모형에 재정이 존재하지

않는 경우에는 위험중립확률측도 Q가 존재하고, 이 금융파생상품의 시점 t(< T )에서 공정한

가치는 다음 식을 만족한다.

F (St, t) = er[T−t]EQt (F (ST , T )) (6.7.1)

이 경우에는 만기시점 T에서 원자산 ST 자체가 아닌 ST 의 함수인 F (ST , T )의 기대값

EQt (F (ST , T ))를 계산해야 한다. 만약 ST 로 분포수렴하는 확률변수열 S(n)

T | n = 1, 2, · · ·

을 구할 수 있고, 또한 만약 확률변수 ST 의 함수 F (ST , T )의 기대값 EQt (F (ST , T ))보다

확률변수 S(n)T 의 함수 F (S

(n)T , T )의 기대값 EQ

t (F (S(n)T , T ))를 계산하는 것이 쉽다면, 충분히

큰 n에대한기대값 EQt (F (S

(n)T , T ))를기대값 EQ

t (F (ST , T ))의근사로사용하는것이편리할

것이다. 특히 ST 가 연속형 확률변수이지만 S(n)T 은 이산형 확률변수인 경우에는, 컴퓨터를

사용할 때 ST 보다는 S(n)T 이 다루기가 훨씬 쉬울 것이다. 물론 반대의 경우도 많다.

예제 6.7.1 구간 (0, 1)에서 일양난수들 (uniform random numbers) ϵ1, ϵ2, · · · , ϵn을 추출했

다고 하자. 고정된 시점 t(∈ (0, 1))와 각 i(= 1, 2, · · · , n)에 대해서 다음과 같이 확률변수


Xi(t)를 정의하자.

Xi(t).=

1, (ϵi ≤ t)

0, (ϵi > t)

(1)

또한, 다음과 같은 확률변수 Sn(t)를 정의하자.

Sn(t).=

1√n

n∑i=1

[Xi(t)− t] (2)

이 Sn(t)는 점 t = ϵi, (i = 1, 2, · · · , n)에서 점프하는, 즉 구간 (0, 1)에서 구분적으로 연속인

(piecewise continuous) 함수이다. 만약 n → ∞이면, 점프들의 개수가 증가되고 따라서

Sn(t) | t ∈ (0, 1)의 변동이 더욱 빈번해진다. 반면에, 점프들의 크기는 감소해 간다. 결국,

만약 n → ∞이면, 각 시점 t에서 Sn(t)는 정규확률분포를 따르는 확률변수에 아주 가깝게

된다. 즉, Sn(t) | t ∈ (0, 1)은 정규확률분포에 따르는 확률과정처럼 움직이게 되어 간다.

따라서, 큰 n에 대해서는 Sn(t) | t ∈ (0, 1)보다는 Gaussian확률과정을 다루는 것이 쉬울

것이다. 이 예제에서는 n이 커짐에 따라 점프하는 점들의 개수도 증가한다는 것을 강조해

둔다.

다음에기술하는연속성정리(continuity theorem)는확률분포의극한을조사하는데 매우

중요한 것이다.

정리 6.7.2

각 n(= 1, 2, · · · )에 대해서 확률분포함수 Fn(x)의 적률모함수가 Mn(t)라고 하자. 다음

명제들이 성립한다.

(a) 만약 확률분포함수열 Fn이 F에 수렴하면, 극한함수 F (x)의 적률모함수 M(t)는


limn→∞

Mn(t) =M(t), (−ϵ < t < ϵ)

여기서 ϵ은 어떤 양수이다.


(b) 적률모함수열 Mn(t)가 다음 식을 만족한다고 가정하자.

limn→∞

Mn(t) =M(t), (−ϵ < t < ϵ)

만약M(t)가점 t = 0에서연속이고또한어떤확률분포함수 F의적률모함수이면,

확률분포함수열 Fn이 확률분포함수 F에 수렴한다.

6.7.3 확률수렴

통계학에서 가장 중요한 정리 중 하나인 약대수법칙 (weak law of large numbers: WLLN)을

설명하기 위해서는, 확률수렴 (convergence in probability)이라는 개념이 필요하다.

정의 6.7.4

임의의 ϵ(> 0)에 대해서, 확률변수열 Xn과 확률변수 X가 다음 식을 만족한다고 하자.

limn→∞

Pr( | Xn −X | < ϵ) = 1

이 확률변수열 Xn은 확률변수 X에 확률수렴한다 하고, 다음과 같이 표기한다.

XnP−→ X 또는 plim

n→∞Xn = X

정리 6.7.3

각 n(= 1, 2, · · · )에 대해서, 확률변수 Xn의 확률분포함수를 Fn(x)라 하자. 또한, 확

률변수 X의 확률분포함수를 F (x)라 하자. 만약 확률변수열 Xn이 확률변수 X에

확률수렴하면, 확률분포함수열 Fn은 확률분포함수 F 에 수렴한다. 즉, 확률변수열

Xn은 확률변수 X에 분포수렴한다.

정리 6.7.4


만약 확률변수열 Xn이 확률변수 X에 Lp-수렴하면, 이 확률변수열 Xn은 확률변수

X에 확률수렴한다.

6.7.4 개수렴

강대수법칙 (strong law of large numbers: SLLN)strong law of large numbers을 설명하기

위해서는, 거의 모든 점에서 수렴한다 (converge almost everywhere 또는 converge almost

surely)는 개념이 필요하다. 본저자는 이러한 수렴을 개수렴 (槪收斂)이라 부를 것이다. 이

개수렴이라는 단어는 일본에서 사용되는 것이나, 그렇게 부르는 것이 여러모로 좋을 것 같아

이 단어를 차용해서 사용하고자 한다.

정의 6.7.5

임의의 ϵ(> 0)에 대해서, 확률변수열 Xn과 확률변수 X가 다음 식을 만족한다고

가정하자.

Pr(

ω

∣∣∣∣ limn→∞

| Xn(ω)−X(ω) | < ϵ

)= 1

이 확률변수열 Xn은 확률변수 X에 개수렴한다고 하고, 다음과 같이 표기한다.

Xn → X a.s. 또는 Xn → X a.e.

<정의 6.7.5>는 표준적 미적분에서 이용되는 극한의 자연스러운 확장이다. 이 정의에서

는, n이 무한히 커짐에 따라 두 확률변수들의 차이가 무시할 수 있을 정도로 작아지는 것을

의미한다. 평균제곱수렴의 경우에 0으로 수렴하는 것은 분산이었다. 그러나, 개수렴은 거의

모든 기초사건 ω에서 Xn(ω)와 X(ω)의 차이가 0에 수렴함을 의미한다.

정리 6.7.5

만약 확률변수열 Xn이 확률변수 X에 개수렴하면, 이 확률변수열 Xn은 확률변수

X에 확률수렴한다.


6.7.5 대수법칙과 중심극한정리

대수법칙 (law of large numbers: LLN)과 중심극한정리 (central limit theorem: CLT)는

통계학뿐 아니라 금융파생상품이론에서 매우 중요한 역할을 한다.

정리 6.7.6: Khinchine의 약대수법칙

만약서로독립이고동일한확률분포를따르는확률변수열 Xn에서각 n에대해기대값

E(Xn)이 존재하고 또한 이 값이 유한이면, 다음 식이 성립한다.

XnP→ E(X1)

여기서 표본평균 Xn는 1n

n∑i=1

Xi이다.

정리 6.7.7: Chebyshev의 약대수법칙

확률변수열 Xn이 다음 식들을 만족한다고 하자.

E(Xn) = µn <∞, V ar(Xn) = σ2n <∞, Cov(Xn, Xm) = 0, (n = m)

또한, 다음 식이 성립한다고 가정하자.

limn→∞

1

n2

n∑i=1

σ2i = 0

이러한 조건 하에서 다음 식이 성립한다.

1

n

n∑i=1

[Xi − µi]P→ 0

정리 6.7.8: Khinchine의 강대수법칙

서로 독립인 확률변수들 X1, X2, · · · 이 다음 식들을 만족한다고 하자.

E(Xn) = µn <∞, V ar(Xn) = σ2n <∞


또한, 다음 식이 성립한다고 가정하자.

∞∑n=1

σ2nn2

<∞


1

n

n∑i=1

[Xi − µi] → 0 a.s.

정리 6.7.9: Lindberg-Lévy의 중심극한정리

확률변수열 Xn이 다음 조건을 만족한다고 하자.

Xn ∼ i.i.d.(µ, σ2), (n = 1, 2, · · · )

여기서 σ2 > 0이다. 이러한 조건 하에서 다음 식이 성립한다.

√n[Xn − µ]

σ

d→ N (0, 1)

정리 6.7.10: Lindberg-Feller의 중심극한정리

서로 독립인 확률변수들 X1, X2, · · · 이 다음 식들을 만족한다고 하자.

E(Xn) = µn <∞, V ar(Xn) = σ2n <∞, E( | Xn − µn |3) <∞

또한, 다음 식이 성립한다고 하자.

limn→∞

n∑i=1

| Xi − µi |3[n∑

i=1σ2i

]3/2 = 0

다변량정규확률분포 285


n∑i=1

[Xi − µi]√n∑

i=1σ2i

d→ N (0, 1)

제6.8절 다변량정규확률분포

시장에는 다수의 증권들이 존재하므로, 이들을 동시에 다루기 위해서는 다변량확률분포들을

이용할 필요가 있다. 특히, 연속시간형 재무모형들을 다루기 위해서는 다변량정규확률분포를

이해하고 있어야 한다. 다변량정규확률분포에 대한 자세한 내용은 SAS4TSA3 하권의 제

11.2절이나 Anderson (2003)을 참조하라.

정의 6.8.1

각 i(= 1, 2, · · · , n)에 대해서, 확률변수 Xi의 평균이 µi이고 분산이 σii.= σ2i 라 하자.

또한, 확률변수들 Xi와 Xj 의 공분산을 σij 라고 하고, 다음과 같은 벡터들과 행렬을

정의하자.

XXX.=

X1

X2

...

Xn

, µµµ.=

µ1

µ2...

µn

, Σ.=

σ11 σ12 · · · σ1n

σ21 σ22 · · · σ2n...

.... . .

...

σn1 σn2 · · · σnn

이XXX를 평균벡터가 µµµ이고 분산공분산행렬이 Σ인 n차원 확률벡터(random vector)라고

하고, 다음과 같이 표기한다.

XXX ∼ (µµµ,Σ)

정리 6.8.1


확률벡터 XXX ∼ (µµµ,Σ)이면, 행렬 A에 대해서 다음 식이 성립한다.

AXXX ∼ (Aµµµ,AΣAt)

정의 6.8.2

만약 임의의 n차원 열벡터 aaa에 대해서 aaatXXX가 정규확률분포를 따르면, 확률벡터XXX가 (n

차원) 다변량정규확률분포를 따른다고 한다. 또한, 이 정규확률벡터 XXX의 평균벡터가 µµµ

이고 분산공분산행렬이 Σ이면, 다음과 같이 표기한다.

XXX ∼ Nn (µµµ,Σ)

정리 6.8.2

만약 XXX ∼ Nn(µµµ,Σ)이면, 확률벡터 XXX의 결합확률밀도함수는 다음과 같다.

f(xxx) =1

[2π]n/2 | Σ |1/2exp

(−1

2[xxx−µµµ]tΣ−1[xxx−µµµ]

)

정의 6.8.3

확률벡터XXX에 대해서 m(ttt).= E(exp(ttttXXX))와 ϕ(t)

.= E(exp(ittttXXX))를 각각 확률벡터XXX

의 적률모함수 (moment generating function)와 특성함수 (characteristic function)라고

한다. 여기서 ttt는 실벡터이다.

다음정리는뒤에서 Girsanov정리를유도하는데중요한역할을한다.

정리 6.8.3

다변량정규확률분포 287

만약 XXX ∼ Nn(µµµ,Σ)이면, 확률벡터 XXX의 적률모함수와 특성함수는 각각 다음과 같다.

m(ttt) = exp(ttttµµµ+

1

2ttttΣttt

)ϕ(ttt) = exp

(ittttµµµ− 1

2ttttΣttt

)

정리 6.8.4

만약XXX ∼ N\(µµµ,Σ)이고, 또한 만약 m ≤ n이면, 행렬 Am×n에 대해서 다음 식이 성립한

다.

AXXX ∼ Nm

(Aµµµ,AΣAt

)

정리 6.8.5

확률벡터 XXX ∼ Nn(µµµ,Σ)에 대해서, 벡터들과 행렬을 다음과 같이 분할하자.

XXX.=

XXX1

XXX2

, µµµ.=

µµµ1

µµµ2

, Σ.=

Σ11 Σ12

Σ21 Σ22

여기서XXX1과 µµµ1은 m차원 열벡터들이고, Σ11은 m×m행렬이다. 다음 식들이 성립한다.

XXX1 ∼ Nm(µµµ1,Σ11)

XXX2 ∼ Nn−m(µµµ2,Σ22)

XXX1 |XXX2 ∼ Nm

(µµµ1 +Σ12Σ

−122 [XXX2 −µµµ2],Σ11·2

)여기서 Σ11·2

.= Σ11 − Σ12Σ

−122 Σ21이다.

<정리 6.8.5>를설명하면다음과같다. 평균벡터가 µµµ이고분산공분산행렬이 Σ인정규확

률벡터XXX의 부분벡터인XXX1은 평균벡터가 µµµ1이고 분산공분산행렬 Σ11인 정규확률벡터이다.

또한,XXX2가 주어진 조건 하에서XXX1은 평균벡터가 µµµ1 +Σ12Σ−122 [XXX2 −µµµ2]이고 분산공분산행

렬이 Σ11·2인 정규확률벡터이다.


정리 6.8.6

만약 XXX ∼ Nn(µµµ,Σ)이고, 또한 만약 A가 양정치행렬이면, 확률변수들 XXXtAXXX와 BXXX가

서로 독립이기 위한 필요충분조건은 BΣA = O이다.

정리 6.8.7

만약 XXX ∼ Nn(µµµ,Σ)이고, 또한 만약 A1과 A2가 양정치행렬들이면, 확률변수들 XXXtA1XXX

와 XXXtA2XXX가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은 A1ΣA2 = O이다.

제6.9절 안정Pareto분포와 포트폴리오

Mandelbrot (1963)이나 Fama (1965)는 주가수익률의 경험분포 (empirical distirbution)를

면밀하게 관찰하고, 주가수익률의 확률분포가 정규확률분포보다 꼬리 (tail)가 두꺼운 안

정Pareto분포 (stable Paretian distribution: SPD)에 가깝다고 결론을 내렸다. 이 결론에

의하면, 분산보다 좀 더 현실적 요구에 적합한 위험척도를 구하고, 이러한 위험척도 하에서

자산가치평가문제나 포트폴리오선택문제를 생각할 필요가 있다.

6.9.1 안정Pareto분포

일반적으로 안정Pareto분포는 분산 또는 평균을 갖지 않는 확률분포이고, 따라서 확률분포함

수가 명시적으로는 표현되지 않고 특성함수 (characteristic function)를 이용해서 정의된다.

따라서, 이러한 안정Pareto분포를 포트폴리오선택문제에 도입하면, 문제가 수리적으로 상당

히 복잡해진다. 안정Pareto분포에 대한 자세한 내용은 Rachev & Mittnik (2000)와 J. P.

Nolan교수의 웹사이트 academic2.american.edu/∼jpnolan을 참조하라.

정의 6.9.1

만약 확률벡터 yyy.= [y1, y2, · · · , yp]t의 특성함수 ϕyyy(ttt)가 다음 식을 만족하면, yyy의 확률분

안정Pareto분포와 포트폴리오 289

포를 안정Pareto분포라고 한다.

lnϕyyy(ttt) = iaaatttt− 1

2

m∑k=1

[ttttΩkttt]α/2

여기서 Ω1,Ω2, · · · ,Ωm 은 양정치행렬들로서 척도모수들 (scale parameters)이라 하

고, aaa는 실벡터로서 위치모수 (location parameter)라 하며, α(∈ (0, 2])는 특성지수

(characteristic exponent)라 하고, m은 yyy를 독립된 그룹들로 분할했을 때 분할개수이다.

정의 6.9.1에서, 확률변수들 y1, y2, · · · , yp가 서로 독립이라면, m = p이다. 만약 α = 2

이면, 해당 확률분포는 정규확률분포이다. 만약 α ∈ (0, 2)이면, 해당 확률변수는 분산을 갖지

않는다. 따라서, 확률분포함수를 명시적으로 적을 수 없는 경우가 대부분이다. 즉, 명시적

형태의 확률분포함수가 아닌 특성함수로 정의되는 것이 안정Pareto분포의 특징 중 하나이다.

6.9.2 안정Pareto분포의 적률추정

관측벡터들 yyy1, yyy2, · · · , yyyN 이 주어졌을 때, 최우추정법 등 다양한 방법으로 안정Pareto분포의

모수들 α,aaa,Ω1,Ω2, · · · ,Ωm을추정할수있다. 그러나, 적률추정법을제외한나머지방법들은

본서의 수준을 넘는다. 이 소절에서는 적률추정법을 간단하게 소개하고자 한다.

이 소절에서는 m = 1인 경우만을 다루기로 하자. 이 경우에 특성함수는 다음과 같다.

lnϕyyy(ttt) = iaaatttt− 1

2[ttttΩ1ttt]

α/2 (6.9.1)

여기서 Ω1.= [ωi,j ]이다. 특성함수의 정의는 다음과 같다.

ϕyyy(ttt).= E(exp(ittttyyy)) = E(cos ttttyyy + i sin ttttyyy) (6.9.2)


ϕyyy(ttt) = exp(iaaatttt) exp(−1

2[ttttΩ1ttt]

α/2

)(6.9.3)


ln | ϕyyy(ttt) | = −1

2[ttttΩ1ttt]

α/2 (6.9.4)


특성함수의 추정량은 다음과 같다.

ϕyyy(ttt) =1

N

N∑n=1

(cos ttttyyyn + i sin ttttyyyn) (6.9.5)

첫째,특정지수 α를추정하기위해서,우선벡터들 sss1.= [s1, 0, · · · , 0]t와 sss2

.= [s2, 0, · · · , 0]t

를 정의하자. 식 (6.9.4)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

| sk |α[ω11]α/2 = −2 ln | ϕyyy(sssk) | , (k = 1, 2) (6.9.6)


∣∣∣∣ s2s1∣∣∣∣α =

ln | ϕyyy(sss2) |ln | ϕyyy(sss1) |

(6.9.7)

식 (6.9.7)의 ϕyyy(sss1)와 ϕyyy(sss2)에 식 (6.9.5)의 추정값들 ϕyyy(sss1)와 ϕyyy(sss2)를 대입하면, 다음과

같은 특성지수 α의 적률추정값을 얻는다.

α.=

1

ln∣∣∣ s2s1

∣∣∣ ln(

ln | ϕyyy(sss2) |ln | ϕyyy(sss1) |

)(6.9.8)

둘째, 행렬 Ω1을 추정하기로 하자. 식 (6.9.4)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

ttttΩ1ttt = [−2 ln | ϕyyy(ttt) | ]2/α (6.9.9)

행렬 Ω1은 대칭이므로, 이 행렬에서 추정해야 할 원소들의 개수는 P.= p[p + 1]/2이다.

영벡터가 아니며 서로 다른 벡터들 sss1, sss2, · · · , sssP 를 선택하자. 다음 식들이 성립한다.

ssstkΩ1sssk = [−2 ln | ϕyyy(sssk) | ]2/α, (k = 1, 2, · · · , P ) (6.9.10)

식 (6.9.10)는 P개 미지수들을 갖는 연립방정식이다. 따라서, 연립방정식 (6.9.10)을 풀면,

Ω1의 적률추정량 Ω1이 구해진다.

셋째, 위치모수 aaa를 추정하기로 하자. 복소수 z의 허수부분을 ℑ(z)로 표기한다. 대수특

성함수 u(ttt).= ℑ(lnϕyyy(ttt))는 다음 식을 만족한다.

u(ttt) = aaatttt (6.9.11)


여기서 ℑz은 복소수 z의 허수부이다. 식 (6.9.5)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

ϕyyy(ttt) =

[1

N

N∑n=1

cos ttttyyyn

]2+

[1

N

N∑n=1

sin ttttyyyn

]21/2

exp

i tan−1

N∑

n=1sin ttttyyyn

N∑n=1

cos ttttyyyn

(6.9.12)


ln ϕyyy(ttt) =1

2ln

[ 1

N

N∑n=1

cos ttttyyyn

]2+

[1

N

N∑n=1

sin ttttyyyn

]2+ i tan−1

N∑

n=1sin ttttyyyn

N∑n=1

cos ttttyyyn

(6.9.13)

식 (6.9.13)을 이용해서, u(ttt)를 다음과 같이 추정하기로 하자.

u(ttt).= ℑ(ln ϕyyy(ttt))

.= tan−1

N∑

n=1sin ttttyyyn

N∑n=1

cos ttttyyyn

(6.9.14)

영벡터가 아니며 서로 다른 벡터들 sss1, sss2, · · · , sssp를 선택한 다음, 식 (6.9.14)를 사용해서

u(sss1), u(sss2), · · · , u(sssp)를 계산한다. 다음 식들이 성립한다.

ssstkaaa = u(sssk), (k = 1, 2, · · · , p) (6.9.15)


ssst1

ssst2...

ssstp

aaa =

u(sss1)

u(sss2)

...

u(sssp)

(6.9.16)

선형연립방정식 (6.9.16)의 해가 위치모수 aaa의 적률추정량 aaa이다.

이러한 적률추정법은 임의로 선택하는 s1값과 s2값이 추정결과에 큰 영향을 미친다. 동일

한 방법을 사용해서, m이 2 이상인 경우에도 모수들을 추정할 수 있다. 최근에는 적률추정법


이외에도 다양한 추정방법들이 제시되고 있다.

6.9.3 포트폴리오선택

제6.9.2소절에서 소개한 적률추정량들을 사용해서, 수익률이 안정Pareto분포를 따르는 위험

자산에 대한 포트폴리오선택문제를 살펴보자.

시장에는 N개 위험자산들이 존재하고, 각 위험자산은 안정Pareto분포를 따른다고 하자.

이 안정Pareto분포들을 서로 독립인 그룹들로 분류하고, 각 그룹을 특징짓는 평균적인 특성

지수를 구한다. 이 특성지수들에서 서로 비교적 가까운 값들이 있다면, 이 가까운 값들을 갖는

그룹들을 통합한다. 결과적으로, 이 N개 위험자산들이 K개 그룹들로 분할된다고 하자. 제k

번째 그룹에는 pk개 위험자산들이 존재한다고 하면, 다음 식이 성립한다.

K∑k=1

pk = N (6.9.17)

제k번째 그룹은 pk차원 안정Pareto분포로 특징지어진다고 하자. 이 그룹의 특성지수를 αk

라 하자. 또한, 제k번째 그룹에는 위험자산들이 pk개 존재하지만, 그 수익률을 나타내는

확률변수들을 서로 독립인 그룹들로 분할한 경우에 분할수가 mk라 하자. 만약 mk = 1이면,

pk개 위험자산들의 수익률들은 서로 종속적이다. 만약 mk = pk이면, pk개 위험자산들의

수익률들은 선형독립이다.

제k번째 그룹에 속한 위험자산들의 수익률벡터를 RRRk라 하면, RRR .= [RRRt

1,RRRt2, · · · ,RRRt

K ]t는

모든위험자산들의수익률들을나타내는 N차원벡터이다. 앞에서기술한구성방법으로부터,

RRR1,RRR2, · · · ,RRRK 는 서로 독립인 확률벡터들임을 알 수 있다. 수익률벡터 RRRk 의 특성함수

ϕRRRk(tttk)가 다음과 같다고 하자.

lnϕRRRk(tttk) = ittttkaaak −

1

2

mk∑l=1

[ttttkΩl,ktttk]αk/2 (6.9.18)

여기서 Ωl,k 는 pk × pk 행렬임을 기억하라. 제k번째 그룹에 속한 위험자산들에 투자하는

포트폴리오를 pk차원벡터 θθθk라 하면, 다음 식이 성립한다.

K∑k=1

111tkθθθk = 1 (6.9.19)

포트폴리오 θθθk에의한수익률은 rk.= θθθtkRRRk이다. 따라서, 전체포트폴리오 θθθ

.= [θθθt1, θθθ

t2, · · · , θθθtK ]t


에 의한 총수익률 RRRθθθ는 다음과 같다.

Rθθθ.= θθθtRRR =

K∑k=1

θθθtkRRRk =K∑k=1

rk (6.9.20)

총수익률 Rθθθ의 특성함수는 다음과 같다.

ϕRRRθθθ(λ) = E

(eiλθθθ

tRRR)= ϕyyy(λθθθ) (6.9.21)

수익률벡터RRRk가 pk차원안정Pareto분포를따르므로, 제k번째그룹의포트폴리오 θθθk에의한

수익률 rk의 특성함수는 다음과 같다.

ϕrk(λ) = E(eiλrk) = E(eiλθθθ

tkRRRk

)= ϕRRRk

(λθθθk) (6.9.22)


lnϕrk(λ) = iλθθθtkaaak −1

2

mk∑l=1

| λ |αk [θθθtkΩl,kθθθk]αk/2 (6.9.23)

가정에 의해서 확률벡터들 RRR1,RRR2, · · · ,RRRK가 서로 독립이므로, 다음 식들이 성립한다.

lnϕRθθθ(λ) =

K∑k=1

lnϕrk(λ)

=K∑k=1

iλθθθtkaaak −

1

2

mk∑l=1

| λ |αk [θθθtkΩl,kθθθk]αk/2

= iλθθθtaaa− 1

2

K∑k=1

mk∑l=1

| λ |αk [θθθtkΩl,kθθθk]αk/2 (6.9.24)

여기서 aaa.= [aaat1, aaa

t2, · · · , aaatK ]t이다. 따라서, 총수익률 Rθθθ의 확률분포는 안정Pareto분포가

아니다.

포트폴리오 θθθ에 대한 위험 δ(θθθ)를 독립인 K개 수익률벡터들RRR1,RRR2, · · · ,RRRK에 대응하는

척도모수들의 합이라고 정의하자. 즉, 다음 함수를 정의하자.

δ(θθθ).=

K∑k=1

1

2

mk∑l=1

[θθθtkΩl,kθθθk]αk/2

1/αk

(6.9.25)

이 δ(θθθ)를일반화된퍼짐(generalized dispersion)이라부른다. 각 l(= 1, 2, · · · ,mk)에대해서


Ωl,k가 반양정치행렬이고, 적어도 하나의 l (∈ 1, 2, · · · ,mk)에 대해서 Ωl,k가 양정치행렬이

라고 가정하자. 이러한 가정 하에서 δ(θθθ)는 양수이다.

포트폴리오 θθθ의 위치모수 θθθtaaa를 δ(θθθ)로 나눈 θθθtaaa/δ(θθθ)를 표준화된 기대수익률로 볼 수

있다. 우리는 이 표준화된 기대수익률을 최대로 하는 포트폴리오 θθθ를 구하고자 한다. 즉,

우리의 최적화문제는 다음과 같다.

Maximize aaatθθθ

δ(θθθ)subject to θθθt111 = 1. (6.9.26)

최적화문제 (6.9.26)의 최적점 θθθ∗를 구하기 위해서, 다음과 같은 최적화문제를 살펴보자.

Maximize aaatθθθ − λδ(θθθ) subject to θθθt111 = 1. (6.9.27)


g(λ).= maxaaatθθθ − λδ(θθθ) | 111tθθθ = 1 (6.9.28)

각 θθθ(= 000)에 대하여 δ(θθθ)는 양수이다. 따라서, 방정식 g(λ) = 0는 일의적인 근 λ0를 갖는다.

제약조건 111tθθθ = 1을 만족하는 θθθ에 대해 λ.= aaatθθθ/δ(θθθ) 를 정의하자. 다음 식들이 성립한다.

g(λ).= maxaaatθθθ − λδ(θθθ) | 111tθθθ = 1 ≥ aaatθθθ − λδ(θθθ) = 0 (6.9.29)

최적화문제 g(λ∗).= maxaaatθθθ − λ∗δ(θθθ) | 111tθθθ = 1의 최적점은 θθθ = θθθ∗이다. 이 최적값을

g∗.= g∗(λ∗)

.= g∗(θθθ∗, λ∗)로 표기하자. 다음 명제가 성립한다.

λ∗ =aaatθθθ∗

δ(θθθ∗)= max

aaatθθθ

δ(θθθ)

∣∣∣∣ 111tθθθ = 1

⇔ g∗ = maxaaatθθθ − λ∗δ(θθθ) | 111tθθθ = 1 = 0 (6.9.30)

따라서, 최적화문제 (6.9.26)의 최적점이 θθθ∗이기 위한 필요충분조건은 최적화문제 (6.9.27)

의 최적점이(θθθ∗, λ∗

.= aaatθθθ∗

δ(θθθ∗)

)이며 식 g(λ∗) = 0이 성립하는 것이다. 그러나, 이 최적점 θθθ∗

가 일의적이라고 말할 수는 없다. 구조적으로 볼 때 최적화문제 (6.9.26)보다는 최적화문제

(6.9.27)이 간단하다. 즉, 모수 λ의 값을 변화시키면서 g(λ)를 구한 다음, 식 g(λ) = 0를

만족하는 해를 구하면, 이 해가 최적화문제 (6.9.26)의 해이다.

제7장

확률과정론의 기초

확률과정이란 시간의 변화에 따라 변하는 확률변수들의 집합으로, xt | t ∈ A로 표기한다.

첨자의 첨자를 피하기 위해서, xt 대신에 x(t)로 표기하기도 한다. 여기서 시점들의 집합 A

의 예로는 (−∞,∞), [0,∞), [0, T ], 0, 1, . . . 등이 있다. 만약 집합 A를 명시하지 않아도

혼란이 생기지 않으면, A를 명시하지 않는다. 만약 집합 A가 가산 (countable)이면, 이 확률

과정을 이산시간형이라 한다. 만약 집합 A가 연속인 시간구간이면, 이 확률과정을 연속시간

형이라 한다. 이 장에서는 확률미적분을 이해하는데 필요한 확률과정에 대한 기초적 이론을

설명하고자 한다. 금융공학에 필요한 확률과정론에 관한 좀 더 자세한 내용은 IM&F11의 제

5장을 참조하라.

제7.1절 확률보행

7.1.1 단순확률보행

제5장에서 보았듯이, 금융자산가격을 나타내는 간단한 방법은 이항나무모형을 사용하는

것이다. 이항나무모형을 나타내는 확률과정은 단순확률보행 (simple random walk)이다. 이

절에서는 확률보행 (random walk)에 대해서 좀 더 자세히 살펴보자.

Reuters나 Bloomberg 등에서 실시간으로 제공되고 있는 어떤 금융자산가격 S(t)를 모니

터하고 있는 시장참가자를 생각해 보자. 비록, S(t) | t ∈ [0, T ]가 연속시간형 확률과정이라

하더라도, 현실적으로시장참가자는어떤시간간격 δ (> 0)로시장가격을관찰할수밖에없다.

시간구간 [0, T ]의 분할 Π를 다음과 같이 정의하자.

Π.= 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tM = T (7.1.1)

295

296 제 7장 확률과정론의 기초

또한, 다음 값들을 정의하자.

δ.=

T

M, tm

.= mδ, (m = 0, 1, · · · ,M) (7.1.2)

시간구간 (tm, tm+1]에서 St의 확률차분을 다음과 같이 정의하자.

∆Stm.= Stm+1 − Stm (7.1.3)

만약 δ가 충분히 짧은 시간간격이면, 각 시점 tm에서 금융자산가격 Stm 은 다음 두 가지

가능성들 중에서 한 가지 변화만을 일으킨다고 가정할 수 있다. 한 가능성은 1단위 상승, 즉

업틱 (uptick)이다. 이 경우에, 시점 tm에서 확률차분을 ∆Stm =√δ라 하자. 다른 가능성은

1단위 하락, 즉 다운틱 (downtick)이다. 이 경우에, 시점 tm에서 확률차분을 ∆Stm = −√δ

라 하자. 즉, ∆Stm 은 이항확률변수이다. 이 이항확률변수의 확률밀도함수가 다음과 같다고

가정하자.

Pr(∆Stm =

√δ)= p = 1− Pr

(∆Stm = −

√δ)

(7.1.4)

식 (7.1.4)에서 알 수 있듯이, 확률차분 ∆Stm 의 평균과 분산은 각각 다음과 같다.

E(∆Stm) = [2p− 1]√δ (7.1.5)

V ar(∆Stm) = 1− [2p− 1]2δ (7.1.6)

만약 ∆Stm | m = 0, 1, · · · ,M − 1이 서로 독립인 확률변수들이면, Stm을 단순확률

보행이라 한다. 특히, p = 1/2이면, Stm을 대칭단순확률보행이라 한다. 실제 시장에서

일어나는현상을나타내기에는, 단순확률보행의가정들이제약적인것처럼보인다. 예를들어,

상당히 회전율이 높은 거래일에도 ∆Stm 이 1단위 업틱√δ나 1단위 다운틱 −

√δ를 취하지

않고 전혀 변화하지 않는 소구간 (tm.tm+1]이 존재할 수 있다. 또한, 소구간 (tm.tm+1]에서

두 단위 이상의 업틱이나 다운틱이 일어나는 경우도 있을 수 있다. 그러나, 극한 M → ∞를

취함으로써, 실제 상황에서 이러한 문제점들을 어느 정도 배제할 수 있다.

확률과정 ∆Stm으로부터 생성되는 표본경로 (sample path)에 대해서 살펴보자. 이

표본경로가√δ와 −

√δ로 구성되는 수열인것은 명백하다. 만약 p[1−p] = 0이면, 시간간격 δ

가 작아짐에 따라 실현값들 ∆Stm는√δ와 −

√δ를 오가는 아주 불규칙한 궤적으로 수렴할

확률보행 297

것이다. 만약 δ가작아지면, 관찰되는시점들이가까워질뿐아니라, 틱의크기√δ가작아진다.

다음 식을 사용해서 ∆Stm의 표본경로로부터 단순확률보행 Stm의 표본경로를 구할 수

있다.

Stm = St0 +

m−1∑i=0

∆Sti , (m = 1, 2, . . . ,M) (7.1.7)

예제 7.1.1 확률보행의 표본경로를 그리기 위해서, 다음 R-파일을 실행해 보자.

1 #---------------------------------------------------------------------------2 # Filename: RandomWalk1.R3 # Generating Simple Random Walks4 # Programmed by KHW5 #---------------------------------------------------------------------------6 RandomWalk1 = function()7 set.seed(1)8 M = 309 T = 1

10 p05 = 0.511 p08 = 0.812 p02 = 0.213 delta = T/M14 ttime = seq(from=0,to=T,by=delta)15 BinoRand05 = 2*rbinom(M+1,1,p05)-116 BinoRand08 = 2*rbinom(M+1,1,p08)-117 BinoRand02 = 2*rbinom(M+1,1,p02)-118 DeltaS05 = sqrt(delta)*BinoRand0519 DeltaS08 = sqrt(delta)*BinoRand0820 DeltaS02 = sqrt(delta)*BinoRand0221 S05 = cumsum(DeltaS05)22 S08 = cumsum(DeltaS08)23 S02 = cumsum(DeltaS02)24 plot(ttime,S05,xlab="t",lwd=3,ylab=expression(S[t]),type="l",col="black", ylim=

range(-5,5))25 lines(ttime,S08,type="l",lwd=3,lty=2,col="red")26 lines(ttime,S02,type="l",lwd=3,lty=3,col="blue")27 legend(0,-3,c("p=0.5","p=0.8","p=0.2"),col=c("black","red","blue"), lty=c

(1,2,3))28 29 # End of program30 #---------------------------------------------------------------------------

이 R-파일을 실행하기 위해서, R커맨드행에서 다음 명령문을 실행하자.

>> RandomWalk1

이 R명령문을실행하면, T = 1.0이고,M = 30이며, p가 0.5, 0.8 그리고 0.2인확률보행의

표본경로들이그려진다. <그림 7.1.1>의실선은 p = 0.5에해당하는표본경로이고, 반점선은

p = 0.8에 해당하는 표본경로이고, 긴점선은 p = 0.2에 해당하는 표본경로이다.

<그림 7.1.2>에는 T = 1.0,M = 1000, 그리고 p = 0.6인 확률보행의 표본경로가 그려져

있다. <그림 7.1.2>에서 알 수 있듯이, M이 커져도 확률보행 St는 Riemann-Stieltjes


적분을 적용할 만큼 평활해지지 않는다.

그림 7.1.1. 확률보행의 표본경로들

그림 7.1.2. 소구간들의 개수가 큰 확률보행의 표본경로

확률보행 299

만약 δ → 0이면, 식 (7.1.7)을 다음과 같이 표기할 수 있을 것 같다.

St = S0 +

∫ t

0dSu (7.1.8)

즉, 초기시점 0에서 금융자산가격 S0에서 출발해서 시간구간 [0, t]에서 발생하는 무한소 증분

들 dSu를 더하면, 시점 t에서 금융자산가격 St를 얻을 수 있다. 시간구간 [0, t]에서는 이러한

무한소 증분들이 비가산 (uncountable) 개 존재한다. 따라서, 급수가 아닌 적분을 사용해야

한다. 또한, 식 (7.1.8)에서는 작은 증분을 나타내는 표기 ∆Sti 대신에 무한소 증분을 나타내는

dSu를 사용한 것에 유의하라. 무한소 증분 dSu는 결코 평활한 것이 아니다. 그렇다면, 이 dSu

들의 합으로 적분을 정의할 수 있을까? 다시 말해서, Riemann-Stieltjes류 적분을 이용할 수

있을까? 이 dSu는결정론적함수가아닌확률변수이다. 따라서, 이적분자체도확률변수이다.

그렇다면, 식 (7.1.8)의 적분을 어떻게 정의할 수 있는 것일까?

지금부터는 ST 의확률분포함수와그극한에대해서살펴보자. 각M에대해서, ST 가취할

수 있는 상태들의 개수는 M + 1이다. 식 (7.1.4)의 확률밀도함수로부터 다음 식이 성립함을

알 수 있다.

Pr (ST = S0 + k√δ) =

(M

M+k2

)p

M+k2 [1− p]

M−k2 ,

(k = −M, 2−M, . . . ,M − 2,M)

(7.1.9)

다음 식이 성립함은 명백하다

1√M

[ST − S0] =1√M

M−1∑m=0

∆Stm (7.1.10)

만약 δ가상수이면, 중심극한정리에의해아주큰M에대해서다음식이근사적으로성립한다.

1√M

[ST − S0]d→ N ([2p− 1]

√δ√M, 1− [2p− 1]2δ) (7.1.11)

만약 p = 1/2이면, 식 (7.1.11)의 우변의 극한확률분포는 존재하지 않는다. 만약 T 가 상

수이고, 또한 만약 M → ∞이면, 즉 극한 δ = T/M → 0가 성립하면, ST 가 취할 수 있는

상태들의 개수는 무한히 많아진다. 또한, 식 (7.1.5)와 식 (7.1.6)에서 알 수 있듯이, 다음



limδ→0

E(∆Stm) = 0, limδ→0

V ar(∆Stm) = 0 (7.1.12)

즉, ∆Stm 의 평균과 분산은 0에 수렴한다. 따라서, ∆Stm 은 0으로 평균제곱수렴한다. 결

과적으로, 극한확률과정 St의 표본경로는 연속적이다. 즉, 무한소 시간구간에서 St가

점프하는 경우는 없다. 또한, 중심극한정리를 사용해서, 이 확률변수 St가 정규확률분포를

따름을 증명할 수 있다. 이 극한확률과정 St를 Brown운동 또는 Wiener과정이라 부른다.

이에 대해서는 제7.5절에서 자세히 다루게 될 것이다.

지금부터는 업틱과 다운틱을 각각√δ와 −

√δ로 한 이유를 살펴보자. 식 (7.1.5)와 식

(7.1.6)에서 알 수 있듯이, ∆Stm 의 평균과 분산은 각각 다음과 같다.

E(∆Stm) = [2p− 1]√δ, Var(∆Stm) = 1− [2p− 1]2δ (7.1.13)

또한, 각 l (= 3, 4, . . . )에 대한 l차 적률은 다음과 같다.

E([∆Stm ]

l)= p+ [1− p][−1]lδl/2 (7.1.14)

극한의 정의에서 알 수 있듯이, 극한 δ → 0라는 것은 δ = 0이라는 의미를 포함한다. 즉, 만약

δ → 0이면, δ는 작은 양수이지만 0으로 간주할 수 있는 값은 아니라는 것이다. 만약 δ → 0

이면, 3차 이상 고차적률은 분산에 비해서 무시할 수 있는 값이다. 따라서, 이항확률과정의

극한행태를 조사할 때는 평균과 분산을 조사하는 것으로 충분할 것이다. 식 (7.1.13)에서

알 수 있듯이, 확률보행의 분산은 δ에 비례한다. 이는 매우 중요한 성질이다. 만약 δ가 0에

가까워지면, 분산도 O(δ)의 속도로 0에 접근해 간다. 따라서, 만약 δ가 작지만 무시할 수

없는 값이면, 이 분산 또한 무시할 수 없는 값이다. 만약 ∆Stm 의 업틱과 다운틱이 δα와 −δα

이라면, 분산은 δ2α에 비례한다. 우선, α > 1/2라고 가정하자. 만약 δ가 작으면, δ2α는 더

작은 값이다. 즉, 만약 δ가 0에 가까워지면, ∆St의 분산은 더 빠르게 0에 가까워진다. 즉,

δ 자체가 무시할 수 없는 값이라 하더라도, ∆Stm 의 분산은 무시할 수 있는 작은 값이 된다.

따라서, 확률변수 ∆Stm 은 확률적으로 상수가 된다. 즉, 만약 δ가 0에 가까워지면, 업틱 δα

와 다운틱 −δα가 상수 0에 가까워져서, 확률변수 ∆Stm 은 (확률적으로) 상수 0이라고 할 수

있다. 즉, 단위틱의 크기를√δ보다 작게 하면, 임의의 시점 t (≥ 0)에 대해서 확률적으로

St = S0라고 할 수 있다. 이는 St가 금융자산가격을 나타내는 확률과정으로 적당하지

확률보행 301

않음을 의미한다.

7.1.2 이산시간형 확률보행

다음 식을 만족하는 이산시간형 확률보행과정 xt를 생각해보자.

xt = xt−1 + ϵt, ϵt ∼ i.i.d. (0, σ2) (7.1.15)

확률변수 xt는 시점 t에서 어떤 술주정뱅이의 1차원적 위치를 나타낸다고 할 수 있다. 즉,

확률보행 xt의움직임은술취한사람의걸음걸이를묘사한다고할수있다. 식 (7.1.15)에서


xt = x0 + ϵ1 + ϵ2 + . . . + ϵt (7.1.16)

따라서, 각 시점에서 발생한 쇼크 (shock) ϵt의 영향이 없어지지 않고 시점 t 이후 확률변수

xs, (s > t)에 계속 영향을 미친다. 다음 식들이 성립한다.

E(xt) = x0, Var(xt) = tσ2, Cov (xt, xt−s) = [t− s]σ2, (t > s) (7.1.17)

예제 7.1.2 이산시간형 확률보행의 표본경로를 그리기 위해서, 다음 R-파일을 실행하자.

1 #---------------------------------------------------------------------------2 # Filename: RandomWalk2.R3 # Generating Random Walk with Normal Innovations4 # Programmed by KHW5 #---------------------------------------------------------------------------6 RandomWalk2 = function(x0=0,N=1000,sigma=4)7 set.seed(2)8 epsi = rnorm(N+1,0,sd=sigma)9 tn = seq(from=0,to=N,by=1)

10 x = x0+cumsum(epsi)11 plot(tn,x, col="black", type="l",xlab="t",ylab=expression(X[t]))12 13 # End of program14 #---------------------------------------------------------------------------


>> RandomWalk2(0,1000,4)

이 R명령문을 실행하면, x0 = 0이고 σ = 4인 이산시간형 확률보행 xt의 시간구간

[0, 1000]에서 표본경로가 그려진다. 이 표본경로가 <그림 7.1.3>이다. <그림 7.1.3>에서


시간이 흐름에 따라 확률보행 xt의 분산이 증가함을 확인할 수 있다.

그림 7.1.3. 확률보행의 표본경로

다음과 같은 추세확률보행(random walk with drift)을 살펴보자.

xt = µ+ xt−1 + ϵt, ϵt ∼ i.i.d. (0, σ2) (7.1.18)

만약 x0 = 0이면, 다음 식이 성립한다.

xt = µt+ ϵ1 + ϵ2 + . . . + ϵt (7.1.19)


E(xt) = µt, Var (xt) = tσ2, Cov (xt, xt−s) = [t− s]σ2, (t > s) (7.1.20)

따라서, µ가 추세 (trend)를 나타내는 모수임을 알 수 있다. 즉, 추세확률보행의 평균은 시점

t가 증가함에 따라 같이 증가한다. 만약 x0 = 0이고, 또한 만약 ϵt ∼ N ID(0, σ2)이면, 식

xt ∼ N (µt, σ2t)가 성립한다.

확률보행 303

예제 7.1.3 추세확률보행의 표본경로를 그리기 위해서, 다음 R-파일을 실행하자.

1 #---------------------------------------------------------------------------2 # Filename: DriftRandomWalk1.R3 # Generating Drifted Random Walk with Normal Innovations4 # Programmed by KHW5 #---------------------------------------------------------------------------6 DriftRandomWalk1 = function(x0=0,N=1000,sigma=4,mu=0.5)7 set.seed(2)8 epsi = mu+ rnorm(N+1,mean=mu,sd=sigma)9 tn = seq(from=0,to=N,by=1)

10 x = x0+cumsum(epsi)11 plot(tn,x, col="black", type="l",xlab="t",ylab=expression(X[t]))12 13 # End of program14 #---------------------------------------------------------------------------


>> RandomWalk2(0,1000,4)

이 R명령문을 실행하면, x0 = 0, σ = 4, 그리고 µ = 0.5인 이산시간형 추세확률보행의

시간구간 [0, 1000]에서 표본경로가 그려진다. 이 표본경로가 <그림 7.1.4>이다. <그림

7.1.4>에서 시간이 흐름에 따라 확률보행의 평균이 증가함을 알 수 있다.

그림 7.1.4. 추세확률보행의 표본경로


7.1.3 확률보행의 특성

이산시간형 확률보행 xt에서는 각 c (> 0)에 대해서 사상 |xt − x0| < c의 확률은 시점

t가 커짐에 따라 0에 접근한다. 이 성질을 좀 더 자세히 설명하면 다음과 같다. 확률보행에

중심극한정리를 적용하면, 다음 식이 성립한다.

xt√tσ

=1√t

t∑i=1

ϵiσ

d→ N (0, 1) (7.1.21)

따라서, 다음 근사식이 성립한다.

Pr (|xt| ≤ c) ≈ 2N

(c√tσ

)− 1 (7.1.22)


limt→∞

N

(c√tσ

)= N(0) =

1

2(7.1.23)


limt→∞

Pr (|xt| ≤ c) = 0 (7.1.24)

즉, 확률보행은 시간이 흐름에 따라 출발점에서 멀어지는 성질을 가지고 있다.

이산시간형확률보행과정 xt의 1차차분열 xt.= xt−xt−1의항들은서로독립이다.

즉, 겹치지 않는 시간구간들에서 발생한 확률보행의 변화들은 서로 독립적이다. 따라서, 1차

차분열 xt는 정상적이다. 계량경제학에서 이를 I(0)로 표기한다. 결과적으로, xt는

비정상적이다. 이를 I(1)으로 표기한다. 만약 r ≤ s ≤ t이면, 다음 식들이 성립한다.

xs − xr = ϵr+1 + · · · + ϵs, xt − xs = ϵs+1 + · · · + ϵt (7.1.25)

식 (7.1.25)에서알수있듯이, xs−xr과 xt−xs는공통적 ϵ항을갖지않는다. 따라서, xs−xr

확률보행 305

과 xt − xs는 독립이다. 또한, 다음 식들이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

Var (xt − xs) = [t− s]σ2 (7.1.26)

Cov (xs, xt) = σ2s (7.1.27)

Corr (xs, xt) =Cov(xs, xt)√

Var(xs)Var(xt)=

√s

t(7.1.28)

식 (7.1.26)에서알수있듯이, 확률보행의분산Var(xt)는시점 t와함께증가하고, 표준편차는√t에 비례해서 증가한다. 만약 s를 고정하고 극한 t → ∞를 취하면, 극한 Corr(xs, xt) → 0

이 성립한다. 그러나, 이 수렴속도는 정상적 AR모형(autoregressive model)의 경우에 비해서

훨씬 느릴 것이다. 이러한 성질을 확률보행의 장기기억성(long memory property)이라 한다.

정리 7.1.1

만약 ϵi ∼ NID(0, σ2)이면, 이산시간형 확률보행 xt는 다음 식들을 만족한다.

xt ∼ N(x0, σ2t), xt − xs ∼ N (0, [t− s]σ2), (t > s)

<정리 7.1.1>에서 알 수 있듯이, 주가가 이산시간형 확률보행을 따르면, 시점 t에서 임의

의 자연수 u에 대해 시점 t + u에서 주가 xt+u를 예측할 때 주가 xt와 동일하다고 예측하는

것이 최선이다. 따라서, 만약 주가가 확률보행을 한다면, 주가가 단기적으로 어느 방향으로

변화하는지예측할수없다. 다시말해, 전문투자자문서비스나증권분석가의수익예측, 복잡한

차트의패턴분석등근본적분석(fundamental analysis)이나기술적분석(technical analysis)

이 아무 소용없다는 것이다. 즉, 주가가 확률보행한다면, 원숭이에게 신문의 주식시세표를

겨냥해서 다트를 던지게 하여 선택한 포트폴리오와 소위 주식전문가가 심사숙고하여 선택한

포트폴리오가 별로 다르지 않은 운용성과를 올린다는 것을 의미한다. 따라서, Wall Street

에서는 확률보행이란 말을 몹시 싫어한다. 그들에 의하면, 확률보행이란 학자들이 생각해

낸 궤변으로, 투자예측가를 우습게 보기 위해 만들어 낸 말에 불과하다는 것이다. 이에 대한

논쟁에 관해서는 Malkiel (2012)와 Lo & Mackinlay (2002)를 참조하라.

예제 7.1.4 이항주가과정으로부터 확률보행을 유도하기로 하자. 시점 tk = kδ에서 주가를


Stk 라 하고, 다음 식들이 성립한다고 가정하자.

Pr (Stk+1= uStk) = 1− Pr (Stk+1

= dStk) = p (1)

여기서 u > 1, 0 < d < 1이고, u, d와 p는 시점 tk와 독립인 상수들이다. 이러한 확률과정

Stk를 이항주가과정이라 부른다. 다음 확률변수를 정의하자.

ϵtk.= lnStk+1

− lnStk (2)

이 ϵtk의 항들이 서로 독립이라고 가정하자. 다음 식들이 성립한다.

Pr (ϵtk = lnu) = 1− Pr (ϵtk = ln d) = p (3)

따라서, lnStk는 단순확률보행이다. 다음 식들이 성립한다.

E(ϵtk) = p lnu+ [1− p] ln d = µδ (4)

Var (ϵtk) = p ln2 u+ [1− p] ln2 d− p lnu+ [1− p] ln d2 = σ2 (5)

여기서 µ와 σ2는 다음과 같이 정의된다.

µ.=

1

δln(upd1−p), σ2

.= p[1− p]

[ln ud

]2(6)

따라서, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

ϵtk ∼ i.i.d. (µδ, σ2) (7)

지금부터는 이 단순확률보행과정 lnStk로부터 확률미분방정식을 유도하기로 하자.

다음 확률변수를 정의하자.

wtk.=ϵtk − µδ

σ(8)

확률보행 307


wtk ∼ i.i.d. (0, 1) (9)

다음과 같이 Wtk | k = 0, 1, . . . 를 정의하자.

W0 = 0, Wtk =Wtk−1+ wtk , (k = 1, 2, · · · ) (10)

식 (9)와 식 (10)에서 알 수 있듯이, Wtk는 확률보행과정이다. 다음 식들이 성립한다.

∆ lnStk = ϵtk = µδ + σwtk = µδ + σ∆Wtk (11)

여기서 첫 번째 등호는 식 (2)에 의해서, 두 번째 등호는 식 (8)에 의해서, 그리고 세 번째

등호는 식 (10)에 의해서 성립한다. 다음 식들이 성립한다.

∆ lnStk = ln(1 +

∆StkStk

)≃ ∆Stk

Stk(12)

식 (11)과 식 (12)에서 알 수 있듯이, 다음 (근사)식이 성립한다.

∆Stk = µStkδ + σStk∆Wtk (13)

식 (13)에 해당하는 연속시간형 식은 다음과 같다.

dSt = µStdt+ σStdWt (14)

여기서 확률과정 Wt는 Brown운동으로서 E(Wt) = 0이고, E(W 2t ) = t이다. 앞으로 반복

해서 언급하겠지만, 식 (14)가 Black-Scholes모형을 유도할 때 가정되는 원자산의 동적특성

(dynamics)을 나타내는 확률미분방정식이다.

7.1.4 단순확률보행의 최초도달시간

이 단순확률보행에서 x0 = 0로부터 출발해서 다시 xN = 0으로 돌아오는 최초도달시간(first

passage time)을 확률변수 N(≥ 1)으로 표기하자. Feller (1968, pp. 271-273)에서와 같은


방법을 사용해서, 다음 식들을 유도할 수 있다.

Pr (N = 2k − 1) = 0, (k = 1, 2, . . . ) (7.1.29)

Pr (N = 2k) = [−1]k−1

(1/2

k

)[4pq]k, (k = 1, 2, . . . ) (7.1.30)

따라서, 단순확률보행에서 상태(state) 0에서 출발해서 다시 상태 0으로 돌아가는 재귀확률은

다음과 같다.

∞∑k=1

Pr (N = 2k)

=

∞∑k=1

[−1]k−1

(1/2

k

)[4pq]k = 1−

∞∑k=0

(1/2

k

)[−4pq]k = 1−

√1− 4pq

= 1− |p− q| (7.1.31)

여기서 마지막 등호는 식 p + q = 1에 의해서 성립한다. 따라서, p = 1/2인 경우에만 다시

상태 0으로 돌아가는 재귀확률은 1이고, p = 1/2인 경우에는 이 재귀확률이 1보다 작다.

즉, 대칭확률보행인 경우에는 재귀적 (recurrent)이다. 상태 0에서 출발해서 다시 상태 0으로

돌아가는데 걸리는 최초도달시간의 기대값을 다음과 같이 구할 수 있다.

E(N) =∞∑k=1

2kPr (N = 2k) =

∞∑k=1

2k(−1)k−1

(1/2

k

)[4pq]k

= 8pq

∞∑k=1

k

(1/2

k

)[−4pq]k−1 = 8pq · 1

2[1− 4pq]−1/2

=4pq

|p− q|(7.1.32)

여기서 네 번째 등호는 다음 식들에 의해서 성립한다.

∞∑k=1

k

(1/2

k

)xk−1 =

d

dx[1 + x]1/2 =

1

2[1 + x]−1/2 (7.1.33)

식 (7.1.32)에서알수있듯이, 만약 p = 1/2이면, 최초도달시간의기대값 E(N)은무한대이다.

즉, 대칭인 단순확률보행은 반드시 상태 0으로 돌아가지만, 상태 0으로 다시 돌아갈 때까지

걸리는 최초도달시간의 기대값은 무한대이다.

Poisson확률과정 309

제7.2절 Poisson확률과정

연속시간형 확률과정을 사용해서 금융자산의 가치를 평가할 때는 두 가지 기본적 도구들이

필요하다. 첫 번째 도구는 Brown운동이다. 각 시점에서 Brown운동의 확률분포는 정규확률

분포이다. 정규확률분포를사용해서시장에서관측되는금융자산가격의표본경로를나타내는

것이 만족스럽지 않을 수도 있다. 예를 들어, 1987년 10월에 일어난 Wall Street의 크래쉬

(crash)를 Brown운동으로 설명하기는 어렵다. 즉, 순간적으로 점프하는 금융자산가격을

위한 모형이 필요한 경우가 있다. 이러한 현상을 설명하기 위해서, 두 번째 도구인 Poisson확

률과정을 필요로 한다. Brown운동에 대해서는 제 7.5절에서 다루기로 하고, 이 절에서는

Poisson확률과정에 대해 살펴보자.

Poisson확률과정은 예측불가능한 시점 ti, (i = 1, 2, . . . )에서 발생하는 점프들에 의해

형성된다. 다음 조건들이 만족되면, 시간구간 [0, t]에서 관찰되는 점프들의 횟수를 Poisson

확률과정이라 부르고, Nt로 표기하자. 즉, ∆Nt는 짧은 시간구간 (t, t + δ]에서 발생하는

점프들의 횟수이다.

첫째, 짧은 시간구간 (t, t+ δ]에서 점프를 단 1개 발생시킬 확률은 Pr (∆Nt = 1) = λδ+ o(δ)

이다. 여기서 λ(> 0)를 강도 (intensity)라 부른다.

둘째, 짧은 시간구간 (t, t+ δ]에서 점프들을 2개 이상 발생시킬 확률은 Pr (∆Nt > 1) = o(δ)

이다.

셋째, 점프가 발생하는 시점들은 서로 독립이며, 또한 점프들의 크기는 모두 같다.

이러한 조건들이 만족되면, 시간구간 (t, t + δ]에서 점프가 발생하지 않을 확률은 다음과

같다.

Pr (∆Nt = 0) = 1− λδ + o(δ) (> 0) (7.2.1)

따라서, Poisson확률과정은때때로발생하는점프들에의해단속적이되는점들을제외하고는

연속인 표본경로를 갖는다.

시간구간 (t, t + δ]에서 점프들이 n회 발생할 확률 Pn(δ).= Pr (∆Nt = n)을 구해 보자.


지금부터는 t는 고정된 상수이고 δ를 변수로 취급함에 유의하라. 다음 식들이 성립한다.

P0(δ + h)

= Pr ((t, t+ δ + h]에서 점프가 발생 안함)

= Pr ((t, t+ δ]에서 점프가 발생 안함) · Pr ((t+ δ, t+ δ + h]에서 점프가 발생 안함)

= P0(δ)P0(h) (7.2.2)

여기서 두 번째 등호는 세 번째 조건에 의해서 성립한다. 식 (7.2.1)과 식 (7.2.2)에서 알 수

있듯이, 다음 식이 성립한다.

P0(δ + h)− P0(δ)

h= −λP0(δ) + P0(δ)

o(h)

h(7.2.3)


dP0(δ)

dδ= lim

h→0

P0(δ + h)− P0(δ)

h= −λP0(δ) (7.2.4)

정의에 의해서, 초기조건은 P0(0) = 1이다. 따라서, 미분방정식 (7.2.4)의 해는 다음과 같다.

P0(δ) = e−λδ (7.2.5)

식 (7.2.2)를 유도하는 방법을 적용해서, 다음 식을 유도할 수 있다.

P1(δ + h) = P1(δ)P0(h) + P0(δ)P1(h) (7.2.6)

식 (7.2.6)으로부터 다음 미분방정식을 유도할 수 있다.

dP1(δ)

dδ+ λP1(δ) = λP0(δ) (7.2.7)


d

dδ[eλδP1(δ)] = eλδλP0(δ) = λ (7.2.8)

여기서두번째등호는식 (7.2.5)에의해서성립한다. 미분방정식 (7.2.8)과초기조건 P1(0) = 0

정상성 311

로부터, 다음 식을 유도할 수 있다.

P1(δ) = λδe−λδ (7.2.9)

식 (7.2.2)를 유도하는 방법을 적용해서, 다음 식들을 유도할 수 있다.

dPn(δ)

dδ+ λPn(δ) = λPn−1(δ), (n = 2, 3, . . . ) (7.2.10)

식 (7.2.9)와 식 (7.2.10)에 수학적귀납법을 적용해서, 다음 식이 성립함을 증명할 수 있다.

Pn(δ) = e−λδ [λδ]n

n!(7.2.11)

따라서, 다음 정리가 성립한다.

정리 7.2.1

강도모수가 λ인 Poisson확률과정에서 시간구간 (t, t+ δ]에서 발생하는 점프들의 개수가

n일 확률은 다음과 같다.

Pn(δ) = e−λδ [λδ]n

n!

제7.3절 정상성

만약이산시간형확률과정 xt | t = . . . ,−1, 0, 1, . . . 에서각 n에대해 xt, xt+1, . . . , xt+n

의결합확률분포가 t에의존하지않으면, 이확률과정은강정상성(strong stationarity)을갖는

다고한다. 즉, 임의의 n, t와 s에대해서, xt, xt+1, . . . , xt+n과 xt+s, xt+s+1, . . . , xt+s+n

이 동일한 결합확률분포를 따르면, 이 확률과정은 강정상적(strong stationary)이라 한다.

정리 7.3.1

강정상적 이산시간형 확률과정 xt의 2차적률이 유한이면, 다음 성질들이 성립한다.

(a) 임의의 t에 대해서 E(xt) = E(x0)이다.


(b) 임의의 t에 대해서 E(x2t ) = E(x20) <∞이다.

(c) 임의의 t에 대해서 E(xtxt+n) = E(x0xn)이다.

<정리 7.3.1>의 성질 (a) ∼ 성질 (c)를 만족하는 이산시간형 확률과정 xt는 약정상

성(weak stationarity)을 갖는다고 한다. 약정상성을 2차정상성(stationarity in the second-

order) 또는 광의의 정상성(stationarity in wide-sense)이라고도 한다. 약정상적 (weak sta-

tionary) 확률과정 xt에서 Cov (xt, xs)는 |t− s|에 의존한다. 즉, 성질 (c)를 다음 성질로

대치할 수 있다.

(c)’ 임의의 t에 대해서, Cov (xt, xt+n) = Cov (x0, xn)이다.

만약 확률변수 xt가 정규확률분포를 따르면, 약정상적 이산시간형 확률과정 xt는 강정상적

이다.

연속시간형 확률과정 xt를 살펴보기로 하자. 임의의 n, t1, t2, . . . , tn, s에 대해서,

x(t1), x(t2), . . . , x(tn)과 x(t1 + s), x(t2 + s), . . . , x(tn + s)가 동일한 결합확률분포를

따르면, x(t)가 강정상성을 갖는다고 한다.

정리 7.3.2

강정상적 이산시간형 확률과정 x(t)의 2차적률이 유한이면, 다음 성질들이 성립한다.

(a) 임의의 t에 대해서 E(xt) = E(x0)이다.

(b) 임의의 t에 대해서 E(x2t ) = E(x20)이다.

(c) 임의의 t와 s(< t)에 대해서 E(xtxs) = E(x0xt−s)이다.

<정리 7.3.2>의성질 (a) ∼ 성질 (c)를만족하는연속시간형확률과정 xt는약정상성을

갖는다고 한다. 성질 (c)를 다음 성질로 대치할 수 있다.

(c)’ 임의의 t와 s(< t)에 대해서 Cov (xt, xs) = Cov (xt−s, x0)이다.

만약 확률변수 xt가 정규확률분포를 따르면, 약정상적 연속시간형 확률과정 xt는 강정상적

이다.

어떤 확률과정이 정상성을 만족하는지, 그렇지 않은지는 이 확률과정을 분석하는 데 아주

중요하다. 만약 정상성이 만족되면, 이 확률과정의 실현값들을 정상적 시계열데이터의 기법들

Markov과정 313

을 적용해서 분석할 수 있다. 그렇지 않으면, 차분, 누적 그리고 공누적(cointegration)이라는

개념 등을 동원해야 한다. 일반적으로 금융자산가치를 나타내는 이산시간형 확률과정 xt는

정상적이 아니다. 그러나, 이 확률과정의 차분 xt.= xt − xt−1은 정상적인 경우가 있다.

이러한 경우에, xt는 누적차수가 1이라 하고 I(1)으로 표시하며, xt는 누적차수가 0

이라 하고 I(0)로 표시한다. 예를 들어, 확률보행과정 xt는 정상적이 아니고 1차 차분열

xt가 정상적이다. 따라서, 확률보행과정 xt는 I(1)이고, 1차 차분열 xt는 I(0)

이다.

제7.4절 Markov과정

7.4.1 Markov과정의 정의와 중요성

앞에서도 언급했듯이, 편의에 따라 확률과정 xt를 x(t)로도 표기함을 상기하라.

어떤금융자산가격을나타내는확률과정이 Markov성(Markov property)을갖는지여부는

중요한 문제이다. 이 절에서는 금융파생상품의 가치평가에서 중요한 역할을 하는 Markov

과정에 대해서 살펴보자.

정의 7.4.1

만약 이산시간형 확률과정 xt | t = 1, 2, . . . 가 다음 식을 만족하면, 이 확률과정을

Markov과정이라 한다.

Pr (xt+s ≤ x | xt, xt−1, . . . , x1) = Pr (xt+s ≤ x | xt), (s > 0)

Markov과정 xt의 시점 t에서 관찰값 xt가 주어지면, 시점 t전의 정보 xt−s | s > 0는

필요가 없다. 즉, 시점 t에서 미래시점 t + s의 xt+s, (s > 0)에 대한 예측은 관찰값 xt에만

의존하고, 그 이전의 관찰값들에는 의존하지 않는다.

금융실무자는이러한 Markov개념을어떻게사용할수있을까? 예를들어, 순간현물이자율

(instantaneous spot rate) rt를 살펴보자. 만약 연속시간형 확률과정 rt가 Markov성을

가지면, rt+s, (s > 0)의 기대값은 현재시점 t에서 관찰값 rt에만 의존한다. 작은 시간간격

δ(> 0)에 대해서, 다음과 같이 현물이자율의 증분을 예측할 수 있는 부분과 예측할 수 없는


부분으로 나누자.

rt+δ − rt = E(rt+δ − rt | It) + σ(It, t)∆Wt (7.4.1)

여기서 It는 시점 t에서 정보집합이고, ∆Wt.= Wt+δ −Wt는 평균이 0이고 분산이 δ인 확률

변수이다. 식 (7.4.1) 우변의 첫째 항은 정보집합 It가 주어졌을 때 이자율의 변화량 중에서

예측가능한 부분이고, 둘째 항은 예측불가능한 부분이다. 만약 rt가 Markov성을 가지면,

다음과 같이 µ(rt, t)를 정의할 수 있다.

µ(rt, t).= lim

δ→0

1

δE(rt+δ − rt | It) (7.4.2)

만약 δ → 0이면, 식 (7.4.1)과 식 (7.4.2)로부터 rt가 다음과 같은 확률미분방정식을 만족함을

알 수 있다.

drt = µ(rt, t)dt+ σ(rt, t)dWt (7.4.3)

여기서 dWt.= lim

δ→0∆Wt이고 σ(rt, t)

.= σ(It, t)이다. 식 (7.4.3)에서 알 수 있듯이, 추세계

수 (drift coefficient) µ(rt, t)와 확산계수 (diffusion coefficient) σ(rt, t)가 rt에만 의존하고

rs | s < t에는 의존하지 않는다. 식 (7.4.3)의 유도과정에서, rt의 Markov성이 가정

되었음을 상기하라. 만약 추세계수 µ(rt, t)와 확산계수 σ(rt, t)가 rs | s < t에 의존하면,

이러한 비Markov성을 식 (7.4.3) 안에 명시적으로 표현하는 데 어려움이 있다. 식 (7.4.3)의

확률미분방정식에서, 이자율의 동적특성을 파악할 수 있다. 그러나, 이자율이 Markov과정을

이루지 않는다면, 이자율의 조건부기대값과 분산은 최근 관찰값 이외에 먼 과거값들에도

의존하는 함수들이 된다. 즉, 지금까지 논의가 타당하지 않게 된다. 따라서, Markov성은

금융파생상품의 가치평가에 있어서, 적어도 이자율파생상품의 가치평가에서 아주 중요한

것이다.

7.4.2 다변량Markov과정

어떤 두 확률과정들이 결합적 (jointly) Markov과정이라 하면, 일반적으로 이 두 확률과정들

중 적어도 하나는 Markov과정이 아니다. 이러한 성질을 보이는 가장 좋은 예가 고정수입

(fixed-income)에 관한 것이다. 단기이자율 rt와 장기이자율 Rt로 이루어진 이산시간형 이

변량확률과정 [rt , Rt]t가 결합적 Markov과정이라고 가정하자. 즉, 다음 식이 성립한다고

Markov과정 315

가정하자.

rt+1

Rt+1

=

α1 β1

α2 β2

rt

Rt

+

σ1W(1)t+1

σ2W(2)t+1

(7.4.4)

여기서[W

(1)t+1, W

(2)t+1

]t는 과거의 관찰벡터들

[W

(1)s , W

(2)s

]t| s = t, t− 1, . . .

와 독립인

오차벡터이고, 각 시점 t에서 W(1)t 와 W

(2)t 는 서로 독립이다. 또한, α1, β1, σ1, α2, β2와 σ2는

상수들이다. 식 (7.4.4)에 의하면, 미래시점 t+1에서 단기이자율과 장기이자율은 현재시점의

관찰값들 rt와 Rt에만 의존한다는 것을 알 수 있다. 식 (7.4.4)에서 단변량확률과정 rt의

모형을 유도해 보자. 식 (7.4.4)의 첫째 행을 다음과 같이 쓸 수 있다.

rt+1 = α1rt + β1Rt + σ1W(1)t+1 (7.4.5)

둘째 행을 다음과 같이 쓸 수 있다.

Rt = α2rt−1 + β2Rt−1 + σ2W(2)t (7.4.6)


rt+1 = α1rt + β1α2rt−1 + β1β2Rt−1 + [β1σ2W(2)t + σ1W

(1)t+1] (7.4.7)

식 (7.4.6)로부터 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

Rt−1 = α2rt−2 + β2Rt−2 + σ2W(2)t−1 (7.4.8)

식 (7.4.7)의 우변에 있는 Rt−1항을 식 (7.4.8)을 이용해서 제거할 수 있다. 만약 시차 l이

증가함에 따라 Rt−l의 계수가 0으로 수렴한다고 가정하면, 앞에서와 같은 방법을 반복적으로

적용해서 다음 식을 유도할 수 있다.

rt+1 − rt = a0rt + a1rt−1 + a2rt−2 + . . .

+[b0W

(1)t+1 + b1W

(2)t + b2W

(2)t−1 + . . .

](7.4.9)


식 (7.4.9)에서 rt+1의 예측값은 최근의 관찰값 rt뿐만 아니라 rs | s < t에도 의존한다.

따라서, 단변량확률과정 rt는 Markov과정이 아니다. 결론적으로, 단기이자율과 장기이

자율의 움직임이 결합적으로는 Markov과정이라 해도, 단변량확률과정 rt에 Markov성을

가정하는 것은 현실세계 이자율의 특성을 바르게 표현하지 못하는 것이다. 즉, 이변량 세계

에서 [rt, Rt]t가 Markov성을 갖는다 해도, rt를 단독으로 모형화한 경우에는 Markov

성을 갖지 않는다. 역으로, 단변량에서는 Markov성을 갖지 못하는 어떤 확률과정을 차원

을 확장함으로써 다변량Markov과정의 원소로 변환할 수도 있다. 본저자는 이러한 성질을

선형대수학에서 나오는 Cayley-Hamilton정리로 설명하기를 좋아한다. 독자들은 그 이유를

생각해보라.

고정수입분석(fixed-income analysis)에서중요한도구들의하나는일드곡선(yield curve)

이다. 일드곡선을 모형화하는데 두 가지 방법들이 사용되고 있다. 첫째는 고전적 접근법으

로서, 앞에서 기술한 rt와 같은 이자율과정 하나를 사용해서 일드곡선의 모형화를 시도한

다. 둘째는, Heath & Jarrow & Merton (1992)가 제시한 HJM방법(Heath-Jarrow-Merton

method)으로서, 결합적 Markov성을 갖는 복수의 선도이자율들 (forward rates)을 사용해서

일드곡선의 모형화를 시도한다. 비록 HJM모형에서 선도이자율들 (forward rates)이 결합적

Markov성을갖는다고가정한다해도, 이 모형으로부터유도된순간현물이자율과정이 Markov

성을 갖는 것은 아니다. 일드곡선의 관점에서 보면, Markov성을 갖지 않는 여러 단변량확률

과정들보다는 결합적 Markov성을 갖는 다변량확률과정을 다루는 것이 쉽다.

제7.5절 Brown운동

앞에서 언급했듯이, Bachelier (1900)에 의해 Brown운동이 재무이론에 처음 적용되었다.

오늘날 Brown운동은 금융자산의 가치변화를 분석하고 모형화하는 데 아주 중요한 도구이다.

이 절에서는 Brown운동에 대해서 살펴보자.

7.5.1 Brown운동과 재무이론

Brown운동에 관한 연구는 영국의 식물학자 Brown (1773∼1858)의 발견으로부터 유래한다.

식물의 수정에 관한 연구를 하던 Brown은 1827년 물에 띄운 화분 (花粉, 꽃가루, pollen)을

현미경으로 관찰하던 중, 화분에서 나온 작은 입자가 수면 위를 끊임없이 그리고 불규칙하게

돌아다니는 것을 발견하였다. Brown을 비롯한 당시 많은 학자들은 이러한 불규칙적 운동이

화분의 특별한 생명력에 의한 것으로 생각했으나, 일부 학자들은 당시로는 초기 단계에 있던

Brown운동 317

분자운동론을이현상에적용하였다. 즉, 이는열운동때문에움직이고있는액체분자가미소입

자의표면과충돌하여일으키는현상이라는학설을제창하였다. 다시말하면, 물체가어느정도

크기를 갖는 경우에는 액체분자가 주위 액체분자와 충돌하는 것이 하나 하나로는 불균등하다

해도 통계적으로는 균등화되므로 물체는 움직이지 않는다. 그러나, 마이크론 단위의 작은

입자인 경우에는 충돌의 충격에 의한 불균형이 커져서 운동을 하게 된다는 것이다. 따라서, 이

작은 입자의 움직임은 물의 대류나 진동에 의해 발생하는 것이 아니며, 미립자의 의지에 의한

것도 아니고, 열운동을 하는 액체의 분자와 미립자가 모든 방향에서 충돌함에 따라 야기되는

것이다. 이 미립자운동은 크기도 방향도 완전히 제멋대로이므로, 마치 주정뱅이의 걸음걸이와

마찬가지로어디로어떻게이동할지는미지이다. 이로써 Boltzmann (1844∼1906)의시대에는

가설에 지나지 않았던 분자의 열운동에 대한 실마리가 이 Brown운동에 의해 풀리게 되었다.

이후, 20세기에 들어서 Brown운동에 대한 연구가 활발하게 되었다. 특히, Einstein이 1905

년에 분자운동론의 식에서 입자의 운동을 산출함으로써, 그때까지는 가설의 영역을 벗어나지

못했던 Brown운동을 수학적으로 모형화했다. 이후, Brown운동이론은 Wiener (1923)에

의해 좀더 수학적인 체계가 잡히게 되었는데, 이러한 연구결과는 뒤에 Wiener 자신이 제창한

사이버네틱스(cybernetics)에서중요한역할을한다. 이러한그의수학적공헌때문에, Brown

운동을 Wiener과정(Wiener process)이라고도 부른다.

재무이론들 중에서 효율적시장가설(efficient market hypothesis)만큼 폭넓게 검증이

되었음에도 불구하고 지지를 받지 못하는 개념은 없을 것이다. 효율적 시장에서는 근본적

(fundamental) 정보와 기술적 (technical) 정보를 포함한 공개된 모든 정보가 금융자산의

가격에 반영되어 있다고 가정한다. 따라서, 금융자산가격은 새로운 정보가 나타날 때에

한해서 움직인다. 효율적 시장에서는 금융자산가격이 알려진 정보를 모두 반영할 뿐만 아

니라, 모든 시장참여자들이 이 시장가격을 적정가격으로 받아들이기 때문에 도박을 할 수

없다. 이러한 가설 하에서는 투자자들은 어떤 정보가 중요하고 어떤 정보가 그렇지 않은지를

안다고 가정하기 때문에, 효율적시장가설 하에서 투자자들은 합리적이다. 결론적으로 말해,

효율적시장가설은 시장이 아주 많은 합리적인 사람들로 구성되어 있어서 잘못될 수 없다는

것이다. 이러한 개념은 과거 50년 이상 동안 재무이론의 기반이었다. 효율적시장가설은 자본

시장을 분석하는데 있어서 확률미적분학(stochastic calculus)의 사용을 정당화시키는 중요한

역할을 한다. 만약 어떤 금융자산의 오늘 가격변화가 단지 오늘의 새로운 뉴스에만 의존하고

어제 뉴스는 더 이상 가격변화에 영향을 미치지 못한다면, 오늘 수익률은 어제 수익률에

전혀 의존하지 않는다. 즉, 일별수익률들은 서로 독립적이다. 역으로, 만약 일별수익률들이

서로 독립적이라면, 이 금융자산가격은 확률보행을 따른다. 이것이 효율적시장가설 하에서


금융자산가격이 확률보행이라는 것이다. 이 확률보행을 연속시간형 모형으로 나타낸 것이

Brown운동이다. 그러나, 가격모형으로서 확률보행모형은 효율적시장에서 아주 제한적인

것이다. 만약 일별수익률들이 서로 독립이라면, 시장은 효율적이다. 그러나, 시장이 효율적

이라고 해서, 반드시 금융자산가격이 확률보행을 따르지는 않는다. 효율적시장가설에서는

정보가 공공의 것이 되어 일단 가격에 반영되면, 더 이상은 시장에 영향을 미치지 못한다.

이렇게 일별수익률들이 서로 독립이라는 가정을 바탕으로 금융자산가격을 나타내는 모형으로

처음에는 확률보행모형이 사용되었으나, 그 후 이보다 일반적인 마팅게일류 모형이 사용되고

있다. 즉, 연속시간형 모형으로 금융자산가격을 표현하는 데는 Brown운동 뿐아니라 Lévy

확률과정, 마팅게일, 국소마팅게일(local martingale) 그리고세미마팅게일(semi-martingale)

등이 사용되고 있다.

1920년대에서 1940년대까지 시장분석은 주로 근본적 분석가들에 의해 주도되었다.

Bachelier 이후 1940년대 말까지는 확률통계분석을 사용한 금융자산가격에 관한 연구는 거의

없었으나, 1950년대에는 Bachelier를 추종하는 정량적 (quantitative) 분석가들이 나타났다.

특히, Osborne (1959, 1962)은 주가수익률을 Brown운동으로 나타낼 수 있다고 주장하였다.

Osborne은 주가의 확률보행이론 밑에 깔려 있는 각종 개념들을 정립함으로써, 금융자산분

석에서 확률미적분을 이용하는 것을 정당화시켰다. Osborne은 시장참여자들이 자신들의

주관적 확률을 편의없이 합리적으로 결정한다고 가정하고, 이러한 확률을 바탕으로 계산되는

기대수익률에 따라 주가가 결정된다고 주장하였다. 이러한 효율적시장가설의 기초가 되는

연구들이 Cootner (1964)에의해서집대성되었다. 이러한연구들에서, 금융자산시장은수많은

투자자들이 참여하는 거대한 시스템이기 때문에 현재 금융자산가격은 이미 모든 사람들이

갖고 있는 정보를 모두 반영한다고 가정한다. 따라서, 가격의 변화는 기대하지 않았던 새로운

정보에 의해서만 이루어진다고 가정한다.

7.5.2 확률보행과 Brown운동

고정된 시간구간 [0, t]를 M개 등간격 소구간들로 분할하자. 각 소구간의 길이를 ∆t라

고 하면, ∆t = t/M이다. 지금까지와는 달리, δ대신 ∆t를 사용함에 유의하라. 또한, 각

m(= 0, 1, . . . ,M)에 대해서 tm.= m∆t라 하자. 확률변수들 ∆xtm

.= xtm+1 − xtm | m =

0, 1, . . . ,M − 1이 서로 독립이고, 다음과 같은 확률밀도함수를 갖는다고 가정하자.

Pr (∆xtm = ∆x) = 1− Pr (∆xtm = −∆x) =1

2+

µ

2σ2∆x, (m = 1, 2, . . . ,M) (7.5.1)

Brown운동 319

여기서 ∆x > 0이다. 시간간격 ∆t와 상태의 변화량 ∆x가 다음 식을 만족한다고 가정하자.

σ2∆t = [∆x]2 (7.5.2)

즉, 시간구간 (tm, tm+1]에서 ∆xtm 은 σ√∆t만큼 상승 혹은 하락할 것이다. 따라서 xtm+1 은

xtm + σ√∆t 또는 xtm − σ

√∆t이다. 모수 σ는 시간간격 ∆t 동안에 xt가 변화하는 정도를

나타낸다. 이러한 이유로 σ를 변동성 (volatility)이라 부른다. 식 (7.1.5)와 식 (7.1.6)에서 알

수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

E(∆xtm) = µ∆t, Var (∆xtm) = σ2∆t− µ2[∆t]2 (7.5.3)

다음과 같이 확률변수열 WM,m | m = 0, 1, . . . ,M을 정의하자.

WM,0 = 0, WM,m =m−1∑i=0

∆xti , (m = 1, 2, . . . M) (7.5.4)

여기서 ∆xti 는 M에 의존함을 상기하라. 이 WM,m | m = 0, 1, . . . ,M이 확률보행임은

자명하다. 식 (7.5.3)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

E(WM,M ) =M−1∑m=0

E(∆xtm) = µM∆t = µt (7.5.5)

Var (WM,M ) =

M−1∑m=0

Var(∆xtm) = σ2t− µ2t∆t (7.5.6)

지금부터는 극한M → ∞을 취하면, 즉 ∆t = t/M가 0에 수렴하면,WM,M 이 N(µt, σ2t)

에 분포수렴하는 것을 보이고자 한다. 이 증명은 중심극한정리를 유도하는 과정과 유사하다.

확률변수 ∆xtm 의 적률모함수는 다음과 같다.

M∆x(u) = E(exp(u∆xtm)) =[1

2+

µ

2σ2∆x

]eu∆x +

[1

2− µ

2σ2∆x

]e−u∆x (7.5.7)



M∆x(u) =1

2

[eu∆x + e−u∆x

]+

µ

2σ2∆x[eu∆x − e−u∆x

]= 1 + µu∆t+

σ2u2

2∆t+

µσ2u3

3![∆t]2 + . . .

= 1 +µtu+ 1

2σ2tu2

M+O

(1

M2

)(7.5.8)

여기서 두 번째 등호는 Taylor식에 의해서 성립한다. 식 (7.5.8)에서 알 수 있듯이, 확률변수

WM,M 의 적률모함수 MM (u)는 다음 식들을 만족한다.

MM (u) = [M∆x(u)]M =

1 +

1

M

[µtu+

1

2σ2tu2

]+O

(1

M2

)M

→ exp(µtu+

1

2σ2tu2

)as M → ∞

(7.5.9)

식 (7.5.9)의 우변은 N(µt, σ2t)의 적률모함수이다. 따라서, <정리 6.7.2>에서 알 수 있듯이


WM,Md→ N (µt, σ2t) (7.5.10)

고정된 t에 대한 확률변수 WM,M 의 극한확률변수를 Wt로 표기하자. 식 (7.5.10)에서, 확률

변수 Wt는 평균이 µt이고 분산이 σ2t인 정규확률분포를 따른다는 것을 알 수 있다. 이러한

연속시간형확률과정 Wt | t ≥ 0를추세모수(drift parameter)가 µ이고확산모수(diffusion

parameter)가 σ인 일반화Brown운동 (generalized Brownian model)이라 부른다.

각 자연수들 J < K ≤ L < M에 대해서, q .= J∆t, r

.= K∆t, s

.= L∆t, t

.= M∆t라

정의하자. 다음 식들이 성립한다.

WM,K −WM,J =

K−1∑m=J

∆xtm , WM,M −WM,L =

M−1∑m=L

∆xtm (7.5.11)

식 (7.5.11)과 확률보행 WM,m | m = 0, 1, . . . ,M의 증분들 ∆xtm의 독립성에 의해서,

확률변수들 Wt −Ws와 Wr −Wq도 서로 독립임을 알 수 있다.

예제 7.5.1 일반화Brown운동의 표본경로를 그리기 위해서, 다음 R-파일을 실행하자.

1 #--------------------------------------------------------------------------2 # Filename: GeneralizedBM1.R3 # Generating Generalized Browninan Motion

Brown운동 321

4 # Programmed by KHW5 #--------------------------------------------------------------------------6 GeneralizedBM1 = function(t=3.0, M=300, mu= 1.0, sigma=2.0)7 set.seed(2)8 W = seq(0,M+1)9 Deltat = t/M

10 Deltax = sigma*sqrt(Deltat)11 p = 1/2 + mu/(2*sigma*sigma)*Deltax12 xRand = (2*rbinom(M+1,1,p)-1)*Deltax13 W = cumsum(xRand)14 ttime = seq(from=0, to = M, by=1)*Deltat15 plot(ttime,W, type="l", xlab="t", ylab=expression(W[t]),col="black")16 # End of program17 #--------------------------------------------------------------------------18


>> GeneralizedBM1(3.0,300,1.0,2.0)

이 R명령문을 실행하면, t = 3.0, M = 300, µ = 1.0, 그리고 σ = 2.0인 일반화Brown

운동의 표본경로가 그려진다. 이 표본경로가 <그림 7.5.1>에 수록되어 있다.

그림 7.5.1. 일반화Brown운동의 표본경로

만약추세모수가 µ = 0이면, Wt를 Brown운동이라부른다. 만약추세모수가 µ = 0이고

확산모수가 σ = 1이면, Wt를 표준Brown운동 (standard Brownian Motion)이라 부른다.


<예제 7.1.4>에서 언급했듯이, 이항주가과정 Stm에 대해서 lnStm이 확률보행이면,

이에 해당하는 연속시간형 주가모형이 다음과 같으리라 짐작할 수 있다.

dSt = µStdt+ σStdWt (7.5.12)

식 (7.5.12)를 다음과 같이 표현하는 것은 잘못이라는 것을 상기하라.

lnSt = µt+ σWt (7.5.13)

금융자산가치의 동적변화 (dynamics)을 나타내기 위해서, 식 (7.5.12)를 일반화한 다음과

같은 확률미분방정식 (stochastic differential equation: SDE)을 사용한다.

dSt = µ(St, t)dt+ σ(St, t)dWt, (0 ≤ t <∞) (7.5.14)

식 (7.5.14)는무한소시간구간에서추세계수(drift parameter) µ(St, t)에시간증분 dt를곱한

변화량과 확산계수 (diffusion parameter) σ(St, t)에 Brown운동의 증분 dWt.= Wt+dt −Wt

를 곱한 변화량의 합이 St의 변화량 dSt임을 보여준다. 다음과 같은 가정 하에서, 식 (7.5.14)

를 유도할 수 있다.

첫째, 추세계수 µ(St, t)와 확산계수 σ(St, t)는 확률변수들이다.

둘째, 시점 t에서 정보집합 It가 주어지면, 계수들 µ(St, t)와 σ(St, t)는 시장참여자에 의해서

관측된다. 따라서, 정보집합 It가 주어진 조건 하에서 이들은 상수들이다. 즉, 추세계수

µ(St, t)와 확산계수 σ(St, t)는 정보집합 It에 적합하다.

셋째, 추세계수 µ(St, t)와 확산계수 σ(St, t)는 확률적으로 변화하지만, 시간구간 [0, t]내에서

크게 변화하지는 않는다. 즉, 다음 식들이 성립한다.

Pr(∫ t

0|µ(Sr, r)|dr <∞

)= 1, Pr

(∫ t

0σ2(Sr, r)dr <∞

)= 1 (7.5.15)

예제 7.5.2 표준Brown운동의 표본경로를 그리기 위해서, R커맨드행에서 다음 명령문을

실행하자.

>> GeneralizedBM1(3.0,1000,0,1)

Brown운동 323

이 R명령문을 실행하면, t = 3.0, M = 1000, µ = 0, 그리고 σ = 1인 표준Brown운동의

표본경로가 그려진다. 이 표본경로가 <그림 7.5.2>에 수록되어 있다.

그림 7.5.2. 표준Brown운동의 표본경로

7.5.3 Brown운동과 Wiener과정

Brown운동은 예측불능인 증분을 가지며 또한 시간에 따라 연속적으로 변화하는 금융자산의

가치변화를 나타내는 데 적합한 확률과정이다. 본서에서는 Brown운동을 정의하는 두 가지

방법들을 소개한다. 첫 번째 방법은 제7.5.2소절에서 소개한 것이다. 두 번째 방법은 마팅게

일의 개념을 사용해서 Brown운동을 정의하는 것이다. 우선, Wiener과정을 정의하자.

정의 7.5.1: Wiener과정

만약 연속시간형 확률과정 Wt | t ≥ 0의 증분 ∆Wt가 정보집합 It 하에서 예측불가능

이며, 또한 만약 Wt가 다음 조건들을 만족하면, 이 Wt를 Wiener과정이라 부른다.

(a) W0 = 0

(b) 만약 u > t이면, E(Wu | It) =Wt이다.


(c) 만약 u > t이면, E([Wu −Wt]

2)= σ2[u− t]이다.

(d) 확률과정 Wt의 표본경로는 t에 관해 연속이다.

<정의 7.5.1>에서는 확률과정 Wt의 증분이 정규확률분포를 따른다는 가정을 하지

않았다. 그러나, Lévy정리에의해서 <정의 7.5.1>을만족하는확률과정 Wt의증분은평균

0이고 분산 σ2dt인 정규확률분포를 따름을 알 수 있다. <정의 7.5.1>의 조건 (d)에서 알 수

있듯이, 아주 짧은 시간구간에서 Wt의 변화는 아주 작다. 보편적으로 Wiener과정과 Brown

운동은 같은 개념이라고 생각한다. 정말, 이들 사이에는 차이가 없는 것일까? Brown운동의

정의는 다음과 같다.

정의 7.5.2: Brown운동

확률과정 Bt | t ≥ 0가 다음 조건들을 만족하면, Brown운동이라 부른다.

(a) B0 = 0

(b) 임의의 0 ≤ t1 < t2 < t3 < · · · 에 대해서 Bt1 , Bt2 − Bt1 , Bt3 − Bt2 , . . . 는 서로

독립이다.

(c) 만약 0 ≤ s ≤ t이면, Bt −Bs ∼ N (0, σ2[t− s])이다.

(d) 확률과정 Bt의 표본경로는 시점 t에 관해 연속이다.

<정의 7.5.2>에기술한 Brown운동은많은점에서<정의 7.5.1>에기술한 Wiener과정과

같다. 그러나, <정의 7.5.1>의 Wiener과정은 마팅게일이라는 조건 (b)를 필요로 하고, <

정의 7.5.2>의 Brown운동은정규확률분포를따른다는조건 (c)를필요로한다. 초보자에게는

이것이 중요한 차이처럼 보여질 것이다. 어떤 독자는 확률분포에 대해 아무 것도 가정하지

않는 Wiener과정이 정규확률분포를 가정하는 Brown운동보다 더 일반적이라고 생각할지도

모른다. 이러한 선입견은 옳지 않은 것이다. Brown운동과 제7.2절에서 다룬 Poisson확률

과정을 결합한 것을 가법과정(additive process) 또는 Lévy확률과정이라 한다. 즉, Brown

운동은 Lévy확률과정의 특수한 경우이다. 이 Lévy확률과정의 확률분포를 구하는 과정에서

Wiener과정과 Brown운동이 같은 것임을 증명할 수 있다. 즉, 이 두 확률과정들은 동일한

것이다. 따라서, Wiener과정과 Brown운동이라는 단어들을 서로 교환해서 이용할 수 있다.

지금부터는, 이 두 확률과정들이 동일한 것으로 간주하자. 다음 보조정리가 성립함을 쉽게 알

수 있다.

Brown운동 325

보조정리 7.5.1

Brown운동 Wt | t ≥ 0은 다음과 같은 성질들을 만족한다.

(a) 만약 u > 0이면, Brown운동의 증분 Ws+u −Ws는 과거로부터 독립이다. 따라서,

만약 0 ≤ v ≤ s이면, Wv는 Ws+u −Ws의 확률분포에 아무런 영향을 주지 않는다.

이를 Brown운동의 Markov성이라 한다.

(b) <정의 7.5.1>의 조건 (a) 대신에 초기조건을 W0 = a( = 0)로 바꿀 수 있다. 이

경우에, 확률과정 zt.=Wt − a | t ≥ 0는 Brown운동이다.

(c) 만약 0 ≤ s < t이면, 다음 식들이 성립한다.

Wt −Ws ∼ N (0, σ2[t− s])

Wt−s −W0 ∼ N (0, σ2[t− s])

Brown운동을 다음과 같이 확장할 수 있다.

정의 7.5.3: 일반화Brown과정

확률과정 Wt | t ≥ 0가 다음 조건들을 만족하면, 이를 일반화Brown운동이라 부른다.

(a) W0 = 0

(b) 임의의 0 ≤ t1 < t2 < t3 < · · · 에 대해서 Wt1 ,Wt2 −Wt1 ,Wt3 −Wt2 , . . . 는 서로

독립이다.

(c) 만약 t ≥ 0이면, Wt ∼ N (µt, σ2t)이다. 이 µ를 추세모수라고 하고, σ를 확산모수

라고 한다.

(d) 확률과정 Wt의 표본경로는 시점 t에 관해 연속이다.

추세모수가 µ이고 확산모수가 σ인 일반화Brown운동 xt | t ≥ 0를 다음과 같이 나타낼

수 있다.

xt = σWt + µt (7.5.16)


여기서 Wt | t ≥ 0가 표준Brown운동이다. Brown운동이 확률보행과 유사한 성질을 가지

듯이, 일반화Brown운동도 추세확률보행과 유사한 성질을 갖는다.

7.5.4 Brown운동의 통계적 성질

Brown운동의 정의에 의해서, Brown운동의 증분들의 결합확률밀도함수가 다음과 같음을

쉽게 알 수 있다.

정리 7.5.1

표준Brown운동 Wt | t ≥ 0와 임의의 0 < t1 < t2 < . . . < tk에 대해서, 다음과 같은

확률벡터 y를 정의하자.

y.= [Wt1 ,Wt2 −Wt1 , · · · ,Wtk −Wtk−1

]t


y ∼ Nk(0,Σy)

여기서 Σy는 제i번째 대각원소가 ti − ti−1인 대각행렬이고, 0 = 0이다.

Brown운동의 결합확률밀도함수가 다음과 같음을 알 수 있다.

정리 7.5.2

표준Brown운동 Wt | t ≥ 0와 임의의 0 < t1 < t2 < . . . < tk 에 대해서 W.=

[Wt1Wt2 . . .Wtk ]t라고 하면, 다음 식이 성립한다.

W ∼ Nk(0,ΣW )

Brown운동 327

여기서 ΣW 는 (i, j)-원소가 tmin(i,j)인 k × k행렬이다. 즉, 다음 식이 성립한다.

ΣW =

t1 t1 t1 . . . t1

t1 t2 t2 . . . t2

t1 t2 t3 . . . t3...

......

...

t1 t2 t3 . . . tk

증명. 다음과 같이 k × k행렬 U를 정의하자.

U.=

1 0 0 . . . 0

1 1 0 . . . 0

1 1 1 . . . 0

......

......

1 1 1 . . . 1

(1)

<정리 7.5.1>의 확률벡터 y와 이 정리의 확률벡터 W 가 식 W = Uy를 만족함을 쉽게 알

수 있다. <정리 6.8.4>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

W ∼ Nk(0, UΣyUt) (2)

또한, 다음 식이 성립함을 쉽게 증명할 수 있다.

UΣyUt = ΣW (3)

따름정리 7.5.1

확산모수가 σ인 Brown운동 Wt | t ≥ 0에 대해서, 다음 식들이 성립한다.

Cov(Ws,Wt) = σ2 min(t, s)

Corr(Ws,Wt) =

√s

t, (s ≤ t)


<따름정리 7.5.1>의 공분산은 식 (7.1.17)에 기술한 확률보행의 공분산과 동일하다.

따라서, 제7.1절에기술한확률보행의거의모든특징을 Brown운동에적용할수있다. Brown

운동의 조건부확률분포는 다음과 같다.

정리 7.5.3

표준Brown운동 Wt | t ≥ 0를 살펴보자. 만약 0 ≤ s < t이면, 조건 Ws = ws 하에서

Wt의 조건부확률밀도함수는 다음과 같다.

f(w|ws) =1√

2π[t− s]exp

(− 1

2[t− s][w − ws]

2

)

증명. <정리 7.5.2>에서 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

Ws

Wt

∼ N2

0

0

, s s

s t

(1)

따라서, <정리 6.8.5>에서 알 수 있듯이 다음 식이 성립한다.

Wt | Ws = ws ∼ N (ws, t− s) (2)

<정리 7.5.3>은 <정의 7.5.2>의 조건 (b)와 조건 (c)를 다시 확인한 것이다. 즉, 약

0 ≤ s ≤ t이면, 조건부확률변수 [Wt −Ws] |Ws = ws의 확률분포는 N (0, t− s)이다.

따름정리 7.5.2

표준Brown운동 Wt | t ≥ 0와 임의의 0 < t1 < t2 < . . . < tk 에 대해서,

Wt1 ,Wt2 , . . . ,Wtk 의 결합확률밀도함수는 다음과 같다.

f(w1, w2, . . . , wk) =

k∏i=1

1√2π[ti − ti−1]

exp(− 1

2[ti − ti−1][wi − wi−1]

2

)

여기서 t0 = 0이다.

Brown운동 329

증명. <정리 7.5.2>를 사용해서, 이 따름정리를 증명할 수 있다. 그러나, 이 경우에는 ΣW 의

역행렬을 구해야 하는데, 이 과정이 약간 복잡하다. 여기서는 <정리 7.5.3>을 사용해서 이

따름정리를 증명하기로 하자.


f(w1, w2, . . . , wk)

= f(w1)k∏

i=2

f(w1, w2, . . . , wi)

f(w1, w2, . . . , wi−1)

= f(w1)

k∏i=2

f(wi | w1, w2, . . . , wi−1)

= f(w1)k∏

i=2

f(wi | wi−1)

=

k∏i=1

1√2π[ti − ti−1]

exp(− 1

2[ti − ti−1][wi − wi−1]

2

)(1)

여기서 네 번째 등호는 식 t0 = 0와 <정리 7.5.3>에 의해서 성립한다.

정리 7.5.4

표준Brown운동 Wt | t ≥ 0을 살펴보자. 만약 0 ≤ s < t이면, 조건 Wt = wt하에서

Ws의 조건부확률밀도함수는 다음과 같다.

f(w | wt) =1√

2π s[t−s]t

exp(− 1

2 s[t−s]t

[w − s

twt

]2)

증명. <정리 7.5.2>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

Ws

Wt

∼ N2

0

0

, s s

s t

(1)

<정리 6.8.5>에서 알 수 있듯이 다음 식이 성립한다.

Ws | Wt = wt ∼ N(s

twt, s−

s2

t

)(2)


<정리 7.5.4>에서 알 수 있듯이, 조건부확률변수Ws |Wt = wt의 분산은 wt에 의존하지

않는다. 지금부터는 Brown운동에서 파생되는 Brown운동의 예들을 살펴보자.

예제 7.5.3 확산모수가 σ인 Wiener과정 Wt | t ≥ 0를살펴보자. 고정된 r (≥ 0)에대해서

yt.= Wt+r −Wr | t ≥ 0도 Brown 운동임을 보이자. 임의의 0 < t1 < t2 < . . . < tk

에 대해서, 벡터W r.= [Wt0+r, Wt1+r, · · · ,Wtk+r]

t을 정의하자. 여기서 t0 =이다. <정리

7.5.2>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

W r ∼ Nk+1(0,ΣW ;r) (1)

여기서 ΣW ;r은 (i, j)원소가 σ2[tmin(i−1,j−1) + r]인 [k + 1] × [k + 1]행렬이다. 또한, 벡터

yr.= [yt1 , yt2 , . . . , ytk ]

t를 정의하자. 다음 식이 성립한다.

yr = UrW r (2)

여기서 k × [k + 1]행렬 Ur은 다음과 같다.

Ur =

−1 1 0 0 . . . 0

−1 0 1 0 . . . 0

−1 0 0 1 . . . 0

......

......

...

−1 0 0 0 . . . 1

(3)

<정리 6.8.4>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

yr ∼ Nk(0,Σy;r) (4)

Brown운동 331

여기서 Σy;r = UrΣW ;rUtr이다. 다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

UrΣW ;rUtr

= σ2

t1 t1 t1 . . . t1

t1 t2 t2 . . . t2

t1 t2 t3 . . . t3...

......

...

t1 t2 t3 . . . tk

(5)

따라서, <정리 7.5.2>에서 알 수 있듯이 yt | t ≥ 0도 Brown운동이다.

예제 7.5.4 확산모수가 σ인 Brown운동 Wt | t ≥ 0를 살펴보자. <정리 7.5.2>에서 알 수

있듯이, 고정된 c (> 0)에 대한 yt.=Wc2t/c | t ≥ 0도 Brown운동이고, 또한 Var(yt) = σ2t

이다. 이 성질을 Brown운동의 척도불변성 (scaling property)이라 한다. 상수 c는 아주 큰 값

또는 아주 작은 값일 수도 있다. 따라서, Wt와 Wc2t/c가 모두 확률분포 N (0, σ2t)를 따르는

동일한 Brown운동임에도 불구하고, 이들은 상당히 떨어져 있을 수 있다. 이는 Brown운동의

표본경로가 크게 변화할 가능성이 있다는 것을 시사한다.

예제 7.5.5 각 i (= 1, 2)에 대해서, 확산모수가 σ인 Brown운동 W (i)t | t ≥ 0를 살펴보자.

또한, 이 두 Brown운동들은 서로 독립이라고 가정하자. 주어진 상수 c (∈ (0, 1))에 대해서,yt

.= cW

(1)t +

√1− c2W

(2)t

∣∣∣∣ t ≥ 0

도 확산모수가 σ인 Brown운동이다.

이를 증명하기 위해서, 임의의 0 < t1 < t2 < . . . < tk에 대해 다음과 같은 확률벡터들을

정의하자.

W (1) .=[W

(1)t1, W

(1)t2, · · · ,W

(1)tk

]t(1)

W (2) .=[W

(2)t1, W

(2)t2, · · · ,W

(2)tk

]t(2)


W (i) ∼ Nk(0,ΣW ), (i = 1, 2) (3)

여기서 ΣW 는 (i, j)원소가 σ2tmin(i,j)인 k× k행렬이다. 확률벡터 y.= [yt1 , yt2 , . . . , ytk ]

t를


정의하자. 다음 식이 성립한다.

y = V

W (1)

W (2)

(4)

여기서 V.= [cIk,

√1− c2Ik]이며, Ik는 차원이 k인 단위행렬이다. <정리 6.8.4>에서 알 수


y ∼ Nk(0,Σy) (5)

여기서 분산공분산행렬 Σy는 다음 식들을 만족한다.

Σy = V ΣWVt = [cIk,

√1− c2Ik]

ΣW O

O ΣW

cIk√1− c2Ik

= ΣW (6)

식 (5), 식 (6) 그리고 <정리 7.5.2>에서 알 수 있듯이, cW (1)t +

√1− c2W

(2)t

∣∣∣∣ t ≥ 0도

Brown운동이다.

7.5.5 Brown다리

정의 7.5.4: 표준Brown다리

표준Brown운동 Wt | 0 ≤ t ≤ 1에 대해서 다음과 같이 정의되는 Zt | 0 ≤ t ≤ 1을

표준Brown다리(standard Brownian bridge)라 부른다.

Zt.=Wt − tW1, (0 ≤ t ≤ 1)

정리 7.5.5

Brown운동 333

표준Brown다리 Zt | 0 ≤ t ≤ 1는 다음 식들을 만족한다.

E(Zt) = 0, Cov(Zs, Zt) = s[1− t], (0 ≤ s ≤ t ≤ 1)


E(Zt) = E(Wt)− tE(W1) = 0 (1)


Cov(Zs, Zt) = Cov(Ws − sW1,Wt − tW1)

= Cov(Ws,Wt)− sCov(W1,Wt)− tCov(Ws,W1) + stCov(W1,W1) (2)

<따름정리 7.5.1>에서알수있듯이, Cov(Ws,Wt) = min(t, s)이다. 따라서, 만약 s ≤ t이면,


Cov(Zs, Zt) = s[1− t] (3)

정의 7.5.5: Brown다리

표준Brown운동 Wt | 0 ≤ t ≤ T에 대해서 다음과 같이 정의되는 Zt | 0 ≤ t ≤ T를

시점 0의 상태 a에서 출발해서 시점 T의 상태 b에 도달하는 Brown다리라 부른다.

Zt.= a

[1− t

T

]+ b

t

T+

[Wt −

t

TWT

], (0 ≤ t ≤ T )

만기시점 T에서 선물과 현물의 가격차이는 0이므로, 정의 7.5.5의 Brown다리에서 b = 0

라 놓자. 이 Brown다리 Zt | 0 ≤ t ≤ T는 선물과 현물의 차익거래순익을 나타낸다. <정의

7.5.5>의 Brown다리가 다음 식들을 만족하는 것은 자명하다.

Z(0) = a, Z(T ) = b (7.5.17)


정리 7.5.6

<정의 7.5.5>의 Brown다리 Zt | 0 ≤ t ≤ T는 다음 식들을 만족한다.

E(Zt) = a

[1− t

T

]+ b

t

T

Cov(Zs, Zt) = s

[1− t

T

], (0 ≤ s ≤ t ≤ T )


E(Wt) = E(WT ) = 0 (1)

식 (1)과 <정의 7.5.5>에 의해서, 다음 식이 성립한다.

E(Zt) = a

[1− t

T

]+ b

t

T(2)


Cov (Zs, Zt) = Cov(Ws −

s

TWT ,Wt −

t

TWT

)= Cov (Ws,Wt)−

s

TCov (WT ,Wt)−

t

TCov (Ws,WT ) +

st

T 2Cov (WT ,WT ) (3)

<따름정리 7.5.1>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

Cov(Ws,Wt) = min(t, s) (4)

식 (3)과 식 (4)에 의해서, 다음 식이 성립한다.

Cov(Zs, Zt) = s

[1− t

T

](5)

Brown운동 335

7.5.6 반사원리

이색옵션의 한 종류인 barrier옵션의 가치평가에서는 Brown운동의 반사원리가 매우 중요한

역할을 한다.

정의 7.5.6: 최초도달시점

표준Brown운동 Wt | t ≥ 0에서 Wt = x가 되는 최초의 시점을 최초도달시점(first

hitting time 또는 first passage time)이라 하고, Tx = inft | Wt = x로 표기한다.

정리 7.5.7

표준Brown운동 Wt | t ≥ 0와 고정된 상수 x에 대해서 다음과 같은 확률과정을 정의

하자.

W ∗x (t)

.=

Wt, (t ≤ Tx)

2x−Wt, (t > Tx)

이 W ∗x (t) | t ≥ 0은 표준Brown운동이다.

증명. 다음 식을 정의하자.

Yx(s).=WTx+s −WTx (1)

다음 식들이 성립함은 자명하다.

WTx = x, Yx(s) =WTx+s − x (2)

식 (2)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

Wt | t ≥ 0 = Wt | Tx > t ≥ 0 ∪ WTx + Yx(t− Tx) | t > Tx (3)



W ∗x (s+ Tx)− x = x−Ws+Tx = −Yx(s) (4)

식 (4)에 식 s = t− Tx를 대입해서 얻은 식과 식 (3)에서 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

W ∗x (t) | t ≥ 0 = Wt | Tx > t ≥ 0 ∪ WTx − Yx(t− Tx) | t > Tx (5)

<예제 7.5.3>에서 알 수 있듯이, Yx(s) | s ≥ 0는 표준Brown운동으로서 확률분포 N (0, s)

를따른다. 따라서, −Yx(s) | s ≥ 0도표준Brown운동으로서확률분포N (0, s)를따른다. 즉,

Yx(s) | s ≥ 0와 −Yx(s) | s ≥ 0는 동일한 확률법칙을 따른다. 더구나, Wt | 0 ≤ t ≤ Tx

와 WTx − Yx(t − Tx) | t > Tx는 서로 독립이다. 따라서, W ∗x (t) | t ≥ 0도 표준Brown

운동이다.

<정리 7.5.7>에서 알 수 있듯이, 최초도달시점 Tx가 주어지면, Tx 이전 시점에서는 Wt

와 W ∗x (t)가 동일하고, 최초도달시점 Tx 이후 시점에서는 서로 대칭인 Wt와 W ∗

x (t)가 동일한

확률법칙을 따른다. 이를 Brown운동의 반사원리 (reflection principle)라고 한다. 물론 최초

도달시점 Tx 이전의 Wt와 이후의 Wt − x는 서로 독립이다. <그림 7.5.3>에 Brown운동의

반사원리가 그려져 있다.

그림 7.5.3. Brown운동의 반사원리

Brown운동 337

정리 7.5.8

표준Brown운동 Wt | t ≥ 0에서 다음 확률변수를 정의하자.

Mt.= max

0≤u≤tWu

임의의 상수들 x, y (≥ 0), 그리고 t (≥ 0)에 대해서 다음 식이 성립한다.

Pr (Mt > x, Wt ≤ x− y) = Pr (Wt ≥ x+ y)

증명. Brown운동의 반사원리에 의해서, 다음 식들이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

Pr (Mt > x, Wt ≤ x− y)

= Pr (Mt > x, W ∗x (t) ≤ x− y) = Pr (Wt ≥ x+ y) (1)

따름정리 7.5.3

표준Brown운동 Wt | t ≥ 0에서 Mt.= max

0≤u≤tWu와 Wt의 결합확률밀도함수는 다음과

같다.

fM,W (x, y) =2[2x− y]√

2πt3exp

(− [2x− y]2

2t

), (x > 0, y ≤ x)

증명. <정리 7.5.8>에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

Pr (Mt > x, Wt ≤ y) = Pr (Wt ≥ 2x− y) = 1−∫ 2x−y

−∞n0,t(z)dz (1)


여기서 n0,t(z)는 정규확률분포 N (0, t)의 확률밀도함수이다. 따라서, 다음 식들이 성립한다.

fM,W (x, y) = − ∂2

∂x∂y

[1−

∫ 2x−y

−∞n0,t(z)dz

]= 2

∂

∂y

1√2πt

exp(− [2x− y]2

2t

)=

2[2x− y]√2πt3

exp(− [2x− y]2

2t

), (x > 0, y ≤ x) (2)

정리 7.5.9

표준Brown운동 Wt | t ≥ 0에서 최대값 Mt는 다음 식을 만족한다.

Pr (Mt ≥ x) = 2

∫ ∞

x

1√2πt

exp(− 1

2tw2

)dw


Pr (Mx ≥ x) = Pr (Mx ≥ x, Wt < x) + Pr (Mt ≥ x, Wt ≥ x) = 2Pr(Wt ≥ x) (1)

여기서 두 번째 등호는 <정리 7.5.8>에 의해서 성립한다. 표준Brown운동의 정의에 의해서

식 Wt ∼ N (0, t)가 성립하므로, 이 증명이 끝난다.

정리 7.5.10

표준Brown운동 Wt | t ≥ 0에서 최초도달시점 Tx는 다음 식들을 만족한다.

Pr (Tx ≤ t) = 2

∫ ∞

x/√t

1√2π

exp(−1

2y2)dy = 2

[1−N

(x√t

)]

증명. 다음 식이 성립함은 자명하다.

Pr (Tx ≤ t) = Pr (Mt ≥ x) (1)

<정리 7.5.9>의 적분에 의해서 증명이 끝난다.

Brown운동 339

따름정리 7.5.4

표준Brown운동 Wt | t ≥ 0에서, 최초도달시점 Tx의 확률밀도함수는 다음과 같다.

fTx(t) =x√2πt3

exp(−x

2

2t

), (t ≥ 0)

증명. <정리 7.5.10>에 의해서 다음 식들이 성립한다.

fTx(t) =∂

∂t

2

∫ ∞

x/√t

1√2π

exp(−1

2y2)dy

=

x√2πt3

exp(−x

2

2t

)(1)

따름정리 7.5.5

표준Brown운동 Wt | t ≥ 0에서, 최초도달시점 Tx는 다음 식들을 만족한다.

(a) Pr (Tx <∞) = 1

(b) E(Tx) = ∞


limt→∞

Pr (Tx ≤ t) = 2

∫ ∞

0

1√2π

exp(−1

2y2)dy = 1 (1)

<따름정리 7.5.4>에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

E(Tx) =

∫ ∞

0t

x√2πt3

exp(−x

2

2t

)dt =

∫ ∞

0

x√2πt

exp(−x

2

2t

)dt (2)

Taylor전개를 이용하면, 다음 부등식이 성립함을 알 수 있다.

exp(−x

2

2t

)≥ 1− x2

2t, (t ≥ 0) (3)


식 (2)와 식 (3)을 이용하면, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

E(Tx) ≥∫ ∞

x2/2

x√2πt

[1− x2

2t

]dt =

x√2π

∫ ∞

x2/2

1√tdt− x3

2√2π

∫ ∞

x2/2

1

t√tdt (4)

식 (4)의 우변의 첫 번째 적분은 ∞이고 두 번째 적분은 유한값을 갖는다. 따라서, 식

E(Tx) = ∞가 성립한다.

<따름정리 7.5.5>를설명하면, 다음과같다. Brown운동 Wt가상태 x를다시방문하는

확률은 Pr (Tx <∞) = 1이다. 만약 x = 0이면, 초기시점에서 상태 0을 출발한 Wt가 상태 0

으로 언젠가는 되돌아온다. 이러한 성질을 Brown운동의 재귀성 (recurrence property)이라

한다. 그러나, 상태 x에 최초로 도달하는데 걸리는 평균시간 E(Tx)는 무한대이다.

7.5.7 적분Brown운동

금융파생상품의 가치평가에서 확률미분방정식 (7.5.14)은 중요한 역할을 한다. 이 확률방정

식을 적분형태로 나타내면, 다음과 같다.

∫ b

adSt =

∫ b

aµ(St, t)dt+

∫ b

aσ(St, t)dWt (7.5.18)

식 (7.5.18)의 우변의 첫 번째 적분은 결정적 시점 t에 대한 확률함수의 적분이고, 두 번째

적분은 확률변수 Wt에 대한 확률함수의 적분이다. 이 첫 번째 적분을 정의하기 위해서는

적분Brown운동을 정의할 필요가 있고, 두 번째 적분을 정의하기 위해서는 Ito적분을 정의할

필요가 있다. 이 소절에서는 적분Brown운동을 살펴보자.

정의 7.5.7

확산모수가 σ인 Brown운동 Wt | t ≥ 0를살펴보자. 다음과같이정의되는 zt | t ≥ 0

를 적분Brown운동이라 한다.

zt.=

∫ t

0Wsds

어떤 금융자산의 시점 s에서 가격증분 Ws가 Brown운동을 따르면, 이 금융자산의 가격

Brown운동 341

zt는 다음 식을 만족한다.

zt = z0 +

∫ t

0Wsds (7.5.19)

즉, 가격과정 zt는 적분Brown운동이다. 다음 정리에서 알 수 있듯이, 적분Brown운동도

정규확률분포를 따른다.

정리 7.5.11

확산모수가 σ인 Brown운동 Wt | t ≥ 0를 살펴보자. 이에 상응하는 적분Brown운동zt =

∫ t0 Wsds

∣∣∣∣ t ≥ 0

는 다음 식들을 만족한다.

(a) zt ∼ N(0, σ

2t3

3

)(b) Cov(zs, zt) = σ2 s

2

2

[t− s

3

], (0 ≤ s ≤ t)

증명. Brown운동 Wt | t ≥ 0가 정규확률분포를 따르므로, Wt들의 합인 zt도 정규확률분

포를 따른다. 이를 자세히 설명하면 다음과 같다. Riemann적분의 정의에 의해서 다음 식들이

성립한다.

zt =

∫ t

0Wtdt = lim

M→∞

t

M

M∑m=1

Wtm (1)

여기서 tm = tm/M이다. 다음과 같이 확률벡터W를 정의하자.

W.= [Wt1 , Wt2 , · · · ,WtM ]t (2)


W ∼ NM (0,ΣW ) (3)


<정리 7.5.2>에서 알 수 있듯이, ΣW 는 다음과 같다.

ΣW = tσ2

1M

1M

1M . . . 1

M

1M

2M

2M . . . 2

M

1M

2M

3M . . . 3

M

......

.... . .

...

1M

2M

3M . . . M

M

(4)

식 (4)에 <정리 6.8.4>를 적용하면, 다음 식을 얻는다.

t

M

M∑m=1

Wtm ∼ N(0,

t2

M21tΣW1

)(5)

여기서 1.= [1, 1, · · · , 1]t이다. 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

t2

M21tΣW1 =

t3σ2

6

[M + 1][2M + 1]

M2(6)

식 (1), 식 (5)와 식 (6)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

zt = limM→∞

t

M

M∑m=1

Wtm ∼ N(0,t3σ2

3

)(7)

즉, zt도정규확률분포에따른다. 엄격하게말하면, 식 (7)을증명하기위해서는 <정리 6.7.2>

를 적용해야 한다.

만약 0 ≤ s ≤ t이면, 다음 식들이 성립한다.

Cov(zs, zt) = E(zs, zt)

= E

(∫ s

0Wudu

∫ t

0Wvdv

)=

∫ s

0

∫ t

0E(WuWv)dvdu

=

∫ s

0

∫ t

0Cov(Wu,Wv)dvdu =

∫ s

0

∫ t

0σ2 min(u, v)dvdu (8)

여기서 다섯 번째 등호는 <따름정리 7.5.1>에 의해서 성립한다. 식 (8)에서 알 수 있듯이,


Cov(zs, zt) = σ2∫ s

0

(∫ u

0vdv +

∫ t

uudv

)du = σ2

s2

2

[t− s

3

](9)

Brown운동 343

정리 7.5.12

확산모수가 σ인 Brown운동 Wt | t ≥ 0를 살펴보자. 함수 ft는 구간 [a, b]에서 그리고

함수 gt는 구간 [c, d]에서 구분적으로 연속 (piecewise continuous)이라 가정하고, 다음

확률변수들을 정의하자.

Ft.=

∫ b

aftWtdt, Gt

.=

∫ d

cgtWtdt

확률변수들 Ft와 Gt는 다음 식들을 만족한다.

(a) E(Ft) = 0

(b) E(Gt) = 0

(c) Cov(Ft, Gt) = σ2∫ ba

∫ dc fsgt min(s, t)dsdt


E(Ft) =

∫ b

aftE(Wt)dt = 0 (1)

E(Gt) =

∫ d

cgtE(Wt)dt = 0 (2)


Cov(Ft, Gt) = E

(∫ b

afsWsds

∫ d

cgtWtdt

)=

∫ b

a

∫ d

cfsgtE(WsWt)dtds

=

∫ b

a

∫ d

cfsgtCov(Ws,Wt)dtds

= σ2∫ b

a

∫ d

cfsgt min(s, t)dtds (3)

여기서 첫 번째 등호는 식 (1)과 식 (2)에 의해서, 그리고 네 번째 등호는 <따름정리 7.5.1>

에 의해서 성립한다.


예제 7.5.6 <정리 7.5.12>에서, a = c = 0, b = d = 1 그리고 ft = gt = t라 놓자. 다음


Ft = Gt =

∫ 1

0tWtdt (1)

<정리 7.5.12>의 성질 (c)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

Var(∫ 1

0tWtdt

)= σ2

∫ 1

0s

[∫ s

0t2dt+

∫ 1

stsdt

]ds =

2

15σ2 (2)

정규확률변수의 합은 정규확률변수이다. 따라서, 다음 식이 성립한다.

∫ 1

0tWtdt ∼ N

(0,

2

15σ2)

(3)

정리 7.5.13

확산모수가 σ인 Brown운동 Wt | t ≥ 0를 살펴보자. 이에 상응하는 적분Brown운동zt =

∫ t0 Wsds

∣∣∣∣ t ≥ 0

는 다음 식을 만족한다.

Cov(zt,Wt) =1

2σ2t2

증명. <정리 7.5.11>에 의해서, t ≥ s ≥ 0에 대해 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

Cov(zt, zt − zt−s) = Cov(zt, zt)− Cov(zt, zt−s)

= σ2t3

3− σ2[t− s]2

[t

2− t− s

6

]= σ2

s

2

[t2 − s2

3

] (1)

평균값정리에 의해서, 다음 식을 만족하는 δ (∈ (t− s, t))가 존재한다.

∫ t

t−sWudu = sWδ (2)

정규사건과 우발사건 345


Cov(zt,Wδ) =1

sCov

(zt,

∫ t

t−sWudu

)=

1

sCov(zt, zt − zt−s) =

σ2

2

[t2 − s2

3

] (3)

정의에 의해서 Wt의 표본경로가 시점 t에 대해서 연속이므로, 다음 식이 성립한다.

lims→0

Wδ =Wt (4)

식 (3)과 식 (4)에 의해서, 다음 식들이 성립한다.

Cov(zt,Wt) = lims→0

Cov(zt,Wδ) =1

2σ2t2 (5)

제7.6절 정규사건과 우발사건

거래소에서 거래되는 금융상품의 각 시점에서 가격변화가 다음 세 가지 상태들 중 하나로

이루어진다고 하자. 즉, 가격이 1틱 상승하든지, 1틱 하락하든지, 또는 변화하지 않는다.

실제로 유동성이 높은 금융상품의 가격이 단위틱보다 크게 변화하는 경우는 드물다. 따라서,

연속시간에서 금융상품가치를 평가할 때는 우발사건(rare event)을 무시하고, 앞에서 언급한

세 가지 상태들만 존재한다고 가정하고 논리를 전개하는 것이 현실적이다. 그러나, 때때로

금융상품가격이 극단적인 움직임을 보이는 기간이 있다. 이러한 기간이 정확한 가치평가법을

꼭 필요로 하는 때이다. 이 절에서는 우발사건의 확률구조를 파악하고, 보편적으로 발생하

는 정규사건(normal event)과 우발사건을 비교해 보자. 또한, 우발사건이 금융자산가격을

나타내는 확률과정의 불연속성과 관계가 있음을 보이자. 우발사건은 혼란 (turbulence)과는

다르다. 왜냐하면, 혼란에 의한 변동성의 증대는 연속시간형 확률과정을 사용해서 설명할 수

있기 때문이다.

7.6.1 정규사건과 우발사건

정규사건과 우발사건을 구별하는 기준은 금융자산가격들이 관찰되는 시간간격 δ에 따라

변하는 사건크기와 발생하는 확률이다. 여기서 사건크기란 가격변화량을 의미한다. 시간간격


δ가 짧아질수록, 정규사건크기는 작아진다. 예를 들어, 1개월 동안 큰 가격변화가 몇 번인가

관찰된다면, 1주일 동안에는 큰 가격변화의 발생건수가 훨씬 적어질 것이다. 또한, 몇 분

동안에 가격이 크게 점프하는 현상이 여러 번 관찰되는 경우는 거의 있을 수 없으며, 보통

1분 사이에 발생하는 사건에 주의를 요할 필요가 없다. 이것이 정규사건의 성질이다. 즉,

시간간격 δ가 0으로 수렴함에 따라, 정규사건의 중요성은 작아진다. 그러나, 시간간격 δ가

아주 작아져도, 정규사건이 발생할 확률은 0이 아니다. 즉, 단기간에 중요하지 않은 뉴스가

도래할 확률은 항상 양수이다. 반면에, 우발사건은 드물게 발생한다고 가정한다. 연속시간형

확률과정에서는 극한 δ → 0를 취함에 따라 우발사건이 발생할 확률은 0이 된다. 그렇지만,

사건크기가 작아지지는 않는다. 예를 들어, 1987년에 발생한 시장의 크래쉬 (crash)는 우발사

건이다. 어떤 아주 짧은 시간구간에서 그런 크래쉬가 관찰될 확률은 무시된다. 그러나, 그런

크래쉬가 발생하면, 10분간 관찰해도 또는 하루를 관찰해도 그 사건크기는 크게 다르지는

않을 것이다. 시점 t에서 금융자산가격의 예측불가능한 변화성분 분산은 σ2t δ이다. 여기서

σt는 변동성이다. 즉, 직관적으로 보아 예측불가능한 가격변화량은 평균적으로 σt√δ이다.

분산의 정의는 평균으로부터 이탈한 사건크기의 제곱과 이에 대응하는 확률을 곱한 것이다.

따라서, 분산이 δ에 비례한다는 것은 확률이 δ에 의존하거나 사건크기가 δ에 의존한다는

것이다. 우발사건이 일어날 확률은 시간간격 δ에 의존하나, 우발사건의 사건크기는 시간간격

δ에 의존하지 않는다. 반면에, 정규사건의 사건크기는 시간간격 δ에 의존하나 발생할 확률은

시간간격 δ에 의존하지 않는다.

기술적 관점에서 우발사건과 정규사건은 매우 중요한 차이를 보인다. 우발사건의 존재는

금융자산가격의표본경로에불연속성을유발한다. 만약금융자산가격의표본경로에불연속인

점프가포함되어있으면, 이를반영하는모형을사용해야한다. 우발사건의존재는금융자산의

가치평가에 지대한 영향을 끼칠 것이다. 한 예로, 위험에 대비해서 준비해야 하는 자기자본

비율 (capital requirement)의 문제를 살펴보자. 시장이 예측하는 방향과 반대로 움직여서

발생하는 손실을 보충하기 위해서, 금융기관은 어느 정도 자본을 비축해 두어야 할까? 이에

대한 해답은 위험에 노출되어 있는 양에 달려 있다. 이러한 VaR(value-at-risk)의 계산에는

여러 가지 방법들이 있으며, 이들은 모두 원자산이 극단적으로 움직이는 경우에 포트폴리오의

가치변화를 예측하고자 하는 것들이다. 따라서, 원자산에서 점프를 초래하는 우발사건의

존재여부를 조사하는 것은 매우 중요하다. 만약 그러한 점프가 존재하지 않으면, VaR를

계산할때정규확률분포를이용할수있다. 즉, 금융상품의수익률을정규확률분포를바탕으로

하는 Brown운동으로 모형화할 수 있고, 또한 VaR도 정규확률분포를 사용해서 모형화할 수

있다. 즉, 원자산이 극단적인 값이 되는 경우에 이 정규확률분포를 사용해서 손실액에 대한


확률을 계산할 수 있다. 반면에, 드문드문 (sporadic) 발생하는 점프들이 금융자산가격변화의

체계적인 (systematic) 부분이라고 판단되면, VaR의 계산은 복잡해진다. 이 경우에는 극단적

(extreme)인원자산이발생하는확률과우발사건(rare event)에의한확률을동시에반영해서

모형화해야 한다.

7.6.2 Brown운동과 Poisson확률과정

본서 수준에서는, 연속시간에서 금융자산가격을 모형화하기 위해서 앞에서 소개한 두 가지

도구들을 사용한다. 첫째, Brown운동으로 정규사건을 모형화한다. 이 모형에서 극단적인

가격변화는 거의 발생하지 않으며, 극단적 가격변화가 발생할 확률은 정규확률분포의 꼬리

부분의 면적에 비례한다. 둘째, Poisson확률과정으로 우발사건을 모형화한다. 이 모형은

체계적으로 발생하는 점프들을 반영한다. 이 두 가지 도구들을 적당히 조합해서, 실제 문제에

적합한 확률모형을 만들 수 있다. 지금부터는 이 도구들에 대해서 자세히 살펴보자.

Brown운동을 이용해서 정규사건을 모형화할 수 있다. Brown운동은 확률변수 Wt가

시점 t에 대해서 연속적으로 변화하는 경우에만 적합하다. Brown운동에서는 작은 시간구간

[t, t+ δ]에서 관찰된 Wt의 변화량 Wt+δ −Wt는 작다. 이러한 변화는 정규사건과 일치한다.

Poisson과정을 이용해서 우발사건을 모형화할 수 있다. 어떤 금융자산가격의 움직임에서,

시간구간 [0, t]에서발생하는우발적쇼크들의개수를 Nt라하고, 이러한우발사건들은예측할

수 없는 형태로 발생한다고 가정하자. 무한소 시간간격 dt에서 확률과정 Nt의 증분 dNt

는 두 가지 값들 중에서 어느 한 값만을 취할 수 있다고 하자. 즉, 새로운 큰 사건이 발생하면

dNt = 1이고, 발생하지 않으면 dNt = 0이다. 어떤 큰 사건이 우발사건이 되기 위해서는

dNt = 1인경우가아주드물게발생해야한다. 확률과정 Nt의증분이다음식을만족한다고

가정하자.

Pr (dNt = 1) = λdt = 1− Pr (dNt = 0) (7.6.1)

Brown운동과는 달리 Poisson확률과정의 변화의 크기는 dt에 의존하지 않는다. 반면에, 그

변화가 발생하는 확률은 dt의 함수이다. 만약 시간간격 δ가 0에 접근하면, Brown운동의

증분은 작아지지만 Poisson확률과정 Nt의 변화의 크기는 바꾸지 않는다. 시간간격 dt

에서 우발사건이 발생하는 비율을 λ라 가정하고, 확률변수 Mt.= Nt − λt를 정의하자. 이

확률변수의 평균과 분산은 각각 E(Mt) = 0과 Var(Mt) = λt이다. 따라서, 평균보정 Poisson

확률과정 Mt의표본경로는불연속이지만,Mt와Wt의 1차적률과 2차적률은동일한특성을


갖는다. 즉, 짧은 시간간격 δ에서 이 두 확률과정 증분들의 분산들은 모두 δ에 비례한다. 이

확률과정들에 대해서 다음과 같은 점들을 유의하라. 첫째, 이 두 확률과정들의 표본경로들은

전혀 다른 형태를 갖는다. 하나는 시점에 대해서 연속이고, 다른 하나는 순수한 점프들로

이루어져 있다. 둘째로, 시간간격 δ가 0에 접근하면 Mt가 점프할 확률도 0에 접근한다.

직감적으로 알 수 있듯이, 이것은 평균보정 Poisson확률과정 Mt의 표본경로가 Brown운동

Wt의 표본경로보다도 불규칙성이 적은 것을 의미한다. 이것은 Poisson확률과정이 대부분

시점에서 변화하지 않기 때문이다. 평균보정 Poisson확률과정 Mt는 이산적(discrete) 점프

들을 보이지만, 그 점프들의 개수는 가산개이다. 따라서, 평균보정 Poisson확률과정 Mt는

유계변분 (bounded variation)을 갖는다. 반면에, Brown운동 Wt는 무한소 시간구간에서

무한소 변화를 하지만, 변화하는 점들의 집합은 비가산적이다. 따라서, Brown운동 Wt

는 유계변분을 갖지 않을 수 있다. 나중에 알게 되겠지만, Brown운동은 유계변분을 갖지

않는다. 즉, 평균보정 Poisson확률과정 Mt에는 Riemann-Stieltjes적분의 개념을 적용해서∫ t0 f(Mu)dMu를 계산하는 것이 가능해도, Brown운동 Wt에는 Riemann-Stieltjes적분의

개념을 적용하는 것이 불가능하다.

예제 7.6.1 Poisson확률과정의 표본경로를 그리기 위해서, 다음 R-파일을 실행하자.

1 #---------------------------------------------------------------------------2 # Filename: PoissonProcess1.R3 # Generating Poisson Process4 ### Need the R function Poisson1.R (in same document)5 # Programmed by KHW6 #---------------------------------------------------------------------------7 PoissonProcess1 = function(lambda,dt,T)8 n = T/dt9 lambdat = lambda *dt

10 Nt = seq(from=0, to=0, length.out=n+1)11 ttime = seq(from=0, to=0, length.out=n+1)12 Nt[1] = 013 ttime[1] = 014 for(k in seq(from=2,to=n+1,by=1))15 ttime[k] = (k-1)*dt16 a = Poisson1(lambdat ,1)17 Nt[k] = Nt[k-1] + a$x[1]18 19 plot(ttime,Nt,type="l",col="black",xlab="time",ylab=expression(N[t]))20 21 # End of program22 #---------------------------------------------------------------------------

이 R-파일 PoissonProcess1.R을 실행하기 위해서는 다음 R-파일 Poisson1.R이 필요하다.

1 #---------------------------------------------------------------------------2 # Filename: Poisson1.R3 # Poisson random number generator


4 # Programmed by KHW (refer to S. Ross(1997))5 #---------------------------------------------------------------------------6 Poisson1 = function(lambda,n)7 x = seq(0,0,length.out=n)8 j = 19 while(j<=n)

10 flag =111 # initial quantities12 u = runif(1)13 i = 014 p = exp(-lambda)15 F = p16 while( flag)17 if(u<= F)18 x[j] = i19 flag = 020 j =j+121 22 else23 p = lambda*p/(i+1)24 i = i+125 F = F+p26 27 28 29 my_list = list("x"=x)30 return (my_list)31 32 # End of program33 #------------------------------------------------------------------------

이 R-파일 PoissonProcess1.R을 실행하기 위해서, R커맨드행에서 다음 명령문을 실행

하자.

>> PoissonProcess1(11.1, 0.001, 2)

이 R명령문을 실행하면, λ = 11.1이고 δ = 0.001인 Poisson확률과정 Nt | t ∈ [0, 2]

에서 발생된 표본경로가 그려진다. 이 결과가 <그림 7.6.1>에 수록되어 있다. <그림 7.6.1>

에서 다음과 같은 Poisson확률과정의 성질들을 확인할 수 있다.

첫째, 이 표본경로는 양의 기울기를 갖는다. 따라서, Nt는 마팅게일이 아니다.

둘째, 이 표본경로에서 변화는 크기 1의 점프로서 발생한다.

셋째, 점프들 사이에서 표본경로는 상수이다.

넷째, 이 그림에는 점프들이 20회 있고, 이 횟수는 평균 2λ = 22.2에 가까운 정수이다.


그림 7.6.1. Poisson확률과정의 표본경로

앞에서도 언급했듯이, 연속시간에서 금융자산가격을 모형화하기 위해서 정규사건을

나타내는 Brown운동과 우발사건을 나타내는 Poisson확률과정을 사용할 수 있다. 이 두

확률과정들을 적당히 조합해서, 실제 문제에 적합한 확률모형을 구축할 수 있다.

예제 7.6.2 Brown운동과 Poisson확률과정의 합으로 이루어진 합성과정의 표본경로를 그리

기 위해서, 다음 R-파일을 실행하자.

1 #---------------------------------------------------------------------------2 # Filename: BrownPoisson1.R3 # Generating 'Brown Motion + Poisson Process'4 # Programmed by KHW5 #---------------------------------------------------------------------------6 BrownPoisson1 = function(lambda,dt, T)7 set.seed(2)8 n = T/dt9 # Generate a Poisson process

10 lambdat = lambda *dt11 Nt = seq(from=0, to=0, length.out=n+1)12 ttime = seq(from=0, to=0, length.out=n+1)13 Nt[1] = 014 ttime[1] = 015 for(k in seq(from=2,to=n+1,by=1))16 ttime[k] = (k-1)*dt17 a = rpois(1,lambdat)18 Nt[k] = Nt[k-1] + a19 20 # Generate a Brownian Motion


21 W = 022 p = 1/223 Deltax = sqrt(dt)24 xrand = 2*(rbinom(n+1,1,p)-1)*Deltax25 W = cumsum(xrand)26 # Add Wiener process and Poisson Process27 S = 0.5* W +Nt28 # Plot the combined process29 plot(ttime,S,type="l",col="black",lwd=2, xlab="time", ylab=expression(paste(S[t

],"=0.5",W[t],"+",N[t])))30 31 # End of program32 #---------------------------------------------------------------------------


>> BrownPoisson1(11.1,0.01,2)

이 R명령문을 실행하면, λ = 11.1이고 δ = 0.1인 Poisson과정 Nt | t ∈ [0, 2]와 표준

Brown운동 Wt | t ∈ [0, 2]의 가중합인 합성과정St

.= Nt +

12Wt

∣∣∣∣ t ∈ [0, 2]

의 표본경

로가 그려진다. 이 결과가 <그림 7.6.2>에 수록되어 있다. <그림 7.6.2>에서 다음과 같은

합성과정의 성질들을 확인할 수 있다.

첫째, 표본경로에는 때때로 점프가 있다. 이들은 Poisson성분에 의한 것이다.

둘째, 점프들 사이에서 표본경로는 일정하지 않고, 난수적으로 변화한다. 이는 Brown성분에

의한 것이다.

셋째, Brown운동에 의해 초래되는 잡음 (noise)의 크기는 Poisson확률과정에 따른 점프의

크기보다 훨씬 작다. 그러나, Brown운동의 분산을 크게 함으로써 이러한 현상을 역전

시킬 수도 있다. 이러한 경우에는, Poisson확률과정에 따른 점프와 Brown성분에 따른

잡음의 차이를 구별하기가 곤란하다.

보편적인 관점에서 보면, 정규사건의 크기에 비해서 우발사건의 크기가 커야 할 것이다.

그러나, 이를 정형화하는 것은 간단하지가 않다. Brown운동에 의해서 유도되는 확률미분방

정식은 짧은 시간간격 δ에서 예측불가능한 가격변화의 분산을 σ2δ라고 가정한다. 이 예측할

수 없는 가격변화는 정규확률분포를 따른다. 정규확률분포는 꼬리부분이 무한히 이어진다.

따라서, δ가 작지만 0이 아닌 경우에는, 상당히 큰 예측할 수 없는 가격변화가 발생할 확률이

양수이다. 즉, δ가 0이 아닌 한, Brown운동은 확률미분방정식을 통해서 큰 사건들을 반영할

수있을것이다. 그렇다면, 왜우발사건또는가격변화가큰사건에대한별도의논의가필요한


그림 7.6.2. Poisson확률과정과 Brown운동의 합성과정

것일까? Brown운동을 이용해서 우발사건을 특징짓는 데는 다음과 같은 문제점이 있다. 만약

δ가 0에 접근하면, 정규확률분포의 꼬리가 얇아져서 큰 사건에 대한 확률이 작아진다. 또한,

극한 δ → 0를취하면, 꼬리가완전히없어지며해당정규확률분포의분산은 0에수렴한다. 즉,

모든 확률질량(probability mass)이 0으로 모여진다. 이러한 성질이 성립하는 이유는 Brown

운동이 거의 모든 점에서 연속이기 때문이다. 따라서, 만약 δ → 0 이면, Brown운동으로

보여지는 가격변화의 크기가 작아지지 않으면 안 된다. 이러한 의미에서, Brown운동은 아주

짧은 시간구간에서 가격이 극단적으로 변화하는 정보를 나타내는 데는 적당하지 않다. 우리가

필요로 하는 것은 아주 짧은 시간구간에서 큰 사건을 발생시킬 수 있는 교란항 (disturbance

term)이다. 다시 말하면, 점프를 나타낼 수 있는 확률과정이 필요하다. 이러한 확률과정에서

발생하는 사건은 시간간격 δ에 의존하지 않고, 또한 시간간격 δ가 작아져도 사건크기가 작아

지지 않는다. 즉, 우발사건은 확률과정의 표본경로에서 때때로 나타나는 점프에 해당한다.

파생상품가격과정의 표본경로에서 점프가 나타나는 경우가 종종 있다. 상품시장 (com-

modity market)에서 단 하나의 뉴스가 이 상품에 대한 중요한 정보를 갖는 경우가 많다.

따라서, 이러한상품을원자산으로하는파생상품가격에점프가나타나는경우가많을것이다.

한 예로, 어떤 농산물의 수확고에 대한 보고서는 이 농산물가격을 원자산으로 하는 선물의

가격에 점프를 발생시킬 수 있다. 그러나, 금융파생상품에서는 이러한 경우가 상대적으로


적다. 이자율이나 통화에 대한 파생상품가치를 평가할 때, 어떤 뉴스가 영향을 미치기는

하지만, 상품파생상품 (commodity derivative)에 비해서 그 비율은 상대적으로 아주 작다.

7.6.3 이산형 시간구간

정규사건과우발사건의차이를깊이분석하기위해서, 이산형시간구간에서확률미분방정식을

살펴보자. 다음 식을 만족하는 이산시간형 확률과정 Stm | m = 0, 1, . . . M을 살펴보자.

Stm+1 − Stm = µ(Stm , tm)∆tm + σ(Stm , tm)∆Utm (7.6.2)

여기서 ∆tm.= tm+1 − tm은 소구간 (tm, tm+1]의 시간간격이다. 식 (7.6.2)의 우변의 첫 번째

항 µ(Stm , tm)∆tm은 평균적 추세를 나타낸다. 즉, 확률증분 Stm+1 −Stm 이 소구간 (tm, tm+1]

에서평균적으로어떻게변화될지를나타낸다. 또한, 두번째항은금융자산가격의예측불가능

한 변화성분을나타내는확산항이다. 이 확산항의표준편차는√∆tm과 비례하고, 비례계수는

확산계수 σ(Stm , tm)이다. 편의상, σ(Stm , tm)을 σtm으로표기하자. 확산항 σtm∆Utm이취할

수 있는 사건들이 w1, w2, . . . , wL이고, 확률이 Pr (σtm∆Utm = wi) = pi, (i = 1, 2, . . . , L)

라고 가정하자. 또한, 문제를 간단히 하기 위해서, wi와 pi가 tm과 독립이라고 가정하자. 즉,

각 시점에서 어떤 특정 사건이 발생하는지는 모르지만, 발생할 수 있는 사건들의 집합과 각

사건이 발생할 확률은 모든 시장참여자들에게 알려져 있다고 하자. 이 사건들을 두 종류로

구분할 수 있다. 예를 들어, w1은 금융자산가격이 1틱 상승, w2는 1틱 하락, 그리고 w3는

변화하지 않는 것을 나타낸다. 이들은 금융시장에서 보편적으로 일어나는 움직임인 정규사

건들을 반영하는 것이다. 남은 가능한 값들 w4, w5, . . . , wL은 아주 드물게 발생하는 다양한

우발사건들을 위해 남겨 두자. 예를 들어, 원자산이 곡물가격인 선물계약의 경우에는, w4는

심한 가뭄, w5는 대단한 풍작 등이 될 수도 있다. 만약 그런 가능성이 극단적인 가격변화를

가져오고 또한 그것이 우발적이라면, 이러한 정보는 1틱 이상인 가격변화를 초래할 것이다.

앞에서 언급했듯이, 식 Var(σtm∆Utm) = σ2tm∆tm이 성립한다. 확산항의 평균은 0이어야

하므로, 식 Var(σtm∆Utm) =L∑i=1

piw2i 가 성립한다. 따라서, 다음 식이 성립한다.

L∑i=1

piw2i = σ2tm∆tm (7.6.3)

식 (7.6.3)에서 우변은 ∆tm에 비례하고, 좌변의 각 항은 비음이다. 따라서, 좌변의 각 항은

∆tm에 비례하거나 또는 0이어야 할 것이다. 즉, 다음 식을 만족하는 비례계수 ci (≥ 0)가


존재한다.

piw2i = ci∆tm, (i = 1, 2, . . . , L) (7.6.4)

지금부터는 ci > 0인 i에 대해서 살펴보자. 이 경우에, pi와 wi를 ∆tm의 함수들로 간주할

수있다. 즉, pi = pi(∆tm)와 wi = wi(∆tm)라 하자. Merton (1992, 제3.4절)의제안에따라,

pi(∆tm)와 wi(∆tm)가 다음과 같은 지수함수들을 만족한다고 가정하자.

wi(∆tm) = wi∆trim, pi(∆tm) = pi∆t

qim, (7.6.5)

여기서 ri와 qi는 비음인 상수들이고, wi와 pi는 i와 tm에 의존하지만 시간간격 ∆tm에 의존

하지는 않는다. 만약 ri 또는 qi가 0이 아니고, 또한 만약 시간간격 ∆tm이 커지면, 관찰되는

가격변화의크기와확률이모두증가한다. 우발사건과정규사건을특징짓기위해서, 모수들 ri

와 qi를이용하기로하자. 모수 ri는시간간격 ∆tm이작아짐에따라사건크기가 0에접근하는

정도를 결정한다. 모수 qi는 시간간격 ∆tm이 감소함에 따라, 확률이 0에 가까워지는 정도를

결정한다. 물론, ri와 qi 둘 중 어느 하나가 0이 되는 것도 가능하다. 지금부터는, ri와 qi에

제약을 가함으로써, 우발사건과 정규사건을 구별하고자 한다. 식 (7.6.4)와 식 (7.6.5)에서 알

수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

w2i pi∆t

qi+2rim = ci∆tm (7.6.6)


qi + 2ri = 1, ci = w2i pi (7.6.7)

따라서, 모수들 ri와 qi는 다음 식들을 만족한다.

0 ≤ ri ≤1

2, 0 ≤ qi ≤ 1 (7.6.8)

만약 ri = 0이고 qi = 1이면, 식 pi = pi∆tm과 식 wi(∆tm) = wi이 성립한다. 따라서,

만약 ∆tm → 0이면, 이사건이발생할확률은 0에수렴한다. 또한, 이사건의크기는시간간격

∆tm에 의존하지 않는다. 따라서, 사건 wi는 우발사건이다. 우발사건을 포함하는 확산항의

표본경로는 불연속이다. 실제로, 시간간격 ∆tm이 0에 접근해도, ∆Utm 가 wi를 출력시킬


확률은변하지않는다. 또한, 예측할수없는가격변화의크기는∆tm과독립이다. 만약이러한

우발사건이 발생하면, Utm 은 점프한다. 반면에, 점프가 발생할 확률은 ∆tm에 의존한다. 즉,

만약 시간간격 ∆tm이 작아지면, 점프가 발생할 확률도 작아진다. 즉, 표본경로는 점프를

포함하지만, 점프가 자주 발생하는 것은 아니다. 만약 확률변수 ∆Utm 이 점프를 포함하면,

확률과정 Utm의 표본경로는 연속이 아니다. 이러한 확률적 변화를 포착하기 위해서는

Brown운동이 아닌 다른 확률과정을 필요로 한다.

어떤 사건이 정규사건이기 위한 조건은 다음과 같다.

1

2≥ ri > 0 (7.6.9)

이 조건을 이해하기 위해서, 식 ri = 1/2이 성립하는 경우를 먼저 살펴보자. 이 경우에 식

qi = 0가 성립하며, 또한 다음 식들이 성립한다.

wi = wi

√∆tm, pi = pi (7.6.10)

따라서, 시간간격 ∆tm이 작아지면, 사건크기 wi도 작아진다. 그러나, 확률 pi는 ∆tm에

의존하지 않는다. 따라서, 만약 ri = 1/2이면, 정규사건이라고 할 수 있다. 지금부터는

각 i에 대해서 식 ri = 1/2가 성립한다고 가정하자. 즉, ∆Utm 의 가능한 모든 출력값들이

정규사건들이라고 가정하자. 이러한 가정 하에, 확률과정 Utm의 표본경로를 살펴보자.

다음 식들이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

lim∆tm→0

wi = lim∆tm→0

wi

√∆tm = 0 (7.6.11)

따라서, 만약 ∆tm → 0이면, 종이에서 손을 떼지 않고 확률과정 Utm의 표본경로를 그릴

수 있다. 즉, 각 시점에서 이 확률과정의 증분은 무한소 크기를 갖는다. 식 (7.6.7)에서 알

수 있듯이 qi = 0이므로, 극한 ∆tm → 0를 취해도 wi가 발생할 확률은 0에 가까워지지

않는다. 실제로, 이 확률은 ∆tm에 의존하지 않으며, 식 pi = pi를 만족한다. 이러한 의미에서,

정규사건은 연속인 표본경로를 발생시킨다. 그러나, 이 표본경로는 연속이지만 평활하지

않다. 우선, 결정론적 함수에서 평활함이 무엇을 의미하는지 생각해 보자. 점 x0에서 증분

∆x에 대한 함수 f(x)의 평균변화율은 [f(x0 +∆x)− f(x0)]/∆x이다. 만약 극한 ∆x→ 0을

취할 때 이 평균변화율이 어떠한 유한값에 수렴하면, f(x)는 점 x0에서 평활하다고 한다. 즉,

함수 f(x)가 어떤 점에서 미분가능하면, 함수 f(x)는 그 점에서 평활하다. 확률과정 Utm


에서 평활함을 같은 방법으로 정의할 수 있을까? 우리가 고려하고 있는 예에서는 사건크기가

∆t1/2m 에 비례한다. 즉, 새로운 사건은 금융자산가격이 O(

√∆tm)만큼 변화하는 원인이 된다.

시간구간 ∆tm이 충분히 작으면, 시점 tm에서 예상하지 않은 가격변화율을 다음과 같이 쓸

수 있다.

Utm+1 − Utm

∆tm=

wi

∆tm(7.6.12)

식 (7.6.12)를 만족하는 i는 단 하나 존재한다. 일반성을 잃지 않고, wi를 양수라고 가정할 수

있다. 다음 식들이 성립한다.

lim∆tm→0

Utm+1 − Utm

∆tm= lim

∆tm→0wi

√∆tm∆tm

= ∞ (7.6.13)

식 (7.6.13)은 시간간격 ∆tm이 작아지면, Utm 은 무한대 비율로 변화하는 것을 의미한다.

즉, 금융자산가격은 연속적이지만, 평활하지가 않고 변화가 심하다. 사건크기가 ∆t1/2m 에

비례하므로, 극한 ∆tm → 0를 취하면 확률과정 Utm의 극한을 Brown운동으로 나타낼 수

있다.

모수들 ri와 qi가 식 0 < ri < 1/2와 식 0 < qi < 1을 만족하는 경우에, 확률과정 Utm

의 표본경로를 살펴보자. 식 (7.6.5)에서 알 수 있듯이, wi는 ∆tm의 함수이다. 만약 ∆tm → 0

이면, wi는 0에 수렴한다. 따라서, 사건크기의 관점에서 보면, 이 사건은 우발사건이 아니다.

또한, 이 사건이 발생하는 확률 pi도 0에 수렴한다. 즉, 이러한 사건도 자주 관찰되지는 않을

것이다. 이러한 확률과정의 표본경로는 Brown운동에서와 마찬가지로 연속이지만 평활하지

않다.

7.6.4 우발사건의 모형화

이 소절에서는 우발사건이 발생하는 금융자산가격의 모형화에 대해서 살펴보자. 금융자산가

격을두가지성분들로분해하는식 (7.6.2)를다시살펴보자. 식 (7.6.2)의우변의첫째성분은

그 시점에서 주어진 정보집합으로부터 예측할 수 있는 부분인 추세항을 나타내고, 두 번째

성분은 예측할 수 없는 부분인 확산항을 나타낸다. 식 (7.6.2)에서 극한 ∆tm → 0를 취하면,

다음과 같은 연속시간형 확률미분방정식을 얻는다.

dSt = µ(St, t)dt+ σ(St, t)dUt (7.6.14)


우발사건을 반영하기 위해서도, 식 (7.6.14)와 같은 표현을 사용할 수 있다. 우발사건을 나타

내는 확률과정과 정규사건을 나타내는 Brown운동 사이의 중요한 차이는 표본경로가 시점 t

에 대해서 연속인지 여부이다. 따라서, 확률미분방정식 (7.6.14)를 약간 수정해서, 우발사건을

모형에 반영할 수 있을 것이다. 이 경우에 우리에게 필요한 것은 확산항 dUt에 대한 새로운

모형이다. 만약 ∆tm → 0이면, 우발사건이 발생할 확률은 무시할 수 있을 정도로 작아져도

우발사건의 크기는 무한소가 아니다. 따라서, 확산항이 우발적으로 발생하는 금융자산가격의

점프를 표현할 수 있어야 한다.

시간간격이 ∆tm인 이산형 시간구간에서 관찰되는 금융자산가격을 살펴보자. 금융자산

가격의 변화는 연속적으로 발생하는 정규사건들과 산발적으로 (sporadically) 발생하는 점프

들의 혼합이다. 첫째 성분을 ∆Wtm 으로 표기하고, 둘째 성분을 ∆Ntm.= Ntm+1 −Ntm 으로

표기하자. 금융자산가격에서 점프의 크기가 1이라고 가정하고, 또한 다음 식들이 성립한다고

가정하자.

Pr (∆Ntm = 1) = λ∆tm = 1− Pr (∆Ntm = 0) (7.6.15)

여기서 λ는 상수이다. 이 Ntm 을 제7.2절에서 소개한 Poisson확률과정을 이용해서 모형화할

수 있음은 명백하다. 실제로, Poisson확률과정은 점프를 모형에 반영하기 위한 좋은 후보로

간주된다. 그러나, 이 모형화에서 Poisson확률과정의 수정이 필요할 수도 있다. 첫째, 어떤

금융자산가격에서점프의발생빈도는시점에따라변화할수도있다. Poisson확률과정은사건

이 발생할 비율이 일정하므로, 이러한 움직임에는 적합하지 않다. 따라서, Poisson확률과정을

변형할필요가있다. 둘째, 확률증분 ∆Ntm의평균은 0이아니다. 확률미분방정식을사용하기

위해서는확산항의기대값이 0이어야만한다. 즉, ∆Ntm 의 평균을제거하는조정이필요하다.

평균이 조정된 확률증분 ∆Mtm.= ∆Ntm − λ∆tm을 정의하자. 확률증분 ∆Mtm 의 평균은 0

이다. 더구나, ∆Mtm 에 σM (Stm , tm)과 같이 시점에 의존하는 계수를 곱하면, 점프의 크기는

시점에 의존하게 된다. 따라서, σM (Stm , tm)∆Mtm 은 금융자산가격에서 점프를 표현하는

적절한 후보이다. 이러한 내용을 식 (7.6.2)에 반영해서, 우발사건들을 포함하는 이산시간형

확률미분방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

Stm+1 − Stm = µ(Stm , tm)∆tm + σW (Stm , tm)∆Wtm + σM (Stm , tm)∆Mtm (7.6.16)

만약 식 (7.6.16)에서 극한 max1≤m≤M

∆tm → 0을 취하면, 무한소 시간구간에서 다음 확률미분


방정식이 성립한다.

dSt = µ(St, t)dt+ σW (St, t)dWt + σM (St, t)dMt (7.6.17)

이 확률미분방정식을 사용해서 정규사건과 우발사건을 동시에 다룰 수 있다. 만약 시간간격의

최대값 max1≤m≤M

∆tm이 작아지면, 정규사건크기는 작아지는 반면에 우발사건크기는 동일하다.

따라서, 각 시점 t에서 우발사건크기와 정규사건크기는 독립적이다. 마지막으로, 각 시점 t

에서 점프성분 dMt와 Brown성분 dWt가 확률적으로 독립이어야 함에 유의하라.

예제 7.6.3 원자산과정이 우발사건을 포함하는 경우에 유럽형콜옵션을 평가하는 예를 살펴

보기 위해서, 다음과 같은 R-파일을 실행하자.

1 #---------------------------------------------------------------------------2 # Filename: Jump_CallOption.R3 # Call Option Price for Underlying with Jumps4 ### Need fOptions ,sde package5 # Programmed by KHW6 #---------------------------------------------------------------------------7 sigmaG = 0.058 sigmaP = 0.19 r = 0.05

10 S0 = 10011 K = 9012 tau = 113 lambda = 314 M = 20015 N = 100016 n = 50017 dt = tau/M18 D = 019 #20 # Generating GBM21 set.seed(2)22 X = S0*exp(sigmaG*sqrt(tau)*rnorm(N*n)+(r-sigmaP*lambda -0.5*sigmaG^2)*tau*seq(

from=1,to=1,length.out=N*n))23 # Generating jumps24 P = rpois(N*n,lambda*tau)25 J = (sigmaP+1)^P26 #27 # Risk neutral pricing28 Ct = seq(from =0,to=0, length.out=n)29 St = X*J30 Rt = pmax(St-K,0)31 Ct[1] = exp(-r*tau)*mean(Rt[1:N])32 for(i in seq(from=2, to=n, by=1))33 Ct[i] = exp(-r*tau)*mean(Rt[((i-1)*N+1):(i*N)])34 35 expmean = mean(Ct)36 expsig = var(Ct)37 # Calculating BS prices38 Call = GBSOption(TypeFlag="c",S=S0,X=K,Time=tau,r=r,b=r-D,sigma=sigmaG)@price #

fOption package39 Put = GBSOption(TypeFlag="p",S=S0,X=K,Time=tau,r=r,b=r-D,sigma=sigmaG)@price


40 message("MC mean : ", round(expmean,digits=4))41 message("MC standard deviation : ", round(expsig,digits=4))42 message("BS price : ", round(Call,digits=4))43 # Histogram of Call option value44 dev.new()45 hist(Ct,breaks=20,main="Call option price with jump" )46 x = seq(min(Ct),max(Ct),length=100)47 hx = dnorm(x,mean=mean(Ct),sd=sqrt(var(Ct)))48 lines(x,100*hx,type="l",lwd=4,col="red")49 # save can be possible in window.5051 # title('Call option price with jump)5253 # Sample path - example54 GBM1 = GBM(x=S0,r=(r-sigmaP*lambda),sigma=sigmaG,T=tau,N=M) # sde package55 set.seed(3)56 Nt = rpois(M+1,lambda*dt)57 result = GBM1*((1+sigmaP)^cumsum(Nt))58 # Ploting59 x_axis = seq(from=0,to=1, length.out=M+1)60 dev.new()61 plot(x_axis, result, xlab="t", ylab=expression(S[t]),type="l", col="black")62 # End of program63 #---------------------------------------------------------------------------


>> Jump_CallOption


무위험이자율이 r = 0.05, 만기시점이 T = 1, 원자산의 정규사건을 나타내는 기하Brown운

동의 변동성이 σG = 0.05, 우발사건을 나타내는 Poisson과정의 변동성이 σP = 0.1이고 강도

(intensity)가 λ = 3 그리고 소구간들의 개수가M = 200인 경우에 해당하는 유럽형콜옵션의

가치를 계산한다. 각 몬테카를로실험에서 표본경로의 개수는 N = 1, 000이고 이러한 실험을

n = 500번 실행하였다.

이 명령문을 실행하면, 기하Brown운동과 Poisson확률과정으로 이루어진 원자산과정의

표본경로가 발생한다. 그 중 표본경로 하나를 그린 것이 그림 7.6.3이다. 계산된 콜옵션가치들

500개의히스토그램이그림 7.6.4에그려져있다. 이콜옵션가치들의표본평균은 15.7198이고

표준편차는 0.0529이다. 또한, 점프과정, 즉 Poisson과정이 없다는 가정 하에 구한 콜옵션의

Black-Scholes가치는 14.3906이다.


그림 7.6.3. Jump를 포함한 원자산의 표본경로

그림 7.6.4. 콜옵션가치의 히스토그램


7.6.5 사건과 적률

정규사건은 정규확률분포를 따른다. 따라서, 1차적률과 2차적률만으로 확률분포를 완전히

나타낼 수 있다. 그러나, 우발사건의 경우에는 더 많은 적률들을 고려할 필요가 있다. 제

7.6.3소절에서와 마찬가지로, 예측할 수 없는 변화가 L개 성분들 w1, w2, · · · , wL로 표현되는

경우를 살펴보자. 이 예측할 수 없는 확산항의 기대값과 분산은 각각 다음과 같다.

E (σU (Stm , tm)∆Utm +∆σM (Stm , tm)∆Mtm) = 0 (7.6.18)

Var(σU (Stm , tm)∆Utm +∆σM (Stm , tm)∆Mtm) =L∑l=1

plw2l (7.6.19)

식 (7.6.19)을 유도할 때, 확률증분들 ∆Utm 과 ∆Mtm 이 서로 독립임을 이용하였다.

각 i에 대해서, qi = 0인 경우를 살펴보자. 이 경우에 각 사건은 정규사건이고, 사건크기는√∆tm에 비례한다. 따라서, 예측불가능한 확산항의 평균변화율은 다음과 같다.

1

∆tmE (σU (Stm , tm)∆Utm) =

1√∆tm

L∑l=1

plwl (7.6.20)

만약 1차적률 E (σU (Stm , tm)∆Utm)이 0이 아니면, 짧은 시간구간 (tm, tm+1]에서 이 평균변

화율을 무시할 수 없다. 다음 식이 성립한다.

1

∆tmVar (σU (Stm , tm)∆Utm) =

L∑l=1

plw2l (7.6.21)

이 분산은 예측불가능한 가격변화에 대한 중요한 정보를 제공한다. 고차적률에 대해서 살펴

보자. 만약 k > 2이면, 다음 식이 성립한다.

1

∆tmE([σU (Stm , tm)∆Utm ]

k)=

√∆tk−2

m

L∑l=1

wkl pl (7.6.22)

만약 ∆tm → 0이면,√∆tm

k−2는 0에 수렴한다. 따라서, 시간간격 ∆tm이 작은 경우에는,

정규사건의 예측불가능한 가격변화의 고차적률들은 유용한 정보를 제공하지 못한다. 따라서,

각 i에 대해서 qi = 0인 경우, 가격데이터의 중요한 정보를 파악하기 위해서는 1차적률과 2

차적률에만 의존하는 확률모형으로 충분하다. 즉, 우발사건이 발생하지 않는 경우에는 Brown

운동이 자연스러운 확률모형이다.

모든사건들이우발사건들이라고가정하자. 우발사건에서사건크기 wi는∆tm에의존하지


않는다. 다음 식이 성립한다.

1

∆tmE([σM (Stm , tm)∆Mtm ]

2)=

L∑l=1

w2l pl (7.6.23)

식 (7.6.23)에 극한 ∆tm → 0를 적용하면, ∆Mtm 의 2차적률을 ∆tm으로 나눈 평균변화율은

어떤 양수로 수렴한다. 따라서, 무한소 시간간격에서 ∆Mtm 의 2차 적률을 무시할 수는 없다.

각 k (> 2)에 대해서, k차적률은 다음 식을 만족한다.

1

∆tmE([σU (Stm , tm)∆Mtm ]

k)=

L∑l=1

wkl pl (7.6.24)

식 (7.6.24)에 극한 ∆tm → 0를 적용하면, ∆Mtm 의 고차적률을 ∆tm으로 나눈 평균변화율은

어떤 양수로 수렴한다. 따라서, Brown운동과는 달리, 무한소 시간간격에서 ∆Mtm 의 고차적

률을 무시할 수 없다. 이것은 금융자산가격이 우발사건에 의해 영향을 받는 경우에는 ∆Mtm

의 고차적률이 시장참가자에게 유익한 정보를 제공하는 것을 의미한다.

지금까지 논의를 바탕으로, 어떠한 경우에 Brown운동만을 사용해서 확률미분방정식의

확산항을 나타내는 것이 적절한지를 살펴보자. 금융자산의 가격변화성의 근원이 정규사건이

라고 생각하는 경우에는, 첫 두 적률들에만 의존하는 확률분포함수가 좋은 근사가 될 것이다.

즉, dWt가 정규확률분포를 따른다고 가정하는 것이 좋을 것이다. 이 경우에는 확산항을

Brown운동으로표현하는것이적절하다. 그러나, 우발사건이체계적으로발생한다면, Brown

운동과 더불어 Poisson확률과정을 사용해야 할 것이다. 즉, 시장참가자는 적당한 σW (St, t)

와 σM (St, t)를 선택함으로써, Brown운동과 Poisson확률과정을 조합해서 금융시장에 영향을

미치는 대부분 사건들을 표현할 수 있다.

예제 7.6.4 시간구간 [0, t]에서 금융자산가격 Sv의 움직임을 이산화하자. 시간구간 [0, t]의

등간격 분할 Π를 다음과 같이 표기하자.

Π.= 0 = t0 < t1 < . . . < tM = t (1)

시간간격은 ∆tm.= δ

.= t/M이다. 시점 tm에서 Stm

.= S(tm)은 u배만큼 상승하거나 d배

만큼 하락한다고 가정하자. 즉, u > 1이고 0 < d < 1이다. 다음과 같은 두 가지 경우들을

살펴보자.

첫째는 u와 d가 δ에 의존하지만, 상승확률과 하락확률은 δ에 의존하지 않는 경우이다. 이


경우에 각 사건은 정규사건이다. 예를 들어, 다음 식들이 성립한다고 가정하자.

Pr(Stm+1 = eσ

√δStm

)=

1

2

[1 +

µ

σ

√δ]= 1− Pr

(Stm+1 = e−σ

√δStm

)(2)

만약 δ → 0이면, 확률 1로 Stm+1은 Stm에가까워진다. 즉, 무한소시간구간에서금융자산가격

Stm 변화의 크기는 무시할 수 있다. 그러나, 확률은 식 limδ→0

[1 + µ√δ/σ]/2 = 1/2을 만족한다.

즉, 각 노드에서 Stm 의 변화를 나타내는 사건은 정규사건이다.

둘째는 u 또는 d가 δ에 의존하지 않지만, 상승확률과 하락확률은 δ에 의존하는 경우이다.

예를 들어, 다음 식들이 성립한다고 가정하자.

Pr(Stm+1 = αStm

)= λδ = 1− Pr

(Stm+1 = eβδStm

)(3)

여기서 λ (> 0), α (> 1)와 β(< 0)는 상수들이다. 만약 δ → 0이면, 식 eβδ → 1이 성립하고

또한 식 Pr(Stm+1 = eβδStm

)→ 1이 성립한다. 따라서, 금융자산가격 Stm 은 안정된 경로를

따르게 될 것이다. 즉, 식 Stm+1 = eβδStm 은 정규사건이 발생함을 의미하고, 이 정규사건이

발생할 확률은 1− λδ로서 1에 가깝다. 반면에, 우발사건 Stm+1 = αStm 가 발생할 확률은 λδ

로서 0에 가깝다.

예제 7.6.5 시간구간 [0, t]에서 금융자산가격 Sv의 움직임을 이산화하자. 즉, 시간구간 [0, t]

의 등간격 분할 Π.= 0 = t0 < t1 < . . . < tM = t에서 Sv의 움직임을 살펴보자. 시간구간

(tm, tm+1]에서 Stm.= S(tm)은 u배만큼 상승하거나 d배 만큼 하락한다고 가정하자. 또한,

상승확률은 상수 p라고 하자.

확률변수 Stm+k/Stm 을 살펴보기로 하자. 우선, 이 확률변수의 움직임을 연구해야 할

필요성을 생각해 보자. 만약 시간간격 δ.= t/M이 작으면, 시간구간 (tm, tm+1]에서 Sv를

상태가 2개인모형으로모형화하는것도타당하다. 그러나, 어떤투자나거래가먼미래시점에

영향을 미치는 경우에는 이 모형화가 별로 필요하지 않을 것이다. 한 예로서 콜옵션을 생각해

보자. 시장참가자의 관심은 현재시점에서 금융자산가격 Sv가 아닌 미래시점 τ (> v)에서

금융자산가격 Sτ 이다. 이러한 경우에는, 짧은 시간구간 [v, v + δ]에서 모형화는 크게 도움이

되지 않을 것이다. 따라서, 시장참가자는 이러한 순간적인 변화에 흥미를 갖는 동시에, 먼

미래시점에서 금융자산가격 Sτ 에도 흥미를 갖는다. 사실 작은 시간구간에서 발생한 변화들의

축적된 확률적 행태는 금융자산가격 Stm 의 순간적인 변화를 나타내는 확률 ptm 과 크게 다를


지도 모른다. 이러한 이유로 시차 k가 큰 경우 비율 Stm+k/Stm 의 확률적 변화를 살펴보기로

하자.

시점 tm에서 시점 tm+k까지 관찰되는 상승횟수를 확률변수 z로 나타내자. 다음 식들이

성립함을 쉽게 알 수 있다.

lnStm+k

Stm= z ln u

d+ k ln d (1)

E(z) = kp, Var(z) = kp[1− p] (2)


E

(lnStm+k

Stm

)= k

[p ln u

d+ ln d

](3)

Var(

lnStm+k

Stm

)= k

[ln ud

]2p[1− p] (4)

다음 모수들을 정의하자.

µ.=[p ln u

d+ ln d

] 1δ

(5)

σ2.=[ln ud

]2p[1− p]

1

δ(6)

식 (3)∼식 (6)에서 알 수 있듯이, 시간구간 (tm, tm+k]에서 ln(Stm+k/Stm)의 평균은 kµδ이고

변동성은 σ√kδ이다.

지금부터는 ln(Stm+k

/Stm)의 점근확률분포를 구해보자. 첫째로, 정규사건에 대응하는

다음 확률밀도함수를 생각해 보자.

Pr(Stm+1 = eσ

√δStm

)=

1

2

[1 +

µ

σ

√δ]= 1− Pr

(Stm+1 = e−σ

√δStm

)(7)

즉, lnu = σ√δ, ln d = −σ

√δ, 그리고 p = 1

2

[1 + µ

σ

√δ]이다. 이 u, d, 그리고 p가 식 (5)를

만족함을 알 수 있다. 만약 k → ∞이면, 중심극한정리에 의해서 다음 식들이 성립한다.

√k

[1

klnStm+k

Stm− µδ

]d→ N (0, σ2δ) (8)

즉, 1k ln(Stm+k

/Stm)는 점근적으로 정규확률분포를 따른다. 둘째로, 우발사건에 대응하는


다음 확률밀도함수를 생각해 보자.

Pr (Stm+1 = αStm) = λδ = 1− Pr (Stm+k= eβδStm) (9)

<정리 6.5.6>을 사용해서, 만약 m → ∞이면, ln(Stm+k/Stm)의 확률분포가 Poisson확률분

포에 수렴함을 알 수 있다. 독립적 확률변수들의 합이 정규확률분포로 수렴하기 위해서는, 그

합의 각 항은 점근적으로 무시되어야 한다. 이 점근적으로 무시할 수 있다는 조건에 의해서,

정규사건과 우발사건이 구별되는 것이다. 만약 우발사건을 나타내는 모수들 α, β와 λ가 적

절하게 선택되면, 각 우발사건을 점근적으로 무시할 수 없다. 따라서, 그 합은 정규확률분포가

아닌 Poisson확률분포에 수렴한다.

7.6.6 Lévy확률과정

정규사건과 우발사건을 동시에 나타낼 수 있는 대표적인 확률과정이 Lévy확률과정이다. 본서

에서는 Lévy확률과정을 자세히 다루거나 금융자산의 가치평가에 사용하지도 않는다. 그러나,

금융공학을 본격적으로 공부하기 위해서는 Lévy확률과정을 알아야 한다. 특히, 불완비시장을

다루는 데 Lévy확률과정이 필요하다. 이 소절에서는 Lévy확률과정을 간단히 소개하고자

한다. 아직우리독자들에게는 Lévy확률과정이낯설게느껴질것이다. 그러나신용파생상품의

가치를 평가하거나 신용문제를 심도있게 다루기 위해서는 반드시 Lévy확률과정을 알아야

한다. Lévy확률과정에 좀 더 관심이 있는 독자는 Cont & Tankov (2004, 제3장)를 참조하라.

Lévy확률과정을 제대로 공부하기 위해서는 측도론과 복소수함수론에 대한 지식이 있어야

한다.

Lévy확률과정은 금융공학이나 물리학 등에서 응용되고 있는, 확률연속이며 정상적 (sta-

tionary) 증분을갖는확률과정이다. 좀더직관적으로말하면,시간적으로정상성(stationarity)

을 갖는 Markov과정이라 할 수 있다. Lévy확률과정은 Brown운동, Poisson확률과정, 복합

Poisson확률과정 (compound Poisson process), Cauchy확률과정, 감마확률과정 등을 포함

한다. 특히, 표본경로가 연속인 Lévy확률과정은 Brown운동이다. 또한, Brown운동과 복합

Poisson확률과정의 합도 Lévy확률과정이므로, 점프확산과정(jump diffusion process) 역시

Lévy확률과정이다.


정의 7.6.1: Lévy확률과정

확률공간 (Ω,F , P ) 상에서 정의되는 확률과정 Xt | t ≥ 0가 다음 조건들을 만족할 때,

이를 Lévy확률과정이라 부른다.

(a) 임의의 자연수 n과 임의의 시점들 0 ≤ t0 < t1 < · · · < tn에 대해서 확률증분들

Xt0 , Xt1 −Xt0 , Xt2 −Xt1 , · · · , Xtn −Xtn−1 은 서로 독립이다.

(b) 거의 모든 점에서 초기 확률변수는 0이다. 즉, 식 X0 = 0 a.s.이 성립한다.

(c) 임의의 t와 s에 대해서 확률증분 Xt+s − Xt의 확률분포는 s에는 의존하나 t에는

의존하지 않는다. 즉, 확률과정 Xt는 정상적이다.

(d) 임의의 양수 ϵ에 대해서 다음 식이 성립한다.

limt→0

Pr (|Xt+s −Xt| > ϵ = 0

즉, 확률과정 Xt는 확률적으로 연속이다.

(e) 다음 조건을 만족하는 가측집합 Ω0 ∈ F가 존재한다. 각 ω(∈ Ω0)에 대응하는 표본

경로 Xt(ω)가 t의 함수로서 우연속(right-continuous)이고 좌극한(left-limit)을

갖는다.

만약 조건들 (a), (b), (c), 그리고 (d)가 만족되면, 확률과정 Xt를 법칙의미에서

(in law) Lévy확률과정이라 부른다. 만약 조건들 (a), (b), (d), 그리고 (e)가 만족되면,

확률과정 Xt를 가법과정(additive process)이라 부른다. 만약 조건들 (a), (b), 그리고

(d)가 만족되면, 확률과정 Xt를 법칙의미에서 가법과정이라 부른다.

Lévy확률과정을 정의하는 다른 방법은 무한분해가능성 (infinite divisibility)으로부터

시작하는 것이다. 무한분해가능성을 정의하기 위해서는 확률변수의 특성함수를 다루어야

한다. 특성함수는 확률밀도함수의 Fourier변환 (Fourier transform)이라 할 수 있다. 뒤에서

편미분방정식을 풀어서 Black-Scholes식을 유도할 때, Fourier해석에 대해서 간단히 설명할

것이다. 금융공학을 심도있게 공부하기 위해서는 Fourier해석이나 복소수함수론을 공부할

필요가 있다.

확률변수 X가 확률분포함수 F를 따르면, 이 확률변수의 특성함수 ϕ는 다음과 같다.

ϕ(α) = E(exp(iαX)) =

∫ ∞

−∞exp(iαx)dF (x) (7.6.25)


만약 확률변수 X가 확률밀도함수 f를 가지면, 특성함수 ϕ는 다음과 같다.

ϕ(α) =

∫ ∞

−∞exp(iαx)f(x)dx (7.6.26)

어떤 확률변수의 적률모함수는 존재하지 않을 수도 있으나, 모든 확률변수의 특성함수가

존재한다.

보조정리 7.6.1: 특성함수의 성질

특성함수 ϕ는 다음 성질들을 갖는다.

(a) ϕ(0) = 1

(b) |ϕ(α)| ≤ 1

(c) ϕ(−α) = ϕ(α)

(d) 특성함수 ϕ는 일양연속 (uniformly continuous)이다.

Lévy의 반전공식(inversion formula)에서 알 수 있듯이, 확률분포함수와 특성함수는 일

대일 대응한다. 어떤 확률분포함수 Fn의 특성함수를 ϕn이라 하고, 확률분포함수 F의 특성

함수를 ϕ라 하자. 연속성정리 (continuity theorem)에 의하면, 확률분포함수열 Fn이 확률

분포함수 F에 분포수렴하기 위한 필요충분조건은 각 점 α(∈ R)에서 식 limn→∞

ϕn(α) = ϕ(α)

가 성립하는 것이다. 중심극한정리를 증명할 때, 이 연속성정리를 사용한다. 서로 독립인

확률변수들 X와 Y 의 확률분포함수들을 FX 와 FY , 그리고 특성함수들을 ϕX 와 ϕY 라 하자.

확률변수 Z.= X + Y 의 확률분포함수 FZ는 다음 식을 만족한다.

FZ(x) =

∫ ∞

−∞FX(x− y)dFY (y)

.= FX ∗ FY (x) (7.6.27)

식 (7.2.27)의 FX ∗FY 를 FX와 FY 의합성곱(convolution)이라한다. 확률변수 Z의특성함수

ϕZ는 다음 식을 만족한다.

ϕZ(α) = ϕX(α)ϕY (α), (α ∈ R) (7.6.28)

식 (7.6.28)을 합성곱정리(convolution theorem)라 한다.


정의 7.6.2: 무한분해가능

확률분포함수 F와 임의의 자연수 n에 대해서, 다음 식을 만족하는 확률분포함수 Fn이

존재하면, 확률분포함수 F가 무한분해가능 (infinitely divisible)하다고 한다.

F = Fn ∗ Fn ∗ · · · ∗ Fn

정의 7.6.2에서 알 수 있듯이, 확률분포함수 F가 무한분해가능하면, 이 F의 특성함수 ϕ

에 대해서 다음 식을 만족하는 특성함수 ϕn이 존재한다.

ϕ(α) = [ϕn(α)]n, (α ∈ R) (7.6.29)

다음 정리는 Lévy확률과정과 무한분해가능성을 연결한다.

정리 7.6.1

확률공간 (Ω,F, P ) 상에서 정의되는 확률과정 Xt | t ≥ 0가 아래의 조건들을 만족시키

면, 각 t(≥ 0)에 대해서 Xt의 확률분포함수는 무한분해가능하다.

(a) 임의의 자연수 n과 임의의 시점들 0 ≤ t0 < t1 < . . . < tn에 대해서 확률증분들

Xt0 , Xt1 −Xt0 , Xt2 −Xt1 , . . . , Xtn −Xtn−1 은 서로 독립이다.

(b) 식 X0 = 0 a.s.이 성립한다.

(c) 확률과정 Xt는 정상적이다.

정의 7.6.1과 정리 7.6.1에서 알 수 있듯이, 확률과정 Xt가 법칙의미에서 (in law) Lévy

확률과정이면, 각 t(≥ 0)에 대해서 Xt의 확률분포함수는 무한분해가능하다.

보조정리 7.6.2

만약 확률분포함수 F가 무한분해가능하면, 이에 해당하는 특성함수 ϕ는 각 α(∈ R)에

대해서 식 ϕ(α) = 0을 만족한다.


정의역 R에서 연속인 복소함수의 로그함수와 n제곱근함수를 정의하기 위해서, 다음

보조정리를 살펴보자.

보조정리 7.6.3

정의역이 R인 복소함수 ϕ(α)가 연속이고, 식 ϕ(0) = 1이 성립하고, 각 α(∈ R)에서

ϕ(α) = 0라 하자. 다음 성질들이 성립한다.

(a) 다음 식들을 만족하고 정의역 R에서 연속인 복소함수 f(α).= lnϕ(α)가 일의적으로

존재한다.

f(0) = 0, exp(f(α)) = ϕ(α)

(b) 자연수 n에 대해서 다음 식들을 만족하고 정의역 R에서 연속인 복소함수 gn(α)가

일의적으로 존재한다.

g(0) = 0, [gn(α)]n = ϕ(α), (α ∈ R)

이 gn(α) = exp(1n lnϕ(α)

)를 ϕ(α)의 n제곱근함수라 부른다.

보조정리 7.6.2와 보조정리 7.6.3에서 알 수 있듯이, 무한분해가능한 확률분포 F의 특성

함수 ϕ(α)에 대해서 ϕn(α).= exp

(1n lnϕ(α)

)는 ϕ(α)의 n제곱근함수이다. 따라서, 이 ϕn(α)

에 해당하는 확률분포함수 Fn은 합성곱 의미에서 F의 n제곱근함수이다.

보조정리 7.6.4

확률분포함수 Fn이 무한분해가능하고, 또한 F는 확률분포함수라고 하자. 만약 Fn이 F

에 분포수렴하면, F는 무한분해가능하다.

보조정리 7.6.5

확률분포함수 F의 특성함수가 ϕ(α)라 하자. 만약 F가 무한분해가능하면, 각 t(≥ 0)

에 대해서 ϕt(α) = exp(t lnϕ(α))를 특성함수로 갖는 확률분포함수 Ft가 일의적으로


존재한다. 또한, 이 Ft는 무한분해가능하다.

지금까지 기술한 보조정리들을 사용해서, 다음 정리를 유도할 수 있다.

정리 7.6.2

(a) 만약확률과정 Xt가법칙의미에서 Lévy확률과정이라면, 확률변수 X1의확률분포

함수 F는 무한분해가능하며, 또한 확률변수 Xt의 확률분포함수는 Ft이다. 여기서

Ft는 보조정리 7.6.5에서 정의된 것이다.

(b) 만약 확률분포함수 F가 무한분해가능하면, 확률변수 X1의 확률분포함수가 F인

법칙의미의 Lévy확률과정 Xt가 존재한다. 이 Lévy확률과정 Xt는 법칙의미

에서 일의적이다.

확률과정 Xt가 정의 7.6.1의 조건들 (a), (b), 그리고 (c)를 만족하면, 확률변수 Xt의

확률분포함수는 Ft는 무한분해가능하다. 그러나, 확률적 연속성에 관한 조건 (d)가 만족되지

않으면, Ft가 법칙의미에서 일의적일 필요는 없다. 다음 정리는 Lévy확률과정의 표본경로에

관한 것이다.

정리 7.6.3

만약 확률과정 Xt가 법칙의미에서 Lévy확률과정이라면, 각 t(≥ 0)에 대해서 식

Pr (Yt = Xt) = 1을 만족하는 Lévy확률과정 Yt가 존재한다.

정리 7.6.2와 정리 7.6.3에서 알 수 있듯이, 무한분해가능한 확률분포 F와 Lévy확률과정

Xt를 대응시킬 수 있다. 이 Lévy확률과정 Xt는 법칙의미에서 일의적이다. 다음은 Lévy

확률과정의 특성함수에 관한 중요한 표현정리이다.

정리 7.6.4: Lévy-Khintchine표현

Lévy확률과정 Xt에서 확률변수 Xt의 특성함수 ϕt(α)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

ϕt(α) = exp(tψ(α))


여기서 ψ(α)는 다음과 같다.

ψ(α).= −1

2Aα2 + iγα+

∫ ∞

−∞

[eiαx − 1− iαx1|x|≤1

]ν(dx)

단, A와 γ는 상수들이며, ν는 측도이다. 모수들 A와 γ 그리고 측도 ν는 일의적으로

정해진다. 이 (A, ν, γ)를 확률분포 F의 생성3요소(characteristic triplet) 또는 확률분포

F에 대응하는 Lévy확률과정의 생성3요소라 부른다. 또한, ν를 확률변수 X1의 확률분

포함수 F의 Lévy측도라 부른다.

정리 7.6.5

만일 확률분포 F가 무한분해가능하면, 이 확률분포의 특성함수 ϕ(α)를 다음과 같이 쓸

수 있다.

ϕ(α) = exp(ψ(α))

여기서 ψ(α)는 정리 7.6.4에서 정의된 것이고, A는 양수이고, γ는 상수이며, ν는 집합

R\0에서 정의되며 다음 식을 만족하는 양 (positive)의 Radon측도이다.

∫ ∞

−∞[ |x|2 ∧ 1 ]ν(dx) <∞

만일 Lévy확률과정이 단변량이 아닌 다변량이라면, A는 양정치행렬 (positive-definite

matrix)이어야 한다. 이러한 A를 Gauss분산행렬이라 부른다. 정리 7.6.5의 모수 γ에 대해서

생각해보자. 먼저, 식∫|x|≤1 |x|ν(dx) < ∞가 성립하는 경우를 살펴보자. 상수 γ0를 다음과

같이 정의하자.

γ0.= γ −

∫|x|≤1

xν(dx) (7.6.30)

이 γ0를 Lévy확률과정의확률분포 F의추세(drift)라고부른다. 추세 γ0를이용해서확률분포

F의 생성3요소를 (A, ν, γ0)0로 표현하기도 한다. 정리 7.6.4의 ψ(α)를 다음과 같이 쓸 수


있다.

ψ(α) = −1

2Aα2 + iγ0α+

∫ ∞

−∞[eiαx − 1]ν(dx) (7.6.31)

다음으로, 식∫|x|>1 |x|ν(dx) < ∞가 성립하는 경우를 살펴보자. 상수 γ1을 다음과 같이

정의하자.

γ1.= γ +

∫|x|>1

xν(dx) (7.6.32)

이 γ1을 Lévy확률과정의 확률분포 F의 중심 (center)이라 부른다. 이 중심을 이용해서 확률

분포 F의 생성3요소를 (A, ν, γ1)1으로 표현하기도 한다. 정리 7.6.4의 ψ(α)를 다음과 같이

쓸 수 있다.

ψ(α) = −1

2Aα2 + iγ1α+

∫ ∞

−∞[eiαx − 1− iαx]ν(dx) (7.6.33)

만약∫∞−∞ |x|F (dx) < ∞ 이면, 식 (7.6.33)에 Taylor정리를 적용해서 γ1이 확률분포 F 에

의한 평균임을 알 수 있다.

무한분해가능한 확률분포 F 에 의해서 결정되는 Lévy확률과정들을 살펴보자. 첫째,

표준정규확률분포 N(x)의 특성함수는 ϕ(α) = exp(−1

2 tα2)이다. 이로부터 생성되는 Lévy

확률과정 Wt의 생성3요소는 (1, 0, 0)이다. 거의 모든 ω에 대해서 표본경로 Wt(ω)는 t에

대해서 연속이다. 이 Wt는 표준Brown운동이다. 따라서, 생성3요소 (σ2, 0, γ)에 대응하는

Lévy확률과정 Xt는 다음 식을 만족한다.

Xt = γt+ σWt (7.6.34)

즉, Xt는 추세계수가 γ이고 분산이 σ2인 일반화Brown운동이다. 둘째, 모수가 λ(> 0)인

Poisson확률분포 F (k) = e−λλk/k!의 특성함수는 ϕ(α) = exp(λ[eiα − 1])이다. 이로부터

생성되는 Lévy확률과정 Xt의 생성3요소는 (0, λδ1, 0)0이다. 여기서 δ는 Dirac델타함

수이다. 거의 모든 ω에 대해서 표본경로 Xt(ω)가 점프크기가 1인 점프를 갖는 시점 t에

관한 계단함수이다. 최초 점프시점 T (ω)는 모수가 λ인 지수확률분포를 따른다. 셋째, 생성3

요소가 (σ2, λρ, 0)0인 Lévy확률과정을 살펴보자. 여기서 λ(> 0)는 상수이고 ρ는 표본공간이

R인 확률측도로서 식 ρ(0) = 0를 만족한다. 이 경우에 확률변수 X1의 특성함수는 다음과


같다.

ϕ(α) = exp(−1

2σ2α2 + λ

∫ ∞

−∞[eiαx − 1]ρ(dx)

)(7.6.35)

이 특성함수로부터 생성된 Lévy확률과정 Xt는 복합Poisson확률과정이다. 이 복합Poisson

확률과정은다음과같은움직임을보인다. 한번점프가발생한뒤에다음점프가일어나기까지

시간 t는 모수가 λ인 지수확률분포를 따른다. 즉, 식 Pr (t > a) = e−λa가 성립한다. 또한,

점프크기가 x일 확률은 ρ(dx)이다.

무한분해가능한 확률분포의 생성3요소 (A, ν, γ)를 갖는 Lévy확률과정 Xt를 다음과

같이분류하자. 첫째, 식 A = 0와식 ν(R) <∞가성립하면, A형이라부른다. 둘째, 식 A = 0,

식 ν(R) = ∞, 그리고 식∫|x|≤1 |x|ν(dx) < ∞가 성립하면, B형이라 부른다. 셋째, 식 A = 0

또는 식∫|x|≤1 |x|ν(dx) = ∞가 성립하면, C형이라 부른다. 만약 ν = 0이면, Xt는 Brown

운동이다. Lévy확률과정 Xt의 표본경로가 거의 확실하게 연속이 되는 필요충분조건은

Xt가 Brown운동인 것이다. Lévy확률과정 Xt의 표본경로가 모든 유한인 시간간격에서

거의확실하게유계변분(bounded variation)을가질필요충분조건은 Xt가 A형또는 B형인

것이다. Lévy확률과정 Xt의 표본경로가 거의 확실하게 비유계변분(unbounded variation)

을 가질 필요충분조건은 Xt가 C형인 것이다. Lévy확률과정 Xt의 점프회수가 유한인

시간구간에서 Xt가 거의 확실하게 유한일 필요충분조건은 식 ν(R) < ∞가 성립하는

것이다. Lévy확률과정 Xt의 점프시점들의 집합이 시간구간 [0,∞)에서 조밀하기 (dense)

위한 필요충분조건은 식 ν(R) = ∞이 성립하는 것이다.

제8장

마팅게일의 기초

마팅게일 (martingale)은 금융이론을 전개하는 데 매우 중요한 도구들 중 하나이다. 이 장

에서는 기초적인 마팅게일이론을 소개한다. 마팅게일이론의 범위가 광범위하기 때문에,

본서에서는 금융파생상품의 가치평가에 직접적으로 관계되는 부분만을 다루고자 한다.

제8.1절 마팅게일게임

마팅게일이란 19세기 프랑스의 도박사들 사이에 유행했던 게임에서 유래한 것이다. 마팅게일

이라는 도박은 패할 때마다 도박금을 배로 거는 게임이다. 우선 마팅게일게임을 생각해 보자.

어떤 동전을 한 번 던져서 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률이 각각 1/2이면, 이 동전을

공정한(fair) 동전이라고 한다. 공정한 동전을 던져서 앞이 나오면 1원을 따고, 뒷면이 나오면

1원을 잃는 게임을 하기로 하자. 만약 동전의 앞면이 나오면, 도박사가 1원을 받고 게임이

끝난다. 만약 동전의 뒷면이 나오면, 도박사는 다시 판돈이 21원 걸린 두 번째 동전을 던진다.

만약동전의앞면이나오면, 도박사가 21원을받고게임이끝난다. 만약동전의뒷면이나오면,

도박사는 21원을 잃고, 다시 판돈이 22원 걸린 세 번째 동전을 던진다. 만약 제i번째까지

계속해서 동전의 뒷면만 나오고 제i+1번째에서 동전의 앞면이 나오면, 도박사는 제i+1번째

도박금 2i원을 받는다.

제 n번째까지 동전던지기에서 도박사가 얻은 수익을 xn이라 하자. 만약 제n번째까지

동전던지기에서 모두 뒷면이 나왔다하면, xn은 다음과 같다.

xn = −1− 21 − 22 − · · · − 2n−1 = −[2n − 1] (8.1.1)

375

376 제 8장 마팅게일의 기초

만약 제n+ 1번째 동전던지기에서 앞면이 나와서 도박사가 이기면, 다음 식들이 성립한다.

xn+1 = −[2n − 1] + 2n = 1 (8.1.2)

만약 제n+ 1번째 동전던지기에서 뒷면이 나와서 도박사가 지면, 다음 식들이 성립한다.

xn+1 = −[2n − 1]− 2n = −[2n+1 − 1] (8.1.3)


Pr(xn+1 = 1 | xn = −[2n − 1]) =1

2(8.1.4)

Pr(xn+1 = −[2n+1 − 1] | xn = −[2n − 1]

)=

1

2(8.1.5)


E(xn+1 | x1, x2, · · · , xn) =1

2× 1 +

1

2× −[2n+1 − 1] = −[2n − 1] = xn (8.1.6)

즉, x1, x2, · · · , xn이 주어진 조건 하에서 xn+1의 기대값은 x1, x2, · · · , xn−1에 의존하지 않는

다. 이 게임에서 도박사는 다음과 같은 성질을 기대할 것이다.

E(xn+1 | x1, x2, · · · , xn) > xn (8.1.7)

이러한 성질을 열마팅게일 (submartingale)이라 한다. 반면에, 도박장주인은 다음과 같은

성질을 기대할 것이다.

E(xn+1 | x1, x2, · · · , xn) < xn (8.1.8)

이러한 성질을 우마팅게일 (supermartingale)이라 부른다. 그러나, 식 (8.1.6)에서 알 수 있듯

이, 마팅게일게임에서는 다음 성질이 성립한다.

E(xn+1 | x1, x2, · · · , xn) = xn (8.1.9)

이러한 성질을 마팅게일 (martingale)이라 한다.

마팅게일게임 377

마팅게일게임에서 언젠가는 도박사가 이기지만, 제n번째까지 전부 진다면 도박금 총액은

2n − 1에 달한다. 예를 들어, n = 20이면, 2n − 1 =1,048,575이란 큰 금액을 필요로 한다.

따라서, 마팅게일게임에서 도박사는 이길 때까지 버틸만한 경제력과 정신력을 요한다. 이

마팅게일게임은 19세기 파리의 도박사들 사이에서 인기가 높았으나, 오늘날 카지노에서는

금지된 게임이다.

이 마팅게일게임을 좀더 수리적으로 살펴보기로 하자. 제i번째 공정한 동전을 던져서

앞이 나오면 확률변수 ϵi에 1을 할당하고, 뒤가 나오면 이 확률변수 ϵi에 -1을 할당하자. 즉,

확률밀도함수는 다음과 같다.

Pr(ϵi = 1) =1

2= Pr(ϵi = −1) (8.1.10)


xn = ϵ1 + 2ϵ2 + · · ·+ 2n−1ϵn (8.1.11)

이 마팅게일게임의 정지시점 (stopping time)은 다음과 같다.

τ.= minn | ϵn = 1 (8.1.12)

동전을 계속 던지면, 언젠가는 앞이 나온다. 따라서, 다음 식이 성립한다.

Pr(τ <∞) = 1 (8.1.13)

지금부터 도박사의 기대손실액을 구해 보자. 만약 τ = n이면, 동전을 n번 던져서 첫 n− 1번

동전던지기에서는 뒷면만 나오는 것을 의미하며, 이 때까지 수익이 xn−1이다. 다음 식들이

성립한다.

Pr(τ = n) = Pr(

n−1∩i=1

ϵi = −1 ∩ ϵn = 1

)=

1

2n(8.1.14)

따라서, 제n− 1번째 동전던지기까지 수익의 기대값은 다음과 같다.

n∑i=1

xi−11

2i= −

n∑i=1

[2i−1 − 1]1

2i= −

n∑i=1

2i−1 − 1

2i(8.1.15)


식 (8.1.15)에서 극한 n → ∞을 취하면, 수익의 기대값이 −∞임을 알 수 있다. 따라서,

마팅게일게임을 하기 위해서는, 무한한 자금과 무한한 시간, 그리고 언젠가는 동전의 앞면이

나온다는 굳은 믿음이 필요하다.

이번에는 룰렛 (roulette)을 사용한 마팅게일게임을 살펴보자. 룰렛은 적색과 흑색으로

칠해진 37개칸들로나누어진원반이다. 이곳에구슬을던져서구슬이적색구역으로들어가면,

도박사가 승리한다. 반대로, 구슬이 흑색 구역으로 들어가면, 도박장주인이 승리한다. 적색은

18개 칸들로 구성되어 있고, 흑색은 (0을 포함한) 19개 칸들로 구성되어 있다. 따라서, 도박사

가 이길 확률은 p = 1837 <

12 이다. 미국식 룰렛에는 흑색인 00도 있어서, 더욱 도박장주인에게

유리하다. 이 마팅게일게임에서 구슬이 처음으로 적색 칸으로 들어가기까지 구슬을 던지는

횟수를 τp라 하면, 확률변수 τp의 확률밀도함수는 다음과 같다.

Pr(τp = n) = [1− p]n−1p, (n = 1, 2, · · · ) (8.1.16)


∞∑n=1

Pr(τp = n) =∞∑n=1

[1− p]n−1p = 1 (8.1.17)

식 (8.1.17)은적색칸에구슬이들어갈때까지룰렛게임을계속하면언젠가는반드시도박사가

승리함을뜻한다. 제n번째던진구슬이처음으로적색칸에들어가면, yn.= 2n−1원을받는다.

따라서, 도박사가 승리했을 때 얻는 획득액 y의 기대값은 다음과 같다.

E(y) =

∞∑n=1

ynPr(τp = n) =

∞∑n=1

yn[1− p]n−1p =

∞∑n=1

2[1− p]n−1 p = ∞ (8.1.18)

여기서식 (8.1.18)의 E(y)는순이익의기대값이아님을유의하라. 앞에서언급했듯이, 손실의

기대값도 ∞이다. 만약 도박장이 도박금을 2L까지 제한한다면, L + 1번째 구슬던지기가

마지막 내기이다. 만약 1 ≤ τp ≤ L + 1이면, 도박사의 순이익은 1원이다. 그러나, 만약

제L+ 1번째에서도 진다면, 손실액은L∑

n=02n = 2L+1 − 1이다. 따라서, 도박사가 얻는 순이익

마팅게일의 정의와 필요성 379

의 기대값은 다음과 같다.

1× Pr(1 ≤ τp ≤ L+ 1)− [2L+1 − 1][1− Pr(1 ≤ τp ≤ L+ 1)]

=

L+1∑n=1

[1− p]n−1p− [2L+1 − 1][1− p]L+1

= 1− 2[1− p]L+1

(8.1.19)

각 구슬던지기에서 도박사가 이길 확률 p가 1/2보다 작으므로, 이 순이익의 기대값은 반드시

음수가 된다. 또한, 상한 L이 커짐에 따라, 식 (8.1.19)의 기대값은 −∞로 발산한다.

이 룰렛마팅게일로 초보자를 속이는 것은 간단하다. 도박장에서는 다음과 같은 말로

손님들을 기만할 수 있다.

이 게임에서는 도박사가 언젠가는 반드시 이깁니다. 또한 기대획득액은 아주

큽니다. 기대순이익은 음수가 되지만, p = 1837 그리고 L = 5인 경우 겨우 -0.173

에 지나지 않습니다. 당신의 운을 시험해 보시지 않으시겠습니까?

그러나 이는 함정이다. 이 룰렛마팅게일게임에서 손실의 기대값은 다음과 같다.

∞∑k=1

[2k−1 − 1][1− p]k−1p = ∞ (8.1.20)

도박액의상한이없으면, 즉 L = ∞이면, 획득액의기대값과손실액의기대값의차인순이익의

기대값은 다음과 같다.

∞∑k=1

2k−1[1− p]k−1p −∞∑k=1

[2k−1 − 1][1− p]k−1p =∞∑k=1

[1− p]k−1p = 1 (8.1.21)

즉, 순이익의 기대값은 1원이다. 결론적으로, 마팅게일게임을 해서는 안 된다.

제8.2절 마팅게일의 정의와 필요성

8.2.1 마팅게일의 정의

마팅게일은 1939년 Ville에 의해 확률론에 도입되었고, Doob (1953)에 의해서 널리 알려졌

으며, 오늘날 확률과정론에서 매우 중요한 부분을 차지하고 있다. 이 절에서는 마팅게일을

소개하고자 한다. 작은 시간간격 δ(> 0)에서 Wt와 St의 변화량들을 각각 ∆Wt와 ∆St로


나타낸다. 반면에, 무한소 시간간격 dt에서 변화량들을 dWt와 dSt로 나타낸다. 즉, dWt와

dSt를 무한소 시간구간 (t, t+ dt]에서 확률변수 Wt와 St들의 변화량들로 해석할 수 있다.

마팅게일의 특징은 미래 변동량을 과거 관찰값들을 바탕으로 예측할 수 없다는 것이다.

시점 t에서 정보집합 (information set)을 It로 표기하고, 시간이 경과함에 따라 얻어지는 정

보집합족 (information family)을 It | t ≥ 0로 표기하자. 일반적으로 시점 t가 커짐에 따라

정보집합 It도 커진다. 한 예로, 마팅게일게임에서 제n번째 동전던지기에서도 뒷면이 나와

도박사가 게임에서 지면, 첫 [n− 1]번째 동전던지기까지 정보집합 In−1 = ϵ1, ϵ2, · · · , ϵn−1

보다는 제n번째 동전던지기까지 정보집합 In = ϵ1, ϵ2, · · · , ϵn−1, ϵn이 더 크다. 즉, 다음

명제가 성립한다.

s < t ⇒ Is ⊆ It (8.2.1)

이와 같이 시간이 흐름에 따라 커지는 정보집합족을 증대정보계 (filtration)라 한다. 마팅게일

은 항상 어떤 정보집합에 관해서 정의된다. 어떤 금융자산가격과정 St에 관한 시점 t에서

정보가 정보집합 It에 포함되어 있어서, 정보집합 It가 주어지면 St값을 알 수 있다고 하자.

이러한 경우에 확률과정 St가 It−적합하다고 (adapted) 한다. 시점 t에서 서로 다른

정보집합들을 이용하면, St+1에 대한 서로 다른 예측을 할 수 있을 것이다. 이러한 예측을

조건부기대값 (conditional expectation)을 사용해서 표현할 수 있다. 시점 t에서 이용가능한

정보집합 It를 바탕으로 미래시점 T (> t)에서 금융자산가격 ST 를 예측하기 위해서, 조건

부기대값 Et(ST ).= E(ST | It)를 사용하는 것은 타당하다. 그 이유는 이 조건부기대값이

최량예측(best predictor)이기 때문이다. 앞에서 간단히 소개했듯이, 마팅게일을 다음과 같이

정의한다.

정의 8.2.1: 마팅게일

다음 조건들이 만족되면, 확률과정 xt | t ≥ 0를 증대정보계 It | t ≥ 0와 확률분포 P

에 대한 마팅게일이라 한다.

(a) 확률과정 xt는 It−적합하다. 즉, 정보집합 It가 주어지면, xt값을 알 수 있다.

(b) EP (| xt |) <∞

(c) EP (xt | Is) = xs, (s < t)


<정의 8.2.1>에서 알 수 있듯이, 마팅게일은 항상 어떤 정보집합과 어떤 확률측도에

대해서 정의된다. 만약 정보집합의 내용이나 확률측도를 변경하면, 현재에는 마팅게일인

확률과정이 마팅게일성을 잃을 수도 있다. 또한, 그 역도 성립한다. 즉, 마팅게일이 아닌

확률과정 xt에 부여된 확률측도를 수정해서, xt를 마팅게일로 변환할 수도 있다. 앞에서

설명했듯이, 실제 시장을 지배하는 확률측도 대신 위험중립확률측도에 대해 금융자산의

할인된 가치과정이 마팅게일이 된다. 즉, 위험중립가치평가식은 이 마팅게일성을 이용하는

것이다. <정의 8.2.1>의 조건 (c)에서 우변의 xs나 좌변의 EP (xt | Is)는 확률변수들이다.

따라서, 등호 EP (xt | Is) = xs는 어떤 확률적 의미에서 성립하는 것이다. 즉, 이 등호가 거의

모든 점에서 (almost everywhere: a.e.) 성립하거나, 확률적으로 (in probability) 성립하거나,

또는 평균제곱적으로 (in the mean square) 성립하는 것이다. 이후 특별한 언급이 없는 한,

본서에서는 확률변수들로 이루어진 등식은 평균제곱적으로 성립하는 것으로 생각하자. 마

팅게일은 현재시점 t에서 정보집합 It를 이용해서는 미래시점의 확률증분을 전혀 예측할 수

없는 확률과정이다. 마팅게일 xt의 시간구간 (t, t+ u]에서 변화량의 예측에 대해서 생각해

보자. <정의 8.2.1>의 조건 (c)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

EPt (xt+u − xt) = EP

t (xt+u)− EPt (xt) = 0 (8.2.2)

즉, 시간구간 (t, t + u]에서 변화량의 예측은 0이다. 다시 말해서, 마팅게일의 미래 변화에

대한 방향을 예측하는 것이 불가능하다. 이것이 마팅게일의 근본적 성질이다.

예제 8.2.1 금융파생상품의 가치평가에서 빈번하게 사용되는 간단한 마팅게일을 살펴보자.

확률측도가 P인 확률변수 yT 에 대해 생각해 보자. 시점 u에서 yT 에 관한 정보집합 Iu를

취득한다고 하면, Iu는 증대정보계이다. 시점 u에서 yT 의 최량예측이 xu.= EP (yT | Iu)

임을 증명할 수 있다. 반복조건부기대값법칙을 적용하면, 각 s(> 0)에 대해 다음 식들이

성립함을 알 수 있다.

EPt (xt+s | It) = EP (EP (yT | It+s) | It) = EP (yT | It) = xt (1)

따라서, xt는 마팅게일이다. 여기서 유의할 점은 식 (1)이 임의의 확률측도 P에 대해서

성립한다는 것이다.


예제 8.2.2 확률보행과정 xt는 다음 식들을 만족한다.

xt = xt−1 + ϵt, ϵt ∼ i.i.d.(0, σ2) (1)

시점 t에서 정보집합 It에 대해서, 다음 식들이 성립한다고 하자.

E(xt | It) = xt, E(ϵt+s | It) = 0, (s = 1, 2, · · · ) (2)


E(xt | It−1) = E(xt−1 | It−1) + E(ϵt | It−1) = xt−1 (3)

즉, 이 확률보행과정은 마팅게일이다. 같은 방법을 적용하면, 다음 식들이 성립함을 알 수

있다.

E(xt+u | It) = xt, (u = 1, 2, · · · ) (4)

따라서, 시점 t+ u에서 xt+u를 시점 t에서 관찰값 xt와 동일하다고 예측한다. <예제 8.2.1>

에서 언급했듯이, 이 예측이 시점 t에서 xt+u의 최량예측이다. 이 경우에 예측오차는 다음과

같다.

xt+u −E(xt+u | It) = xt+u − xt = ϵt+1 + ϵt+2 + · · ·+ ϵt+u (5)

이 예측오차u∑

i=1ϵt+i는 정보집합 It에서는 예측불가능한 우연성을 나타낸다.

예제 8.2.3 다음과 같은 확률과정을 살펴보자.

xn = ϵ1 + ϵ2 + · · ·+ ϵn (1)

여기서 ϵn은 다음과 같은 AR(1)모형을 만족한다고 가정하자.

ϵn = ρϵn−1 + vn, vn ∼ i.i.d. (0, σ2v), (0 <| ρ |< 1) (2)


이 확률과정 xn은 확률보행이 아니다.

시점 n− 1에서 xn−1과 ϵn−1을 포함하는 정보집합 In−1이 주어졌을 때, xn의 최량예측을

구해 보자. 다음 식들이 성립한다.

xn = xn−1 + ϵ = xn−1 + ρϵn−1 + vn, E(vn | In−1) = 0 (3)

따라서, <예제 8.2.1>에서 알 수 있듯이 최량예측은 다음과 같다.

E(xn | In−1) = xn−1 + ρϵn−1 (4)

즉, xn은 마팅게일이 아니다.


xn+s = xn+s−1 + ρs+1ϵn−1 + ρsvn + · · ·+ vn+s (5)

따라서, 각 s(= 0, 1, · · · )에 대해서 다음 식이 성립한다.

E(xn+s | In−1) = E(xn+s−1 | In−1) + ρs+1ϵn−1 (6)

식 (6)에서 알 수 있듯이, 각 s(= 0, 1, · · · )에 대해서 다음 식이 성립한다.

E(xn+s+1 | In) = xn +

s+1∑j=1

ρiϵn (7)

식 (7)에서 알 수 있듯이, 만약 ρ = 0이면, xn은 마팅게일이다. 즉, 만약 ϵn에 자기상관

성이 없으면, xn은 마팅게일이다.


E(xn+1 | In) = xn + ρϵn (8)


E

(xn+1 − ρ

n∑k=1

ϵk

∣∣∣∣∣ In)

= xn − ρ

n−1∑k=1

ϵk (9)


식 (9)에서 알 수 있듯이, 각 ρ에 대해서xn − ρ

n−1∑k=1

ϵk

는 마팅게일이다.

8.2.2 마팅게일로 변환

만약어떤확률과정의궤적들에서체계적인추세를발견할수있다면, 이확률과정은마팅게일

이아니다. 제8.1절에서언급했듯이, 어떤확률과정의추세가평균적으로증가하면열마팅게일

(submartingale)이고, 평균적으로 감소하면 우마팅게일 (supermartingale)이다.

정의 8.2.2: 열마팅게일

다음 조건들이 만족되면, 확률과정 xt | t ≥ 0는 증대정보계 It | t ≥ 0와 확률분포 P

에 대해서 열마팅게일이라 한다.


(b) EP (|xt|) <∞

(c) EP (xs | It) ≥ xt, (t < s)

정의 8.2.3: 우마팅게일

다음 조건들이 만족되면, 확률과정 xt | t ≥ 0는 증대정보계 It | t ≥ 0와 확률분포 P

에 대해서 우마팅게일이라 한다.


(b) EP (|xt|) <∞

(c) EP (xs | It) ≤ xt, (t < s)

마팅게일은 정보집합족이 주어졌다 해도 미래의 변화량을 전혀 예측할 수 없는 확률과정

이다. 그러나, 주가나 채권가격이 완전히 예측불가능한 것은 아니다. 예를 들어, 제로쿠폰채

가격은 시간과 함께 상승한다고 기대된다. 무위험이자율이 상수 r인 시장에서 만기시점이 T


인 제로쿠폰채의 시점 t(< T )에서 가격을 Bt라고 하면, 다음 부등식이 성립한다.

e−rtBt < EPt (e

−r[t+u]Bt+u), (0 < u < T − t) (8.2.3)

여기서 확률분포 P는 상태가 취하는 진짜확률측도이다. 따라서 무위험이자율 r로 할인된

제로쿠폰채가격과정 e−rtBt는 열마팅게일이다. 마찬가지로, 무위험이자율 r로 할인한 주

가과정 e−rtSt의 기대수익률 µ− r이 0보다 크므로, e−rtSt는 열마팅게일이다. 선물이나

옵션의경우도마찬가지이다. 예를들어, 유럽형콜옵션가치는시간이흐름에따라하락하므로,

이 유럽형콜옵션가치과정은 우마팅게일이다. 이처럼 금융자산가격과정이 마팅게일이 아닌

열마팅게일 또는 우마팅게일이라면, 왜 마팅게일에 대해서 배워야 하는가? 이 질문에 대한

답은 다음과 같다. 비록 대부분 금융자산가격과정이 마팅게일이 아니라 할지라도, 가벼운

수리적 조작을 통해서 이를 마팅게일로 변환할 수 있기 때문이다. 우리의 단기적 목표는

열마팅게일이나 우마팅게일을 마팅게일로 바꾸는 것이다. 이러한 목표를 달성하는데는 두

가지 방법이 있다.

첫 번째 방법은 아주 단순한 것이다. 우마팅게일이나 열마팅게일에서 기대추세 (expected

trend)를 제거하는 것이다. 예를 들어, 무위험이자율 r로 할인된 제로쿠폰채가격 e−rtBt 또는

할인된 주가 e−rtSt에서 기대추세를 제거한다. 이 방법에 의해서 미래시점의 변화량을 전혀

예측할 수가 없게 된다. 따라서, 이렇게 추세가 제거된 확률과정은 마팅게일이 된다. 이를

좀더 자세히 설명하면, 다음과 같다. 임의의 확률과정을 마팅게일과 증가확률과정 (또는 감소

확률과정)으로 분해할 수 있다. 따라서, 확률과정에서 이 증가확률과정 (또는 감소확률과정)

을 제거하면, 나머지는 마팅게일이 된다. 다음 예제들을 살펴보자.

예제 8.2.4 시간구간 [0, T ]의 분할 Π.= 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tM = T를 살펴보자.

시점 tm에서금융자산가격을 Stm이라하고, 또한확률증분을 ∆Stm.= Stm+1 −Stm이라하자.

이 확률증분들이 서로 독립이며, 다음과 같은 확률밀도함수를 갖는다고 가정하자.

Pr(∆Stm = 1) = 1− Pr(∆Stm = −1) = p (1)

또한, Stm은 Itm−적합하다고 가정하자. 다음 식이 성립한다.

Stt+1 = St0 +∆St1 +∆St2 + · · ·+∆Stk (2)



E(Stk+1| St0 , St1 , · · · , Stk)

= E(Stk+1| St0 ,∆St1 ,∆St2 , · · · ,∆Stk)

= Stk + 1× p+ [−1]× [1− p] (3)

식 (3)에서 알 수 있듯이, 식 p = 1/2이 성립하는 경우에만 Stk가 마팅게일이다.

각 k(= 0, 1, · · · )에 대해서 다음 확률변수를 정의하자.

xk.= Stk + [1− 2p]k (4)


E(xk+1 | x0, x1, · · · , xk) = E(xk+1 | St0 , St1 , · · · , Stk) = xk (5)

즉, xk는 마팅게일이다. 식 (4)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

Stk = xk − [1− 2p]k (6)

식 (6)에서 알 수 있듯이, 확률과정 Stk를 마팅게일인 xk와 결정적 수열인 −[1− 2p]k

로 분해할 수 있다. 이러한 성질을 일반화한 것이 Doob-Meyer분해이다.

예제 8.2.5 연속시간형 확률과정 xt의 시간구간 [t, t+ δ]에서 확률증분 ∆xt가 평균이 µδ

이고 분산 σ2δ인 정규확률분포를 따른다고 하자. 여기서 µ = 0이다. 다음 식이 성립한다.

∆xt ∼ N(µδ, σ2δ) (1)

여기서 시간간격 δ는 매우 작은 양수이다. 또한, 확률증분들 ∆xt가 서로 독립이라고

가정하자. 다음 식이 성립한다.

E ([∆xu − µδ][∆xt − µδ]) = 0, (u = t) (2)


확률변수 xt는 확률증분들의 누적이다. 즉, 각 s(> 0)에 대해서 다음 식이 성립한다.

xt+s = x0 +

∫ t+s

0dxu (3)

만약 식 (3)의 우변에서 적분이 잘 정의되어 있다고 가정하면, 우리는 좌변의 확률변수 xt+s

의 기대값을 계산할 수 있다. 시점 t까지 정보가 주어졌을 때 xt+s의 조건부기대값은 다음과

같다.

Et(xt+s) = Et

(xt +

∫ t+s

tdxu

)= xt + Et

(∫ t+s

tdxu

)(4)

식 (1)에서 알 수 있듯이 확률증분 ∆xt의 기대값이 µδ이기 때문에, 확률변수 ∆xt+s의 값을

시점 t에서 예측하는 것이 가능하다. 즉, Et

(∫ t+st dxu

)= µs이다. 식 (4)에서 알 수 있듯이,


Et(xt+s) = xt + µs (5)

명백하게, xt는마팅게일이아니다. 확률변수 zt.= xt−µt를정의하면, 다음식이성립한다.

Et(zt+s) = zt (6)

따라서, zt는 마팅게일이다.

예제 8.2.6 다음과 같은 확률보행과정 xn을 살펴보자.

xn = ϵ1 + ϵ2 + · · ·+ ϵn, ϵj ∼ i.i.d(0, σ2) (1)

다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

x2n+1 = x2n + 2xnϵn+1 + ϵ2n+1 (2)

확률과정 xn이 In-적합하다고 하자. 다음 식이 성립한다.

E(x2n | In) = x2n (3)


시점 n에서 정보집합 In은 시점 n+ 1에서 쇄신항 ϵn+1에 관한 정보가 포함되어 있지 않다.

즉, ϵn+1과 In은 서로 독립이다. 따라서, 다음 식들이 성립한다.

E(xnϵn+1 | In) = xnE(ϵn+1 | In) = xnE(ϵn+1) = 0 (4)

E(ϵ2n+1 | In) = E(ϵ2n+1) = σ2 (5)

식 (2)∼식 (5)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

E(x2n+1 | In) = x2n + σ2 > x2n (6)

즉, x2n은 열마팅게일이다. 식 (6)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

E(x2n+1 − [n+ 1]σ2 | In) = x2n + σ2 − [n+ 1]σ2 = x2n − nσ2 (6)

따라서, x2n − nσ2는 마팅게일이다.

<예제 8.2.4>∼<예제 8.2.6>에서 알 수 있듯이, 어떤 확률과정에서 추세를 제거함으

로써, 이 확률과정을 마팅게일로 변환시킬 수 있다. 이 성질을 일반화한 것이 다음과 같은

Doob-Meyer분해이다. 이 정리의 증명은 Karatzas & Shreve (1991)의 제1.4절을 참조하라.

정리 8.2.1: Doob-Meyer분해

확률측도 P와 증대정보계 It에 대해 적합한 (adapted) 확률과정 xt | t ∈ [0,∞)가

각 t에 대해서 식 E(|xt|) < ∞를 만족한다고 하자. 이 확률과정을 다음과 같이 분해할

수 있다.

xt =Mt +Dt

여기서확률과정 Mt는확률측도 P에대해서마팅게일이고, 확률과정 Dt는 It−1−

적합한 확률과정이다. 이러한 분해는 거의 모든 점에서 (almost surely) 일의적이다.

<정리 8.2.1>에서 확률과정 Dt가 It−1−적합하다는 것은 예측가능 (predictable)하

다는뜻이다. <정리 8.2.1>에따르면, 연속시간형확률과정에상승추세나점프가포함되었다


해도, 이 확률과정에서 각 시점 t에서 관찰되는 어떤 과정을 뺌으로써 마팅게일로 변환시킬

수 있다. 특히, 만약 원래 확률과정이 어떠한 점프도 포함하지 않으면, Doob-Meyer분해 결

과로 나타나는 마팅게일 역시 연속일 것이다. Doob-Meyer분해는 시계열분석의 Wold분해에

해당한다.

두 번째 방법은 첫 번째 방법보다 좀더 복잡하지만 재무론에서 훨씬 더 유익한 것이다. 이

방법은 열마팅게일 (또는 우마팅게일)을 직접적으로 변환하지 않고, 그 확률분포를 변환하는

것이다. 예를들어, 무위험이자율 r로할인된제로쿠폰채가격 e−rtBt는식 (8.2.3)을만족한다.

즉, 이할인된제로쿠폰채가격과정 e−rsBs는열마팅게일이다. 만약 e−rsBs가마팅게일이

되는 확률분포 Q가 존재한다면, 다음 식이 성립할 것이다.

EQt (e

−r[t+u]Bt+u) = e−rtBt, (0 < u < T − t) (8.2.4)


EQt (e

−ruBt+u) = Bt, (0 < u < T − t) (8.2.5)

식 (8.2.3)의열마팅게일을식 (8.2.4)의마팅게일로변환하는확률측도 Q를동치마팅게일측도

(equivalent martingale measure)라 부른다. 금융시장에서 관찰된 위험자산의 시장가치는 이

위험자산을무위험이자율로할인한기대가치와같지않다. 그이유는위험프리미엄이존재하기

때문이다. 따라서, 무위험이자율로 할인된 어떠한 위험자산가격과정은 마팅게일이 되지 않을

것이다. 그러나, 동치마팅게일측도 Q를 사용해서, 이 위험자산가격과정을 마팅게일로 변환할

수 있다. 이러한 확률측도의 변환은 금융자산의 가치평가에서 매우 유용한 것이다.

예제 8.2.7 원자산을 St로 하는 콜옵션가치 Ct의 만기시점 T에서 가치는 다음과 같다.

CT = max ST −K, 0 .= [ST −K]+ (1)

여기서 K는행사가격이다. 만기시점 T에서원자산 ST 가행사가격 K를상회하면, 이 콜옵션

의가치는 ST −K이다. 그러나, 만약원자산 ST 가행사가격 K를밑돌고있으면, 이콜옵션의

가치는 0이다. 미래시점 T에서 콜옵션가치 CT 를 시점 t(< T )에서 정확하게 알 수는 없다.

그러나, 시점 t에서 정보집합 It를 사용해서 이 콜옵션가치를 다음과 같이 예측할 수 있다.

EP (CT | It) = EP ([ST −K]+ | It) (2)


여기서 기대값은 진짜확률측도 P에 대한 것이다.

지금부터는 시점 t에서 시장가격 Ct가 EP ([ST −K]+ | It)를 무위험이자율 r로 할인한

할인가치와 동일한지를 살펴보자. 다음 식이 성립한다고 가정하자.

Ct = e−r[T−t]EP ([ST −K]+ | It) (3)

식 (3)의 Ct는 시점 t에서 콜옵션의 공정한 가치를 나타내는 것일까? 이 질문에 대한 답은

정보집합 It와 확률측도 P에 대하여 확률과정 e−rtCt가 마팅게일인지 여부에 따른다. 만약

e−rtCt가 마팅게일이면, 다음 식이 성립한다.

EP (e−rTCT | It) = e−rtCt (4)

식 (4)의 양변에 ert를 곱하면 다음 식을 얻는다.

Ct = EP (e−r[T−t]CT | It), (t < T ) (5)

콜옵션의 할인된 시장가격과정 e−rsCs가 진짜확률측도 P 하에서 마팅게일이라고 할 수

있을까? 투자자가 위험회피적이라는 가정 하에서, 위험을 동반하고 있는 콜옵션가치 Ct는


EP (e−r[T−t]CT | It) > Ct (6)

즉, 확률과정 e−rsCs는 열마팅게일이다. Doob-Meyer분해에 따르면, 이 열마팅게일을

다음과 같이 분해할 수 있다.

e−rsCs =Ms +Ds (7)

여기서 확률과정 Ds는 예측가능하며 또한 Ms는 증대정보계 Is에 대해서 마팅게일

이다.

만약예측가능항 Ps를알수있다면, 콜옵션의공정한가치를얻기위해 Doob-Meyer분해를

사용할 수도 있다. 그러나, 그러한 금융자산의 가치평가법은 실무에서 거의 사용되지 않는다.

그 이유는 Ps가 위험프리미엄에 해당하기 때문이다. 위험프리미엄 Ps를 알고 있다면, 이

위험프리미엄에 무위험이자율을 더해서 공정한 가치를 구할 수 있다. 그러나, 콜옵션가치를

Brown운동과 마팅게일 391

알고자 할 때, 사전에 위험프리미엄 Ps를 안다고 가정 하는 것은 현실적이 아니다. 따라서,

금융자산가격과정을 마팅게일로 변환하기 위해서는 진짜확률측도 P를 동치마팅게일확률측

도로 대체하는 방법이 더 현실적이다. 제4.4절에서 설명한 위험중립가치평가법은 동치마팅

게일확률측도를 사용하는 대표적인 방법이다.

제8.3절 Brown운동과 마팅게일

<예제 8.2.2>에서 알 수 있듯이, 확률보행과정 xt는 마팅게일성을 갖는다. 또한, <예제

8.2.6>에서 알 수 있듯이, x2t − σ2t도 마팅게일성을 갖는다. 따라서, Brown운동도 마팅게

일성을 갖는다고 추측할 수 있다.

정리 8.3.1

확산모수가 σ인 Brown운동 Wt | t ≥ 0에대해서,확률과정들 Wt | t ≥ 0, W 2t −σ2t |

t ≥ 0 그리고

exp(αWt − α2

2 σ2t)| t ≥ 0

각각은 마팅게일이다. 여기서 α는 임의의

상수이다.

증명. 만약 0 ≤ s < t 라면, 다음 식들이 성립한다.

E(Wt | Is) = E(Wt −Ws | Is) + E(Ws | Is)

= E(Wt −Ws) +Ws =Ws (1)

여기서 두 번째 등호는 Wt −Ws가 Is와 독립이라는 성질에 의해서, 그리고 세 번째 등호는

Brown운동의 확률증분의 기대값이 0이라는 성질에 의해서 성립한다. 따라서, Brown운동

Wt는 마팅게일이다.


W 2t = [Wt −Ws +Ws]

2 = [Wt −Ws]2 + 2Ws[Wt −Ws] +W 2

s (2)



E([Wt −Ws]2 | Is) = E([Wt −Ws]

2) = [t− s]σ2 (3)

E(Ws[Wt −Ws] | Is) =WsE(Wt −Ws) = 0 (4)

E(W 2s | Is) =W 2

s (5)


E(W 2t | Is) = [t− s]σ2 +W 2

s (6)


E(W 2t − σ2t | Is) =W 2

s − σ2s (7)

따라서, W 2t − σ2t는 마팅게일이다.


E(exp(αWt) | Is) = exp(αWs)E(exp(α[Wt −Ws])) (8)

Brown운동의 정의에 의해서, 확률변수 Wt −Ws는 정규확률분포 N (0, [t− s]σ2)를 따른다.

따라서, Wt −Ws의 적률모함수는 다음과 같다.

E(exp(α[Wt −Ws])) = exp(α2

2[t− s]σ2

)(9)

식 (8)과 식 (9)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

E(exp(αWt) | Is) = exp(αWs) exp(α2

2[t− s]σ2

)(10)

식 (10)에서알수있듯이, 확률변수 yt.= exp

(αWt− α2

2 σ2t

)에대해서다음식들이성립한다.

E(yt | Is) = E

(exp

[αWt −

α2

2σ2t

] ∣∣∣∣ Is)= exp

(αWs +

α2

2[t− s]σ2 − α2

2σ2t

)= exp

(αWs −

α2

2σ2s

)= ys (11)


따라서, yt는 마팅게일이다.

예제 8.3.1 <정리 8.3.1>에서 Brown운동을 변환해서 세 마팅게일들을 만들었다. 이 마팅

게일들의 표본경로들을 그리기 위해서, 다음 R-파일을 실행하자.

1 #---------------------------------------------------------------------------2 # Filename: ThreeMartingales.R3 # Three Martingales from Brownian Motion4 # Programmed by KHW5 #---------------------------------------------------------------------------6 ThreeMartingales = function()7 n = 1008 t = 29 set.seed(4)

10 # Standard Brownian Motion11 W = 012 Deltat = t/n13 Deltax = sqrt(Deltat)14 p = 1/215 xrand = (2*rbinom(n+1,1,p)-1)*Deltax16 W = cumsum(xrand)17 k = seq(from=0, to=n, by=1)18 ttime = k* Deltat19 par(mfrow=c(2,2))20 plot(ttime,W,type="l",xlab="",ylab="",col="black",main="Standard BM")21 # Brownian motion as a martinglae22 mart1 =2*W23 plot(ttime,mart1,ylab="",xlab="",type="l",col="black",main="BM")24 # Squared Brownian motion as a martingale25 SqrdMart = mart1*mart1 - 4*ttime26 plot(ttime,SqrdMart ,ylab="",xlab="",type="l",col="black",main="Squared

Martingale")27 # Exponent Brownian motion as a martingale28 ExpMart = exp(1.5*mart1 - 1.5^2/2*4*ttime)29 plot(ttime,ExpMart,ylab="",xlab="",type="l",col="black",main="Exponential BM" )30 31 # End of program32 #---------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램을 실행하면, 표준Brown운동 Wt | t ≥ 0, Brown운동 2Wt | t ≥ 0, 제곱형

마팅게일 W 2t − 22t | t ≥ 0, 그리고 지수형 마팅게일

exp

(1.5Wt − 1.52

2 · 22t)| t ≥ 0

의

표본경로들을 출력한다. 이 표본경로들이 <그림 8.3.1>에 수록되어 있다.

<정리 8.3.1>에서 알 수 있듯이, Brown운동 Wt 자체가 마팅게일이다. 그런데,exp

(αWt − α2

2 σ2t)

를 마팅게일로 만들기 위해서, 왜 지수항에서 α2σ2t/2를 빼야 하

는 것일까? 이에 대한 답을 하기 위해서는, 확률미적분을 사용하지 않으면 안된다. 이 성질에

대해서는 뒤에서 자세히 다루게 될 것이다.


그림 8.3.1. 표준Brown운동과 세 종류의 마팅게일들

정의 8.3.1: 지수마팅게일

확산모수가 σ인 Brown운동 Wt | t ≥ 0에 대해서, 확률과정

exp(αWt − α2

2 σ2t)

를

지수마팅게일 (exponential martingale)이라 한다.

정리 8.3.2

확산모수가 σ인 Brown운동 Wt | t ≥ 0에 대해서, 다음 식이 성립한다.

E

(exp

(αWt −

α2

2σ2t

))= 1

여기서 α는 임의의 상수이다.

증명. <정리 8.3.1>에서 알 수 있듯이, 확률과정 exp(αWt − α2

2 σ2t)는 마팅게일이다.



E

(exp

(αWt −

α2

2σ2t

))= exp

(αW0 −

α2

2σ2 × 0

)= exp(0) = 1 (1)

좀 더 초보적인 증명은 다음과 같다. 다음 식들이 성립한다.

E

(exp

(αWt −

α2

2σ2t

))= E(exp(αWt)) exp

(−α

2

2σ2t

)= 1 (2)

여기서 두 번째 등호가 성립하는 이유는 다음과 같다. 확률변수 Wt 의 적률모함수는

E (exp (αWt))이고, 또한 확률변수 Wt가 정규확률분포 N (0, σ2t)를 따르므로, Wt의 적

률모함수는 exp(α2σ2t/2)이다.

<정의 8.3.1>의 지수마팅게일과 비슷하게 기하Brown운동 (geometric Brownian mo-

tion)을 다음과 같이 정의한다.

정의 8.3.2: 기하Brown운동

추세모수 µ와 확산모수 σ를 갖는 일반화Brown운동 Wt | t ≥ 0에 대해서, 확률변수

yt.= y0 exp(Wt)로 이루어진 확률과정 yt | t ≥ 0를 기하Brown운동이라 부른다.

<정의 8.3.2>의 기하Brown운동의 정의는 Øksendal (2003, p. 64)을 따른 것이다.

Shreve (2004b, p. 106)에 의한 정의는 다음과 같다. 표준Brown운동 Wt | t ≥ 0에 대해서,

확률변수 yt.= y0 exp

([µ− 1

2σ2]t+ σWt

)로 이루어진 확률과정 yt | t ≥ 0를 기하Brown

운동이라 한다.

예제 8.3.2 < 정의 8.3.2 >에서 정의한 기하Brown운동의 표본경로를 그리기 위해서, 다음

R-파일을 실행하자.

1 #---------------------------------------------------------------------------2 # Filename: BrownianMotion2.R3 # Generating Brownian Motion4 # Programmed by KHW5 #---------------------------------------------------------------------------6 BrownianMotion = function(mu,sigma,y0,tau,M)7 # Generating Geometric Brownian Motion8 dt = tau/M9 VdW = rnorm(M)*sqrt(dt)

10 VW = cumsum(VdW)


11 Vtau = seq(from=1,to=M,by=1)*dt12 Vy = y0*exp(mu*Vtau+sigma*VW)13 VdW1 = seq(from=0, to=0, length.out=length(VdW)+1)14 for(i in seq(from=1,to=length(VdW),by=1)) VdW1[i+1] = VdW[i]15 Vy1 = seq(from=0,to=0, length.out=length(Vy)+1)16 for(i in seq(from=1,to=length(Vy),by=1)) Vy1[i+1] = Vy[i]17 Vtau1 = seq(from=0,to=0, length.out=length(Vtau)+1)18 for(i in seq(from=1, to=length(Vtau),by=1)) Vtau1[i+1] =Vtau[i]19 # Plot differences of Brownian Motion20 par(mfrow=c(2,2))21 plot(Vtau,VdW,type="l",col="black",xlab="t",ylab=expression(dW[t]),main="

Differences of BM")22 # Plot Brownian Motion23 plot(Vtau,Vy,type="l",col="black",xlab="t",ylab=expression(y[t]),main="

Geometric BM")24 # Histogram of differences of Brownian Motion25 hist(VdW,breaks=21,main="Histogram of dBM", xlab=expression(dW[t]),ylab="

frequency")26 x = seq(from= min(VdW), to = max(VdW), length.out=1000)27 hx = dnorm(x,mean=mean(VdW),sd=sqrt(var(VdW)))28 num1 = round((max(VdW)-min(VdW))/21,digits=2)*length(VdW)29 lines(x,num1*hx,type="p",lwd=1,col="red")30 # Histogram of differences of Brownian Motion31 hist(VW,breaks=21,main="Histogram of GBM", xlab=expression(W[t]),ylab="

frequency")32 xx = seq(from=min(VW),to =max(VW), length.out=1000)33 hxx = dnorm(xx,mean=mean(VW),sd=sqrt(var(VW)))34 num2 = round((max(VW)-min(VW))/21,digits=2)*length(VW)35 lines(xx,num2*hxx,type="p",col="red",lwd=1)36 37 # End of program38 #---------------------------------------------------------------------------

이 R 프로그램의 입력변수는 추세모수 µ, 확산모수 σ, 초기값 y0, 잔여기간 τ , 그리고

소구간들의 개수 M이며, 입력변수들의 디폴트는 µ = 0.1, σ = 0.3, y0 = 1, τ = 1, 그리고

M = 1000이다.

이 입력변수들에 µ = 0.09, σ = 0.25, y0 = 10, τ = 0.5, 그리고 M = 500을 대입한

결과가 <그림 8.3.2>에수록되어있다. <그림 8.3.2>의좌상(left-upper)에위치한그래프는

Brown운동의 차분과정 dWt의 시계열을 그린 것이다. 이 그래프에서 확인할 수 있듯이,

dWt는 난수들이다. 좌하 (left-lower)에 위치한 그래프는 이 dWt의 히스토그램이다. 이

그래프에서확인할수있듯이, 난수들 dWt는정규확률분포를따른다. 우상(right-upper)에

위치한 그래프는 추세모수가 µ = 0.09이고 확산모수가 σ = 0.25인 기하Brown운동의 표본

경로 yt를 그린 것이다. 우하 (right-lower)에 위치한 그래프는 이 yt의 히스토그램이다.

이 그래프에서 알 수 있듯이, yt가 정규확률분포를 따른다고 할 수 없다.


그림 8.3.2. 기하Brown운동

정리 8.3.3

추세모수 µ와 확산모수 σ를 갖는 일반화Brown운동 Wt | t ≥ 0에 대해서, 기하Brown

운동 yt.= exp(Wt)는 다음 식을 만족한다.

E (yt | yu, 0 ≤ u ≤ s) = ys exp([t− s]

[µ+

σ2

2

]), (t ≥ s))

증명. 이 정리는 정리 8.3.1의 따름정리라고 할 수 있다. 그러나, 다음과 같이 직접 증명할

수도 있다.



E(yt | yu, 0 ≤ u ≤ s)

= E(exp(Wt) |Wu, 0 ≤ u ≤ s)

= E(exp(Ws +Wt −Ws) |Wu, 0 ≤ u ≤ s)

= exp(Ws)E(exp(Wt −Ws) |Wu, 0 ≤ u ≤ s)

= ysE(exp(Wt −Ws))

(1)

만약 확률변수 z가 정규확률분포 N (µz, σ2z)를 따르면, 확률변수 z의 적률모함수는 다음과

같다.

E(exp(ωz)) = exp(ωµz +

ω2

2σ2z

)(2)


Wt −Wsd∼ N ([t− s]µ, [t− s]σ2) (3)


E(exp(Wt −Ws)) = exp(µ[t− s] +

1

2[t− s]σ2

)(4)


E(yt | yu, 0 ≤ u ≤ s) = ys exp([t− s]

[µ+

σ2

2

])(5)

예제 8.3.3 시점 t에서 주가를 확률변수 µt로 나타내고, 이 주가의 변화율들xt

.= yt+1

yt∣∣∣ t = 0, 1, · · ·은서로독립이고또한동일한대수정규확률분포를따른다고하자. 다음식들이

성립한다.

lnyt = lny0 +t∑

i=1

lnxi−1 = lny0 +Bt (1)

금융자산가치평가에서 마팅게일의 필요성 399

여기서 Bt.=

t∑i=1

lnxi−1이다. 다음 식이 성립한다.

Bt = Bt−1 + lnxt−1 (2)

가정에서 알 수 있듯이, lnxt는 서로 독립이고 또한 동일한 정규확률분포를 따른다. 따

라서, 이를 연속시간형 확률과정으로 간주하면, 확률보행과정 Bt는 Brown운동이다. 즉,

yt.= y0 exp(Bt)는 기하Brown운동이다. 다음 확률변수를 정의하자.

zt.= yt exp

(−t[µ+

σ2

2

])(3)

증대정보계 It가 주어지면, <정리 8.3.3>에서 알 수 있듯이 다음 식이 성립한다.

E(zt | Is) = zs, (s < t) (4)

즉, zt는 마팅게일성을 갖는다.

제8.4절 금융자산가치평가에서 마팅게일의 필요성

이 절에서는 배당이나 쿠폰 등 배당지불 (payout)이 시행되지 않는 금융자산을 원자산으로

하는 경우를 살펴보자. 금융파생상품은 만기시점 T (<∞)에서 확률적 미래시점가치(payoff)

를 갖는다. 이러한 조건 하에서, 만기시점 T 에서 원자산 ST 에 의존하는 금융파생상품의

미래시점가치를 GT = g(ST )라고 하자. 이 시장에는 시점 s에서 무위험이자율이 rs인

무위험증권이 있다고 하자. 시점 T에서 이 증권의 가치는 BT = exp(∫ T

t rs ds)이다. 만약

rs가 확률적이라면, BT 도 확률변수이다. 그러나, 우리는 시점 t에서 BT 값을 알고 있다고

가정하자. 각 시점 u(< T )에서 원자산 Su에 대한 새로운 정보를 얻기 때문에, 이 정보를

바탕으로 비율 GT /BT 의 기대값을 연속적으로 계산할 수 있다. 이 비율의 조건부기대값은

Mu.= EP

(GTBT

∣∣∣∣ Iu)이다. 여기서 It는 시점 t에서 이용가능한 정보집합이고, P 는 어떤

확률측도이다. <예제 8.2.1>에서 알 수 있듯이, 임의의 확률측도 P 에 대해서 다음 식이

성립한다.

Mt = EP (Mt+s | It), (s > 0) (8.4.1)


식 (8.4.1)은반복조건부기대값법칙에의해서성립함을상기하라. 식 (8.4.1)에서알수있듯이,

Mu는 마팅게일이다.

제로쿠폰채의 만기시점 T 에서 가격을 GT 라 하자. 이 GT 는 액면가격이므로, 편의상

GT ≡ 1이라고 가정하자. 이 경우에 식 (8.4.1)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

Mu = EP

(1

BT

∣∣∣∣ Iu) (8.4.2)

이 Mu는 만기시점 T에서 BT 로 할인된 미래시점가치 GT ≡ 1의 확률측도 P 하에서 조건부

기대값으로서, Mu는 P에 대한 마팅게일이다. 우리는 이 Mt를 제로쿠폰채의 시점 t에서

무재정가치로 볼 수 있을까? 이 제로쿠폰채의 시점 t에서 무재정가치를 P (t, T )라 하자. 만약

P (t, T ) = Mt이면, Mt는 제로쿠폰채의 무재정가치이다. 그러나, 만약 기대값이 확률측도

P 하에서 계산되고, 또한 만약 확률측도 P 가 실제확률을 나타낸다면, 일반적으로 Mt는

무재정가치 P (t, T )와 같지 않을 것이다. 그러나, Mt를 계산할 때 동치마팅게일확률측도 Q

를 사용한다면, 다음 식들이 성립한다.

P (t, T ) = EQ

(1

Bt

∣∣∣∣ It) =Mt (8.4.3)

즉, 동치확률측도 Q 하에서 계산된 Mt는 무재정가치 P (t, T )와 동일하다. 만약 시장이

완비이면, 동치마팅게일확률측도 Q는 일의적으로 존재한다.

지금까지 내용을 정리하면, 다음과 같다. 우선, 금융자산의 가치평가에서 마팅게일은

중요한 도구이다. 또한, 식 (8.4.1)에 다양한 확률측도들을 적용해서 다양한 확률과정 Mt

를 정의할 수 있으며, 그들은 모두 마팅게일성을 갖는다. 그러나, 시장이 완비이면, 이 Mt들

중에서단하나만이제로쿠폰채의무재정가치 P (t, T )와같아질것이다. 완비인무재정시장에

서 할인된 주가과정 e−rsSs가 마팅게일이 되는 위험중립확률측도 Q가 존재한다. 즉, 다음

식이 성립되도록 하는 동치마팅게일확률측도 Q가 존재한다.

EQ(e−rsSt+s | It

)= St, (s > 0) (8.4.4)

따라서, 마팅게일이 금융자산의 가치평가에서 중요한 역할을 한다는 것을 알 수 있다.

증대정보계 It와 어떤 확률측도 Q 하에서 다음 식을 만족하는 금융자산가격 xt를


살펴보자.

EQ(xt+δ | It) = xt (8.4.5)

여기서 δ(> 0)는 작은 시간간격을 나타낸다. 확률과정 xt가 마팅게일이므로, ∆xt.=

xt+δ − xt는 마팅게일증분이다. 다음 식이 성립한다.

EQ(∆xt | It) = 0 (8.4.6)

식 (8.4.6)에서 알 수 있듯이, 시간간격 δ의 크기에 상관없이 마팅게일증분은 예측이 불가능하

다. 따라서, 마팅게일은 아주 불규칙한 (irregular) 표본경로를 보일 것이다. 즉, xt의 어떠한

추세도 인식할 수 없을 것이다. 만약 어떤 추세를 인식할 수 있다면, xt는 어느 정도 예측이

가능할 것이다.

이렇게 불규칙한 표본경로를 크게 두 종류로 나눌 수 있다. 첫째는 표본경로가 연속인

경우로서, 이러한마팅게일을연속마팅게일(continuous martingale)이라한다. <그림 8.4.1>

에 연속마팅게일의 표본경로가 그려져 있다. 여기서 연속이란, 임의의 ϵ(> 0)에 대해서 다음

식이 성립함을 의미한다.

limϵ→+0

P (|∆xt| > ϵ) = 0 (8.4.7)

연속마팅게일 xt가 각 시점 t (> 0)에서 식 E(x2t ) < ∞를 만족하면, 제곱가적분 (square

integrable) 연속마팅게일이라부른다. Brown운동을사용해서각제곱가적분연속마팅게일을

나타낼 수 있다. 이에 대한 자세한 내용은 Karatzas & Shreve (1991)의 제3.4절을 참조하

라. 다시 말해서, 제곱가적분 연속마팅게일의 성질은 Brown운동의 성질과 아주 유사하다.

따라서, 다음과 같은 추측을 할 수 있다. 만약 제곱가적분 연속마팅게일이 금융자산가치모

형으로 적절하다면, 가치를 표현하는 확률과정의 아주 작은 확률증분에 정규성을 가정해도

좋다. 둘째는 표본경로에 점프가 있는 경우로서, 이러한 마팅게일을 우연속마팅게일 (right

continuous martingale)이라 한다. <그림 8.4.2>에 우연속마팅게일의 표본경로가 그려져

있다. 이표본경로에도추세는없으나점프에의한변화가있다. 또한, 표본경로는우연속이다.

결론적으로 말해, 마팅게일을 사용해서 연속이지만 불규칙한 움직임을 나타낼 수 있으며 또한

점프를 추가할 수 있으므로, 마팅게일은 금융자산가치평가의 도구로서 아주 매력적이다.


그림 8.4.1. 연속마팅게일의 표본경로

예제 8.4.1 강도모수가 λ인 Poisson과정 Nt를 살펴보자. 명백하게, Nt는 시점 t와 함께

증가한다. 즉, Poisson과정 Nt는 상승추세를 지닌다. 따라서, Nt는 마팅게일이 될 수

없다. 그러나, 추세가 제거된 Poisson과정 Mt.= Nt − λt의 확률증분은 예측불가능하다.

따라서, Mt는 우연속마팅게일이고, 그 분산은 유한이다. 즉, Mt는 제곱가적분이다. 이

우연속마팅게일 Mt의 표본경로를 그리기 위해서, 다음과 같은 R-파일을 실행하자.

1 #---------------------------------------------------------------------------2 # Filename: DiscreteMartingale.R3 # Discrete Martingale4 # Programmed by KHW5 #---------------------------------------------------------------------------6 DiscreteMartingale = function()7 lambda = 38 dt = 0.29 T = 4

10 n = T/dt11 Nt = seq(from=0,to=0,length=n+1)12 ttime = seq(from=0,to=0,length=n+1)13 for(k in seq(from=2,to=n+1,by=1))14 ttime[k] = (k-1)*dt15 Nt[k] = Nt[k-1] + rpois(1,lambda*dt)16 17 Mt = Nt - lambda* ttime18 Mt2 = seq(from=0,to=0,length=2*length(Mt)-1)19 for(i in seq(from=1,to=2*length(Mt)-1,by=1))20 Mt2[i] = Mt[round(i/2+0.1,digits=0)]21 22 ttime2 = seq(from=0,to=0,length=2*length(ttime)-1)23 for(i in seq(from=1,to=2*length(Mt)-1,by=1))24 ttime2[i] = ttime[round(i/2+0.6,digits=0)]


25 26 plot(ttime2,Mt2,xlab="t",ylab=expression(M[t]),type="l")27 28 # End of program29 #---------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램에서 사용한 R함수 rpois는 Poisson난수를 생성하기 위한 것이다. 이 R

프로그램을 실행하면, 우연속마팅게일 Mt의 표본경로가 출력된다. 이 표본경로가 <그림

8.4.2>에 수록되어 있다.

그림 8.4.2. 우연속마팅게일의 표본경로

예제 8.4.2 짧은 시간구간 (t, t + δ]에서 관찰된 서로 독립인 Poisson과정들을 사용해서,

마팅게일을 구축해 보자. 어떤 금융시장이든 좋은 뉴스와 나쁜 뉴스의 영향을 받고 있다.

금융시장에서는 뉴스의 내용 자체는 무시되고, 그 뉴스가 ‘좋다’ 또는 ‘나쁘다’라는 정보만을

남겨진다고 하자. 시간구간 [0, t]에서 발생하는 좋은 뉴스들의 개수를 NGt 라고 하고, 나쁜

뉴스들의 개수를 NBt 라 하자. 이 금융시장에서 각 뉴스의 도착은 과거 데이터와는 무관하고,

좋은 뉴스의 발생과 나쁜 뉴스의 발생은 서로 독립적이라고 가정하자. 또한, 짧은 시간구간

(t, t+δ]동안에는많아야좋은뉴스한개또는나쁜뉴스한개밖에일어날수없다고가정하자.

첫 번째 경우로, 타입에 상관없이 각 뉴스가 도착할 확률은 동일하다고 하자. 즉, 시간구간


(t, t+ δ]에서 확률증분들 ∆NGt 와 ∆NB

t 가 다음 식들을 만족한다고 하자.

Pr(∆NGt = 1) = Pr(∆NB

t = 1) = λδ (1)


Et(∆NGt ) = Et(∆N

Bt ) = λδ (2)

확률변수 Mt.= NG

t −NBt 를 정의하자. 짧은 시간구간 (t, t+ δ]에서 Mt의 확률증분은 다음

식들을 만족한다.

Et(∆Mt) = Et(∆NGt )− Et(∆N

Bt ) = 0 (3)

즉,Mt의 확률증분은 정보집합 It가 주어졌다 해도 예측이 불가능하다. 이러한 성질 이외에도

마팅게일이 만족해야 할 기술적인 요건들을 확률과정 Mt가 만족시킴을 증명할 수 있다.

예를 들어, 시점 t에서 이미 발생한 좋은 뉴스들과 나쁜 뉴스들을 알고 있다. 따라서, 확률과정

Mt는 It−적합이다. 결론적으로, 짧은시간구간 (t, t+ δ]에서발생하는좋은뉴스와나쁜

뉴스가 일어날 확률들이 λδ로 동일한 경우에는, 확률과정 Mt는 증대정보계 It와 식 (1)

에서 정의된 확률밀도함수에 대해서 마팅게일이다.

두 번째 경우로, 다음과 같이 좋은 뉴스가 발생할 확률 λGδ이 나쁜 뉴스가 발생할 확률

λBδ보다 크다고 하자.

λGδ.= P (∆NG

t = 1) > P (∆NBt = 1)

.= λBδ (4)

앞에서와 같은 방법으로, 다음 식들이 성립함을 증명할 수 있다.

Et(∆Mt) = λGδ − λBδ > 0 (5)

따라서, 확률과정 Mt는 증대정보계 It와 식 (4)를 만족하는 확률밀도함수에 대해서

열마팅게일이다.

마팅게일 표본경로 405

제8.5절 마팅게일 표본경로

8.5.1 변분

시간구간 [0, T ]의 분할 (partition) Π.= 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tM = T와 함수 f(t)에

대해서 다음 함수를 정의하자.

V1;M (f).=

M−1∑i=0

| f(ti+1)− f(ti) | (8.5.1)

또한, 모든 분할 Π에 대한 V1;M (f)의 상한을 V ∗1 (f)

.= sup

ΠV1;M (f)로 표기하자. 이 V ∗

1 (f)

를 함수 f(t)의 구간 [0, T ]에서 1차변분(1st-order variation) 또는 총변분(total variation)이

라 부른다. 이 총변분 V ∗1 (f)가 유한이면, 함수 f(t)가 구간 [0, T ]에서 유계변분 (bounded

variation)을 갖는다고 한다. 직관적으로 말하면, V ∗1 (f)는 시점 t가 0에서 T 가 움직이는

사이에 함수 f의 표본경로의 길이를 측정한 것이다. 따라서, 유계변분을 갖는 함수들은

과도하게 비정칙적 (irregular)이지는 않다이지는 않다. 평활한 함수는 유계변분을 갖는다.

예제 8.5.1 다음 함수를 살펴보자

f(t) =

t sin(πt ), (0 < t ≤ 1)

0, (t = 0)

(1)

다음과 같은 구간 [0,1]의 분할을 선택하자.

0 <2

2M + 1<

2

2M − 1< · · · < 2

5<

2

3< 1 (2)

이 분할에서 함수 f(t)의 변분은 다음과 같다.

M−1∑i=0

| f(ti+1)− f(ti) |= 4

[1

3+

1

5+

1

7· · ·+ 1

2M + 1

](3)

만약 M → ∞이면, 식 (3)의 우변은 ∞로 발산한다. 따라서, 함수 f(t)는 구간 [0,1]에서

유계변분을 갖지 않는다. 이 함수의 그래프가 <그림 8.5.1>에 그려져 있다. 이 그림에서 알

수 있듯이, 만약 t→ 0이면, 함수 f가 과도하게 비정칙적 (irregular)이다.

금융자산의 가치평가에서 유계변분의 개념은 중요한 역할을 한다. 그 이유들 중 하나는


그림 8.5.1. 비유계변분함수

다음과 같다. 연속시간에서 금융자산가격은 예측이 불가능한 부분을 지니고 있다. 즉, 시간

간격 δ를 아무리 작게 하더라도, 금융자산가격의 변동은 예측불가능한 부분을 지닌다. 이는

금융자산가격의표본경로가아주비정칙적(irregular)임을의미한다. 따라서, 금융자산가격을

나타내는데 사용되는 연속시간형 확률과정은 비유계변분 (unbounded variation) 표본경로를

갖는다.

확률과정 xt | t ∈ [0, T ]와 시간구간 [0, T ]의 분할 Π에 대해서, 다음 함수을 정의하자.

Vk;M (x).=

M∑i=1

| xti − xti−1 |k, (k = 1, 2, · · · ) (8.5.2)

또한, 모든분할 Π에대한 Vk;M (x)의상한을 V ∗k (x) = sup

ΠVk;M (x)로표기하고, 이를 k차변분

(k-th order variation)이라고 부르자. 명백하게, V ∗k (x)는 xt가 시간구간 [0, T ]에서 얼마만큼

변화하는지를 나타내는 척도이다.

8.5.2 Brown운동의 변분

이 소절에서는 Brown운동의 변분들에 대해서 살펴보자. 다음 정리가 성립한다.


정리 8.5.1

시간구간 [0, T ]의 분할 Π.= 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tM = T 에 대해서, 변수

δM.= max

1≤i≤M| ti − ti−1 |을 정의하자. 표준Brown운동 Wt는 다음 식을 만족한다.

limδM→0

E

M−1∑i=0

[∆Wti ]2 − T

2 = 0

여기서 ∆Wti.=Wti+1 −Wti 이다. 즉, 다음 식이 성립한다.

V2;M (W ) =

M−1∑i=0

[∆Wti ]2 L2

−→ T

증명. 표준Brown운동의 정의로부터, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

∆Wti =Wti+1 −Wtid∼ N(0, ti+1 − ti) (1)

Cov(∆Wti , ∆Wtj ) = 0, (i = j) (2)

E([∆Wti ]

4)= 3 [ti+1 − ti]

2 (3)

식 (1)∼식 (3)을 이용해서, 다음 식들이 성립함을 증명할 수 있다.

E(V2;M (W )) =M−1∑i=0

E([∆Wti ]2) =

M−1∑i=0

[ti+1 − ti] = T (4)

V ar(V2;M (W )) = V ar

(M−1∑i=0

[∆Wti ]2

)=

M−1∑i=0

V ar([∆Wti ]2)

=

M−1∑i=0

[E([∆Wti ]

4)−E([∆Wti ]

2)2

]= 2

M−1∑i=0

[ti+1 − ti]2 (5)


Var(V2;M (W )) ≤ 2δM

M−1∑i=0

| ti+1 − ti |= 2δMT (6)



limδM → 0

Var(V2;M (W )) = 0 (7)

식 (7)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

limδM → 0

E

M−1∑i=0

[∆Wti ]2 − T

2 = 0 (8)

Brown운동의 표본경로는 연속이지만, 유계변분을 갖지는 않는다. 이 성질을 자세히

살펴보자.

정리 8.5.2

표준Brown운동 Wt의 구간 [0, T ]에서 총변분은 다음 식을 만족한다.

Pr(V ∗1 (W ) = ∞) = 1

증명. <정리 8.5.1>에서와 마찬가지로 시간구간 [0, T ]의 분할 Π를 정의하자. 다음 식들이

성립한다.

V2;M (W ) =M−1∑i=0

[Wti+1 −Wti ]2

=

M−1∑i=0

|Wti+1 −Wti ||Wti+1 −Wti |

≤[

max0≤ i≤M−1

|Wti+1 −Wti |]M−1∑

i=0

∣∣Wti+1 −Wti

∣∣≤[

max0≤ i≤M−1

|Wti+1 −Wti |]V ∗1 (W )

(1)


V ∗1 (W ) ≥

V2;M (W )

max0≤ i≤M−1

|Wti+1 −Wti |(2)


Brown운동 Wt의 표본경로는 시간구간 [0, T ]에서 연속이다. 따라서, 다음 식이 성립한다.

limδM→ 0

max0≤ i≤M−1

|Wi+1 −Wti | = 0 (3)

<정리 8.5.1>과 <정리 6.7.4>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

V2;M (W )p→ T (4)


Pr(V ∗1 (W ) = ∞ ) = 1 (5)

<정리 8.5.2>에서알수있듯이, Brown운동의표본경로는유계변분이아닌비유계변분을

갖는다. Brown운동의 표본경로가 유계변분을 갖지 않는다는 것은 변분에 상한이 없다는

뜻이다. 그러나, 이는 Brown운동이 천정에 부딪칠 듯이 올라가거나 바닥에 곤두박질하는 것

같은 변화를 한다는 뜻이 아니고, 주가와 비슷하게 변동이 심하다는 뜻이다.

정리 8.5.3

<정리 8.5.1>에서와마찬가지로,시간구간 [0, T ]의분할Π를정의하자. 각 k(= 3, 4, · · · )

에 대해서, 표준Brown운동 Wt는 다음 식을 만족한다.

Vk;M (W ) =

M−1∑i=0

|Wti+1 −Wti |kL2

−→ 0



M−1∑i=0

|Wti+1 −Wti |k

=

M−1∑i=0

|Wti+1 −Wti |k−2|Wti+1 −Wti |2

≤[

max0≤ i≤M−1

|Wti+1 −Wti |k−2

]M−1∑i=0

∣∣Wti+1 −Wti

∣∣2=

[max

0≤ i≤M−1|Wti+1 −Wti |k−2

]V2;M (W ) (1)

Brown운동 Wt의 표본경로는 시간구간 [0, T ]에서 연속이다. 따라서, 다음 식이 성립한다.

limδM→0

max0≤ i≤M−1

∣∣Wti+1 −Wti

∣∣ = 0 (2)


V2;M (W )L2

−→ T (3)


M−1∑i=0

|Wti+1 −Wti |kL2

−→ 0 , (k = 3, 4, · · · ) (4)

8.5.3 마팅게일의 변분들

제8.5.2소절의 결과를 마팅게일로 확장해 보자. 연속마팅게일 xt의 표본경로는 연속이다.

따라서, 시간구간 [0, T ]를 잘게 분할할수록, 이웃하는 시점들에 해당하는 xt들은 서로 가까

워져 간다. 즉, 각 i에 대해서 극한 ti+1 → ti를 취하면, 임의의 ϵ(> 0)에 대해서 다음 식이

성립한다.

limti+1 → ti

Pr(| x(ti+1)− x(ti) |> ϵ) = 0 (8.5.3)


확률변수 xt의 분산은 양이다. 따라서, 시간구간 [0, T ]를 아무리 작게 분할해도, 다음 식이

성립한다.

Pr(

M−1∑i=0

|x(ti+1)− x(ti)|2 > 0

)= 1 (8.5.4)

식 (8.5.3)에서 알 수 있듯이, 소구간 (ti, ti+1]이 짧아질수록 xti+1 은 xti 에 접근한다. 그러나,

이것이 V1;M (x)가 0에 가깝다는 것을 의미하지는 않는다. 왜, xti+1 이 xti 에 접근해도 V1;M 은

0에 가까워지지 않는 것일까? 시간구간 [0, T ]를 분할하는 소구간들의 개수 M을 크게 하면,

소구간 (ti, ti+1]에서 xt의 변화는 작아진다. 연속마팅게일인 경우에는, 이 개수 M이 커지는

정도가 xt의 변화가 작아지는 정도를 충분하게 억누르지는 못한다. 따라서, 식 V ∗1 (x) = ∞가

성립한다. 즉, 마팅게일이 상수인 경우를 제외하고는, 연속마팅게일 표본경로의 1차변분은

무한대이다. 지금부터 이를 간단히 증명해보자. 다음 식이 성립한다.

M−1∑i=0

| xti+1 − xti |2 ≤ max1≤ i≤M−1

| xti+1 − xti |M−1∑i=0

| xti+1 − xti | (8.5.5)


V2;M (x) ≤ max1≤ i≤M−1

| xti+1 − xti | V1;M (x) (8.5.6)

각 i에서 극한 ti+1 → ti를 취하면, 식 maxi

| xti+1 − xti |→ 0이 성립한다. 만약 극한

V1;M (x) → ∞가성립하지않으면, 식 (8.5.6)에서알수있듯이 2차변분 V ∗2 (x)는어떤확률적

의미에서 0이어야 한다. 그러나, 식 (8.5.4)에서 알 수 있듯이 식 V ∗2 (x) > 0가 성립한다. 이는

모순이다. 따라서, 연속마팅게일 표본경로의 1차변분 V ∗1 (x)는 무한대이어야 한다.

지금부터는고차변분에대해서살펴보자. 앞에서와같은방법을적용해서, 각 k(= 3, 4, · · · )

에 대해서 다음 식이 성립함을 증명할 수 있다.

Vk;M (x) ≤ max1≤ i≤M−1

| xti+1 − xti | Vk−1;M (x) (8.5.7)

각 i에서 극한 ti+1 → ti를 취하면, 식 maxi

| xt1+i − xti |→ 0이 성립한다. 따라서, 만약

V2;M (x)가 분산이 유한인 어떤 확률변수에 수렴하면, V3;M (x)는 0으로 수렴한다. 이 결과를

이용하면, 각 k (≥ 3)에대해서변분 V ∗k (x)가 0임을알수있다. 이에대한좀더자세한증명은

Karatzas & Shreve (1991)의 제1.5절을 참조하라.


연속마팅게일 xt의 변분들에 대한 내용을 정리하면, 다음과 같다.

첫째, 1차변분 V ∗1 (x)는 어떤 확률적 의미에서 발산한다. 따라서, xt의 표본경로는 매우

불규칙하게 움직인다.

둘째, 2차변분 V ∗2 (x)는 어떤 확률변수에 수렴한다. 이는 표본경로의 불규칙성에 관계없이,

xt는제곱가적분이고또한소구간에서절대변화량들 ∣∣xti+1 − xti

∣∣의제곱합이수렴

함을 의미한다. 즉, 어떤 확률적 의미에서 이 절대변화량들의 합계 V1;M (x)가 지나치게

커도, 이 절대변화량들의 제곱합 V2;M (x)는 크지 않다.

셋째, 차수가 3 이상인 변분은 확률적 의미에서 0이 된다. 따라서, 이러한 고차변분은 V ∗1 (x)

나 V ∗2 (x)보다 많은 정보를 포함하지는 않는다.

이 성질들에서 알 수 있듯이, 연속마팅게일을 다루는 데 있어서 1차변분 V ∗1 (x)는 그다지 유

용하지 않은 반면에, 2차변분 V ∗2 (x)는 유용하다. 또한, 연속마팅게일인 경우에는 고차변분을

무시할 수 있다.

확률환경하에서미적분을다룰때, 이러한변분의특성들을다시거론할것이다. 독자들은

Riemann-Stieltjes적분을 연속마팅게일의 적분에 적용할 수 없다는 것을 이미 알고 있을 것

이다. 결정론적 미적분인 Riemann-Stieltjes적분은 1차변분 V ∗1 (x)와 마찬가지로 적분구간을

잘게 분할해서 합을 구하기 때문이다. 그러나, 확률환경 하에서 이 합의 극한은 수렴하지

않는다. 따라서, 확률미적분에 있어서는 2차변분 V ∗2 (x)를 이용해야 한다.

제8.6절 마팅게일과 확률적분

8.6.1 확률적분의 가능성과 필요성

확률과정 ht는 It−적합하고, 확률과정 zt는 증대정보계 It와 확률측도 P에 대한

마팅게일이라 하자. 제8.5절에서와 마찬가지로 시간구간 [0, T ]의 분할 Π를 정의하고, 다음과

같은 확률과정 xtk | k = 0, 1, · · · ,M을 정의하자.

xtk.= xt0 +

k∑i=1

hti−1 [zti − zti−1 ] (8.6.1)

지금부터 확률과정 xtk가 증대정보계 It와 확률측도 P에 관한 마팅게일임을 보이자.

마팅게일과 확률적분 413


Et0(x(tk)) = xt0 + Et0

(k∑

i=1

Eti−1

(hti−1

[zti − zti−1

]))

= xt0 + Et0

(k∑

i=1

hti−1Eti−1

(zti − zti−1

))= xt0 (8.6.2)

여기서 첫 번째 등호는 식 (8.6.1)에 의해서 성립한다. 확률과정 ht는 It에 적합하므로

정보집합 Iti−1 이 주어지면확률변수 hti−1 는 기대값연산자 밖으로 뽑아낼 수 있다. 따라서, 두

번째등호가성립한다. 확률과정 zt는마팅게일이므로, 확률증분 zti−zti−1은예측불능이다.

따라서, 세 번째 등호가 성립한다. 식 (8.6.2)에서 알 수 있듯이, xtk는 마팅게일이다.

시간구간 [0, t]의 분할 Πt.= 0 = t0 < t1 < · · · < tN = t를 살펴보자. 조건

limN→∞

max1≤ i≤N

[ti − ti−1] = 0 하에서 식 (8.6.1)의 합을 다음과 같이 표현할 수 있을까?

xt = x0 +

∫ t

0hu dzu (8.6.3)

여기서 dzu는 시점 u에서 확률변수 z의 무한소 확률증분을 나타낸다. 지금부터는 식 (8.6.3)

의 확률적분을 정의할 수 있는지에 대해서 생각해 보자. 우선, 다음 예제를 살펴보자.

예제 8.6.1 시간구간 [0, T ]의 분할 Π.= 0 = t0 < t1 < · · · < tM = T의 각 시점에서

무위험증권과위험증권에투자하는시장참가자를생각해보자. 시점 ti 직전에이시장참가자는

무위험증권과 위험증권을 각각 αti−1 과 βti−1 보유하고 있고, 확률과정들 αti−1과 βti−1

은 Iti−1-적합하다고 하자. 초기시점 t0의 보유매수들 αt0 와 βt0 는 확률적이 아닌 결정적인

값들이다. 시점 ti에서 무위험증권가격과 위험증권가격을 각각 Bti 와 Sti 로 나타내자.

지금부터는자기금융조건(self-financing condition) 하에서매매전략을생각해보자. 이것

은시점 ti−1에서보유한증권들로부터생긴수입만을사용해서, 시점 ti에투자하는전략이다.

즉, 각 시점 ti, (i = 1, 2, · · · ,M − 1)에서 다음 식이 성립한다.

αti−1Bti + βti−1Sti = αtiBti + βtiSti (1)


Bti+1∆αti + Sti+1∆βti = 0 (2)


다음 식이 성립함은 자명하다.

[αtiBti + βtiSti ]− [αt0Bt0 + βt0St0 ]

=

i−1∑j=0

[αtj+1Btj+1 + βtj+1Stj+1

]−[αtjBtj + βtjStj

](3)

식 (2)를 식 (3)에 적용하면, 다음 식을 얻는다.

[αtiBti + βtiSti ]− [αt0Bt0 + βt0St0 ] =i−1∑j=0

[αtj∆Btj + βtj∆Stj

](4)

식 (4)에 다음 식들을 적용하자.

Bti = Bti−1 + [Bti −Bti−1 ] = Bti−1 +∆Bti−1 (5)

Sti = Sti−1 + [Sti − Sti−1 ] = Sti−1 +∆Sti−1 (6)

이 결과 다음 식을 얻는다.

αt0Bt0 + βt0St0 +i−1∑j=0

αtj

[Btj+1 −Btj

]+ βtj

[Stj+1 − Stj

]= αtiBti + βtiSti (7)

식 (7)의 우변은 시점 ti에서 매매가 끝난 후 포트폴리오가치이다. 식 (7)의 좌변은 식 (8.6.1)

과 같은 구성을 하고 있다. 즉, αtj와 βtj는 Itj-적합하며, 이들에 증권가격들의 확률

증분들을 곱한 것들의 합을 취한다. 조건 limM→∞

maxi

[tj − tj−1] = 0 하에서 이 합이 확률적

의미를 갖는다면, 식 (7)의 좌변을 확률적분으로 나타낼 수 있다. 이 경우에는, 확률적분이

시간사이 (intertemporal)의 예산제약을 정형화하는 자연스러운 도구임을 알 수 있다.

8.6.2 Doob-Meyer분해의 마팅게일표현

Doob-Meyer분해는 마팅게일표현 (martingale representation)의 특수한 경우이다. <정리

8.2.1>의 Doob-Meyer분해에서 알 수 있듯이, 어떤 금융자산가치과정 Cu를 2개 요소들

로 분해할 수 있다. 한 요소는 시점 t에서 정보집합 It가 주어진 상황에서 기지 (known)

인 추세이고, 다른 요소는 마팅게일이다. 따라서, 금융자산가치과정 Cu를 다음과 같은


마팅게일표현으로 나타낼 수 있다.

CT = Ct +

∫ T

tDu du+

∫ T

tg(Cu) dMu (8.6.4)

여기서 Du는 Iu-적합이고, g(·)는 결정적 함수이고, 또한 Mu는 증대정보계 Iu와

확률측도 P에대한마팅게일이다. 따라서, 정보집합 Iu가주어진조건하에 Du의조건부기대

값은 Du 자체이고, g(Cu)와 dMu의 상관계수는 0이다. 이 소절에서는 식 (8.6.4)가 시장에서

일어나는아주중요한현상들을추상적으로나타내는것임을보이고자한다. 또한식 (8.6.4)가

금융자산가치평가에서 마팅게일기법을 적용하는 일반적인 방법론을 제시하는 것을 보이고자

한다. 그러나, 우리는 아직도 식 (8.6.4)의 확률적분을 정의하지 않았음을 유의하라.

금융자산가치 Ct의평가에대해서생각해보자. 이금융자산의미래시점 T에서가치가 CT

라고하자. 제8.4절에서설명했듯이, 동치마팅게일확률측도 Q를이용해서다음가치평가식을

유도할 수 있다.

Ct

Bt= EQ

t

(CT

BT

)(8.6.5)

여기서 Bu는 적당한 Iu−적합과정이다. 즉, 정규화된 확률과정 Cu/Bu가 마팅게일이

되는 동치마팅게일확률측도 Q를 찾을 수 있다면, 가치평가식 (8.6.5)를 사용해서 시점 t에서

금융자산가치 Ct를 평가할 수 있다.

정규화된 확률과정 Cu/Bu가 마팅게일이 아닌 열마팅게일인 경우, Doob-Meyer분해를

사용해서 식 (8.6.5)를 적용하는 방법을 생각해 보자. 식 (8.6.4)에서 Ct대신 Ct/Bt를 대입하

면, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

CT

BT=Ct

Bt+

∫ T

tDQ

u du +

∫ T

tg

(Cu

Bu

)dMu (8.6.6)

여기서 DQu 는 정규화된 Cu/Bu의 추세성분이다. 다음 식들이 성립한다고 가정하자.

EQt

(∫ T

tDQ

u du

)= 0 (8.6.7)

EQt

(∫ T

tg

(Cu

Bu

)dMu

)= 0 (8.6.8)

열마팅게일인금융자산가치과정 Ct가주어지면, 동치마팅게일확률측도 Q하에서식 (8.6.7)

과 식 (8.6.8)을 만족시키는 확률과정 Bu를 찾아낸다. 이 확률과정 Bu를 사용해서, 가치


평가식 (8.6.5)를 적용한다.

8.6.3 금융자산가치평가와 확률적분

시점 u에서 관찰되는 원자산을 Su라 하자. 무한소 시간구간 (t, t+ dt]에서 시장참가자는 원

자산에 관한 새로운 정보를 얻는다. 이것을 dSt.= σt(St, t) dWt로 표기하자. 여기서 σt(St, t)

는 변동성이고, dWt는 표준Brown운동의 확률증분이다. 변동성이 시간에 따라 변하는 것과

확률증분 dSt가예측가능한추세항을갖지않는것에유의하라. 시간구간 (t, T ]에걸쳐이러한

예측불능인 정보가 누적되면, 시점 T에서 이 금융자산가치를 다음과 같이 쓸 수 있다.

ST = St +

∫ T

tσ(Su, u)dWu (8.6.9)

식 (8.6.9)는 식 (8.6.3)과 같은 형태이다. 만약 단기간 정보뉴스가 예측불능이라면, 이러한

단기간 정보들의 합도 예측불능이어야 한다. 이것은 St가 마팅게일이 되어야 하는 것을

의미한다. 즉, 다음 식이 성립해야 한다.

Et

(∫ T

tσu(Su, u) dWu

)= 0 (8.6.10)

식 (8.6.10)은 확률적분의 중요한 성질이다.

8.6.4 마팅게일과 금융자산가치평가

이 절에서는 Doob-Meyer분해와 확률적분을 이용한 금융파생상품의 가치평가에 대해서 좀더

자세히 알아보자. 시간구간 [t, T ]의 분할 Π.= t = t0 < t1 < · · · < tM = T을 정의하

자. 현재시점 t에서 원자산과 금융파생상품가치를 각각 St와 Ft라고 하자. 우리의 목적은

금융파생상품가치 Ft를 평가하는 것이다. 금융파생상품의 만기시점 T에서 시장가격은 그

미래시점가치와 같다. 즉, FT = G(ST )이다. 여기서 G는 주어진 함수이다. 식 (8.6.4)의

연속형 마팅게일표현에 해당하는 이산형 표현은 다음과 같다.

FT = Ft +

M−1∑i=0

D(ti)∆ti +

M−1∑i=0

g(Fti)∆Mti (8.7.1)

여기서 ∆Mti.=Mti+1 −Mti 이다.

지금부터는, 식 (8.7.1)을 이용해서, 원자산 St에 대한 금융파생상품의 무재정가치 Ft를

평가하기로 하자. 이 시장모형에는 고정된 이자율 r로 차입과 대출이 자유로운 무위험채권이


있다고 가정하자. 시점 u에서 이 채권가격을 Bu라고 하자. 시점 ti에서 Bti , Sti를 알고

있다. 복제포트폴리오 (replicating portfolio)를 만들기 위해서, 다음 식을 만족하는 αti 와 βti

를 선택하기로 하자.

Fti = αtiBti + βtiSti (8.7.2)

여기서 αti 와 βti 는 복제포트폴리오의 가치가 Fti 와 일치하도록 하는 가중값들이다. 시점 ti

에서 새로운 정보가 주어지는 순간, Bti 와 Sti 를 알 수 있음을 상기하라. 다음 식이 성립한다.

FT = Ft +

M−1∑i=0

∆Fti (8.7.3)

식 (8.7.3)에 식 (8.7.2)를 적용하면, 다음 식을 얻는다.

FT = Ft +

M−1∑i=0

∆[αtiBti ] +

M−1∑i=0

∆[βtiSti ] (8.7.4)


∆[αtiBti ] = αti+1Bti+1 − αtiBti

= [αti+1 − αti ]Bti+1 + αti [Bti+1 −Bti ] = ∆αtiBti+1 + αti∆Bti

(8.7.5)


M−1∑i=0

∆[αtiBti ] =

M−1∑i=0

Bti+1∆αti +

M−1∑i=0

αti∆Bti (8.7.6)

같은 방법으로, 다음 식이 성립함을 증명할 수 있다.

M−1∑i=0

∆[βtiSti ] =M−1∑i=0

Sti+1∆βti +M−1∑i=0

βti∆Sti (8.7.7)

식 (8.7.6)과 식 (8.7.7)을 사용해서, 식 (8.7.4)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

FT = Ft +

M−1∑i=0

[Bti+1∆αti + Sti+1∆βti

]+

M−1∑i=0

[αti∆Bti + βti∆Sti ] (8.7.8)

우리가 구하고자 하는 것은 가치평가식 (8.6.5)를 만족시키는 무재정가치 Ft이다. 식


(8.7.8)의 우변의 첫 번째 합에 대해서 생각해 보자. 시점 ti+1에서 정보집합이 주어지면,

Bti+1 과 Sti+1 은 시장에서 관찰된다. 또한, ∆αti 와 ∆βti 는 새로운 복제포트폴리오에서 각

금융자산의 보유량의 증분을 나타낸다. 따라서, 이 첫 번째 합은 식 (8.6.4)의 우변의 첫째

적분∫ Tt Du du과 유사성을 가지고 있다. 식 (8.7.8)의 우변의 두 번째 합은 정보집합 Iti

가 주어진 경우에도 미지일 것이다. 왜냐하면, 이 합은 시점 ti 후에 발생하는 가격변화들

∆Sti = Sti+1 −Sti 와 ∆Bti = Bti+1 −Bti 를 포함하기 때문이다. 즉, 정보집합 Iti 에 포함되지

않은새로운정보를포함한다. 그렇지만, 일반적으로이가격변화들은어느정도예측가능하다.

즉, 일반적으로 진짜확률측도 P 하에서 EPti (∆Sti) = 0나 EP

ti (∆Bti) = 0이다. 즉, ∆Sti나

∆Bti는 진짜확률측도 P 하에서 마팅게일이 될 수 없다. 따라서, 진짜확률측도 P 하에서는

식 (8.6.8)과 같은 가정을 할 수 없다. 결론적으로, 진짜확률측도 P 에 대한 기대값연산자

EPt (·)를 적용해서는 가치평가식을 얻을 수 없다. 이 문제를 두 가지 기법들을 같이 사용해서

해결할 수 있다.

첫 번째 기법은 적절히 선택된 금융자산가치로 관련된 모든 금융자산가치들을 정규화

(normalizing)하는 것이다. 이 문제에서 편리한 정규화는 각 금융자산가치를 채권가치 Bt로

나누는 것이다. 즉, 다음 확률변수들을 정의하자.

Fu.=Fu

Bu, Su

.=SuBu

, Bu.=Bu

Bu≡ 1 (8.7.9)

여기서 Bu는 상수 1임을 기억하라. 따라서, 각 ti에 대하여 다음 식이 성립한다.

∆Bti = 0 (8.7.10)

즉, Bu를 정규화하는 것이 확률변수 Bu에서 추세를 제거함은 명백하다. 각 시점 u에서 Bu

에 대한 순간적 투자의 순수익률은 무위험이자율 r과 같다. 즉, 다음 식이 성립한다.

dBu = rBu du (8.7.11)


Bu = B0eru (8.7.12)

무한소 시간구간 (u, u+ du]에서 정규화된 원자산 Su의 확률증분의 기대값을 살펴보자. 다음



dSu = d

(SuBu

)=Bu dSu − Su dBu

B2u

=SuBu

[dSuSu

− rdu

](8.7.13)

여기서 세 번째 등호는 식 (8.7.11)에 의해서 성립한다.

두 번째 기법은 동치마팅게일확률측도 Q를 사용하는 것이다. 식 (8.7.13)에서 알 수


EQt (dSt) = EQ

t

(StBt

[dStSt

− rdt

])=StBtEQ

t

(dStSt

− rdt

)(8.7.14)

자산가치평가의 근본적에서 알 수 있듯이, 무재정시장에서St

가 마팅게일이 되는 동치마

팅게일확률측도가 존재한다. 위험중립확률측도 Q 하에서 St의 기대수익률은 무위험수익률

r과 같다. 따라서, 동치마팅게일확률측도로 위험중립확률측도 Q를 사용하면, 식 (8.7.14)

로부터 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

EQt (dSt) = 0 (8.7.15)

식 (8.7.15)에서 알 수 있듯이, 동치마팅게일확률측도 Q 하에서 다음 식들이 성립한다고 할

수 있다.

EQti

(∆Sti

)= 0, (i = 0, 1, · · · ,M − 1) (8.7.16)

이 두 기법들을 적용해서, 이 금융파생상품의 시점 t에서 무재정가치 Ft를 구해보자. 식

(8.7.8)을 구하는 것과 동일한 방법을 사용해서, 다음 식을 유도할 수 있다.

FT = Ft +

M−1∑i=0

[Bti+1∆αti + Sti+1∆βti

]+

M−1∑i=0

[αti∆Bti + βti∆Sti

](8.7.17)

식 (8.7.10), 식 (8.7.16)과 식 (8.7.17)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

EQt (FT ) = Ft +

M−1∑i=0

EQt (1 ·∆αti + Sti+1∆βti) (8.7.18)

만약 식 (8.7.18)의 우변에서 기대값들을 소거할 수 있다면, 우리는 무재정가치 Ft를 구할 수

있다. 만약다음식들을만족하는 (αti , βti) | i = 0, 1, · · · ,M − 1을선택하면, 이기대값들을


소거할 수 있다.

1 ·∆αti + Sti+1∆βti = 0, (i = 0, 1, · · · ,M − 1) (8.7.19)

자기금융조건 하에서 다음 식들이 성립한다.

αti+1Bti+1 + βti+1Sti+1 = αtiBti+1 + βtiSti+1 , (i = 0, 1, · · · ,M − 1) (8.7.20)


∆αtiBti+1 +∆βtiSti+1 = 0, (i = 0, 1, · · · ,M − 1) (8.7.21)

식 (8.7.21)은 식 (8.7.19)와 동치이다. 따라서, 식 (8.7.18)과 식 (8.7.19)에서 알 수 있듯이,

자기금융조건 하에서 다음 가치평가식이 성립한다.

Ft

Bt= EQ

t

(FT

BT

)(8.7.22)

지금까지 설명한 마팅게일을 이용하는 금융자산가치평가에 사용되는 도구들에 관해

요약하면, 다음과 같다. 금융자산가치평가는 기본적으로 세 가지 중요한 도구들에 의존한다.

첫 번째 도구는 Doob-Meyer분해, 즉 마팅게일표현정리이다. 이 정리는 어떤 확률과정을

추세과정과 마팅게일로 분해할 수 있다는 것이다. 시계열분석에서 시계열데이터가 주어지면,

그것을 추세와 추세 주변의 편차로 Wold분해할 수 있다. 실제 데이터를 취급하는 시계열분

석자는 추세성분을 먼저 추정해보는 것이 일반적이다. 이는 묵시적으로 Doob-Meyer분해를

사용하고 있는 것이다. 두 번째 도구는 정규화이다. 정규화는 기준이 되는 확률변수 Nt를

사용해서 기대추세를 소거할 수 있도록 한다. (앞에서 사용한 Bt는 Nt의 특수한 예이다.) 즉,

이러한 정규화가 실행되면, 확률과정 Ft의 추세항은 정규화의 기준이 되는 확률과정 Nt

의 추세에 의해서 보정될 (compensated) 것이다. 가치평가자는 관찰된 금융자산가격이 아닌

정규화된 금융자산가격에 Doob-Meyer분해를 적용한다. 세 번째 도구는 확률측도변환이다.

식 (8.7.8)의 우변의 두 번째 합이 마팅게일성을 갖지 않는다는 것은 진짜확률측도 P 하에서

그렇다는 것이다. 그러나, 동치마팅게일확률측도 Q 하에서 기대값을 계산함으로써, Doob-

Meyer분해에서 남은 불필요한 항을 소거할 수 있다. (앞에서 사용한 위험중립확률측도 Q

는 Q의 특수한 예이다.) 동치마팅게일확률측도를 이용하는 것 역시 확률과정의 기대추세를

변환하는효과가있다. 결과적으로, 정규화된금융파생상품가치과정은동치마팅게일확률측도


하에서 추세가 전혀 없는 마팅게일이 된다.

제9장

확률미적분의 기초

앞에서와 마찬가지로, 편의에 따라 확률과정 xt와 확률과정 x(t)를 혼용해서 사용하기로

하자.

제9.1절 확률미분

9.1.1 확률미분의 필요성

결정적 (deterministic) 함수 f(x)의 미분은 x의 무한소 변동 dx에 대응해서 함수 f가 변동

하는 비율로서, df(x) = fxdx로 나타낸다. 여기서 fx는 함수 f(x)의 x에 대한 도함수이다.

확률적 환경 하에서도 비슷한 개념이 필요하다. 예를 들어, 원자산 St에 변동이 생기면, St

를 원자산으로 하는 파생상품가치 F (St, t)는 어떻게 변동할까? 결정적 환경에서는 이런

문제를 조사하기 위해서, 미분의 표준적 규칙들을 이용할 것이다. 일반적으로 금융자산가격은

연속시간형확률과정으로표현된다. 이러한연속시간형확률과정에서도결정적함수와비슷한

규칙들을 사용할 수 있을까? 미분의 개념은 미분방정식과 밀접한 관계가 있다. 미분방정식은

어떤 변수의 변동에 대한 다른 변수의 변동을 명시적으로 나타내는 것이다. 즉, 미분방정식은

결정적 함수의 변동을 정형화 (formalization)하는 기법이다. 미분방정식을 이용해서, 확률적

함수의 변동도 정형화할 수 있을까? 금속봉에서 열이 전달되는 과정을 결정적 정형화를

사용해서 나타낼 수 있다. 즉, 모든 것이 완전히 예측되는 결정적 환경에서는 위험이 존재하지

않는다. 따라서, 파생상품과 같은 개념을 필요로 하지 않는다. 그러나, 금융자산의 가치평가

에서는 위험을 반영하는 확률적 움직임이 중요하다. 즉, 위험을 제거하거나 받아들이는 것이

파생상품이 존재하는 이유이다. 주가 St를 원자산으로 하는 파생상품가치를 F ≡ F (St, t)

로 표기하자. 주식거래자는 주가의 순간적 변동량 dSt를 알고자 하는 반면에, 파생상품의

423

424 제 9장 확률미적분의 기초

거래자는 파생상품가치의 순간적 변동량 dF를 알고자 한다. 즉, 우리의 관심사는 원자산의

변동량이 아니라, 원자산의 변동량 dSt에 대한 파생상품가치의 변동량 dF를 구하는 것이다.

따라서, 어떤 형태의 연쇄정리를 사용할 필요가 있다. 만약 표준적 미분을 적용할 수 있다면,

우리는 식 dF = FSdSt를 이용할 수 있다. 그러나, 이 표준적 미분의 연쇄정리를 확률적

상황에서도 이용할 수 있는 것일까? 물론, 그 대답은 ‘아니다’ 이다. 그렇다면 확률적 환경

하에서 어떻게 미분을 정의해야 하는 것일까? 이 절에서는 확률미분과 확률미분방정식에

대해서 살펴보자.

9.1.2 결정적 미분과 확률미분

이 소절에서는 결정적 미분법칙들을 확률적 환경 하에서 적용할 수 없음을 보이자. 표준적

미분은 다음과 같이 정의되는 극한연산이다.

f ′(x).=df

dx

.= lim

∆x→0

f(x+∆x)− f(x)

∆x(9.1.1)

여기서식 |f ′| <∞이성립한다고가정한다고가정하자. 만약 x가시간을나타낸다면, 미분은

무한소 시간구간에서 f(x)가 변화하는 비율이다. 함수 f(x)를 점 x0에서 Taylor전개하면,


f(x) = f(x0) + f ′(x0)∆x+1

2!f ′′(x0)[∆x]

2 +1

3!f ′′′(x0)[∆x]

3 +O([∆x]4) (9.1.2)

여기서∆x.= x−x0 이다. 즉, 증분 ∆x는변수 x의작은변동을나타낸다. 우리의목적은 x의

변동이 f(x)에 미치는 영향을 평가하는 것이므로, 무시할 수 있을 정도로 작은 ∆x를 고려할

필요는 없다. 따라서, ∆x는 작지만 무시할 수 있는 정도로 작지는 않다는 점에 유의하라.

식 (9.1.2)의 우변 첫째 항 f ′(x0)∆x는 0으로 간주할 수 있는 정도로 작지는 않다. 둘째 항

f ′′(x0)[∆x]2/2을 생각해 보자. 만약 변수 x가 결정적이면, 작지만 무시할 수 없는 크기의 ∆x

에 대해서 [∆x]2는 훨씬 더 0에 가깝다. 따라서, 다음 근사식이 성립한다.

∆f.= f(x)− f(x0) ≃ f ′(x0)∆x (9.1.3)

식 (9.1.3)으로부터, 식 (9.1.1)을 쉽게 유도할 수 있다. 실제로, 식 (9.1.1)과 식 (9.1.3)은

동치이다.

지금부터는 x가 상수가 아닌 확률변수인 경우를 살펴보자. 편의상, E(∆x) = 0라고 가정

확률미분 425

하자. 만약 E([∆x]2) = 0라면, ∆x는 확률적 개념에서 상수 0이다. 따라서, 식 E([∆x]2) > 0

이 성립한다고 가정하자. 이는 [∆x]2의 크기가 평균적으로 0이 아닌 것을 의미하므로, Taylor

전개를 이용한 근사에서 이에 해당하는 2차항을 남겨 두지 않으면 안 된다. 제8.5절에서 설명

하였듯이, 제곱가적분인 연속마팅게일의 1차변분은 무한대이고, 2차변분은 어떤 확률변수에

수렴하고, 3차이상변분은 0에수렴한다. 따라서, ∆x의고차항들을근사적으로 0으로간주할

수 있다. 즉, 다음 근사식이 성립한다.

∆f = f(x0 +∆x)− f(x0) ≃ f ′(x0)∆x+1

2f ′′(x0)[∆x]

2 (9.1.4)

여기서 [∆x]2는 확률변수이므로, 식 (9.1.4)를 좀더 단순하게 표현할 필요가 있다. 예를 들어,

[∆x]2를 그 기대값으로 치환한 근사식은 다음과 같다.

∆f = f(x0 +∆x)− f(x0) ≃ f ′(x0)∆x+1

2E([∆x]2)f ′′(x0) (9.1.5)

다음 식을 만족하는 확률변수 z2를 생각해보자.

lim∆x→0

E([∆x]2 − z22) = 0 (9.1.6)

식 (9.1.4)와 식 (9.1.6)에서 알 수 있듯이, 다음 근사식이 성립한다.

∆f = f(x0 +∆x)− f(x0) ≃ fx(x0)∆x+1

2z2fxx(x0) (9.1.7)

따라서, 확률미분을 정의하기 위해서는, 극한들 lim∆x→0

E([∆x]2)∆x 와 lim

∆x→0

z2∆x를 규명하지 않으면

안 된다. 즉, 확률미분의 개념에서는 확률론적 극한들을 필요로 한다.

9.1.3 확률미분방정식의 개략적 유도

확률미분을 논의하기 위해서는, 우선 확률미분방정식을 정형화할 필요가 있다. 이 소절에서는

확률차분방정식을 유도하고, 이로부터 확률미분방정식의 형태를 유추해 보자.

어떤 금융자산가격을 표현하는 연속시간형 확률과정 St | t ∈ (0, T ]의 변동을 나타내는

확률미분방정식을 구하기 위해서, 우선 이에 해당하는 확률차분방정식을 구하기로 하자.


시간구간 [0, T ]의 분할을 다음과 같이 정의하자.

Π.= 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tM = T (9.1.8)

또한, δ .= T/M 그리고 tk

.= kδ, (k = 0, 1, · · · , M)를 정의하자. 소구간 (tk, tk+1]에서

금융자산가격 변동량을 ∆Stk.= Stk+1

− Stk 라 하고, 또한 다음과 같이 확률변수 ∆Utk 를

정의하자.

∆Utk.= ∆Stk − Etk(∆Stk) = [Stk+1

− Stk ]− Etk(Stk+1− Stk) (9.1.9)

여기서 Etk(·)는 시점 tk 에서 이용가능한 정보집합 Itk 하에서 기대값연산자이다. 따라

서, ∆Utk 는 시점 tk 에서 증분 ∆Stk 에서 예측불가능한 부분이다. 즉, 식 (9.1.9)의 우변

첫째 항 [Stk+1− Stk ] 은 소구간 (tk, tk+1]에서 금융자산가격의 실제 변동량이고, 둘째 항

Etk(Stk+1− Stk)은 정보집합 Itk 가 주어졌을 때 시장참가자가 예상하는 변동량이다. 새로운

정보 중에서 예측불가능한 요소인 ∆Utk 는 다음과 같은 성질들을 갖는다.

첫째, 정보집합 Itk 가 주어지면, 쇄신항 (innovation term) ∆Utk 는 예측불가능이다. 즉, 각 k

에 대해서, Etk(∆Utk) = 0이다.

둘째, 소구간 (tk−1, tk]의 끝점 tk에서 ∆Utk 는 미지이다. 그러나, 소구간 (tk, tk+1]의 끝점

tk+1에서 ∆Utk 는 기지이다. 즉, 정보집합 Itk+1이 주어지면, ∆Utk 의 정확한 값을 알 수

있다.

셋째, 만약 U0 = 0이라고 가정하면, Utk =k−1∑i=0

∆Uti 이다. 또한, 다음 식들이 성립한다.

Etk(Utk+1) = Etk(Utk +∆Utk) = Utk

따라서, Utk는 마팅게일이다.

금융자산가치평가에서 쇄신항 ∆Utk 가 중요한 이유는 다음과 같다. 예측불가능한 사건들

이 연속적으로 일어나고, 시장참여자들은 이러한 정보를 Bloomberg나 Reuters와 같은 주요

통신망의 생중계에서 얻을 수 있다. 즉, 금융자산가격의 움직임은 새로운 정보에 해당하는

쇄신항 ∆Utk 에 의해 지배된다고 할 수 있다. 따라서, 확률적 환경 하에서 미분을 논의하기

위해서는, 쇄신항∆Utk 의성질에대해서자세히알필요가있다. 특히, Taylor전개를바탕으로

하는 근사식에서 쇄신항의 제곱 [∆Utk ]2를 무시할 수 없다는 것을 기억하라.

확률미분 427

확률차분방정식 (9.1.9)에서 극한 δ → 0를 취해서, 확률미분방정식을 유도하기로 하자.

이러한 목적을 달성하는 두 가지 방법들을 생각할 수 있다. 하나는 확률과정론에서 사용하는

방법이고, 다른 하나는 Merton (1992)에 의해서 논의된 방법이다. 여기서는 Merton접근법을

설명하고자 한다. 그 이유는 이 방법을 이용하면 각 조건의 배후에 있는 경제현상을 보다 잘

이해할 수 있기 때문이다. Merton접근법에서는 금융시장에서 정보흐름을 정형화한다.

변수 vtk.= E0([∆Utk ]

2)를 정의하자. 즉, vtk 는 ∆Utk 의 무조건부 분산이다. 쇄신항들

∆Utk | k = 0, 1, · · · , M − 1은 서로 무상관이므로, 누적쇄신항분산 V 는 다음 식들을

만족한다.

V.= E0

(M−1∑k=0

∆Utk

)2

=

M−1∑k=0

vtk (9.1.10)

Merton (1992)은 이 누적쇄신항분산 V 가 다음 조건들을 만족한다고 가정한다.

첫째, 부등식 V > A1를만족하는상수 A1(> 0)이존재한다. 이 A1은M에의존하지않는다.

둘째, 부등식 V < A2를 만족하는 상수 A2(< ∞)가 존재한다. 이 A2는 M에 의존하지

않는다.

셋째, 부등식 vtk > A3 vmax 를 만족하는 상수 A3(> 0)가 존재한다. 여기서 vmax.=

maxvti | i = 0, 1, · · · , M − 1이다. 이 A3는 M에 의존하지 않는다.

첫째 조건은 금융자산가격의 변동성에 하한을 부여한다. 시간구간 [0, T ]를 아주 잘게 나

눈다고 하자. 즉, 고정된 T 에 대해서 극한 M → ∞를 취하자. 누적쇄신항분산 V 가 0가

아니므로, 금융자산가격을 더 짧은 시간간격으로 관찰해도 모든 위험이 소거되지는 않는다.

즉, 금융자산가격의 불확실성은 아무리 짧은 시간간격으로 시장을 관찰해도 없어지지 않는다.

둘째 조건은 금융자산가격의 변동성에 상한을 부여한다. 시간구간을 더 잘게 자른다는 것은

더 빈번한 거래가 허용되는 것을 의미한다. 그러나, 아무리 빈번한 거래라도 불안정성을

무제한으로 초래하지는 않는다. 즉, 충분히 빈번한 거래가 일어난다고 해도, 이들이 무한한

변동성을초래한다고할수는없다. 셋째조건은금융시장의불확실성이어떤특정한소구간에

집약되지 않는다는 것이다. 따라서, 시장이 열려 있는 한, 최소한 변동성은 항상 존재한다. 이

조건은 복권이 당첨되는 것과 같은 불확실성을 시장모형에서 배제한다. 이러한 조건들 하에서

[∆Utk ]2의 성질에 대해서 논의하기로 하자.


정리 9.1.1

다음조건들을만족하며또한M에의존하지않는상수들 A1, A2 그리고 A3가존재한다고

하자.

0 < A1 < V < A2 <∞,vtkvmax

> A3, (k = 0, 1, · · · , M − 1)

이러한 가정 하에서, 다음 식을 만족하는 σtk(<∞)가 존재한다.

E([∆Utk ]2) = σ2tkδ + o(δ)

이 σtk 는 δ에 의존하지 않으나 시점 tk에서 정보집합 Itk 에 의존할 수 있다.

증명. 여기서는 증명의 방향만을 간단히 제시하고자 한다. 자세한 부분은 Merton (1992)의

제3장을 참조하라.


M ·A3 · vmax <

M−1∑k=0

vk = V < A2 <∞ (1)


δ

T

A2

A3=

1

M

A2

A3> vmax ≥ vtk , (k = 0, 1, · · · , M − 1) (2)


vmax >1

M

M−1∑k=0

vtk =V

M>A1

M=A1

Tδ (3)


A3A1

Tδ < A3vmax < vtk , (k = 0, 1, · · · , M − 1) (4)

확률미분 429


δ

T

A2

A3> vtk >

A1A3

Tδ, (k = 0, 1, · · · , M − 1) (5)

즉, 각 분산 vtk 는 M에 의존하지 않고 δ에 비례하는 상한과 하한을 갖는다. 따라서, 다음

식들을 만족하는 σtk 가 존재한다.

E([∆Utk ]2) = σ2tkδ + o(δ) (6)

만약 Utk.= σ(Itk , tk)Wtk 라 놓으면, 식 (9.1.9)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

Stk+1− Stk = Etk(Stk+1

− Stk) + σ(Itk , tk)∆Wtk (9.1.11)

여기서 σtk.= σ(Itk , tk)는 시점 tk에서 이미 알려진 정보집합 Itk 와 tk의 함수이고, ∆Wtk 는

시점 tk에서 예측불능인 쇄신항이고, 이 쇄신항의 분산 E([∆Wtk ]2)는 δ + o(δ)이다. 따라서,

다음 근사식을 사용하기로 하자.

[∆Wtk ]2 ≃ δ (9.1.12)


limδ→0

|∆Wtk |δ

= limδ→0

|W ([k + 1]δ)−W (kδ)|δ

= limδ→0

|√

(k + 1)δ −√kδ |

δ= ∞ (9.1.13)

식 (9.1.11)의 양변을 δ로 나누면, 다음 식을 얻는다.

Stk+1− Stkδ

=Etk(Stk+1

− Stk)

δ+ σtk

∆Wtk

δ(9.1.14)

식 (9.1.13)에서 알 수 있듯이, 식 (9.1.14)의 우변의 극한은 존재하지 않는다. 물론 지금까지

기술된 논의는 정밀성이 떨어진다. 그럼에도 불구하고, 지금까지 논의가 시사하는 바는 크다.

왜냐하면, 식 (9.1.13)에서 알 수 있듯이, 확률미분을 정의하는 것이 거의 불가능해 보이기

때문이다.

지금부터는 식 (9.1.11)의 우변 첫째 항 Etk(Stk+1− Stk)를 살펴보자. 이는 조건부기대


값으로서 금융자산가치변동량의 예측이다. 이 변동의 크기는 바로 직전 시점인 tk = kδ와

정보집합 Itk 에 의존한다. 따라서, Etk(Stk+1− Stk)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

A(Itk , tk).= Etk(Stk+1

− Stk) (9.1.15)

정보집합 Itk 가주어졌으므로, A(Itk , kδ)는확률적이아닌결정적변수들의함수이다. 따라서,

만약 함수 A(Itk , kδ)가 δ에 대해서 평활하다면, 점 δ = 0에서 다음과 같이 Taylor전개할 수

있다.

A(Itk , kδ) = A(Itk , 0) + µ(Itk , kδ)δ +R(Itk , kδ) (9.1.16)

여기서 µ(Itk , kδ)는 A(Itk , kδ)의 δ에 관한 1차미분을 δ = 0에서 계산한 값이고, R(Itk , kδ)

는 잔차항이다. 만약 δ = 0이면, 시점은 전혀 변함이 없고 따라서 금융자산가치의 예측된

변동은 0이다. 즉, A(Itk , 0) = 0이다. 정보집합 Itk 가 주어졌을 때, R(Itk , kδ)는 확률적이

아닌 결정적 변수들의 함수로서 o(δ2)이다. 따라서, 식 (9.1.15)와 식 (9.1.16)에 의해서, 다음

근사식이 성립한다.

Etk(Stk+1− Stk) ≃ µ(Itk , tk) δ (9.1.17)

만약 δ → 0라고 하면, 식 (9.1.11)과 식 (9.1.17)에 의해서 다음 확률미분방정식이 성립할

것 같다.

dSt = µ(It, t) dt+ σ(It, t) dWt (9.1.18)

이확률미분방정식은추세계수 µ(It, t)와확산계수 σ(It, t)를갖는다고한다. 여기서확률미분

들 dSt와 dWt를 명확하게 정의하지 않았음을 기억하라. 이후, 식 (9.1.18)을 좀더 체계적으로

유도하게 될 것이다.

9.1.4 Brown운동의 미분

앞에서 언급했듯이, 결정적 미분에서 확률미분으로 쉽게 확장할 수는 없다. 왜냐하면, 무한소

시간구간에서 Brown운동의 변동량 분산은 0이 아니기 때문이다. 즉, Brown운동의 표본경

로는 아주 불안정하게 변화하여, 시점에 대한 도함수가 존재하지 않을 것 같다. 즉, Brown

확률미분 431

운동의 미분가능성에 대해서 의심하지 않을 수 없다. 고등학교 수학시간에 함수가 미분가능한

점에서 연속이라는 것을 배웠다. 그리고, 함수 f(x) = |x|가 x = 0에서 연속이지만 미분이

불가능하다는 것도 배웠다. 대부분의 연속함수는 어떤 특별한 점들을 제외하면 전구간에서

미분가능한 것이 일반적이다. 그러나, 1875년 Weierstrass는 전 구간에서 연속이면서 어느

점에서도 미분이 불가능한 다음과 같은 함수를 제시하였다.

f(x) =∞∑n=0

an cos ([2m− 1]nπx) (9.1.19)

여기서 0 < a < 1이고, m은자연수이며, a[2m−1] > a+3π/2이다. 또한, 웨이블릿이론에서

널리 쓰이는 Daubechies의 척도함수 (scaling function)도 전구간에서 연속이면서도 어느

점에서도 미분이 불가능하다. 그림 7.5.2에서 짐작할 수 있듯이, Brown운동의 표본경로는

연속이지만 미분가능이 아니다. 이 소절에서는 이 성질을 증명하기로 하자. 그림 9.1.1에는

a = 0.5이고 m = 7인 Weierstrass함수의 그래프가 그려져 있다.

그림 9.1.1. Weierstrass함수


정리 9.1.2

Brown운동의 표본경로는 미분불가능이다.

증명. 표준Brown운동 Wt는 다음 식들을 만족한다.

E

([W (t+ h)−Wt

h

]2)=

|h|h2

=1

|h|(1)


limh→0

E

([W (t+ h)−Wt

h

]2)= ∞ (2)

만약 표준Brown운동이 미분가능이면, 다음 식이 성립한다.

limh→0

E

([W (t+ h)−Wt

h−W ′(t)

]2)= 0 (3)


limh→0

E

([W (t+ h)−Wt

h

]2)= E([W ′(t)]2) (4)

식 (2)와 식 (4)는 서로 모순이다. 따라서, 표준Brown운동의 표본경로는 미분불가능이다.

<정리 9.1.2>에서 알 수 있듯이, Brown운동 Wt는 미분불가능하다. 따라서, 표준적

미분과 같은 방법으로는 dWt를 정의할 수 없다. 확률미분을 정의하는 것이 곤란함에도

불구하고, 확률미분방정식을 구축하는 것에는 특별한 가정을 필요로 하지 않는다. 이러한

의미에서, 확률미분방정식은확률과정을기술하는일반적인표현이다. 확률과정을예측가능한

부분과 예측불가능한 부분으로 분해하고, 또한 예측가능한 부분에 어떤 가정들을 부가하는

것으로 확률미분방정식을 구축할 수 있다. 그러나, 예측불가능한 부분을 논리적으로 설명하기

위해서는, 확률증분의 극한을 정의할 필요성이 있다. 즉, Brown운동의 확률미분 dWt를

명확하게 정의할 필요가 있다. 이러한 목적을 위해서 Ito적분이라는 도구를 사용한다. 즉, Ito

적분이 있어야만, Brown운동의 미분 dWt와 같은 확률미분 개념을 정형화할 수 있다. 이후,

우리는 Ito적분을 정의하고, 이를 바탕으로 확률미분의 의미를 다시 생각해 볼 것이다.

Riemann적분과 Stieltjes적분 433

제9.2절 Riemann적분과 Stieltjes적분

제9.1절에서다시 Ito적분이라는단어가출현했다. 이는독자들이고등학교에서배운적분말고

다른적분이있다는것을뜻한다. 대학에서수학을많이공부하지않은독자들은적분에도여러

종류가 있다는 것을 잘 모를 것이다. 미적분학을 가르칠 때는 적분보다 미분을 먼저 배우지만,

역사적으로 보면 미분의 역사보다는 적분의 역사가 훨씬 길다. 적분은 나일강의 선물이라고

할 수 있다. 고대 이집트의 중심인 나일강은 자주 범람하고 이에 따라 강의 위치가 변하므로,

강의 범람 이후 강변의 토지를 원래 면적대로 재분배하기 위해서는 곡선으로 둘러싸인 면적을

계산하는 법이 필요했다. 이 문제를 풀기 위해서 고안된 것이 적분이다. 반면에, 미분은 17

세기 Decarte, Fermat, Pascal 등에 의해서 연구가 시작되었다. 오랜 기간 동안 사용되었던

적분을 체계화한 사람은 Riemann (1826∼1866)이다. 우리가 고등학교나 대학 교양과정에서

배우는 적분이 Riemann적분이다. 또한, 이 적분을 약간 확장한 것이 Stieltjes적분이다.

시점 t의 결정적 함수 xt의 비확률함수 F (xt)를 살펴보자. 여기서 F는 연속이고, 다음과

같은 도함수를 갖는다고 가정하자.

dF (xt)

dxt= f(xt) (9.2.1)

이 도함수 f가 존재하는 경우에, Riemann-Stieltjes적분을 다음과 같이 표기할 수 있다.

∫ T

0f(xt) dxt =

∫ T

0dF (xt) (9.2.2)

식 (9.2.2)의 좌변의 적분은 xt에 관하여 시행되었다. 즉, 각 xt에서 함수 f의 값 f(xt)에

무한소 증분 dxt를 곱하고, 이 값들을 더해서 적분을 계산한다. 이것이 Riemann적분이다. 식

(9.2.2)의 우변의 적분은 함수 F에 관해서 시행된다. 즉, 각 xt에 대한 함수 F의 무한소 증분

dF (xt)의 값들을 더해서 적분을 계산한다. 이것이 Stieltjes적분의 간단한 예이다. 후자를 좀

더 복잡하게 만들 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 적분을 정의할 수 있다.

∫ T

0g(xt) dF (xt) (9.2.3)

여기서는 함수 F에 관해서 함수 g(xt)의 적분을 시행한다. 동일한 기법이 확률변수의 기대값

을 계산할 때 나타난다. 예를 들어, 만약 F가 확률변수 xt의 확률분포함수이면, 고정된 t에


대해서 어떤 함수 g의 기대값을 다음과 같이 계산한다.

E(g(xt)) =

∫ ∞

−∞g(xt) dF (xt) (9.2.4)

이 적분은 증분 dF를 가중값으로 하는 함수값 g(xt)의 가중평균을 의미한다. 식 (9.2.3)의

적분과 식 (9.2.4)의 적분 사이에는 다음과 같은 중요한 차이가 있음을 유의하라. 식 (9.2.3)

에서 0에서 T까지 변화하는 것은 t이다. 특정한 t에 대한 값 xt가 고정되어 있지 않을 수도

있다. 즉, xt는 확률변수일 수가 있다. 이 경우에는 이 적분 자체가 확률변수이다. 그러나, 식

(9.2.4)의 적분에서 t는 일정하며, −∞에서 +∞로 변하는 것은 xt이다. 따라서, 이 적분은

확률변수가 아니며, 이 적분을 엄밀하게 정의하기 위해서는 Lebesgue적분이라는 것을 사용해

야 한다.

지금부터는 Riemann적분과 Stieltjes적분을 간단히 복습해 보자. 실함수 f(t)가 구간

[a, b ]에서 연속이라고 하자. 폐구간 [a, b ]의 분할을 다음과 같이 정의하자.

Π.= a = t0 < t1 < t2 < · · · < tM = b (9.2.5)

소구간 [ti, ti+1]에 속하는 임의의 점을 di라 하고, 변수 δM.= max

0≤i≤M−1|ti+1 − ti|를 정의하자.

다음과 같은 극한문제를 생각해 보자.

limδM→0

M−1∑i=0

f(di)[ti+1 − ti] (9.2.6)

분할 Π와 점 di ∈ [ti, ti+1]를 어떻게 선택해도 식 (9.2.6)의 극한값이 존재하는 경우에, 이

극한값을 함수 f(t)의 구간 [a, b ]에서 Riemann적분이라 하고, 다음과 같이 표기한다.

∫ b

af(x) dt

.= lim

δM→0

M−1∑i=0

f(di)[ti+1 − ti] (9.2.7)

다음으로 Stieltjes적분을 살펴보자. 실함수 f(t)가 구간 [a, b ]에서 연속이라고 하자.

Riemann적분에서와 마찬가지로 분할 Π와 점 di ∈ [ti, ti+1]를 정의하자. 폐구간 [a, b ]에서

유계변분 (bounded variation)을 갖는 실함수 α(t)에 대해서 다음과 같은 극한문제를 생각해

보자.

limδM→0

M−1∑i=0

f(di)[α(ti+1)− α(ti)] (9.2.8)

확률미분과 확률적분방정식 435

분할 Π와 점 di ∈ [ti, ti+1]를 어떻게 선택해도식 (9.2.8)의 동일한극한값이존재하는 경우에,

이 극한값을 함수 f(t)의 α(t)에 대한 구간 [a, b ]에서 Riemann-Stieltjes적분 또는 간단히

Stieltjes적분이라 하고, 다음과 같이 표기한다.

∫ b

af(t)dα(t)

.= lim

δM→0

M−1∑i=0

f(di)[α(ti+1)− α(ti)] (9.2.9)

여기서는 α(t)가 구간 [a, b ]에서 유계변분을 갖는 함수라고 했으나, 이보다는 α(t)가 구간

[a, b ]에서 단조증가하는 함수라고 하는 것이 더 전통적인 정의이다. 만약 α(t) = t이면,

Stieltjes적분은 Riemann적분이 된다.

제9.3절 확률미분과 확률적분방정식

미분방정식은 물리현상이나 사회현상의 동적특성 (dynamics)을 나타내는 데 사용된다. 즉,

미분방정식은 실제 세계에서 일어나는 현상을 모형화하는 데 필요한 도구이다. 예를 들어,

미래시점의 xt의 변화가 과거값들 xs | s < t와 다른 확률과정의 과거값들 ys | s < t에

의존하는 경우, 이러한 관계를 미분방정식을 사용해서 근사적으로 나타낼 수 있다. 한 예로,

다음과 같은 단순한 선형미분방정식을 생각해 보자.

dxtdt

= Axt +Byt, (t ≥ 0) (9.3.1)

여기서 yt는 외생변수 (exogeneous variable)이며, A와 B는 모수들이다. 미분방정식을 얻기

위해서는 우선 도함수 dxt/dt가 정의되어야 한다. 미적분의 근본적 정리(the fundamental

theorem of calculus)를 사용해서 다음과 같이 xt를 나타낼 수 있다.

xt = xa +

∫ t

a

dxsds

ds = xa +

∫ t

adxs (9.3.2)

여기서 xa는 상수이다. 식 (9.3.2)는 각 미분방정식에 대해서 적분방정식을 생각할 수 있다는

것을 시사한다.

확률미적분에서 이러한 논리를 전개하는 것은 불가능하다. 만약 예측불가능한 정보가

연속적으로 발생하고, 또한 만약 고려하고 있는 현상의 동적변화를 나타내는 방정식이 이러한

새로운 정보들에 의존한다면, 우리는 의미있는 미분개념을 정의할 수 없다. 즉, 확률미분을

정의할 수 없다. 그러나, 어떤 의미에서 확률적분을 정의할 수 있다고 가정하자. 만약 확률적


분이 정의되면, 다음 식을 사용해서 확률미분 dxt를 정의할 수 있다.

xt+δ − xt =

∫ t+δ

tdxu (9.3.3)

여기서 δ는 작은 양수이다. 다음과 같은 확률적분방정식을 생각해 보자.

∫ t+δ

tdxu =

∫ t+δ

tµu du+

∫ t+δ

tσu dUu (9.3.4)

식 (9.3.4)의 우변의 첫째 항은 예측가능한 부분을 나타내고, 둘째 항은 예측불가능한 부분을

나타낸다. 즉, Uu는 누적쇄신항확률과정이다. 식 (9.3.4)를 다음과 같은 확률미분방정식으

로 표기하자.

dxt = µt dt+ σt dUt (9.3.5)

확률미분방정식 (9.3.5)에서는 미래 변화를 나타내는 데 dxt/dt와 같은 도함수 대신에 dxt, dt

와 dUt와 같은 미분들을 사용한다.

식 (9.1.18)에서처럼, 연속시간형 확률과정 St의 동적특성을 다음과 같은 확률미분방정

식으로 나타낼 수 있다고 하자.

dSt = µ(St, t) dt+ σ(St, t) dWt (9.3.6)

여기서 표준Brown운동 Wt의 확률미분 dWt는 무한소 시간간격 dt에서 일어나는 예측불가

능한 사건을 나타내는 쇄신항(innovation term)이고, µ(St, t)와 σ(St, t)는 각각 추세계수와

확산계수로서 It-가측이다. 이 Brown운동 Wt는 표본경로가 아주 불규칙한 확률과정이며,

결정적 환경에서는 Wt의 미분은 존재하지 않는다. 따라서, dSt나 dWt와 같은 확률미분들을

결정적 미분과는 다른 방법으로 정당화해야 한다.

식 (9.3.6)의 양변을 적분하면, 다음과 같은 확률적분방정식이 성립한다.

∫ t

0dSu =

∫ t

0µ(Su, u) du+

∫ t

0σ(Su, u) dWu (9.3.7)

제8.5절에서알수있듯이, Brown운동 Wt의증분은짧은시간간격 δ에서지나치게불규칙하

게변동한다. 또한, Brown운동 Wt의평균변화율은 O(δ−1/2)이다. 따라서, δ가작아질수록

이평균변화율은증가한다. 이렇게증분 dWt의변화가지나치게클때에는 Riemann-Stieltjes

확률미분과 확률적분방정식 437

적분 관점에서∫ t0 σ(Su, u) dWu가 존재하지 않고, 따라서 이러한 관점에서는 확률적분방정식

(9.3.7)이 무의미하다. 우리의 목적은 의미있고 널리 쓰일 수 있는 확률적분을 정의하는

것이다. 이러한 목적에 부합하는 것이 Ito적분이다. 결론적으로, 확률미분 dWt를 정의하는

것은 Ito적분∫ t+δt σ(Su, u) dWu를 정의하는 것과 같다. 즉, 확률미분방정식의 확산항은 Ito

적분의 의미에서 정의된다. Ito적분은 예측불가능한 확률증분들의 합을 정의하는 한 가지

방법이다.

앞에서도 언급했듯이, Brown운동의 증분 dWt는 아주 가까운 미래조차 예측불능한 확률

변수이다. 또한, 시점 t = 0에서 W0 = 0이다. 시점 t에서 Wt는 다음과 같이 서로 독립인

비가산개 확률증분들의 합이다.

Wt =

∫ t

0dWu (9.3.8)

식 (9.3.8)이 가장 간단한 Ito적분이다. 좀더 중요한 Ito적분은 확률미분방정식의 확산항을

Brown운동에 대해서 적분한∫ t0 σ(Su, u) dWu이다. 다시 한 번 강조하지만, 이 적분들은

매우 불규칙하게 움직이는 확률변수들의 합이다. 왜냐하면, δ(> 0)만큼 떨어진 시점들에서

확률증분들 dWt와 dWt+δ는 비상관이기 때문이다. 우리의 목적은 이렇게 매우 불규칙하게

변화하는 확률증분들의 합을 의미 있게 정의하는 것이다.

만약 확률적분∫ t0 σ(Su, u) dWu가 어떤 의미에서 엄밀하게 정의된다고 가정하면, 즉 Ito

적분이 정의된다고 가정하면, 식 (9.3.7)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

St+δ − St =

∫ t+δ

tµ(Su, u) du+

∫ t+δ

tσ(Su, u) dWu (9.3.9)

여기서우리는아직 Ito적분을정의하지않았음을상기하라. 만약 δ가작으면, 함수들 µ(Su, u)

와 σ(Su, u)는 시간구간 (t, t+ δ]에서 그다지 크게 변동하지 않는다. 특히, 이들이 Su와 u의

평활한 함수들이면, 그 변동량들은 더욱 작을 것이다. 따라서, 식 (9.3.9)에서 알 수 있듯이,

다음 근사식이 성립한다.

St+δ − St ≃ µ(St, t)

∫ t+δ

tdu+ σ(St, t)

∫ t+δ

tdWu (9.3.10)

즉, 다음 근사식이 성립한다.

∆St ≃ µ(St, t)δ + σ(St, t)∆Wt (9.3.11)


식 (9.3.11)은 적어도 두 가지 의미에서 식 (9.3.9)의 근사식이다. 첫째, Et(St+δ − St)의 δ

에 관한 Taylor급수에 의한 1차 근사식은 Et(St+δ − St) ≃ µ(St, t)δ이다.둘째, µ(Su, u)와

σ(Su, u)는 시간구간 (t, t + δ]에서 시점 u = t의 값들로 근사되어 있다. 이러한 근사들이

성립하기 위해서는, µ(Su, u)와 σ(Su, u)가 평활하다는 조건을 필요로 한다.

실무에서, Ito적분은 확률미분방정식만큼 자주 이용되지는 않는다. 금융파생상품가치

를 평가하는 경우에, Ito적분을 직접 사용하는 실무자는 거의 없다. 실무자가 금융자산의

무재정가격을 계산하는 데는 보통 편미분방정식이나 동치마팅게일측도를 이용한다. 이들

중 어느 경우에도 Ito적분을 직접 이용할 필요는 없다. 따라서, 독자들은 Ito적분의 실용적

중요성에 대해 이해할 수 없을 것이다. Ito적분의 정의는 실용적인 면과 관련성이 없으며,

본질적으로 이론적인 것이라고 생각할 것이다. 또한, 어떤 독자는 Ito적분의 존재를 무조건

받아들이고, 확률미분방정식을 직접 사용하는 것에 대해 논의하기를 바랄 것이다. 그러나,

독자들은 다음과 같은 점을 유의하기 바란다. Ito적분의 정의를 이해하는 것은 적어도 두

가지 측면에서 중요하다. 첫째, 확률미분방정식은 Ito적분의 형식으로만 정의될 수 있다.

확률미분방정식에 숨겨진 진정한 의미를 이해하기 위해서는 Ito적분에 대한 이해가 필요하다.

그렇지 않으면, 확률미분방정식을 실제 문제에 적용할 때 오류를 범할지도 모른다. 둘째,

확률미분방정식은 무한소 시간구간에서 정의되어 있기 때문에, 유한구간에서 이를 적용하기

위해서는 근사식을 필요로 한다. 실제로, 시간간격 δ가 작지 않다면, 어떤 근사식은 유효하지

않을 것이다. 이러한 경우에는 Ito적분을 이용해서 새로운 근사식을 정의해야 한다. 이

점은 금융파생상품의 가치평가에서 매우 중요하다. 왜냐하면, 실무에서는 항상 유한구간을

이용해서 계산을 시행하기 때문이다. 예를 들어, 하루는 명백하게 무한소 시간구간이 아니며,

이러한 시간구간에서 확률미분방정식을 적용하려면 근사식을 필요로 한다. 우리는 Ito적분의

정의로부터 근사도가 높은 근사식을 구할 수 있다.

제9.4절 Wiener적분

9.4.1 Riemann적분과 Ito적분

Riemann-Stieltjes적분을 밑변의 길이가 작은 직사각형들의 면적들의 합인 Riemann합으로

근사시킬 수 있다. 이와 같은 방법을 확률적분에도 적용할 수 있을까? 폐구간 [0, T ]의 분할

Π = 0 = t0 < t1 < · · · < tM = T 에서, 다음과 같은 확률차분방정식을 살펴보자.

Stk+1− Stk = µ(Stk , kδ)δ + σ(Stk , kδ)∆Wtk , (k = 0, 1, · · · , M − 1) (9.4.1)

Wiener적분 439

여기서 분할은 등간격이다. 즉, 각 k(= 0, 1, · · · , M − 1)에 대해서 δ.= tk+1 − tk = T/M

이다. Riemann-Stieltjes적분과 동일한 방법을 이용해서, 확률변수 St에 관한 적분을 다음과

같이 정의할 수 있을까?

∫ T

0dSu = lim

M→∞

M−1∑k=0

µ(Stk , kδ)δ +

M−1∑k=0

σ(Stk , kδ)∆Wtk

(9.4.2)

시점 k에서 정보집합 Itk 가 주어지면, 식 (9.4.2) 우변의 첫째 항은 확률변수를 포함하

지 않는다. 더 중요한 점은 이 적분은 시점 t의 증분에 대해서 시행된다는 것이다. 앞에

서 가정했듯이, 추세계수 µ(St, t)는 시점 t의 평활한 함수이며, 유계변동을 한다. 따라서,

Riemann-Stieltjes적분과 같은 방법을 적용해서, 다음과 같이 적분을 정의할 수 있다.

∫ T

0µ(Su, u) du

.= lim

M→∞

M−1∑k=0

µ(Stk , kδ)δ (9.4.3)

반면에, 정보집합 Itk 가 주어졌어도, 식 (9.4.2) 우변의 두 번째 항에는 확률변수 ∆Wtk 가

포함되어 있다. 따라서, 합M−1∑k=0

σ (Stk , kδ)∆Wtk 도 확률변수이다. 즉, Riemann-Stieltjes 적

분에서사용된결정적극한의개념을여기에적용할수는없다. 우리는확률변수열의극한에는

여러 가지 정의들이 있다는 것을 알고 있다. 여기서는 어떠한 극한의 개념을 이용해야 할까?

Ito적분은 평균제곱극한 (limit in the mean square)을 사용해서 확률적분을 정의한다. 다음

식을 만족하는 확률변수 Y 가 존재한다고 가정하자.

limM→∞

E

[Y −M−1∑k=0

σ(Stk , kδ)∆Wtk

]2 = 0 (9.4.4)

이 확률변수 Y 를∫ T0 σ(Su, u) dWu로 표기하고, 이를 Ito적분이라 부른다. 지금까지 관찰

했듯이, Brown운동의 표본경로는 연속이지만 유계변분을 갖지 않는다. 따라서, Riemann-

Stieltjes적분을 사용할 수 없고, 대신에 Ito적분을 사용한다고 했다. 지금부터 Ito적분을

단계적으로 다루기로 하자.

폐구간 [0, T ]의 분할 Π = 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tM = T를 살펴보자. 표준Brown

운동 Wt에 대해서 다음 확률변수를 정의하자.

S(0)M

.=

M−1∑i=0

Wti∆Wti (9.4.5)


여기서 ∆Wti.=W (ti+1)−W (ti)이다. 다음 식들이 성립한다.

S(0)M =

1

2

M−1∑i=0

[W 2

ti+1−W 2

ti

]− 1

2

M−1∑i=0

[∆Wti ]2

=1

2[W 2

tM−Wt0 ]−

1

2V2:M (W )

=1

2[W 2

T − V2:M (W )] (9.4.6)

여기서 세 번째 등호는 식 W (0) = 0에 의해서 성립한다. <정리 8.5.1>에서 알 수 있듯이,


S(0)M

L2

−→ 1

2[W 2

T − T ] (9.4.7)

즉, 식 (9.4.5)의 합 S(0)M 는 평균제곱수렴한다. 이를 다음과 같이 표기하자.

∫ T

0Wu dWu

.= lim

M→∞S(0)M (9.4.8)

여기서 lim는 L2에서 극한임을 명심하라. 앞에서 언급했듯이, 이렇게 정의된 적분을 Ito

적분이라 한다. 따라서, Ito적분에서는 다음 식이 성립한다.

∫ T

0Wu dWu =

1

2[W 2

T − T ] (9.4.9)

식 (9.4.8)에서 정의된 적분은 Stieltjes적분과 다르다는 점에 주의해야 한다. 결정적 함수

f(t)가 연속이고 미분가능이면 다음 식이 성립한다.

∫ T

0f(u) df(u) =

1

2f2(T )− 1

2f2(0) (9.4.10)

그러나, W (0) = 0라는 것을 유의하면, 식 (9.4.9)의 Ito적분과 식 (9.4.10)의 Stieltjes적분이

다르다는 것을 알 수 있다.

Riemann-Stieltjes적분에서는 소구간 [ti, ti+1]에서 임의의 점 di를 선택해도 동일한 극한

값으로 수렴하는 경우에만 적분값으로 정의했다. 그러나, Brown운동의 적분에서는 소구간

[ti, ti+1]에서 어떤 점 di를 선택하는지에 따라 다른 결론을 얻는다. 한 예로, 다음과 같은 합을

Wiener적분 441

정의하자.

S(1)M

.=

M−1∑i=0

Wti+1∆Wti (9.4.11)


S(1)M =

1

2

M−1∑i=0

[W 2

ti+1−W 2

ti

]+

1

2

M−1∑i=0

[∆Wti ]2

=1

2

[W 2

tM−W 2

t0

]+

1

2V2:M (W )

=1

2

[W 2

T + V2:M (W )]

(9.4.12)


S(1)M

L2

−→ 1

2

[W 2

T + T]

(9.4.13)

Brown운동의 정의에 의해서,Wti 와 ∆Wti =Wti+1 −Wti 가 서로 독립이다. 그러나,Wti+1 와

∆Wti = Wti+1 −Wti 는 서로 독립이 아니다. 따라서, 식 (9.4.5)의 합 S(0)M 에 의한 Ito적분이

식 (9.4.11)의 합 S(1)M 에 의한 확률적분보다 수리적으로 편리함을 알 수 있다.

<정리 8.5.1>에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

V2:M (W ) =

M−1∑i=0

[∆Wti ]2 L2

−→ T (9.4.14)


E

([∫ T

0(dWu)

2 − T

])2

= E

([∫ T

0(dWu)

2 −∫ T

0du

])2

= 0 (9.4.15)


∫ T

0[dWu]

2 =

∫ T

0du (9.4.16)

여기서 등호는 평균제곱의 의미로 성립한다. 이러한 관점에서, 다음 식이 성립한다.

[dWt]2 = dt (9.4.17)


따라서, 확률미적분에서는 [dWt]2를 dt로 치환하는 것은 일반적이다. 그러나, 이 등식은

평균제곱의 의미에서 해석해야 함을 명심하라.

9.4.2 Wiener적분

Wiener는 Brown운동을 연구하기 위해서, 다음과 같이 Wiener적분(Wiener stochastic inte-

gral)을 도입하였다.

정의 9.4.1: Wiener적분

만약 함수 f가 구간 (a, b)에서 미분가능한 함수이면, 구간 [a, b ]에서 함수 f의 Brown

운동 Wt | t ≥ 0에 대한 Wiener적분을 다음과 같이 정의한다.

∫ b

af(u)dWu

.= lim

δM→0

M−1∑i=0

f(ti)[W (ti+1)−W (ti)]

여기서 Π.= a = t0 < t1 < t2 < · · · < tM = b는 폐구간 [a, b ]의 분할이고,

δM.= max

0≤i≤M−1|ti+1 − ti|이다.

정리 9.4.1

구간 (a, b)에서 미분가능한 함수 f의 Brown운동 Wt | t ≥ 0에 대한 Wiener적분은


∫ b

af(t) dWt = f(b)W (b)− f(a)W (a)−

∫ b

aWt df(t)

증명. 정의 9.4.1의 표기법을 사용하기로 하자.


M−1∑i=0

[f(ti+1)W (ti+1)− f(ti)W (ti)] = f(b)W (b)− f(a)W (a) (1)

f(ti+1)W (ti+1)− f(ti)W (ti) = [f(ti+1)− f(ti)]W (ti+1) + f(ti)[W (ti+1)−W (ti)] (2)

Wiener적분 443


M−1∑i=0


= f(b)W (b)− f(a)W (a)−M−1∑i=0

W (ti+1)[f(ti+1)− f(ti)] (3)


limδM→0

M−1∑i=0

W (ti+1)f(ti+1)− f(ti) =

∫ b

aWt df(t) (4)


∫ b

af(t) dWt = f(b)W (b)− f(a)W (a)−

∫ b

aWt df(t) (5)

<정리 9.4.1>은 Riemann-Stieltjes적분에서 사용하는 부분적분을 Wiener적분에 적용할

수 있음을 의미한다. 그러나, 이 결과는 함수 f가 미분가능이라는 전제 하에 성립함을 유의하

라. Brown운동은 미분불능이고 유계변동하지 않는다. 따라서, 만약 함수 f가 Brown운동의

함수이면, <정리 9.4.1>은 성립하지 않는다. Wiener적분값은 확률변수이다. 지금부터는

Wiener적분의 확률분포에 대해서 살펴보자.

정리 9.4.2

확산모수가 σ인 Brown운동 Wt | t ≥ 0와 구간 (a, b)에서 미분가능한 함수들 f(t)와

g(t)에 대해서, 다음 확률변수들을 정의하자.

FW.=

∫ b

af(t) dWt, GW

.=

∫ b

ag(t) dWt

다음 식들이 성립한다. FW

GW

∼ N2

0

0

, σ2

∫ ba f

2(t) dt , σ2∫ ba f(t)g(t) dt

σ2∫ ba f(t)g(t) dt , σ2

∫ ba g

2(t) dt


증명. 첫 번째 증명법으로 Brown운동의 확률분포를 직접 이용하기로 하자. 폐구간 [a, b ]의

분할 Π = a = t0 < t1 < t2 < · · · < tM = b 에 대해서 δM.= max

0≤i≤M−1|ti+1 − ti|라 하자.

다음 벡터들을 정의하자.

hM.=

FM

GM

.=

M−1∑i=0


M−1∑i=0

g(ti)[W (ti+1)−W (ti)]

(1)

AM.=

f(t0), f(t1), · · · , f(tM−1)

g(t0), g(t1), · · · , g(tM−1)

(2)

x.=

[W (t1)−W (t0), W (t2)−W (t1), · · · , W (tM )−W (tM−1)

]t(3)

따라서, 식 hM = AMx가성립한다. 확률벡터 x는평균벡터가 0이고분산공분산행렬이 σ2V

인 다변량정규분포를 따른다. 여기서 V 는 대각원소들이 t1 − t0, t2 − t1, · · · , tM − tM−1인

대각행렬이다. 따라서, 다음 식이 성립한다.

hM ∼ NM (000, σ2AMV AtM ) (4)

확률벡터 hM 의 다변량특성함수는 다음과 같다.

ϕM (u) = exp(−σ

2

2utAMV A

tMu

)(5)


limM→∞

ϕM (u) = exp(−σ

2

2ut

[lim

M→∞AMV A

tM

]u

)= exp

(−1

2utΣu

)(6)

여기서 Σ.= lim

M→∞AMV A

tM 이다. Riemann적분의 정의로부터 Σ가 다음 식을 만족함을 알

수 있다.

Σ =

σ2∫ ba f

2(t) dt, σ2∫ ba f(t)g(t) dt

σ2∫ ba f(t)g(t) dt, σ2

∫ ba g

2(t) dt

(7)

식 (4)와식 (7)에서알수있듯이, 확률벡터 limM→∞

hM 은평균벡터가 000이고분산공분산행렬이

Σ인 다변량정규분포를 따른다.

Wiener적분 445

두 번째 증명으로 <정리 9.4.1>을 이용하기로 하자. <정리 9.4.1>에서 알 수 있듯이,


FW = f(b)W (b)− f(a)W (a)−∫ b

aWt df(t) (8)


∫ b

aWt df(t) = lim

n→∞

n−1∑i=0

W (ti−1)[f(ti)− f(ti−1)] (9)

식 (9)의 우변은 정규분포를 따른다. 따라서, 식 (8)의 FW 도 정규분포를 따른다. 같은 방법

으로, 확률벡터 [FW , GW ]t가 다변량정규분포를 따름을 증명할 수 있다. 지금부터는 확률벡터

[FW , GW ]t의 평균벡터를 구하기로 하자. 다음 식들이 성립한다.

E(FW ) = E

(f(b)W (b)− f(a)W (a)−

∫ b

aWs df(s)

)= f(b)E(W (b))− f(a)E(W (a))−

∫ b

aE(Ws) df(s)

= 0 (10)

여기서 첫 번째 등호는 식 (8)에 의해서, 세 번째 등호는 식 E(Wt) = 0에 의해서 성립한다.

같은 방법으로, 확률벡터 [FW , GW ]t의 평균벡터가 000임을 알 수 있다. 지금부터는 확률벡터

[FW , GW ]t의분산공분산행렬을구하기로하자. <정리 9.4.1>에서알수있듯이, 다음식들이

성립한다.

∫ b

af(t)dWt = f(b)W (b)−W (a) −

∫ b

af ′(t)(Wt −W (a)) dt (11)∫ b

ag(t) dWt = g(b)W (b)−W (a) −

∫ b

ag′(t)Wt −W (a) dt (12)


E

(∫ b

af(t) dWt

∫ b

ag(t) dWt

)= E

([f(b)W (b)−W (a) −

∫ b

af ′(t)Wt −W (a) dt

]·[g(b)W (b)−W (a) −

∫ b

ag′(t)Wt −W (a) dt

]) (13)


식 (13)의 우변을 I라고 하면, 다음 식이 성립한다.

I = I1 + I2 + I3 + I4 (14)

여기서 우변의 항들은 각각 다음과 같이 정의된다.

I1.= E(f(b)W (b)−W (a)g(b)W (b)−W (a)) (15)

I2.= −E

(f(b)W (b)−W (a)

∫ b


)(16)

I3.= −E

(∫ b

af ′(t)Wt −W (a) dt g(b)W (b)−W (a)

)(17)

I4.= E

(∫ b


∫ b


)(18)


I1 = E(f(b)W (b)−W (a)g(b)W (b)−W (a))

= f(b)g(b)E(W (b)−W (a)W (b)−W (a))

= f(b)g(b)V ar(W (b)−W (a))

= σ2∫ b

af(b)g(b) dt

(19)


I2 = −E(f(b)W (b)−W (a)

∫ b


)= −f(b)

∫ b

ag′(t)E(W (b)−W (a)Wt −W (a)) dt

= −f(b)∫ b

ag′(t)E(W (b)−WtWt −W (a)) dt

− f(b)

∫ b

ag′(t)E(Wt −W (a)Wt −W (a)) dt

(20)

Wiener적분 447


I2 = −f(b)∫ b

ag′(t)Cov(W (b)−Wt,Wt −W (a)) dt

− f(b)

∫ b

ag′(t)Cov(Wt −W (a),Wt −W (a)) dt

= 0− σ2f(b)

∫ b

a[t− a]g′(t) dt

= −σ2f(b)[b− a]g(b)−

∫ b

ag(t) dt

= σ2

∫ b

af(b)[g(t)− g(b)] dt

(21)

여기서 두 번째 등호는 정리 7.5.1에 의해서 성립한다. 같은 방법으로 다음 식을 증명할 수

있다.

I3 = σ2∫ b

ag(b)[f(t)− f(b)] dt (22)


I4 = E

(∫ b


∫ b

ag′(s)Ws −W (a) ds

)=

∫ b

a

∫ b

af ′(t)g′(s)E(Wt −W (a)Ws −W (a)) ds dt

=

∫ b

a

∫ b

af ′(t)g′(s)Cov(Wt −W (a),Ws −W (a)) ds dt

=

∫ b

a

∫ b

af ′(t)g′(s)σ2 mint− a, s− a ds dt (23)


∫ b

ag′(s)mint− a, s− a ds

=

∫ t

a[s− a]g′(s) ds+

∫ b

t[t− a]g′(s) ds

=

[s− a]g(s)|ta −

∫ t

ag(s) ds

+ [t− a]g(s)|bt

= [t− a]g(b)−∫ t

ag(s) ds

=

∫ t

a[g(b)− g(s)] ds (24)



I4 = σ2∫ b

a

∫ t

af ′(t)[g(b)− g(s)] ds dt

= σ2∫ b

a[g(b)− g(s)]

∫ b

sf ′(t) dt ds

= σ2∫ b

a[g(b)− g(s)][f(b)− f(s)] ds (25)

여기서 두 번째 등호는 Fubini정리에 의해서 성립한다. 식 (10), 식 (14), 식 (19), 식 (21), 식

(22), 그리고 식 (25)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

I = I1 + I2 + I3 + I4

= σ2∫ b

a

[f(t)− f(b)g(t)− g(b)+ f(b)g(t)− g(b)

+ g(b)f(t)− f(b)+ f(b)g(b)

]dt

= σ2∫ b

af(t)g(t) dt (26)

식 (13), 식 (14)과 식 (26)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

Cov

(∫ b

af(t)dWt,

∫ b

ag(t) dWt

)= σ2

∫ b

af(t)g(t) dt (27)

식 (27)의 특별한 경우들로, 다음 식들이 성립한다.

V ar

(∫ b

af(t) dWt

)= σ2

∫ b

af2(t) dt (28)

V ar

(∫ b

ag(t) dWt

)= σ2

∫ b

ag2(t) dt (29)

다음과 같이 Wiener적분의 확률과정을 정의하자.

정의 9.4.2: Wiener적분의 확률과정

Brown운동 Wt | t ≥ 0와 구간 (0, t)에서 미분가능한 함수 f(u)에 대해서, 다음과 같이

Wiener적분 449

Wiener적분과정 Yt를 정의한다.

Y (t).=

∫ t

0f(u) dWu

정리 9.4.3

확산모수가 σ인 Brown운동 Wt | t ≥ 0와 구간 (0, t)에서 미분가능한 함수 f(u)에

대해서, Wiener적분과정Y (t)

.=∫ t0 f(u) dWu

는 다음 식들을 만족한다.

Y (t) ∼ N

(0, σ2

∫ t

0f2(u) du

)Cov(Y (s), Y (t)) = σ2

∫ min(s,t)

0f2(u) du

증명. <정리 9.4.2>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

Y (t) ∼ N

(0, σ2

∫ t

0f2(u) du

)(1)

만약 s ≤ t라면, 다음 식들이 성립한다.

Cov(Y (s), Y (t)) = E

(∫ s

0f(u) dWu

∫ t

0f(v) dWv

)= E

(∫ s

0f(u) dWu

∫ t

sf(v) dWv

)+ V ar

(∫ s

0f(u) dWu

)(2)


E

(∫ s

0f(u)dWu

∫ t

sf(v) dWv

)= 0 (3)


Cov(Y (s), Y (t)) = σ2∫ s

0f2(u) du (4)


따름정리 9.4.1

<정리 9.4.3>의 Wiener적분과정 Y (t)는 다음 식을 만족한다.

Cov(Y (s)− Y (u), Y (v)− Y (t)) = 0 , (0 ≤ u < s ≤ t < v)

제9.5절 Ito적분

9.5.1 Ito적분의 정의

제9.4절에서는미분가능한결정적함수 f(t)의Brown운동 Wt하에서Wiener적분∫ ba f(t)dWt

를 다루었다. 금융자산가치평가에서는 f가 확률함수인 경우가 있다. 물론 함수 f(t)는 시점

t와 확률변수의 함수일 수도 있다. 그러나, 모든 확률함수 f(t)에 대해서∫ ba f(t) dWt가

정의되는 것은 아니다. 제9.4.1소절에서 간략하게 정의한 Ito적분을 좀 더 명확하게 정의하기

위해서는 다음과 같은 가정을 필요로 한다.

첫째, 확률함수 f(t)는 증대정보계 It-적합하다. 여기서 It는 시점 t에서 정보집합이다. 즉,

f(t)는 현재와 과거의 Brown운동의 값들 Ws | s ≤ t에는 의존하지만, 미래의 Brown

운동의 값들 Ws | s > t에는 의존하지 않는다.

둘째, 식∫ T0 E(f(t))2 dt <∞이 성립한다.

둘째 조건은 Ito적분의 평균과 분산이 존재하기 위한 필요조건이다. 둘째 조건 대신에

다음 조건을 사용할 수도 있다.

∫ T

0[f(t)]2 dt <∞ a.s. (9.5.1)

그러나, 둘째 조건을 만족하는 경우에도 Ito적분의 평균이나 분산이 존재하지 않을 수도 있다.

예제 9.5.1 표준Brown운동 Wt에 대해서, 확률함수 f(t) =Wt는 Ws | s ≤ t에 의존한

다. 식 (9.4.17)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

∫ T

0E(W 2

t ) dt =

∫ T

0t dt =

T 2

2<∞ (1)

Ito적분 451

그러나, g(t) = Wt+1이면, g(t)는 Wt+1에 의존한다. 따라서, Ito적분을 정의하기 위한 첫째

조건을 만족시키지 못한다.

예제 9.5.2 표준Brown운동 Wt에 대해서, 확률함수 f(t).= exp(W 2

t )를 정의하자. 함수

f(x)는 It-적합하다. 따라서, Ito적분∫ 10 exp(W 2

t ) dWt를 정의할 수 있다.


∫ 1

0E([exp(W 2

t )]2) dt =

∫ 1

0E(exp(2W 2

t )) dt

=

∫ 1

0

∫ ∞

−∞exp(2w2

t )1√2πt

exp(−w

2t

2t

)dwt dt

=

∫ 1

0

1√2πt

∫ ∞

−∞exp

(2w2

t −w2t

2t

)dwt dt (1)

다음 명제가 성립한다.

t ≥ 1

4⇒

∫ ∞

−∞exp

(2w2

t

[1− 1

4t

])dwt = ∞ (2)


∫ 1

0E([exp(W 2

t )]2) dt

=

∫ 1

0

1√2πt

∫ ∞

−∞exp

(2w2

t

[1− 1

4t

])dwt dt

= ∞ (3)

식 (3)에서 알 수 있듯이, 둘째 조건이 만족되지 않는다. 또한 이 Ito적분의 적률들은 유한이

아니다.

폐구간 [0, T ]의 분할 Π.= 0 = t0 < t1 < · · · < tM = T를 살펴보자. 함수 f

는 구간 [0, T ]에서 정의되는 확률함수이다. 각 i(= 0, 1, · · · , M − 1)에 대해서, 확률변수

Y (ti)는 시점 ti까지 Brown운동 Wt | t ≤ ti의 함수이며, Y (ti)는 I(ti)-적합하며, 식

E(Y 2(ti)) < ∞이 성립한다고 가정하자. 또한, Y (t0)는 상수라고 하자. 확률변수 Y (ti)는

Wt | t ≤ ti에 의존하지만 Wt | t > ti에는 의존하지 않는다. 구간 [ti, ti+1)에서 함수 f(t)


가 Y (ti)와 같은 경우, Ito적분을 다음과 같이 정의한다.

∫ T

0f(t) dWt

.=

M−1∑i=0

Y (ti)[W (ti+1)−W (ti)] (9.5.2)

각 t ∈ [ti, ti+1)에 대해서, 다음 식이 성립한다.

∫ t

0f(s) dWs =

j−1∑i=0

Y (ti)[W (ti+1)−W (ti)] + Y (tj)[Wt −W (tj)] (9.5.3)

이를 일반화해서 다음과 같이 Ito적분을 정의한다.

정의 9.5.1: Ito적분

확률함수 f(t)가 다음 조건들을 만족한다고 가정하자.

(a) 확률함수 f(t)는 It-적합하다. 여기서 It는 시점 t에서 정보집합이다. 즉, f(t)는

현재와 과거의 Brown운동의 값들Ws | s ≤ t에는 의존하지만, 미래의 Brown

운동의 값들Ws | s > t에는 의존하지 않는다.

(b)∫ T0 E(f2(t)) dt <∞

이러한 가정 하에서, 확률함수 f(t)의 Ito적분을 다음과 같이 정의한다.

∫ T

0f(t) dWt

.= lim

δM→0

M−1∑i=0


여기서 δM.= max

0≤i≤M−1|ti+1 − ti|이고, 우변의 극한은 평균제곱극한이다.

결정적 적분과 Ito적분의 중요한 차이점들은 다음과 같다. 첫째, Ito적분에서 이용한

극한 개념은 평균제곱극한(mean-square limit)이다. 둘째, 표준적 미적분에서 적분은 함수로

표현되는 실제 경로에서 정의되지만, Ito적분은 확률동치(stochastic equivalence) 의미에서

정의된다. 즉, Ito적분의 결과는 확률변수이다. Ito적분은 어떤 합의 평균제곱극한이므로, Ito

적분이 존재하기 위해서는 해당하는 합이 평균제곱수렴(convergence in mean square)해야만

한다. 어떤 특별한 경우에는 Ito합∑if(ti)[W (ti+1) −W (ti)]의 극한을 계산해서 Ito적분을

구할 수도 있다. 그러나, 일반적으로 평균제곱극한을 명시적으로 계산해 내는 것은 쉽지 않다.

제9.4.1소절의 식 (9.4.9)는 평균제곱극한을 명시적으로 계산해서 Ito적분을 구한 예이다.

Ito적분 453

9.5.2 Ito적분과정의 성질

다음 예제에서 확인할 수 있듯이, Ito적분의 결과는 확률변수이다.

예제 9.5.3 함수 f(t)가 표준Brown운동 Wt라고 하자. 식 (9.4.9)에서 알 수 있듯이, 다음


∫ 1

0Wt dWt =

1

2

[W 2

1 − 1]

(1)

정의로부터, W 21 이 자유도가 1인 카이제곱분포를 한다는 것을 알 수 있다. 즉, E(W 2

1 ) = 1

이고 V ar(W 21 ) = 2이다. 따라서, 다음 식들이 성립한다.

E

(∫ 1

0Wt dWt

)= E

(1

2[W 2

1 − 1]

)= 0 (2)

V ar

(∫ 1

0Wt dWt

)= V ar

(1

2[W 2

1 − 1]

)=

1

2(3)

정의 9.5.2

표준Brown운동 Wt와 확률함수 f(t)에 대해서 다음 식을 정의하자.

FW (t).=

∫ t

0f(s) dWs

이 FW (t) | t ≥ 0를 확률함수 f(t)의 Ito적분과정이라 하자.

Ito적분의 정의로부터 다음 정리가 성립함을 쉽게 알 수 있다.

정리 9.5.1: Ito적분의 선형성

<정의 9.5.1>의 조건들을 만족하는 확률함수들 f와 g, 그리고 임의의 실수들 α와 β에

대해서 다음 식이 성립한다.

∫ t

0[αf(s) + βg(s)]dWs = α

∫ t

0f(s) dWs + β

∫ t

0g(s) dWs


보조정리 9.5.1

시간구간 [0, t]의 분할 Π.= 0 = t0 < t1 < · · · < tM = t에 대해서 변수 δM

.=

max0≤i≤M−1

|ti+1 − ti|를 정의하자. 확률함수 f(s)와 각 i(= 0, 1, · · · , M − 1)에 대해서,

다음 확률변수를 정의하자.

Ft;i.= f(ti)[W (ti+1)−W (ti)]


(a)t∫0

f(s) dWs = limδM→0

M−1∑i=0

Ft;i

(b) E (Ft;iFt;j) = 0, (i = j)

증명. <정의 9.5.2>에 의해서 성질 (a)가 성립함은 명백하다.

만약 i > j이면, Ft;j 와 f(ti)은 시점 ti까지 Brown운동의 함수들이다. 즉, Ft;jf(ti)와

W (ti+1)−W (ti)는 독립이다. 따라서, 다음 식들이 성립한다.

E(Ft;iFt;j) = E(Ft;jf(ti)[W (ti+1)−W (ti)])

= E(Ft;jf(ti))E(W (ti+1)−W (ti)) = 0 (1)

대칭성에 의해서, i < j인 경우에도 E(Ft;iFt;j) = 0이다. 따라서, 성질 (b)가 성립한다.

Wiener적분과정에 관한 <정리 9.4.2>를 Ito적분과정으로 확장하면, 다음과 같다.

정리 9.5.2

표준Brown운동 Wt와확률함수들 f(t)와 g(t)에대한 Ito적분들 FW (t).=∫ t0 f(s) dWs

와 GW (t).=∫ t0 g(s) dWs는 다음 식들을 만족한다.

(a) E(FW (t)) = 0

(b) V ar(FW (t)) =∫ t0 E(f(s)2) ds

(c) Cov(FW (t), GW (t)) =∫ t0 E(f(s)g(s)) ds

Ito적분 455

증명. <보조정리 9.5.1>에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

E(FW (t)) = limδn→0

M−1∑i=0

E(Ft;i) = 0 (1)

따라서, 성질 (a)가 증명되었다.

<보조정리 9.5.1>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

E

[M−1∑i=0

Ft;i

]2 =

M−1∑i=0

E(F 2t;i) (2)


M−1∑i=0

E(F 2t;i) =

M−1∑i=0

E(f2(ti)[W (ti+1)−W (ti)]2)

=

M−1∑i=0

E(f2(ti))E([W (ti+1)−W (ti)]2) =

M−1∑i=0

[ti+1 − ti]E(f2(ti)) (3)

여기서 첫 번째 등호는 정의에 의해서, 두 번째 등호는 f(ti)와 W (ti+1)−W (ti)의 독립성에

의해서, 그리고 세 번째 등호는 식 E([W (ti+1)−W (ti)]

2)= ti+1 − ti에 의해서 성립한다.


E

([∫ T

0f(t) dWt

]2)= lim

δM→0

M−1∑i=0

E(F 2t;i)

= limδM→0

M−1∑i=0

[ti+1 − ti]E(f2(ti)) =

∫ t

0E(f2(s)) ds (4)

여기서첫번째등호는정의에의해서, 두 번째등호는식 (3)에의해서, 그리고세번째등호는

Riemann적분의 정의에 의해서 성립한다. 따라서, 성질 (b)가 성립한다.

성질 (b)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

Cov(FW (t), GW (t))

=1

4[V ar(FW (t) +GW (t))− V ar(FW (t)−GW (t))]

=1

4

[∫ t

0E([f(s) + g(s)]2) ds−

∫ t

0E([f(s)− g(s)]2) ds

]=

∫ t

0E(f(s)g(s)) ds

(5)


여기서 세 번째 등호는 <정리 9.5.1>에 기술한 Ito적분의 선형성에 의해서 성립한다. 따라서,

성질 (c)가성립한다. 본저자는성질 (c)의증명법을아주좋아한다. 그러나, 이 증명법은결코

새로운 것이 아니다. 이는 고등학교에서 배우는 코사인법칙을 적용하는 것일 따름이다.

<정리 9.5.2>의증명에서, 등식 [dWt]2 = dt가반복적으로사용되고있음에유의하라. <

정리 9.5.2>의 성질 (b)를 Ito적분과정의 등거리성(isometry property)이라 한다. 이 성질은

확률미분방정식을 다루는 데 중요한 역할을 한다. 이 성질을 다음과 같이 쓸 수 있다.

E

([∫ t

0f(s) dWs

]2)=

∫ t

0E(f2(s)) ds (9.5.4)

예제 9.5.4 만약 Wt가표준Brown운동이고, 또한만약 f(t) =Wt이면, 식 f(t) ∼ N (0, t)

이 성립한다. <정리 9.5.2>에 의해서 다음 식들이 성립한다.

E

([∫ t

0Ws dWs

]2)=

∫ t

0E(W 2

s ) ds =

∫ t

0s ds =

t2

2(1)

식 (1)이 성립함을 다음과 같이 확인할 수 있다.

E

([∫ t

0Ws dWs

]2)= E

([W 2

t − t

2

]2)=

1

4E(W 4

t − 2tW 2t + t2) =

t2

2(2)

여기서 첫 번째 등호는 식 (9.4.9)에 의해서, 그리고 세 번째 등호는 E(W 4(t)) = 3t2에 의해서

성립한다.

금융자산가격의 움직임을 기술하는 모형에는 예측불가능한 뉴스를 표현하는 쇄신항이

포함된다. 즉, 작은 시간간격 δ에서 금융자산가격에 영향을 미치는 예측불가능한 쇄신항들의

합을∫ t+δt σudWu로 표현할 수 있다. 시점 t에서 정보집합 It가 주어졌을 때, 증분 σt dWt는

예측불가능이다. 따라서, 이 증분들의 합도 예측불가능이다. 즉, 다음 식이 성립한다.

E

(∫ t+δ

tσudWu

∣∣∣∣ It) = 0 (9.5.5)

Ito적분 457

만약 0 < t < s이면, 다음 식들이 성립한다.

E

(∫ s

0σudWu

∣∣∣∣ It)= E

(∫ t

0σudWu

∣∣∣∣ It)+ E

(∫ s

tσudWu

∣∣∣∣ It) =

∫ t

0σudWu (9.5.6)

즉, Ito적분과정∫ t

0 σudWu

은 마팅게일이다. 다음 예제를 살펴보자.

예제 9.5.5 확률미분방정식 (9.3.6)에서 확산계수 σ(St, t)가 시점 t와 금융자산가격 St의

수준과 독립이라고 가정하자. 즉, 어떤 상수 σ에 대해서 σ(St, t) = σ라고 하자. 다음 식이

성립한다.

∫ t+δ

tσdWu = [Wt+δ −Wt]σ (1)


E([Wt+δ −W0]σ |Wt −W0)

= E([Wt+δ −Wt]σ + [Wt −W0]σ |Wt −W0)

= [Wt −W0]σ (2)

식 (1)과 식 (2)에서 알 수 있듯이, 시점 t에서 이 적분의 예측은 다음과 같다.

E

(∫ t+δ

0σdWu

∣∣∣∣ ∫ t

0σdWu

)=

∫ t

0σdWu (3)

식 (3)에서 이 확산항의 Ito적분과정이 마팅게일성을 갖는 것을 확인할 수 있다. 즉, 확산계수

σ(St, t)가 상수인 경우에는, Ito적분과정은 마팅게일성을 갖는다.

식 (9.5.6)에서 알 수 있듯이, 확률미분방정식에서 예측불가능인 확산항은 Ito적분의

마팅게일증분과 같다. Ito적분의 마팅게일성을 보증하는 조건은 정보집합 It가 주어졌을 때

σtdWt가 예측불능인 것이다. 이 내용을 일반화하면 다음과 같다.

정리 9.5.3: Ito적분과정의 마팅게일성


확률함수 f(t)의 Ito적분과정∫ t

0 f(u) dWu

는 다음 식을 만족한다.

E

(∫ s

0f(u)dWu

∣∣∣∣ It) =

∫ t

0f(u) dWu, (0 ≤ t ≤ s)

증명. 다음과 같이 폐구간 [0, s]의 분할 Π를 정의하자.

Π.= 0 = t0 < t1 < · · · < tn = t = s0 < s1 < · · · < sm = s (1)

또한, 다음 변수를 정의하자.

δn,m.= max

max

0≤i≤n−1|ti+1 − ti|, max

0≤i≤m−1|si+1 − si|

(2)


∫ s

tf(u)dWu = lim

δn,m→ 0

m−1∑i=0

f(si)[W (si+1)−W (si)] (3)


E

(∫ s

tf(u) dWu

∣∣∣∣ It)= lim

δn,m→ 0

m−1∑i=0

E(f(si)[W (si+1)−W (si)] | It )

= limδn,m→ 0

m−1∑i=0

E(f(si) | It )E(W (si+1)−W (si) | It)

= limδn,m→ 0

m−1∑i=0

E(f(si) | It)E(W (si+1)−W (si))

= 0 (4)

여기서 첫 번째 등호는 식 (3)에 의해서, 두 번째 등호는 f(si)와 W (si+1) −W (si)가 독립

이어서, 세 번째 등호는 시점 t 이후 증분 W (si+1)−W (si)가 정보집합 It와 독립이어서, 네

번째 등호는 표준Brown운동의 정의에 의해서 성립한다. 또한, 다음 식이 성립한다.

∫ t

0f(u) dWu = lim

δn,m→ 0

m−1∑i=0

f(ti)[W (ti+1)−W (ti)] (5)

Ito적분 459


E

(∫ t

0f(u) dWu

∣∣∣∣ It) = limδn,m→ 0

n−1∑i=0

E(f(ti)[W (ti+1)−W (ti)] | It)

= limδn,m→ 0

n−1∑i=0

f(ti)[W (ti+1)−W (ti)] =

∫ t

0f(u) dWu (6)

여기서 첫 번째 등호는 식 (5)에 의해서, 그리고 두 번째 등호는 f(ti)와 W (ti+1) −W (ti)가

독립이고 또한 시점 t 이후 증분 W (ti+1)−W (ti)가 정보집합 It와 독립이어서 성립한다. 식

(4)와 식 (6)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

E

(∫ s

0f(u) dWu

∣∣∣∣ It)= E

(∫ t

0f(u) dWu

∣∣∣∣ It)+ E

(∫ s

tf(u)dWu

∣∣∣∣ It) =

∫ t

0f(u) dWu (7)

예제 9.5.6 만약 Wt가표준Brown운동이고, 또한만약 f(t) =Wt이면, 식 f(t) ∼ N (0, t)

가 성립한다. 다음 확률변수를 정의하자.

Y (t).=

∫ t

0Wu dWu (1)

식 (9.4.9)에서 알 수 있듯이, 식 Y (t) =[W 2

t − t]/2이 성립한다. 따라서, <정리 9.5.3>

으로부터 알 수 있듯이 W 2t − t가 마팅게일성을 갖는다.

예제 9.5.7 확률미분방정식 (9.3.6)에서 확산계수 σt가 금융자산가격 St에 의존하면, σt는

확률변수 Wt에 의존한다. 따라서, 이 확산계수의 Ito적분은 마팅게일성을 갖지만, Riemann

합을 사용하는 고전적 적분은 마팅게일성을 갖지 않을 수도 있다. 이를 예증하기 위해서,

금융자산가격 St가 다음과 같은 확률미분방정식을 따른다고 가정하자.

dSt = σWt dWt, (t ≥ 0) (1)


여기서 δ는 작은 양수이다. 다음 식이 성립한다.

∫ t+δ

tdSt =

∫ t+s

tσWudWu (2)

식 (2)의 적분을 Riemann합을 사용해서 근사시켜 보자.

Riemann합을사용한근사법의하나는소구간의중점에서관찰되는값을이용하는것이다.

이 근사식은 다음과 같다.

∫ t+δ

tσWudWu ≃ σ

[Wt+δ +Wt

2

][Wt+δ −Wt] (3)

식 (3)의 우변에 조건부기대값연산자를 적용하면, 다음 식들이 성립한다.

E

(σWt+δ +Wt

2[Wt+δ −Wt]

∣∣∣∣ Wt

)=σ

2E(W 2

t+δ −W 2t |Wt) =

σδ

2(> 0) (4)

여기서 두 번째 등호는 식 (9.4.17)에 의해서 성립한다. 식 (4)는 근사합의 조건부기대값이 0

이 아닌 것을 의미한다. 식 (2)∼식 (4)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

Et

(∫ t+δ

tdSs

)= Et

(∫ t+δ

tσWsdWs

)= 0 (5)

즉, St는 어느 정도 예측이 가능하고, 확산항의 Ito적분은 마팅게일성을 갖지 않는다.

소구간의 좌측점에서 관찰되는 값을 사용하는 Riemann합에 의한 근사식은 다음과 같다.

∫ t+δ

tσWudWu

.= σWt [Wt+δ −Wt] (6)


E(σWt[Wt+δ −Wt] |Wt) = σWtE(Wt+δ −Wt |Wt) = 0 (7)


Et

(∫ t+δ

tσWs dWs

)= 0 (8)

즉, St는예측이불가능하다. 따라서, 확산항 σtdWt가예측불가능성을갖기위해서는소구간의

좌측점에서 관찰되는 값을 사용해야 한다.

Ito적분 461

9.5.3 경로별적분

확률미적분에관한문헌에는확률적분을경로별로(pathwise) 정의할수없다고기술되어있다.

이것은 어떤 의미일까? 시간구간 [0, T ]의 등간격 분할 Π.= 0 = t0 < t1 < · · · < tM = T

를 생각해보자. 여기서 각 k(= 1, 2, · · · , M)에 대해서, tk.= kδ이고, δ .

= T/M이다. 다음

식들을 만족하는 이항확률과정 S(ti−1)− S(ti) | i = 0, 1, · · · , M − 1을 생각해보자.

Pr(S(ti+1)− S(ti) =

√δ)= p = 1− Pr(S(ti+1)− S(ti) = −

√δ) (9.5.7)

확률적분∫ T0 f(St) dSt를 다음과 같은 Ito합을 사용해서 근사해 보자.

VM.=

M−1∑i=0

f(S(ti))[S(ti+1)− S(ti)] (9.5.8)

Ito합 VM 이 St의 특정 표본경로에서 계산된다고 하자. 예를 들어, 양과 음의√δ가 교대로

이어지는 표본경로√δ,−

√δ,√δ,−

√δ, · · · ,

√δ에서 VM 을 계산하면 다음과 같다.

VM = −2√δ[f(

√δ)− f(

√−δ) + f(

√δ)− · · · ] (9.5.9)

만약 Ito합 VM 이 수렴하면, 이 극한값을 경로별적분(pathwise integral)이라 부른다. 확률적

환경하에서경로별적분이수렴한다는보증은없다. 단순한예로다음과같은함수를살펴보자.

f(S(ti)) =1

2sign (S(ti+1)− S(ti)) (9.5.10)

식 (9.5.9)와 식 (9.5.10)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

VM =

M−1∑i=0

√δ =M

√δ =

T√δ

(9.5.11)

만약 δ → 0이면, 식 (9.5.11)의 VM 은 ∞로 발산한다. 만약 이러한 표본경로가 발생할 확률이

양이면, Ito합 VM 은 어떠한 확률적 의미로도 수렴할 수 없다. 이 예는 다음 두 가지 점들이

중요함을보여준다. 첫째, 경로별적분을계산할때, S(ti+1)−S(ti)에관련된확률을이용하지

않았다. 이 적분은 확률과정의 실제 실현값들을 바탕으로 계산되었다. 반면에, Ito적분은

평균제곱수렴을 이용해서 계산하므로, Ito적분은 확률적 동치성 (stochastic equivalence)

안에서 결정된다. 둘째로, Ito적분에서 f(ti)는 S(ti+1)−S(ti)와 비상관이어야 한다. 그러나,


식 (9.5.10)의 함수 f는 S(ti+1)−S(ti)의부호를나타내므로, Ito합의각 항은양의상수이다.

따라서, M이 증가하면 VM 이 발산한다.

확률적분의정의를복잡하게만드는것은 Brown운동이나연속시간형마팅게일의극단적인

변동이었다. 그러한 이유로 경로별적분의 정의가 불가능했다. 점프과정에 관한 확률적분에서

도같은문제가발생하는것일까? 예를들어, Poisson확률과정을다룰때 Riemann-Stieltjes적

분을 확장 적용할 수 있을까? 이상하게 들릴지는 모르지만 이 질문에 대한 답은 가능하다는

것이다. 확률과정 M(t)가 유한개의 점프들만을 갖고 Brown운동을 따르는 성분을 갖지

않는다고 가정하자. 어떤 표본경로에 대해서 다음과 같이 VM 을 정의하자.

VM.=

M−1∑i=0

f(M(ti))[M(ti+1)−M(ti)] (9.5.12)

만약 식 (9.5.12)의 VM 이 수렴하면, 이 극한값을 경로별적분이라 부른다. 여기서 확률과정

∆M(tj)는유한개의점들에서만 0이아님을상기하라. 따라서, Brown운동과는달리, 어떤

확률적 의미에서 VM 이 수렴할 수 있다.

제9.6절 Ito-Doeblin보조정리

금융자산가격의 변화는 아주 불규칙적이다. 따라서, 금융자산의 가치평가에서는 표준적

미분 대신에 확률미분을 이용할 필요가 있다. Ito-Doeblin보조정리는 확률미분의 취급을

단순화하고, 또한 명시적인 계산을 할 수 있도록 한다. 이 절에서는 Ito-Doeblin보조정리에

대해서 자세히 살펴보자.

9.6.1 확률함수의 전미분

원자산 St의 함수인 파생상품가치 F = F (St, t)를 살펴보자. 만약 St와 F (St, t)가 결정적

함수들이라면, 두 종류 미분들을 생각해 볼 수 있다. 첫 번째 종류는 다음과 같은 F (St, t)의

편미분 (partial differentiation)들이다.

FS =∂F (St, t)

∂St, Ft =

∂F (St, t)

∂t(9.6.1)

두 번째 종류는 다음과 같은 전미분 (total differentiation)이다.

dF (St, t) = FSdSt + Ft dt (9.6.2)

Ito-Doeblin보조정리 463

금융시장의실무자들은다양한이유에서이미분들에흥미를가질것이다. 편미분은실제로일

어날 수 있는 상황을 나타내는 것이 아니다. 그러나, 어떤 독립변수의 변화에 대한 설명변수의

변화 정도를 나타내는 승수 (multiplier)이다. 예를 들어, FS는 St만의 아주 작은 변동에 대한

F (St, t)의 변동량을 나타낸다. 이렇듯 FS는 가상적인 개념이다. 변수 St의 변동은 시점 t의

변화에 달려 있다. 따라서, 실제로 t가 변화하지 않으면, St의 변동도 없다. 그러나, 편미분은

이러한 문제를 고려하지 않는다. 편미분은 단지 승수이기 때문에, 편미분을 정의하는 환경이

확률적인지 또는 결정적인지에 따른 차이가 없다. 즉, 편미분 FS는 St만 고려하는 미분이다.

이 FS는 원자산 St가 1단위 변동했을 때 파생상품가격이 어느 정도 변동하는가를 나타내는

척도이다. 따라서, FS가 나타내는 것은 시간이 지남에 따라 F (St, t)가 어느 정도 변동하는

지가 아니라, 고정된 시점에서 St가 가상적으로 변동했을 때 F가 얼마나 변동하는지이다.

편미분보다는 전미분이 현실적인 개념이다. 시점 t와 원자산 St가 모두 변동한다는 가정

하에 F (St, t)의 전반적인 반응이 전미분 dF (St, t)이다. 즉, 이 전미분은 무한소 시간간격 dt

동안에 발생하는 파생상품의 가격변동을 표현한다.

만약 St와 F (St, t)가 확률적 함수들이라면, 편미분들 FS와 Ft는 식 (9.6.1)과 동일하게

정의된다. 그러나, 전미분 dF (St, t)는 식 (9.6.2)와 같지 않다.

예제 9.6.1 만기시점이 T인 미국단기국채 (T-bill)의 가격을 F (rt, t)라 하자. 여기서 rt는

연속복리로 (continuously compounding) 계산되는 무위험이자율이다. 다음 식이 성립한다.

F (rt, t) = exp(−rt[T − t]) (1)

이 함수의 편미분들은 다음과 같다.

Fr =∂F

∂rt= −[T − t] exp(−rt[T − t]) (2)

Ft =∂F

∂t= rt exp(−rt[T − t]) (3)

앞에서도 언급했듯이, rt가 결정적이거나 확률적인 것에 상관없이 편미분들은 동일하다. 이

편미분들은 rt 또는 t 각각의 가상적인 작은 변동에 대한 함수 F의 변동비율들을 나타낸다.

만약 rt가 결정적 함수이면, 함수 F의 전미분은 다음과 같다.

dF (rt, t) = −[T − t] exp(−rt[T − t])drt + rt exp(−rt[T − t]) dt (4)


만약 rt가 확률함수이면, Ito적분을 이용해서 확률미분 drt를 정의할 수 있다. 또한 이를 이용

해서, 전미분 dF (rt, t)를 구할 수 있다. 이 경우에 연쇄법칙은 식 (9.6.2)와는 다른 형태이며,

따라서 해석도 달리해야 한다. 확률미분은 평균제곱의 의미에서 정의되므로, 확률적 동치

범위 내에서 정의됨을 기억하라.

9.6.2 Ito-Doeblin보조정리의 유도

확률환경에서 연쇄법칙이 Ito-Doeblin보조정리이다. 확률과정 St가 Brown운동 Wt에

의존하는 연속시간형 확률과정이라 하자. 시간이 t에서 t+ dt까지 흐르는 동안, 함수 F (St, t)

의 변동을 살펴보자. 시간의 흐름이 함수 F (St, t)에 미치는 영향은 두 종류들이다. 첫째,

시점 t가 F (St, t)에 미치는 직접적인 영향이다, 둘째, 시점 t가 변화하면 Brown운동 Wt

에 관한 새로운 정보가 얻어지고, 이에 따른 증분 dSt가 관찰된다. 이 증분도 함수 F (St, t)

를 변화시킨다. 이 두 가지 효과들의 합이 확률미분 dF (St, t)로 표현되고, 이 표현이 확률적

환경에서 연쇄법칙에 해당한다.

이를 좀 더 자세히 살펴보기 위해서, 시간구간 [0, T ]의 분할 Π.= 0 = t0 < t1 <

· · · < tM = T를 생각해 보자. 각 k(= 0, 1, · · · , M)에 대해서, tk.= kδ라 하자. 여기서

δ.= T

M 이다. 각 시점 tk에서 금융자산가격은 Stk 이다. 소구간 (tk, tk+1]에서 St의 변동량을

∆Stk.= Stk+1

− Stk 로 표기하자. 만약 δ가 0에 가까우면, 다음 식이 성립한다.

∆Stk = µtkδ + σtk∆Wtk , (k = 0, 1, · · · , M − 1) (9.6.3)

여기서 µtk = µ(Stk , tk)이고, σtk = σ(Stk , tk)이다. 식 (9.6.3)은 평균제곱의 의미로 성립함에

유의하라. 제9.1.3소절에서기술했듯이, Merton은일반적인조건을만족하는금융시장에서식

(9.6.3)이 타당성을 가짐을 보였다. 이러한 설정 하에서, Taylor급수를 이용해서 Ito-Doeblin

보조정리를 유도하자. 원래 Ito-Doeblin보조정리는 오랫동안 Ito정리로 불러져 왔으나, 최근

Ito-Doeblin보조정리로 부르는 경향이 있다. 이에 대한 자세한 내용은 Bru & Yor (2002)를

참조하라.

함수 F (Stk+1, tk+1)를 점 (Stk , tk) 주위에서 Taylor전개하면, 다음과 같다.

F (Stk+1, tk+1) = F (Stk , tk) + FS [Stk+1

− Stk ] + Ftδ +1

2FSS [Stk+1

− Stk ]2

+ FSt[Stk+1− Stk ]δ +

1

2Fttδ

2 +R (9.6.4)


여기서 편미분들 FS , FSS , Ft, Ftt와 FSt는 모두 점 (Stk , tk)에서 계산되고, R은 잔차항이다.

확률변수 ∆Ftk.= F (Stk+1

, tk+1)−F (Stk , tk)를 정의하자. 식 (9.6.4)에서 알 수 있듯이, 다음


∆Ftk = FS∆Stk + Ftδ +1

2FSS [∆Stk ]

2 + FSt∆Stkδ +1

2Fttδ

2 +R (9.6.5)


∆Ftk = FS [µtkδ + σtk∆Wtk ] + Ftδ +1

2FSS [µtkδ + σtk∆Wtk ]

2

+ FSt[µtkδ + σtk∆Wtk ]δ +1

2Fttδ

2 +R (9.6.6)

확률환경하에서연쇄법칙을얻기위해서는, 식 (9.6.6)의우변을무시할수있는항들과무시할

수 없는 항들로 나누어야 한다. 그리고, 짧은 시간간격에서 무시할 수 있는 항들을 소거하여,

연쇄법칙을 얻는다. 만약 δ → 0이면, 식 (9.6.6)으로부터 평균제곱의 의미에서 극한공식을

얻는다.이 극한공식이 Ito-Doeblin보조정리이다.

확률미적분에서도 시점 t는 여전히 결정적 변수이다. 즉, k ≥ 2이면, [dt]k는 dt보다 훨씬

작다. 따라서, 식 (9.6.6)에서 각 k(≥ 2)에 대해 δk를 무시해도 좋다. 그렇다면, 확률미분 dS

의 멱함수에 같은 논리를 적용할 수 있을까? 이에 대해서는 좀 더 신중하게 생각해야 한다.

식 (9.4.17)에서 알 수 있듯이, 평균제곱의 의미에서 다음 식이 성립한다.

[dWt]2 = dt (9.6.7)


[dSt]2 = [µt dt+ σtdWt]

2 = µ2t [dt]2 + σ2t dt+ 2µtσt[dt]

3/2 (9.6.8)

따라서, [dSt]2을 포함하는 항은 Op(dt)이므로 무시할 수 없다. 만약 dt를 포함하는 항이

Taylor근사식에 남는다면, 확률미분의 제곱 [dSt]2도 남아야 할 것이다. 이 점을 다시 한 번

강조하면, 다음과 같다. 만약 ∆St가 평균 0인 확률증분이면, E([∆St]2)는 증분의 분산이다.

여기서 ∆St는 확률변수이므로, 이 분산은 양이다. 분산 E([∆St]2)는 [∆St]

2의 평균적 크기

이므로, 평균적으로 [∆St]2를 무시할 수 있다고 가정하는 것은 분산이 근사적으로 0이라고

가정하는 것과 같다. 이러한 경우에, St는 확률변수가 아니다. 이는 모순이다. 따라서, [∆St]2


를 무시할 수 없다. 실제 파생상품시장에서 확률미분방정식을 사용하는 목적은 위험에 대한

가격을 결정하기 위한 것이며, 위험은 기대하지 않았던 정보에 의해서 만들어지는 것이다.

따라서, 결정적 환경에서와는 달리, 확률미적분에서는 [∆St]2를 무시할 수 없다.

Brown운동의 증분 ∆Wtk 와 시간간격 δ의 함수 g(∆Wtk , δ)에 대해서, 다음 식이 성립한

다고 가정하자.

limδ→0

E

([g(∆Wtk , δ)

δ

]2)= 0 (9.6.9)

만약 시간간격 δ가 무시할 수 없는 크기이고, 또한 만약 식 (9.6.9)가 성립하면, g(∆Wtk , δ)를

작은 시간구간에서 무시할 수 있다고 한다. 그렇지 않으면, g(∆Wtk , δ)를 무시할 수 없다. 이

기준은 δ에 관한 항들을 비교하는데 도움이 된다. 만약 함수 g(∆Wtk , δ)의 평균제곱극한이

Op(δr)이고 또한 만약 r > 1이면, 함수 g(∆Wtk , δ)의 평균제곱극한은 δ보다 빨리 0에 수렴

한다. 반면에, 만약 r < 1이면, g(∆Wtk , δ)의 평균제곱극한은 δ보다 천천히 0에 수렴한다.


∆Ftk

δ= µtkFS + Ft + σtkFS

∆Wtk

δ+µ2tk2FSSδ + µtkσtkFSS∆Wtk

+1

2σ2tkFSS

[∆Wtk ]2

δ+ µtkFStδ + σtkFSt∆Wtk +

1

2Fttδ +

R

δ(9.6.10)

식 (9.6.7)에서 알 수 있듯이, 식 |∆Wtk | ≃ δ1/2이 성립한다. 잔차항 R은 δ와 ∆Wtk 의 2

차보다 큰 멱항들로 구성되어 있다. 만약 예측할 수 없는 변화항이 정규사건들로만 구성되어

있으면, 즉 우발사건이 존재하지 않으면, Op([∆Wtk ]2)보다 큰 항들은 무시된다. 따라서, 식

(9.6.10)으로부터, 다음 근사식이 성립함을 알 수 있다.

∆Ftk ≃ [µtkFS + Ft]δ + σtkFS∆Wtk +1

2σ2tkFSSδ (9.6.11)

식 (9.6.11)의 근사식은 평균제곱의 의미에서 성립함을 기억하라. 식 (9.6.3)과 식 (9.6.11)

에서 알 수 있듯이, 다음 근사식이 성립한다.

∆Ftk ≃ FS∆Stk + Ftδ +1

2σ2tkFSSδ (9.6.12)

식 (9.6.11)과 식 (9.6.12)에서 극한 δ → 0를 취하면, 다음 정리를 얻는다.


정리 9.6.1: Ito-Doeblin보조정리

함수 F (St, t)가 시점 t에 대해서 1회 미분가능하고, 확률변수 St에 대해서 2회 미분가능

하고, 또한 확률과정 St가 다음 확률미분방정식을 만족한다고 하자.

dSt = µ(St, t) dt+ σ(St, t) dWt, (t ≥ 0)

여기서 µt.= µ(St, t)와 σt

.= σ(St, t)는 각각 추세계수와 확산계수이다. 이러한 조건

하에서, 다음 식들이 성립한다.

dF (St, t) =∂F

∂StdSt +

∂F

∂tdt+

1

2σ2t∂2F

∂S2t

dt

dF (St, t) =

[∂F

∂t+

1

2σ2t∂2F

∂S2t

+ µt∂F

∂St

]dt+

∂F

∂StσtdWt

여기서 등호들은 평균제곱의 의미에서 성립한다.

표준적 전미분공식과 Ito-Doeblin보조정리는 다른 결과를 초래한다. 관찰하고 있는 확률

과정의변동성이 0, 즉 σt = 0이면, Ito-Doeblin보조정리는표준적미분의연쇄법칙이다. 정리

9.6.1에서 알 수 있듯이, Ito-Doeblin보조정리를 이용해야 하는 상황에서는 확률과정 St에

대한 다음 확률미분방정식이 주어진다.

dSt = µ(St, t) dt+ σ(St, t) dWt (9.6.13)

식 (9.6.13)을 만족하는 St를 Ito확률과정이라 부른다.

Ito-Doeblin보조정리의 이용 가능성을 크게 두 가지로 생각할 수 있다. 첫째, Ito-Doeblin

보조정리는 St에 대한 확률미분방정식 (9.6.13)을 사용해서 F (St, t)의 전미분 dF (St, t)를

구하는 확률적 연쇄법칙이다. 즉, 함수 F (St, t)에 대한 확률미분방정식을 결정하는 도구이다.

만약 함수 F (St, t)가 주어지면, Ito-Doeblin보조정리를 이용해서 확률미분 dF (St, t)를 구할

수있다. 이러한관점에서 Ito-Doeblin보조정리는파생상품가치를다루는데편리한도구이다.

즉, 원자산의 확률미분방정식이 주어지면, Ito-Doeblin보조정리를 이용해서 파생상품가치

의 확률미분방정식을 구할 수 있다. 따라서, 원자산의 가격변화를 외생변수로 간주하고,

파생상품가치를 평가하려는 시장참가자에게 Ito-Doeblin보조정리는 매우 유용한 도구이다.

둘째, Ito-Doeblin보조정리는 Ito적분을 계산하는 데 편리하다. Neftci (2000, p. 241)는


Ito-Doeblin보조정리를 사용해서 Ito적분을 계산하는 것에 대해 다음과 같이 언급하였다.

표준적 미적분에서 Ito-Doeblin보조정리와 같은 미분공식이 적분을 평가하는데

도움이 된다고 기대하는 독자가 없을지도 모른다. 그러나, 확률미적분에서는

다르다. 표준적 미적분에서는 적분과 미분이 따로 정의되고, 미적분의 근본적

정리 (fundamental theorem of calculus)에 의해서 이들은 서로 관련지어진다.

그러나 앞에서 언급했듯이 확률미분은 확률적분을 간단히 표기한 것에 불과하다.

따라서, Ito-Doeblin보조정리가 확률적분을 평가하는 데 유용한 도구라는 것은

그리 놀라운 일이 아니다.

9.6.3 Ito-Doeblin보조정리의 응용

[1] 연쇄법칙으로서 Ito-Doeblin보조정리

확률함수의전미분을구하기위해서, Ito-Doeblin보조정리를사용하는예제들을살펴보자.

예제 9.6.2 표준Brown운동 Wt의 함수 F (Wt, t) =W 2t 의 전미분을 구해 보자. 이 함수에

Ito-Doeblin보조정리를 적용하면, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

dF (Wt, t) = 2WtdWt +1

2[2dt] = 2WtdWt + dt (1)


µ(Wt, t) = 1, σ(Wt, t) = 2Wt (2)

예제 9.6.3 표준Brown운동 Wt의 함수 F (Wt, t) = t + exp(Wt)의 전미분을 구해 보자.

이 함수에 Ito-Doeblin보조정리를 적용하면, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

dF (Wt, t) = dt+ eWtdWt +1

2eWtdt =

[1 +

1

2eWt

]dt+ eWtdWt (1)


µ(Wt, t) = 1 +1

2eWt , σ(Wt, t) = eWt (2)


[2] 적분도구로서 Ito-Doeblin보조정리

확률적분을 구하기 위해서, Ito-Doeblin보조정리를 사용하는 예제들을 살펴보자. Ito-

Doeblin보조정리를 사용해서 확률적분을 할 때는 결정적 적분에서 부분적분을 사용하는 것을

연계해서 생각하는 것이 좋다. Ito-Doeblin보조정리에 의해서 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

∫ t

sFSdSu = F (St, t)− F (Ss, s)−

∫ t

s

[Fu +

1

2FSSσ

2u

]du (9.6.14)

식 (9.6.14)의 우변의 적분을 쉽게 구할 수 있다면, 당연히 좌변의 확률적분도 쉽게 구할 수

있다.

예제 9.6.4 표준Brown운동 Wt에 대해서, 다음 Ito적분을 계산해 보자.

∫ t

0Ws dWs (1)

제 9.4.1소절에서는, Ito합의 평균제곱극한을 취해서 이 적분을 직접 계산했다. 이 방법의

원리는 간단하나 계산절차는 길었다. 식 (1)의 적분을 결정적 적분으로 생각하고 부정적분을

구하면, 부정적분은W 2t /2이다. 함수 F (Wt, t) =W 2

t /2에 Ito-Doeblin보조정리를적용하기로

하자. 다음 식이 성립한다.

dF (Wt, t) =WtdWt +1

2dt (2)

이 확률미분방정식의 추세계수는 1/2이고, 확산계수는 Wt이다. 식 (2)에서 알 수 있듯이,


1

2W 2

t = F (Wt, t) =

∫ t

0WsdWs +

1

2

∫ t

0ds =

∫ t

0WsdWs +

t

2(3)


∫ t

0WsdWs =

1

2W 2

t − 1

2t (4)


<예제 9.6.4>에서알 수 있듯이, Ito-Doeblin보조정리를이용해서 Ito적분을구하는 것은

간접적이다. 즉, 다음과 같은 단계들을 거쳐서, Ito적분을 계산할 수 있다.

(1단계) 적당한 함수 F (Wt, t)를 추측한다. 이 F (Wt, t)를 추측하는데는 결정적 적분을

연상하는 것이 편리하다.

(2단계) Ito-Doeblin보조정리를 이용해서, 함수 F (Wt, t)의 확률미분방정식을 얻는다.

(3단계) 이 확률미분방정식의 양변에 적분연산자를 적용해서 적분방정식을 얻는다. 이

적분방정식은 원래 계산하고자 하는 Ito적분보다 간단한 적분을 포함하고 있다.

(4단계) 이 적분방정식을 정리해서 원하는 결과를 얻는다.

예제 9.6.5 표준Brown운동 Wt에 대해서, Ito확률과정 St가 다음 식을 만족한다고

하자.

dSt = −µSt dt+ σdWt, (t ≥ 0) (1)

여기서 µ ≥ 0이다. 식 (1)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

dSt + µSt dt = σdWt (2)

식 (2)의 좌변을 결정적 미분으로 또한 우변을 0으로 생각하고 이 결정적 미분방정식을 풀면,

해는 eµtSt이다. 확률함수 F (St, t) = eµtSt에 Ito-Doeblin보조정리를 적용해 보자. 다음


FS = eµt, Ft = µF, FSS = 0 (3)

식 (3)을 식 (9.6.14)에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

F (St, t)− F (Ss, s) = σ

∫ t

seµudWu, (0 ≤ s < t) (4)

만약 s = 0이면, 식 F (S0, 0) = S0이 성립한다. 따라서, 다음 식이 성립한다.

St = e−µt

[S0 + σ

∫ t

0eµudWu

](5)


이 St를 Ornstein-Uhlenbeck의 확률과정이라 한다.

예제 9.6.6 표준Brown운동 Wt에 대해서, Ito확률과정 St가 다음 식을 만족한다고

하자.

dSt = µtSt dt+ σtStdWt (1)

여기서 S0 > 0이다. 식 (1)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

dStSt

= µt dt+ σtdWt (2)

식 (2)의 좌변을 St에 대한 결정적 미분으로 생각하고 이를 St에 대해 적분하면 부정적분은

lnSt이다. 확률함수 F (St, t) = ln(St/S0)에 Ito-Doeblin보조정리를 적용해 보자. 다음 식들

이 성립한다.

FS =1

St, Ft = 0, FSS = − 1

S2t

(3)

식 (3)을 식 (9.6.14)에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

F (St, t)− F (S0, 0) =

∫ t

0

[µu − 1

2σ2u

]du+

∫ t

0σudWu (4)


St = S0 exp(∫ t

0

[µu − 1

2σ2u

]du+

∫ t

0σudWu

), (t ≥ 0) (5)

예제 9.6.7 <예제 9.6.6>의 확률미분방정식에서 µt = µ이고 σt = σ라고 가정하자. 즉,

다음과 같은 확률미분방정식을 살펴보자.

dSt = µSt dt+ σStdWt (1)

확률미분방정식 (1)을 만족하는 St를 Black-Scholes확률과정이라 한다. 이 확률미분방정


식을 결정적 미분방정식으로 생각해서 풀면, 다음 식이 성립한다.

lnSt = lnS0 + µt+ σWt (2)

그러나, 식 (2)는 확률미분방정식 (1)을 만족하지 않는다. <예제 9.6.6>에서 알 수 있듯이,


St = S0 exp([µ− 1

2σ2]t+ σWt

), (t ≥ 0) (3)

따라서, lnSt의 올바른 식은 다음과 같다.

lnSt = lnS0 +[µ− 1

2σ2]t+ σWt (4)

표준Brown운동 Wt의 확률분포는 Wt ∼ N (0, t)이다. 따라서, 다음 식이 성립한다.

1

σ

lnSt − lnS0 −

[µ− 1

2σ2]t

∼ N (0, t) (5)

[3] Ito-Doeblin보조정리의 적분형

앞에서 여러 번 언급했듯이, 확률미분은 Ito적분의 단순한 생략형 표기법이다. 따라서,

Ito-Doeblin보조정리를 적분형으로 쓸 수 있다. <정리 9.6.1>의 첫 번째 Ito등식의 양변을

적분하면, 다음 식을 얻는다.

F (St, t)− F (Ss, s) =

∫ t

s

[Fu +

1

2FSSσ

2u

]du+

∫ t

sFsdSu (9.6.15)

즉, 식 (9.6.15)는 식 (9.6.14)를 다르게 쓴 것이다.

예제 9.6.8 이 예제에서는 Ito지수함수를 정의하기로 하자. 함수 f(t)가 지수함수 et이기

위한 필요충분조건은 다음 식들이 성립하는 것이다.

f(t)− f(s) =

∫ t

sf(u)du, f(0) = 1 (1)


식 (1)의 적분은 Riemann적분이다. 표준Brown운동 Wt에 대해서, 함수 F (Wt, t)

.= exp

(Wt − 1

2 t)를 정의하자. 다음 식들이 성립한다.

FW = exp(Wt −

1

2t

), Ft = −1

2exp

(Wt −

1

2t

), FWW = exp

(Wt −

1

2t

)(2)


∫ t

s

[Fu +

1

2FWW

]du = 0 (3)

만약 0 ≤ s < t라면, 식 (3)과 식 (9.6.15)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

F (Wt, t)− F (Ws, s) =

∫ t

sFW (Wu, u)dWu, F (W0, 0) = 0 (4)

여기서 우변의 적분은 Ito적분이다. 결정적 지수함수가 만족해야 하는 식 (1)을 확률형으로

나타낸 것이 식 (4)이다. 따라서, Ito지수함수는 exp(Wt)가 아닌 exp(Wt − t/2)로

정의된다.

예제 9.6.9 표준Brown운동 Wt에 대해서, 다음 확률함수를 정의하자.

F (Wt, t).= exp

([µ− 1

2σ2]t+ σWt

)(1)


Ft =

[µ− 1

2σ2]F (Wt, t), FW = σF (Wt, t), FWW = σ2F (Wt, t) (2)


Ft(Wu, u) +1

2FWW (Wu, u) = µF (Wu, u) (3)

만약 0 ≤ s < t라고 하면, 식 (3)과 식 (9.6.15)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

F (Wt, t)− F (Ws, s) = µ

∫ t

sF (Wu, u)du+ σ

∫ t

sF (Wu, u)dWu (4)



dF (Wt, t) = µF (Wt, t) dt+ σF (Wt, t)dWt (5)

따름정리 9.6.1

함수 g가 2차 미분가능하고, Wt는 표준Brown운동이라 하자. 만약 0 ≤ s < t이면,


g(Wt)− g(Ws) =

∫ t

sg′(Wu)dWu +

1

2

∫ t

sg′′(Wu) du

예제 9.6.10 만약 g(t) = t2이고, 또한만약 Wt가표준Brown운동이면, <따름정리 9.6.1>

에서 알 수 있듯이 다음 식이 성립한다.

W 2t −W 2

s = 2

∫ t

sWudWu + t− s, (s < t) (1)

가정에 의해서 W0 = 0이다. 따라서, 다음 식이 성립한다.

∫ t

0WudWu =

1

2W 2

t − 1

2t (2)

이 결과는 <예제 9.6.4>의 결과와 동일하다.

예제 9.6.11 만약 g(t) = et이면, 다음 식들이 성립한다.

g(t) = et, g′′(t) = et (1)

만약 Wt가 표준Brown운동이면, <따름정리 9.6.1>에서 알 수 있듯이 다음 식이 성립한다.

eWt − eWs =

∫ t

seWrdWr +

1

2

∫ t

seWudu, (0 ≤ s < t) (2)



∫ t

seWrdWr = eWt − eWs − 1

2

∫ t

seWudu, (0 ≤ s < t) (3)

예제 9.6.12 만약 g(t) = tn, (n = 2, 3, · · · )이면, 다음 식들이 성립한다.

g′(t) = ntn−1, g′′(t) = n[n− 1]tn−2 (1)

만약 Wt가 표준Brown운동이면, <따름정리 9.6.1>에서 알 수 있듯이 다음 식이 성립한다.

Wnt −Wn

s = n

∫ t

sWn−1

u dWu +n[n− 1]

2

∫ t

sWn−2

u du, (0 ≤ s < t) (2)


∫ t

sWn−1

u dWu =1

n[Wn

t −Wns ]−

n− 1

2

∫ t

sWn−2

u du, (0 ≤ s < t) (3)

9.6.4 Ito-Doeblin보조정리의 확장

원자산 St의 확률미분방정식이 주어졌을 때, Ito-Doeblin보조정리를 이용해서 파생상품가격

F (St, t)의 확률미분방정식을 얻을 수 있다. 그러나, 실무자가 직면하는 금융파생상품의

가치평가문제를 <정리 9.6.1>의 Ito-Doeblin보조정리만으로 해결할 수 있는 것은 아니다. <

정리9.6.1>에서는 예측불가능한 정보들을 한 개의 Brown운동의 증분을 이용하여 표현할 수

있다는 가정 하에 Ito-Doeblin보조정리를 구축했다. 이 소절에서는 이러한 가정보다 확장된

가정 하에서 Ito-Doeblin보조정리를 유도하자.

Ito확률과정들 S1,t와 S2,t에의존하는다변량함수 F (S1,t, S2,t, t)에대한 Ito-Doeblin


보조정리들을 구하기로 하자. 함수 F (x, y, z)에 Taylor전개를 적용하면, 다음 식을 얻는다.

F (x+ h, y + k, z + l)− F (x, y, z) = hF1 + kF2 + lF3

+1

2[h2F11 + k2F22 + l2F33 + 2hkF12 + 2hlF13 + 2klF23] + · · · (9.6.16)

여기서 Fi, (i = 1, 2, 3)는 함수 F (x, y, z)의 제i번째 변수에 대한 1차편미분이고, Fij , (i, j =

1, 2, 3)는 함수 F (x, y, z)의 제i번째와 제j번째 변수들에 대한 2차편미분이다.

첫 번째 확장으로, Ito확률과정들 S1,t와 S2,t가 다음 식들을 만족하는 경우를 살펴보

자.

dS1.= dS1,t = µ1,t dt+ σ1,tdWt (9.6.17)

dS2.= dS2,t = µ2,t dt+ σ2,tdWt (9.6.18)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 식 (9.6.7)을 식 (9.6.17)과 식 (9.6.18)에 대입하면,

다음 식들을 얻는다.

dtdS1 = 0, dtdS2 = 0, [dS1]2 = [σ1,t]

2 dt

[dS2]2 = [σ2,t]

2 dt, dS1dS2 = σ1,tσ2,t dt (9.6.19)

여기서 각 등호는 평균제곱의 의미에서 성립한다. 식 (9.6.16)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이

성립한다.

dF (S1,t, S2,t, t)

= F (S1,t + dS1,t, S2,t + dS2,t, t+ dt)− F (S1,t, S2,t, t)

= F1dS1 + F2dS2 + F3dt+1

2F11[dS1]

2 + F22[dS2]2 + F33[dt]

2+

+ 2F12dS1dS2 + 2F13dS1dt+ 2F23dS2dt+ · · · (9.6.20)

식 (9.6.19)를 식 (9.6.20)에 대입하면, 다음 정리가 성립한다.

정리 9.6.2

함수 F가 S1,t와 S2,t에 대해서 2차 미분가능하고 또한 t에 대해서 1차 미분가능하고,


S1,t와 S2,t는 다음 확률미분방정식들을 만족한다고 하자.

dS1.= dS1,t = µ1,t dt+ σ1,tdWt

dS2.= dS2,t = µ2,t dt+ σ2,tdWt

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 다음 식이 성립한다.

dF (S1,t, S2,t, t)

= F1dS1 + F2dS2 +

(F3 +

1

2F11[σ1,t]

2 + F22[σ2,t]2 + 2F12σ1,tσ2,t

)dt

따름정리 9.6.2

만약확률과정들 S1,t와 S2,t가각각식 (9.6.17)과식 (9.6.18)을만족하면, 다음식이

성립한다.

d[S1,t S2,t] = S2,tdS1,t + S1,tdS2,t + σ1,tσ2,t dt

증명. 함수 F (S1,t, S2,t, t) = S1,tS2,t에 대해서, 다음 식들이 성립한다.

F1 = S2, F2 = S1, F3 = 0, F11 = F22 = 0, F12 = 1 (1)

식 (1)과 <정리 9.6.2>에 의해서, 이 따름정리가 성립한다.

예제 9.6.13 표준Brown운동 Wt에 대해서, 다음 적분을 구해 보자.

∫ t

0eudWu (1)

다음 변수들을 정의하자.

S1,t.= et − 1 =

∫ t

0eudu, S2,t

.=Wt =

∫ t

01 · dWu (2)



S1,0 = 0, S2,0 =W0 = 0, dS1,t = et dt, dS2,t = 1 · dWt (3)


µ1,t = et, σ1,t = 0, µ2,t = 0, σ2,t = 1 (4)

식 (4)와 <따름정리 9.6.2>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

d[etWt] = etWt dt+ etdWt (5)

식 (5)의 양변을 적분해서 다음 식을 얻는다.

etWt =

∫ t

0euWudu+

∫ t

0eudWu (6)


∫ t

0eudWu = etWt −

∫ t

0euWudu (7)

예제 9.6.14 함수 g(t)는구간 (0, t)에서미분가능하고, g(0) = 0이라고하자. 다음변수들을

정의하자.

S1,t.= g(t) =

∫ t

0g′(u)du, S2,t

.=Wt =

∫ t

01 · dWu (1)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 다음 식들이 성립한다.

S1,0 = g(0) = 0, S2,0 =W0 = 0, dS1,t = g′(t) dt, dS2,t = 1 · dWt (2)



µ1,t = g′(t), σ1,t = 0, µ2,t = 0, σ2,t = 1 (3)

<따름정리 9.6.2>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

d[g(t)Wt] =Wtdg(t) + g(t)dWt (4)

식 (4)의 좌변을 적분하면, 다음과 같다.

∫ t

0d[g(u)Wu] = g(t)Wt − g(0)W0 = g(t)Wt (5)

여기서 두 번째 등호는 가정 g(0) = 0에 의해서 성립한다. 식 (4)와 식 (5)에서 알 수 있듯이,


g(t)Wt =

∫ t

0Wug

′(u) du+

∫ t

0g(u) dWu (6)


∫ t

0g(u)dWu = g(t)Wt −

∫ t

0g′(u)Wudu (7)

식 (7)은 <정리 9.4.1>에서 기술한 Wiener적분의 성질이다.

두 번째 확장으로, 서로 독립인 표준Brown운동들 W1,t와 W2,t에 의해 발생되는

확률과정들 S1,t와 S2,t를 살펴보자. 다음 식들이 성립한다고 하자.

dS1.= dS1,t = µ1,tdt+ σ1,tdW1,t (9.6.21)

dS2.= dS2,t = µ2,tdt+ σ2,tdW2,t (9.6.22)

식 (9.6.7), 식 (9.6.21) 그리고 식 (9.6.22)에서 알 수 있듯이, 다음 식들을 얻는다.

dtdS1 = 0, dtdS2 = 0, [dS1]2 = [σ1,t]

2 dt

[dS2]2 = [σ2,t]

2 dt, dS1dS2 = σ1,tσ2,tdW1,tdW2,t (9.6.23)


여기서 각 등호는 평균제곱의 의미에서 성립한다. 식 (9.6.23)을 식 (9.6.20)에 대입하면, 다음

정리가 성립함을 알 수 있다.

정리 9.6.3


S1,t와 S2,t가 다음 확률미분방정식들을 만족하는 확률과정들이라고 하자.

dS1.= dS1,t = µ1,t dt+ σ1,tW1,t

dS2.= dS2,t = µ2,tdt+ σ2,tW2,t

여기서 W1,t와 W2,t는 서로 독립인 표준Brown운동들이다. 다음 식이 성립한다.

dF (S1,t, S2,t, t) = F1dS1 + F2dS2 +

(F3 +

1

2F11[σ1,t]

2 + F22[σ2,t]2)dt

+ F1,2σ1,tσ2,tdW1,tdW2,t

예제 9.6.15 확률과정 S1,t는 뉴욕증권거래소 (NYSE)에서 거래되고 있는 A사의 주가를

USD로 표시한 것이고, 이 주가의 동적특성을 다음 확률미분방정식으로 나타낼 수 있다고

하자.

dS1,t = µ1,t dt+ σ1,tdW1,t (1)

여기서W1,t는 표준Brown운동이다. 또한, 확률과정 S2,t는 환율 (KRW/USD)을 나타내

고, 이 환율의 동적특성을 다음 확률미분방정식으로 나타낼 수 있다고 하자.

dS2,t = µ2,t dt+ σ2,tdW2,t (2)

여기서 W2,t는 W1,t와 독립인 표준Brown운동이다.

함수 F (S1,t, S2,t, t) = S1,tS2,t는 원 (KRW)으로 표시된 A사 주가이다. 다음 식들이 성립

함을 알 수 있다.

F1 = S2, F2 = S1, F3 = 0, F11 = F22 = 0, F12 = 1 (3)


식 (1)∼식 (3)과 <정리 9.6.3>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

dF (S1,t, S2,t) =σ1,tS2,tdW1,t + σ2,tS1,tdW2,t

+ [µ1,tS2,t + µ2,tS1,t] dt+ σ1,tσ2,tdW1,tdW2,t

(4)

세 번째 확장으로, 확률과정들 S1,t와 S2,t 각각이 2개 확률변동요인들에 의해서

움직이는 경우를 살펴보자. 즉, St = [S1,t, S2,t]t가 다음 확률미분방정식을 따르는 2변량

확률과정이라 하자.

dS1,t

dS2,t

=

µ1,t

µ2,t

dt+ σ11,t σ12,t

σ21,t σ22,t

dW1,t

dW2,t

(9.6.24)

여기서 µi,t와 σij,t, (i = 1, 2, j = 1, 2)는 Si,t에 관한 추세계수들과 확산계수들이며, W1,t

와 W2,t는 서로 독립인 표준Brown운동들이다. 따라서, S1,t와 S2,t는 같은 Brown

운동들의 영향을 받는 두 확률과정들을 나타낸다. 일반적으로, σ1j,t와 σ2j,t는 같지 않다. 즉,

쇄신항들이 각 방정식에 미치는 영향은 같지 않다. 그러나, S1,t와 S2,t는 공통 쇄신성분들을

갖고 있다. 따라서, 시점 t에서 다음 식들이 성립하는 경우가 아니면, S1,t와 S2,t는 상관되어

있다.

σ12,t = 0, σ21,t = 0 (9.6.25)

식 (9.6.24)를 다음과 같은 확률미분방정식들로 표기할 수 있다.

dS1,t = µ1,t dt+ [σ11,tdW1,t + σ12,tdW2,t] (9.6.26)

dS2,t = µ2,t dt+ [σ21,tdW1,t + σ22,tdW2,t] (9.6.27)

서로 독립인 표준Brown운동들 W1,t와 W2,t에 대해서 다음 식이 성립한다.

dW1,tdW2,t = 0 (9.6.28)

식 (9.6.28)의 등호는 평균제곱의 의미에서 성립하는 것이다. 식 (9.6.7)과 식 (9.6.28)을 식


(9.6.26)과 식 (9.6.27)에 대입하면, 다음 식들을 얻는다.

dtdS1 = 0, dtdS2 = 0, [dS1]2 = [σ211,t + σ212,t] dt

[dS2]2 = [σ221,t + σ222,t] dt, dS1dS2 = [σ11,tσ21,t + σ12,tσ22,t]dt (9.6.29)

여기서 각 등호는 평균제곱의 의미에서 성립한다. 식 (9.6.29)를 식 (9.6.20)에 대입하면, 다음

정리가 성립함을 알 수 있다.

정리 9.6.4


S1,t와 S2,t는 다음 식들을 만족하는 Ito확률과정들이라고 하자.

dS1,t

dS2,t

=

µ1,t

µ2,t

dt+ σ11,t σ12,t

σ21,t σ22,t

dW1,t

dW2,t

여기서 W1,t와 W2,t는서로독립인표준Brown운동들이다. 이러한조건하에서다음


dF (S1,t, S2,t, t) =F1dS1 + F2dS2 + F3 dt

+1

2[F11dS

21 + F22dS

22 + 2F12dS1dS2]

예제 9.6.16 이자율파생상품모형들 중에는 단기이자율 rt와 더불어 장기이자율 Rt에 의존

하는 것이 있다. 이 파생상품가치를 F (rt, Rt, t)로 표기하자. 이 이자율들이 다음 확률미분방

정식들을 만족한다고 가정하자.

drt = µ1,tdt+ [σ11,tdW1,t + σ12,tdW2,t] (1)

dRt = µ2,tdt+ [σ21,tdW1,t + σ22,tdW2,t] (2)

단기이자율 rt와 장기이자율 Rt는 서로 상관이 있다. 즉, 시간구간(t, t+ ∆t ]에서 다음 식이

성립한다.

Cov(∆rt,∆Rt) = [σ11,tσ21,t + σ12,tσ22,t] ∆t (3)


시장참가자는 관찰되는 단기이자율과 장기이자율의 상관계수와 변동성들로부터, 확산계수들

σij,t를 추정할 수 있다.

이자율들의 작은 변동, 즉 drt와 dRt에 대한 이 파생상품가치의 변동량을 알기 위해서는,

확률미분 dF (rt, Rt, t)를 구해야 한다. <정리 9.6.4>를 사용해서, 다음 식을 유도할 수 있다.

dF = Ft dt+ Frdrt + FRdRt +1

2Frr[σ

211,t + σ212,t]

+ FRR[σ221,t + σ222,t] + 2FrR[σ11,tσ21,t + σ12,tσ22,t] dt (4)

식 (4)의 확률미분 dF (rt, Rt, t)는 무한소 시간간격 dt에서 drt와 dRt에 의한 이자율파생상

품의 가치변동량을 나타낸다.

예제 9.6.17 어떤금융시장에 k종류증권들이존재하고, 어떤투자자가제i번째증권을가격

pi,t로 ni,t단위 구입한다고 하자. 연속시간형 확률과정들 ni,t와 pi,t가 동일한 정보들의

함수들일 수 있다. 이러한 투자에 의한 시점 t에서 부(wealth)는 wt =k∑

i=1ni,tpi,t이다. <정리

9.6.4>를 적용해서, 다음과 같이 부의 증분을 구할 수 있다.

dwt =

k∑i=1

ni,tdpi,t +

k∑i=1

pi,tdni,t +

k∑i=1

dni,tdpi,t (1)

표준적 미적분을 이용하면, 마지막 항이 존재하지 않음을 상기하라.

네 번째 확장으로, 우발사건이 있는 경우를 살펴보자. 지금까지 원자산 St를 Brown

운동으로 표현되는 쇄신항들의 함수로 가정해 왔다. 그러나, 이 가정은 너무 강한 제약이다.

확률적 쇄신항에는 점프성분이 존재할 수도 있다. Ito-Doeblin보조정리에 이러한 점프성분을

반영하기로 하자. 확률과정 St가 다음 확률미분방정식을 만족한다고 하자.

dSt = µt dt+ σtdWt + dJt, (t ≥ 0) (9.6.30)

여기서 Wt는 표준Brown운동이고, dJt는 예측불가능한 점프에 의한 증분을 나타낸다.

점프성분의 시간구간 (t, t +∆t]에서 평균은 0이다. 즉, E(∆Jt) = 0이다. 점프에서 예측할

수 있는 부분을 추세계수 µt에 포함시킬 수 있으므로, 이러한 가정은 제한적인 것이 아니다.

이러한 점프들이 다음과 같은 조건들을 만족한다고 가정하자. 첫째, 점프가 발생하는 시점들


은 이산적이다. 즉, 우발사건들이 발생하는 시간간격은 서로 독립인 양의 확률변수들이다.

둘째, 점프의 크기도 확률적이고 또한 서로 독립적이다. 각 점프의 크기는 µ1, µ2, · · · , µk 중

하나이다. 또한, 점프의 크기가 µi일 확률은 pi로 주어진다. 그러나, 표준적 Poisson과정인

경우에는 각 점프의 크기는 1로 고정되어 있음을 기억하라. 셋째, 점프가 발생하는 비율인

강도 λt는 최근에 관찰된 원자산 St에 의존할 수도 있다. 이러한 가정 하에서, 짧은 시간구간

(t, t+∆t]에서 점프에 의한 증분 ∆Jt는 근사적으로 다음과 같다.

∆Jt = ∆Nt − λt∆t

k∑i=1

µipi (9.6.31)

여기서 Nt는 시점 t까지 발생한 점프의 크기들의 합이다. 좀 더 자세히 설명하면, 시간구간

(t, t + ∆t]에 점프가 있고, 이 점프의 크기가 µi일 때 ∆Nt는 µi이다. 식 (9.6.31)의 우변의

두 번째 항에서k∑

i=1µipi는 점프크기의 기대값이다. 또한, λt∆t는 점프가 발생하는 확률이다.

이러한 조건 하에서, 추세계수 µt는 다음과 같다.

µt = αt + λt

[k∑

i=1

µipi

](9.6.32)

식 (9.6.32)의우변의첫번째항 αt는연속성분에의한추세계수이고, 두번째항은점프성분에

의한 추세계수를 나타낸다. 이 점프과정에서 다시 한 번 강조할 점은 다음과 같다. 점프가

발생하는 것은 우발사건이다. 즉, 점프의 발생시점은 확률적이고, 점프의 크기도 확률적이다.

또한, 점프의 발생시점과 크기는 서로 독립적이다. 이러한 가정 하에서 St를 원자산으로 하는

파생상품가치 F (St, t)의 전미분은 다음과 같다.

dF (St, t) =

Ft + λt

k∑i=1

[F (St + µi, t)− F (St, t)] pi +1

2FSSσ

2

dt + FSdSt

+ [F (St, t)− F (St−, t)]− λt

k∑

i=1

[F (St + µi, t)− F (St, t)] pi

dt (9.6.33)

여기서 St−는 다음과 같다.

St− = lims→ t−0

Ss (9.6.34)

식 (9.6.33)이 원자산에 점프가 있는 경우에 해당하는 Ito-Doeblin보조정리이다. 실제로 dJF

를 어떻게 계산하면 좋을까? 우선, 확률적 점프에 따른 기대변동


−λt

k∑i=1

[F (St + µi, t)− F (St, t)] pi

dt를 계산한다. 이 기대변동을 계산하기 위해서는,

시간구간 (t, t + dt]에서 발생하는 가능한 점프들의 비율 λt와 확률과정 St에서 일어난

점프들에 의해 기인되는 파생상품가치 F의 점프크기의 기대값을 이용한다. 만약 특정 시점

t에서 점프가 관찰되면, 항 (term) [F (St, t)− F (St−, t)]를 포함시킨다. 그렇지 않은 경우에,

이 항을 0으로 한다.

제10장

확률미분방정식의 기초

제10.1절 확률미분방정식

위험자산가격에는 우연성이 개입되기 때문에, 이를 결정적 미분방정식으로 나타낼 수 없다.

예를 들어, 주가에 영향을 미치는 수많은 요인들을 모두 파악해서, 각 요인의 변화가 주가에

미치는 영향을 결정적 미분방정식으로 나타낼 수 있는 사람은 없을 것이다. 흔히들 내일의

주가는 귀신도 모른다고 하지 않는가? 인간이 주가변동의 메커니즘에 대해 전혀 아는 것이

없기 때문에, 확률모형을 사용해서 주가를 나타내고자 하는 것은 결코 아니다. 주가는 결정적

모형으로 파악할 수 없는 현상이기 때문에, 주가를 결정적 미분방정식이 아닌 확률미분방정

식으로 나타낼 수밖에 없는 것이다. 확률미분방정식이란 결정적 미분방정식이 우연변동하는

쇄신항에 의해 교란되는 방정식으로 생각할 수 있다.

우리가 다루고자 하는 확률미분방정식은 다음과 같다.

dSt = µ(St, t)dt+ σ(St, t)dWt (10.1.1)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 추세계수 (drift coefficient) µ(St, t)와 확산계수 (diffu-

sion coefficient) σ(St, t)는 t와 St에 의존한다. 만약 µ(St, t) = 0이고 σ(St, t) = 1이면, St

는 표준Brown운동이다. 확률미분방정식 (10.1.1)은 다음 확률적분방정식을 미분방정식의

형태로 표현한 것에 불과하다.

St = S0 +

∫ t

0µ(Su, u)du+

∫ t

0σ(Su, u)dWu (10.1.2)

식 (10.1.2)의 우변의 첫 번째 적분은 Riemann적분이고, 두 번째는 Ito적분이다. 확률미분방

487

488 제 10장 확률미분방정식의 기초

정식 (10.1.1)의 추세계수와 확산계수는 St와 t에 의존하므로, 이 계수들 자체가 확률변수들

이다. 그러나, 시점 t에서 정보집합 It가 주어지면, 이 계수들이 관찰된다. 추세계수 µ(St, t)

와 확산계수 σ(St, t)가 다음 조건들을 만족한다고 가정하자.

Pr(∫ T

0|µ(Su, u)|du <∞

)= 1 (10.1.3)

Pr(∫ T

0σ2(Su, u)du <∞

)= 1 (10.1.4)

이 조건들은 추세계수와 확산계수 각각이 시간구간 [0, T ]에서 아주 크게 변화하지는 않음을

의미한다. 이 조건들을 만족하는 추세계수와 확산계수는 확률 1로(with probability 1) 유계

변동한다.

식 (10.1.1)을 유도하는 기본 방향은 확률증분 dSt를 예측가능한 요소 µ(St, t)dt와 예측

불가능한 요소 σ(St, t)dWt로 나누는 것이다. 시점 t에서 이용가능한 정보집합 It를 이용해서

식 (10.1.1)의 분해를 얻을 수 있다면, 다른 정보집합 I∗t 를 사용하는 시장참가자는 다른 분해,

즉 다른 확률미분방정식을 얻을 것이다. 다음과 같은 예를 살펴보자. 어떤 시장참가자가

절대적인 정보를 갖고, 따라서 사전에 이 St에 영향을 미치는 확률적 사건들에 대한 모든 것을

알고 있다고 가정하자. 이 시장참가자는 어떻게 dSt가 변화해 가는지를 알고 있으므로, 이

변화를 완전히 예측할 수 있다. 이러한 (비현실적인) 상황 하에서 확률미분방정식 (10.1.1)의

확산계수 σ(St, t)는 0이다. 즉, 이 시장참가자의 확률미분방정식은 다음과 같다.

dSt = µ∗(St, t)dt (10.1.5)

반면에, 다른 시장참가자의 확률미분방정식은 (10.1.1)이다. 식 (10.1.1)과 식 (10.1.5)의

추세항들이 동일할 수는 없다. 즉, 이 확률미분방정식들을 구성하는 쇄신항들이 서로 달라서,

µ(St, t)와 µ∗(St, t)도 서로 다르다. 이 예는 확률미분방정식의 정확한 형태는 정보집합족

It에 의존하는 것을 보여주고 있다. 만약 다른 정보집합족을 사용하면, 쇄신항의 확률적

움직임이 변할 것이다. 즉, 다른 정보집합 I∗t 가 주어지면, Wt대신에 W ∗t 로 쇄신항을

나타내어야 할 것이다. 이 Brown운동 W ∗t 는 정보집합족 I∗t 에 적합하다.

예제 10.1.1 다음 확률미분방정식을 만족하는 금융자산가격과정 St를 살펴보자.

dSt = µStdt+ σStdWt, (t ≥ 0) (1)

확률미분방정식 489

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 식 (1)을 만족하는 St를 Black-Scholes확률과정이라

한다. 식 (1)에서 알 수 있듯이, 다음 확률적분방정식이 성립한다.

St = S0 + µ

∫ t

0Sudu+ σ

∫ t

0SudWu (2)

다음 식을 만족하는 상수 c가 존재한다.

Et

(∫ t

0SudWu

)= c (3)

식 (2)와 식 (3)에 의해서, 다음 식이 성립한다.

Et(St) = S0 + µ

∫ t

0Sudu+ σc (4)


dEt(St)

dt= µSt (5)

<정리 9.5.2>의 성질 (b)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

V art(St) = σ2∫ t

0S2udu (6)


dV art(St)

dt= σ2S2

t (7)

즉, 정보집합 It가 주어진 조건 하에서 St의 순간적 기대수익률은 µSt이고, 수익률의 순간적

표준편차는 σ|St|가 된다. 이는 St의 수준이 높아질수록 순간적 기대수익률과 변동성이 St에

비례해 커진다는 것을 의미한다.


제10.2절 확률미분방정식의 해

10.2.1 해의 종류

각 t(> 0)에 대해서, 확률과정 Su가 다음 확률적분방정식을 만족한다고 하자.

∫ t

0dSu =

∫ t

0µ(Su, u)du+

∫ t

0σ(Su, u)dWu (10.2.1)

여기서 Wu는 표준Brown운동이다. 이러한 Su를 확률미분방정식 (10.1.1)의 해라고

한다. 확률미분방정식은 일종의 방정식이다. 즉, 미지 (unknown)를 포함하고 있다. 여기서

미지는 확률과정 Su이다. 따라서, 확률미분방정식에 대한 해의 개념은 처음에 언뜻 느끼는

것보다도 더 복잡하다. 우리가 구하고자 하는 것은 값이나 벡터가 아니고, 궤적과 이 궤적에

관한 확률분포가 정확히 결정되어야 하는 확률과정이다. 확률미분방정식의 해에는 두 가지

종류가 있다.

첫 번째 종류는 결정적 미분방정식의 경우와 동일하다. 추세계수, 확산계수 그리고 쇄신

항열 dWt가 주어졌을 때, 확률미분방정식 (10.1.1)을 만족하는 확률과정 St를 결정한다.

이러한 해 St는 다음 적분방정식을 만족한다.

St = S0 +

∫ t

0µ(Su, u)du+

∫ t

0σ(Su, u)dWu (10.2.2)

따라서, St는 시점 t와 확률변수 Wt의 과거와 현재의 실현값들에 의존한다. 만약 식 (10.2.2)

의 우변의 Wu | 0 ≤ u ≤ t가 외생적으로 주어지고 이에 따라 St가 결정되면, 이 St

를 확률미분방정식의 강해(strong solution)라 한다. 이는 결정적 미분방정식의 해와 같은

개념이다. 강해를 좀 더 명확하게 정의하면, 다음과 같다.

정의 10.2.1

확률과정 St가 다음 조건들을 만족할 때, 이 St를 확률미분방정식 (10.1.1)의 강해라

부른다.

(a) 표준Brown운동 Wu | 0 ≤ u ≤ t가 주어지고, St는 t와 Wu | 0 ≤ u ≤ t의 함수

이다. 즉, 다음과 같이 표기할 수 있다.

St = S(t, Wu | 0 ≤ u ≤ t), (t ≥ 0)

확률미분방정식의 해 491

(b) Riemann적분∫ t0 µ(Su, u)du와 Ito적분

∫ t0 σ(Su, u)dWu가 존재한다.

<정의 10.2.1>에서 기술한 확률미분방정식의 강해 St = S(t, Wu | 0 ≤ u ≤ t)를

확산 (diffusion)이라 부르기도 한다.

예제 10.2.1 다음 확률미분방정식을 살펴보자.

dSt = µtdWt (1)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 함수 µt는 미분가능한 결정적 함수라 하자. 다음 식이

성립한다.

St = S0 +

∫ t

0µudWu (2)


St = S0 +

∫ t

0µudWu = S0 + µtWt −

∫ t

0Wu

dµudu

du (3)

이 확률미분방정식의 강해는 다음과 같다.

S(t, Wu | 0 ≤ u ≤ t) = S0 + µtWt −

∫ t

0Wu

dµudu

du

(4)


dSt = StdWt, S0 = 1 (1)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. <예제 9.6.9>에서 알 수 있듯이, 다음과 같은 Ito

지수함수가 확률미분방정식 (1)을 만족함을 알 수 있다.

St = exp(Wt −

t

2

)(2)


즉, 이 확률미분방정식의 강해는 다음과 같다.

S(t, Wu | 0 ≤ u ≤ t) = exp

(Wt −

t

2

)(3)

두 번째 종류는 확률미분방정식 특유의 것으로 약해(weak solution)라 부르는 것이다.

약해를 구하는 것은 다음 식을 만족하는 확률과정 St를 결정하는 것이다.

dSt = µ(St, t)dt+ σ(St, t)dWt (10.2.3)

여기서 Wt는 Brown운동으로서, 이 Brown운동의 확률분포함수를 St와 동시에 결정해야

한다. 따라서, 확률미분방정식의 약해를 구하기 위해서 주어지는 것은 단지 추세계수함수

µ(St, t)와 확산계수함수 σ(St, t)뿐이다. 이 약해를 다음과 같이 설명할 수 있다. 확률미분방

정식 (10.2.3)을 푸는 것은 확률적분방정식 (10.2.1)을 만족시키는 확률과정을 구하는 것을

의미한다. 따라서, 확률적분방정식 (10.2.1)을 만족시키는 St와 Wt가 확률미분방정식

(10.2.3)의 해이다. 이러한 해를 구하기 위해서는 추세계수 µ(St, t)와 확산계수 σ(St, t)가 St

와 t의 함수형태로 주어져야 한다. 이러한 조건 하에서 확률적분방정식 (10.2.1)을 만족하는

St와 Wt를 구한다. 반면에, 강해를 구할 경우에는 Wt는 구하는 것이 아니라 주어진

것으로 생각한다.

확률미분방정식의강해는 Brown운동의표본경로에의존하고있다. 따라서, Brown운동의

다른 표본경로가 주어지면, 강해의 값은 달라진다. 강해가 존재하지 않는 경우, 확률미분방

정식에 어떤 의미를 부여하는 것이 약해이다. 초기조건 S0와 추세계수함수 µ(St, t)와 확산

계수함수 σ(St, t)가 주어질 때, 약해는 St의 평균, 분산, 공분산 등 확률분포의 특성들을

결정한다. 또한, Brown운동의 표본경로에 의존해서 확률분포가 변화하는 것이 아니므로,

약해에서는 표본경로에 관심을 가질 필요가 없다. 이후, 본서에서는 강해만을 생각한다.

만약 Wt와 Wt가 표준Brown운동들이라면, 그들 사이의 차이는 무엇일까? 이들의

확률미분들 dWt와 dWt는 동일한 확률밀도함수를 갖는다. 확률미분들 dWt와 dWt의 차이는

이들을 정의하는 정보집합족들에 있다. 만약 dWt와 dWt를 다른 정보집합족들에 대해서

계측할수있다면, 이두확률과정들은실제로다른현상들을기술할수있다. 이를좀더자세히

살펴보기 위해서, 다시 확률미분방정식 (10.1.1)을 살펴보자. 확률미분방정식 (10.1.1)에서

확산항은 외생적으로 주어지는 dWt를 포함한다. 쇄신항 dWt는 예측불가능한 부분에 영향을


미치는 무한소 사건들을 나타낸다. 이러한 무한소 사건들에 의해서 누적된 것이 시점 t에서

정보집합 It이다. Brown운동 Wt가 주어졌다는 가정 하에서 확률미분방정식 (10.1.1)을

만족시키는해 St가강해이다. 즉, 강해 St를얻기위해서는정보집합족 It를알필요가

있다. 이것은 강해 St가 It-적합인 것을 의미한다. 반면에, 확률미분방정식 (10.2.3)의

약해 St는 정보집합족 It를 생성하는 Brown운동 Wt를 바탕으로 계산되지 않는다.

대신에, 어떤 Brown운동 Wt와 함께 구해진다. Brown운동 Wt는 다른 정보집합족 It

를 생성한다. 따라서, 대응하는 St는 It-적합일 필요는 없다. 그러나, Wt는 It-

적합이며 It에 관하여 마팅게일이다.

확률미분방정식의 강해와 약해는 동일한 추세성분과 확산성분을 갖는다. 따라서, St와 St

는 동일한 확률적 성질들을 갖는다. 만약 평균과 분산이 주어지면, 이 두 해들을 구별할 수는

없다. 그러나, 이 두 해들은 서로 다를 수도 있다. 임의의 강해는 약해이다. 그러나, 그 역은

성립하지 않는다. 강해를 사용할 수 있는 것은 Brown운동 Wt가 주어진 경우이다. 확률미

분방정식을 이용해서 파생상품가치를 계산할 때, 확률과정 Wt가 엄밀하게 주어지지 않을

수도 있다. 즉, 추세계수함수와 확산계수함수만이 주어진 경우에는 파생상품의 가치평가에

약해를 사용한다.

강해가 유일하게 존재하기 위한 충분조건을 다음 정리에서 알 수 있다. 이 정리에 대한

자세한 내용은 Karatzas & Shreve (1991)의 제5.2절을 참조하라.

정리 10.2.1

다음 확률미분방정식을 살펴보자.

dSt = µ(St, t)dt+ σ(St, t)dWt

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 이 확률미분방정식이 다음 조건들을 만족시키면,

구간 [0, T ]에서 강해가 일의적으로 존재한다.

(a) 초기값 S0의 2차적률은 유한이다. 즉, E(S20) <∞이다. 또한, S0와 Wt | t ≥ 0는

서로 독립이다.

(b) 추세계수함수 µ(St, t)와 확산계수함수 σ(St, t)는 연속이다. 또한, 임의의 실수들 S


와 V 와 임의의 t(∈ [0, T ])에 대하여, 다음 식을 만족하는 상수 K가 존재한다.

|µ(S, t)− µ(V, t)|+ |σ(S, t)− σ(V, t)| ≤ K|S − V |

이 조건을 Lipschitz조건이라 부른다.


dSt = [µ1St + µ0]dt+ [σ1St + σ0]dWt (1)


µ(St, t) = µ1St + µ0, σ(St, t) = σ1St + σ0 (2)

이 확률미분방정식에서 추세계수함수 µ(St, t)와 확산계수함수 σ(St, t)는 연속이다. 만약

|µ1| < σ1이고 K = 3σ1이면, |µ1| < K/2이고 |σ1| < K/2이다. 따라서 다음 식들이 성립한

다.

|µ(S, t)− µ(V, t)| = |µ1[S − V ]| = |µ1||S − V | ≤ K

2|S − V | (3)

|σ(S, t)− σ(V, t)| = |σ1[S − V ]| = |σ1||S − V | ≤ K

2|S − V | (4)

식 (3)과 식 (4)에 의해서, 다음과 같이 Lipschitz조건이 성립함을 알 수 있다.

|µ(S, t)− µ(V, t)|+ |σ(S, t)− σ(V, t)| ≤ K|S − V | (5)

따라서, 만약 초기값 S0의 2차적률은 유한이고, 또한 만약 S0와 Wt | t ≥ 0가 독립이면, <

정리 10.2.1>에 의해서 확률미분방정식 (1)은 일의적인 (unique) 강해를 갖는다.

10.2.2 확률미분방정식에 대한 해의 확인

확률미분방정식을 푼다는 것은 각 시점 t(∈ [0,∞))에서 확률적분방정식 (10.2.1)을 만족하는

확률과정 St를 구하는 것이다. 확률미분방정식 대신 확률적분방정식을 푸는 이유는 확률


미분이 정해지지 않기 때문이다. 즉, 확률미분방정식을 만족할 가능성이 있는 해를 찾았다

해도, 확률미분을 취할 수 없기 때문에, 확률미분방정식을 만족시키는지 여부를 조사할 수

없다. 이에 대한 대안을 살펴보자.

확률미분방정식에 대한 해를 확인하는 과정을 쉽게 이해하기 위해서, 우선 다음과 같은

간단한 결정적 미분방정식을 살펴보자.

dxtdt

= axt (10.2.4)

여기서 a는 상수이다. 이 방정식에는 확률항이 없으므로, 이 미분방정식은 확률미분방정식이

아니다. 결정적 미분방정식 (10.2.4)의 해는 xt = x0eat이다. 이를 다음과 같이 확인할 수

있다.

dxtdt

=d[x0e

at]

dt= ax0e

at = axt (10.2.5)

그러나, 연속시간형 확률과정에 대한 미분이론이 없으면, 이 방법을 사용해서 확률미분방정

식의 해를 확인할 수는 없다. 만약 확률환경 하에서 식 (10.2.4)의 미분법칙이 성립한다고

가정하고 미분을 취하면, 확률미분방정식이 성립하지 않음을 알 수 있다. 즉, 결정적 함수에

대한 미분법칙들은 확률적 함수에 유효하지가 않다. 좀더 자세히 설명하면, 다음과 같다.

확률미분방정식 (10.1.1)의 해는 확률과정 Wt에 의존하기 때문에, 이 해 자체도 확률과정

이다. 어떤 확률과정이 확률미분방정식 (10.1.1)을 만족시키는지 여부를 확인하기 위해서, t

에 관해서 St와 Wt의 미분들을 구해야 한다. 그러나, 이러한 확률미분 그 자체가 정의되지

않는다. 따라서, 이 해의 타당성을 결정적 함수의 경우와 동일한 방법을 사용해서 증명할

수는 없다. 그 대신에, Ito-Doeblin보조정리를 이용해서, 이 해가 확률미분방정식에 대응하는

확률적분방정식을 만족시키는지 여부를 조사한다.

예제 10.2.4 다음 Black-Scholes확률과정 St를 살펴보자.


여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 다음 식들이 성립한다.

∫ t

0

dSuSu

=

∫ t

0µdu+

∫ t

0σdWu = µt+ σ

∫ t

0dWu = µt+ σWt (2)


만약 식 (2)에 결정적 적분공식을 적용하면, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

St = S0 exp(µt+ σWt) (3)

그러나, 식 (3)에 Ito-Doeblin보조정리를 적용하면, 다음 식을 얻는다.

dSt = µStdt+ σStdWt +1

2σ2Stdt (4)

따라서, St = S0 exp(µt+ σWt)는 주어진 확률미분방정식 (1)을 만족하지 못한다. 확률미

분방정식 (1)의 해의 다른 후보로서 다음과 같은 St를 살펴보자.


2σ2]t+ σWt

)(5)

식 (5)에 Ito-Doeblin보조정리를 적용해서, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

dSt = St

[µ− 1

2σ2]dt+ σStdWt + St

[1

2σ2]dt = µStdt+ σStdWt (6)

즉, 확률미분방정식 (1)이 만족된다. 따라서, 식 (5)의 St가 주어진 확률미분방정식 (1)의

해이다. 이 해 St는 Wt에 의존하고 있으며 또한 It-적합이다. 따라서, 식 (5)의 St

는 강해이다.

10.2.3 확률미분방정식의 해와 마팅게일

확률미분방정식의 해와 마팅게일은 밀접한 관계가 있다. 우선 다음 예제를 살펴보자.

예제 10.2.5 표준Brown운동 Wt에 대해서, Et(eσWT )를 구해 보자.

첫째로,WT 의 확률밀도함수를 이용해서 이 조건부기대값 Et(eσWT )를 구하자. 다음 식이

성립한다.

Et(eσWT ) =

∫ ∞

−∞eσWT f(WT |Wt) dWT (1)

Brown운동의 정의에서 알 수 있듯이, 식WT −Wt ∼ N (0, T − t)이 성립한다. 따라서, 다음



WT |Wt = [WT −Wt] +Wt |Wt ∼ N (Wt, T − t) (2)

즉, 조건부확률밀도함수 f(WT |Wt)의 평균은 Wt이고 분산은 T − t이다. 따라서, 정규확률

변수의 적률모함수를 사용해서 다음 식을 증명할 수 있다.

Et(eσWT ) = exp

(σWt +

1

2σ2[T − t]

)(3)

둘째로, 확률미적분의 특성을 살려서 이 조건부기대값 Et(eσWT )를 구하자. 다음 식을

만족하는 Black-Scholes확률과정 St를 살펴보자.


<예제 10.2.4>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

ST = S0 exp([µ− 1

2σ2]T

)exp(σWT ) (5)

확률변수 zt.= exp(σWt)를 정의하자. 이 방법의 기본적인 사고는 Wt의 비선형표현을 zt의

선형표현으로 변환하는 것이다. Ito-Doeblin보조정리에 의해서, 다음 식들이 성립함을 알 수

있다.

dzt = σeσWt dWt +1

2σ2eσWt dt = σ zt dWt +

1

2σ2zt dt (6)

식 (6)에 대응하는 적분방정식은 다음과 같다.

zt = z0 + σ

∫ t

0zu dWu +

1

2σ2∫ t

0zu du (7)

식 (7)은 zt에 관한 선형적분방정식이다. 식 (7)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

E(zt) = 1 +1

2σ2∫ t

0E(zu)du (8)


여기서 등호는 다음 식들에 의해서 성립한다.

E(z0) = E (exp(σW0)) = E(exp(0)) = 1 (9)

E

(∫ t

0zu dWu

)=

∫ t

0E(zu)E(dWu) = 0 (10)

식 (10)에서는 Brown운동의 증분이 과거와는 독립이라는 성질이 이용되었다. 식 xt.= E(zt)

를 식 (8)에 적용하면, 다음 식이 성립한다.

xt = 1 +1

2σ2∫ t

0xudu (11)

식 (11)의 양변을 t로 미분하면, 다음 식이 성립한다.

dxtdt

=1

2σ2xt (12)

여기서 초기조건은 x0 = E(z0) = 1이다. 결정적 미분방정식 (12)의 해는 다음과 같다.

E(zt) = xt = exp(1

2σ2t

)(13)


Et(eσWT ) = Et(e

σWT−σWt)EσWt = Et(eσWT−t)eσWt

= Et(zT−t)EσWt = exp

(1

2σ2[T − t]

)eσWt (14)


Et(eσWT ) = exp

(σWt +

1

2σ2[T − t]

)(15)

다음 예제는 확률미분방정식의 해가 마팅게일이 되는 예이다.


예제 10.2.6 다음 식을 만족하는 Black-Scholes확률과정 St를 살펴보자.

dSt = rStdt+ σStdWt, (t ≥ 0) (1)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 이 확률미분방정식에서는 추세모수로 µ 대신 r을

사용하였다. <예제 10.2.4>에서 알 수 있듯이, 확률미분방정식 (1)의 강해는 다음과 같은

기하Brown운동 St이다.

St = S0 exp([r − 1

2σ2]t+ σWt

)(2)

미래시점 T (> t)에서 가격 ST 는 시점 t에서 미지이고, 시점 t에서 ST 의 최량예측은 조건부

기대값 Et(ST )이다. 금융자산가격이론에서 다음과 같은 마팅게일식의 성립 여부는 중요한

관심사이다.

St = e−r[T−t]Et(ST ) (3)

식 (3)은 시점 t에서 미래시점 T의 기대가격 Et(ST )의 할인가격 e−r[T−t]Et(ST )와 현재가격

St가 같다는 것이다.

지금부터, Et(ST )를 계산하기로 하자. 식 (2)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

Et(ST ) = S0 exp([r − 1

2σ2]T

)Et(e

σWT ) (4)

<예제 10.2.5>에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

Et(ST ) = S0 exp([r − 1

2σ2]T

)exp

(1

2σ2[T − t]

)eσWt

= S0 exp([r − 1

2σ2]t+ σWt

)er[T−t] = Ste

r[T−t] (5)

여기서세번째등호는식 (2)에의해서성립한다. 따라서, 임의의시점에서식 (3)이성립한다.

즉, e−rtSt는 마팅게일이다.


제10.3절 여러 확률미분방정식들

앞에서도 자주 언급하였듯이, 확률미분방정식을 풀 때 사용되는 가장 주된 도구는 <정리

9.6.1>의 Ito-Doeblin보조정리이다. 이를 다시 기술하면 다음과 같다. 함수 F (St, t)가 St

에 대해서 2번 편미분가능하고 t에 대해서 1번 편미분가능하며, 또한 확률과정 St가 다음

확률미분방정식을 만족한다고 하자.

dSt = µ(St, t)dt+ σ(St, t)dWt, (t ≥ 0) (10.3.1)

여기서 Wt는 표준Brown운동이고, µt = µ(St, t)와 σt = σ(St, t)는 각각 식 (10.1.3)과 식

(10.1.4)를 만족하는 추세계수와 확산계수이다. 이러한 조건 하에서, 다음 식들이 성립한다.

F (St, t)− F (S0, 0) =

∫ t

0FSdSu +

∫ t

0

[Fu +

1

2σwu FSS

]du (10.3.2)

F (St, t)− F (S0, 0) =

∫ t

0

[Fu + µuFS +

1

2σ2uFSS

]du+

∫ t

0σuFSdWu (10.3.3)

여기서 등호들은 평균제곱의 의미에서 성립한다. 이 절에서는 이 Ito-Doeblin보조정리를

사용해서 확률미분방정식을 푸는 예들을 살펴보자.

10.3.1 확산계수가 결정적인 확률미분방정식

우선 확산계수가 결정적인 확률미분방정식들 중에서 간단한 형태를 살펴보자.

정리 10.3.1

다음 확률미분방정식을 살펴보자.

dSt = [µ1(t)St + µ0(t)]dt+ σ(t)dWt, (t ≥ 0)

여기서 Wt는 표준Brown운동이고, S0는 주어진 값이며, 또한 µ0(t), µ1(t)와 σ(t)는

결정적 함수들이다. 이 방정식의 일의적인 해 St는 다음 식을 만족한다.

St = ey(t)[S0 +

∫ t

0µ0(u)e

−y(u) du+

∫ t

0σ(u)e−y(u) dWu

], (t ≥ 0)

여러 확률미분방정식들 501

여기서 y(t).=∫ t0 µ1(u)du이다. 또한, 다음 식이 성립한다.

St ∼ N(ey(t)

[S0 +

∫ t

0µ0(u)e

−y(u) du

], e2y(t)

∫ t

0σ2(u)e−2y(u) du

)

증명. 이 확률미분방정식은 확률미분방정식 (10.3.1)의 특별한 경우이다. 즉, 다음 식들이

성립한다.

µt = µ1(t)St + µ0(t), σt = σ(t) (1)

함수 F (St, t).= e−y(t)St를 정의하자. 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

Ft = −µ1(t)F, FS = e−y(t), FSS = 0 (2)


Ft + µtFS +1

2σ2tFSS = µ0(t)e

−y(t) (3)


e−y(t)St − S0 = F (St, t)− F (S0, 0)

=

∫ t

0µ0(u)e

−y(u) du+

∫ t

0σ(u)e−y(u) dWu (4)

여기서 두 번째 등호는 식 (3)에 의해서 성립한다. 따라서, 이 확률미분방정식의 해 St는


St = ey(t)[S0 +

∫ t

0µ0(u)e

−y(u) du+

∫ t

0σ(u)e−y(u) dWu

], (t ≥ 0) (5)

여기서 우변의 괄호 안 첫 번째 항과 두 번째 항은 결정적이다. 또한, 세 번째 항은 Wiener

적분이다. <정리 9.4.2>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

∫ t

0σ(u)e−y(u) dWu ∼ N

(0,

∫ t

0σ2(u)e−2y(u) du

)(6)



St ∼ N(ey(t)

[S0 +

∫ t

0µ0(u)e

−y(u) du

], e2y(t)

∫ t

0σ2(u)e−2y(u) du

)(7)

지금부터는이해가일의적이라는것을증명하자. 만약이확률미분방정식의다른해 S∗t

가 존재하면, 확률변수 zt.= St − S∗

t 를 정의하자. 주어진 확률미분방정식에서 다음 식들이

성립함을 알 수 있다.

dzt = µ1(t) zt dt, (t ≥ 0), z0 = 0 (8)

우리는 이 확률미분방정식의 강해를 구하고자 한다. 따라서, Brown운동 Wt는 주어진

것임을 기억하라. 결정적 미분방정식 (8)의 해는 다음과 같다.

zt = z0 exp(∫ t

0µ1(u)du

)(9)

이 해는 일의적이다. 또한 z0 = 0이므로 zt ≡ 0이다. 따라서, St ≡ S∗t 이다. 즉, 주어진

확률미분방정식의 해는 일의적으로 존재한다.

10.3.2 선형Brown운동

확률미분방정식에서가장간단한경우는다음과같이추세계수와확산계수가시점에의존하지

않는 상수들인 것이다.

dSt = µdt+ σdWt, (t > 0) (10.3.4)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 이 확률미분방정식에서 추세계수 µ와 확산계수 σ는

시점 t를첨자로갖지않는다. 따라서, 이들은정보집합 It에의존하지않는다. 확률미분방정식

(10.3.4)는 <정리 10.3.1>의 확률미분방정식에서 µ1(t) = 0, µ0(t) = µ, 그리고 σ(t) = σ인

경우이다. <정리 10.3.1>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

St = S0 + µt+ σWt (10.3.5)

이 St | t ≥ 0를선형Brown운동이라부른다. 선형Brown운동은다음과같은특징을갖는다.


첫째, 선형Brown운동 St는 모든 실수값을 취할 수 있다. 즉, 음수를 취할 수도 있다. 따라

서, 선형Brown운동은 비음인 금융자산가격에 대한 모형으로는 적합하지 않다.

둘째, 만약 S0가 주어지면, 식 St ∼ N (S0 + µt, σ2t)이 성립한다.

셋째, 선형Brown운동 St의 확률증분은 서로 독립이다.

10.3.3 Black-Scholes확률과정

금융자산가격의 모형화에 자주 이용되는 확률과정은 선형Brown운동이 아닌 지수Brown

운동이다. 다음 확률미분방정식을 살펴보자.

dSt = µStdt+ σStdWt (10.3.6)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 앞에서도 언급했듯이, 확률미분방정식 (10.3.6)의

해를 Black-Scholes확률과정이라고 한다. 이 확률미분방정식의 추세계수 µ(St, t) = µSt와

확산계수 σ(St, t) = σSt는 시점 t에서 이용가능한 정보집합 It에 의존하고 있다. 식 (10.3.6)

의 양변을 St로 나누면, 다음 식이 성립한다.

dStSt

= µdt+ σdWt (10.3.7)

따라서, 추세계수와 확산계수 각각의 St에 대한 비율은 시간에 대해 불변인 상수들이다.

확률미분방정식 (10.3.6)은 식 (10.3.1)에서 µt = µSt이고 σt = σSt인 경우이다. <예제

10.2.4>에서 알 수 있듯이, 확률미분방정식 (10.3.6)의 해 St는 다음 식을 만족한다.


2σ2]t+ σWt

)(10.3.8)


lnSt = lnS0 +[µ− 1

2σ2]t+ σWt (10.3.9)

식 (10.3.9)에서 lnSt가 선형Brown운동이라는 것을 알 수 있다. Black-Scholes확률과정의

특징은 다음과 같다.

첫째, 만약 S0 > 0이면, 각 t(> 0)에 대해서 St는 비음이다.


둘째, 만약 S0 > 0이 주어지면, 다음 식이 성립한다.

lnSt ∼ N(

lnS0 +[µ− 1

2σ2]t, σ2t

)

즉, St는 대수정규확률분포를 따른다. 따라서, 다음 식들이 성립한다.

E(St) = S0eµt, V ar(St) = S2

0e2µt[eσ

2t − 1]

이 식들에서 알 수 있듯이, V ar(St)는 E(St)의 제곱에 비례한다.

우리가 다루는 금융자산가격 St들 중에는 부등식 St > 0를 만족하며 또한 기대수익률이

상수인 경우가 많다. 이러한 금융자산가격은 위에 기술한 Black-Scholes확률과정의 특징들을

만족한다. Black-Scholes확률과정은 지수적인 추세성분과 이 추세성분 주위를 움직이는 확률

적성분으로이루어진다. 만약식 µ > 0이성립하면, 시간이경과함에따라이금융자산가격의

기대값은 증가하고 또한 확률적 변동의 폭도 커진다.

선형Brown운동과 비교했을 때, Black-Scholes확률과정의 실용적 중요성은 무엇일까? 모

수들이상수인선형Brown운동은선형추세선의주변에서확률적변동을하는금융자산가격을

나타내지만, 이 Black-Scholes확률과정은 지수적 추세선 주변에서 확률적 변동을 하는 금융

자산가격을 나타낸다. 일반적인 금융자산가격의 경우에는 지수적 추세선이 더 현실적이다.

확산계수가 St에비례하는것이현실적일까? 이러한 Black-Scholes확률과정에서는시점 tk와

시점 tk+1 사이에서 확률증분의 분산 V ar(Stk+1− Stk)는 Stk 의 제곱에 비례해서 증가한다.

그러나, 이것은 St에 지나치게 큰 분산을 부여하는 경우도 있다.

10.3.4 Brown다리

Brown다리를 다시 살펴보기 위해서, 우선 다음과 같은 극한정리를 살펴보자.

보조정리 10.3.1

연속함수 h(t)에 대해서 다음 식이 성립한다.

limt→T

[T − t]

∫ t

0

h(s)

[T − s]2ds = h(T )


증명. 부등식 T − t < δ1을 만족하는 양수 δ1을 선택한다. 함수 h(t)가 연속이므로, 다음 식이

성립한다.

limt→T

[T − t]

∫ T−δ1

0

h(s)

[T − s]2ds = 0 (1)

일반성을 잃지 않고, 식 h(T ) ≥ 0이 성립한다고 가정할 수 있다. 함수 h(t)가 연속이므로,

양수 ϵ > 0에 대해서 다음 명제를 만족하는 δ2 > 0가 존재한다.

s ∈ [T − δ2, T ] ⇒ |h(s)− h(T )| < ϵ (2)

상수 δ+.= min δ1, δ2 를 정의하자. 다음 식들이 성립한다.

[T − t]

∫ t

T−δ+

h(s)

[T − s]2ds < [T − t][h(T ) + ϵ]

∫ t

T−δ+

1

[T − s]2ds

= [T − t][h(T ) + ϵ]

[1

T − t− 1

δ+

]< h(T ) + ϵ (3)

같은 방법을 사용해서, 다음 식을 만족하는 δ−가 존재함을 증명할 수 있다.

h(T )− ϵ < [T − t]

∫ t

T−δ−

h(s)

[T − s]2ds (4)

상수 δ.= min(δ+, δ−)를 정의하자. 식 (3)과 식 (4)에서 알 수 있듯이, 다음 명제가 성립한다.

∣∣∣∣[T − t]

∫ t

T−δ

h(s)

[T − s]2ds− h(T )

∣∣∣∣ < ϵ (5)


limt→T

[T − t]

∫ t

0

h(s)

[T − s]2ds

= limt→T

[T − t]

∫ T−δ

0

h(s)

[T − s]2ds+ lim

t→T[T − t]

∫ t

T−δ

h(s)

[T − s]2ds

= h(T ) (6)


예제 10.3.1 다음 식을 만족하는 확률과정 St를 살펴보자.

dSt =b− StT − t

dt+ dWt, (0 ≤ t < T ), S0 = a (1)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 확률미분방정식 (1)은 식 (10.3.1)에서

µt = [b− St]/[T − t]이고 σt = 1인 경우이다. 다음 함수를 정의하자.

F (St, t).=

StT − t

(2)


Ft =St

[T − t]2, FS =

1

T − t, FSS = 0 (3)


Ft + µtFS +1

2σ2t FSS =

b

[T − t]2(4)

식 (4)와 식 (10.3.3)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

F (St, t)− F (S0, 0) =

∫ t

0

b

[T − u]2du+

∫ t

0

1

T − udWu (5)


StT − t

− S0T

=b

T − u

∣∣∣∣t0

+

∫ t

0

1

T − udWu (6)

식 (6)은 다음 식과 동일하다.

St = a

[1− t

T

]+ b

t

T+ [T − t]

∫ t

0

1

T − udWu (7)


∫ t

0

1

T − udWu =

1

T − tWt −

1

TW0 −

∫ t

0

Wu

[T − u]2du

=1

T − tWt −

∫ t

0

Wu

[T − u]2du (8)



[T − t]

∫ t

0

1

T − udWu =Wt − [T − t]

∫ t

0

Wu

[T − u]2du (9)

Brown운동의 표본경로는 연속이므로, <보조정리 10.3.1>에서 알 수 있듯이, 다음 식이

성립한다.

limt→T

[T − t]

∫ t

0

Wu

[T − u]2du =WT (10)


limt→T

[T − t]

∫ T

0

1

T − udWu = 0 (11)


limt→T

St = b (12)

즉, St는 시간구간 [0, T ]에서 상태 a로부터 상태 b에 이르는 Brown다리이다.

<예제 10.3.1>의 확률미분방정식은 다음과 같다.

dSt =b− StT − t

dt+ dWt, (0 ≤ t < T ), S0 = a (10.3.10)

여기서는 Wt는 표준Brown운동이다. 이 확률미분방정식의 해 St는 다음 식을 만족한다.

St = a

[1− t

T

]+ b

t

T+ [T − t]

∫ t

0

1

T − udWu (10.3.11)

식 (10.3.11)의 확률과정 St는 시간구간 [0, T ]에서 상태 a로부터 상태 b에 이르는 Brown

다리이다. 즉, St는상태 a에서출발하여시간 t가흐른후에는상태 b에비율 tT 만큼다가서는

것을 나타낸다. 여기서 유의할 점은 시점 T에서 상태 b에 이르는 것은 극한이라는 것이다. <

예제 10.3.1>의 확률미분방정식을 사용해서 Brown다리로부터 표본경로를 생성할 수 있다.

예제 10.3.2 <예제 10.3.1>의 확률과정 St를 다시 살펴보자. 즉, 다음 확률미분방정식을


살펴보자.

dSt =b− StT − t

dt+ dWt, (0 ≤ t < T ), S0 = a (1)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 확률미분방정식 (1)은 <정리 10.3.1>의 확률미분방

정식에 다음 식들을 대입한 것이다.

µ1(t) =−1

T − t, µ0(t) =

b

T − t, σ(t) = 1, S0 = a (2)

<정리 10.3.1>의 표기법을 사용하면, 함수 y(t)는 다음과 같다.

y(t) =

∫ t

0µ1(s)ds = ln T − t

T(3)


ey(t) =T − t

T, e−y(t) =

T

T − t(4)

식 (2)∼식 (4)와 <정리 10.3.1>로부터, 확률미분방정식 (1)의 해 St가 다음 식들을 만족

함을 알 수 있다.

St = ey(t)[S0 +

∫ t

0µ0(u)e

−y(u) du+

∫ t

0σ(u)e−y(u) dWu

]=T − t

T

[a+ bT

∫ T

0

1

[T − u]2du+

∫ t

0

T

T − udWu

]= a

[1− t

T

]+ b

t

T+ [T − t]

∫ t

0

1

T − udWu

(5)

이 Brown다리 St는 다음 식을 만족한다.

St ∼ N(a

[1− t

T

]+ b

t

T, t− t2

T

)(6)


10.3.5 일반화된 확률미분방정식

<정리 10.3.1>의 모형을 좀더 일반화한 다음 확률미분방정식을 살펴보자.

dSt = [µ1(t)St + µ0(t)]dt+ [σ1(t)St + σ0(t)]dWt (10.3.12)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 확률미분방정식 (10.3.12)의 해를 구하기 전에, 다음

확률미분방정식을 살펴보자.

dUt = µ1(t)Utdt+ σ1(t)UtdWt (10.3.13)

먼저 확률미분방정식 (10.3.13)을 Ut에 관해서 풀고, 다음으로 확률미분방정식 (10.3.12)를

St에 관해서 풀기로 하자.

식 (10.3.1)의 표기법을 사용하면, 식 (10.3.13)에서 µt = µ1(t)Ut이고 σt = σ1(t)Ut이다.

<예제 10.2.4>와 같은 방법을 사용해서 다음 식을 유도할 수 있다.

Ut = U0 exp(∫ t

0

[µ1(u)−

1

2σ21(u)

]du+

∫ t

0σ1(u)dWu

)(10.3.14)

확률변수 F (Ut, t).= 1/Ut를 정의하자. 다음 식들이 성립한다.

Ft = 0, FU = − 1

U2t

, FUU =2

U3t

(10.3.15)


Ft + µtFU +1

2σ2tFUU = −µ1(t)

Ut+σ21(t)

Ut, σtFU = −σ1(t)

Ut(10.3.16)


d

[1

Ut

]= [−µ1(t) + σ21(t)]

1

Utdt− σ1(t)

1

UtdWt (10.3.17)

만약 x1,t = 1/Ut이고 x2,t = St라 놓으면, 식 (10.3.12)와 식 (10.3.17)에서 알 수 있듯이



dx1,t = [−µ1(t) + σ21(t)]x1,t dt− σ1(t)x1,t dWt (10.3.18)

dx2,t = [µ1(t)x2,t + µ0(t)]dt+ [σ1(t)x2,t + σ0(t)]dWt (10.3.19)

<정리 9.6.2>의 표기법에 의하면, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

µ1,t = [−µ1(t) + σ21(t)]x1,t, σ1,t = −σ1(t)x1,t (10.3.20)

µ2,t = µ1(t)x2,t + µ0(t), σ2,t = σ1(t)x2,t + σ0(t) (10.3.21)

식 (10.3.20), 식 (10.3.21)과 <따름정리 9.6.2>에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

d[x1,tx2,t] = x2,t dx1,t + x1,t dx2,t + σ1,tσ2,t dt

= [µ0(t)− σ1(t)σ0(t)]x1,t dt+ σ0(t)x1,t dWt (10.3.22)


d

[StUt

]= [µ0(t)− σ1(t)σ0(t)]

1

Utdt+ σ0(t)

1

UtdWt (10.3.23)


St = Ut

[S0U0

+

∫ t

0

µ0(u)− σ1(u)σ0(u)

Uudu+

∫ t

0

σ0(u)

UudWu

](10.3.24)

식 (10.3.24)에서 Ut가 주어졌음을 상기하라. 지금까지 내용을 정리하면, 다음과 같다.

정리 10.3.2

다음 확률미분방정식들을 살펴보자.

dUt = µ1(t)Utdt+ σ1(t)UtdWt

dSt = [µ1(t)St + µ0(t)]dt+ [σ1(t)St + σ0(t)]dWt

여기서 Wt는 표준Brown운동이고, S0와 U0는 주어진 값들이며, µ0(t), µ1(t), σ0(t)와

이자율모형과 확률미분방정식 511

σ1(t)는 결정적 함수들이다. 이 확률미분방정식들의 해는 다음과 같다.

Ut = U0 exp(∫ t

0

[µ1(u)−

1

2σ21(u)

]du+

∫ t

0σ1(u)dWu

)St = Ut

[S0U0

+

∫ t

0

µ0(u)− σ1(u)σ0(u)

Uudu+

∫ t

0

σ0(u)

UudWu

]

제10.4절 이자율모형과 확률미분방정식

10.4.1 이자율모형과 채권방정식

현물이자율 ru가 다음 확률미분방정식을 만족한다고 하자.

dru = γ(ru, u)du+ β(ru, u)dWQu , (u ≥ 0) (10.4.1)

여기서 WQu | u ≥ 0는 위험중립확률측도 Q 하에서 Brown운동이다. 만기시점 T 에서

지불금액이 B(T, T ) ≡ 1인 제로쿠폰채의 시점 t(≤ T )에서 무재정가치는 B(t, T )이다.

현물이자율 ru는 확률미분방정식 (10.4.1)을 만족하므로, ru는 Markov과정이다. 즉, 식

B(t, T ) = f(rt, t)을 만족하는 함수 f(·, ·)가 존재한다. IM&F12의 제5.7절에서 알 수 있듯

이, 함수 f는 다음 편미분방정식을 만족한다.

−rtf(rt, t) + ft(rt, t) + γ(rt, t)fr(rt, t) +1

2β2(rt, t)frr(rt, t) = 0 (10.4.2)

식 (10.4.2)에서 유의할 점은 현물이자율이 확률미분방정식 (10.4.1)을 만족하는 Ito확산과정

이라는 것이다. 제로쿠폰채의 만기시점 T에서 가격은 1이므로, 말기조건은 다음과 같다.

f(rT , T ) = 1, (rT ∈ (0, 1)) (10.4.3)

10.4.2 Vasicek모형

다음과 같은 Ornstein-Uhlenbeck의 확률미분방정식을 살펴보자.

dSt = −γStdt+ σdWQt , (γ > 0, σ > 0) (10.4.4)


여기서 WQt 는 표준Brown운동이다. 가정에 의해서 γ > 0이므로, 추세항은 −γ에 의해

St의 반대방향으로 향한다. 또한, 확산계수는 상수이다. 이 확률과정은 0 주위를 변동하는

금융자산가격을 나타내는데 이용할 수 있다. 이 확률과정은 장기적으로 평균 0으로 회귀하는

형태를 나타낸다. 모수 γ는 각 시점 t에서 St값이 평균에서 얼마나 떨어지는가를 나타낸다.

만약 γ가 크면, St는 곧 평균 쪽으로 되돌아간다. 확률미분방정식 (10.4.4)는 <정리 10.3.1>

의 확률미분방정식에 다음 식들을 대입한 것이다.

µ1(t) = −γ, µ0(t) = 0, σ(t) = σ (10.4.5)


St = e−γt

[S0 + σ

∫ t

0eγu dWQ

u

](10.4.6)

식 (10.4.4)를 약간 확장한 다음 확률미분방정식을 살펴보자.

dSt = −γ[St − µ]dt+ σdWQt (10.4.7)

이 St를 제안자인 Vasicek (1977)의 이름을 따서 Vasicek확률과정이라 부른다. 확률미분

방정식 (10.4.7)은 <정리 10.3.1>의 확률미분방정식에 다음 식들을 대입한 것이다.

µ1(t) = −γ, µ0(t) = γµ, σ(t) = σ (10.4.8)


St = e−γt

[S0 + γµ

∫ t

0eγu du+ σ

∫ t

0eγu dWQ

u

]= µ+ [S0 − µ]e−γt + σe−γt

∫ t

0eγu dWQ

u (10.4.9)


St ∼ N(µ+ [S0 − µ]e−γt, σ2

[1− e−2γt

2γ

])(10.4.10)

만약 t → ∞이면, 식 e−γt → 0가 성립한다. 따라서, 극한 t → ∞에서 확률분포인 정상분포


(stationary distribution)는 다음과 같다.

S∞ ∼ N(µ,σ2

2γ

)(10.4.11)

즉, µ는 St의 장기적 기대값이다. 이 Vasicek확률과정은 다음과 같은 특징을 지니고 있다.

첫째, 식 (10.4.7)은 St > µ인 경우에는 dSt < 0이고, St < µ인 경우에는 dSt > 0라는

오류수정 메커니즘이 작용하고 있음을 나타낸다. 즉, Vasicek확률과정은 평균 µ로

돌아가려고 하는 평균복귀과정(mean reverting process)이다. 일반적으로 조정계수 γ

는 양수이다. 식 (10.4.9)에서 알 수 있듯이, γ가 클수록 St와 장기적 기대값 µ 사이의

차이 St − µ가 빠르게 조정된다.

둘째, 확률변수 St의 평균과 분산을 각각 µ(t)와 σ2(t)라 하자. 즉, 다음 함수들을 정의하자.

µ(t).= µ+ [S0 − µ]e−γt, σ2(t)

.=σ2

2γ[1− e−2γt]


Pr(St < 0 | S0) = Pr(St − µ(t)

σ(t)<

0− µ(t)

σ(t)

∣∣∣∣ S0) = N

(−µ(t)σ(t)

)

이 식의 우변이 항상 양수이므로, 확률변수 St가 음의 값을 취할 가능성이 있다. 만약

변동계수 (coefficient of variation) σ(t)/µ(t)가 크면, St가 음의 값을 취할 가능성이

높다.

예제 10.4.1 현물이자율 rt가 다음과 같은 Vasicek의 확률미분방정식으로 표현된다고 가정

하자.

drt = −γ[rt − µ]dt+ σdWQt , (γ > 0, σ > 0) (1)

여기서 WQt 는 표준Brown운동이다. 확률미분방정식 (1)은 식 (10.4.1)에 다음 식들을

대입한 것이다.

µt = γµ− γrt, σt = σ (2)


채권가격을 B(rt, t)라 하면, Ito-Doeblin보조정리에 의해서 다음과 같은 채권가격의 확률

미분방정식이 성립한다.

dB =

Bt + [γµ− γrt]Br +

1

2σ2Brr

dt+ σBrdW

Qt (3)

여기서 Bt =∂B∂t 이다. 다음 함수들을 정의하자.

µB(rt, t).=

1

B

Bt + γ[µ− rt]Br +

σ2

2Brr

, σB(rt, t)

.=

1

BσBr (4)


dB

B= µB(rt, t)dt+ σB(rt, t)dW

Qt (5)

식 (5)에서 µB(rt, t)와 σB(rt, t)는 각각 dB/B의 추세계수와 확산계수이다.

만기시점이다른채권들로헤지(hedge)를하기위해서, 만기시점이 T1인채권을 V1원어치

구입하고 만기시점이 T2인 다른 채권을 V2원어치 파는 포트폴리오를 구성하자. 다음 식들이

성립한다.

dV1 = V1µB(rt, t, T1)dt+ V1σB(rt, t, T1)dWQt (6)

dV2 = V2µB(rt, t, T2)dt+ V2σB(rt, t, T2)dWQt (7)

여기서 µB(rt, t, T )와 σB(rt, t, T )는만기시점이 T인채권의추세계수와확산계수를나타낸다.

다음 표기법을 사용하기로 하자.

µ1.= µB(rt, t, T1), µ2

.= µB(rt, t, T2) (8)

σ1.= σB(rt, t, T1), σ2

.= σB(rt, t, T2) (9)

이포트폴리오의가치를 V.= V1−V2라고하자. 시간간격 dt에서포트폴리오 V 의가치변화를

다음과 같이 나타낼 수 있다.

dV = dV1 − dV2 = [V1µ1 − V2µ2]dt+ [V1σ1 − V2σ2]dWt (10)

식 (10)에서 확률적 변동항 [V1σ1−V2σ2]dWt를 제거하기 위해서, V1σ1 = V2σ2라 놓자. 다음


연립방정식이 성립한다.

V = V1 − V2, V1σ1 − V2σ2 = 0 (11)

이 연립방정식의 해는 다음과 같다.

V1 =σ2

σ2 − σ1V, V2 =

σ1σ2 − σ1

V (12)


dV =V

σ2 − σ1[µ1σ2 − µ2σ1]dt (13)

포트폴리오 V 에는 확률적 위험이 없다. 따라서, 무재정시장에서 이 포트폴리오의 수익률은

무위험이자율과 rt와 같아야 한다. 즉, 다음 식이 성립한다.

dV

V= rtdt (14)


1

σ2 − σ1[µ1σ2 − µ2σ1] = rt (15)


µ1 − rtσ1

=µ2 − rtσ2

(16)

식 (16)은 임의의 만기시점들 T1과 T2에 대해서 성립한다. 따라서, 식 (16)을 만기시점에

무관한 공통 비율로 나타낼 수 있다. 다음 함수를 정의하자.

λ(rt, t).=µB(rt, t)− rtσB(rt, t)

(17)

이 λ(rt, t)를위험의시장가격(market price of risk)이라부른다. 만약 σB(rt, t)를위험이라고

하면, 위험의 시장가격 λ(rt, t)는 위험 1단위당 채권의 초과기대수익률이다.


예제 10.4.2 채권의 액면가에 대한 연간 배당지불 (payout)의 비율을 쿠폰율 (coupon rate)

이라 한다. 쿠폰율이 0인 채권을 제로쿠폰채(zero coupon bond) 또는 무이표채라고 한다.

지금부터는 현물이자율과 같은 수익률을 갖는 제로쿠폰채를 만들어 보자.

<예제 10.4.1>의 식 (17)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

µB(rt, t) = rt + λ(rt, t)σB(rt, t) (1)

<예제 10.4.1>의 식 (4)에서 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

µB(rt, t) =1

B

Bt + γ[µ− rt]Br +

σ2

2Brr

(2)

σB(rt, t) =1

BσBr (3)

여기서 Bt = ∂B∂t 이고 Br = ∂B

∂rt이다. 식 (1)에 식 (2)와 식 (3)을 대입하면, 다음과 같은

제로쿠폰채의 가치평가식을 얻는다.

Bt +σ2

2Brr + [γµ− γrt − λσ]Br − rB = 0 (4)

편미분방정식 (4)의 해가 다음과 같은 형태로 주어진다고 가정하자.

B∗ .= B∗(rt, t, T ) = exp (a(t, T )− b(t, T )rt ) (5)

식 (5)로부터 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

B∗t =

∂B∗

∂t=

[∂a

∂t− ∂b

∂trt

]B∗ (6)

B∗r =

∂B∗

∂rt= −bB∗ (7)

B∗rr =

∂2B∗

∂r2t= −b∂B

∗

∂rt= b2B∗ (8)

여기서 a = a(t, T )이고 b = b(t, T )이다. 식 (6)∼식 (8)을 제로쿠폰채의 가치평가식 (4)에

대입하면, 다음 식을 얻는다.

∂a

∂t− [γµ− λσ]b+

σ2

2b2−[∂b

∂t− γb+ 1

]rt = 0 (9)


식 (9)가 성립하기 위한 충분조건은 다음 두 결정적 미분방정식들이 성립하는 것이다.

da

dt+ [λσ − γµ]b+

σ2

2b2 = 0 (10)

db

dt− γb+ 1 = 0 (11)

만기시점 T에서 제로쿠폰채가격 B∗(rt, T, T )를 1로 표준화하면, 경계조건들 a(T, T ) = 0와

b(T, T ) = 0를 얻는다. 미분방정식 (11)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

1

b− 1γ

d

dt

[b− 1

γ

]= γ (12)

초기조건 b(T, T ) = 0를 이용하면, 미분방정식 (12)의 해가 다음과 같음을 알 수 있다.

b =1

γ

1− eγ[t−T ]

(13)

미분방정식 (10)의 해는 다음과 같다.

a = −∫ T

t

[λσ − γµ]b+

σ2

2b2ds (14)

식 (14)의 적분을 계산해서 정리하면, 다음 식을 얻는다.

B∗(rt, t, T ) = exp(1

γ[1− exp(−γ[T − t])]

[µ− λσ

γ− σ2

2γ2− rt

]−[µ− λσ

γ− σ2

2γ2

][T − t]− σ2

4γ3[1− exp(−γ[T − t])]2

) (15)

식 (15)에서알 수 있듯이, 만기시점 T인 제로쿠폰채의순간수익률의평균과표준편차가각각

다음과 같다.

µB∗(r, t, T ) = rt −λσ

γ1− exp(−γ[T − t]) (16)

σB∗(r, t, T ) =σ

γ1− exp(−γ[T − t]) (17)

<예제 10.4.1>의 식 (3)에 기술한 채권가격의 확률미분방정식과 이 예제의 제로쿠폰채의


가치평가식 (4)를 사용해서, 다음 식을 유도할 수 있다.

dB∗ − rtB∗ dt = σ

∂B∗

∂rt

[dWQ

t + λdt]

(18)

만약 식 (18)의 우변이 0이면, B∗t = B∗

0 exp(rt)이다. 이는 무위험채권가격이다. 그러나, 식

(18)의 우변은 0이 아니다. 왜냐하면, 만기시점이 T인 제로쿠폰채의 위험이 현물이자율보다

커야 하기 때문에, dB∗/B∗는 rtdt보다 커야 한다. 식 (18)의 우변은 확률항 dWt와 확정항

dt를 포함하고 있다. 확률항 dWt가 나타나는 것은 이 포트폴리오가 확률변동이라는 위험을

수반한다는 것이다. 이러한 위험이 있는 포트폴리오를 받아들이는 것에 대해서 λdt에 비례해

초과수익을 얻는다고 생각할 수가 있다. 따라서, 시장에서 결정되는 위험이란 의미로 λ를

위험의 시장가격이라 부른다.

10.4.3 Cox-Ingersoll-Ross모형

Vasicek의 확률미분방정식에서는 금융자산가격 St가 음의 값을 취할 가능성이 있다. 따라서,

이 확률미분방정식은 이자율모형으로서 적절하지 않다. 이 약점을 극복하기 위해서, Cox &

Ingersoll & Ross (1985)가 이자율모형으로 다음과 같은 확률미분방정식을 제안하였다. 이

모형을 CIR모형이라 부른다.

dSt = −γ[St − µ]dt+ σ√St dW

Qt , (γ > 0, µ > 0, σ > 0) (10.4.12)

여기서위험중립확률측도 Q하에서 WQt 는표준Brown운동이다. 확률미분방정식 (10.4.12)

의 확산계수는 St 그 자체가 아닌 St의 제곱근에 비례한다. 따라서, 확산항의 분산은 St

에 비례한다. 만약 St가 증가할 때 금융자산가격의 변동성이 지나치게 커지지 않으면, 이

CIR모형이 Black-Scholes모형보다 더 적절할 것이다. 확률미분방정식 (10.4.12)는 <정리

10.3.1>의확률미분방정식형태는아니다. 그러나 <정리 10.3.1>의틀에맞추면, 다음식들이

성립한다.

µ1(t) = −γ, µ0(t) = γµ, σ(t) = σ√St (10.4.13)

<정리 10.3.1>의 증명과 같은 방법을 사용해서, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

St = µ+ e−γt[S0 − µ] + σe−γt

∫ t

0

√Sue

γu dWQu (10.4.14)



E

(∫ t

0

√Sue

γu dWQu

)= 0 (10.4.15)


E(St) = µ+ e−γt[S0 − µ] (10.4.16)

만약 t→ ∞이면, E(St) = µ이다. 따라서, CIR모형 (10.4.12)의 µ는 St의 장기적 기대값이

다. Vasicek모형과마찬가지로, 식 (10.4.12)의추세항 −γ[St−µ]dt는오류수정메커니즘이다.

따라서, 이 CIR모형도 평균복귀과정을 나타낸다. 만약 γ(> 0)가 크면, 조정속도가 빠르다.

반대로, γ가 0에 접근할수록, 조정속도가 늦다. CIR모형은 다음과 같은 특징을 가지고 있다.

첫째, 확률변수 St는 비음이다. 만약 Feller조건 2µγ > σ2가 만족되면, 확률변수 St는 확률

1로 양수이다.

둘째, 만약 S0 > 0이면, St는 자유도가 2q+2이고 비중심모수(noncentral parameter)가 2u

인 비중심카이제곱분포를 따른다. 즉, St의 조건부확률밀도함수는 다음과 같다.

f(St | t, S0) = c e−u−v[vu

]q/2Iq(2

√uv), (S0 > 0, t > 0)

여기서 모수들은 다음과 같다.

c =2γ

σ2[1− e−γt], u = cS0e

−γt, v = cSt, q =2γµ

σ2− 1

또한, Iq(z)는 q차 제1종 수정Bessel함수로서 다음과 같다.

Iq(z).=

∞∑k=0

[z/2]2k+q

k!Γ(k + q + 1), (q > 0)

비중심카이제곱분포에 대해서는 SAS4TSA3 하권의 제11.4절을 참조하라.

셋째, 확률변수 St의 적률모함수는 다음과 같다.

MS(z) =

[c

c− z

]q+1

exp(

uz

c− z

), (z < c)


만약 S0가 주어지면, 다음 식들이 성립한다.

E(St) = µ+ [S0 − µ]e−γt

V ar(St) =S0σ

2

γe−γt[1− e−γt] +

µσ2

2γ[1− e−γt]2

따라서, St의정상분포(stationary distribution)의평균과분산은각각 µ와 µσ2/[2γ]

이다.

넷째, 만약 t → ∞이면, 식 u → 0와 식 c → 2γ/σ2이 성립한다. 따라서, 다음 식들이

성립한다.

MS(z) →[

2γ

2γ − σ2z

]q+1

=

[1− σ2

2γz

]−[q+1]

이MS(z)의 극한함수는 모수들이 (q+ 1, σ2/[2γ])인 감마확률분포의 적률모함수이다.

모수들이 (α, β)인 감마확률분포에서 α는 형태모수 (shape parameter)이고 β는 척도

모수 (scale parameter)이고, 이 감마확률분포의 평균은 αβ이고 분산은 αβ2이다.

다섯째, 이 제곱근모형에서 σ를 St의 변동성으로 해석할 수 없음을 유의하라. 그러나, 시장

에서는 관습적으로 σ를 St의 변동성이라 부른다.

예제 10.4.3 현물이자율과정 ru가 다음 CIR모형을 따른다고 가정하자.

dru = [a− bru]du+ σ√ru dW

Qu (1)

여기서 WQu | u ≥ 0는 위험중립확률측도 Q하에서 Brown운동이다. 식 (10.4.2)에서 알 수

있듯이, 식 (1)의 CIR모형을 따르는 시점 t에서 제로쿠폰채가치 f(rt, t) = B(t, T )는 다음

편미분방정식을 만족한다.

−rtf(rt, t) + ft(rt, t) + [a− brt]fr(rt, t) +1

2σ2rtfrr(rt, t) = 0 (2)

편미분방정식 (2)가 다음과 같은 형태의 해를 갖는다고 가정하자.

f(rt, t) = exp(−rtC(t, T )−A(t, T )), (t ∈ [0, T ]) (3)


따라서, 일드, 즉 평균수익률은 다음과 같다.

Y (t, T ) = − 1

T − tln f(rt, t) =

1

T − t[rtC(t, T ) +A(t, T )] (4)

식 (4)에서 알 수 있듯이, Y (t, T )는 rt의 아핀함수이다. 즉, 이 CIR모형은 아핀일드모형이다.

<예제 10.4.2>와 같은 방법을 적용하면, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

[−Ct(t, T ) + bC(t, T ) +

1

2σ2C2(t, T )− 1

]rt −At(t, T )− aC(t, T ) ≡ 0 (5)

식 (5)는 rt에 대해서 항등식이다. 따라서, 다음 식들이 성립한다.

− Ct(t, T ) + bC(t, T ) +1

2σ2C2(t, T )− 1 = 0 (6)

−At(t, T )− aC(t, T ) = 0 (7)

말기조건으로부터, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

C(T, T ) = 0, A(T, T ) = 0 (8)

지금부터는 미분방정식 (6)과 말기조건 (8)을 풀어서 C(t, T )를 구하기로 하자. 다음

함수를 정의하자.

ϕt.= exp

(1

2σ2∫ T

tC(u, T )du

)(9)


∫ T

tC(u, T )du =

2

σ2lnϕt (10)


C(t, T ) = − 2ϕt′

σ2ϕt(11)

Ct(t, T ) = − 2

σ2ϕt

′′ϕt − [ϕt′]2

ϕ2t= −2ϕt

′′

σ2ϕt+

1

2σ2C2(t, T ) (12)


식 (11)과 식 (12)를 식 (6)에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

ϕt′′ − bϕt

′ − 1

2σ2ϕt = 0 (13)

미분방정식 (13)의 일반해는 다음과 같다.

ϕt = a1 exp(λ1t) + a2 exp(λ2t) (14)

여기서 λ1과 λ2는 다음 특성방정식의 근들이다.

λ2 − bλ− 1

2σ2 = 0 (15)

이 특성근들은 다음과 같다.

λ1.=b+

√b2 + 2σ2

2, λ2

.=b−

√b2 + 2σ2

2(16)

따라서, 미분방정식 (13)의 일반해를 다음과 같이 쓸 수 있다.

ϕt =c1λ1

exp(−λ1τ)−c2λ2

exp(−λ2τ) (17)

여기서 τ = T − t이다. 다음 식이 성립한다.

ϕt′ = c1 exp(−λ1τ)− c2 exp(−λ2τ) (18)

식 (8)과식 (11)에서알수있듯이, 식 ϕT′ = 0가성립한다. 따라서, 식 (18)에서알수있듯이,


c1 = c2 (19)

식 (19)를 식 (17)에 대입하면, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

ϕt = c1 exp(−1

2bτ

)[ 12b− δ

14b

2 − δ2e−δτ −

12b+ δ

14b

2 − δ2eδτ

]

= c12

σ2exp

(−1

2bτ

)[b sinh(δτ) + 2δ cosh(δτ)] (20)


여기서 δ는 다음과 같다.

δ.=

1

2

√b2 + 2σ2 (21)


ϕt′ = −2c1 exp

(−1

2bτ

)sinh(δτ) (22)

식 (20)과 식 (22)를 식 (11)에 대입하면, 미분방정식 (6)의 해 C∗(t, T )가 다음과 같음을 알

수 있다.

C∗(t, T ) =sinh(γτ)

γ cosh(γτ) + 12b sinh(γτ)

(23)

식 (11)을 식 (7)에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

At(t, T ) =2aϕt

′

δ2ϕt(24)

식 (20)과 식 (22)를 식 (24)에 대입하면, 미분방정식 (7)의 해 A∗(t, T )가 다음과 같음을 알

수 있다.

A∗(t, T ) = −2a

σ2ln

γ exp(12bτ)

γ cosh(γτ) + 12b sinh(γτ)

(25)

식 (23)과식 (25)를식 (3)에대입하면, CIR모형에의한제로쿠폰채가치가다음과같음을

알 수 있다.

B(t, T ) = exp(−rtC∗(t, T )−A∗(t, T )), (t ∈ [0, T ]) (26)


10.4.4 Hull-White모형

현물이자율과정 ru가다음확률미분방정식을따른다고가정하자. 이러한모형을 Hull-White

이자율모형이라 부른다.

dru = [au − buru]du+ βudWQu , (u ≥ 0) (10.4.17)

여기서 WQu | u ≥ 0는 위험중립확률측도 Q 하에서 Brown운동이다. 추세계수는 다음과

같다.

γu = au − buru (10.4.18)

예제 10.4.4 만기시점이 T인 제로쿠폰채의 시점 t에서 무재정가치를 f(rt, t) = B(t, T )라

하자. 식 (10.4.2)에서 알 수 있듯이, 시점 t에서 제로쿠폰채가치 f(rt, t)는 다음 편미분방정

식을 만족한다.

−rtf(rt, t) + ft(rt, t) + [at − btrt]fr(rt, t) +1

2β2t frr(rt, t) = 0 (1)

편미분방정식 (1)의 해가 다음과 같은 형태를 취한다고 가정하자.

f(rt, t) = exp(−rtC(t, T )−A(t, T )), (t ∈ [0, T ]) (2)

시간구간 [t, T ]에서 일드 Y (t, T ), 즉 평균수익률은 다음과 같다.

Y (t, T ).= − 1

T − tln f(rt, t) =

1

T − t[rtC(t, T ) +A(t, T )] (3)

따라서, 일드 Y (t, T )는 현물이자율 rt의 아핀함수 (affine function)이다. 즉, 이 Hull-White

이자율모형도 아핀일드모형이다. 식 (2)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

ft(rt, t) = [−rtCt(t, T )−At(t, T )]f(rt, t) (4)

fr(rt, t) = −C(t, T )f(rt, t) (5)

frr(rt, t) = C2(t, T )f(rt, t) (6)


식 (4)∼식 (6)을 편미분방정식 (1)에 대입하면, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

[−Ct(t, T ) + btC(t, T )− 1]rt −At(t, T )− atC(t, T ) +1

2β2tC

2(t, T ) ≡ 0 (7)

식 (9)는 rt에 대해서 항등식이다. 따라서, 다음 식들이 성립한다.

− Ct(t, T ) + btC(t, T )− 1 = 0 (8)

−At(t, T )− atC(t, T ) +1

2β2tC

2(t, T ) = 0 (9)

다음 말기조건이 성립한다.

f(rT , T ) = 1, (rT ∈ (0, 1)) (10)


C(T, T ) = 0, A(T, T ) = 0 (11)


exp(−∫ s

tbudu

)Ct(t, T ) +

d

dt

[exp

(−∫ s

tbudu

)]C(t, T ) = exp

(−∫ s

tbudu

)(12)


d

dt

[exp

(−∫ s

tbudu

)Ct(t, T )

]= exp

(−∫ s

tbudu

)(13)

미분방정식 (13)과 말기조건 (11)을 만족하는 해 C∗(t, T )는 다음과 같다.

C∗(t, T ) =

∫ T

texp

(−∫ s

tbudu

)ds (14)

식 (14)를식 (9)에대입한다음, 말기조건 (11)을적용하면, 다음과같은해 A∗(t, T )를얻는다.

A∗(t, T ) =

∫ T

t

[a(s)C∗(s, T )− 1

2β2(s)[C∗(s, T )]2

]ds (15)

식 (14)와 식 (15)를 식 (2)에 대입하면, 다음과 같은 Hull-White이자율모형에 의한 제로쿠


폰채가치를 얻는다.

B(t, T ) = exp(−rtC∗(t, T )−A∗(t, T )), (t ∈ [0, T ]) (16)

제11장

Black-Scholes방정식

파생상품의 가치를 평가할 때는 주로 다음과 같은 두 가지 방법이 사용된다. 하나는 이 장에서

다룰 편미분방정식을 이용하는 방법이고, 다른 하나는 제12장에서 다루게 될 마팅게일을

이용하는 방법이다. 이 두 가지 방법들의 배경이 되는 수학은 매우 다르지만, 당연한 말이지만

이 방법들은 동일한 해를 제공한다. 이 해들의 동일성에 대해서는 IM&F12의 제5장을

참조하라.

제11.1절 Black-Scholes 방정식의 유도

파생상품의 가치평가에서 Black-Scholes방정식은 매우 중요한 역할을 한다. 이 절에서는

확률미분방정식으로부터 Black-Scholes방정식을 유도하는 두 가지 방법을 다루고자 한다.

근본적으로 이 방법들은 아주 비슷하다. 이렇게 비슷한 내용을 반복해서 설명하는 이유는

Black-Scholes방정식이 그만큼 중요하기 때문이다. 첫 번째 방법은 Black-Scholes식이 처음

세상에 소개된 것이고, 두 번째 방법은 첫 번째 방법에 금융개념을 추가한 것이다.

첫 번째 유도는 Black & Scholes (1973)에 의한 것이다. 만약 원자산 St의 증분 dSt를

나타내는 확률미분방정식을 알면, Ito-Doeblin보조정리를 사용해서 파생상품가치 F (St, t)의

증분 dF = dF (St, t)를구할수있다. 이과정의함의는 dF (St, t)와 dSt의불확실성이동일한

원인을 갖는다는 것이다. 확률미분방정식의 쇄신항이 이 확률적 변동들의 원인이다. 이렇게

dF (St, t)와 dSt의 불확실성 원인이 같다는 점을 이용해서, 무위험포트폴리오를 구축할 수

있다. 원자산과 파생상품으로 구성된 포트폴리오를 만들고, 이 포트폴리오의 시점 t에서 가치

527

528 제 11장 Black-Scholes방정식

Pt가 다음 식을 만족한다고 하자.

Pt = θ1,tF (St, t) + θ2,tSt (11.1.1)

여기서 θ1,t와 θ2,t는구입한파생상품과원자산의단위수들로서, 이들은원자산 St에의존하지

않는다고 가정하자. 또한 원자산 St가 다음 확률미분방정식을 만족한다고 가정하자.


여기서 Wt는 표준Brown운동이고, µt.= µ(St, t)는 추세모수이고, σt

.= σ(St, t)는 확산모

수이다. 파생상품가치 F (St, t)와 원자산 St는 시점 t의 함수들이므로, 이 포트폴리오가치 Pt

는 시간이 경과함에 따라 변화한다. 식 (11.1.1)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

dPt = θ1,t dF (St, t) + θ2,t dSt (11.1.3)

여기서 dF (St, t)와 dSt의 예측불가능한 성분들을 모두 확률미분방정식 (11.1.2)의 쇄신항

dWt에 기인한다. Ito-Doeblin보조정리를 이용해서, 다음과 같이 파생상품가치 F (St, t)에

관한 확률미분방정식을 구할 수 있다.

dF (St, t) =

[Ft + FS µt +

1

2FSS σ

2t

]dt+ FS σt dWt (11.1.4)

만약 F (St, t)를 알고 있다면, 이에 대응하는 편미분들 Ft, FS와 FSS를 구할 수 있고, 따라서

파생상품가치의 동적특성을 나타내는 확률미분방정식을 명시적으로 얻을 수 있다. 그러나,

현재로서는 F (St, t)의 형태를 알지 못한다. 우리의 목적이 이 F (St, t)를 구하는 것이다

지금부터 F (St, t)의 형태를 찾기로 하자. 확률미분방정식 (11.1.4)에서 알 수 있듯이,

파생상품가치의 증분 dF (St, t)는 원자산 St를 움직이는 Brown운동의 증분 dWt에 의해

확률적으로 움직인다. 따라서, 두 확률미분방정식들 (11.1.2)와 (11.1.4)에서 쇄신항들을 소

거하여, 무위험포트폴리오를 구축할 수 있다. 좀더 자세히 설명하면 다음과 같다. 무엇보다도

포트폴리오의 가중값들 θ1,t와 θ2,t를 결정하는 것은 시장참가자임을 유의하라. 시장참가자는

포트폴리오의 확률적 위험을 제거하기 위해서, 포트폴리오의 증분 dPt가 쇄신항 dWt와는

무관하도록, 즉 dPt가완전하게예측가능하도록, 가중값들 θ1,t와 θ2,t를결정한다. Ito-Doeblin

Black-Scholes 방정식의 유도 529

보조정리와 식 (11.1.3)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

dPt = θ1,t

[Ftdt+ FSdSt +

1

2FSSσ

2t dt

]+ θ2,tdSt

= θ1,t

[Ft +

1

2FSSσ

2t

]dt+ [θ1,tFS + θ2,t] dSt (11.1.5)

식 (11.1.5)에서 θ1,t와 θ2,t의값들은임의로결정할수있으므로, 다음과같은값들을선택하자.

θ1,t = 1, θ2,t = −FS (11.1.6)


dPt =

[Ft +

1

2FSSσ

2t

]dt (11.1.7)

정보집합 It 하에서 식 (11.1.7)의 우변은 확률항을 포함하지 않는다. 따라서, 각 시점 t에서

dPt는 완전히 예측가능한 증분이다. 이것은 포트폴리오 Pt가 무위험인 것을 의미한다.

한 가지 유의할 점은 옵션이나 옵션을 포함하는 비선형상품들에서 FS는 St의 함수라는

것이다. 따라서, θ2,t = −FS는원자산 St에의존한다. 이는가중값들 θ1,t와 θ2,t가원자산 St에

의존하지 않는다는 가정에 모순이다. 따라서 이 무위험포트폴리오는 수리적으로 만족스러운

것이 아니다. 이 문제를 제11.2절에서 다시 다루게 될 것이다.

식 (11.1.7)을 만족하는 포트폴리오는 무위험이다. 따라서, 이 시장모형에 재정이 없기

위해서는, 시간구간 (t, t + dt]에서 무위험채권가치의 증분과 이 포트폴리오가치의 증분은

같아야 한다. 만약 무위험이자율이 일정한 상수 r이고, 또한 만약 원자산에 배당지불(payout)

이 없다면, 시간구간 (t, t+ dt]에서 무위험수익은 rPtdt이다. 따라서, 다음 식이 성립한다.

rPtdt = Ftdt+1

2FSSσ

2t dt (11.1.8)

식 (11.1.8)의 양변에서 dt를 소거하고 식 (11.1.1)과 식 (11.1.6)을 적용하면, 다음 Black-

Scholes방정식을 얻는다.

−rF + rFSSt + Ft +1

2FSSσ

2t = 0, (0 ≤ t ≤ T ) (11.1.9)


만기시점 T에서 이 파생상품의 지불금액함수가 다음과 같다고 하자.

F (ST , T ) = G(ST , T ) (11.1.10)

여기서 G는 주어진 함수이다. 예를 들어, 행사가격이 K인 유럽형콜옵션의 지불금액함수는

다음과 같다.

F (ST , T ) = [ST −K]+ (11.1.11)

여기서 A.= maxA, 0이다. 식 (11.1.9)는 편미분방정식 (partial differential equation:

PDE)이고, 식 (11.1.10)은 이에 해당하는 말기조건 (terminal condition)이다. 식 (11.1.9)

와 식 (11.1.10)으로 구성된 경계값문제 (boundary value problem)를 풀어서 파생상품가치

F (St, t)를 구할 수 있다.

두 번째 유도는 Merton (1973)에 의한 것이다. 원자산을 δ단위만큼 판매한 대금으로

파생상품을 1단위 구입하면, 자산가치는 F (St, t)만큼 증가하고 동시에 Stδ만큼 하락하므로,

이 포트폴리오가치 Pt는 다음과 같다.

Pt = F (St, t)− Stδ (11.1.12)

앞에서와 마찬가지로, 원자산 St가 다음 확률미분방정식을 만족한다고 가정하자.


여기서 Wt는표준Brown운동이다. Ito-Doeblin보조정리를적용해서, 다음식들이성립함을

알 수 있다.

dF = dF (St, t) =

[Ft +

1

2σ2tFSS

]dt+ FSdSt (11.1.14)

시간구간 (t, t+ dt]에서 원자산 St에 관계없이 δ가 일정하다고 가정하자. 식 (11.1.12)로부터


dPt = dF − δdSt (11.1.15)

Black-Scholes 방정식의 유도 531

즉, 포트폴리오가치 변화량 dPt는 파생상품의 가치변화량 dF에서 원자산의 변화 dSt에 δ를

곱한 δdSt를 뺀 것이다. 식 (11.1.14)를 식 (11.1.15)에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

dPt =

[Ft +

1

2σ2tFSS

]dt+ [FS − δ] dSt (11.1.16)

식 (11.1.16)은 결정적 변동항[Ft +

12σ

2tFSS

]dt와 확률적 변동항 [FS − δ]dSt의 합이다. 이

확률적 변동항은 원자산의 증분 dSt에 의해 발생하고, 이 dSt는 표준Brown운동의 증분 dWt

에 따라 확률적으로 변동한다.

이 확률적 변동항은 포트폴리오의 위험성을 나타낸다. 이러한 확률적 위험을 제거하기

위해서, 다음 식이 성립한다고 가정하자.

δ =∂F

∂St(11.1.17)

이렇게 포트폴리오에서 확률적 위험을 제거하는 것을 헷징(hedging)이라 한다. 식 (11.1.17)

을 이용해서, 원자산 St와 파생상품가치 F (St, t)의 관계를 바탕으로 포트폴리오에서 위험을

완전히 제거하는 것을 델타헷징이라 한다. 콜옵션인 경우에, 주가 St가 상승하면 F (St, t)

도 상승한다. 이 상승비율인 ∂F/∂St단위만큼 원자산을 팔고 콜옵션 1단위를 구입하면, 이

포트폴리오는 무위험포트폴리오가 된다. 풋옵션인 경우에, 주가 St가 상승하면 F (St, t)는 하

락한다. 이 하락비율의절대값인 |∂F/∂St| 단위만큼원자산을팔고풋옵션 1단위를구입하면,

이 포트폴리오는 무위험포트폴리오가 된다. 이 비율 ∂F/∂St는 주가 St에 따라 변화하므로,

주가 St의변화에연동해서포트폴리오를연속적으로재조정해야무위험포트폴리오를얻는다.

이를 동적헷징(dynamic hedging)이라 한다.

식 (11.1.17)을 사용해서 델타헷징을 행하면, 식 (11.1.16)은 다음 식이 된다.

dPt =

[Ft +

1

2σ2tFSS

]dt (11.1.18)

이시장모형에는이자율 r로무제한차입과대출이가능한무위험채권이존재한다고가정한다.

무재정시장에서 이 무위험포트폴리오의 가격변화량 dPt는 포트폴리오가격 Pt와 같은 액수의

현금을 무위험채권에 투자할 때 얻어지는 수익과 같아야 한다. 즉, 다음 식이 성립한다.

dPt = Ptrdt (11.1.19)

식 (11.1.19)가 성립하지 않으면, 재정이 존재한다. 예를 들어, 만약 dPt > Ptrdt이면, 델타헷


징한무위험포트폴리오의수익률이무위험이자율 r보다크다. 따라서, 은행에서무위험이자율

r로 차입을 해서 이 무위험포트폴리오에 투자하면, 확실하게 수익을 얻는다. 즉, 재정이 존재

한다. 반대로, 만약 dPt < rPtdt이면, 델타헷징한 옵션을 팔아서 그 대금으로 무위험이자율

r인 무위험채권을 구입하면, 확실한 수익을 얻는다. 즉, 재정이 존재한다. 이와 같이, 시장에

재정이 존재하면, 매매를 통해서 재정은 곧 소멸하고 균형이 성립한다. 이 결과로 나타난 것이

식 (11.1.19)이다. 식 (11.1.18)과 식 (11.1.19)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

rPtdt =

[Ft +

1

2σ2tFSS

]dt (11.1.20)

식 (11.1.12)에 식 (11.1.17)을 대입하면, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

Pt = F (St, t)− FSSt (11.1.21)


[rF − rFSSt]−

[Ft +

1

2σ2tFSS

]dt = 0 (11.1.22)


−rF + rFSSt + Ft +1

2FSSσ

2t = 0, (0 ≤ t ≤ T ) (11.1.23)

식 (11.1.23)은 Black-Scholes방정식 (11.1.9)이다.

지금까지 Black-Scholes방정식을 유도하는 데 사용한 가정들을 정리하면, 다음과 같다.

첫째, 시장모형에 재정이 존재하지 않는다.

둘째, 시장모형에 거래비용, 옵션의 증거금 그리고 세금이 없다.

셋째, 시장모형에무위험이자율 r로무제한차입과대출이가능한무위험채권이존재한다.

여기서는 연속복리를 가정하므로, 초기에 B0를 투자하면 시점 t에서 이 무위험채권의

가격은 Bt = B0ert이다.

넷째, 확률적 위험을 제거하기 위해서 델타헷징을 한다.

Black-Scholes방정식의 해설 533

제11.2절 Black-Scholes방정식의 해설

제11.1절에서 Black-Scholes방정식을 유도할 수 있었던 근본적인 이유는 원자산의 확률증분

dSt와 파생상품가치의 확률증분 dF (St, t)가 동일한 쇄신항 dWt를 갖기 때문이다. 이들을 잘

조합하면 예측불가능한 항들을 소거할 수 있고, 결과적으로 포트폴리오가 무위험이 된다. 즉,

이렇게 선택된 무위험포트폴리오가치 Pt의 변동은 확률적이 아닌 결정적이다.

원자산과 파생상품으로 구성된 포트폴리오가치 Pt = θ1,tF (St, t) + θ2,tSt의 확률미분방

정식은 다음과 같다.

dPt = θ1,tdF (St, t) + θ2,tdSt (11.2.1)

확률미분방정식 (11.2.1)을 유도할 때, θ1,t와 θ2,t를 상수들로 간주하였다. 즉, 이 가중값들은

St에 의존하지 않는다고 가정하였다. 여기까지는 무위험포트폴리오를 유도하는 방법으로서

부적절한 점은 없는 것 같다.

실제 상황에서 포트폴리오의 가중값들 θ1,t와 θ2,t를 결정할 때 무슨 일이 일어나는지

살펴보자. 무위험포트폴리오를 구하기 위해서, 식 (11.1.6)에서 가중값들을 다음과 같이

선택했다.

θ1,t = 1, θ2,t = −FS (11.2.2)

이 가중값들을 선택함으로써 포트폴리오에서 예측불가능한 성분을 소거한다. 그러나, 이

러한 선택은 가중값들 θ1,t와 θ2, t가 상수들이라는 가정을 위반한다. 실제로, FS 는 St와 t

의 함수이기 때문에, 식 (11.2.2)의 θ2,t는 St에 의존한다. 따라서, 식 (11.2.2)의 가중값들을

포트폴리오에 대입한 다음 확률미분 dPt를 구하면, 완전히 다른 결과가 얻어진다. 식 (11.2.2)

를 포트폴리오가치 Pt에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

Pt = F (St, t)− FS(St, t)St (11.2.3)

식 (11.2.3)의 양변에 미분을 취하면, 다음 식이 성립한다.

dPt = dF (St, t)− [FSdSt + StdFS ] (11.2.4)


Ito-Doeblin보조정리에 의해서, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

dFS(St, t) = FStdt+ FSSdSt +1

2FSSSσ

2t dt (11.2.5)

지금부터는 St가 Black-Scholes확률과정이라고 가정하자. 즉, 다음 식이 성립한다고

가정하자.

dSt = µSt dt+ σSt dWt, (t ≥ 0) (11.2.6)

이 가정은 Black-Scholes방정식 (11.1.9)의 닫힌해를 구하는 데 필요한 가정이기도 하다. 식

(11.2.5)와 식 (11.2.6)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

dFS(St, t) = FStdt+ FSS [µSt dt+ σSt dWt] +1

2FSSSσ

2S2t dt

=

[FSt + µFSSSt +

1

2σ2FSSSS

2t

]dt+ σFSSSt dWt (11.2.7)


dPt = [dF (St, t)− FS dSt]

− St

[FSt + µFSSSt +

1

2σ2FSSSS

2t

]dt+ σFSSSt dWt

(11.2.8)

Black-Scholes방정식 (11.1.9)의 양변을 St로 편미분하면, 다음 식을 얻는다.

rFSSSt + FSt + σ2FSSSt +1

2σ2FSSSS

2t = 0 (11.2.9)


dPt = [dF (St, t)− FSdSt]− S2t FSS

[µ− r − σ2]dt+ σdWt

(11.2.10)

일반적으로 [µ − r − σ2]dt + σdWt = 0이다. 식 (11.2.10)에서 알 수 있듯이, 이러한 조건

하에서 다음 관계가 성립한다.

dPt = dF (St, t)− FSdSt (11.2.11)

편미분방정식 535

식 (11.2.11)에서알수있듯이, 이포트폴리오는자기금융조건을만족하지못한다. 따라서,

이무위험포트폴리오의구축방법은충분하지않으며, 포트폴리오에현금을추가하거나또는소

득(capital gain)을 공제하는 작업이 필요하다. 그러나, 지금까지 사용한 무위험포트폴리오를

이용한 방법으로도 (동치마팅게일측도를 사용해서 구한) 올바른 Black-Scholes방정식을 얻을

수있다. 이것을어떻게해석하면좋을까? 답은여분항 S2t FSS[µ−r−σ2]dt+σdWt에있다.

진짜확률측도 P 하에서 이 여분항의 기대값은 0이 아니다. 뒤에서 다루게 될 Girsanov정리에

의하면, 위험중립확률측도 Q 하에서 다음과 같은 새로운 Brown운동 WQt 를 정의할 수

있다.

dWQt

.= σdWt + [µ− r − σ2]dt (11.2.12)


EQ(S2t FSS σ∆Wt + [µ− r − σ2]δ) = EQ(S2

t FSS∆WQt ) ≃ 0 (11.2.13)

따라서, 작은 시간구간에서 이 포트폴리오에 의한 추가적 손익의 기대값은 0이다. 즉, 포트

폴리오는 평균적으로 자기금융조건을 만족한다. 여기서 기대값은 진짜확률측도 P 하에서가

아닌위험중립확률측도 Q하에서계산되는것임을명심하라. Carr & Jarrow (1990)가제시한

SLSG전략(Stop-Loss Start-Gain strategy)를 사용하면, 자기금융조건을 만족하지 못하는

포트폴리오로부터 Black-Scholes식을 유도할 수 있다.

제11.3절 편미분방정식

11.3.1 Black-Scholes방정식과 편미분방정식

무위험포트폴리오를 구축해서 파생상품의 무재정가치를 구하는 과정에서 편미분방정식

(partial differential equation: PDE)이 도출된다. 일반적으로 이 편미분방정식을 구축하는

방법은 간단하다. 특히, Feynman-Kac정리를 사용해서 편미분방정식을 유도하는 과정은 원

리만 이해하면 쉽게 응용할 수 있다. 그러나, 이에 대응하는 편미분방정식을 푸는 것이 복잡한

경우가 많다. Feynman-Kac정리에 관한 자세한 내용은 IM&F12의 제5장을 참조하라. 이

절에서는 편미분방정식을 푸는 방법에 대해서 간략하게 논의하자. 이에 대한 좀 더 자세한

내용은 IM&F12의 제 3.12절을 참조하라


Black-Scholes방정식 (11.1.9)를 일반화하면 다음과 같다.

a0F + a1FSSt + a2Ft + a3FSS = 0, (0 ≤ t ≤ T ) (11.3.1)

또한, 말기조건은 다음과 같다.

F (ST , T ) = G(ST , T ) (11.3.2)

여기서 G는 주어진 함수이다. 식 (11.3.1)은 어떤 의미에서 방정식일까? 편미분방정식

(11.3.1)에서 미지인 것은 함수이다. 바꿔 말하면, 우리는 함수 F (St, t)가 어떠한 형태인지를

알고자 한다. 지금 우리가 알고 있는 것은 첫째 F (St, t)의 편도함수와 계수의 곱들의 합이

0이라는 것과 둘째 만기시점 T에서 함수값 F (ST , T )가 주어진 함수값 G(ST , T )와 같다는

것이다.

어떤 편미분방정식의 특수해 (particular solution)를 구하기 위해서는 편미분방정식 자

체 뿐 아니라 초기조건 (initial condition), 말기조건 (terminal condition), 또는 경계조건

(boundary condition)을 필요로 한다. 초기조건이란 초기시점 (initial time)에 편미분방정

식의 해가 만족해야 하는 함수값들을 나타내고, 말기조건이란 말기시점 (terminal time)에

편미분방정식의 해가 만족해야 하는 함수값들을 나타낸다. 또한, 경계조건이란 어떤 특정한

상태가 각 시점에서 만족해야 하는 함수값들을 나타한다. 편미분방정식과 이러한 조건들로

구성된 문제를 경계값문제(boundary value problem)라 부른다. 따라서, 초기조건, 말기조건,

그리고 경계조건을 한꺼번에 뭉뚱그려서 경계조건이라고 부르기도 한다. 파생상품의 가치

평가에서 나타나는 경계값문제를 구성하는 경계조건은 보통 말기조건이다. 이 말기조건은

만기시점에서 파생상품가치를 나타내는 지불금액함수로 정의된다. 즉, 파생상품가치가 원자

산의 어떤 함수라는 것으로부터 말기조건을 구할 수 있다. 예를 들어, 선물의 만기시점에서

선물과 현물 사이에 가격차이가 있어서는 안 된다. 또한, 제로쿠폰채의 만기시점에서 가격은

액면가와 같아야 한다. 파생상품의 공정한 가치를 구하기 위해서는 편미분방정식 (11.3.1)과

말기조건 (11.3.2)로 구성된 경계값문제를 풀어야 한다.

11.3.2 편미분방정식의 분류

편미분방정식을 분류하는 여러 가지 방법이 있다. 첫째는 선형과 비선형에 따른 분류이다.

편미분방정식이구하고자하는함수나그편도함수들의선형결합이라면, 이를선형편미분방정

식이라부른다. 둘째는미분의차수에따른것이다. 만약편미분방정식속의편도함수들이모두


1차미분들이라면, 이를 1차편미분방정식이라한다. 만약 2차미분을 포함한다면, 이를 2차편

미분방정식이라한다. 이러한두 가지분류법은상미분방정식(ordinary differential equaiton:

ODE)의 분류법들과 유사하다. 셋째는 편미분방정식 특유의 것으로, 2차편미분방정식을

타원형 (elliptic type), 포물선형 (probolic type), 쌍곡선형 (hyperbolic type)으로 분류한다.

금융이론에서 나타나는 편미분방정식은 포물선형이다. 우선, 선형1차편미분방정식과 선형2

차편미분방정식의 예제들을 살펴보자. 이 예제들은 금융이론에 직접 도움이 되지는 않지만,

편미분방정식이 어떠한 것인지, 그리고 왜 경계조건이 중요한지를 이해하는 데 도움이 될

것이다.

예제 11.3.1 다음과 같은 F (St, t)의 편미분방정식에 대해 살펴보자.

Ft + FS = 0, (0 ≤ t ≤ T ) (1)

만약 t가 시점을 나타내고 St가 원자산을 나타낸다면, 이 편미분방정식은 원자산 St를 고정

하고 시점을 작게 변화하였을 때 발생하는 파생상품의 가치변화는 시점을 고정하고 원자산을

작게변화하였을때발생하는파생상품의가치변화에 [−1]을곱한것과같음을의미한다. 실제

금융시장에서이런관계가존재해야할이유는없다. 그러나, 수리적관점에서편미분방정식을

이해하기 위해서, 이 편미분방정식의 해 F (St, t)를 구하기로 하자.

이 편미분방정식은 다음과 같은 해를 가짐을 쉽게 추측할 수 있다.

F (St, t) = a1St − a1t+ a2 (2)

여기서 a1과 a2는 상수들이다. 이 함수의 편도함수들은 다음과 같다.

∂F

∂t= −a1,

∂F

∂St= a1 (3)

이들의 합은 0이다. 따라서, 주어진 편미분방정식이 만족된다. 이 해는 3차원공간에서 평면

으로 표현된다.

만약 경계조건이 주어지지 않으면, 우리가 알 수 있는 것은 이것 뿐이다. 상수들 a1값과 a2

값이 정해지지 않았기 때문에, 어느 평면이 F (St, t)를 나타내는지 결정할 수 없다. 즉, St와 t

에 관한 1차편미분들을 더해서 0이 되는 F (St, t)는 무한히 많이 존재한다. 그러나, 편미분방

정식과 함께 어떤 경계조건이 존재하면, F (St, t)를 일의적으로 결정할 수도 있다. 그러나, 이

편미분방정식의 해가 반드시 평면이라고는 할 수 없다. 함수 F (St, t) = exp(a3St − a4t)도 이


편미분방정식의해임을쉽게알수있다. 따라서, 해를일의적으로결정하는것은경계조건임을

알 수 있다.

예제 11.3.2 다음 2차편미분방정식을 살펴보자.

Ftt − FSS = 0 (1)

식 (1)에서 편도함수들의 계수들이 상수들이므로, 이는 선형편미분방정식이다. 이 2차편미

분방정식은 함수 F의 t에 관한 2차미분과 St에 관한 2차미분이 같아야 함을 의미한다. 다음

함수를 살펴보자.

F (St, t) =1

2a1[St − S0]

2 +1

2a1[t− t0]

2 + a2[St − S0][t− t0] (2)

여기서 S0, t0, a1과 a2는 미지의 상수들이다. 다음 식들이 성립한다.

∂2F

∂t2= a1,

∂2F

∂S2t

= a1 (3)

따라서, 식 (2)의 함수 F (St, t)가 주어진 편미분방정식 (1)을 만족시킴을 알 수 있다.

일의적인 해를 구하기 위해서는 경계조건이 필요하다. 한 예로서, 다음과 같은 경계조건을

살펴보자.

F (1, t) = [t+ 1]2 (4)

이 경계조건만으로는 모수들 S0, t0, a1과 a2를 모두 구할 수는 없다. 따라서, 다른 경계조건을

필요로 한다. 예를 들어, 다음과 같은 경계조건을 살펴보자.

F (St,−1) = [St − 1]2 (5)

두 경계조건들 (4)와 (5)를 만족하는 편미분방정식 (1)의 해는 다음과 같다.

F (St, t) = [St − 1]2 + [t+ 1]2 + [St − 1][t+ 1] (6)


11.3.3 2차편미분방정식

타원, 포물선그리고쌍곡선을 2차방정식으로표현할수있고, 이들은선형2차편미분방정식과

밀접한 관계가 있다. 이들에 대한 해석기하학적 내용을 간단히 복습해 보자. 결정론적 변수들

x와 y에 대한 다음 2차방정식을 살펴보자.

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (11.3.3)

모수들 A,B,C,D,E와 F에 의해, 방정식 (11.3.3)은 타원, 포물선, 그리고 쌍곡선이 된다.

만약 식 (11.3.3)에서 B2 − 4AC < 0이면, 이 식은 타원을 나타낸다. 한 예로, A = 1, B = 0,

그리고 C = 2이면, 다음 식이 성립한다.

x2 + 2y2 +Dx+Ey + F = 0 (11.3.4)

만약 식 (11.3.3)에서 B2 − 4AC = 0이면, 이 식은 포물선을 나타낸다. 한 예로, A = 1, B =

C = 0, 그리고 E = 1이면, 다음 식이 성립한다.

x2 +Dx+ y + F = 0 (11.3.5)

만약 식 (11.3.3)에서 B2 − 4AC > 0이면, 이 식은 쌍곡선을 나타낸다. 한 예로, B = 1이고

A = C = 0이면, 다음 식이 성립한다.

xy +Dx+ Ey + F = 0 (11.3.6)

다음 편미분방정식을 살펴보자.

a0F + a1Ft + a2FS + a3FSS + a4Ftt + a5FSt = 0 (11.3.7)

만약 편미분방정식 (11.3.7)이 a25 − 4a3a4 < 0를 만족하면, 이를 타원형 편미분방정식이라

부른다. 만약 편미분방정식 (11.3.7)이 a25 − 4a3a4 = 0를 만족하면, 이를 포물선형 편미분방

정식이라 부른다. 만약 편미분방정식 (11.3.7)이 a25 − 4a3a4 > 0를 만족하면, 이를 쌍곡선형

편미분방정식이라 부른다. 우리의 주된 관심사인 식 (11.1.9)의 Black-Scholes방정식은 포물

선형 편미분방정식이다.


제11.4절 Black-Scholes방정식과 열전도방정식

Black-Scholes방정식의 해를 구하기 위해서, 이 Black-Scholes방정식을 물리학에서 다루는

열전도방정식 (heat transfer equation)으로 변환하기로 하자.

정의 11.4.1

다음과같은 f(x, t)의편미분방정식을열전도방정식또는확산방정식(diffusion equation)

이라 한다.

∂f

∂t= c2

∂2f

∂x2, (−∞ < x <∞, t > 0)

여기서 c는 양수이고, 초기조건은 f(x, 0) = g(x)이다.

<정의 11.4.1>의 열전도방정식의 해 f(x, t)는 위치 x 그리고 시간 t에서 어떤 물체의

온도를 나타낸다. 물체 안에서 위치에 따라 온도의 차가 있으면, 열은 고온인 부분에서 저온인

부분으로 이동한다. 이 열전도방정식은 온도 f의 점 x에 대한 미분 ∂f/∂x의 변화율인

∂2f/∂x2가 커질수록 온도의 시간변화 ∂f/∂t가 커진다는 것을 나타낸다. 이 물체의 열전도율

을 k, 비열(어떤물질 1g의온도를섭씨 1도만큼올리기위해필요한열량)을 µ, 그리고밀도를

ρ라고 하면, c = k/[µρ]이다. 이 c를 열확산율이라 한다. 물 위에 떨어진 잉크 한 방울이

주위에 퍼져 나가 전체에 평균적으로 균일하게 분포하는 현상, 담배연기가 공중에서 확산되고

곧 사라져 버리는 현상 등이 확산현상이다. 이 열전도방정식으로 확산현상을 설명할 수 있고

또한 금융상품가치과정을 확산현상으로 해석할 수 있어서, 열전도방정식을 파생상품가치를

나타내는 방정식으로도 이용하게 되었다. 이 절에서는 Black-Scholes방정식을 열전도방정식

으로 변형하기로 하자. 다음 절에서 이 열전도방정식의 해를 자세히 유도할 것이다.

Black-Scholes방정식을 유도할 때, 원자산 St는 확률미분방정식 (11.1.2)를 만족한다고

가정하였다. 그러나, Black-Scholes방정식을풀기위해서, 원자산 St가다음확률미분방정식을


dSt = µStdt+ σStdWt, (t ≥ 0) (11.4.1)

확률미분방정식 (11.4.1)은확률미분방정식 (11.1.2)의특수한경우임을상기하라. 식 (11.4.1)

에서, µ를 추세모수(drift coefficient) 그리고 σ를 변동성(volatility)이라 부른다. 식 (11.1.9)

Black-Scholes방정식과 열전도방정식 541

의 Black-Scholes방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

∂F

∂t+

1

2σ2S2

t

∂2F

∂S2t

+ rSt∂F

∂St− rF = 0 (11.4.2)

지금부터 이 편미분방정식을 열전도방정식의 형태로 변형하기로 하자.

첫 번째 단계로 Black-Scholes방정식 (11.4.2)를 각 계수가 상수인 편미분방정식으로

변형하자. 다음 변수들을 정의하자.

y.= y(t)

.= ln St

K, τ

.= T − t, v(y, τ)

.=

1

KF (St, t) (11.4.3)


∂F

∂t= K

∂v

∂τ

∂τ

∂t= −K∂v

∂τ(11.4.4)

∂F

∂St= K

∂v

∂y

∂y

∂St=K

St

∂v

∂y(11.4.5)

∂2F

∂S2t

= −K

S2t

∂v

∂y+K

St

∂

∂St

(∂v

∂y

)= −K

S2t

∂v

∂y+K

St

∂

∂y

(∂v

∂y

)∂y

∂St=K

S2t

[∂2v

∂y2− ∂v

∂y

](11.4.6)

식 (11.4.3)∼식 (11.4.6)을 식 (11.4.2)에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

∂v

∂τ=

1

2σ2∂2v

∂y2+

[r − 1

2σ2]∂v

∂y− rv (11.4.7)

식 (11.4.7)은 식 (11.4.2)와는 달리, 상수계수들을 갖는 2차편미분방정식이다.

두 번째 단계로 편미분방성식 (11.4.7)에서 v항과 ∂v/∂y항을 소거하자. 다음 함수를

정의하자.

w(y, τ).= v(y, τ)e−αy−βτ (11.4.8)

식 (11.4.7)에서 v항과 ∂v/∂y항이 소거되도록 식 (11.4.8)의 상수들 α와 β를 정하기로 하자.



∂v

∂τ=

[βw +

∂w

∂τ

]eαy+βτ (11.4.9)

∂v

∂y=

[αw +

∂w

∂y

]eαy+βτ (11.4.10)

∂2v

∂y2=

[α2w + 2α

∂w

∂y+∂2w

∂y2

]eαy+βτ (11.4.11)

식 (11.4.9)∼식 (11.4.11)을 식 (11.4.7)에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

∂w

∂τ=

1

2σ2∂2w

∂y2+

[ασ2 + r − 1

2σ2]∂w

∂y

+

1

2α [α− 1]σ2 + r[α− 1]− β

w (11.4.12)

식 (11.4.12)에서 w항과 ∂w/∂y항을 소거하기 위해서, 다음 식들을 만족하는 α와 β를 구하

기로 하자.

ασ2 + r − 1

2σ2 = 0,

1

2α[α− 1]σ2 + r[α− 1]− β = 0 (11.4.13)

연립방정식 (11.4.13)을 만족하는 α와 β는 각각 다음과 같다.

α = −1

2[k − 1], β = −σ

2[k + 1]2

8(11.4.14)

여기서 k.= 2r/σ2이다. 식 (11.4.14)를 식 (11.4.12)에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

∂w

∂τ=

1

2σ2∂2w

∂y2(11.4.15)

식 (11.4.15)는 <정의 11.4.1>의 열전도방정식이다.

식 (11.4.3)를 적용하면, 유럽형콜옵션의 말기조건이 다음과 같음을 알 수 있다.

v(y, 0) =F (ST , T )

K=

1

Kmax ST −K, 0 = maxey − 1, 0 (11.4.16)

식 (11.4.8), 식 (11.4.14), 그리고 (11.4.16)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

w(y, 0) = max

exp(1

2[k + 1]y

)− exp

(1

2[k − 1]y

), 0

(11.4.17)

열전도방정식의 해 543

식 (11.4.17)이 열전도방정식 (11.4.15)의 유럽형콜옵션에 해당하는 경계조건이다. 경계조건

(11.4.7)은 말기조건이 아닌 초기조건이다.

정리 11.4.1: Black-Scholes방정식과 열전도방정식

원자산 St가 다음 확률미분방정식을 만족한다고 가정하자.

dSt = µStdt+ σStdWt, (t ≥ 0)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. Black-Scholes방정식의 해는 다음과 같다.

F (St, t) = Kw(y, τ) exp(−1

2[k − 1]y − σ2[k + 1]2

8τ

)

여기서 y = ln(St/K), k = 2r/σ2, 그리고 τ = T − t이다. 또한, w(y, τ)는 다음 열전도

방정식의 해이다.

∂w

∂τ=

1

2σ2∂2w

∂y2

이 열전도방정식의 유럽형콜옵션에 해당하는 초기조건은 다음과 같다.

w(y, 0) =

[exp

(1

2[k + 1]y

)− exp

(1

2[k − 1]y

)]+

제11.5절 열전도방정식의 해

이 절에서는 <정의 11.4.1>에서 언급된 열전도방정식을 풀기로 하자. 이 열전도방정식은

다음과 같다.

∂f

∂t= c2

∂2f

∂x2, (−∞ < x <∞, t > 0) (11.5.1)

여기서 c는 실수이다. 또한, 초기조건은 f(x, 0) = g(x)이다. 이 열전도방정식을 풀기 위해

서는 Fourier변환을 알아야 한다. 이 절에서는 Fourier변환을 사용해서 열전도방정식을 푸는

방법을 간단히 설명하고자 한다. 이에 대한 자세한 내용은 IM&F2의 제2.4절과 IM&F3의

제6.1절을 참조하라.


함수 f(x)는 구간 (−∞,∞)에서 연속인 도함수 f ′(x)를 가지며, 또한 식∫∞−∞ | f(x) |

dx <∞이 성립한다고 가정하자. 즉, f(x)는 절대적분가능하다. 함수 f(x)의 Fourier변환을

다음과 같이 정의한다.

f(λ).=

1√2π

∫ ∞

−∞f(x) exp(−iλx)dx (11.5.2)

이 Fourier변환의 역변환은 다음과 같다.

f(x) =1√2π

∫ ∞

−∞f(x) exp(iλx)dλ (11.5.3)

예제 11.5.1 함수 f(x) = exp(−x2

2

)의 Fourier변환은 다음과 같다.

f(λ) =1√2π

∫ ∞

−∞exp

(−x

2

2

)exp(−iλx)dx

= exp(−λ

2

2

)1√2π

∫ ∞

−∞exp

(− [x+ iλ]2

2

)dx (1)

복소적분 (complex integration)을 사용해서, 다음 식이 성립함을 증명할 수 있다.

∫ ∞

−∞exp

(− [x+ iλ]2

2

)dx =

√2π (2)


f(λ) = exp(−λ

2

2

)(3)

즉, 함수 f(x)와 Fourier변환 f(λ)는 같은 형태이다.

같은 방법으로, g(x) = exp(−ax2)의 Fourier변환이 다음과 같음을 증명할 수 있다.

g(λ) =1√2a

exp(− 1

4aλ2)

(4)

이 함수의 Fourier변환은 열전도방정식을 푸는 데 중요한 역할을 한다.


정리 11.5.1

함수 f(x)가 다음 식을 만족한다고 가정하자.

lim|x|→∞

f(x) = 0

만약 f(x)의 Fourier변환이 존재하면, 다음 식이 성립한다.

f ′(λ) = iλf(λ)

증명. 부분적분을 사용하면, 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

f ′(λ) =1√2π

∫ ∞

−∞f ′(x)e−iλxdx

=1√2πf(x)e−iλx

∣∣∣∣∞−∞

+ iλ1√2π

∫ ∞

−∞f(x)e−iλxdx

= iλf(λ) (1)

따름정리 11.5.1

함수 f(x)가 다음 식을 만족한다고 가정하자.

lim|x|→∞

f (n)(x) = 0, (n = 0, 1, · · · ,M − 1)

만약 각 (n = 0, 1, · · · ,M −1)에 대해서 f (n)(x)의 Fourier변환이 존재하면, 다음 식들이

성립한다.

f (n)(λ) = [iλ]nf(λ), (n = 0, 1, · · · ,M − 1)

예제 11.5.2 양수 a에 대해서 함수 f(x) = x exp(−ax2)의 Fourier변환을 구해보자.


<예제 11.5.1>에서 알 수 있듯이, 함수 g(x) = exp(−ax2)의 Fourier변환은 다음과 같다.

g(λ) =1√2a

exp(− 1

4aλ2)

(1)

<정리 11.5.1>에 의해서, 다음 식이 성립한다.

g′(λ) = iλ1√2a

exp(− 1

4aλ2)

(2)


g′(x) = [−2ax] exp(−ax2) = −2af(x) (3)


f(λ) = −iλ 1

[√2a]3

exp(− 1

4aλ2)

(4)

지금부터 열전도방정식 (11.5.1)을풀기로하자. 함수 f(x, t)의 편도함수들을 다음과같이

표기한다.

f1 =∂f

∂x, f11 =

∂2f

∂x2, f2 =

∂f

∂t(11.5.4)

열전도방정식 (11.5.1)을 다음과 같이 표기할 수 있다.

f2 − c2f11 = 0 (11.5.5)

열전도방정식 (11.5.5)를 만족하는 함수 f(x, t)의 변수 x에 대한 Fourier변환을 다음과 같이

표기하자.

f(λ, t).=

1√2π

∫ ∞

−∞f(x, t)e−iλxdx (11.5.6)


<정리 11.5.1>에서 알 수 있듯이, 편도함수 f11의 Fourier변환은 다음과 같다.

1√2π

∫ ∞

−∞f11e

−iλxdx = [iλ]2f(λ, t) = −λ2f(λ, t) (11.5.7)


1√2π

∫ ∞

−∞f2e

−iλxdx = c21√2π

∫ ∞

−∞f11e

−iλxdx = −c2λ2f(λ, t) (11.5.8)

식 (11.5.6)으로부터 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

∂f(λ, t)

∂t=

1√2π

∫ ∞

−∞f2e

−iλxdx (11.5.9)


∂f(λ, t)

∂t+ c2λ2f(λ, t) = 0 (11.5.10)

식 (11.5.10)은 f(λ, t)의 t에관한상미분방정식이다. 초기조건 f(x, 0) = g(x)를 다음과같이

f의 초기조건으로 바꿀 수 있다.

f(λ, 0) = g(λ) =1√2π

∫ ∞

−∞g(x)e−iλxdx (11.5.11)

초기조건 (11.5.11)을 만족하는 상미분방정식 (11.5.10)의 해가 다음과 같음을 쉽게 알 수

있다.

f(λ, t) = g(λ) exp(−c2λ2t) (11.5.12)

식 (11.5.12)에 역Fourier변환을 적용해서, 열전도방정식의 해 f(x, t)를 구할 수 있다.

특히, 합성곱정리(convolution theorem)를 이용하면 쉽게 f(x, t)를 구할 수 있다. 그러나,

합성곱정리를 모르는 독자들을 위해서, 식 (11.5.12)로부터 직접 f(x, t)를 구하기로 하자.



f(x, t) =1√2π

∫ ∞

−∞f(λ, t)eiλx dλ

=1√2π

∫ ∞

−∞g(λ) exp(iλx− c2λ2t) dλ

=1√2π

∫ ∞

−∞

[1√2π

∫ ∞

−∞g(u)e−iλudu

]exp(iλx− c2λ2t) dλ

=1

2π

∫ ∞

−∞g(u)

[∫ ∞

−∞exp(iλ[x− u]− c2λ2t) dλ

]du (11.5.13)

여기서 두 번째 등호는 식 (11.5.12)에 의해서 성립한다. 식 (11.5.13)의 우변의 적분을 계산

하기 위해서 다음 함수를 정의하자.

I(α).=

∫ ∞

−∞e−λ2c2teiαλ dλ (11.5.14)

우함수와 기함수의 성질들을 이용해서, 다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

I(α) = 2

∫ ∞

0e−λ2c2t cos(αλ) dλ (11.5.15)


dI(α)

dα= −2

∫ ∞

0λe−λ2c2t sin(αλ) dλ

= sin(αλ)e−λ2c2t

c2t

∣∣∣∣∣∞

0

− α

c2t

∫ ∞

0e−λ2c2t cos(αλ) dλ

= − α

c2t

∫ ∞

0e−λ2c2t cos(αλ) dλ (11.5.16)


dI(α)

Iα= − α

2c2tdα (11.5.17)

미분방정식 (11.5.17)의 해는 다음과 같다.

I(α) = I(0) exp(− α2

4c2t

)(11.5.18)

Black-Scholes방정식의 해 549

감마함수를 이용해서, 다음 식들이 성립함을 증명할 수 있다.

I(0) = 2

∫ ∞

0e−λ2c2t dλ =

√π

c2t(11.5.19)


I(α) =

√π

c2texp

(− α2

4c2t

)(11.5.20)

식 (11.5.13), 식 (11.5.14)와 식 (11.5.20)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

f(x, t) =

∫ ∞

−∞g(u)

1

2√πc2t

exp(− [x− u]2]

4c2t

)du (11.5.21)

정리 11.5.2: 열전도방정식의 해

함수 f(x, t)가 다음 열전도방정식을 만족한다고 하자.

∂f

∂t= c2

∂2f

∂x2

또한, 초기조건은 f(x, 0) = g(x)이다. 이 편미분방정식의 해는 다음과 같다.

f(x, t) =

∫ ∞

−∞g(u)

1

2√πc2t

exp(− [x− u]2

4c2t

)du

제11.6절 Black-Scholes방정식의 해

<정리 11.4.1>에서 알 수 있듯이, St가 기하Brown운동이면 Black-Scholes방정식의 해는

다음과 같다.

F (St, t) = Kw(y, τ) exp(−1

2[k − 1]y − σ2[k + 1]2

8τ

)(11.6.1)


여기서 y = ln(St/K), τ = T − t, 그리고 k = 2r/σ2이다. 또한, w(y, τ)는 다음 열전도방정

식의 해이다.

∂w

∂τ=

1

2σ2∂2w

∂y2(11.6.2)

이 열전도방정식의 유럽형콜옵션에 해당하는 초기조건은 다음과 같다.

w(y, 0) = max

exp(1

2[k + 1]y

)− exp

(1

2[k − 1]y

), 0

(11.6.3)

초기조건 (11.6.3)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

w(y, 0) =

[exp

(1

2[k + 1]y

)− exp

(1

2[k − 1]y

)]I(0,∞)(y) (11.6.4)

<정리 11.5.2>에서 알 수 있듯이, 함수 w(y, τ)는 다음과 같다.

w(y, τ) =

∫ ∞

−∞w(u, 0)

1√2πσ2τ

exp(− [y − u]2

2σ2τ

)du (11.6.5)


w(y, τ) = I1 − I2 (11.6.6)

여기서 I1과 I2는 각각 다음과 같이 정의된다.

I1.=

∫ ∞

0exp

(1

2[k + 1]u

)1√

2πσ2τexp

(− [y − u]2

2σ2τ

)du (11.6.7)

I2.=

∫ ∞

0exp

(1

2[k − 1]u

)1√

2πσ2τexp

(− [y − u]2

2σ2τ

)du (11.6.8)

식 (11.6.7)과 식 (11.6.8)에서 z.= u−y

σ√τ라 놓으면, 다음 식들이 성립한다.

I1 = exp(1

2[k + 1]y

)1√2π

∫ ∞

−y/[σ√τ ]

exp(1

2[k + 1]σ

√τz − 1

2z2)dz (11.6.9)

I2 = exp(1

2[k − 1]y

)1√2π

∫ ∞

−y/[σ√τ ]

exp(1

2[k − 1]σ

√τz − 1

2z2)dz (11.6.10)

Black-Scholes방정식의 해 551

식 (11.6.9)의 적분의 지수항을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

1

2[k + 1]σ

√τ z − z2

2= −1

2

z − 1

2[k + 1]σ

√τ

2

+1

8[k + 1]2σ2τ (11.6.11)

식 (11.6.11)을 식 (11.6.9)에 대입하면, 다음 식들을 얻는다.

I1 = exp(1

2[k + 1]y +

1

8[k + 1]2σ2τ

)· 1√

2π

∫ ∞

−y/[σ√

τ ]exp

(−1

2

z − 1

2[k + 1]σ

√τ

2)dz

= exp(1

2[k + 1]y +

1

8[k + 1]2σ2τ

)1√2π

∫ ∞

−d1

exp(−1

2z2)dz

= exp(1

2[k + 1]y +

1

8[k + 1]2σ2τ

)N(d1) (11.6.12)

여기서 N(·)는 표준정규분포함수이고, d1은 다음과 같다.

d1.=

1

σ√τ

y +

[r +

σ2

2

]τ

=

ln StK +

[r + σ2

2

]τ

σ√τ

(11.6.13)

같은 방법으로, 다음 식을 유도할 수 있다.

I2 = exp(1

2[k − 1]y +

1

8[k − 1]2σ2τ

)N(d2) (11.6.14)

여기서 d2는 다음과 같다.

d2.= d1 − σ

√τ =

ln StK +

[r − σ2

2

]τ

σ√τ

(11.6.15)


KI1 exp(−1

2[k − 1]y − σ2[k + 1]2

8τ

)= KeyN(d1) = StN(d1) (11.6.16)

KI2 exp(−1

2[k − 1]y − σ2[k + 1]2

8τ

)= Ke−r[T−t]N(d2) (11.6.17)

식 (11.6.6), 식 (11.6.16)과 식 (11.6.17)을 식 (11.6.1)에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

F (St, t) = StN(d1)−Ke−r[T−t]N(d2) (11.6.18)


식 (11.6.18)의 F (St, t)는유럽형콜옵션가치 c(St, t)를나타낸다. 즉, 유럽형콜옵션가치의

Black-Scholes식은 다음과 같다.

c(St, t) = StN(d1)−Ke−r[T−t]N(d2) (11.6.19)

풋콜패리티 (put · call parity)에서 알 수 있듯이, 유럽형풋옵션가치 p(St, t)는 다음과 같다.

p(St, t) = c(St, t) +Ke−r[T−t] − St (11.6.20)

식 (11.6.19)와 식 (11.6.20)에서 알 수 있듯이, 유럽형콜옵션가치 p(St, t)의 Black-Scholes

식은 다음과 같다.

p(St, t) = Ke−r[T−t]N(−d2)− StN(−d1) (11.6.21)


원자산 St가 다음 확률미분방정식을 만족한다고 가정하자.

dSt = µStdt+ σSt dWt, (t ≥ 0)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 만기시점이 T에서 행사가격이 K인 유럽형콜옵션

과 유럽형풋옵션 각각의 공정한 가치를 나타내는 Black-Scholes식은 다음과 같다.

c(St, t) = StN(d1)−Ke−r[T−t]N(d2)

p(St, t) = Ke−r[T−t]N(−d2)− StN(−d1)

여기서 N(z)는 표준정규분포함수이고, d1과 d2는 각각 다음과 같다.

d1 = d2 + σ√T − t

d2 =1

σ√T − t

ln StK

+

[r − σ2

2

][T − t]

Black-Scholes식의 해석 553

제11.7절 Black-Scholes식의 해석

정리 11.6.1의 Black-Scholes식이 성립하는 환경은 다음과 같다.

첫째, 각 유럽형옵션의 만기시점은 T이고, 만기시점까지 잔여기간 (tenor)은 τ = T − t

이다.

둘째, 각 유럽형옵션의 행사가격은 K이다.

셋째, 무위험이자율 r은 시점에 의존하지 않는 상수이다.

넷째, 원자산 St는 Black-Scholes확률과정을 따른다. 즉, 원자산의 변동성은 고정된 상수

σ이다.

다섯째, 변수들 d1과 d2는 각각 다음과 같다.

d1 =1

σ√τ

ln StK

+

[r +

σ2

2

]τ

d2 =

1

σ√τ

ln StK

+

[r − σ2

2

]τ

콜옵션가치 ct = c(St, τ)와 풋옵션가치 pt = p(St, τ)는 St,K, r, τ와 σ의 함수들이다.

이 중에서 St,K, r과 τ는 관측이 가능한 값들이지만, 변동성 σ는 관측이 불가능한 값이다.

또한, c(St, τ)와 p(St, τ)에는 St의 평균수익률을 나타내는 추세계수 µ가 나타나지 않음을

유의하라.

예제 11.7.1 유럽형콜옵션가치 c(St, τ)와 유럽형풋옵션가치 p(St, τ)의 Black-Scholes식들

을 3차원공간에서 그리기 위해, 다음 R-파일을 실행하자.

1 #---------------------------------------------------------------------------2 # Filename: BlackScholes3D.R3 # 3-D Graphs of Black-Scholes Call and Put Option Prices4 ### Need plot3D package for plot 3D5 # Programmed by KHW6 #---------------------------------------------------------------------------7 BlackScholes3D = function(r,K,sigma,Tmax)8 dt = Tmax/209 dS = K/20

10 xSt = seq(from=10*dS,to=30*dS,by=dS)11 ytau = seq(from=dt,to=20*dt,by=dt)12 St = array(0,dim=c(length(ytau),length(xSt)))13 tau = St14 for(i in seq(from=1,to=length(ytau),by=1))15 for(j in seq(from=1,to=length(xSt),by=1))16 St[i,j]= xSt[j]17 tau[i,j]= ytau[i]


18 19 20 d1 = (log(St/K)+(r+sigma*sigma/2)*tau)/sigma/sqrt(tau)21 d2 = d1 - sigma*sqrt(tau)22 Ct = St *pnorm(d1) - K*exp(-r*tau)*pnorm(d2)23 Pt = Ct +K*exp(-r*tau) -St24 # persp3d(St,tau,Ct,xlab="St",ylab="tau",zlab="Ct") -> ###rgl package version25 # decorate3d(main="Black-Scholes Call Opion Price",xlab="",ylab="",zlab="")26 dev.new()27 scatter3D(St,tau,Ct,ticktype="detailed",cex=0,28 xlab="St",ylab="tau",zlab="Ct", main="Black-Scholes Call Option Price

",29 theta =-40, phi=19,surf=list(x=St,y=tau,z=Ct,border="black",lighting=

TRUE))30 dev.new()31 scatter3D(St,tau,Pt,ticktype="detailed",cex=0,32 xlab="St",ylab="tau",zlab="Ct", main="Black-Scholes Put Option Price

",33 theta =-40, phi=19,surf=list(x=St,y=tau,z=Pt,border="black",lighting=

TRUE))34 35 # End of program36 #---------------------------------------------------------------------------

이 R-파일을 실행하기 위해서, R커맨드행에서 다음과 같은 명령문을 실행하자.

>> BlackScholes3D(0.065,100,0.30,1)

이 R명령문을 실행하면, 무위험이자율이 r = 0.065, 행사가격이 K = 100, 변동성이

σ = 0.3 그리고 만기시점이 T = 1인 유럽형옵션가치들, 즉 행사가격이 100, 6.5%의 무위

험이자율, 시간구간 [0, 1]에서 변동성이 30%인 Black-Scholes식들의 그래프들을 그린다. 이

중에서 유럽형콜옵션가치의 그래프가 <그림 11.7.1>에 수록되어 있고, 유럽형풋옵션가치의

그래프가 <그림 11.7.2>에수록되어있다. 변동성 0.30은성숙한금융시장에서는큰값이라고

할 수 있다. 그러나, 이 큰 변동성에 의해서 그래프의 변화를 쉽게 파악할 수 있다. 여기서

τ = T − t임을 상기하라.

지금부터는 St,K, r, τ와 σ가 특수한 값들을 취할 때, Black-Scholes식들의 성질들을 조사

해 보자.

예제 11.7.2 원자산 St가무한히커지는경우, 즉 St → ∞이면, d1 → +∞이고 d2 → +∞

이다. 따라서, 다음 식들이 성립한다.

limSt →∞

c(St, τ) = limSt →∞

St −Ke−rτ , limSt →∞

p(St, τ) = 0 (1)

원자산 St가 한없이 커지면, 만기시점 T에서 콜옵션이 행사되는 것은 확실하다. 이 경우에는


그림 11.7.1. Black-Scholes 콜옵션가치

그림 11.7.2. Black-Scholes 풋옵션가치


유럽형콜옵션이 행사가격 K의 선도계약과 같게 된다. 반면에, St → ∞일 때, 유럽형풋옵션

가치 p(St, τ)는 0에 접근한다.

예제 11.7.3 변동성이 0으로 수렴하는 경우, 즉 σ → 0이면, dSt → µStdt가 된다. 이 경우

에 원자산은 무위험채권과 같은 변동을 하게 된다. 이 경우에도 d1 → +∞이고 d2 → +∞


limσ→ 0

c(St, τ) = St −Ke−rτ , limσ→ 0

p(St, τ) = 0 (1)

예제 11.7.4 변동성이 ∞로 수렴하는 경우, 즉 σ → ∞이면, d1 → +∞이고 d2 → −∞


limσ→ 0

c(St, τ) = St, limσ→ 0

p(St, τ) = Ke−rτ (1)

예제 11.7.5 만기시점에 가까이 가는 경우, 즉, τ → 0이면, d1과 d2의 극한들은 ln(St/K)

의부호에의존한다. 만약 St > K이면, d1 → +∞이고 d2 → +∞이다. 따라서, 다음식들이

성립한다.

limτ → 0

c(St, τ) = St −K, limτ → 0

p(St, τ) = 0 (1)

만약 St < K이면, d1 → −∞이고 d2 → −∞이다. 따라서, 다음 식들이 성립한다.

limτ → 0

c(St, τ) = 0, limτ → 0

p(St, τ) = K − St (2)

만약 St = K이면, d1 → 0이고 d2 → 0이다. 따라서, 다음 식들이 성립한다.

limτ → 0

c(St, τ) = 0, limτ → 0

p(St, τ) = 0 (3)


이들을 종합하면, τ → 0이면, 다음 식들이 성립함을 확인할 수 있다.

limτ → 0

c(St, τ) = [St −K]+ (4)

limτ → 0

p(St, τ) = [K − St]+ (5)

예제 11.7.6 만기시점이 아주 먼 경우, 즉, τ → ∞이면, 다음 식들이 성립한다.

limτ →∞

d1 = ∞ (1)

limτ →∞

d2 =

∞, (σ2 < 2r)

−∞, (σ2 > 2r)

(2)

따라서, 만약 σ2 < 2r이면, 다음 식들이 성립한다.

limτ →∞

c(St, τ) = St, limτ →∞

p(St, τ) = 0 (3)

Black-Scholes식이 인기가 있는 가장 큰 이유들 중 하나는 이 식에서 직접 관측할 수 없는

모수가 변동성 σ 하나뿐이기 때문이다. 더구나, 옵션가치는 변동성 σ의 단조함수이기 때문에,

Black-Scholes식을 다루기가 편리하다. 그러나, 실제 금융세계는 Black-Scholes모형에서

가정하고 있는 대로 움직이는 것은 아니다. 특히, 변동성은 시간에 대해 상수가 아니며,

변동성 자체가 확률적으로 움직인다고 가정하는 것이 더 현실적이다. 또한, 원자산이 Black-

Scholes확률과정이아니라우발사건을포함하는확률과정을따른다고가정하는것이현실적일

것이다. 따라서, Black-Scholes식을 유도하기 위해서 전제한 가정들을 완화하고 확장하려는

시도가 계속되었다. 그러나, 2007년에 발생한 금융위기 이후 Black-Scholes식 위상이 현저히

떨어졌으며, 오늘날 시장에서는 Black-Scholes가치를 조정하는 (valuation adjustment: VA)

과정을 거치는 것이 일반적이다.


제11.8절 편미분방정식의 수치해

시장참가자가 파생상품가치 F (St, t)의 편미분방정식을 구했다고 하자. 제11.7절에서는

편미분방정식의해석해(closed-form formula)를구하였다. 그러나, 파생상품가치의움직임을

기술하는 편미분방정식을 항상 해석적으로 풀 수 있는 것은 아니다. 일반적으로, 편미분방정

식의 해석해가 존재하지 않거나, 설사 해석해가 존재한다 해도 구하는 것이 쉽지 않다. 이러한

경우에는 어쩔 수 없이 편미분방정식의 수치해를 구하게 된다. 수치해는 F (St, t)의 해석해를

구하는 것이 아니라, F (St, t)로 표현되는 곡면을 직접 계산하는 것이다. 편미분방정식의

수치해를 구하는 것에 대한 자세한 내용은 IM&F10을 참조하라.

다음과 같은 Black-Scholes방정식을 살펴보자.

−rF + Ft + rFSSt +1

2FSSσ

2S2t = 0, (0 ≤ t ≤ T ) (11.8.1)

편미분방정식 (11.8.1)을 수치적으로 풀기 위해서는, St와 t의 유한증분들에 대해서 이 편미

분방정식이 성립한다고 가정한다. 이를 풀기 위해서 다음과 같은 준비를 하자.

첫째, 시간간격 ∆t의 크기를 정한다. 작은 ∆t가 선호된다. 어느 정도 작은 시간간격을

사용할지는 시행착오를 거쳐 결정한다. 그러나, 지나치게 0에 가까운 ∆t를 선택하면,

반올림오차 (round-off error)가 커진다.

둘째, 원자산 증분 ∆S에 대한 격자 (grid)의 크기를 원자산 변동의 최소단위로 결정한다.

셋째, 원자산 St가 취할 수 있는 값의 범위를 결정한다. 즉, St의 최소값 Smin 과 최대값

Smax를 설정한다. 당연히, 관찰되는 값들은 부등식들 Smin ≤ St ≤ Smax를 만족해야

한다.

원자산이 Si이고시점이 tj인점에서파생상품가치를 Fi,j.= F (Si, tj)로표기하자. 여기서

(i, j)의 범위는 ∆St,∆t, Smin 그리고 Smax 에 의해서 결정된다. 우리는 유한개 점들에서

F (St, t)의 근사값들을 구하고자 한다. 이 근사값들을 구하기 위해서는 편미분방정식 (11.8.1)

을 편차분방정식(partial difference equation)으로 변환해야만 한다. 이것을 실행하기 위한

여러 가지 기법들이 있으며, 각 기법에 따른 정밀도 (degree of accuracy)가 다르다. 여기서는

가장 단순한 기법을 이용하기로 하자. 다음 편차분방정식을 살펴보자.

∆F

∆t+ rSt

∆F

∆St+

1

2σ2S2

t

∆2F

∆S2t

≃ rF (11.8.2)

편미분방정식의 수치해 559

식 (11.8.2)에서는 편미분방정식 (11.8.1)의 각 편미분은 대응하는 편차분으로 근사되어 있다.

예를 들어, 1차편미분에 대해서는 다음과 같은 후향차분들(backward differences)을 사용할

수 있다.

∆F

∆t≃ Fi,j − Fi,j−1

∆t, St

∆F

∆St≃ Sj

Fi,j − Fi−1,j

∆St(11.8.3)

다음과 같은 전향차분들 (forward differences)을 사용할 수도 있다.

∆F

∆t≃ Fi,j+1 − Fi,j

∆t, St

∆F

∆St≃ Sj

Fi+1,j − Fi,j

∆St(11.8.4)

또한, 2차편미분으로 다음과 같은 중심차분(central difference)을 사용할 수 있다.

∆2F

∆S2≃[Fi+1,j − Fi,j

∆St− Fi,j − Fi−1,j

∆St

]1

∆St(11.8.5)

식 (11.8.3)∼식 (11.8.5)를연립방정식 (11.8.2)에대입해서편차분방정식을구한다음, 주어진

경계조건을 이용해서 이 편차분방정식을 풀어서 함수값들 Fi,j를 계산한다.

파생상품가치를 평가할 때, 우리는 Fi,j에 대한 사전정보가 있다. 예를 들어, 유럽형콜

옵션의 공정한 가치는 만기시점 T에서 다음 초기조건을 만족한다.

F (ST , T ) = [ST −K]+ (11.8.6)

또한, St의 극단적인 값 대신에 근사값을 이용한다. 예를 들어, 상당히 큰 St에 대해서는

St = Smax로 놓고, 다음 경계조건을 사용한다.

F (Smax, t) ≃ Smax −Ke−r[T−t] (11.8.7)

상당히 작은 St에 대해서는 St = Smin로 놓고, 다음 경계조건을 사용한다.

F (Smin, t) ≃ 0 (11.8.8)

여기서 Smin 은 아주 낮은 가격이며, 유럽형콜옵션이 ITM(in the money)으로 만기시점을

맞이할 가능성은 거의 없다. 따라서, 유럽형콜옵션가치는 0에 가까워진다. 식 (11.8.6)∼식

(11.8.8)에 의해서 경계점들에서 Fi,j 값들을 알 수 있다. 이 경계에서 값들을 편차분방정식


(11.8.2)에 적용해서, 나머지 Fi,j값들을 구한다.

제11.9절 그릭스

유럽형콜옵션가치 ct = c(St, τ)와 유럽형풋옵션가치 pt = p(St, τ)는 St,K, r, τ와 σ의 함수

이다. 이 중에서 K, r과 σ는 고정된 상수들, 즉 모수들이다. 반면에, St와 τ는 변수들이다.

포트폴리오가치나 옵션가치를 이 모수들과 변수들로 미분한 것을 그릭스(Greeks)라 한다. 이

들을이렇게부르는이유는이미분함수들을 ∆,Γ,Θ, ρ등그리스문자들로표시하기때문이다.

파생상품가치를변동성 σ로미분한것을베가(Vega)라고한다. 베가는그리스문자가아니다.

사전에 따르면, 베가는 거문고자리 (Lyra)의 일등성인 직녀성이다. 원래는 거문고자리의 세

별들 Alpha, Epsilon 그리고 Zeta를 의미한다. 아마도, 이러한 이유로 베가를 사용한 것 같다.


−d22

2= −d

21

2+ ln St

K+ rτ (11.9.1)

이 절에서는 식 (11.9.1)이 자주 사용될 것이다.

11.9.1 Delta (∆)

금융파생상품가치의 델타(Delta)를 다음과 같이 정의한다.

∆.=∂F

∂St(11.9.2)

델타는 포트폴리오의 헷징에서 중요한 역할을 한다. Black-Scholes방정식을 유도할 때 가정한

델타헷징이 이 ∆이다. 원자산 St가 상승할 때, 원자산을 ∂F/∂St만큼 공매하고 파생상품을

1단위 매입함으로써 무위험포트폴리오를 만들 수 있다.

정리 11.9.1

유럽형콜옵션과 유럽형풋옵션의 ∆는 다음과 같다.

∆c =∂ct∂St

= N(d1) > 0

∆p =∂pt∂St

= −N(−d1) < 0

그릭스 561


∂N(d1)

∂St=∂N(d1)

∂d1

∂d1∂St

=1√

2π σ√τ St

exp(−d

21

2

)(1)

∂N(d2)

∂St=

1√2π σ

√τ St

exp(−d

22

2

)(2)


St∂N(d1)

∂St−Ke−rτ ∂N(d2)

∂St=

1√2π σ

√τ

exp

(−d

21

2

)− K

Ste−rτ exp

(−d

22

2

)(3)

식 (3)에 식 (11.9.1)을 적용하면, 다음 식을 얻는다.

St∂N(d1)


∂St= 0 (4)


∂ct∂St

= N(d1) +

[St∂N(d1)


∂St

](5)

식 (4)와 식 (5)에서 알 수 있듯이, 유럽형콜옵션의 ∆는 다음과 같다.

∆c =∂ct∂St

= N(d1) > 0 (6)

식 (6)과 식 (11.6.20)에서 알 수 있듯이, 유럽형풋옵션의 ∆는 다음과 같다.

∆p = ∆c − 1 = N(d1)− 1 = −N(−d1) < 0 (7)

<정리 11.9.1>을 해석하면 다음과 같다. 유럽형콜옵션의 델타 ∆c는 양이다. 따라서,

만약 원자산 St가 상승하면, 유럽형콜옵션가치는 높아진다. 반면에, 유럽형풋옵션의 델타 ∆p

는 음이다. 따라서, 만약 원자산 St가 상승하면, 유럽형풋옵션가치는 낮아진다. 만약 τ → ∞

이면, d1 → +∞이고 따라서 ∆c → 1이다. 만약 τ → 0이고 또한 St > K이면, ∆c → 1

이다. 만약 τ → 0이고 또한 St < K이면, ∆c → 0이다. 만약 τ → 0이고 또한 St = K이면,

∆c → 1/2이다.


11.9.2 Rho (ρ)

무위험이자율 r이 변화할 때 파생상품가치 F (St, t)가 어떻게 변화하는지를 나타내는 척도로

다음과 같이 정의되는 로 (rho)를 사용한다.

ρ.=∂F

∂r(11.9.3)

정리 11.9.2

유럽형콜옵션과 유럽형풋옵션 ρ는 다음과 같다.

ρc =∂ct∂r

= τKe−rτN(d2) > 0

ρp =∂pt∂r

= −τKe−rτN(−d2) < 0

증명. 식 (11.6.19)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

ρc =∂ct∂r

=

[St∂N(d1)

∂d1

∂d1∂r

−Ke−rτ ∂N(d2)

∂d2

∂d2∂r

]+ τKe−rτN(d2)

=

[St∂N(d1)

∂d1−Ke−rτ ∂N(d2)

∂d2

]∂d1∂r

+ τKe−rτN(d2) (1)

여기서 두 번째 등호는 ∂d2∂r = ∂d1

∂r 에 의해서 성립한다. 식 (11.9.1)에서 알 수 있듯이, 다음


St∂N(d1)

∂d1−Ke−rτ ∂N(d2)

∂d2= 0 (2)


ρc = τKe−rτN(d2) (3)

식 (3)과 식 (11.6.20)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

ρp =∂pt∂r

=∂ct∂r

+∂

∂r[Ke−rτ − St] = −τKe−rτN(−d2) (4)

그릭스 563

<정리 11.9.2>를 해석하면 다음과 같다. 만약 무위험이자율 r이 높아지면, 만기시점에서

유럽형콜옵션을 행사하는데 드는 비용의 현재가치가 작아진다. 따라서, 유럽형콜옵션가치는

높아진다. 즉, 식 ρc > 0가 성립한다. 만약 무위험이자율 r이 높아지면, 만기시점에서

유럽형풋옵션을 행사하는데 드는 비용의 현재가치는 커진다. 따라서, 유럽형풋옵션가치는

낮아진다. 즉, 식 ρp < 0가 성립한다.

11.9.3 Theta(Θ)

시점 t가 경과함에 따라 파생상품가치 F (St, t)가 어떻게 변화하는지를 나타내는 척도로

다음과 같이 정의되는 쎄타(Theta)를 사용한다.

Θ.=

∂F

∂t(11.9.4)

정리 11.9.3

유럽형콜옵션과 유럽형풋옵션의 Θ는 다음과 같다.

Θc =∂ct∂t

= − St1√2π

σ

2√τ

exp(−d

21

2

)− rKe−rτN(d2) < 0

Θp =∂pt∂t

= − St1√2π

σ

2√τ

exp(−d

21

2

)+ rKe−rτN(−d2)

증명. 식 (11.6.19)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

Θc =∂ct∂t

= −∂ct∂τ

= −St∂N(d1)

∂d1

∂d1∂τ


∂d2

∂d2∂τ

+ rKe−rτN(d2)

= −

St

1√2π

exp(−d

21

2

)∂d1∂τ

−Ke−rτ 1√2π

exp(−d

22

2

)∂d2∂τ

+ rKe−rτN(d2)

(1)


Θc = −St1√2π

exp(−d

21

2

)(∂d1∂τ

− ∂d2∂τ

)− rKe−rτN(d2) (2)


식 (11.9.1)을 식 (2)에 대입하면, 다음 식을 얻는다.

Θc = −St1√2π

σ

2√τ

exp(−d

21

2

)− rKe−rτN(d2) (3)

식 (3)의 우변이 음수임은 자명하다.

식 (3)과 식 (11.6.20)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

Θp =∂pt∂t

= −∂pt∂τ

= −∂ct∂τ

+ rKe−rτ

= −St1√2π

σ

2√τ

exp(−d

21

2

)+ rKe−rτ 1−N(d2)

= −St1√2π

σ

2√τ

exp(−d

21

2

)+ rKe−rτN(−d2) (4)

<정리 11.9.3>에서 식 Θc < 0를 해석하면 다음과 같다. 시점 t가 작을수록, 즉 만기시점

T까지 잔여기간 τ가 길수록, 유럽형콜옵션가치가 높다. <정리 11.9.3>에서 알 수 있듯이,

Θp는 양수일 수도 음수일 수도 있다.

11.9.4 Gamma (Γ)

원자산 St가변화할때파생상품가치 F (St, t)의변화율인∆가어떻게변화하는지를나타내는

척도로서 다음과 같이 정의되는 감마(Gamma)를 사용한다.

Γ.=∂∆

∂St=

∂

∂St

(∂F

∂St

)=∂2F

∂S2t

(11.9.5)

이 Γ는 파생상품가치 F = F (St, t)의 원자산 St에 대한 2차미분인 곡률(curvature)을 나타

낸다. 따라서, Γ를 곡률이라 부르기도 한다.

정리 11.9.4

유럽형콜옵션과 유럽형풋옵션의 Γ는 다음과 같다.

Γp = Γc =1√

2π σ√τ St

exp(−d

21

2

)> 0

그릭스 565


Γc =∂∆c

∂St=∂2c

∂S2t

=∂N(d1)

∂St=

1√2π σ

√τ St

exp(−d

21

2

)> 0 (1)

Γc =∂∆p

∂St=∂(∆c − 1)

∂St=∂∆c

∂St= Γc (2)

<정리 11.9.4>를 해석하면, 다음과 같다. 만약 원자산 St가 높아지면, 위험중립적인

포트폴리오를 유지하기 위해서 ∆를 크게 해야 한다.

11.9.5 베가

Black-Scholes방정식을유도할때, 원자산 St는 Black-Scholes확률과정을따른다고가정했다.

즉, St의 변동성 σ가 일정하다고 가정했다. 그러나, 실제 시장에서 변동성은 시점 t에 대해서

상수가아니다. 변동성 σ가변화할때파생상품가치 F (St, t)가어떻게변화하는지를나타내는

척도로 다음과 같이 정의되는 베가(Vega)를 사용한다.

ν.=∂F

∂σ(11.9.6)

정리 11.9.5

유럽형콜옵션과 유럽형풋옵션의 베가는 다음과 같다.

∂ct∂σ

=∂pt∂σ

=1√2πSt√τ exp

(−d

21

2

)> 0

증명. 식 (11.6.19)에서 알 수 있듯이, 유럽형콜옵션의 베가는 다음 식들을 만족한다.

∂ct∂σ

= St∂N(d1)

∂d1

∂d1∂σ


∂d2

∂d2∂σ

= St1√2π

exp(−d

21

2

)∂d1∂σ

−Ke−rτ 1√2π

exp(−d

22

2

)∂d2∂σ

(1)


식 (1)의 우변에 식 (11.9.1)을 대입하면, 다음 식을 얻는다.

∂ct∂σ

=1√2πSt√τ exp

(−d

21

2

)> 0 (2)

식 (2)와 식 (11.6.20)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

∂pt∂σ

=∂ct∂σ

+∂

∂σ[Ke−rτ − St] =

∂ct∂σ

> 0 (3)

<정리 11.9.5>에서 알 수 있듯이, 변동성 σ가 커지면 유럽형콜옵션가치와 유럽형풋옵

션가치가 높아진다. 만약 변동성 σ가 커진다면, 원자산 St의 변동도 커진다. 즉, 만기시점

T에서 ST −K또는 K − ST 가 커지고, 따라서 유럽형콜옵션 또는 유럽형풋옵션의 수익이

커질 가능성은 높아진다. 이것이 유럽형콜옵션의 베가와 유럽형풋옵션의 베가가 양수라는

의미이다. 금융시장에서 통용되는 다음과 같은 말을 생각해 보라.

움직임이 적은 시장에서 시장참여자는 돈을 벌 수 없다. 확실한 변동성이야말로

재산을 모으는 열쇠이다. 시장이 변동하고 있는 한, 돈벌이 기회는 있다. 따라서

시장은 가격변동을 조장하게 되어 있다

11.9.6 옵션의 탄력성

원자산 St가 1% 변화하면 파생상품가치 F (St, t)는 몇 % 변화하는가를 나타내는 탄력성

(elasticity)을 다음과 같이 정의하고, 람다(lambda)로 표기하기도 한다.

λF.=∂lnF∂lnSt

=∂FF∂StSt

=∂F

∂St

StF

(11.9.7)

정리 11.9.6

그릭스 567

유럽형콜옵션과 유럽형풋옵션의 탄력성은 다음과 같다.

λc = N(d1)St

StN(d1)−Ke−rτN(d2)> 1

λp = −N(−d1)Stpt< 0

증명. 식 (11.6.19)에서 알 수 있듯이, 유럽형콜옵션의 탄력성은 다음과 같다.

λc =∂ct∂St

Stct

=StN(d1)

StN(d1)−Ke−rτN(d2)> 1 (1)

식 (11.6.21)에서 알 수 있듯이, 유럽형풋옵션의 탄력성이 다음 식들을 만족함을 알 수

있다.

λp =∂pt∂St

Stpt

= −N(−d1)Stpt< 0 (2)

<정리 11.9.6>에서 알 수 있듯이, 식 λc > 1이 성립한다. 즉, 원자산 St가 1% 변화하면,

유럽형콜옵션가치 c는 1%보다 크게 변화한다. 이는 유럽형콜옵션이 원자산보다 위험하다는

것을 의미한다. 만약 St > K이고 또한 τ → 0이면, 식 |λp| > 1이 성립한다. 이 경우에는

유럽형풋옵션이 원자산보다 위험하다.

11.9.7 행사가격에 대한 변화율

행사가격 K가 변화할 때, 유럽형콜옵션가치 c(St, t)와 유럽형풋옵션가치 p(St, t)가 어떻게

변화하는지 살펴보자.

정리 11.9.7

유럽형콜옵션가치 ct = c(St, t)와 유럽형풋옵션가치 pt = p(St, t)의 행사가격 K에 대한

변화율은 다음과 같다.

∂ct∂K

= −e−rτN(d2) < 0

∂pt∂K

= e−rτN(−d2) > 0



∂N(d1)

∂K=∂N(d1)

∂d1

∂d1∂K

=1√2π

exp(−d

21

2

)∂d1∂K

(1)

∂N(d2)

∂K=

1√2π

exp(−d

22

2

)∂d2∂K

(2)

식 (1), 식 (2), 그리고 식 (11.6.19)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

∂ct∂K

=

St

1√2π

exp(−d

21

2

)∂d1∂K

−Ke−rτ 1√2π

exp(−d

22

2

)∂d2∂K

− e−rτN(d2) (3)

식 (3)의 우변에 식 (11.9.1)을 대입하면, 다음 식들을 얻는다.

∂Ct

∂K= −e−rτN(d2) < 0 (4)

식 (4)와 식 (11.6.20)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

∂p

∂K=

∂c

∂K+ e−rτ = e−rτ1−N(d2) = e−rτN(−d2) > 0 (5)

<정리 11.9.7>을해석하면다음과같다. 행사가격K가높아지면, 유럽형풋옵션가치 pt는

높아지는 반면에 유럽형콜옵션가치 ct는 낮아진다. Dupire (1994, 1997)는 국소변동성(local

volatility)을 유도하는 데 정리 11.9.7을 사용한다.

11.9.8 다른 그릭스

이 소절에서는 좀 더 다양한 그릭스에 대해서 살펴보자. 이 소절에서 D는 원자산에 대한

연속배당률을 의미한다.

변동성 σ의 변화량에 대한 델타 ∆의 변화량을 배나(vanna)라고 한다. 즉, 다음 식들이

성립한다.

V anna.=∂∆

∂σ=

∂2Vt∂σ∂St

=∂ν

∂St(11.9.8)

그릭스 569

여기서 ν는 베가이다. 유럽형콜옵션의 배나와 유럽형풋옵션의 배나는 다음과 같다.

V annac = V annaP = −e−Dτn(d1)d2σ

=ν

St

[1− d1

σ√τ

](11.9.9)

식 (11.9.8)에서 알 수 있듯이, 배나를 DdeltaDvol 또는 DvegaDspot이라고도 부른다. 즉,

배나는 변동성의 변화량에 대한 델타의 민감성 또는 원자산의 변화량에 대한 베가의 민감성을

나타낸다. 따라서, 배나는 델타헷지된 포트폴리오나 베가헷지된 포트폴리오의 민감성을

관찰하는 데 유용하다.

시점 t의 변화량에 대한 델타 ∆의 변화량을 참(charm)이라고 한다. 즉, 다음 식들이

성립한다.

Charm.= −∂∆

∂τ= − ∂2Vt

∂τ∂St=

∂θ

∂St(11.9.10)

유럽형콜옵션의 참과 유럽형풋옵션의 참은 각각 다음과 같다.

CharmC = De−DτN(d1)−1

2στ√τ

2[r −D]τ − σ

√τd2e−Dτn(d1) (11.9.11)

CharmP = −De−DτN(−d1)−1

2στ√τ

2[r −D]τ − σ

√τd2e−Dτn(d1) (11.9.12)

식 (11.9.10)에서 알 수 있듯이, 참을 DdeltaDtime 또는 DthetaDspot이라고도 부른다. 즉,

참은시간의변화량에대한델타의민감성또는원자산의변화량에대한쎄타의민감성을나타

낸다. 따라서, 참은 델타헷지된 포트폴리오나 쎄타헷지된 포트폴리오의 민감성을 모니터하는

데 유용하다. 참을 나타내는 단위는 델타/연 (delta/year)이다. 옵션이 만기에 다가가면, 참

자체의 변화가 심해지고 따라서 신뢰하기가 어렵다.

변동량 σ의 변화량에 대한 베가 ν의 변화량을 보마(vomma)라고 한다. 즉, 다음 식들이

성립한다.

V omma.=∂ν

∂σ=∂2Vt∂σ2

(11.9.13)

보마를 볼가(volga), 베가볼록성(vega convexity), 베가감마(vega gamma), DvegaDvol 등으

로도 부른다. 유럽형콜옵션의 보마와 유럽형풋옵션의 보마는 다음과 같다.

V ommaC = V ommaP = Ste−Dτn(d1)

√τd1d2σ

= νd1d2σ

(11.9.14)


잔여시간 τ의 변화량에 대한 베가 ν의 변화량을 베타 (veta) 또는 DvegaDtime이라 한다.

그러나, 한글에서는 veta와 beta를구별할수없으므로 DvegaDtime으로부르기로하자. 다음


DvegaDtime.=∂ν

∂τ=

∂2Vt∂σ∂τ

= −∂Θ∂σ

(11.9.15)

유럽형콜옵션의 DvegaDtime과 유럽형풋옵션의 DvegaDtime은 다음과 같다.

DvegaDtimeC = DvegaDtimeP

= Ste−Dτn(d1)

√τ

D +

[r −D]d1σ√τ

− 1 + d1d22τ

(11.9.16)

원자산 St의 변화량에 대한 감마 Γ의 변화량을 스피드(speed)라고 한다. 즉, 다음 식들이

성립한다.

Speed.=

∂Γ

∂St=∂2∆

∂S2t

=∂3∆

∂S3t

(11.9.17)

유럽형콜옵션의 스피드와 유럽형풋옵션의 스피드는 각각 다음과 같다.

SpeedC = − 1

St

[1 +

d1σ√τ

]Γ (11.9.18)

SpeedP = − d1σ√τΓ (11.9.19)

식 (11.9.17)에서알수있듯이, 스피드를 DgammaDspot이라고도부른다. 스피드는원자산의

변화량에 대한 감마의 민감성을 나타낸다.

잔여기간 τ의 변화량에 대한 감마 Γ의 변화량을 칼라(color)라고 한다. 즉, 다음 식들이

성립한다.

Color.=∂Γ

∂τ=

∂3Vt∂S2

t ∂τ(11.9.20)

유럽형콜옵션의 칼라와 유럽형풋옵션의 칼라는 다음과 같다.

ColorC = ColorP

= −e−Dτn(d1)1

2Stστ√τ

1 + 2Dr +

2[r −D]τ − d2σ√τ

σ√τ

d1

(11.9.21)

그릭스 571

식 (11.9.20)에서 알 수 있듯이, 칼라를 DgammaDspot이라고도 부른다. 칼라는 잔여기간의

변화량에 대한 감마의 민감성을 나타낸다.

변동성 σ의 변화량에 대한 보마의 변화량을 울티마(ultima)라고 한다. 즉, 다음 식들이

성립한다.

Ultima.=∂vomma

∂σ=∂2ν

∂σ2=∂3Vt∂σ3

(11.9.22)

울티마를 DvommaDvol로도 부른다. 유럽형콜옵션의 울티마와 유럽형풋옵션의 울티마는

다음과 같다.

UltimaC = UltimaP = − ν

σ2[d1d2 − d21d

22 + d21 + d22

](11.9.23)

변동성 σ의 변화량에 대한 감마 Γ의 변화량을 조마(zomma)라 한다. 즉, 다음 식들이

성립한다.

Zomma.=∂Γ

∂σ=

∂3Vt∂S2

t ∂σ=∂vanna

∂St(11.9.24)

유럽형콜옵션의 조마와 유럽형풋옵션의 조마는 다음과 같다.

ZommaC = ZommaP =d1d2 − 1

σΓ (11.9.25)

식 (11.9.24)에서 알 수 있듯이, 조마를 DgammaDvol이라고도 부른다. 조마는 변동성의

변화량에 대한 감마의 민감성 또는 원자산의 변화량에 대한 배나의 민감성을 나타낸다.

11.9.9 내재변동성

유럽형콜옵션가치 ct = c(St, t)와 유럽형풋옵션가치 pt = p(St, t)는 원자산 St, 행사가격 K,

무위험이자율 r, 만기시점까지 잔여기간 τ , 그리고 변동성 σ의 함수들이다. 이 중에서 변동성

σ를 제외한 나머지는 관찰이 가능하다. 물론, 변동성 σ값을 과거 시계열데이터로부터 추정할

수 있다. 이렇게 과거 시계열데이터에서 추정된 σ값을 역사적 변동성 (historical volatility)

이라 한다. 역사적 변동성은 추정기간이나 추정법에 따라 그 추정값이 다르다. 더구나, 옵션의

존속기간 중 변동성은 미래 변동성이고, 과거 변동성으로 미래 변동성을 정확히 예측할 수

없다. 또한, 옵션의 존속기간 중 변동성이 일정하다는 보장도 없다. 따라서, 변동성을 직접


추정하는 것은 거의 불가능하다.

우리는 변동성을 직접 알 수는 없다. 그러나, 시장은 변동성을 알고 있고, 옵션의 시장가격

에는 이미 변동성에 대한 정보가 들어가 있다. Black-Scholes식을 사용해서 말한다면, St,K, r

과 τ를 이미 알고 있으므로, 옵션가치는 오로지 미지인 변동성 σ에 의해 움직이고 있다고

생각할 수 있다. 예를 들어, 시장에서 유럽형콜옵션가치 ct가 주어졌다면, Black-Scholes식

(11.6.19)에 ct, St,K, r과 τ를 대입해서 σ값을 구한다. 이렇게 구한 σ값은 콜옵션가치 ct에

포함되어 있는 변동성이다. 이러한 σ값을 내재변동성(implied volatility)이라 부른다.

이 내재변동성을 구하는, 즉 콜옵션가치를 나타내는 방정식 ct = c(St, t)를 St,K, r과 τ가

주어진 조건 하에서 σ에 대해 푸는 문제를 생각해 보자. 이 문제는 비선형문제이다. <정리

11.9.5>에서 알 수 있듯이, 콜옵션의 베가와 풋옵션의 베가는 양수들이다. 즉, 콜옵션가치 ct

와 풋옵션가치 pt는 변동성 σ의 단조증가함수들이다. 따라서, 식 (11.6.19)이나 식 (11.6.21)

에 Newton-Raphson법과 같은 비선형방정식의 해를 구하는 반복법(iterative method)을 적

용해서 내재변동성을 구할 수 있다. 제11.12절에서 변동성에 대해 다시 다룰 것이다.

제11.10절 Black-Scholes환경과 옵션가치평가

11.10.1 Black-Scholes 환경

지금까지 소개한 Black-Scholes식은 다음과 같은 환경에서 유도된 것이다. 즉, 다음과 같은

조건들이 만족될 때 Black-Scholes방정식이 타당성을 갖는다.

첫째, 원자산 St는 이자율에 민감하지 않다.

둘째, 원자산에는 배당지불 (payout)이 없다.

셋째, 금융파생상품은 만기시점 T까지 권리행사가 불가능한 유럽형이다.

넷째, 무위험이자율은 상수이다.

다섯째, 금융자산은 무한히 분할가능하고, 수수료나 매수호가와 매도호가의 차이 (bid-ask

spread) 등 거래비용이 존재하지 않는다.

파생상품가치를 평가할 때, 이 조건들 중 하나 이상이 만족되지 않는 경우가 대부분이다.

그런 경우에는 Black-Scholes방정식이 현실을 반영하지 못하고, 따라서 새로운 편미분방정

식을 찾지 않으면 안 된다. Black-Scholes식은 Black-Scholes방정식에다 원자산과정 St가

Black-Scholes확률과정이라는 가정을 추가해서 얻은 것임을 상기하라.

Black-Scholes환경과 옵션가치평가 573

11.10.2 중간배당이 있는 Black-Scholes모형

단위시간 당 일정한 비율 A로 중간배당을 지불하는 주식의 주가를 원자산으로 하는 콜옵션의

경우에는 Black-Scholes방정식을 아주 조금만 변화시켜 새로운 편미분방정식을 구할 수 있다.

다음 식을 만족하는 무위험포트폴리오를 구축하기로 하자.

Pt = θ1,tF (St, t) + θ2,tSt (11.10.1)

포트폴리오의 가중값들을 θ1,t = 1과 θ2,t = −FS 라 놓으면, 예측불가능한 확률적 요소는

소거되고, 다음 식을 만족하는 완전한 헷지포지션이 구성된다.

dPt = Ftdt+1

2FSSσ

2t dt (11.10.2)

지금까지는 앞에서 논의한 Black-Scholes접근법과 전혀 차이는 없다. 그 이유는 중간배당에

확률적 요소가 배제되어 있기 때문이다. 차이가 발생하는 것은 이 포트폴리오가 얼마로 평가

되어야 하는지를 생각할 때이다. 무재정시장에서 완전히 예측가능한 수익은 무위험채권에

투자해서 얻어지는 수익과 같아야만 한다. 이 원자산에는 단위시간당 배당률 A인 중간배당을

지불하고 있다. 따라서, 포트폴리오의 가치변화에 의한 수익과 수취된 중간배당의 합계가

무위험포트폴리오의 수익과 같아지지 않으면 안 된다. 즉, 다음 식이 성립한다.

dPt +Adt = rPtdt (11.10.3)

식 (11.10.3)을 식 (11.10.2)에 대입하면, 다음 편미분방정식을 얻는다.

rF − rFSSt −A− Ft −1

2FSSσ

2t = 0 (11.10.4)

식 (11.10.4)에서 A는 상수이다. 따라서, 단위시간당 배당률 A인 중간배당을 하는 주식을

원자산으로 하는 유럽형옵션의 가치평가에는 큰 문제가 없다.

원자산에중간배당이시가로되는경우를살펴보자. 만약각주식당시가배당률이 D이고,

또한 만약 시가 Stδ의 주식을 보유하고 있다면, 시간구간 (t, t +∆t] 동안 중간배당 DStδ∆t

를 받는다. 즉, 단위시간당 배당률은 A = DStδ이다. 이 경우에 식 (11.1.16)을 다음과 같이


변형해야 한다.

dPt =

[Ft +

1

2σ2tFSS

]dt+ [FS − δ]dSt − [DStδ]dt (11.10.5)

식 (11.10.5)에 델타헷징 δ = FS를 적용하면, 무재정조건에 의해서 다음 식이 성립한다.

Ft +1

2σ2tFSS + [r −D]StFS − rF = 0 (11.10.6)

식 (11.10.6)은 식 (11.10.4)와 정합적이며, 또한 식 (11.1.9)에서 r을 r − D로 바꾼 것에

불과하다. 따라서, <정리 11.6.1>의 Black-Scholes식에서 d1과 d2를 다음과 같은 dM1 과 dM2

으로바꾸면, 시가중간배당이있는주식을원자산으로하는유럽형콜옵션가치의 Black-Scholes

식이 된다.

dM1 =1

σ√τ

ln StK

+ [r −D +σ2

2]τ

(11.10.7)

dM2 =1

σ√τ

ln StK

+ [r −D − σ2

2]τ

(11.10.8)

이러한중간배당이있는 Black-Scholes모형을 Merton모형또는 Black-Scholes-Merton모형이

라 부르기도 한다. 이에 대해서는 <정리 5.10.1>을 참조하라.

11.10.3 이색옵션의 가치평가

만기시점이 고정된 것이 아니라 확률적인 옵션을 생각해 보자. 예를 들어, barrier옵션인

down-and-out옵션, up-and-out옵션 등이 만기시점이 확률적인 옵션들이다. 이 울타리옵션

들의 지불금액함수는 만기시점까지 원자산이 어떤 울타리를 넘었는지 여부에 의존한다. 만약

이 울타리를 넘으면, 옵션의 만기시점가치는 변한다. 이 소절에서는 이러한 이색옵션(exotic

option) 몇가지를간단히소개하고, Black-Scholes환경하에서이러한이색옵션의가치평가에

대해 간단히 살펴보자.

첫째, Lookback옵션을 살펴보자. 표준적 유럽형콜옵션이 ITM(in the money)에서 만기

시점을 맞이하면 이 콜옵션의 만기시점가치는 ST −K이다. 여기서 ST 는 만기시점 T에서

원자산이고, K는 행사가격이다. 변동lookback콜옵션의 경우, 만기시점까지 관찰된 원자산의

최저가를 Smin이라 하면, 만기시점가치는 ST − Smin이다. 한편, 고정 lookback콜옵션의

만기시점가치는 Smax에서 고정된 행사가격 K를 뺀 차와 0 중에서 큰 값 [Smax −K]+이다.

여기서 Smax는 옵션의 만기시점까지 관찰된 원자산의 최고가이다. 이 옵션은 만기시점까지

Black-Scholes환경과 옵션가치평가 575

어떤 시점에서 ITM이 되면 양의 만기시점가치가 보증된다는 특성을 갖고 있다. 따라서,

그 외의 모든 조건들이 동일하다고 하면, 이 옵션은 당연히 표준적 유럽형콜옵션에 비해서

고가이다.

둘째, ladder옵션을 살펴보자. Ladder옵션은 몇 개의 상한값들 (thresholds)을 지니고

있어서, 원자산이 이 상한값들에 도달하는 경우에 옵션의 만기시점가치가 고정되어 (locked

in) 버린다.

셋째, knock-in옵션을 살펴보자. Knock-in옵션의 예를 들면, 만기시점까지 원자산이

울타리를 밑돌면, 그 옵션소유자에게 유럽형옵션을 준다. 만약 울타리에 도달하지 않으면,

옵션은 소멸된다. 이 경우에 어느 정도 리베이트 (rebate)를 지급하기도 한다. 이러한 옵션을

down-and-in옵션이라고 부른다.

넷째, knock-out옵션을 살펴보자. Knock-out옵션의 예를 들면, 만기시점까지 원자산이

울타리를 밑도는 경우에 권리가 소멸되는 유럽형옵션이다. 만약 원자산이 울타리에 도달하면,

이 옵션에는 리베이트가 지불되기도 한다. 만약 원자산이 울타리에 도달하지 않으면, 보통

유럽형옵션이다. 이러한 옵션을 down-and-out옵션이라고 부른다.

다섯째, basket옵션은 복수의 금융상품가격들의 바구니 (basket)를 원자산으로 하는 파생

상품이다. 이러한 바구니는 각 금융상품이 갖는 변동성을 감소시킨다. 진입시장 (emerging

market)의 금융파생상품인 경우에는 basket옵션이 적절하다.

여섯째, 다중자산옵션(multi-asset option)은 두 가지 이상 원자산들에 의존하는 만기시점

가치를 갖는다. 원자산들을 S1,t와 S2,t로 하는 이색옵션들을 살펴보자. 만기시점에서 다음과

같은 만기시점가치를 지니는 콜옵션을 생각할 수 있다.

F (S1,T , S2,T , T ) = [max S1,T , S2,T −K]+ (11.10.9)

만기시점에서 다음과 같은 만기시점가치를 지니는 스프레드콜옵션을 생각할 수 있다.

F (S1,T , S2,T , T ) = [S1,T −2,T −K]+ (11.10.10)

만기시점에서 다음과 같은 만기시점가치를 지니는 콜옵션을 생각할 수 있다.

F (S1,T , S2,T , T ) = [α1,tS1,T + α2,tS2,T −K]+ (11.10.11)

여기서 α1,t와 α2,t는 사전에 정해진 포트폴리오의 투자비율이다. 또한, 만기시점에서 다음과


같은 만기시점가치를 지니는 쌍행사가격옵션(dual strike option)을 생각할 수 있다.

F (S1,T , S2,T , T ) = maxS1,T −K1, S2,T −K2, 0 (11.10.12)

이러한 이색옵션들의 환경과 표준적 Black-Scholes환경 사이에는 세 가지 큰 차이점들이

있다. 첫째, 만기시점에서 옵션가치가 만기시점까지 일어나는 어떠한 사건에 의존할 수 있다.

예를들어, 만기시점에서옵션가치가원자산의최대값에의존할수도있다. 즉, 유럽형옵션보다

복잡한말기조건을갖는다. 둘째, barrier옵션처럼확률적인만기시점을가질수도있다. 셋째,

옵션이 두 가지 이상 원자산들에 대해서 계약될 수도 있다. 이들은 모두가 Black-Scholes

환경에서 도출한 기본적 경계값 문제에 변화를 초래할 수 있다.

한 예로서, 녹아웃옵션들의 하나인 down-and-out콜옵션에 대해 생각해 보자. 시점

u(∈ (t, T ))에서 아래울타리를 Ku라 하고, F (Su, u,Ku)를 시점 u에서 옵션가치라 하자. 이

옵션의만기시점 T까지기간에원자산 Su가하락해서Ku에도달하면, 옵션소유자는리베이트

Ru를 수취하고 옵션은 즉각 소멸한다. 그렇지 않으면, 이 옵션은 보통 유럽형옵션이 된다.

이 down-and-out콜옵션에 적절한 편미분방정식과 표준적 Black-Scholes방정식과의 중요한

차이는 경계조건에 있다. 시점 u(∈ [t, T ])에서 원자산 Su가 울타리 Ku를 상회하고 있는 한,

표준적인 경우와 같은 편미분방정식이 이용된다. 즉, 만약 각 시점 u(∈ [t, T ])에서 Su ≥ Ku

이면, 다음 식들이 성립한다.

− rF + Ft + rFSSt +1

2σ2tFSS = 0 (11.10.13)

F (ST , T,KT ) = [ST −KT ]+ (11.10.14)

그러나, 만약 부등식 Su < Ku를 만족하는 시점 u(∈ [t, T ])가 존재하면, 다음 식이 성립한다.

F (Su, u,Ku) = Ru (11.10.15)

따라서, 편미분방정식의 형식은 동일하지만, 경계조건은 다르다. 결과적으로, 이 barrier

옵션의 가치평가식 F (St, t,Kt)은 표준적 Black-Scholes식과 다르다.

복제포트폴리오의 재구성 577

제11.11절 복제포트폴리오의 재구성

복제포트폴리오를 사용해서 옵션을 헤징할 때, 복제포트폴리오의 재구성횟수와 복제포트폴

리오의 성능 사이 관계에 대해 살펴보자.

복제포트폴리오를 재구성하는 횟수가 0라는 것은 옵션매도자가 초기시점 t에서 옵션을 매

도한후아무런추가적투자행위를하지않는다는것이다. 이경우에옵션매도자의보유자산은

초기시점 t에서 이 옵션을 매각해서 받은 대금뿐이다. 예를 들어, 유럽형콜옵션의 만기시점 T

에서가치 [ST −K]+가유럽형콜옵션의초기시점 t에서가격 Ct보다큰경우는옵션매도자는

손실을 입고, 반대 경우에는 이익을 얻는다. 이렇게 옵션매도자가 아무런 조치도 취하지 않는

포지션을 순수포지션 (naked position)이라 부른다. 만약 만기시점 T에서 원자산이 행사가

격을 하회하면, 콜옵션가치는 0이 되므로 순수포지션을 취하는 옵션매도자는 Ct만큼 이익을

얻는다. 즉, 옵션매도자에게 이익이 발생하므로, 옵션매도자는 이 유럽형콜옵션을 헷지하기

위해 복제포트폴리오를 구성할 필요가 없는 것처럼 보인다. 그러나, 만약 만기시점 T에서

원자산 ST 가 행사가격 K를 상회하면, 옵션매도자는 ST − K를 옵션매입자에게 지급해야

한다. 즉, 옵션매도자는 ST − K에서 erτCt를 뺀 만큼 손해를 본다. 만기시점 T 에서 이

순수포지션의 가치가 이익을 발생시킬지 손실을 발생시킬지를 초기시점 t에서 알 수는 없다.

더구나, 만약만기시점 T에서원자산 ST 가행사가격 K를훨씬상회하면, 이옵션매도자는큰

손실을 입게 된다. 따라서, 옵션판매자는 복제포트폴리오를 구성해서 이 옵션의 숏포지션을

헷지해야 한다. 옵션판매자는 만기시점 T에서 복제포트폴리오의 가치와 옵션의 지불금액의

차이를헷지오차로간주하고, 가능한한이헷지오차가작아지도록복제포트폴리오를구성해야

한다. 만약 헷지오차가 음수이면, 옵션매도자는 손실을 입는다.

시점 t에서 복제포트폴리오가치 Vt는 다음 조건들을 만족한다. 첫째, 복제포트폴리오의

초기시점 t에서 가치는 유럽형콜옵션가치와 같다. 즉, 식 Vt = Ct가 성립한다. 둘째, 시점

s(∈ (t, T ])에서 옵션매도자의 원자산 보유단위수가 ∆s이면, 원자산에 대한 투자액은 ∆s×Ss

이다. 셋째, 자기금융조건(self-financing condition)을만족한다. 원자산이기하Brown운동을

따르는 경우에는, 연속적으로 ∆s를 조정함으로써 복제포트폴리오가치가 항상 옵션가치와

동일하게만들수있다. 이 경우에 ∆s는유럽형콜옵션의델타이고, Black-Scholes환경하에서


∆s.=∂Cs

∂Ss= N(d1) (11.11.1)

이상적으로 말하면, 연속적으로 ∆s를 조정함으로써 항상 헷지오차를 0으로 만들 수 있지만,


연속적으로 ∆s를 조정하는 것은 현실적으로 불가능하다. 따라서, 만기시점 T까지 시간구간

[t, T ]를 분할해서 유한개 이산시점들에서 복제포트폴리오를 재구성하는 것이 일반적이다. 앞

에서 언급한 재구성횟수란 시간구간 (t, T ]에서 복제포트폴리오를 구성하는 횟수를 의미한다.

이 재구성횟수가 증가하면, 헷지오차는 작아질 것이다. 그러나, 일반적으로 복제포트폴리오의

재구성에 비용이 들어가므로, 거래비용의 관점에서만 보면 재구성횟수가 적은 편이 바람직

하다.

예제 11.11.1 복제포트폴리오의 재구성횟수가 아주 커지면, 복제포트폴리오가치가 유럽형

콜옵션가치와 비슷함을 보이기 위해서, 다음 R-파일을 실행하자.

1 #---------------------------------------------------------------------------2 # Filename: DelataHedge1.R3 # Dynamic Hedge of European Call Option4 # Programmed by KHW5 #---------------------------------------------------------------------------6 DeltaHedge1 = function(M,numRB)7 message("Number of Subintervals = ", M)8 message("Number of Rebalancing = ", numRB)9 # Generating underlying

10 St = 100 # current underlying11 t = 0 # tenor12 T = 0.513 tau = T-t14 mu = 0.1 # drift parameter15 sigma = 0.25 # volatility16 dt = tau/M17 dW = sqrt(dt)18 vecdW = rnorm(M)*dW19 vecW = cumsum(vecdW)20 vecW1 = seq(from=0, to=0, length.out=length(vecW)+1)21 for(i in seq(from=1,to=length(vecW),by=1)) vecW1[i+1] = vecW[i]22 vect = seq(from=0,to=M,by=1)*dt23 vectau = T - vect24 vectau[M+1] = 2^-5225 vecS = St *exp(mu*vect+sigma*vecW1)26 # Pricing Call Option27 K = 100 # strike price28 r = 0.05 # risk-free interest rate29 vecd1 = 1/(sigma*sqrt(vectau))*(log(vecS/K)+(r+sigma^2/2)*vectau)30 vecd2 = vecd1- sigma*sqrt(vectau)31 vecC = vecS*pnorm(vecd1)- K*exp(-r*vectau)*pnorm(vecd2)32 # Dynamic Hedging33 PortValue = seq(from=0,to=0,length=M+1)34 DeltaC = seq(from=0,to=0,length=M)35 PortValue[1] = vecC[1]36 if(numRB >0)37 DeltaC[1] = pnorm(vecd1[1])38 DCtemp =seq(from=0,to=0,length=M+1)39 DCtemp[1] = DeltaC[1]40 dum1 = 141 dum2 = M/numRB42 for(mm in seq(from=1,to=M,by=1))43 if(mm/dum2 <= dum1)44 DeltaC[mm] = DCtemp[dum1]


45 46 if(mm/dum2 > dum1)47 DeltaC[mm] = pnorm(vecd1[mm])48 DCtemp[dum1+1] = DeltaC[mm]49 dum1 = dum1 +150 51 PortValue[mm+1] = exp(r*dt)*(PortValue[mm]-DeltaC[mm]*vecS[mm])+DeltaC[mm]*

vecS[mm+1]52 53 54 if(numRB <=0)55 PortValue = vecC[1]*seq(from=1,to=1,length=M+1)56 57 HedgeDiff = PortValue -vecC58 FinalDiff = HedgeDiff[M+1]59 message("FinalDiff = ", round(FinalDiff ,digits=4))60 ze = seq(from=0,to=0,length=length(HedgeDiff))61 par(mfrow=c(2,1))62 plot(vect,PortValue ,type="l",xlab="time",ylab="Value",col="black")63 lines(vect,vecC,col="red",lty=2,type="l")64 legend(0,5,c("Portfolio","Call Option"),col=c("black","red"),lty=c(1,2),cex

=0.6)65 plot(vect,HedgeDiff ,type="l",xlab="time",ylab="Difference",col="black")66 lines(vect,ze,type="l",lty=2,col="blue")67

이 R-파일을 실행하기 위해서, R커맨드행에서 다음과 같은 명령문을 실행하자.

>> DeltaHedge1(10000,5000)

이 R명령문을 실행하면, 추세모수가 µ = 0.10이고, 변동성이 σ = 0.25이며, 현재시점

t = 0에서 St = 100인 원자산에 대해서 만기시점 T = 0.5에서 행사가격이 K = 100인

유럽형콜옵션의 가치와 복제포트폴리오가치가 그려진다. 이 경우에 무위험이자율은 r = 0.05

이다. 또한, 잔여기간 [0, 0.5]를 M = 10000개 소구간들로 분할하고, 복제포트폴리오를

재구성하는 횟수는 5000이다. 이 R프로그램에서는 식 (11.11.1)을 사용해서 델타를 구했다.

이 R명령문을 실행한 결과가 그림 11.11.1에 실려있다. 그림 11.11.1의 윗 그래프에서

(적색) 긴점선은 유럽형콜옵션가치를 그리고 (흑색) 실선은 복제포트폴리오가치를 그린 것이

다. 아래 그래프는 복제포트폴리오가치에서 유럽형콜옵션가치를 뺀 헷지오차를 그린 것이다.

또한, 만기시점 T = 0.5에서 복제포트폴리오가치에서 유럽형콜옵션가치를 뺀 헷지오차가

−0.0058이다. 이는 절대값이 작은 수이다.

그림 11.11.2에는 추세모수가 µ = 0.1이고, 변동성이 σ = 0.25이며, 현재시점 t = 0에서

St = 100인 원자산에 대해서 만기시점 T = 0.5에서 행사가격이 K = 100인 유럽형콜옵션의

이론가치와 복제포트폴리오가치가 그려져 있다. 여기서 무위험이자율은 r = 0.05이며, 잔여

기간 [0, 0.5]를 M = 500개 소구간들로 분할하였다. 그림 11.11.2의 좌상 그래프는 초기시점


그림 11.11.1. 헷지오차

t = 0에서 복제포트폴리오를 한 번 구성한 다음에는 복제포트폴리오를 재구성하지 않는

경우이다. 즉, 초기시점 t = 0에서 원자산 St단위, 즉 δtSt어치 매입해서 복제포트폴리오를

구성하고, 그 이후로 만기시점까지 복제포트폴리오를 재구성하지 않는 경우에 해당하는

복제포트폴리오가치와 유럽형콜옵션의 이론가치를 보여준다. 이 경우, 처음에는 복제포트

폴리오가치가 옵션가치를 추종하는 것처럼 보이지만, 시간이 흐름에 따라 오차가 확대되어,

최종적으로는 복제포트폴리오가치와 옵션가치 사이에 큰 차이가 발생함을 알 수 있다. 그림

11.11.2의우상그래프에서포트폴리오의재구성횟수는 1이고, 좌하그래프에서포트폴리오의

재구성횟수는 10이고, 우하 그래프에서 포트폴리오의 재구성횟수는 100이다. 그림 11.11.2

에서알수있듯이, 재구성횟수를증가시키면헷지오차가감소한다. 즉, 복제포트폴리오가치의

이론옵션가치에 대한 추종능력이 향상되는 것을 알 수 있다.

그림 11.11.3은 복제포트폴리오의 재구성횟수가 증가하면 복제포트폴리오가치가 유럽

형콜옵션의 이론가치에 아주 가까워짐을 보여준다. 그림 11.11.3에는 추세모수가 µ = 0.10

이고, 변동성이 σ = 0.25이며, 현재시점 t = 0에서 St = 100인 원자산에 대해서 만기시점

T = 0.5에서 행사가격이 K = 100인 유럽형콜옵션의 이론가치와 복제포트폴리오가치가 그

려진다. 여기서 무위험이자율은 r = 0.05이고, 잔여기간 [0, 0.5]을M = 10000개 소구간들로

분할하였다. 복제포트폴리오를 재구성하는 횟수를 0에서 100씩 10000까지 증가시켰다. 그림

11.11.3에서 확인할 수 있듯이, 재구성횟수가 증가하면 헷지오차가 감소한다.


그림 11.11.2. 유럽형옵션 헷지오차와 재구성횟수

그림 11.11.3. 재구성횟수와 헷지오차


제11.12절 Black-Scholes를 넘어서

11.12.1 변동성스마일

Black-Scholes환경에서 가정하는 것과는 달리 변동성은 행사가격이나 잔여기간의 함수이다.

특히, 행사가격에 대한 변동성의 그래프는 웃는 형태를 보인다. 이러한 현상을 변동성스

마일(volatility smile)과 변동성스큐 (volatility skew)라 부른다. 이 변동성스마일과 변동성

스큐는 옵션가치평가법을 발전시키는 기폭제가 되었다. 이 절에서는 이에 대해서 간단히

기술하고자 한다.

파생상품시장에는 만기시점나 행사가격이 다른 다양한 유럽형파생상품들이 존재한다.

Black-Scholes모형이 이 다양한 파생상품들의 시장가격들을 정합적으로 설명할 수 있는까?

그 대답은 ‘아니다’ 이다. Black-Scholes모형에서는 파생상품가치가 현재시점에서 원자산,

행사가격, 잔여기간, 무위험이자율, 그리고 변동성이라는 5가지 요인들에 의해 결정된다. 이

중에서 현재시점에서 원자산과 무위험이자율은 외생적으로 주어지고, 행사가격과 잔여기간은

각 파생상품의 정의에 의해서 결정된다. 따라서, 우리가 선택할 수 있는 것은 변동성 뿐이다.

파생상품시장에 다양한파생상품들이 존재함에도 불구하고, Black-Scholes모형에는 자유도가

하나 밖에 허용되지 않는 것에 따른 왜곡이 변동성스마일이나 변동성스큐가 되어 나타난다.

즉, 어떤 행사가격을 갖는 파생상품의 시장가격과 Black-Scholes가치를 일치시켜서 구한 내재

변동성 (implied volatility)은 다른 행사가격을 갖는 파생상품의 내재변동성과 일치하지 않는

것은 어쩌면 자연스러운 것이다. 여기서 유의할 점은 변동성 자체는 원자산의 변동성이라는

것이다. 즉, 어떤금융상품을원자산으로하는파생상품들이시장에많이존재해도, 이론적으로

그원자산의변동성은그파생상품들의시장가격에의존하지않아야한다. 그럼에도불구하고,

내재변동성은 행사가격과 잔여기간에 의존한다. 이러한 괴리를 해결하려는 다양한 방법들이

제시되고 있다. 이들은 모두 Black-Scholes모형에서 발전한 가치평가모형들이다.

11.12.2 Black-Scholes모형의 확장

Black-Scholes모형의 확장은 크게 나누어 2가지 방향으로 진전해왔다. 첫째, 모형이 완비라는

조건 하에서 변동성에 관한 항에 자유도를 부여한다. 결정변동성모형(deterministic volatility

model)이 이 범주에 든다. 여기서 완비모형이란 파생상품을 원자산과 무위험자산 만으로

복제가 가능한 모형이다. 둘째, 모형이 불완비가 되는 것을 허용하면서 변동성에 관한 항에

자유도를 부여한다. 현재 사용되는 불완비모형을 크게 둘로 나눌 수 있다. 하나는 점프확산모

형이고, 다른 하나는 확률변동성모형이다. 점프확산모형은 원자산이 기하Brown운동에 복합

Black-Scholes를 넘어서 583

Poisson확률과정과 같은 점프를 나타내는 확률과정을 더한 모형이다. 반면에, 확률변동성

모형에서는 변동성이 상수가 아니라 확률과정을 구성한다고 가정한다. 점프확산모형에서는

점프를 나타내는 항이 그리고 확률변동성모형에서는 확률변동성을 나타내는 항이 새로운

위험인자로 도입된다. 즉, 파생상품을 원자산과 무위험자산의 포트폴리오만으로 복제하는

것은불가능하다. 따라서, 이러한모형들에서는점프위험프리미엄이나변동성위험프리미엄을

고려해야만 한다.

11.12.3 결정변동성모형

Black-Scholes모형에서는원자산을기하Brown운동으로모형화한다. 이경우에파생상품가치

평가자가선택할수있는것은오직변동성뿐이다. 따라서, 변동성이만기시점이나행사가격에

의존하지 않는다는 Black-Scholes모형의 가정은 현실적이 아니다. 이러한 문제점을 해소하기

위해서, Black-Scholes모형에서는 상수라고 가정하는 변동성 σ를 원자산과 시점에 의존하는

국소변동성 (local volatility) σ(St, t)으로 확장하는 시도가 이뤄졌다. 즉, 위험중립측도 Q

하에서 원자산이 다음과 같은 확률미분방정식을 만족한다고 가정한다.

dSt = µStdt+ σ(St, t)StdWQt , (t ≥ 0) (11.12.1)

여기서 결정적 (deterministic) 함수 σ(St, t)의 함수형을 반드시 미리 정할 필요는 없으며,

파생상품들의 시장가격들에 정합적이도록 결정하면 된다. 나무모형의 용어로 표현하면,

나무모형의 각 노드에서 원자산과 원자산의 추이확률을 변동성곡면 (volatility surface)에

정합하도록 결정한다. 이러한 모형화가 지닌 중요한 두 가지 이점들은 다음과 같다. 첫째,

시장에서 관측된 파생상품의 시장가격데이터에 정합적이 되도록 모형화할 수 있다는 점이

다. 둘째, 이 모형은 완비모형이라는 것이다. 식 (11.12.1)과 같은 모형을 결정변동성모형

(deterministic volatility model)이라 한다.

원자산과정 St의확률과정이결정변동성모형 (11.12.1)을따르는경우, 만기시점 T에서

지불금액함수가 F = F (ST , T )인 파생상품의 확률과정은 다음 확률미분방정식을 만족한다.

dF =

[∂F

∂StµSt +

∂F

∂t+

1

2

∂2F

∂S2t

σ2(St, t)S2t

]dt+

∂F

∂Stσ(St, t)StdWt (11.12.2)

원자산 St의확산항은 σ(St, t)StdWt이고파생상품가치 F (St, t)의확산항은 ∂F∂St

σ(St, t)StdWt

이다. 따라서, Black-Scholes모형화에서와 마찬가지로, 파생상품 1단위를 매도하는 경우에

원자산 ∂F∂St

단위를 매입하면, 확률적 움직임이 소거되어 무위험포트폴리오가 얻어진다. 즉,


파생상품을원자산과무위험자산으로구성된포트폴리오로복제할수있으므로, 이시장모형은

완비이다.

파생상품시장에서 관측되는 변동성스마일과 정합성을 갖도록 원자산의 나무모형을 구축

하고, 이를 사용해서 파생상품의 가치를 평가하는 방법들이 1994년에 제시되었다. 내재변

동성에 정합적이라는 의미에서, 이러한 나무모형을 내재나무모형 (implied tree model)이라

부른다. 이러한 방법은 Dupire (1994), Rubinstein (1994), Derman & Kani (1994)에 의해서

제시되었는데, 이들은 모두 Breeden & Litzenberger (1978)를 바탕으로 한다. Breeden &

Litzenberger는콜옵션들의시장가격들로부터원자산의만기시점에서확률밀도함수를추출할

수 있음을 보였다. 이 결과는 결정변동성모형 뿐만 아니라 다른 모형들에서도 이용된다.

Rubinstein (1994)은 이항나무모형을 이용해서 정의한 위험중립확률분포를 원자산의

사전확률분포로 하고, 이 이항나무모형에 의한 유럽형콜옵션가치들을 해당 시장가격들에

적합시키는 사후확률분포를 구한다. 이 사후확률분포를 원자산의 만기시점에서 내재확률분

포(implied probability distribution)라 하고, 후향귀납법을 적용해서 내재확률과정(implied

stochastic process)에 대응하는 내재나무(implied tree)를 구축한다.

Derman & Kani (1994)의내재나무구축법은흥미로운것이지만, 이방법에는문제가있다.

즉, 변동성스큐가 어느 정도 이상이면, 원자산의 추이확률이 음수가 되는 상황이 발생한다. Li

(2000)는 이러한 문제점을 극복하면서도 간편하게 내재나무를 구축하는 방법을 제시한다.

Dupire (1994)는 내재변동성곡면 (implied volatility surface)에 관한 정보로부터 파생

상품가치와 정합성을 갖는 국소변동성 (local volatility)을 구하는 방법을 제시한다. Dupire

모형은 원래 연속형 모형으로서, 유럽형콜옵션가치를 행사가격으로 미분할 수 있다는 가정을

필요로 한다. 그러나, 시장에 존재하는 콜옵션의 행사가격들은 연속형이 아닌 이산형이므로,

실제로는 격자점에서만 국소변동성을 구할 수 있다. 따라서, 콜옵션의 시장가격을 반영하는

원자산과정을 도출할 때, 내재나무의 각 노드에서 원자산이 Arrow-Debreu가치가 되는 내재

나무 구축법을 제시한다.

11.12.4 점프확산과정

Poisson확률과정 Nt | t ≥ 0는 다음과 같은 성질들을 만족한다. 첫째, 양수 h에 대해서

확률증분 Nt+h − Nt와 시점 t까지 확률과정 Nu |u ≤ t는 독립이다. 둘째, 확률증분들

Nt+h −Nt는 정상적이며, 확률증분 Nt+h −Nt의 확률밀도함수는 다음과 같다.

Pr(Nt+h −Nt = k) =[λh]k

k!exp(−λh) (11.12.3)


셋째, Nt는 증가는 작아서, 짧은 시간구간 (t, t+ h]에서 변화가 없거나 1 증가한다. 즉, 다음


Pr(Nt+h −Nt = 0) = λh+ o(h) (11.12.4)

Pr(Nt+h −Nt = 1) = 1− λh+ o(h) (11.12.5)

여기서 λ는 Poisson확률과정의 강도 (intensity)라 불리며, 강도가 클수록 사상이 발생할

확률은 커진다. Poisson확률과정의 확률증분 Nt+h −Nt의 평균과 분산은 각각 다음과 같다.

E(Nt+h −Nt) = λh, V ar(Nt+h −Nt) = λh (11.12.6)

식 (11.12.6)에서 알 수 있듯이, Poisson확률과정의 확률증분 Nt+h − Nt의 평균이 λh이다.

즉, Poisson확률과정 Nt는 짧은 시간구간 [t, t+h)에서 기울기가 λh인 상승추세를 갖는다.

따라서, Nt에서추세 λt를뺀확률변수Mt.= Nt−λt를정의하면, 확률과정 Mt의확률증분

Mt+h −Mt의 기대값은 0이다. 따라서, Mt는 주어진 정보증대계에서 마팅게일이다.

Poisson확률과정 Nt는 사건이 불규칙하게 발생하는 양상을 표현할 수 있으나, 사건이

발생할 때 Nt값을 1 증가시킬 수 있을 따름이다. 즉, 어떤 사건이 미치는 영향의 크기를

유연하게 표현할 수가 없다. 이러한 표현을 가능하게 하는 것이 복합Poisson확률과정이다.

강도 λ의 Poisson확률과정 Nt와 사건이 발생할 때 영향의 크기를 나타내는 확률변수들

yi를 살펴보자. 여기서 yi는 서로 독립이며 동일한 확률분포를 따르며, Nt 와 yi는

서로 독립이라고 가정하자. 각 t(≥ 0)에 대해서 다음과 같은 확률변수를 정의하자.

Qt.=

Nt∑i=1

yi (11.12.7)

이러한 Qt | t ≥ 0를 복합Poisson확률과정(compound Poisson process)라 부른다. 복합

Poisson확률과정 Qt에서 점프타이밍은 Poisson확률과정 Nt와 동일하다. 이 두 확률과

정들의 차이는 Poisson확률과정에서는 점프크기가 1이었던 것에 반해 복합Poisson확률과정

에서는점프크기가확률적이라는것이다. 식 (11.12.7)에서알수있듯이, 다음식이성립한다.

Qt+h −Qt =

Nt+h∑i=Nt+1

yi (11.12.8)

따라서, 확률증분 Qt+h와 시점 t까지 확률과정 Qu |u ≤ t는 독립이며, Qt+h − Qt는


정상적이다. 또한, 다음 식이 성립한다.

E(Qt+h −Qt) = γλh (11.12.9)

여기서 γ는 yi의 기대값이다. 복합Poisson확률과정 Qt는 짧은 시간구간 (t, t + h]에서

기울기가 γλh인 상승추세를 갖는다. 따라서, Qt에서 추세 γλt를 뺀 확률변수 Rt.= Qt− γλt

를정의하면, 확률과정 Rt의확률증분 Rt+h−Rt의기대값이 0이다. 따라서, Rt는주어진

정보증대계에서 마팅게일이다.

원자산이시간에따라연속적으로변해가는형태를모형화하기위해서기하Brown운동을

사용하였다. 일반적으로 원자산의 움직임이 연속적인 경우가 많으므로, 이를 표현하는데 기하

Brown운동 Wt 는 적절한 도구라고 할 수 있다. 그러나, 우발적인 경제현상이 나타나면

원자산이 급변하는 경우가 있다. 이러한 원자산의 움직임을 표현하는데는 복합Poisson모형이

적절하다. 따라서, 기하Brown운동에복합Poisson확률과정을가미한원자산모형을생각할수

있다. 이것이 Merton (1976)이 제시한 점프확산모형이다. 점프확산모형을 따르는 확률과정

St를 다음과 같이 표현할 수 있다.

dStSt

= [µ− λβ]dt+ σdWt + [yt − 1]dNt, (t ≥ 0) (11.12.10)

여기서 β.= E(yt − 1) 이다. 어떤 짧은 시간구간 (t, t+ dt]에 우발사건이 발생하면 원자산이

점프하여 St[yt − 1]만큼 변동하고, 이 변동에 의한 기대값은 E(St[yt − 1]dNt) = βStλdt

이다. 이 기대값이 추세항에서 빠져서, 이 확률과정 St의 기대수익률은 µ이다. 점프확산

모형에서는 옵션을 원자산과 무위험자산 만으로 구성된 포트폴리오로 복제할 수 없으므로,

이것은 불완비모형이다. 점프확산모형에 관한 자세한 내용은 Carr & Madan (1999)와 Cont

& Tankov (2003)을 참조하라.

예제 11.12.1 Merton의 점프확산모형을 사용해서 유럽형콜옵션의 가치를 평가하는 예를

살펴보기 위해서, 다음과 같은 R-파일을 실행하자.

1 #---------------------------------------------------------------------------2 # Filename: Jump_CallOption_Merton15a.R3 # Merton's jump Model(1976)4 # Reference : K. Matsuda (2004)5 # Introduction to Merton Jump Diffusion Model6 # Programmed by KHW7 #---------------------------------------------------------------------------8 sigmaC = 0.1 # volatility of GBM9 sigmaJ = 0.11 # volatility of jump process

10 muJ = 0.1 # mean of log(y)


11 r = 0.05 # risk free rate12 S0 = 100 # start state13 K = 90 # strike price14 tau = 1 # tenor T-t15 lambda = 1 # intensity of Poisson process16 M = 128 # number of subintervals17 N = 10000 # number of paths in one Monte Carlo trial18 n = 100 # number of Monte Carlo trial19 dt = tau/M # length of a subinterval20 # Parameters21 beta = exp(muJ+sigmaJ^2/2)-1 # beta = E(y-1)22 drift = r - sigmaC^2/2 -lambda*beta23 set.seed(4)24 Ct = seq(from=0,to=0,length=10)25 for(nn in seq(from=1,to=n,by=1))26 ST = seq(from=0,to=0,length=N)27 for(nN in seq(from=1,to=N,by=1))28 PoissonRN =rpois(M,lambda*dt)29 y = exp(muJ + sigmaJ*rnorm(M))30 dJump = (y-1)*PoissonRN31 dW = dt *rnorm(M)32 dDrift = drift*dt*seq(from=1,to=1,length=M)33 dLogS = dDrift + sigmaC*dW + dJump34 lnST = log(S0) +cumsum(dLogS)35 ST[nN] = exp(lnST[length(lnST)])36 37 # Call price38 Ct[nn] = exp(-r*tau)*mean(pmax(ST-K,0))39 40 expmean = mean(Ct)41 expsig = sd(Ct)42 # Calculating BS prices43 Call = GBSOption(TypeFlag="c",S=S0,X=K,Time=tau,r=r,b=r,sigma=sigmaC)@price44 Put = GBSOption(TypeFlag="p",S=S0,X=K,Time=tau,r=r,b=r,sigma=sigmaC)@price45 # Display result46 message("beta =\n",round(beta,digits=4))47 message("drift=\n",round(drift,digits=4))48 message("MC mean:", round(expmean,digits=4))49 message("MC standard deviation:", round(expsig,digits=5))50 message("BS price:", round(Call,digits=4))51 # Histogram of Call option value52 dev.new()53 hist(Ct,breaks=11,xlab="t",ylab=expression(S[t]))54 # title('Call option price with jumps')55 x = seq(min(Ct),max(Ct),length=100)56 hx = dnorm(x,mean=mean(Ct),sd=sqrt(var(Ct)))57 lines(x,10*hx,type="l",lwd=4,col="red")58 # Sample path - example59 PoissonRN = rpois(M,lambda*dt)60 dJump = (exp(muJ+sigmaJ*rnorm(M))-1)*PoissonRN61 dLogS = drift*dt*seq(from=1,to=1,length=M)+sigmaC*dt*rnorm(M)+dJump62 STpath = seq(from=S0,to=S0,length=M+1)63 cdLogS = seq(from=0,to=0, length=M+1)64 for(ii in seq(from=1,to=M,by=1))65 cdLogS[ii+1] = cdLogS[ii]+dLogS[ii]66 STpath[ii+1] =exp(log(S0)+cdLogS[ii+1])67 68 x_axis = seq(from=0,to=1,length=M+1 )69 dev.new()70 plot(x_axis,STpath,xlab="t",ylab=expression(S[t]),type="l")71 # End of program


72 #---------------------------------------------------------------------------


>> Jump_CallOption_Merton15a

이 R프로그램에서 사용된 입력값들은 다음과 같다. 이 시장모형에서 무위험이자율이

r = 0.05, 현재시점 t = 0에서 원자산이 St = 100, 행사가격이 K = 90, 만기시점이 T = 1,

원자산을 구성하는 정규사건을 나타내는 기하Brown운동의 변동성이 σC = 0.10이다. 또한,

원자산을 구성하는 우발사건을 나타내는 복합Poisson과정에서 점프 발생횟수를 나타내는

Poisson과정의 강도 (intensity)가 λ = 1이고, 점프크기를 나타내는 확률변수 yt의 로그인

lnyt는 평균이 µJ = 0.1이고 σJ = 0.11인 정규확률변수이다. 잔여기간을 개수가 M = 128

인 소구간들로 나누고, 각 몬테카를로실험에서 표본경로의 개수는 N = 10, 000이고 이러한

실험을 n = 100번 실행하였다.

이 R명령문을 실행하면, 모수 β = E(yt− 1)는 0.1119이고 확률미분방정식의 추세모수는

r − λβ = −0.0669임을 알 수 있다. 또한, 기하Brown운동과 복합Poisson확률과정으로

이루어진 원자산과정의 표본경로가 발생한다. 그 중 표본경로 하나를 그린 것이 그림 11.12.1

이다. 계산된 유럽형콜옵션가치들 100개의 히스토그램이 그림 11.12.2에 그려져 있다. 이

유럽형콜옵션가치들의 표본평균은 15.6492이고 표준편차는 0.20096이다. 또한, 점프과정,

즉 복합Poisson과정이 없다는 가정 하에 구한 유럽형콜옵션의 Black-Scholes가치는 14.6288

이다.

11.12.5 확률변동성모형

다음과 같은 연립확률미분방정식을 만족하는 원자산과정 St는 확률변동성모형을 따른다고

한다.

dSt = µStdt+ f(yt)StdW1,t (11.12.11)

dyt = α[m− yt]dt+ β(yt, t)dW2,t (11.12.12)

여기서 W1,t와 W2,t는 다음 식을 만족하는 표준Brown운동들이다.

Corr(dW1,t, dW2,t) = ρ (11.12.13)


그림 11.12.1. Merton점프모형의 표본경로

그림 11.12.2. Merton점프모형에 의한 유럽형콜옵션가치

식 (11.12.11)과 식 (11.12.12)에서 알 수 있듯이, 이 모형에서는 원자산수익률의 변동성

자체가 평균회귀적 확률과정 yt의 함수 σt.= f(yt)로 표현된다. 이러한 이유로 이 모형을

확률변동성모형이라 부른다. 식 (11.12.1)로 표현되는 결정변동성모형에서는 변동성 σ(St, t)

가 원자산 St 자체의 함수로 나타남을 상기하라. 확률변동성모형을 바탕으로 하는 옵션평가에


관한 대표적 논문으로는 Heston (1993)이 있다. 확률변동성모형 자체는 1980년대부터 도입

되었지만, Heston (1993)은 옵션가치의 닫힌해 (closed form solution)를 제시함으로써 널리

사용되어 왔다. 그러나, 이 닫힌해는 Fourier역변환을 포함하고 있고, 실제로 Heston에 의한

옵션가치를 계산하기 위해서는 고속Fourier변환(fast Fourier transform: FFT)를 사용해야

한다. Heston모형이 널리 사용되기는 하지만 Heston모형은 치명적인 약점을 가지고 있다.

만약 확률변동성의 동적특성 (dynamics)를 나타내는 두 번째 확률미분방정식이 Feller조건을

만족하지 못하면 추이확률밀도함수를 적분한 값이 1이 아니라는 것이다.

확률변동성모형에서는옵션을원자산과무위험자산만으로구성된포트폴리오로복제할수

없으므로, 이시장모형은불완비이다. 만약상관계수 ρ가양수이면, 원자산수익률이커지면변

동성도 커진다. 따라서, 확률변동성모형에 입각한 원자산수익률의 확률분포는 Black-Scholes

모형보다 꼬리가 두터운 확률분포가 된다. 이것은 OTM옵션의 가치를 상승시킨다. 변동성의

변동성 (VolVol)인 β가 0이면, 원자산수익률은 정규분포를 따른다. 반면에, β가 증가함에

따라 원자산수익률의 확률분포의 첨도가 커진다. 따라서, β가 증가하면, OTM옵션이나 ITM

옵션의 가치는 상승한다.

제12장

동치마팅게일측도

제11장에서는금융파생상품가치가만족하는편미분방정식을유도하고, 이를사용해서금융파

생상품가치를 평가하는 방법에 대해서 설명했다. 금융파생상품가치를 평가하는 다른 방법은

금융자산가치를 마팅게일로 변환하는 것이다. 이 방법은 Girsanov정리를 이용해서 시장에서

관찰할 수 있는 확률측도를 동치마팅게일측도(equivalent martingale measure)로 변환하는

것을 바탕으로 한다. 이론적 측면 뿐 아니라 현장에서도 편미분방정식을 사용하는 것보다는

동치마팅게일측도를 사용하는 것이 더 유리하다. 이 장에서는 동치마팅게일측도를 사용해서

금융파생상품가치를 평가하는 동치마팅게일법에 대해 살펴보자.

제12.1절 평균의 이동

확률변수 z의 확률측도 P = P (z)는 다음 식을 만족한다.

∫ ∞

−∞dP (z) = 1 (12.1.1)

확률변수 z의 기대값은 다음과 같다.

E(z) =

∫ ∞

−∞z dP (z) =

∫ ∞

−∞z dP (12.1.2)

기하학적으로 E(z)는 확률면적의 중심을 나타낸다. 확률변수 z의 분산은 다음과 같다.

V ar(z) =

∫ ∞

−∞[z − E(z)]2 dP (z) =

∫ ∞

−∞[z − E(z)]2 dP (12.1.3)

분산은 확률면적이 중심 주위에 어느 정도 퍼져 있는지를 나타낸다.

591

592 제 12장 동치마팅게일측도

이 장에서 우리의 목적은 분산 V ar(z)을 변화시키지 않으면서 평균 E(z)을 변화시키는

것이다. 이러한목적을달성하는데는두가지방법을사용할수있다. 첫째, 확률분포의형태는

변하지 않고, 확률분포를 다른 위치로 이동시킨다. 둘째, 확률측도 P 를 변화시킴으로써

평균을 변화시킨다. 동치마팅게일법에서는 확률측도 P를 변환하는 두 번째 방법을 이용해서,

확률변수 z의 평균을 변화시킨다. 이러한 확률측도변환을 통해서 위험프리미엄을 갖는

금융자산을 마치 무위험인 것처럼 다룰 수 있다.

확률변수 z의 평균을 이동시키는 첫 번째 방법은 확률변수 z에 상수 µ를 더해서 새로운

확률변수 z를얻는것이다. 이 방법은아주쉬운것이어서더이상설명을필요로하지않는다.

예제들을 제공하는 것으로, 자세한 설명을 대신하고자 한다.

예제 12.1.1 주사위를 던져 나온 눈에 대해서 다음과 같은 확률변수 z를 정의하자.

z =

10, (눈이 1 또는 2)

−3, (눈이 3 또는 4)

−1, (눈이 5 또는 6)

(1)

각 눈이 나올 확률이 1/6이라면, z의 평균은 다음과 같다.

E(z) =1

3× 10 +

1

3× [−3] +

1

3× [−1] = 2 (2)

새로운 확률변수 z.= z − 1의 기대값은 1이다. 이러한 확률변수의 변환에서 각 사건이

발생할 확률은 변함이 없음을 기억하라.

예제 12.1.2 어떤 회사채의 시점 t에서 순수익률 bt의 기대값은 다음과 같다.

E(bt) = rt + E(risk premium) (1)

여기서 rt는 이 회사채와 동일한 만기시점을 갖는 무위험이자율이다. 만약 기대위험프리미

엄이 α라고 가정하면, E(bt) = rt + α이다. 즉, bt는 평균이 rt + α인 확률변수이다. 새로운

확률변수 bt.= bt+µ의평균은 E(bt+µ) = rt+µ+α이다. 만약 bt가정규확률분포를따르면,

새로운 확률변수 bt 역시 정규확률분포를 따른다. 즉, 이러한 확률변수변환은 확률분포의

형태를 유지하면서 확률분포의 중심을 새로운 위치로 이동한다. 만약 µ를 −α로 하면, 이

평균의 이동 593

확률변수변환은 bt에서 위험프리미엄을 소거하는 것이다. 이 방법을 적용하기 위해서는

사전에 위험프리미엄 α를 알고 있어야 한다.

예제 12.1.3 이산시간형확률과정 St | t = 1, 2, · · · 가어떤위험자산가격을나타내고, rt는

무위험이익률이라 하자. 일반적으로, 이 위험자산의 총수익률 Rt는 1 + rt보다 크다. 그렇지

않으면, 위험자산을 소유하는 의미가 없어진다. 이를 시점 t에서 정보집합 It를 조건으로 하는

조건부기대값연산자 Et(·)를 사용해서 표현하면 다음과 같다.

Et(St+1) > [1 + rt]St (1)

이는 평균적으로 위험자산의 수익률이 무위험이자율보다 크다는 것이다. 식 (1)을 다음과

같이 쓸 수 있다.

1

1 + rtEt(St+1) > St (2)

따라서, 다음 식을 만족하는 µt(> 0)가 존재한다.

Et

(St+1

St

)= [1 + rt][1 + µt] (3)

식 (3)의 좌변은 기대총수익률(expected gross return rate) Et(Rt)이다. 즉, 다음 식이 성립

한다.

Et(Rt) = [1 + rt][1 + µt] (4)

만약 rt와 µt가 충분히 작으면, 다음 근사식이 성립한다.

Et(Rt) ≈ 1 + rt + µt (5)

즉, 위험수익률의 기대값은 무위험이자율 1 + rt를 µt(> 0)만큼 초과한다. 이 µt는 1기간

동안 이 위험자산을 보유하는 위험프리미엄이다.

식 (5)에서 알 수 있듯이, 새로운 확률변수 Rt.= Rt−µt의 기대값은 근사적으로 무위험이

자율에 1을 더한 1 + rt이다. 그러나, 이 새로운 확률변수를 사용하기 위해서는 위험프리미엄

µt를 알고 있어야 한다.


확률변수의 평균을 이동시키는 두 번째 방법은 확률측도를 변환하는 것이다. 우선, 예제

들을 살펴보자.

예제 12.1.4 <예제 12.1.1>을 다시 살펴보자. 즉, 다음 확률변수 z를 살펴보자.

z =

10, (눈이 1 또는 2)

−3, (눈이 3 또는 4)

−1, (눈이 5 또는 6)

(1)

<예제 12.1.1>에서 알 수 있듯이, 진짜확률밀도함수 하에서 평균은 E(z) = 2이다. 또한,

분산은 V ar(z) = 98/3이다.

이 확률변수 z의 분산은 변화시키지 않고, 평균을 1로 하는 확률밀도함수 q를 구해 보자.

새로운 확률밀도함수 q 하에서 기대값과 분산은 각각 Eq(z) = 1과 V arq(z) = 98/3이다. 즉,

다음 식들이 성립해야 한다.

q(1, 2) + q(3, 4) + q(5, 6) = 1 (2)

10× q(1, 2)− 3× q(3, 4)− 1× q(5, 6) = 1 (3)

102 × q(1, 2) + 32 × q(3, 4) + 12 × q(5, 6)− 1 =98

3(4)

이 연립방정식을 풀면, 그 해는 다음과 같다.

q(1, 2) = 122

429, q(3, 4) = 22

39, q(5, 6) = 5

33

이 새로운 확률밀도함수 q는 진짜확률밀도함수와 다름에 유의하라.

이제 독자들은 이 두 번째 방법을 대충 이해했으리라 믿는다. 새로운 확률측도 Q 하에서

기대값을계산할때는 E( · )가아닌 EQ( · )를기대값연산자로표기해야한다. 두번째평균을

계산할 때 사용한 확률측도 Q는 첫 번째 평균을 계산할 때 사용한 진짜확률측도 P와 같지

않다. 따라서, 동치마팅게일법을 사용할 때는 확률측도의 표기에 특별한 주의가 필요하다.

예제 12.1.5 <예제 12.1.3>에서 논의된 위험자산의 공정한 가치 St를 계산해 보자. 이

평균의 이동 595

공정한 가치를 계산하는 한 가지 방법은 다음 관계를 이용하는 것이다.

St = Et

(1

RtSt+1

)(1)

식 (1) 우변의 기대값을 계산하기 위해서는 이 위험자산의 총수익률 Rt의 확률분포를 알아야

한다. 이 확률분포를 알기 위해서는 위험프리미엄 µt를 알아야 한다. 그러나, St의 공정한

가치를 알기 전에, 위험프리미엄을 알 수 있는 경우는 드물다. 따라서, 이 기대값을 계산하는

것은불가능해보인다. 만약위험프리미엄 µt를사용하지않고 Rt의평균을이동할수있다면,

St의공정한가치를계산할수도있을것이다. 따라서, Rt의확률분포를변환하는다른방법을

찾아야 한다.

다음 식을 만족하는 새로운 확률측도 Q가 존재한다고 하자.

EQt

(1

1 + rtSt+1

)= St (2)

여기서 rt는 무위험이자율이다. 식 (2)는 St의 공정한 가치를 계산하는 데 매우 유용하다.

식 (2)에서는 Su의 동적특성을 나타내는 모형을 이용해서 St+1을 예측한 다음, 이 예측값을

무위험이자율 rt로 할인해서, St값을 얻는다. 식 (2)에는 위험프리미엄이 나타나지 않으므로,

기대값연산자 EQt ( · )는 위험중립확률측도 Q 하에서 계산된다. 이러한 위험중립확률측도를

사용함으로써, 위험자산의 총수익률 Rt에서 위험프리미엄 µt.= Rt − [1 + rt]를 소거할 수

있다. 여기서 중요한 점은 위험프리미엄 µt의 값을 명시적으로 사용하지 않고, 이러한 변환이

이루어진다는 것이다.

예제 12.1.6 표준정규확률변수 x의 확률측도를 P라 하면 다음 식이 성립한다.

dP (x) =1√2π

exp(−1

2x2)dx (1)

평균이 1이고 분산이 1인 정규확률변수 x의 확률측도를 Q라 하면 다음 식이 성립한다.

dQ(x) =1√2π

exp(−1

2[x− 1]2

)dx (2)



dQ(x) = exp(x− 1

2

)dP (x) (3)

식 (3)의 확률측도 Q에 해당하는 기대값 1은 확률측도 P에 해당하는 기대값 0보다 크다.

제12.2절 동치확률측도

앞 절에서는 확률측도 P 를 확률측도 Q로 변환해서 평균을 움직이는 방법에 대한 간단한

예제들을 다루었다. 만약 확률측도 P 를 확률측도 Q로 변환함으로써, 확률분포의 나머지

성질들은바뀌지않고평균만이동되면, 확률측도Q를확률측도 P의동치확률측도(equivalent

probability measure)라 한다. 좀 더 형식적으로 동치마팅게일측도를 정의하면, 다음과 같다.

정의 12.2.1

동일한 가측공간 (Ω,F)에서 정의되는 확률측도들 P 와 Q를 살펴보자. 만약 임의의

사건 A(∈ F)에 대해서 다음 명제가 성립하면, Q는 P 에 대해서 절대연속(absolutely

continuous)이라고 하고 식 Q≪ P로 표기하자.

P (A) = 0 ⇒ Q(A) = 0

만약 Q ≪ P이고 동시에 P ≪ Q이면, 두 확률측도들 P와 Q는 동치라고 (equivalent)

한다.

뒤에서 기술하게 될 Girsanov정리를 사용하면, 좀 더 복잡한 경우에 어떤 확률측도를

동치마팅게일측도로 변환할 수 있다. 즉, Girsanov정리를 사용하면, 앞 절에서 기술한 평균을

이동하는 두 번째 방법을 표본공간이 연속형인 확률변수나 연속시간형 확률과정으로 확장할

수 있다. 이 경우에, 원래 확률측도와 변환된 확률측도는 서로 다르지만, 한쪽 확률측도에서

다른 쪽 확률측도로 변환하거나 복원할 수 있다. 이러한 복원은 항상 가능하다.따라서, 만약

기대값을 계산해야 하고, 또한 만약 동치확률측도를 사용해서 이 기대값을 계산하는 것이

간단하다면, 새로운 확률측도를 사용하는 것이 유용할 것이다. 이 새로운 확률측도는 진짜상

태들(true states of nature)을 나타내는 것이 아님을 기억하라.

동치확률측도 597

예제 12.2.1 평균이 µ이고 분산이 1인 정규확률변수 x를 살펴보자. 이 확률변수 x의 확률

측도를 P라 하자. 다음 식이 성립한다.

dP (x) =1√2π

exp(−1

2[x− µ]2

)dx (1)

이 확률변수의 표본공간이 연속임을 상기하라. 다음 함수를 정의하자.

ξ(x).= exp

(−xµ+

1

2µ2)

(2)

또한, 새로운 확률측도 Q를 다음과 같이 정의하자.

dQ(x).= ξ(x)dP (x) (3)


dQ(x) =1√2π

exp(−1

2x2)dx (4)

새로운 확률측도 Q(x)는 평균 0이고 분산이 1인 정규확률분포임을 알 수 있다. 즉, dP (x)에

함수 ξ(x)를 곱하는 확률측도변환에 의해서, 확률변수 x의 평균을 µ에서 0으로 이동시킨다.

이 정규확률분포의 경우에는 ξ(x)를 곱한 것에 의해 확률측도의 형태, 즉 정규성이 유지되었

다는 점을 유의하라. 그러나, 확률측도들 P (x)와 Q(x)는 서로 다른 평균값을 갖는다.

<예제 12.2.1>의 함수 ξ(x)는 어떠한 의미를 갖고 있을까? <예제 12.2.1>에서 알 수

있듯이, 다음 식들이 성립한다.

dP (x) =1√2π

exp(−1

2[x− µ]2

)dx (12.2.1)

dQ(x) =1√2π

exp(−1

2x2)dx (12.2.2)

ξ(x) = exp(−xµ+

1

2µ2)

(12.2.3)


dQ(x)

dP (x)= ξ(x) (12.2.4)


식 (12.2.4)의 표현을 미분으로 간주해 보자. 확률측도 Q의 확률측도 P 에 관한 도함수가

ξ(x)라고 할 수 있다. 이를 Radon-Nikodym밀도함수라 부른다. 즉, ξ(x)를 확률측도 Q의

확률측도 P 에 관한 밀도 (density)로 볼 수 있다. 만약 확률측도 Q의 확률측도 P 에 대한

Radon-Nikodym밀도함수가 존재하면, 분산을 바꾸지 않고 x의 평균을 이동하는 밀도 ξ(x)

를 구할 수 있다. 금융시장이론에서 이러한 확률측도변환은 매우 유용한 것이다. 그 이유는

변동성구조를 변화시키지 않고, 금융자산가치에서 위험프리미엄을 손쉽게 제거할 수 있기

때문이다. 예를 들어, 옵션가치는 원자산의 기대수익률에 의존하지 않는 반면에, 원자산의

변동성은옵션가치평가에서중요한요소이다. 따라서, ξ(x)를이용해서원래확률측도를다른

확률측도로 변환하는 것은 금융자산가치평가에서 아주 편리하고 유용한 도구이다.

어떠한조건하에서식 (12.2.4)의 Radon-Nikodym밀도함수가존재할까? 즉, 언제다음과

같은 확률측도변환을 시행할 수 있을까?

dQ(x) = ξ(x)dP (x) (12.2.5)

dP (x) =1

ξ(x)dQ(x) (12.2.6)

직관적으로 보아 Radon-Nikodym밀도함수 dQ(x)/dP (x)가 의미를 갖기 위해서는 dP (x)

의 확률질량 (probability mass)이 0이 아니어야 한다. 또한, 역변환을 하기 위해서는 dQ(x)

의 확률질량이 0이 아니어야 한다. 이 Radon-Nikodym밀도함수의 분자와 분모는 무한소

시간구간에할당되는확률들이다. 따라서, 이 Radon-Nikodym밀도함수가존재하기위해서는

확률측도 P가 사건 A에 확률 0을 할당할 때, 확률측도 Q도 사건 A에 확률 0을 할당해야만

한다. 즉, 식 Q≪ P가 성립해야 한다. 또한, dP (x)/dQ(x)가 존재하기 위해서는 식 P ≪ Q

가 성립해야 한다. 만약 이 조건들이 만족되면, ξ(x)가 존재하고 따라서 식 (12.2.5)와 식

(12.2.6)을 사용해서 두 확률측도들 Q와 P 사이를 왕래할 수 있다. 즉, 이 두 확률측도들은

동치이다.

동치확률측도를 사용해서 평균을 이동시키는 방법을 확률과정으로 확장해 보자.

예제 12.2.2 주가를 Su 라고 하면, dSt 는 주가의 증분을 나타낸다. 이 Su 의 동적특성

(dynamics)을 다음 확률미분방정식으로 나타낼 수 있다고 하자.

dSt = µdt+ σdWt, (t ≥ 0) (1)

동치확률측도 599

여기서 Wt는확률측도 P 하에서표준Brown운동이고,W0 = 0이다. 다음식들이성립한다.

St+s = St +

∫ t+s

tµdu+

∫ t+s

tσdWu = St + µs+ σ[Wt+s −Wt] (2)


E(St+s | St) = St + µ s (3)

만약 µ > 0이고 또한 만약 s > 0이면, 다음 식이 성립한다.

E(St+s | St) > St (4)

즉, St는 열마팅게일이다. 지금부터 이 열마팅게일을 마팅게일로 변환하기로 하자.

첫째 방법으로, St에서 추세 µt를 빼서 확률과정 St를 마팅게일로 변환시킬 수 있다.

즉, St.= St−µt라놓으면, St는확률측도 P에대해서마팅게일이다. 이러한확률변수변환

에서는 사전에 추세모수 µ를 알아야 한다. 그러나, µ는 주가가 지니고 있는 위험프리미엄을

포함한다. 일반적으로, 이 주식의 시장가격을 알기 전에 이 위험프리미엄을 알 수 없다.

둘째 방법으로, 동치확률측도를 사용해서 확률과정 St를 마팅게일로 변환시킬 수 있다.

다음과 같이 함수 ξt = ξ(Wt)를 정의하자.

ξt.= exp

(−µσWt −

1

2

µ2

σ2t

)(5)

확률측도 P는 정규확률분포 N(0, t)를 따르므로, 다음 식들이 성립한다.

dQ(Wt) = ξtdP (Wt) =1√2πt

exp(− 1

2t

[Wt +

µ

σt]2)

dWt

=1√2πt

exp(− 1

2t

[Wt +

µ

σt]2)

d[Wt +

µ

σt] (6)

여기서 세 번째 등호는 식 dt = [dWt]2에 의해서 성립한다. 다음 확률변수를 정의하자.

WQt

.=Wt +

µ

σt (7)



dQ(WQt ) =

1√2πt

exp(− 1

2t[WQ

t ]2)dWQ

t (8)

즉, 동치확률측도 Q는 정규확률분포 N(0, t)를 따르고, 확률과정 WQt 는 동치확률측도 Q

에 관하여 표준Brown운동이다. 즉, 확률변수 WQt 의 확률측도 P 하에서 기대값과 분산은

각각 µt/σ와 t이고, 반면에 확률변수 WQt 의 동치확률측도 Q 하에서 기대값과 분산은 각각 0

과 t이다.


EQ(St+s | St) = EQ(St + µs+ σ[Wt+s −Wt] | St)

= EQ(St + µs+ σ

[WQ

t+s −µ

σ[t+ s]

−WQ

t − µ

σt] ∣∣∣ St)

= EQ(St + σ[WQt+s −WQ

t ] | St) = EQ(St|St) = St (9)

여기서 첫 번째 등호는 식 (2)에 의해서, 두 번째 등호는 식 (7)에 의해서, 그리고 네 번째

등호는 확률과정 WQt 가 확률측도 Q에 관하여 표준Brown운동이어서 성립한다. 따라서,

확률과정 St는 확률측도 Q에 관해서 마팅게일이다. 이러한 동치확률측도 Q를 확률측도

P의 동치마팅게일측도라 한다.

제12.3절 동치마팅게일측도를 사용한 Black-Scholes식의 유도

이 절에서는 동치마팅게일측도를 사용해서, Black-Scholes식을 구하기로 하자.

12.3.1 Black-Scholes환경

다음과 같은 Black-Scholes환경에서 원자산을 St로 하는 콜옵션의 공정한 가치 ct = F (St, t)

를 구하기로 하자.

첫째, 이 콜옵션은 유럽형이어서, 만기시점 T에서만 권리행사가 가능하다.

둘째, 만기시점 T까지 무위험이자율은 일정한 상수 r이다

셋째, 원자산에 대한 배당지불 (payout)은 없다.

동치마팅게일측도를 사용한 Black-Scholes식의 유도 601

넷째, 거래비용은 없으며, 또한 각 금융자산을 무한히 분할하는 것이 가능하다.

다섯째, 확률과정 Su는 St에 비례하는 추세계수와 확산계수를 갖는 Black-Scholes확률

과정을 따른다.

이 유럽형콜옵션가치 ct를 구하는 다양한 방법이 있다. 이에 대해서는 IM&F12의 제1

장을 참조하라. 제11장에서는 유럽형콜옵션가치가 만족하는 편미분방정식을 유도하고, 이를

풀어서 Black-Scholes식을 구하였다. 이 장에서는 동치마팅게일을 사용해서 Black-Scholes

식을 유도하자. 이 마팅게법에서는 원자산과정 St가 마팅게일이 되는 동치마팅게일측도 Q

를 찾고, 이 동치마팅게일측도를 사용해서 유럽형콜옵션가치 ct를 계산한다.

12.3.2 동치마팅게일측도

동치마팅게일을 사용해서 Black-Scholes식을 도출하기 위해서는, 기하Brown운동의 성질에

대해 잘 알아야 한다. 이 성질들은 금융파생상품가치를 평가하는 데 자주 나타난다. 다음

보조정리는 정규확률분포의 적률모함수에 관한 것이다. 이 보조정리의 증명은 <정리 6.5.2>

를 참조하라.

보조정리 12.3.1

확률변수 yt가 N(µt, σ2t)를 따른다고 하자. 확률변수 yt의 적률모함수는

M(λ) = exp(µtλ+ 1

2σ2tλ2

)이다.

<보조정리 12.3.1>의 적률모함수는 기하Brown운동의 기대값을 계산하는 데 유용하다.

즉, 다음 식을 자주 사용하게 될 것이다.

E(eλyt) = exp(µλt+

1

2σ2λ2t

)(12.3.1)

동치마팅게일법에 의한 금융파생상품의 가치평가에서는 기하Brown운동 St에 대한 조건

부기대값 E(St | Su)를 계산해야 한다. 식 (12.3.1)을 사용해서 이 조건부기대값을 유도할 수

있다.

보조정리 12.3.2


확률과정 yt를추세모수가 µ이고확산모수가 σ인일반화Brown운동이라고하자. 기하

Brown운동 St.= S0e

yt | t ≥ 0는 다음 식을 만족한다.

E(St | Ss) = Ss exp(µ[t− s] +

1

2σ2[t− s]

), (0 ≤ s < t)

증명. 일반화Brown운동의 정의에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

∫ t

sdyu = yt − ys ∼ N (µ[t− s], σ2[t− s]) (1)

<보조정리 12.3.1>에서 알 수 있듯이,∫ ts dyt의 적률모함수는 다음과 같다.

M(λ) = E

(exp

(λ

∫ t

sdyu

))= exp

(µλ[t− s] +

1

2σ2λ2[t− s]

)(2)

식 (2)에 λ = 1을 대입하면, 다음 식을 얻는다.

E

(exp

(∫ t

sdyu

))= exp

(µ[t− s] +

1

2σ2[t− s]

)(3)

정의에 의해서, 다음 식이 성립한다.

StSs

= exp(∫ t

sdyu

), (s < t) (4)

정의에의해서 Ss와 exp(∫ t

s dyu

)가독립이므로, 식 (4)에서알수있듯이다음식이성립한다.

E

(StSs

∣∣∣∣ Ss) = E

(exp

(∫ t

sdyu

)), (s < t) (5)


E(St | Ss) = Ss exp(µ[t− s] +

1

2σ2[t− s]

), (0 ≤ s < t) (6)

원자산을 St.= S0e

yt 라 하자. 여기서 yt는 확률측도가 P 인 일반화Brown운동이다.

즉, 식 yt ∼ N (µt, σ2t)가 성립한다. 이 P 는 원자산 St에 영향을 주는 무한소 쇼크들을

반영하는 진짜확률측도이다. 원자산 St의 관찰값은 확률측도 P 에 의해 주어지는 확률에


따라 발생한다. 그러나, 금융자산가치를 평가하는 데 진짜확률측도 P보다는 이를 측도변환한

새로운동치마팅게일측도 Q를이용하는것이편리하다. 지금부터는이러한동치마팅게일측도

Q를 찾아보자.

무위험이자율로 할인된 원자산은 위험을 포함하기 때문에, 확률측도 P 하에서 마팅게일이

아니다. 위험프리미엄이 존재하므로, 일반적으로 다음 식이 성립한다.

EP (e−rtSt |Su) > e−ruSu, (u < t) (12.3.2)

즉, e−rtSt는 확률측도 P에 대해서 열마팅게일이다. 우리의 목적은 다음 식을 만족하는

동치마팅게일측도 Q를 찾는 것이다.

EQ(e−rtSt |Su) = e−ruSu, (u < t) (12.3.3)

이러한 동치마팅게일측도 Q를 어떻게 찾을 수 있을까? 확률과정 yt는 진짜확률측도

P로 표현되는 확률분포 N(µt, σ2t)를 따른다. 확률과정 yt의 새로운 확률측도 Q 하에서

확률분포를 N(νt, σ2t)라 하자. 이 확률분포들은 동일한 분산을 가짐을 유의하라. <보조정리

12.3.2>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

EQ(e−rtSt |Su) = e−ruSu exp([t− u]

[−r + ν +

1

2σ2])

, (u < t) (12.3.4)

식 (12.3.4) 좌변의 기대값은 확률측도 Q에서 계산되기 때문에, 식 (12.3.4) 우변은 µ가 아닌

ν에 의존하는 것에 유의하라. 식 (12.3.4)의 추세모수 ν는 우리가 선택할 수 임의의 값이다.

따라서, 확률측도 Q 하에서 확률과정 e−rtSt가 마팅게일이 되도록, 다음과 같은 ν를 선택

하자.

ν = r − 1

2σ2 (12.3.5)


EQ(e−rtSt |Su) = e−ruSu, (u < t) (12.3.6)

따라서, 확률과정 e−rtSt는 확률측도 Q 하에서 마팅게일이다. 결론적으로, 식 (12.3.5)에

기술한 특정한 ν를 선택함으로써, 원자산이 마팅게일성을 갖는 확률분포를 찾아낼 수 있다.


즉, 확률측도 Q 하에서 확률변수 yt의 확률분포는 다음과 같다.

yt ∼ N([r − 1

2σ2]t, σ2t

)(12.3.7)

동치마팅게일측도Q는진짜확률측도 P와다르며, 그차이는평균에있다는것을기억하라.

12.3.3 동치마팅게일측도에 의한 확률미분방정식

제12.3.2소절에서 정의한대로, yt는 일반화Brown운동이고 St는 기하Brown운동이다.

확률증분 dyt는 다음 식을 만족한다.

dyt = µdt+ σdWt, (t ≥ 0) (12.3.8)

여기서 Wt는 확률측도 P 하에서 표준Brown운동이다. 확률미분방정식 (12.3.7)을 사용해

서 원자산 St의 확률미분방정식을 유도하기로 하자. Ito-Doeblin보조정리를 이용하면, 다음


dSt = S0eytdyt +

1

2S0e

ytσ2dt = S0eyt

[µdt+ σdWt +

1

2σ2dt

](12.3.9)

식 (12.3.9)의 우변에 St를 대입해서 정리하면, 진짜확률측도 P 하에서 확률과정 Su가 다음

확률미분방정식을 만족함을 알 수 있다.

dSt =

[µ+

1

2σ2]Stdt+ σStdWt (12.3.10)

동치마팅게일측도 Q 하에서 확률미분방정식도 같은 방법으로 유도된다. 이 확률측도 Q

하에서 Brown운동을 WQt 로 표기하자. 동치마팅게일측도 Q 하에서 확률미분방정식을

얻기 위해서는, 식 (12.3.10)에서 µ를 ν로 그리고 Wt를 WQt 로 치환하면 된다. 즉, 동치마팅

게일측도 Q 하에서 다음 확률미분방정식이 성립한다.

dSt =

[ν +

1

2σ2]Stdt+ σStdW

Qt (12.3.11)

식 (12.3.10)의 Brown운동 Wt를 식 (12.3.11)에서 Brown운동 WQt 으로 치환함으로써,

확률측도 P 가 확률측도 Q로 치환된다. 이것은 확률측도 Q 하에서 WQt 가 표준Brown

운동이기 때문이다. 만약 확률측도 P를 사용하면, 쇄신항 dWQt 의 추세는 0이 아니다.


식 (12.3.5)에서 알 수 있듯이, 확률방정식 (12.3.11)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

dSt = rStdt+ σStdWQt (12.3.12)

즉, 할인된 원자산과정 e−rtSt에 마팅게일성을 부여하는 확률측도 Q는 확률미분방정식의

추세모수를 무위험이자율 r로 변환한다. 시장에서 St가 결정되기 전에는 위험프리미엄을

포함하는 추세모수 µ는 미지이다. 그러나, 가정에 의해서 무위험이자율 r은 기지임을 상기하

라. 확률미분방정식 (12.3.12)는 동치마팅게일측도 Q를 따르는 새로운 Brown운동 WQt 에

따라 변화한다. 현실세계 확률을 반영하는 것은 동치마팅게일측도 Q가 아니고 확률측도 P

이다. 동치마팅게일측도 Q는 단지 금융자산가치를 평가하는 데 편리한 확률측도일 따름이다.

즉, 확률측도 Q 하에서 무위험이자율로 할인된 금융자산가치과정은 마팅게일이고, 이것은

금융파생상품의 가치평가에서 유용한 성질이다.

12.3.4 Black-Scholes식

이 소절에서는 동치마팅게일측도 Q를 사용해서 원자산을 Su로 하는 유럽형콜옵션가치

ct = F (St, t)의 Black-Scholes식을 유도하자.

만약 시장이 무재정조건을 만족하면, 금융자산가치과정이 마팅게일성을 갖도록 하는 동

치마팅게일측도 Q가 존재한다. 즉, 동치마팅게일측도 Q 하에서 할인된 콜옵션과정 e−rtct

는 마팅게일성을 갖는다. 즉, 다음 식이 성립한다.

ct = EQt

(e−r[T−t]cT

)(12.3.13)

만기시점 T에서 경계조건은 다음과 같다.

cT = [ST −K]+ (12.3.14)


ct = EQt (e

−r[T−t][ST −K]+) (12.3.15)

식 (12.3.15)의 우변의 기대값을 계산하면, Black-Scholes식을 얻는다.

지금부터 식 (12.3.15)의 기대값을 계산하기로 하자. 식 (12.3.15)에서 알 수 있듯이, 다음



ct = EQt (e

−rτ [ST −K]+) = e−rτEQt ([Ste

yT −K]+) (12.3.16)

여기서 τ = T − t이고, yt = ln StS0

이다. 식 (12.3.7)에서 알 수 있듯이, 동치마팅게일측도 Q

하에서 yT 는 확률분포 N([r − 1

2σ2]τ, σ2τ

)를 따른다. 따라서, 다음 식이 성립한다.

dQ =1√

2πσ2τexp

(− 1

2σ2τ

yT − yt −

[r − 1

2σ2]τ

2)dyT (12.3.17)


ct = e−rτ

∫ ∞

−∞maxSt exp(yT − yt)−K, 0

· 1√2πσ2τ

exp(− 1

2σ2τ

yT − yt −

[r − 1

2σ2]τ

2)dyT

(12.3.18)

식 (12.3.18)의 우변의 정적분에서 함수 max를 소거하기 위해서, 적분구간을 변화시키기로

하자. 다음 명제가 성립한다.

St exp(yT − yt) ≥ K ⇔ yT − yt ≥ ln KSt

(12.3.19)


ct = I1 − I2 (12.3.20)

여기서 I1과 I2는 각각 다음과 같다.

I1.= e−rτ

∫ ∞

ln(K/St)Ste

yT−yt

· 1√2πσ2τ

exp(− 1

2σ2τ

yT − yt −

[r − 1

2σ2]τ

2)dyT (12.3.21)

I2.= e−rτ

∫ ∞

ln(K/St)K

· 1√2πσ2τ

exp(− 1

2σ2τ

yT − yt −

[r − 1

2σ2]τ

2)dyT (12.3.22)


정적분들 I1과 I2를 계산하기 위해서, 다음과 같이 확률변수 z를 정의하자.

z.=

1

σ√τ

yT − yt −

[r − 1

2σ2]τ

(12.3.23)

식 (12.3.23)의 변수변환을 사용해서, 다음 식이 성립함을 쉽게 증명할 수 있다.

I2 = Ke−rτ

∫ ∞

−d2

1√2πe−

12z2dz = Ke−rτN(d2) (12.3.24)

여기서 N( · )는 정규확률분포함수이고, d2는 다음과 같다.

d2 =1

σ√τ

ln StK

+

[r − 1

2σ2]τ

(12.3.25)

식 (12.3.23)의 변수변환을 사용해서, 다음 식이 성립함을 쉽게 증명할 수 있다.

I1 = Ste−rτ exp

([r − 1

2σ2]τ

)∫ ∞

−d2

1√2πe−

12[z2−2σz

√τ ]dz (12.3.26)


I1 = St

∫ ∞

−d2

1√2πe−

12[z−σ

√τ ]2dz = St

∫ ∞

−d1

1√2πe−

12w2dw = StN(d1) (12.3.27)

여기서 d1는 다음과 같다.

d1 = d2 + σ√τ =

1

σ√τ

ln StK

+

[r +

1

2σ2]τ

(12.3.28)

식 (12.3.24)와 (12.3.27)을 식 (12.3.20)에 대입하면, 다음과 같은 유럽형콜옵션의 Black

-Scholes식을 얻는다.

ct = c(St, t) = StN(d1)−Ke−rτN(d2) (12.3.29)

풋콜패리티와 식 (12.3.29)에서 알 수 있듯이, 유럽형풋옵션의 Black-Scholes식은 다음과

같다.

pt = p(St, t) = Ke−rτN(−d2)− StN(−d1) (12.3.30)


이 소절에서는 Black-Scholes방정식을 사용하지 않고 마팅게일을 사용해서 Black-Scholes

식을 유도했다. 지금까지 내용을 정리하면, 다음과 같다.


원자산 St는 다음 확률미분방정식을 만족한다고 가정하자.

dSt = µStdt+ σStdWt, (t ≥ 0)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 만기시점이 T이고 행사가격이 K인 유럽형콜옵션

과 유럽형풋옵션 각각의 공정한 가치를 나타내는 Black-Scholes식들은 다음과 같다.

c(St, t) = StN(d1)−Ke−r[T−t]N(d2)

p(St, t) = Ke−r[T−t]N(−d2)− StN(−d1)

여기서 N( · )는 표준정규확률분포함수이고, d1과 d2는 각각 다음과 같다.

d1 =1

σ√T − t

ln StK

+

[r +

σ2

2

][T − t]

d2 =

1

σ√T − t

ln StK

+

[r − σ2

2

][T − t]

제12.4절 Girsanov 정리

제12.2절에서는 시점 t가 고정되었을 때 확률변수 xt의 확률측도 P (xt)의 증분 dP (xt)에

밀도 ξ(xt)를곱한 dQ(xt)로부터새로운확률측도 Q(xt)를만들었다. 이러한확률측도변환에

의해서, 확률변수 xt의 평균을 변화시킬 수 있다. 제12.3절에서는 이 아이디어를 확산미분방

정식에 적용해서 구한 동치마팅게일측도를 설명했다. Girsanov정리는 이 과정을 정형화하는

것이다. 즉, Girsanov정리는 연속시간형 확률과정의 Radon-Nikodym밀도함수과정 ξt가

존재하기 위한 조건을 제시한다.

12.4.1 다변량정규확률분포와 Girsanov정리

<예제 12.2.1>의 결과를 다변량정규확률분포로 확장할 수 있을까? 즉, 정규확률벡터에 같은

방법을 적용할 수 있을까? 다음 예제를 살펴보자.

Girsanov 정리 609

예제 12.4.1 다변량정규확률벡터 x = [x1, x2, · · · , xp ]t의 평균벡터가 0이고 분산공분산

행렬이 Σ라고 하자. 즉, x ∼ Np(0,Σ)이다. 이 확률벡터의 결합확률측도 P는 다음 식을

만족한다.

dP (x) =1

[2π]p/2√

|Σ|exp

(−1

2xtΣ−1x

) p∏j=1

dxj (1)


ξ(x).= exp

(xtΣ−1µ− 1

2µtΣ−1µ

)(2)

새로운 결합확률측도 Q를 다음과 같이 정의하자.

dQ(x).= ξ(x)dP (x) (3)

다음 식이 성립함을 쉽게 증명할 수 있다.

dQ(x) =1

[2π]p/2√

|Σ|exp

(−1

2[x− µ]tΣ−1[x− µ]

) p∏j=1

dxj (4)

따라서, 결합확률측도 Q는 평균벡터가 µ = [µ1, µ2, · · · , µp ]t이고 분산공분산행렬이 Σ

인 정규확률측도이다. 이러한 확률측도변환은 확률벡터 x의 분산공분산행렬을 변함없이

유지하면서 평균벡터를 0에서 µ로 이동한다.

지금부터는 <예제 12.4.1>의결과를사용해서, Girsanov정리를증명하기로하자. 수학적

으로 보았을 때, 이 증명은 거친 (rough) 것이다. 이 증명에서 본저자가 추구한 것은 직관적인

설명이다. 뒤에서 좀 더 엄밀하게 Girsanov정리를 증명할 것이다.

정리 12.4.1: Girsanov정리

고정된 T에대해서연속시간형확률과정 µt | 0 ≤ t ≤ T가증대정보계 It | 0 ≤ t ≤ T

에 대해 적합하다고 하자. 또한, Wt | 0 ≤ t ≤ T는 확산모수가 σ이며 확률측도 P를


따르는 Brown운동이라고 하자. 다음 함수들을 정의하자.

ξt.= exp

(1

σ2

[∫ t

0µu dWu − 1

2

∫ t

0µ2u du

]), (0 ≤ t ≤ T )

Q(A).= EP (1A ξT )

여기서 A는 정보집합 IT 에 의해서 결정되는 임의의 사건이고, 1A는 집합 A에 대한

지시함수 (indicator function)로서 다음과 같이 정의된다.

1A(ω).=

1, (ω ∈ A)

0, (ω /∈ A)

이러한 조건 하에서 Q는 확률측도이고 다음과 같이 정의되는 WQt | 0 ≤ t ≤ T는 이

확률측도 Q와 증대정보계 It에 대한 Brown운동이다.

WQt

.=Wt −

∫ t

0µudu

증명. 시간구간 [0, T ]의 분할 Π.= 0 = t0 < t1 < · · · < tM = T에 대해서, 확률벡터 y

.=

[y1, y2, · · · , yM ]t.= [W (t1),W (t2)−W (t1),W (t3)−W (t2), · · · , W (tM )−W (tM−1)]

t는


y ∼ NM (0,Σ) (1)

여기서 분산공분산행렬은 Σ.= σ2diag(t1, t2 − t1, · · · , tM − tM−1)이다. 따라서, 확률벡터

y의 결합확률측도 P는 다음 식을 만족한다.

dP (y) =1

[2π]M/2√|Σ|

exp(−1

2ytΣ−1y

)dy (2)


ξ(y).= exp

(ytΣ−1µ− 1

2µtΣ−1µ

)(3)

Girsanov 정리 611

여기서 µ.= [µ(t0)t1, µ(t1)[t2 − t1], · · · , µ(tM−1)[tM − tM−1] ]

t이다. 다음 식이 성립한다.

ξ(y).= exp

1

σ2

M−1∑j=0

µ(tj)[W (tj+1)−W (tj)]−

1

2µ2(tj)[tj+1 − tj ]

(4)

함수 Q를 다음과 같이 정의하자.

dQ(y).= ξ(y)dP (y) (5)

<예제 12.4.1>에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

dQ(y) =1

[2π]M/2√

|Σ|exp

(−1

2[y − µ]tΣ−1[y − µ]

)dy (6)

따라서, Q는 평균벡터가 µ이고 분산공분산행렬이 Σ인 정규확률측도이다. 이러한 확률측도

변환은 확률벡터 y의 분산공분산행렬을 변함없이 유지하고 평균벡터를 0에서 µ로 이동한다.


EQ(y) = µ, V arQ(y) = Σ (7)

각 j(= 0, 1, · · · , n− 1)에 대해서, 다음 확률변수들을 정의하자.

WQ(t0).=W (t0)− µ(t0)t1 (8)

WQ(tj+1).=WQ(tj) + [W (tj+1)−W (tj)]− µ(tj)[tj+1 − tj ], (j = 0, 1, · · · ,M − 1) (9)

또한, 다음 확률변수들을 정의하자.

yQ1.=WQ(t1), yQj

.=WQ(tj)−WQ(tj−1), (j = 2, 3, · · · ,M) (10)

확률벡터 yQ =[yQ1 , y

Q2 , · · · , y

QM

]t는 식 yQ = y − µ를 만족한다. 따라서, 다음 식들이

성립한다.

EQ(yQ) = 0, V arQ(yQ) = Σ (11)



dQ(y) =1

[2π]M/2√

|Σ|exp

(−1

2[y − µ]tΣ−1[y − µ]

)d[y − µ] (12)


dQ(yQ) =1

[2π]M/2√

|Σ|exp

(−1

2[yQ]tΣ−1yQ

)dyQ (13)

즉,yQ1 , y

Q2 , · · · , y

QM

은 확률측도 Q 하에서 Brown증분들이다. 따라서,

WQ(t0),WQ(t1), · · · , WQ(tM )은 확률측도 Q 하에서 Brown운동에서 추출된 표본이다.

여기까지는 수리적으로 아무런 문제가 없다.

지금부터는 극한 M → ∞를 취하고자 한다. 이 경우에는 확률변수의 수렴에 관한 것이

므로, 어떤 수렴인지를 명확히 할 필요가 있다. 식 (4)에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

ξT.= lim

M →∞ξ(y) = exp

(1

σ2

∫ T

0µu dWu − 1

2

∫ T

0µ2u du

)(14)


dWQt = dWt − µtdt (15)


Q(A) =

∫AdQ =

∫AξT dP = EP (1AξT ) (16)

여기서 두 번째 등호는 It가 증대정보계이기 때문에 성립한다. 또한, 식 (13)에서 알 수

있듯이, WQt 는 확률측도 Q와 증대정보계 It에 대한 Brown운동이다.

12.4.2 지수마팅게일과 Girsanov정리

이 절에서는 다변량정규확률분포의 결합특성함수를 사용해서, Girsanov정리를 증명하고자

한다. 이 증명법은 일반적으로 인용되는 방법이다. 이 방법에 대한 자세한 내용은 IM&F12

의 제4장을 참조하라.

Girsanov 정리 613

우선, 동치마팅게일측도를 생성하는 과정을 다시 한 번 살펴보자. 확률과정 xt | 0 ≤ t ≤

T의 확률측도가 P이고, 확률변수 xT 의 확률밀도함수가 p(x)라고 하자. 각 시점 t(∈ [0, T ])

에서, 확률변수 ξt.= ξt(xs | 0 ≤ s ≤ t)는 확률과정 xs | 0 ≤ s ≤ t의 함수이다. 다음

식들이 성립한다고 가정하자.

ξT ≥ 0, EP (ξT ) = 1 (12.4.1)

확률변수 ξT 가취할수있는값들의전체집합, 즉 치역을 Ξ라하고, A를집합 Ξ의부분집합인

사건이라고 하자. 지금부터는 기대값 EP (ξT 1A)에 대해서 살펴보자. 집합 Ξ를 다음 식들을

만족하는 서로 배타적 사건들 A1, A2, · · · 로 분할하자.

∞∪k=1

Ak = Ξ, Ai ∩Aj = ϕ, (i = j) (12.4.2)

각 k(= 1, 2, · · · )에 대해서, 다음 식이 성립한다고 가정하자.

Ak = ξT = ak (12.4.3)

즉, 확률변수 ξT 의 치역이 가산(countable)이라고 가정하자. 식 (12.4.1)∼식 (12.4.3)에서 알

수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

∞∑k=1

EP (ξT 1Ak) =

∞∑k=1

akP (Ak) = EP (ξT ) = 1 (12.4.4)

여기서 세 번째 등호는 가정 (12.4.1)에 의해서 성립한다. 가정 (12.4.1)에 의해서 확률변수

ξT 가 비음인 값들만을 가지므로, 각 k에 대해서 다음 식이 성립한다.

EP (ξT 1Ak) ≥ 0 (12.4.5)


Q(Ak).= EP (ξT 1Ak

), (k = 1, 2, · · · ) (12.4.6)


식 (12.4.4)∼식 (12.4.6)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

Q(Ak) ≥ 0, (k = 1, 2, · · · ),∞∑k=1

Q(Ak) = 1 (12.4.7)

집합 Ak의 진짜확률 P (Ak)는 새로운 확률 Q(Ak)와 다른 것이 일반적이다. 이 확률 Q(Ak)

를 정의하는 데는 식 (12.4.3)의 가정이 필수적이었다. 이 가정을 사용하지 않기 위해서는

Lebesgue적분을 사용해야만 한다. 그러나, 본서에서는 독자들이 Lebesgue적분을 모른다고

가정하고 있으므로, 가정 (12.4.3)을 피해 나가는 직접적 방법을 사용하고자 한다. 이 방법은

Lebesgue적분을 정의해 나가는 과정을 간단히 되풀이 한 것에 불과하다. Lebesgue적분을

쉽게 이해하고자 하는 독자는 IM&F7을 참조하라.

확률변수 ξT 의 치역을 Ξ = [0, β]라고 하고, 이 치역의 분할 Π.= 0 = a0 < a1 < · · · <

aM = β 를 살펴보자. 다음 집합들을 정의하자.

Ak.= ak ≤ ξt < ak+1, (k = 0, 1, · · · ,M − 1) (12.4.8)

또한, 다음 변수들을 정의하자.

Bmin.= a0P (A0) + a1P (A1) + · · ·+ an−1P (An−1) (12.4.9)

Bmax.= a1P (A0) + a2P (A1) + · · ·+ anP (An−1) (12.4.10)

따라서, Bmin은 함수 ξT 의 기대값의 하한을 나타내고, Bmax는 상한을 나타낸다. 다음 변수를

정의하자.

ϵM.= max

1≤k≤M|ak − ak−1| (12.4.11)

다음 식이 성립한다고 가정하자.

limϵM → 0

Bmin = limϵM → 0

Bmax <∞ (12.4.12)

여기서 극한 ϵM → 0는 limM →∞

ϵM = 0를 의미한다. 식 (12.4.12)가 성립할 때, 이 극한값을

함수 ξT 의 Lebesgue기대값 EP (ξT )라 한다. 그러나, 확률변수 ξT 의 치역이 Ξ = [0,∞]인

경우에는, 각 소구간 [ak−1, ak], (k = 1, 2, · · · , n)의 길이가 0이 되도록 극한 ϵM → 0를

취하는 것이 불가능하다. 이러한 경우 EP (ξT )가 존재하기 위해서는 다음 명제를 만족하는

Girsanov 정리 615

수 L과 양수 δ가 존재해야 한다.

l ≥ L ⇒ P (ξT ≥ l) <1

l1+δ(12.4.13)


ξ[1/l]T

.=

ξT , (ξT ≤ l)

l, (ξT > l)(12.4.14)

임의의 ϵ(> 0)에 대해서, 다음 식들을 만족하는 η(> 0)가 존재한다.

0 ≤ EP (ξT )− EP(ξ[ϵ]T

)< ϵη (12.4.15)


limϵ→ 0

EP(ξ[ϵ]T

)= EP (ξT ) (12.4.16)

따라서, 확률변수 ξT 의 치역이 Ξ = [0,∞]인 경우에는 식 (12.4.13)에서처럼 확률변수 ξT 의

치역에 확률적 상한이 존재한다고 가정하면, EP (ξT )가 존재한다.

어떤 가측집합 A에 대해서, 다음 함수를 정의하자.

Q(A).= EP (ξT 1A) (12.4.17)


Q(A) ≥ 0, Q(Ξ) = 1 (12.4.18)

따라서, Q는 확률측도이다. 다음 식들이 성립한다.

ξT p(x) ≥ 0 (12.4.19)

EP (ξT ) =

∫ΞξT p(x)dx = 1 (12.4.20)

Q(A) = EP (ξT 1A) =

∫Ξ1AξT p(x)dx =

∫AξT p(x)dx (12.4.21)


따라서, 새로운 확률측도 Q의 확률밀도함수를 q(x)로 표기하면, 다음 식이 성립한다.

q(x) = ξT p(x) (12.4.22)

확률변수 xt의 함수 g(xt)의 기대값을 구하기 위해서, 다음 함수를 정의하자.

h(x).=g(x)

ξT(12.4.23)


EP (g(xt)) =

∫Ξg(x)p(x)dx =

∫Ξh(x)g(x)dx = EQ(h(xt)) (12.4.24)

여기서 두 번째 등호는 식 (12.4.22)와 식 (12.4.23)에 의해서 성립한다. 식 (12.4.24)에서 알

수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

EP (g(xt)) = EQ(h(xt)) (12.4.25)

예제 12.4.2 확률변수들ξt = exp

(σWt − 1

2σ2t)| 0 ≤ t ≤ T

에대해서살펴보자. 여기서

Wt | 0 ≤ t ≤ T는 확률측도 P 하에서 표준Brown운동이고, σ(> 0)는 주어진 상수이다.

정의에서 알 수 있듯이 식 ξt ≥ 0가 성립한다. 이 확률변수의 1차적률은 다음과 같다.

EP (ξt) =

∫ ∞

−∞exp

(σWt −

1

2σ2t

)1√2πt

exp(− 1

2tW 2

t

)dWt

=

∫ ∞

−∞

1√2πt

exp(− 1

2t[Wt − σt]2

)dWt

=

∫ ∞

−∞

1√2πt

exp(− 1

2t[Wt − σt]2

)d[Wt − σt]

(1)

여기서 마지막 등호는 식 [dWt]2 = dt에 의해서 성립한다. 확률변수 WQ

t.=Wt − σt를 식 (1)

에 대입하면, 다음 식이 성립한다.

EP (ξt) =

∫ ∞

−∞

1√2πt

exp(− 1

2t

[WQ

t

]2)dWQ

t (2)

따라서, 식 EP (ξt) = 1이 성립한다. 즉, 함수 exp(σWt − 1

2σ2t)는 앞에서 논의한 확률변수

ξt.= ξt(Ws | 0 ≤ s ≤ t)의 타당한 후보이다.

Girsanov 정리 617

집합 A에 대해서, 다음 함수를 정의하자.

g(Wt).= ξT 1A(Wt) = exp

(σWt −

1

2σ2T

)1A(Wt) (3)

식 (12.4.24)에서 알 수 있듯이, 다음 식을 만족하는 새로운 확률측도 Q를 구할 수 있다.

EP (g(Wt)) = EQ(1A(Wt)) (4)

즉, 확률 Q(A)를 다음과 같이 구할 수 있다.

Q(A) = EQ (1A(Wt)) = EP (g(Wt)) = EP

(exp

(σWt −

1

2σ2T

)1A(Wt)

)(5)

지금까지 설명한 동치마팅게일측도를 생성하는 방법을 사용해서, Girsanov정리를 증명하

기로 하자. 우선, 다음 보조정리를 살펴보자.

보조정리 12.4.1

고정된 유한시점 T 에 대해서, 증대정보계 It | 0 ≤ t ≤ T가 주어졌다고 가정하자.

확률과정 µt | 0 ≤ t ≤ T는 증대정보계 It | 0 ≤ t ≤ T에 대해서 가측이고,

Wt | 0 ≤ t ≤ T는 확산모수가 σ인 Brown운동이다. 확률과정 ξt | 0 ≤ t ≤ T를

다음과 같이 정의하자.

ξt.= exp

(1

σ2

[∫ t

0µu dWu − 1

2

∫ t

0µ2u du

]), (0 ≤ t ≤ T )

확률과정 µt | 0 ≤ t ≤ T가 다음과 같은 Novikov조건을 만족한다고 가정하자.

E

(exp

(1

σ2

∫ t

0µ2udu

))<∞, (0 ≤ t ≤ T )

이러한 조건 하에서, 확률과정 ξt | 0 ≤ t ≤ T는 제곱가적분마팅게일이다.



∂ξt∂t

= exp(

1

σ2

[∫ t

0µu dWu − 1

2

∫ t

0µ2udu

])[− 1

2σ2µ2t

]=

ξtσ2

[−1

2µ2t

](1)

∂ξt∂Wt

= exp(

1

σ2

[∫ t

0µu dWu − 1

2

∫ t

0µ2udu

])[1

σ2µt

]=µtσ2ξt (2)

∂2ξt∂W 2

t

=µtσ2

∂ξt∂Wt

=[µtσ2

]2ξt (3)

식 (1)∼식 (3)과 Ito-Doeblin보조정리에 의해서, 다음 식들이 성립한다.

dξt =ξtσ2

[−1

2µ2tdt+ µtdWt +

1

2σ2µ2tσ2dt

]=µtξtσ2

dWt (4)

정의에 의해서, ξ0 = 1이다. 따라서, 식 (4)에서 알 수 있듯이 다음 식들이 성립한다.

ξt = ξ0 +

∫ t

0

1

σ2ξu µu dWu = 1 +

1

σ2

∫ t

0ξu µu dWu (5)

만약 s < t이면, 다음 식이 성립한다.

E

(∫ t

0ξu µu dWu

∣∣∣∣ Is) =

∫ s

0ξuµu dWu (6)


E(ξt | Is) = 1 +1

σ2E

(∫ t

0ξu µu dWu

∣∣∣∣ Is) = 1 +1

σ2

∫ s

0ξu µu dWu = ξs (7)

여기서 첫 번째 등호와 세 번째 등호는 식 (5)에 의해서, 그리고 두 번째 등호는 식 (6)에

의해서 성립한다. 식 (7)에서 알 수 있듯이, ξt는 마팅게일이다. 또한, µt가 Novikov

조건을 만족함을 이용해서, ξt가 제곱가적분임을 쉽게 증명할 수 있다.

<보조정리 12.4.1>에서 증명한 확률과정 ξt가 제곱가적분마팅게일이라는 성질을

사용해서 Girsanov정리를 유도할 수 있다.

정리 12.4.2: Girsanov정리

고정된 T에대해서,연속시간형확률과정 µt | 0 ≤ t ≤ T는증대정보계 It | 0 ≤ t ≤ T

에 대해 적합하며 Novikov조건을 만족한다고 하자. 또한, Wt | 0 ≤ t ≤ T는 확률측도

Girsanov 정리 619

P 에 대한 Brown운동이며, 이 Brown운동의 확산모수는 σ라고 하자. 다음 함수들을

정의하자.

ξt.= exp

(1

σ2

[∫ t

0µu dWu − 1

2

∫ t

0µ2u du

]), (0 ≤ t ≤ T )

Q(A).= EP (1AξT )

여기서 A는 정보집합 IT 에 의해서 결정되는 임의의 사건이고, 1A는 그 사건의 지시함

수이다. 다음과 같이 정의되는 WQT | 0 ≤ t ≤ T는 확률측도 Q와 증대정보계 It에

대한 Brown운동이다.

WQt

.=Wt −

∫ t

0µu du, (0 ≤ t ≤ T )

증명. <보조정리 12.4.1>에서 알 수 있듯이, 결정적 유계함수 f(t)에 대한 다음과 같은 확률

과정은 지수마팅게일이다.

exp

(1

σ2

∫ t

0[f(u) + µu]dWu − 1

2

∫ t

0[f(u) + µu]

2du

) ∣∣∣∣ 0 ≤ t ≤ T

(1)


EP

(exp

(1

σ2

∫ T

0[f(u) + µu]dWu − 1

2

∫ T

0[f(u) + µu]

2du

))= 1 (2)


EQ

(exp

(1

σ2

∫ T

0f(u) dWQ

u

))= EQ

(exp

(1

σ2

∫ T

0f(u) dWu − 1

σ2

∫ T

0f(u)µudu

))= EP

(exp

(1

σ2

∫ T

0[f(u) + µu] dWu −

∫ T

0f(u)µu du− 1

2

∫ T

0µ2udu

)) (3)

여기서첫째등호는WQu 의정의에의해서성립하고, 둘째등호는확률측도 Q의정의에의해서


성립한다. 함수 f(t)가 결정적이므로, 식 (3)에서 알 수 있듯이 다음 식이 성립한다.

EQ

(exp

(1

σ2

∫ T

0f(u) dWQ

u

))= EP

(exp

(1

σ2

∫ T

0[f(u) + µu]dWu − 1

2

∫ T

0[f(u) + µu]

2du

))· exp

(1

2σ2

∫ T

0f2(u)du

)(4)


EQ

(exp

(1

σ2

∫ T

0f(u) dWQ

u

))= exp

(1

2σ2

∫ T

0f2(u)du

)(5)

식 (5)가 이 증명의 핵심적 등식이다.

시간구간 [0, T ]의 분할 Π.= 0 = t0 < t1 < · · · < tM = T를 살펴보자. 앞에서 구한

핵심적 등식 (5)를 사용해서,WQ(tj+1)−WQ(tj) | j = 0, 1, · · · ,M − 1

의 결합적률모함

수를 구하기로 하자. 다음 함수를 정의하자.

f(u).= σ2

M−1∑j=0

θj1(tj ,tj+1](u) (6)

핵심적 등식 (5)에 식 (6)의 함수 f(t)를 대입하면, 다음 식이 성립한다.

EQ

exp

∫ T

0

M−1∑j=0

θj1(tj ,tj+1](u) dWQu

= exp

1

2

M−1∑j=0

θ2jσ2[tj+1 − tj ]

(7)


EQ

exp

M−1∑j=0

θj[WQ(tj+1)−WQ(tj)

] = exp

1

2

M−1∑j=0

θ2jσ2[tj+1 − tj ]

(8)

식 (8)의 좌변은 확률측도 Q 하에서 확률벡터[WQ(t1),W

Q(t2)−WQ(t1), · · · ,

WQ(tM )−WQ(tM−1)]t의 적률모함수의 정의이다. 식 (8)의 우변은 확률측도 P 하에서

확률벡터 [W (t1),W (t2) − W (t1), · · · , W (tM ) − W (tM−1)]t의 적률모함수이다. 여기서

Wt는 확률측도 P 하에서 Brown운동임을 상기하라. 따라서, WQt 는 확률측도 Q 하에서

Brown운동이다.

Girsanov 정리 621

Girsanov정리를 직관적으로 설명하면 다음과 같다. 만약 Brown운동 Wt | 0 ≤ t ≤ T

가 주어지면, 이에 대한 확률분포 P로부터 새로운 확률분포 Q를 얻는 동시에 이 확률분포 Q

에 대한 Brown운동 WQt | 0 ≤ t ≤ T를 얻는다. 이 Brown운동들의 확률미분은 다음 식을

만족한다.

dWQt = dWt − µtdt, (0 ≤ t ≤ T ) (12.4.26)

즉, WQt 는 Wt에서 추세 µt를 뺀 것이다. 임의의 가측집합 A에 대해서, 원래 확률분포 P와

새로운 확률분포 Q는 다음 식들을 만족한다.

Q(A) = EP (1aξT ) =

∫AξTdP (12.4.27)


dQ = ξTdP (12.4.28)

이확률측도변환에서중요한조건은 ξt | 0 ≤ t ≤ T가 EP (ξt) = 1을만족하는제곱가적분마

팅게일인 것이다. 또한, µt가 It-적합이라는 것을 기억하라. 다음으로 Brown운동 WQt

에대해생각해보자. 이 Brown운동은직감적으로느끼는것과약간다른부분이있다. Brown

운동들 WQt 와 Wt는 모두 어떠한 추세항도 갖지 않는다. 그러나, dWQ

t = dWt − µtdt

이다. 따라서, 만약 µt가 0이 아닌 한, 이 두 확률과정들 중 적어도 하나는 0이 아닌 추세를

가져야만할 것같다. 이 모순점을어떻게설명할수있을까? 해답은다음과같다. Brown운동

Wt는확률측도 P 하에서추세가 0이다. 즉, EPt (dWt) = 0이다. 반면에, Brown운동 WQ

t

는 확률측도 Q 하에서 추세가 0이다. 즉, EQt (dWt) = 0이다. 따라서, 확률측도 Q 하에서

예측불가능한 부분을 표현하는데 Brown운동 WQt 를 사용할 수 있다. 확률증분 dWQ

t 는

항 −µtdt 를 포함하고 있다. 따라서, Wt 대신에 WQt 를 사용하면, 확률미분방정식의 추세를

µtdt만큼 감소시킬 수 있다. 만약 µt를 위험프리미엄으로 해석한다면, 이러한 추세감소는

위험자산가치를 무위험자산가치로 변형한다. 즉, 확률측도변환은 금융자산가치과정 St를

마팅게일로 바꾸는 것이다. 실제로는 금융자산가치 St 자체보다는 무위험이자율 r로 할인된

금융자산가치 e−rtSt에 이 확률측도변환을 적용한다.


제12.5절 Feyman-Kac정리

지금까지 금융파생상품의 공정한 가치를 도출하는 데 이용할 수 있는 두 가지 접근법들을

살펴보았다. 첫째, 편미분방정식을 사용한 접근법에서는 무위험포트폴리오를 구축함으로써

금융파생상품의 가치평가식을 얻었다. 원자산 St의 예측할 수 없는 변동을 복제하기 위해서,

포트폴리오 구성의 무한소 조정과 옵션가치의 무한소 변화가 이용되었다. 원자산 St, 금융

파생상품가치 F (St, t) 그리고 무위험이자율이 함께 변화하도록 복제포트폴리오에 제약을

가함으로써, 복제포트폴리오에서 위험을 제거하였다. 여기서는 포지션을 무한소로 변화시킬

수 있다는 가정이 중요한 역할을 한다. 따라서, 연속시간형 금융자산가치모형을 사용하는

것이 편리하다. 둘째, 동치마팅게일법은 할인된 금융파생상품가치 e−rtF (St, t)가 마팅게일이

되는 동치마팅게일측도 Q를 찾는 것을 바탕으로 한다. 이 동치마팅게일측도 Q 하에서 다음

위험중립가치평가식의 우변을 계산해서, 금융파생상품의 공정한 가치를 구한다

e−rtF (St, t) = EQ(e−rTF (ST , T ) | It

), (t < T ) (12.5.1)

이 접근법들을 적용해서 Black-Scholes식을 구할 수 있다. 첫 번째 방법은 Black-Scholes

방정식을 유도하고 이 편미분방정식과 말기조건으로 이루어진 경계값문제를 풀어서 Black-

Scholes식을 구한다. 두 번째 방법은 기대값 EQ(e−rTF (ST , T ) | It

)를 계산해서 Black-

Scholes식을구한다. 이절에서는두가지방법들사이의연관성을두단계로나누어살펴보자.

첫 번째 단계에서는, 확률과정을 지배하는 Brown운동과 확률측도변환에 의해서 어떻게

e−rtSt가 마팅게일로 변환되는지를 살펴보자. 두 번째 단계에서는, 동일한 확률측도변환에

의해서 금융파생상품가치과정 e−rtF (St, t)도 마팅게일이 됨을 보이자.

원자산 St가 다음 확률미분방정식을 따른다고 하자.

dSt = µ(St)dt+ σ(St)dWt, (0 ≤ t ≤ T ) (12.5.2)

이 확률미분방정식에서는 추세계수와 확산계수는 원자산에만 의존한다. 즉, µt = µ(St)이고

σt = σ(St)이다. 이 계수들이 일반적인 정칙조건을 만족시킨다고 가정하자. 또한, Wt는

확률측도 P 하에서 표준Brown운동이다. Girsanov정리를 사용해서, e−rtSt를 마팅게일로

변환시키자. Ito-Doeblin보조정리을 사용해서, 다음 식을 유도할 수 있다.

d[e−rtSt] = Std[e−rt] + e−rtdSt (12.5.3)

Feyman-Kac정리 623


d[e−rtSt] = e−rt[µt − rSt]dt+ e−rtσtdWt (12.5.4)

원자산 St가 위험자산이므로, 식 µt > rSt이 성립해야 한다. 따라서, 일반적으로 식 (12.5.4)

의 추세계수는 0이 아니다. 즉, e−rtSt는 마팅게일이 아니다. 우리는 Girsanov정리를 이용

해서 e−rtSt를 마팅게일로 변환할 수 있다. 지금부터는 이러한 변환을 자세히 설명하고자

한다. 우선, It-적합한 확률과정 xt, 새로운 확률과정 WQt 그리고 이 새로운 확률과정에

관련된 확률측도 Q가 다음 식들을 만족한다고 가정하자.

dWQt

.= dxt + dWt (12.5.5)

dQ.= ξT dP (12.5.6)

여기서 ξt는 다음과 같다.

ξt.= exp

(∫ t

0xu dWu − 1

2

∫ t

0x2udu

), (0 ≤ t ≤ T ) (12.5.7)


d[e−rtSt] =e−rt[µt − rSt]dt− e−rtσt dxt

+ e−rtσt dWt (12.5.8)

식 (12.5.8)의 우변에서 추세항이 이 되도록, 다음과 같은 추세조정항 dxt를 선택하자.

dxt =

[µt − rSt

σt

]dt (12.5.9)

이 확률과정 xt가 Girsanov정리에서 필요로 하는 제곱가적분조건을 만족한다고 가정하자.


d[e−rtSt] = e−rtσtdWQt (12.5.10)

Girsanov정리에 의하면, 새로운 확률측도 Q 하에서 WQt 는 표준Brown운동이다. 따라서,

식 (12.5.10)에서알수있듯이, 할인된원자산과정 e−rtSt | 0 ≤ t ≤ T가확률측도 Q하에서

마팅게일이다.


금융파생상품가치 F = F (St, t)를 결정하기 위해서는 앞에서 구한 동치마팅게일측도 Q

하에서 e−rtF (St, t) | 0 ≤ t ≤ T가 마팅게일성을 갖는 것을 보일 필요가 있다. 이를 위해서

다시 Girsanov정리를 이용하자. 다음 식이 성립한다.

d[e−rtF (St, t)] = Fd[e−rt]F + e−rtdF (12.5.11)

Ito-Doeblin보조정리를 이용해서 dF 를 구하고, 그 결과를 식 (12.5.11)에 대입하면, 다음

확률미분방정식을 얻는다.

d[e−rtF (St, t)] = e−rt[−rFdt] + e−rt

[Ftdt+ FSdSt +

1

2FSSσ

2t dt

](12.5.12)

여기서 중요한 문제는 식 (12.5.12)의 우변에서 dSt대신에 무엇을 대입해야 하는지이다. 두

가지 식을 생각해 볼 수 있다. 첫째로, 주어진 확률미분방정식 (12.5.2)를 이용할 수 있다.

둘째로, Brown운동 WQt 와 확률측도 Q하에서 e−rtSt는 마팅게일이라는 것을 이용할 수

있다. 즉, 식 (12.5.10)을 이용한다. 여기서는 어느 단계에서 Girsanov정리가 이용되는지를

확인하기 위해서 확률미분방정식 (12.5.2)를 사용하기로 하자. 식 (12.5.2)를 사용해서 식

(12.5.12)에서 dSt를 소거하면, 다음 식을 얻는다.

d[e−rtF (St, t)] = e−rt

[−rF + Ft + Fs µt +

1

2FSSσ

2t

]dt+ e−rtσtFSdWt (12.5.13)

식 (12.5.13)에 Girsanov정리를 적용하기로 하자. 즉, 식 (12.5.5)를 식 (12.5.13)에 대입하면,


d[e−rtF (St, t)] = e−rt

[−rF + Ft + FSµt +

1

2FSSσ

2t

]dt

− e−rtσtFSdxt + e−rtσtFSdWQt

(12.5.14)

여기서 WQt 는 확률측도 Q 하에서 표준Brown운동이다. 식 (12.5.9)를 식 (12.5.14)에

대입하면, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

d[e−rtF (St, t)]

= e−rt

[−rF + Ft +

1

2FSSσ

2t + rFSSt

]dt+ e−rtσtFS dW

Qt

(12.5.15)

동치마팅게일측도 Q 하에서 할인된 금융파생상품가치과정 e−rtF (St, t) | 0 ≤ t ≤ T가

Feyman-Kac정리 625

마팅게일이 되기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

−rF + Ft +1

2FSSσ

2t + rFSSt = 0 (12.5.16)

편미분방정식 (12.5.16)은 Black-Scholes방정식이다. 만약 금융파생상품가치 F (St, t)가

Black-Scholes방정식 (12.5.16)을 만족하면, 식 (12.5.15)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

d[e−rtF (St, t)] = e−rtσtFS dWQt (12.5.17)

식 (12.5.17)에서 알 수 있듯이, 할인된 금융파생상품가치과정 e−rtF (St, t)는 동치마팅게

일측도 Q 하에서 마팅게일이다. 이는 무재정시장에서 각 금융파생상품가치는 합성확률측도

Q 하에서 마팅게일임을 보인 것이다. 역으로, 식 (12.5.17)이 성립하면, 식 (12.5.15)에서 알

수 있듯이 Black-Scholes방정식 (12.5.16)이 성립해야만 한다. 결론적으로, 금융파생상품가치

평가에 대한 편미분방정식 접근법과 마팅게일접근법 사이에는 등가성이 있음을 알 수 있다.

이러한 성질을 기술한 것이 Feynman-Kac정리이다. 이 정리에 대한 자세한 내용은 IM&F12

의 제5.7절을 참조하라.

지금까지 다룬 내용 중에서 몇 가지 짚고 넘어가야 할 점들이 있다. 첫째, Girsanov정리의

이용법이다. 무위험이자율로할인된금융자산가치에관한확률미분방정식이움직이는근원이

되는 Brown운동 Wt가주어졌다고하자. 이할인된금융자산가치과정은마팅게일이아니다.

우리의 목적은 그것을 마팅게일로 변환하는 것이다. 즉, Girsanov정리를 이용하여, 할인된

금융자산가치과정이 마팅게일이 되도록 하는 새로운 Brown운동 WQt 와 이에 해당하는

확률측도 Q를 찾는다. 이 Q를 동치마팅게일측도라 부른다. 이러한 조작의 중간단계로

Girsanov정리에서 요구되는 추세조정항 xt를 얻는다. 이 추세조정항은 식 (12.5.10)과 식

(12.5.17)을 구하는 데 사용되었다. 둘째, Girsanov정리를 적용함으로써 확률미분방정식에서

각 금융자산가치의 추세모수를 무위험이자율로 치환한다는 것이다. 즉, 추세조정항의 증분

dxt를 [µt−rSt]σ−1t dt로치환한다. 이치환은중요한역할을하고있음에유의하라. 이러한치

환은 식 (12.5.13)의 항 e−rtFSµtdt를 식 (12.5.15)의 항 e−rtFSrStdt로 바꾼다. 달리 말하면,

Girsanov정리를 적용함으로써, µt/St를 무위험이자율 r로 치환한다. 종종 금융파생상품의

가치평가에 관한 책들에서 기계적으로 각 추세모수를 무위험이자율로 치환하는 것을 볼 수

있다. 이제 독자들은 이러한 치환의 바탕에는 Girsanov정리가 있음을 알았을 것이다. 셋째,

할인된 원자산과정 e−rtSt를 마팅게일로 변환하는 Brown운동 WQt 와 동치마팅게일측도

Q가 할인된 금융파생상품가치과정 e−rtF (St, t)를 마팅게일로 변환한다는 것이다. 마팅게


일의 함수가 항상 마팅게일이라고는 할 수 없기 때문에, 이러한 결과는 상당히 의미가 있는

것이다. 이러한 결과는 금융시장의 균형 (equilibrium)과 시장모형의 무재정조건에 관련되어

있다. 이 문제는 동적자산가격이론(dynamic asset pricing theory)의 영역에 속한다. 여기

서는 간단히 이론적 근거에 대해 언급하겠다. 완비인 무재정시장에서는 상태가격벡터가

일의적으로 존재한다. 이 상태가격벡터를 표준화하면, 무위험이자율로 할인된 모든 금융자

산가치들을 마팅게일들로 변환하는 동치마팅게일측도를 구할 수 있다. 이 상태가격벡터의

연속형이 합성확률측도 Q라고 할 수 있다. 또한, 이 상태가격의 디플레이터 (deflator)가

Girsanov정리의 ξt에 해당한다. 따라서, 동일한 Brown운동 WQt 와 동일한 확률측도

Q를 이용해서 금융자산의 가치평가식들을 구하는 것은 이산시간형의 상태가격이론을 연

속시간형으로발전시킨것이다. 이산시간형의상태가격이론에대해서는 IM&F9을참조하라.

이 절의 내용을 요약하면 다음과 같다.

첫째, 금융파생상품평가에 대한 편미분방정식 접근법과 마팅게일접근법 사이에는 등가성이

있다.

둘째, 동치마팅게일법에서는 무위험이자율로 할인한 금융자산가치를 마팅게일로 변환하는

동치마팅게일측도에 대한 조건부기대값이 이용된다. Girsanov정리에 포함된 사고법을

이해하면, 이 조건부기대값을 개념화하는 것은 쉽다. 특히, 유럽형옵션인 경우에 이

조건부기대값은 무재정조건 하에서 공정한 가치를 얻는 간편한 방법을 제공한다.

셋째, 동치마팅게일법에도 편미분방정식 접근법에서 이용되는 것과 같은 편미분방정식이

내재한다. 다만, 동치마팅게일법에서는 편미분방정식이 위험중립인 금융자산가치를

결정하는 결과인 것에 비해, 편미분방정식 접근법에서는 무위험자산가치를 얻기 위해

편미분방정식에서 출발한다.

제13장

금융시계열분석 입문

지금까지는 금융상품가치의 변동을 주로 기하Brown운동으로 모형화해서 분석하였다. 실제

금융상품가격은 어떻게 변동하고 있는 것일까? 이 장에서는 금융시계열데이터를 분석하는

방법들을 소개하고, 실제 데이터분석을 통해서 그 방법들의 특징을 살펴보자. 또한, 대표적인

금융시계열데이터의 구조, 모형식별, 모수추정 그리고 선택된 모형을 검진하는 방법을 살펴

보자.

제13.1절 금융시계열데이터

13.1.1 코스피데이터

금융시계열데이터의 특징에 대해서 살펴보자. 이 장에서 사용할 데이터는 2008년 11월

10일부터 2010년 11월 9일까지 2년 간 KOSPI의 종가지수 (終價指數)이다. 이 데이터는

www.krx.co.kr의 국내지수 팝업창에서 ‘일자별지수 → KOSPI’ 를 선택해서 다운로드한 것

이다. 이 데이터를 텍스트파일 KOSPI1.txt에 저장하였다. 다음 예제는 이 텍스트파일로부터

시계열산점도들 그리기 위한 것이다.

예제 13.1.1 텍스트파일 KOSPI1.txt 데이터로 시계열산점도를 그리기 위해서, 다음 R-

파일을 실행하자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: mkKOSPIdata1.R3 ## Making a KOSPI dataset from 2008/10/11 ~ 2010/11/094 ## The original data is from www.krx.co.kr5 ## programmed by YTS6 ## --------------------------------------------------------------------------78 ## Import Packages

627

628 제 13장 금융시계열분석 입문

9 library(zoo)1011 ## Import KOSPI data12 rawData = read.table("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\KOSPI1.txt")1314 Date = format(rawData[,1])15 CurrentI = rawData[,2] ##Current Index16 ChangeI = rawData[,3] ##Change of Index17 ChangePe = rawData[,4] ##Percentage Change of Index18 VolumeI = rawData[,5] ##Trading Volume (thousand shares)19 ValueI = rawData[,6] ##Trading Value20 MkrtVal = rawData[,7] ##Market Value21 OpeningI = rawData[,8] ##Open Index22 HighI = rawData[,9] ##High Index23 LowI = rawData[,10] ##Low Index24 DateNum = length(Date)2526 ## Time Series Plot27 CurrentZoo = zoo(CurrentI , seq(from=1, to=DateNum, by=1))28 plot(CurrentZoo , xlab="time", ylab="KOSPI", xaxt='n')29 axis(side=1,at=c(1,101,201,301,401,503),labels=c(Date[1],Date[101],Date[201],Date

[301],Date[401],Date[503]))3031 ## end of program32 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R-파일을 실행하면, KOSPI1M에서 날짜를 나타내는 변수 Date, 종가지수를 나타내는

변수 CurrentI, 종가지수의 변화량을 나타내는 변수 ChangeI, 종가지수의 변화량을 퍼센트로

나타내는 변수 CurrentPe, 거래량을 나타내는 변수 VolumeI, 거래대금을 나타내는 변수

ValueI, 상장시가총액을 나타내는 변수 MkrtValI, 시가지수를 나타내는 변수 OpeningI, 그

날의 최고지수를 나타내는 변수 HighI, 그 날의 최저지수를 나타내는 변수 LowI를 저장한다.

시계열그래프를 그리기 위해서 R언어의 zoo패키지를 이용하였다.

R함수 plot을 사용해서 그린 종가지수 CurrentI의 시계열산점도를 그림 13.1.1에 수록

했다. 그림 13.1.1에서 알 수 있듯이, 2008년 11월 10일부터 2010년 11월 9일까지 2년 간

코스피는 증가추세를 보인다.

데이터를 취득한 간격에 따라 시계열데이터를 일별데이터 (daily data), 주별데이터

(monthly data), 월별데이터 (monthly data) 등으로 나눌 수 있다. 최근에는 10초, 1분, 10

분과 같은 짧은 시간간격에서 관찰된 데이터나 실시간 거래를 기록하는 틱데이터 (tick data)

등 고빈도데이터(high frequency data)도 금융시계열분석의 대상이 되고 있다. 우리가 분석

하고자 하는 코스피의 종가지수는 일별데이터이다.

금융시계열데이터 629

그림 13.1.1. 코스피의 시계열산점도 (2008.11.10. - 2010.11.09.)

지수Brown운동을 따르는 금융상품가격과정 Su | u ≥ t 를 다음과 같이 쓸 수 있다.

Su = St exp

u/δ∑j=t/δ+1

xj

(13.1.1)

여기서 δ = 1/250이고, xj는 다음과 같다.

xj.= µδ + σ[W[j+1]δ −Wjδ] (13.1.2)

단, µ는 상수이고, Wu는 표준Brown운동이다. 식 (13.1.1)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이

성립한다.

xj = lnSt+[j+1]δ

St+jδ,

(j = 0, 1, · · · , T − t

δ− 1

)(13.1.3)

즉, xj는 금융상품가격과정 Su를 대수변환한 다음 그 차분을 취한 것이다. 이 xt를

로그수익률 (log return rate)이라 부른다. 다음 근사식이 성립한다.

ln Su+δ

Su≃ Su+δ − Su

Su(13.1.4)


식 (13.1.4)에서 알 수 있듯이, 수익률과 로그수익률 사이에는 큰 차이는 없다. 식 (13.1.2)

에서 알 수 있듯이, 다음 식이 성립한다.

xj ∼ N (µδ, σ2δ) (13.1.5)

또한, xj는 서로 독립인 확률변수들이다. 즉, 금융상품가격과정 Su의 로그수익률과정

xj는 서로 독립이며 또한 동일한 정규확률분포를 따른다.

실제 코스피 로그수익률이 가정 (13.1.2)를 만족하는지를 살펴보자. 확률변수 x의 왜도와

첨도는 각각 다음과 같다.

γ1.=E([x− E(x)]3

)[V ar(x)]3/2

, γ2.=E([x− E(x)]4

)[V ar(x)]2

− 3 (13.1.6)

이 첨도의 정의는 β2에서 3을 뺀 것임에 유의하라. 또한, 표본 xm |m = 1, 2, · · · M 이

주어졌을 때 왜도와 첨도를 각각 다음과 같이 추정하자.

γ1.=

1M

M∑m=1

[xm − x]3

s3, γ2

.=

1M

M∑m=1

[xm − x]4

s4− 3 (13.1.7)

여기서 x는 표본평균이고 s는 표준편차이다.

예제 13.1.2 텍스트파일 KOSPI1.txt의변수 CurrentI에저장된종가지수과정이지수Brown

운동을 따르는지를 살펴보기 위해서, 다음 R-파일을 실행하자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: LogReturn1.R3 ## Log Return of KOSPI from 2008/10/11 ~ 2010/11/094 ## The original data is from www.krx.co.kr5 ## programmed by YTS6 ## --------------------------------------------------------------------------78 ## Import Packages9 library(zoo)

10 library(moments)1112 ## Import KOSPI data13 rawData = read.table("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\KOSPI1.txt")1415 Date = format(rawData[,1])16 CurrentI = rawData[,2]17 DateNum = length(Date)1819 ## Time Series Plot20 LogReturn = log(CurrentI[2:DateNum]/CurrentI[1:DateNum -1])21 LogReturnZoo = zoo(LogReturn , seq(from=1, to=DateNum -1, by=1))


22 plot(LogReturnZoo , xlab="time", ylab="Log Return of KOSPI", xaxt='n')23 axis(side=1,at=c(1,101,201,301,401,502),labels=c(Date[2],Date[102],Date[202],Date

[302],Date[402],Date[503]))2425 ## Moments26 LRmean = mean(LogReturn)27 LRstd = sd(LogReturn)28 LRskew = skewness(LogReturn)29 LRkurt = kurtosis(LogReturn)3031 ## Plot Histogram32 win.graph(width=7, height=7)33 hist(LogReturn , breaks=40, freq=FALSE, xlab="Log Return",ylab="Relative Frequency

",main="")34 x = seq(from=min(LogReturn), to=max(LogReturn), by=0.001)35 lines(x, dnorm(x,LRmean,LRstd),lwd=2,col="red")36 legend("topright", c("Relative Freq", "Normal pdf"), col=c("black","red"), lwd=2)3738 ## end of program39 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R-파일을 실행하면, 변수 CurrentI의 로그수익률이 변수 LogReturn에 저장된다. 이

로그수익률의 시계열산점도를 그린 것이 그림 13.1.2이다. 그림 13.1.2에서 알 수 있듯이, 이

로그수익률에는 추세가 없다. 또한, 시간이 흐름에 따라, 변화량이 작아짐을 알 수 있다. 즉,

변동성이 작아진다.

이 로그수익율의 평균은 µδ = 0.0010, 표준편차는 σ√δ = 0.0149, 왜도 (skewness)는

γ1 = −0.1682, 그리고 첨도 (kurtosis)는 γ2 = 6.4902− 3이다. 이 파일에서는 왜도와 첨도를

구하기 위해서 R패키지 moments을 사용하였다. 이 R패키지에서는 γ2가 아닌 β2 = γ2+3를

첨도로 사용함에 유의하라. 이 로그수익률의 첨도는 정규확률분포의 첨도보다 상당히 크다.

이 로그수익률의 확률분포를 그린 것이 그림 13.1.3이다. 그림 13.1.3에서 흰색 상자는 로그

수익률의 히스토그램을 나타내고, 적색 실선은 이 히스토그램과 동일한 평균과 분산을 갖는

정규확률밀도함수이다. Glivenko-Cantelli정리에의하면, 정규성가정(normality assumption)

하에서 이 두 그래프들은 매우 비슷해야 한다. 그러나, 그림 13.1.3에서 볼 수 있듯이, 반드시

그런 결론을 내릴 수는 없다. 특히, 이 히스토그램의 양쪽 꼬리들은 정규확률분포보다 무겁고,

또한 평균 부근에 질량 (mass)이 많이 모여있다. 이러한 모습은 꼬리가 무거운 (heavy-tail)

확률분포의 히스토그램에서 전형적으로 나타나는 모습이다.

13.1.2 정규성검정

재무론에서는 로그수익률이 정규확률분포를 따른다고 가정하는 경우가 많다. 그러나, 시장

에서 관찰되는 많은 로그수익률은 정규확률분포보다 꼬리가 무거운 확률분포를 따른다고


그림 13.1.2. 로그수익률의 시계열산점도

그림 13.1.3. 로그수익률의 히스토그램


생각된다. 이 절에서는 로그수익률의 정규성검정(normality test)에 대해서 간단히 살펴보자.

정규성검정에 관한 자세한 내용은 SAS4TSA3(상권)의 제7.6절을 참조하라.

기초통계학에서 배웠듯이, 시계열데이터 xm | m = 1, 2, · · · , M의 정규성을 조사하기

위해서는 히스토그램 (histogram)이나 줄기잎그림 (stem-and-leaf plot), 상자그림 (box-plot)

그리고 정규확률산점도 (normal probability plot) 등을 그려본다. 그러나 이 그림들은 통계

분석자의 경험을 바탕으로 결론을 내야하는 객관성이 결여된 방법들이다. 널리 사용되는

정규성검정법으로는 Jarque-Bera검정, Kolmogorov-Smirnov검정 그리고 Lilliefor검정 등이

있다.

Bera & Jarque (1982)와 Jarque & Bera (1987)는 왜도 (skewness)와 첨도 (kurtosis)를

사용해서정규성검정을할것을제안하였다. 만약 xm이서로독립이며동일한정규확률분포

N (µ, σ2)를 따른다면, 다음 식들이 성립한다.

E(γ1) = 0, V ar(γ1) =6[M − 2]

[M + 1][M + 3](13.1.8)

E(γ2) =−6

M + 1, V ar(γ2) =

24M [M − 2][M − 3]

[M + 1]2[M + 3][M + 5](13.1.9)

식 (13.1.8)과 식 (13.1.9)에 대해서는 Kendall & Stuart (1977, pp. 316-318)를 참조하라.

식 (13.1.8)과 식 (13.1.9)를 바탕으로, 다음과 같이 정규성검정을 위한 검정통계량 JB를

정의한다.

JB.=M

6γ21 +

M

24γ22 (13.1.10)

확률변수들 xm이 정규확률분포를 따른다는 가정 하에서 검정통계량 JB는 점근적으로

자유도가 2인 카이제곱확률분포를 따른다.

확률변수들 xm | m = 1, 2, · · · , M이 서로 독립이고 동일한 연속확률분포함수 F

를 따른다고 하고, 이 확률변수들의 경험분포 (empirical distribution)를 FM 으로 표기하자.

다음과 같이 Kolmogorov-Smirnov통계량 D를 정의하자.

D.= sup

−∞<x<∞| FM (x)− F (x) | (13.1.11)


이 Kolmogorov-Smirnov통계량 D는 다음과 같은 점근확률분포를 따른다.

limM→∞

Pr(√MD ≤ x) = 1− 2

∞∑k=1

[−1]k−1 exp(−2k2x2) (13.1.12)

통계량√MD의 점근확률분포는 확률분포 F 에 의존하지 않는다. 확률변수가 어떤 특정

확률분포를 따른다는 가설을 검정하는데, 이 Kolmogorov-Smirnov통계량 D를 사용한다.

식 (13.1.12)의 우변에 무한급수합이 나타남을 이상하게 생각하는 독자가 있을 것이다. 식

(13.1.2)를 Brown운동이 주어진 위울타리나 아래울타리에 처음 도달하는 시점의 확률분포를

사용해서 유도할 수 있다. 이 유도과정은 double barrier옵션의 가치평가와 밀접한 관계가

있다. 관심있는 독자는 Doob (1949)를 참조하라.

Lilliefors (1967)는 Kolmogorov-Smirnov통계량을 바탕으로 정규성을 검정하기 위한 통

계량 L을 다음과 같이 제시하였다.

L.= max

max

1≤m≤M

∣∣∣∣mM −N

(x(m) − x

s

)∣∣∣∣ , max1≤m≤M

∣∣∣∣N (x(m) − x

s

)− m− 1

M

∣∣∣∣ (13.1.13)

여기서 x(1), x(2), · · · , x(M)은 x1, x2, · · · , xM 의 순서통계량들이다. 비록 Lilliefors통계량

L이경험확률분포를사용하는정규성검정통계량들중에서가장널리알려져있으나, Lilliefors

통계량보다는 Anderson-Darling통계량이나 Cramer-von Mises통계량이 정규성검정에 더 유

용하다고알려져있다. Kolmogorov-Smirnov통계량 D와 Lilliefors통계량 L이비슷한형태를

보이고 있으나, Kolmogorov-Smirnov통계량값을 계산할 때와는 달리 Lilliefors통계량값을

계산하기 위해서는 평균과 표준편차를 먼저 추정해야 한다. 따라서, 이 두 통계량들은 서로

다른 p값을 갖는다.

예제 13.1.3 KOSPI의 로그수익률 xm이 정규확률분포를 따르는지를 살펴보기 위해서,

다음 R-파일을 실행하자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: NormalTest1.R3 ## Normality Tests of Log Return4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Import Packages8 library(nortest)9 library(moments)

1011 ## Import KOSPI data12 rawData = read.table("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\KOSPI1.txt")13


14 Date = format(rawData[,1])15 CurrentI = rawData[,2]16 DateNum = length(Date)1718 ## Plots19 LogReturn = log(CurrentI[2:DateNum]/CurrentI[1:DateNum -1])20 win.graph(width=5, height=7)21 boxplot(LogReturn , xlab="Column Number", ylab="Values")22 win.graph(width=5, height=7)23 qqnorm(LogReturn , datax=TRUE, main="Normal \Pr obability Plot")24 qqline(LogReturn , datax=TRUE)2526 ## Normal Test27 LRmean = mean(LogReturn)28 LRstd = sd(LogReturn)29 standLR = (LogReturn -LRmean)/LRstd30 ks.test(standLR,pnorm)31 lillie.test(standLR)32 jarque.test(standLR)3334 ## end of program35 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R-파일을 실행하면, 변수 CurrentI의 로그수익률이 변수 LogReturn의 정규성검정을

한다.

첫째, 로그수익률 xm의 상자그림과 정규확률산점도가 그림 13.1.4에 수록되어 있다.

그림 13.1.4의 왼쪽 그래프인 상자그림에서 볼 수 있듯이, 제1사분위수보다 작거나 제3사분

위수보다 큰 관찰값들이 많다. 이는 로그수익률의 꼬리가 무거운 확률분포를 따른다는 것을

의미한다. 또한, 오른쪽 그래프인 정규확률산점도에서 볼 수 있듯이, 산점도가 직선에서 멀리

떨어진 S자 모습을 취하고 있다. 이 역시 로그수익률의 꼬리가 무거운 확률분포를 따른다는

것을 의미한다.

둘째, Kolmogorov-Smirnov검정을 하기 위해서, 다음과 같이 입력한다.

>> ks.test(standLR)

R함수 ks.test에 검정할 변수 standLR을 입력하였다. 결과로 검정통계량과 p값를 출력한다.

이 p값이 0.0031이므로, 변수 LogReturn이 정규확률분포를 따른다는 귀무가설을 기각한다.

셋째, Lilliefor검정을 하기 위해서, 다음과 같이 입력한다.

>> lillie.test(standLR)

R패키지 nortest의 함수 lillie.test에 검정할 변수 standLR을 입력하면, 검정통계량과 p값를

출력한다. 이 p값이 3.4 × 10−8이므로, LogReturn이 정규확률분포를 따른다는 귀무가설을

기각한다.

넷째, Jarque-Bera검정을 하기 위해서, 다음과 같이 입력한다.


>> jarque.test(standLR)

R패키지 moments의 함수 jaeque.test에 검정할 변수 standLR을 입력하면, 검정통계량과 p

값를 출력한다. 이 p값이 2.2 × 10−16이므로, 변수 LogReturn이 정규확률분포를 따른다는

귀무가설을 기각한다.

결론적으로, 각 검정법은 변수 LogReturn이 정규확률분포를 따른다는 귀무가설을 기각

한다. 즉, 코스피지수가 기하Brown운동을 따른다고 할 수 없다.

그림 13.1.4. 상자그림과 정규확률산점도

제13.2절 자기상관성

13.2.1 자기상관함수

앞에서 언급했듯이, 일반적으로 로그수익률들이 서로 독립이라고 가정한다. 그러나, 금융시계

열분석에서는 로그수익률 xm의 독립성(independence)을 검정하는 것이 아니라, 자기상관

성(autocorrelation property)이 없음을 검정한다. 자기상관을 계열상관 (serial correlation)

이라 부르기도 한다. 독립성검정에 관한 자세한 내용은 SAS4TSA3상권의 제7.4절을 참조

하라.

자기상관성 637

확률과정 yt의 자기상관성을 정의하기 위해서는 이 확률과정이 정상적 (stationary)

이라고 가정해야 한다. 정상성에 관해서는 제6.3절을 참조하라. 정상적 확률과정 yt의

시차 (lag) k에서 자기공분산(autocovariance)과 자기상관계수(autocorrelation coefficient)

를 각각 다음과 같이 정의한다.

σ(k).= Cov(yt, yt+k), (k = 0,±1,±2, · · · ) (13.2.1)

ρk.=σ(k)

σ(0), (k = 0,±1,±2, · · · ) (13.2.2)

식 (13.2.2)에서 알 수 있듯이, 식 ρ0 = 1이 성립한다. 만약 각 k(> 0)에 대해서 자기상관계수

ρk가 0이면, 이확률과정은자기상관성을갖지않는다고한다. 만약어떤확률과정이독립성을

갖으면, 그 확률과정은 자기상관성을 갖지 않는다.

시계열데이터 yt | t = 1, 2, · · · , T의 표본자기공분산을 다음과 같이 정의한다.

σ(k).= σ(−k) .=

T−k∑t=1

[yt − y][yt+k − y], (k = 0, 1, · · · , T − 1) (13.2.3)

여기서 y.= 1

T

T∑t=1

yt이다. 또한, 표본자기상관계수를 다음과 같이 정의한다.

ρk.=σ(k)

σ(0), (k = 0,±1,±2, · · · , ±[M − 1]) (13.2.4)

시차에대해서표본자기상관함수를그린그림을자기상관함수그림(correlogram)이라부르자.

만약 yt | t = 1, 2, · · · , T가 서로 독립이고 동일한 확률분포를 따르면, 큰 T에 대해서 다음

근사식들이 성립한다.

V ar(ρk) ≃1

T, (k = 1, 2, · · · ), Cov(ρk, ρi) ≃ 0, (k = i) (13.2.5)

따라서, 유의수준 5%에서 자기상관계수 ρk의 신뢰구간은(− 2√

T, 2√

T

)이다.

예제 13.2.1 KOSPI의로그수익률 xm의자기상관함수를살펴보기위해서, 다음 R-파일을

실행하자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: Correlogram1.R3 ## Correlogram of Log Return4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------


67 ## Import KOSPI data8 rawData = read.table("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\KOSPI1.txt")9

10 Date = format(rawData[,1])11 CurrentI = rawData[,2]12 DateNum = length(Date)1314 ## Plot correlogram of Log Return15 LogReturn = log(CurrentI[2:DateNum]/CurrentI[1:DateNum -1])16 acf(LogReturn ,25, main="", lwd=2)17 legend("topright", c("2*STD","ACF","-2*STD"),18 lty=c("dashed","solid","dashed"), col=c("blue","black","blue"), lwd=c(1,2,1))1920 ## end of program21 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R-파일을 실행하면, 로그수익률 LogReturn의 표본자기상관계수들을 계산하고, 표본

자기상관함수를 그린다. 또한 유의수준이 5%인 신뢰구간도 표시해준다. 그림 13.2.1에서 알

수 있듯이, 시차 12와 시차 15를 제외한 나머지 시차에서 표본자기상관계수는 유의수준이 5%

인 신뢰구간 안에 포함된다. 즉, 로그수익률 LogReturn이 자기상관성을 갖지 않는 것처럼

보인다.

그림 13.2.1. 자기상관함수그림

자기상관성 639

13.2.2 AR(1)모형

시계열데이터에서현재시점의관찰값을과거관찰값들로나타낼수있는부분과예측불가능한

부분으로 나눌 수 있다. 이 중에서 예측불가능한 부분을 예측오차로 간주하고, 일반적으로

백색잡음(white noise)이라 부른다. 시점 t에서 백색잡음을 vt로 표기하면, 예측불가능성에서

알수있듯이 vt의평균은 E(vt) = 0이다. 분산은시점 t에의존하지않는상수 σ2라가정하고,

v1, v2, · · · 는 서로 무상관 (uncorrelated) 또는 서로 독립이라고 가정한다. 즉, 백색잡음과정

vt는 서로 독립이고 평균이 0이고 분산이 σ2인 동일한 확률분포를 따른다. 오차는 다양한

요인들의 집적으로 간주할 수 있고, 일반적으로 vt의 확률분포로 정규확률분포를 적용한다.

물론, 실제 시장에서 나타나는 데이터를 모형화하는 과정에서 알 수 있듯이, 백색잡음은

정규확률분포보다 꼬리가 무거운 확률분포를 따르는 경우가 많다.

확률과정 yt가 다음 식을 만족한다고 하자.

yt = ϕyt−1 + vt (13.2.6)

여기서 vt는 서로 독립이고 평균이 0이며 분산이 σ2v 인 동일한 확률분포를 따르는 백색

잡음과정이다. 또한, 식 |ϕ| < 1이 성립한다고 가정하자. 이러한 yt는 1차 자기회귀모

형(autoregressive model of order 1: AR(1) model)을 따른다고 한다. AR모형에 대한 자세

한 내용은 SAS4TSA2의 제9.2절을 참조하라. 식 (13.2.6)으로부터, 다음 식이 성립함을 알

수 있다.

yt =∞∑i=0

ϕivt−i (13.2.7)


E(yt) =

∞∑i=1

ϕiE(vt−i) = 0 (13.2.8)


E(y2t ) = E

( ∞∑i=0

ϕivt−i

)2

=

∞∑i=0

∞∑j=0

ϕiϕjE(vt−ivt−j)

= σ2v [1 + ϕ2 + ϕ4 + · · · ] = σ2v1

1− ϕ2(13.2.9)


즉, 확률변수 yt의 분산 σ(0)는 다음 식을 만족한다.

σ(0) =σ2v

1− ϕ2(13.2.10)


Cov(yt, yt−s) = E(ytyt−s) =

∞∑i=0

∞∑j=0

ϕiϕjE(vt−ivt−s−j)

= σ2vϕs[1 + ϕ2 + ϕ4 + · · · ] = ϕs

σ2v1− ϕ2

(13.2.11)

공분산 Cov(yt, yt−s)는 시차 s에만 의존하지 시점 t에는 의존하지 않는다. 식 (13.2.10)과 식

(13.2.11)에서 알 수 있듯이, 자기공분산함수는 다음 식들을 만족한다.

σ(s) = σ(−s) = ϕsσ(0), (s = 0, 1, 2, · · · ) (13.2.12)

식 (13.2.8), 식 (13.2.9), 그리고식 (13.2.11)에서알수있듯이, 확률과정 yt의기대값, 분산,

그리고공분산은시점 t에의존하지않는다. 이러한 yt를약정상적(weakly stationary)이라

한다. 식 (13.2.12)에서 알 수 있듯이, 자기상관함수는 다음 식들을 만족한다.

ρs = ρ−s = ϕs, (s = 0, 1, 2, · · · ) (13.2.13)

13.2.3 Durbin-Watson검정

확률과정 yt가 서로 독립이면, 다음 귀무가설이 성립한다.

H0 : ρ1 = ρ2 = · · · = 0 (13.2.14)

그러나, 관찰점들의개수가유한인시계열데이터 yt | t = 1, 2, · · · , T의독립성을검정하기

위해서, 귀무가설 (13.2.14)와이에대응하는대립가설을축소시킬필요가있다. 이소절에서는

가장 간단하고 널리 사용되는 귀무가설과 대립가설에 대해서 살펴보자.


yt = ϕyt−1 + vt (13.2.15)

자기상관성 641

여기서 vt는 서로 독립이고 동일한 정규확률분포 N (0, σ2v)를 따르는 백색잡음과정이다.

또한, 식 |ϕ| < 1이 성립한다고 가정하자. 자기회귀계수 ϕ의 최소제곱추정량 ϕ은 다음과

같다.

ϕ.=

T−1∑t=1

ytyt−1

T∑t=1

y2t

(13.2.16)

또한, 각 시점 t에서 잔차는 다음과 같다.

vt.= yt − ϕyt−1, (t = 2, 3, · · · , T ) (13.2.17)

확률과정 yt가 서로 독립이면, 다음 귀무가설이 채택된다.

H0 : ϕ = 0 (13.2.18)

이에 대한 대립가설들은 다음과 같다.

H(r)1 : ϕ > 0, H

(l)1 : ϕ < 0, H

(b)1 : ϕ = 0 (13.2.19)

귀무가설 H0를 검정하기 위해서는 다음과 같이 정의되는 Durbin & Watson (1950, 1951,

1971)이 제시한 DW통계량을 사용한다.

DW.=

T∑t=2

[vt − vt−1]2

T∑t=1

v2t

(13.2.20)

원래 Durbin & Watson은 선형회귀모형에서 오차항이 백색잡음모형이 아닌 AR(1)모형을

따른다는 가정 하에 잔차들 사이에 독립성이 있는지를 조사하기 위해서 DW통계량을 제시하

였다. 또한, 그들은 설명변수들의 관측값들에 의존하지 않는 DW통계량의 하한확률분포와

상한확률분포의 유의수준 1%, 2.5%, 그리고 5%에서 임계값들 dl과 du를 제시하였다. 이

임계값들을 사용해서, 다음과 같이 가설검정을 할 수 있다.


첫째, 대립가설이 H(r)1 : ϕ > 0인 경우에는, 다음과 같이 검정한다.

DW < dl ⇒ H0를 기각한다.

dl ≤ DW ≤ du ⇒ 결론을 유보한다.

du < DW ⇒ H0를 기각하지 않는다.

둘째, 대립가설이 H(l)1 : ϕ < 0인 경우에는, 다음과 같이 검정한다.

DW > 4− dl ⇒ H0를 기각한다.

4− du ≤ DW ≤ 4− dl ⇒ 결론을 유보한다.

DW < 4− du ⇒ H0를 기각하지 않는다.

셋째, 대립가설이 H(b)1 : ϕ = 0인 경우에는, 다음과 같이 검정한다.

DW < dl 또는 4− dl < DW ⇒ H0를 기각한다.

DW > du 또는 4− du > DW ⇒ 결론을 유보한다.

Otherwise ⇒ H0를 기각하지 않는다.

임계값들 dl과 du를 사용하는 DW검정법은 결론을 유보하는 영역을 갖는다는 문제점이

있으나, 오늘날많은통계패키지에서는 p값을계산해주므로결론을유보하는상황은발생하지

않는다. DW검정법은역사가길고따라서다양한변형들이있다. 이에대해서는 SAS4TSA3

상권의 제7.4절을 참조하라.

예제 13.2.2 KOSPI의 로그수익률 xm를 Durbin-Watson검정하기 위해서, 다음 R-파일

을 실행하자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: DurbinWatsonTest1.R3 ## Durbin-Watson Test of Log Return4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Import Packages8 library(lmtest)9

10 ## Import KOSPI data11 rawData = read.table("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\KOSPI1.txt")

자기상관성 643

1213 Date = format(rawData[,1])14 CurrentI = rawData[,2]15 DateNum = length(Date)1617 ## Durbin-Watson Test18 LogReturn = log(CurrentI[2:DateNum]/CurrentI[1:DateNum -1])19 x = seq(from=1, to=DateNum -1, by=1)20 dwtest(lm(LogReturn ~ x), alternative="greater")2122 ## end of program23 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R-파일을 실행하면, 로그수익률 LogReturn의 Durbin-Watson검정을 한다. R패키지

lmtest의 함수 dwtest를 사용하면 Durbin-Watson검정의 검정통계량값과 p값을 출력한다.

대립가설로 H(r)1 를사용하기위해서꼬리옵션 ”greater”을지정하였다. 대립가설로 H

(l)1 또는

H(b)1 를 사용하기 위해서는 꼬리옵션에 각각 ”less”와 ”two.sided”를 지정한다.

이 R프로그램을 실행한 결과, DW통계량값은 2.0550이고 이에 해당하는 p값은 0.7167

이다. 즉, 자기회귀계수 ϕ가 0이라는 귀무가설 H0를 채택한다.

13.2.4 AR(p)모형


yt = ϕ1yt−1 + ϕ2yt−2 + · · · + ϕpyt−p + vt (13.2.21)

여기서 vt는 서로 독립이고 평균이 0이며 분산이 σ2v인 동일한 확률분포를 따르는 백색잡음

과정이다. 이러한 yt는 p차 자기회귀모형(autoregressive model of order: AR(p) model)

을 따른다고 한다. AR모형에 대한 자세한 내용은 SAS4TSA2의 제9.2절을 참조하라. 이

AR모형의 특성식을 다음과 같이 정의하자.

ϕ(z) = 1− ϕ1z − ϕ2z2 − · · · + ϕpz

p (13.2.22)

또한, ϕ(z) = 0 를 이 AR모형의 특성방정식이라 부른다. 다음 명제가 성립한다고 가정하자.

|z| ≤ 1 ⇒ ϕ(z) = 0 (13.2.23)


식 (13.2.23)이 성립하면, 식 (13.2.21)을 만족하는 AR과정 yt은 약정상성(weakly station-

arity)을 갖는다고 한다. 그러나, 본저자의 생각으로는 식 (13.2.1)은 약정상성조건보다는

작인성조건(causality condition)이라 부르는 것이 더 타당해 보인다. 약정상성을 갖는 AR

과정 yt가 다음 식을 만족함을 증명할 수 있다.

yt =

∞∑i=0

ψivt−i (13.2.24)

여기서 계수들 ϕi는 다음 식들을 만족한다.

ψ0 = 1, ψi =

minp,i∑j=1

ϕjψi−j (13.2.25)


Cov(yt, yt−s) = E(ytyt−s)

=

∞∑i=0

∞∑j=0

ψiψjE(vt−ivt−s−j) = σ2v

∞∑j=0

ψjψj+s (13.2.26)

식 (13.2.26)에서 알 수 있듯이, 공분산 Cov(yt, yt−s)는 시차 s에만 의존하지 시점 t에는

의존하지 않는다. 따라서, yt는 약정상적이다. 식 (13.2.24)에서 알 수 있듯이, 다음 식들이

성립한다.

E(yt) =

∞∑i=1

ψiE(vt−i) = 0 (13.2.27)

또한, 각 s(= 0, 1, · · · )에 대해서 다음 식들이 성립한다.

Cov(vt, yt−s) = E(vtyt−s) = E

(vt

∞∑i=0

ψivt−s−i

)=

∞∑i=0

ψiE(vtvt−s−i) (13.2.28)


Cov(vt, yt−s) =

σ2v , (s = 0)

0, (s = 1, 2, · · · )(13.2.29)

자기상관성 645


Cov(vt, yt−s) = Cov

yt − p∑j=1

ϕjyt−j , yt−s

= σ(s)−p∑

j=1

ϕjσ(s− j) (13.2.30)

식 (13.2.29)와 식 (13.2.30)에서 알 수 있듯이, 다음과 같은 Yule-Walker방정식이 성립한다.

σ(0) = ϕ1σ(−1) + ϕ2(−2) + · · · + ϕpσ(−p) + σ2v (13.2.31)

σ(s) = ϕ1σ(s− 1) + ϕ2(s− 2) + · · · + ϕpσ(s− p), (s = 1, 2, · · · ) (13.2.32)


ρs = ϕ1ρs−1 + ϕ2ρs−2 + · · · + ϕpρs−p, (s = 1, 2, · · · ) (13.2.33)

따라서, Yule-Walker방정식의 행렬표현은 다음과 같다.

ρ1

ρ2...

ρp

=

1 ρ1 · · · ρp−1

ρ1 1 · · · ρp−2

......

. . ....

ρp−1 ρp−2 · · · 1

ϕ1

ϕ2...

ϕp

(13.2.34)

고정된 자연수 p에 대해서 Yule-Walker방정식 (13.2.34)의 해를 ϕp = [ϕp,1, ϕp,2, · · · , ϕp,p]t

로 표기하자.

자기상관계수 ρs는시차가 s인확률변수들 yt와 yt+s의상관계수이고, 이 ρs는이들사이에

들어가는 yt+1, yt+2, · · · , yt+s−1과도 관련되어 있다. 확률변수들 yt+1, yt+2, · · · , yt+s−1

의 영향을 제거하고 확률변수들 yt와 yt+s 의 상관계수를 구한 것을 시차가 s인 부분자기상관

계수(partial autocorrelation)라 한다. 만약 yt(x)를 확률벡터 x에 의한 yt의 최량선형예측

(best linear predictor)이라 하면, 시차 s의 부분자기상관계수 νs는 다음과 같다.

νs = Corr(yt − yt(yt+1, · · · , yt+s−1), yT+s − yT+s(yt+1, · · · , yt+s−1)

)(13.2.35)

조건부기대값을 사용해서, 각 s에 대해서 다음 식이 성립함을 증명할 수 있다.

νs = ϕs,s (13.2.36)


따라서, ϕs,s | s = 0, 1, · · · 를 부분자기상관함수라 부른다. 식 (13.2.36)에서 알 수 있듯이,

AR(p)모형의 부분자기상관계수는 다음 명제를 만족한다.

s > p ⇒ ϕs,s = 0 (13.2.37)

즉, AR(p)모형의 부분자기상관함수는 시차 p + 1 이후에서 절단형태를 보인다. 이 성질은

AR모형의 차수를 결정할 때 유용하다.

식 (13.2.34)에 자기상관계수 ρk대신 표본자기상관계수 ρk를 대입하면, 자기상관계수

ϕk의 Yule-Walker추정량 ϕk,k를 얻는다. 이에 해당하는 표본부분자기상관함수는 ϕs,s |

s = 0, 1, · · · 이다. 만약 시계열데이터 yt | t = 1, 2, · · · , T가 AR(p)모형을 따르면, 각

k(≥ p+ 1)와 충분히 큰 T에 대해서 근사식 E(√T ϕk,k) ≃ 0과 다음 근사식들이 성립한다.

V ar(√T ϕk,k) ≃ 1, Cov(

√T ϕk,k,

√T ϕi,i) ≃ 0, (i > k) (13.2.38)

따라서, 각 k(≥ p + 1)에 대해서 유의수준 5%에서 부분자기상관계수 ϕk,k의 신뢰구간은(− 2√

T, 2√

T

)이다.

예제 13.2.3 AR모형의 자기상관함수와 부분자기상관함수를 살펴보기 위해서, 다음 R-


1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: AR3simulation1.R3 ## AR(3) model simulation4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Makes AR3 model8 set.seed(0)9 v = rnorm(500,0,1)

10 AR3 = c(0,0,0)11 for (i in 1:500)12 13 AR3 = c(AR3, -0.5*AR3[i+2]+0.49*AR3[i+1]+0.245*AR3[i]+v[i])14 15 AR3 = AR3[4:503]1617 ## Plots18 win.graph(width=7,height=7)19 acf(AR3,25, main="", lwd=2, ylim=c(-1,1))20 legend("topright", c("2*STD","ACF","-2*STD"),21 lty=c("dashed","solid","dashed"), col=c("blue","black","blue"), lwd=c(1,2,1))2223 win.graph(width=7,height=7)24 pacf(AR3,25, main="", lwd=2, ylim=c(-1,1))25 legend("topright", c("2*STD","PACF","-2*STD"),

자기상관성 647

26 lty=c("dashed","solid","dashed"), col=c("blue","black","blue"), lwd=c(1,2,1))2728 ## end of program29 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램에서는 R함수 rnorm을 사용해서 정규난수열 (normal random sequence)

vt | t = 1, 2, · · · , 500을 생성한다. 이 정규난수열이 백색잡음과정이다. 이 정규난수열을

사용해서, 다음과 같은 AR(3)모형으로부터 시계열데이터 yt | t = 1, 2, · · · , 500를 생성하

였다. 이 시계열데이터가 변수 AR3에 저장된다.

yt = −1

2yt−2 +

49

100yt−2 +

49

200yt−3 + vt (1)

이 R-파일을실행하면, 시계열데이터 AR3의표본자기상관함수와표본부분자기상관함수를

그린다. R함수 acf를 사용해서 출력한 표본자기상관함수가 그림 13.2.2의 위 그래프이다. 이

그래프에서 알 수 있듯이, 시차가 증가함에 따라 표본자기상관계수의 절대값은 지수적으로

감소하는 시나브로형태를 보인다. 다음으로 R함수 pacf를 사용해서 출력한 표본부분자기상

관함수가 그림 13.2.2의 아래 그래프이다. 이 그래프에서 알 수 있듯이, 시차 4부터 표본부분

자기상관계수는 유의수준이 5%인 신뢰구간 안에 포함된다. 즉, 절단형태를 보인다.

예제 13.2.4 KOSPI의 로그수익률의 xm의 부분자기상관함수를 살펴보기 위해서, 다음

R-파일을 실행하자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: PartialAutoCorrelation1.R3 ## PACF of Log Return4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Import KOSPI data8 rawData = read.table("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\KOSPI1.txt")9

10 Date = format(rawData[,1])11 CurrentI = rawData[,2]12 DateNum = length(Date)1314 ## Plot correlogram of Log Return15 LogReturn = log(CurrentI[2:DateNum]/CurrentI[1:DateNum -1])16 pacf(LogReturn ,25, main="", lwd=2, ylim=c(-0.2,1))17 legend("topright", c("2*STD","PACF","-2*STD"),18 lty=c("dashed","solid","dashed"), col=c("blue","black","blue"), lwd=c(1,2,1))1920 ## end of program


그림 13.2.2. AR(3)모형의 자기상관함수와 부분자기상관함수

자기상관성 649

21 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R-파일을 실행하면, 로그수익률 LogReturn의 표본부분자기상관함수를 그린다. 이

부분자기상관함수그림이 그림 13.2.3에 그려져 있다. 이 그림에서 알 수 있듯이, 시차 12

와 시차 15를 제외한 나머지 시차에서 표본부분자기상관계수는 유의수준이 5%인 신뢰구간

(−0.0895, 0.0895) 안에 포함된다. 즉, 로그수익률 LogReturn은 자기상관성을 갖지 않는

것처럼 보인다.

그림 13.2.3. 표본부분자기상관함수그림

13.2.5 Ljung-Box검정

자기회귀계수들 ϕ1, ϕ2, · · · , ϕp의 Yule-Walker추정량들을 ϕp,1, ϕp,2, · · · , ϕp,p라 하자. 각

시점 t에서 잔차는 다음과 같다.

vt.= yt − ϕp,1yt−1−ϕp,2yt−2 − · · · − ϕp,pyt−p, (t = p+ 1, p+ 2, · · · , T ) (13.2.39)

확률과정 yt가 서로 독립이면, 다음 귀무가설이 채택된다.

H0 : ϕ1 = ϕ2 = · · · = ϕp = 0 (13.2.40)


이에 대한 대립가설은 다음과 같다.

H1 : 적어도 하나의 i에 대해서 ϕi가 0이 아니다. (13.2.41)

귀무가설 H0를 검정하기 위해서, 잔차들의 자기상관계수 ri를 다음과 같이 정의하자.

ri =

T∑t=i+1

vtvt−i

T∑t=1

v2t

(13.2.42)

Ljung & Box (1978)는 귀무가설 H0를 검정하기 위해서, Box & Pierce (1970)에 제시한

검정통계량을 변형한 다음과 같은 통계량을 제시했다.

Q.= T [T + 2]

K∑j=1

r2jT − j

(13.2.43)

관찰점들의 개수 T가 커지면, Ljung-Box통계량 Q는 점근적으로 자유도가 K − p 인 카이제

곱확률분포를 따른다.

예제 13.2.5 KOSPI의로그수익률의 xm의자기상관성을살펴보기위해서, 다음 R-파일을

실행하자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: LjungBoxTest1.R3 ## Ljung and Box Text of Log Return4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Import KOSPI data8 rawData = read.table("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\KOSPI1.txt")9

10 Date = format(rawData[,1])11 CurrentI = rawData[,2]12 DateNum = length(Date)1314 ## Ljung Box Test15 LogReturn = log(CurrentI[2:DateNum]/CurrentI[1:DateNum -1])16 num = c()17 Qstat = c()18 pvalue = c()19 temp = c()20 for (i in 1:20)21 22 temp = Box.test(LogReturn , lag=i+5, type="Ljung-Box",fitdf=5)23 num = c(num, i+5)24 Qstat = c(Qstat, temp[1])25 pvalue = c(pvalue, temp[3])

ARMA모형 651

26 2728 ## Plots29 win.graph(width=7, height=5)30 plot(num, Qstat, xlab="Number of Lags K", ylab="Q-statistic")31 lines(num,Qstat)32 win.graph(width=7, height=5)33 plot(num,pvalue, xlab="Number of Lags K", ylab="p-value")34 lines(num,pvalue)3536 ## end of program37 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R-파일을 실행하면, 로그수익률 LogReturn의 Ljung-Box검정을 한다. R함수 box.test

에서 Ljung-Box통계량 Q값을 계산하는데 사용되는 시차의 개수를 6부터 26까지로 하고,

AR(5) 모형을 사용하기 위해서 빼주어야 할 자유도 fitdf를 5로 하였다.

이 R프로그램을 실행한 결과가 그림 13.2.4에 수록하였다. 그림 13.2.4에서 알 수 있듯이,

시차들의개수가 10 또는 11인경우유의수준 0.06에서자기회귀계수들이 0이라는귀무가설을

채택한다. 이 경우에 기각값 (critical value)들은 각각 10.5962와 12.0896으로서 Ljung-Box

통계량값들 9.2461과 9.6288보다 아주 크지는 않다. 반면에, 나머지들에서는 유의수준 0.06

에서 자기회귀계수들이 0이라는 귀무가설을 기각한다. 따라서, Ljung-Box검정법에 의하면

로그수익률 LogReturn이 자기상관성을 갖는다고 결론을 내릴 수 있다.

지금까지 살펴보았듯이, KOSPI의 로그수익률들이 서로 독립이며 동일한정규확률분포를

따른다는성질이반드시만족되는것은아니다. 그러나, 실용적인관점에서근사적으로이러한

성질이 성립한다고 가정하고 로그수익률을 분석하는 경우가 많다.

제13.3절 ARMA모형

13.3.1 MA모형


yt = vt + θ1vt−1 + · · · + θqvt−q (13.3.1)

여기서 vt는서로독립이고평균이 0이며분산이 σ2v인동일한확률분포를따르는백색잡음과

정이다. 이러한 yt는 q차 이동평균모형(moving-average model of order q: MA(q) model)

을 따른다고 한다. MA모형에 대한 자세한 내용은 SAS4TSA2의 제9.2절을 참조하라.


그림 13.2.4. Ljung-Box통계량

이 MA모형의 특성식을 다음과 같이 정의하자.

θ(z) = θ0 + θ1z + θ2z2 + · · · + θqz

q (13.3.2)

여기서 θ0 = 1이다. 또한, θ(z) = 0를 이 MA모형의 특성방정식이라 부른다. 다음 명제가

성립한다고 가정하자.

|z| ≤ 1 ⇒ θ(z) = 0 (13.3.3)

식 (13.3.3)이 성립하면, 식 (13.3.1)을 만족하는 MA과정 yt는 가역성(invertibility)을 갖

는다고 한다. 가역성을 갖는 MA과정 yt가 다음 식을 만족함을 증명할 수 있다.

yt = vt +∞∑i=1

πiyt−i (13.3.4)

즉, 가역적인 MA모형을 AR(∞)모형으로 나타낼 수 있다.

ARMA모형 653


E(yt) =∞∑i=1

θiE(vt−i) = 0 (13.3.5)



q∑i=0

q∑j=0

θiθjE(vt−ivt−s−j) = σ2v

q−s∑i=0

θiθi+s (13.3.6)

식 (13.3.6)에서 알 수 있듯이, 공분산 Cov(yt, yt−s) 는 시차 s에만 의존하지 시점 t에는 의존

하지 않는다. 따라서, yt는 약정상적이다. 식 (13.3.6)에서 알 수 있듯이, 각 s(= 0, 1, · · · )

에 대해서 자기공분산과 자기상관계수는 각각 다음과 같다.

σ(s) = σ(−s) = σ2v

q−s∑i=0

θiθi+s (13.3.7)

ρs = ρ−s =

∑q−si=0 θiθi+s∑q

i=0 θ2i

(13.3.8)

여기서 θ0 = 1이다. 식 (13.3.8)에서 알 수 있듯이, MA(q)모형의 시차 s(> q)에서 자기

상관계수는 0이다. 즉, 자기상관함수는 시차 q + 1 이후에서 절단형태를 보인다. 그러나,

가역적 MA(q) 모형을 AR(∞) 모형으로 나타낼 수 있으므로, 부분자기상관함수는 절대값이

지수적으로 감소하는 시나브로형태를 보인다.

예제 13.3.1 MA모형의 자기상관함수와 부분자기상관함수를 살펴보기 위해서, 다음 R-


1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: MA1simulation1.R3 ## MA(1) model simulation4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Makes MA1 model8 set.seed(0)9 v = c(0,rnorm(500,0,1))

10 MA1 = c()11 for (i in 1:500)12 13 MA1 = c(MA1, v[i+1]+0.4*v[i])14 1516 ## Plots17 win.graph(width=7,height=7)18 acf(MA1,25, main="", lwd=2, ylim=c(-1,1))


19 legend("topright", c("2*STD","ACF","-2*STD"),20 lty=c("dashed","solid","dashed"), col=c("blue","black","blue"), lwd=c(1,2,1))2122 win.graph(width=7,height=7)23 pacf(MA1,25, main="", lwd=2, ylim=c(-1,1))24 legend("topright", c("2*STD","PACF","-2*STD"),25 lty=c("dashed","solid","dashed"), col=c("blue","black","blue"), lwd=c(1,2,1))2627 ## end of program28 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램에서는 R함수 rnorm을 사용해서 정규난수열 vt | 1, 2, · · · , 500을 생성

한다. 이 정규난수열이 백색잡음과정이다. 이 정규난수열을 사용해서, 다음과 같은 MA(1)

모형으로부터 시계열데이터 yt | t = 1, 2, · · · , 500를 생성하였다. 이 시계열데이터가 변수

MA1에 저장된다.

yt = vt + 0.4vt−1 (1)

이 R-파일을 실행하면, 시계열데이터 MA1의 표본자기상관함수와 표본부분자기상관함수

를 그린다. R함수 acf를 사용해서 출력한 표본자기상관함수가 그림 13.3.1의 위 그래프이다.

이그래프에서알수있듯이, 시차 2부터표본자기상관계수는유의수준이 5%인신뢰구간안에

포함된다. 즉, 절단형태를 보인다. R함수 pacf를 사용해서 출력한 표본자기상관함수가 그림

13.3.1의 아래 그래프이다. 이 그래프에서 알 수 있듯이, 시차가 증가함에 따라 표본부분자기

상관계수의 절대값은 지수적으로 감소하는 시나브로형태를 보인다.

13.3.2 ARMA모형


yt = ϕ1yt−1 + · · · + ϕpyt−p + vt + θ1vt−1 + · · · + θqvt−q (13.3.9)

여기서 vt는 서로 독립이고 평균이 0이며 분산이 σ2v 인 동일한 확률분포를 따르는 백색잡

음과정이다. 이러한 yt는 (p, q)차 자기회귀이동평균모형(autoregressive moving-average

model of orders p and q: ARMA(p, q) model)을따른다고한다. 만약 pq = 0이면, 이를혼합

ARMA모형이라 부르기도 한다. ARMA모형에 대한 자세한 내용은 SAS4TSA2의 제9.2

절을 참조하라. 이 ARMA모형의 AR특성식은 식 (13.2.22)에서 정의한 ϕ(z) = 1−p∑

j=1ϕjz

j

ARMA모형 655

그림 13.3.1. MA(1)모형의 자기상관함수와 부분자기상관함수

이고 MA특성식은 식 (13.3.2)에서 정의한 θ(z) = 1 +q∑

j=1θjz

j이다.

ARMA모형의 AR특성방정식 ϕ(z) = 0의 모든 근의 절대값이 1보다 크면, 이 ARMA



yt =∞∑i=0

ψivt−i (13.3.10)

따라서, 정상적 ARMA과정 yt는MA(∞)모형으로표현할수있다. 결과적으로, 이 ARMA

과정의 자기상관함수는 절대값이 지수적으로 감소하는 시나브로형태를 보인다. 식 (13.3.10)

에서 알 수 있듯이, 다음 식들이 성립한다.

E(yt) =∞∑i=1

ψiE(vt−i) = 0 (13.3.11)


E(y2t ) = E

( ∞∑i=0

ψivt−i

)2

=∞∑i=0

∞∑j=0

ψiψjE(vt−ivt−j) = σ2v

∞∑j=0

ψ2j (13.3.12)

또한, 각 s(> 0)에 대해서 다음 식들이 성립한다.


∞∑i=0

∞∑j=0

ψiψjE(vt−ivt−s−j) = σ2v

∞∑j=0

ψjψj+s (13.3.13)

식 (13.3.11)∼식 (13.3.13)에서 알 수 있듯이, 확률과정 yt의 기대값, 분산, 그리고 공분산은

시점 t에 의존하지 않는다.

ARMA모형의 MA특성방정식 θ(z) = 0의 모든 근의 절대값이 1보다 크면, 이 ARMA


yt =

∞∑i=0

πiyt−i (13.3.14)

따라서 가역적 ARMA과정 yt는 AR(∞) 모형으로 표현할 수 있다. 결과적으로, 이 ARMA

과정의 부분자기상관함수는 절대값이 지수적으로 감소하는 시나브로형태를 보임을 알 수

있다.

예제 13.3.2 ARMA모형의 자기상관함수와 부분자기상관함수를 살펴보기 위해서, 다음 R-


1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: ARMA31simulation1.R

ARMA모형 657

3 ## ARMA(3,1) model simulation4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Makes ARMA(3,1) model8 set.seed(0)9 v = c(0,rnorm(500,0,1))

10 ARMA31 = c(0,0,0)11 for (i in 1:500)12 13 ARMA31 = c(ARMA31, -0.5*ARMA31[i+2]+0.49*ARMA31[i+1]+0.245*ARMA31[i]+v[i+1]+0.4*v

[i])14 15 ARMA31 = ARMA31[4:503]1617 ## Plots18 win.graph(width=7,height=7)19 acf(ARMA31 ,25, main="", lwd=2, ylim=c(-1,1))20 legend("topright", c("2*STD","ACF","-2*STD"),21 lty=c("dashed","solid","dashed"), col=c("blue","black","blue"), lwd=c(1,2,1))2223 win.graph(width=7,height=7)24 pacf(ARMA31 ,25, main="", lwd=2, ylim=c(-1,1))25 legend("topright", c("2*STD","PACF","-2*STD"),26 lty=c("dashed","solid","dashed"), col=c("blue","black","blue"), lwd=c(1,2,1))2728 ## Save data29 save(ARMA31, file="C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\ARMA31.Rdata")30 ## end of program31 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램에서는 R함수 rnorm을 사용해서 정규난수열 vt | 1, 2, · · · , 500을 생

성하였다. 이 정규난수열이 백색잡음과정이다. 이 정규난수열을 사용해서, 다음과 같은

ARMA(3, 1)모형으로부터 시계열데이터 yt | t = 1, 2, · · · , 500를 생성한다. 이 시계열데

이터가 변수 ARMA31에 저장된다.

yt +1

2yt−1 −

49

100yt−2 −

49

200yt−3 = vt + 0.4vt−1 (1)

이 ARMA모형의 AR특성방정식의 근들은 0.7, −0.7 그리고 0.5이다. 따라서, 이 ARMA

모형은약정상적이다. 이 ARMA모형의 MA특성방정식의근은 −0.4이다. 따라서, 이 ARMA

모형은 가역적이다.

이 R-파일을 실행하면, 시계열데이터 ARMA31의 표본자기상관함수와 표본부분자기

상관함수를 그린다. R함수 acf를 사용해서 출력한 표본자기상관함수가 그림 13.3.2의 위

그래프이다. 이 그래프에서 알 수 있듯이, 시차가 증가함에 따라 표본부분자기상관계수의

절대값은 지수적으로 감소하는 시나브로형태를 보인다. R함수 pacf를 사용해서 출력한 표본

자기상관함수가그림 13.3.2의아래그래프이다. 이그래프에서알수있듯이, 시차가증가함에


따라 표본부분자기상관계수의 절대값은 지수적으로 감소하는 시나브로형태를 보인다.

그림 13.3.2. ARMA(3,1)모형의 자기상관함수와 부분자기상관함수

ARMA모형 659

13.3.3 ARMA모형화

주어진 정상적 시계열데이터 y1, y2, · · · , yT 에 적절한 ARMA(p, q)모형을 선택하는 문제를

살펴보자. 식 (13.3.9)에서는 평균이 0인 ARMA(p, q)모형을 가정했으나, 지금부터는다음과

같이 평균이 0이 아닌 ARMA(p, q)모형을 살펴보자.

yt = ϕ0 + ϕ1yt−1 + · · · + ϕpyt−p + vt + θ1vt−1 + · · · + θqvt−q (13.3.15)

각 정수 j에 대해서 식 Ljyt = yt−j를 만족시키는 L을 래그작용소(lag operator) 또는 후진

작용소(backshift operator)라 부른다. 이 L을 사용하면, 식 (13.3.15)를 다음과 같이 쓸 수

있다.

ϕ(L)yt = ϕ0 + θ(L)vt (13.3.16)

여기서 ϕ(z)는 AR특성식이고 θ(z)는 MA특성식이다.

이 AR특성방정식 ϕ(z) = 0의 각 근이 모두 단위원 밖에 존재한다고 가정하면, 이

ARMA(p, q)모형은 약정상적이다. 따라서, 각 t에 대해서 yt의 평균은 시점에 의존하지 않는

상수이다. 이 평균을 µ로 표기하자. 다음 식이 성립한다.

µ =ϕ0

1− ϕ1 − ϕ2 − · · · − ϕp(13.3.17)

식 (13.3.16)의 ARMA과정 yt를 다음과 같이 쓸 수 있다.

ϕ(L) [yt − µ] = θ(L)vt (13.3.18)

즉, 이 ARMA과정 yt를 다음과 같은 AR(∞)모형으로 나타낼 수 있다.

yt = µ+

∞∑i=0

πiyt−i (13.3.19)

여기서 π0 = 1이다.

Box & Jenkins (1970) 이후로 ARMA모형화는 식별 (identification), 추정 (estimation),

그리고 검진 (diagnostic checking) 3단계로 나누어하는 것이 보편적이다. 여기서 식별이란

차수 p와 q를 선택하는 것이고, 추정은 평균 µ, AR모수들 ϕ1, ϕ2, · · · , ϕp와 MA계수들


θ1, θ2, · · · , θq, 그리고 백색잡음의 분산 σ2의 추정값들을 구하는 것이고, 검진은 이렇게 구한

ARMA모형이 주어진 시계열데이터와 잘 적합한지를 조사하는 것이다.

[1] 식별

컴퓨터패키지를 사용해서 실제로 모형화를 하는 입장에서 생각하면, 추정이나 검진은

컴퓨터패키지에서 출력되는 결과를 받아들이는 수밖에 없어서, 시계열분석자의 생각이나

의견을 반영하기가 어렵다. 반면에, 다양한 식별방법들이 존재한다. 더구나, 식별이 잘못되면

추정이나 검진에 의미가 없을 수도 있다. 따라서, 시계열분석자의 입장에서는 식별이 ARMA

모형의 3단계에서 가장 어려운 부분이며 노력을 기해할 부분이다. ARMA모형의 식별에 관한

자세한 내용은 Choi (1992)를 참조하라.

다양한 ARMA모형의식별방법들이존재한다. 그중에서가장오래되고보편적인식별방법

은 Box & Jenkins (1970)가 제시한 자기상관함수와 부분자기상관함수를 사용하는 방법이다.

즉, 다음과 같은 성질을 이용해서, ARMA모형을 식별한다. 첫째, AR모형의 자기상관함수는

시나브로형태를 보이고, 부분자기상관함수는 절단형태를 보인다. 예를 들어, 예제 13.2.3에서

시계열데이터 yt의자기상관함수는시나브로형태를보이고, 부분자기상관함수는시차 4부터

절단형태를보인다. 따라서, 이시계열데이터 yt는 AR(3)모형을따른다고할수있다. 둘째,

MA모형의자기상관함수는절단형태를보이고, 부분자기상관함수는시나브로형태를보인다.

예를 들어, 예제 13.3.1에서 시계열데이터 yt의 자기상관함수는 시차 2부터 절단형태를

보이고부분자기상관함수는시나브로형태를보인다. 따라서, 이 시계열데이터 yt는MA(1)

모형을 따른다고 할 수 있다. 셋째, ARMA모형의 자기상관함수는 시나브로형태를 보이고,

또한 부분자기상관함수도 시나브로형태를 보인다. 예를 들어, 예제 13.3.2에서 시계열데이터

yt의 자기상관함수는 시나브로형태를 보이고, 또한 부분자기상관함수도 시나브로형태를

보인다. 따라서, 이 시계열데이터 yt는 혼합ARMA모형을 따른다고 할 수 있다. 특히,

예제 13.2.1에서 알 수 있듯이, KOSPI 로그수익률의 자기상관함수는 시차 1부터 절단형태를

보인다. 또한, 예제 13.2.4에서 알 수 있듯이, KOSPI의 로그수익률의 부분자기상관함수는

시차 1부터절단형태를보인다. 따라서, Box-Jenkins법에의하면 KOSPI의로그수익률과정은

백색잡음과정이라 할 수 있다. 그러나, 이러한 Box-Jenkins법은 주관적인 결론을 내릴 수밖에

없고, 특히 혼합ARMA모형의 경우에는 식별이 어렵다.

[2] 추정

ARMA모형의 추정에는 Yule-Walker추정법, 최소제곱추정법, 또는 최우추정법 등을

사용한다. 우선 AR모형을 사용해서 각 방법을 간단히 소개하면, 다음과 같다.

ARMA모형 661

첫째로, Yule-Walker추정법을 살펴보자. Yule-Walker방정식 (13.2.34)에서 자기상관함

수를 표본자기상관함수로 대치시키면, 다음 식이 성립한다.

ρ1

ρ2...

ρp

=

1 ρ1 · · · ρp−1

ρ1 1 · · · ρp−2

......

. . ....

ρp−1 ρp−2 · · · 1

ϕ1

ϕ2...

ϕp

(13.3.20)

방정식 (13.3.20)을 ϕ1, ϕ2, · · · , ϕp에 대해 푼 값들 ϕ1, ϕ2, · · · , ϕp가 Yule-Walker추정량들

이다. 또한, ϕ0의 추정량은 다음과 같다.

ϕ0 = y[1− ϕ1 − ϕ2 − · · · − ϕp] (13.3.21)

이 Yule-Walker추정량은 일치성 (consistency)과 점근정규성 (asymptotic normality)을 갖

지만, 효율성 (efficiency)을 갖지는 않는다. ARMA모형에서도 이와 비슷하게 일반화Yule-

Walker추정량을 구할 수 있다.

둘째로, 최소제곱추정법(ordinary least squares method)을 살펴보자. 약정상적 AR(p)

모형은 Gauss-Markov조건을 만족하기 때문에, 최소제곱추정법을 적용할 수 있다. 다음과

같이 정의되는 오차제곱합 S를 최소화하는 ϕ1, ϕ2, · · · , ϕp를 최소제곱추정량들이라 한다.

S.=

T∑t=p+1

[yt − ϕ0 − ϕ1yt−1 − · · · − ϕpyt−p]2 (13.3.22)

이 최소제곱추정량들은 일치성과 점근정규성을 갖지만, 효율성을 갖지는 않는다. 이 최소제

곱추정량들을 이용해서, 다음과 같이 오차분산항 σ2를 추정한다.

σ2.=

1

T − p− 1

T∑t=p+1

[yt − ϕ0 − ϕ1yt−1 − · · · − ϕpyt−p]2 (13.3.23)

ARMA모형에서도이와비슷하게최소제곱추정량을구할수있다. 그러나, ARMA(p, q)에서

MA부분과 설명변수들 yt−1, yt−2, · · · , yt−p 사이에 상관관계에 있기 때문에, 최소제곱추정

량은 일치성을 갖지 못한다.

셋째로, 오차항 vt가 정규확률분포를 따르는 경우에는 최우추정법을 적용할 수 있다. 예를


들어, AR(1)모형인 경우에 대수우도함수는 다음과 같다.

L(ϕ0, ϕ1, σ2) = L1 + L2 (13.3.24)

여기서 L1과 L2는 각각 다음과 같다.

L1.= −1

2ln(2π)− 1

2lnσ2 + 1

2ln(1− ϕ21)−

1− ϕ212σ2

[y1 −

ϕ01− ϕ1

]2(13.3.25)

L2.= −T − 1

2ln(2π)− T − 1

2lnσ2 − 1

2σ2

T∑t=2

[yt − ϕ0 − ϕ1yt−1]2 (13.3.26)

식 (13.3.25)의 L1은 y1에 관한 대수우도이며, 식 (13.3.26)의 L2는 y1이 주어졌다는 조건

하에 y2, y3, · · · , yT 의 조건부대수우도이다. 이 조건부대수우도 L2를 최대로 하는 추정량을

조건부최우추정량이라 하고, 대수우도 L을 최대로 하는 추정량을 최우추정량이라 한다.

최소제곱추정량과 조건부최우추정량은 일치하지만, 이들은 yt의 확률분포에 관한 정보를

이용하고 있지 않기 때문에, 최우추정량에 비해서 효율성이 떨어진다.

지금부터는 MA모형과 혼합ARMA모형의 추정에 대해서 살펴보자. AR모형과는 달리

이러한 모형들에서는 간편한 추정법은 없으며, 단지 정규성을 가정하고 이를 바탕으로 최우

추정법을 이용한다. 우도함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.

L = −T2

ln(2π)− T

2ln |V | − 1

2[y − µ1]tV −1[y − µ1] (13.3.27)

여기서 y = [y1, y2, · · · , yT ]t, 111.= [1, 1, · · · , 1]t, 그리고 V 는 (i, j)원소가 σ(i−j)인 T ×T

행렬이다. 혼합ARMA인 경우에는 자기공분산 σ(i− j)가 ϕ0, ϕ1, · · · , ϕp와 θ1, θ2, · · · , θq

의 복잡한 비선형함수이다. 따라서, 식 (13.3.27)의 대수우도함수를 최대화하는 문제를 해

석적으로 풀 수 없다. 컴퓨터에 의존해서 최우추정값들을 구해야 한다. 상대적으로 계산이

간단한 조건부최우추정법이 제안되었으나, 그 경우에도 Gauss-Newton법을 적용해야 한다.

MA모형의 대수우도함수는 혼합ARMA의 대수우도함수에 비해 간단하다. 그러나, 그 경우

에도 해석적으로는 풀 수 없다. 이후, 최우추정량들을 ϕ0, ϕ1, · · · , ϕp와 θ1, θ2, · · · , θq로

표기하자.

최적화이론과 컴퓨터과학의 발전에 힘입어 위에서 기술한 3가지 이외에도 다양한 추정

법들이 제시되고 있다. 그러나, ARMA모형의 추정은 근본적으로 비선형최적화문제이므로

손으로 풀 수는 없다. 따라서, 시계열분석자 입장에서는 뛰어난 컴퓨터패키지를 사용하고,

ARMA모형 663

또한 그 결과를 믿는 수밖에 없다.

예제 13.3.3 ARMA모형의 추정에 대해서 살펴보기 위해서, 다음 R-파일을 실행하자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: ARMAestimation1.R3 ## ARMA model estimation4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Import Packages8 library(forecast)9

10 ## Load ARMA(3,1) data11 load("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\ARMA31.Rdata")1213 ## ARMA model estimation14 Arima(ARMA31, c(3,0,1),include.mean=TRUE)1516 ## Residual Plot17 residual = residuals(Arima(ARMA31, c(3,0,1),include.mean=TRUE))18 sigma = sd(residual, na.rm=TRUE)1920 plot(residual , xlab="Time", ylim=c(-3,5))21 points(residual)22 lines(rep(2.6*sigma ,500), lty="dashed", col="blue")23 lines(rep(-2.6*sigma ,500), lty="dashed", col="blue")24 legend("topright", c("2.6*STD","Residuals","-2.6*STD"),25 lty=c("dashed","solid","dashed"), col=c("blue","black","blue"), lwd=c(1,2,1))2627 ## end of program28 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램에서는 예제 13.3.2에서 생성한 시계열데이터 ARMA31을 분석하기 위해서

먼저 R데이터세트 ARMA31.Rdata을 읽어 들인다.

R forecast패키지의 함수 Arima의 입력변수로 먼저 데이터 ARMA31를 지정하고, order

에 c(3,0,1)을 지정한다. 이 order에 첫번째 숫자는 AR의 차수, 두번째 숫자는 differencing의

차수, 마지막은 MA의 차수를 뜻한다. 마지막으로 상수항 유무를 의미하는 include.mean에

TRUE값을 할당한다.

함수 Arima는지정된출력변수들 Coeff와 Errors를출력한다. 또한적합성을나타내는대

수우도함수값 (log-likelihood function value), AIC값, 그리고 BIC값을 제공한다. ARMA31

데이터를 ARMA(3,1)모형으로 추정한 결과는 다음과 같다.


즉, 이 모형의 추정식은 다음과 같다.

yt = 0.0005 + 0.8807yt−1 + 0.5435yt−2 − 0.4912yt−3 + vt − 0.9511vt−1 (1)

또한, 쇄신항 vt의 분산추정값은 σ2 = 0.957이다. 대수우도함수값 (log-likelihood function

value)은 −698.85이다.

잔차들 Innovations와 유의수준 0.01에 해당하는 신뢰구간을 그린 것이 그림 13.3.3이다.

그림 13.3.3에서 볼 수 있듯이, ARMA(3, 1)모형의 추정식 (1)은 시계열데이터 ARMA31를

잘 나타내는 것 같다.

그림 13.3.3. ARMA(3,1)모형의 잔차

ARMA모형 665

[3] AIC와 BIC

Box-Jenkins법에서는 차수들 (p, q)의 여러 조합들이 검진단계를 통과하는 경우가 많다.

그러나, Box-Jenkins법에서는 그러한 경우에 어떤 (p, q)를 선택해야 하는지에 대한 기준을

제시하지 않는다. 또한, 선택된 (p, q)가 검진단계를 통과하지 못하는 경우, 다른 어떤 (p, q)

를 선택해야 하는가에 대한 기준도 제시하지 않는다. 이러한 판단을 하기 위해서는 시계열

분석자의 경험이나 숙련을 필요로 한다. 이러한 문제를 피해가기 위한 간편한 식별방법은

벌칙함수(penalty function)를 이용하는 것이다.

확률밀도함수 f(x;β)를 기준으로 하는 확률밀도함수 f(x; b)의 Kullback-Leibler정보

량(Kullback-Leibler information number)은 다음과 같다.

D(b;β).= −

∫ ∞

−∞

[ln f(x; b)

f(x;β)

]f(x;β)dx (13.3.28)

대수우도비 (log-likelihood)에 대수법칙을 적용해서 Kullback-Leibler정보량을 유도할 수

있다. Jensen부등식을 사용해서, 다음 부등식을 증명할 수 있다.

D(b;β) ≥ 0 (13.3.29)

식 (13.3.29)에서 등호는 b = β인 경우에만 성립한다. Kullback-Leibler정보량 D(b;β)는

진짜확률밀도함수 f(x;β)에서확률밀도함수 f(x; b)까지거리를나타낸다고할수있다. 벡터

b를 모수벡터 β의 추정량인 β로 치환해서 D(β;β)의 크기를 조사한다. 만약 D(β;β)가

작으면, f(x; β)가 확률밀도함수 f(x;β)의 좋은 추정량이다. 모수벡터 β를 알 수 없으므로,

Kullback-Leibler정보량 D(β;β)를 계산하는 것은 불가능하다. 그러나, 상대적으로 크기를

비교할 수 있다. Kullback-Leibler정보량 D(β;β)를 추정한 것이 Akaike (1969, 1974)가

제시한 Akaike정보기준(Akaike information criterion: AIC)이다. 즉, AIC는 올바른 모형과

실제 데이터 혹은 추정결과가 어느 정도 괴리되어 있는지를 측정하는 기준으로서, AIC가 큰

모형보다는 작은 모형이 더 적절하다고 할 수 있다. ARMA모형에 관한 AIC는 다음과 같다.

AIC(k, i).= −2 ln Lk,i + 2[k + i+ 1] (13.3.30)

여기서 ln Lk,i는 시계열데이터 yt를 ARMA(k, i)모형에 적합시킬 때 대수우도함수값이다.


그러나, 이 AIC를 관찰점들의 개수 T로 나눈 다음과 같은 통계량을 사용하기도 한다.

AIC(k, i) = ln σ2k,i +2[k + i+ 1]

T(13.3.31)

여기서 σ2k,i는 σ2의 최우추정량이다. 만약 k 또는 i가 큰 값이면, 시계열데이터의 변동량

중에서모형으로설명할수있는부분이크다. 따라서, 식 (13.3.31)의우변첫째항은작아지고

반면에 둘째 항은 커진다. 결과적으로, AIC(k, i)를 최소로 하는 k와 i를 선택하면, 이 두

항들 사이에 절충이 이루어진다고 생각할 수 있다. 이렇게 ARMA(k, i)를 최소로 하는 (k, i)

를 최소AIC추정량이라 부른다. 일반적으로 최소AIC추정량은 차수를 과대평가하는 경향이

있다.

Schwarz (1978)는 베이즈통계학 관점에서 다음과 같은 베이즈정보기준(Bayesian Infor-

mation Criterion: BIC)을 제시하였다.

BIC(k, i).= −2 ln Lk,i + [k + i+ 1] lnT (13.3.32)

이 BIC(k, i)를 최소로 하는 (k, i)를 최소BIC추정량이라 부른다. 그러나, 이 BIC를 관찰점

들의 개수 T로 나눈 다음과 같은 통계량을 사용하기도 한다.

BIC(k, i) = ln σ2k,i +[k + i+ 1] lnT

T(13.3.33)

최소AIC추정량과는달리최소BIC추정량은일치성을갖는다. 그러나, 일치성만이추정값들을

비교하는 기준이 아니므로, 최소BIC추정량이 최소AIC추정량보다 반드시 우수하다고 말할

수는 없다. 본저자의 견해로는 예측이 목적이라면 최소AIC추정량이 최소BIC추정량보다 더

좋은 결과를 보여주는 것 같다.

Hannan & Quinn (1979)은이러한일치성문제에대한답으로다음과같은 Hannan-Quinn

정보기준(HQC)를 제안하였다.

HQC(k, i).= −2 ln Lk,i + 2[k + i+ 1] ln(lnT ) (13.3.34)

이HQC는반복대수법칙(the law of iterated logarithms)을바탕으로한것이다. 이HQC(k, i)

를 최소로 하는 (k, i)를 최소HQC추정량이라 부른다. HQC인 경우에는 2[k + i+ 1]의 계수

2 대신 2보다 약간 더 큰 수를 사용하기도 한다. 식 (13.3.24)의 HQC를 관찰점들의 개수 T

ARMA모형 667

로 나눈 다음과 같은 통계량을 사용하기도 한다.

HQC(k, i) = ln σ2k,i + 2[k + i+ 1] ln(lnT )

T(13.3.35)

최소HQC추정량은 최소AIC추정량과 최소BIC추정량 사이에 존재한다.

예제 13.3.4 ARMA모형의 식별에 대해서 다시 살펴보기 위해서, 다음 R-파일을 실행하자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: AicBicNew.R3 ## AIC and BIC for ARMA model estimation4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Import Packages8 library(forecast)9

10 ## Load ARMA(3,1) data11 load("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\ARMA31.Rdata")1213 ## AIC and BIC for ARMA model estimation14 AIC = c()15 BIC = c()16 for (i in 0:3)17 for (j in 0:3)18 result = Arima(ARMA31, c(i,0,j))19 AIC = c(AIC, result[6])20 BIC = c(BIC, result[16])21 2223 matrix(AIC, 4, byrow=TRUE)24 matrix(BIC, 4, byrow=TRUE)2526 ## end of program27 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램에서는벌칙함수식별법들 AIC와 BIC를사용해서예제 13.3.2에서발생시킨

R데이터세트 ARMA31.Rdata에 저장된 시계열데이터 ARMA31를 식별하고자 한다. 이를

위해서 예제 13.3.3에서 사용했던 R패키지 forecast의 Arima함수를 사용하도록 하자. AR

값을 0부터 3까지, MA값을 0부터 3까지 모든 경우에 대해서 계산하도록 한다. 그 후 AIC

값과 BIC값을 저장하였다.

이 R-파일을 실행한 결과를 요약하면, AIC값들은 다음과 같다.


p \ q 0 1 2 3

0 1550.36 1547.298 1423.568 1423.462

1 1542.42 1496.621 1421.131 1415.986

2 1414.996 1416.994 1412.724 1414.698

3 1416.993 1409.709 1410.553 1409.841

이 표에서 알 수 있듯이, 최소AIC추정값은 (3, 1)이다. 즉, AIC에 의하면, 시계열데이터

ARMA31에는 ARMA(3, 1)모형이 적합하다. 또한, BIC값들은 다음과 같다.

p \ q 0 1 2 3

0 1558.789 1559.942 1440.427 1444.535

1 1555.064 1513.48 1442.204 1441.274

2 1431.855 1438.067 1438.011 1444.201

3 1438.066 1434.997 1440.055 1443.558

이 표에서 알 수 있듯이, 최소BIC추정값은 (2, 0)이다. 즉, BIC에 의하면, 시계열데이터

ARMA31에는 AR(2)모형이 적합하다.

[4] 검진

ARMA모형의검진에는앞에서소개한 Ljung-Box통계량이사용된다. 다음과같이 ARMA

모형의 잔차를 정의하자.

vt = yt − ϕ0 − ϕ1yt−1 − · · · − ϕpyt−p − θ1vt−1 − · · · − θqvt−q (13.3.36)

이 잔차들의 자기상관계수 ri를 다음과 같이 정의하자.

ri.=

T∑t=i+1

vtvt−i

T∑t=1

v2t

(13.3.37)

Ljung & Box (1978)는 잔차항들 vt가 백색잡음과정에서 추출된 것이라는 귀무가설을

ARMA모형 669

검정하기 위해서, 다음과 같은 퍼트맨토우통계량(portmanteau statistic)을 제시했다.

Q.= T [T + 2]

K∑j=1

r2jT − j

(13.3.38)

관찰점들의 개수 T가 커지면, 이 Ljung-Box통계량 Q는 점근적으로 자유도가 K − p− q − 1

인 카이제곱확률분포를 따른다.

예제 13.3.5 예제 13.3.4에서는AIC와BIC를사용해서,시계열데이터 ARMA31을ARMA(3, 1)

모형으로 식별하였다. 이 결과를 검진하기 위해서, 다음 R-파일을 실행하자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: ARMAdiagnostic1.R3 ## ARMA model estimation4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Import Packages8 library(forecast)9

10 ## Load ARMA(3,1) data11 load("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\ARMA31.Rdata")1213 ## Diagnostic Check14 residuals = residuals(Arima(ARMA31, c(3,0,1)))1516 num = c()17 Qstat = c()18 pvalue = c()19 temp = c()20 for (i in 1:21)21 22 temp = Box.test(residuals , lag=i+10, type="Ljung-Box",fitdf=3)23 num = c(num, i+10)24 Qstat = c(Qstat, temp[1])25 pvalue = c(pvalue, temp[3])26 2728 ## Plots29 win.graph(width=7, height=5)30 plot(num, Qstat, xlab="Number of Lags K", ylab="Q-statistic")31 lines(num,Qstat)32 win.graph(width=7, height=5)33 plot(num,pvalue, xlab="Number of Lags K", ylab="p-value", ylim=c(0,1))34 lines(num,pvalue)353637 ## end of program38 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램에서는 먼저 시계열데이터 ARMA31에 적합한 모형을 추정하였다. 추정된


ARMA(3, 1)모형은 다음과 같다.

yt = 0.0005 + 0.8807yt−1 + 0.5435yt−2 − 0.4912yt−3 + vt − 0.9511vt−1 (1)

또한, 오차항의 분산추정량은 σ2 = 0.957이다.

R함수 Box.test를 사용해서 퍼트맨토우검정을 하였다. 그 결과가 그림 13.3.4에 수록하였

다. 그림 13.3.4의위그래프는각K에대한 Ljung-Box통계량값을그린것이고, 아래그래프는

각 K에 대한 p값을 그린 것이다. 각 p값이 0.5 이상이므로, 잔차항들이 백색잡음과정에서

추출되었다는 귀무가설을 채택한다. 즉, 시계열데이터 ARMA31에는 식 (1)의 ARMA(3, 1)

모형이 적합하다고 결론지을 수 있다.

그림 13.3.4. 퍼트맨토우검정통계량값

[5] 예측

비정상시계열 671

어떤 확률변수 W를 과거의 관찰값들 W1,W2, · · · , Wn을 바탕으로 예측하는 경우에, 조

건부기대값 W.= E(W |W1,W2, · · · , Wn)은 평균제곱오차 E([W − W ]2)를 최소화한다는

의미에서 최량예측 (the best predictor)이다.

시계열데이터 y1, y2, · · · , yT 가주어진경우, ARMA모형을이용해서미래시점의값을예

측하는문제를살펴보자. 문제를간단히하기위해서, 계수들 ϕ0, ϕ1, · · · , ϕp와 θ1, θ2, · · · , θq

를 모두 알고있다고 가정하자. 우선, AR(q)모형을 사용하는 경우에 시점 T + s의 예측값은

다음과 같다.

yT+s = ϕ0 − ϕ1yT+s−1 − · · · − ϕpyT+s−p (13.3.39)

단, 각 t (≤ T )에 대해서 yt = yt이다. 점화식 (13.3.39)를 사용해서, 축차적으로 yT+s

| s =

1, 2, · · · 를 계산할 수 있다. 또한, yT+s 가 최량예측인 것을 쉽게 확인할 수 있다. 만약 각

t (≤ T )에 대해서 vt를 알고 있다면, MA(q)모형을 사용한 시점 T + s에서 예측값은 다음과

같다.

yT+s = µ− vT+s − θ1vT+s−1 − · · · − θqvT+s−p (13.3.40)

단, 각 t(> T )에 대해서 vt = 0이다. 식 (13.3.40)를 사용해서, yT+s

| s = 1, 2, · · · 를

계산할 수 있다. 또한, yT+s 가 최량예측인 것을 쉽게 확인할 수 있다. 그러나, 실제로는

vt | t ≤ T를 알 수 없다. 따라서, 초기조건 v1−q = v2−q = · · · = v0 = 0를 가정하고,

식 (13.3.1)을 사용해서 축차적으로 v1, v2, · · · , vT 를 계산하기도 한다. 혼합ARMA모형인

경우에는 식 (13.3.39)와 식 (13.3.40)을 같이 사용해서 예측을 한다. 그러나, 실제로는 계수들

ϕ0, ϕ1, · · · , ϕp와 θ1, θ2, · · · , θq를 알지 못하기 때문에, 대신 최우추정값들 ϕ0, ϕ1, · · · , ϕp

와 θ1, θ2, · · · , θq를 사용한다. 엄밀하게 말하면, 그러한 경우에 yT+s 는 최량예측이 아니다.

그러나, ARMA모형의 계수모수와 추정량의 차이가 평균제곱오차에 미치는 영향은 O(1/T )

이므로, 관찰점들의개수 T가 충분히큰 경우에는 계수모수를 추정량으로 치환하는것에의한

영향을 무시할 수 있다.

제13.4절 비정상시계열

정상성을갖지않는시계열을비정상적(non-stationary)이라한다. 즉, 평균이나자기상관함수

등 데이터의 통계적 성질이 시점에 따라 변화하는 시계열을 비정상적이라 한다. 만약 시계


열이 시점에 따라 증가하거나 감소하는 추세(trend)를 보이거나 주기성을 갖고 계절변동을

하거나, 또는 누적적(integrated) 성질을 보이면, 이 시계열은 비정상적이다. 비정상시계열을

통계적으로 분석하는 첫 번째 단계는 비정상적 성분을 추정하여 제거하거나 차분을 취하여

정상적인 시계열로 변환하는 것이다.

13.4.1 ARIMA모형

비정상시계열을 나타내는 가장 일반적인 모형은 누적자기회귀이동평균모형(integrated

autoregressive moving-average model: ARIMA model)이다. 주어진 시계열데이터 yt에

대해서 다음과 같이 1차 차분열 (difference sequence) yt를 정의하자.

yt.= yt − yt−1 = [1− L]yt (13.4.1)

여기서 를 차분작용소 (difference operator)라 부른다. 또한, d차 차분열 dyt를 다음과

같이 정의하자.

dyt.= (d−1yt), (d = 2, 3, · · · ) (13.4.2)

만약 이 dyt가 ARMA(p, q)모형을 따르면, yt를 d차 누적과정(integrated process)

이라 부르고 ARIMA(p, d, q)모형을 따른다고 한다. 즉, 다음과 같은 시계열데이터 yt는

ARIMA(p, d, q)모형을 따른다.

ϕ(L)d yt = ϕ0 + θ(L)vt (13.4.3)

여기서 ϕ(z)는 모든 근이 단위원 밖에 존재하는 p차 멱함수이고, θ(z)는 모든 근이 단위원

밖에 존재하는 q차 멱함수이다. 식 (13.4.3)에서 알 수 있듯이, ARIMA(p, d, q)과정은 AR

부분의 특성방정식 ϕ(z)[1− z]d = 0가 z = 1을 d중근으로 갖는다.

간단한 ARIMA(0, 1, 0)모형을 살펴보자. 이 경우에는 d = 1, ϕ(z) = 1 그리고 θ(z) = 1

이므로, 다음 식이 성립한다.

yt − yt−1 = ϕ0 + vt (13.4.4)

이러한 yt는 추세 (drift)가 있는 확률보행이다. 만약 ϕ0 = 0이면, yt는 확률보행이다.



yt = y0 + ϕ0t+t−1∑j=0

vt−j (13.4.5)

식 (13.4.5)에서 알 수 있듯이, 만약 ϕ0 = 0이면, yt는 선형추세를 보인다. 그러나, 만약

ϕ0 = 0이면, yt는 선형추세를 보이지 않는다. 따라서, ARIMA모형에서는 상수항이 상당히

중요한 의미를 갖는다. 또한, 시간이 흘러도 초기시점에서 관찰값 y0의 yt에 대한 영향력이

감소하지 않는다. 정상적 AR(1)과정에서는 관찰값 y0의 yt에 대한 영향력이 O(ϕt1)로 감

소한다. 식 (13.4.5)에서 알 수 있듯이, yt는 추세선 y0 + ϕ0t 주위에서 오차t−1∑j=0

vt−j에 의해

변동한다. 따라서, yt의조건부분산 V ar(yt | y0)는 σ2t가된다. 식 (13.4.3)을따르는 ARIMA

과정 역시 동일한 성질을 갖는 것이 알려져 있다.

ARIMA모형에서와같이 AR부분의특성방정식이단위원(unit circle)의원주상에서해를

가질 때, 그 해를 단위근(unit root)라 하고 또한 단위근을 갖는 확률과정을 단위근과정이라

한다.

예제 13.4.1 다음과 같은 ARIMA(0, 1, 0)모형을 살펴보자.

yt − yt−1 = 0.2 + vt (1)

여기서 vt는 분산이 1인 정규난수열이다. 이 모형으로부터 생성한 시계열데이터가 그림

13.4.1에 그려져 있다. 그림 13.4.1의 위 그래프는 시계열산점도이다. 이 시계열산점도에서 알

수 있듯이, yt는 선형추세가 있다. 그러나, yt 자체 값이 커서, 시점이 커짐에 따라 분산이

커지는 현상이 잘 나타나지 않는다. 또한, 아래 그래프는 자기상관함수를 그린 것이다. 식

(1)은 AR계수가 1인 AR(1)모형을 나타내므로, 과거 데이터의 영향이 줄어들지 않는다.

따라서, 시차가 커져도 자기상관함수는 아주 완만하게 감소한다. 이 성질은 누적된 AR과정을

식별하는 단서가 된다.

예제 13.4.2 다음과 같은 ARIMA(0, 1, 0)모형을 살펴보자.

yt − yt−1 = vt (1)

여기서 vt는 분산이 1인 정규난수열이다. 이 모형으로부터 생성한 시계열데이터가 그림


그림 13.4.1. 상수항이 있는 ARIMA(0,1,0) 모형

13.4.2에 그려져 있다. 그림 13.4.2의 위 그래프는 시계열산점도이다. 이 시계열산점도에서 알

수 있듯이, yt는 선형추세가 없다. 시점이 커짐에 따라 분산이 커지는 현상이 잘 나타나지

않으나, 짧은 시간구간에서는 분산이 커지는 현상을 발견할 수 있을 것이다. 또한, 아래

그래프는 자기상관함수를 그린 것이다. 식 (1)은 AR계수가 1인 AR(1)모형을 나타내므로,

과거 데이터의 영향이 줄어들지 않는다. 따라서, 시차가 커져도 자기상관함수는 아주 완만

하게 감소한다. 그러나, 그 감소속도는 상수항이 있는 ARIMA(0, 1, 0)모형보다는 약간 더

가파르다.

그림 13.4.3에는 확률보행들 yt와 zt의 시계열산점도가 그려져 있다. 언뜻보기에

이 두 확률보행들 사이에 어떤 연관성이 있는 듯 하지만, 실제로 이들은 독립적으로 생성된

시계열데이터들이다. 단위근과정은 비정상이므로, 언뜻보기에 추세를 가진 것처럼 경우가

많다. 따라서, 서로 독립인 단위근과정들이 같은 방향으로 추세를 보이면 양의 상관이 있는

것처럼 생각되고, 반대 방향으로 추세를 보이면 음의 상관이 있는 것처럼 생각된다. 실제로,

이yt와 zt의 상관계수는 0.9001이다. 그러나, 이 두 시계열데이터들을 생성할 때 사용된

백색잡음과정들의 상관계수는 -0.0077이다. 즉, yt와 zt의 상관계수는 -0.0077이다.

이러한 현상을 Granger & Newbold (1974)는 의사회귀(spurious regression)로 설명하였다.

의사회귀에 대한 내용은 SAS4TSA3 (하권, pp. 282-285)를 참조하라.


그림 13.4.2. 상수항이 없는 ARIMA(0,1,0) 모형

그림 13.4.3. 단위근과 의사회귀


13.4.2 단위근검정

ARIMA모형 (13.4.3)에서누적지수 d가 1보다큰경우에는 yt는급속히발산하기때문에비

현실적이다. 따라서, 보통 누적지수 d가 1인 경우를 다룬다. 즉, 다음과 같은 ARIMA(p, 1, q)

모형을 다루는 것이 일반적이다.

ϕ(L)[1− L]yt = ϕ0 + θ(L)vt (13.4.6)

식 (13.4.6)을 따르는 확률과정이 통계적으로 누적과정인지 여부를 조사하는 방법을 단위근검

정(unit root test)이라 부른다. Dickey-Fuller검정(DF test)과 Phillips-Perron검정(PP test)

등이 널리 사용된다.

[1] DF검정

Dickey & Fuller (1979)가 제시한 DF검정을 살펴보기 위해서, 다음 AR(1) 모형을 생각

해보자.

yt = ϕ1yt−1 + vt (13.4.7)

자기회귀계수 ϕ1의 최소제곱추정량은 다음과 같다.

ϕ1.=

T∑t=2

[yy−1 − y][yt − y]

T∑t=2

[yt−1 − y]2(13.4.8)

여기서 y는 표본평균이다. 만약 자기회귀계수 ϕ1의 절대값이 1보다 작다면, 다음 식이 성립

한다.

√T [ϕ1 − ϕ1]

d→ N(0, 1− ϕ21

)(13.4.9)

만약 자기회귀계수 ϕ1 의 절대값이 1이라면, 식 (13.4.9)에서 점근확률분포는 퇴화된다

(degenerate). 즉, 이 경우에는 식 (13.4.9)가 유용하지 않다.

식 (13.4.7)의 AR(1)모형이 단위근을 갖으면, 귀무가설을 H0 : ϕ1 = 1로 표기하자. 이에


대한 대립가설 H(r)1 : ϕ1 > 1이다. 귀무가설 H0 하에서, ϕ1의 점근확률분포는 다음과 같다.

T [ϕ1 − 1]d→ W 2

1 − 1

2∫ 10 W

2s ds

(13.4.10)

여기서 Wt는 표준Brown운동이다. 대립가설 H1 하에서 T [ϕ1 − 1]은 발산한다. DF검정을

다음과 같이 설명할 수 있다. 식 (13.4.7)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

yt = βyt−1 + vt (13.4.11)

이경우단위근검정문제의귀무가설은H0 : β = 0이고대립가설은H1 : β < 0이다. DF검정은

회귀계수 β의 최소제곱추정량 β를 β의 표본표준편차 sβ로 나눈 t = β/sβ를 검정통계량으로

이용한다. 따라서, 검정통계량 t가 점근확률분포의 임계값보다 크면 귀무가설 H0 : β = 0를

채택한다. 이 귀무가설이 채택되면, 주어진 시계열데이터는 차수가 1 이상인 단위근을 갖는

확률과정에서 나온 것으로 판단한다. 따라서, yt의 차분계열에 대해 동일한 단위근검정을

반복 시행해서 단위근의 차수를 결정할 수 있다.

변형된 DF검정을 살펴보기 위해서, 다음 AR(1)모형을 생각해보자.

yt = ϕ0 + ϕ1yt−1 + vt (13.4.12)

식 (13.4.12)의 AR(1)모형이 단위근을 갖으면, 귀무가설 H0 : ϕ1 = 1이 채택된다. 이에 대한

대립가설 H(r)1 : ϕ1 < 1이다. 귀무가설 H0 하에서, ϕ1의 점근확률분포는 다음과 같다.

T [ϕ1 − 1]d→

W 21−12 −W1

∫ 10 Wsds√∫ 1

0 W2s ds−

[∫ 10 Wsds

]2 (13.4.13)

지금까지는 쇄신과정 vt가 백색잡음이라고 가정하였으나, 쇄신과정이 자기상관을 가질

가능성도 있다. 이러한 경우에는 차분시계열과정 yt의 과거항들을 추가한 모형들에

대해서 검정을 시행한다. 이러한 검정을 확장Dickey-Fuller검정(augmented DF test: ADF

test)라 부른다. R에서 가능한 ADF검정들은 다음과 같다.

첫째, R패키지 fUnitRoots 함수 adfTest의 옵션 type에 ”nc”을 지정해서 다음 가설들을


검정할 수 있다.

H0 : yt = yt−1 + ζ1 yt−1 + · · · + ζp yt−p + vt (13.4.14)

H1 : yt = ϕ1yt−1 + ζ1 yt−1 + · · · + ζp yt−p + vt (13.4.15)

여기서 식 ϕ1 < 1이 성립한다.

둘째, R패키지 fUnitRoots 함수 adfTest의 옵션 type에 ”ct”을 지정해서 다음 가설들을


H0 : yt = ϕ0 + yt−1 + ζ1 yt−1 + · · · + ζp yt−p + vt (13.4.16)

H1 : yt = ϕ0 + ϕ1yt−1 + δt+ ζ1 yt−1 + · · · + ζp yt−p + vt (13.4.17)

여기서 ϕ0와 δ는 상수들이고, 또한 식 ϕ1 < 1이 성립한다.

셋째, R패키지 fUnitRoots 함수 adfTest의 옵션 type에 ”c”을 지정해서 다음 가설들을


H0 : yt = yt−1 + ζ1 yt−1 + · · · + ζp yt−p + vt (13.4.18)

H1 : yt = ϕ0 + ϕ1yt−1 + ζ1 yt−1 + · · · + ζp yt−p + vt (13.4.19)

여기서 ϕ0는 상수이고, 또한 식 ϕ1 < 1이 성립한다.

예제 13.4.3 데이터파일 KOSPI1.txt의변수 CurrentI에저장된종가지수과정에대한 ADF

검정을 하기 위해서, 다음 R-파일을 실행하자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: ADFtest15a.R3 ## Augmented dickey-Fuller Tests4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Import Packages8 library(fUnitRoots)9

10 ## Import KOSPI data11 rawData = read.table("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\KOSPI1.txt")1213 Date = format(rawData[,1])14 CurrentI = rawData[,2]15 DateNum = length(Date)1617 ## ADF test 1


18 adfTest(log(CurrentI), lags = 1, type="nc")19 adfTest(log(CurrentI), lags = 1, type ="ct")20 adfTest(log(CurrentI), lags = 1, type ="c")2122 ## ADF test 223 adfTest(log(CurrentI), lags = 0, type="nc")24 adfTest(log(CurrentI), lags = 0, type ="ct")25 adfTest(log(CurrentI), lags = 0, type ="c")2627 ## ADF test 328 LogReturn = log(CurrentI[2:DateNum]/CurrentI[1:DateNum -1])29 adfTest(LogReturn , lags = 1, type="nc")30 adfTest(LogReturn , lags = 1, type ="ct")31 adfTest(LogReturn , lags = 1, type ="c")3233 ## end of program34 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램의 첫 번째 ADF검정에서는 함수 adfTest의 첫 번째 입력변수로 KOSPI를

나타내는 변수 CurrentI에 로그를 취한 로그변수를, 두 번째 입력변수로 차분항의 AR차수를

나타내는 lags = 1을, 그리고 세 번째 입력변수로 각 모형을 나타내는 nc, ct, c를 할당한다.

이 ADF검정들의 결과는 다음과 같다.

p값 채택여부 검정통계량값

AR test 0.9762 채택 1.6504

TS test 0.304 채택 -2.3495

ARD test 0.6331 채택 -1.1438

이 표에서 알 수 있듯이, p값이 0.05보다 크다 즉, 귀무가설 H0 : ϕ1 = 1을 채택한다. 따라서,

단위근이 존재한다고 결론 지을 수 있다.

이 R프로그램의 두 번째 ADF검정에서는 함수 adfTest의 첫 번째 입력변수로 KOSPI를

나타내는 변수 CurrentI에 로그를 취한 로그변수를, 두 번째 입력변수로 차분항의 AR차수를

나타내는 lags = 0를, 그리고 세 번째 입력변수로 각 모형을 나타내는 nc, ct, c를 할당한다.

이 ADF검정들의 결과는 다음과 같다.


AR test 0.9695 채택 1.5452

TS test 0.4069 채택 -2.405

ARD test 0.664 채택 -1.0614

이 표에서 알 수 있듯이, p값이 0.05보다 크다 즉, 다음 귀무가설 H0 : ϕ1 = 1을 채택한다.

따라서, 단위근이 존재한다고 결론 지을 수 있다.


이 R프로그램의 세 번째 ADF검정에서는 함수 adfTest의 첫 번째 입력변수로 KOSPI의

로그수익률을나타내는변수 LogReturn을, 두번째입력변수로차분항의 AR차수를나타내는

lags = 1을, 그리고 세 번째 입력변수로 각 모형을 나타내는 nc, ct, c를 할당한다. 이 ADF

검정들의 결과는 다음과 같다.


AR test < 0.01 기각 -15.5981

TS test < 0.01 기각 -15.6995

ARD test < 0.01 기각 -15.7128

이 표에서 알 수 있듯이, p값이 0.01보다 작다. 즉, 대립가설 H1 : ϕ1 < 1을 채택한다. 따라서,

단위근이 존재하지 않는다고 결론 지을 수 있다.

[2] PP검정

DF검정에서는 쇄신과정 vt가 정규확률분포를 따르는 백색잡음과정이라 가정한다.

그러나, 경제시계열들중에는쇄신과정 vt가자기상관성또는이분산성을갖는경우가많다.

Phillips & Perron (1988)은 쇄신과정 vt가 약한 종속성을 띄거나 이분산성을 지니는 경우

에 유용한 비모수적 (nonparametric) 단위근검정법인 PP검정법을 제시하였다. 이 검정법을

자세히 설명하는 것은 본서의 수준을 넘으므로, 여기서는 R에서 가능한 PP검정법을 간단히

소개하고자 한다. R함수 PP.test를 사용해서 PP검정을 할 수 있다.

예제 13.4.4 데이터파일 KOSPI1.txt의 변수 CurrentI에 저장된 종가지수과정에 대한 PP

검정을 하기 위해서, 다음 R-파일을 실행하자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: PPtest15a.R3 ## Phillips-Perron Tests4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Import KOSPI data8 rawData = read.table("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\KOSPI1.txt")9

10 ## PP test 111 PP.test(log(CurrentI))1213 ## PP test 214 LogReturn = log(CurrentI[2:DateNum]/CurrentI[1:DateNum -1])15 PP.test(LogReturn)1617 ## end of program

GARCH모형 681

18 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램에서는 KOSPI를나타내는변수 CurrentI에대수를취한변수 Log(CurrentI)

와 KOSPI의 로그수익률을 나타내는 변수 LogReturn에 대해 PP검정을 실행하였다. 검정들

의 결과는 다음과 같다.


Log(CurrentI) 0.4057 채택 -2.4078

LogReturn < 0.01 기각 -23.048

이 표에서 알 수 있듯이, 변수 Log(CurrentI)에 대해서는 p값이 0.05보다 크다. 즉, 귀무가설

H0 : ϕ1 = 1을 채택한다. 따라서, 단위근이 존재한다고 결론 지을 수 있다. 한편 변수

LogReturn에 대해선 p값이 0.01보다 작다. 즉, 대립가설 H0 : ϕ1 < 1을 채택한다. 따라서

단위근이 존재한다고 결론 지을 수 없다.

제13.5절 GARCH모형

오늘날 로그수익률의 2차적률인 변동성이 시간이 흐름에 따라 확률적으로 변화한다는 생각이

주류를 이루고 있다. 예를 들어, 그림 13.1.2에 그려진 로그수익률의 시계열산점도에서 알 수

있듯이, xt는 평균을 중심으로 변화하고 있다. 또한, 변동성을 나타내는 변동폭은 시간이

흐름에 따라 넓어졌다가 좁아졌다가 다시 넓어지는 것을 알 수 있다. 이렇게 변동성이 시간에

따라 증감하는 성질을 이분산성(heteroskedasticity)이라 부른다. 그림 13.5.1에는 KOSPI의

로그수익률 xt에제곱을취한시계열 x2t 와그표본자기상관함수가그려져있다. 그림 13.2.1

에서알수있듯이, 시계열 xt의표본자기상관함수가시차 1이상에서거의 0에가깝다. 이에

반해서, 그림 13.5.1 아래 그래프의 시계열 x2t 의 표본자기상관함수는 시차가 증가함에 따라

완만하게 감소한다. 즉, 일단 변동성이 커지거나 또는 작아지면, 그 영향이 어느 정도 장시간

지속되는 성질을 보이고 있다. 이러한 현상은 금융자산수익률의 일별데이터 (daily data)

또는 주차데이터 (weekly data)에서 자주 관찰되는 것으로서 변동성클러스터링(volatility

clustering)이라 불리운다. ARMA모형에서와 같이 오차항 vt의 분산 σ2가 상수라고 가정

하면, 이러한 변동성의 특성을 표현할 수 없다. 이러한 변동성의 변화를 명시적으로 나타

내는 대표적인 시계열모형으로는 Engle (1982)에 의해 제안된 ARCH모형(autoregressive


conditional heteroskedasticity model)이다. 이 ARCH모형을 발전시킨 다양한 모형들이

있다. 이후, 이러한 모형들을 총칭해서 ARCH류 모형이라 부르기로 하자. ARCH류 모형은

재무데이터의 계량분석에 널리 이용되고 있다.

그림 13.5.1. 변동성클러스터링

13.5.1 ARCH모형

어떤 금융자산의 제t기의 수익률 yt를 제t− 1기에 예측가능한 부분 E(yt | It−1)과 예측불가

능한 부분 vt로 분할하자. 여기서 It−1은 제t− 1기에 이용가능한 정보집합이다.

yt = E(yt | It−1) + vt (13.5.1)

이 E(yt | It−1)을기대수익률그리고 vt를예측오차라부른다. 이 예측오차 vt를상수 σt(> 0)

와 확률변수 zt의 곱으로 나타낼 수 있다고 하자. 여기서 zt는 평균이 0이고 분산 1이며,

서로 독립이고, 동일한 확률분포를 따르는 확률변수들이다. 따라서, 다음 식들이 성립한다.

vt = σtzt, σt > 0, E(zt) = 0, V ar(zt) = 1 (13.5.2)

즉, σt가 변동성 (volatility)이다. ARCH류 모형은 제t기 변동성을 제t− 1기에서 이미 값을

알고 있는 확률변수의 확정적인 함수로 나타낸다. 여기서 확정적이라는 단어를 사용한 이유는

GARCH모형 683

쇄신항을 포함하지 않는다는 의미이다. 이렇게 정형화하면, 우도를 해석적으로 구할 수 있고

따라서 최우추정법을 사용해서 모수들을 추정할 수 있다.

변동성에 순간적인 쇼크가 발생하면, 그 효과는 높은 지속성이 있다고 알려져 있다. 즉,

변동성이상승한(하락한) 뒤에는변동성이높은(낮은) 기간이당분간이어지는것으로알려져

있다. 앞에서도 언급했듯이, 이러한 현상을 변동성클러스터링이라 부른다. Engle (1982)은

이러한 변동성에 대한 쇼크의 지속성을 고려하여, σ2t 를 다음과 같이 표현했다.

σ2t = ω +

q∑j=1

αjv2t−j (13.5.3)

여기서 모수들은 다음 제약조건들을 만족한다고 가정한다.

ω > 0, α1 ≥ 0, α2 ≥ 0, · · · , αq ≥ 0 (13.5.4)

이러한 제약을 부과한 것은 분산인 σ2t 가 비음 (non-negative)이기 때문이다. 모형 (13.5.3)을

ARCH모형이라 부른다. 이 ARCH모형이 다음과 같은 정상성조건을 만족한다고 가정하자.

q∑j=1

βj < 1 (13.5.5)

13.5.2 GARCH모형

Bollerslev (1986)는다음과같이 ARCH모형에과거변동성의제곱을설명변수로추가모형을

제안하였다.

σ2t = ω +

p∑i=1

βiσ2t−i +

q∑j=1

αjv2t−j (13.5.6)

여기서 모수들은 다음 제약조건들을 만족한다고 가정한다.

ω > 0, α1 ≥ 0, α2 ≥ 0, · · · , αq ≥ 0, β1 ≥ 0, β2 ≥ 0, · · · , βp ≥ 0 (13.5.7)

이러한 제약을 부과한 것은 분산인 σ2t 가 비음이기 때문이다. 모형 (13.5.6)을 GARCH모형

(Generalized ARCH model)이라 부른다. 이 GARCH모형이 다음과 같은 정상성조건을



p∑i=1

αi +

q∑j=1

βj < 1 (13.5.8)

만약 p > q이면, 식 (13.5.2)에서 알 수 있듯이 다음 식이 성립한다.

E(σ2t ) = ω +

q∑i=1

[βi + αi]E(σ2i−1) +

p∑i=q+1

βjE(σ2t−i) (13.5.9)

따라서, 이 GARCH모형의 특성식을 다음과 같이 정의하자.

g(λ).= λp −

q∑i=1

[βi + αi]λp−i −

p∑i=q+1

βiλp−i (13.5.10)

만약 p ≤ q이면, 다음 식이 성립한다.

E(σ2t ) = ω +

p∑j=1

[βj + αj ]E(σ2j−1) +

q∑j=p+1

αjE(σ2t−j) (13.5.11)

따라서, 이 GARCH모형의 특성식을 다음과 같이 정의하자.

g(λ).= λq −

p∑j=1

[βj + αj ]λq−i −

q∑j=p+1

αjλq−j (13.5.12)

만약 특성방정식 g(λ) = 0의 각 특성근의 절대값이 1보다 작으면, 변동성과정 σ2t 은 정상

성을 만족시킨다. 따라서, 변동성에 쇼크가 있어도 시간이 경과함에 따라 그 쇼크의 효과는

소멸한다. 그러나, 절대값이 가장 큰 특성근이 단위원에 가까이 위치하면, 쇼크는 장시간

지속된다.

다음과 같이 차수들이 (p, q) = (1, 1)인 GARCH모형을 살펴보자.

σ2t = ω + βσ2t−1 + αv2t−1, (ω > 0, β ≥ 0, α ≥ 0) (13.5.13)

식 (13.5.13)에서 알 수 있듯이, 시점 t− 1까지 정보 It−1이 주어지면 σ2t 는 결정적인 값이다.

즉, 시점 t− 1까지 정보 It−1이 주어지면, v2t 의 예측값은 E(v2t | It−1) = σ2t 이다. 이 예측오

GARCH모형 685

차를 ζt.= v2t − σ2t 로 나타내면, 식 (13.5.13)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

σ2t = ω + [β + α]σ2t−1 + βζt−1 (13.5.14)

만약 ζt를 백색잡음과정으로 생각하면, 식 (13.5.14)에서 알 수 있듯이 σ2t 는 AR계수가

β + α인 AR(1)모형을 따른다. 즉, σ2t 의 시차 s에서 자기상관계수는 [β + α]s에 비례해서

감소한다. 따라서, 만약 β + α가 1보다 작지만 1에 가까우면, 쇼크의 지속성이 높다. 그림

13.5.1에서 알 수 있듯이, KOSPI의 로그수익률을 제곱한 시계열 x2t 의 표본자기상관함수

는 시차가 증가함에 따라 완만하게 감소한다. 이 예는 특수한 현상이 아니고, 일반적으로

수익률의 변동성은 지속성이 높다. 따라서, 식 (13.5.14)의 GARCH모형으로 변동성과정을

추정하면, 일반적으로 모수 β + α의 추정값은 1에 가깝다. Engle & Bollerslev (1986)는

다음과 같은 IGARCH모형(integrated GARCH model)을 사용해서 변동성과정을 모형화할

것을 제시하였다.

σ2t = [1− α]σ2t−1 + αv2t−1, (0 ≤ α ≤ 1) (13.5.15)

13.5.3 변동성변화의 비대칭성

주가수익률의 확률분포가 좌우비대칭인 경우가 많으므로, 변동성의 변화를 나타내는데도

비대칭성을 추가할 필요가 있다. 더욱이, 주식시장에서는 주가가 상승한 날의 다음날보다는

주가가하락한날의다음날에변동성이상승하는경향이있다고것이알려져있다. 전날주가의

변화에 따른 변동성변화의 비대칭성을 ARCH모형이나 GARCH모형으로 나타낼 수는 없다.

변동성변화의 비대칭성을 모형화하기 위해서는 Glosten & Jagannathan & Runkle (1993)

에 의해 제안된 GJR모형이나 Nelson(1991)에 의해 제안된 EGARCH모형 (Exponential

GARCH model) 등을 사용할 수 있다.

[1] GJR 모형

GJR모형에서는 다음과 같은 더미변수 D−t.= 1(vt < 0)를 사용해서 변동성 변화의 비대

칭성을 나타낸다. 즉, GJR모형은 다음과 같다.

σ2t = ω +

p∑i=1

βiσ2t−i +

q∑j=1

[αj + γjD−t−j ] v

2t−j (13.5.16)

여기서 vt는 식 (13.5.2)에서 정의한 것이다. 또한, 모수들은 다음 제약조건들을 만족한다고


가정하자.

ω > 0, α1 ≥ 0, · · · , αq ≥ 0, β1 ≥ 0, · · · , β0 ≥ 0, γ1 ≥ 0, · · · , γq ≥ 0 (13.5.17)

이러한 제약을 부과한 것은 분산인 σ2t 가 비음이기 때문이다. 예를 들어, (p, q) = (1, 1) 인

GJR모형은 다음과 같다.

σ2t = ω + βσ2t−1 + αv2t−1 + γD−t−1v

2t−1, (ω > 0, α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0) (13.5.18)

만약 vt−1 > 0이면, 다음 식이 성립한다.

σ2t = ω + βσ2t−1 + αv2t−1 (13.5.19)

만약 vt−1 < 0이면, 다음 식이 성립한다.

σ2t = ω + βσ2t−1 + [α+ γ]v2t−1 (13.5.20)

제약조건에 의해서 γ가 양수이다. 따라서, 식 (13.5.19)와 식 (13.5.20)에서 알 수 있듯이,

모형 (13.5.18)은 가격이 올라간 날의 다음날보다도 가격이 내려간 날의 다음날에 변동성이

상승하는 것을 나타낸다.

확률변수 zt = vt/σt의 확률분포가 좌우대칭이라고 가정하자. 만약 p > q이면, 식

(13.5.16)에서 알 수 있듯이 다음 식이 성립한다.

E(σ2t ) = ω +

q∑i=1

[βi + αi +

1

2γi

]E(σ2i−1) +

p∑i=q+1

βiE(σ2t−i) (13.5.21)

따라서, 이 GJR모형의 특성식을 다음과 같이 정의하자.

h(λ).= λp −

q∑i=1

[βi + αi +

1

2γi

]λp−i −

p∑i=q+1

βiλp−i (13.5.22)

만약 p ≤ q이면, 식 (13.5.16)에서 알 수 있듯이 다음 식이 성립한다.

E(σ2t ) = ω +

p∑j=1

[βj + αj +

1

2γj

]E(σ2j−1) +

q∑j=p+1

[αj +

1

2γi

]E(σ2t−j) (13.5.23)

GARCH모형 687

따라서, 이 GJR모형의 특성식을 다음과 같이 정의하자.

h(λ).= λq −

p∑j=1

[βj + αj +

1

2γj

]λq−j −

q∑j=p+1

[αj +

1

2γi

]λq−j (13.5.24)

만약 특성방정식 h(λ) = 0의 각 특성근의 절대값이 1보다 작으면, 변동성과정 σ2t 은 정상


소멸한다. 그러나, 절대값이 가장 큰 특성근이 단위원에 가까이 위치하면 쇼크는 장시간

지속된다.

[2] EGARCH모형

EGARCH모형은 다음과 같다.

lnσ2t = ω +

p∑i=1

βi lnσ2t−i +

q∑j=1

αjθzt−j + γ[|zt−j | − E(|zt−j |)], (α1 = 1) (13.5.25)

여기서 zt는 식 (13.5.2)에서 정의한 것이다. 이 모형은 σ2t 를 피설명변수로 하는 것이

아니라, 그 대수값을 피설명변수로 하고 있다. 따라서, 모수에 비음제약을 부과할 필요가

없으며, 음의 값을 갖는 변수를 설명변수로 추가할 수 있다.

EGARCH모형에서는 zt−j를 설명변수에추가함으로써변동성변화의비대칭성을나타낸

다. 이를설명하기위해서, 차수들이 (p, q) = (1, 1)인다음과같은 EGARCH모형을살펴보자.

lnσ2t = ω + β lnσ2t−1 + θzt−1 + γ[|zt−1| − E(|zt−1|)] (13.5.26)

만약 zt−1 > 0이면, 다음 식이 성립한다.

lnσ2t = ω + β lnσ2t−1 + [γ + θ]zt−1 − γE(|zt−1|) (13.5.27)

만약 zt−1 < 0이면, 다음 식이 성립한다.

lnσ2t = ω + β lnσ2t−1 − [γ − θ]zt−1 − γE(|zt−1|) (13.5.28)

만약 θ < 0이면, 가격이 상승한 날의 다음날보다도 가격이 하락한 날의 다음날 변동성이 더

커진다.



E(lnσ2t ) = ω +

p∑j=1

βjE(lnσ2t−1) (13.5.29)

따라서, 이 EGARCH모형의 특성식을 다음과 같이 정의하자.

k(λ).= λq −

p∑j=1

βjλq−j (13.5.30)

만약 특성방정식 k(λ) = 0의 각 특성근의 절대값이 1보다 작으면, 변동성과정 σ2t 는 정상


소멸한다. 그러나, 절대값이 가장 큰 특성근이 단위원에 가까이 위치하면 쇼크는 장시간

지속된다. 예를 들어, 만약 p = 1이면, β가 1보다 작으면 변동성과정은 정상성을 갖는다.

또한, β가 1에 가까울수록 쇼크의 지속성이 높아진다.

13.5.4 GARCH-M 모형

변동성이 높은 날에는 높은 위험의 대가로써 기대수익률도 높을 것이라고 예상된다. Engle &

Lilien & Robins (1987)는 이러한 위험과 수익률의 관계를 다음과 같은 모형으로 나타내었다.

xt = β0 + β1σ2t + vt (13.5.31)

수익률을 식 (13.5.28)로 나타내는 동시에 변동성을 GARCH모형으로 나타낸 모형을

GARCH-M모형이라 부른다. 그러나, 회귀계수 β1의 추정값이 유의적인 양수로 나타내는

연구결과는 별로 없다.

13.5.5 오차항의 확률분포

ARCH류 모형의 오차항 zt의 확률분포로 표준정규확률분포를 가정하는 경우가 많다. 일반

적으로 수익률의 확률분포가 정규확률분포보다 꼬리가 두터운 것이 알려져 있다. 그러나,

오차항 zt의 확률분포가 표준정규확률분포라 해도, 변동성이 매일 변화한다면, 수익률의

확률분포는 정규확률분포보다 꼬리가 두터워진다. 그러나, 이것은 오차항 zt의 확률분포가

표준정규확률분포가아님을의미하는것은아니다. 실제로수익률의확률분포의꼬리의두께는

변동성의변화만으로완전히설명할수는없으며, 또한오차항 zt의확률분포로꼬리가두터운

확률분포를 적용하는 것이 좋다고 알려졌다. 오차항 zt의 확률분포로는 표준정규확률분포

GARCH모형 689

이외에도 Student t확률분포, 일반화오차확률분포(Generalized Error Distribution: GED),

일반화t확률분포 등이 사용되고 있다.

13.5.6 GARCH모형의 통계적 추론

ARCH모형을 사용해서 시계열데이터 yt의 이분산성을 조사하는 방법으로 ARCH검정이

있다. 최소제곱추정법을 사용해서 모형 (13.5.1)에서 추정한 잔차과정을 vt라 하자. ARCH

검정의 귀무가설과 대립가설은 각각 다음과 같다.

H0 : v2t = ω vs. H1 : v

2t = ω +

q∑j=1

βj v2t−j (13.5.32)

이에대한검정통계량으로는결정계수를이용한다. 즉, 검정통계량값이위쪽임계값이하이면,

귀무가설 H0를 채택한다.

예제 13.5.1 데이터파일 KOSPI1.txt의 변수 LogReturn에 저장된 KOSPI의 로그수익률을

ARCH검정하기 위해서, 다음 R-파일을 실행하자.

1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: ARCHtest1.R3 ## ARCH Tests of Log Return4 ## programmed by YTS5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Import Packages8 library(FinTS)9

10 ## Import KOSPI data11 rawData = read.table("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\KOSPI1.txt")1213 Date = format(rawData[,1])14 CurrentI = rawData[,2]15 DateNum = length(Date)16 LogReturn = log(CurrentI[2:DateNum]/CurrentI[1:DateNum -1])1718 ## ARCH test19 TestStat = c()20 for (i in 1:10)21 22 result = ArchTest(LogReturn , lags=i)23 TestStat = c(TestStat , result[1])24 2526 ## Plot27 plot(1:10, TestStat , xlab="Number of Lag", ylab="Statistics", main="", ylim=c

(0,80))28 lines(1:10, TestStat)29 lines(1:10, qchisq(0.95, df=1:10), lty="dashed")30 legend("topright", c("Test Statistic", "Critical Value"),31 lty=c("solid","dashed"), lwd=2)


32 ## end of program33 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램에서는 ARCH검정을 위한 R패키지 FinTS의 함수 ArchTest의 첫 번째

입력변수로 시계열 LogReturn을, 그리고 두 번째 입력변수로 ARCH차수 i를 사용한다.

이 R프로그램을실행하면, ARCH차수가 1에서 10까지각 ARCH검정의결과가출력된다.

예를 들어, ARCH차수가 i = 1인 경우, 출력변수 Stat에 저장된 검정통계량값 19.7185이

출력변수 CV에저장된유의수준 α = 0.05에서임계값(critical value) 3.8415보다크다. 또한,

이에 해당하는 p값은 8.9729 × 10−6이다. 즉, 귀무가설 H0를 기각한다. 결론적으로 시계열

xt에는 이분산성이 존재한다고 할 수 있다. 이 ARCH검정들의 결과를 그린 그래프가

그림 13.5.2에 수록되어 있다. 그림 13.5.2에서 알 수 있듯이, 각 ARCH검정에서 귀무가설을

기각한다. 즉, 시계열 xt에는 이분산성이 존재한다고 결론지을 수 있다.

그림 13.5.2. ARCH검정

GARCH모형의 추정에는 최우추정법을 사용하는 것이 일반적이다. 다음 예제는 KOSPI

데이터에 적합한 GARCH모형을 식별, 추정, 그리고 검정을 하기 위한 것이다.

예제 13.5.2 GARCH모형을 사용해서 KOSPI의 로그수익율을 모형화하기 위해서, 다음 R-


1 ## --------------------------------------------------------------------------2 ## Filename: GARCHmodel1.R3 ## GARCH Modeling of KOSPI Log Return4 ## programmed by YTS

GARCH모형 691

5 ## --------------------------------------------------------------------------67 ## Import Packages8 library(forecast)9 library(fGarch)

10 library(moments)1112 ## Import KOSPI data13 rawData = read.table("C:\\FE_editing\\R_code\\Ch13\\KOSPI1.txt")1415 Date = format(rawData[,1])16 CurrentI = rawData[,2]17 DateNum = length(Date)18 LogReturn = log(CurrentI[2:DateNum]/CurrentI[1:DateNum -1])1920 ## Mean model identification21 AIC = c()22 BIC = c()23 for (i in 0:3)24 for (j in 0:3)25 result = Arima(LogReturn , c(i,0,j))26 AIC = c(AIC, result[6])27 BIC = c(BIC, result[16])28 29 matrix(AIC, 4, byrow=TRUE)30 matrix(BIC, 4, byrow=TRUE)3132 ##Error model identification33 garchFit(formula = ~arma(0,0) ~garch(1,0), data = LogReturn , trace=FALSE)34 garchFit(formula = ~arma(0,0) ~garch(1,1), data = LogReturn , trace=FALSE)35 garchFit(formula = ~arma(0,0) ~garch(1,2), data = LogReturn , trace=FALSE)36 garchFit(formula = ~arma(0,0) ~garch(1,3), data = LogReturn , trace=FALSE)37 garchFit(formula = ~arma(0,0) ~garch(2,0), data = LogReturn , trace=FALSE)38 garchFit(formula = ~arma(0,0) ~garch(2,1), data = LogReturn , trace=FALSE)39 garchFit(formula = ~arma(0,0) ~garch(2,2), data = LogReturn , trace=FALSE)40 garchFit(formula = ~arma(0,0) ~garch(2,3), data = LogReturn , trace=FALSE)41 garchFit(formula = ~arma(0,0) ~garch(3,0), data = LogReturn , trace=FALSE)42 garchFit(formula = ~arma(0,0) ~garch(3,1), data = LogReturn , trace=FALSE)43 garchFit(formula = ~arma(0,0) ~garch(3,2), data = LogReturn , trace=FALSE)44 garchFit(formula = ~arma(0,0) ~garch(3,3), data = LogReturn , trace=FALSE)4546 ## GARCH estimatiom47 result = garchFit(formula = ~arma(0,0) ~garch(1,1), data = LogReturn , trace=FALSE

)48 sig = [email protected] zzz = result@residuals/sig5051 ## Variance Plot52 win.graph(width=7, height=7)53 plot(sig, xlab="Time", ylab="Volatility")54 lines(sig, lwd=2)55 win.graph(width=7, height=7)56 plot(zzz, xlab="Time", ylab="Zt")57 lines(zzz, lwd=1.5)5859 ## Normality Test60 sigmean = mean(sig)61 sigstd = sd(sig)62 zzzmean = mean(zzz)63 zzzstd = sd(zzz)64 win.graph(width=7, height=7)


65 hist(sig, breaks=30, freq=FALSE, xlim=c(sigmean -5*sigstd,sigmean+5*sigstd),66 xlab="",ylab="",main="")67 x = seq(from=sigmean -6*sigstd, to=sigmean+6*sigstd, by=0.001)68 lines(x, dnorm(x,sigmean,sigstd),lwd=2,col="blue")69 win.graph(width=7, height=7)70 hist(zzz, breaks=30, freq=FALSE, xlim=c(zzzmean -5*zzzstd,zzzmean+5*zzzstd),71 xlab="",ylab="",main="")72 x = seq(from=zzzmean -6*zzzstd, to=zzzmean+6*zzzstd, by=0.001)73 lines(x, dnorm(x,zzzmean,zzzstd),lwd=2,col="blue")74 jarque.test(sig)75 jarque.test(zzz)7677 ## White Noise Test78 win.graph(width=7,height=7)79 acf(sig,25, main="", lwd=2, ylim=c(-1,1))80 legend("topright", c("2*STD","ACF of Vt","-2*STD"),81 lty=c("dashed","solid","dashed"), col=c("blue","black","blue"), lwd=c(1,2,1))82 win.graph(width=7,height=7)83 acf(zzz,25, main="", lwd=2, ylim=c(-1,1))84 legend("topright", c("2*STD","ACF of Zt","-2*STD"),85 lty=c("dashed","solid","dashed"), col=c("blue","black","blue"), lwd=c(1,2,1))86 Box.test(sig, lag=1, type="Ljung-Box")87 Box.test(zzz, lag=1, type="Ljung-Box")8889 ## end of program90 ## --------------------------------------------------------------------------

이 R프로그램의 첫 번째 단계는 벌칙함수식별법들인 AIC와 BIC를 사용해서 KOSPI의

로그수익율 LogReturn의평균모형을식별하는것이다. 이 R-파일을실행하면, AIC는차수들

(3, 2)에서 최소AIC값 −2799.067을 갖고, BIC는 차수들 (0, 0)에서 최소BIC값 −2786.481

을 갖는다. 오차항의 GARCH모형에서 추가적인 모수들을 사용해야 하므로, 일치성을 갖는

최소BIC추정량인 (0, 0)을사용하기로하자. 즉, 평균모형으로 ARMA(0, 0)모형을사용하자.

두번째단계는벌칙함수식별법들 AIC와 BIC를사용해서평균모형에의한잔차들에타당

한 GARCH모형을 식별하는 것이다. R패키지 fGarch의 garchFit함수를 사용하면 지정해준

ARMA모형과 GARCH모형에 따른 추정치와 대수우도함수값을 출력한다. 이를 통해 AIC와

BIC를 계산할 수 있다. 이 R-파일을 실행한 결과를 요약하면, AIC값들은 다음과 같다.

p \ q 0 1 2 3

1 -2827.09 -2926.77 -2924.056 -2923.5

2 -2846.28 -2923.94 -2924.97 -2923.6

3 -2855.65 -2922.78 -2923.39 -2921.6

이표에서알수있듯이, 최소AIC추정값은 (p, q) = (1, 1)이다. 또한, BIC값들은다음과같다.

GARCH모형 693

p \ q 0 1 2 3

1 -2818.66 -2914.11 -2907.18 -2902.41

2 -2833.63 -2907.07 -2903.88 -2898.29

3 -2832.56 -2901.69 -2898.08 -2892.07

이 표에서 알 수 있듯이, 최소BIC추정값은 (p, q) = (1, 1)이다. 로그수익율 LogReturn

의 분산모형으로는 AIC와 BIC가 공통으로 선택하는 GARCH(1, 1)모형을 사용하자. 이

ARMA(0, 0)−GARCH(1, 1)모형의 추정식은 다음과 같다.

xt = 0.0010 + vt (1)

σ2t = 1.13× 10−6 + 0.946σ2t−1 + 0.0449v2t−1 (2)

앞에서 언급했듯이, α+ β는 0.9909로 1에 가깝다. 따라서, 분산의 자기상관함수가 완만하게

줄어들 것이다.

세 번째 단계는 σt와 zt의 시계열산점도들을 그리는 것이다. 그림 13.5.3의 왼쪽

그래프는 변수 LogReturn의 시계열 xt에 ARMA(0, 0)−GARCH(1, 1)모형을 적용시켜

추정한 변동성과정 σt를 그린 것이고, 오른쪽 그래프는 zt = vt/σt를 그린 것이다. 예상

한대로 변동성과정 σt는 시점에 따라 크게 변동한다. 그러나, zt는 난수성을 보인다.

네 번째 단계는 정규성검정을 하기 위한 것이다. 먼저, σt와 zt의 히스토그램들을

그린다. 그림 13.5.4의 왼쪽 그래프는 변동성과정 σt의 히스토그램을 그린 것이고, 오른쪽

그래프는 zt = vt/σt의히스토그램을그린것이다. 예상한대로변동성과정 σt는정규성을

보이지 않는다. 상대적으로 zt는 정규성을 보이는 것 같으나, 역시 꼬리가 두터운 모양을

보인다. 이들의 정규성을 조사하기 위해서 Jarque-Bera검정을 한 결과, σt의 Jarque-Bera

통계량값은 117.85이고, p값은 0.001보다 작다. 즉, 정규성을 갖는다는 귀무가설을 기각한다.

또한, zt의 Jarque-Bera통계량값은 69.766이고, p값은 0.001보다 작다. Jarque-Bera통계

량값이 현저히 감소하기는 했으나 정규성을 갖는다는 귀무가설은 기각된다.

다섯 번째 단계는 백색잡음성을 검정하기 위한 것이다. 먼저, σt와 zt의 표본자기

상관함수들을 그려보았다. 그림 13.5.5의 왼쪽 그래프는 변동성과정 σt의 표본자기상관

함수를 그린 것이고, 오른쪽 그래프는 zt의 표본자기상관함수를 그린 것이다. 예상한대로

변동성과정 σt의 자기상관함수는 천천히 감소하므로, σt가 백색잡음성을 갖는다고 할

수 없다. 반면에, zt의 자기상관함수는 백색잡음성을 보인다. 다음으로, 함수 Box.test를

사용해서차수가 1인퍼트맨토우검정을하였다. 이 σt의 Ljung-Box통계량값은 497.42이고,


p값은 0.001보다작다. 즉, σt가백색잡음성을갖는다는귀무가설을기각한다. 반면에, zt

의 Ljung-Box통계량값은 0.0282이고 p값이 0.8666이므로, zt가 백색잡음성을 갖는다는

귀무가설을 채택한다. 즉, 식 (1)과 식 (2)로 구성된 ARMA(0, 0)−GARCH(1, 1)모형이

KOSPI의 로그수익률 LogReturn에 적합하다고 결론지을 수 있다.

그림 13.5.3. 변동성의 산점도

그림 13.5.4. 변동성의 히스토그램

13.5.7 옵션가치평가식

Duan (1995)은국소위험중립평가관계(locally risk-neutral valuation relationship: LRNVR)

가 성립한다는 가정 하에 ARCH류 모형을 위험중립확률측도 하의 모형으로 변환하는 방법을

GARCH모형 695

그림 13.5.5. 변동성의 표본자기상관함수

제시했다.

국소위험중립평가관계란 위험중립확률측도 Q와 실제확률측도 P가 다음과 같은 3가지

조건들을만족시키는것을말한다. 첫째, 조건부확률변수 xt | It−1이각확률측도하에서정규

확률분포를 따른다. 둘째, 식 EQ(xt | It−1) = r이 성립한다. 셋째, 조건부확률변수 xt | It−1

의위험중립확률측도 Q하에서분산과실제확률측도 P 하에서분산이거의모든점에서같다.

이러한 국소위험중립평가관계가 성립한다고 가정하면, ARCH류 모형을 위험중립확률측도

Q 하에서 모형으로 변화시킬 수 있다.

다음과 같은 실제확률측도 P 하에서 GARCH모형을 생각해보자.

xt = E(xt | It−1) + vt (13.5.33)

vt = σtzt, zt ∼ i.i.d. N (0, 1) (13.5.34)

σ2t = ω +

p∑i=1

βiσ2t−i +

q∑j=1

αjv2t−j (13.5.35)

이 GARCH모형을 위험중립확률측도 Q 하에서 다음과 같은 모형로 변환할 수 있다.

xt = r − 1

2σ2t + σtζt (13.5.36)

ζt | It−1 ∼ i.i.d. N (0, 1) (13.5.37)

σ2t = ω +

p∑i=1

βiσ2t−i +

q∑j=1

αj [ζt−j − λt−j ]2σ2t−j (13.5.38)

단, λt는 다음과 같다.

λt =1

σt

[E(xt | It−1)− r +

1

2σ2t

](13.5.39)

여기서 xt와 r은연속복리로계산된다고가정한다. 만약그렇지않으면, 식 (13.5.36)의우변과

식 (13.5.39)의 우변에서 항 12σ

2t 을 삭제해야 한다.

GJR모형 (13.5.16)에 대해서는 식 (13.5.38)을 다음 식으로 바꾸어야 한다.

σ2t = ω +

p∑i=1

βiσ2t−i +

q∑j=1

[αj + γjD∗−t−j ][ζt−j − λt−j ]

2σ2t−j (13.5.40)

여기서 D∗−t

.= 1(ζt − λt < 0)이다.

EGARCH모형 (13.5.25)에 대해서는 식 (13.5.38)을 다음 식으로 바꾸어야 한다.

lnσ2t = ω +

p∑i=1

βi lnσ2t−i

+

q∑j=1

αjθ[ζt−j − λt−j ] + γ[|ζt−j − λt−j | − E(|ζt−j − λt−j |)] (13.5.41)

원자산을 Su로 하고, 만기시점 T에서 행사가격이 K인 유럽형콜옵션과 유럽형풋옵션의

시점 t에서 공정한 가치들은 각각 다음과 같다.

Ct = exp(−r[T − t])EQ([ST −K]+) (13.5.42)

Pt = exp(−r[T − t])EQ([K − ST ]+) (13.5.43)

우선 실제확률측도 P 하에서 모형인 식 (13.4.33)∼식 (13.3.35)를 사용해서 모수들을 추정하

고, 다음으로위험중립확률측도Q하에서모형인식 (13.4.36)∼식 (13.3.39)에몬테카를로법을

적용해서 위험중립가치평가식들 (13.5.42)와 (13.5.43)을 계산한다.

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[123] Sharpe, W.F. (1964) Capital asset prices: A theory of market equilibrium underconditions of risk, Journal of Finance, vol. 19, pp. 425–442

[124] Sharpe, W.F. (1978) Investments, Prentice-Hall.

705

[125] Shreve, S. (2004a) Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset PricingModel, Springer.

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[132] Wilmott, P. (2006) Paul Wilmott On Quantitative Finance, Wiley.

찾아보기

(p, q)차 자기회귀이동평균모형, 654

AR(1) model, 639

AR(1)모형, 639

AR(p) model, 643

AR(p)모형, 643

ARIMA(p, d, q)모형, 672

ARMA(p, d, q)모형

d차 누적과정, 672

ARMA(p, q) model, 654

ARMA(p, q)모형, 672

MA(q) model, 651

i.i.d, 257

k-th order variation, 406

k차 원점적률, 257

k차 적률, 257

k차 중심적률, 257

k차 평균적률, 257

k차변분, 406

p차 자기회귀모형, 643

q차 이동평균모형, 651

1st-order variation, 405

1차 자기회귀모형, 639

1차변분, 405

2007-2008년 금융위기, 6, 35

2모수접근법, 89

2차정상성, 312

3차적률, 273

4차적률, 273

a.e., 381

abandonment option, 225

additive process, 324

AIC, 665

Akaike information criterion, 665

Akaike정보기준, 665

almost everywhere, 381

American option, 166

APT모형, 103

AR(1)모형, 382

arbitrage pricing equation, 169

ARCH류모형, 682

ARCH검정, 689

ARCH모형, 681, 682

EGARCH모형, 687

GARCH-M모형, 688

GARCH모형, 683

GJR모형, 685

707

708 찾아보기

IGARCH모형, 685

추정, 690

통계적 추론, 689

ARIMA모형, 672

ARMA모형, 651, 654

ARMA과정, 656

ARMA모형화, 659

평균이 0이 아닌 ARMA(p, q)모형,

659

혼합ARMA모형, 654

Arrow-Debreu가치, 584

Arrow-Debreu증권, 5, 161

Arrow-Debreu증권들, 153

Arrow-Pratt의 상대위험회피함수, 55

Arrow-Pratt의 절대위험회피함수, 54

Asian call option, 167

autocorrelation coefficient, 637

autocorrelation property, 636

autocovariance, 637

autoregressive conditional

heteroskedasticity model, 682

autoregressive model, 305

autoregressive model of order, 643

autoregressive model of order 1, 639

autoregressive moving-average model of

orders p and q, 654

average strike option, 167

backshift operator, 659

backward differences, 559

Baire측도, 253

barrier, 167

Bayesian Information Criterion, 666

Bera-Jarque검정법, 276

Bernoulli확률변수, 56

best predictor, 260, 380

BIC, 666

binomial tree model, 165

Black-Scholes방정식, 527, 536, 540, 605

Black-Scholes 환경, 572

Black-Scholes가치를 조정, 557

Black-Scholes식의 해석, 553

유도하는 데 사용한 가정, 532

Black-Scholes식, 7, 11, 20

Black-Scholes확률과정, 471, 489, 503,

534

boundary value problem, 228

bounded variation, 405

Brown운동, 11, 163, 300, 316, 318, 347,

391

Brown다리, 332, 333, 504, 507

Brown운동의 결합확률밀도함수, 326

Brown운동의 미분, 430

Brown운동의 반사원리, 335

Brown운동의 변분, 406

Brown운동의 조건부확률분포, 328

Brown운동의 차분과정, 396

Brown운동의 통계적 성질, 326

기하Brown운동, 13, 395

비유계변분, 409

선형Brown운동, 502

연속시간형 Brown운동, 21

일반화Brown운동, 325, 397

찾아보기 709

적분Brown운동, 340

최초도달시점, 335

표준Brown다리, 332

표준Brown운동, 326, 395

확률증분, 416

call option, 165

CAPM, 18, 84, 89

Mossin형 CAPM, 87

Sharpe-Lintner형 CAPM, 87

연속시간형 CAPM, 102

Cauchy-Schwarz부등식, 256

causality condition, 644

Cayley-Hamilton정리, 316

CB, 233, 237

cdf, 252

central difference, 559

central limit theorem, 283

characteristic function, 288

charm, 569

Chebyshev의 약대수법칙, 283

CIR모형, 520

CLT, 283

cointegration, 313

color, 570

compound Poisson process, 585

conditional expectation, 380

continuity theorem, 280

continuous dividend yield, 200

continuous martingale, 401

converge almost everywhere, 282

converge almost surely, 282

converge in distribution, 265, 278

convergence in probability, 281

convergence weakly, 278

convertible bond, 233, 237

convolution theorem, 367, 547

correlogram, 637

covariance, 256

crash, 261

cumulative distribution function, 252

curvature, 564

cybernetics, 317

De Moivre-Laplace정리, 265

Delta, 560

deterministic volatility model, 582

DF test, 676

ADF test, 677

augmented DF test, 677

Dickey-Fuller검정, 676

확장Dickey-Fuller검정, 677

Doob-Meyer분해, 386, 388, 389, 420

double exponential distribution, 274

dual strike option, 576

Dupire모형, 584

Durbin-Watson검정, 640

DW통계량, 641

dynamic asset pricing theory, 626

dynamic hedge, 185

dynamic hedging, 531

dynamic programming, 228

early exercise premium, 202

710 찾아보기

efficient market hypothesis, 317

EGARCH모형, 687

equivalent, 596

equivalent martingale measure, 389, 591

equivalent probability measure, 596

Euclid공간, 152

European option, 165, 166

ex-dividend, 198

exercise date, 165

exotic option, 166

expected gross return rate, 593

expiry, 165

exponential distribution, 269

Exponential GARCH model, 687

fast Fourier transform, 590

Feyman-Kac정리, 622

Feynman-Kac, 625

Feynman-Kac정리, 535

FFT, 590

filtration, 261, 380

first passage time, 307

fixed-income analysis, 316

Fokker-Planck 방정식, 12

Foreign Exchange, 138

Fourier변환, 543, 590

Fourier해석, 14

Fubini정리, 448

FX, 138

Gamma, 564

GARCH-M모형, 688

GARCH모형, 683

Gaussian확률과정, 280

GED, 689

Generalized ARCH model, 683

Generalized Error Distribution, 689

geometric Brownian motion, 395

Girsanov정리, 28, 286, 535, 596, 608,

609, 623

GJR모형, 685

Glivenko-Cantelli정리, 631

Greeks, 560

growth option, 226

Hannan-Quinn정보기준, 666

Heath-Jarrow-Merton method, 316

heavy-tail, 631

hedge, 514

hedging, 531

Heston모형, 590

heteroskedasticity, 681

high frequency data, 628

Hilbert공간, 145

HJM방법, 316

HQC, 666

Hull-White모형, 524

hyperbolic secant distribution, 274

IGARCH모형, 685

immediate exercise, 202

implied probability distribution, 584

implied stochastic process, 584

implied tree, 584

찾아보기 711

implied volatility, 572

in the money, 559

independently and identically

distributed, 257

information family, 380

information set, 380

innovation term, 436

integrated, 672

integrated autoregressive

moving-average model, 672

integrated GARCH model, 685

integrated process, 672

inversion formula, 367

invertibility, 652

isometry property, 456

iterative method, 572

ITM, 559

Ito-Doeblin 보조정리, 19

Ito-Doeblin보조정리, 462, 464, 467, 624

Ito적분, 277, 438, 440, 450, 452

Ito적분과정의 등거리성, 456

Ito적분과정의 마팅게일성, 457

Ito적분과정, 454

Ito지수함수, 472

Jarque-Bera검정, 633

Jensen부등식, 53

Jensen의 알파값, 94

알파값, 94

joint probability density function, 254

jump diffusion process, 365

jump process, 163

Karush-Kuhn-Tucker조건, 76

Khinchine의 강대수법칙, 283

Khinchine의 약대수법칙, 283

Kolmogorov-Smirnov검정, 633

Kolmogorov-Smirnov통계량, 633

Kolmogorov전향방정식, 12

Kullback-Leibler information number,

665

Kullback-Leibler정보량, 665

kurtosis, 274

Lévy확률과정, 324

lag operator, 659

Lagrange승수, 147

Lagrange함수, 62, 68

lambda, 566

law of large numbers, 283

Lebesgue적분, 26, 434, 614

leptokurtic, 274

LIBOR, 42, 166

Lilliefor검정, 633

limiting distribution, 278

Lindberg-Feller의 중심극한정리, 284

Lindberg-Lévy의 중심극한정리, 284

Lipschitz조건, 494

Ljung-Box검정, 649

Ljung-Box통계량, 650

LLN, 283

local volatility, 568

locally risk-neutral valuation

relationship, 694

log-normal distribution, 268

712 찾아보기

long memory property, 305

LRNVR, 694

mapping, 252

marginal probability density function,

257

market price of risk, 515

Markov property, 313

Markov과정, 313

결합적 Markov과정, 314

다변량Markov과정, 314

Markov성, 12, 188, 313

강Markov성, 12

martingale, 375, 376

martingale representation, 414

MA모형, 651

가역성, 652

MA모형과 혼합ARMA모형 추정, 662

mean reverting process, 513

mean square convergence, 277

mean-square limit, 452

memoryless property, 270

Merton모형, 574

Black-Scholes-Merton모형, 574

중간배당이 있는 Black-Scholes모형,

574

mgf, 257

Minkowski-Farkas정리, 154

Modigliani-Miller정리, 34, 123

moment generating function, 257

Moore-Penrose역행렬, 151

moving-average model of order q, 651

net present value, 222

Newton-Raphson법, 572

NID, 265

non-stationary, 671

normal distribution, 265

normal event, 345

normality test, 633

normalizing, 418

normally and independently distributed,

265

notional amount, 166

NPV, 222

ODE, 537

option, 165

option hedge, 168

option holder, 167

option to alter operating scale, 225

option to defer, 225

option to switch, 225

option writer, 167

ordinary differential equaiton, 537

ordinary least squares method, 661

Ornstein-Uhlenbeck 확률과정, 24, 471

Ornstein-Uhlenbeck 확률미분방정식, 511

Pareto효율

Pareto효율성, 8

개선, 9

공정성, 8

공평성, 8

partial autocorrelation, 645

찾아보기 713

partial difference equation, 558

pathwise integral, 461

payoff, 122

payoff function, 166

pdf, 252

penalty function, 665

Phillips-Perron검정, 676

비모수적 단위근검정법, 680

plain-vanilla option, 166

platykurtic, 274

pmf, 252

Poisson과정, 163

Poisson확률과정, 309, 347

Poisson확률과정과 Brown운동의

합성과정, 352

portmanteau statistic, 669

PP test, 676

probability density function, 252

probability mass function, 252

probability measure, 253

put option, 165

put-call parity, 196

Radon-Nikodym밀도함수, 598

Radon-Nikodym밀도함수과정, 608

raised cosine distribution, 274

rare event, 345

real option, 222

replication, 167

repo율, 67

rho, 562

Riemann-Stieltjes류 적분, 299

Riemann-Stieltjes적분, 412, 433

Riemann–Stieltjes적분, 250

Riemann적분, 433, 438

Riemann합, 460

right continuous martingale, 401

self-financing condition, 186, 413

sequential process option, 226

Sharpe지수, 73

simple random walk, 295

SLLN, 282

SLSG전략, 535

SPD, 288

speed, 570

spurious regression, 674

stable Paretian distribution, 288

standard Brownian bridge, 332

stationarity in the second-order, 312

stationarity in wide-sense, 312

Stieltjes적분, 433

Stiemke정리, 147

Stochastic calculus, 249

stochastic equivalence, 452

Stop-Loss Start-Gain strategy, 535

stopping time, 214

strike price, 165

strong solution, 490

strong stationary, 311

submartingale, 376, 384

supermartingale, 376, 384

swap, 166

swaption, 166

714 찾아보기

the fundamental theorem of calculus,

253, 435

the law of iterated logarithms, 666

Theta, 563

total variation, 405

tower property, 260

trend, 672

trigger event, 166

true states of nature, 596

ultima, 571

unbounded variation, 406

underlying, 165

unit root, 673

VA, 557

valuation adjustment, 557

value-at-risk, 346

vanna, 568

VaR, 120, 346

Vasicek모형, 511

Vasicek확률과정, 512

Vega, 560, 565

volatility, 255

volatility clustering, 681

vomma, 569

weak law of large numbers, 281

weak solution, 492

weak stationarity, 312

Weierstrass함수, 431

White noise, 141

white noise, 639

Wiener process, 317

Wiener stochastic integral, 442

Wiener과정, 300, 317, 323

Wiener적분, 438, 442

Wigner semicircle distribution, 274

with probability 1, 488

WLLN, 281

Wold분해, 389

xVA, 6

Yule-Walker방정식, 645

Yule-Walker추정법, 661

zero coupon bond, 516

zomma, 571

가격결정구조, 3

가격수용자, 123

가격의 의미, 6

가법과정, 324

가상일일정산, 126

가치평가, 226

감마, 564

감응도, 92

강대수법칙, 282

강정상성, 311, 312

강정상적, 311

개수렴, 282

개수렴 (槪收斂), 282

거래전략, 20

거의 모든 점에서, 381

거의 모든 점에서 수렴한다, 282

찾아보기 715

결정변동성모형, 582

결합확률밀도함수, 254

경계값문제, 28, 228

경계조건, 536

경로별적분, 461

경험분포, 120

계산재무론, 21

고빈도데이터, 628

고전적 경제학, 6

고정수입분석, 316

고차적률, 361

곡률, 564

공누적, 313

공리적 확률론, 14

공매, 49

공분산, 256

광의의 정상성, 312

국소변동성, 568

국소위험중립평가관계, 694

균형, 34

균형가치, 34

균형이론, 18

균형점, 3

그릭스, 560

금융

Thales, 10

가치 평가, 27

공정한 가치, 125

공정한 현재가치, 130

금융경제학, 33

금융공학, 2, 7, 26, 33

금융공학의 역사, 9

금융세계, 223

금융시계열데이터, 627

금융시계열분석, 627

금융자산, 34, 35

금융자산가격, 36

금융자산가치평가, 399

금융자산매매, 36

금융파생상품, 2, 27, 38, 226

금융파생상품 가치평가, 121

금융파생상품가치, 28

금융확률과정론, 25

무위험자산, 7, 36

불확실성, 35

상품 개발, 35

수리재무, 11

수익률, 19

시계열, 35

연마, 10

옵션, 226

위험, 33

위험관리, 35

위험자산, 17, 36

은행예금, 36

자금, 33

자산가격, 44

자산거래, 35

장외시장, 39

조건부청구권, 38

창의성, 9

투기자, 36

716 찾아보기

포트폴리오, 45

할인채, 36

현금, 36

확률변수, 44

확률적분, 416

금융시계열분석, 627

금융자산의 공정한 현재가치, 130

금융파생상품, 38

기대값, 255

기대수익률, 17

기대총수익률, 593

기대효용이론, 34, 50

기준가격, 125

꼬리가 무거운 확률분포, 7

내재나무, 584

내재변동성, 571, 572

내재확률과정, 584

내재확률분포, 584

노벨실패작, 21

누적자기회귀이동평균모형, 672

누적확률분포함수, 252

다변량정규확률분포, 608

다인자모형, 101

단기국채, 38

단리, 36

단위근검정, 676

단위근과정, 673

단위근, 673

단위근검정, 676

단인자모형, 89

단체법, 15

대수법칙, 283

델타, 32, 560

델타중립, 32

동적계획법, 228

동적자산가격이론, 626

동질적기대성, 90

동치, 596

동치마팅게일측도, 591

동치마팅게일확률측도, 23, 28, 391, 400,

420

동치마팅게일확률측도 사용, 419

동치확률측도, 596

람다, 566

래그작용소, 659

레버리지, 39

로, 562

마팅게일, 13, 22, 28, 133, 375, 376, 380,

391, 414, 496

Doob-Meyer분해, 414

가벼운 수리적 조작, 385

금융자산 가치평가, 400

금융자산가치평가, 416

기대추세 제거, 385

동치마팅게일측도, 389, 591

룰렛마팅게일게임, 378, 379

마팅게일 표본경로, 405

마팅게일게임, 375

마팅게일과 확률적분, 412

마팅게일로 변환, 384

마팅게일성, 189, 391

마팅게일의 근본적 성질, 381

찾아보기 717

마팅게일의 변분들, 410

마팅게일의 정의, 379

마팅게일의 필요성, 399

마팅게일이론, 375

마팅게일증분, 401

마팅게일표현정리, 420

변분, 405

비정칙적이지 않음, 405

연속마팅게일, 401

열마팅게일, 133, 376, 384

우마팅게일, 133, 376, 384

우연속마팅게일, 401

이산시간형 마팅게일성을

연속시간형으로 전환, 191

이항나무모형, 188

제곱가적분 연속마팅게일, 401

제곱가적분마팅게일, 618

증대정보계, 134

지수마팅게일, 394, 612

추세가 전혀 없는 마팅게일, 421

표준Brown운동, 394

확률극한, 191

확률분포 변환, 389

마팅게일표현, 414

만기시점, 165

말기조건, 29, 536

모든 금융자산가치들을 정규화, 418

모의데이터, 79

무기억성, 12, 270

무위험이자율, 28

무위험자산, 18

무재정시장, 22, 27, 152

무재정조건, 5, 6, 22, 124, 147

무차별곡선, 81, 82

무한분해가능, 368

미래시점가치, 122

미적분의 근본적 정리, 253, 435

반복대수법칙, 666

반복법, 572

반복조건부기대값법칙, 260

반사원리, 12, 336

반전공식, 367

배나, 568

배당, 122

배당락, 198

배당지불, 138

백색잡음, 639

백색잡음항, 141

벌칙함수, 665

베가, 565

베이즈정보기준, 666

베이지안통계학, 46

베타, 92

변동성, 255, 416, 540

변동성스마일, 582

변동성클러스터링, 681

변형모형들, 138

보마, 569

복리, 36

복제포트폴리오, 157

복합Poisson확률과정, 585

부분자기상관계수, 645

718 찾아보기

분산 (variance), 255

분산공분산행렬, 18

분포수렴, 265, 278

분포수렴한다, 278

불완비모형, 586

불완비시장, 8, 152

비Markov성, 314

비선형 금융파생상품, 29

비선형계획법, 17

비유계변분, 406

비유계변분함수, 406

사건, 252

사상, 252

사이버네틱스, 12, 317

상미분방정식, 27, 537

상보성완화조건, 77

상보성조건, 77

상정원본, 166

상태, 121

경제상태, 121

기초사건, 122, 251

상태가격, 144, 147

상태가격벡터, 147

상태증권들, 153

시장상태, 121

집합, 251

상태증권, 5


선도계약, 28, 39

상환인도가격, 39

행사가격, 39

선도이자율, 25

선물, 41

가상기사평가, 41

위탁증거금, 41

선형 상품, 29

선호, 87

세계관

Newton패러다임, 14

결정적, 14

확률적, 14

속행영역, 205

쇄신항, 436

수리계획법, 23

수요공급이론, 5

수익률, 46, 48

수익률의 확률분포, 34

순간적현물이자율, 37

순수증권들, 153

순현재가치, 222

스왑, 42, 166

선도계약포트폴리오, 42

이자율스왑, 42

통화스왑, 42

스왑션, 166

스피드, 570

시가총액가중종합지수, 87

시계열

누적적, 672

비정상시계열, 671

비정상적, 671

추세, 672

찾아보기 719

시장

가격수용자, 49, 123

거래비용이 없는 시장, 32

공매가 없는 시장, 76

마찰이 없는 시장, 49, 123

무재정시장, 152

불완비시장, 152

시장의 균형, 87

시장인덱스, 87

완비, 151

완비성, 151

완비시장, 160

완전자본시장, 49, 123

중복성, 156

실물옵션, 221–223

실해석, 27

실행가능영역, 61, 90

쎄타, 563

안정Pareto분포, 288

약대수법칙, 281

약수렴한다, 278

약정상성, 312

역Fourier변환, 547

연속배당률, 200

연속복리, 28, 37

연속성정리, 280

연속시간모형, 141

무한소 시간간격, 141

연속시간분석, 250

연속시간형 CAPM, 102

연속시간형 재무모형, 285

연속형 상태공간, 141

확률미분방정식, 141

열전도방정식, 540

예산제약, 3

옵션, 41, 165, 226

barrier옵션, 12

basket옵션, 575

double barrier옵션의 가치평가, 634

down-and-in옵션, 167

down-and-out옵션, 167

ITM옵션, 590

Knock-in옵션, 575

knock-in옵션, 167

Knock-out옵션, 575

knock-out옵션, 167

Ladder옵션, 575

LIBOR상품, 25

Lookback 옵션, 574

lookback옵션, 167

OTM옵션, 590

up-and-in옵션, 167

up-and-out옵션, 167

개시옵션, 232

교체옵션, 225

권리행사, 202

다중자산옵션, 575

미국형옵션, 42, 166, 201

방아쇠사건, 166

변경옵션, 233

복제, 167

성장옵션, 226

720 찾아보기

속행가치, 238

실물옵션, 165, 221–223, 233

쌍행사가격옵션, 576

아시아형콜옵션, 167

연기옵션, 225

옵션가치평가식, 20

옵션매도자, 167

옵션매수자, 167

옵션헤지, 168

울타리값, 167

유럽형옵션, 7, 42, 165, 166

유럽형콜옵션 공정 가치, 168

유럽형콜옵션가치, 385

유럽형콜옵션의 무재정가치, 175

유럽형풋옵션, 5

이색옵션, 21, 166, 574

전환사채, 233, 237

전환사채가치, 238

조기권리행사프리미엄, 202

조업규모변경옵션, 225

지불금액함수, 166

지수옵션 (index option), 202

최적행사시점, 202

축차진행옵션, 226

콜옵션, 41, 165

키코, 26

탄력성, 566

패리티, 237

평균행사가옵션, 167

포기옵션, 225, 229

풋옵션, 165

플레인바닐라옵션, 166

완비, 151

완비성, 23, 151

완비시장, 8

완전자본시장, 34, 49, 123

왜도, 273

외국환, 138

우발사건, 345

울티마, 571

원자산, 2, 165

원자산에 배당이 있는 경우, 138

원자산이 환율인 경우, 139

위험

위험의 시장가격, 71, 515

위험선호적, 53

위험을 감수, 6

위험을 회피, 6

위험조정수익률, 97

위험조정합성확률들, 130

위험조정확률들, 130

위험중립가치평가법, 23, 28, 159

위험중립가치평가식, 25

위험중립적, 52

위험중립확률, 129

위험중립확률들, 130

위험중립확률밀도함수, 159, 160

위험중립확률측도, 23, 131, 160, 400

위험회피도, 22, 52, 54

위험회피적, 17, 53

위험회피함수, 54, 55

유계변분, 405

찾아보기 721

유동성, 6

유동화, 228

유럽형옵션 가치평가식, 180

의사회귀, 674

이분산성, 681

이산시간분석, 250

이산시간형 확률보행과정, 21

이색옵션, 574

이자율기간구조, 24

이자율모형, 24

CIR모형, 24

HJM모형, 25

LIBOR상품, 25

Vasicek모형, 24

이항나무모형, 21, 28, 165

1기간 이항나무모형, 168

Black-Scholes식, 193

가치평가식, 190

격자, 181

격자모형, 21, 28

다기간 이항나무모형, 171, 184

미국형옵션, 202

삼항나무모형, 28

유럽형옵션, 181

유럽형콜옵션, 179

유럽형풋옵션, 180

이산시간형 이항나무모형, 21

이항나무모형의 모수들, 173

재결합, 172

이항주가과정, 306

인과관계, 254

인덱스펀드, 45

일드곡선, 24, 38

일물일가법칙, 3, 4

일반화오차확률분포, 689

자기공분산, 637

자기금융조건, 7, 20, 184, 186, 413

자기상관계수, 637

자기상관성, 636

자기상관함수그림, 637

자본손실, 48

자본시장선, 67, 70, 90

자본이득, 47

자본자산가치평가모형, 84

자산가격, 44

자산가치과정, 12

자산가치평가의 근본적 정리, 21, 22, 126,

127, 129–132, 134–137, 139, 143,

148, 151, 160

자산배분, 2, 45, 46, 49

자산배분문제, 45

작인성조건, 644

장기국채, 38

재귀확률, 308

재무론, 2, 19, 25, 26

재정, 4, 22, 34, 124, 136, 144

강한 의미의 재정, 155

기준가격, 125

무료점심, 4

무재정가치, 125

무재정조건, 28, 124, 147

무재정표현, 128

722 찾아보기

약한 의미의 재정, 153, 155

재정가치평가법, 125

재정거래, 4

재정기회, 4

재정기회자, 6

제1종 재정기회, 124, 146

제2종 재정기회, 124

중개거래, 146

재정가격이론, 101

재정가치평가식, 169

저위험고수익, 35

적률모함수, 255, 257

절대연속, 596

절충법, 60

점프과정, 163

점프확산과정, 365, 584

점프확산모형, 586

정규사건, 345

정규성검정, 633

정규화, 420

정규확률분포, 265

정기예금이자율, 67

정보이론, 25

정보집합, 133, 380

정보집합족, 380

정상성, 311

정상적 AR모형, 305

정지시점, 214

제1종 수정Bessel함수, 519

제로쿠폰채, 24, 516

조건부기대값, 258, 259, 380


조기행사확률, 214, 215, 217

조마, 571

종합주가지수, 45

주가순자산배율, 101

주가의 수익률, 7

주변확률밀도함수, 257

주식, 38

중개거래, 146

중기국채, 38

중심극한정리, 21, 28, 283

확산극한, 21

중심차분, 559

증권, 143, 144

Arrow-Debreu증권, 161

가격이 순간적으로 변화, 249

배당이 붙은 증권가격, 144


수익률, 144

순수증권들, 153

유한책임성, 144

증권가격들의 확률증분들, 414

증권시장선, 92, 93

증권화, 228

증대정보계, 261, 380

지레효과, 39

지불금액함수, 7

진짜상태들, 596

진짜확률들, 130

진짜확률측도, 23

참, 569

찾아보기 723

채권, 38

단기채권, 38

무이표채, 36

신주인수권부사채, 38

이표, 38

장기채권, 38

전환사채, 38

제로쿠폰채, 36

중기채권, 38

쿠폰, 38

천이확률, 12

첨도, 273, 274

초기조건, 536

총변분, 405

최량예측, 380

최량예측량, 260

최소제곱추정법, 661

최우추정법, 661

조건부최우추정량, 662

최우추정량, 662

최적화, 15, 34

Lagrange승수, 147

추세모수, 540

측도론, 14

칼라, 570

코스피데이터, 627

콜금리, 67

쿠폰이자, 122

크래쉬, 261

키코사태, 26

탑성질, 260

통계적 수렴성, 277

투기수익, 13

투자, 43

기본적분석, 43

기술적분석, 43

보수적 전략, 45

수리계획, 43

수익률, 48

시간, 43

위험, 43

일괄적, 229

적극적 전략, 45



투자위험, 43

투자전략, 43

포트폴리오, 45

투자위험, 43

투자전략, 43

특성함수, 288

파생상품

가상기사평가, 41

가치평가, 121

금융파생상품, 38

만기시점, 41

선도계약, 39

선물, 39, 41

스왑, 42

신주인수권부사채, 38

신주인수권부채, 39

옵션, 39, 41, 226

724 찾아보기

장외시장, 39

전환사채, 38, 39


지불금액, 41

퍼트맨토우통계량, 669

편미분방정식, 5, 20, 27, 535

2차편미분방정식, 539

쌍곡선형 편미분방정식, 539

열전도방정식, 20, 540

타원형 편미분방정식, 539

편미분방정식의 수치해, 558

포물선형 편미분방정식, 539

확산편미분방정식, 12

편차분방정식, 558

평균, 255

평균·절대편차모형, 107

평균복귀과정, 513

평균분산모형, 15, 60, 61, 84

평균분산모형분석, 49

평균분산모형이론, 18, 19

평균분산접근법, 15

평균이동, 592

평균제곱극한, 452

평균제곱수렴, 277

평균회귀적, 24

포지션, 29

롱포지션, 30, 49, 122, 146

숏포지션, 30, 49, 122, 146

포트폴리오, 16, 44, 45, 288

Jensen지수, 118

Kamarker방법, 107

Sharpe지수, 118

Treynor지수, 118

VaR, 120

경험분포, 120

기준포트폴리오, 108

모형의 선택, 106

무위험포트폴리오, 28, 156

복제포트폴리오, 157, 577

샘플링법, 108

수익률의 절대편차, 106

시장포트폴리오, 87

위험프리미엄, 71

인덱스펀드, 108

접점포트폴리오, 17, 18, 67, 70

제로베타포트폴리오, 99

초과포트폴리오, 90

최소분산포트폴리오, 64

최적 종합포트폴리오, 82

최적포트폴리오, 62

평가, 118

평균절대편차모형, 106

포트폴리오 최적화, 16

포트폴리오무게, 46

포트폴리오분석, 16

포트폴리오선택, 15, 16, 292

포트폴리오이론, 17

효율포트폴리오, 17, 18

희유수준모형, 107

표본경로, 12, 30

풋콜패리티, 196

한국거래소, 8

찾아보기 725

한정합리성, 34

할인율, 157

함수론, 27

합성곱정리, 367, 547

행사가격, 165

행사시점, 165

행사영역, 205

헤지, 19, 39, 514

델타, 31, 32

동적헤지, 185

투자자, 36

헷지

동적헷징, 531

헷징, 531

현금흐름, 24, 36

현물이자율, 37

협상, 6

확률, 46

공리적 확률, 46

주관적 확률, 46

합성확률, 46

확률 1로, 22, 488

확률과정, 295

확률동적계획법, 22

확률동치, 452

확률론, 27, 249

확률모형, 46, 143

확률미분, 423, 424

확률미분방정식, 25, 30, 141, 142, 425,

487

강해, 490

약해, 492

추세항, 24

확산계수가 결정적인 확률미분방정식,

500

확률미적분, 13, 249, 295, 423

목적, 250

확률밀도함수, 252

확률보행, 295

단순확률보행, 295

대칭단순확률보행, 296

이산시간형 확률보행, 301

최초도달시간, 307

추세확률보행, 302

확률보행의 장기기억성, 305

확률보행의 특성, 304

확률분포, 251

Bernoulli시행, 263

Laplace확률분포, 274

Poisson확률분포, 272

Poisson확률분포, 264, 269, 271

Wigner반원확률분포, 274

감마확률분포, 520

극단적인 (extreme) 관찰값, 273

극한분포, 278

급첨적 확률분포, 274

꼬리가 무거운 확률분포, 631

다변량정규확률분포, 285

대수정규확률분포, 268

두터운 꼬리, 273

로지스틱확률분포, 274

뭉툭한 확률분포, 274

726 찾아보기

뾰족한 확률분포, 274

상승코사인확률분포, 274

쌍곡시컨트확률분포, 274

안정Pareto분포, 288

안정Pareto분포의 적률추정, 289

완첨적 확률분포, 274

이중지수확률분포, 274

이항확률분포, 263, 272

일양확률분포, 274

정규확률분포, 265

중요한 확률분포들, 263

지수확률분포, 269

확률분포함수, 252

확률수렴, 281

확률적분방정식, 435, 436

확률제어이론, 22

확률증분, 432

확률질량함수, 252

확률측도, 131, 253

확률측도론, 249

확률측도변환, 420

확률해석, 21

확산과정, 24

확산방정식, 540

확산현상, 540

확실성등가, 52, 53

확실성등가수익률, 81, 82

확정이자부증권, 24

환원론, 5

효용, 3, 50

효용함수, 50, 55

2차효용함수, 55

대수효용함수, 56

멱효용함수, 56

볼록함수, 53

선형효용함수, 52

오목함수, 53

위험중립적 효용함수, 52

지수효용함수, 51, 55

효율, 34

효율적 시장 가설, 13

효율적 프론티어, 15

Markowitz프론티어, 15

효율적시장가설, 317

효율적프론티어, 59, 62

후생경제학, 8

기본정리, 8

후진작용소, 659

후향차분들, 559

찾아보기: 인명

Akaike, 665

Anderson, 634

Arrow, 18, 54, 55, 153,

161, 162

Bachelier, 7, 11, 14, 316,

318

Baire, 253

Banz, 101

Basu, 101

Bera, 276, 633, 693

Bernoulli, 56, 263, 264

Bertland, 12

Black, 7, 100, 165, 183,

184, 193, 195,

200, 202, 227,

269, 273, 307,

471, 489, 527,

574

Blume, 100

Bohr, 12

Bollerslev, 683, 685

Boltzmann, 317

Box, 650, 660, 665, 669,

670, 693

Breeden, 584

Brown, 11, 300, 307,

309, 316, 347,

442, 462, 629

Bru, 464

Cantelli, 631

Carr, 535, 586

Cauchy, 256

Cayley, 316

Chebyshev, 283

Cont, 365, 586

Cootner, 318

Cover, 26

Cox, 12, 24, 165

Crack, 166

Dantzig, 15, 18

Darling, 634

Davis, 16

de Finetti, 46

de Moivre, 193, 265

Debreu, 153, 161, 162

Decarte, 433

Derman, 584

Dickey, 676

Dixit, 229

Doeblin, 19, 464

Doob, 13, 379, 386,

388–390, 414,

415, 420, 634

Duan, 694

Dupire, 568, 584

Durbin, 641, 643

Einstein, 11, 14, 317

Embrechts, 120

Engle, 26, 683, 685, 688

Eteridge, 16

Euclid, 152

Fama, 100, 101, 288

Farkas, 154

Feller, 284

Fermat, 433

Feynman, 535, 625

Fokker, 12

Fourier, 12, 14, 543, 547

French, 101

727

728 찾아보기: 인명

Frey, 120

Friedman, 15, 16

Friend, 100

Fubini, 448

Fuller, 676

Garman, 201

Gauss, 661

Gaussian, 280

Girsanov, 28, 286, 535

Glivenko, 631

Glosten, 685

Granger, 674

Hamilton, 316

Hannan, 666

Harrison, 25

Heath, 24, 316

Hull, 24

Hunt, 12

Ingersoll, 24

Ito, 19, 438, 464

Jacobi, 268

Jagannathan, 685

Jarque, 276, 633, 693

Jarrow, 24, 26, 316, 535

Jenkins, 660, 665

Jensen, 53, 94, 100, 118,

119

Jorion, 120

Kac, 535, 625

Kamarker, 107

Kandel, 116, 117

Kani, 584

Karatzas, 388, 401, 493

Karush, 76

Keynes, 36

Khinchine, 283

Kohlhagen, 201

Kolhagen, 201

Kolmogorov, 12, 13, 633,

634

Koopmans, 18

Kuhn, 76

Kullback, 665

Lévy, 13, 284

Lai, 26

Laplace, 193, 265, 274

Lebesgue, 14, 434, 614

Lefévre, 7

Leibler, 665

Lilien, 688

Lilliefor, 633

Lilliefors, 634

Lindberg, 284

Lintner, 18, 87

Lipschitz, 494

Litzenberger, 584

Ljung, 650, 669, 670,

693

Lo, 305

MacBeth, 100

Mackinlay, 305

Madan, 586

Malkiel, 305

Mandelbrot, 288

Markov, 12, 661

Markowitz, 11, 15, 16,

25, 59–61, 84,

92

Marschak, 15, 16

McNeil, 120

Mehrling, 20

Merton, 200, 316, 464,

530, 574, 586

Meyer, 386, 388–390,

414, 415, 420

Miller, 16, 19, 20, 34,

123

Minkowski, 154

Mises, 634

Mittnik, 288

Modigliani, 19, 34, 123

Moore, 151

Morgenstern, 34

Morton, 24

Mossin, 18, 87

Neftci, 467

Nelson, 685

Neumann, 34

Newbold, 674

Newton, 572

찾아보기: 인명 729

Nikodym, 598

Nolan, 288

Ornstein, 24

Osborne, 13, 318

Pareto, 288

Pascal, 433

Penrose, 151

Perron, 676, 680

Phillips, 676, 680

Pierce, 650

Pindyck, 229

Planck, 12

Poincaré, 11, 12

Poisson, 264, 271, 272,

309, 347, 403,

462, 584, 725

Pratt, 54, 55

Quinn, 666

Rachev, 288

Radon, 598

Raphson, 572

Riemann, 250, 299, 341,

412, 433, 462

Robins, 688

Roll, 103

Ross, 12, 24, 103, 165

Rubinstein, 12, 165, 584

Runkle, 685

Samuelson, 12, 14, 166

Savage, 14

Scarf, 18

Scholes, 7, 100, 165, 183,

184, 193, 195,

200, 202, 227,

269, 273, 307,

471, 489, 527,

574

Schwarz, 256, 666

Sharpe, 16, 25, 73, 87,

118, 119

Shreve, 201, 388, 395,

401, 493

Simon, 34

Simons, 11

Smirnov, 633, 634

Stambaugh, 116, 117

Stieltjes, 250, 299, 412,

433, 462

Stiemke, 147–149

Tankov, 365, 586

Thales, 10

Thiele, 12

Tobin, 92

Treynor, 118, 119

Tucker, 76

Turnbull, 26

Uhlenbeck, 24

Vasicek, 24, 512

Ville, 13

Walker, 645, 649, 661

Watson, 641, 643

Weierstrass, 431

White, 24

Wiener, 12, 14, 300, 317

Wilmott, 45

Wold, 389

Yor, 464

Yule, 645, 649, 661

Zeevi, 26

Øksendal, 395

노재선, 26

저자 소개

최 병 선 (崔秉善)

서울대학교 수학과 졸업 (이학사)

미국 Stanford대학교 대학원 졸업 (경제학 석사, 통계학 석사,

Ph. D. in Statistics <major> and Economics <minor>)

연세대학교 상경대학 교수 역임

현재 서울대학교 경제학부 교수 (재무경제학 담당)

E-mail [email protected]

금융공학 V: Introduction to Financial Engineering with R

2016년 12월 16일 제1판 1쇄 인쇄

2016년 12월 26일 제1판 1쇄 발행

저 자 최 병 선

발행처 김 구 재 단

서울특별시 서대문구 충정로9길 10-10 3F (충정로2가)

등 록 2014. 8. 29 제25100-2014-000058호

전 화 02-3146-6923

팩 스 02-312-2675

E-mail [email protected]

ISBN 979-11-956420-5-2 03320 비매품

이 도서의 국립중앙도서관 출판예정도서목록 (CIP)은 서지정보유통지원시스템 홈페이지

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최병선 교수 Creative Commons Book List1. (제2판) SAS를 이용한 현대통계학 (이성백교수와 공저)

http://s-space.snu.ac.kr/handle/10371/94393

2. 행렬의 대각화와 Jordan표준형 (이성백교수와 공저)


3. Fourier 해석 입문


4. Lebesgue적분 입문


5. Wavelet 해석


6. 회귀분석 (상)


7. 다변량시계열분석


8. 이산형 재무모형의 수리적 배경


9. 회귀분석 (하)


10. 단변량시계열분석


11. 금융공학 IV: Monte Carlo Methods for Finance and Economics


Documents

금융공학 V Introduction to Financial Engineering with R · 2019. 4. 29. · [표지사진] Half and Half Rock@Coyote Buttes South, Arizona 2015. 05. 27. F11 and 1/200sec Canon