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新潟大学理学部数学科

（大学院自然科学研究科数理物質科学専攻）

田 中 環（TANAKA, Tamaki ）Graduate School of Science and Technology,

Niigata University, Japan

凸解析学と最適化が果たす役割Roles and effects of

Convex Analysis and Optimization

新潟大学理学部数学科ゼミ紹介2017年11月22日(水) （4限）

Nov 22 (Wed), 2017

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「凸性」の概念は線形と非線形の橋渡し

「最適化」とは人間が数学を使って社会をよりよくする際に具現化されたもの

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リリリリリリリリリ ID rId2 リリリリリ リリリリリリリリリリリリリリリリリリ

凸集合と凸関数Convex set and convex function

凸集合は半空間の共通部分として表現でき，凸関数はアフィン関数の点別上限関数として表現できる。

が成り立つ。

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凸（convexity）とは？

凸性の概念は線形と非線形の橋渡し

Convexity acts as a bridge between linearityand nonlinearity

10 allfor )1( <<∈−+ λλλ AyxA

yx )1( λλ −+

x

y

ベクトル空間 のある集合 が凸（凸集合）であるとは，任意の と に対して，その２点を結ぶ線分(line segment) がその集合に含まれる時をいう。つまり，

X AAx∈ Ay∈

が成り立つ。この がすべての実数に対して成り立つ時，つまり，その２点を通る直線がその集合の中に含まれているならば，集合 は線形性を持つ（アフィン集合である）という。

A

λ

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分離定理 (Separation theorem)

共通部分を持たない２つの凸集合は超平面で分離される。

Two convex sets can be separated by a hyper-plane.

ハーン・バナッハの定理(Hahn-Banach)

凸集合の分離定理(Separation theorem)

を見つけることが可能となる関数 allfor

fxxpxf )()( ≤

φ=BABA sets,convex ,

Under some conditions, e.g., closedness or openness

のグラフ劣線形関数 )(xpy =

のグラフ線形関数 )(xfy =

)hyperplane (a H

A

B

)(xf

)(yf

x yyx )1( λλ −+2017/11/25 7

凸関数（convex function）とは？

その関数のエピグラフが凸集合となっている場合。

A function is said to be “convex”if the epigraph of the function is a convex set.ベクトル空間 のある凸集合 で定義されたある実数値関数 が凸（凸関数）であるとは，

任意の と に対して， となるすべての に対して，以下が成り立つ時をいう。λ

X A

Ax∈ Ay∈f

10 << λ

{ }axfaxf ≤= )(),(:)(epi)()1()( ))1(( yfxfyxf λλλλ −+≤−+

のグラフ関数 f

（例）

),max(),(,),(,),(

,)(,)(

3

222

1

2

yxyxfyxyxfyxyxf

xxgxxf

=+=+=

==

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linear（線形）, sublinear（劣線形）, seminorm （セミノルム）, norm （ノルム）, convex functions（凸関数）

のグラフ２変数関数 ),( yxfz =のグラフ関数 )(xfy =

linear（線形）

sublinear（劣線形）

seminorm （セミノルム）

norm （ノルム）

convex function（凸関数）

norm （ノルム） convex （凸関数）

linear（線形）sublinear,（劣線形）seminorm（セミノルム）

数学の最近の発展方向

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• 線形から非線形へ

– 従来の数学が活躍する分野では，線形性に基づいて理論を組み立てることが多かったと思うが，最近の数学の発展やコンピュータの発達により非線形の構造を取り扱うようになった。

• 非線形解析学，凸解析学と最適化

– 関数解析学などの分野も次第に非線形の内容を含むように発展し，その分野が拡大している。凸解析学は，ロッカフェラーが1970年にまとめた凸集合と凸関数に関する数学理論である。これらの数学の解析理論が数理計画などの最適化と結びつき発展してきている。

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ORと数理計画と最適化OR, mathematical programming and

optimization

オペレーションズ・リサーチ（OR）とは，様々な環境や時間とともに変化する状

況で，最適な方策を導くために，数学や統計学を用いた数理的なモデルを分析し，アルゴリズムを構築して最も効率的になるような決定を導く科学的技法です。

OR的な問題解決手法には，数理計画などの従来の手法に加えて，人工知能，エキスパートシステム，システム理論，ファジィ理論，ニューロ，遺伝アルゴリズムのようなメタヒューリスティックスなどが考案されて実用化されてきています。

当研究室では，多目的最適化を基本として，凸解析学を基礎から学びながら集合最適化（Set Optimization）や集合値最適化（Set-valued Optimization）について研究しています。

田中研究室で行っている研究テーマ

最適化とは人間が数学を使って社会をよりよくする際に具現化されたもの

Motivation on set optimization

How can we treat a practical (direct) Preference orderbetween sets?

―real numbers can be compared with each other, and vectors can be compared by a similar partial ordering, but how about comparison of sets?

―for example, we consider evaluations on power-indices of sport teams or activity-indices of classrooms at high schools, etc. Such kind of indices seems to be a set.

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For example, 5.22 <

For example,

≤

52

21

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successful rebounds

successful shoots

A B

What kind of evaluation rule or preference order is reasonable between the teams A and B? If you were a key person of this decision-making, what opinion do you have?

Evaluation on power-indices of basketball teams

Defensive skill

Offensive skill

(Evaluation on playing skill)

田中研究室のメンバーとゼミでの活動（2016年～2017年）

研究室で４年生と台湾留学生とボーリング後，朱鷺メッセに行った。（１０月）

研究室でタイの留学生を連れてスキーに行った。（３月）

劉・田中研究室でJSRC2017でスキー旅行。（２月）

研究室の花見（４月） 台湾の留学生と一緒に村松公園の花見（４月）

国際会議を新潟で開催し，田中・山田ゼミの学生が活躍した。（2016年8月）

北海道で開催された国際会議NACAで，

田中ゼミの院生が発表した。（2017年7月）

スキー帰りの食事（２月）