1

1

ITIS “E. FERMI” FUSCALDOD.S. Prof. Ing. Nicola De Nardi

Lavoro Prodotto nel centro servizi multimediale dell’Itis “E. Fermi

Equazioni differenziali e applicazioni

Coordinatore prof. Vittorio GrandinettiAutori alunni: Buonasperanza Paolino, Covello Davide, Cuomo Alessandro

D’Amico Salvatore, Magnone Paolo, Martello Panno, Pizzuto Sandro

www2.fermischool.netwww.fermischool.net

2

EQUAZIONI DIFFERENZIALI E EQUAZIONI DIFFERENZIALI E

APPLICAZIONIAPPLICAZIONI MATEMATICHEMATEMATICHE

2

3

Un viandante che si rifiuti di oltrepassare unponte fino a quando non abbia personalmente

verificato la solidità di ogni sua parte è destinato a non andare molto lontano; qualche volta bisogna

rischiare, anche in matematica.

HORACE LAMB

4

INDICE1 Introduzione2 Le equazioni differenziali ordinarie del primo ordine3 Equazioni differenziali del primo ordine a variabili

separabili4 Equazioni differenziali del primo ordine lineari5 Equazioni differenziali del primo ordine omogenee6 Il problema di Cauchy7 Integrale particolare8 Integrale singolare9 Le equazioni differenziali ordinarie del secondo

ordine10 Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee11 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non

omogenee (1° CASO) 12 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non

omogenee (2° CASO)

3

5

13 Principio di sovrapponibilità14 Applicazioni15 Applicazioni in geometria16 Applicazioni in chimica e fisica17 Legge di crescita malthusiana ed applicazioni in

economia18 Programma in Pascal per calcolare l'interesse di un

deposito bancario19 Risoluzione numerica di una equazione dedifferenziale

“Metodo di Eulero”20 Il metodo di Eulero con il Foglio elettronico21 Bibliografia

6

INTRODUZIONEI matematici cercarono di usare il calcolo infinitesimale per risolvere nuovi problemi fisici e si trovarono presto costretti a trattare una nuova classe di problemi. Essi fecero più di quanto si erano prefissi di fare.I problemi più semplici conducevano a quadrature che potevano essere valutate mediante le funzioni elementari.Una di queste è costituita dai problemi che rientrano nell'area oggi generalmente nota come teoria dell'elasticità.

4

7

Quelli un poco più difficili conducevano a quadrature che non potevano essere espresse in questo modo, come nel caso degli integrali ellittici. Entrambi questi tipi di problemi cadevano nel raggio d'azione del calcolo infinitesimale. Tuttavia, la soluzione di problemi ancora più complicati richiedeva l'uso di tecniche specialistiche; fu così che nacque la teoria delle equazioni differenziali. Numerose classi di problemi fisici fornirono le motivazioni alle ricerche sulle equazioni differenziali. Un corpo è elastico se si deforma sotto l'azione di una forza e riacquista la sua forma originale quando la forza viene rimossa.

8

I problemi più pratici hanno a che fare con le forme assunte dalle travi, verticali e orizzontali, quando vi vengono applicati dei carichi. Questi problemi, trattati empiricamente dai costruttori delle grandi cattedrali medievali, furono affrontati dal punto di vista matematico durante il Seicento da uomini quali Galileo, Edme Mariotte(1620-84), Robert Hooke (1635-1703) e Wren. Il comportamento delle travi è una delle due scienze discusse da Galileo nei “Discorsi intorno a due nuove scienze”.

GALILEO GALILEI

5

9

Le ricerche di Hooke sulle molle lo condussero alla scoperta della legge secondo la quale la forza esercitata su una molla in tensione è proporzionale allo spostamento.

Gli scienziati del Settecento, armati di una maggior quantità di matematica, iniziarono le loro ricerche sull'elasticità affrontando problemi quali la forma assunta da una fune anelastica ma flessibile sospesa a due punti fissi, la forma assunta da una catena anelastica ma flessibile sospesa a un punto fisso e posta in vibrazione, la forma assunta da una corda elastica vibrante tenuta fissa alle sue estremità, la forma assunta da una verga fissata alle sue estremità e soggetta a un carico e la forma assunta da una verga quando è posta in vibrazione.

10

Il pendolo continuò ad interessare i matematici. L'equazione differenziale esatta del pendolo circolare

0/ 22 =+ θθ sinmgdtd

sfidava ogni trattazione, ma anche quella approssimata ottenuta sostituendo

θθ consindoveva ancora essere trattata analiticamente. Inoltre, il periodo di un pendolo circolare non è strettamente indipendente dall'ampiezza del moto e venne perciò intrapresa la ricerca della curva lungo cui la massa pendolare deve oscillare perché il periodo sia strettamente indipendente dall'ampiezza. Huygensaveva risolto geometricamente questo problema con l'introduzione della cicloide, ma la soluzione analitica doveva ancora essere foggiata.

6

11

Il pendolo era strettamente collegato con altri due campi di ricerca fondamentali del Settecento, la forma della Terra e la verifica della legge di attrazione gravitazionale. Il periodo approssimato di un pendolo

glT π2=

veniva usato per misurare la forza di gravità in vari punti della superficie terrestre perché il periodo dipende dall'accelerazione g determinata da questa forza. Misurando lungo un meridiano le successive lunghezze corrispondenti al cambiamento di un grado di latitudine è possibile con l'aiuto di un po' di teoria e dei valori di g, determinare la forma della Terra. In effetti, servendosi della variazione del periodo osservata in vari punti della superficie terrestre, Newton n'aveva dedotto che la Terra è più gonfia all'equatore.

12

Dopo che Newton aveva concluso mediante il suo ragionamento teorico che il raggio all'equatore era di 1/230 più lungo del raggio al polo (questo valore è di un 30 per cento troppo grande), gli scienziati europei erano ansiosi di trovarne una conferma sperimentale.

NEWTON

7

13

Un metodo possibile sarebbe stato quello di misurare la lunghezza di un grado di latitudine vicino all'equatore e vicino ad un polo: se la Terra fosse effettivamente appiattita, il grado di latitudine dovrebbe essere leggermente più lungo ai poli che all'equatore.Jacques Cassini (1677-1756) e i membri della sua famiglia effettuarono queste misurazioni e nel 1720 ottennero il risultato opposto, trovando che il diametro da polo a polo era di 1/95 più lungo del diametro equatoriale.Per risolvere la questione una volta per tutte, negli anni 1730 l'Académie des Sciences francese inviò una spedizione in Lapponia, guidata dal matematico Pierre-Louis Moreau de Maupertuis, e un'altra in Perù.

14

Il gruppo guidato da Maupertuis comprendeva anche il suo amico matematico Alexis-Claude Clairaut. Le loro misure confermarono che la Terra è piatta ai poli e Voltaire salutò Maupertuis con l'appellativo di “ appiattitore dei poli e dei Cassini ”. In effetti, il valore dato da Maupertuis era di 1/178, che è meno accurato di quello di Newton. Il problema della forma della Terra continuò a rivestire grande importanza e per lungo tempo rimase aperta la questione di sapere se essa fosse quella di uno sferoide oblato, di uno sferoide prolato, di un ellissoide generale o di qualche altro solido di rotazione.

8

15

Il problema connesso di verificare la legge di gravitazione poteva essere affrontato una volta che fosse nota la forma della Terra. Data la forma, sarebbe stato possibile determinare la forza centripeta necessaria per mantenere un oggetto sulla o vicino alla, superficie della Terra. Allora, conoscendo l'accelerazione g dovuta alla forza di gravità sulla superficie, si sarebbe potuto verificare se l'intera forza di gravità, che fornisce l'accelerazione centripeta e g, proprio quella data dalla legge di gravitazione. Clairaut, uno di coloro che ne misero in dubbio la validità, pensò in un certo momento che essa potesse essere della forma

.// 32 rBrAF +=

16

I due problemi della legge d'attrazione e della forma della Terra sono ulteriormente connessi tra loro perché, quando la Terra viene trattata come un fluido rotante in equilibrio, le condizioni per l'equilibrio coinvolgono l'attrazione che le particelle del fluido esercitano una sull'altra.Il campo d'interessi fisico che dominò il secolo fu l'astronomia. Newton aveva risolto quello che viene chiamato problema dei due corpi, cioè il moto di un singolo pianeta sottoposto all'attrazione gravitazionale del Sole, dove ciascun corpo viene assunto essere un punto materiale. Aveva anche compiuto alcuni passi in direzione della trattazione del problema fondamentale dei tre corpi, cioè del comportamento della Luna sottoposta all'attrazione della Terra e del Sole.

9

17

Tuttavia, questo era soltanto l'inizio degli sforzi compiuti per studiare i moti dei pianeti e dei loro satelliti sottoposti all'attrazione gravitazionale del Sole e alla mutua attrazione di tutti gli altri corpi. Inoltre, le ricerche di Newton contenuti nei Principia, pur costituendo in effetti la soluzione di certe equazioni differenziali, dovevano essere tradotte in forma analitica r questo fu fatto gradualmente durante il Settecento.Questo lavoro fu iniziato, incidentalmente, da PierreVarignon, un fine matematico e fisico francese, che voleva liberare la dinamica dall'ingombro della geometria.Newton aveva risolto alcune equazioni differenziali in forma analitica , ad esempio nella Methodus fluxionumdel 1671 e nel Tractatus del 1676, dove aveva osservato che la soluzione dell'equazione

18

)(/ xfdxyd nn =è arbitraria, nel senso che vi si può aggiungere un qualsiasi polinomio di grado n - 1 in x. Nello scolio alla proposizione della terza edizione dei Principia Newton si limita ad enunciare un risultato sulla forma dei solidi di rotazione che offrono la minima resistenza al moto in un fluido, ma in una lettera a David Gregory del 1694 spiega come vi è giunto e nella spiegazione si serve di equazioni differenziali.Fra i problemi astronomici, quello del moto della Luna ricevette le maggiori attenzioni perché il metodo comune per determinare la longitudine delle navi in mare, così come altri metodi usati nel Settecento, dipendeva dalla conoscenza in ogni momento della direzione della Luna rispetto a una posizione standard (che, a partire dalla fine del secolo, fu quella di Greenwich in Inghilterra).

10

19

Era necessario conoscere questa direzione della Luna con un'approssimazione di 15 secondi di grado per determinare l'ora di Greenwich con l'approssimazione di un minuto; già un errore di questo genere poteva condurre ad un errore di 30 chilometri nella determinazione della posizione della nave. Con le tavole delle posizioni della Luna disponibili all'epoca di Newton questa precisione era lungi dal poter essere ottenuta. Un altro motivo dell'interesse per la teoria del moto della Luna era il fatto che essa poteva essere usata per predire le eclissi, che a loro volta costituivano una verifica per l'intera teoria astronomica.La teoria delle equazioni differenziali ordinarie nacque dai problemi cui abbiamo accennato.

20

A mano a mano che la matematica si sviluppava, la teoria delle equazioni alle derivate parziali condusse a nuove ricerche sulle equazioni differenziali ordinarie (cioè sulle equazioni che contengono derivate rispetto a un'unica variabile indipendente), e lo stesso fecero le discipline che sono oggi note come geometria differenziale e come calcolo delle variazioni.Come abbiamo visto, il tentativo di risolvere problemi fisici che all'inizio comportavano soltanto delle quadrature condusse gradualmente alla consapevolezza che era stato creato un nuovo ramo della matematica, la teoria delle equazioni differenziali ordinarie.Con la metà del Settecento lo studio delle equazioni

differenziali diventò una disciplina indipendente e la soluzione di queste equazioni venne perseguita da per se stessa.

11

21

Il problema della soluzione in forma chiusa non venne dimenticato, ma di cercare di risolvere in quel modo le equazioni differenziali particolari che traggono origine dai problemi fisici i matematici andarono alla ricerca di equazioni differenziali che ammettessero soluzioni in termini di un numero finito di funzioni elementari e furono trovate un gran numero di equazioni differenziali integrabili in questa maniera.D'alembert (1767) si occupò di questo problema e incluse gli integrali ellittici fra le risposte che li giudicava accettabili. Molti altri hanno percepito il bisogno di dire la propria con prove matematiche al riguardo.

22

Un altro approccio fu quello di cercare delle condizioni affinché la soluzione sviluppata in serie contenesse soltanto un numero finito di termini.

Un tipico approccio a questo problema, compiuto, fra gli altri da Euler (1769) consistette nel partire con un equazione differenziale di cui fosse possibile effettuare l'integrazione in forma chiusa e di derivare da essa altre equazioni differenziali.

EULER

12

23

Un interessante, benché infruttuoso, tentativo compiuto da Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Condorcet (1743-94) nel Du calcul intégral (1765) fu quel volto a portare ordine nei molti metodi e artifici diversi usati per risolvere le equazioni differenziali.Egli elencò tutte le operazioni quali la derivazione,

l'eliminazione e la sostituzione e cercò di ridurre tutti i metodi a queste operazioni canoniche. I suoi sforzi non condussero però ad alcun risultato. In linea con questo piano, Euler dimostrò che, dove è possibile la separazione delle variabili, si può anche trovare un fattore moltiplicante (integrante), ma non viceversa. Provò anche che la separazione delle variabili non è possibile per le equazioni di ordine superiore.

24

Quanto alle sostituzioni, non trovò alcun principio generale per individuarle, in quanto il trovare delle sostituzioni è altrettanto difficile che risolvere direttamente le equazioni differenziali.Tuttavia, una trasformazione può ridurre l'ordine di un'equazione differenziale. Euler usò quest'idea per risolvere le equazioni lineari non omogenee di ordine n, e anche nel caso dell'equazione omogenea egli pensava che ciascun

∫ ][exp dxp

desse, per il valore opportuno di p , un fattore del primo ordine dell'equazione differenziale. Anche Riccati aveva come progetto quello di ridurre l'ordine.

13

25

Venne inoltre elaborato un certo numero di altri metodi, fra cui il metodo dei moltiplicatori indeterminati di Lagrange. All'inizio si credette che questo metodo fosse generale, ma in seguito esso non si rivelò tale.La ricerca di metodi generali per l'integrazione delle equazioni differenziali ordinarie terminò intorno al 1775.

26

LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL PRIMO ORDINE

DEFINIZIONE: sia y una funzione incognita della variabile indipendente x, sia y' la sua derivata prima. Un'equazione nella quale figurino la variabile indipendente x, la funzioneincognita y e la sua derivata prima si dice equazione differenziale ordinaria del prim'ordine.

( ) 0,, =′yyxF

14

27

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE A VARIABILI SEPARABILI.

Un'equazione differenziale che presenta al secondo membro il prodotto di una funzione della sola y per una funzione della sola x si dice a variabili separabili.

( ) ( )ygxfy ⋅=′

Il procedimento che consente di determinare la soluzione generale o integrale generale è il seguente :

28

cdxxfyg

dy

dxxfyg

dy

ygxfdxdy

ygxfy

+=

=

⋅=

⋅=

∫ ∫ )()(

)()(

)()(

)()('

15

29

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI

Questo tipo di equazioni si presenta nella seguente forma:

)()(' xgyxfy =⋅+La formula che consente di determinare la soluzione generale è la seguente :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅∫⋅∫= ∫

−cdxxgeey

dxxfdxxf)(

)()(

30

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE OMOGENEE

Un'equazione di questo tipo si presentano nella seguente forma :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyfy '

posto :

;

;

xZyxyZ

⋅=

=

( )zfy ='

16

31

,

:

ZxZy

quindi

+′=′ e sostituendo :

( )

( )

( )

:separabili ia variabil equazioneuna è che

:cuida

∫ ∫=−

−=′

=+′

xdx

ZZfdZ

xZZfZ

ZfZxZ

32

Nella trattazione delle equazioni differenziali è di fondamentale importanza il problema di Cauchy e conseguentemente i concetti di integrale particolare e singolare.

IL PROBLEMA DI CAUCHY

Data un'equazione differenziale di ordine n, la richiesta di determinare l'integrale particolare

( )xy Φ=

che soddisfi n equazioni iniziali del tipo :

17

33

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ),,........,,,

:

....

...........,',

10000

100

1000

000

0

−

−−

′′

=

′′=′′′==

nx

nn

yyxyyx

dove

yxy

yxyyxyyxy

sono valori assegnati, viene denominato problema di Cauchy.

34

INTEGRALE PARTICOLARE

DEFINIZIONE: Si chiama integrale particolare o soluzione particolare dell'equazione differenziale

( ) 0,, =′yyxFogni funzione

( )xfy =ottenuta dalla soluzione generale

( )xy Φ=

attribuendo alla costante c un particolare valore numerico.

18

35dxxdy

xdxdy

xyxy

2

2

2

2

'0'

=

=

=

=−;

31;4 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛P

Così, ad esempio, data l'equazione differenziale

per determinare il suo integrale particolare le cui curve rappresentative passa per il punto:

02 =−′ xy

3621

3

213

633641

364

3134

31

3

3

3

3

−=

−=−=−

=−=

+=

+=

xy

c

c

cxy

∫ ∫= dxxdy 2

19

37

INTEGRALE SINGOLARE

Si chiama integrale singolare o di frontiera dell'equazione differenziale

( )yxfy ,=′ogni eventuale integrale la cui corrispondente curva risulti interamente giacente sulla frontiera.La sua equazione non è ottenibile per alcun valore numerico attribuito alla costante c.

38

Così, ad esempio, data l’equazione differenziale :

∫ ∫=

=

=

=′

dxdyy

dxy

dy

ydxdy

yy

21

2

2

2

20

39

( )2

21

21

212121

cxy

cxy

cxy

cxy

+=

+=⋅

+=⋅

+=∫−

In base a questo esercizio osserviamo che y=0 è una soluzione dell'equazione differenziale, ma y=0 non può considerarsi un integrale particolare perché non si può dedurre per alcun valore di c dalla soluzione generale.Pertanto y=0 rappresenta un integrale singolare.

40

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE

Questo tipo di equazioni possono essere classificate in:

omogenee;

lineari non omogenee (1° e 2° caso);

21

41

EQUAZIONI DIFFERENZIALI OMOGENEE DEL SECONDO ORDINE

Tali equazioni si presentano nella seguente forma :

0=+′+′′ cybyaAvendo a disposizione l'equazione caratteristica associata, di conseguenza può essere calcolata la soluzione generale y.A proposito della soluzione, esistono però tre differenti casi :

1° CASO) Se l'equazione caratteristica ammette due soluzioni reali e distinte allora la soluzione generale è data da :

,, 21 λλ

xx eCeCy 2121

λλ ⋅+⋅=

42

21 λλ =xx exCeCy 11

21λλ ⋅⋅+⋅=

3° CASO) Se l'equazione caratteristica ammette due soluzioni complesse coniugate immaginarie

2° CASO) Se l'equazione caratteristica ammette due soluzioni coincidenti , la soluzione generale è data da

βα

βα

ie

i

−

+

la soluzione generale è data da :

xeCxeCy xx ββ αα sencos 21 ⋅⋅+⋅⋅=

22

43

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL SECONDO ORDINE NON OMOGENEE ( 1° CASO )

Questo tipo di equazioni è riconducibile alla seguente formula : ( )xdcyybya =+′+′′d(x) = termine forzante, polinomio di grado n

a) se il polinomio sarà dello stesso ordine di d(x);

b) se

il polinomio

sarà di grado n+1 rispetto al polinomio d(x).

0≠c ( )xy

0 0 ≠∧= bc

( )xy

44

il polinomio

sarà di grado n+2 rispetto al polinomio d(x).

00 =∧= bc3) se

23

45

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL SECONDO ORDINE NON OMOGENEE ( 2° CASO )

( ) xexPcyybya γ⋅=+′+′′

( )possono

xy eparticolar soluzionedella calcolo ilPer presentarsi tre differenti casi :

:da dato è eparticolar soluzionela , radici le con coincide non cioè

tica,caratteris equazionedell'radice è nona)

21 λλ

γ

e ( ) ( ) xexAxy γ⋅=

N.B. A(x) è un polinomio dello stesso grado di P(x).

46

( ):formulaseguentedalladataè

eparticolarsoluzionelaradici,duedelleunaconcoincideseb)

xyγ

( ) ( ) xexxAxy γ⋅⋅=

:formulaseguentedalladataèeparticolarsoluzionela

radicileentrambeconcoincidesec) γ

( ) ( ) xexxAxy γ⋅⋅= 2

La soluzione generale si calcola come nel caso precedente.

24

47

PRINCIPIO DI SOVRAPPONIBILITA'

( ) ( ) xx exQexPcyybya γγ ⋅+⋅=+′+′′In questa circostanza devono essere calcolate due soluzioni particolari :

( ) ( )xyexy 21

( ) ( )

( ) ( )xyexQcyybya

xyexPcyybya

x

x

2

1

→⋅=+′+′′

→⋅=+′+′′

α

γ

Ne consegue :

( ) ( ) ( )xyxyxy 21associataomogeneaequazionesoluzione ++=

48

APPLICAZIONI

25

49

APPLICAZIONI INGEOMETRIA

50

APPLICAZIONI IN GEOMETRIA

PROBLEMA

"Determinare le curve per le quali il coefficiente angolare delle rette tangenti a ciascun punto della curva sia proporzionale all'ascissa del punto stesso."

Se è la curva cercata, x l'ascissa del punto di tang e è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in x, indicando con c la costante di proporzionalità si ha :

( )xfy =( )xfy =′

analitica.formainproblemadeltazionesenrapprelaè→=′ cxy

26

51

Per determinare le curve cercate :

1

2

2:cuida

:avremoegrandointe

Cxcydxxcdy

dxxcdyxcdxdy

+⋅

=⋅=

⋅⋅=⋅=

∫ ∫che rappresenta la famiglia di parabole soddisfacenti al problema. Infatti, derivando si ha :

;xcy ⋅=′cioè il coefficiente angolare y' della tangente alle curve nel punto di ascisse x è proporzionale a x stesso, come richiesto dal problema.

52

PROBLEMA

"Trovare una curva passante per il punto (0;-2) e tale che il

coefficiente angolare della tangente in un punto qualsiasi sia uguale all'ordinata aumentata di 3".

Il problema in matematica si traduce come :

( )

lineareordineIdelaledifferenziequazioneun'è3

203

°=−′

−=′+=′

yy

yyy

27

53

( )( ) 3

1=−=

xgxf

[ ][ ]

( )

x

x

xx

xxdxdx

eyc

ecyecy

cee

cdxeecdxeey

31

32203

3

33

0

−=

=+−=−⇒−=+−=

+−⋅=

=+⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅∫⋅∫=

−

−−−−

∫∫

54

o ancora :

( ) ( )333 +=+=+= ylxylelye nnx

nx

28

55

PROBLEMA

"Trovare la curva in cui il coefficiente angolare della tgin un punto qualunque sia proporzionale al quadrato dell'ordinata e passi per il punto (1;1)".

C'è il rapporto si ha :;2yy ′

( )[ ]011 =+−−⋅ yxky

dxKydyyK

dxdyyKy ===′ 2

22

56

∫∫

∫∫=

=

− dxKdyy

dxKydy

2

2

( )

11

11passaggioilimponiamo01

111

11

1

11

1

1

−−=−=+

==++

−=++=−

+=−

−

KCCK

yyCKxy

yCKxyCKxy

CKxy

29

57

e quindi la curva richiesta sarà :

( ) ( ) 011011 =+−−=+−−+ yxKycioèyKKxy

58

APPLICAZIONI INCHIMICA EFISICA

30

59

APPLICAZIONI IN CHIMICA E FISICA.

PROBLEMA

" All'istante t=0 sia No il numero di atomi di una sostanza radioattiva; sia poi N(t) il numero di atomi rimasti non disintegrati all'istante t.La velocità di disintegrazione

è in ogni istante proporzionale al numero N(t) di atomi integri; cioè

con K che è la costante di decadimento.(Il segno negativo è necessario in quanto N(t) è una funzione decrescente nel tempo, la sua derivata deve essere negativa)".Determinare il numero N(t) di atomi non disintegrati all'istante t."

( ) ( )dt

tdNtN =

( ) ( ) 0, >⋅−= KtNKdt

tdN

60

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )( )( ) ctKtN

dtKtNtdN

dtKtNtdN

tNKdt

tdN

tNKdt

tdNtN

e +⋅−=

−=

−=

=+

−==

∫ ∫log

0

31

61

( )

( )( )

( )( ) ( ) ( ) Kt

Kt

cKt

cKttN

eNtNNccecNt

ectNeetN

ee

−

−

−

+−

⋅=⇒=

=⋅==

⋅=

⋅=

=

0000per

:careminredetper

0

ln

che rappresenta i numeri di atomi non disintegrati.

62

PROBLEMA

" In un gas la velocità dell'aumento di volume è direttamente proporzionale al volume stesso.Trovare il volume V del gas in funzione del tempo t sapendo che per t=0 è V=Vo ".

( )

( )( ) dtKtVtdV

tVKdtdV

⋅=

⋅=

32

63

( )( )( )

( )

( )

( ) ( ) Kt

Kt

cKttVe

eVtVVcecVtper

ectVee

ctKtV

dtKtVtdV

⋅=⇒=⇒⋅==

⋅=

=

+⋅=

⋅=

+

∫ ∫

000

log

00

log

64

PROBLEMA

" In un moto la velocità v direttamente proporzionale all'accelerazione a

determinare lo spazio percorso in funzione del tempo."

( )

( )

( ) tdtdstvts

tdt

sdKtaKts

tvts

⋅=⋅=

⋅⋅

⋅=⋅⋅=

⋅=

2

2

aKv ⋅=

33

65

02

2

2

2

=⋅−⋅

⋅⋅⇒⋅⋅

⋅=⋅⇒ tdtds

dtsdtKt

dtsdKt

dtds

rappresenta un'equazione differenziale del secondo ordine omogenea.

La sua equazione caratteristica è :

( )

KK

t

KttKt

101

00

010

1

2

2

==−

==

=−=−⋅

λλ

λλ

λλλλ

66

La soluzione generale sarà :

( ) 210

2

1

1 CeCeCeCts Kt

ttK +⋅=⋅+⋅= ⋅⋅

34

67

PROBLEMA

"Determinare il moto di un punto nel quale l'accelerazione è funzione lineare del tempo".

Il problema si traduce in :

baxdxydbaxy +=′

⇔+=′′

Poiché l'accelerazione è la derivata seconda dello spazio y rispetto al tempo x l'equazione diventa :

68

( ) ( )

1232

2

22

262

2

;2

;2

cuida

egrandointe

Ccxxbxaydxcbxxady

dxcbxxady

cbxxadxdycbxxay

dxbaxyddxbaxyd

+++=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

++=++=′

+=′+=′

∫ ∫

∫∫

e rappresenta l'equazione del moto di un punto nel quale l'accelerazione è funzione lineare.

35

69

PROBLEMA

" Al problema precedente si richiede lo spazio in funzione del tempo sapendo che :

( )

( )

( ) ( )( ) 2121

21

0

0000)1

00

00

CCCCsCeCtss

s

vvt

Kt

−=⇒=+=+⋅==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

70

( )

( ) ( )

⎩⎨⎧

⋅=⋅−=

⎩⎨⎧

⋅=−=

⋅==⋅

=⋅⋅=′⋅⋅=′

=

01

02

01

21

0201

0

0

11

0

;

1

101

:generaleegraleintl'ldederivatalacalcoliamo0)2

vKCvKC

vKCCC

KvCvK

C

vK

eCsK

eCts

vv

KKt

36

71

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=⋅−⋅⋅=⇒ 1000

Kt

Kt

evKvKevKts

72

PROBLEMA

"Una pallina di massa m e collegata con l'estremo libero di una molla di coefficiente di elasticità K.Il piano su cui la pallina e appoggiato è liscio.Se la pallina viene spostata dalla sua posizione di equilibrio, e poi rilasciata, su di essa agisce una forza, che come è noto, è proporzionale allo spostamento X dalla posizione di equilibrio, con k costante di proporzionalità.

Determinare la legge oraria X=X(t) del moto."XkF ⋅−=

37

73ogenea.omordineondosecdel

aledifferenziequazione0 ⇒=⋅+

⋅−=

⋅−=⋅⇒⋅−=⋅=

xmKx

xmKx

xKxmxKamF

74

L'equazione caratteristica associata :

;;0

: è cui in

02

mKe

mKi

mK

==

±=

=+

βα

λ

λ

38

75

( )

( )

( ) .sencos

:

sencos

sencos

21

21

21

tCtCtX

mKposto

tmKCt

mKCtX

teCteCtX tt

ωω

ω

ββ αα

⋅+⋅=

=

⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅=

76

LEGGE DI CRESCITA MALTHUSIANA ED APPLICAZIONI IN ECONOMIA.

39

77

LEGGE DI CRESCITA MALTHUSIANA ED APPLICAZIONI IN ECONOMIA.

Consideriamo il seguente problema :

" Determinare la legge di variazione della popolazione italiana in un arco di tempo, senza distinguere maschi e femmine e tenendo conto di nascite, morti ed emigrazioni".

Cominciamo a indicare con N(t) il numero degli individui della popolazione italiana al tempo t, assumendo l'anno come unità di misura.Ad esempio, N(1971)=54.025.211 è il numero degli italiani nell'anno 1971 e N(2000) è il numero per ora a noi conosciuto, degli italiani nel 2000.

78

Il numero N(t) è quindi una variabile, funzione del tempo, e va considerata continua anche se in realtà il processo avviene a salti.

Il nostro problema è proprio quello di determinare, se possibile, la legge secondo la quale N varia in funzione di t.

A tale scopo converrà dunque volgere lo sguardo verso il passato ed osservare le statistiche riguardanti lo sviluppo della popolazione italiana.La nostra speranza è quella di scoprire che la popolazione italiana varia sempre più o meno nello stesso modo, di scoprire, cioè, dell'uniformità di comportamento traducibili in una legge che potremo ipotizzare valida non soltanto per il passato ma anche per il futuro.

40

79

I volumi annuali di aggiornamento dell'Enciclopedia Britannica ci forniscono una serie di stime sul numero dei cittadini italiani.Scegliamo il periodo che va dal 1971 al 1981.

I dati relativi a questo periodo sono riportate nella seguente tabella:

80

Rappresentiamo ora la funzione

N(t)

dal valore t=1971 al valore t=1981 (FIG.1 dove il numero di individui è approssimato alle migliaia).Le due curve, quella continua e quella tratteggiata, mostrano con molta chiarezza l'andamento del fenomeno.

41

81

Osserviamo che, per quanto riguarda la determinazione della legge di crescita di una popolazione, si accoglie la seguente conclusione, dovuta all'economista inglese Thomas Malthus (1766-1834) :

" In assenza di vincoli esterni (limitatezza delle risorse, delle guerre, delle carestie,……) la popolazione umana va aumentando e la sua velocità istantanea di crescita è proporzionale alla popolazione stessa ".

THOMAS MALTHUS

82

Indicando con N(t) la popolazione, con N(t) la relativa velocità di crescita (ossia, in termini matematici, la derivata della funzione N(t) rispetto al tempo t), possiamo quindi scrivere :

( ) ( )1)( tNKtN ⋅=

essendo K la costante di proporzionalità.

42

83

( ) ( )

( )( )( )( )( )

ctKN eectKtN

dtKtN

tNd

dtKtN

tNd

tNKdt

tNd

+⋅=

+⋅=

=

=

⋅=

∫ ∫

ln

ln

84

Ebbene la (1) è il primo esempio di equazione differenziale: in essa compare una funzione legata alla sua derivata prima.L'espressione esplicita della funzione N(t), che è l'incognita dell'equazione differenziale, è la seguente:

( )( ) ( ) ( )2tKtK

ctK

eatNaetNeetN

⋅⋅

⋅

⋅=⇒⋅=

⋅=

Ponendo t=0 nella (2), otteniamo a=N(o) e quindi la (2) diventa :

( ) ( ) ( )30 tKeNtN ⋅⋅=

il che significa che la popolazione umana cresce in modo esponenziale.

43

85

dove N(o) è il numero degli individui all'istante t=0 e K è il corrispondente tasso di crescita.

Per adeguare il grafico della funzione (3), occorre conoscere N(o) e K, che sono valori empirici ricavabili dall'analisi della realtà.

La rappresentazione grafica di N(t), per diversi valori di N(o) e K, è riportata in FIG. 2.

86

Vogliamo ora verificare che la legge di crescita esponenziale, espressa dalla (3), è valida per la popolazione italiana (periodo 1971-1981).

Ricaviamo N(o) e K.

Cominciamo a ricavare, utilizzando i dati reali della tabella 1 (espressi in migliaia), i valori di N(o) e K, assumendo come anno iniziale il 1971.Abbiamo:

per t=0 anno 1971 N(0)= 54.025.000

per t=1 anno 1972 N(0)= 54.345.000

( ) ( ) tKeNN ⋅⋅= 01

44

87

Dalla (3) otteniamo :

006,1000.025.54000.345.54

:ossia 000.025.54000.345.54 1

==

⋅= ⋅

k

K

e

e

Applicando opportunamente il logaritmo in base e, ricaviamo :

( )

( ) ( )4000.025.54

:diventa)3(formulala,006,0000.025.540Con

%6,0006,0006,1log

006,0 tetN

KeN

K

⋅⋅=

==

===

88

Calcolando il numero degli individui della popolazione italiana mediante la (4), anno per anno, si ottengono i dati riportati nella tabella 2 che come si può verificare, sono in accordo con i dati statistici.

45

89

Il modello di Malthus di crescita della popolazione, espressa dalla equazione differenziale

( ) ( )tNKtN ⋅=è uno dei più famosi modelli matematici.

A tale modello si riconduce la risoluzione di numerosi altri problemi di natura diversa.

90

PROBLEMA

Velocità di accrescimento di un capitale.

"Sia C(t) il montante all'istante t di un certo capitale C(0) investito al tempo t = 0 in un'operazione di capitalizzazione composta."

La velocità di accrescimento di C(t) è data da :

( ) ( )tCitC ⋅=1

( ) ( )

( )0eotantaniseresseint

tetanmondelderivata1

>=

=

i

tCtC

46

91

La soluzione dell'equazione differenziale :

( ) ( )

( )( )( )( )( )

( )( ) ti

ctie

ectCeetC

ctitC

dtitC

tCd

dtitC

tCd

tCidt

tCd

⋅

⋅

⋅=

⋅=

+⋅=

=

=

=

∫∫log

92

( ) ( )

( ) ( ).ttemponelmaturatoeresseintl'piùcapitaleilfornisce

0

)inizialecapitaledeposito,(000per 0

tieCtC

CCeCCt

⋅⋅=

=⇒⋅==

L'aumentare realmente riconosciuto dalla banca, è nettamente inferiore. La differenza è dovuta al fatto che il contratto di deposito bancario prevede normalmente un accredito degli interessi maturati solo a fine anno.Pertanto, il capitale dopo un anno di deposito vale

dopo due anni e di conseguenza in montante ad interesse composto dopo 3 anni è :

0C( )iC +⋅ 10 ( )20 1 iC +⋅

( ) .1 30 iCM +⋅=

47

93

PROGRAMMA IN PASCAL PER CALCOLARE L'INTERESSE DI UN DEPOSITO BANCARIO

Program Depositi ad interesse;

Function Potenza (m: integer; y: real) : real;

begin if m=0 then Potenza:=1

else

Potenza:= y*Potenza(m-1,y)end.

VarCo,i,t:real;

94

begin

write ('Capitale depositato C= '); readln (Co);

write ('Interesse annuo, in % i= '); readln (i);

i:= i/100;

write ('Durata in anni t= '); readln(t);

writeln ('Capitale maturato = ', c*exp(i*t));

writeln ('Capitale……in banca = ',

Co*Potenza ( trunct(t), (1+i));end.

48

95

RISOLUZIONE NUMERICA DI EQUAZIONI RISOLUZIONE NUMERICA DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI DIFFERENZIALI ––METODO DI EULEROMETODO DI EULERO

Questi metodi vengono utilizzati per la risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine qualora non siano applicabili procedimenti dell’analisi infinitesimali classica.

METODO DI EULERO:METODO DI EULERO:

Questo metodo è applicato ad equazioni differenziali che si presentano nella seguente formula:

E aventi come condizione iniziale:),(' )( yxfy x =

0)( yy x =

96

Si passa ora a determinare un’approssimazione di )( xy1a FASE

Preso un intervallo lo si suddivide in n parti uguali, indicando con i punti di suddivisione interni all’intervallo e con , l’estremo

[ ]xx ,0

121 .,........., −nxxxnxx

0x

1x

2x

3x

1−nx

x

Come noto, l’ampiezza di ciascun intervallino, sarà data dalla seguente relazione:

nxxh 0−

= h prenderà il nome di passo di integrazione

49

97

xhnxxhxhxxhxx

n =⋅+=+=+=+=

0012

01

............2;

2aFASE

Approssimiamo nell’intervallo il grafico di con la retta tangente a tale grafico nel suo punto

e sia m il coefficiente angolare.

[ ]10; xx ( )xy

( )00; yx

( ) ( )00;' yxfym x =≡

poiché in cui exym

∆∆

= 01 yyy −=∆ hxxx =−=∆ 01

98

Possiamo quindi scrivere che:

( )( )0001

0001

;;

yxfhyyyxfyyxmy

⋅+=⇒=−⇒∆⋅=∆

di conseguenza ( )

( )iiii yxfhyy

yxfhyy

;..................................................................

;

1

1112

⋅+=

⋅+=

+

Applicando n volte questa procedura, a partire dai valori noti otterremo la desiderata approssimazione di . Naturalmente la spezzata ottenuta sarà tanto più precisa, quanto più piccolo sarà il passo di integrazione h.

( )00; yx( )xy

50

99

X0= 0condizioni iniziali Y0= 1

h= 0,1

x y approssimato f(x;y) y esatto Errore

0 1 0 1 00,1 1 -0,2 0,990049834 0,0099501660,2 0,98 -0,392 0,960789439 0,0192105610,3 0,9408 -0,56448 0,913931185 0,0268688150,4 0,884352 -0,7074816 0,852143789 0,0322082110,5 0,81360384 -0,81360384 0,778800783 0,0348030570,6 0,732243456 -0,878692147 0,697676326 0,034567130,7 0,644374241 -0,902123938 0,612626394 0,0317478470,8 0,554161848 -0,886658956 0,527292424 0,0268694230,9 0,465495952 -0,837892713 0,444858066 0,020637886

1 0,381706681 -0,763413361 0,367879441 0,013827239

Data una equazione differenziale del primo ordine,trovare un valore approssimatodi Y(1) utilizzando il metodo di Eulero; Confrontare successivamente il valore ottenuto con quello assunto dalla soluzione esatta

);(1 iiii yxhfyy +=+

2xey −=

xyy 2' −=

2xey −=

GraficoGraficoGrafico

100

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

valore approssimato di Y Valore esatto di Y Errore

51

101

X0= 0condizioni iniziali Y0= 2

h= 0,2

x y approssimato f(x;y) y esatto Errore

0 2 -2 2 00,2 1,6 -1,4 1,656192259 0,0561922590,4 1,32 -0,92 1,410960138 0,0909601380,6 1,136 -0,536 1,246434908 0,1104349080,8 1,0288 -0,2288 1,147986892 0,1191868921 0,98304 0,01696 1,103638324 0,120598324

Data una equazione differenziale del primo ordine,trovare un valore approssimatodi Y(1) utilizzando il metodo di Eulero; Confrontare successivamente il valore ottenuto con quello assunto dalla soluzione esatta y = 3e-x+x-1

y = 3e-x+x-1);(1 iiii yxhfyy +=+

y’ = x-y

GraficoGraficoGrafico

102

0

0,5

1

1,5

2

2,5

1 2 3 4 5 6

valore approssimato di Y Valore esatto di Y Errore

52

103

BIBLIOGRAFIA

M. KLINE : “Storia del pensiero matematico”.

DIRKSJ.STRUIK : “Matematica : un profilo storico”.

COURANT/ROBBINS : “Che cos’è la matematica”.

BENCINI/GERONIMO : “Il pensiero matematico”.

DODERO/BARONCINI : “Itinerari di matematica”.

Volumi annuali dell'Enciclopedia Britannica.