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Equações de Maxwell; Magnetismo da Matéria
Cap. 32
Copyright © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
32-1 Lei de Gauss para Campos Magnéticos
A lei de Gauss para campos magnéticos é uma
maneira formal de dizer que monopolos magnéticos
não existem. A lei assegura que o fluxo magnético
líquido ΦB através de qualquer superfície
Gaussiana fechada é zero:
Lembrando que para campos elétricos a lei de
Gauss é,
Quando partimos
um ímã em
pedaços, cada
pedaço se torna
um ímã completo,
com um polo norte
e um polo sul.
As linhas de campo do
campo magnético B de
um ímã em forma de
barra. As curvas
vermelhas representam
seções retas de
superfícies gaussianas
tridimensionais.
A lei de Gauss para campos magnéticos diz
que não pode haver fluxo magnético líquido
através da superfície porque não pode haver
“carga magnética” líquida (polos magnéticos
individuais) encerrada pela superfície.
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A estrutura magnética mais simples que existe é o dipolo magnético.
Não existem (até onde sabemos) monopolos magnéticos.
32-2 Campos Magnéticos Induzidos
Um fluxo elétrico variável induz um campo magnético B. A Lei
de Maxwell,
relaciona o campo magnético induzido em uma curva fechada
à variação do fluxo elétrico ϕE envolvido pela curva.
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Carga de um Capacitor.
Como exemplo desse tipo de indução, considere a carga
de um capacitor de placas paralelas com placas
circulares. Suponha que a carga do capacitor esteja
aumentando a uma taxa constante graças à existência
de uma corrente constante i nos fios de ligação. Nesse
caso, o módulo do campo elétrico entre as placas
também está aumentando a uma taxa constante.
32-2 Campos Magnéticos Induzidos
Um fluxo elétrico variável induz um campo magnético B. A Lei
de Maxwell,
relaciona o campo magnético induzido em uma curva fechada
à variação do fluxo elétrico ϕE envolvido pela curva.
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Carga de um Capacitor (continução).
A Fig. (b) mostra a placa da direita da Fig. (a) do ponto
de vista da região entre as placas. O campo elétrico
aponta para dentro do papel. Considere uma
circunferência passando pelo ponto 1 das Figs. (a) e (b),
concêntrica com as placas do capacitor e com um raio
menor que o raio das placas. Como o campo elétrico que
atravessa a circunferência está variando, o fluxo elétrico
também varia. De acordo com a Eq. acima, essa
variação do fluxo elétrico induz um campo magnético ao
longo da circunferência.
32-2 Campos Magnéticos Induzidos
Lei de Ampere-MaxwellA Lei de Ampere,
fornece o campo magnético gerado por uma corrente ienv
envolvida pela curva fechada.
Assim, as duas equações (a outra sendo a Lei de Maxwell)
que especificam o campo magnético B produzido por outros
meios que não um material magnético (ou seja, por uma
corrente e por um campo elétrico variável) fornecem o
campo exatamente da mesma forma. Podemos combinar as
duas equações em uma única:
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Quando existe uma corrente e o fluxo elétrico não está variando (como no caso de um fio
percorrido por uma corrente constante), o primeiro termo do lado direito da Eq. é zero e,
portanto, a Eq. se reduz à Lei de Ampère. Quando o fluxo elétrico está variando e a corrente é
zero (como na região entre as placas de um capacitor que está sendo carregado), o segundo
termo do lado direito da Eq. é zero e a Eq. se reduz à lei de indução de Maxwell.
32-3 Corrente de Deslocamento
Comparando os dois termos do lado direito da Eq. (lei de Ampere-Maxwell), vemos
que o produto ε0(dϕE/dt) tem dimensões de corrente elétrica. Na verdade, o produto
pode ser tratado como uma corrente fictícia conhecida como corrente de
deslocamento e representada pelo símbolo id:
A Lei de Ampere-Maxwell então se torna,
onde id,env é a corrente de deslocamento envolvida pela amperiana.
Lei de Ampere-Maxwell
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32-3 Corrente de Deslocamento
(a) Antes e (d) depois que as placas são
carregadas, não há campo magnético. (b)
Durante a carga, um campo magnético é criado
tanto pela corrente real como pela corrente de
deslocamento (fictícia). (c) A regra da mão
direita pode ser usada para determinar a
orientação do campo magnético produzido
pelas duas correntes.
Determinação do Campo Mag. induzido:
Como vimos no Capítulo 29, a orientação
do campo magnético produzido por uma
corrente real i pode ser determinada com o
auxílio da regra da mão direita. A mesma
regra pode ser usada para determinar a
orientação do campo magnético produzido
por uma corrente de deslocamento id,
como se vê na parte central da Fig. (c).
Então, como feito anteriormente, o módulo
do campo magnético num ponto dentro do
capacitor num raio r a partir do centro é
O módulo do campo magnético num ponto
fora do capacitor num raio r é
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32-3 Corrente de Deslocamento
As quatro equações fundamentais do eletromagnetismo, chamadas de
Equações de Maxwell, estão dispostas na tabela abaixo.
Estas quatro equações explicam uma gama diversa de fenômenos, de porque
a agulha de uma bússola aponta para o norte, até porque a partida do motor
do carro é possível. Elas são a base para o funcionamento destes dispositivos
eletromagnéticos como motores elétricos, emissores e receptores de sinais de
TV, telefones, scanners, radar, e fornos de micro-ondas.
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32-4 Magnetos
A Terra é um grande ímã; em pontos próximos da
superfície terrestre, o campo magnético se
assemelha ao campo produzido por um gigantesco
ímã em forma de barra (um dipolo magnético) que
atravessa o centro do planeta. A Figura é uma
representação idealizada desse campo dipolar, sem
a distorção causada pelo vento solar.
A orientação do campo magnético em um ponto
qualquer da superfície da Terra é normalmente
especificada por dois ângulos. A declinação do
campo é o ângulo (à esquerda ou à direita) entre o
norte geográfico (isto é, a direção da latitude 90o) e
a componente horizontal do campo. A inclinação do
campo é o ângulo (para cima ou para baixo) entre
um plano horizontal e a direção do campo.
O campo magnético da Terra
representado como o campo
de um dipolo. O eixo do dipolo,
MM, faz um ângulo de 11,5°com o eixo de rotação da
Terra, RR. O polo sul do dipolo
está no Hemisfério Norte.
O Magnetismo da Terra
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32-5 Magnetismo e Elétrons
Momento Dipolar Magnético de Spin. Um elétron possui um momento angular
intrínseco conhecido como momento angular de spin (ou simplesmente spin) S;
associado a este spin, existe um momento dipolar magnético de spin μs.
(Intrínseco é usado para dizer que S e μs são características básicas de um
elétron) Os vetores S e μs estão relacionados por
onde e é a carga elementar (1,60 × 10-19 C) e m é a massa
de um elétron (9,11 × 10-31 kg). O sinal negativo significa
que μs e S estão em sentidos opostos.
Para uma medida ao longo de um eixo z, a componente Sz
pode ter somente valores dados por
para ms= ±½
Similarmente onde μB é o magneton de Bohr:
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32-5 Magnetismo e Elétrons
Energia. Quando um elétron é submetido a um campo
externo Bext, uma energia U pode ser associada à orientação
do momento dipolar magnético de spin μs do elétron, da
mesma forma como uma energia pode ser associada à
orientação do momento magnético dipolar de uma espira
percorrida por corrente submetida a um campo Bext.
A energia orientacional do elétron é
Onde o eixo z é tomado como na direção de Bext.
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Momento Dipolar Magnético de Spin. Um elétron possui um momento angular
intrínseco conhecido como momento angular de spin (ou simplesmente spin) S;
associado a este spin, existe um momento dipolar magnético de spin μs.
(Intrínseco é usado para dizer que S e μs são características básicas de um
elétron) Os vetores S e μs estão relacionados por
32-5 Magnetismo e Elétrons
Momento Dipolar Magnético Orbital. Quando faz parte de um átomo, um
elétron possui um momento angular adicional que recebe o nome de momento
angular orbital Lorb. Associado a Lorb existe um momento magnético dipolar
orbital μorb. A relação entre as duas grandezas é a seguinte:
O sinal negativo significa que μorb e Lorb têm sentidos opostos.
O momento angular orbital é quantizado e pode apenas assumir
os valores medidos dados por
para ml=0, ±1, ±2, …, ±(limite)
O momento dipolar magnético orbital (comp. z) é dado por
A energia U associada com a orientação do momento dipolar magnético orbital em
um campo magnético externo Bext é
Um elétron se movendo
com veloc. cte. v numa
traj. circular de raio r que
envolve uma área A.
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32-6 Diamagnetismo
Levitação da rã: A rã da Figura é diamagnética, como
todos os animais. Quando a rã foi colocada em um
campo magnético divergente perto da extremidade
superior de um solenoide vertical percorrido por corrente,
todos os átomos da rã foram submetidos a uma força
que apontava para cima, ou seja, para longe da
região de forte campo magnético existente nas
vizinhanças do solenoide. Com isso, a rã foi deslocada
para uma região de campo magnético mais fraco; nessa
região a força magnética era apenas suficiente
para equilibrar o peso da rã, e ela ficou suspensa no ar.
A rã não sentiu nenhum incômodo, já que todos
os átomos do seu corpo foram submetidos praticamente
à mesma força. © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
32-7 Paramagnetismo
Materiais paramagnéticos possuem átomos com momento dipolar magnético
permanente, mas os momentos estão alinhados aleatoriamente, sem momento
líquido, a menos que o material esteja em um campo mag. externo Bext, onde os
dipolos tendem a se alinhar. A extensão do alinhamento com no volume V é medida
como a magnetização M, dada por
O alinhamento total (saturação) de todos os N dipolos
no volume apresenta um valor máximo Mmax = Nμ/V.
Para valores baixos da razão Bext /T,
onde T é a temperatura (em kelvins) e C é a constante de Curie do material.
Na presença de um campo magnético não uniforme, os materiais paramagnéticos
são submetidos a uma força que os aproxima da região em que o campo magnético
é mais intenso. © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
32-8 Ferromagnetismo
Um anel de Rowland. A bobina
primária P tem um núcleo feito do
material ferromagnético a ser
estudado (ferro, no caso). O núcleo
é magnetizado por uma corrente iPaplicada pela bobina P. (As espiras
da bobina estão representadas por
pontos.) A magnetização do núcleo
determina a intensidade do campo
magnético total B no interior da
bobina P. O campo B pode ser
medido usando uma bobina
secundária S.
Os momentos dipolares magnéticos num material ferromagnético
poder ser alinhados por um campo magnético externo e então,
depois do campo removido, permanecer parcialmente alinhado
em regiões conhecidas como domínios magnéticos.
Micrografia da distribuição de domínios
magnéticos em um monocristal de
níquel; as linhas brancas mostram as
paredes dos domínios. As setas brancas
traçadas na fotografia mostram a
orientação dos dipolos magnéticos
dentro de cada domínio e, portanto, a
orientação do dipolo magnético total de
cada domínio. O cristal como um todo
não apresenta magnetização espontânea
se o dipolo magnético total da amostra
(soma vetorial dos dipolos magnéticos de
todos os domínios) for igual a zero.
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32-8 Ferromagnetismo
A falta de repetitividade mostrada na Figura
ao lado recebe o nome de histerese, e a
curva bcdeb é chamada de laço de histerese
(hysteresis loop). Observe que nos pontos
c e e a amostra de ferro está magnetizada,
embora não haja corrente no enrolamento
do toroide; esse é um exemplo de
magnetismo permanente.
A histerese pode ser compreendida a partir do conceito de domínios magnéticos. Os
resultados experimentais mostram que o movimento das paredes dos domínios e a
reorientação da direção dos domínios não são fenômenos totalmente reversíveis.
Quando o campo magnético B0 é aumentado e depois reduzido novamente ao valor
inicial, os domínios não voltam à configuração original, mas guardam certa “memória”
do alinhamento que possuíam após o aumento inicial. A memória dos materiais
magnéticos é essencial para o armazenamento de informações em meios
magnéticos. © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
32 Sumário
Lei de Gauss para C. Magnét. • Lei de Gauss para c. magnéticos,
Eq. 32-1
Corrente de Deslocamento• Definimos a corrente de
deslocamento fictícia devido a um
campo elétrico variável como
• Equação 32-5 então se torna
Eq. 32-10A Extensão de Maxwell para a
Lei de Ampere• Um campo elétrico oscilante induz
um campo magnético dado por,
• A Lei de Maxwell e a Lei de Ampere
podem ser escritas numa única
equação
Eq. 32-3
Eq. 32-5
Eq. 32-11
Equações de Maxwell• Quatro equações como segue:
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32 Sumário
Mom. de Dipolo Magn. de Spin• Momento angular de spin de um
elétron está associado com o
momento magnético de spin,
• Parra uma medida ao longo de um
eixo z, a componente Sz pode
assumir apenas os valores dados
por
• Similarmente,
• Onde o magneton de Bohr é
• A energia U
Eq. 32-22
Momento de Dipolo Magnético
Orbital• O momento angular de um eletron
está associado com o momento de
dipolo magnético orbital como
• O momento angular orbital é
quantizado,
• O momento de dipolo magnético
associado é dado por
• A energia U
Eq. 32-28
Eq. 32-23
Eq. 32-24 &26
Eq. 32-29
Eq. 32-25
Eq. 32-27
Eq. 32-30&31
Eq. 32-32
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32 Sumário
Diamagnetismo• Materiais diamagnéticos exibem
magnetismo apenas quanto expostos em
um campo magnético externo; ali eles
formam dipolos magnéticos com sentidos
opostos ao campo externo. Num campo
não uniforme, são repelidos de uma região
com campos magnéticos mais intensos.
• Alinhamento completo (saturação) de
todos os N dipolos no volume fornece
um valor máximo Mmax = Nμ/V. Para
valores baixo da razão Bext /T,
Eq. 32-39
Eq. 32-28
Paramagnetismo• Materiais paramagnéticos contém átomos
com momento de dipolo magnético
permanente, mas os momentos são
orientados aleatoriamente a menos que o
material esteja num campo magnético
externo. A extensão do alinhamento num
volume V é medido como magnetização
M, dada por
Ferromagnetismo• Os momentos de dipolo magnético em
um material ferromagnético podem ser
alinhados por um campo magnético ex-
terno e então, depois do campo remo-
vido, permanece parcialmente alinha-
do em regiões (domínios). Alinhamento
é eliminado a temperaturas acima da
temperatura de Curie para o material.
Num campo ext. não uniforme, um
material ferromagnético é atraído para
a região com maior campo magnético. © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
32 Exercícios
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Halliday 10ª. Edição
Cap. 32:
Problemas 1; 7; 16; 23; 27; 30; 36; 37; 41; 47
32 Problema 32-1
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O fluxo magnético através de cinco faces de um dado é ΦB = ±N Wb, em
que 1 ≤ N ≤ 5 é o número de pontos da face. O fluxo é positivo (para
fora), se N for par, e negativo (para dentro), se N for ímpar. Qual é o fluxo
através da sexta face do dado?
32 Problema 32-7
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Fluxo elétrico uniforme. A Figura abaixo mostra uma região circular de
raio R = 3,00 cm na qual um fluxo elétrico uniforme aponta para fora do
papel. O fluxo elétrico total através da região é ΦE = (3,00 mV · m/s)t, em
que t está em segundos. Determine o módulo do campo magnético
induzido a uma distância radial (a) de 2,00 cm e (b) de 5,00 cm.?
32 Problema 32-16
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Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de 0,10 m de
raio está sendo descarregado. Um anel circular com 0,20 m de raio,
concêntrico com o capacitor, está a meio caminho entre as placas. A
corrente de deslocamento através do anel é de 2,0 A. Qual é a taxa de
variação do campo elétrico entre as placas?
32 Problema 32-23
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Na Figura abaixo, um capacitor de placas paralelas possui placas
quadradas, de lado L = 1,0 m. Uma corrente de 2,0 A carrega o capacitor,
produzindo um campo elétrico uniforme E entre as placas, com E
perpendicular às placas. (a) Qual é a corrente de deslocamento id na
região entre as placas? (b) Qual é o valor de dE/dt nessa região? (c)
Qual é a corrente de deslocamento envolvida pela trajetória tracejada,
um quadrado com d = 0,50 m de lado? (d) Qual é o valor de ∮ B·ds ao
longo da trajetória tracejada?
32 Problema 32-27
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Na Figura abaixo, um campo elétrico uniforme E é reduzido a zero. A
escala do eixo vertical é definida por Es = 6,0 × 105 N/C, e a escala do
eixo horizontal é definida por ts = 12,0 μs. Calcule o módulo da corrente
de deslocamento através de uma área de 1,6 m2 perpendicular ao campo
durante os intervalos de tempo a, b e c mostrados no gráfico. (Ignore o
comportamento da corrente na extremidade dos intervalos.)
32 Problema 32-30
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Suponha que o valor médio da componente vertical do campo magnético
da Terra seja 43 μT (para baixo) em todo o estado americano do Arizona,
que tem uma área de 2,95 × 105 km2. Determine (a) o valor absoluto e (b)
o sentido (para dentro ou para fora) do fluxo magnético da Terra no resto
da superfície do planeta (ou seja, em toda a superfície terrestre, com
exceção do Arizona).
32 Problema 32-36
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Um elétron é submetido a um campo magnético B que aponta no sentido
positivo do eixo z. A diferença de energia entre os alinhamentos paralelo
e antiparalelo da componente z do momento magnético de spin do
elétron na presença de B é 6,00 × 10−25 J. Determine o módulo de B.
32 Problema 32-37
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A Figura abaixo mostra um anel (L) que serve de modelo para um
material diamagnético. (a) Faça um esboço das linhas de campo
magnético no interior e nas proximidades do anel devido ao ímã em
forma de barra. Determine (b) a orientação do momento dipolar
magnético m do anel, (c) o sentido da corrente convencional i no anel
(horário ou anti-horário) e (d) a orientação da força magnética exercida
pelo campo magnético do ímã sobre o anel.
32 Problema 32-41
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Um ímã de forma cilíndrica tem 5,00 cm de comprimento e 1,00 cm de
raio. A magnetização é uniforme, com um módulo de 5,30 × 103 A/m.
Qual é o momento dipolar magnético do ímã?
32 Problema 32-47
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A Terra possui um momento dipolar magnético de 8,0 × 1022 J/T. (a) Se
esse momento dipolar fosse causado por uma esfera de ferro
magnetizado situada no centro da Terra, qual deveria ser o raio da
esfera? (b) Que fração do volume da Terra a esfera ocuparia? Suponha
um alinhamento perfeito dos dipolos. A massa específica do núcleo da
Terra é 14 g/cm3 e o momento dipolar magnético de um átomo de ferro
é 2,1 × 10−23 J/T. (Nota: O núcleo da Terra realmente contém uma
grande quantidade de ferro, mas a possibilidade de que o magnetismo
terrestre se deva a um ímã permanente parece remota, por várias
razões. Para começar, a temperatura do núcleo é maior que a
temperatura de Curie do ferro.)