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Notes de cours,Mathématiques pour la physique,
Université Joseph Fourier, Grenoble ;Master Physique M1,M2
(version : 30 décembre 2016)
Frédéric Faurehttp://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure
Frederic Faure, Institut Fourier, grenoble.email : [email protected]
Table des matières
I Analyse de Fourier, distributions et EDP à coe�cients constants8
1 Dérivée et formule de Taylor 10
2 Séries de Fourier 23
3 Fonctions holomorphes à une variable 293.0.0.1 Première formule des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . 323.0.0.2 Formule des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.0.1 Application au calcul d'intégrales. �Méthode des résidus�. . . . . . . 33
4 Transformée de Fourier 354.0.1 Espaces de Banach est espace de Hilbert de fonctions . . . . . . . . 354.0.2 La transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.0.2.1 Transformée de Fourier et dérivation ou multiplication . . 384.0.2.2 Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . 404.0.2.3 Transformée de Fourier et convolution . . . . . . . . . . . 42
5 Transformée par ondelettes 44
II Espaces vectoriels et tensoriels 47
6 Espaces vectoriels 496.0.1 Somme directe d'espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.0.2 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7 Applications linéaires 577.0.1 Représentation d'une application linéaire dans une base . . . . . . . 587.0.2 Déterminant et Trace d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . 61
8 Espace dual 62
2
TABLE DES MATIÈRES 3
9 Métriques sur un espace vectoriel 669.0.1 Métrique Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.0.1.1 Existence et construction d'une base orthonormée . . . . . 699.0.1.2 Application linéaire adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.0.1.3 Applications linéaires qui préservent la métrique . . . . . . 72
9.0.2 Métrique Hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.0.3 Métrique de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.0.4 Schémas dans l'espace-temps de Minkowski E = R2 . . . . . . . . . 759.0.5 Métrique symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.0.5.1 Application linéaire adjointe symplectique Aω . . . . . . . 809.0.5.2 Application linéaire qui préserve la métrique symplectique ω 81
10 Espaces tensoriels 8410.0.1 Changement de Base. Transformation de coordonnées d'un tenseur. 87
11 Spectre et pseudo-spectre d'applications linéaires 8911.0.1 Pseudo spectre d'un opérateur de rang �ni . . . . . . . . . . . . . . 89
11.0.1.1 Dé�nition du spectre d'un opérateur . . . . . . . . . . . . 8911.0.1.2 Dé�nition du pseudo-spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.0.1.3 Image numérique (étendue numérique) . . . . . . . . . . . 91
11.0.2 Valeurs singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9311.0.2.1 Décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
III Groupes de matrices et représentations 95
12 Les groupes classiques de matrices 9912.0.1 Le groupe général linéaire GLn (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9912.0.2 Le groupe spécial linéaire SL (n,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.0.3 Les groupe orthogonal O (n) , SO (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.0.4 Les groupe unitaire U (n) , SU (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.0.5 Le groupe symplectique Sp (2n,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
13 Le groupe SO (2) 103
14 Le groupe SO (3) 10614.0.1 Système de coordonnées sur SO (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
14.0.1.1 Topologie de SO (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10714.0.2 Algèbre de Lie de SO (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
15 Le groupe SU (2) 11415.0.1 Système de coordonnées sur SU (2) et topologie . . . . . . . . . . . 114
16 Relation entre les groupes SO (3) et SU (2) 119
TABLE DES MATIÈRES 4
17 Représentation de groupe 12317.0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12317.0.2 Représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12417.0.3 Représentation de groupes de Lie compact . . . . . . . . . . . . . . 127
IV Géométrie di�érentielle 135
18 Bases de la géométrie di�érentielle 13618.1 Variété di�érentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13618.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14218.3 Vecteurs tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
18.3.1 Expression d'un vecteur tangent V dans un système de coordonnéeslocales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
18.3.2 Trajectoires et �ot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14618.3.3 Exemples de champs de vecteurs et leur �ot . . . . . . . . . . . . . 14718.3.4 Transport de fonctions par le �ot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14818.3.5 Crochet de Lie de deux champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . 151
18.4 Vecteurs cotangents ou 1 formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15318.5 1-formes et intégrales curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15618.6 Formes di�érentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
18.6.1 Exemple de l'espace M = R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15918.6.2 Formule de changement de coordonnées pour les formes di�érentielles 162
18.7 Orientation d'une variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16318.8 Changement de coordonnées et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16318.9 Dérivée extérieure et formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16418.10Di�éomorphisme entre variétés et transport de champ de tenseurs . . . . . 171
19 Géométrie Riemannienne et électromagnétisme 17219.0.1 Rappels sur le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17219.0.2 Variété Riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17419.0.3 Métrique induite sur l'algèbre extérieure et l'opérateur adjoint d∗ . 17619.0.4 L'opérateur Laplacian de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17919.0.5 Equations de Maxwell sur une variété Lorentzienne . . . . . . . . . 181
19.0.5.1 Remarques sur les champs électrique ~E et magnétiques ~B 18619.0.6 Divergence, gradient et loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . 187
19.0.6.1 Divergence d'un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . 18719.0.6.2 Loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18819.0.6.3 Sur une variété Riemanienne . . . . . . . . . . . . . . . . 189
20 Géométrie symplectique et Mécanique Hamiltonienne 19220.0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
20.0.1.1 Mécanique Hamiltonienne sur le plan R2 . . . . . . . . . . 192
TABLE DES MATIÈRES 5
20.0.1.2 Mécanique Hamiltonienne sur la sphère S2 . . . . . . . . . 19520.0.2 Forme symplectique sur une variété et équations de Hamilton . . . 196
21 Espaces �brés et connexions 19821.1 Espaces �brés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
21.1.1 Topologie d'un �bré vectoriel de rang 1 sur S1 . . . . . . . . . . . . 20321.1.2 Topologie d'un �bré vectoriel de rang 2 sur S2 . . . . . . . . . . . . 206
21.1.2.1 Connexion et indice de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . 20921.1.2.2 Topologie d'un espace �bré sur S2 à partir des zéros d'une
section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20921.2 Connexion et dérivée covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
21.2.1 Dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21321.2.2 Exemple : la connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . 215
21.2.2.1 Exemple du pendule de Foucault . . . . . . . . . . . . . . 21621.2.2.2 Exemple de la Connexion de Berry . . . . . . . . . . . . . 218
21.2.3 Expression de la connexion par rapport à une trivialisation locale du�bré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21921.2.3.1 Choix de Jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21921.2.3.2 Cas d'un �bré hermitien : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22121.2.3.3 Transformation de Jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
21.2.4 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22421.2.5 Expression de la courbure pour la connexion de Levi-Civita . . . . . 228
21.2.5.1 Cas d'un �bré de rang 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22921.2.6 Transport parallèle, holonomie et courbure . . . . . . . . . . . . . . 230
21.2.6.1 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23021.2.6.2 Holonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
21.2.7 Propriétés de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23421.2.8 L'électromagnétisme est une théorie de Jauge abélienne . . . . . . 235
21.2.8.1 Expression dans un système de coordonnées : . . . . . . . 23521.2.8.2 Equations variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
21.2.9 Théories de Jauge non abéliennes (Yang-Mills) . . . . . . . . . . . . 23821.2.10Variation et changement de connexion . . . . . . . . . . . . . . . . 24021.2.11Dérivée covariante de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
21.3 Connexion de Riemmann sur une variété Riemannienne . . . . . . . . . . . 24421.3.1 Connexion de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
21.3.1.1 Exemple : Sous variété d'un espace euclidien . . . . . . . . 24521.3.1.2 Expression par rapport à une trivialisation . . . . . . . . . 246
21.3.2 Courbure de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24921.3.2.1 Courbure comme caractérisation d'un espace non euclidien 251
21.3.3 Equations d'Einstein de la relativité générale . . . . . . . . . . . . . 25121.3.3.1 Les champs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25221.3.3.2 L'action : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
21.3.4 Modèles cosmologiques en relativité générale . . . . . . . . . . . . . 256
TABLE DES MATIÈRES 6
21.3.4.1 Description de l'espace temps Mε . . . . . . . . . . . . . . 25621.3.4.2 Lignes d'univers cosmologiques . . . . . . . . . . . . . . . 25721.3.4.3 Tenseur énergie impulsion et équations d'Einstein . . . . . 25921.3.4.4 Solutions de l'équation d'évolution de Friedmann-LeMaître 261
A Solution des exercices 263A.1 Chapitre Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263A.2 Chapitre algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268A.3 Chapitre géométrie di�érentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272A.4 Chapitre espaces �brés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
A.4.0.1 Exercice 21.1.14 page 212 : . . . . . . . . . . . . . . . . . 277A.4.0.2 Exercice 21.2.4 page 218 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
B Formules 280B.1 Analyse et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
B.1.1 Intégrales Gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Conventions de notation : On utilise le signe := pour signi�er que le terme de gaucheest dé�ni par le terme de droite. Par exemple :
A := {2n, n ∈ N}
signi�e que A est l'ensemble des entiers s'écrivant 2n avec n entier. A est donc l'ensembledes entiers pairs.
Annexe B
Formules
B.1 Analyse et intégrales
B.1.1 Intégrales Gaussiennes
Formule 1 ∫ +∞
−∞exp
(−X2
)dX =
√π (B.1.1)
Démonstration. Soit I =∫ +∞−∞ e−x
2dx. Alors
I2 =
(∫ +∞
−∞e−x
2
dx
)(∫ +∞
−∞e−y
2
dy
)=
(∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞e−(x2+y2)dxdy
)=
∫ ∞0
drr
∫ 2π
0
dθe−r2
= 2π
∫ ∞0
re−r2
dr = 2π
([−1
2e−r
2
]∞0
)= π
donc I =√π.
Formule 2 Soit
Q(x) = Ax2 +Bx+ C
A,B,C ∈ C et < (A) > 0 pour la convergence.
Alors ∫ +∞
−∞exp (−Q(x)) dx =
√π
Aexp
(−C +
B2
4A
)(B.1.2)
280
ANNEXE B. FORMULES 281
Preuve : @@
Formule 3. Pour n ≥ 0, ∫ +∞
−∞x2ne−x
2dx =
√π
(2n− 1)!!
2n
où
(2n− 1)!! := (2n− 1) (2n− 3) . . . 5.3.1 ==(2n)!
2n (n!)
appelée double factorielle. (par symétrie, pour une puissance impaire∫ +∞−∞ x2n+1e−αx
2dx =
0).
Démonstration. Il faut dériver la formule∫ +∞−∞ e−αx
2dx par rapport à α et faire α = 1 à la �n :
soit
Iα :=
∫ +∞
−∞e−αx
2dx =
√π
α
On adnIαdαn
=
∫ +∞
−∞
(−x2
)ne−αx
2dx =
√π
(−1
2
)(−3
2
). . .
(−2n− 1
2
)donc ∫ +∞
−∞x2ne−αx
2dx =
√π
(2n− 1)!!
2n
Index
Aatlas, 139auto-adjoint, 38
Bbase canonique, 78big-bang, 261bord, 30
Ccartes, 139champ scalaire, 142complété, 35constante de structure �ne, 21continue, 10convolution, 42courbure sectionnelle, 251
Ddécomposition en valeurs singulières, 94décomposition polaire, 93, 94densité de courant, 237dérivée, 11dérivée de Lie, 187dérivées partielles, 11di�érentiable, 11di�érentielle, 11dilatation, 159
Eensemble résolvent, 90espace de Banach, 35espace de Hilbert, 35espace de phase, 44extension analytique, 19extension méromorphe, 19
Ffacteur de Hubble, 258fermeture, 30fonction plate, 17formule de Cartan, 187formule de Cauchy, 31Formule de Taylor, 16formule des résidus, 33Formule d'inversion de Fourier, 40fractale, 13
Ggéométrie non commutative, 142
HHölder, 13
Iidentité de Palatiny, 240image numérique, 92intérieur, 30
LL'espace de Schwartz, 39Lipchitz, 14lisse, 11loi de Boltzmann, 18Loi de Hubble, 258Lorentzienne, 33
Mmatrice symplectique, 82Méthode des résidus, 33mode de Fourier, 36
Nnorme euclidienne, 10
282
INDEX 283
norme Hilbert-Schmidt, 11norme in�nie, 10norme L1, 35norme opérateur, 10noyau de Dirichlet, 28
Oopérateur adjoint, 91opérateur normal, 91oscillateur harmonique quantique, 12
Pparité, 159peigne de Dirac, 28phase de Berry, 232pôle d'ordre k, 32principe d'incertitude, 37produit de convolution, 42pseudo spectre, 90
Rrayon spectral, 90réelle analytique, 19référentiel cosmologique, 257résolvente, 90Resommation de Borel, 18Riemann-Lebesgues, 37
Ssérie asymptotique, 21série de Laurent, 33Série de Taylor, 16spectre, 90support compact, 21
TThéorème de Plancherel, 40théorème fondamental de l'analyse, 16transformation orthogonale, 72transformée de Fourier, 63
Vvaleurs singulières, 94variété di�érentiable, 139vecteur contravariant, 173
vecteur covariant, 173
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pdftk cours.pdf cat 8-46 output cours_chap1_analyse.pdfpdftk cours.pdf cat 47-94 output cours_chap2_espaces_vectoriels.pdfpdftk cours.pdf cat 95-134 output cours_chap3_groupes.pdfpdftk cours.pdf cat 135-197 output cours_chap4_geom_di�.pdfpdftk cours.pdf cat 198-262 output cours_chap5_espaces_�bres.pdfpdftk cours.pdf cat 263-279 output cours_solutions.pdfpdftk cours.pdf cat 1-262 280-end output cours_complet_sans_solutions.pdf
