Chapitre I Equations de la physique mathmatique

I.1 Classification des quations

I.1.1 Notions gnrales

La relation reliant des variables indpendantes dune fonction inconnue et ses drives partielles sappelle quation aux drives partielles :

(

)

la fonction u(x,y) est continue dans un domaine D, ainsi que ses drives. En

transformant cette quation en identit, elle sappelle la solution rgulire ou classique de cette quation. On va considrer lquation de deuxime ordre suivante :

(

)

Cette quation est quasi-linaire si A, B, C dpendent de x, y, u, ux, uy et linaire si A, B,

C dpendent seulement de x et y avec F- est une fonction linaire par rapport u, ux, uy.

Soit lquation linaire de deuxime ordre sous sa forme gnrale :

o A, B, C,, F, - des fonctions de x et y. Lquation est linaire et non homogne si et linaire homogne si

I.1.2 Equation linaire homogne de premier ordre

Soient n variables indpendantes x=(x1,xn). Considrons lquation linaire homogne aux drives partielles de premier ordre :

Admettons que est continue, diffrentiable dans le domaine D de lespace En, alors :

Le systme dquations diffrentielles ordinaires est :

On appelle

la solution (courbe intgrale) du systme (I.2). Si la fonction est constante

( )

sur chaque courbe intgrale du systme (I.2), alors lquation est la premire intgrale de ce systme.

Thorme. La fonction sera la solution de lquation linaire homogne aux drives partielles si et seulement si est lintgrale des quations diffrentielles ordinaires du systme correspondant.

Dmonstration.

La fonction est la solution de lquation (I.1) signifie que :

Par ailleurs, la fonction dpend seulement de t :

( )

par consquent

mais - solution du systme (I.2), do

( )

Si - la premire intgrale du systme (I.2) ; sur la courbe intgrale , on a ( )

par consquent

mais - la solution du systme (I.2), ce qui signifie

c'est--dire que est la solution de (I.1)

I.1.3 Types dquations de second ordre

Les courbes de deuxime ordre

sont de trois types (hyperbolique, parabolique et elliptique) selon le signe du discriminant

de lquation

Ainsi, pour une quation de type :

qui au point (x, y) sera hyperbolique si , parabolique si et elliptique si

Si les coefficients A, B, C de (I.4) dans le domaine D sont constants, (x, y) = const et le type dquation sera le mme tous les points du domaine.

Si dpend de (x, y), on pourra avoir (x, y) > 0 et lquation sera hyperbolique, alors

que dans lautre partie elle sera elliptique et sur la courbe (x, y) = 0, se produit une dgnration du type dquation. Alors, la courbe (x, y) = 0 sappelle ligne de dgnrescence parabolique.

Ainsi, lquation

a le descriminant , c'est--dire que lquation sera de type hyperbolique si 13y > 0, elliptique si 13y < 0 et sur la ligne (1-3y) se produira une dgnrescence du type parabolique.

Dans le cas de n variables indpendantes (n>2) : , la forme gnrale de lquation quasi-linaire est :

ici - sont fonctions de x1, , xn. Au point fixe (x1, , xn) soit la forme quadratique :

On peut passer, laide de la transformation linaire de (I.6), la forme canonique : n

1

2

jj

, o . Lquation (I.5) sera alors de type elliptique au point (x1, , xn) si

, j=1, , n , hyperbolique si pour j = 1, , m < n et pour j = m+1, ,n et parabolique si au moins un des coefficients .

I.2 Transformations des quations de deuxime ordre

I.2.1 Invariance du type dquation

Soit dans le domaine D, lquation

( )

qui est linaire par rapport aux drives dordre suprieur. Admettons, que les coefficients A, B, C sont continus dans le domaine D et montrons que le type dquation est invariant par rapport la transformation des variables indpendantes.

Introduisons de nouvelles variables :

Admettons que (I.8) est rsolvable aux alentours du point , ce qui signifie que :

|

|

Si est compose, alors :

( )

En remplaant les drives dans (I.7), on peut crire :

(

)

o

( )

En calculant le discriminant de (I.11) :

( ( ) )

(

)(

)

(

) (( ) )

(

) ( ( )

)

( ( )

) (

)

(

) ( )

Alors :

(

)

(

)

Donc, si A, B, C sont continus aux alentours du point (x, y), alors que la transformation (I.8)

nest pas dgnre, donc les signes des discriminants et 1 aux alentours correspondant aux points (x, y) et sont les mmes et par consquent le type dquation est conserv.

I.2.2 Forme canonique

On peut choisir les fonctions de faon simplifier lquation aux drives partielles. Alors, choisissons pour que dans lquation (I.11) les

coefficients soient nuls pour :

c'est--dire que les fonctions soient des solutions de :

(

)

(

)

Lquation diffrentielle ordinaire

correspondant (I.14) est la caractristique et ses intgrales sont les quations caractristiques

aux drives partielles (I.7). Supposons que A0 et rsolvons (I.15) par rapport y' :

Considrons trois cas :

Type hyperbolique. Le discriminant . Les parties droites de (I.16) sont diffrentes, do les intgrales :

de ces quations qui sont indpendantes. Posons les nouvelles variables indpendantes

suivantes :

Alors, on peut crire les caractristiques (I.17) de lquation (I.7) sous la forme :

(

)

En divisant lquation par 2B1, on obtient :

(

)

qui est la premire forme canonique de lquation hyperbolique.

Si on pose :

alors, lquation (I.18) sous la deuxime forme canonique de lquation hyperbolique scrit :

(

)

Type elliptique. Le discriminant , les parties droite de lquation (I.16) sont complexes et conjugues, cest pourquoi :

qui sera complexe et conjugue.

Si lon passe de nouvelles variables :

alors, on a :

(

)

o et sont des variables complexes. Si lon passe de nouvelles variables

alors,

(

)

et lquation (I.20) scrit sous la forme :

(

)

qui est la forme canonique de lquation elliptique.

Type parabolique. Le discriminant et on a un ensemble de caractristiques . En introduisant de nouvelles variables, alors :

o - les caractristiques de lquation (I.7) et une fonction diffrentielle quelconque ne dependant pas de .

La fonction est la solution de (I.14), do :

Le type dquations ne change pas pendant la transformation et par consquent,

. Cependant, , signifie que

Montrons, que C 0 aux alentours du point (x, y). Admettons linverse, soit

A condition que les coefficients A, B, C ne sannulent pas en mme temps, cest pourquoi si

lon pose A = 0, C = 0, alors de , A = B = C = 0, donc on a soit A 0 soit .

Si A > 0 aux alentours du point (x, y), alors de et on peut crire

. Alors,

( )

( )

Analogiquement, de

, on trouve

Par consquent, sont dpendantes, ce qui contredit la condition de choix de la

fonction et signifie, que aux alentours du point (x, y). Donc, on obtient enfin , et la transformation de lquation (I.7), aprs division par C1, scrit :

(

)

qui sappelle la forme canonique de lquation parabolique.

Donc, lquation hyperbolique a deux familles de caractristiques indpendantes .

Lquation elliptique ne possde pas de caractristiques. Si lon passe de nouvelles variables , alors lquation se transformera sous la forme canonique.

Lquation parabolique ( (x, y) = 0) a une seule famille de caractristiques . Si lon passe de nouvelles variables , o ne dpend pas de , alors, lquation se transformera sous la forme canonique.

Si lon a plus de deux variables indpendantes, on peut transformer chaque point de lquation sous la forme canonique, et donc on a :

le type hyperbolique :

(

)

le type parabolique :

(

)

le type elliptique :

(

)

Afin de simplifier davantage lquation, on peut introduire une nouvelle fonction inconnue. Soit lquation hyperbolique linaire sous la forme canonique :

On admet dans le domaine D, que les coefficients sont continus et diffrentiables. Introduisons une nouvelle fonction (x, y) :

o restent pour le moment quelconques. De (I.24), on trouve

En substituant les drives dans (I.123), on a :

o

tant arbitraires, on peut annuler un des coefficients dans (I.25), et par consquent simplifier davantage lquation.

Thorme 1. La forme canonique de lquation hyperbolique peut scrire, en posant , sous la forme :

si et seulement si

Dmonstration.

Soit lquation (I.23) transforme sous forme de (I.26), alors :

En diffrentiant par rapport x et b1 par rapport y, on a :

En remplaant dans ces galits partir de (I.27), on a :

on obtient enfin .

Soit . La fonction est choisie de sorte que dans (I.25) le coefficient :

o - une fonction quelconque

En diffrentiant (I.27) par rapport x et en utilisant , on obtient :

Choisissons afin que

Donc, de (I.29), on a :

En remplaant dans (I.28), on a

Alors, les coefficients seront c'est--dire que lquation (I.23) se ramne la forme (I.26).

Consquence.

Si les coefficients de lquation

satisfont les conditions

alors, on peut crire

Dmonstration.

En prenant selon la formule (I.30), on aura :

do

(( ) )

( )

Ainsi, on suit la mme procdure pour lquation elliptique

Thorme 2. Lquation canonique de type elliptique, en posant , peut scrire, sous la forme :

si et seulement si . Si lon pose , alors on peut crire aussi lquation

sous la forme .

Si les coefficients sont constants dans lquation de deuxime ordre donne sous forme

canonique, alors la condition est accomplie. En introduisant une nouvelle fonction

, o et sont constantes, alors :

En introduisant de nouvelles variables indpendantes :

- hyperbolique - elliptique

- parabolique

on aura les coefficients gaux un.

I.2.3 Solution gnrale

La solution gnrale dune quation diffrentielle ordinaire de deuxime ordre dpend de deux constantes arbitraires. La notion de solution gnrale pour une quation aux drives

partielles peut se ramener une solution dpendant de deux fonctions arbitraires.

Exemple. Trouver la solution gnrale de :

Solution.

Transformons cette quation sous la forme canonique

(

)

(

)

Si , lquation sera hyperbolique et si , elle sera paraboliquement dgnre.

Lquation caractristique est :

En intgrant pour , on a

ce qui reprsente une famille de droites et une famille dhyperboles.

En introduisant les variables caractristiques , on trouve

En substituant les drives dans lquation de dpart, on a :

En simplifiant par , on a lquation aux variables caractristiques :

(

)

En considrant le facteur entre parenthse comme une nouvelle fonction inconnue, en

intgrant suivant , on trouve :

o est une fonction arbitraire de . Lquation trouve peut tre considre comme une fonction diffrentielle linaire ordinaire de premier ordre ( - une variable indpendante, - fixe). En lintgrant, on a la solution gnrale:

o est arbitraire. Dsignons par

et revenons aux anciennes variables,

on aura la solution gnrale de lquation initiale :

qui dpend de et .

I.3 Equations principales de la physique mathmatique

Soit le point x = (x1, , xn) dans un espace multidimensionnel et soit t le temps. u(x, t) est la fonction cherche. Les principales quations de la physique mathmatique sont les :

- Equations doscillations

,tx,Ftx,uxqx

tx,uxp

xt

tx,ux

k

n

1k k

2

2

avec xq,xp,x - les coefficients du milieu, tx,F - caractrise lintensit de laction (force) extrieure.

Si

,tx,f

tx,F,a

p0,xq,xp,x 2 alorsconst

et on obtient lquation donde dans lespace En:

;tx,fx

u...

x

ua

t

u2

n

2

2

22

2

2

Introduisons loprateur de Laplace :

,x

...x

2

n

2

2

1

2

lquation donde devient alors :

.tx,fuat

u 22

2

Les processus doscillations sont dcrits par lquation hyperbolique.

- Equation de la chaleur

La conductibilit thermique et la diffusion sont exprimes par lquation parabolique :

.tx,Ftx,uxqx

tx,uxp

xt

tx,ux

n

1k kk

si, en particulier 0,xq,xp,x const

alors, on aura :

.tx,fuat

u 2

- Equations stationnaires

Si les processus dcrits par lquation doscillations ou de la chaleur ne dpendent pas du temps, c'est--dire sils sont stationnaires, alors on passe lquation de type elliptique suivante :

n

1k kk

F(x)q(x)u(x)x

xuxp

x

et en particulier lquation de Poisson, si p(x) = const, q (x) = 0,

n

1k2

k

2

f(x);x

uxu

Si laction extrieure est absente ,0xf alors on obtient lquation de Laplace :

n

1k2

k

2

0,x

uxu

- Equation de Helmholtz

Pour chaque quation de type elliptique, on cherche la solution de lquation donde :

uau 2tt

sous forme dun produit )()( tTxtx,u . Alors, en la remplaant dans lquation, on obtient :

);()()(")( 2 xatTtTx

En divisant par : (t)T(x)a2 , on obtient lgalit ,T(t)a

(t)T"

(x)

(x)2

qui nexistera que si le rapport des termes constants situs la partie gauche ne dpend pas de

t, et celui de droite ne dpend pas de x. Si lon galise ces rapports pour T (t) et (x), alors :

,0)()(" 2 tTatT

.0(x)(x)

Lquation elliptique pour la dtermination de (x) sappelle quation de Helmoholtz.

Considrons maintenant la dduction dquations et des conditions aux limites pour certains cas concrets.

Vibrations dune corde

On considre les quations de vibrations transversales dune corde fine, flexible et lastique.

Le principe de base est celui de dAlembert : la force rsultante, y compris les forces dinerties agissant sur le systme, est nulle.

Considrons que la corde, la position dquilibre, soit tendue selon laxe ox et soit u (x, t) llongation dun point de cette corde au temps t. u = u (x, t) est alors lquation dcrivant la forme de la corde linstant t.

Soient x la densit de la corde, F (x, t) - la densit des forces exterieures agissant

suivant la direction , t

uxF

- la densit des forces de rsistance- proportionnelle la

vitesse ut. Soient langle dinclinaison de la corde par rapport au point x et ds la diffrentielle de la longueur de larc de la corde. Alors, approximativement, on a :

;dxdsdxdx...u2

11dxu1ds 2x

2

x

;1...u2

11

xtg1

1x,uxtg 2x

2x

cos

;u...u

2

11u

u1

u

xtg1

xtgx x

2

xx2

x

x

2

sin

ici, on dcompose 21

21

xu en srie de Taylor.

Fig I.1

Imaginons quune partie de la corde de projections (x1, x2) et de tensions correspondantes T(x1, t), T(x2, t) est dirige tangentiellement par rapport la corde. La

longueur de cette partie considre est :

2

1

2

1

x

x

12

2

21 ,d1,

x

x

x xxdxxuxxS

La projection sur ox de la force agissant sur le morceau (x1, x2), selon le principe de

dAlembert, est :

.cosTcosT0cosTcos 22112211 xxxxxxxxT

mais 1coscos 21 xx , alors, ,TT 21 xx c'est--dire que la tension TtxT , ne dpend pas de x. Ainsi, on a TtxT , , o T est la longueur du vecteur tension de la corde ltat de repos.

La projection des forces de tension sur ox sera :

2

1

x

x

212121

.,

,,sinsinT2

cosT2

cos

dxtxTu

txutxuTxxxxT

xx

xx

Les forces exterieures, les rsistances et linertie agissent travers ox et la projection de leur rsultante sur ox sera alors :

2

1

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

tttxx 0,dxuxdxuxkdxtx,FdxTu

X

u

En admettant, que la fonction sous intgrale est continue et si lon applique le thorme de la moyenne et quon divise par (x2 x1) et en passant par la suite la limite

,, 21 xxxx on obtiendra lquation de vibrations de la corde sous forme de :

0.uxuxktx,FTu tttxx (I.31) Posons :

,tx,fx

tx,F;k

x

xk;a

x

T1

2

rcrivons lquation de vibrations de la corde dans un milieu rsistant :

.tx,fuauku xx2

t1tt (I.32)

Si, en particulier, k (x) = 0, on obtiendra lquation donde dans un espace homogne E1 pour un milieu non rsistant :

,tx,fuau xx2

tt (I.33)

avec f(x, t) - la densit des forces externes par unit de masse de la corde, si ,constx

alors, consta 2 .

Lquation donde homogne 0, txf dans E1 :

.uau xx2

tt (I.34)

dcrit les vibrations libres de la corde.

Conditions aux limites

Le caractre de fixation des extrmits de la corde, c'est--dire les conditions aux

limites, influe sur sa vibration, autrement dit, sur lquation (1.32).

On considre, quun point dune corde est fix dans une direction si ce point ne bouge pas dans la direction ou dans la direction inverse. Il est mou- si son dplacement est libre, et lastique- si le dplacement dune variable dans cette direction produit dans le nud de fixation une raction :

.0, 11 kkR

Si on a une fixation rigide, et si alors on a une fixation moue. On considre dans ce qui suit la fixation des extrmits =l le long de laxe ox - rigide.

Soit une partie de la corde lxxxx 210 , contenant lune de ses extrmits (fig.I.2). Cherchons les conditions dajustement des nuds de fixation sur la vibration de la corde. La raction dans un nud de fixation est (la raction . La tension dans lautre extrmit est T. La projection des forces agissant

sur la partie 1x0, (sur la partie l,x2 ) sera aux alentours du point x = 0 :

1 1 1x

0

x

0

x

0

ttt111 ;0udxukdxFOuxTxTt0,uk ,cos

Aux alentours du point x = l, elle sera :

l

x

l

x

l

x

tt221

2 2 2

0.dxudxutkdxFOuxTxTtl,uk ,cos

Mais

.t,xuxOuxTx2

OuxT 1x1111

sin,cos),(

.sin,cos,( t,xuxOuxTx2

Ou)xT 2x2222

En remplaant dans cette galit les cosinus et en passant la limite 01 x pour lx 2 , on obtient la condition aux limites au point x = 0 (au point x = l).

;0,0,01 tuTtuk x

.0,,1 tluTtluk x

Fig.I.2

Conditions aux limites de premier type.

Posons 1k , on obtient les conditions de fixation rigide des extrmits :

.0tl,u;0t0,u (I.35)

Si les extrmits se dplacent suivant les lois de ,t),t( 21 alors, les conditions aux limites seront :

.,;,0 21 ttluttu

Conditions aux frontires de deuxime type

R(l )

R(0)

0

u

Posons k1 = 0, nous trouvons les conditions dune fixation moue (les extrmits sont libres suivant ox) :

ux (0, t) = 0 ; ux (l, t) = 0, (I.36)

cela signifie gomtriquement, que langle dinclinaison de la corde par rapport ox aux points de fixation est nul.

Condition aux frontires de troisime type

Les extrmits sont fixes lastiquement ( ).k,0k 11 Dsignons par : 11 h

T

k , -

pour lextrmit gauche de la corde et 21 h

T

k -pour son extrmit droite. Alors, les

conditions aux limites pour une fixation lastique sont :

.0),(),(;0),0(,0 21 tluhtlutuhtu xx (I.37)

Ces trois conditions aux limites peuvent tre crites sous la forme :

),(,,;,0, 222111 ttlutluttutou xx

o .0;0;const,..., 222

2

2

1

2

121

Vibrations dune tige

Lquation donde dans E1 :

Eatxfuau xxtt

22 ;, .

dcrit aussi des petites vibrations longitudinales dune tige lastique. Ici nous avons est la

densit volumique de la tige, E le module dlasticit du matriau, f(x, t) la densit des forces exterieures, u(x, t) le dplacement suivant ox. Alors :

x

txutxxu

x

u

x

),(),(lim

0

Fig.I.3

0

est le dplacement relatif au point x. Selon la loi de Hooke, la contrainte au point x est

,x

uEST

o E est le module dYoung, S - la section. Les conditions aux limites pour la

tige de longueur l sont :

Pour les extrmits x = 0, x = l fixes rigidement :

,0),(;0),0( tlutu

Pour les extrmits libres :

.0),(;0),0( tlutu xx

Si les extrmits x =0, x = l sont libres, alors les contraintes aux sections x = 0, x = l

sont nulles suivant la loi de Hooke. Pour les extrmits fixes lastiquement, on a :

0),(),(;0),0(),0( 21 tlhtlutuhtu xx

Vibrations dune membrane

Soit une membrane dans un tat de contraintes nulles situe dans un plan ox1x2, et soit

),,( 21 txxu linclinaison du point ),( 21 xx de la membrane de sa position dquilibre. Les

vibrations traversales faibles de la membrane sont dcrites par lquation donde non

homogne dans 2E ( deux variables gomtriques) :

Tatxxfuuau xxxxtt

2

21

2 );,,()(2211

o la densit superficielle de la membrane, T- la tension calcule par unit de longueur,

),,( 21 txxf - la densit des forces externes agissant perpendiculairement par rapport la

position dquilibre et calcule par unit de masse.

Vibrations dun milieu tridimensionnel

Lquation donde non homogne dans 3E est :

),,,()( 321332211 txxxfuuuau xxxxxxtt

Elle dcrit les petites vibrations lastiques des corps solides, les vibrations de gaz, du son, et

les oscillations lectromagntiques.

Equation de la chaleur

Soit un corps de densit ),,,(),( 321 xxxxx de permabilit thermique c(x) et de

conductibilit thermique interieure k (x). On considre que le corps est isotrope. Soit ),( txu -

la temprature au point x linstant t. Selon le principe de conservation de lnergie et la loi

de Fourier, la quantit de chaleur dQ passant pendant dt travers la surface d suivant le vecteur de la normale v est :

0.k(x)dt,dv

uk(x)d

Q

La quantit de chaleur passant suivant la direction v sera ngative (ou positive) si la

temprature ( , )u x t diminue (ou augmente) suivant cette direction, c'est--dire que

0( 0)u u

v v

. En prsence dune source de chaleur de densit F(x, t) calcule par unit de

volume dans un volume D limite par la surface , nous supposons une quantit de chaleur Q1 dgage par cette source pendant lintervalle de temps t2-t1, Q2 - la chaleur servant

augmenter la temprature du corps et Q3- la chaleur passant par la surface suivant la normale extrieure v pendant t2- t1, alors :

1 2 3Q Q Q

La source dgage pendant dt dans llment du corps de volume 1 2 3dx dx dx dx la

chaleur Q ( , )d F x t dx dt . Alors, lintgrale suivant le volume D de t1 t2 donne :

2

1

1Q ( , ) .

t

t D

dt F x t dx

Selon la loi de Fourier, la quantit de chaleur Q2 passant travers la surface suivant la normale extrieure v sera :

2

1

2

( , )Q ( ) .

t

t

u x tdt k x d

v

La quantit de chaleur 3Qd servant augmenter la temprature de llment dx de

1( , )u x t 2( , )u x t est :

2

1

3 2 1

( , )Q ( ( ) ). ( ). ( ( , ) ( , )) ( ) ( ) ;

t

t

u x td x dx c x u x t u x t c x x dx dt

t

Lintgrale suivant tout le volume est :

2

1

3

( , )Q ( ) ( ) .

t

t D

u x tdt c x x dx

t

Remplaons 1 2 3Q , Q , Q dans lgalit 1 2 3Q Q Q ,

alors, on trouve ;

2 2 2

1 1 1

( , ) ( , )( , ) ( ) ( ) ( ) .

t t t

t D t t D

u x t u x tdt F x t dx dt k x d dt c x x dx

v t

Ainsi, lintgrale par rapport donne :

31cos( , )j

jj

u uk d k v x d

v x

Si lon pose dans la formule de Gauss-Ostrogradsky :

3 3

1 1cos( , )

j

j jj j

jD

Ak A v x d dx

x

la relation :

, 1,2,3,jj

uA k j

x

alors,

3

1( )j

jj jD

u uk d A k dx

v x x

(I.38)

En remplaant lintgrale suivant par son expression dans (I.38), on obtient lquation intgrale ( , ) :u x t

2

1

3

1( , ) ( ) ( ) ( ) 0

t

jj jt D

u udt F x t k c x x dx

x x t

En considrant lexpression sous intgrale continue en fonction de (x, t), et en utilisant le thorme de la moyenne des intgrales, alors :

3

2 11

( , ) ( ) ( ) ( ) ) .( ) 0cpcp

x xj t t

j j

u uF x t k c x x t t D

x x t

En simplifiant par 2 1( )t t D , o D est le volume de D, en passant la limite pour

1 2, ,t t t et en concentrant le corps D au point x = (x1, x2, x3), alors on obtient lquation

diffrentielle de la chaleur pour la fonction ( , ) :u x t

3

1( , ) ( ) ( ) ( ) 0

jj j

u uF x t k c x x

x x t

Si la densit ( ),x la permabilit c(x) et la conductibilit thermiques k (x) sont

constantes et si lon pose :

2 ( , ); ( , ),k F x t

a f x tc c

lquation de la chaleur scrira :

2 2 22

1 2 32 2 2

1 2 3

( ) ( , , , ),u u u u

a f x x x tt x x x

(I.39)

Elle est parabolique.

Si la temprature 1 2 3( , , , )u x x x t ne dpend pas de x3, on aura :

2 22

1 22 2

1 2

( ) ( , , ),u u u

a f x x tt x x

(I.40)

Si la temprature 1 2 3( , , , )u x x x t ne dpend pas de x2 et x3, alors ;

22

12

1

( , ),u u

a f x tt x

(I.41)

Lquation (I.39) peut exprimer le processus de diffusion en cas o :

2 ( , ); ( , )k F x t

a f x tc c

o k est le coefficient de diffusion, c- le coefficient de porosit, F(x, t) la densit des sources de la substance de diffusion.

Conditions aux limites de premier type

La temprature sur la surface dun corps D est :

( , ) ( , );u x t x t x

Conditions aux limites de deuxime ordre

La quantit de chaleur passant par la surface unitaire et par unit de temps (flux thermique) est :

( , )( , ),

u x tx t x

v

avec v la normale extrieure la surface . Si le corps est isol thermiquement, alors :

0u

v

Conditions aux limites de troisime type

Le milieu dans lequel se trouve le corps D a une temprature ( , )x t ; lchange de

chaleur entre le corps et le milieu environnant se ralise par la loi de Newton : le flux de

chaleur Q travers la surface suivant la normale extrieure v est proportionnel la diffrence de temprature :

Q ( ( , ) ( , )), , ( 0),u x t x t x

o - le coefficient dchange thermique.

Ou encore selon la loi de Fourier Q = -u

kv

, on a la condition aux limites :

( , )( ( , ) Q( , ) )

( , )( ( , )) ( , ), , ( 0)

u x tk u x t x t

v

u x thu x t x t x h

v

(I.42)

Processus stationnaires

Il sagit ici dquations de type elliptique.

1. Si le processus de vibrations dcrit par lquation donde :

2 2 2 22

1 1 2 32 2 2 2

1 2 3

( ) ( , , )u u u u

a f x x xt x x x

sarrte et ne dpend plus du temps, alors2

20

u u

t t

et lquation donde se transformera en

quation de Poisson :

2 2 2

1 2 3 1 1 2 32 2 2

1 2 3

( , , ) ( , , ),u u u

u x x x f x x xx x x

Si 1 1 2 3( , , ) 0,f x x x c'est--dire en absence de perturbations externes, alors lquation de

Laplace sera :

2 2 2

1 2 3 2 2 2

1 2 3

( , , ) 0u u u

u x x xx x x

2. Si la distribution de temprature est invariable par rapport au temps c'est--dire que

0,u

t

et lquation (I.39) se transforme en quation de Poisson 1 2 3 1 1 2 3( , , ) ( , , )u x x x f x x x

et par consquent, on na pas de source de chaleur et 1 1 2 3( , , ) 0f x x x , on obtiendra lquation

de Laplace :

1 2 3( , , ) 0u x x x

3. La tendance stationnaire est parfaite, c'est--dire un liquide incompressible et non

visqueux se caractrise par la vitesses :

1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ).x x x grad u x x x

o u est le potentiel en cas dabsence de sources, alors : div 1 2 3( , , ) 0x x x et lquation de

Laplace est :

1 2 30 ( , , ) 0div grad u u x x x

4. Dans un milieu homogne et conducteur en absence de sources, on a :

0.u

I.4 Position des problmes de la physique mathmatique

Considrons un domaine D , dlimit par une surface dans un espace n- dimensions. Soit une fonction ),,...,(),( 1 nxxxxf dfinie dans ce domaine. On comprend par la limite de

:

)()()( xxfxfx

comme tant la limite :

.)()(lim1

1

1

xxxf

Dx

xx

On dit que )(xf est continue dans le domaine D jusqu' sa frontire, si

1) )(xf - est continue dans D

2) il existe la limite continue :

1

1

1

lim ( ) ( ) .x x

x D

f x x x

et la fonction

xx

DxxfxF

)(

)()( est continue dans DD

Alors, on crit dans ce cas, que )()( DCxf .

Si )(xf est continue et diffrentiable S fois dans le domaine D, et elle a sur la frontire

du domaine des drives jusqu' lordre Sk , alors on pourra crire )()()( DCDCxf RS .

En particulier, si )()()( 2 DCDCxf , donc, on aura une fonction continue dans le

domaine D jusqu' sa frontire et elle sera doublement diffrentiable.

La surface est dite lisse ou appartenant la classe 10C , si aux alentours de chaque

point 0

x , elle est reprsente par une quation 0)( x , et la fonction )(x - est

continue, diffrentiable et grad 0)( x . Alors, lorsque la fonction )(x est continue, ainsi

que ses drives jusqu' lordre 0S , on dit que la surface appartient la classe SC et on

crit SC .

Si la surface est compose dun nombre limit de surfaces lisses, on lappelle surface lisse par morceau.

On va considrer ci-aprs, que la surface est ferme et lespace nE est partag en

deux domaines : D - fini et contenu dans la sphre Rx , o R- est fini, et

D - infini,

contenant un point infiniment loign.

Si la surface est considre comme la frontire du domaine D, alors le vecteur de la

normale extrieure y la surface au point y , est un vecteur issu de ce domaine D.

Lensemble des points ),( tx de sorte que Dx , ,0 Tt est un cylindre TDC ,0 .

La frontire du cylindre est forme par la base infrieure 0D , la base suprieure TDet la surface latrale T,0 . Ainsi, si 2n , le domaine ),( baD est un intervalle ),( ba , le cylindre C est un rectangle dans le plan tO . Si 1n , le domaine D est la surface dans

le plan 21xOx , le cylindre C- est le domaine dans lespace trimensionnel txOx 21 limit par les

domaine D dans le plan Ttt ,0 , les axes parallles Ot et la direction (fig.I.4)

Fig.I.4

Les quations diffrentielles ont un nombre indtermin de solutions. Afin de dgager,

de lensemble, la solution la plus correcte qui dcrit un processus donn, on pose des conditions complmentaires qui dpendent du type dquation.

Les conditions complmentaires seront tablies dans ce paragraphe pour :

Les quations de vibrations (hyperboliques) :

);,()())((div)(2

2

txFuxqugradxPt

ux

(I.43)

Lquation de la chaleur (parabolique) :

C

0

T

t t

T

C

0 a b

D

D

);,()())((div)( txFuxqugradxPt

ux

(I.44)

Lquation stationnaire (elliptique) :

;0)()())((div xFuxqugradx (I.45)

ici

.3,2,1),)(())((div1

nx

ux

xugradx

kk

n

k

Les coefficients de lquation suivant leur sens physique seront :

)()(),()(

),(,0)(,0)(,0)(

1 DCxPDCxq

xxqxPx

o D- est le domaine de variation des variables gomtriques dans les quations (I.44-I.45),

c'est--dire le domaine o se droule le processus.

I.5 Problmes pour les quations hyperboliques

On va formuler le problme dabord pour un espace 1E ( une variable gomtrique), et

par la suite, ltaler sur lespace n.

),,()())(()(2

2

txFuxqx

uxP

xt

ux

(I.46)

Problme mixte. Dans un rectangle ),0(),0( TlC , il faut trouver la solution

rgulire de lquation continue, diffrentiable jusqu' la frontire, satisfaisant la condition aux limites :

)()();() 2221011 tux

utu

x

ulxx

(I.47)

et la condition initiale :

).(),(

);(),(0

0x

t

txuxtxu

tt

(I.48)

Pour que la position du problme ne soit pas contradictoire, on doit satisfaire les conditions de

lissage :

),0()(),();,()(

);,()();(),(

21

1

TCttbaCx

BaCxuCtxF

et les conditions complmentaires :

).()()(),0()0()0( 222111 lullu

Les conditions aux limites dterminent le comportement de la fonction sur la frontire

du domaine quelque soit t. Les conditions initiales donnent la fonction cherche et la vitesse

de sa variation ),0( lx au moment initial.

Le problme (I.46), (I.47), (I.48) sera homogne, si ,0)t(u),t(u),t,x(F 21 et il sera

non homogne lorsque au moins lune de ces fonctions est diffrente de zro.

En relation avec les conditions de lissage, on dit que le problme mixte est de :

premier type, si :

1,0 kk : );(),();(),0( 21 ttluttu

deuxime espce, si :

:0,1 kk

);(),(

);(),0(

21 tx

tlut

x

tu

troisime espce, si :

).(),(),(

);(),0(),0(

:0,,,1 22112211 ttluhx

tluttuh

x

tuhhh kk

On formule le problme mixte, pour lquation (I.43), comme suit :

Dans un cylindre T,0DC , il faut trouver la solution de lquation (I.43), continue, diffrentiable jusqu' la frontire, et satisfaisant la condition aux limites :

),()),(),(

( txtxuv

txux

et la condition initiale :

).(),(

);(),(0

0x

t

txuxtxu

tt

Alors, on doit satisfaire les conditions dune surface lisse et de concordance :

1

0

( , ) ( ); ( ) ( );

( ) ( ). ( , ) ( 0, );

( )( ) ( , )

t

F x t C D x C D

x C D u x t C T

xx u x t x

v

Problme de Cauchy. A la diffrence du problme mixte, on propose ici, que

lquation (I.43) dcrit le processus dans tout lespace des variables gomtriques

)( nn EDE ,0t cest pourquoi nous navons pas de conditions aux limites suivant ces

variables.

Le problme de Cauchy est formul comme suit.

Dans un demi espace 0t de variables ),,,...,( 1 txx n on cherche la fonction,

)0()0(),( 12 tCtCtxu satisfaisant lquation (I.43) et les conditions initiales :

0

0

( , )( , ) ( ); ( );

tt

u x tu x t x x

t

(I.49)

supposons pour cela les conditions de lissage suivantes :

).()();()();0(),( 1 nn ECxECxtCtxF

Le problme de Cauchy admet une solution gnralise dans ce cas, lorsque les

conditions initiales ne sont pas donnes pour ,0t alors pour la surface lisse, on a :

;),(

;),(

);(:

txu

v

txuxt

on tabli ici la solution dans une partie de lespace appartenant la surface .

Problme de Goursat. Il existe dautres conditions complmentaires pour lquation hyperbolique. Pour le cas du problme de Goursat, on donne des conditions complmentaires

sur les caractristiques. Formulons le problme de Goursat pour lquation :

2

( , ),u u u

a b cu F x tx t x t

(I.50)

Il faut trouver dans un rectangle ),0(),0( TlC (fig.I.5) la fonction ),( txu continue

jusqu' la frontire et qui est une solution rgulire de lquation (I.50) et satisfaisant les conditions complmentaires :

Ttttu

lxxxu

00),(),0(

;0),()0,(

sur les caractristique 0,0 tx

t

T

X l 0

C

Fig.I.5

I.6 Problmes pour les quations paraboliques

Le problme mixte et le problme de Cauchy pour lquation parabolique

),()())(()(1

txFuxqx

uxp

xt

ux

kk

n

k

diffrent du problme pour lquation hyperbolique par le fait davoir une seule condition initiale (y-compris la drive premire par rapport t) :

)(),(0

xtxut

.

De plus, il faut le limiter linfini, pour lunicit de la solution :

nExAtxy ),(

I.7 Problmes pour les quations elliptiques

Dans lquation elliptique :

)()()())(

)((1

xFxuxqx

xuxp

x kk

n

k

(I.51)

le temps t nest pas inclu et le domaine D de variation des variables gomtriques

),...,( 1 nxxx est un domaine de lquation donne. Supposons, quune surface ferme et

lisse par morceau divise son domaine nE en domaine fini D et infini

D . On considre

suivant D ou

D et les condition aux limites les paramtres :

Problme intrieur aux limites. On cherche dans D une solution rgulire de

lquation (I.51), continue, diffrentiable jusqu' la frontire et satisfaisant la condition aux limites :

;0),())()(

( 22

xxu

v

xux

(I.52)

on suppose pour cela la condition )()( DCxF ; ).()( Cx

Problme extrieur aux limites. Dans le domaine D, il faut chercher la fonction

),()()( 12 DCDCxu rgulire linfini 2n

x

A)x(u(

pour ),3,2:( nx

satisfaisant lquation (I.51) et la condition aux limites (I.52).

La fonction )(xu doit tre rgulire linfini pour lunicit de la solution.

On considre suivant les valeurs des cfficients : , :

Les conditions aux limites de premire espce )1,0( :

)()( xxx

et le problme correspondant sappelle le premier problme aux limites.

En particulier, lorsque lquation (I.51) est une quation de Poisson :

.F(x)x

uu(x)

2

k

2n

1k

le problme aux limites dans D (problme dans

D ) avec les conditions aux limites de

premire espce sappelle le problme intrieur de Dirichlet et scrit : le problme D (le

problme exterieur de Dirichlet scrit: problme D )

Conditions aux limites de deuxime espce )0,1( :

)()(

xv

xu

x

et le problme correspondant sappelle le deuxime problme aux limites

Pour lquation de Poisson, on appelle problme aux limites dans D (problme

D ) avec conditions aux limites de deuxime espce le problme intrieur (extrieur) de

Newmann et scrit : problme N (problme N ).

Conditions aux limites de troisime espce )0,0( :

)())()(

( xxuv

xux

et le problme correspondant sappelle le troisime problme aux limites.

Notons, que pour rsoudre le problme de Newmann dans D , il faut une condition

complmentaire ( ) 0.y d

I.8 Convenance du problme

On dit quun problme est pos correctement, si la solution : 1- existe, 2- est singulire, 3- est stable.

Exemple : Montrons, que le problme de Cauchy nest pas correct pour lquation

elliptique. Soit la fonction ),( yxu dans un demi espce 0y qui est une solution de

lquation de Laplace :

0),(2

2

2

2

y

u

x

uyxu

et satisfaisant les conditions de Cauchy

)(),(

);(),(

0

0x

y

yxuxyxu

y

y

.

La fonction 2

sin),(),(

n

nxshnyyxuyx sera ainsi une solution de lquation de

Laplace,

donc :

.0)sin()sin( shnynunxshnyu yyxxyyxx

Par ailleurs, la fonction ),( yx satisfait les conditions :

n

nxx

n

nxchny

y

yxu

y

yx

xn

nxshnyyxuyx

y

y

yy

sin)()

sin),((

),(

);()sin

),((),(

0

0

020

Evaluons la diffrence des conditions initiales ),(),,( yxyxu :

nn

nx

y

yxu

y

yxyxuyx

y

y

1sin),(),(,0),(),(

0

0

Ainsi, pour n suffisamment grand, les conditions initiales pour rsoudre ),( yxu , ),( yx sont

proches et la diffrence des solutions sera:

2

sin),(),(

n

nxshnyyxuyx

pour 0,0 yx et par consquent :

nn

ee

n

shny nyAypour

2 22.

Donc, la solution nest pas stable et le problme de Cauchy nest pas correct pour lquation de Laplace.

I.9 Problmes non homognes

En physique mathmatique, on ramne les problmes complexes des problmes plus simples

pour pouvoir les rsoudre. Alors, il est utile dexaminer dans cette partie le principe de superposition pour le cas de problmes mixtes de lquation hyperbolique.

Principe 1. Si uk (x, y) est la solution dun problme mixte :

;tx,FuxquxpuxLu k'

xxtt (I.43)

;0t)u(l,(lt)uu;0t)u(0,t0,uu 2x221x11 (I.44)

(x),0)(x,u;(k)0)u(x, ktk (I.45)

alors, la fonction :

m

1k

kk constAt),(x,At)u(x, (I.46)

sera la solution du problme :

m

1k

21kk ;0u0,ut),(x,FALu

m

1k

m

1k

kktkk (x).A0)(x,u(x),A0)u(x,

Dmonstration.

En substituant la solution propose (I.46) dans (I.43)-(I.45) et en utilisant la linarit des

oprateurs diffrentiels 21, etL , on obtient :

m

1

m

1

m

1

kkkkkk ;t)(x,FAuLAuALLu

m

1

m

1

kjkkkjj ;21,j0,uAuAu

m

1

m

1

kkkk ;(x)A0)(x,uA0)(x,u

m

1

kk

km

1

k (x),At

0)(x,uA

t

0)u(x,

Principe 2. Si )t,x(u k (k = 1, 2, 3, m)- est la solution de lquation homogne L u =

0, satisfaisant les conditions homognes aux limites 0,0 21 uu , la combinaison linaire

des solutions m

1

kk ),(uA),( txtxu sera de nouveau la solution du problme

.0,0,0L 21 uuu

Dmonstration.

En substituant la solution propose dans lquation, ainsi que dans les conditions aux limites, on obtient :

m

1k

m

1k

kkkk ;0uLAuLLu

m

1k

m

1k

kjkkkj 2.1,j0,uAuA

Principe 3 (gnralis). Si ,...)3,2,1(),,( ktxuk est la solution de lquation L u =

0 satisfaisant les conditions aux limites 0u0,u 21 , alors la srie

m

1

kk t)(x,uAt)u(x, converge, admet une application des oprateurs 21,, L et elle sera de

nouveau la solution du problme .0u,0u,0Lu 21

Dmonstration.

En substituant la solution propose dans lquation, les conditions aux limites, en utilisant

les oprateurs 21,, L et la somme

1

, on obtient :

1 1

kkkk ;0uAuALLu

1 1k

kjkkkjj 2.1,j0,uAuAu

Principe 4 (gnralis). Si la fonction u (x, t, ) dpendant du paramtre :

1/ est la solution du problme ;0u0,u0,Lu 21

2/ lintgrale

dtxuK ),,()( converge uniformment ;

3/ les oprateurs 21,L peuvent tre mis sous intgrale ;

;)dtu(x,K(()dt,K(()u(L

jj 2,1,j)d,t,u(x,K(()dt,u(x,K

alors, la fonction :

)dt,K(()u(t)(x,

sera encore une solution.

Dmonstration.

La convergence uniforme de lintgrale conduit la continuit de la fonction ),( tx et

la possibilit de mettre sous intgrale les oprateurs 21,,L permettent ),( tx de devenir

diffrentiable.

En appliquant les oprateurs 21,,L lgalit

dtxutx ),,()(K),( .

et en tenant compte que u (x, t) est la solution de 0u0,u0,Lu 21 , on arrive ainsi la

dmonstration demande.

I.10 Fonction delta de Dirac

Ltude des processus physiques de rpartition des masses, des forces et des sources de chaleur, se ralise par la considration de leur caractre ponctuel.

Soit, par exemple, une masse unitaire distribue sur lintervalle [x0, x0 + ] de densit linaire )( 0xx, , alors sa rpartition unitaire est exprime par :

.1)dxx(x, 0

x

x

0

0

La fonction )( 0xx, tant nulle lextrieur de lintervalle [x0, x0 + ], alors :

];x,[xx0)x(x, 000

x

x

00

0

0

1.)dxx(x,)dxx(x,

Si la masse unitaire se concentre au point x0, alors le processus de transition limite est

obtenu pour la densit de la masse ponctuelle unitaire comme suit :

.00

0

00

xxxx

xx0)x(x,lim

La masse reste inchange durant le processus de cette concentration :

x

x

000

00

0

0

dx.xx1)dxx(x,lim)dxx(x,lim

Rappelons quune fonction u (x) sur lintervalle b,a est une limite faible des fonctions intgrables )(xu pour 0 , si quelque soit ba,xf c)( , il existe la limite :

b

a

b

a

0

.u(x)f(x)dxf(x)dx(x)ulim (I.47)

Alors, si f(x) est continue sur laxe ox, donc pour 0),( 0 xx ,on a :

x

x

x

x

00cp

00

0

0

0

0

).f(x)dxx(x,)f(xlim)f(x)dxx(x,lim

Donc, la limite faible 0xx existe et peut scrire sous la forme :

0,)f(xf(x)dxxxf(x)dxxx 0x

x

0

0

0

Si lon pose : ,1f(x) alors,

x

x

00

0

0

0.1dxxxdxxx

La fonction gnralise 0xx satisfaisant les conditions :

1/

;0

0,

0 xx

xx0xx

2/

b

a 0

00

0ba,x,0

,ba,x),f(xf(x)dxxx

quelque soit f (x) continue aux alentours du point x0, sappelle la fonction de Dirac ou la fonction dimpulsion.

La fonction ),,( 0xx en respectant les conditions (1) et (2), peut tre tablie

comme :

00

000

x,xx0,

,x,xx,

1

xx,

Srie de Fourier pour la fonction . Dmontrons, que la fonction :

n

1k

00n .xl

ksinx

l

ksin

l

2)x(x,

forme une fonction sur lintervalle [0, l].

Soit f (x)- une fonction arbitraire se dveloppant en srie de Fourier, alors :

l

0

n

1k

0

l

0n

0nn

.xl

ksinxdx

l

ksinf(x)

l

2lim)f(x)dxx(x,lim

Si f (x) est continue au point x0, alors :

l

0

00nn

),f(xf(x)dxxx,lim

Ainsi, on obtient pour la fonction de Dirac la reprsentation sous forme dune srie de Fourier :

1k

00 .xl

ksinx

l

ksin

l

2xx (I.48)

Sur lintervalle [-l, l] , la srie de Fourier pour la fonction sera :

1k

000 .xl

ksinx

l

ksinx

l

kcosx

l

kcos

l

1

2l

1xx