Cap 6 - Equazione Della Linea Elastica

8/8/2019 Cap 6 - Equazione Della Linea Elastica

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6 - 2

d2ydx2 = – M

EJ (2)

che è l’EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA.

Nota:Esaminiamo il significato del segno “ – “ nell’equazione precedente, facendo riferimento al

disegno sottostante.

In un elemento come ( a ), preso nel tratto discendente della deformata, y aumenta

all’aumentare di x, pertanto:dy

0dx

> . Spostandosi verso destra, fino alla mezzeria, la

deformata tende ad appiattirsi, quindi la variazione di y rispetto ad x tende a diminuire, cioè la

derivata rispetto ad x didydx

è negativa. Pertanto:

2

2

d dy d y0

dx dx dx

= <

In un elemento come ( b ), preso nel tratto a destra delle mezzeria dove la deformata risale, y

diminuisce all’aumentare di x, pertanto:dy

0dx

< . Spostandosi verso l’appoggio destro, la

deformata è via via più ripida e quindi il calo di y rispetto ad x tende ad aumentare, cioè la

derivata rispetto ad x didydx

è positiva. Pertanto, anche in questo tratto della trave:

2

2

d dy d y0

dx dx dx= <

Se la rigidezza EJ è COSTANTE lungo x (trave prismatica e materiale omogeneo)ricordando le Equazioni Indefinite di Equilibrio:

dMdx

= T e dTdx

= – q

l’equazione della linea elastica può essere scritta anche nelle forme:

M (+)

dydx dy

dx

MM

x

y

MM

MM

MM

( b )( a )



6 - 3

d3ydx3 = – T

EJ ed4ydx4 =

qEJ (3)

Essendo inoltre:

la (2) può essere scritta anche nella forma:dϕdx

= – MEJ

6 - 2. L’INTEGRAZIONE DELL’EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

L’integrazione della (2) va eseguita caso per caso, quando sia nota l’espressione di M (x)

(supponendo che J sia costante). Tale integrazione è semplice quando è semplice la funzioneM(x), cioè quando è semplice la funzione q (x) di cui M (x) è la derivata seconda:

d2Mdx2 = – q

- SE IN UN PUNTO INTERMEDIO DELLA TRAVE SI HA: M = 0la (1) dà:

1r = M

EJ= 0 (Curvatura Nulla)

e in quel punto la DEFORMATA ha un FLESSO.

- L’equazione della linea elastica può presentare delle DISCONTINUITÀ riguardanti lafunzione stessa y (x) o le sue derivate. Alcune di queste discontinuità sono “fisicamenteammissibili” mentre altre sono “fisicamente non ammissibili”.

- DISCONTINUITÀ FISICAMENTE NON AMMISSIBILI

a) DISCONTINUITÀ DI y (x) = TRAVE INTERROTTA

b) DISCONTINUITÀ DId yd x

= CUSPIDE

In corrispondenza di una cuspide il raggio di curvatura è nullo:

r = 0 e quindi la curvatura è infinita:1r = ∞ e quindi: M

EJ= ∞ cioè: M = ∞

Si può avere quindi una cuspide solamente in un punto di una trave in cui sia applicato unmomento flettente infinito.

ϕ =dy

dx

da cui:dϕ

dx

=d2y

dx2

φ

dx

dy

r = 0



6 - 4

- DISCONTINUITÀ FISICAMENTE AMMISSIBILI

a) Dalla relazione:d ydx2 = – M

EJrisulta che è discontinua la

d ydx2 nei punti

in cui è applicata una coppia concentrata.

b) Dalla relazione:d ydx3 = – T

EJrisulta che è discontinua la

d ydx3 nei punti

in cui è applicata una forza concentrata.

c) Dalla relazione:d ydx4 =

qEJ

risulta che è discontinua lad ydx4 nei punti

in cui è discontinuo il carico distribuito q.La presenza di queste discontinuità obbliga a scrivere e a integrare l’equazione (2) della

linea elastica per ogni tratto compreso fra due discontinuità.L’integrazione è quindi semplice solamente nei casi in cui tali discontinuità non sono

presenti.Vediamo alcuni esempi.

ESEMPIO n. 1

Linea elastica di una TRAVE A MENSOLA con un MOMENTO applicato ALL’ESTREMITÀ LIBERA.

Il Momento Flettente è COSTANTE e vale - M intutte le sezioni.

L’equazione (2) della linea elastica diventa:

EJ d

2

ydx2 = M

Integrando rispetto a x:

EJdydx

= M x + C1 (4)

Integrando ancora:

EJ y = M x2

2 + C1 x + C2 (5)

Le costanti di integrazione C1 e C2 si calcolano imponendo le CONDIZIONI AL

CONTORNO ALL’INCASTRO:

y = 0 abbassamento nulloper: x = l

dydx

= 0 rotazione nulla

La (4) dà:0 = M l + C1

da cui:

M

Mx

y

l

- M



6 - 5

C1 = - M l

La (5) dà:

0 = M l2

2 – M l2 + C2

da cui:

C2 = M l2

2

Sostituendo nella (5) le espressioni trovate per C1 e C2, si ha:

EJ y = M x2

2 – M l x + M l2 (6)

che è l’equazione di una PARABOLA.

Nota:

In realtà la deformata reale è un ARCO DI CERCHIO (M = Costante significa:1r = Costante).

L’errore deriva dall’approssimazione dell’espressione della curvatura:

1r ≅ –

d2ydx2

Tuttavia, CONFRONTANDO L’ARCO DI CERCHIO CON LA PARABOLA, si puòaffermare che, PER PICCOLE DEFORMAZIONI, L’ERRORE È MOLTO PICCOLO(dell’ordine di 10 - 6 per rapporti freccia

lunghezzadell’ordine di 10 - 3 ) e che l’approssimazione

è accettabile.

L’equazione (6), per x = 0, dà la FRECCIA MASSIMA ALL’ESTREMITÀ LIBERA:

f max = yx = 0 = M l2

2 EJ

L’equazione (4): EJdydx

= M x + C1

scritta introducendo: C1 = - M l

diventa:

EJ

dy

dx = M x – M l

che, per: x = 0 dà la ROTAZIONE DELL’ESTREMO LIBERO:

d yd x x = 0

= – M lEJ

negativa perché antioraria.



6 - 6

ESEMPIO n. 2

Trave a mensola con FORZA VERTICALE applicata all’estremo libero.

Il Momento Flettente in ogni punto è:M (x) = - P x

L’equazione (2) diventa:

EJd2ydx2 = P x


EJdydx

= P x2

2 + C1 (7)

Integrando ancora:

EJ y = P x3

6 + C1 x + C2 (8)

Le costanti di integrazione C1 e C2 si calcolano imponendo le CONDIZIONI ALCONTORNO ALL’INCASTRO:


dydx

= 0 rotazione nulla

La (7) dà:

0 = P l2

2 + C1

da cui:

C1 = – P l

2

2

Dalla (8) si ha:

0 = P l3

6 – P l3

2 + C2

da cui:3 P l3 – P l3

6 = C2

e infine:

C2 = P l3

3

Sostituendo le espressioni trovate di C1 e C2 nelle equazioni (7) e (8) si ha:

EJdydx

= P x2

2 – P l2 Andamento della ROTAZIONE

EJ y = P x3

6 – P l2 x + P l

3 Andamento della FRECCIA

All’ESTREMITÀ LIBERA: x = 0 si ha:

x

y

l

M = - P x

P



6 - 7

y x = 0 = P l3

3 EJ FRECCIA MASSIMA

dydx x = 0

= – P l2

2 EJ ROTAZIONE MASSIMA

OSSERVAZIONE

Nel calcolo delle deformazioni, si sono TRASCURATE QUELLE PRODOTTE DALTAGLIO. Vediamo con un semplice esempio numerico come ciò sia lecito. Riferiamoci aduna trave a mensola come quella precedente.

Dati: L = 1000 mm, d = 50 mm, P = 2,5kN, E = 2,06 × 105 N/mm2.

22d

S 1963,5 mm4

.π

= =

Ty L L 0, 1 mG

.0 6 mτ

= γ = =

3 4dW 12271,9 mm32

.π

= =

La FRECCIA dovuta al MOMENTOFLETTENTE è:

3

MPL

y 13,185 mm3EJ

.= =

FRECCIA dovuta al TAGLIO

Il Taglio è costante lungo tutta la trave e vale: T = P. Esso provoca quindi uno scorrimento:

G

τγ = costante

che produce nell’estremità libera una freccia:yT = γ L

Considerando per la tensione tangenziale τ il suo valor medio: 2P1, 27 N m

S. / mτ = =

e considerando:( )

2EG 7,92.N/mm

2 1= =

+ ν

si ottiene:

Ty L L 0, 1 mG .0 6 m

τ

= γ = =

Il valore di yT è quindi di quattro ordini di grandezza inferiore rispetto a quello di yM e puòquindi essere trascurato.

P

L

γ

γ

T

T

yT

d



6 - 8

ESEMPIO n. 3

Trave a mensola con carico verticale uniformemente distribuito q.

In una sezione x generica il Momento Flettente vale:

M (x) = – Q x2

= –q x2

2

L’equazione (2) diventa:

EJd2ydx2 =

q x2

2


EJdydx

=q x3

6 + C1 (9)

Integrando ancora:

EJ y =q x4

24 + C1 x + C2 (10)

Le costanti di integrazione C1 e C2 si calcolano imponendo le CONDIZIONI ALCONTORNO ALL’INCASTRO:


dydx

= 0 rotazione nulla

La (9) dà:0 =

q l3

6 + C1

da cui:

C1 = –q l3

6

Dalla (9) si ha:

x

y

l

q

Q = q x

q

Ox

x / 2 M (x)

M = -q x2

2



6 - 9

0 =q l4

24 –q l4

6 + C2

da cui:q l4 – 4 q l4

24 + C2 = 0

e infine:

C2 =q l4

8

Sostituendo i valori trovati di C1 e C2 nelle equazioni (9) e (10) si ottiene:

EJdydx

=q x3

6–

q l3

6 Andamento della ROTAZIONE

EJ y =q x4

24–

q l6

x +q l8

Andamento della FRECCIA

All’ESTREMITÀ LIBERA: x = 0 si ha:

FRECCIA MASSIMA

dydx x = 0

= –q l3

6 EJ ROTAZIONE MASSIMA

Altri esempi di integrazione della linea elastica sono mostrati più avanti, al paragrafo 6 – 5.

Nota:

Esclusi i casi in cui il carico è distribuito in modo “regolare” (q uniforme oppure qtriangolare) o quelli in cui una forza o una coppia concentrate sono applicate a un’estremitàdella trave, in tutti gli altri casi (in particolare con forze o coppie concentrate applicate in unasezione intermedia) l’equazione della deformata presenta delle discontinuità (ammissibili) edeve essere integrata per i singoli tratti di trave compresi tra due discontinuità. I vari tratti dideformata che si ottengono devono soddisfare ad ulteriori condizioni al contorno cheesprimono la CONTINUITÀ della FRECCIA, della ROTAZIONE e della CURVATURA incorrispondenza dei punti di giunzione dei vari tratti. Ciò fa aumentare il numero dellecondizioni al contorno.

In questi casi è più pratico utilizzare un altro metodo basato sul Teorema di Mohr.

[ ]4

x 0

qly

8EJ==



6 - 10

6 - 3. IL TEOREMA DI MOHR

Confrontiamo le due equazioni che descrivono rispettivamente la linea elastica e il legametra il momento flettente e il carico distribuito:

d2ydx2 = – M

EJd2Mdx2 = – q

Le due equazioni sono formalmente identiche.

Se consideriamo:

MEJ

= q* = CARICO FITTIZIO AGENTE SU UNA " TRAVE AUSILIARIA "

vale ilTEOREMA DI MOHR:

“ IL DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE M* DELLA TRAVE AUSILIARIACARICATA DAL CARICO FITTIZIO q* = M

EJ

COINCIDE CON LA LINEA ELASTICA

DELLA TRAVE REALE “.

In particolare il momento flettente M* della trave ausiliaria in un punto coincide con lafreccia della trave reale in quel punto:

y = M* (11)

In questo modo, il problema di determinare la deformata della trave reale si riduce alproblema di determinare il diagramma del momento flettente della trave ausiliaria.

I COROLLARI DEL TEOREMA DI MOHR

Derivando l’equazione (11) rispetto ad x si ha:

dydx

= dM*dx

= T*

1° COROLLARIO

“ LA ROTAZIONE DELLA TRAVE REALE COINCIDE COL TAGLIO FITTIZIO DELLATRAVE AUSILIARIA “ .

Poiché agli estremi di una trave appoggiata il taglio è uguale alle reazioni vincolari segueche:

dydx x = 0

= A*dydx x = l

= B*



6 - 11

2° COROLLARIO

“ LE ROTAZIONI DELLE SEZIONI D’ESTREMITÀ DELLA TRAVE REALE SONOUGUALI ALLE REAZIONI VINCOLARI FITTIZIE A* E B* DELLA TRAVE

AUSILIARIA “ .

Nota:

In questo caso, i segni della rotazione e della reazione vincolare fittizia coincidono perchéanche per le rotazioni la convenzione sui segni è la stessa che per il taglio:

CARATTERISTICHE DI VINCOLO DELLA TRAVE AUSILIARIA

I vincoli delle due travi, reale e ausiliaria, devono RISPETTARE LE ANALOGIE

FORMALI fra y e M* e fradydx

e T*.

TRAVE REALE TRAVE AUSILIARIA

y → M*

dydx

→ T*

y = 0 → M* = 0INCASTRO ESTREMO LIBERO

dydx

= 0 → T* = 0

y = 0 → M* = 0APPOGGIO APPOGGIO

dydx

≠ 0 → T* ≠ 0

y ≠ 0 → M* ≠ 0ESTREMO

LIBEROdydx

≠ 0 → T* ≠ 0

P

A B

Taglio +

Taglio -

Rotazione + Rotazione -

INCASTRO



6 - 12

Pertanto la trave ausiliaria di una trave reale su due appoggi sarà ancora una trave su dueappoggi.

La trave ausiliaria di una trave reale a mensola sarà una trave a mensola con le estremitàscambiate.

ESEMPIO n. 4

Calcolare l’abbassamento e la rotazione del punto estremo di una trave a mensolacaricata in quel punto da un carico verticale P.

E’ lo stesso caso visto nell’esempio n. 2.

Il MOMENTO FLETTENTE della trave reale ha un andamento triangolare con un valoregenerico di:

M = P x

e il Momento Flettente Massimo, all’incastro è:

Mmax = P l

La TRAVE AUSILIARIA è caricata da un carico q* distribuito triangolarmente di entità:

q* = P xEJ


con un valore massimo all’estremo libero:

q*max = P lEJ

La Risultante R* del carico fittizio è (area della distribuzione triangolare del carico):

R* = 12 q*max l = P l2

2 EJ

ed è applicata alla ascissa x = 23

l (baricentro del triangolo).

x

23

l

R* =12

q*max

l =P l

2

2 EJ

q*max =

P l

EJ

q* =P x

EJ

x

y

l

M = P x

P



6 - 13

La REAZIONE VERTICALE ALL’INCASTRO della trave ausiliaria è:

A* = – R* = – P l2

2 EJ

e rappresenta la ROTAZIONE ALL’ESTREMO LIBERO DELLA TRAVE REALE:

dy

dx x = 0 = A* = –P l2

2 EJ

Il MOMENTO FLETTENTE ALL’INCASTRO della trave ausiliaria è:

M* x = 0 = R* 23 l = P l2

2 EJ23 l = P l3

3 EJ

e rappresenta la FRECCIA DELLA TRAVE REALE ALL’ESTREMO LIBERO:

y x = 0 = M* x = 0 = P l3

3 E

Questi risultati coincidono con quelli già trovati nell’esempio n. 2.

ESEMPIO n. 5

Trave appoggiata agli estremi e caricata da due coppie uguali e contrarie applicate agliestremi stessi.


M M

l

M = Costante

q* = MEJ

R* = q* l =M l

EJ

A* B*

Nella trave ausiliaria si ha:- Carico distribuito fittizio: q* = M

EJ

- Risultante del carico fittizio: R* = q* l = M lEJ

- Reazioni vincolari fittizie: A* = B* = R*2

= M l2 EJ

- Momento flettente fittizio nel punto di mezzo:



6 - 14

M* x = l2

= A* l2 – R*

2l4 = M l

2 EJl2 – M l

2 EJl4 =

= M l2

4 EJ– M l2

8 EJ= M l2

8 EJ

Pertanto, nella trave reale:

dydx x = 0

= dydx x = l

= A* = B* = M l2 EJ Rotazioni agli estremi

f max = y x = l2

= M* x = l2

= M l8 EJ Freccia massima al centro

ESEMPIO n. 6

Trave appoggiata agli estremi e soggetta a un carico P nel punto di mezzo.


Nella trave ausiliaria si ha:

- Risultante del carico fittizio: R* = 2 12 q*max

l2 = q*max

l2 = P l

8 EJ

- Reazioni vincolari fittizie: A* = B* = R*2 = P l

16 EJ

- Momento flettente fittizio nel punto di mezzo:

l

l / 2 l / 2

P

M =P l

4max

q* =P l

4 EJmax

A* B*

R*

R*2A*

l / 6l / 2



6 - 15

M* x = l2

= A* l2 – R*

2l6 = P l2

16 EJl2 – P l2

16 EJl6 =

= P l3

32 EJ– P l3

96 EJ= 3 P l2 – P l3

96 EJ= P l3

48 EJ


dy

dx x = 0 =

dy

dx x = l = A* = B* =P l

16 EJ Rotazioni agli estremi

f max = y x = l2

= M* x = l2

= P l48EJ Freccia massima al centro

ESEMPIO n. 7

Trave su due appoggi CON UNO SBALZO soggetta a un carico P nell’estremo libero.

P

a l

CA B

L’APPOGGIO INTERMEDIO che appare nel punto A di questa trave reale non rientra neicasi di vincolo già contemplati.

Tale appoggio non consente abbassamenti ma consente la rotazione; pertanto nella traveausiliaria ci dovrà essere in quel punto un vincolo che dia un momento flettente fittizio nullo eun taglio fittizio non nullo, cioè una CERNIERA INTERNA.


y = 0 → M* = 0APPOGGIO CERNIERA

INTERMEDIOdydx

≠ 0 → T* ≠ 0 INTERNA

senza discontinuità senza discontinuità(cuspide) di taglio

Nota:

Una cerniera esterna nella trave ausiliaria darebbe una reazione vincolare e quindi unadiscontinuità in T*.

Ritornando all’Esempio n. 7 si ha quindi una trave ausiliaria con un incastro nell’estremoC, una cerniera interna nel punto A e un appoggio nell’estremo B.



6 - 16

Dividendo la trave ausiliaria in corrispondenza della cerniera A, si possono studiareseparatamente le due parti.

- PARTE DESTRA:

- Risultante del carico fittizio: R*2 = 12

q*max l = P a l2 EJ

Equilibrio alla rotazione intorno a B:

T*A l – R*223

l = 0

da cui:T*A = 2

3R*2 = P a l

3 EJ


Equilibrio alla traslazione verticale:

T*B + T*A – R*2 = 0 da cui:

T*B = R*2 – T*A = P a l2 EJ

– P a l3 EJ

= P a l6 EJ

- PARTE SINISTRA:

- Risultante del carico fittizio: R*1 = 12 q*max a = P a2

2 EJ

Equilibrio alla traslazione verticale:

T*C – T*A – R*1 = 0

da cui:

T*C = R*1 + T*A = P a2

2 EJ+ P a l

3 EJ= P a

6 EJ(3 a + 2 l)

- Momento flettente all’incastro C:

P

C

A B

M = P amax

C A

B

M*C

T*C

R*1

R*2T* T*

A A

B

q* =P a

EJmax



6 - 17

M*C = T*A a + R*123

a = P a2 l3 EJ

+ 23

P a3

2 EJ= P a2

3 EJ(l+ a)


dydx x = C

= T*C = P a6 EJ ( 3 a + 2 l ) Rotazione nel punto C

dydx x = A = T*A =

P a l3 EJ Rotazione nel punto A

dydx x = B

= T*B = P a l6 EJ Rotazione nel punto B

y x = C = M*C = P a2

3 EJ ( l+ a ) Freccia nel punto C

I versi di queste rotazioni e della freccia si deducono dall’osservazione della trave reale.

ESEMPIO n. 8

Trave su due appoggi con un carico P applicato in un punto intermedio qualunque.

Il carico fittizio sulla Trave Ausiliaria ha il valore massimo:ab

q* PEJL

=

ROTAZIONI DEGLI ESTREMI A e B DELLA TRAVE

Le Risultanti del carico fittizio sono:

2*1

1 Pab Pa bR a

2 EJL 2EJL= =

2*2

1 Pab PabR b

2 EJL 2EJL= =

Le Razioni Vincolari Fittizie sulla trave ausiliaria sono:


P

A B

Ca b

L

A B

C

V*AV*

BR*1R*

2

2/3 a

a/3

b/3 2/3 b

q*

H

L/2



6 - 18

- Equilibrio alla rotazione intorno al punto A: * * *1 2 B

2 bR a R a V L

3 3

+ + =

da cui:

( )2 2 3 2 2 3

* 2 2B 2 2 2 2 2 2

Pa b 2 Pab b Pa b Pa b Pab PabV a a 2a 3ab b

3 32EJL 2EJL 3EJL 2EJL 6EJL 6EJL

= + + = + + = + +

Ponendo: b = L – a, si ottiene, dopo semplici passaggi:

( )* 2 2B B

PaV L a6EJL

= ϕ = − ROTAZIONE NEL PUNTO B (antioraria)

- Equilibrio alla rotazione intorno al punto B: * * *1 2 A

a 2R b R b V L

3 3

+ + =

da cui:

( )2 2 3 2 2 3

* 2 2A 2 2 2 2 2 2

Pa b a Pab 2 Pa b Pa b Pab PabV b b a 3ab 2b

3 32EJL 2EJL 6EJL 2EJL 3EJL 6EJL

= + + = + + = + +

Ponendo: a = L – b, si ottiene, dopo semplici passaggi:

( )2 2*A A

Pb L bV

6EJL

−= ϕ = ROTAZIONE NEL PUNTO A (oraria)

ABBASSAMENTO DEL PUNTO C di applicazione del carico.

Il Momento Flettente Fittizio nel punto C della Trave Ausiliaria è:

( )( )

2 2 2* * * 2 2 2C A 1

Pb L ba Pa b a PabM V a R a L b a

3 6EJL 2EJL 3 6EJL

−= − = − = − −

Ponendo: b = L – a, si ottiene, dopo semplici passaggi:

2 2*C C

Pa bM y

3EJL= = ABBASSAMENTO DEL PUNTO C

ABBASSAMENTO DEL PUNTO H (MEZZERIA DELLA TRAVE)

E’ uguale al Momento flettente fittizio nelpunto H.Il valore del carico q nel punto H, dallasimilitudine dei triangoli, è:

Pab L Paq

EJL 2b 2EJ= × =

La risultante del carico fittizio applicato daB ad H vale:

1 L L Pa PaLR* q

2 2 4 2EJ 8EJ= = = applicata alla distanza L/6 dal punto H.

A B

C

V*BR*

L/6

L/2

b

q

abq* P

EJL=

H



6 - 19

Il Momento flettente fittizio nel punto H vale quindi:

( ) ( )

( )

2 2 2 2* * *H B

2 2 2 2 2 22 2

Pa L a Pa L aL L L PaL L PaLM V R

2 6 6EJL 2 8EJ 6 12EJL 48EJ

Pa L a L Pa 4L 4a L Pa3L 4a

EJ 12 48 EJ 48 48EJ

− −= − = − = − =

− − −= − = = −

che coincide con l’abbassamento del punto H (mezzeria della trave). Quindi:

( )2 2H

Pay 3L 4a

48EJ= − ABBASSAMENTO DEL PUNTO DI MEZZO

ROTAZIONE DEL PUNTO C di APPLICAZIONE DEL CARICO

La rotazione nel punto C di applicazione del carico nella Trave Reale coincide con il TaglioFittizio T* nel punto C della Trave Ausiliaria.

( )

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2* * *C A 1

2 2 2

Pb L b Pa b Pb L b a Pb L b 3aT V R

6EJL 2EJL EJL 6 2 EJL 6

PbL b 3a

6EJ

− − − −= − = − = − = =

= − −

Sostituendo entro la parentesi: L = a + b si ottiene, dopo semplici passaggi:

( )*C C

PabT b a

3EJL= − = ϕ ROTAZIONE NEL PUNTO C (oraria)

ROTAZIONE DEL PUNTO H (MEZZERIA DELLA TRAVE)

La rotazione nel punto H nella Trave Reale coincide con il Taglio Fittizio T* nel punto Hdella Trave Ausiliaria.Facendo riferimento alla figura precedente ed alle espressioni di q ed R* già trovate, si ha:

( )2 2H

PaL 4a

24EJLϕ = − −

( )

( )

2 2 2 2 2 2* * 2 2H B

2 2

Pa PaL Pa L a L Pa 4L 4a 3LT V R L a

6EJL 8EJ EJL 6 8 EJL 24

PaL 4a

24EJL

− − + += − + = − − + = − + = =

= − −

Quindi: ( )2 2H

PaL 4a

24EJLϕ = − − ROTAZIONE NEL PUNTO H (antioraria)

Alcuni RISULTATI NOTEVOLI, relativi alle rotazioni e alle frecce di alcune travi caricate inmodo semplice, sono riportati nella tabella della pagina seguente.



6 - 20

q

A B

A B

q0

A BC

A B

A BC C

Cl/2 l/2

αA = C l6 EJ

αB = C l6 EJ

yC = 0

C

l/2 l/2C

C

PA B

a b

P

lA

TRAVI A MENSOLA

l

q

A

l

q0

lA

C

αA = – C l2 EJ

αB = C l2 EJ

yC = – C l2

8 EJ

l/2C

αA =P b ( l2 – b2)

6 E J l

αB = – P a ( l2

– a2

)6 E J l

DyC =

P a (3l2 – 4 a2)48 EJ

yD = P a2b2

3 E J l

B

B

A

B

B

αB = P l2

2 EJyB = P l3

3 EJ

αB =q l3

6 EJ yB =q l4

8 EJ

αB =Q l2

12 EJ

Q =q0 l

2

yB =Q l3

15 EJ

αB = C lEJ

yB = C l2

2 EJ

αA =q l3

24 EJ

αB = –q l3

24 EJ

yC = 5384

q l4

EJl/2 l/2C

l/2 l/2C

αA = 7180

Q l2

EJ

αB = – 8180

Q l2

EJ

Q =q0l2

yC = 5384

Q l3

EJ

αA = – C l6 EJ

αB

= C l

3 EJl/2 l/2C yC = – C l2

16 EJ

TRAVI A DUE APPOGGI

SCHEMA DI CARICO

PA B

l/2 l/2

ROTAZIONI ABBASSAMENTI

C yC = P l3

48 EJαA = P l2

16 EJ

αB = – P l2

16 EJ



6 - 21

TRAVI DI SEZIONE NON COSTANTE

Se la trave reale non è di sezione costante ma è COSTITUITA DA PIU’ TRATTI DISEZIONI DIFFERENTI, la trave ausiliaria è la stessa che si avrebbe nel caso di sezionecostante (il calcolo delle reazioni vincolari e delle azioni interne non dipende dalla sezione).

Quello che cambia è invece il carico fittizio distribuito sulla trave ausiliaria che diventa, inciascun tratto:

q* = M

E Ji

essendo Ji il momento d’inerzia di ciascun tratto della trave reale.

ESEMPIO n. 9

Trave a mensola costituita da due tratti di sezione diversa con: J2 = 2 J1.


- Risultanti dei carichi fittizi:

R*1 = 12

P a2

E J1

R*2 =

P aE J2

+ P lE J 2

2 (l – a) = P2 E J2

(a + l) (l – a)

Il taglio fittizio T* e il momento flettente fittizio M* nel punto A della trave ausiliariavalgono:

P

x

a

l

J J1 2

M = P x

M = P l

P aEJ1

P aEJ2 1

2 1

P l P l

2 EJ

EJ

= P a

=2 EJ

A AR*

R*2

123

a (l – a)3

2 l + al + a

a + 2 l + al + a

( l–a)3



6 - 22

T*A = R*1 + R*2 = P a2

2 E J1+ P

2 E J2(a + l)(l – a) =

= ROTAZIONE NEL PUNTO A della trave REALE

6 - 4. COMPOSIZIONE CINEMATICA DELLE DEFORMAZIONI

In molti casi pratici risulta più semplice, per calcolare la rotazione e l’abbassamento di unpunto di una trave, DIVIDERE LA TRAVE IN TRATTI DI COMPORTAMENTO PIU’SEMPLICE e COMPORRE LE DEFORMAZIONI DEI VARI TRATTI.

ESEMPIO n. 10

Calcolare la freccia nel punto A della trave a mensola rappresentata in figura.

Solamente il tratto BC della trave è caricato e si deforma, mentre il tratto AB rimane rettilineoma subisce l’abbassamento e la rotazione del punto B.La freccia nel punto A si compone quindi di due termini:

yA = yB + αB . aIl termine yB è la freccia provocata nel punto B dalla deformazione del tratto BC della trave evale:

3

B Pby3EJ

=

Il termine αB . a vale:2

BPb

.a a2EJ

α =

La freccia totale nel punto A è quindi:

M*A = R*123

a + R*2 (a + l – a3

2 l + al + a

) = P a3

3 E J 1+ P

2 E J2(a + l )(l – a) (a + l – a

32 l + al + a

) =

= FRECCIA NEL PUNTO A della trave REALE

AC

Ba b

P

αB

yByB

αB . a

yA

P



6 - 23

3 2

APb Pb

y a3EJ 2EJ

= +

ESEMPIO n. 11

Calcolare la freccia nel punto A della trave a mensola rappresentata in figura.

La trave può essere suddivisa nei tratti AB e BC.Supponendo dapprima il tratto BC infinitamente rigido, è come se il tratto AB fosseperfettamente incastrato nel punto B. Il contributo del tratto AB, incastrato in B e caricato daP, alla freccia totale è quindi:

1

31

A(L )1

PLy (P)

3EJ=

Supponendo ora il tratto BC deformabile, occorre trasportare la forza P nel punto B,aggiungendo la coppia di trasporto: P.L1.L’abbassamento del punto B sarà quindi la somma di quello prodotto da P e di quelloprodotto da (P.L1):

3 22 1 2

B B B 12 2

PL (P.L )Ly y (P) y (P.L )

3EJ 2EJ= + = +

Infine, la rotazione dell’estremo B del tratto BC produce un ulteriore abbassamento del puntoA, ritenendo il tratto AB rettilineo:

22 1 2

A B 1 B 1 1 1 12 2

PL (P.L )Ly (P).L (P.L ).L L L

2EJ EJ= α +α = +

La freccia totale del punto A è quindi:

3 3 2 21 2 1 2 2 1 2

A 1 11 2 2 2 2

PL PL (P.L )L PL (P.L )Ly L L

3EJ 3EJ 2EJ 2EJ EJ= + + + +

BA

B

CB

L1

P

A

L2

J1 J2

J1 J2 J2

A

B

CC

αΒ

J1 P

P. L1

P

P. L1

J1



6 - 24

ESEMPIO n. 12

Calcolare la freccia e la rotazione dell’estremo A della trave a mensola di figura.

P

l

J J2 1

Al2

2

1

1E E

BC

1 2P

La trave può essere pensata SUDDIVISA NEI DUE TRATTI l1 e l2.Pensando dapprima il TRATTO l2 INFINITAMENTE RIGIDO e il TRATTO l1

DEFORMABILE, si possono calcolare ABBASSAMENTO e ROTAZIONE del PUNTO C.

Il tratto l1 risulta caricato dalla forza P2, dalla forza P1 e dal momento M = P1 l2 dovutoal trasporto di P1 da A a C.

La freccia y x = C (chiamata per brevità: yC ) e la rotazionedydx x = C

(chiamata per

brevità: αC), sono date da:

yC = (P1 + P2) l13

3 E1 J1+ (P1 l2) l12

2 E1 J1

αC =(P1 + P2) l1

2

2 E1 J1+

(P1 l2) l1E1 J1

Ritenendo il tratto l2 indeformabile (e quindi rettilineo), la freccia e la rotazione in Asarebbero:

y'A = yC + αC l2

α'A = αC

J 1

l 1

1EB

2PP1

M = P l1 2

B

l2

l 1

A

C

yC

CAy' Cαα l2

Aα'





6 - 26

(1) TRATTO l ELASTICO, caricato dal momento M = P a, e TRATTO a RIGIDO:

y'C = αA a =( P a ) l3 EJ a = P a2 l

3 EJ

α'C = αA =(P a) l3 EJ

(2) TRATTO a ELASTICO, incastrato in A:

y"C = P a3

3 EJ

α"C = P a2

2 EJ

La FRECCIA e la ROTAZIONE TOTALI nel punto C sono quindi:

yC = y'C + y"C = P a2 l3 EJ + P a3

3 EJ = P a2

3 EJ (l + a)

αC = α'C +α"C = P a l3 EJ

+ P a2

2 EJ

ly'C

αA

M = P a

+P

y"C

(1)

(2)



6 - 27

6 - 5. ALTRI ESEMPI DI CALCOLO DI DEFORMAZIONI

ESEMPIO n. 14

q

lx

Calcolare la freccia in mezzeria e la rotazione alle estremità della trave appoggiata caricatauniformemente.

Utilizziamo per il calcolo l’equazione della linea elastica.

L’espressione del momento flettente è:

M = VA x – q x2

2=

q l

2x – q x2

2

L’equazione della deformata è quindi:

EJd2ydx2 = –

q l2 x + q x2

2

Integrando, si ha:

EJdydx

= –q l2

x2

2+

q2

x3

3+ C1

Integrando ancora, si ha:

EJ y = –q l4

x3

3+

q6

x4

4+ C1 x + C2

Le CONDIZIONI AL CONTORNO sono:

x = 0y = 0 per:

x = lda cui:

0 = C2

0 = – q l4

12 + q l4

24 + C1 l

da cui:

C1 =q l3

24

Sostituendo i valori trovati di C1 e C2, si ha:



6 - 28

EJ y = –q l12 x3 +

q24 x4 +

q l3

24 x

che dà l’andamento della deformata y.

IN MEZZERIA, per : x = l2

, si ha:3 4 3 4 4

lx2

ql l q l ql l ql 1 1 1 ql 4 1 8

y 12EJ 8 24EJ 16 24EJ 2 EJ 96 384 48 EJ 384=

− + +

= − + + = − + + = 3 4 3 4 4

lx

2

ql l q l ql l ql 1 1 1 ql 4 1 8y

12EJ 8 24EJ 16 24EJ 2 EJ 96 384 48 EJ 384=

− + + = − + + = − + + =

da cui, infine:

yx = l2

= 5384

q l4

EJ

La ROTAZIONE è data da:

EJ dydx = – q l4 x2 + q6 x3 + q l3

24

La ROTAZIONE ALL’ESTREMITÀ ( x = 0) è:

dydx x = 0

=q l3

24 EJ

La ROTAZIONE ALL’ALTRA ESTREMITA’ (x = l) è:

dy

dx x = l = –

q l

4 EJ l

2

+

q l

6 EJ l

3

+

q l3

24 EJ =

=q l3

EJ– 1

4+ 1

6+ 1

24=

q l3

EJ–6 +4 +1

24= –

q l3

24 EJ

ESEMPIO n. 15

CL/2 L/2

L

C

x

C/L

Calcolare la rotazione e la freccia in mezzeria della trave appoggiata caricata da unacoppia C ad un’estremità.

1° MODO

Utilizziamo l’equazione della linea elastica.

L’espressione del momento flettente è:



6 - 29

M = – CL

x

L’equazione della deformata è quindi:d2ydx2 = – M

EJ = CL EJ x

da cui:

EJd2ydx2 = C

L x

Integrando, si ha:EJ

dydx

= CL

x2

2 + C1 (Rotazione)

Integrando ancora, si ha:EJ y = C

6Lx3 + C1 x + C2

Le Condizioni al Contorno sono:

y = 0 per x = 0y = 0 per x = L

Dalla prima si ottiene:

0 = C2

Dalla seconda si ottiene:

0 = CL3

6L + C1 L

da cui:

C1 = – CL6

Sostituendo nell’espressione della rotazione, si ha:

dy

dx= C

2 E J Lx2 – CL

6 EJ

In mezzeria, per: x = L2

, si ha:

dydx x = L

2

= C2 E J L

L2

4 – CL6 EJ = CL

EJ18 – 1

6 = CLEJ

3 – 424

da cui, infine:

dydx x = L

2

= – C L24 EJ (Antioraria)

La ROTAZIONE ALL’ESTREMITA’ SINISTRA (x = 0) è:

dydx x = 0

= – C L6 EJ

La ROTAZIONE ALL’ESTREMITA’ DESTRA (x = L) è:



6 - 30

dydx x = L

= C2 E J L

L2 – C L6 EJ

= C LEJ

12

– 16

= C L3 EJ

Sostituendo invece le espressioni delle costanti di integrazione nell’espressione

dell’abbassamento si ha:y = – C

6 L E Jx3 + C L

6 EJx

In mezzeria, per: x = L2

, si ha:

yL2

= – C6 L E J

L3

8+ C L

6 EJL2

= C L2

EJ– 1

48+ 1

12=

= 348

C L2

EJ = C L2

16 EJ

da cui, infine:

ηL2

= C L2

16 EJ

La FRECCIA IN MEZZERIA NON E’ LA FRECCIA MASSIMA.

La FRECCIA MASSIMA sarà nel punto in cui SI ANNULLA LA ROTAZIONE (che è la

DERIVATA DELL’ABBASSAMENTO):

dydx

= C2 E J L x2 – C L

6 EJ = 0

da cui:x2

2L = L6 da cui: x2 = L2

3 da cui, infine:

x = L3 = 0,577 L

In questo punto la FRECCIA MASSIMA vale:

( )

3 2 2

max 3

2 2 2

C L CL L C L Ly

6EJL 6EJ 6EJ3 3 33

CL 1 CL 1 3 CL 21

3 3 36 3EJ 6 3EJ 6 3EJ

= − + = − + =

− + = − + = =

da cui, infine:ymax = C L2

9 3 EJ

2° MODO

Utilizziamo il METODO DI MOHR.



6 - 31


C

x

C/L

C

C

EJ

V*

R*

V*AB

C2EJ

R**V*

A

RISULTANTE del CARICO sulla Trave Ausiliaria:

R* = CL2EJ

REAZIONI VINCOLARI nella Trave Ausiliaria:

V*A = R*3

= CL6 EJ

; V*B = 2 R*3

= CL3 EJ

TAGLIO IN MEZZERIA nella Trave Ausiliaria:

T* L2 = – V*A + R** = –CL

6 EJ +12

L2

C2 EJ = –

CL6 EJ +

CL8 EJ =

= CLEJ

– 4 + 324

= – CL24 EJ

La ROTAZIONE IN MEZZERIA della Trave Reale è quindi:

αL2

= – CL24 EJ

MOMENTO FLETTENTE IN MEZZERIA della Trave Ausiliaria:

M* L

2

= V* AL

2– R** 1

3

L

2= C L

6 EJ

L

2– C L

8 EJ

L

6=

= C L2

EJ112 – 1

48 = 348

C L2

EJ = C L2

16 EJ

La FRECCIA IN MEZZERIA della Trave Reale è quindi:

ηL2

= C L2

16 EJ



6 - 32

ESEMPIO n. 16

Calcolare la freccia nel punto C della struttura data.

A PC

BLa

Applichiamo anche in questo caso il metodo della composizione cinematica delledeformazioni.Considerando dapprima il tratto AB come infinitamente rigido, il contributo alla freccia deltratto BC deformabile, come se fosse incastrato nel punto B, sarà:

Considerando ora il tratto BC infinitamente rigido e il tratto AB deformabile, calcoliamo ledeformazioni nel punto B provocate dalla forza P trasportata nel punto B (cioè dalla forza P

applicata in B più il momento torcente: Mt = P a applicato in B).La forza P applicata in B dà una freccia:

yB(P) = P L3

3EJ

A P

B

CyB(P)

che si trasmette rigidamente al punto C.(NOTA: La rotazione di tipo flessionale αB che P provoca nel punto B non dà nessuncontributo alla freccia nel punto C).Il momento torcente Mt = P a applicato nel punto B dà una rotazione torsionale nel trattoAB pari a:

θB(Mt) =( P a ) L

GJp

yC(P) = P a3

3EJ yC(P)C

B

P



6 - 33

ϑB(M t) × aA

ϑB(M t)

M = P at

B

che provoca nel punto C una freccia pari a:

yC(Mt) = θB(Mt) × a=(P a) L

GJpa = P a2 L

GJp

La freccia totale nel punto C è la somma di questi tre contributi:

yC = yC(P) + yB(P) + yC(Mt) = P a3

3EJ + P L3

3EJ + P a2 LGJp

ESEMPIO n. 17

Calcolare le componenti orizzontale e verticale dello spostamento del punto C e la suarotazione.

Considerando il tratto AB infinitamente rigido, il contributo allo spostamento verticale deltratto BC è:

3

1a

Pay

3EJ=

Considerando poi il tratto BC infinitamente rigido, il contributo allo spostamento verticaledella rotazione nel punto B prodotta dalla coppia di trasporto (P × a) è:

( )2 B

b

Pa by a a

EJ= φ × =

Un ulteriore contributo allo spostamento verticale del punto C è l’accorciamento dell’asta ABprodotto dal carico assiale P, che vale:

a

b

P

A

B C

JaJb

P

B

Pa

P

B

A

φB

x1

y2

y1



6 - 34

3b

Pby

EA= TRASCURABILE

Lo spostamento orizzontale del punto C è uguale a quello del punto B e vale:

( ) 2

1b

Pa bx

2EJ=

La rotazione del punto C è la somma delle rotazioni alle estremità dei due tratti:

( )2

Ca b

Pa bPa

2EJ EJφ = +

ESEMPIO n. 18

Calcolare le rotazioni degli estremi A e B della trave.

E’ conveniente, nei casi come questo in cui sihanno travi appoggiate costituite da tratti di

diversa rigidezza, utilizzare il Metodo diMohr. Infatti, utilizzando il metodo disovrapposizione degli effetti, risultadifficoltoso mettere in conto, oltre allerotazioni provocate dalla deformabilità deidue tratti, le rotazioni “rigide” legate allospostamento verticale del punto C. Bastapensare infatti che, se il punto C subisce unabbassamento, questo provoca delle rotazioninei punti A e B, anche se i due tratti AC e CBrimangono rettilinei.

Applicando invece il 2° Corollario del Teorema di Mohr, il calcolo delle rotazioni agli

estremi della trave reale si riduce al calcolo delle reazioni vincolari agli estremi della traveausiliaria, caricata col diagramma delle curvature (M/EJ) della trave reale.

Le risultanti dei carichi fittizi valgono:

Le reazioni vincolari nella Trave Ausiliaria valgono:

(ROTAZIONE IN B)

R1* = M

E J1a R2

* = ME J2

b

A

C

B

M MA B

J1 J 2

a b

l

C

VA* =

R1* a

2+ b + R2

* b2

l =

ME J1

a a2

+ b + ME J2

b b2

l = M a2

2 E J 1 l + M a bE J1 l + M b2

2 E J2 l =ΦA

(ROTAZIONE IN A)

* *1 2 2 2

* 1 2B B

1 2 2

M a M ba b a b aR R aEJ 2 EJ 2 Ma Mab Mb2 2

Vl l 2EJ l EJ l 2EJ l

+ ++ +

= = = + + = Φ



M M

A BJ1 J 2

a b

l

C

M

MJ1E

MEJ 2

MEJ 2


MJ1E

R*1 R*

2

a/2 a/2 b/2 b/2

l

R*1 R*

2

V* V*A B

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Cap 6 - Equazione Della Linea Elastica