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7/25/2019 Equations Surface
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SURFACESUSUELLESETQUATIONS
Lespace affineE estmuni dun repre orthonorm , , ,R O i j k
=
.
On dsignera par ( )Ox (resp. ( )Oy , ( )Oz ) laxe des abscisses (resp. ordonnes, cotes)
I. L!"
#OO$I%IO"&. $oit le planPpassant par le point ( ), ,A A AA x y z et dont un couple de 'ecteurs directeurs est
, u u
oa
u bc
et
au b
c
.
*n point ( ), ,M x y z de lespace appartient au plan sil existe un couple ( ), tel +ue AM u u
= + . On obtient alors des quations paramtriquesdu planP
. . . . . .
A
A
A
x x a ay y b bz z c c
= + + = + += + +
-n liminant et , on obtient une relation entrex,yetz+ui est une +uation cartsienne du planP.
%/O#01-&. %out planPde lespaceEa une +uation cartsienne du t2pe3ax by cz d + + + = o ( ) ( ), , 3, 3,3a b c
*n 'ecteur normal&4 ce plan a pour coordonnes ( ), ,a b c .On a dans ce cas une +uation de la forme
( ), , 3F x y z =
5ans lh2pothse o le rel cest non nul, on obtient une +uation du t2pe z Ax By = + +
+ui est une +uation de la forme ( ),z ! x y=
o( ) ( )
, ,
!
x y ! x y
a
R R Rest appele fonction6des deux 'ariablesxety.
La reprsentation graphi+ue dune telle fonction est la surface, ensemble des pointsMde coordonnes ( )( ), , ,x y ! x y .
&un 'ecteur est normal 4 un plan si et seulement si
a" il est non nulb" il est orthogonal 4 un couple de 'ecteurs directeurs de ce plan.6pour des fonctions de deux 'ariables sont dfinies comme pour des fonctions dune 'ariable les problmes de continuit et dediffrentiabilit, notions +ui re+uirent au pralable la notion (topologi+ue) dou'ert. Les inter'alles ou'erts de R sont remplacsici par les dis+ues ou'erts.
7/25/2019 Equations Surface
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La figure ci7contre trace a'ec le logiciel 1aple faitappara8tre deux plans d+uations respecti'es
3z=6 &z x y= +
La s2ntaxe utilise est plot9d(:6;x7279..6,2>7&..?,axes>framed) @
La figure ci7contre a t ralise a'ec la tableur7grapheur-xcel 4 partir du tableau de 'aleurs ci7dessous
la srie des abscisses correspond 4 la plage A& B&la srie des abscisses correspond 4 la plage !6 !C.On peut 'isualiser les deux plans prcdents.
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III. DKLI"5#-
&) D2lindre de r'olution
a"5finition et +uation du c2lindre
z
m '
m
Rest un rel positif.
Le cylindre de rvolutionC daxe ( )Oz et de basele
cercle du planE( ( )3x y de centre Oet de ra2onRestlensemble des points de lespace dont la distance 4 laxe
des cotes ( )Oz est gale 4R.
La droite m passant par le point mdu cercle etparallle 4 laxe du c2lindre est appele nratriceduc2lindre .
On a donc mm
= UC .
La section du c2lindre par le planEest le cercle dfini
anal2ti+uement par 6 6 63z
x y R
= + =
. 5e mFme, la section
de ce mFme c2lindre par le plan d+uation z a= est un
cercle d+uations 6 6 6z a
x y R
= + =
.
*ne +uation du c2lindre Cest 6 6 6x y R+ =
b"$ection par des plans parallles aux plans de coordonnes
$i lon considre les traces des plans parallles au plan ( )yOz (resp. ( )xOz ) d+uations respecti'es x a= (resp.
y a= ), on obtient i"si a R< , deux gnratrices
ii"si a R= , une gnratrice
iii" si a R> , lensemble 'idec"Doordonnes c2lindri+ues
Le point mdu planEpeut Ftre repr, relati'ement au repre orthonorm direct , ,O i j
par un couple ( ),R
de coordonnes polaires. Le point( )
, , ,, ,
O i j k M x y z
se proHetant en mest alors repr par le triplet ( ), ,R z
appel s2stme de coordonnes cylindri!ues.6) D2lindre +uelcon+ue
-n choisissant en lieu et place du cercle, toute autre courbe plane (ellipse, h2perbole, parabole, droite, M) et enconsidrant le lieu des pointsMde lespace se proHetant en un point +uelcon+ue de , on obtient encore un c2lindreN.
le c2lindre Ca une structure de fibr sur le cercleNsi la courbe est paramtre par le rel t) i*e*si les coordonnesxetyde msont fonctions de t
(e*&*pour le cercle , on aurait { cossinx R ty R t== ), tout pointMdu c2lindre sera paramtr par tet un autre paramtre ucomme suit ( ) ( ), .t u tOM Om u k
= +
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I. DP"-
&) DGne de r'olution de sommet Oet daxe (Oz).
a etRsont des rels strictement positifs. est le cercle du planPd+uation z a= de centre ( )3,3,A a et de ra2onR.
Le c"ne de rvolutionC de sommet O, daxe (Oz)et de base est la runion des nratrices ( )m Om = o mdcrit le cercle .
Mappartient au cGne Csi et seulement si il existe un point m
du cercle et un rel ttels +ue .OM t Om=
.
*n point m+uelcon+ue du cercle a des coordonnes de la
formeC ( ), ,+ , a o 6 6 6+ , R+ = .
Les coordonnes ( ), ,x y z du pointM, dfini de manireuni'o+ue 4 laide du point met du rel t, sont donnes par
x t +y t,z t a
= ==
. -n liminant le paramtre t, on aboutit 4 une
+uation du cGne C6
6 6 6
6
Rx y z
a+ =
$i lon dsigne par le demi7angle (gomtri+ue) au sommet du cGne, le secteur angulaire [ ) [ )( ),OA Om a2ant
une mesure gale 4 +uel+ue soit le point m de , on a tan R
a= . Le cGne Ca une +uation de la forme
( )6 6 6 6tanx y z+ = 6) $ections par des plans remar+uables
a"lan parallle au plan ( )xOy
#OO$I%IO"&. Le planPd+uation z a= coupe le cGne Cd+uation 6 6 6 6x y r z+ = (o 3r> ) selon le
cercle du planPde centre ( )3,3,A a et de ra2on r a .
b"lan parallle au plan ( )xOz ou ( )yOz
#OO$I%IO"&. Le plan ( )yOz coupe le cGne Cd+uation 6 6 6 6x y r z+ = (o 3r> ) selon deux droites &-
et 6- d+uations respecti'es
{
3
3
x
y r z
=
=,
{
3
3
x
y r z
=
+ =.
%/O#01-&. La section du cGne Cd+uation 6 6 6 6x y r z+ = (o 3r> ) par le plan d+uation x a= ( 3a )
est une h2perboleHde sommet ( ),3,3# a et das2mptotes les droites d+uations respecti'es
{ 3x ay r z
= = , { 3
x ay r z
=+ =
Cma aussi des coordonnes de la forme ( )cos , sin ,R R a o ] ], .