EQUAZIONI DIFFERENZIALI F(x, y, y’, y”, … , y ) = 0 · EQUAZIONI DIFFERENZIALI Definizione 1: si definisce equazione differenziale ordinaria (ordinary differential equation)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Definizione 1: si definisce equazione differenziale ordinaria (ordinary differential equation) una equazione funzionale che abbia come incognita una funzione y = ƒƒƒƒ(x) della variabile reale ‘x’ e che stabilisca un legame fra ‘x’ e ‘y’ e almeno una delle sue derivate.

Definizione 2: si definisce ordine di una equazione differenziale il massimo ordine delle derivate che compaiono in essa. Un’equazione differenziale di ORDINE ‘n’ si indica nella seguente forma:

F(x, y, y’, y”, … , y(n)) = 0 Esempio: 0432'3 =−+− xyy equazione differenziale ordinaria del 1° ordine

025''2 =++ yy equazione differenziale ordinaria del 2° ordine

Esistono diversi metodi che consentono di determinare le funzioni y = y(x) che insieme alle loro derivate soddisfino l’equazione differenziale.

Definizione 3: si definisce SOLUZIONE o INTEGRALE di una equazione differenziale OGNI funzione y = y(x), definita in un intervallo D di R e derivabile in D con sue derivate successive fino a quella di ordine ‘n’, tale che in D sia verificato che:

F[x, y(x), y’(x), y”(x), … , y(n)(x)] = 0 Il grafico di y = y(x) si dice CURVA INTEGRALE. È bene osservare che in generale la soluzione di una equazione differenziale NON È UNICA.

Esercizio EQ1: Stabilire se la funzione y = 2 x2 + 5x è soluzione dell’equazione differenziale

y’ = 4x + 5 La funzione y = 2 x2

+ 5x è definita su tutto R, ivi differenziabile e la sua derivata è y’ = 4x + 5 Sostituendo nell’equazione differenziale ordinaria assegnata si ottiene:

545454)52(54' 2 +=+⇒+=+⇒+= xxxxxdx

dxy

Poiché si ottiene una identità è stabilito che y = 2 x2 + 5x è soluzione dell’equazione differenziale

y’ = 4x + 5

Esercizio EQ2: Verificare che la funzione y = 2·e−−−−x è la soluzione dell’equazione differenziale

ordinaria y’”−−−− y’ = 0.

La funzione y = 2·e−−−−x è definita su tutto R e ivi derivabile insieme alle sue derivate successive che assumono la forma seguente:

xx

edx

ed

dx

xdyy −

−

−=== 2)2()(

' ⇒ xxx

eedx

ed

dx

xdyy −−

−

=−−=−

== 2)1(2)2()('

"

xx

edx

ed

dx

xdyy −

−

−=== 2)2()("

"'

Sostituendo le sole derivate di interesse nell’equazione differenziale ordinaria assegnata si ottiene: xxxxxx

eeeeeeyy−−−−−− =⇒=+−⇒=−−−⇒=− 220220)2(20'"'

Poiché si ottiene una identità si conclude verificando che la funzione y(x) = 2 e-x è soluzione della

equazione differenziale ordinaria y’”−−−− y’ = 0.

Esercizio EQ3: Stabilire se la funzione y = k ex è soluzione dell’equazione differenziale y’ = y. La funzione y = k ex è definita su tutto R, ivi derivabile, e la sua derivata prima è y’ = k ex. Sostituendo nell’equazione differenziale ordinaria assegnata, si ottiene:

xxxxkekekeke

dx

dyy =⇒=⇒= )('

relazione che rappresenta una identità; pertanto, y = k ex è soluzione dell’equazione differenziale

ordinaria y’ = y. Inoltre la soluzione costituisce una famiglia di soluzioni, al variare di k. Si è già affermato che la soluzione di una equazione differenziale non è unica, ma è costituita da una famiglia di funzioni che dipendono da costanti; il numero delle costanti è pari all’ordine dell’equazione differenziale ordinaria. Nell’esempio riportato con l’esercizio EQ3 si è visto che le funzioni y = k ex costituiscono una famiglia di soluzioni. Definizione 4: l’insieme di tutte le soluzioni definisce l’INTEGRALE GENERALE dell’equazione differenziale ordinaria.

Definizione 5: attribuendo alle costanti i valori numerici si passa da un integrale generale a un INTEGRALE PARTICOLARE.

In talune circostanze può verificarsi che l’integrale generale NON contenga tutte le soluzioni che l’equazione differenziale ordinaria può ammettere.

Definizione 6: si chiama INTEGRALE SINGOLARE una soluzione dell’equazione differenziale ordinaria NON ottenibile dall’integrale generale per particolari valori del parametro (anche eventualmente infinito).

Esercizio EQ4: Sia assegnata l’equazione differenziale ordinaria del primo ordine yxy 4'=

a) verificare che y = 0 è una soluzione dell’equazione differenziale data; b) verificare che y = (x2

+ k)2 è una famiglia di soluzioni dell’equazione data; c) verificare che y = (x4

+ 2x2 + 1) è una soluzione dell’equazione assegnata e

che si ottiene per k = 1; d) verificare che la soluzione y = 0 non si può ricavare dall’integrale generale.

y = 0 è un integrale singolare? a) la funzione y = 0 è definita su tutto R ed ivi derivabile, la sua derivata è y’ = 0. Sostituendola

nell’equazione differenziale assegnata si ottiene la scrittura:

040 x= ⇒⇒⇒⇒ 00 = ⇒⇒⇒⇒ 0=y è soluzione dell’equazione differenziale assegnata

b) la funzione y = (x2 + k)2 è definita su tutto R e ivi derivabile, la sua derivata assume la forma

y’ = 2(x2 + k)2x = 4x(x2

+ k). Sostituendola nell’equazione differenziale assegnata si ottiene la scrittura seguente:

222 )(4)(4 kxxkxx +⋅=+⋅ ⇒⇒⇒⇒ )(4)(4 22kxxkxx +⋅=+⋅ , pertanto si conclude

che y = (x2 + k)2 è una famiglia di soluzione dell’equazione differenziale assegnata;

c) la funzione y = (x4 + 2x2

+ 1) può essere riscritta nella forma y = (x2 + 1)2

che appunto si ottiene dall’integrale generale ponendo k = 1;

d) y = 0 è soluzione dell’equazione differenziale data ma non esiste k tale che Rx∈∀ si abbia 22 )(0 kx += . Pertanto, y = 0 è un integrale singolare.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE La forma tipica di una equazione differenziale lineare del primo ordine è espressa dalla seguente relazione:

F(x, y, y’) = 0 È sempre conveniente, dove risulti possibile, esplicitare la derivata prima y’ al fine di ottenere l’equazione differenziale nella forma normale che di seguito si evidenzia:

y’ = ƒƒƒƒ(x, y) Si può affermare che il suo integrale generale è costituito dalla famiglia di funzioni y = y(x, C) in cui C rappresenta il parametro che descrive appunto la famiglia di soluzioni. Vale il seguente teorema di Cauchy, noto come Esistenza e Unicità Locale: Sia y’ = ƒƒƒƒ(x, y) una equazione differenziale ordinaria del primo ordine e sia D un insieme aperto di R2 in cui ƒƒƒƒ è definita e per ipotesi si supponga che ƒƒƒƒ’y sia continua in D. Sia inoltre P(xO, yO) ∈∈∈∈ D; allora l’equazione differenziale ordinaria del primo ordine y’ = ƒƒƒƒ(x, y) ammette una e una sola soluzione y = y(x) tale che in xO si ha che y(xO) = yO. La condizione y(xO) = yO si conosce come CONDIZIONE INIZIALE e permette di passare dall’INTEGRALE GENERALE all’integrale PARTICOLARE. Il teorema di Cauchy si caratterizza per i seguenti significati: • dal punto di vista grafico, afferma che per ogni punto P(xO, yO) del dominio D delle funzioni

di due variabili passa una e una sola curva integrale appartenente alla famiglia di soluzioni descritta dall’integrale generale;

• dal punto di vista analitico esso garantisce l’esistenza e l’unicità delle soluzioni nei punti dello insieme aperto D. Può verificarsi l’esistenza di soluzioni in corrispondenza dei punti della frontiera dell’insieme aperto D; se tali curve attraversano D si trovano come integrali particolari, se NON attraversano D allora esse stanno interamente sul bordo dell’insieme D e costituiscono, pertanto, gli integrali singolari.

Si consideri l’equazione differenziale lineare del primo ordine completa a coefficienti costanti, scritta in forma normale, e il relativo problema di Cauchy afferente le condizioni iniziali:

Otyytytftyaty ==+=

=)0()()()(·)('

0

in cui ƒƒƒƒ(t) e y(t) sono funzioni della variabile reale t ∈∈∈∈ R. È definito integrale generale l’insieme delle soluzioni dell’equazione differenziale; per determinare l’integrale generale bisogna dapprima risolvere l’equazione differenziale omogenea associata che si ottiene ponendo ƒƒƒƒ(t) = 0, ovvero:

0)(·)(' == tyaty

Si perviene a una equazione differenziale a variabili separate che può esprimersi nella forma:

dtaty

tdytya

dt

tdy·

)(

)()(·

)(=⇒=

a cui corrisponde la procedura di integrazione membro a membro come di seguito esplicitato:

tacctaeeetyctatydta

ty

tdy ·)·( ·)(·)](ln[·)(

)(==⇒+== +

∫∫

Definita la nuova costante CO mediante la posizione seguente: cO eC = , l’integrale generale della

equazione omogenea associata è dato da: ta

Og eCtyO

··)( =

Si tratta ora di determinare una soluzione particolare yP(t) dell’equazione differenziale completa atta a soddisfare la tipologia del termine noto ƒƒƒƒ(t). A tale riguardo si osserva che:

•••• ƒƒƒƒ(t) è una costante, cioè: ƒƒƒƒ(t) = K. In questo caso una soluzione particolare è costituita dalla funzione costante yP(t) = KP. Sostituendo yP(t) = KP, nell’assegnata equazione differenziale completa si ottiene:

)(·0·)( aKKKKaKKadtdK PPPP −=⇒+=⇒+= ⇒ aKtyP −=)(

L’integrale generale yg(t) si ottiene sommando l’integrale generale dell’equazione omogenea associata ygo(t) con la soluzione particolare yP(t); si ottiene, pertanto:

Pta

OPgg KeCtytytyO

+=+= ··)()()( ⇒ a

KeCty

taOg −= ··)(

La funzione temporale y(t) soluzione dell’equazione differenziale lineare assegnata atta al soddisfacimento della condizione afferente il problema di Cauchy è determinata imponendo che per t = 0 sia yg(0) = yO. Si perviene al seguente risultato:

a

KCy

a

KeCy

a

KeCty OOOg

taOg −=⇒−=⇒−= 0· ·)0(·)(

Si conclude, pertanto, che: )( aKyC OO +=

L’integrale particolare y(t) richiesto dalla traccia assume la seguente forma:

a

Ke

a

Kyty

taO +

+= ··)(

•••• ƒƒƒƒ(t) è una funzione esponenziale, cioè: ƒƒƒƒ(t) = A·eββββ·t, con ββββ ≠≠≠≠ a

In tale caso una soluzione particolare è costituita dalla funzione esponenziale yP(t) = KP eββββ·t.

Sostituendo yP(t) = KP eββββ·t, nell’assegnata equazione differenziale completa si ottiene:

ttP

tP

ttP

tP eAeKaeKeAeKaeK

dt

d ······ ·······)·( ββββββ β +=⇒+=

Ricordando che ·eββββ·t ≠≠≠≠ 0 ∀∀∀∀ t ∈∈∈∈ R, si ottengono le scritture di seguito esplicitate:

AKaAKaKeAKaeK PPPt

Pt

P =⋅−⇒+=⇒+= )(·)··(· ·· βββ ββ

Si conclude, pertanto, che:

)( a

AKP

−=

β, da cui consegue, ovviamente:

)(

··)(

··

a

eAeKty

tt

PP−

==β

ββ


)(

··)()()(

··

a

eAeCtytyty

tta

OPgg O −+=+=

β

β

Si deve imporre, ora, il soddisfacimento della condizione iniziale dettata dal problema di Cauchy ottenendo quanto segue:

)()(

··)0(

)(

··)(

00

··

a

ACy

a

eAeCy

a

eAeCty OOOg

tta

Og−

+=⇒−

+=⇒−

+=βββ

β

Si conclude, pertanto, col calcolo della costante CO fornito dalla relazione:

)( a

AyC OO

−−=

β

L’integrale particolare y(t) richiesto dalla traccia nel caso specifico assume la seguente forma:

)(

··)(

··

a

eAe

a

Ayty

tta

O−

+

−−=

ββ

β

•••• ƒƒƒƒ(t) è una funzione esponenziale, cioè: ƒƒƒƒ(t) = A·eββββ·t, con ββββ = a, ovvero: ƒƒƒƒ(t) = A·ea·t In tale caso una soluzione particolare è costituita dalla funzione esponenziale yP(t) = KP t·ea·t. Sostituendo yP(t) = KP t·ea·t, nell’assegnata equazione differenziale completa si ottiene:

tataP

taP

taP

tataP

taP eAetKaetKaeKeAetKaetK

dt

d ······· ············)··( +=+⇒+=

Ricordando che ·ea·t ≠≠≠≠ 0 ∀∀∀∀ t ∈∈∈∈ R, si ottengono le scritture di seguito esplicitate:

AKAtKatKaK PPPP =⇒+=+ ·····

Si conclude, pertanto, che: tataPP etAetKty ·· ····)( ==


tataOPgg etAeCtytyty

O

·· ···)()()( +=+=


00·· ·0··)0(···)( eAeCyetAeCty Ogtata

Og +=⇒+= ⇒ OO Cy =

L’integrale particolare y(t) richiesto dalla traccia nel caso specifico assume la seguente forma: ta

Otata

O etAyetAeyty ··· )··(···)( +=+=

•••• ƒƒƒƒ(t) è un polinomio di grado n, cioè: ƒƒƒƒ(t) = un·tn + un-1·tn-1

+…+ uO, Come caso di studio teorico si esamina la funzione polinomiale di grado n = 1, cioè la funzione

ƒƒƒƒ(t) = u·t + v. In tale caso anche la soluzione particolare è costituita da un polinomio di grado n = 1; sia, per tanto, yP(t) = h·t + k. Sostituendo yP(t) nell’equazione differenziale completa, si ottiene:

vtukthahvtukthadtkthd +++=⇒+++=+ ·)··()·()··()·( , ovvero:

0)··( =−+++ hvaktuha

a cui corrispondono, in ossequio al principio di identità dei polinomi, le seguenti scritture:

=−+

=+

0

0

hvak

uah ⇒⇒⇒⇒

=++

−=

0)( auvak

auh ⇒⇒⇒⇒

−−=

−=

)()( 2avauk

auh

Si conclude, pertanto, che la soluzione particolare è fornita dalla relazione:

+−⋅−=

a

v

a

ut

a

utyP 2)(


+−⋅−=+=

a

v

a

ut

a

ueCtytyty

taOPgg O 2

··)()()(


+−⋅−=⇒

+−⋅−=

a

v

a

u

a

ueCy

a

v

a

ut

a

ueCty Og

taOg 2

02

· 0·)0(·)( , ovvero:

++=⇒

+−=

a

v

a

uyC

a

v

a

uCy OOOO 22

L’integrale particolare y(t) richiesto dalla traccia nel caso specifico assume la seguente forma:

+−−

++= −

a

v

a

ut

a

ue

a

v

a

uyty

taO 2

·2

··)(

Se la funzione polinomiale fosse di grado n = 2, ovvero la funzione ƒƒƒƒ(t) = u·t2 + v·t + w, anche

la soluzione particolare sarebbe costituita da un polinomio di grado n = 2; pertanto, si avrebbe: yP(t) = h·t2

+ k·t + q.

•••• ƒƒƒƒ(t) è una funzione trigonometrica, cioè: ƒƒƒƒ(t) = αsin(ωt) + βcos(ωt) In tale caso una soluzione particolare è costituita dalla funzione yP = Asin(ωt) + Bcos(ωt)

Esercizio EQ5: Si vuole determinare la soluzione dell’equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine, a coefficienti costanti, y’ = 3y + 1 e che soddisfi il problema di Cauchy espresso dalla condizione iniziale y(0) = 1.

Dall’espressione classica y’ = ay + ƒƒƒƒ(t) dell’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti si evince che a = 3, f(t) = 1 = cost = K e y(0) = yO = 1. L’equazione omogenea associata è data da:

yy 3'= ⇒⇒⇒⇒ 3=λ ⇒⇒⇒⇒ tO

tOgo eCeCty 3)( == λ

Il termine noto ƒƒƒƒ(t) = 1 rappresenta un polinomio di grado zero nella variabile indipendente t; ciò consente di affermare che la soluzione particolare è costituita da un polinomio di grado n = 0; sia, per tanto, yP(t) = KP. Sostituendo yP(t) nell’equazione differenziale completa, si ottiene:

311301·3)( −=⇒+=⇒+= PPPP KKKdtdK ⇒ 31)( −=tyP

L’integrale generale yg(t) si determina sommando l’integrale generale dell’equazione omogenea associata ygo(t) con la soluzione particolare yP(t); si ottiene, pertanto:

31·)()()( 3 −=+= tOPgg eCtytyty

O

Al variare di CO ∈∈∈∈ R si determina la famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale ordinaria completa a coefficienti costanti assegnata; non resta ora che imporre il soddisfacimento del problema di Cauchy relativo alla condizione iniziale y(0) = 1; si ottiene:

1)0( =y ⇒⇒⇒⇒ 13

103 =−⋅eCO ⇒⇒⇒⇒ 3

110 +=eCO

34=OC

La funzione costituente la soluzione cercata è, pertanto, espressa dalla relazione seguente:

( )14·3

1

3

1·

3

4

3

1·)( 333 −=−=−= ttt

O eeeCty

Esercizio EQ6: Si vuole determinare la soluzione dell’equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine, a coefficienti costanti, y’ = 2y + 5e-3t e che soddisfi il problema di Cauchy espresso dalla condizione iniziale y(0) = 2.

Dall’espressione classica y’ = ay + ƒƒƒƒ(t) dell’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti si evince che a = 2, y(0) = yO = 2, f(t) = 5e−−−−3t e pertanto A = 5 e β = −−−−3 ≠≠≠≠ a. L’equazione omogenea associata è definita dalla scrittura:

yy 2'= ⇒⇒⇒⇒ 2=λ ⇒⇒⇒⇒ tO

tOgo eCeCty 2)( == λ

Il termine noto ƒƒƒƒ(t) = 5e−−−−3t definisce una funzione esponenziale con β ≠≠≠≠ a, quindi β ≠≠≠≠ λλλλ; ciò consente di affermare che la soluzione particolare yP(t) è costituita dalla funzione temporale yP(t) = KPeβt, ovvero: yP(t) = KPe−−−−3t . Sostituendo yP(t) nell’equazione differenziale completa, si ottiene:

ttP

tPt

PP eeK

dt

eKdety

dt

tdy 333

3 5·2)(

5)(·2)( −−

−− +=⇒+=

L’attivazione dell’operatore di derivazione consente di ottenere le scritture di seguito riportate: tt

Ptt

Pt

P eeKeeKeK 33333 555·23 −−−−− =−⇒+=− ⇒⇒⇒⇒ 55 =− PK ⇒ 1−=PK

L’integrale particolare assume, pertanto, la forma: ttPP eeKty 31)( −− −== β ⇒ t

P ety 3)( −−=


ttOPgg eeCtytyty

O

32·)()()( −−=+=

Al variare di CO ∈∈∈∈ R si determina la famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale ordinaria completa a coefficienti costanti assegnata; non resta ora che imporre il soddisfacimento del problema di Cauchy relativo alla condizione iniziale y(0) = 2; si ottiene:

2)0( =y ⇒⇒⇒⇒ 20302 =− ⋅−⋅ eeCO ⇒⇒⇒⇒ 200 =− −eeCO

da cui, ricordando che e±±±± 0

= 1, si ottiene per la costante CO il

seguente valore: 21=−OC ⇒⇒⇒⇒ 3=OC

La funzione costituente la soluzione cercata è, quindi, espressa dalla relazione seguente:

ttttO eeeeCty 3232 ·3·)( −=−=

Nella figura a lato si sono evidenziati gli andamenti temporali sia della soluzione cercata y(t), sia delle due componenti che la costituiscono.

Esercizio EQ7: Si desidera determinare la soluzione della equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine, a coefficienti costanti, 2y’ + 4y −−−−6 e−−−−2t

= 0 e che soddisfi: a) il problema di Cauchy espresso dalla condizione iniziale

y1(0) = −−−−1; b) il problema di Cauchy espresso dalla condizione iniziale

y2(0) = 1; È necessario esprimere l’equazione differenziale assegnata in forma classica al fine di individuare i relativi parametri. In tale ottica si ottiene la seguente scrittura:

064'2 2 =−+ − teyy ⇒⇒⇒⇒ teyy 264'2 −+−= ⇒⇒⇒⇒ teyy 232' −+−=

Dall’espressione classica y’ = ay + ƒƒƒƒ(t) dell’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti si evince che a = −2, y(0) = yO = −−−−1, f(t) = 3e−−−−2t e pertanto A = 3 e β = a = −2. L’equazione omogenea associata è definita dalla scrittura:

yy 2' −= ⇒⇒⇒⇒ 2−=λ ⇒⇒⇒⇒ tO

tOgo eCeCty 2)( −== λ

Il termine noto ƒƒƒƒ(t) = 3e−−−−2t definisce una funzione esponenziale con β = a, quindi β = λλλλ; ciò consente di affermare che la soluzione particolare yP(t) è costituita dalla funzione temporale yP(t) = KPteβt, ovvero: yP(t) = KPte−−−−2t . Sostituendo yP(t) nell’equazione differenziale completa, si ottiene:

ttP

tPt

PP eteK

dt

teKdety

dt

tdy 222

2 3·2)(

3)(·2)( −−

−− +−=⇒+−=

L’attivazione dell’operatore di derivazione consente di ottenere le scritture di seguito riportate: tt

Pt

Pt

Ptt

Pt

Pt

P eteKteKeKeteKteKeK 22222222 322322 −−−−−−−− =+−⇒+−=−

0)3(0)3( 02 2

=− →=− ∈∀>−−

P

RtetP KeK

t

⇒ 3=PK

L’integrale particolare assume, quindi, la seguente forma: ttPP teteKty 23)( −− == β


ttOPgg teeCtytyty

O

22 3·)()()( −− +=+=

Al variare di CO ∈∈∈∈ R si determina la famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale ordinaria completa a coefficienti costanti assegnata; non resta ora che imporre il soddisfacimento del problema di Cauchy. a) relativamente alla condizione iniziale y(0) = −−−−1; si ottiene:

1)0(1 −=y ⇒⇒⇒⇒ 103 0202 −=⋅⋅+ ⋅−⋅ eeCO ⇒⇒⇒⇒ 10 −=eCO ⇒⇒⇒⇒ 1−=OC

La funzione costituente la soluzione cercata è, pertanto, espressa dalla relazione seguente: ttttt

O etteeteeCty 222221 )13(33·)( −−−− ⋅−=+−=+=

b) relativamente alla condizione iniziale y(0) = 1; si ottiene:

1)0(2 =y ⇒⇒⇒⇒ 103 0202 =⋅⋅+ ⋅−⋅ eeCO ⇒⇒⇒⇒ 10 =eCO ⇒⇒⇒⇒ 1=OC

La funzione costituente la soluzione cercata è, pertanto, espressa dalla relazione seguente: ttttt

O etteeteeCty 222222 )31(3·)( −−−− ⋅+=+=−=

Esercizio EQ8: Si vuole determinare la soluzione dell’equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine, a coefficienti costanti, y’ + 4y = 3sin2t e che soddisfi il problema di Cauchy espresso dalla condizione iniziale y(0) = −−−−1; È necessario esprimere l’equazione differenziale assegnata in forma classica al fine di individuare i relativi parametri. In tale ottica si ottiene la seguente scrittura:

tyy 2sin34' =+ ⇒⇒⇒⇒ tyy 2sin34' +−=

Dall’espressione classica y’ = ay + ƒƒƒƒ(t) dell’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti si evince che a = −4, y(0) = yO = −−−−1, f(t) = 3sin2t e pertanto α = 3, ββββ = 0 e ω = 2. L’equazione omogenea associata è definita dalla scrittura:

yy 4' −= ⇒⇒⇒⇒ 4−=λ ⇒⇒⇒⇒ tO

tOgo eCeCty 4)( −== λ

Il termine noto ƒƒƒƒ(t) = 3sin2t definisce una funzione trigonometrica con α = 3 e ω = 2; ciò consente di affermare che la soluzione particolare yP(t) è costituita dalla combinazione lineare delle funzioni temporali trigonometriche yP(t) = Asin2t + Bcos2t. Sostituendo yP(t) nell’equazione differenziale completa, si ottiene:

ttydt

tdyP

P 2sin3)(4)(

+−=

ttBtAdt

tBtAd2sin3)2cos2sin(4

)2cos2sin(++⋅−=

+

L’attivazione dell’operatore di derivazione consente di ottenere le scritture di seguito riportate: ttBtAtBtA 2sin32cos42sin42sin22cos2 +−−=−

ttBtAtBtA 2sin32cos42sin42sin22cos2 =++− ttBAtBA 2sin32sin)24(2cos)42( =−++

Applicando il principio di identità dei polinomi si giunge alle due relazioni seguenti la cui validità deve essere contemporaneamente verificata; si ottiene, pertanto, il seguente sistema lineare:

=−

=+

324

042

BA

BA ⇒

=−

=+

324

02

BA

BA ⇒

=−−

−=

328

2

BB

BA ⇒⇒⇒⇒

=−

−=

310

2

B

BA ⇒

103

53

−=

=

B

A

L’integrale particolare assume, quindi, la seguente forma:

tttBtAtyP 2cos10

32sin

5

32cos2sin)( −=+= ⇒

−= tttyP 2cos

2

12sin·

5

3)(


−+=+= −

tteCtytytyt

OPgg O2cos

2

12sin·

5

3·)()()( 4

Al variare di CO ∈∈∈∈ R si determina la famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale ordinaria completa a coefficienti costanti assegnata; non resta ora che imporre il soddisfacimento del problema di Cauchy relativo alla condizione iniziale y(0) = −−−−1; si ottengono le seguenti scritture:

1)0( −=y ⇒⇒⇒⇒

−+=− − )0·2cos(

2

1)0·2sin(·

5

3·1 0·4eCO

−+=− )0cos(

2

1)0sin(·

5

3·1 0eCO ⇒

−+=−

2

10·

5

31 OC ⇒⇒⇒⇒

10

31 −=− OC

Pertanto, la costante CO assume il valore: 10

7

10

31 −=+−=OC

La funzione costituente la soluzione cercata è, pertanto, espressa dalla relazione seguente:

−+−= −

ttetyt 2cos

2

12sin·

5

3·

10

7)( 4 ⇒⇒⇒⇒ )2cos5,02·(sin6,0·7,0)( 4 ttety t −+−= −

OSSERVAZIONE: volendo confrontare l’espressione trigonometrica dell’integrale particolare yP(t)

con la funzione ƒƒƒƒ(t) = 3·sin(2t) che costituisce il termine noto dell’equazione differenziale assegnata, è necessario cercare di esprimere yP(t) facendo uso della sola funzione trigonometrica sin2t. A tale riguardo si consideri la possibilità di scrivere l’integrale particolare yP(t) nella forma:

ϕϕϕ ·sin2cos·cos2sin)2·sin()( tHtHtHtyP +=+=

in cui con H e ϕϕϕϕ sono parametri da determinarsi opportunamente in modo che risulti soddisfatta la seguente condizione:

−=+= tttHtHtyP 2cos

2

12sin·

5

3·sin2cos·cos2sin)( ϕϕ

L’applicazione del principio d’identità dei polinomi consente di esprimere le due relazioni che di seguito si riportano:

=

−=

53cos

103sin

ϕ

ϕ

H

H ⇒⇒⇒⇒

53

103

cos

sin −=

ϕ

ϕ

H

H ⇒⇒⇒⇒

2

1tan −=ϕ ⇒ ϕϕϕϕ = −−−−26,565°

Elevando al quadrato le due scritture e sommando membro a membro si ottiene quanto segue: 22

22

5

3

10

3)cos()sin(

+

−=+ ϕϕ HH ⇒⇒⇒⇒

25

9

100

9)cos(sin 222 +=+ ϕϕH

Ricordando la fondamentale identità trigonometrica sin2ϕϕϕϕ + cos2ϕϕϕϕ = 1, si perviene alla relazione:

25

9

100

92 +=H ⇒⇒⇒⇒

+=+= 1

4

1·

25

9

25

9

100

9H ⇒⇒⇒⇒

4

5

5

3=H ⇒⇒⇒⇒

10

53=H

Si conclude, pertanto, che l’integrale particolare può essere scritto nella seguente forma compatta:

)565,262·sin(10

53)435,632·sin(

10

53)2(sin)( °−=°−=+= tttHtyP ϕ

Una maggior correttezza e coerenza dimensionale richiederebbe di esprime l’angolo ϕϕϕϕ in radianti; consegue che:

radrad 46365,0·180

565,26

180

·=

°

°=

°

°= π

πϕϕ

Quindi, la funzione costituente la soluzione cercata assume la forma:

)46365,02·sin(10

53·

10

7)( 4 −+−= − tety t

CONSIDERAZIONE: La soluzione y(t) presenza la caratteristica che, poiché 4−=λ , cioè 0<λ , il suo andamento temporale tende al conseguimento del regime sinusoidale definito dall’integrale particolare yP(t); infatti al tendere di t all’infinito il termine esponenziale e−−−−4t tende a zero. Estendiamo lo studio delle equazioni differenziali ordinarie lineari al caso in cui i coefficienti NON SONO COSTANTI, bensì sono funzioni della variabile indipendente. La forma generale di una equazione differenziale lineare del primo ordine è definita dalla scrittura:

y’ = p(t)·y + q(t) in cui p(t) e q(t) sono due funzioni definite entrambe nell’intervallo D. Si considera, poi, p(t) ≠≠≠≠ 0. a) se q(t) = 0, come già accennato in precedenza, l’equazione si dice lineare omogenea e si risolve riconducendosi a una equazione a variabili separabili. Infatti si ottiene:

ytpy )·('= ⇒ ytpdt

dy)·(= ⇒ dttp

y

dy)·(= ⇒⇒⇒⇒ ∫∫ = dttp

y

dy)·(

Esercizio EQ9: Come applicazione delle equazioni differenziali lineari a variabili separabili, si vuole determinare la famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale ordinaria lineare: ttyy −= 2'

Il raccoglimento a fattore comune della variabile indipendente t consente di ottenere un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine lineare e a variabili separabili; infatti si relaziona:

)12·(' −= yty ⇒⇒⇒⇒ )12·( −= ytdt

dy ⇒⇒⇒⇒ dtt

y

dy·

12=

−, con: 012 ≠−y →

2

1≠y

Procedendo con l’operatore di integrazione, membro a membro, si relaziona come segue:

∫∫ =−

dtty

dy·

12 ⇒⇒⇒⇒ ∫∫ =

−dtt

y

dy·

12 ⇒ ∫∫ =

−dtt

y

dy·

12

·2

2

1

Si tratta di integrali notevoli che consentono di esplicitare la seguente relazione:

kt

y +=−2

12·ln2

1 2

⇒⇒⇒⇒ kty 212ln 2 +=− kty 212ln 2 +=−

In ossequio alla definizione di logaritmo, si posiziona come segue: ktkt

eeey2)2( 22

12 ==− + , da cui posto: Kek =2 , con: RK ∈ si ottiene:

2

·12 teKy =− ⇒⇒⇒⇒

2

·12 teKy +=

La soluzione dell’equazione differenziale ordinaria lineare assegnata assume, pertanto, la forma:

)·1·(2

1

2

·1)(

22

tt

eKeK

ty +=+

=

b) sia q(t) ≠≠≠≠ 0, esistono in tale caso due metodi per determinare la famiglia di soluzioni relative alla equazione differenziale; il primo modo è noto come metodo di variazione delle costanti arbitrarie, il secondo attiene all’utilizzo della formula generale di integrazione. b1) il metodo di variazione delle costanti si sviluppa in tre momenti, come di seguito riportato:

•••• si risolve l’equazione omogenea associata: 0)·(' =+ ytpy

•••• si ritiene k non come una costante bensì come una funzione della variabile indipendente t, cioè k = K(t);

•••• si determina K(t) in modo che l’integrale generale dell’omogenea associata sia soluzione dell’equazione differenziale di partenza.

Esercizio EQ10: Come applicazione del metodo delle ‘variazioni delle costanti’, si determini la famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale:

tttyty ·sin·cossin' =+

Si principia dividendo entrambi i membri per tsin , attesa la condizione: 0sin ≠t ; si ottiene:

tt

tyy +−=

sin

cos' , a cui corrisponde l’omogenea associata

t

tyy

sin

cos' −= , che può scriversi:

t

tty

dt

tdy

sin

cos)(

)(−= ⇒⇒⇒⇒ dt

t

t

ty

tdy·

sin

cos

)(

)(−= ⇒⇒⇒⇒ ∫∫ −= dt

t

t

ty

tdy·

sin

cos

)(

)(

Gli integrali a primo e a secondo membro sono integrali immediati dato che a numeratore compare la derivata del denominatore; si ottiene, altresì, con la posizione ( kA ln= ) la seguente relazione:

Atty +−= sinln)(ln ⇒⇒⇒⇒ ]sin·ln[lnsinln)(ln1−

=+−= tkktty

L’integrale generale dell’equazione omogenea associata assume, pertanto, la forma: 1

sin·)(−

= tkty ⇒⇒⇒⇒ tkty sin)( =

Il secondo passo consiste nel ritenere che la costante k sia in realtà una funzione della variabile indipendente t, cioè k = K(t); quindi si considera la posizione:

ttKty sin)()( =

Ciò premesso, si attua il terzo momento che consiste nel determinare K(t) in modo che l’integrale generale dell’omogenea associata sia soluzione dell’equazione differenziale completa assegnata;

il calcolo della derivata prima y’(t) porge la relazione che segue:

t

ttK

t

tK

t

ttK

t

tKty

22 sin

cos)·(

sin

)('

sin

cos)·(

sin

)(')(' −=

−+=

La sostituzione nell’equazione differenziale completa di partenza consente di scrivere:

tt

ttyty +−=

sin

cos)·()(' ⇒⇒⇒⇒ t

t

t

t

tK

t

ttK

t

tK+−=−

sin

cos·

sin

)(

sin

cos)·(

sin

)('2

La semplificazione dei termini comuni al primo e secondo membro consente di ottenere le scritture che di seguito si riportano:

tt

tK=

sin

)(' ⇒⇒⇒⇒ tttK ·sin)(' = ⇒⇒⇒⇒ tt

dt

tdK·sin

)(= ⇒⇒⇒⇒ dttttdK ··sin)( =

Non resta che procedere all’integrazione membro a membro ricorrendo, altresì, al metodo per parti, considerando come fattore finito g(t) = t e fattore differenziale ƒƒƒƒ’(t) = sin t, ottenendo:

∫∫∫ +−== dttttdttttdK ·coscos··sin)( ⇒⇒⇒⇒ CttttK ++−= sincos)(

La famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale assegnata è, pertanto, definita dalla forma:

t

Cttt

t

tKty

sin

sincos

sin

)()(

++−== ⇒⇒⇒⇒

t

C

t

t

t

ttty

sinsin

sin

sin

cos·)( ++−=

Si conclude con la relazione richiesta che di seguito si riporta:

t

Cttty

sin1)·cot()( ++−=

b2) il metodo afferente la formula generale di integrazione applica la relazione risolutiva:

[ ]Kdtetqetydttpdttp

+= ∫ ∫∫ − )·()·()·(·)(

Esercizio EQ11: Come applicazione della “formula generale di integrazione”, si determini la famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale:

tttyty ·sin·cossin' =+

Al fine di individuare le funzioni p(t) e q(t) è necessario esprimere l’equazione differenziale nella sua forma canonica, precisamente:

y’ = p(t)·y + q(t) Nel caso specifico in esame, ciò si ottiene, attesa la condizione: 0sin ≠t , dividendo ambo i membri per tsin ; si perviene, così, alle posizioni che di seguito si esplicitano:

tt

tyy +−=

sin

cos' ;

t

ttp

sin

cos)( −= ; ttq =)(

Atteso quanto premesso, si hanno ora tutti gli elementi necessari per l’applicazione della formula; infatti si ha:

[ ]Kdtetqetydttpdttp

+= ∫ ∫∫ − )·()·()·(·)( =

+= ∫

∫∫ −−−

Kdtetetydt

t

tdt

t

t·

sin

cos·

sin

cos

··)(

Si osserva che le operazioni di integrazione coinvolte attengono a integrali notevoli; si ottiene, così

[ ] [ ]KdttteKdtetety ttt +=+= ∫∫−− ··sin···)( ])ln[(sin)ln(sin)ln(sin 1

L’applicazione del metodo di integrazione per parti consente di pervenire alla soluzione richiesta:

[ ] ]sincos·[sin

1··sin·

sin

1)( kttt

tKdttt

tty ++−=+= ∫ ⇒⇒⇒⇒

t

kttty

sin1)cot()( ++−=

Si constata il conseguimento dello stesso risultato ottenuto con la procedura dell’esercizio EQ10.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE La forma tipica di una equazione differenziale del secondo ordine è espressa dalla scrittura:

F(x, y, y’, y”) = 0 Se risulta possibile esplicitare la derivata seconda y”si ottiene l’equazione differenziale espressa nella seguente forma normale:

y” = ƒƒƒƒ(x, y, y’) La soluzione è costituita da una famiglia di funzioni y = y(x, C1, C2) in cui C1 e C2 rappresentano i due parametri che descrivono la famiglia. Il teorema di Cauchy dell’esistenza e dell’unicità locale, per le equazioni differenziali del secondo ordine, recita quanto segue: Sia y” = ƒƒƒƒ(x, y, y’) una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine e sia ƒƒƒƒ(x, y, y’) una funzione definita in un insieme aperto D di R3; per ipotesi ƒƒƒƒ(x, y, y’) sia continua assieme alle sue derivate parziali rispetto alla y e alla y’. Sia inoltre P(xO, yO,y’O) ∈∈∈∈ D; allora l’equazione differenziale ordinaria y” = ƒƒƒƒ(x, y, y’) ammette una e una sola soluzione y(x) tale che:

y(x0) = y0 e y’(x0) = y’0. Le condizioni y(x0) = y0 e y’(x0) = y’0 sono dette CONDIZIONI INIZIALI e permettono di passare da un integrale generale a un integrale particolare. Nell’equazione differenziale lineare del secondo ordine espressa nella forma

a(x)y”(x) + p(x)·y’(x) + q(x)·y(x) = ƒƒƒƒ(x) se risulta ƒƒƒƒ(x) = 0 allora l’equazione è detta omogenea, altrimenti se è ƒƒƒƒ(x) ≠≠≠≠ 0 è detta completa. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE OMOGENEE Una equazione differenziale LINEARE del secondo ordine è una equazione di primo grado rispetto a y”(x), y’(x) e y(x), cioè si presenta nella forma seguente:

y”(x) + p(x)·y’(x) + q(x)·y(x) = 0 (1)

in cui p(x) e q(x) si definiscono i coefficienti dell’equazione differenziale. È bene osservare che: •••• se y1(x) e y2(x) sono soluzioni dell’equazione differenziale (1), allora anche [y1(x) + y2(x)] risulta

soluzione dell’equazione differenziale (1); •••• se y1(x) è soluzioni dell’equazione differenziale (1), allora si ottiene che pure ky1(x) è soluzione

della stessa equazione differenziale; questo significa che se y1(x) e y2(x) sono due soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione differenziale (1), cioè per ogni h ∈∈∈∈ R si ha che [y1(x)/y2(x)] ≠≠≠≠ h, allora la soluzione dell’equazione differenziale (1) è una combinazione lineare delle due funziono y1(x) e y2(x). Si consideri, come caso particolare, nel dominio della variabile reale t, l’equazione differenziale:

a·y”(t) + p·y’(t) + q·y(t) = 0 con (p, q) ∈∈∈∈ R, cioè consideriamo un’equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti. Per scrivere l’integrale generale bisogna considerare le radici del polinomio caratteristico, ovvero le soluzioni dell’equazione caratteristica associata:

a·λλλλ2 + p·λλλλ + q·= 0

e in relazione al valore del suo discriminante ∆∆∆∆ = p2 – 4aq, si danno i tre diversi casi seguenti:

∆∆∆∆ > 0, il polinomio caratteristico ha due radici reali e distinte λλλλ1 e λλλλ2; l’integrale generale della equazione differenziale assume la forma:

tteKeKty 21 ··)( 21

λλ +=

∆∆∆∆ = 0, il polinomio caratteristico presenta due radici reali e coincidenti λλλλ1 = λλλλ2= λλλλ e l’integrale generale dell’equazione differenziale assume la seguente forma:

ttetKeKty

·2

·1 ···)( λλ +=

∆∆∆∆ < 0, il polinomio caratteristico ha due radici complesse e coniugate λλλλ1 = αααα + jββββ e λλλλ2 = αααα −−−− jββββ; l’integrale generale dell’equazione differenziale assume la seguente forma:

)]sin()cos([)sin(·)cos(·)( 21··

2·

1 tKtKeteKteKtyttt ββββ ααα +=+=

ESEMPIO 1: determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale y” = y’ + 6y in cui si deve intendere che y è funzione della variabile reale t, ovvero: y = ƒƒƒƒ(t). Si riscrive l’equazione differenziale nella forma classica al fine di rappresentare la sua equazione caratteristica associata; si ottiene:

0606 2 =−−⇒=−− λλyyy &&&

in cui si riconosce che: a = 1; p = −−−−1 e q = −−−−6 e il discriminante ∆∆∆∆ = p2 – 4aq = 1 + 24 = 25 > 0

2

3

2

51

2

251

2 2

1

−=

=±=

±=

∆±−=

λ

λλ

a

p

L’integrale generale assume, pertanto, la seguente forma: tttt

eKeKeKeKty2

23

12121)( −+=+= λλ

ESEMPIO 2: Si risolva il problema di Cauchy di seguito esplicitato:

22)1(0)0(02 eyyyy ===− &&&&

L’equazione differenziale assegnata è già scritta in forma classica e la sua equazione caratteristica associata è definita dalla scrittura:

0202 2 =−⇒=− λλyy &&& ⇒ 0)2( =−⋅ λλ 2

0

2

1

=

=

λ

λ

L’integrale generale assume, pertanto, la seguente forma: tttt

eKKeKeKeKeKty2

212

20

12121)( +=+=+= λλ

Le condizioni richieste dal problema di Cauchy si esplicitano nelle relazioni di seguito riportate:

0)0( =y ⇒⇒⇒⇒ 210

221 )( KKeKK

t

t +=+=

⇒⇒⇒⇒ 21 KK −=

22)1(' ey = ⇒⇒⇒⇒ 2

1

221 2)( eeKK

dt

d

t

t =+=

⇒⇒⇒⇒ 2

1

22 2)2( eeK

t

t ==

pertanto, si ottiene: 22

2 22 eeK = ⇒⇒⇒⇒ 12 =K

Poiché 21 KK −= , è immediato procedere alla determinazione della costante K1; infatti si ha:

121 −=−= KK

L’integrale particolare atto a soddisfare il problema di Cauchy assegnato, assume la forma: tt

eeKKty22

21 1)( +−=+=

ESEMPIO 3: Si vuole determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine a coefficienti costanti: 096 =+− yyy &&&


096096 2 =+−⇒=+− λλyyy &&& ⇒ 0)3( 2 =−λ 3

3

2

1

=

=

λ

λ , λλλλ = 3 con νννν = 2

Si hanno due soluzioni reali e coincidenti; consegue che l’integrale generale assume la forma:

)(····)( 1233

23

12121 KtKeetKeKetKeKty

ttttt +=+=+= λλ

ESEMPIO 4: Si vuole determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine a coefficienti costanti: 0168 =+− yyy &&& ; inoltre, si risolva il problema di

Cauchy espresso dalle seguenti condizioni: 8)0(5)0( == y;y &


01680168 2 =+−⇒=+− λλyyy &&& ⇒ 0)4( 2 =−λ 4

4

2

1

=

=

λ

λ

Si hanno due soluzioni reali e coincidenti; pertanto l’integrale generale assume la forma:

)(····)( 1244

24

12121 KtKeetKeKetKeKty

ttttt +=+=+= λλ

Nella famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale assegnata si deve ricercare la soluzione particolare che risolve il problema di Cauchy; imponendo il soddisfacimento delle condizioni assegnate si ottiene quanto segue:

0

42

41 )··()0(

=+=

t

ttetKeKy ⇒⇒⇒⇒

02

01 ·0·)0( eKeKy += ⇒ 1)0( Ky =

0

42

42

41

0

42

41

0

)·44()··()0(=

==

++=

+==

t

ttt

t

tt

t

etKeKeKetKeKdt

d

dt

dyy&

214)0( KKy +=&

Pertanto, dovrà essere soddisfatto il seguente sistema:

=

=

8)0(

5)0(

y

y

& ⇒⇒⇒⇒

=+

=

84

5

21

1

KK

K ⇒⇒⇒⇒

−=

=

12

1

48

5

KK

K ⇒⇒⇒⇒

−=

=

208

5

2

1

K

K ⇒⇒⇒⇒

−=

=

12

5

2

1

K

K

La soluzione particolare atta a soddisfare il problema di Cauchy assume la seguente forma:

)125()(··)( 412

442

41 teKtKeetKeKty

tttt −=+=+=

ESEMPIO 5: Si vuole determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale ordinaria a coefficienti costanti del secondo ordine: 0134 =++ yyy &&& .


0134 =++ yyy &&& ⇒ 01342 =++ λλ ⇒ 321342 j±−=−±−=λ 32

32

2

1

j

j

+−=

−−=

λ

λ

Si hanno due soluzioni complesse e coniugate con αααα = −−−−2 e ββββ = 3; pertanto l’integrale generale ha la seguente forma:

)]3·sin()3cos([)·sin()·cos()( 212

21 tKtKeteKteKtyttt +=+= −ββ αα

ESEMPIO 6: Si vuole determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale ordinaria a coefficienti costanti del secondo ordine: 09 =+ yy&& ; inoltre, si risolva il problema di Cauchy

espresso dalle seguenti condizioni: 10)(5)( =−= ππ y;y &


025 =+ yy&& ⇒ 0252 =+λ ⇒ 252 −=λ ⇒ j525 ±=−±=λ 5

5

2

1

j

j

+=

−=

λ

λ

Si ottengono due soluzioni complesse coniugate puramente immaginarie; quindi, è αααα = 0 e ββββ = 5. Di conseguenza l’integrale generale ha la seguente forma:

)]5·sin()5cos(·[)·sin()·cos()( 210

21 tKtKeteKteKtyttt +=+= ββ αα

, ovvero:

)5·sin()5cos()( 21 tKtKty +=

Nella famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale assegnata si deve ricercare la soluzione particolare che risolve il problema di Cauchy; imponendo il soddisfacimento delle condizioni assegnate si ottiene quanto segue:

ππ

=+=

ttKtKy )5sin5cos()( 21 ⇒⇒⇒⇒ πππ 5sin5cos)( 21 KKy +=

πππ sincos)( 21 KKy += ⇒⇒⇒⇒ )0()1()( 21 KKy +−=π ⇒⇒⇒⇒ 1)( Ky −=π

πππ

π=

==

+−=

+==

ttt

tKtKtKtKdt

d

dt

dyy )5cos55sin5()5sin5cos()( 2121&

)1(5)0(5cos5sin55cos55sin5)( 212121 −+−=+−=+−= KKKKKKy πππππ&

25)( Ky =π&

Pertanto, dovrà essere soddisfatto il seguente sistema:

=

−=

10)(

5)(

π

π

y

y

& ⇒⇒⇒⇒

=−

−=−

105

5

2

1

K

K ⇒⇒⇒⇒

−=

=

510

5

2

1

K

K ⇒⇒⇒⇒

−=

=

2

5

2

1

K

K

La soluzione particolare atta a soddisfare il problema di Cauchy assume la seguente forma:

tttKtKty 5·sin25·cos55sin5cos)( 21 −=+=

ESEMPIO 7: Un carrello di massa M che può muoversi su un piano orizzontale è rigidamente collegato a una molla, caratterizzata dalla costante elastica k = cost, che produce l’effetto di una forza antagonista al moto e proporzionale allo spostamento y(t) del carrello. Sul carrello agisce una forza esterna F(t). Si deve determinare il modello del sistema e l’evoluzione temporale v(t) della velocità v(t) = (dy/dt) nell’ipotesi che sia nulla la forza esterna, cioè:F(t) = 0 nonché sia:

a) 2)0()(0

−===

ytyt

; 0)(0

==t

ty&

b) 0)0()(0

===

ytyt

; 3)(0

==t

ty&

Si richiede di analizzare la dinamica del sistema per effetto delle sole condizioni iniziali date, come problema di Cauchy, ai punti a) e b). Le forze ƒƒƒƒ che sono proporzionali allo spostamento del corpo mobile rispetto a

una posizione fissa e dirette costantemente in senso opposto a tale spostamento, cioè ƒƒƒƒe = −−−−ks con k = cost > 0, sono dette forze elastiche di richiamo perché ad esse, in prima approssimazione, si possono ridurre le forze che si suscitano per deformazione nei corpi elastici e che tendono quindi a ricondurre i punti del sistema deformato alle loro posizioni iniziali. Nel caso più semplice di una traiettoria rettilinea, come quella del carrello di massa M nel caso specifico in esame, indicata con y(t) la coordinata rispetto all’origine, la forza è ƒƒƒƒe(t) = −−−−k·y(t). In conformità al secondo principio della dinamica, il modello matematico, afferente il problema fisico in esame, assume la forma:

)()()(

2

2

tftFdt

tydM e+= ⇒⇒⇒⇒ )(·)()(· tyktFtyM −=&&

Nell’ipotesi che la forza esterna sia nulla, cioè F(t) = 0, il modello matematico si semplifica; si ha: )(·)()( tyMkty −=&&

Si ottiene, quindi, un’equazione differenziale lineare del secondo ordine, omogenea a coefficienti costanti, in quanto M e K sono tali. L’equazione caratteristica assume la forma:

M F(t)

-ky(t)

y(t) 0

M

k−=2λ ⇒⇒⇒⇒

M

kj

M

k±=−=λ

Mkj

Mkj

+=

−=

2

1

λ

λ

Si hanno due soluzioni complesse coniugate puramente immaginarie, quindi l’integrale generale assume la forma:

tM

kAt

M

kAty ·sin·cos)( 21 +=

Si può subito osservare che il moto è periodico, data la natura periodica delle funzioni seno e coseno. Ciò era prevedibile anche in base all’equazione di partenza, in quanto l’accelerazione è opposta allo spostamento e perciò tende sistematicamente a ricondurre il carrello mobile nella sua posizione di quiete con la molla in posizione di riposo, ovvero NON tesa e NON compressa. In ottemperanza alla definizione di periodo, la determinazione del suo valore si effettua facilmente tenendo presente che, in tale intervallo di tempo T, le funzioni seno e coseno devono riprendere il loro valore e, pertanto, devono avere l’argomento aumentato di 2ππππ; deve, quindi, verificarsi che:

π2·)·( +=+ tM

kTt

M

k ⇒⇒⇒⇒ π2··· +=+ t

M

kT

M

kt

M

k ⇒ π2· =T

M

k

Si giunge, così, alla determinazione del valore del periodo T e della frequenza f = 1/T mediante le seguenti relazioni:

k

MT π2= ⇒

M

k

Tf

π2

11==

Nella famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale assegnata si deve ricercare la soluzione particolare che risolve il problema di Cauchy; imponendo il soddisfacimento delle condizioni che fisicamente definiscono le cosiddette condizioni al contorno. a) Sia a) 2)0()(

0−==

=yty

t ; 0)(

0=

=tty& : la molla è inizialmente compressa e il carrello ha

velocità iniziale nulla, cioè è in quiete. Il soddisfacimento delle richieste espresse dal problema di Cauchy è definito dalle relazione che di seguito si riportano:

2)(0

−==t

ty ; 2·sin·cos0

21 −=

+

=t

tM

kAt

M

kA ; 2)0sin()0cos( 21 −=+ AA

Resta così determinato il valore della costante A1; si ha, infatti: 21 −=A

0)(0

==t

ty& ⇒⇒⇒⇒ 0·sin·cos)(

0

210

=

+=

== tt

tM

kAt

M

kA

dt

d

dt

tdy

0··cos··sin0

21 =

+−

=t

tM

k

M

kAt

M

k

M

kA

0)0cos()0sin( 21 =+−M

kA

M

kA ⇒⇒⇒⇒ 02 =

M

kA ⇒⇒⇒⇒ 02 =A

In tale contesto la soluzione cercata, ovvero l’evoluzione temporale dello spazio percorso y(t) e della velocità v(t) del carrello attiene alle relazioni seguenti:

tM

kty ·cos2)( −= e t

M

k

M

kty

dt

tdytv ··sin2)(

)()( === &

b) Sia a) 0)0()(0

===

ytyt

; 3)(0

==t

ty& : la molla è inizialmente a riposo, quindi NON tesa e

NON compressa, mentre il carrello è dotato di una velocità iniziale. Il soddisfacimento delle richieste espresse dal problema di Cauchy è definito dalle relazione che di seguito si riportano

0)0( =y ⇒⇒⇒⇒ 0)0sin()0cos( 21 =+ AA ⇒⇒⇒⇒ 01 =A

3)0( =y& ⇒⇒⇒⇒ 3)0cos()0sin( 21 =+−M

kA

M

kA ⇒⇒⇒⇒ 32 =

M

kA ⇒⇒⇒⇒

k

MA 32 =

In tale contesto la soluzione cercata, ovvero l’evoluzione temporale dello spazio percorso y(t) e della velocità v(t) del carrello, attiene alle relazioni seguenti:

tM

k

k

Mty ·sin3)( =

tM

kt

M

k

M

k

k

Mt

M

k

M

kAty

dt

tdytv ·cos3·cos·3·cos)(

)()( 2 ===== &

Gli andamenti temporali dello spostamento e della velocità del carrello, relativi ai due problemi di Cauchy proposti, sono mostrati nella figura sotto riportata.

OSSERVAZIONE 1: Le dimensioni della costante elastica k sono date dal rapporto fra una forza e uno spostamento (Newton/metro), la massa M ha dimensione definita dal rapporto fra una forza e una accelerazione (Newton·secondo2/metro); quindi procedendo nell’analisi dimensionale si ha:

122 sec

1

N·sec

m·

mN

Mk

Mk −====

=

sec

sec

1, cioè, una frequenza o pulsazione

OSSERVAZIONE 2: La determinazione della massima velocità conseguita dal carrello per effetto dell’iniziale compressione o trazione della molla elastica, poiché si è considerato il sistema NON soggetto a fenomeni di attrito, si effettua ricorrendo al principio di conservazione dell’energia; si può, infatti, per ogni istante t, stabilire l’uguaglianza fra l’energia elastica accumulata o ceduta dalla molla e l’energia cinetica posseduta dal carrello in movimento con velocità v(t); si ottiene, pertanto, la seguente relazione:

[ ] [ ] [ ] [ ]43421434214342143421

carrellocineticaenergiamollaelasticaenergiacarrellocineticaenergiamollaelasticaenergia

tvMtyktvMtyk

22

22

21

21 )(·

2

1)(·

2

1)(·

2

1)(·

2

1+=+

Problema a) di Cauchy: 2)0()(0

−===

ytyt

; 0)0()(0

===

ytyt

&&

All’istante t = 0 la molla è compressa e il carrello è in quiete mentre all’istante t* in cui il carrello ha la velocità massima la molla è in posizione di riposo; si ottiene la seguente relazione:

[ ] 22 ·)0(· MAXvMyk = ⇒⇒⇒⇒ [ ]

M

ykvMAX

22 )0(·

= ⇒⇒⇒⇒ M

k

M

kyvMAX 2)0( ±=±=

Problema b) di Cauchy: 0)0()(0

===

ytyt

; 3)0()(0

===

ytyt

&&

All’istante t = 0 la molla è in posizione di riposo (NON compressa e NON tesa) e il carrello è dotato di una velocità iniziale v(0), mentre all’istante t* in cui il carrello ha velocità nulla v(t*) = 0 la molla è compressa o tesa in relazione allo spostamento y(t*) = yMAX effettuato dal carrello; quindi si valida la seguente relazione:

[ ]22 )0(·· vMyk MAX = ⇒⇒⇒⇒ [ ]k

vMyMAX

22 )0(·

= ⇒⇒⇒⇒ M

k

M

kvyMAX 3)0( ±=±=

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI COMPLETE – METODO DI SOMIGLIANZA Assegnata un’equazione differenziale completa a coefficienti costanti

)('" tgcybyay =++ ⇒⇒⇒⇒ )('" tfqypyy =++

in cui, per la sua forma classica, deve intendersi che 0≠a , abp ≠ , acq ≠ e atgtf )()( = ,

l’integrale generale si scrive, grazie al principio di sovrapposizione, sommando all’integrale generale dell’equazione omogenea associata una soluzione yP(t) dell’equazione completa. Il problema consta nel determinare tale soluzione. Per risolvere tale equazione bisogna: •••• determinare la soluzione dell’equazione differenziale omogenea associata; •••• determinare l’integrale particolare yP(t) dell’equazione differenziale completa, la forma di

yP(t) dipende dalla funzione ƒƒƒƒ(t), •••• trovare la soluzione sommando fra loro l’integrale generale yg(t) dell’equazione omogenea

associata e l’integrale particolare dell’equazione differenziale completa. Si intende esaminare il metodo di somiglianza, utilizzabile nel caso in cui il termine noto ƒƒƒƒ(t) si presenti in una delle seguenti formulazioni: 1) ƒƒƒƒ(t) è un polinomio di grado n, ovvero: ƒƒƒƒ(t) = antn + an-1 t

n-1 + ... + a1t + aO; 2) ƒƒƒƒ(t) è una funzione esponenziale, cioè: ƒƒƒƒ(t) = a·ebt ; 3) ƒƒƒƒ(t) è una funzione sinusoidale, cioè: ƒƒƒƒ(t) = a·sin (bt); 4) ƒƒƒƒ((t) è una funzione cosinusoidale, cioè: ƒƒƒƒ(t) = a·cos (bt); 5) ƒƒƒƒ(t) è una funzione somma di alcune delle precedenti Il metodo di somiglianza ha questo nome perché si cerca una soluzione yP(t) simile al termine noto, precisamente si afferma quanto segue: 1) yP(t) è un polinomio dello stesso grado di ƒƒƒƒ(t), cioè:

yP(t) = Antn + An-1 tn-1 + ... + A1t + AO;

purché sia soddisfatta la condizione che λλλλ = 0 NON sia radice del polinomio caratteristico 1a) se λλλλ = 0 è radice semplice del polinomio caratteristico, allora:

yP(t) = t·(Antn + An-1 tn-1 + ... + A1t + AO);

1b) se λλλλ = 0 è radice doppia del polinomio caratteristico, allora: yP (t) = t2·(Antn + An-1 t

n-1 + ... + A1t + AO); 2) yP(t) è una funzione esponenziale con lo stesso esponente, allora: yP(t) = A·ebt

purché sia soddisfatta la condizione che λλλλ = b NON sia radice del polinomio caratteristico 2a) se λλλλ = b è radice semplice del polinomio caratteristico, allora: yP (t) = A·t·ebt 2b) se λλλλ = b è radice doppia del polinomio caratteristico, allora: yP (t) = A·t2·ebt

3) yP (t) è una funzione costituita dalla somma sinusoide-cosinusoide, allora: yP (t) = A1·cos(bt) + A2 sin(bt) purché sia soddisfatta la condizione che λλλλ = ±i·b NON sia radice del polinomio caratteristico 3a) se λλλλ = ±±±±i·b sono radici semplici del polinomio caratteristico, allora:

yP (t) = t·[A1·cos(bt) + A2 sin(bt)] Si deve osservare che la funzione yP(t) non è ancora completamente determinata, occorre inserire la funzione yP(t) nell’equazione differenziale, ricavando così un’identità che stabilisca i valori degli Ai.

APPLICAZIONE 1: Si consideri la seguente equazione differenziale del secondo ordine completa: )(''' tfqypyy =++ , in cui )(tf è un polinomio di grado n nell’indeterminata t. I possibili casi

che si possono verificare sui coefficienti dell’equazione differenziale sono: •••• pq ∀≠ 0 ⇒ l’integrale particolare yP(t) è un polinomio dello stesso grado n di ƒƒƒƒ(t);

•••• 00 ≠= pq e ⇒ l’integrale particolare yP(t) è un polinomio di grado (n+1);

•••• 00 == pq e ⇒ l’integrale particolare yP(t) è un polinomio di grado (n+2); Una volta stabilito il grado di yP(t) è necessario determinare i suoi coefficienti imponendo che sia

soluzione dell’equazione differenziale completa.

ESEMPIO 1: si consideri l’equazione differenziale: 622'' +−=+ tyy . Si osserva che p = 0; q ≠≠≠≠ 0

e ƒƒƒƒ(t) è un polinomio di grado n = 1; allora, l’integrale particolare assume la forma yP(t) = a·t + b. La conoscenza dell’integrale particolare richiede di determinare i coefficienti a e b. L’integrale yP(t) deve soddisfare l’equazione completa; pertanto si considera quanto segue:

abatdt

dtyP =+= )()(& e 0)( ===

dt

da

dt

ydty P

P

&&&

Sostituendo quanto ora determinato nell’equazione differenziale completa si ottiene:

622 +−=+ tyy PP&& ⇒⇒⇒⇒ 62)(20 +−=++ tbat ⇒⇒⇒⇒ 6222 +−=+ tbat

Applicando il principio di identità dei polinomi si ottengono le seguenti relazioni:

=

−=

62

22

b

a ⇒⇒⇒⇒

=

−=

3

1

b

a ⇒⇒⇒⇒ 3)( +−=+= tbattyP

Si deve ora determinare l’integrale generale yg(t) dell’equazione omogenea associata facendo il riferimento alla corrispondente equazione caratteristica; si ha:

02'' =+ yy ⇒⇒⇒⇒ 022 =+λ ⇒⇒⇒⇒ 22 −=λ ⇒⇒⇒⇒ j22 ±=−=λ 2

2

2

1

j

j

+=

−=

λ

λ

Si ottengono due soluzione complesse coniugate puramente immaginarie e, quindi, si ha 0=α e

2=β . L’integrale generale yg(t) assume la forma:

)]·2·sin()·2cos(·[)·sin()·cos()( 210

21 tKtKeteKteKty tttg +=+= ββ αα

, cioè:

)·2·sin()·2cos()( 21 tKtKtyg +=

La famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale assegnata è definita dalla relazione:

3)·2·sin()·2cos()()()( 21 +−+=+= ttKtKtytyty Pg

ESEMPIO 2: si consideri l’equazione differenziale completa: 318'3'' 2 −−=+ tyy . Si deduce che

p = 3 ≠≠≠≠ 0; q = 0 e ƒƒƒƒ(t) è un polinomio di grado n = 2; allora l’integrale particolare è costituito da un polinomio di grado (n + 1) = 3, ovvero di forma yP(t) = a·t3

+ b·t2 + c·t + d. Per conoscere l’integrale

particolare è necessario determinare i quattro coefficienti a, b, c e d. L’integrale yP(t), quindi, deve soddisfare l’equazione completa; pertanto si considera quanto segue:

cbtatdctbtatdt

dtyP ++=+++= 23)()( 223&

batcbtatdt

d

dt

tydty P

P 26)23()(

)( 2 +=++==&

&&

Sostituendo quanto sopra determinato nell’equazione differenziale completa si ottiene:

3183 2 −−=+ tyy PP &&& ⇒⇒⇒⇒ 318)23·(326 22 −−=++++ tcbtatbat

31832669 22 −−=++++ tcbatbtat ⇒ 318)32()··(69 22 −−=++++ tcbtbaat

Applicando il principio di identità dei polinomi si ottengono le seguenti relazioni:

−=+

=+

−=

332

0

189

cb

ba

a

⇒⇒⇒⇒

−−=

−=

−=

bc

ab

a

233

918

⇒⇒⇒⇒

−−=

=

−=

3)43(

2

2

c

b

a

⇒⇒⇒⇒

−=

=

−=

37

2

2

c

b

a

Pertanto, l’integrale particolare dell’equazione differenziale assegnata assume la seguente forma:

dtttdctbtattyP +−+−=+++= 3722)( 2323

Si deve ora determinare l’integrale generale yg(t) dell’equazione omogenea associata facendo il riferimento alla corrispondente equazione caratteristica; si ha:

03 =+ yy &&& ⇒⇒⇒⇒ 032 =+ λλ ⇒⇒⇒⇒ 0)3·( =+λλ 3

0

2

1

−=

=

λ

λ

Si ottengono due soluzione reali e distinte, consegue che l’integrale generale yg(t) è definito dalla relazione seguente:

tttttg eKKeKeKeKeKty 3

213

2·0

12121)( −− +=+=+= λλ


dttteKKtytyty tPg +−+−+=+= −

3

722·)()()( 233

21 , ovvero:

)(3

722·)( 1

2332 dKttteKty t ++−+−= −

APPLICAZIONE 2: Si consideri la seguente equazione differenziale del secondo ordine completa:

)(''' tfqypyy =++ , in cui il termine noto è costituito da una funzione del tipo )]([)( tPetf tα=

con R∈α e P(t) è un polinomio di grado n nell’indeterminata t. I possibili casi che si possono verificare per l’equazione differenziale in oggetto sono: •••• R∈α NON È SOLUZIONE dell’equazione omogenea associata: in questo caso l’integrale

particolare yP(t) assume la forma yP(t) = p(t)·eαααα·t, in cui p(t) è un polinomio dello stesso grado n di P(t);

•••• R∈α È SOLUZIONE di molteplicità ν dell’equazione omogenea associata: in questo caso l’integrale particolare yP(t) assume la forma yP(t) = tνννν·p(t)·eαααα·t, in cui p(t) è un polinomio dello stesso grado n di P(t);

Una volta stabilita la costituzione di yP(t) è necessario determinare i suoi coefficienti imponendo che sia soluzione dell’equazione differenziale completa.

ESEMPIO 3: si consideri l’equazione differenziale completa: tteyy 2''' =− . Si deduce che p = −−−−1,

q = 0, αααα = 2 e P(t) è un polinomio di grado n = 1. Si deve verificare se αααα = 2 È una soluzione della equazione omogenea associata al fine di definire la costituzione dell’integrale particolare yP(t). Quindi, si deve determinare l’integrale generale yg(t) dell’equazione omogenea associata facendo riferimento alla corrispondente equazione caratteristica; si ottiene:

0=− yy &&& ⇒⇒⇒⇒ 02 =− λλ ⇒⇒⇒⇒ 0)1·( =−λλ 1

0

2

1

=

=

λ

λ

Si ottengono due soluzione reali distinte, inoltre αααα = 2 NON È soluzione dell’equazione omogenea associata, consegue che l’integrale generale yg(t) è definito dalla seguente relazione:

tttttg eKKeKeKeKeKty ·····)( 21

·12

·01

·2

·1

21 +=+=+= λλ

mentre l’integrale particolare è costituito dalla funzione yP(t) = p(t)·eαααα·t in cui αααα = 2 e p(t) definisce un polinomio anch’esso di grado (n = 1); si ottiene: yP(t) = (a·t + b)·e2·t. Per conoscere l’integrale particolare è necessario determinare i due coefficienti a e b. L’integrale yP(t) deve soddisfare la equazione completa; pertanto si considera quanto segue:

tttP ebataeebat

dt

dty 222 )·(2])·[()( ++=+=&

tttttPP ebataeaeebatae

dt

d

dt

tydty 22222 )·(422])(2[

)()( +++=++==

&&&

Sostituendo quanto sopra determinato nell’equazione differenziale completa si ottiene:

tPP teyy 2=− &&& ⇒⇒⇒⇒ tttttt teebataeebataeae 222222 ])(2[)·(422 =++−+++

Svolgendo i necessari passaggi algebrici e le relative semplificazioni si ottengono le scritture: tttttttt tebeateaebeateaeae 22222222 224422 =−−−+++

tttt tebeateae 2222 223 =++ ⇒⇒⇒⇒ tt etebaat 22 ·)·232( =++ ⇒⇒⇒⇒ tbaat =++ )23(2

L’applicazione del principio di identità dei polinomi consente di relazionare come di seguito viene esplicitato:

=+

=

023

12

ba

a ⇒⇒⇒⇒

−=

=

23

21

ab

a ⇒⇒⇒⇒

−=

=

43

21

b

a


ttP etebatty

22 ·4

3

2

1)·()(

−=+=


ttPg eteKKtytyty 2

21 ·4

3

2

1·)()()(

−++=+=

ESEMPIO 4: Si consideri l’equazione differenziale completa: teyyy 36''' =−− . Si deduce che è:

p = −−−−1, q = −−−−6, αααα = 3 e P(t) è un polinomio di grado n = 0. Si deve verificare se αααα = 3 È oppure non è una soluzione della equazione omogenea associata al fine di definire la costituzione dell’integrale particolare yP(t). Quindi, si deve determinare l’integrale generale yg(t) dell’equazione omogenea associata facendo riferimento alla corrispondente equazione caratteristica; si ottiene:

06 =−− yyy &&& ⇒⇒⇒⇒ 062 =−− λλ ⇒⇒⇒⇒ 02

51

2

2411 ±=

+±=λ

3

2

2

1

+=

−=

λ

λ

Si ottengono due soluzione reali e distinte, consegue che l’integrale generale yg(t) è definito dalla seguente relazione:

ttttg eKeKeKeKty ·3

2·2

1·

2·

1 ····)( 21 +=+= −λλ

Inoltre αααα = 3 È soluzione semplice dell’equazione omogenea associata, consegue che l’integrale particolare avrà la forma espressa dalla scrittura: yP(t) = a·t·eααααt

= a·t·e3t. Per conoscere l’integrale particolare è necessario determinare la costante a. L’integrale yP(t) deve soddisfare l’equazione completa; pertanto si considera quanto segue:

tttP ateaeate

dt

dty 333 3][)( +==&

tttttttPP ateaeateaeaeateae

dt

d

dt

tydty 3333333 96933]3[

)()( +=++=+==

&&&

Sostituendo quanto sopra determinato nell’equazione differenziale completa si ottiene: t

PPP eyyy 36 =−− &&& ⇒⇒⇒⇒ tttttt

eaeateaeateae333333 6396 =−−−+

Svolgendo i necessari passaggi algebrici e le relative semplificazioni si ottengono le scritture: tttttt

eaeateaeateae333333 6396 =−−−+ ⇒⇒⇒⇒

tteae

335 = ⇒ 15 =a ⇒ 51=a

Pertanto, l’integrale particolare dell’equazione differenziale assegnata assume la seguente forma: tt

P etatety 33 ·)·51()( ==


tttPg eteKeKtytyty

332

21 ··

5

1··)()()( ++=+= −

ESEMPIO 5: Si consideri l’equazione differenziale completa: tetyyy )·1('2'' +=+− . Si deduce

che è: p = −−−−2, q = 1, αααα = 1 e P(t) = (t + 1) è un polinomio di grado n = 1. Si deve verificare se αααα = 1 È o NON È una soluzione dell’equazione omogenea associata onde definire la forma dell’integrale particolare yP(t). Quindi, si deve determinare l’integrale generale yg(t) dell’equazione omogenea associata facendo riferimento alla corrispondente equazione caratteristica; si ottiene:

02 =+− yyy &&& ⇒⇒⇒⇒ 0122 =+− λλ ⇒⇒⇒⇒ 0)1( 2 =−λ 1

1

2

1

=

=

λ

λ 1=λ con νννν = 2

Si ottengono due soluzione reali e coincidenti, ovvero una soluzione con ordine di molteplicità νννν pari a due; consegue che l’integrale generale yg(t) è definito dalla seguente relazione:

ttttg etKeKetKeKty ······)( 21

·2

·1

21 +=+= λλ

Inoltre αααα = 1 = λλλλ È soluzione doppia dell’equazione omogenea associata, consegue che l’integrale

particolare avrà la forma data dalla scrittura: ttP ebattebattty )·()·()( 2 +=+= λν

con )( bat + polinomio di grado n = 1, cioè uguale al grado del polinomio P(t) = (t + 1) assegnato. Per conoscere l’integrale particolare è necessario determinare le due costanti a e b. L’integrale yP(t) deve soddisfare l’equazione completa; pertanto si considera quanto segue:

ttttP ebatteatebattebatt

dt

dty )()·(2])([)( 222 ++++=+=&

ttttP ebttbaat

dt

debatteatebatt

dt

d

dt

tydty ]·2)3([])·()··(2[

)()( 2322 +++=++++==

&&&

Svolgendo i necessari passaggi e le relative semplificazioni algebriche si ottengono le scritture che di seguito si riportano:

t

t

ttP

ebtbatbaat

ebttbaatbtbaat

ebttbaatebtbaatty

]·2)46()6([

]·2)·3(2)·26(3[

]·2)·3([]·2)·3·(23[)(

23

232

232

+++++=

=+++++++=

=+++++++=&&

Sostituendo quanto calcolato nell’equazione differenziale completa tPPP etyyy

3)·1(2 +=+− &&&

e ricordando che et ≠≠≠≠ 0 per ogni t ∈∈∈∈ R, si ottiene la seguente relazione:

ttttetebattebttbaatebtbatbaat )1()(]2)3([2]2)46()6([ 22323 +=+++++−+++++

)1()(]2)3([2]2)46()6([ 22323 +=+++++−+++++ tbattbttbaatbtbatbaat

Svolgendo i necessari passaggi algebrici e le relative semplificazioni si ottengono le scritture:

14)·26(22)·46()·6( 232323 +=++−+−−+++++ tbtatbttbaatbtbatbaat

012)·1446()·266( 2 =−+−−+++−−+ btbbatbbaba ⇒ 012)·16( =−+− bta

L’applicazione del principio di identità dei polinomi consente di esplicitare la seguente condizione:

=−

=−

012

016

b

a ⇒⇒⇒⇒

=

=

12

16

b

a ⇒⇒⇒⇒

=

=

21

61

b

a


ttP ettebattty

22 ·2

1

6

1)·()(

+=+= ⇒⇒⇒⇒ t

P ettty2·1

3

1·

2

1)(

+=

La famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale assegnata è definita dalla relazione: ttt

Pg ettetKeKtytyty32

21 )·3·()61(··)()()( +++=+=

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EQUAZIONI DIFFERENZIALI F(x, y, y’, y”, … , y ) = 0 · EQUAZIONI DIFFERENZIALI Definizione 1: si definisce equazione differenziale ordinaria (ordinary differential equation)