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쉽게 배우는 알고리즘

7장. 상호 배타적 집합의 처리

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7장. 상호 배타적 집합의 처리

얼마 전 나는 학술회의 준비차 다윈을 읽었다.

읽으면서 그 동안 읽지 않기를 잘했다는 생각이 들었다.

다른 때 다윈을 읽었더라면 여전히 이해할 수 없었을 것이기 때문이다.

... 결국, 읽을 준비가 되었을 때 읽어야 한다는 것이다.

-로저 생크

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학습목표

• 연결 리스트를 이용한 상호배타적 집합의 처리 방법을 이해한다.

• 연결 리스트를 이용한 집합의 처리를 위한 연산들의 수행시간을 분석할 수 있도록 한다.

• 트리를 이용한 상호배타적 집합의 처리 방법을 이해한다.

• 트리를 이용한 집합의 처리를 위한 연산들의수행시간을 기본적인 수준에서 분석할 수 있도록 한다.

숙명여대 멀티미디어과학과- 4 -

Set의 처리

• 이 장에서는 disjoint set(배타적 집합) 만을대상으로 한다.

• 그러므로 교집합은 없다.• 지원할 연산

– Make-Set(x): 원소 x로만 이루어진 집합을 만든다.– Find-Set(x): 원소 x를 가지고 있는 집합을 알아낸다.– Union(x, y): 원소 x를 가진 집합과 원소 y를 가진 집합의

합집합을 만든다.

• Linked list를 이용하는 방법과 Tree를 이용하는방법이 있다.

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Linked List를 이용한 처리

• 같은 집합의 원소들을 하나의 linked list로관리한다.

• Linked list의 맨 앞의 원소를 집합의 대표 원소로삼는다.

• 각 집합에는 마지막 원소를 가리키는 tail을 둔다.– tail 포인터는 두 집합을 union 할 때 유용함.

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• Make-Set(x) 연산– 원소 x로만 이루어진 집합을 만든다.

• Find-Set(x)– 원소 x가 포함된 집합을 알아낸다.

– 원소 x가 가리키는 대표 노드를 리턴한다.

집합 연산

x tail

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• Union(x, y) 연산– 원소 x가 속한 집합과 원소 y가 속한 집합을 합친다.

– 방법• Find-Set(x)와 Find-Set(y)를 이용하여 x와 y가 속한 집합의 대표

노드를 각각 알아낸다.

• 두 집합 중 하나를 다른 집합의 뒤에 붙인다.– 주 집합의 tail이 부 집합의 대표 노드를 가리키게 한다.

– 부 집합의 모든 노드의 대표 원소 포인터는 주 집합의 대표노드를 가리키게 한다.

집합 연산

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a b c tail

d e f g h

tail

Linked List로 된 두 집합의 예

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a b c

d e f g h

tail

tail

d e f g h

tail

a b c

(a)

(b)

합집합을 만드는 예

파란색은 변동이 생긴 간선들

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Weight을 고려한 Union

• Linked list로 된 두 집합을 Union할 때 작은집합을 큰 집합의 뒤에 붙인다.– 대표 원소를 가리키는 포인터 갱신 작업을

최소화하기 위함

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수행시간

[정리 1]

Linked list를 이용해 표현되는 배타적 집합들을만들면서 Weight을 고려한 Union을 사용할 때, m번의 Make-Set, Union, Find-Set 중 n번이 Make-Set이라면 이들의 총 수행시간은 O(m + n logn)이다.

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Tree를 이용한 처리

• 같은 집합의 원소들은 하나의 트리로 관리한다– 보통의 트리와는 달리 child가 parent를 가리킨다.

• 트리의 root를 집합의 대표 원소로 삼는다.

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c

a e

hb

d f g

Tree를 이용한 집합 표현의 예

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c

a

hb

e

d f g

c

a

hb e

d f g

두 집합의 합집합

+

=

• 두 집합 중 한집합의 루트가 다른집합의 루트를가리키게 함.

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a

하나의 원소로 이루어진 집합

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Tree를 이용한 집합 처리 알고리즘

Make-Set(x) ▷ 노드 x를 유일한 원소로 하는 집합을 만든다. {

p[x] ← x ; // p[x] : 노드 x의 부모 노드를 의미}

Union(x, y) ▷ 노드 x가 속한 집합과 노드 y가 속한 집합을 합친다{

p[Find-Set(y)] ← Find-Set(x) ; }

Find-Set(x) ▷ 노드 x가 속한 집합을 알아낸다. 노드 x가 속한 트리의 루트 노드를 리턴한다.

{ if (x = p[x])

then return x ; else return Find-Set(p[x]) ;

}

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연산의 효율을 높이는 방법

• Rank를 이용한 Union – 각 노드는 자신을 루트로 하는 subtree의 높이를

랭크(Rank)라는 이름으로 저장한다• 단 하나의 노드로 이루어진 집합 트리의 랭크는 0

• 루트 노드의 랭크가 그 집합의 랭크가 됨

– 두 집합을 합칠 때 효율을 위해 rank가 낮은 집합을rank가 높은 집합에 붙인다.

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랭크를 이용한 Union의 예

c

a

e

hb d f00

0

1

1 0

2c

a

ehb

d f000

11 0

2

+ =

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• 두 집합의 랭크가 동일하면 합집합의 랭크가증가할 수 있음

랭크를 이용한 Union에서 랭크가 증가하는 예

c

a

e

hb d f01

0

2

1 0

2c

a

ehb

d f010

21 0

3

+ =

g0

g0

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• Path compression– Find-Set을 행하는 과정에서 만나는 모든 노드들이

직접 root를 가리키도록 포인터를 바꾸어 준다.

트리의 높이를 줄일 수 있음.

c

a e

hb

d f g

c

a

ehb

d f

gFind-Set(g)

Path Compression의 예

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Make-Set(x) ▷ 노드 x를 유일한 원소로 하는 집합을 만든다.{

p[x] ← x; rank[x] ← 0;

}

Union(x, y) ▷ 노드 x가 속한 집합과 노드 y가 속한 집합을 합친다.{

x' ← Find-Set(x); y'← Find-Set(y); if (rank[x'] > rank[y'])

then p[y'] ← x' ; else {

p[x'] ← y' ; if (rank[x'] = rank[y']) then rank[y'] ← rank[y'] + 1;

} }

Rank를 이용한 Union과 Make-Set

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Find-Set(x) ▷ 노드 x가 속한 트리의 루트 노드를 리턴한다.{

if (p[x] ≠ x)then p[x] ← Find-Set(p[x]); // path compression 실시

return p[x]; }

Path Compression을 이용한 Find-Set

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수행시간

[정리 5]

Tree를 이용해 표현되는 Exclusive set에서 랭크를이용한 Union과 경로압축을 이용한 Find-Set을동시에 사용하면, m번의 Make-Set, Union, Find-Set 중 n번이 Make-Set일 때 이들의 수행시간은O(m log*n)이다.

k

log*n = min {k : loglog …logn ≤ 1}

사실상 linear time임

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