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Prof. Calogero Contrino

Dinamica dei fluidi Equazione (teorema)di Bernouilli

Appunti di fisica

16/01/2015

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Dinamica dei fluidi

Equazione (teorema) di Bernouilli

Si ricaverà nel seguito una fondamentale equazione per lo studio della dinamica dei fluidi

dovuta a Daniel Bernouilli. Tale equazione di fatto rappresenta il teorema della

conservazione dell’energia meccanica nel caso del moto di un fluido.

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Dinamica dei fluidi

Equazione (teorema) di Bernouilli: premesse

Si consideri un fluido, non viscoso ed incomprimibile, che si muove di moto stazionario ed

irrotazionale (in ogni punto il volume elementare di fluido ha velocità angolare nulla rispetto al

punto stesso) all’interno di una tubazione a sezione variabile, rigida e priva di attriti .

Fig. 1

Dicesi tubo di flusso l’insieme delle linee del campo di velocità tra due sezioni trasversali.

definizione

In tale situazione le linee del campo di velocità non si possono incrociare per l’ ipotesi di

stazionarietà e costituiscono un fascio il cui contorno laterale coincide con la superficie interna

della tubazione. Nelle ipotesi suddette si ha la seguente

Nel tubo di flusso della figura il fluido si

muove da sinistra verso destra in due

condotte orizzontali di diversa sezione

collegati da un raccordo graduale , si

faccia inoltre l’ipotesi aggiuntiva che tra le

due sezioni orizzontali vi sia un dislivello

y.

y

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Consideriamo il sistema costituito dal fluido del tubo di flusso tra le sezioni A e B della figura

2-a.

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Dinamica dei fluidi

Equazione di Bernouilli : premesse

Fig. 2

A

Come evidenziato nella figura 2-b, in un intervallo di tempo t il fluido si sposta verso

destra.

B

A

B

A’

a b

A’

In particolare il volume del tratto di colore blu si sposta venendo rimpiazzato da nuovo

fluido ( colore rosa ), proveniente da sinistra,

Il risultato finale per il sistema è che un volume di liquido pari a quello del tratto blu nella figura

2-a si è sollevato di una altezza y = y2 ‒ y1 .

mentre il pari volume del tratto di colore verde

della fig. 2-a sarà sostituito da una porzione del fluido del tratto A’-B della figura 2-a.

y

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FA

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Equazione di Bernouilli

Fig. 2

A

Nell’ intervallo di tempo t sulla sezione A, a sinistra del tubo di flusso, agisce una forza,

dovuta alla pressione pA , il cui modulo è dato da FA = SApA ; mentre il tubo di flusso subisce

uno spostamento xA .

B B

a b

A’

Nello stesso intervallo di tempo sulla sezione B, a destra del tubo di flusso, agisce una forza

con verso opposto ad FA , dovuta alla pressione pB , il cui modulo è dato da FB = SB pB ; mentre

il tubo di flusso subisce uno spostamento xB .

FB

xA xB

A A’

xA xB

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Dinamica dei fluidi

Equazione di Bernouilli

Il lavoro delle forze esterne che agiscono sul sistema è dato da :

• Lavoro della forza di pressione nella sezione A : SA pA xA

• Lavoro della forza di pressione nella sezione B : ‒ SB pB xB

• Lavoro della forza di gravità sulla massa di fluido sollevata : ‒ mgy= ‒ mg(yB ‒ yA)

Essendo vA e vB le velocità del fluido in A e in B rispettivamente , la variazione dell’energia

cinetica della massa di fluido sollevata è : = 1

2

Ec (vB-vA) m

2

FA

Fig. 2

A

B B

a b

A’

FB

xA xB

A A’

xA xB

vB

vA

vB

vA

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Equazione di Bernouilli

Dal teorema dell’energia cinetica si ha

ma SA xA = SB xB è il volume del fluido spostato e si può pertanto scrivere :

= LFest Ec da cui segue :

SA xA SB xB = = m

d

e dalla 1) segue : da cui:

→

m

d

(pA ‒ pB) = 1

2

(vB-vA)2 m ‒ (yB ‒ yA) mg

SA pA xA ‒ SB pB xB = 1

2

(vB ‒ vA)2 m (yB ‒ yA) mg ‒ 1

pB

d

= vB

2

2 pA

d

‒ gyB gyA ‒

vA

2

2

‒ + = vB

2 pA

d

gyA

+ 2

+ pB

d

gyB +

vA

2

2

+

3 = pA dgyA + + pB dgyB

+ dvA

2

2

+

1 dvB 2

2 1

FA

Fig. 2

A

B B

a b

A’

FB

xA xB

A A’

xA xB

ed infine

vB

vA

vB

vA

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Equazione di Bernouilli

L’equazione 3) è valida non solo per le particolari sezioni considerate ma per una coppia

qualsiasi di sezioni Si , Sj pertanto si può scrivere nella seguente forma:

4 = p dgy + costante K dv

2

2

+

1 = La 4 ) è l’ equazione di Bernouilli cercata .

FA

Fig. 2

A

B B

a b

A’

FB

xA xB

A A’

xA xB

vB

vA

vB

vA

Essa esprime una legge che può essere così formulata :

In un fluido incomprimibile non viscoso in moto stazionario ed irrotazionale la somma di

pressione, energia potenziale gravitazionale per unità di volume ed energia cinetica per unità

di volume è costante

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Dinamica dei fluidi

Equazione di Bernouilli : considerazioni

Sono opportune alcune considerazioni :

• Tutti i termini dell’equazione 3) sono delle pressioni come si può verificare con l’analisi

dimensione che segue

dgy M L-3 L T-2 L = M L-1 T-2 =

dv2 M L-3 L2 T-2 = M L-1 T-2 =

p M L T-2 L-2 = M L-1 T-2 =

• L’equazione di Bernouilli include come caso particolare la legge di Stevino , infatti se il

fluido è fermo (idrostatica) le velocità nelle due sezioni sono nulle e quindi sono nulli i

termini e la 3) diviene = pA dgyA +

pB dgyB +

dv 2

2 1 da cui segue :

= pA yA ) pB ‒ + dg(yB

• Per questo motivo il termine è detto pressione statica, mentre il termine

• è detto pressione dinamica.

p dgy + dvA

2

2 1

• Se tutti i termini dell’equazione di Bernouilli sono divisi per il peso specifico del liquido (dg)

si ottiene una nuova forma di essa in cui tutti i termini sono lunghezze (altezze) si ha infatti :

= pA dgyA +

K dvA 2

2

+

1 → = pA yA

+ K

vA

2g

2

+ dg

e dall’analisi dimensionale segue :

= v

g

2

= p

dg

M L-1 T-2

M L-3 LT-2 = L

5

L2 T-2

LT-2 = L ;

→ Legge di Stevino = pA yA ) ‒ pB ‒dg(yB

‒

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Dinamica dei fluidi

Equazione di Bernouilli : considerazioni

• il termine è detto altezza di arresto e rappresenta la quota che raggiungerebbe il

fluido a causa di una velocità v diretta verso l’alto .

v

2g

2

• il termine è detto altezza piezometrica e rappresenta la quota che raggiungerebbe il

fluido a causa della sola pressione p

p

dg

• il termine y è detto altezza geometrica e rappresenta la quota del fluido rispetto al

riferimento 0

Ne consegue per l’ equazione di Bernouilli scritta nella forma 5) la seguente terminologia:

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Questa importante conseguenza delle equazioni di

continuità e di Bernouilli è nota come effetto Venturi e si può così enunciare :

e per la 6) ne segue che : > pA pB

Consideriamo il tubo di flusso della figura 3 , privo di dislivello e con sezione di area S . Esso

presenta una strozzatura con sezione di area S’; inoltre il fluido, non viscoso, si muove in

regime stazionario irrotazionale.

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Dinamica dei fluidi

Effetto Venturi

In tale situazione per l’equazione di continuità sulle sezioni A e B si ha : .

Per cui nel tratto a sezione minore si ha :

= vB

2 pA

d + 2

pB

d

+

vA

2

2

= SvA S’vB

S =

vB S’

vA cioè : > vB vA

Inoltre l’equazione di Bernouilli tra le stesse sezioni è :

→ vB

2

2

vA

2

2

> 6

In un tubo di flusso ad asse orizzontale e sezione variabile in presenza di un restringimento

della sezione la velocità del fluido aumenta mentre la pressione diminuisce e viceversa in

presenza di un allargamento di sezione la velocità diminuisce e la pressione aumenta.

A B S S’

Fig. 3

vB vA

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Come visto prima, per l’equazione di continuità si ha ed inoltre

l’equazione di Bernouilli tra le stesse sezioni è :

, con d’ densità del liquido

manometrico.

La differenza di pressione tra le sezioni A e B è

ne segue che :

L’effetto Venturi è utilizzato per realizzare un misuratore di velocità di un fluido detto

venturimetro. Si tratta di un manometro differenziale(vai a pag 18) il cui schema di principio

è illustrato nella figura.

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Dinamica dei fluidi

Venturimetro

Da cui segue ancora:

A B S S’

vB

Fig. 2

‒ pA pB = (d’‒ d)gh S

= vB

S’ vA

= vB

2 pA

d + 2

pB

d

+

vA

2

2

= vA

2 2pA

d

+

2pB

d

+ vA

2 S S’

2

→

S’ S vA

2

1

2 (pA

d

‒ 2 pB)

2 ‒ =

S’ S vA

2

1

2 (d’‒d)gh

d

2 2

‒ = →

vA

h

16/01/2015

Fig. 2

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Venturimetro

Da cui segue ancora:

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A B S S’

vB

→ ‒

S’ vA 2

2

2(d’‒d)gh

d(S S’ )

= 2

2

√ ‒

S’ vA 2

2(d’‒ d)gh

d(S S’ )

= 2

vA

h

La 6) fornisce la velocità del fluido in A fissati i parametri S’,S,d e d’ in funzione del dislivello

h del liquido manometrico.

16/01/2015

mentre la differenza di pressione misurata dal

manometro è

L’altra estremità del

manometro è invece collegata, attraverso le due aperture laterali in B, al fluido che scorre sulla

superficie esterna dello strumento ed è sottoposta soltanto alla pressione statica del fluido

stesso. Come vedremo, il dislivello h del liquido manometrico è legato al valore della velocità

del fluido.

Se il fluido è un aeriforme, in generale la sua velocità è misurata con il tubo di Pitot (lo schema

di principio è illustrato in figura). Il cuore dello strumento è sempre un manometro differenziale

una estremità del quale è collegata direttamente al flusso del fluido che lo investe frontalmente

fino ad arrestarsi nella sezione A contrastato dal liquido manometrico.

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Dinamica dei fluidi

Tubo di Pitot

v

h

B

Fig. 2

B

A

‒ pA pB = d’gh con d’ densità del liquido manometrico . Ne segue pertanto:

→ = pA ‒

pB dv

2

2

A tal proposito si osservi che l’equazione di Bernouilli tra le sezioni A e B è :

= pB

d +

pA

d

v 2

2

v

h

B

B

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La 7) fornisce, dati i valori di d (densità dell’aeriforme), d’ (densità del liquido manometrico) e g,

il valore di v in funzione del dislivello h del liquido manometrico.

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Tubo di Pitot

v

h

B

Fig. 2

B

A

= dv

2

2

d’gh → v = 2d

2 d’gh → = v 2d

d’gh √

7

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Teorema di Torricelli

Con riferimento alla figura si risolve nel seguito il seguente

Determinare la velocità di un liquido che fuoriesce dal foro di un recipiente sapendo che :

• Il foro ha una sezione di area trascurabile rispetto alla superficie libera del liquido

• La superficie libera del liquido si trova ad un’altezza h rispetto al foro

problema

si scrive l’equazione di Bernouilli tra la sezione di pelo libero di area S e quella del foro di

area sF, tenendo conto che su entrambe agisce la pressione atmosferica pA, inoltre vS e vF

sono rispettivamente le velocità con cui si abbassa la sezione libera e la velocità di deflusso

del liquido attraverso il foro :

h

= pA h +

vF

2g

2

+

vS

2g

2 pA

dg dg

+

Inoltre per l’equazione di continuità si ha:

= h vF

2g

2 vS

2g

2

+

= vs (sF/S) vF

2 2 2

= h vF

2g

2

2g

+

(sF/S) vF

2 2

→

1‒ (sF/S) 2

2

= h

2g

vF

da cui segue 2gh vF = √ 1‒ (sF/S)

2

ed essendo sF/S ≈ 0 la 1) si può scrivere

1

2gh vF = √ 2

→

S

sF

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Dinamica dei fluidi

Teorema di Torricelli

Come si ricorderà l’equazione 2) esprime anche la velocità di un corpo in caduta libera da

un’altezza h . Il risultato trovato è noto come

La velocità di efflusso di un liquido da un foro di piccola ampiezza è uguale a quella che il

liquido avrebbe cadendo da una altezza pari dal dislivello tra il foro e la superficie libera del

liquido .

h

S

sF

Teorema di Torricelli

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Nel caso in cui le due pressioni sono diverse il fluido manometrico si dispone con un certo

dislivello che è legato alla differenza di pressione(fig 3-b). , con d e d’ rispettivamente densità

del fluido sotto esame e di quello manometrico.

All’equilibrio nella sezione C del tubo

ad u si ha infatti (Stevino) :

Nel caso in cui le due pressioni sono uguali il fluido manometrico si dispone nella

parte inferiore del tubo con le superfici di separazione allo stesso livello (fig 3-a)

Il manometro differenziale è uno strumento per la misura di differenza di pressione tra due

punti di un fluido.

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Manometro differenziale : schema di principio

E’ costituito da un tubo ad u all’interno del quale si trova un liquido di densità

nota che lo occupa parzialmente. Le due estremità del tubo sono aperte e vengono immerse in

due punti del tubo di flusso del fluido in esame di cui si vuol conoscere la differenza di

pressione.

A B S S’

h

C

A S B S

pC pA + = dgh pC pB + = d’gh Da cui segue: ‒ pA pB = (d’‒ d)gh

e 7

a b Fig. 3

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Nel caso in cui il fluido sia un aeriforme essendo d’ ≫ d la diviene :

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Dinamica dei fluidi

Manometro differenziale

A B S S’

h

A S B S

‒ pA pB = d’gh

C

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Fig. 3