1

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告射出成型機模板結構之拓樸最佳化設計研究

The Study of Topology Optimum Design for Platen Structure of Plastic Injection Machine

計畫編號：NSC 89-2218-E-168-003執行期限：89 年 8 月 1 日至 90 年 7 月 31 日主持人：孫書煌 崑山科技大學機械工程學系共同主持人：陳家豪 成功大學機械工程學系計畫參與人員：楊忠潔、胡晉誠 崑山科技大學機械工程學系

一、中文摘要

射出機的固定模板連結四根導柱，在彎曲變形時將傳遞一彎曲力矩至導柱上，因此模板的彎曲變形實為導柱斷裂之主因。若能對此零件進行拓蹼形狀最佳化設計，即能在不增加重量的限制下提高其結構強度，也才可大幅提高機器之耐用性。

在本研究中運用 Ansys 有限單元分析軟體進行射出機模板之變形量及應力強度分析。然後在求得初步應力分佈後，利用極 端 兩 極 化 的 自 我 組 織 化 方 法(Self-Organization Method) 進行拓蹼形狀最佳化設計，在經過多次疊代後將可求取最佳化形狀，以平均分配模板的內部應力，如此即可減少模板變形量，進而降低大柱所承受之彎曲負荷，大柱之耐用性即可因此而提高。

關鍵詞：拓樸結構最佳化設計、射出成型機、有限單元法

Abstract

There are four tiebars connect to the fixed platen in plastic injection machine. The fatigue of tiebars result from the bending loading that is given from fixed platen when it deflected. The right way to implement this problem is to reduce the deflection of fixed platen. Topology structure optimization is a solution to strengthen the strength and reduce the deflection of fixed platen under a constraint that the whole cost keeps the same

after redesigning.ANSYS is used in this research to

analyze and simulate the stress, strain and deflection of fixed platen. After FEM analysis, self-organization method, one of topology optimization method, is introduced to optimized the topology shape of fixed platen. A final better design that averages the loading in full area and decreases the highest stress is obtained after many iterations. Having this result, the deflection of fixed platen is decreased and the bending loading at tiebar is reduced. The operating life then would be extended.

Keywords: Topology Optimization, FEM, Plastic Injection Machine

二、緣由與目的

在塑膠射出機的結構原理上，主要是利用三塊模板，稱為調模模板、活動模板、與固定模板組成其夾模機構。固定模板固定於機台上，而在調模模板與活動模板之間裝有肘節機構或油壓缸，以推動活動模板向固定模板方向運動，進行開關模動作;同時還有四根導柱從固定模板穿過活動模板到達調模模板，以作為活動模板運動時之導引，同時其伸長量亦為夾模力之由來。由於固定模板受到導柱之反力作用於四周，而模具之反力則位於中央部位，因此固定模板將產生彎曲變形，如圖一所示。此彎曲變形將會傳遞一彎曲力矩至導柱上，由於開關模為反覆性之動作，因此

2

導柱將因承受反覆的彎矩作用而於極短時間內產生疲勞破壞。

早期為改善此一情況，所使用的方法是一直增加導柱的直徑;但其真正的改善方法其實是應該從降低固定模壁的彎曲變形著手，因此利用拓樸形狀最佳化方法找出固定模壁的最佳化設計，使其彎曲變形量降至最低方是改善此問題的正確方法。

在欲使變形量降至最低，同時材料使用量又要最少以節省成本的雙重考量之下，欲尋求最佳的模板結構設計，拓樸結構最佳化方法是最適合的工具，

對於結構最佳化設計最早從 1973 年Zienkiewicz 與 Cambell[1]使用有限元素法的研究開始，之後對於使用何種方法能有效運用於結構最佳化的研究即逐漸為設計者所廣泛探討，參考文獻中的[2-5]均為此方面的研究成果。

而在拓樸最佳化設計的研究上，目前仍大部份集中於二維拓樸形狀的探討，使用的方法則相當的多，整理如下: 1988 年由Bendsφe 和 Kikuchi[6]提出固定設計領域(Design Domain)的概念，採均質化理論(Homogenization Theory)進行拓樸最佳化設計。 1990 年 Mlejnek 與 Schirmacher[7]提 出 能 量 逼 近 法 (Energy Approach Method)，將有洞的材料視為等向性材料(Isotropic Material)，並且以元素的密度當作設計變數。但是以上這些方法都從相當複雜的理論公式上推導而來操作上難懂難用。另一種方法則是利用模擬生物成長方法 (Simulating Biological Growth Method)[8-10]，模擬生物在自然界中因不同環境狀況而改變自我軀體結構以適應環境的方式，將此概念運用於拓樸最佳化設計上。在此一方法中包括有:Baumgartner、Harzheim 和 Mattneck[11]於 1992 年提出的SKO(Soft Kill Option)方法，1995 年由日本學者伊能教夫等人[12-13]提出的自己組織化方法(Self Organization Method)等。

而在三維結構的拓樸設計方面，除了可參考二維拓樸設計的方法，近年來其研究亦逐漸增加[14-17]。

三、自己組織化方法介紹

自己組織化方法的概念是在每執行完一次有限元素分析之後，模型中的每一個元素，依照本身的應力值及整個模型的平均應力值修正其楊氏係數，因此除了第一次分析之外，在每一次的分析之中，可能模型中的每一個元素的楊氏係數都不一樣。而在疊代的過程之中，應力值較高的元素都一直維持高的楊氏係數；表示這個區域會承受高應力，因此這部分的材料必須予以保持；相對的，應力值較低的元素，即表示是承受低應力的區域，其楊氏係數可能一直變小，直到小於某個數值之後，這個元素即被刪除，成為空洞。以此方式即可達成拓樸結構的最佳化設計，詳細之自己組織化方法演算流程如圖二所示。而數學模式則如下所示：

)1(1[)()1( −+=+

c

tt EEσσα

其中 )1( +tE 與 )( tE 代表進行第 t+1 次及第 t 次有限元素分析時的楊氏係數，σ 為 Von Mises 應力，α 為比例常數，而σ 為目標應力值，其與楊氏係數之關係如下式所示：

]}1[1{0

0 −⋅+=

−⋅

EEE

a

cc ebσσ

)(1

1

)(2

02

0121

2

1

EEwhene

baa

EEwhene

baa

a

a

<−

==

≥==

−

−

其中 0E 為初始的楊氏係數，而 0cσ 是初始時由有限元素法所求得的 Von Mises 應力平均值。

以自己組織化方法進行求解的過程中，灰色區域的元素將難以判斷應予以刪除或保留，因此在疊代的過程中需盡量減少灰色元素的產生。上式的 1a 與 2a 均為使用者自行選擇之參數，其主要作用即欲使楊氏係數呈現非線性分佈，使各個元素的楊氏係數往極大或極小的值趨近，同時為了能使得最終的拓樸圖形的材料分佈量能被控制，需再加入一個楊氏係數上下極值的限定機制，以期能對體積作有效約束，如下式所示：

(1) 若 E > 3E0，則 E = Emax = 3 E0(2) 若 E < 0.3 E0，則 E = Emin = 10-7 E0

同時訂定體積殘留率如下：

3

allNNNN 321 2.05.0 ×+×+

=β

其中 N1 代表楊氏係數值介於 200Gpa 與300Gpa 之元素個數，N2, N3, N4 各代表楊氏係數值為 100~200, 30~100, 10-5~30GPa之元素個數。而欲對面積殘留率進行操作則使用下列方式：

(1) 若 robj e+> ββ ，則 δσσ += 00 cc ，一直反覆疊代直至 robjrobj ee +≤≤− βββ

(2) 若 robj e+< ββ ，則 δσσ −= 00 cc ，一直反覆疊代直至 robjrobj ee +≤≤− βββ

其中 objβ 為目標體積殘留率， re 為殘留率設定誤差，在此訂為 0.5%，δ 為目標應力初始初始值變化量，在此訂為 0.01Pa。

四、演算過程

射出機的固定模板基本形狀如圖三所示，中間需有一個大圓孔以供料管頭穿過固定模壁，接觸模具進行射出；邊緣亦需有四個小圓孔以穿過歌林柱(Tiebar)，因此欲進行固定模板的拓樸形狀最佳化時，輸入的初始模型中就必須包含這五個圓形空孔；另外，若忽略模板底部的兩隻固定腳的小差異，則基本上此有限元素分析運算的邊界條件為上下左右對稱，因此初始輸入模型僅需取模板的四分之一即可，如圖三的黃線所示，而在此模板的邊界條件中，若只取四分之一模型，則模板左側面的所有元素因對稱關係，其 x 軸向移動自由度將被剝奪；同樣地，模板下側面所有元素的 y 軸向移動自由度亦被剝奪。

在固定模板的受力方面，在射出過程中，為防止模具因塑料的射入壓力作用而被撐開，模板需作用一鎖模力於模具上，同時模具亦產生一反作用力於模板上，此力的作用區域含括了模板中央圓孔周圍的一個正方形區域；另外，共有四根歌林柱將穿過模壁的周圍四個圓孔並鎖上螺帽，四個螺帽在模板邊緣四個圓孔的外圍區域與模板接觸，產生與模具作用於模板之力大小相等、方向相反的力量，以抵銷該作用力。因此全部四分之一模板形狀，包含邊界條件及負荷的初始有限元素模型如圖

四所示。在此初始模型中共包括了 4560 個元

素及 5824 個節點，有限元素的計算部分使用 ANSYS 5.7 軟體，同時為達到自動化目的，亦利用 C 語言撰寫程式，接收 ANSYS的輸出結果，進行自己組織化的數學運算，重新給定每一元素的楊氏係數，然後自動寫成新的 ANSYS 輸入檔，進行下一次的有限元素分析，如此一直疊代，直到整個模型的面積殘留率達到要求再跳出迴圈，輸出結果。由於 C 語言程式的幫助，整個過程已都完全自動化。

在經過了 57 次疊代之後，整個模板的面積殘留率達到了設定的 35%，其剩餘材料的分佈圖形如圖五所示，由圖中的等角視圖可以發現，在厚度方向上，模板中間部位相當多的元素已經消失，但在最外兩層上尚殘留很多元素，因此前視圖所看到的是最外層的形狀，必須把外層元素隱藏起來，才能看見內部真正的最佳拓樸形狀，圖六則為隱藏外層元素後的圖形。

五、結果與討論

由圖六的正面圖可以很明顯的看出，經過自己組織化方法運算之後，在欲降低模板變形又不增加材料量的雙重考慮下，此固定模板的最佳拓樸形狀約略是從邊緣四個圓孔各拉出兩支加強肋一直延伸至中央圓孔，如紅色線條所示。將此形狀與現有商業機種作比較可有如下之討論：

一般而言在現有的商業機種設計上，從邊緣四個圓孔延伸出加強肋至中央圓孔是普遍認為較佳的材料分佈方式，但是在該使用幾支加強肋方面則各有定見，基本上除了兩支以上的加強肋方式較少被使用以外，一支肋及兩支肋的設計方式均有相當多廠家使用，圖七為使用一支加強肋的現有商業機種；圖八則為使用兩支加強肋的機器，目前上無人對此兩種方式孰優孰劣做過比較。

而從本研究的執行結果看來，固定模板最佳拓樸形狀是使用兩支加強肋從邊緣四個圓孔延伸至中央圓孔，但此結果是否即表示兩支肋的設計優於一支肋的設計則尚須進行有限元素的比較分析方可確認。

4

六、參考文獻

[1] O.C. Zienkiewicz and J.S. Campbell, "Shape Optimization and Sequential Linear Programming", in Optimum Structural Design, (R.H. Ballagher and O.C. Zienkiewicz, eds.), Wiely, New York, pp.109-126, 1973.

[2] R.T. Haftka and R.V. Grandhi, "Structural Shape Optimization - A Survey", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.57, pp.91-106, 1986.

[3] Y. Ding, "Shape Optimization of Structures: A Literature Survey", Computer & Structures, Vol.24, No.6, PP.985-1004, 1986.

[4] J.A. Bennett and M.E. Botkin, The Optimum Shape: Automated Structural Design, Plenum Press, New York, 1986.

[5] 洪英達，“高階有限單元方法於模擬生物生長的形狀最佳設計研究”，碩士論文，國立成功大學機械工程學系，1997.

[6] M.P. Bendsφe and N.Kikuchi, "Generating Optimal Topologies in Structural Design Using a Homogenization Method", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.71, No.2, pp.197-224, 1988.

[7] H.P. Mlejnek and R. Schirrmacher, "An Engineer's Approach to Optimal Material Distribution and Shape Finding", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 106, No. 1-2, pp.l-26, 1993.

[8] S. Burkhardt and C.Mattheck, "A New Method of Structural Shape Optimization Based on Biological Growth", International Journal of Fatigue, Vol. 12, No.3, pp.185-190, 1990.

[9] J.L. Chen and W.C. Tsai, "Shape Optimization by Using Simulated Biological Growth Approaches", AIAA Journal, Vol.31, No.11, pp.2143-2147, 1993.

[10] 陳家豪，黃崇銘，“模擬生物成長變形的形狀最佳化設計方法研究”，中國機工程學會第十 二 屆 學 術 研 討 會 論 文 集 ， 嘉 義 縣 ，pp.86l-867，民國 84 年 1 月.

[11] A Baumgartner, L. Harzheim and C. Mattheck, "SKO (Soft Kill Option): The Biological Way to Find an Optimum Structure Topology", International Journal of Fatigue, Vol. 14, No.6, pp.387-393, 1992.

[12] 依能教夫，上杉武文，“Cellular Automation Self-Organizing the Mechanical Structure (Generation of various Types of Topological Structures and a Comparison)”，日本機械學會論文集(A 編) ，61 卷 585 號，pp.241-246,1995. (in Japanese)

[13] 依能教夫，千平其子，小林弘樹，“Cellular Automation Self-Organizing a Mechanical Structure (Behavior of System Generated by Local Rules)”，日本機械學會論文集(A 編)，61 卷

586 號，pp.272-278, 1995. (in Japanese)[14] J. Rodriguez-Velazquez and A.A. Seireg,

"Optimizing the Shapes of Structures Via a Rule-Based Computer Program", Computers in Mechanical Engineering, pp.20-28, 1985.

[15] M. Chirehdast, S. Sankaranarayanan, S.D. Ambo and R.P. Johanson, "Validation of Topology Optimization for Component Design", AIAA Journal, pp. 132-137, 1994.

[16] GC.A. DeRose Jr. and A.R. Diaz, "Hierarchical Solution of Large-Scale Three-Dimensional Topology Optimization Problems", Proceedings of the 1996 ASME Design Engineering Technical Conference and Computers in Engineering Conference, Irvine, California, 96-DETC/DAC-1486, August 18-22,1996.

[17] A Diaz and R. Lipton, "Optimal Material Layout for 3D Elastic Structures", Structural Optimization, Vol.l3, pp-60-64, 1997.

圖一 固定模板受力示意圖

圖二 極端兩極化自我組織化方法流程圖

5

圖三 固定模板基本形狀

圖四 四分之一固定模板有限元素模型

圖五 拓樸最佳化執行結果(含表層元素)

圖六 拓樸最佳化執行結果(不含表層元素)

圖七 使用一支加強肋的商用射出機

圖八 使用兩支加強肋的商用射出機

6

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 射出成型機模板結構之拓樸最佳化設計研究 ※※ The Study of Topology Optimum Design for Platen Structure ※※ of Plastic Injection Machine ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※

計畫類別：■個別型計畫 □整合型計畫

計畫編號：NSC 89－2218－E－168－003－

執行期間： 89 年 08 月 01 日至 90 年 07 月 31 日

計畫主持人：孫書煌

共同主持人：陳家豪

計畫參與人員：楊忠潔、胡晉誠

本成果報告包括以下應繳交之附件：□赴國外出差或研習心得報告一份□赴大陸地區出差或研習心得報告一份□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

執行單位：崑山科技大學機械工程學系

中 華 民 國 90 年 10 月 16 日