Equa%E7%E3o Da Difus%E3o de Calor

Transferência de Calor I Prof. Strobel

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Transferência de Calor I Equação da difusão de calor

Por

Christian Strobel

"Existem três jeitos de fazer as coisas: o jeito certo, o jeito errado,

e o meu jeito, que é igual ao jeito errado, só que mais rápido.”

- Homer Simpson

1. A equação da difusão de calor – Coordenadas Cartesianas

Um dos objetivos principais da análise de condução de calor é determinar o campo de

temperatura em um meio resultante da imposição de condições em suas fronteiras. Uma vez

conhecida essa distribuição, o fluxo de calor por condução em qualquer ponto do meio ou na

superfície pode ser determinado através da Lei de Fourier.

Considere um meio homogêneo no interior do qual não existe movimento (advecção) e onde

a distribuição de temperatura T(x,y,,z) está representada em coordenadas cartesianas.

Inicialmente, definimos um volume de controle infinitesimal, dx-dy-dz, conforme mostrado na

figura abaixo. Se existirem gradientes de temperatura, transferência de calor por condução irá

acontecer através de cada superfície de controle.



As taxas de transferência de calor por condução perpendiculares a cada uma das superfícies

de controle nos pontos com coordenadas x, y, z são indicadas pelos termos qx, qy e qz,

respectivamente. As taxas de transferência de calor por condução nas superfícies opostas podem

então ser expressas através de uma expansão em série de Taylor onde, desprezando-se os termos

de ordens superiores, tem-se:

No interior do meio pode haver ainda um termo para representar uma fonte de energia, que

está associado a taxa de geração de energia térmica no volume de controle. Essa taxa é

representada por:

Onde é a taxa na qual a energia é gerada por unidade de volume do meio (W/m3). Além

disso, podem ocorrer variações na energia interna térmica acumulada pela matéria no interior do

volume de controle. O termo referente a taxa de acúmulo de energia, considerando ρ e Cp

constantes, pode ser escrita da seguinte forma:

Onde

é a taxa de variação de energia sensível do meio com o tempo, por unidade de

volume.

Com base nas taxas, a forma geral da conservação de energia se torna:

Substituindo as equações anteriores, tem-se



Utilizando as expansões de Taylor, a expressão se resume a:

Utilizando a lei de Fourier, tem-se:

,

,

Por fim, substituindo as equações anteriores chega-se a equação da difusão de calor:

(

)

(

)

(

)

A equação acima é a forma geral, em coordenadas cartesianas, da equação da difusão de

calor. Essa equação, usualmente conhecida como a equação de calor, fornece a ferramenta básica

para a análise da condução de calor. A partir de sua solução, podemos obter a distribuição de

temperatura T(x,y,z) como uma função do tempo.

Algumas simplificações possíveis, dependendo do caso analisado:

Se k=cte. α é a difusividade térmica do material:

(

) Se k=cte e regime permanente

Se k=cte, unidimensional e regime permanente

(

) Se unidimensional, regime permanente e sem geração de energia térmica



1.1. Condições de contorno

Para determinar a distribuição de temperatura em um meio, é necessário resolver a

forma apropriada da equação de calor. No entanto, tal solução depende das condições físicas

existentes nas fronteiras do sistema. Várias são as possibilidades, porém as mais comuns são

mostradas na figura abaixo.

2. A equação da difusão de calor – Coordenadas Cilíndricas

A equação da difusão de calor em coordenadas cilíndricas segue o mesmo princípio de

dedução que a equação para coordenadas cartesianas. Porém, como a sua utilização não é tão



ampla, será apenas mostrada. Neste curso ficaremos focados em coordenadas cartesianas. A

dedução na íntegra pode ser acompanhada no capítulo 2 do livro texto.

(

)

(

)

(

)

3. A equação da difusão de calor – Coordenadas Esféricas

A equação da difusão de calor em coordenadas esféricas segue o mesmo princípio de dedução

que as equações para coordenadas cartesianas e cilíndricas. Porém, como a sua utilização não é

tão ampla, será apenas mostrada. Neste curso ficaremos focados em coordenadas cartesianas. A

dedução na íntegra pode ser acompanhada no capítulo 2 do livro texto.

(

)

(

)

(

)



3.1. Exemplo

Observa-se que a distribuição de temperatura, em regime permanente, no interior de uma

parede unidimensional com condutividade térmica de k = 50 W/m.K e espessura de 50mm tem a

forma T(°C) = 200 – 2000.x2, onde x está em metros.

(a) Qual a taxa de geração de calor volumétrica na parede?

(b) Determine os fluxos de calor nas duas faces da parede (x = 0 e x = L)

3.2. Condução de calor unidimensional em regime permanente sem geração de calor

Na condução de calor unidimensional em uma parede plana, a temperatura é uma função

somente de uma coordenada espacial, x, e o calor é transferido exclusivamente nesta direção.

Na figura abaixo, uma parede plana separa dois fluidos, que se encontram em diferentes

temperaturas. A transferência de calor ocorre por convecção do fluido quente para a superfície da

parede a Tsup-1, por condução através da parede e por convecção da outra superfície da parede a

Tsup-2, para o fluido frio do outro lado.

A distribuição de temperatura na parede pode ser determinada através da solução da equação

de calor com as condições de contorno pertinentes. Para condições de regime permanente, sem a

presença de fontes ou sorvedouros de calor no interior da parede, a forma adequada da equação

de calor é:

(

)



Ou seja,

Se a condutividade térmica do material for considerada constante, a equação acima pode ser

integrada duas vezes, obtendo-se a solução geral:

As constantes de integração, são determinadas utilizando as condições de contorno

apropriadas. Optando pela adoção de condições de contorno de primeira espécie em x=0 e x=L,

tem-se:

Substituindo a condição em x=0 na solução geral, tem-se:

Análogamente em x=L, tem-se

Ou ainda

Substituinda na solução geral, chega-se a

( )

A partir desse resultado, fica evidente que, na condução de calor unidimensional em regime

permanente em uma parede plana sem geração de energia térmica e com condutividade térmica

constante, a temperatura varia linearmente com x.

3.3. Condução de calor unidimensional em regime permanente com geração de calor

Até o momento, analisamos problemas de condução térmica nos quais a distribuição de

temperatura em um meio era deterinada apenas pelas condições de contorno em sua fronteira.



Agora, queremos analisar o efeito adicional que processos, que podem ocorrer no interior do

meio, tem sobre a distribuição de temperatura neste meio. Em particular, desejamos analisar

situações nas quais energia térmica está sendo gerada no interior pela conversão de uma outra

forma de energia, sendo a mais comum a energia elétrica, dada pela expressão:

3.3.1. A parede plana

Seja a parede plana da Figura abaixo onde existe a geração uniforme de energia térmica por

unidade de volume e as superfícies são mantidas em Tsup1 e Tsup2. Para uma condutividade

térmica contante, a forma apropriada da condução de calor é:

E a solução geral para essa equação é:

Onde C1 e C2 são as constantes de integração, e dependem das condições de contorno.

O fluxo de calor em qualquer ponto da parede pode ser determinado pelo uso desta equação

em conjunto com a lei de Fourier. Note que, com a geração interna de calor, o fluxo de calor não

é mais independente de x.

De maneira geral, é importante lembrar da definição da geração de calor:

Desta forma, uma relação muito útil é:

Ou seja, a geração de calor de determinada parede, multiplicada pela espessura deste

material, é igual ao fluxo de calor total dissipado pela mesma.

3.3.2. Exemplo

Uma parede plana composta possui duas camadas de materiais, A e B. A camada de

material A possui uma geração de calor uniforme

, condutividade térmica kA=75



W/m.K e espessura LA = 50mm. A camada de material B não apresenta geração de calor,tem

condutividade térmica kB=150W/m.K e espessura LB = 20mm. A superfície interna da parede

(material A) está perfeitamente isolada, enquanto a superfície externa (material B) é resfriada por

uma corrente de água com T∞=30°C e h=1000 W/m2K. Determine a temperatura da superfície

isolada e a temperatura da superficie resfriada.

3.3.3. Exercícios propostos

1) Uma parede plana, com espessura de 0,1m e condutividade térmica de 25 W/mK,

apresenta uma taxa de geração de calor uniforme de 0,3 MW/m3 e está isolala em um de seus

lados, enquanto o outro encontra-se exposto a um fluido a 92°C. O coeficiente de transferência de

calor por convecção entre o fluido e a parede é de 500 W/m2K. Determine a temperatura máxima

da parede.

2) Seja a condução térmica unidimensional em uma parede plana composta. Suas superfícies

externas estão expostas a um fluido a 25°C com um coeficiente de transferência de calor por

convecção de 1.000 W/m2K. Na parede intermediária B há geração uniforme de calor a uma taxa

, enquanto não existe geração nas paredes A e C. As temperaturas nas interfaces são de

T1=261°C e T2=211°C. Sabendo que kA = 25 W/m.K, kC=50 W/m.K, LA = 30mm, LB = 60mm,

LC = 20mm e supondo resistência de contato nula entre as paredes, determine a geração uniforme

de calor e a condutividade térmica kB.

3) Um elemento de combustível nuclear, com espessura 2L, é coberto com um revestimento

de aço que possui uma espessura b. O calor gerado no interior do combustível, a uma taxa , é

removido por um fluido a T∞, que se encontra em contato com uma das superfícies. O coeficiente

de convecção nesta superfície é h. A outra superfície escontra-se isolada termicamente. O

combustível e o aço possuem condutividades térmicas kc e ka, respectivamente.

a) Obtenha uma equação para a distribuição de temperatura T(x) no combustível nuclear.

Expresse seus resultados em termos das constantes informadas no enunciado.

b) Esboce a distribuição de temperatura em todo o sistema.



4) Ar no interior de uma câmara a T∞i = 50°C é aquecido por convecção, com hi = 20

W/m2K, através de uma parede de 200mm de espessura, condutividade térmica de 4 W/m.K e

com geração uniforme de calor a uma taxa de 1.000 W/m3. Para evitar que o calor gerado no

interior da parede seja perdido para o lado de fora da câmara, a T∞e = 25°C e com he = 5 W/m2K,

um aquecedor elétrico delgado é colocado sobre a superfície externa da parede para fornecer um

fluxo térmico uniforme, q”e.

a) Calcule as temperaturas nas superfícies da parede e esboce estas temperaturas para uma

condição onde nenhum calor gerado seja perdido para fora do sistema;

b) Determine o fluxo de calor que deve ser fornecido ao aquecedor para que todo o calor

gerado na parede seja transferido para dentro do sistema.





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